ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 2 (8), стр. 338-347
© 2019
ДИАГРАММЫ СТАБИЛЬНОСТИ ТУННЕЛЬНОЙ
НАНОГЕТЕРОСТРУКТУРЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ
СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
Д. А. Лифатоваa*, А. В. Ведяевa, Н. В. Рыжановаa,
О. А. Котельниковаa, М. Г. Чшиевb, Н. В. Стрелковa
a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
119991, Москва, Россия
b Université Grenoble Alpes, CEA, CNRS, INAC-SPINTEC
38000, Grenoble, France
Поступила в редакцию 16 марта 2019 г.,
после переработки 21 марта 2019 г.
Принята к публикации 21 марта 2019 г.
Одной из важных характеристик наногетероструктуры с магнитным туннельным переходом (МТП), при-
меняемой в основе ячейки памяти MRAM (magnetic random access memory) и переключаемой с помощью
эффекта спинового торка STT (spin transfer torque), является ее диаграмма стабильности, определяющая
области значений внешнего магнитного поля и приложенного напряжения, при которых ячейка находится
в одном из двух стабильных состояний. Для численного построения таких диаграмм обычно использует-
ся решение динамического уравнения Ландау - Лифшица в однодоменном приближении с применением
феноменологических констант, определяющих значения спинового торка в данном материале. В данной
статье рассматривается задача спин-зависящего электронного транспорта в МТП-структуре, решение
которой в приближении свободных электронов позволяет вычислить значения спинового торка для за-
данного материала в любой магнитной конфигурации системы и использовать их при интегрировании
уравнения Ландау - Лифшица. Используемый метод позволяет более точно воспроизвести форму диа-
граммы стабильности и предсказать критические значения магнитного поля и напряжения, необходимых
для переключения ячейки MRAM на основе МТП-структуры.
DOI: 10.1134/S0044451019080121
[3, 4]. Преимущество таких структур состоит в том,
что они обладают высоким значением (до 200 %) эф-
фекта туннельного магнитосопротивления (tunnel
1. ВВЕДЕНИЕ
magnetoresistance, TMR) [5, 6] и большой перпен-
дикулярной магнитной анизотропией, обеспечиваю-
За последние годы было опубликовано боль-
щей высокую температурную стабильность состо-
шое количество теоретических и эксперименталь-
яния ячейки [7, 8]. Поскольку состояние такой си-
ных работ, посвященных изучению свойств нано-
стемы может изменяться с помощью внешнего маг-
гетероструктур с магнитным туннельным перехо-
нитного поля или с помощью тока, протекающего
дом (МТП-структур) с перпендикулярной относи-
через МТП-структуру в прямом или обратном на-
тельно плоскости слоев поверхностной анизотропи-
правлении, важным является выяснить области зна-
ей [1,2], так как они являются наиболее перспектив-
чений внешнего поля H и приложенного напряже-
ными для применения их в качестве ячеек совре-
ния V , при которых система будет находиться в том
менной магнитной памяти MRAM (magnetic random
или ином стабильном состоянии. Для этого стро-
access memory), логическое состояние которых ме-
ится так называемая фазовая диаграмма стабиль-
няется за счет эффекта переноса спинового крутя-
ности, или V -H-диаграмма [9]. Для ее численного
щего момента, или торка (spin transfer torque, STT)
построения необходимо интегрировать динамичес-
кое уравнение Ландау - Лифшица [10] с дополни-
* E-mail: lifatova.dasha@yandex.ru
338
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
Диаграммы стабильности туннельной наногетероструктуры. . .
тельными слагаемыми, отвечающими за спиновый
ближения, которое дает возможность получить от-
торк, которые обычно содержат феноменологичес-
носительно простой аналитический ответ, но спра-
кие константы, подбираемые для каждой конкрет-
ведливо только тогда, когда энергия электрона на-
ной МТП-структуры [11]. Для того чтобы вычис-
много меньше, чем высота потенциального барьера.
лить величины этих торков, создаваемых в условиях
Таким образом, выражения (1) справедливы при от-
спин-зависящего электронного транспорта, необхо-
носительно невысоких напряжениях, в то время как
димо решить задачу туннелирования электрона че-
напряжение переключения МТП-структуры может
рез потенциальный барьер МТП-структуры.
быть гораздо выше возможно допустимого в данном
Простейшая модель МТП-структуры, которая
приближении.
может быть рассмотрена для решения квантово-
В данной работе мы представляем результаты
механической задачи туннелирования, представля-
точного решения задачи туннелирования, рассмот-
ет из себя два полубесконечных ферромагнитных
ренной ранее [12-14], и сравниваем их с резуль-
электрода, намагниченных однородно (однодомен-
татами решения той же задачи с использовани-
ное приближение) и разделенных тонким (толщи-
ем ВКБ-приближения. Полученные результаты ис-
ной около 1 нм) диэлектриком. Намагниченность
пользуем для вычисления значений спиновых тор-
одного электрода зафиксирована (опорный слой),
ков, которые необходимы для построения V -H-диа-
а намагниченность другого может быть отклонена
граммы.
