ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 3 (9), стр. 528-539

НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЧ-ИЗЛУЧЕНИЯ С

ПОТОКОМ ПЛАЗМЫ В УСЛОВИЯХ ГИБРИДНОГО РЕЗОНАНСА

И. С. Абрамов^*, Е. Д. Господчиков, А. Г. Шалашов

Институт прикладной физики Российской академии наук

603950, Нижний Новгород, Россия

Поступила в редакцию 15 января 2019 г.,

после переработки 28 февраля 2019 г.

Принята к публикации 1 марта 2019 г.

Предложена простая модель квазиодномерного стационарного потока неравновесной плазмы, распро-

страняющегося вдоль оси открытой магнитной ловушки и поддерживаемого высокочастотным электро-

магнитным полем. Модель позволяет качественно исследовать возможные режимы течения плазмы в

присутствии наведенного внутреннего высокочастотного поля, усиленного вследствие геометрического

резонанса с потоком плазмы, а также определить основные особенности и ключевые характеристики

нелинейного поглощения энергии внешнего поля.

DOI: 10.1134/S0044451019090165

го поля с плазменным образованием, характерные

размеры которого могут быть сравнимыми с дли-

ной волны поддерживающего излучения. Описание

1. ВВЕДЕНИЕ

подобных объектов требует учета эффектов, связан-

ных с влиянием границы плазмы, т. е. в первую оче-

Исследования взаимного влияния высокочастот-

редь геометрических (поверхностных плазмонных)

ного поля и плазмы посредством усредненной понде-

резонансов, в окрестности которых высокочастотное

ромоторной силы берут свое начало в классических

поле внутри плазмы значительно усиливается [12].

работах [1-4]. В дальнейшем тема получила разви-

В таких условиях интенсивность поля внутри плаз-

тие в области исследований взаимодействия лазер-

ного излучения с веществом и приложениях, связан-

мы может оказываться достаточной для того, чтобы

усредненная пондеромоторная сила, действующая

ных с плазменным ускорением частиц [5-9]. Акцент

на частицы плазмы, существенно влияла на плот-

в основном был сделан на анализе эффектов нели-

ность среды. Это приводит нас к самосогласованной

нейного взаимодействия высокочастотного поля c

задаче о нелинейном взаимодействии высокочастот-

неограниченной прозрачной плазмой: самофокуси-

ного поля и плазмы — усиление поля зависит от ди-

ровки и дефокусировки этого поля, организации са-

намики среды, которая, в свою очередь, зависит от

моподдерживающихся волноведущих каналов, воз-

буждения плазменных кильватерных волн и др.

величины пондеромоторной силы в области усиле-

ния поля. Специфика этого процесса состоит именно

Наряду с лазерами, для создания и поддержания

в резонансной зависимости пондеромоторной силы

плазмы используются мощные источники СВЧ-из-

от параметров плазмы, что делает его крайне чув-

лучения. При помощи них удается создать стаци-

ствительным к неоднородностям пространственного

онарную неравновесную плазму, в которой темпе-

распределения параметров.

ратура электронов существенно превосходит темпе-

ратуру ионов. Это создает благоприятные условия

Одним из важных частных случаев взаимодейст-

для эффективной ионизации и возбуждения ионов

вия микроволн с компактным плотным плазменным

электронным ударом, что открывает возможность

образованием является СВЧ-разряд, который необ-

использования данной плазмы в широком спектре

ходим для приложений, связанных с разработкой

приложений [10, 11]. Для микроволнового разряда

источников жесткого УФ-излучения и ионов высо-

возникает задача о взаимодействии высокочастотно-

кой кратности, и который, по сути, может быть рас-

смотрен как направленный поток плазмы перемен-

^* E-mail: abramov@appl.sci-nnov.ru

ного сечения [13-16]. Помимо пондеромоторной си-

528

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Нелинейное взаимодействие СВЧ-излучения...

лы неоднородность плазмы здесь определяется так-

Будем считать, что зависимость от координаты

же динамикой потока, поэтому для корректного по-

z гармоническая и волна падает на плазменный ци-

строения теории нелинейного поглощения поддер-

линдр под определенным углом θ к его оси. До-

живающего поля в условиях СВЧ-разряда такого

пустим также, что размер цилиндра много меньше

типа принципиальным является согласованное опи-

длины волны внутри плазмы, поэтому поле внутри

сание газодинамики течения и динамики резонанс-

цилиндра будем считать однородным по поперечной

ного электрического поля, наводимого внутри раз-

координате. Таким образом, поле внутри и снаружи

ряда.

цилиндра может быть представлено в виде

В настоящей работе предложена простая мо-

E^int = E^int exp (ik₀z cos θ - iωt),

дель квазиодномерного стационарного потока плаз-

мы, распространяющегося вдоль оси открытой маг-

E^out = E^out exp(ik₀z cosθ - iωt),

нитной ловушки и поддерживаемого внешним вы-

сокочастотным полем. Модель позволяет качествен-

где E^int и E^out — комплексные амплитуды поля со-

ответственно внутри и снаружи цилиндра.

но исследовать возможные режимы течения плазмы

в присутствии резонансно усиленного внутреннего

Когда внешнее магнитное поле направлено вдоль

высокочастотного поля, определить основные осо-

образующей цилиндра, возникает дополнительное

бенности и ключевые характеристики нелинейного

упрощение, связанное с тем, что ось гиротропии ди-

поглощения СВЧ-излучения.

электрического отклика совпадает с осью цилиндра.

При этом задачи о возбуждении колебаний плазмы

высокочастотным полем E, параллельным оси ци-

линдра и перпендикулярным ей, могут рассматри-

2. РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ

ваться независимо. Также известно, что резонанс-

ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ПОЛЯ НА

ное усиление поля при рассеянии на цилиндриче-

ОДНОРОДНОМ ПЛАЗМЕННОМ ЦИЛИНДРЕ

ском объекте, много меньшем длины волны, воз-

можно только для поперечного по отношению к оси

Рассмотрим вспомогательную задачу о рассея-

цилиндра падающего поля [20]. Это усиление связа-

нии падающей монохроматической электромагнит-

но с возбуждением в системе электродипольного ре-

ной волны на однородном плазменном цилиндре ра-

зонанса. Поэтому мы можем ограничиться рассмот-

диусом a, помещенном во внешнее однородное ста-

рением только поперечной компоненты падающего

тическое магнитное поле (рис. 1a). Это стандарт-

поля. Такое описание падающей на цилиндр вол-

ная задача теории дифракции, решения которой для

ны эквивалентно разложению падающего поля по

произвольного соотношения между длиной волны и

цилиндрическим волнам и учету только цилиндри-

поперечным размером цилиндра в виде разложения

ческих волн (ТЕ и ТМ) с азимутальным номером

по цилиндрическим гармоникам хорошо известны

m = 1 [18].

