ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 2 (8), стр. 371-378

ЭФФЕКТИВНАЯ СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ФРОНТА

ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ СОСТОЯНИЯ В КВАЗИОДНОМЕРНОЙ

НАНОСИСТЕМЕ ПРИ МНОЖЕСТВЕННОМ РОЖДЕНИИ

ДОМЕНОВ НОВОЙ ФАЗЫ

Б. В. Петухов^*

Институт кристаллографии им. А. В. Шубникова

ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» Российской академии наук

119333, Москва, Россия

Поступила в редакцию 13 марта 2019 г.,

после переработки 13 марта 2019 г.

Принята к публикации 14 марта 2019 г.

Кинетика фронтов переключения состояний играет важную роль в управлении наноустройствами и свой-

ствами многих квазиодномерных объектов в физике, химии и биологии. В активных средах этот процесс

сопровождается взаимодействием фронта переключения состояния с возбуждениями в объеме материа-

ла. Рассматривается распространение фронта переключения метастабильного состояния от границы об-

разца с поглощением спонтанно рождающихся доменов новой фазы в объеме. Решается соответствую-

щая статистико-кинетическая задача с расчетом функций распределения длин и времен «эстафетных»

пробегов границы краевого домена. Обсуждается примыкающая проблема влияния неконтролируемого

шума на распространение сигналов в линиях передач.

DOI: 10.1134/S0044451019080157

В основе всех упомянутых и еще большего чис-

ла неупомянутых случаев лежит один и тот же

сценарий. При изменении внешних условий состо-

1. ВВЕДЕНИЕ

яние многих таких систем часто становится неопти-

мальным и может сохраняться лишь как метаста-

Квазиодномерные системы играют важную роль

бильное при наличии барьера для перехода в более

в нанотехнологиях и биофизике. Примерами таких

предпочтительное состояние. Все же из-за флуктуа-

систем являются нанопроволоки и нанотрубки, маг-

ций исходное состояние распадается и имеет конеч-

нитные цепочки, молекулы ДНК, нервные волокна

ное время жизни. В достаточно совершенных про-

и т. п. [1]. Управление их свойствами требует зна-

тяженных системах распад метастабильного состоя-

ния реакции на внешние воздействия. В качестве

ния осуществляется посредством спонтанного рож-

примера можно указать на использование матери-

дения локальных зародышей, или, иначе, доменов

алов с изменяемым фазовым состоянием в токовой

нового состояния, их разрастания и слияния, как

электронике [2]. В технологии производства боль-

это описывается статистической теорией кристал-

ших интегральных схем необходимым этапом час-

лизации Колмогорова - Мела - Джонсона [5, 6]. По-

то является перевод осажденной в линейной геомет-

хожая ситуация может иметь место и при наличии

рии высокорезистивной фазы C49 соединения TiSi₂

дефектов, служащих как активными центрами за-

в низкорезистивную фазу C54 [3]. Кинетика обрати-

рождения доменов [7], так и препятствиями для их

мого перехода между кристаллической и аморфной

распространения [8].

фазами материала играет важную роль в системах

Кинетика гомогенного механизма переключения

записи и считывания информации в оптических и

состояния неограниченных систем в работах [5, 6]

электрических системах хранения данных [4].

характеризуется законом убывания доли исходной

фазы среди хаотически прорастающих доменов но-

^* E-mail: petukhov@ns.crys.ras.ru

вой фазы. В ограниченных системах определяющий

371

12*

Б. В. Петухов

ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019

вклад в кинетику переключения состояния может

давать зарождение домена на границах материа-

ла с последующим распространением его на весь

образец, что представляет гетерогенный механизм

переключения. К такой ситуации применима хо-

рошо развитая теория движения фронтов состоя-

ний [9, 10], описывающая широкий круг явлений от

Рис. 1. Схематическое представление перемещения грани-

распространения пламени или генетических мута-

цы краевого домена с поглощением флуктуационно обра-

ций до движения цивилизационных границ и т. п.