на некоторый угол относительно первого электрода
(свободный слой). Подробное теоретическое описа-
ние подобных структур было дано в предшествую-
2. МОДЕЛЬ МТП-СТРУКТУРЫ
щих работах как в приближении свободных элек-
тронов [12-14], так и в приближении сильной свя-
В основе модели МТП-структуры используется
зи [15-17], результаты которых хорошо согласуются
приближение свободных электронов, или так назы-
между собой. Они приближенно описывают поведе-
ваемая s-d-модель, в которой s-электроны свобод-
ние двух компонент спинового торка хорошо извест-
но перемещаются, а d-электроны локализованы и
ными выражениями:
создают локальную намагниченность в ферромаг-
нитном металле. Такое приближение приемлемо в
T∥ = (a1V + a2V2)[M1 × [M1 × M3]],
(1)
случае квадратичного закона дисперсии свободных
T⊥ = (b0 + b1V + b2V2)[M1 × M3],
электронов, что справедливо с хорошей точностью
где M1 и M3 — направления намагниченностей со-
для большинства металлов. МТП-структура пред-
ответственно в свободном и опорном слоях, V — при-
ставляет собой два полубесконечных ферромагнит-
ложенное напряжение. Феноменологические кон-
ных (ФМ) электрода, разделенных тонким слоем ди-
станты ai и bi обычно заранее неизвестны и подби-
электрика, напряжение в котором линейно меняется
раются из экспериментальных данных для каждо-
в зависимости от координаты (рис. 1). Намагничен-
го конкретного образца, так как их величина зави-
ность в области левого электрода (первая область)
сит и от толщины барьера, и от материалов, исполь-
фиксирована в направлении оси z, а в области пра-
зуемых при изготовлении таких туннельных струк-
вого электрода (третья область) может иметь с осью
тур, и от процесса изготовления образца. Например,
z произвольный угол θ. Ток в такой структуре про-
для ферромагнитных материалов с большим обмен-
текает вдоль оси y, а ее сопротивление зависит от
ным расщеплением и полуметаллов значение кон-
взаимной ориентации (от угла θ) намагниченностей
станты a2 стремится к нулю. Построение и анализ
в правом и левом ФМ-электродах.
численных V -H-диаграмм с использованием выра-
Если угол θ между намагниченностями
жений (1) было проведено ранее путем численно-
ФМ-электродов отличен от
0
и π, то в такой
го интегрирования динамического уравнения Лан-
неколлинеарной конфигурации волновая функция
дау - Лифшица как в коллинеарной [6, 18-20], так и
электрона в третьей области будет смешанной и
в неколлинеарной геометрии [21]. Численные расче-
будет состоять из суперпозиции волновых функций
ты довольно точно воспроизводят форму экспери-
электронов со спинами «вверх» и «вниз». Гамиль-
ментальных диаграмм, хотя количественной оцен-
тониан для s-электронов в ферромагнетике в этом
ки они не дают из-за использования феноменологи-
случае имеет вид [22]
ческих констант. Более того, на выражения (1) на-
кладывается ограничение для значений напряжения
ℏ2
∂2
H
(2)
V из-за использования в теориях [12-14] ВКБ-при-
= -2m ∂y2 + U(y) - Jsd(σ · S),
339
10*
Д. А. Лифатова, А. В. Ведяев, Н. В. Рыжанова и др.
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
z
M3
где κ — квазиимпульс электрона в плоскости xz. Ес-
M1
y
ли ввести квазиимпульсы k↑ и k↓,
x
√
eV
2m
k↑(↓) = k20 ±
Jsd,
ℏ2
√
(5)
EF
2m
k0 =
(E - U(y)) - κ2,
U0
eV +
3
ℏ2
2
3
eV
eV -
то решение уравнения (4) в ФМ-электродах можно
3
записать в общем виде:
2
1
01
d
- 1
ψ↑ = A↑ exp(ik↑y) + B↑ exp(-ik↑y),
0
d
(6)
y).
ψ↓ = A↓ exp(ik↓y) + B↓ exp(-ik↓
Рис. 1. Потенциальный профиль МТП-структуры U(y).
Эти решения представляют собой плоские вол-
Справа обозначены уровни энергии для электронов с на-
правлением спина «вверх» и «вниз». Через Δ1 и Δ3 обо-
ны, распространяющиеся в обе стороны вдоль оси
значены обменные интегралы Jsd в левой (область 1) и
y. Неизвестные коэффициенты A и B находятся из
правой (область 3) областях, θ — угол между намагни-
граничных условий и условий непрерывности вол-
ченностями в левом (M1) и правом (M3) ФМ-электродах,
новых функций и их производных. Если учитывает-
U0 — высота потенциального барьера, eV — приложенное
ся изменение эффективной массы электрона внутри
напряжение, d — толщина изолятора, EF — энергия Фер-
барьера [23], то на границах ферромагнетик/изоля-
ми электрона
тор должно выполняться условие сохранения пото-
ка
ψ′
(y)
ψ′B(y)
F
=
,
где первое и второе слагаемое отвечают за кинетиче-
m
m∗
скую и потенциальную энергии, а третье слагаемое
где ψF и ψB — волновые функции соответственно в
отражает обменную энергию между s- и d-электро-
ФМ-электроде и барьере, m∗ — эффективная масса
нами, S — единичный вектор вдоль локальной на-
электрона в барьере.