как для изотропного [17,18], так и для анизотропно-

При выполнении перечисленных выше условий

го [12,19] диэлектрического отклика. В случае, ког-

поле вне цилиндра может быть записано как

да диаметр цилиндра много меньше длины волны,

(

)

эта задача может быть решена в квазистатическом

4(P · r_⊥)r_⊥

E^out = E⁰+πa²

+iπk2P

(1)

приближении [18,20]. В этом приближении вариаци-

r⁴

r²

ей падающего поля на внешней границе цилиндра

можно пренебречь.

где E⁰

— комплексная амплитуда поля падаю-

щей волны, P — комплексная амплитуда векто-

ра поляризации, r_⊥ = (x, y) — перпендикулярная

E⁰

оси цилиндра с

оставляющая радиус-вектора,

k² =

(

)

= k²⁰

1 + cos2 θ

/2. Последний член в правой час-

P B

ти (1) описывает влияние радиационных поправок

на рассеяние волны (радиационное трение¹⁾) [20,21].

¹⁾ Данный член может быть получен при разложении поля,

излучаемого дипольной нитью, по малому параметру k₀a ≪ 1

до соответствующего порядка. При этом следует пренебречь

Рис. 1. Пояснение к модели нелинейного взаимодействия

компонентами рассеянного поля порядка k²⁰a² ln(k₀a), нахо-

высокочастотного поля с плазменным образованием

дящимися в фазе с наведенной поляризацией, поскольку они

лишь мало смещают положение дипольного резонанса.

529

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

И. С. Абрамов, Е. Д. Господчиков, А. Г. Шалашов

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

При отсутствии диссипации именно он ограничива-

Видно, что в данном случае при выполнении усло-

ет величину поля внутри цилиндра в резонансе.

вий

Наведенная поляризация определяется по-

|ω2p - 2ω(ω ± ω_B)| ∼ (νω + ω2pπk2a²/4) ≪ ω2p

(6)

лем E^int, возбуждаемым внутри цилиндра:

происходит резкое усиление поля. Отвечающий

P= χE^int,

χ=

(ε- 1),

этим условиям резонанс

4π

(√

)

где χ и ε — тензоры диэлектрической восприим-

ω=Ω_± ≡

2ω2p + ω2B ∓ ω_B

(7)

чивости и проницаемости соответственно. Сшивая

представляет собой геометрический резонанс с плаз-

тангенциальные компоненты напряженности и нор-

менным цилиндром. В обозначениях Стикса это со-

мальные компоненты индукции внешнего и внутрен-

ответствует ε_±(ω) = -1 при ν → 0. В дальнейшем

него электрических полей на границе плазменного

термин «резонансный» в работе применяется по от-

цилиндра, получаем

ношению к величинам в окрестности этого резонан-

(1 + (2π - iπ²k²a²)χ) E^int = E⁰.

(2)

са.

C точностью до замены тензора χ на скалярную по-

Из выражения (5) видно, что в окрестности цик-

ляризуемость χ полученный результат эквивалентен

лотронного резонанса ω

= ω_B резонансная ком-

случаю дипольного рассеяния поперечно поляризо-

понента поля E_-, вращающаяся в ту же сторону,

ванной по отношению к оси изотропного диэлектри-

что и электроны, принимает наименьшее значение

ческого цилиндра волны.

|E^int-| ∼ ν²ω²|E⁰|²/ω4p, т. е. не проникает в достаточ-

Для стиксовых компонент электрического поля

но плотную плазму.

⎛

⎞

⎛

√

⎞

Определим энергетические характеристики из-

E₊

(E_x + iE_y)/

лучения — объемные плотности мощности экстинк-

⎜

⎟

⎜

√

⎟

⎝ E_-

⎠=

⎝ (E_x - iE_y)/

⎠,

(3)

ции q^e, поглощения q^a и рассеяния q^s = q^e - q^a.

E_∥

E_z

Экстинкция и поглощение излучения определяются

формулами [22]

тензор диэлектрической восприимчивости холодной

плазмы во внешнем однородном магнитном поле бу-

q^e =

Re (j^∗ · E⁰),

дет диагональным:

q^a =

Re (j^∗ · E^int),

ε_± - 1

ε_∥ - 1

P_± =

E^int±, P_∥ =

E^int∥,

(4)

4π

где j = ∂P/∂t = -iω χE^int. Пользуясь этими соотно-

где ε_± и ε_∥ определяются выражениями

шениями, а также соотношениями (2) и (4), находим

ω2p

ε_± = 1 -

8νω²ω2pW0±

ω(ω ± ω_B + iν)

q^a± =

(8)

4(νω+πk2a²ω2p/4)²+(ω2p-2ω(ω ± ω_B))²

ω2p

ε_∥ = 1 -

ω(ω + iν)

2πk2a²ωω4pW

q^s± =

(9)

Здесь ω_p — электронная плазменная частота, ω_B —

4(νω+πk2a²ω2p/4)²+(ω2p−2ω(ω ± ωB))2

электронная циклотронная частота, ν — эффектив-

где W0± = |E0±|²/16π — средняя плотность энергии

ная частота соударений электронов. Вообще говоря,

стиксовых компонент поля падающей волны. Оче-

в ε_± есть также слагаемые, связанные с наличием

видно, что в формулы для энергетических характе-

ионной компоненты, но для СВЧ-разряда соответ-

ристик входит тот же резонансный множитель, что

ствующие ионные частоты малы по сравнению с час-

и в выражение для интенсивности (5), т.е. геомет-

тотой излучения, поэтому указанными слагаемыми

рический резонанс (7) определяет также эффектив-

можно пренебречь.

ность поглощения и рассеяния энергии падающего

Используя соотношения (2) и (4), получаем вы-

поля. Если в разложении поля падающей волны по

ражение для интенсивности поля внутри плазмен-

стиксовым компонентам (3) присутствуют обе цир-

ного цилиндра:

кулярные компоненты, то соответствующие энерге-

|E^int±|²

тические характеристики должны складываться.

