ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 3 (9), стр. 407-418

МЕТОД ЭФФЕКТИВНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА

В ТЕРМОДИНАМИКЕ ДВУХ РЕЗОНАНСНО

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ КВАНТОВЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

А. И. Трубилкоa*, А. М. Башаровb,c**

^a Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

196105, Санкт-Петербург, Россия

^b Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^c Московский физико-технический институт (технический университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 15 марта 2019 г.,

после переработки 15 марта 2019 г.

Принята к публикации 2 апреля 2019 г.

Классическая задача о двух резонансно взаимодействующих осцилляторах, каждый из которых резо-

нансно связан со «своим» термостатом, исследована на основе метода эффективного гамильтониана и

квантового стохастического дифференциального уравнения (в противоположность известным «глобаль-

ному» и «локальному» подходам). Показано, что во втором порядке алгебраической теории возмущений

каждый из осцилляторов оказывается также связанным с «чужим» термостатом. Вычислены тепловые

потоки в стационарном состоянии и доказано, что никакого теплового потока от холодного термостата

к горячему, о чем свидетельствуют некоторые результаты локального подхода, не возникает.

DOI: 10.1134/S0044451019090037

[5], молекулярных, ионных и твердотельных систе-

мах [6-8]. Именно такие системы разной физической

природы, как предполагается, могут служить основ-

1. ВВЕДЕНИЕ

ными базовыми элементами квантовых сетей, связь

между элементами в которой осуществляется по-

средством организации различного рода взаимодей-

В последнее время наблюдается интерес к облас-

ствий между ними. Они же могут служить основой

ти, получившей название квантовая термодинами-

квантовых рефрижераторов [9] и квантовых тепло-

ка. С одной стороны, он обусловлен фундаменталь-

вых машин [10-13]. При этом каждый элемент си-

ным аспектом, связанным с возможностью непо-

стемы необратимым образом взаимодействует и со

средственного получения термодинамических зако-

своим окружением. В этой связи центральной при

нов из квантовых динамических уравнений движе-

описании является задача получения кинетического

ния. С другой стороны, он определен и чисто прак-

уравнения для открытой квантовой системы, кото-

тическими интересами — описание переноса энергии

рая отвечает реализованным физическим условиям.

в квантовых устройствах является принципиальным

вопросом для целей новых технологий и создания

В вопросе получения/применения кинетического

термодинамических устройств, определенных про-

уравнения следует различать подходы математиков

явлением квантовой природы взаимодействий. В ка-

честве примеров приведем исследование квантово-

и физиков. Математики начинают с абстрактных

общих представлений о кинетическом уравнении и

го транспорта в физических системах, например,

в ультрахолодных атомах [1-4], квантовых точках

привлекают те или иные модельные операторы вза-

имодействия [14-17]. Физики в каждой конкретной

^* E-mail: trubilko.andrey@gmail.com

физической задаче строят адекватный эффектив-

^** E-mail: basharov@gmail.com

ный гамильтониан и операторы взаимодействия, вы-

407

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

водя далее кинетические уравнения для рассматри-

модействующих с окружающими их термостатами,

ваемой задачи [18,19]. В итоге, и те и другие гово-

используют два подхода — локальный и глобаль-

рят о кинетическом уравнении в форме Линдбла-

ный [23]. В локальном подходе взаимодействие меж-

да, однако реальные условия применимости уравне-

ду одинаковыми системами носит резонансный ха-

ния могут быть разными в различных подходах, что

рактер и описывается известным гамильтонианом,

приводит к рассмотрению следствий из решения за-

отвечающим использованию приближения вращаю-

дач за пределами их применимости. Этим, на взгляд

щихся волн. Стационарные решения динамических

авторов данной статьи, обусловлена часть термоди-

уравнений подсистем определяют термодинамичес-

намических парадоксов. Пример будет рассмотрен

кие потоки. В работе [23] утверждается, что при

ниже.

определенном неравенстве между отношениями соб-

ственной энергии к его энергетической температу-

Одной из простых исследуемых моделей являет-

ре для двух осцилляторов возможно возникновение

ся модель, в которой два связанных между собой

ненулевого потока энергии от холодного резервуара

квантовомеханических осциллятора взаимодейству-

к горячему, что естественно нарушает второе нача-

ют с окружающими их термостатами. В качестве по-

ло термодинамики. При этом авторы [23] не при-

следних могут быть использованы системы, состоя-

меняют к полученному результату никаких ограни-

щие из большого числа осцилляторов, находящих-

чений частот фотонов (бозонов) термостатных по-

ся в равновесном состоянии и взаимодействующих

лей, и поэтому в результате решения как бы точных

с выделенной системой квазирезонансным образом.

уравнений появляется поток энергии от холодного

В условиях слабого и марковского характера вза-

термостата к более горячему через открытую сис-

имодействия, когда состояние термостата не изме-

тему. Выход из противоречия авторы [23] нашли,

няется, состояние анализируемой системы описыва-

применяя глобальный подход, сводящийся к диа-

ется кинетическим уравнением в форме Линдблада

гонализации полного гамильтониана осцилляторов.

[20, 21], вид которого универсален и не зависит от

Изменяющаяся при этом диссипативная часть ки-

физической природы диссипирующей системы. Ис-

нетического уравнения учитывает малые влияния

следования динамики подобных открытых осцилля-

отдельного осциллятора на термостат соседнего ос-

торных систем в последнее время сопровождается

циллятора, что приводит, по мнению авторов, к вос-

активным обсуждением вопроса о выполнении за-

становлению справедливости второго начала.

конов термодинамики в квантовом мире.

В работе [24] рассмотрена близкая задача, где в

Другие системы — открытые осцилляторные сис-

качестве системы для переноса энергии между тер-

темы здесь выделяются по следующим причинам. С

мостатами выбраны два двухуровневых атома, свя-

одной стороны, речь идет о широко распространен-

занные между собой модельным взаимодействием,

ных и реализуемых на практике моделях типа одно-

которое ничем не обосновано. Для получения урав-

модовых резонаторов, электромагнитные поля кото-

нения в рамках глобального подхода предлагается

рых связаны на зеркалах с полями других одномодо-

построение базиса на основе последовательных при-

вых резонаторов и/или с широкополосными стаци-

ближений по константе взаимодействия атомов. Это

онарными электромагнитными полями. Состояние

является, по сути, разложением по указанной конс-

стационарных электромагнитных полей характери-

танте диагонализованного гамильтониана всей сис-

зуется температурой (и мы будем их именовать тер-

темы.