магниченности ферромагнетика за счет d-электро-
Если волновая функция в первой области пред-
нов, Jsd — обменный интеграл, равный Δ1 или Δ3
ставляет собой спинор, состоящий из функций (6),
соответственно в левом или правом ФМ-электроде,
то в третьей области спинор повернут на угол θ и
σ — матрицы Паули.
его компоненты состоят из следующей комбинации
Если повернуть локальную намагниченность на
состояний электронов со спином «вверх» и «вниз»:
угол θ вокруг оси y, умножив S на матрицу враще-
(
)(
)
ния
Ry, то скалярное произведение в гамильтониане
cosθ/2
sin θ/2
ψ↑
ψ=
,
(7)
(2) можно переписать в виде
− sinθ/2
cosθ/2
ψ↓
⎛
⎞⎛
⎞
cosθ
0
sin θ
0
где ψ↑ и ψ↓ — волновые функции (6) электрона в
⎜
⎟⎜
⎟
третьей области.
σ·Sθ =(σ1 σ2 σ3)⎝
0
1
0
⎠⎝0⎠=
Внутри барьера, где нет ФМ-расщепления (Jsd
=
- sinθ
0
cosθ
1
= 0) и потенциальная энергия больше, чем энергия
(
)
cosθ sinθ
s-электронов, точным решением уравнения (4) при
=
(3)
линейном изменении потенциала U(y) = yeV/d яв-
sinθ
- cosθ
ляется комбинация спецфункций Эйри Ai и Bi:
Подставляя гамильтониан (2) и скалярное произве-
q2(y)
q2(y)
дение (3) в стационарное уравнение Шредингера,
ψB = ABAi
+ BBBi
,
(8)
q2v
q2
v
получаем
где q и qv определяются выражениями
)
(
)(
√
(
)
ℏ2
∂2
ℏ2κ2
ψ↑
2m
eV
-
+
+ U(y) - E
-
q(y) =
U0 - E +
y
+κ2,
2m ∂y2
2m
ψ↓
ℏ2
d
(
)(
)
(9)
(
)1/3
cosθ sinθ
ψ↑
2m
eV
-J
= 0,
(4)
↓
qv =
sd sin θ
- cosθ ψ
ℏ2
d
340
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
Диаграммы стабильности туннельной наногетероструктуры. . .
В ВКБ-приближении волновые функции (8) аппрок-
Спиновый торк, действующий со стороны
симируются комбинацией экспонент:
s-электронов на d-электроны, пропорционален век-
торному произведению локальной намагниченности
ψWKBB = ABeQ(y) + BBe-Q(y),
(10)
S на локальную спиновую плотность s, которая мо-
где Q(y) — показатель, определяемый из выражения
жет быть найдена как матричный элемент матриц
ℏ2
d
[
]
Паули:
Q(y) =
q3(y) - q3(0)
(11)
1
3m eV
s=
(ψ∗|σ|ψ).
2
Легко убедиться, что в пределе eV → 0 выражение
Поскольку в первом ФМ-электроде локальная
(11) примет вид выражения для квазиимпульса в
намагниченность направлена вдоль оси z (S
=
прямоугольном барьере: Q(y) = q(0)y.
= {0, 0, 1}), векторное произведение векторов S
Далее необходимо рассмотреть четыре возмож-
и s будет зависеть только от x- и y-компонент
ных граничных условия системы.
спиновой плотности ([S × s] = {-sy, sx, 0}). Удобно
1. Электрон падает слева со спином «вверх». В
ввести комплексную величину спиновой плотности
этом случае в первой области коэффициент AL↑√1
sxy = sx + isy, где действительная часть соответ-
выбирается равным потоку 1/ k↑1, а A↑↓L1 = 0. В
ствует ее x-компоненте, а мнимая — y-компоненте. В
третьей области отсутствие отраженной волны да-
этом случае две компоненты векторного произведе-
ет B↑↑L3 = B↑↓L3 = 0.
ния (перпендикулярная и параллельная плоскости
2. Электрон падает слева со спином «вниз»:
√
xz) также выражаются в виде комплексного числа
A↓↑L1 = 0, A↓↓L1 = 1/ k↓1, B↓↑L3 = B↓↓L3 = 0.
как isxy. Например, в случае первого граничного
3. Электрон падает справа со спином «вверх»:√
условия, когда электрон падает слева со спином
вверх, комплексная спиновая плотность в левом
A↑↑R1 = A↑↓R1 = 0, B↑↑R3 = 1/ k↑3, B↑↓R3 = 0.
ФМ-электроде имеет вид
4. Электрон падает справа со спином «вниз»:√
(
[
]
A↓↑R1 = A↓↓R1 = 0, B↓↑R3 = 0, B↓↓R3 = 1/ k↓3.
s↑Lxy = s↑Lx+is↑Ly = B↑↓
B↑↑∗L1 exp i(k↑1-k↓1)y +
Каждое граничное условие вместе с условиями
L1
)
[
] √
непрерывности дает восемь уравнений с восемью
+ exp -i(k↑1 + k↓1)y
/ k↑
(16)
неизвестными коэффициентами.