Вообще говоря, поглощение мощности падающей

|E0±|²

на столб плазмы волны может происходить не толь-

4ω²(ν² + (ω ± ω_B)²)

(5)

ко за счет столкновений электронов и ионов, но так-

4(νω + πk2a²ω2p/4)² + (ω2p

− 2ω(ω ± ω_B))²

же за счет генерации плазменных волн вследствие

530

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Нелинейное взаимодействие СВЧ-излучения...

неоднородности плазмы поперек оси z. При этом сам

S(z) = S₀B₀/B(z),

эффект геометрического резонанса является гру-

где B(z) — значение индукции магнитного поля на

бым [20], поэтому в нашей постановке поглощение,

оси ловушки z. Индексом «0» будем отмечать значе-

связанное с генерацией плазменных волн, можно

ния физических величин в магнитной пробке — мак-

качественно учесть переопределением эффективной

симуме внешнего магнитного поля. В условиях резо-

частоты соударений ν. Один из возможных спосо-

нансного поглощения энергии высокочастотного по-

бов заключается в подборе такой ν, чтобы доброт-

ля электронами будем считать, что их температура

ность по поглощению Q_± принимала заданное зна-

значительно превосходит температуру ионной ком-

чение (известное, например, из численного модели-

поненты, T_e ≫ T_i. Высокая температура электронов

рования). В терминах нашей статьи добротность по

приводит к высокой электронной теплопроводности,

поглощению может быть представлена в виде

что позволяет считать температуру электронов не

Ω_±W^int±

Ω_±(Ω_± ± ω_B)

изменяющейся вдоль потока. В этих приближени-

Q_± =

≈

q^a±

2νω²

ях, усредняя характеристики потока по переменно-

му поперечному сечению S(z), для стационарного

где W^int± = |E^int±|²/16π — плотность энергии элек-

течения плазмы получаем квазиодномерные урав-

трического поля в плазме. Таким образом, приве-

нения баланса для потоков частиц и импульса, ана-

денное соотношение может выступать в качестве

логичные используемым в работах [13-15]:

уравнения для ν. Далее мы не будем конкретизиро-

вать природу мнимой добавки к частоте излучения,

(Snu) = 0,

(11)

а ν будем считать внешним параметром задачи.

(

)

Sm_inu²

(nT_e) = S 〈f_z〉,

(12)

3. МОДИФИКАЦИЯ ПОТОКА ПЛАЗМЫ

где 〈f_z 〉 — проекция на ось z плотности усреднен-

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОНДЕРОМОТОРНОЙ

ной силы, действующей на электроны плазмы со

СИЛЫ

стороны высокочастотного поля (пондеромоторной

Рассмотрим уравнения стационарного течения

силы). Соответствующей силой, действующей на ио-

однократно ионизованной плазмы вдоль магнитного

ны, мы пренебрегаем в силу разницы в массах элек-

поля в гидродинамическом приближении [23, 24]:

тронов и ионов. По этой же причине в (12) мы прене-

брегаем потоком направленного импульса электро-

∂n_e,i

+ div(n_e,iu_e,i) = 0,

нов по сравнению с потоком импульса ионов. Давле-

∂t

)

ние ионов пренебрежимо мало по сравнению с дав-

⁽∂u_e,i

(10)

лением электронов в силу разницы в температурах

m_e,in_e,i

+ (u_e,i, ∇)u_e,i

∂t

компонент. При переходе к одножидкостной модели

+ ∇(n_e,iT_e,i) = f_e,i,

слагаемые, соответствующие силам, действующим

со стороны поля разделения зарядов, взаимно со-

где n_e,i — концентрации электронной и ионной ком-

кращаются в силу условия квазинейтральности.

понент плазмы, u_e,i — направленные скорости ком-

Пондеромоторная сила может быть представле-

понент, p_e,i — давления компонент, f_e,i — объемная

на в виде [8]

плотность внешней силы, действующей на электро-

dΦ

〈f_z 〉 = -n

ны или ионы, m_e,i — массы электронов и ионов.

На масштабах изменения всех интересующих нас

Здесь Φ — потенциал усредненной силы, действую-

газодинамических характеристик плазма удовлетво-

щей на уединенный электрон во внешнем высокочас-

ряет условию квазинейтральности: концентрации

тотном электромагнитном поле в присутствии по-

и скорости направленного движения электронов и

стоянного магнитного поля [25],

ионов n_e,i и u_e,i плазмы совпадают и равны соот-

ветственно n и u. При рассмотрении потока плаз-

e²

Φ=

мы, распространяющегося в приосевой области от-

4m_eω

крытой магнитной ловушки, силу, действующую на

)

⁽ |E^intz|²

|E^int-|²

|Eint+|²

компоненты плазмы со стороны внешнего магнитно-

(13)

ω - ω_B(z)

ω + ω_B(z)

го поля, можно приближенно учесть, рассматривая

поток как течение сплошной среды вдоль трубки пе-

где e — заряд электрона. Поскольку резонансно-

ременного поперечного сечения:

го усиления продольной компоненты электрическо-

531

10*

И. С. Абрамов, Е. Д. Господчиков, А. Г. Шалашов

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

го поля не происходит, первым слагаемым в потен-

уравнений (см. рис. 1б ). Это главное допущение, ле-

циале (13) будем пренебрегать.

жащее в основе рассматриваемой ниже модели.

В данной работе мы рассмотрим случай, когда

Подставляя (15) в условия геометрического ре-

характерные масштабы продольной неоднородности

зонанса (7), определим значение «резонансной кон-

плазмы l много больше масштабов поперечной неод-

центрации»

нородности и длины волны греющего поля,

(

)

m_eω²

ω_B(z)

n^±

(z) =

1±

(16)

res

a ≪ 2π/k₀ ≪ l.

(14)

2πe²

В этих условиях можно считать, что локальное вы-

где индексы «±» соответствуют циркулярным ком-

сокочастотное электрическое поле E^int определяет-

понентам E₊ и E_-. Разница между двумя резо-

ся соотношением (1), в котором вместо

k² стоит

нансными концентрациями для различных стиксо-

дифференциальный оператор

вых компонент в большинстве случаев будет пре-

восходить максимально возможный разброс концен-

[

]

(

)₂

трации плазмы в ловушке²⁾. Поэтому наличие гео-

k² →

k²⁰ + k_z - i

≈ k² - ik0 cosϑ

метрического резонанса с одной из циркулярных

компонент поля гарантирует отсутствие резонанса

Уравнение (2) для внутреннего поля при этом пере-

с другой. Для определенности в дальнейшем будем

пишется в виде

рассматривать поле падающей волны, содержащее

(

)))

только компоненту E₊, отвечающую большему зна-

2π-iπ²a² χ

k²-ik₀ cosϑ

E^int = E⁰.