зующихся доменов новой фазы в объеме протяженного об-

В более общей ситуации имеет место конкуренция

разца. Штриховыми линиями показано состояние системы

между вкладами гетерогенного и гомогенного за-

в более ранний момент времени, сплошная линия изобра-

рождения доменов новой фазы. Например, взаимо-

жает более позднее положение фронта переключения со-

действию между фронтом состояния, возникающе-

стояния после поглощения объемного домена. Цифрами 1

и 2 отмечены положения измерительных датчиков

го или искусственно создаваемого на границе си-

стемы с флуктуационными доменами нового состоя-

ния в объеме уделяется большое внимание при изу-

чении распространения сигналов в линиях передач

кинки, топологические солитоны, фазовые границы,

[11]. Влиянию создающих флуктуации шумов на ре-

форки и т. п. С точки зрения изучаемой кинетики,

лаксацию систем к новому состоянию или на рас-

эти объекты подобны, и для определенности они бу-

пространение сигналов в линиях передач посвящено

дут фигурировать в настоящей работе под едино-

много работ, см. например, [12, 13]. Стохастическая

образным названием доменной границы. В после-

динамика возбуждений в длинных одномерных це-

дующем расчете кинетика переключения состояния

почках обсуждалась в работе [14] в связи с пробле-

будет описываться в терминах теории Колмогоро-

мой высокоэффективной передачи энергии между

ва - Мела - Джонсона [5, 6] всего двумя параметра-

реактивными центрами в фундаментальных биофи-

ми — скоростью v перемещения доменной стенки

зических процессах.

под действием внешней движущей силы и средней

частотой J стохастического образования зародышей

Целью настоящей работы является расчет стати-

стических характеристик кинетики переключения

доменов нового состояния на единице длины систе-

мы. Зависимости процесса от прочих физических

метастабильных состояний протяженных квазиод-

параметров — температуры, внешних полей, их ори-

номерных систем при совместном действии гетеро-

ентации, структурных характеристик и т. п. — будут

генного и гомогенного механизмов возникновения

входить только через комбинированные параметры

доменов новой фазы. Изучаемое явление являет-

ся разновидностью так называемых стохастического

v и J.

резонанса или более общего стохастического усиле-

Изучаемый вопрос заключается в том, как на

ния, широко обсуждаемых в недавнее время [15-17].

расширение краевого домена влияют флуктуации,

Полученное в настоящей работе точное решение со-

приводящие к спонтанному образованию доменов

ответствующей статистико-кинетической задачи мо-

нового состояния в глубине протяженной системы.

жет пролить дополнительный свет на это явление.

Для простоты будем рассматривать полубесконеч-

ную систему, условно расположенную горизонталь-

но с границей, находящейся на левом краю (рис. 1).

Более детальная по сравнению с описанием тео-

2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

рии Колмогорова - Мела - Джонсона [5,6] простран-

Рассматривается протяженная одномерная си-

ственно-временная картина развития нового состо-

стема, до момента времени t

= 0 поддерживае-

яния в бесконечной одномерной системе изучалась

мая в одном из возможных однородных состояний.

в работах [18-20], и мы воспользуемся некоторыми

Природа системы может быть самой разнообразной

полученными там результатами.

и относиться к различным областям физики, хи-

Одна из нужных нам характеристик — плот-

мии, биофизики и др. Описываемая далее картина

ность непереключенных сегментов данной длины,

является весьма общей для систем с протяженно-

рассчитанная в работе [19] путем решения кинетиче-

стью, намного превышающей типичные размеры ло-

ского уравнения, — может быть найдена более эле-

кальных возмущений, которые в разных дисципли-

ментарно. Воспроизведем такой упрощенный рас-

нах носят различные названия — доменные стенки,

чет, следуя работе [21].

372

ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019

Эффективная скорость движения фронта.. .

