ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 3 (9), стр. 507-520

ФЕРМИОННАЯ ЧЕТНОСТЬ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ

И КАЛОРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ

НАНОПРОВОЛОКИ

В. В. Вальков^*, В. А. Мицкан, М. С. Шустин

Институт физики им. Л. В. Киренского, ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 17 октября 2018 г.,

после переработки 7 марта 2019 г.

Принята к публикации 5 апреля 2019 г.

Для полупроводниковой нанопроволоки с сильным спин-орбитальным взаимодействием Рашбы с наве-

денной сверхпроводимостью и помещенной во внешнее магнитное поле определены структура и фермион-

ная четность основного состояния при периодических граничных условиях. Показано, что учет открытых

границ приводит к разбиению топологически нетривиальной области параметров на набор подобластей с

различной фермионной четностью основного состояния. Такая особенность связана с возникновением в

системе краевых мод с немонотонно изменяющимися энергиями возбуждений при изменении параметров

системы. В точке квантового перехода, в которой происходит изменение фермионной четности основного

состояния, энергия краевой моды становится равной нулю. Показано, что эффективными характеристи-

ками, позволяющими экспериментально идентифицировать отмеченные серии квантовых переходов в

открытой нанопроволоке, являются магнито- и электрокалорический эффекты. Такие эффекты при низ-

ких температурах демонстрируют аномальное поведение в области параметров, для которой в длинных

нанопроволоках реализуются топологически устойчивые майорановские моды.

DOI: 10.1134/S0044451019090141

геренции квантового компьютера. С фундаменталь-

ной точки зрения интерес к майорановской проб-

1. ВВЕДЕНИЕ

лематике связан с необходимостью понимания и об-

наружения особенностей свойств конденсированных

В последние годы майорановские моды (ММ)

сред, обусловленных их нетривиальными топологи-

привлекают значительный интерес мирового науч-

ческими характеристиками.

ного сообщества ввиду предсказания возможнос-

ти их обнаружения в конденсированных средах [1-

В настоящее время установлено, что классифи-

4]. В физике твердого тела ММ представляют со-

кация топологических фаз систем невзаимодейству-

бой возбуждения, чьи характеристики в реальном

ющих фермионов может быть проведена на осно-

пространстве являются существенно нелокальными.

ве симметрийных соображений [8-10]. Примерами

Системы, содержащие майорановские моды, име-

нелокальных симметрий, характеризующих тополо-

ют вырожденное основное состояние. Следствием

гические фазы, являются симметрия по отношению

этого, во-первых, является возможность реализации

к инверсии времени, электрон-дырочная, кираль-

нетривиальной топологической структуры основно-

ная и зеркальная симметрии. При заданном наборе

го состояния [5-7]. Во-вторых, если вырожденное ос-

нелокальных симметрий и определенной простран-

новное состояние отделено от первого возбужденно-

ственной размерности состояния системы фермио-

го существенной энергетической щелью, то ММ яв-

нов (в предположении о наличии щели в энергети-

ляются устойчивыми по отношению к незначитель-

ческом спектре) распадаются на набор топологиче-

ным локальным возмущениям. Сказанное выше обу-

ски неэквивалентных классов, различаемых значе-

словливает интерес к ММ как к перспективным объ-

ниями топологических индексов. На границе полу-

ектам для создания защищенного от процессов деко-

бесконечных сред с различными значениями таких

индексов реализуются топологически защищенные

^* E-mail: vvv@iph.krasn.ru

бесщелевые возбуждения, в частности ММ.

507

В. В. Вальков, В. А. Мицкан, М. С. Шустин

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Классификация топологических фаз значитель-

тотой их изготовления: обычно исследуются эпи-

но усложняется при учете взаимодействия между

таксиально выращенные полупроводники InAs или

фермионами. Последнее может приводить как к ин-

InSb с сильным спин-орбитальным взаимодействи-

дуцированию новых топологических фаз, так и к

ем Рашбы и с большими значениями g-факторов

уменьшению числа неэквивалентных топологичес-

(gInAs ∼ 10-25 [33] и gInSb ∼ 20-70 [34]), а также

ких состояний системы. Так, в работе [11] на при-

стандартные БКШ-сверхпроводники типа Al, тон-

мере модельной одномерной системы класса симмет-

кие слои которых (5-10 нм) эпитаксиальным об-

рии BDI была продемонстрирована возможность ре-

разом напыляются на поверхность нанопроволоки

дуцирования топологической классификации с по-

(см., например, работу [35]). Вторым обусловливаю-

мощью Z-инварианта, к классификации на основе

щим популярность сверхпроводящих нанопроволок

Z₈-топологического индекса. Впоследствии данный

обстоятельством является то, что для них были от-

результат был получен другими методами с исполь-

носительно подробно рассмотрены условия и алго-

зованием формализма функций Грина [12, 13], мат-

ритмы квантовых вычислений с ММ [1,36-39]. Отме-

рицы рассеяния [14] и в рамках нелинейной сиг-

тим при этом, что возможность реализации ММ бы-

ма-модели [15,16]. При этом были предложены спо-

ла предсказана также для цепочек магнитных ато-

собы классификации топологических фаз квазиод-

мов [40, 41] и для нанопроволок без внешнего маг-

номерных систем с взаимодействием [16-22]. Важ-

нитного поля [42, 43]. Однако такие системы в на-

ным для настоящего исследования является резуль-

стоящее время являются или спекулятивными, или

тат, полученный в работе [16], демонстрирующий

слабо изученными экспериментально.

устойчивость Z₂-топологической классификации си-

Большинство экспериментальных исследований

стем невзаимодействующих фермионов по отноше-

проявлений топологически нетривиальных фаз и

нию к включению в систему четырехфермионных

ММ в сверхпроводящих нанопроволоках основано

взаимодействий.

на анализе их транспортных характеристик. Так,

Твердотельные системы, в которых могут реа-

возникновение ММ в таких системах было подтвер-

лизовываться ММ, достаточно разнообразны. В пи-

ждено экспериментально измерением пика в диффе-

онерских работах [23, 24] существование таких ква-

ренциальной проводимости при нулевом напряже-

зичастичных возбуждений было предсказано в серд-

нии [44, 45]. Однако вопрос об однозначности трак-

цевинах вихрей двумерных киральных сверхпровод-

товки имеющихся экспериментальных данных, каса-

ников [23] и на концах квантовых проволок с наве-

ющихся детектирования майорановских состояний в

денной сверхпроводимостью [24]. В обеих моделях

сверхпроводящих проволоках, остается не до конца

сверхпроводящие спаривания обладали p-волновым

разрешенным [46-48]. В ходе теоретических разра-

типом симметрии. Позднее в работе [25] было указа-

боток выяснилось, что последовательное описание

но, что сверхпроводимость p-типа симметрии может

существующих экспериментов требует учета ряда

быть достигнута в реальных системах за счет сов-

особенностей нанопроволок, таких как туннелиро-

местной реализации наведенной s-волновой сверх-

вание между проволокой и сверхпроводящей под-

проводимости, сильного спин-орбитального взаимо-

ложкой [49], анизотропия g-фактора проволоки [50],

действия и внешних полей. Следуя данной идее,

электронные взаимодействия [51, 52], наличие бес-

были рассмотрены различные гибридные структу-

порядка [53,54], эффекты многозонности [55,56], ко-

ры, содержащие сверхпроводник s-типа симметрии,

нечные размеры системы [57-62].