чению резонансной концентрации. Тогда с учетом

(5) потенциал пондеромоторной силы Φ, действую-

щей на электроны, может быть записан в виде

Учитывая выражение (4) для стиксовых компонент

поляризации плазмы, можно убедиться, что произ-

e²(E⁰)²

водной по координате можно пренебречь при выпол-

Φ=

m_e

нении условия (14), в котором продольный масштаб

ω(ω + ω_B)

неоднородности определен как

(

)

4(νω + πk2a²ω2p/4)² + (ω2p

- 2ω(ω + ω_B))²

l ∼ max

(ν/ω)L_pl, (k₀a)²L_pl

Это выражение получено в приближении ν ≪ ω +

Здесь Lpl ∼ (d ln B/dz)-1 — совпадающие по по-

+ ω_B; в противном случае в силу условия (6) резо-

рядку величины масштабы неоднородности внеш-

нансное усиление поля не проявляется.

него магнитного поля и концентрации плазмы. Фи-

зический смысл получившегося условия вполне по-

нятен — для электродинамической задачи масштаб

4. БАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

неоднородности определяется размером области ре-

Если температура электронов не зависит от ко-

зонансного усиления поля, которая определяется

ординаты, система уравнений (11), (12) может быть

либо диссипацией (∝ ν), либо рассеянием (∝ (k₀a)²).

сведена к двум первым интегралам:

Если эта область велика по сравнению с длиной вол-

ны, то для определения внутреннего поля мы можем

Snu = S₀n₀c,

пользоваться «локальным» выражением (5), в кото-

)

u²

⁽ uS

(17)

ром a, ω_p и ω_B зависят от координаты z:

- ln

+ w(φ - φ₀) =

2c²

cS₀

√

S(z)

4πe

ω_p =

n(z),

где c

T_e/m_i

— скорость

«изотермическо-

m_e

(15)

го» ионного звука, w

= E²⁰/8πn₀m_ic² — приве-

S₀ωB0

денная плотность энергии поля падающей волны,

ω_B =

S(z)

²⁾ Разность Δn = (√e-1) n0 между концентрациями плаз-

То есть при рассмотрении электродинамической

мы в минимуме и максимуме магнитного поля может быть

части задачи неоднородный поток плазмы может

оценена из условия, что максимально возможная вариация

направленной скорости ионов в дозвуковом режиме (внут-

рассматриваться как набор однородных цилиндри-

ри магнитной ловушки) не может превышать скорость ион-

ческих объектов с параметрами, распределенны-

ного звука. Комбинируя это с соотношением (16), получаем

ми в соответствии с решениями гидродинамических

(n^res - n^res)/Δn ≳ 6ωω_B /ω2p.

532

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Нелинейное взаимодействие СВЧ-излучения...

n/n₀

φ = 8πn₀Φ/E²⁰ — приведенный безразмерный потен-

циал усредненной пондеромоторной силы,

1.6

2ω2p(1 + ω_B)

n₀

1.4

φ=

(18)

4(ν+πk2a² ω2p/4)²+(ω2p−2(1+ωB))2 n

1.2

где ω_p = ω_p/ω, ω_B = ω_B/ω, ν = ν/ω — электронная

1.0

плазменная, электронная циклотронная и столкно-

z, см

вительная частоты, нормированные на частоту из-

лучения.

Рис. 2. Распределения плотности плазмы n(z) (сплошная

Константы интегрирования в уравнениях (17)

линия) и резонансной плотности nres (штриховая линия)

выбраны в соответствии с известным граничным

в линейном режиме поглощения (w = 0). Длина ловуш-

условием равенства скорости потока и скорости зву-

ки L = 26 см, пробочное отношение R = 3.7, ωB0 = 1,

ωp0 = 1.5, ν = 0.001,

ka = 0.05

ка в максимуме магнитного поля: u₀ = c. Данное

условие справедливо в случае, если зависимость ско-

рости потока от координаты содержит гладкий пе-

Для определенности зададим следующий модель-

реход через звуковой барьер [15,26]. Здесь мы пред-

ный профиль внешнего магнитного поля:

полагаем, что плазма создается источником, распо-

ложенным в окрестности одной из магнитных про-

B₀

B(z) =

бок, и изначально не имеет направленной скорости,

(R - 1) sin² (πz/L) + 1

приобретая ее только в результате установления ста-

где L — длина ловушки, R — пробочное отношение.

ционарного течения. В этом случае установившееся

Рассмотрим модификацию течения плазмы в зави-

внутри ловушки течение будет дозвуковым, а вне

симости от значения приведенной плотности энер-

ее — сверхзвуковым.

гии поля падающей волны w при фиксированных

С физической точки зрения первое соотношение

остальных параметрах.

в (17) представляет собой закон сохранения потока

Случай w = 0. Пример решения системы (17) от-

частиц при распространении вдоль z, а второе — эф-

носительно концентрации плазмы в отсутствие вы-

фективный закон Бернулли. Нелинейное взаимодей-

сокочастотного электромагнитного поля изображен

ствие поля и потока в (17) определяется слагаемым,

на рис. 2. В дозвуковом потоке концентрация макси-

пропорциональным параметру w. Выбирая вид про-

мальна в центре ловушки и монотонно уменьшается

странственной зависимости ω_B(z) и значение нор-

с удалением от него. Резонансная концентрация, на-

мированной плазменной частоты в максимуме маг-

против, минимальна в центре и максимальна в точ-

нитного поля ω_p(0), в рамках модели мы однозначно

ках максимума внешнего магнитного поля.

определяем и положения геометрического резонан-

Случай w < w∗1. При конечной энергии поля, по-

са, отвечающего условию (7). В линейном прибли-

ка w достаточно мало, влияние внешнего высокочас-

жении координаты сечений, в которых реализуется

тотного поля на характеристики плазмы носит ло-

геометрический резонанс, определяются из уравне-

кальный характер. Этот случай проиллюстрирован

ния

на рис. 3, где приведены характерные зависимости

n_res(z_res) = n_lin(z_res),

(19)

от координаты z для плотности плазмы и линейной

где n_res(z) задается формулой (16), а n_lin(z) — ре-

плотности мощности поглощения. Далее будем ха-

шение системы базовых уравнений (17) при w = 0.