мостатными полями с заданной температурой), при-

чем сами широкополосные электромагнитные поля

Следует особо выделить и подчеркнуть, что при

эффективно продуцируются лазерами и параметри-

рассмотрении эволюции любой физической системы

ческими генераторами. С другой стороны, гамиль-

в той или иной степени всегда существует ее связь с

тониан таких систем — открытой системы, к кото-

внешним окружением, которая описывается посред-

рой относим несколько мод резонаторов, и ее окру-

ством кинетического уравнения (master equation)

жения (термостатные поля), — квадратичен по бо-

рассматриваемой подсистемы. Построение модели

зонным операторам и имеются методы, начиная от

такого взаимодействия с окружением часто сопро-

преобразования Боголюбова, обеспечивающие отно-

вождается добавлением феноменологических слага-

сительно простую диагонализацию таких гамильто-

емых, якобы описывающих те или иные виды релак-

нианов [22].

сации и декогерентизации, без строго вывода урав-

Для описания системы из двух связанных меж-

нения из первых принципов. Однако такой подход,

ду собой квантовомеханических осцилляторов, взаи-

как впервые было отмечено еще в работе [25], мо-

408

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Метод эффективного гамильтониана в термодинамике...

†

жет приводить к неверным физическим результа-

a ,a

b ,b

там и парадоксам. В частности, в цитированной ра-

боте указывалось на нефизическое стационарное со-

стояние сильно связанных квантовых систем. Этот

факт также отмечен в работе [26], где исследова-

на диссипация средних характеристик и запутыва-

Связь на границе

ния двух сильно связанных осцилляторов. Именно

поэтому при выводе основного уравнения динами-

Наглядное представление двух взаимодействующих между

собой фотонных мод, каждая из которых взаимодействует

ки подсистемы, взаимодействующей с окружением

на зеркале со своим термостатом

необратимым образом, всегда следует исходить из

первых принципов для его построения, чтобы ис-

ключить последующие возможные артефакты и па-

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ

радоксы.

ЭФФЕКТИВНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН

В настоящей работе мы рассматриваем вопрос

переноса энергии в описанной выше задаче двух

Пусть имеется два связанных между собой одно-

сильно связанных осцилляторов на основе получе-

модовых резонатора, каждый из которых на зеркале

ния кинетического управляющего уравнения для си-

взаимодействует (накачивается или распадается) со

стемы методом эффективного гамильтониана и сто-

своим термостатным полем (см. рисунок). Обозна-

хастических дифференциальных уравнений (СДУ).

чим частоты мод осцилляторов через ω_c и ω_r, опе-

Заметим, что опора на диагональный гамильтониан

раторы уничтожения квантов соответственно c и r,

в случае многих степеней свободы часто затушевы-

операторы уничтожения квантов частоты ω термо-

вает физические процессы, развивающиеся в слож-

статных полей a_ω и b_ω. Все они являются оператора-

ной системе, а в условиях марковского приближе-

ми, удовлетворяющими бозонным коммутационным

ния является и превышением точности. Кроме то-

соотношениям, и при этом коммутируют друг с дру-

го, обычная теория возмущений в системах, взаи-

гом.

модействующих резонансным образом, приводит к

Будем рассматривать указанные взаимодейству-

нулевым знаменателям и расходящимся рядам, по-

ющие осцилляторы на основе следующего исходного

этому в теории открытых квантовых систем исполь-

стандартного гамильтониана H^Ini:

зуются различные варианты метода эффективного

гамильтониана. Наш вариант метода эффективного

H^Ini = H₀ + V_c-r + V_c + V_r,

гамильтониана является алгебраическим аналогом

метода усреднения Боголюбова - Крылова - Митро-

включающего гамильтониан осцилляторов и термо-

польского, основного метода упрощения уравнений

статных полей в отсутствие взаимодействия,

нелинейной и квантовой оптики, содержащих быст-

∑

H₀ = ℏω_cc^†c + ℏω_rr^†r+ ℏωa^†ωa_ω+ ℏωb^†ωb_ω,

ро и медленно меняющиеся во времени величины.

Алгебраический вариант метода Боголюбова - Кры-

лова - Митропольского называют также алгебраиче-

и операторы их взаимодействия

ской теорией возмущений [27].

∑

Применение алгебраической теории возмущений

V_c-r = g(c+c^†)(r+r^†),

V_c = γ_c (c+c^†)(a_ω+a^†ω),

накладывает определенные ограничения на часто-

ты термостатных полей, в результате которых про-

∑

V_r = γ_r (r + r^†)(b_ω + b^†ω)

тиворечивые результаты работы [23] оказываются

за рамками применимости модели. Кроме того, на-

глядным становится появление прямого канала рас-

с константами взаимодействия g, γ_c и γ_r. Указанный

пада осцилляторов в «чужие» термостаты. Посколь-

гамильтониан берется в качестве исходного во мно-

ку алгебраическая теория возмущений не распрост-

гих работах, начиная, по-видимому, с работы [29],

ранена среди специалистов по нелинейной и кван-

однако дальнейший его анализ с точки зрения полу-

товой оптике, несмотря на известную всем востре-

чения эффективного гамильтониана и формулиров-

бованность метода усреднения Крылова - Боголю-

ки условий применимости эффективного гамильто-

бова - Митропольского [28], в Приложении дан вы-

ниана авторы не встречали.

вод слагаемых эффективного гамильтониана мето-

Обычно в работах, например [23], используют

дом алгебраической теории возмущений.

так называемое приближение вращающейся волны,

409

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

когда в операторах взаимодействия учитываются

эволюции U(t, t₀) c преобразованным гамильтониа-

лишь слагаемые

ном, которое выражается с помощью T -оператора

как

∑

g(cr^† + c^†r), γc

(ca^†ω + c^†aω), γr

(rb^†ω + r^†b_ω).

(

)∫ t

(

)

U (t, t₀) = I +

^H(t^′) dt^′ +

ℏ

Подчеркнем, что другие слагаемые просто отбрасы-

вают без обсуждения условий такого действия.

∫t

∫

t^′

Чтобы корректно обосновать необходимость при-

^H(t^′)

^H(t^′′) dt^′dt^′′ + . . . =

ближения вращающейся волны и определить облас-

ти применимости такого приближения, применим к

⎛

⎞

∫

←

исходному гамильтониану алгебраическую теорию

=T exp⎝-

^H(t^′) dt^′⎠ ,

возмущений. Для удобства перейдем в представле-

ℏ

ние взаимодействия. Тогда уравнение Шредингера

для волнового вектора всей рассматриваемой систе-

|Ψ(t)〉 = U(t, t₀)|Ψ(t₀)〉.

мы и ее окружения,

Разложим

^H(t) и S(t) в ряд по константам взаи-

модействия:

iℏ

|Ψ(t)〉 = V (t)|Ψ(t)〉,

(1)

S(t) = S(1,0,0)(t) + S(0,1,0)(t) + S(0,0,1)(t) +

определяется оператором взаимодействия

+ S(2,0,0)(t) + . . . ,

V (t) = V_c-r(t) + V_c(t) + V_r(t),

^H(t) =

H (1,0,0)(t)+ H(0,1,0)(t)+ H(0,0,1)(t)+

V_c-r(t) = g(ce-iωct + c^†eiωct)(re-iωr t + r^†eiωrt),

∑

+ H(1,1,0)(t)+

H (1,0,1)(t)+ H(0,1,1)(t)+ H(2,0,0)(t)+. . .