топологические 2D-изоляторы [26] и полупроводни-

Общей картиной по исследованию эффектов

ковые нанопроволоки с сильным спин-орбитальным

электрон-электронных взаимодействий в нанопро-

взаимодействием Рашбы [27,28], изучаемые в насто-

волоке [51, 52] являются следующие заключения:

ящей работе. Отметим, что рассматриваются так-

межэлектронные взаимодействия, с одной сторо-

же системы, в которых реализация майорановских

ны, уменьшают щель в объемном спектре системы,

мод возможна за счет внутренних взаимодействий

уменьшая тем самым ее топологическую защищен-

[29-32].

ность, но, с другой стороны, увеличивают интер-

Среди представленных систем наиболее активно

вал параметров, при которых может реализовывать-

в настоящее время изучаются полупроводниковые

ся топологическая фаза. Аналогичный вывод име-

нанопроволоки с наведенной s-волновой сверхпро-

ет место для системы с беспорядком [53, 54]: отно-

водимостью и внешним магнитным полем (в даль-

сительно слабый беспорядок не разрушает в систе-

нейшем — сверхпроводящие нанопроволоки). Попу-

ме топологическую фазу, и майорановские моды не

лярность данных систем связана, во-первых, с прос-

локализуются. При этом учет сильного электрон-

508

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Фермионная четность основного состояния. ..

ного взаимодействия или сильного беспорядка мо-

го основного состояния нанопроволоки в замкнутой

жет привести или к индуцированию, или к исчез-

геометрии. Явным образом демонстрируется связь

новению топологических состояний в зависимости

между условиями реализации топологически нетри-

от параметров системы. Диаграмму топологических

виальной фазы и отрицательной фермионной четно-

фаз также существенно обогащает совместное рас-

сти основного состояния.

смотрение эффектов электронных взаимодействий,

Изложение результатов организовано следую-

беспорядка и многозонности [55, 56, 63]. Отметим,

щим образом. В разд. 2 описывается модель полу-

что в настоящее время общепризнанной считается

проводниковой нанопроволоки с наведенной сверх-

возможность эффективного представления основно-

проводимостью и электронными взаимодействиями.

го состояния нанопроволок с электронными взаимо-

В разд. 3 определяется структура основного состоя-

действиями в виде состояний матричных произве-

ния замкнутой нанопроволоки. Последнее достига-

дений (matrix product states) [20-22], удобного для

ется за счет использования связи Z₂-топологичес-

симметрийного анализа топологических фаз. При

кого инварианта и фермионной четности основного

этом явный вид волновой функции основного состо-

состояния. Раздел 4 посвящен анализу фермионной

яния сверхпроводящей нанопроволоки (точнее, для

четности основного состояния открытой нанопрово-

ее эффективной версии — модели цепочки Китае-

локи, а в разд. 5 обсуждаются магнито- и электро-

ва [24]) был получен лишь для выделенного очень

калорические эффекты. Особое внимание уделяет-

узкого набора параметров [64,65].

ся анализу данных свойств при параметрах, отве-

Среди исследований эффектов конечных разме-

чающих нетривиальному значению Z₂-инварианта

ров квантовых проволок, в которых могут реали-

системы. Далее обсуждается устойчивость рассмот-

зовываться ММ, можно выделить работы [57-62].

ренных ранее характеристик по отношению к на-

В частности, в работах [60, 61] обсуждалось важное

личию в системе относительно слабых электронных

для настоящего исследования осцилляционное пове-

корреляций, беспорядка, а также к изменению раз-

дение энергии расщепления между основным и пер-

меров системы (разд. 6).

вым возбужденным состояниями как функции дли-

ны и параметров цепочек. Позднее, в работе [62], для

2. МОДЕЛЬ СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ

модели конечной цепочки Китаева было показано,

НАНОПРОВОЛОКИ С ЭЛЕКТРОННЫМИ

что осцилляции минимальной энергии возбуждения

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

отвечают серии квантовых переходов, сопровожда-

ющихся изменением фермионной четности основно-

Будем рассматривать полупроводниковую нано-

го состояния.

проволоку InSb, на поверхность которой эпитакси-

Если просуммировать сказанное выше, то видно,

альным образом напылен тонкий слой алюминия

что на сегодняшний день по-прежнему актуальным

(3-5 нм), ответственный за индуцирование наведен-

является поиск эффектов, связанных с существова-

ной сверхпроводимости в системе. Учтем наличие в

нием ММ в сверхпроводящих нанопроволоках. Та-

нанопроволоке сильного спин-орбитального взаимо-

кие эффекты должны быть устойчивыми к введе-

действия Рашбы, а также отталкивательных элект-

нию в систему беспорядка, учету электронных вза-

ронных взаимодействий с интенсивностями U и V .

имодействий и изменению пространственных раз-

Гамильтониан такой системы в приближении силь-

меров системы. В настоящей работе показывается,

ной связи имеет вид [51]

что если параметры достаточно короткой нанопро-

[

∑

)]

t (

волоки отвечают условиям реализации в бесконеч-

ξ_σa^†lσa_lσ -

a^†lσal+1σ + a^†

a_lσ

l+1σ

ной цепочке ММ, то изменение внешнего магнитно-

l,σ

∑[

)

]

го поля или электростатического потенциала может

α⁽

Δa_l↑a_l↓-

a^†l↑al+1↓-a^†

al+1↑

+ H.c.

сопровождаться серией магнито- и электрокалори-

l↓

ческих аномалий. В случае отсутствия беспорядка

∑(

)

краткое рассмотрение особенностей магнитокалори-

Un_l↑n_l↓ +Vn_lnl+1 ,

(1)

ческого эффекта проведено в работе [66], где демон-

стрируется устойчивость калорических аномалий по

где слагаемые в первой сумме описывают одномер-

отношению к совместному учету несильных одно-

ную систему фермионов с интегралом перескоков

узельных и межузельных кулоновских корреляций

t/2 и с зависящей от проекции спина энергией фер-

и диагонального беспорядка. Также в работе [66]

миона на одном узле (отсчитанной от химического

кратко рассматривается структура многочастично-

потенциала μ),

509

В. В. Вальков, В. А. Мицкан, М. С. Шустин

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Формирование отрицательной фермионной чет-

ξ_σ = ϵ₀ - μ + η_σh, h =

gμ_BH,

ности связано со структурой гамильтониана в осо-

g — фактор Ланде, μ_B — магнетон Бора, H — внеш-

бых точках зоны Бриллюэна. В рассматриваемом

нее магнитное поле, a_lσ(a^†lσ) — оператор уничтоже-

случае это следует из того, что в представлении ква-

ния (рождения) фермиона на узле с номером l и

зиимпульса гамильтониан (1) распадается на пря-

с проекцией спина σ = ↑, ↓, η_↑ = 1, η_↓ = -1. Во

мую сумму квадратичных форм:

второй сумме гамильтониана представлены слагае-

∑

^ĥ(0) +^ĥ(π) +

r(k),

(3)

мые, связанные с наличием (за счет эффекта бли-

0<k<π

зости) потенциала сверхпроводящего спаривания с

амплитудой Δ, а также слагаемые, обусловленные

каждая из которых действует в своем инвариантном

спин-орбитальным взаимодействием Рашбы с пара-

подпространстве. В выражении (3) форма r(k) =

метром α. Последние слагаемые гамильтониана со-

= ĥ(k) +

^ĥ(-k) представляется четной по квазиим-

ответствуют учету одноузельного (U) и межузель-

пульсу комбинацией формы

^ĥ(k):

ного (V ) кулоновских взаимодействий фермионов.