рактеризовать этот случай как режим слабой нели-

Далее мы приведем качественный анализ воз-

нейности. Увеличение w выше некоторого порого-

можных течений плазмы в условиях нелинейного

вого значения w∗1 приводит к тому, что вблизи резо-

взаимодействия с внешним высокочастотным по-

нанса возникает сингулярность, связанная с появле-

лем.

нием неоднозначности в решении системы (17). По-

являющаяся особенность нарушает введенное пред-

положение о параметрической зависимости характе-

5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

ристик поля от координаты вдоль направления по-

Выберем параметры задачи таким образом, что-

тока. При этом уравнения (17) более не допускают

бы а) выполнялись условия (6), обеспечивающие су-

непрерывных решений, но решения с разрывом га-

щественное усиление резонансного поля, и б) усло-

зодинамических характеристик формально остают-

вие резонанса (19) выполнялось внутри ловушки.

ся возможными.

533

И. С. Абрамов, Е. Д. Господчиков, А. Г. Шалашов

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

1.52

сти перестает быть локализованным, так как под-

1.50

держивающее электромагнитное излучение посред-

1.48

ством пондеромоторной силы препятствует увеличе-

1.46

нию концентрации плазмы в центре ловушки выше

резонансного уровня. В результате существует про-

1.44

тяженный участок потока, характеризующийся уве-

3.0

3.5

4.0

22.0

22.5

23.0

n/n₀

личенным значением поглощаемой мощности.

1.6

6. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ

1.4

1.2

Можно предположить, что при медленном вклю-

чении высокочастотного поля должен существовать

1.0

непрерывный по приведенной плотности энергии w

150

переход между пределами слабой и сильной нели-

нейности. Возникновение сингулярности нарушает

100

исходные приближения модели в области, которая

мала по сравнению как с характерными масштаба-

ми магнитной конфигурации, так и с длиной вол-

ны излучения. Если допустить возможность разры-

z, см

ва плотности плазмы n и скорости потока u в этой

области, то уже в рамках рассматриваемой поста-

Рис. 3. Распределения плотности плазмы n(z), резонанс-

новки задачи удается однозначно восстановить ста-

ной плотности nres(z) и линейной плотности мощности по-

глощения qa+(z)S(z). Приведенная плотность энергии поля

ционарные течения для произвольной приведенной

падающей волны w = 1.5 · 10-7. Прочие параметры такие

плотности энергии поля падающей волны. Конеч-

же, как на рис. 2. Для сравнения тонкой штрихпунктирной

но, в реальной ситуации в указанной области реа-

линией показана зависимость n(z) в случае w = 0

лизуется непрерывный переход между значениями

характеристик плазмы до и после разрыва, однако,

вследствие малости по сравнению с длиной волны,

n/n₀

эта область не сможет обеспечить значимый вклад

1.6

в поглощение.

Для того чтобы определить, где именно должны

1.4

располагаться соответствующие поверхности раз-

1.2

рыва, рассмотрим уравнения баланса энергии для

1.0

электронов и ионов плазмы [23]:

dU_e,i

n_e,i

+ pe,i divu + divQ_e,i = q_e,i + q^∗∗e,i,

(20)

ds_e,i

+ div Q_e,i = q_e,i,

(21)

e,iTe,i

где Ue,i — внутренняя энергия, se,i — энтропия,

T_e,i — температура, Q_e,i — плотность потока тепла,

z, см

q_e,i и q^∗∗e,i — плотности количества теплоты и нетеп-

ловой энергии, сообщаемых в единицу времени элек-

Рис. 4. То же, что на рис. 3, но при w = 1.5 · 10-4

тронной и ионной фракциям, соответственно.

Для ионов сообщаемое им тепло за счет q_i и

div Q_i, а следовательно, и изменение энтропии, от-

Случай w > w∗2. Однако при дальнейшем увели-

сутствует. Используя уравнения (10) и (21), исклю-

чении параметра w выше определенного уровня w∗2

чим q_e и Q_e из уравнения (20) для электронов, затем

решение системы (17) снова оказывается однознач-

сложим результат с уравнением (20) для ионов. В

ным. Этот случай будем называть режимом силь-

итоге в приближении постоянной температуры элек-

ной нелинейности. Характерные зависимости плот-

тронов получаем соотношение

ности плазмы и мощности поглощения приведены

на рис. 4. Резонанс в пределе сильной нелинейно-

dU = -p_edv + T_eds + (q^∗∗e + q^∗∗i) dt,

(22)

534

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Нелинейное взаимодействие СВЧ-излучения...

p/n₀T_e

= const, отвечающим одновременному существова-

нию в системе двух фаз [27]. В нашем случае про-

v , p_resres

странственно-неоднородной системы изобарический

участок реальной изотермы следует модифициро-

вать так, чтобы обеспечить выполнение соотноше-

ний (17). А именно, исключая wφ с помощью (23),

эффективный закон Бернулли можно переписать в

виде

v ,p₁₁

v ,p₂₂

(

)₂

n₀v

- ln(n₀v) +

- wφ₀ =

(24)

m_ic²

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Одновременное выполнение условий

(23) и

(24)

n₀v

определяет точки бинодали v₁ и v₂, в которых реали-

зуется состояние с одной фазой, см. рис. 5. Значения

Рис. 5. Реальная изотерма (штриховая линия) и изотерма

уравнения состояния вблизи резонанса (сплошная линия).

работы среды при переходе из начального состояния

Приведенная энергия поля w = 1.4 · 10-4. Прочие пара-

в конечное по изотерме уравнения состояния (23)

метры такие же, как на рис. 2

и реальной изотерме (24), обозначенным ниже как

P₍₂₃₎ и P₍₂₄₎, должны совпадать:

∫

где v = 1/n — удельный объем плазмы, U — суммар-

P₍₂₃₎(v)dv = P₍₂₄₎(v)dv.

(25)

ная внутренняя энергия электронов и ионов плаз-

мы. В последнее слагаемое в (22), отвечающее за

нетепловую мощность, вклад вносит только работа

Здесь v₁ и v₂ определяются как корни уравнения

пондеромоторной силы, действующей на электроны

P₍₂₃₎(v) = P(24)(v). Выполнение условия (25) воз-

(работа электрического поля разделения зарядов со-

можно лишь при определенном значении простран-

кращается при суммировании вкладов от электро-

ственной координаты z, от которой подынтеграль-

нов и ионов). Таким образом, (q^∗∗e + q^∗∗i) dt = nΦ_edv.