1
Когда волновые функции найдены, можно
рассчитать плотность тока, протекающего через
Если найти и сложить значения спиновой плот-
МТП-структуру, а также создаваемые этим током
ности для всех четырех граничных условий, то рас-
спиновые торки. Для расчета тока используем,
пределение полного спинового торка T можно полу-
согласно формализму Ландауэра [24], выражение
чить, проинтегрировав эту сумму в заданных преде-
∫
лах (13):
2
2
e
Je =
jeκ dκ dE,
(12)
∫
(2π)2 ℏ
Jsd
a30
2m
T(y) =
[S × s]κ dκ dE,
где e — модуль заряда электрона, интегрирование
μB (2π)2 ℏ2
в ФМ-электродах проводится по всем возможным
∫
(17)
Jsd a30
2m
значениям энергии электрона E и квазиимпульса κ,
Txy(y) =
isxyκ dκ dE,
μB
(2π)2 ℏ2
удовлетворяющим условию
ℏ2κ
2
где a0 — постоянная решетки материала ФМ-элект-
E + U(y) +
≤EF,
(13)
рода, μB — магнетон Бора и Txy = T∥ + iT⊥ — комп-
2m
лексное представление x- и y-компонент вектора T.
а je — матричный элемент оператора скорости, про-
Для интегрирования уравнения Ландау - Лифшица
порциональный туннельному току и рассчитывае-
необходимо знать среднее значение спинового тор-
мый по формуле [25]
(
)
ка, неоднородно распределенного в свободном слое.
∂ψ∗
∂ψ
je = i ψ
-ψ∗
(14)
Для его нахождения необходимо проинтегрировать
∂y
∂y
полученное распределение (17) по всей длине сво-
Например, для первого граничного условия, когда
бодного слоя и поделить на его толщину.
электрон падает слева со спином вверх, выражение
Компоненты спинового тока определяются по-
для матричного элемента тока имеет вид
добно тому, как это было сделано для электриче-
(
)
2
ского тока (14), и его матричные элементы имеют
↑
↓
j↑eL = 2
1-k↑1
B↑
2 -k↓1
B↑
(15)
L1
L1
вид [25]
341
Д. А. Лифатова, А. В. Ведяев, Н. В. Рыжанова и др.
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
(
)
i
∂ψ∗
∂ψ
3. ДИНАМИКА НАМАГНИЧЕННОСТИ
js =
ψσ
-ψ∗σ
(18)
2
∂y
∂y
СВОБОДНОГО СЛОЯ
Вычислив матричный элемент (18) для всех четы-
Динамику намагниченности свободного слоя
рех граничных условий и проинтегрировав его по κ
МТП-структуры в однодоменном приближении
и eV в определенных пределах (13), можно получить
под действием спин-поляризованного тока можно
полный спиновый ток в точке y:
∫
описать уравнением Ландау - Лифшица с дополни-
1
тельными слагаемыми [11]:
Js(y) =
jsκ dκ dE,
(2π)2
[
]
dm
dm
Jsxy(y) = Js∥ + iJs⊥ =
(19)
= -γ [m × μ0Heff ] + α m ×
- γT,
(23)
∫
dt
dt
1
=
(js∥ + ijs⊥)κ dκ dE,
где m — единичный вектор, направленный вдоль на-
(2π)2
магниченности свободного слоя, γ — гиромагнитное
где Jsxy — комплексное представление x- и y-компо-
отношение для s-электронов, α — фактор затухания
нент вектора Js. Например, для первого граничного
Гильберта, Heff и T — эффективное поле и сред-
условия комплексная величина спинового тока име-
ний спиновый торк (22), действующие на свободный
ет вид
слой. Эффективное поле Heff выражается через ва-
j↑Lsxy = j↑Ls∥ + ij↑Ls⊥ =
риацию свободной энергии свободного слоя F по на-
⎡
магниченности: Heff = -δF/δM. В нашей модели
[
]
свободная энергия состоит из трех слагаемых: энер-
= B↑↓L1 ⎣ - (k↑1 + k↓1)B↑↑∗L1exp i(k↑1 - k↓1)y +
гии одноосной магнитной анизотропии, энергии Зе-
⎤
емана и энергии размагничивающего поля:
↑
[
]
k1
−k↓1
+
√
exp -i(k↑1 + k↓1)y
⎦.
(20)
F = -Ku(uK · m)2 - μ0MsHext · m+
1
k↑
1
+
μ0M2s(Nxm2x + Nym2y + Nzm2z),
(24)
2
Можно заметить, что производная по y выраже-
ния (20) совпадает с комплексной спиновой плот-
где Ku — константа одноосной магнитной анизот-
ностью s↑Lxy (16) с точностью до коэффициента
ропии, uK
— единичный вектор, направленный
вдоль оси легкого намагничивания, Ms — намагни-
-i(k↑21 - k↓21). Нетрудно показать, что это равенство
ченность насыщения свободного слоя, Hext — напря-
выполняется для всех четырех граничных условий.
женность внешнего магнитного поля, Nx,y,z — диа-
Тогда, учитывая, что k↑21 -k↓21 = 4mJsd/ℏ2 и [S×s] =
гональные компоненты тензора размагничивающего
= isxy, можно записать равенство
2
фактора. Следовательно, эффективное поле в слу-
ℏ
-
∇yjs = 2Jsd[S × s].