∑

^ĥ(k) =

ξ_kσ n_kσ +

Оператор числа электронов на узле n_l = n_l↑ + n_l↓,

nlσ = a†lσalσ. Во всех разделах, кроме разд. 6, бу-

(

)

дет полагаться U = V = 0. Отметим, что, с точки

+ iα_ka^†k↓a_k↑ + Δa_k↑a_-k↓ + H.c. ,

(4)

зрения возможности реализации ММ, существенно

где

аномально высокое значение g-фактора в системе

(g ≃ 50), поскольку приложение полей порядка од-

ξ_kσ = ξ_k + η_σh, ξ_k = t cosk - μ, α_k = α sink.

ной теслы позволит достигать реализации в систе-

Выделение форм

ме топологически нетривиальной фазы. Поскольку

∑

в большинстве работ калорические характеристики

^ĥ(0) =

ξ0σ n0σ + (Δa0↑a0↓ + H.c.),

системы не рассматривались, для анализа послед-

∑

них мы ограничимся полуколичественным анализом

^ĥ(π) =

ξ_πσ n_πσ + (Δa_π↑a_π↓ + H.c.),

(5)

при выбранном соотношении параметров α/|t| ≃ 0.2,

Δ/|t| ≃ 0.3.

πσ

n0σ = a†0σa0σ,

n_πσ = a^†

πσ

из общего суммирования в гамильтониане (3) свя-

3. СТРУКТУРА ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ

зано с тремя факторами. Первый вытекает из того,

ЗАМКНУТОЙ НАНОПРОВОЛОКИ В

что точки k = 0 и k = π являются симметричными

ТОПОЛОГИЧЕСКИ ТРИВИАЛЬНОЙ И

в том смысле, что k = -k + G, где G — вектор об-

НЕТРИВИАЛЬНОЙ ФАЗАХ

ратной решетки. Второй фактор определяется обра-

Гамильтониан сверхпроводящей нанопроволоки

щением в нуль спин-орбитального взаимодействия в

(1) обладает электрон-дырочной симметрией, харак-

этих точках. Третий и самый существенный фактор

теризуется нарушенной инвариантностью по отно-

происходит из-за того, что изменение фермионной

шению к инверсии времени и относится к классу

четности основного состояния квантовой проволо-

симметрии D. Его топологические свойства класси-

ки при изменении параметров системы (например,

фицируются посредством Z₂-инварианта [9]. В рабо-

магнитного поля) определяется только изменением

те [24] был предложен вид данного инварианта (чис-

структуры основного состояния форм

^ĥ(0) и

^ĥ(π).

ло Майорана M), выражаемый через фермионную

Очевидно, что среди четырех собственных век-

четность P (H(N)) основного состояния замкнутой

торов формы

^ĥ(0) (и аналогично формы

^ĥ(π)) два

нанопроволоки:

вектора соответствуют состоянию с одним фермио-

ном:

P (H(N₁ + N₂)) = MP (H(N₁)) P (H(N₂)) .

(2)

†

|F_Qσ 〉 = a

|0〉, Q = 0, π, σ =↑, ↓ .

(6)

Qσ

Из представленного определения следует, что для

цепочки с четным числом узлов топологический ин-

Другие два собственных вектора имеют вид линей-

декс M совпадает с фермионной четностью такой

ной комбинации векторов, соответствующих состоя-

замкнутой нанопроволоки. Случаю M = 1 (M =

ниям с четным числом фермионов:

= -1) соответствует волновая функция, описываю-

|Φ_Q,±〉 =

R_Q,±|0〉,

щая суперпозицию состояний с четным (нечетным)

(7)

числом фермионов.

R_Q,± = A_Q,± + B_Q,±a^†Q↓a^†Q↑.

510

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Фермионная четность основного состояния. ..

h/|t|

В этих выражениях вакуумное состояние всей систе-

2.0

мы фермионов обозначено посредством |0〉.

Для дальнейшего важным является соотношение

между энергией E^FQ↓ = ξ_Q↓ однофермионного сос-

1.5

√

III

тояния |F_Q↓〉 и энергией EΦQ,- = ξ_Q - ξ2Q + |Δ|²

состояния |Φ_Q,-〉. Из требования, чтобы энергия

1.0

состояния |F0↓〉 была меньше энергии состояния

|Φ0,-〉, получаем условие реализации однофермион-

0.5

ного состояния в точке k = 0:

√

(t - μ)² + |Δ|².

(8)

-3

-2

-1

/|t|

Рассмотрение аналогичного условия для точки k =

= π приводит к неравенству

Рис. 1. Диаграмма топологических фаз замкнутой нано-

проволоки в переменных химический потенциал- внешнее

√

(t + μ)² + |Δ|².

(9)

магнитное поле. Области II и III соответствуют нетривиаль-

ной (M = -1), а I и IV — тривиальной (M = 1) тополо-

При его выполнении состояние с квазиимпульсом

гическим фазам. Параметр сверхпроводящего спаривания

k = π заполнено строго одним электроном.

Δ = 0.35|t| (в замкнутой геометрии фазовая диаграмма

Из вида квадратичной формы r(k) следует, что

не зависит от α)

ее собственный вектор, соответствующий нулевому

значению суммарного квазиимпульса и наименьшей

вид функции основного состояния реализуется в

энергии, можно представить следующим образом:

своей области параметров. Эти области показаны

на рис. 1 при Δ

= 0.35|t|. Структура волновой

|ψ_k〉 =

R_k|0〉,

(10)

функции основного состояния в этих областях

где оператор, порождающий суперпозицию состоя-

задается выражениями

(

)

ний с четным числом фермионов, определяется вы-

∏

ражением

R_k

|Ψ^(I)〉 = ( R0,-)( Rπ,-)

|0〉,

0<k<π

(

)

R_k = A_k+B_ka^†-k↓a^†k↑+C_ka^†k↓a^†-k↑+D_ka^†-k↑a^†k↑ +

∏

†

R_k

|Ψ^(II)〉 = ( R0,-)(a

)

|0〉,

π↓

+F_ka^†-k↓a^†k↓ +G_ka^†-k↓a^†k↑a^†k↓a^†-k↑.

(11)

0<k<π

(

)

(12)

∏

Фигурирующие здесь коэффициенты A_k, B_k, . . . , G_k

|Ψ^(III)〉 = (a^†

)(Rπ,-)

R_k

|0〉,

0↓

и шесть уровней энергии определяются из решения

0<k<π

задачи на собственные значения H^evk

X_k = E_k X_k, где

(

)

∏

⎛

⎞

|Ψ^(IV)〉 = (a†0↓)(a^†

)

R_k

|0〉.

π↓

Δ Δ

0<k<π

⎜

⎟

⎜

Δ^∗

2ξ_k

iα_k

-iα_k Δ

⎟

⎜

⎟

Из приведенной структуры функции основного со-

⎜

⎟

⎜

Δ^∗

2ξ_k

-iα_k iα_k Δ

⎟

стояния в различных областях фазовой диаграммы

H^evk =

⎜

⎟,

⎜

-iα_k iα_k

ξ_k↑

⎟

наглядно видно, что фермионная четность основ-

⎜

⎟

⎜

⎟

ного состояния нанопроволоки определяется только

⎝ 0

iα_k

-iα_k

ξ_k↓

⎠

характером заполнения состояний с квазиимпульса-

Δ^∗ Δ^∗

4ξ_k

ми k = 0 и k = π. Функции |Ψ^(I)〉 и |Ψ^(IV)〉 пред-

ставляются в виде суперпозиции состояний с чет-

X_k = (A_k, B_k, C_k, D_k, F_k, G_k)^T .