V_c(t) = γ_c

(ce-iωc t + c^†eiωct)(a_ω e^-iωt + a^†ωe^iωt),

Здесь левый индекс каждой тройки верхних индек-

сов описывает порядок по константе связи g меж-

∑

V_r(t) = γ_r

(re-iωr t + r^†eiωr t)(b_ωe^-iωt + b^†ωe^iωt).

ду осцилляторами, средний индекс — порядок по

константе γ_c, а правый — порядок по константе γ_r.

Реально порядок взаимодействия с полями опреде-

Явное написание аргумента времени t использовано

ляется отношением энергии взаимодействия между

для указания на представление взаимодействия, к

полями к энергии кванта осциллятора.

которому величина с таким аргументом относится.

С учетом формулы Бейкера - Хаусдорфа нетруд-

В силу унитарной симметрии квантовой теории

но получить

перейдем от исходных векторов и операторов к пре-

образованным по формулам

+ V_c-r(t),

H (1,0,0)(t)= ℏdS(1,0,0)(t)

|Ψ(t)〉 = T (t)|Ψ(t)〉, T (t) = e-iS(t), S^†(t) = S(t).

+ V_c(t),

H (0,1,0)(t)= ℏdS(0,1,0)(t)

Преобразованный вектор будет удовлетворять урав-

нению Шредингера

H (0,0,1)(t)= ℏdS(0,0,1)(t)

+ V_r(t),

dS(1,1,0)(t)

d|Ψ(t)〉

iℏ

= H(t)|Ψ(t)〉

H (1,1,0)(t)= ℏ

[

]

S(1,0,0)(t), V_c(t)

с преобразованным гамильтонианом

⁻ 2

[

]

S(1,0,0)(t),

H (0,1,0)(t)

⁻ 2

^H(t) = T (t)V (t)T^†(t) - iℏT (t)

T †(t).

[

]

S(0,1,0)(t), V_c-r(t)

⁻ 2

В дальнейшем мы будем использовать формаль-

]

i [

S(0,1,0)(t),

H (1,0,0)(t)

ное решение уравнения Шредингера для оператора

^- 2

410

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Метод эффективного гамильтониана в термодинамике...

Будем рассматривать осцилляторы с одинаковы-

H (1,0,1)(t)= ℏdS(1,0,1)(t)

ми частотами ω_c = ω_r. В этом случае эффективный

[

]

−

S(1,0,0)(t), V_r(t)

гамильтониан алгебраической теории возмущений в

[

]

представлении взаимодействия определяется слага-

−

S(1,0,0)(t),

H (0,0,1)(t)

емыми

(

)

[

]

H (1,0,0)(t)= g

cr^† + c^†r

∑

(

)

−

S(0,0,1)(t), V_c-r(t)

H (0,1,0)

(t) = γ_c

ca^†ωe-i(ωc-ω)t+c^†a_ωei(ωc-ω)t

[

]

(2)

H (1,0,0)(t)

ω∈(ωc)

−

S(0,0,1)(t),

(

)

∑

H (0,0,1)

(t) = γ_r

rb^†ωe-i(ωr-ω)t+r^†b_ωei(ωr-ω)t

H (2,0,0)(t)= ℏdS(2,0,0)(t)

ω∈(ωr)

[

]

Здесь область суммирования, обозначаемая как

−

S(1,0,0)(t), V_c-r(t)

c), представляет собой область спектра частот

(ω

[

]

осцилляторов окружения вблизи значения ω = ω_c

−

S(1,0,0)(t),

H (1,0,0)(t)

, ...

Аналогично определяется (ω_r).

Принцип построения формул (2) представляется

При помощи генераторов первого порядка (см.

достаточно прозрачным. Формулы (2) могут ле-

Приложение) определяем слагаемые второго поряд-

жать в основе разных алгоритмов построения эф-

ка по константам связи:

фективного гамильтониана. Алгебраической тео-

∑

gγ_c

H (1,1,0)(t)=-

r^†a_ωe-i(ω-ωr)^t -

рии возмущений отвечает следование идеям метода

2ℏω

ω∈(ωr)

усреднения Крылова - Боголюбова - Митропольско-

gγ_c

∑

го — в представлении взаимодействия в слагаемых

ra^†ωei(ω-ωr)^t,

H (1,0,0)(t),

2ℏω

H (0,1,0)(t) и др. эффективного гамильто-

ω∈(ωr)

ниана H^Eff (t) =

H (1,0,0)(t)+ H(0,1,0)(t)+. . . должны

∑

остаться только величины, медленно меняющиеся

gγ_r

H (1,0,1)(t)=-

c^†b_ωe-i(ω-ωc)^t -

во времени [19]. Это условие однозначно определяет

2ℏω

ω∈(ωc)

(в предположении адиабатического включения по-

∑

gγ_r

лей) величины S(i,j,k) и накладывает ограничение на

cb^†ωei(ω-ωc)^t.

2ℏω

спектр мод широкополосных полей, учитываемых в

ω∈(ωc)

эффективном гамильтониане H^Eff (t) [19, 30]. Тогда

Выписанные слагаемые эффективного гамильто-

величины S(i,j,k) вбирают в себя все быстро меня-

ниана определяют связь каждого из осцилляторов с

ющиеся во времени величины и можно упростить

«чужим» термостатом. Эти каналы взаимодействия

выражения (2), представив их в виде

не видны явно в исходном гамильтониане H^Ini, а

H (1,0,0)(t)=V ′

H (0,1,0)(t)=V ′

параметры связи определяются как связью g между

c-r

(t),

осцилляторами, так и параметрами γ_c или γ_r друго-

H (0,0,1)(t)=V ′

(t),

го осциллятора.

[

]_′

H (1,1,0)(t)=-

Другие слагаемые второго порядка определяют

S(1,0,0)(t), V^′′c(t)

сдвиги частот осцилляторов и еще один канал взаи-

[

]_′

S(0,1,0)(t), V^′′c-r(t)

модействия осцилляторов с окружением:

(3)

[

]_′

(

)

g²

H (1,0,1)(t)=-

H (2,0,0)(t)=-

c^†c + r^†r + 1

S(1,0,0)(t), V^′′r(t)

2ℏω_c

[

]_′

S(0,0,1)(t), V^′′c-r(t)

(

)

∑

H (0,2,0)(t)=-

[

]_′

c^†c + 1

γ²c

ℏ(ω + ω_c)

H (2,0,0)(t)=-

S(1,0,0)(t), V^′′c-r(t)

,...

