ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 4 (10), стр. 615-637

РАДИАЦИОННЫЙ ВКЛАД В p_⊥-УШИРЕНИЕ БЫСТРЫХ

ПАРТОНОВ В КВАРК-ГЛЮОННОЙ ПЛАЗМЕ

Б. Г. Захаров^*

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 12 мая 2019 г.,

после переработки 12 мая 2019 г.

Принята к публикации 17 мая 2019 г.

Изучается вклад радиационных процессов в p_⊥-уширение быстрых партонов в кварк-глюонной плазме.

Расчеты выполнены вне рамок приближения мягких глюонов. Показано, что для условий соударений

тяжелых ионов на RHIC и LHC радиационная поправка к 〈p2⊥〉 отрицательна и может быть сравни-

ма по абсолютной величине с нерадиационным вкладом. Это предсказание кардинально отличается от

предсказываемого ранее в литературе существенного положительного вклада радиационных процессов в

p_⊥-уширение.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию И. М. Халатникова

DOI: 10.1134/S0044451019100055

струй в КГП в литературе обычно называется гаше-

нием струй (jet quenching, JQ). Для условий RHIC

и LHC доминирующий вклад в энергетические по-

1. ВВЕДЕНИЕ

тери дает радиационный механизм индуцированно-

го излучения глюонов [13, 14]. Индуцированное из-

Результаты экспериментов по соударениям реля-

лучение глюнов вызывается многократными пере-

тивистских тяжелых ядер, выполненных на коллай-

рассеяниями партонов в среде. Для условий RHIC

дерах RHIC и LHC, дают целый ряд свидетельств об

и LHC индуцированное глюонное излучение быст-

образовании в начальной фазе соударения ядер го-

рых кварков и глюонов является существенно кол-

рячей КХД-материи в фазе кварк-глюонной плазмы

лективным эффектом, в котором важное значение

(КГП). В пользу образования КГП говорит успеш-

имеют кратные перерассеяния, приводящие, как и

ное моделирование AA-соударений в гидродинами-

в излучении фотонов электронами в обычной ма-

ческих моделях, которые требуют образование сре-

терии, к подавлению Ландау - Померанчука - Миг-

ды с температурой, в 2-4 раза большей температу-

дала [15, 16]. Имеющиеся в литературе подходы к

ры деконфайнмента T_c ≈ 160 МэВ при собственном

радиационным энергетическим потерям и эффекту

времени τ ∼ 0.5-1 фм [1-3]. Обнаруженное в экспе-

Ландау - Померанчука - Мигдала в КХД основаны

риментах по AA-соударениям подавление спектров

на приближении излучения одного глюона [6-12].

частиц с большими поперечными импульсами час-

Индуцированный спектр излучения одного глюона

тиц, характеризуемое коэффициентом ядерной мо-

быстрым партоном в среде можно выразить через

дификации R_AA, также рассматривается как сигнал

решение двумерного уравнения Шредингера с мни-

рождения КГП [3,4]. Общепринято, что подавление

мым потенциалом [7, 9], который выражается через

спектров частиц, которое для RHIC и LHC является

произведение плотности КГП и дипольного сечения

весьма значительным (R_AA ∼ 0.1-0.2 в централь-

для рассеяния qq-пары на котституенте КГП, σ_qq(ρ)

ных соударениях для частиц с p_⊥ ∼ 10-20 ГэВ),

(здесь ρ — размер qq-пары). В квадратичном при-

связано с модификацией струй за счет столкнови-

ближении σ_qq(ρ) ≈ Cρ² индуцированный глюонный

тельных [5] и радиационных [6-12] энергетических

спектр может быть выражен через функцию Грина

потерь быстрых партонов в КГП. Эта модификация

гармонического осциллятора с комплексной часто-

той. В осцилляторном приближении квадрат часто-

^* E-mail: bgz@itp.ac.ru

615

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

ты пропорционален известному транспортному ко-

мацию о q для файербола КГП в AA-соударениях.