ным числом фермионов. Соответственно этому чис-

Проведенный анализ собственных векторов

ло Майорана M = +1. Для функций |Ψ^(II)〉 и |Ψ^(III)〉

квадратичных форм гамильтониана показыва-

в суперпозицию входят состояния с нечетным чис-

ет, что функция основного состояния замкнутой

лом фермионов. Поэтому при параметрах системы,

сверхпроводящей нанопроволоки с четным чис-

попадающих в области II и III, основное состояние

лом узлов может быть представлена в одном из

рассматриваемой квантовой проволоки обладает от-

четырех качественно различных видов. Каждый

рицательной фермионной четностью и в нанопрово-

511

В. В. Вальков, В. А. Мицкан, М. С. Шустин

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

(

)

локе реализуется топологически нетривиальная фа-

b′′ = α†

-α₀

/2 по одноузельным майорановским

за со значением числа Майорана M = -1. Отме-

операторам γ_Alσ, γ_Blσ:

тим, что число Майорана вычислялось ранее через

)

1⁽

пфаффиан матрицы Боголюбова - де Жена в пред-

γ_Alσ =

eiθ/2a^†lσ + e-iθ/2

a_lσ

ставлении майорановских операторов [24]. Оба под-

хода дают одинаковый результат, однако в представ-

γ_Blσ =

(eiθ/2a^†lσ - e-iθ/2a_lσ),

(14)

лении (12) наглядно проявляется структура волно-

∑

вой функции основного состояния.

b^′ =

wlσ,0γ_Alσ, b^′′ =

zlσ,0γ_Blσ.

l=1;σ

4. СЕРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В

Здесь θ — фаза сверхпроводящего параметра поряд-

ОТКРЫТОЙ НАНОПРОВОЛОКЕ

ка Δ = |Δ|e^iθ. Действительные функции wlσ,0 и zlσ,0

могут быть выражены через коэффициенты ulσ,0 и

Приведенные в предыдущем разделе рассужде-

vlσ,0 преобразования Боголюбова для квазичастицы

ния относились к цепочке в замкнутой геометрии.

α₀, отвечающей моде с минимальной энергией ε₀:

В этом случае число Майорана M имеет непосред-

ственную связь с фазой Зака - Берри [7,67]. Это поз-

wlσ,0 = e-iθ/2(ulσ,0 + vlσ,0),

воляет рассматривать M как Z₂-инвариант, кото-

zlσ,0 = e-iθ/2(ulσ,0 - vlσ,0),

(

)

(15)

рый классифицирует разные топологические фазы:

∑

α_m =

u^∗lσ,ma_lσ + v_lσ,ma^†

при M = 1 (M = -1) замкнутая цепочка находит-

lσ

l,σ

ся в тривиальной (нетривиальной) топологической

фазе. При рассмотрении открытой нанопроволоки

При этом коэффициенты ulσ,0 и vlσ,0 формируют

связь фермионной четности основного состояния с

собственные векторы матрицы Боголюбова - де Же-

топологическими характеристиками теряется.

на:

Условимся в дальнейшем считать топологически

⎛

⎞

нетривиальной областью параметров (ТНОП) от-

A_↑↑

A_↑↓

B_↑↑ B_↑↓

⎜

⎟

крытой нанопроволоки ту область параметров, для

⎜

A^†↑↓

A_↓↓

-B^T↑↓ B_↓↓

⎟

⎜

⎟

H =

(16)

которой замкнутая нанопроволока находится в то-

⎜

⎟

⎝ -B^↑↑

-B^∗↑↓

-A^∗↑↑

-A^∗↑↓

⎠

пологически нетривиальной фазе. В случае доста-

B^†↑↓

-B^∗↓↓

-A^T↑↓

-A^∗

↓↓

точно длинных открытых цепочек во всей ТНОП ре-

ализуются топологически защищенные майоранов-

с собственным значением ε₀. Отличными от нуля

ские моды. Для эффективного поиска условий реа-

компонентами эрмитовой (A_σσ′ ) и антисимметрич-

лизации ММ при рассмотрении цепочки в открытой

ной (B_σσ′ ) матриц здесь являются величины

геометрии была введена [57,58] майорановская поля-

ризация P. В целях дальнейшего рассмотрения эту

(A_↑↓)l,l+1 = - (A_↑↓)l+1,l = -α/2,

величину удобно представить в следующем виде:

(B_↑↓)_l,l = -Δ,

(17)



∑′



(A_σσ )_l,l = ϵ₀ - μ + η_σh, (A_σσ )l,l+1 = -t/2.



2

u∗lσ,0vlσ,0



Удобство введения майорановской поляризации

∑_′ (

) =

P состоит в том, что P = 0 при рассмотрении длин-

u2lσ,0 + v²

lσ,0

ных цепочек вне ТНОП и P = 1 внутри данной об-

lσ



ласти. Равенство P = 1 означает отсутствие пере-



∑

′ (

)



крытия распределений wlσ,0 и zlσ,0 и соответству-



w2lσ,0 - z2lσ,0



ет локализации данных функций вблизи различных

lσ

(13)

∑_′ (

) .

краев цепочки. Легко показать, что данное условие

w2lσ,0 + z²

lσ,0

также отвечает электрической и спиновой нейтраль-

lσ

ности майорановского возбуждения. Так, изменение

Здесь суммирование ведется по узлам l, принадле-

распределений электронной и спиновой плотностей,

жащим только левой (либо только правой) половине

δn_lσ = 〈1|a^†lσa_lσ|1〉 - 〈0|a^†lσa_lσ|0〉 =

цепочки, а wlσ,0 и zlσ,0 — коэффициенты разложения )

самосопряженных операторов b^′ = α₀ + α^†

/2 и

= |ulσ,0|² - |vlσ,0|² = wlσ,0zlσ,0

(18)

512

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Фермионная четность основного состояния. ..

h/|t|

W_l

Z_l

0.4

2.0

1.0

0.8

1.5

0.3

0.6

1.0

0.4

0.2

0.5

0.2

0.1

0.5

1.0

1.5

2.0

/|t|

Рис. 2. (В цвете онлайн) Зависимость майорановской по-

ляризации P от магнитного поля h и химического потенци-

∑

ала μ для открытой цепочки из 30 узлов с наведенным по-

Рис.

3. Распределения W_l

wlσ,0|²

и Z_l

∑

тенциалом сверхпроводящего спаривания (Δ = 0.35|t|) и

= |_σ zlσ,0|² при h = 0.8|t| и μ = 0.5|t| (соответствует

спин-орбитальным взаимодействием Рашбы (α = 0.22|t|).

ТНОП, P = 0.91). Поведение Z_l аналогично поведению

Черными линиями обозначены нулевые моды

W_l при замене l → N - l + 1

h/|t|

∑

2.0

δs^zl =

η_σwlσ,0zlσ,0,

(19)

1.5

∑

δs^xl =

wlσ,0zlσ,0

1.0

при переходе сверхпроводящей нанопроволоки из

0.5

основного состояния |0〉 в состояние с заполненной

майорановской модой |1〉 = α†0|0〉 равно нулю в опи-

санном случае. Таким образом, наблюдение майо-

-3

-2

-1

рановских мод в длинных нанопроволоках посред-

/|t|

ством измерения спиновой и электронной плотно-

Рис. 4. (В цвете онлайн) Фазовая диаграмма открытой

стей не представляется возможным.