∀ω∈(-ωc)

∑

a^†ωa_ω′ e^iωte-iω′t

Одним штрихом обозначено выражение, представ-

−γ²

ленное в виде суммы слагаемых, из которой исклю-

2ℏ(ω + ω_c)

ω∈(-ωc)

чены все слагаемые, содержащие быстро меняющие-

∑

a^†ω′ aωei(ω′-ω)t

ся функции времени. Двумя штрихами отмечено вы-

-γ²

2ℏ(ω + ω_c)

ражение после отбрасывания из его составляющих

ω∈(-ωc)

всех медленно меняющихся слагаемых.

∀ω^′ ∈(-ωc)

411

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

(

)

∑

H (0,2,0)(t)и

H (0,0,2)(t)=-γ2

осцилляторов роль

H (0,0,2)(t)не сущест-

r^†r + 1

ℏ(ω + ω_r)

венна.

∀ω∈(-ωr)

Частоты осцилляторов, первоначально равные

∑

b^†ωb_ω′ e-i(ω′-ω)t

-γ2r

между собой, отличаются во втором порядке на ве-

2ℏ(ω + ω_r)

ω∈(-ωr)

личину порядка |γ2c - γ2r|ω-1c, чем пренебрегаем при

∑

расчете тепловых потоков, поскольку такие отли-

b^†ω′ bωei(ω′-ω)t

-γ2r

чия не превышают термодинамических флуктуа-

2ℏ(ω + ω_r)

ω∈(-ωc)

ций. Подчеркнем, что характерные размеры облас-

∀ω^′ ∈(-ωc)

тей частот термостатных полей, участвующих в ре-

Данные слагаемые интерпретируются как лэм-

зонансном взаимодействии с выделенными осцилля-

бовские сдвиги частот и операторы «штарковско-

торами, (ω_c) и (ω_r) порядка γ2c и γ2r, что не меньше

го» взаимодействия системы с окружением. Лэмбов-

указанных отличий.

ские сдвиги учитываем перенормировкой частот, в

результате эффективный гамильтониан системы с

3. КВАНТОВОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ

точностью до второго порядка по константам связи

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ И

определяется такими операторами:

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

H^Eff (t) = H_c-r(t) + H(1)c(t) + H(2)c(t)+

Приведем стандартный вывод кинетического

+ H(1)r(t) + H(2)r(t),

(4)

уравнения при помощи формулировки квантового

СДУ на основе полученного гамильтониана. Этот

(

)

H_c-r(t) = g

cr^† + c^†r

(5a)

вывод неоднократно применялся в случае открытых

систем, состоящих из резонансно взаимодействую-

H(1)c(t) =

(

)

щих атомов [30], а также в случае осцилляторов

∑

=γ_c

ca^†ωe-i(ωc-ω)t + c^†a_ωei(ωc-ω)t

(5b)

и атомов [30-32]. Наш случай отличается только

ω∈(ωc)

учитываемыми термостатами.

∑

gγ_r

В условиях марковского приближения опера-

H(2)c(t) = -

c^†b_ωe-i(ω-ωc)^t -

2ℏω

торы эффективного гамильтониана, описывающие

ω∈(ωc)

∑

взаимодействие с широкополосными полями, пред-

gγ_r

cb^†ωei(ω-ωc)^t,

(5c)

ставляем квантовыми рождающими и уничтожаю-

2ℏω

ω∈(ωc)

щими случайными процессами, заменив суммы по

H(1)r(t) =

частотам интегралами с бесконечными пределами:

∑

(

)

(

)

=γ_r

rb^†ωe-i(ωr-ω)t + r^†b_ωei(ωr-ω)t

(5d)

H(1)c(t)dt = γ_c

cdA^†(t) + c^†dA(t)

ω∈(ωr)

gγ_c (

)

∑

H(2)r(t)dt = -

rdA^†(t) + r^†dA(t)

gγ_c

H(2)r(t) = -

r^†a_ωe-i(ω-ωr)^t -

2ℏω_c

2ℏω

(

)

ω∈(ωr)

H(1)r(t)dt = γ_r

rdB^†(t) + r^†dB(t)

∑

gγ_c

gγ_r (

)

ra^†ωei(ω-ωr)^t.

(5e)

H(2)c(t)dt = -

cdB^†(t) + c^†dB(t)

2ℏω

2ℏω_c

ω∈(ωr)

∫t

Операторами

«штарковского» взаимодействия

dA(t) = A(t + dt) - A(t), A(t) = dt^′a(t^′),

с окружением

H (0,2,0)(t) и

H (0,0,2)(t) можно пре-

небречь даже в сравнении с

c (t) и

r (t).

∞

∫

Такое пренебрежение основано на представлении

a(t) =

√

dω e-i(ω-ωc)^ta_ω,

H (0,2,0)(t) и

H (0,0,2)(t) квантовыми считывающими

2π

процессами и результатами анализа их роли в атом-

-∞

ных открытых системах [30]. Из работы [30] заи-

∫t

мствовано использование термина «штарковское»

dB(t) = B(t + dt) - B(t), B(t) = dt^′b(t^′),

взаимодействие, поскольку учет данных слагаемых

весьма сходен с учетом аналогичных слагаемых в

∞

∫

теории открытых атомных систем. И именно исходя

b(t) =

√

dω e-i(ω-ωc)^tb_ω.

из такой аналогии, сделан вывод, что в рассматри-

2π

-∞

ваемой модели двух резонансно взаимодействующих

412

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Метод эффективного гамильтониана в термодинамике...

Дифференциалы Ито стандартных кванто-

ρ(t + dt) = |Ψ(t + dt)〉〈Ψ(t + dt)| =

вых случайных процессов удовлетворяют алгебре

= U(t + dt)|Ψ(0)〉〈Ψ(0)|U^†(t + dt),

Ито [32]:

U (t + dt) = U(t) + dU(t),

dA(t) dA^†(t) = (n_c+1) dt, dA^†(t) dA(t) = n_cdt,

dB(t) dB^†(t) = (n_r+1) dt, dB^†(t) dB(t) = n_rdt,

dB(t) dB(t) = dA(t) dA(t) = dA(t) dB(t) =

(6)

dρ(t) = dU(t)|Ψ(0)〉〈Ψ(0)|U^†(t) + U(t) ×

= dA^†(t) dB(t) = dB(t) dt =

× |Ψ(0)〉〈Ψ(0)|dU^†(t) + dU(t)|Ψ(0)〉〈Ψ(0)|dU^†(t).

= dA(t) dt = dt dt = 0.