(21)
чае МТП-структуры с перпендикулярной магнит-
2m
ной анизотропией можно записать в виде
Выражение (21) было впервые получено в ра-
(
)
боте Эдвардса [26], а также подтверждено позже в
2Ku
Heff =
0, 0,
mz
+ (Hx, Hy, Hz) -
приближении сильной связи [27]. Если ФМ-электрод
μ0Ms
имеет конечную толщину t, то среднее значение тор-
- Ms(Nxmx, Nymy, Nzmz).
(25)
ка в левом ФМ-электроде с учетом выражений (17),
(19) и (21) имеет вид
Средний спиновый торк (22) можно разделить на
0
две компоненты — параллельную плоскости векто-
∫
1
〈T 〉t =
T(y) dy =
ров намагниченности свободного и опорного слоев,
t
T∥, и перпендикулярную ей, T⊥ (1). Если ввести
-∞
∫0
единичный вектор поляризации p, направленный
a30
1
a30
Js(0)
=-
∇yJs(y)dy = -
,
вдоль намагниченности опорного слоя, и учесть, что
μB t
μB t
–∞
(22)
спиновый торк зависит только от угла θ между век-
7
8
торами m и p, то можно легко показать, что выпол-
a30 Jsxy(0)
〈Txy〉 =
T∥
+ i〈T⊥〉 = -
няются соотношения [26]
μB
t
7
8
Из этого следует, что значение спинового тока на ин-
T∥
T∥ = a∥m × [m × p] =
m × [m × p],
терфейсе ферромагнетик/изолятор будет соответст-
sinθ
(26)
вовать среднему значению спинового торка в дан-
〈T⊥〉
T⊥ = b⊥m × p =
m × p.
ном ФМ-электроде.
sinθ
342
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
Диаграммы стабильности туннельной наногетероструктуры. . .
7
2
Je, 10
A/см
125
TMR, %
1.0
100
75
50
1
25
0.5
0
1
-25
2
–1.5
–1.0
–0.5
0
0.5
1.0
1.5
V, B
0
10
2
9
1
8
-0.5
1
7
6
2
5
-1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
V, B
–1.5
–1.0
–0.5
0
0.5
1.0
1.5
V, B
Рис. 2. (В цвете онлайн) Зависимости электрического тока через МТП-структуру от напряжения в параллельной (P,
θ = 0, черные линии 1) и антипараллельной (AP, θ = π, красные линии 2) конфигурациях при точном решении (сплош-
ные линии) и в ВКБ-приближении (штриховые линии). На вставке (слева вверху) изображена зависимость эффекта
туннельного магнитосопротивления ТМR = (JP - JAP )/JP от напряжения. Параметры МТП-структуры: d = 1.1 нм,
U0 = 3.23 эВ, EF = 2.18 эВ, Δ1 = Δ3 = 1.96 эВ
[
(
(
В приближении
«толстого» барьера, когда
γ sinθ
2Ku
∫d
θ=-
a∥pz+α Hz + b⊥pz +
-
exp
Q(y) dy
≫ 1, где d — толщина барьера,
1+α2
μ0Ms
0
)
)]
а Q(y) определяется выражением
(11), средние
− Ms(Nz - Nx) cosθ
,
значения компонент спиновых торков, T∥ и T⊥,
[
(
(27)
пропорциональны sin θ [14], поэтому параметры a∥
γ
2Ku
и b⊥ не зависят от угла θ в этом случае.
ϕ=
b⊥pz+Hz - αa∥pz +
-
1+α2
μ0M
s
)
]
- Ms(Nz - Nx) cosθ .
Если записать уравнение Ландау - Лифшица
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
(23) с эффективным полем (25) и дополнительными
СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА
слагаемыми для спиновых торков (26) в сферичес-
ких координатах с учетом симметрии системы в
Для того чтобы численно проинтегрировать
плоскости xy (Nx = Ny), направлений поляризации
уравнения (27) с использованием компонент спи-
тока и внешнего магнитного поля вдоль оси z
новых торков a∥ и b⊥, полученных путем решения
(px = py = 0, Hx = Hy = 0) и постоянства модуля√
описанной выше задачи спин-зависимого транс-
|m| = m2x + m2y + m2z = 1, то получим
порта, необходимо сначала вычислить зависимость
343
Д. А. Лифатова, А. В. Ведяев, Н. В. Рыжанова и др.
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
комплексного спинового тока Jsxy
(19) на ин-
T, 103 Э
терфейсе ФМ-электрод/изолятор от напряжения
1.5
V и угла θ, подставить его в выражение (22) и
1.0
T|| T
найти среднее значение комплексного спинового
торка 〈Txy〉. Затем необходимо определить функции
0.5
a∥(V, θ) и b⊥(V, θ) из выражений (26), которые будут
0
подставлены в уравнения (27) для интегрирования.