ные выражения и границы интегрирования зави-

В результате уравнение (22) примет стандартный

сят параметрически. Таким образом, интегральное

вид основного термодинамического соотношения:

условие (25) аналогично хорошо известному усло-

вию равенства площадей для фазового перехода в

реальном газе (правило фаз Максвелла), однако в

T_eds = dU + (p_e + nΦ_e)dv.

неоднородной задаче оно определяет не точки бино-

Выражение перед dv можно рассматривать как но-

дали v₁ и v₂, а положение в пространстве области, в

вое эффективное давление

которой происходит обсуждаемый фазовый переход.

Далее будем предполагать, что если для задан-

ных внешних параметров стационарное течение воз-

P ≡ n(T_e + Φ_e) = mi c²v-1 (1 + wφ(v)) ,

(23)

можно в принципе и условие (25) может быть вы-

где φ(v) задается формулой (18). В соответствии

полнено в объеме разряда, то «фазовый переход»

с терминологией [27], выражение (23) определяет

обязательно произойдет. Рассмотрение возможности

изотерму уравнения состояния. Пример такой изо-

установления метастабильных состояний для потока

термы представлен на рис. 5 (сплошная линия).

плазмы является отдельной задачей, которая оста-

Нетрудно заметить, что в изотермическом процес-

нется за рамками данной работы. Таким образом,

се в окрестности геометрического резонанса зави-

построенная теория позволяет описать любое тече-

симость эффективного давления от удельного объ-

ние, промежуточное по отношению к пределам силь-

ема P(v), вообще говоря, немонотонна. Наличие

ной и слабой нелинейности, т. е. течение при w∗1 <

неустойчивой возрастающей ветки говорит о том,

< w < w∗2. Переход от слабой нелинейности к силь-

что возможен скачок (фазовый переход) с одной

ной проиллюстрирован на рис. 6. В режиме сильной

убывающей ветки на другую.

нелинейности при w > w∗2 условие равенства площа-

В случае классического газа Ван дер Ваальса это

дей (25) невозможно удовлетворить ни в одной точ-

приводит к тому, что неустойчивый участок на изо-

ке пространства, поэтому решения уравнений (17)

терме P(v) заменяется формальным решением P =

не содержат сингулярностей.

535

И. С. Абрамов, Е. Д. Господчиков, А. Г. Шалашов

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

n/n₀

еще разрывно. Для нашей модели магнитного поля

1.6

(ловушка с магнитными пробками) эта граница мо-

1.5

жет быть определена как значение w, при котором

1.4

разрыв происходит точно в минимуме магнитного

1.3

1.2

поля (в центре ловушки), см. рис. 6. В интересую-

1.1

щем нас случае сильного резонансного усиления вы-

1.0

сокочастотного поля, когда выполнены условия (6),

интеграл по изотерме уравнения состояния P₍₂₃₎(v)

150

в законе равенства площадей (25) можно упростить,

100

воспользовавшись тем, что wφ(v) есть функция с

резким максимумом в окрестности v_res, см. рис. 5.

В этом случае интеграл в левой части закона равен-

ства площадей (25) можно разбить на два:

z, см

∫

∞

T_e

Рис. 6. Плотность плазмы и линейная плотность мощности

P₍₂₃₎(v)dv ≈ T_e

wφ(v) dv.

v_res

поглощения при вариации приведенной плотности энергии

-∞

падающего излучения w от 0 до 5·10-4. Увеличению плот-

ности энергии соответствует смещение разрыва к центру.

В случае большого перепада магнитного поля,

Прочие параметры такие же, как на рис. 2

S/S₀ ≫ 1, реальная изотерма близка к константе,

P₍₂₄₎(v) ≈ const (как в пространственно-однородной

системе). В сделанных предположениях удается

7. БИФУРКАЦИОННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

вычислить все интегралы в законе равенства пло-

ИНТЕНСИВНОСТИ ПОЛЯ

щадей и получить алгебраическое уравнение для

w∗2. Его решение в случае, когда разрыв происходит

Формализм эффективных фазовых переходов

в минимуме магнитного поля, можно представить

позволяет также установить значения плотности

как

электромагнитной энергии w∗1 и w∗2 в падающей

(

)

волне, при которых происходит переход к предель-

π(ka)²n^∗res

ным случаям слабой и сильной нелинейности.

w∗2 ≈

ψ₂(ξ),

ω2p(0)

4n₀

(28)

Граница режима слабой нелинейности w∗1 может

быть определена как минимальное значение w, при

ψ₂(ξ) = 2(ξ - ln(ξ + 1)),

котором возникает возрастающий участок изотермы

уравнения состояния P₍₂₃₎(v). Смене монотонности

где ξ =

√en₀/n^∗res-1, n^∗res — резонансная концентра-

изотермы предшествует возникновение точки пере-

ция в минимуме магнитного поля. Функция ψ₂(ξ) ≈

гиба в окрестности геометрического резонанса (19),

≈ ξ² упрощается для не слишком больших ξ. Резуль-

т. е.

таты сравнения полученной аналитической оценки с

dP₍₂₃₎(v)/dv = 0

данными численного моделирования обсуждаются в

при z = z_res.

(26)

d²P₍₂₃₎(v)/dv² = 0

следующем разделе.

Отсюда, пользуясь выражениями (18) и (23), полу-

чим минимальное значение w, при котором возмож-

8. МОЩНОСТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ В

но выполнение условия (26):

НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ

(

)₃

Применим разработанную модель для исследова-

n²⁰

π(ka)²n_res

w∗1 ≈

√

(27)

ния зависимости поглощенной мощности СВЧ-излу-

3 n^r

ω2p(0)

4n₀

чения от параметров течения. Наиболее интересной

где n_res — резонансная концентрация плазмы в точ-

в данном случае является зависимость поглощаемой

ке z_res. Для приведенных в этой работе приме-

мощности от приведенной плотности энергии w вво-

ров численных расчетов наша аналитическая оценка

димого в плазму излучения.

плотности энергии w∗1 обеспечивает относительную

На рис. 7 изображены зависимости поглощенной

точность не менее 10 %.