[

]

Особо подчеркнем, что, несмотря на области

dρ(t) = -i

H^Eff-S(t), ρ(t)

dt -

формального интегрирования введенных величин,

∑

⁽n_k +1

n_k

термостатные осцилляторы задействованы лишь на

γ_kY^†kY_kdt +

γ_kY_kY^†kdt +

резонансных частотах согласно примененной алгеб-

k=1,2

)

раической теории возмущений. Это отражают плот-

√

+ i

γ_k Y^†kdB_k(t) + i

γ_k Y_kdB^†k(t) ρ(t)-

ности фотонов термостатов n_c и n_r, отвечающих ча-

стотам соответственно ω_c и ω_r.

∑

⁽n_k +1

n_k

В результате для дифференциала Ито оператора

- ρ(t)

γ_kY^†kY_kdt +

γ_kY_kY^†kdt -

эволюции нетрудно получить квантовое СДУ, кото-

k=1,2

)

рое запишем в безразмерном виде:

√

- i

γ_k dB^†k(t)Y_k - i

γ_k dB_k(t)Y^†

dU(t) = -iH^Eff-S(t) dt U(t) -

∑

(√

√

)

†

γ_k Y_k

dB_k(t) +

γ_k Y_kdB^†k(t) ρ(t)×

∑

⁽n_k +1

n_k

γ_kY^†kY_kdt +

γ_kY_kY^†kdt +

k=1,2

)

∑

(√

√

k=1,2

γ_k dB^†k(t)Y_k +

γ_k dB_k(t)Y^†

)

√

(7)

k=1,2

+ i

γ_k Y^†kdB_k(t) + i

γ_k Y_kdB^†k(t) U(t),

После усреднения по состояниям вакуумных термо-

H^Eff-S(t) = H_c-r(t), dB₁(t) = dA(t),

статных полей,

dB₂(t) = dB(t),

ρ(t) = ρ^S (t),

Tr_F

Y †₁ = c^† - λr^†, Y₁ = c - λr,

(8)

Y †₂ = r^† - λc^†, Y₂ = r - λc.

Tr_F ρ(t) dB^†k(t) dB_k′ (t) = δ_kk′ n_kρ^S (t) dt,

Введены безразмерные величины

Tr_F ρ(t) dB_k′ (t) dB^†k(t) = δ_kk′ (n_k + 1)ρ^S (t) dt,

2πγ2c

2πγ2r

γ₁ =

γ₂ =

λ=

ℏω2c

2ℏω_c

получаем кинетическое уравнение для матрицы

плотности ρ^S (t) рассматриваемых двух фотонных

В качестве безразмерного времени взята величина

мод ω_c и ω_r в виде

t = ωct, однако у переменной времени мы будем

опускать черту над символом, указывающую на ее

dρ^S (t)

[

]

= -i

H^Eff-S(t), ρ^S(t)

безразмерный характер. Индекс n нумерует широко-

полосные поля окружения системы — термостаты A

⎧

и B. Через n_k обозначены плотности фотонов термо-

⎨∑

)

⁽n_k +1

n_k

статных полей на резонансной частоте ω_c = ω_r: n₁

γ_k

Y†kY_k +

Y_kY^†

ρ^S(t) +

⁻⎩

отвечает термостату A, n₂ отвечает термостату B.

k=1,2

Эти плотности определяются температурами термо-

⎫

)⎬

статов T₁ и T₂ соответственно.

∑

⁽n_k +1

n_k

+ ρ^S(t)

γ_k

Y†kY_k +

Y_kY^†

Уравнение для матрицы плотности следует из

⎭

k=1,2

стандартной цепочки преобразований:

∑

dρ(t) ≡ ρ(t + dt) - ρ(t),

γ_kn_kY^†kρ(t)Y_k+

γ_kY_kρ(t)(n_k+1)Y^†k.

(9)

k=1,2

413

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Уравнение (9) с параметрами (8) определяет всю

4. СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ

динамику и термодинамику рассматриваемой систе-

КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И

мы из двух осцилляторов, резонансно взаимодей-

ПОТОКИ ЭНЕРГИИ

ствующих как между собой, так и с окружающи-

Чтобы иметь представление об энергообмене в

ми термостатными полями. При этом средние плот-

рассматриваемой системе, вычислим средние значе-

ности фотонов термостатных полей в силу условий

ния энергии осцилляторов ω_c и ω_r, т. е. найдем ве-

алгебраической теории возмущений берутся на ча-

(

)

(

)

личины 〈c^†c〉 = Tr

c^†cρ^S(t)

и 〈r^†r〉 = Tr

r^†rρ^S(t)

стотах осцилляторов, а именно ω_c

= ω_r. Поэто-

Оказывается, что из уравнения (9) следует замкну-

му при численном моделировании этого уравнения,

тая система уравнений

связав параметры n_k с температурами термостатов

(

)

и частотами фотонов термостатов [31], нельзя про-

dρ^S (t)

извольно оперировать со значениями частот фото-

〈c^†c〉 = Tr c^†c

нов термостатов, как делают в работе [23]. Ниже

(

)

представим результаты аналитического исследова-

= -gY + γ₁ n₁ - 〈c^†c〉 + λ

ния уравнения (9) в стационарном случае.

Для удобства последующего анализа введем ре-

(

)

лаксационные операторы Γ_A и Γ_B, определяющие

+ λγ₂

λn₂ - λ〈c^†c〉 +

каналы распада в термостаты A и B:

(

)

dρ^S (t)

[

]

〈r^†r〉 = Tr r^†r

dρ^S (t)

= -i

H^Eff-S(t), ρ^S(t)

(

)

= gY + γ₂ n₂ - 〈r^†r〉 + λ

+ Γ_Aρ^S(t) +

Γ_Bρ^S(t),

(9^′)

(

)

(10)

+ λγ₁

λn₁ - λ〈r^†r〉 +

(

)

Γ_Aρ^S(t) = -γ₁n₁Y†1ρ(t)Y₁+γ₁Y₁ρ(t)(n₁+1)Y†1 +

dρ^S (t)

= Tr (c^†r + cr^†)

{ (

)

n₁ + 1

n₁

(

)

+ γ₁

Y†₁Y₁ +

Y₁Y^†

ρ^S(t) +

= -γ₁

2λn₁-λ〈c^†c〉-λ〈r^†r〉+(1+λ²)

)}

(

)

⁽n₁ +1

n₁

+ ρ^S(t)γ1

Y†₁Y₁ +

Y₁Y†1

-γ₂

2λn₂ - λ〈c^†c〉 - λ〈r^†r〉 + (1 + λ²)

(

)

dρ^S (t)

= Tr i(c^†r - cr^†)

Γ_Bρ^S(t) = -γ₂n₂Y†2ρ(t)Y₂+γ₂Y₂ρ(t)(n₂+1)Y†1 +

(

)

= -2g

〈r^†r〉-〈c^†c〉

-(1+λ²) (γ₁ + γ₂)