На рис. 2 показаны зависимости туннельных
-0.5
токов при параллельной (черные линии 1) и ан-
-1.0
типараллельной (красные линии
2) ориентациях
намагниченностей ФМ-электродов от приложенно-
–1.5
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
го напряжения. Параметры МТП-структуры бы-
y, Å
ли выбраны близкими к параметрам структуры
CoFe/MgO/CoFe исходя из данных зонных расче-
Рис. 3. Распределения параллельной T∥ и перпендикуляр-
тов [28,29] и экспериментальных данных [30,31]. Рас-
ной T⊥ компонент спинового торка в левом ФМ-электроде
чет был проведен с использованием как точной вол-
при точном решении. Параметры МТП-структуры такие
же, как и на рис. 2. Угол поворота намагниченности в пра-
новой функции в барьере (8) (сплошные линии), так
вом ФМ-электроде равен θ = π/2 (максимальный торк),
и приближенной (10) (штриховые линии). Как вид-
приложенное напряжение V = 1.5 В
но на графиках, ВКБ-приближение начинает расхо-
диться с точным решением при высоких напряже-
ниях, когда значение EF + |eV | близко к U0. Это
значительно расходится с точным решением при
хорошо видно на зависимости эффекта ТМС от на-
7
8
V > 0.5 В. Для параллельной компоненты
T∥
, на-
пряжения: при V = 1.4 В значения различаются на
оборот, приближенное решение хорошо аппроксими-
20 %.
руется полиномом a1V + a2V2, где a1 = -19.8 Э/В
На рис. 3 изображено распределение двух ком-
(-1.98 мТл/В), a2 = -16.6 Э/В2 (-1.66 мТл/В2)
понент спинового торка по левому ФМ-электроду,
и довольно сильно отличается от точного решения
рассчитанных по формуле (17) при угле θ = π/2
как для положительных, так и для отрицательных
(максимальное значение торка) и приложенном на-
напряжений |V | > 0.5 В.
пряжении V
= 1.5 В. Торк осциллирует с час-
Поскольку выбранная толщина барьера d
=
тотой k↑1 - k↓1, зависящей от напряжения, и зату-
= 1.1 нм попадает под приближение «толстого» ба-
хает, удаляясь от интерфейса [12, 14]. На расстоя-
рьера, функции a∥ и b⊥ зависят только от напря-
нии t = 1.6 нм от интерфейса, соответствующем
жения и равны соответственно действительной и
обычной толщине свободного слоя МТП-структуры,
мнимой частям 〈Txy〉, рассчитанным при θ = π/2.
торк затухает незначительно. Используя однодомен-
Следовательно, можно использовать полученные на
ное приближение, можно считать, что средний торк
рис. 4 зависимости, чтобы на их основе постро-
〈Txy〉 равномерно распределен по всей длине свобод-
ить численные интерполяционные функции, кото-
ного слоя, и можно не учитывать его зависимость от
рые будут использоваться для расчета слагаемых
координаты y.
спинового торка (26) при интегрировании уравне-
Компоненты полного спинового торка, рассчи-
ния Ландау - Лифшица (23).
танные по формуле (22) в зависимости от приложен-
ного напряжения, представлены на рис. 4. Сплош-
ные черные линии соответствуют точному реше-
5. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ
нию, а штриховые — решению в ВКБ-приближении.
СТАБИЛЬНОСТИ
Полученные зависимости аппроксимируются поли-
номом второй степени, согласно выражению (1).
Диаметр свободного слоя обычно лежит в ин-
Точное решение для перпендикулярной компонен-
тервале 80-200 нм. Для цилиндрического объекта
ты 〈T⊥〉 при θ = π/2 в заданном интервале на-
диаметром D ≈ 100 нм и толщиной t = 1.6 нм
пряжений практически совпадает с полиномом b0 +
диагональные элементы тензора размагничивающе-
+ b1V + b2V 2, где b0 = -7.9 Э (-0.79 мТл), b2 =
го фактора равны Nx = Ny = 0.025, Nz = 0.95 [32].
= -16.4 Э/В2 (-1.64 мТл/В2), а b1 стремится к ну-
Намагниченность насыщения CoFeB при комнатной
лю, что характерно для симметричной (Δ1 = Δ3)
температуре Ms = 1.3 Тл≈ 106 А/м [33]. Константа
МТП-структуры [14]. Решение в ВКБ-приближении
перпендикулярной одноосной анизотропии для сво-
344
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
Диаграммы стабильности туннельной наногетероструктуры. . .
T ,Э
ряем экспериментальную процедуру, которая напо-
минает измерение петли гистерезиса и часто при-
-10
а
ВКБ
меняется для ее получения [20, 21]. Начальное на-
T
правление намагниченности m выбирается с откло-
-20
нением в 1◦ от направления начального магнитного
поля, чтобы создать ненулевой торк в начальный
-30
момент времени. Для заданного напряжения внеш-
нее магнитное поле Hz изменяется от минимального
-40
значения -1100 Э до максимального 1100 Э с ша-
T
гом примерно 20 Э. Напряжение плавно возрастает
в течение 0.5 нс до заданного значения. Записываю-
-50
щий импульс напряжения длится 100 нс, после чего
-1.5
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
1.5
также плавно убывает до нуля в течение 0.5 нс. В
V, B
каждой точке система уравнений (27) интегрирует-
ся в течение 1 мкс, затем значения получившихся
T||, Э
–0
углов θ и ϕ сохраняются, чтобы использовать их
в дальнейшем в качестве начальных условий для
-20
ВКБ
следующего шага. После достижения максимально-
T||
–40
б
го значения поля описанная процедура повторяется
в обратном направлении — магнитное поле меняется
-60
от максимального до минимального значения. После
-80
T||
этого направление намагниченности m усредняется
–100
в каждой точке магнитного поля по двум значениям
для прямого и обратного ходов процесса.