мощности высокочастотного поля от w в услови-

Граница режима сильной нелинейности w∗2 есть

ях резонансного поглощения для различных поло-

наибольшее значение w, при котором течение все

жений линейного резонанса (см. вставку) и фикси-

536

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Нелинейное взаимодействие СВЧ-излучения...

ле присутствует только в центральной области раз-

P /P_absnorm

ряда, заключенной между геометрическими резо-

нансами. В этой области концентрация плазмы при-

мерно равна своему резонансному значению, а вне

10^-3

ее концентрация не возмущена, т. е.

{

5. 10^-4

n_res(z) при z_res < z < z_res,

n(z) ≈

(29)

nlin(z) при z < zres или z > zres,

1.6

1234

1.4

где z_res и z_res определяются из условия непрерыв-

–4

1.2

1. 10

1.0

ной сшивки решений, которое совпадает с (19). Та-

z, см

5. 10^-5

кая зависимость концентрации плазмы от координа-

1. 10^-5

5. 10^-5

1. 10^-4

5. 10^-4

ты обеспечивается за счет действия пондеромотор-

ной силы, соответствующий ей потенциал φ(z) в об-

Рис. 7. Зависимости мощности поглощения от приведен-

ласти резонансного усиления z_res < z < z_res можно

ной плотности энергии поля w для различных значений

найти из эффективного закона Бернулли

ωB0 = 1.9 (1), 1.6 (2), 1.3 (3), 1.0 (4), 0.7 (5). Штриховы-

)

ми линиями показаны полученные аналитически оценки

( √en₀

⁽n₀S₀ )²

w(φ - φ₀) = ln

(30)

бифуркационных значений плотности энергии w∗2 (28) и

n_res

n_resS

мощности поглощения P^∗abs (32). На вставке изображена

С методической целью отметим, что распределе-

плотность плазмы в пределе w = 0 и резонансная плот-

ние резонансно усиленного электромагнитного поля,

ность плазмы при указанных значениях ωB0 (нумерация

обеспечивающее распределение концентрации (29),

кривых в соответствии с основным рисунком). Остальные

на самом деле устанавливается за счет малой от-

параметры такие же, как на рис. 2. Мощность нормирована

стройки |n - n_res| ≪ n. При выводе формулы (30)

на Pnorm = ωn0TeS0L/2

из «нерезонансного» закона Бернулли этой отстрой-

кой мы можем пренебречь, а саму величину отстрой-

ки можно определить в рамках теории возмущений,

рованных отношений частоты соударений к часто-

приравняв потенциал, найденный из «электродина-

те поля падающей волны ν и длины волны излу-

мического» определения (18), потенциалу (30).

чения к поперечному размеру потока

ka. В линей-

Пользуясь определениями (8) и (18), через потен-

ном режиме полная мощность поглощения линейна

циал пондеромоторной силы можно выразить пол-

по w (квадратична по амплитуде падающего поля).

ную мощность поглощения P^∗abs:

В нелинейном режиме поглощаемая мощность рас-

тет быстрее, чем w! Этот эффект можно объяснить

∫

4ν

следующим образом. С увеличением амплитуды по-

P∗abs =

ωn₀T_e

w(φ - φ₀)S(z) dz.

ω²

ля область, где усредненная пондеромоторная сила

res

препятствует увеличению концентрации выше резо-

В интересующем нас диапазоне параметров значе-

нансного уровня, увеличивается; при этом во всей

ние этого интеграла можно оценить, оставив при его

этой области поле становится резонансно усилен-

подсчете лишь первое (ведущее) слагаемое в выра-

ным. За счет расширения области резонансного вза-

жении для потенциала (30), пренебрегая вариацией

имодействия поглощаемая мощность растет с уве-

поперечного сечения плазмы в области резонансного

личением амплитуды поля быстрее, чем в линейном

взаимодействия и предполагая квадратичную зави-

режиме. Из численных расчетов видно, что зави-

симость резонансной плотности плазмы от коорди-

симость эффективно насыщается (рост поглощения

наты:

становится более медленным) с переходом в режим

сильной нелинейности при w ≈ w∗2. В этой точке об-

(z - z_res)(z - z_res)

n_res(z) = n -

(n^∗res - n).

(31)

ласть резонансного взаимодействия высокочастот-

(L_res/2)²

ного поля с потоком занимает весь объем, заклю-

Здесь n^∗res — резонансная концентрация в миниму-

ченный между геометрическими резонансами (19).

ме магнитного поля; n — концентрация на границах

Критическое значение мощности P^∗abs, при ко-

резонансной области, для оценок можно связать эту

тором происходит излом на графиках рис. 7, мож-

величину с плотностью плазмы в максимумах маг-

но оценить из следующих физических соображений.

нитного поля, n ≈

√en₀; L_res = z_res - z_res — дли-

Предположим, что при w = w∗2 высокочастотное по-

на резонансной области (см. рис. 8). В результате

537

И. С. Абрамов, Е. Д. Господчиков, А. Г. Шалашов

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

ментах по достижению высоких кратностей иони-

n/n₀

1.8

зации в СВЧ-разрядах. Так, например, при поддер-

1.6

жании плазмы излучением с частотой 37.5 ГГц для

значений плотности плазмы близких к эксперимен-

1.4

тальным [28] и при схожей магнитной конфигурации

1.2

ожидаемая мощность поглощения может отличать-

1.0

ся от ее значения без учета нелинейных эффектов

более чем на 10 % уже для w > 0.003. Температу-

ра электронов в подобных экспериментах оценива-

ется в 10-50 эВ. Если считать поглощение столкно-

вительным, то получится, что для указанного влия-

ния нелинейных эффектов достаточно амплитуд вы-

сокочастотного поля в области 2-5 кВ/см. Поля с

такой напряженностью доступны для современных

z, см

микроволновых генераторов и реализуются в плаз-

менном эксперименте.

Рис. 8. а) Плотность плазмы (сплошная линия), плот-

ность плазмы в линейном приближении (тонкая штрих-

пунктирная линия), резонансная плотность (штриховая ли-

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ния) и приближенная квадратичная зависимость плотно-

сти плазмы (31) (штрихпунктирная линия) от координаты

На основе разработанной теории можно сделать

вдоль потока. Вертикальными линиями отмечены положе-

вывод о том, что резонансный нагрев потока плаз-

ния линейного резонанса zres и z_res. Горизонтальная ли-

мы малого диаметра происходит на геометрическом

ния: n =

√en0. б) Нормированная линейная плотность

резонансе ω2p = 2ω(ω ± ωB) или, в терминологии

мощности поглощения, полученная в результате модели-

Стикса, при ε_± = -1. Эффективность этого нагрева

рования (сплошная линия) и ее приближенное значение

определяется в основном объемом области резонанс-

8νS ln (

√en0/nres)/ω²p0S0 (штрихпунктирная линия). Па-

ного взаимодействия, увеличивающимся с увеличе-

раметр w = 1.5 · 10-4; прочие параметры такие же, как на

нием амплитуды поля за счет подстройки концен-

рис. 2

трации плазмы к резонансному значению в резуль-

тате действия усредненной пондеромоторной силы.