нанопроволоки (N = 30) при Δ = 0.35|t|, α = 0.22|t|.

При уменьшении длины цепочки распределения

Закрашенные области соответствуют параметрам, для ко-

wlσ,0 и zlσ,0 внутри ТНОП начинают перекрывать-

торых основное состояние содержит парциальные вклады

ся. Степень такого перекрытия можно отображать,

с нечетным числом фермионов. Границами этих областей

строя карту майорановской поляризации P, приве-

служат линии, для точек которых реализуется квантовый

денную на рис. 2. В параметрических областях, в

фазовый переход. Штриховыми линиями показаны грани-

которых 0 < P < 1, реализуются краевые моды (в

цы реализации топологической нетривиальной фазы для

смысле, указанном в работе [68]) с перекрывающи-

замкнутой нанопроволоки (см. рис. 1). Изменение пара-

мися распределениями wlσ,0 и zlσ,0 (рис. 3). Энергия

метров вдоль синих штриховых линий со стрелками соот-

таких мод, вообще говоря, отлична от нуля, одна-

ветствует полевым зависимостям на рис. 5 (вертикальные

ко при определенных значениях параметров модели

штрихи соответствуют рис. 5а, горизонтальные штрихи —

рис. 5б)

в системе могут возникнуть бесщелевые возбужде-

ния. Последние реализуются не в широкой парамет-

рической области, а на специальных параметриче-

ских линиях, изображенных на рис. 2 и 4. Стоит

делять топологически нетривиальную область пара-

отметить, что по последней причине такие бесщеле-

метров.

вые возбуждения не представляют интереса с точ-

С точки зрения собственных состояний гамиль-

ки зрения квантовых вычислений. Однако ниже бу-

тониана (1), возникновение нулевой моды на специ-

дет приведен подход, позволяющий при исследова-

альных параметрических линиях означает вырож-

нии короткой открытой цепочки эффективно опре-

дение основного состояния. При этом существенно,

513

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

В. В. Вальков, В. А. Мицкан, М. С. Шустин

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

что при прохождении таких параметрических точек

5. МАГНИТО- И ЭЛЕКТРОКАЛОРИЧЕСКИЕ

два состояния с различной фермионной четностью

АНОМАЛИИ

сменяют друг друга в качестве основного, и в си-

Известно, что эффективными термодинамичес-

стеме реализуются квантовые переходы. Таким об-

кими характеристиками, позволяющими идентифи-

разом, линии нулевых мод в настоящей системе яв-

цировать квантовые переходы, являются калоричес-

ляются параметрическими линиями квантовых кри-

кие эффекты: магнитный и электрический [69, 70].

тических точек. Для открытой нанопроволоки ре-

Такие эффекты проявляют себя в изменении тем-

зультат вычисления индекса фермионной четности

пературы системы при адиабатическом изменении

P позволяет построить фазовую диаграмму систе-

магнитного поля или напряжения и определяются

мы, приведенную на рис. 4. Значение P может быть

выражениями

найдено как знак пфаффиана матрицы Боголюбо-

ва - де Жена (16), приведенной к антисимметричной

⁽∂T⁾

⁽∂〈M〉/∂T⁾

= -T

форме:

∂h_S,μ

C(T )

μ,h

(

)

(21)

∂T

⁽∂〈N〉/∂T⁾

= -T

(

))

∂μ_S,h

C(T )_μ,h

P = sign Pf

H₌ R^T HΛR,

где 〈N〉, 〈M〉 и C(T ) — соответственно концентрация

(

)

(

)

(20)

электронов, удельная намагниченность и удельная

Λ=

теплоемкость. Довольно просто показать, что вели-

чины (21) имеют разные знаки в правой и левой

окрестностях квантовой критической точки и испы-

тывают расходимость в этих точках при низких тем-

где

I — единичная матрица размерности 2N × 2N.

пературах. Первая особенность связана с изменени-

ем числа фермионов и спиновой структуры основ-

Закрашенным областям на рис. 4 соответствует

ного состояния при квантовых переходах. Соответ-

значение P = -1, при котором парциальные вкла-

ственно, величины 〈N〉 и 〈M〉 изменяются в кван-

ды в основное состояние содержат нечетное число

фермионов. Границами этих областей служат пара-

товой критической точке скачкообразно при T = 0.

При низких, но конечных температурах квантовый

метрические линии, для которых основное состоя-

фазовый переход сменяется кроссовером и, соответ-

ние двукратно вырождено и минимальная энергия

ственно, производные этих величин по температу-

возбуждения равна нулю. Границы топологических

ре имеют разные знаки в окрестностях критической

фаз замкнутой цепочки, изображенные на рис. 1,

точки. Для демонстрации второй особенности пере-

вновь представлены толстыми штриховыми линия-

пишем выражения для теплоемкости и производных

ми. Видно, что линии нулевых мод могут реализовы-

ваться как в ТНОП, так и за ее пределами. Когда

∂〈M〉/∂T , ∂〈N〉/∂T в виде

увеличивается длина нанопроволоки, линии смены

∑

∂〈N〉

фермионной четности исчезают в параметрической

A_mε_mf(ε_m/T)[1-f(ε_m/T)],

∂T

2T²

области с M = 1, тогда как в области параметров с

m=1

M = -1 их число растет, и в пределе N → ∞ они

∑

∂〈M〉

формируют квазиконтинуум в ТНОП.

B_mε_mf(ε_m/T)[1-f(ε_m/T)],

(22)

∂T

2T²

m=1

Таким образом, особенностью ТНОП в нанопро-

∑

волоке является реализация в ней каскада кванто-

C(T ) =

ε2mf(ε_m/T)[1 - f(ε_m/T)],

T²

вых переходов при изменении внешних параметров

m=1

(внешнего магнитного поля или напряжения). Та-

где

кой каскад может быть эффективно обнаружен с по-

мощью наблюдаемых характеристик. В частности,

∑

(

)

A_m =

|u_lσ,m|² - |v_lσ,m|²

перераспределения спиновой и электронной плотно-

l=1,σ

стей (18) становятся отличными от нуля для пара-

∑

(

)

метров, отвечающих таким линиям. Однако, види-

B_m = η_σ

|u_lσ,m|² - |v_lσ,m|²

мо, наиболее эффективное детектирование ТНОП

l=1,σ

может быть осуществлено посредством измерения

магнито- и электрокалорических эффектов.

f (ε_m/T ) — функция Ферми - Дирака.

514

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Фермионная четность основного состояния. ..

мК

На рис. 5 видно, что величины магнито- и элект-

рокалорического эффектов имеют яркие особенно-

сти в ТНОП при низких температурах. Идентифи-

кация этих особенностей может служить критери-

ем для обнаружения ТНОП, дополнительным к уже

предложенным в литературе (см., например, рабо-

ты [2,45,71]).

-5

6. УСТОЙЧИВОСТЬ КАЛОРИЧЕСКИХ

-10

АНОМАЛИЙ

H, кЭ

В настоящем разделе демонстрируется устойчи-

S,H

мВ

вость серий магнито- и электрокалорических ано-

малий в ТНОП по отношению к учету электрон-

электронных взаимодействий, диагонального беспо-

рядка и изменений размеров системы.