Согласно изложенной в работе [5] теории, доля

каждый интервал в этом произведении будет учи-

исходной фазы убывает со временем как exp(-vJt²),

тываться столько раз, сколько в нем ячеек. Поэто-

что представляет собой вероятность какой-либо точ-

му число разных интервалов получается делением

ке системы не быть к моменту времени t захвачен-

N_Lp₁(x, t)Δx на n. Чтобы найти число таких интер-

ной новой фазой. В одномерной системе вероятность

валов на единице длины системы, следует поделить

того, что с какой-либо стороны, например справа от

эту величину на L. В результате имеем

данной точки, интервал длиной, превышающей x₁,

(Jt)² exp(-Jtx)Q²(t)Δx,

не будет захвачен до времени t родившимся с этой

стороны доменом новой фазы, может быть записа-

т. е., возвращаясь к континуальному описанию, по-

на как произведение вероятности exp(-x₁Jt) заро-

лучаем, что вероятность встретить свободный ин-

дышу не возникнуть на длине x₁ за время t и ве-

тервал длиной от x до x + dx в расчете на единицу

роятности Q(t) = exp(-vJt²/2) того, что граница

длины равна

интервала не будет до времени t захвачена доменом,

родившимся справа от нее. Продифференцируем это

f (x, t) dx = (Jt)² exp(-Jtx)Q²(t) dx.

(2)

произведение exp(-x₁Jt)Q(t) по x₁ и получим веро-

Полная плотность свободных интервалов всех длин,

ятность иметь справа свободный интервал длиной

N (t), находится интегрированием по x и равна

от x₁ до x₁ + dx₁ в виде

Jtexp(-x₁Jt)Q(t)dx₁.

N (t) = JtQ²(t).

Аналогично и слева для интервала между x₂ и x₂ +

Нормированная на единицу вероятность встретить

+ dx₂. Плотность вероятности данной точке принад-

свободный интервал длиной от x до x + dx есть

лежать интервалу длиной от x до x + dx для любых

f (x, t) dx/N(t) = Jt exp(-xJt) dx.

(3)

x₁ и x₂ есть

∞

Из выражения (2) следует, в частности, что плот-

∫∞

∫

ность свободных интервалов минимального размера

p₁(x, t) = dx₁ dx₂δ(x₁ + x₂ - x)×

на единицу длины системы, т. е. концентрация доме-

нов новой фазы, сталкивающихся в течение времени

× exp[-J(x₁ + x₂)t](Jt)²Q²(t) =

dt, есть

= (Jt)²x exp(-xJt)Q²(t).

(1)

f (0, t) = (Jt)² exp(-vJt²) · 2v dt.

Отметим, что вероятность данной точке принадле-

жать хоть какому-то свободному интервалу равна

Это будет использовано ниже при записи кинетичес-

интегралу от p₁(x, t) по всем x, что дает

кого уравнения, описывающего перемещение фрон-

та переключения состояния.

Q²(t) = exp(-vJt²),

т. е. просто долю исходной фазы, как и должно быть.

3. КИНЕТИКА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ФРОНТА

Найдем плотность распределения свободных

ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

промежутков между доменами новой фазы данного

размера в другой нормировке

— в расчете на

Будем называть доменную стенку, наследующую

единицу длины системы. Используемая ниже схема

границу краевого домена (возможно, после коалес-

расчета упрощает переход к интересующей нас

ценции с объемными доменами), фронтом переклю-

величине от вычисленной выше функции p₁(x, t) по

чения состояния. В процессе перехода система будет

сравнению с теми подходами, которые встречаются

представлять собой чередование участков исходной

в литературе.

фазы и флуктуационно-зарождающейся новой фа-

Разобьем интервал x на ячейки малой длины Δx.

зы. Примыкающий к границе участок может счи-

Их число в данном интервале есть примерно n ≈

таться перешедшим в новое состояние после того,

≈ x/Δx. Вероятность данной ячейке принадлежать

как он будет полностью «заметен» фронтом пере-

свободному интервалу из n ячеек есть p₁(x, t)Δx.