эффициенту q [7, 8], определяемому соотношением

Для понимания механизмов JQ было бы очень ин-

q= 2Cn, где n — плотность среды.

тересно провести сравнение значений q, извлекае-

Для анализа явления JQ требуется учет и мно-

мых из данных по R_AA и данных по p_⊥-уширению

гоглюонных процессов. Однако даже в упрощенном

струй. Экспериментальное обнаружение эффектов

осцилляторном приближении [17] учет многоглюон-

p_⊥-уширения струй осложняется тем, что даже для

ных процессов становится сложной задачей [18]. В

pp-соударений имеются сильные эффекты азиму-

настоящее время учет излучения нескольких глю-

тальной декорреляции струй, связанные с судаков-

онов обычно проводится в приближении независи-

скими формфакторами [22]. Поэтому для обнару-

мого излучения глюонов [19]. В этом приближе-

жения p_⊥-уширения струй, вызванного взаимодей-

нии удается получить разумное согласие с данными

ствием с КГП, требуется проведение измерений с

RHIC и LHC по ядерным коэффициентам модифи-

высокой точностью. Имеющиеся данные при энер-

кации R_AA [20, 21]. Так как энергетические потери

гиях RHIC [23] и LHC [24] пока не позволяют сде-

партонов существенно зависят от плотности среды,

лать определенные выводы о величине p_⊥-уширения

анализ данных по R_AA является эффективным ин-

струй в КГП. Тем не менее ожидается, что повыше-

струментом для диагностики КГП, рождающейся в

ние точности данных даст возможность наблюдать

AA-соударениях. При расчетах радиационных энер-

эффекты p_⊥-уширения струй [25].

гетических потерь в осцилляторном приближении

Одной из важных теоретических задач, возни-

данные по R_AA позволяют получить информацию

кающих в связи с p_⊥-уширением струй в КГП (а

о величине q в плазменном файерболе и тем самым

также и с явлением JQ), является вопрос о вкладе

о плотности КГП. Важно, что, несмотря на прибли-

в p_⊥-уширение радиационных поправок, связанных

женный характер современных подходов к JQ, плот-

с излучением мягких глюонов [26-28]. Ожидалось,

ность энтропии/энергии КГП, требуемая для согла-

что эффекты отдачи при излучении мягких глюо-

сия с данными RHIC и LHC по R_AA, разумно со-

нов должны приводить к увеличению p_⊥-уширения.

гласуется с результатами, полученными в гидроди-

Так как длина формирования мягких глюонов мала,

намических моделях AA-соударений.

этот эффект можно считать локальным по продоль-

Наряду с модификацией продольной структуры

ной координате, и интерпретировать как перенор-

струи, приводящей к подавлению спектров частиц,

мировку q. В работе [27] было обнаружено, что ос-

перерассеяния быстрых партонов в КГП должны

новной вклад в радиационную поправку к 〈p2⊥〉 для

менять и направление струи. Для отдельного парто-

однородной КГП имеет дважды логарифмический

на интенсивность изменения его поперечного (по от-

вид:

ношению к направлению скорости начального пар-

α_sN_c qL

⁽L),

тона) импульса p_⊥ за счет многократного рассеяния

〈p2⊥〉_rad ∼

ln²

(2)

l₀

в среде в осцилляторном приближении характеризу-

ется тем же самым транспортным коэффициентом

где l₀ — размер порядка дебаевского радиуса в КГП.

q [8], который определяет и индуцированное глюон-

При этом для типичной длины пути партона в КГП

ное излучение. Для прохождения партона через од-

в центральных соударениях тяжелых ядер, L

∼

нородную среду средний квадрат поперечного им-

∼ 5 фм, радиационный вклад в 〈p2⊥〉 оказывается

пульса дается соотношением

сравним по величине с обычным нерадиационным

вкладом (1). Для расчета радиационного вклада в

〈p2⊥〉 = qL ,

(1)

p_⊥-уширение в работе [27] использовалось обобще-

где L — длина пути в среде. Кулоновские эффек-

ние подхода работы [9] для расчета спектра по энер-

ты, которые теряются в квадратичном приближе-

гии индуцированного излучения глюонов на случай

нии, приводят к небольшому (логарифмическому)