Как было показано в работе [16], классифика-

ция топологических фаз одномерных систем с по-

мощью Z₂-инварианта сохраняется при добавлении

-10

к квадратичному гамильтониану четырехфермион-

ных слагаемых. Соответственно этому, при изуче-

-20

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

нии областей реализации топологически нетриви-

, B

альной фазы системы, описываемой гамильтониа-

ном (1) с ненулевыми значениями параметров од-

Рис. 5. (В цвете онлайн) Полевые зависимости магнито-

ноузельных (U > 0) и межузельных (V > 0) элект-

калорического (а, μ/|t| = 0.5) и электрокалорического (б,

рон-электронных взаимодействий, мы по-прежнему

h/|t| = 0.6) эффектов. T = 57 мК, остальные параметры

использовали определение топологического индекса

соответствуют рис. 4. Из сопоставления с рис. 4 видно, что

калорические эффекты демонстрируют аномальное пове-

(2). Так, число Майорана M системы с взаимодейст-

дение в ТНОП

виями отождествлялось с фермионной четностью

основного состояния соответствующей замкнутой

цепочки с четным числом узлов. Спектральные и

Из рассмотрения данных выражений видно, что

термодинамические особенности ТНОП исследова-

при температурах, много меньших характерной ще-

лись численно при использовании следующих двух

ли объемного спектра, основной вклад в функции

подходов.

∂〈N〉/∂T , ∂〈M〉/∂T и C(T ) дают краевые моды с ос-

В первом подходе использовалась точная диа-

циллирующей энергией возбуждений ε₀. При этом в

гонализация гамильтониана для цепочки с неболь-

окрестностях параметрических линий нулевых мод

шим числом узлов, с помощью которой находи-

должна наблюдаться обратная зависимость кало-

лись низкоэнергетические ветви спектра фермиев-

рических эффектов (21) от минимальной энергии

ских возбуждений. Последнее осуществлялось на ос-

возбуждения ε₀ (поскольку теплоемкость системы

нове представления Лемана [72]:

C(T ) ∝ ε²⁰, а приращения ∂〈N〉/∂T , ∂〈M〉/∂T ∝ ε₀).

⎛(

)

Таким образом, при низких температурах калори-

∑

a^†

(a_l′_σ′ )s0

ческие эффекты должны испытывать расходимость

lσ

⎝

-i〈T_tã^†lσ(t)ã_l′_σ′ (t^′)〉_ω =

в квантовых критических точках и иметь практи-

ω-E_s+E₀+iδ

s=1

чески нулевое значение вдали от них. Такое пове-

(

)

⎞

дение изображено на рис. 5. Штриховыми линиями

(a_l′_σ′ )0s a^†

lσ

⎠,

(23)

показаны зависимости калорических эффектов для

ω + E_s - E₀ - iδ

замкнутой нанопроволоки, в которой квантовые пе-

реходы сопровождаются изменением значения топо-

(

)

где a^†

= 〈s|a^†lσ|0〉. Здесь |0〉 и |s〉 — основное

логического индекса M. Сплошными линиями при-

lσ

ведены аналогичные зависимости для открытой на-

и s-е собственные возбужденные состояния гамиль-

нопроволоки.

тониана (1), E₀ и E_s — энергии соответствующих

515

В. В. Вальков, В. А. Мицкан, М. С. Шустин

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

†

(A_σσ)_l,l = Δμ_l - μ + η_σh + U〈a

a_l,σ〉+

состояний. Известно, что в отсутствие кулоновского

l,σ

)

взаимодействия эффективными являются 2N пере-

(∑

(одо), для которых энергии и матричные элементы

〈a†l-1,σ′ al-1,σ′ 〉 + 〈a†l+1,σ′ al+1,σ′ 〉

σ^′

a^†

и (a_lσ)m0 соотносятся с энергиями и u-v-ко-

lσ

эффициентами боголюбовских возбуждений следу-

(A_σσ)l,l+1 = -

- V 〈a^†l↑al+1,↑〉,

ющим образом:

(A_↑↓)_l,l = -U〈a^†l↓a_l↑〉,

E_m - E₀ = ε_m, m = 1, . . ., 2N,

(

)



(A_↑↓)l,l+1 = -

- V 〈a†l+1↓a_l↑〉,

(28)



(24)

 a^†

lσ

 = |ulσ,m|,

|(a_lσ)m0| = |v_lσ,m|.

(A_↑↓)l+1,l =

- V 〈a†l+1↓a_l↑〉^∗

При наличии четырехфермионного взаимодей-

(B_σσ)l,l+1 =

〈a^†lσa†l+1σ〉^∗,

ствия отличными от нуля яв

(

)

22N-1 матричных элементов a^†

и (a_lσ)m0. Од-

lσ

(B_↑↓)_l,l = -Δ^∗ -

〈a^†l↓a^†l↑〉^∗,

нако если из этих 22N-1 переходов можно выбрать

2N переходов так, чтобы выполнялось условие

(B_↑↓)l,l+1 =

〈a^†l↑a†l+1,↓〉^∗.

)

∑

((

)



∼1,

 a^†



² + |(a_lσ)m0

|²

В выражение для (A_σσ)_l,l была включена завися-

lσ

m=1

щая от номера узла энергия электронов в цепочке,

Δμ_l, моделирующая наличие в системе диагональ-

то соотношение (24) также будет выполняться с вы-

ного беспорядка. В настоящей работе рассматривал-

сокой точностью при замене u_lσ,m, v_lσ,m, ε_m → ũ_lσ,m,

ся случай относительно слабого диагонального бес-

vlσ,m, εm. При этом под ũlσ,m, vlσ,m и εm уже подра-

порядка: Δμ_l ∈ [-t/2, t/2]. Собственные векторы

зумеваются коэффициенты u-v-преобразования Бо-

(

)_T

голюбова и энергии фермиевских возбуждений, по-

Y_m =

ũ_↑m, ũ_↓m, v^∗↑m, v^∗↓m

гамильтониана Бого-

лучаемые при рассмотрении системы в рамках вто-

любова - де Жена (27) описывают электроноподоб-

рого метода, а именно, в обобщенном приближении

ные и дырочноподобные волновые функции состоя-

среднего поля [73, 74].

ния с энергией возбуждения ε_m. Последние вычис-

Для анализа системы в рамках этого приближе-

лялись самосогласованно с равновесными корреля-

ния преобразуем четырехфермионные слагаемые га-

ционными функциями:

мильтониана (1) с использованием расцепления:

∑

[

a^†lσa^†mσ′ amσ′ alσ →

〈a^†lσ a_l′_σ′ 〉 =

ũ_lσ,mũ^∗l′_σ′_,mf (εm/T) +

m=1

→ 〈a^†lσa_lσ〉a^†mσ′ amσ′ + 〈am σ′ amσ′ 〉a^†lσalσ -

]

+ v_lσ,mv^∗l′_σ′,m (1 - f (εm/T)) ,

(29)

- 〈a^†lσa_mσ′ 〉a^†mσ′ alσ - 〈am σ′ alσ〉a^†lσamσ′ -

- 〈a^†mσ′ a^†lσ〉^∗a^†lσa^†mσ′ - 〈a^†lσa^†mσ′ 〉alσamσ′ .