ключения и в результате станет односвязным доме-

Пусть длина системы есть L ≈ N_LΔx, где N_L —

ном. Перемещение фронта переключения с учетом

число ячеек в системе. Подсчитаем полное число на

столкновений со случайно-образующимися во вре-

этой длине свободных интервалов из n ячеек. Ес-

мени и пространстве доменами новой фазы пред-

ли мы умножим вероятность p₁(x, t)Δx на N_L, то

ставляет собой стохастический процесс и должен,

373

Б. В. Петухов

ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019

вообще говоря, характеризоваться вероятностью на-

обозначаться как p_b(x, t). Нормировка несингуляр-

хождения границы в момент t в интервале между x

ной части, дополняющая вклад сингулярной части,

и x + dx.

меньше единицы:

Найдем, в первую очередь, кинетику затухания

∞

∫

со временем вероятности того, что фронт не пре-

dx p_b(x, t) = 1 - exp(-Jvt²).

терпевает столкновений. Ясно, что зародыши, рож-

дающиеся при x > 2vt, вообще «не опасны», т. е.

не приведут к столкновению с фронтом до момента

Для последующего расчета величины p_b(x, t),

времени t. Таким образом, следует ограничиться со-

представляющего основную цель работы, понадо-

бытиями на отрезке x < 2vt. Рассмотрим зародыш,

бится также граничное значение p_b(vt, t). Вероят-

возникающий в некоторый момент t^′ в точке x^′. За-

ность того, что граница находится непосредствен-

родыши на длине vt все опасны, но только интервал

но за x = vt, определяется единичным рождением

vt-vt^′ свободен для рождения к моменту t^′. Вероят-

зародыша непосредственно перед границей в малом

ность того, что здесь зародыш не возникнет, равна

интервале Δx в любой момент времени между 0 и t

при условии в остальном свободного распростране-

⎛

⎞

⎡

⎤

∫

ния границы между 0 и t, т. е. равна

exp^⎝-J dt^′ dx^′⎠ = exp⎣-Jv dt^′(t-t^′)⎦ =

J tΔx exp(-vJt²).

vt^′

(

)

Jvt²

Следовательно,

= exp

(4)

p_b(vt, t) = Jt exp(-vJt²).

Опасными являются также зародыши, рождающие-

ся при vt < x < 2vt, если за оставшееся время t - t^′

Вероятность p_b(x, t) краевой доменной стенке

они успеют добежать до x = vt. Длина их пробега

быть в момент t в интервале между x и x + dx при

v(t - t^′) должна быть больше расстояния до x = vt,

x > vt, т.е. несингулярная часть, подчиняется кине-

т. е. должно выполняться условие

тическому уравнению

∂p_b(x, t)

2vf(0, t)

v(t - t^′) > x^′ - vt

= -v

p_b(x, t)+

∂t

∂x

N (t)

или

∫x

2vf(0, t)

x′ < 2vt - vt^′.

g(x - x^′, t) ×

N²(t)

Вероятность того, что такие зародыши не возник-

[

]

p_b(x^′, t) + exp(-Jvt²)δ(x^′ - vt)

dx^′ =

нут, есть

∂p_b(x, t)

⎛

⎞

= -v

- 2vJtp_b(x, t) + 2v exp(vJt²)×

∫

(

)

∂x

Jvt²

∫

exp^⎝-J dt^′

dx^′⎠ = exp

g(x - x^′, t)p_b(x^′, t) dx^′ + 2vg(x - vt, t).

(5)

Учитывая обе возможности, получаем вероятность

Первое слагаемое в правой части уравнения (5) опи-

того, что опасный зародыш не образуется, т. е. веро-

сывает свободный рост краевого домена, второе сла-

ятность отсутствия столкновений фронта с объем-

гаемое представляет уход домена данного размера в

ным доменом до времени t, равную exp(-Jvt²), что

большие размеры из-за столкновений с объемными

довольно естественно. Таким образом, сингулярный

доменами, интеграл описывает образование домена

вклад в плотность вероятности фронту быть в ин-

данного размера вследствие коалесценции краевого

тервале dx вблизи vt есть

> vt,

и объемного доменов меньших размеров при x^′

последнее слагаемое описывает вклад фронта, не ис-

exp(-Jvt²)δ(x - vt).