-120
На рис. 5 представлены рассчитанные диаграм-
-140
–1.5
–1.0
–0.5
0
0.5
1.0
1.5
мы стабильности МТП-структуры, изображенной
на рис. 1, где цветом обозначено среднее значение
V, B
z-компоненты единичного вектора намагниченности
Рис. 4. (В цвете онлайн) Зависимости перпендикулярной
m свободного слоя. На диаграммах выделяются три
(а) и параллельной (б) компонент полного спинового тор-
области: с параллельной ориентацией намагничен-
ка в свободном слое (левом ФМ-электроде) при точном
ности свободного и опорного слоев (P) с минималь-
решении (сплошные линии) в ВКБ-приближении (штрихо-
ным сопротивлением, с антипараллельной ориента-
вые линии). Параметры МТП-структуры такие же, как и
цией (AP) с максимальным сопротивлением и сме-
на рис. 2. Угол поворота намагниченности в правом ФМ-
шанная область (P/AP), где могут существовать оба
электроде θ = π/2 (максимальный торк), толщина сво-
предыдущих состояния.
бодного слоя t = 1.6 нм. Тонкими красными линиями обо-
значены аппроксимации зависимостей полиномами второй
На рис. 5а для сравнения представлена диаг-
степени, согласно выражению (1)
рамма с одной параллельной компонентой спиново-
го торка a∥, линейной по напряжению. Ее форма хо-
рошо известна и изучена [20]. Две горизонтальные
параллельные границы соответствуют переключе-
бодного слоя данной толщины при комнатной тем-
нию МТП-структуры из P-конфигурации в AP-кон-
пературе составляет Ku = 6·105 Дж/м3 [33]. Фактор
фигурацию и наоборот за счет эффекта спинового
затухания Гильберта для свободного слоя подобных
торка, а две вертикальные соответствуют переклю-
МТП-структур равен α = 0.008 [34]. Вектор поляри-
чению за счет внешнего магнитного поля.
зации опорного слоя выбран в направлении, проти-
Диаграммы, использующие результат решения
воположном оси z (pz = -1).
задачи спин-зависимого транспорта в МТП-струк-
Подставляя указанные параметры в систему
туре, изображенной на рис. 1, при точном и прибли-
дифференциальных уравнений (27) и задавая на-
женном решениях представлены соответственно на
чальные условия для углов θ и ϕ, можно найти
рис. 5б и 5в. При отрицательных напряжениях гра-
ориентацию намагниченности m свободного слоя в
ница перехода из состояния P в состояние AP пе-
любой момент времени. Для построения диаграммы
рестает быть параллельной границе перехода AP-P
стабильности МТП-структуры мы численно повто-
при положительном напряжении из-за квадратич-
345
Д. А. Лифатова, А. В. Ведяев, Н. В. Рыжанова и др.
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
V, B
6. ВЫВОДЫ
1.0
а
б
P
mz
0.5
В представленной работе проведено точное ре-
1.0
P/AP
шение задачи спин-зависимого электронного транс-
0
порта в МТП-структуре в приближении свободных
-0.5
AP
0.5
электронов и проведено сравнение результатов с ре-
-1.0
шением в ВКБ-приближении. Показано, что при вы-
1.0
в
г
0
соких напряжениях (E
F + |eV | ∼ U0) эти решения
0.5
значительно расходятся. Поэтому важно использо-
0
-0.5
вать точное решение, если предполагаемое рабочее
-0.5
напряжение, для которого делается оценка пара-
-1.0
-1.0
метров МТП-структуры, попадает под данное усло-
-500
0
500
-500
0
500
вие. Также были построены диаграммы стабильнос-
H
,Э
Hz,Э
z
ти МТП-структуры, использующие вместо феноме-
нологических параметров спинового транспорта ре-
Рис. 5. (В цвете онлайн): T⊥ = -7.9 - 16.4V2 (а), T∥ =
= -19.8V - 16.6V 2 (б). Диаграммы стабильности свобод-
зультаты решения описанной выше задачи. Такие
ного слоя МТП-структуры, показывающие области с па-
диаграммы асимметричны по отношению к поляр-
раллельной ориентацией P (минимальное сопротивление),
ности приложенного напряжения, что было показа-
антипараллельной ориентацией AP (максимальное сопро-
но ранее в экспериментальных работах. Асимметрия
тивление) и смешанные области P/AP, где оба состояния
пропадает, если линейная составляющая a∥ парал-
допустимы. Диаграммы рассчитаны а) при нулевой пер-
лельного торка преобладает над квадратичной ком-
пендикулярной компоненте b⊥ = 0 и линейной по напря-
понентой, что характерно для металлов с большим
жению параллельной компоненте a∥ [Э] = -19.8V ; б) при
обменным расщеплением.
точном решении для обеих компонент торков, изображен-
ных на рис. 4 (сплошная черная линия); в) при прибли-
женном решении для обеих компонент торков, изображен-
ЛИТЕРАТУРА
ных на рис. 4 (штриховая черная линия); г) при b⊥ =
= 0 и увеличенной линейной компоненте параллельного
1. S. Ikeda, K. Miura, H. Yamamoto et al., Nature
торка a∥ [Э] = -24.0V - 16.6V2. Параметры свободно-
Mater. 9, 721 (2010).