{ (

)

n₂ + 1

n₂

+ γ₂

Y†₂Y₂ +

Y₂Y^†

ρ^S(t) +

Уравнения (10) имеют стационарное решение,

обладающее определенной симметрией при заменах

(

)}

n₂ + 1

n₂

индексов A ↔ B и 1 ↔ 2, отражающей исходную

+ ρ^S(t)γ2

Y†₂Y₂ +

Y₂Y†2

перестановочную симметрию задачи:

(

)

(

)

g²

λ²

g²

γ₁n₁

+γ₂n₂

γ₂ 1 + λ2⁺⁴γ1 + γ2

(1 + λ²)²

γ₁ 1 + λ2⁺⁴γ1 + γ2

(1 + λ²)

〈c^†c〉 =

4g²

+γ₁γ₂

(1 + λ²)²

(

)

(

)

g²

λ²

g²

γ₂n₂

+γ₁n₁

γ₁ 1 + λ2⁺⁴γ1 + γ2

(1 + λ²)²

γ₂ 1 + λ2⁺⁴γ1 + γ2

(1 + λ²)

〈r^†r〉 =

4g²

+γ₁γ₂

(1 + λ²)²

414

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Метод эффективного гамильтониана в термодинамике...

γ₁γ₂

1-λ²

(γ₁ - γ₂)

γ₁ + γ₂

γ₁ + γ₂ 1 + λ²

〈X〉 = 2

(n₂ - n₁),

〈Y 〉 = 4

(n₁ - n₂).

1+λ²

4g²

+γ₁γ₂

4g²

+γ₁γ₂

(1 + λ²)²

Теперь нетрудно определить стационарные пото-

Если говорить об энергии открытой системы, то

ки энергии в имеющиеся термостаты, состояния ко-

она, помимо энергий каждого из осцилляторов ω_c

торых считались неизменными.

и ω_r, включает также энергию их взаимодействия.

1. Поток энергии в термостаты от осцилля-

Нетрудно видеть, что соответствующие потоки от

тора ω_c. От осциллятора ω_c тепловой поток в

одного осциллятора к другому равны, так что

термостат A определяется по формуле Q_c-A

(

)

[

(

)]

= ℏω_c Tr

Γ_Aρ^S(t)c^†c . В указанной формуле для

Γ_Bρ^S(t)g

cr^† + c^†r

наглядности использованы размерные величины. В

[

(

)]

γ₁γ₂

= -Tr

Γ_Aρ^S(t)g

cr^† + c^†r

= 2λ

(n₂-n₁).

безразмерном виде (как его отношение к единично-

γ₁ + γ₂

му кванту энергии этого осциллятора) имеем

В результате имеем очевидное: сумма потоков

+2γ₁γ₂

от осцилляторов к термостатам задачи равна ну-

γ₁γ₂

(1+λ²)²

1+λ

Q_c-A =

(n₁-n₂).

лю, а направление потока (в силу равенства частот

γ₁+γ₂

4g²

+γ₁γ₂

осцилляторов) определяется температурами термо-

(1 + λ²)²

стата — от «горячего» к «холодному». Если горячий

Также от осциллятора ω_c тепловой поток идет и в

термостат — это термостат A, то n₁ > n₂. В силу

термостат B; э(от поток в)числяется по формуле

рассмотренных ограничений алгебраической теории

Q_c-B = ℏω_c Tr

Γ_Bρ^S(t)c^†c . В безразмерном виде

возмущений мы не вправе, как это было в работе

имеем

[23], манипулировать частотами термостатных фо-

тонов, чтобы влиять на значение величины плотнос-

4g²

+2γ₁γ₂

ти фотонов термостатов. Подчеркнем, что плотнос-

γ₁γ₂

1+λ²

(n₂-n₁).

Qc-B⁼

ти фотонов термостатов n₁ и n₂ вычисляются на од-

γ₁+γ₂

(1+λ²)²

4g²

+γ₁γ₂

ной и той же резонансной частоте ω_c = ω_r. Таким

(1+λ²)²

образом, второе начало термодинамики в динамике

2. Поток энергии в термостаты от осциллято-

открытой системы, состоящей из двух резонансно

ра ω_r. В «свой» термоста(B поток )ычисляется

взаимодействующих осцилляторов, не нарушается.

по формуле Q_r-B = ℏω_r Tr

Γ_Bρ^S(t)r^†r . В безраз-

мерном виде его величина в точности равна вели-

чине безразмерного потока Q_c-A, взятого с обрат-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ным знаком: Q_r-B = -Q_c-A.

Мы продемонстрировали применение алгебраи-

Как и в случае с осциллятором ω_c, от осциллято-

ческой теории возмущений к задаче о двух резонанс-

ра ω_r идет тепловой поток в «чужой» термостат, в

но взаимодействующих осцилляторах, каждый из

данном случае в термостат (, который в)ычисляется

которых резонансно связан со «своим» термостатом.

по формуле Q_r-A = ℏω_r Tr

Γ_Aρ^S(t)r^†r . Подчерк-

Показано, что взаимодействие между осциллятора-

нем, что оба потока в «чужие» термостаты обуслов-

ми приводит к эффективной связи осцилляторов с

лены взаимодействием между осцилляторами ω_c и

«чужими» термостатами. Таким образом, задача о

ω_r, что наглядно видно на примере соответствую-

резонансно связанных осцилляторах, каждый из ко-

щих слагаемых алгебраической теории возмущений.

торых распадается в свой термостат, в определенном

В безразмерном виде обсуждаемый поток дается вы-

смысле подобна задаче об одном осцилляторе, свя-

ражением

занном с двумя различными термостатами. В более

простой задаче также следует применить алгебра-

4g²

+2γ₁γ₂

γ₁γ₂

1+λ²

ическую теорию возмущений, чтобы не иметь дела

Qr-A =

(n₁-n₂),

γ₁+γ₂

(1+λ²)²

с «глобальным» подходом для получения результа-

4g²

+γ₁γ₂

(1+λ²)²

тов, не противоречащих второму началу термодина-

которое равно по величине и противоположно по

мики. Вкратце приведем результаты здесь.

знаку соответствующему безразмерному потоку от

Уравнение для матрицы плотности одного ос-

осциллятора ω_c в «чужой» термостат B.

циллятора ω_c, получаемое по изложенной в статье

415

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

методике, имеет вид, полностью совпадающий с (9^′),

Тогда медленно меняющиеся во времени слагаемые

только со следующими значениями входящих опера-

имеют вид

торов H^Eff-S(t) = 0 и Y₁ = Y₂ = c. Тогда среднее

∑

(

)

V′

(t) = γ_c

ca^†ωei(ω-ωc)^t + c^†a_ωe-i(ω-ωc)t

число фотонов осциллятора дается очень наглядной

ω∈(ωc)

формулой

γ₁n₁ + γ₂n₂

〈c^†c〉 =

∑

(

)

γ₁ + γ₂

V′

(t) = γ_r

rb^†ωei(ω-ωr)^t + r^†b_ωe-i(ω-ωr)t

сравнение которой с формулой в случае двух взаи-

ω∈(ωr)

модействующих осцилляторов, проясняет роль каж-

Они определяют операторы первого порядка по кон-

дого слагаемого. Потоки энергии от осциллятора к

стантам связи.