пытывавшего до этого столкновений, т. е. сингуляр-

Столкновения краевого домена с объемными при-

ной части плотности вероятности положения фрон-

водят также к наличию вероятности фронту на-

та. Начальное условие есть

ходиться при x

> vt, описываемой несингуляр-

ной частью функции распределения, которая будет

p_b(x, t = 0) = δ(x).

374

ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019

Эффективная скорость движения фронта.. .

p (x_b)

g(x)

0.4

1.0

0.9

0.3

0.8

0.7

0.2

0.6

1.0

0.5

0.9

0.1

0.8

0.1

0.7

0.6

0.5

x/x₀

Рис. 2. a) Плотность вероятности p_b(x, t) положений границы краевого домена (фронта переключения состояния) в

различные моменты безразмерного времени t/t0, указанные цифрами около кривых. б) Плотность вероятности g(x,t)

размеров объемных доменов новой фазы в расчете на единицу длины си√емы в разл√ные моменты времени t/t0.

Масштабные множители здесь и далее есть x0 =

v/J, t0 = 1/

Очевидно также, что p_b(x, t) = 0, если x меньше де-

и преобразуем почленно трансформированное к дви-

терминированного предела vt распространения кра-

жущейся системе уравнение (5):

евого домена ко времени t. Описание процессов ко-

dp_b(s, t)

алесценции краевого домена с объемными прово-

= -2vJtp_b(s, t) + 2v exp(vJt²)×

дится с помощью функции g(x, t), представляющей

плотность вероятности встретить на единице длины

× ĝ(s, t)p_b(s, t) + 2vĝ(s, t).

(6)

системы домен нового состояния размером между x

Решение этого уравнения выражается через лапла-

и x+dx. Эта функция для неограниченной одномер-

совский образ

ной системы изучалась в работе [18].

∞

∫

Уравнение (5) позволяет рассчитывать стохасти-

ческую кинетику перемещения фронта переключе-

ĝ(s, t) = dx exp(-sx)g(x, t)

ния состояния системы. Эволюция распределения

длин пробегов фронта, найденная численным реше-

как

нием уравнения (5), продемонстрирована на рис. 2a.

На рис. 2б для полноты картины проиллюстриро-

pb(s, t) = - exp(-vJt²) +

⎡

⎤

вано решение приведенного в работе [18] уравне-

∫

ния для распределения размеров объемных доменов

+ exp^⎣-vJt² + 2v dt^′ exp(vJt′2)ĝ(s, t^′)⎦ .

(7)

g(x, t).

Лапласовский образ плотности вероятности

спонтанно образовавшихся доменов нового состоя-

4. РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО

ния был вычислен в работе [18] и равен

УРАВНЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ

ЛАПЛАСА

ĝ(s, t) = exp(-vJt²) ×

⎧

⎨

Уравнение (5) может быть решено в представле-

× s + Jt - pexp(2vst + vJt²) ×

нии Лапласа. Обозначим лапласовский образ p_b(x, t)

⎩

в движущейся системе координат как

⎡

⎤-1⎫

∫

⎬

∫∞

× ⎣1 + 2vs

dt^′ exp(2vst^′ + vJt′2)⎦

(8)

⎭

pb(s, t) = dx exp(-sx)pb(x, t)

375

Б. В. Петухов

ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019

Вычисляя с этим ĝ(s, t) интеграл в выражении (7),

— интеграл вероятности мнимого аргумента.

получаем

Асимптотики при больших и малых временах

есть, соответственно,

pb(s, t) = - exp(-vJt²) + exp(2vts) ×

⎡

⎤-1

⎧

∫t

⎪

exp(vJt²), t → ∞,

×^⎣1 + 2vs dt^′ exp(2vst^′ + vJt′2)⎦

(9)

〈x〉 ≈

⎩

v²Jt³,

t → 0.