двойного дифференциального спектра по попереч-

отклонению от чисто линейной зависимости 〈p2⊥〉 от

ным импульсам и энергии. Следует отметить, что

L. На эксперименте p_⊥-уширение для быстрых пар-

соответствующие формулы, вне рамок приближе-

тонов в струе может проявляться в увеличении ази-

ния мягких глюонов, были получены ранее в нашей

мутальной декорреляции для струй в двухструйных

работе [29] (см. также [30,31]), которая, видимо, бы-

событиях (или декорреляции фотона и струи в собы-

ла неизвестна авторам работы [27]. В приближении

тиях фотон-струя) в AA-соударениях по сравнению

мягких глюонов индуцированный спектр по энер-

с pp-соударениями. Наблюдение эффектов, связан-

гиям и поперечным импульсам обсуждался также

ных с p_⊥-уширением, может дать прямую инфор-

в [12].

616

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

В настоящей работе, используя технику подхо-

для вероятности перехода a → bc для абелевого

да работы [9] в форме, развитой в [29] для случая

и неабелевого случаев оказывается минимальным.

спектра по фейнмановской переменной и поперечно-

Для релятивистских частиц спиновые эффекты при

му импульсу для индуцированного перехода a → bc

взаимодействии частиц с материей можно не учиты-

в среде, мы проводим анализ радиационного вклада

вать, и многократные перерассеяния частиц в мате-

в p_⊥-уширение вне рамок приближения мягких глю-

рии происходят так же, как для скалярных частиц.

онов (мы называем формализм, развитый в работах

Спиновые эффекты проявляют себя только в появ-

[9, 29], методом интеграла по путям на световом ко-

лении вершинных операторов для перехода a → bc

нусе и используем сокращение LCPI (light-cone path

и имеют вид, аналогичный для этих переходов в ва-

integral)). Мы показываем, что в этом случае появ-

кууме. Эволюция же волновых функций в среде, до

ляются не дважды логарифмические члены, связан-

и после процесса расщепления a → bc, в главном по

ные с перерассеяниями в КГП начального парто-

энергиям частиц приближении не зависит от спино-

на, которые вносят отрицательный вклад в p_⊥-уши-

вых факторов. Для простоты мы проиллюстрируем

рение, так что полный вклад 〈p2⊥〉_rad для условий

формализм для перехода a → bc в электромагнит-

RHIC и LHC оказывается отрицательным. В отли-

ном поле аморфной среды для случая бесспиновых

чие от дважды логарифмического вклада, рассмот-

частиц с лагранжианом взаимодействия полей a, b, c

ренного в работе [27], этот вклад не является ло-

между собой,

кальным и не может интерпретироваться как пере-

L_int =

ψ^†b

ψ^†bψa + H.c.

(3)

нормировка транспортного коэффициента q. Как и

в [27], анализ проводится для однородной КГП в ос-

цилляторном приближении.

2.1. Переход a → bc в среде для скалярных

План статьи выглядит следующим образом. В

частиц

разд. 2 для удобства читателя мы даем обзор ме-

Будем считать, что ось z выбрана по направле-

тода LCPI для расчета двойного дифференциально-

нию импульса начальной частицы a до взаимодейст-

го спектра по продольной фейнмановской перемен-

вия со средой, которая расположена в конечной об-

ной x и поперечному импульсу для индуцированных

ласти 0 < z < L и однородна по поперечным коор-

переходов a → bc. В разд. 3 обсуждается вычисле-

динатам. Элемент

S-матрицы для индуцированного

ние радиационного вклада в p_⊥-уширение. В разд. 4

перехода a → bc для лагранжиана (3) в поле среды

представлены численные результаты для условий

может быть записан в виде

RHIC и LHC. Выводы представлены в разд. 5. Неко-

∫

торые формулы, относящиеся к нашим расчетам,

〈bc

S|a〉 = i dt drλψ^∗b(t, r)ψ^∗c(t, r)ψ_a(t, r) ,

(4)

приведены в двух приложениях.