(25)

∑

[

В этом случае гамильтониан системы в форме Бо-

ũ_lσ,mv_l′_σ′_,mf (ε_m/T) +

〈a^†lσ a†l′σ′〉=

голюбова - де Жена может быть записан в виде

m=1

]

+ v_lσ,mũ_l′_σ′,m (1 - f (ε_m/T))

(30)

a^† · Ha,

(26)

Для коротких цепочек (N = 6) сопоставление

⎛

⎞

результатов расчетов, полученных двумя описанны-

A_↑↑

A_↑↓

B_↑↑ B_↑↓

⎜

⎟

ми выше методами, показало, что при U, V

≲ |t|

⎜

A^†↑↓

A_↓↓

-B^T↑↓ B_↓↓

⎟

H =^⎜

^⎟,

(27)

низкоэнергетические ветви спектра возбуждений ε_m

⎜

⎟

-B^∗↑↓

-A^∗↑↑

-A^∗↑↓

⎝ -B↑↑

⎠

и отвечающие им одночастичные волновые функ-

B^†↑↓

-B^∗↓↓

-A^T↑↓

-A^∗

↓↓

ции совпадают с точностью до нескольких процен-

(

)

тов (что продемонстрировано для случая U = 0.5|t|,

a^† = a^†↑, a^†,a↑,a↓ , aσ = (a1σ,...,aNσ), а матрицы

↓

V = 0.3|t| на рис. 6). Соответственно, параметриче-

A_σ,σ′ , B_σ,σ′ имеют следующие ненулевые компонен-

ские линии смены фермионной четности основного

ты, зависящие от интенсивности электронных взаи-

состояния также хорошо воспроизводятся в рамках

модействий (A_σσ = A^†σσ , B_σσ = -B^Tσσ):

среднеполевого подхода.

516

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Фермионная четность основного состояния. ..

~ /|t_m|

h/|t|

0.5

2.0

0.4

1.5

0.3

1.0

0.2

0.1

0.5

-3

-2

-1

-2

/|t|

Рис. 6. (В цвете онлайн) Зависимость минимальных энер-

Рис. 7. (В цвете онлайн) Карта фермионной четности

гий возбуждения εm открытой нанопроволоки с кулонов-

открытой цепочки, состоящей из 30 узлов, а также гра-

скими взаимодействиями при N = 6, h = |t|, U = 0.5|t|,

ницы топологических фаз (штриховые кривые) замкну-

V = 0.3|t| от значения химического потенциала. Сплошная

той цепочки при учете электронных корреляций: U

черная линия отражает зависимость, вычисленную в рам-

= 0.5|t|, V = 0.3|t|. Диагональный беспорядок отсутствует

ках обобщенного приближения среднего поля. Штриховая

(Δμ_l = 0). Остальные параметры и цветовые обозначения

синяя линия отражает зависимость ε0, найденную с по-

такие же, как на рис. 4

мощью точной диагонализации и представления Лемана.

Δ = 0.35|t|, α = 0.22|t|

S,H

мВ

Расчет спектральных свойств, характеристик ос-

новного состояния и низкотемпературной термо-

динамики нанопроволок с большим числом узлов

при учете кулоновских взаимодействий проводил-

ся в рамках обобщенного приближения среднего по-

ля. Оказалось, что при учете электрон-электронных

-10

взаимодействий отмеченные в предыдущих разде-

лах особенности системы сохраняются: для замкну-

–20

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

тых цепочек имеется область параметров, для кото-

, B

рой реализуется топологически нетривиальная фа-

мК

за. При изменении параметров внутри данной обла-

сти для открытой цепочки реализуется каскад кван-

товых переходов с изменением фермионной четнос-

ти основного состояния, сопровождающийся кало-

рическими аномалиями.

Примеры карты фермионной четности открытой

-1

цепочки и линий топологических переходов замкну-

той цепочки для случая U = 0.5|t|, V = 0.3|t| и при

-3

остальных параметрах, отвечающих рис. 4, приве-

дены на рис. 7. Видно, что квантовые переходы в

-50

ТНОП сохраняются при учете взаимодействий, са-

H, кЭ

ма ТНОП может изменять свое положение в фазо-

Рис. 8. (В цвете онлайн) а) Полевая зависимость элект-

вом пространстве системы. Ввиду того, что взаимо-

рокалорического эффекта для h = 0.5|t|, U = 0.5|t|, V =

действие является электрон-электронным, наиболь-

= 0.3|t|, Δμ_l = 0. б) Зависимость от внешнего магнитно-

шему изменению подвергаются области, для кото-

го поля величины магнитокалорического эффекта для бо-

рых числа заполнения одноэлектронных состояний

лее длинной цепочки (N = 50) с электрон-электронными

〈a^†lσ a_lσ〉 ≃ 1. На рис. 8а представлена полевая зави-

взаимодействиями (U = 0.5|t|, V = 0.3|t|) и при наличии

симость электрокалорического эффекта для нано-

диагонального беспорядка Δμ_l ∈ [-t/2, t/2]. На правой

проволоки с N = 30 и h = 0.5|t|. Также на рис. 8б

оси отложена фермионная четность P основного состоя-

приведена полевая зависимость магнитокалоричес-

ния (зеленая линия)

517

В. В. Вальков, В. А. Мицкан, М. С. Шустин

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

кого эффекта для более длинной цепочки с 50 узла-

системах класса симметрии D, например, таких

ми, полученная при одновременном учете электрон-

как ансамбль электронов на треугольной решетке

ных корреляций (U = 0.5|t|, V

= 0.3|t|) и диаго-

в фазе сосуществования киральной сверхпрово-

нального беспорядка. Видно, что калорические ано-

димости и неколлинеарного магнитного порядка,

малии реализуются в ТНОП и при учете электрон-

рассмотренной в геометрии цилиндра [31, 32].

электронных взаимодействий, беспорядка и вариа-

ций размеров системы.

Благодарности. Авторы выражают при-

Отметим, что температуры, при которых ярко

знательность С. В. Аксенову, А. Д. Федосееву

проявляются аномалии магнито- и электрокалори-

и А. О. Злотникову за полезные замечания и

ческого эффектов, должны быть много меньше ха-

обсуждения результатов.

рактерной щели спектра объемных возбуждений и

Финансирование. Работа выполнена при под-

порядка характерной энергии краевых мод ε₀. По-

держке Российского фонда фундаментальных ис-

скольку ε₀ ∝ e-L/l0 , такая температура уменьшает-

следований (гранты

№№ 16-02-00073, 18-32-00443,

ся при увеличении длины цепочки. Однако при тем-

18-42-243017, 18-42-243018), Правительства Красно-

пературах T ≈ 20 мК (при которых в недавних экс-

ярского края, Красноярского краевого фонда на-

периментах наблюдался квантованный пик диффе-

уки в рамках научных проектов «Контактные яв-

ренциальной проводимости [45]) калорические ано-

ления и магнитный беспорядок в проблеме форми-

малии по-прежнему ярко проявляются для цепочек

рования и детектирования топологически защищен-

с N ≈ 200. Нанопроволоки такой длины можно счи-

ных краевых состояний в полупроводниковых нано-

тать промежуточными между предельными случа-

структурах» (проект №18-42-243018)и «Проявление

ями режима квантовых точек (к которым относи-

кулоновских взаимодействий и эффектов ограни-

лись предыдущие построения) и режимом длинных

ченной геометрии в свойствах топологических крае-

цепочек с хорошо определенными майорановскими

вых состояний наноструктур со спин-орбитальным

фермионами на краях.

взаимодействием» (проект №18-42-243017). Один

из авторов (Ш. М. С.) благодарит за поддерж-

ку Совет по грантам Президента РФ (проекты

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

№№ МК-3594.2018.2, МК-3722.2018.2).