Сравнение выражений (8) и (9) для лапласовс-

ких образов p_b(s, t) и ĝ(s, t) приводит к соотноше-

Аналогичным образом вычисляемое среднеквад-

нию

ратичное смещение есть

ĝ(s, t)

[

]

pb(s, t) = -

+ (Jt/s) exp(-vJt²).

〈x²〉 - 〈x〉² = -4

exp(vJt²) - 1

⎡

⎤₂

Отсюда для оригиналов следует простое соответ-

∫

ствие:

+ 4v² ⎣ dt^′ exp(vJt′2)⎦ .

(12)

p_b(x, t) = G(x, t),

(10)

где

При больших временах t → ∞

∫∞

G(x, t) = g(x^′, t) dx^′

〈x²〉 - 〈x〉² ≈

exp(2vJt²),

J²t²

— вероятность встретить на единице длины домен

при малых временах t → 0

новой фазы размером, превышающим x.

〈x2〉 - 〈x〉2 ≈

v³Jt⁴.

5. СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ФРОНТА

Изучим распределение больших смещений фрон-

ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

та переключения состояния. Асимптотика обратно-

Как обычно, лапласовский образ p_b(s, t) пред-

го преобразования Лапласа от p_b(s, t) при больших

ставляет собой производящую функцию, позволяю-

смещениях фронта определяется ближайшей к мни-

щую находить средние характеристики, или, иначе,

мой оси особенностью лапласовского изображения в

моменты распределения пробегов фронта переклю-

левой полуплоскости комплексных значений s. Эта

чения состояния сверх детерминированной состав-

особенность s = s₀ отвечает нулю знаменателя в вы-

ляющей vt:

ражении (9) для p_b(s, t) и находится из уравнения

∫∞



dⁿ p_b(s, t)

∫t

〈xⁿ〉 =

dx xⁿp_b(x, t) = (-1)ⁿ



dsⁿ

1 + 2vs dt′ exp(2vst^′ + vJt′2) = 0,

(13)

s=0

Вычислим среднее флуктуационное смещение фрон-

та переключения состояния, распространяющегося

совпадающего с исследованным в работе [17], поэто-

от границы системы и представляющего собой до-

му мы не будем входить в подробности. Ограничим-

бавку к детерминированной составляющей vt:

ся графической иллюстрацией поведения величины

1/s₀, представляющей собой характерный размер



∫

dp_b(s, t)

убывания распределения больших смещений фрон-

〈x〉 = -



= 2v dt^′ exp(vJt′2)-2vt =



та p_b(x, t) ∝ exp(-s₀x) на рис. 3. Кружками изоб-

s=0

ражено поведение среднего смещения фронта, да-

√

(√

)

πv

ваемого уравнением (11). Эти зависимости не тож-

erfi

vJ t

- 2vt.

(11)

дественны, но, как можно видеть, разница между

ними невелика. Рисунок 3 наглядно иллюстрирует

Здесь

∫z

резкое ускорение движения за счет взаимодействия

erfi(z) =

dz^′ exp(z′2)

с флуктуационно возникающими перед фронтом пе-

√π

реключения состояния доменами новой фазы.

376

ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019

Эффективная скорость движения фронта.. .

x/x₀

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.5

1.0

1.5

2.0

t/t₀

Рис.

4. Зависимость от времени вероятности P

∫_∞

Рис. 3. Зависимость среднего пробега фронта переклю-

dx^′p_b(x^′) преодоления фронтом определенного рас-

чения состояния от времени (кружки). Сплошная линия

стояния x (в данном случае x = x0). Штриховая ли-

изображает характерный размер 1/s0 убывания вероятно-

ния представляет зависимость от времени вероятности

сти больших смещений фронта

1 - exp(-vJt²) того, что граница участка при x < vt ока-

зывается в новой фазе

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе решается задача о пере-

В экспериментах часто измеряют время преодо-

ключении состояния квазиодномерной системы по

ления фронтом переключения состояния определен-

совместному гетерогенно-гомогенному механизму.