где ψ_i — волновые функции частиц во внешнем поле

среды. Каждая из исходных волновых функций ψ_i

2. СПЕКТР ИНДУЦИРОВАННОГО

удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона

ПЕРЕХОДА a → bc В РАМКАХ МЕТОДА

[

]

LCPI

(∂_μ + ie_iA_μ)(∂^μ + ie_iA^μ) + m2i

ψ_i(t, r) = 0 ,

(5)

где e_i — заряд частицы. Рассмотрим сначала случай

В этом разделе для удобства читателя мы крат-

начальной частицы, налетающей на среду из бес-

ко излагаем основные моменты формализма LCPI

конечности. В этом случае для частицы a следует

[9,29] для процессов типа a → bc в аморфной среде.

брать приходящую волновую функцию, имеющую

В LCPI-подходе предполагается, что энергии всех

вид плоской волны при z → -∞, а для конечных

частиц велики по сравнению с их массами. Предпо-

частиц b и c — уходящие волновые функции, имею-

лагается также, что поперечные импульсы частиц

щие вид плоских волн при z → ∞. Мы предполага-

малы по сравнению с их энергиями, т. е. анализ про-

ем, что m_a < m_b + m_c, и поэтому в вакууме пере-

водится в приближении малых углов (определяемых

ход a → bc отсутствует. Волновые функции быстрых

относительно направления импульса начальной час-

частиц при E_i ≫ m_i являются быстроосциллирую-

тицы a). Это приближение является очень хорошим

щими функциями переменных t и z. Поэтому удобно

для радиационных процессов при высоких энергиях

записать ψ_i в виде

в КЭД [32]. Оно остается достаточно хорошим и для

процессов с быстрыми партонами в КХД-материи

ψ_i(t, r) =

√ exp[-iE_i(t - z)]φ_i(t, r) ,

(6)

[33]. В LCPI-подходе различие конечных формул

2E_i

617

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

где r = (z, ρ), ρ — поперечная координата. Как

ности перехода a → bc в уравнении (9) удобно счи-

обычно, мы нормируем потоки для свободных плос-

тать, что взаимодействие (3) адиабатически выклю-

ких волн на единицу, что соответствует |φ_i| = 1 при

чается при z → ±∞. При этом в (9) λ² → λ(z₁)λ(z₂),

z → -∞ для i = a и z → ∞ для i = b, c. Оче-

где λ(z) → 0 при |z| → ∞.

видно, что в выражении (6) зависимость φ_i (мы бу-

Пока мы не использовали явной формы попереч-

дем называть эти функции поперечными волновыми

ных волновых функций. При E_i ≫ m_i, после под-

функциями) от t и продольной координаты z долж-

становки (6) в (5), в главном по энергии порядке из

на быть плавной. Для случая, не зависящего от вре-

(5) можно получить уравнение, описывающее эво-

мени внешнего потенциала, поперечные волновые

люцию волновой функции φ_i(z, ρ) по переменной z:

функции φ_i не зависят от t и являются функция-

∂φ_i

ми продольной переменной z и поперечного вектора

= Ĥ_iφ_i,

(10)

∂z

ρ. В этом случае в

S-матричном элементе, после ин-

тегрирования по t, можно выделить δ-функцию по

(p_⊥ - e_iA_⊥)² + m2i

Ĥ_i =

+ e_i(A⁰ - A³),

(11)

изменению энергии и записать его через интеграл

2μ_i

по пространственным переменным:

где μ_i = E_i. Функцию φ_a можно записать в виде

z_f

∫

i2πδ(E_b + E_c - E_a)

(12)

φa(z, ρ) = dρ^′Ka(ρ, z|ρ^′, zi)φa(zi, ρ^′) .