Проведенный анализ показал, что в полупровод-

никовой нанопроволоке с сильным спин-орбиталь-

ЛИТЕРАТУРА

ным взаимодействием Рашбы и наведенной сверх-

1. J. Alicea, Rep. Progr. Phys. 75, 076501 (2012).

проводимостью при изменении внешнего магнитно-

го поля реализуются калорические эффекты, если

2. C. Beenakker, Ann. Rev. Condens. Matter Phys. 4,

параметры нанопроволоки соответствуют топологи-

113 (2013).

чески нетривиальной фазе, определяемой для пе-

3. T. D. Stanescu and S. Tewari, J. Phys.: Condens.

риодических граничных условий. Этот эффект мо-

Matter 25, 233201 (2013).

жет использоваться в качестве альтернативного ме-

4. S. R. Elliott and M. Franz, Rev. Mod. Phys. 87, 137

тода (относительно предложенных ранее [2,45] мето-

(2015).

дов) экспериментальной идентификации топологи-

чески нетривиальной области параметров нанопро-

5. F. Wilczek and A. Zee, Phys. Rev. Lett. 52, 2111

волоки. Востребованность предложенного инстру-

(1984).

мента изучения квантовых нанопроволок с нетриви-

6. С. И. Виницкий, В. Л. Дербов, В. М. Дубовик и

альными свойствами обусловлена активным иссле-

др., УФН 160, 1 (1990).

дованием явлений, связанных с проявлением май-

орановских мод в конденсированных средах. Для

7. P. Ghosh, Jay D. Sau, S. Tewari, and S. Das Sarma,

практических целей важно, что предсказанные ка-

Phys. Rev. B 82, 184525 (2010).

лорические аномалии являются устойчивыми по от-

8. A. P. Schnyder, S. Ryu, A. Furusaki, and

ношению к включению кулоновского отталкивания

A. W. W. Ludwig, Phys. Rev. B 78, 195125 (2008).

и диагонального беспорядка.

9. A. Yu. Kitaev, AIP Conf. Proc. 1134, 22 (2009).

Отметим также, что представленные эффекты

не ограничиваются сверхпроводящей нанопроволо-

10. C.-K. Chiu, J. C. Y. Teo, A. P. Schnyder, and S. Ryu,

кой и могут иметь место в других квазиодномерных

Rev. Mod. Phys. 88, 035005 (2016).

518

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Фермионная четность основного состояния. ..

11.

L. Fidkowski and A. Yu. Kitaev, Phys. Rev. B 81,

34.

H. A. Nilsson, P. Caroff, C. Thelander et al., Nano

134509 (2010).

Lett. 9, 3151 (2009).

12.

V. Gurarie, Phys. Rev. B 83, 085426 (2011).

35.

M. T. Deng, S. Vaitiekenas, E. B. Hansen et al., Sci-

ence 354, 1557 (2016).

13.

Y. J. BenTov, J. High Energy Phys. 2015:34 (2015).

36.

J. Alicea, Y. Oreg, G. Refael et al., Nature Phys. 7,

14.

D. Meidan, A. Romito, and P. W. Brouwer, Phys.

412 (2011).

Rev. Lett. 113, 057003 (2014).

37.

D. J. Clarke, J. D. Sau, and S. Tewari, Phys. Rev.

15.

Yi-Z. You and C. Xu, Phys. Rev. B 90, 245120 (2014).

B 84, 035120 (2011).

16.

T. Morimoto, A. Furusaki, and C. Mudry, Phys. Rev.

38.

B. van Heck, A. R. Akhmerov, F. Hassler et al., New

B 92, 125104 (2015).

J. Phys. 14, 035019 (2012).

17.

L. Fidkowski and A. Yu. Kitaev, Phys. Rev. B 83,

39.

B. I. Halperin, Y. Oreg, A. Stern et al., Phys. Rev.

075103 (2011).

B 85, 144501 (2012).

18.

A. M. Turner, F. Pollmann, and E. Berg, Phys. Rev.

40.

S. Nadj-Perge, I. K. Drozdov, B. A. Bernevig, and

B 83, 075102 (2011).

A. Yazdani, Phys. Rev. B 88, 020407(R) (2013).

19.

F. Pollmann, A. M. Turner, E. Berg, and M. Oshika-

41.

S. Nadj-Perge, I. K. Drozdov, J. Li et al., Science 346,

wa, Phys. Rev. B 81, 064439 (2010).

602 (2014).

20.

X. Chen, Z.-C. Gu, and X.-G. Wen, Phys. Rev. B 83,

42.

F. Zhang, C. L. Kane, and E. J. Mele, Phys. Rev.

035107 (2011).

Lett. 111, 056402 (2013).

21.

N. Schuch, D. Perez-Garcia, and I. Cirac, Phys. Rev.

43.

A. Keselman, L. Fu, A. Stern, and E. Berg, Phys.

B 84, 165139 (2011).

Rev. Lett. 111, 164402 (2013).

22.

F. Pollmann, E. Berg, A. M. Turner, and M. Oshika-

44.

V. Mourik, K. Zuo, S. M. Frolov et al., Science 336,

wa, Phys. Rev. B 85, 075125 (2012).

1003 (2012).

23.

N. Read and D. Green, Phys. Rev. B 61, 10267

45.

R. M. Lutchin, E. P. A. Bakkers, L. P. Kouwenhoven

(2000).

et al., Nature Rev. Mater. 3, 52 (2018).

24.

A. Y. Kitaev, Phys. Usp. 44, 131 (2001).

46.

S. R. Elliott and M. Franz, Rev. Mod. Phys. 87, 137

25.

L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. Lett. 100, 096407

(2015).

(2008).

47.

C. Moore, C. Zeng, T. D. Stanescu, and S. Tewari,

26.

J. D. Sau, R. M. Lutchyn, S. Tewari, and S. Das Sar-

Phys. Rev. B 98, 155314 (2018).

ma, Phys. Rev. Lett. 104, 040502 (2010).

48.

C. Zeng, C. Moore, A. M. Rao et al., arXiv:1808.

27.

J. D. Sau, S. Tewari, R. M. Lutchyn et al., Phys. Rev.

02495 (2018).

B 82, 214509 (2010).

49.

C. Reeg, D. Loss, and J. Klinovaja, Phys. Rev. B 96,

28.

R. M. Lutchyn, J. D. Sau, and S. Das Sarma, Phys.

125426 (2017).

Rev. Lett. 105, 077001 (2010).

50.

G. W. Winkler, D. Varjas, R. Skolasinski et al., Phys.

29.

A. Yu. Kitaev, Ann. Phys. 321, 2 (2006).

Rev. Lett. 119, 037701 (2017).

30.

I. Martin and A. F. Morpurgo, Phys. Rev. B 85,

51.

E. M. Stoudenmire, J. Alicea, O. A. Starykh, and

144505 (2012).

M. P. A. Fisher, Phys. Rev. B 84, 014503 (2011).

31.

Y.-M. Lu and Z. Wang, Phys. Rev. Lett. 110, 096403

52.

S. Gangadharaiah, B. Braunecker, P. Simon, and

(2013).

D. Loss, Phys. Rev. Lett. 107, 036801 (2011).

32.

V. V. Val’kov, A. O. Zlotnikov, and M. S. Shustin, J.

53.

O. Motrunich, K. Damle, and D. A. Huse, Phys. Rev.

Magn. Magn. Mater. 459, 112 (2018).

B 63, 224204 (2001).

33.

V. Aleshkin, V. Gavrilenko, A. Ikonnikov et al., Semi-

54.

P. W. Brouwer, M. Duckheim, A. Romito, and

conductors 42, 828 (2008).

F. von Oppen, Phys. Rev. B 84, 144526 (2011).

519