ного расстояния. Это роднит решаемую в настоящей

Фронт переключения зарождается на границе и рас-

работе задачу с проблемой прохождения сигнала в

пространяется в глубь образца, находящегося в ме-

линиях передачи информации. Вероятность преодо-

тастабильном состоянии. Взаимодействие фронта со

ления фронтом расстояния, превышающего опреде-

спонтанно зарождающимися доменами новой фа-

ленное расстояние x, равная

зы в объеме делает процесс переключения случай-

∫∞

ным и описывается вероятностным образом. При

P (x, t) = dx^′p_b(x^′, t),

столкновении краевого домена с объемным послед-

ний поглощается и размер краевого домена скач-

ком прирастает на его ширину. В результате поло-

определяет распределение времен пролета. На рис. 4

жение фронта переключения состояния «эстафет-

проиллюстрирована имеющая место типичная зави-

ным» образом смещается в положение границы по-

симость такого типа. При t < x/v расстояние x мо-

глощаемого домена. Этот механизм ускорения дви-

жет быть преодолено только за счет столкновений с

жения краевой доменной стенки моделирует сто-

флуктуационными возбуждениями перед фронтом,

хастическое усиление, которое широко обсуждает-

вероятность возникновения которых меньше едини-

ся применительно к электрическим цепям, химиче-

цы. При t > x/v точка x преодолевается фрон-

ским реакциям, полупроводниковым устройствам,

том даже без помощи дополнительных возбужде-

нелинейным оптическим системам, магнитным сис-

ний, т. е. с вероятностью 1. Скачок при t = x/v ра-

темам, СКВИД-магнетометрам и неврофизиологи-

вен exp(-vJt²), что соответствует вероятности сво-

ческим экспериментам [15-17], однако до сих пор не

бодного (т. е. в отсутствие столкновений) движения

имеет достаточно полного количественного описа-

фронта.

ния. В настоящей работе для частичного восполне-

Возможность прохождения сигнала, приклады-

ния этого пробела использовано кинетическое урав-

ваемого на одном конце протяженной одномерной

нение для функции распределения смещений крае-

системы, до другого конца за время, меньшее вре-

вой доменной стенки, являющейся фронтом пере-

мени свободного движения, как уже отмечалось, ин-

ключения состояния в квазиодномерной системе. С

тенсивно обсуждалась в электронике, биофизике и

помощью этого уравнения рассчитаны различные

других областях [15-17]. Компьютерное моделиро-

статистические характеристики процесса переклю-

вание в работе [22] привело к получению полезных

чения состояния, дающие представление о прост-

представлений о закономерностях процесса в зави-

ранственно-временной картине явления.

симости от параметров системы. В том числе было

377

Б. В. Петухов

ЖЭТФ, том 156, вып. 2 (8), 2019

продемонстрировано возникновение новых доменов

ЛИТЕРАТУРА

перед движущейся от границы доменной стенкой,

One-Dimensional Nanostructures, Lecture Notes

как это предполагается в механизме, рассматривае-

in Nanoscale Science and Technology, еd. by

мом в настоящей работе.

Z. M. Wang, Springer, New York (2008).

Интересный способ аналогового моделирования

G. W. Burr, M. J. Breitwisch, M. Franceschini et al.,

этого явления с помощью цепочки из десятков свя-

J. Vacuum Sci. Technol. B 28, 223 (2010).

занных резонаторов был реализован в работе [11] и

других. Каждый резонатор соединялся с генерато-

J. A. Kittl and Q. Z. Hang, Thin Solid Films.

ром случайного шума, при варьировании интенсив-

290-291, 473 (1996).

ности которого можно было изменять в итоге ве-

X. Sun, B. Yu, G. Ng, and M. Meyyappan, in [1],

роятность прохождения сигнала через цепочку. Ин-

Vol. 3, p. 273.