го слоя: Nx = Ny = 0.025, Nz = 0.95, Ms = 106 А/м,
Ku = 6 · 105 Дж/м3, α = 0.008
2. H. Yoda, T. Kishi, T. Nagase et al., Current Appl.
Phys. 10, e87 (2010).
3. J. C. Slonczewski, J. Magn. Magn. Mater. 159, L1
ной зависимости параллельной компоненты спино-
(1996).
вого торка, изображенного на рис. 4б. Граница пе-
4. L. Berger, Phys. Rev. B 54, 9353 (1996).
рехода P-AP не достигает границы AP-P при от-
рицательном напряжении, так как спиновый торк
5. N. Tezuka, S. Oikawa, I. Abe et al., IEEE Magn. Lett.
уменьшается, пройдя максимум при V ≈ 0.6 В. Диа-
7, 1 (2016).
грамма, использующая приближенное решение для
6. M. Wang, W. Cai, K. Cao et al., Nature Comm. 9,
спинового торка на рис. 5в, практически совпада-
671 (2018).
ет с диаграммой на рис. 5б при положительных на-
пряжениях, однако смешанная область значительно
7. H. Sato, E. C. I. Enobio, M. Yamanouchi et al., Appl.
увеличена при V < 0 из-за меньшего значения па-
Phys. Lett. 105, 062403 (2014).
раллельного торка в ВКБ-приближении. Абсолют-
8. S.-E. Lee, Y. Takemura, and J.-G. Park, Appl. Phys.
ное значение напряжения переключения при Hz = 0
Lett. 109, 182405 (2016).
становится различным для AP-P- и P-AP-перехо-
дов. Подобная асимметрия наблюдается и в экспе-
9. D. C. Worledge, G. Hu, D. W. Abraham et al., Appl.
рименте [35]. При увеличении линейной компонен-
Phys. Lett. 98, 022501 (2011).
ты в a∥ при фиксированной квадратичной компо-
10. L. Landau and E. Lifshits, Phys. Z. der Sowjetunion
ненте данная асимметрия диаграммы уменьшается,
169, 14 (1935).
так как в этом случае при небольших напряжениях
функция a∥(V ) достаточно хорошо аппроксимиру-
11. А. К. Звездин, K. А. Звездин, А. В. Хвальковский,
ется линейной функцией.
УФН 178, 436 (2008).
346
ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019
Диаграммы стабильности туннельной наногетероструктуры. . .
12. A. Manchon, N. Ryzhanova, A. Vedyayev et al., J.
24. R. Landauer, IBM J. Res. Dev. 1, 223 (1957).
Phys.: Condens. Matter. 20, 145208 (2008).
25. M. D. Stiles and A. Zangwill, Phys. Rev. B 66, 014407
13. А. В. Ведяев, О. А. Котельникова, Л. Ю. Лысцева
(2002).
и др., ТМФ 168, 428 (2011).
26. D. M. Edwards, F. Federici, J. Mathon, and A. Umer-
14. M. Chshiev, A. Manchon, A. Kalitsov et al., Phys.
ski, Phys. Rev. B 71, 054407 (2005).
Rev. B 92, 104422 (2015).
27. A. Kalitsov, I. Theodonis, N. Kioussis et al., J. Appl.
15. I. Theodonis, N. Kioussis, A. Kalitsov et al., Phys.
Phys. 99, 08G501 (2006).
Rev. Lett. 97, 237205 (2006).
28. M. B. Stearns, J. Magn. Magn. Mater. 5, 167 (1977).
16. M. Chshiev, I. Theodonis, A. Kalitsov et al., IEEE
Trans. Magn. 44, 2543 (2008).
29. W. H. Butler, X.-G. Zhang, T. C. Schulthess, and
J. M. MacLaren, Phys. Rev. B 63, 54416 (2001).
17. A. Kalitsov, M. Chshiev, I. Theodonis et al., Phys.
Rev. B 79, 174416 (2009).
30. S. S. P. Parkin, C. Kaiser, A. Panchula et al., Nature
18. K. Bernert, V. Sluka, C. Fowley et al., Phys. Rev.
Mater. 3, 862 (2004).
B 89, 134415 (2014).
31. J. M. Teixeira, J. Ventura, J. P. Araujo et al., Phys.
19. W. Skowronski, M. Czapkiewicz, S. Zietek et al., Sci.
Rev. B 81, 134423 (2010).
Rep. 7, 10172 (2017).
32. A. Aharoni, J. Appl. Phys. 83, 3432 (1998).
20. A. A. Timopheev, R. Sousa, M. Chshiev et al., Phys.
Rev. B 92, 104430 (2015).
33. H. Sato, P. Chureemart, F. Matsukura et al., Phys.
Rev. B 98, 214428 (2018).
21. N. Strelkov, A. Timopheev, R. C. Sousa et al., Phys.
Rev. B 95, 184409 (2017).
34. T. Devolder, J. Kim, J. Swerts et al., IEEE Trans.
22. A. Manchon, N. Ryzhanova, N. Strelkov et al., J.
Magn. 54, 1 (2018).
Phys.: Condens. Matter. 19, 165212 (2007).
35. N. Strelkov, A. Chavent, A. Timopheev et al., Phys.
23. A. M. Bratkovsky, Phys. Rev. B 56, 2344 (1997).
Rev. B 98, 214410 (2018).
347