термостатам, определяемые как описано выше, так-

Быстро меняющиеся слагаемые можно предста-

же имеют простые выражения

вить в виде

γ₁γ₂

∑

Q_c-A =

(n₁-n₂), Q_c-B =

(n₂-n₁).

V′′

(t) = γ_c

ca_ωe-i(ω+ωc)^t +

γ₁+γ₂

∀ω∈(-ωc)

∑

Суммарный поток Q_c-A + Q_c-B при этом равен ну-

+γ_c

c^†a_ωe-i(ω-ωc)^t,

лю, но отчетливо виден тепловой поток от горячего

∀ω∈(ωc)

термостата к холодному, что подчеркивает преиму-

щества нашего подхода перед «глобальным» подхо-

∑

дом. В нашем подходе здесь нет взаимодействия, нет

V′′

(t) = γ_r

rb_ωe-i(ω+ωr)^t +

двух подсистем, нет диагонализации «глобального»

∀ω∈(-ωr)

∑

подхода, а поток от горячего термостата к холодно-

+γ_r

r^†b_ωe-i(ω-ωr)^t,

му есть. Еще раз отметим, что используемый метод

∀ω∈(ωr)

не привлекает к описанию какое-либо феноменоло-

гическое моделирование процессов и явлений, а ис-

где (ω_c) — область размерами |ω - ω_c| ≪ ω_c вблизи

ходит исключительно из первых принципов и есте-

значения ω = ω_c, но не меньшая обратной скорости

ственного предположения о марковости взаимодей-

релаксации по данному каналу связи с широкопо-

ствия с термостатами.

лосным полем. Аналогично определяются области

Таким образом, мы не только продемонстриро-

непрерывного спектра (-ω_c), (ω_r) и (-ω_r).

вали эффективность метода алгебраической теории

Выделение быстро и медленно меняющихся сла-

возмущений [19] в новом для него классе задач, но

гаемых в операторе взаимодействия между осцилля-

и получили непротиворечивые результаты в зада-

торами вообще не вызывает каких-либо особеннос-

че, которая до сих пор неоднократно обсуждалась

тей в случае равенства частот осцилляторов ω_c =

в рамках «глобального» и «локального» подходов,

=ω_r:

(

)

неадекватных, на наш взгляд, физической поста-

V ′c-r(t) = g

cr^† + c^†r

(

)

новке классической задачи о двух резонансно взаи-

V′′c-r(t) = g c†r†ei(ωc+ωr )t + cre-i(ωc+ωr )t

модействующих осцилляторах, каждый из которых

также резонансно связан со «своим» термостатом.

Генераторы преобразования первого порядка на-

ходятся из соотношений

ПРИЛОЖЕНИЕ

dS(1,0,0)(t)

= -ℏ-1V ^′′c-r(t),

Техника вычислений слагаемых

эффективного гамильтониана

dS(0,1,0)(t)

′′

(t),

= -ℏ-1V

Удобно операторы взаимодействия с широкопо-

лосными полями записать в виде

dS(0,0,1)(t)

= -ℏ-1V ′′r (t).

∑

(

)

V_c(t) = γ_c

ce-iωct + c^†eiωct

a_ωe^-iωt,

Они являются быстрыми функциями времени. В

∀ω=0

предположении адиабатического включения взаи-

a_-ω = a^†ω, ω > 0,

модействий генераторы преобразования первого по-

∑

(

)

рядка определяются выражениями

Vr(t) = γr

re-iωrt + r^†eiωrt

b_ωe^-iωt,

∀ω=0

-i(ωc+ωr )t

gei(ωc+ωr)^t

b_-ω = b^†ω, ω > 0.

S(1,0,0)(t) = cr

-c^†r^†

iℏ(ω_c + ω_r)

416

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Метод эффективного гамильтониана в термодинамике...

∑

-i(ω+ωc)t

ca_ωe

В результате в эффективном гамильтониане появ-

S(0,1,0)(t) = γc

iℏ(ω + ω_c)

ляется слагаемое, которое описывает связь одномо-

ω ∈(-ωc)

дового осциллятора частоты ω_r с «чужим» термо-

∑

c^†a_ωe-i(ω-ωc)^t

статом:

+γ_c

iℏ(ω - ω_c)

ω∈(ωc)

∑

gγ_c

(1,1,0)(t) = -

r^†ca_ωe-i(ω-ωr)^t -

∑

-i(ω+ωr )t

2ℏω

rb_ωe

ω∈(ωr)

S(0,0,1)(t) = γr

∑

iℏ(ω + ω_r)

gγ_c

ω ∈(-ωr )

ra^†ωei(ω-ωr)^t.

2ℏω_c

∑

r^†b_ωe-i(ω-ωr)^t

ω∈(ωr)

+γ_r

iℏ(ω - ω_r)

ω∈(ωr)

Здесь мы положили ω_c = ω_r ≈ ω.

Тогда

Аналогично нетрудно получить

[

]_′

gγ_c

S(1,0,0)(t), V^′′c(t)

iℏ(ω_c + ω_r)

∑

gγ_r

∑

H (1,0,1)(t)=-

c^†b_ωe-i(ω-ωc)^t -

gγ_c

ra^†ωei(ω-ωr)^t +

2ℏω

iℏ(ω_c + ω_r)

ω∈(ωc)

ω∈(ωr)

gγ_r

∑

bc^†ωei(ω-ωc)^t.

r^†a_ωe-i(ω-ωr)^t,

2ℏω

ω∈(ωc)

ω∈(ωr)

[

]_′

∑

Оператор

H (0,1,1)(t) описывает связь второго по-

a^†ωrei(ω-ωr)^t

S(0,1,0)(t), V^′′c-r(t)

=γ_cg

рядка между термостатами, не затрагивающую от-

iℏ(ω + ω_c)

ω∈(ωr)

крытую систему, поэтому далее он не учитывается.