тенсивность шума играет роль, подобную частоте J

A. Н. Колмогоpов, Изв. AН СССP, сеp. мaт. 3, 355

образования зародышей новой фазы в рассматри-

(1937).

ваемой проблеме. Данные моделирования наглядно

демонстрируют стохастическое ускорение прохож-

W. A. Johnson and P. A. Mehl, Trans. AIMME 135,

дения фронта в качественном соответствии с резуль-

416 (1939).

татами настоящей работы.

M. Avramy, J. Chem. Phys. 7, 1103 (1939).

Проблемой при изучении влияния шума на про-

Б. В. Петухов, ЖЭТФ 141, 1130 (2012).

хождение сигнала является не всегда имеющаяся

возможность отличить полезный сигнал, «наследуе-

A. S. Mikhailov, L. Schimansky-Geier, and W. Ebe-

ling, Phys. Lett. A 96, 453 (1983).

мый» от прикладываемого, например на левой гра-

нице участка цепи, от не связанного с ним «пара-

10.

J. Fort and T. Pujol, Rep. Progr. Phys. 71, 086001

зитического» [23]. В представленной модели веро-

(2008).

ятность поглощения правой границы участка новой

11.

M. Löcher, D. Cigna, and E. R. Hunt, Phys. Rev.

фазой ко времени t есть 1 - exp(-vJt²), что пре-

Lett. 80, 5212 (1998).

вышает вероятность достижения этой границы, ес-

ли длина участка меньше vt, фронтом переключе-

12.

J. Garcia-Ojalvo and J. M. Sancho, Noise in Spatially

ния, как это иллюстрируется на рис. 4. Однако это

Extended Systems, Springer Science + Business Me-

dia, New York (1999).

не соответствует полному переключению состояния

рассматриваемого участка, так как остаются пробе-

13.

М. К. Верма, А. Кумар, А. Паттанаяк, ЖЭТФ

лы, находящиеся по-прежнему в исходном состоя-

154, 641 (2018).

нии. Полный переход в новое состояние реализует-

14.

В. А. Бендерский, Е. И. Кац, ЖЭТФ 143, 5 (2013).

ся при прохождении границы участка фронтом пе-

реключения, вероятность чего определяется рассчи-

15.

В. С. Анищенко, А. Б. Нейман, Ф. Мосс, Л. Ши-

тываемой в настоящей работе функцией p_b(x, t).

манский-Гайер, УФН 169, 7 (1999).

Таким образом, в экспериментах следует прини-

16.

L. Gammaitoni, P. Hänggi, P. Jung, and F. Marche-

мать специальные меры для проверки связности об-

soni, Eur. Phys. J. B 69, 1 (2009).

разующегося нового состояния. В упоминаемых вы-

17.

M. D. McDonnell and D. Abbott, PLOS Comput.

ше материалах типа халькогенидов TiSi₂ [3] связ-

Biol. 5, e1000348 (2009).

ность перехода в низкорезистивное состояние лег-

18.

K. Sekimoto, Physica A 128, 132 (1984).

ко проверяется возникновением протекания элек-

трического тока. Подобная проверка гарантирует

19.

K. Sekimoto, Physica A 125, 261 (1984).

истинность наблюдаемого стохастического ускоре-

20.

E. Ben-Naim and P. L. Krapivsky, Phys. Rev. 54,

ния фронта переключения состояния системы и кон-

3562 (1996).

структивного вклада флуктуаций.

21.

Б. В. Петухов, ФТП 47, 613 (2013).

Подводя итог, можно сказать, что основным ре-

зультатом настоящей работы является расчет стоха-

22.

S. Allende, D. Altbir, E. Salcedo et al., J. Appl. Phys.

стического ускорения движения фронта переключе-

104, 013907 (2008).

ния состояния и установление его соотношения с ки-

23.

H. Chen, P. K. Varshney, S. M. Kay, and J. H. Mi-

нетикой распада исходной фазы в метастабильных

chels, IEEE Trans. Signal Proc. 55, 3172 (2007).

квазиодномерных системах.

378