сделанных упрощений выражение для критической

В работе мы рассмотрели простейшую качест-

мощности поглощения принимает достаточно прос-

венную задачу о потоке плазмы с фиксированной

тую форму:

(однократной) кратностью ионизации без учета

радиационных потерь. Однако «электродинамичес-

8ν

P∗abs ≈

ωn₀T_eV_res ψ₁(ξ),

кая» часть задачи не зависит от этих особенностей.

ω²

(32)

Поэтому наш формализм допускает прямое обобще-

(√

√ )

√

ψ₁(ξ) =

ξ - arctg

ξ≈ξ,

ние на случай плазменного потока более сложного

(переменного) ионного состава с потерями на

где V_res = RS₀L_res — эффективный объем области

линейчатое излучение, актуальный в контексте

резонансного взаимодействия, ξ =

√en₀/n^∗res - 1.

оптимизации современных экспериментов. Анализ

Как и следует ожидать, мощность поглощения воз-

влияния давления высокочастотного поля падаю-

растает прямо пропорционально увеличению объе-

щей волны на баланс ионизации и возбуждения

ма области взаимодействия и тем больше, чем ниже

ионов электронным ударом в неравновесном потоке

резонансная концентрация в центре ловушки; зави-

многозарядной плазмы, опирающийся на развивае-

симость от частоты соударений линейная. Значения

мую авторами теорию [15, 16], требует отдельного

w∗2 и P^∗abs, полученные согласно формулам (28) и

рассмотрения.

(32), отмечены на рис. 7 горизонтальными и вер-

тикальными линиями. Видно неплохое соответствие

Финансирование. Работа выполнена при под-

результатам моделирования.

держке Российского фонда фундаментальных ис-

Обсуждаемый в этом разделе эффект увеличе-

следований (проекты №№ 17-02-00173, 18-32-00419).

ния области резонансного взаимодействия за счет

И. С. Абрамов благодарит за персональную под-

подстройки плотности плазмы к резонансному зна-

держку Фонд развития теоретической физики и ма-

чению может оказаться существенным в экспери-

тематики «БАЗИС» (грант №18-1-5-12-1).

538

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Нелинейное взаимодействие СВЧ-излучения...

ЛИТЕРАТУРА

16.

I. S. Abramov, E. D. Gospodchikov, and A. G. Sha-

lashov, Phys. Rev. Appl. 10, 034065 (2018).

A. V. Gaponov and M. A. Miller, Sov. Phys. JETP

34, 242 (1958).

17.

С. Солимено, Б. Крозиньяни, П. Ди Порто, Ди-

фракция и волноводное распространение оптичес-

H. A. H. Boot, S. A. Self, and R. B. R. Shersby-Har-

кого излучения, Мир, Москва (1989).

vie, Int. J. Electron. 4, 434 (1958).

18.

Р. Б. Ваганов, Б. З. Каценеленбаум, Основы тео-

L. P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 12, 1008 (1961).

рии дифракции, Наука, Москва (1982).

Y. B. Fainberg and V. D Shapiro, Beam-Plasma In-

teraction, Ukrain. Acad. Sci., Kiev (1965).

19.

A. K. Ram and K. Hizanidis, Phys. Plasmas 23,

022504 (2016).

Л. М. Горбунов, УФН 109, 631 (1973).

20.

В. Б. Гильденбург, Ю. М. Жидко, И. Г. Кондра-

V. A. Kozlov, A. G. Litvak, and E. V. Suvorov, Sov.

тьев, М. А. Миллер, Изв. вузов. Радиофизика 10,

Phys. JETP 49, 75 (1979).

1358 (1967).

T. Tajima and J. M. Dawson, Phys. Rev. Lett. 43,

267 (1979).

21.

Л. К. Рыжова, П. И. Якименко, Изв. вузов. Радио-

физика 10, 666 (1967).

А. Г. Литвак, в сб. Вопросы теории плазмы,

вып. 10, под. ред. М. А. Леонтовича, Атомиздат,

22.

М. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, Наука, Моск-

Москва (1980), с. 164.

ва (1973).

D. Farina and S. V. Bulanov, Phys. Rev. Lett. 86,

23.

С. И. Брагинский, в сб. Вопросы теории плазмы,

5289 (2001).

вып. 1, под. ред. М. А. Леонтовича, Атомиздат,

Москва (1963).

10.

R. Geller, Electron Cyclotron Resonance Ion Sources

and ECR Plasmas, Inst. Sci. Nucleaires, Grenoble

24.

Л. И. Седов, Механика сплошной среды, Наука,

(1996).

Москва (1970).

11.

A. G. Shalashov et al., Appl. Phys. Lett. 113, 153502

(2018).

25.

R. Klima and V. A. Petrzilka, IPP CAS Research

Report IPPCZ-220 (1978).

12.

P. E. Vandenplas, Electron Waves and Resonances in

Bounded Plasmas, Intersci. Publ., London (1968).

26.

V. E. Semenov, A. N. Smirnov, and A. V. Turlapov,

Fusion Technol. 35, 398 (1999).

13.

И. С. Абрамов, Е. Д. Господчиков, А. Г. Шалашов,

Изв. вузов. Радиофизика 58, 1022 (2015).

27.

А. Н. Матвеев, Молекулярная физика, Высшая

школа, Москва (1981).

14.

А. Г. Шалашов, И. С. Абрамов, С. В. Голубев,

Е. Д. Господчиков, ЖЭТФ 150, 254 (2016).

28.

N. I. Chkhalo, N. N. Salashchenko, S. V. Golubev et

15.

I. S. Abramov, E. D. Gospodchikov, and A. G. Sha-

al., J. Micro/Nanolithography, MEMS, and MOEMS

lashov, Phys. Plasmas 24, 073511 (2017).

11, 021123 (2012).

539