∑

a_ωr^†e-i(ω-ωr)^t

Другие, возможно релевантные, слагаемые вто-

+γ_cg

iℏ(ω + ω_c)

рого порядка имеют вид

ω∈(ωr)

[

]_′

g²

(

)

H (2,0,0)(t)=-

S(1,0,0)(t), V^′′c-r(t)

c^†c + r^†r + 1

2ℏω_c

[

]_′

H (0,2,0)(t)=-

S(0,1,0)(t), V^′′c(t)

⎡

[

]_′

∑

ca_ωe-i(ω+ωc)^t

c^†a_ωe-i(ω-ωc)^t

S(0,1,0)(t), V^′′c(t)

=^⎣γ_c

+γ_c

,γ_c

ca_ωe-i(ω+ωc)^t +

iℏ(ω + ω_c)

iℏ(ω - ω_c)

ω∈(-ωc)

ω∈(ωc)

∀ω∈(-ωc)

⎤

⎡

⎤

∑

c^†a_ωe-i(ω-ωc)^t

+ γ_c

c^†a_ω

e-i(ω-ωc)^t

⎦₌ ⎣γc

,γ_c

ca_ω′e-i(ω′+ωc)t⎦ +

iℏ(ω - ω_c)

∀ω∈(ωc)

ω ∈(ωc)

∀ω^′ ∈(-ωc)

⎡

⎤

∑

ca_ωe-i(ω+ωc)^t

∑

+^⎣γ_c

,γ_c

c^†a_ω′e-i(ω′-ωc)t⎦.

iℏ(ω + ω_c)

ω ∈(-ωc)

∀ω^′ ∈(ωc)

В результате имеем вклады

H (0,2,0)(t) и

H (0,0,2)(t) в эффективный гамильтониан,

∑

a^†ωa_ω′ e^iωte-iω′t

a^†ω′ aωei(ω′-ω)t

H (0,2,0)(t)

= -γ2c(c^†c + 1)

- γ²

ℏ(ω + ω_с)

2ℏ(ω + ω_c)

∀ω∈(-ωc)

ω ∈(-ωc)

ω∈(-ωc)

∀ω^′ ∈(-ωc)

417

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

а оператор

H (0,0,2)(t) получается из

H (0,2,0)(t) од-

14.

E. B. Davis, Quantum Theory of Open Systems, Acad.

новременными заменами нижних индексов и одно-

Press (1976).

именных операторов c → r и операторов широ-

15.

R. S. Ingarden, A. Kossakowski, and M. Ohya, Infor-

H (0,2,0)(t)

кополосного поля a_ω → b_ω. Операторы

mation Dynamics and Open Systems: Classical and

H (0,0,2)(t) могут быть представлены квантовы-

Quantum Approach, Springer, Netherlands (1997).

ми считывающими процессами аналогично рабо-

там [30, 31, 33]. Эти процессы удовлетворяют дру-

16.

A. Joye, S. Attal, and Cl.-A. Pillet, Open Quantum

гой алгебре дифференциалов Ито [33], обобщающей

Systems I. The Hamiltonian Approach, Springer-Ver-

известную алгебру Хадсона - Партасарати [34]. Ес-

lag, Berlin - Heidelberg (2005).

ли воспользоваться результатами [30, 31, 33] анали-

17.

G. Schaller, Open Quantum Systems Far from Equi-

за их роли наряду с винеровскими процессами, то

librium, Springer Int. Publ. (2014).

можно констатировать, что слагаемыми

H (0,2,0)(t) и

H (0,0,2)(t) в рассматриваемой здесь постановке зада-

18.

И. Г. Ланг, Ю. А. Фирсов, ЖЭТФ 43, 1843 (1962).

чи следует пренебречь.

19.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear Opti-

cal Waves, Kluwer Acad., Dordrecht (1999).

ЛИТЕРАТУРА

20.

G. Lindblad, Comm. Math. Phys. 48, 119 (1976).

J.-P. Brantut, C. Grenier, J. Meineke, D. Stadler,

21.

V. Gorini, A. Frigerio, М. Verri, A. Kossakowski, and

S. Krinner, C. Kollath, T. Esslinger, and A. Georges,

E. C. G. Sudarshan, Rep. Math. Phys. 13, 149 (1978).

Science 342, 713 (2013).

22.

Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков,

M. Brunelli, L. Fusco, R. Landig, W. Wieczorek,

Новый метод в теории сверхпроводимости, Изд.

J. Hoelscher-Obermaier, G. Landi, F. L. Semio,

АН СССР, Москва (1958).

A. Ferraro, N. Kiesel, T. Donner, G. De Chiara, and

M. Paternostro, Phys. Rev. Lett. 121, 160604 (2018).

23.

A. Levy and R. Kozloff, Europhys. Lett. 107, 20004

(2014).

R. Landig, L. Hruby, N. Dogra, M. Landini, R. Mottl,

T. Donner, and T. Esslinger, Nature 532, 476 (2016).

24.

A. S. Trushechkin and I. V. Volovich, Europhys. Lett.

113, 30005 (2016).

S. Krinner, T. Esslinger, and J.-P. Brantut, J. Phys.:

Condens. Matter 29, 343003 (2017).

25.

D. F. Walls, Z. Phys. 234, 231 (1970).

M. Josefsson, A. Svilans, A. M. Burke, E. A. Hoff-

mann, S. Fahlvik, C. Thelander, M. Leijnse, and

26.

C. Joshi, P. Ohberg, J. D. Cresser, and E. Andersson,

Phys. Rev. A 90, 063815 (2014).

H. Linke, Nature Nanotechnol. 13, 920 (2018).

A. Nitzan and M. A. Ratner, Science 300, 1384

27.

V. N. Bogaevski and A. Povzner, Algebraic Methods

(2003).

in Nonlinear Perturbation Theory, Springer (1991).

Y. Dubi and M. Di Ventra, Rev. Mod. Phys. 83, 131

28.

В. С. Бутылкин, А. Е. Каплан, Ю. Г. Хронопу-

(2011).

ло, Е. И. Якубович, Резонансные взаимодействия

света с веществом, Наука, Москва (1977).

J. P. Pekola and I. M. Khaymovich, Ann. Rev. Con-

dens. Matter Phys. (2018).

29.

W. H. Louissel and L. R. Walker, Phys. Rev. 137,

B204 (1965).

A. Levy and R. Kosloff, Phys. Rev. Lett. 108, 070604

(2012).

30.

A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

10.

A. Roulet, S. Nimmrichter, J. M. Arrazola, S. Seah,

31.

A. M. Basharov, Phys. Lett. A 376, 1881 (2012).

and V. Scarani, Phys. Rev. E 95, 062131 (2017).

32.

C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum Noise, Sprin-

11.

B. Reid, S. Pigeon, M. Antezza, and G. De Chiara,

ger-Verlag, Berlin (2004).

Europhys. Lett. 120, 60006 (2017).

12.

A. Hewgill, A. Ferraro, and G. De Chiara, Phys. Rev.

33.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 155, 425

A 98, 042102 (2018).

(2019).

13.

S. Scopa, G. T. Landi, and D. Karevski, Phys. Rev.

34.

R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Comm. Math.

A 97, 062121 (2018).

Phys. 93, 301 (1984).

418