〈bc

S|a〉 =

dz ×

^√8E_aE_bE_c

∫

Здесь z_i → -∞, величина φ_a(z_i, ρ) ∝ exp(iq_a ·ρ) (об-

× dρ λφ^∗b(z, ρ)φ^∗c(z, ρ)φ_a(z, ρ) ,

(7)

щая фаза волновой функции для нас несуществен-

на), K_a — запаздывающая функция Грина для урав-

где z_i = -∞, z_f = ∞.

нения Шредингера (10) для i = a. Волновые функ-

Из соотношения (7) с помощью золотого прави-

ции для конечных частиц могут быть выражены че-

ла Ферми для усредненной по состояниям мишени

рез их значения при z_f → ∞ и опережающие функ-

дифференциальной вероятности перехода a → bc

ции Грина уравнения (10) для i = b, c. Используя тот

можно получить

факт, что для уравнения Шредингера опережающая

функция Грина связана с запаздывающей функцией

∫

Грина соотношением

Re dρ₁dρ₂ ×

dx dq_bdq_c

(2π)⁴

∫

K_ret(ρ₂, t₂|ρ₁, t₁) = K^∗adv(ρ₁, t₁|ρ₂, t₂),

dz₁dz₂ ĝ〈W (z₁, ρ₁)W^∗(z₂, ρ₂)〉 ,

(8)

мы можем записать φ_b,c(z, ρ) в виде

z1<z2

∫

где

φ_b,c(z, ρ) = dρ^′K^∗b,c(ρ^′, z_f |ρ, z)φ_b,c(z_f, ρ^′).

(13)

W (z, ρ) = φ^∗b(z, ρ)φ^∗c(z, ρ)φ_a(z, ρ),

qb,c — поперечные импульсы частиц b и c (отме-

Тогда, после подстановки (12) и (13) в (8), диф-

тим, что ниже жирный шрифт будет использовать-

ференциальный спектр будет выражен через попе-

ся только для поперечных векторов), x = xb =

речные матрицы плотности начальной частицы при

= E_b/E_a — фейнмановская переменная частицы b

z = z_i и конечных частиц при z = z_f и запазды-

(так как E_b + E_c = E_a, можно использовать в ка-

вающие функции Грина, как показано на рис. 1a.

честве продольной переменной и x = x_c = E_c/E_a.

На этой диаграмме функции Грина K и комплекс-

Знак 〈. . .〉 в (8) означает усреднение по состояниям

но-сопряженные функции Грина K^∗ представлены

мишени, а ĝ обозначает вершинный фактор,

соответственно стрелками «→» и «←». Штриховые

линии показывают поперечные матрицы плотности

ĝ=

(9)

для плоских волн ρ_i(ρ, ρ^′) = exp[iq_i ·(ρ-ρ^′)] (счита-

16πx_bx_cE²

ем, что для начальной частицы a q_a = 0 при z = z_i).

Как будет видно ниже, для реальных КЭД и КХД

Отметим, что условие точного сохранения энер-

этот фактор будет дифференциальным оператором.

гии в (7) не является обязательным для вывода (8),

Отметим, что, в отличие от элемента

S-матрицы (7),

но несколько упрощает формулы. При меняющем-

в интеграле по z1,2 в формуле (8) могут быть суще-

ся во времени потенциале энергия, естественно, не

ственны области |z1,2| → ∞. Для корректного вы-

сохраняется строго. Однако ясно, что если типич-

числения вклада этих областей при расчете вероят-

ная временная шкала среды много больше длины

618

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

∫

K_i(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) =

Dρ ×

⎧

∫

[

]

⎨

μ_i(dρ/dz)

× exp

- e_iU(ρ, z)

⎩

⎫

⎬

im2i(z₂ - z₁)

Рис. 1. a) Диаграммное представление для спектра пере-

(14)

2μ_i

⎭

хода a → bc по продольной фейнмановской переменной

и поперечным импульсам двух конечных частиц в мето-

де LCPI. Штриховые линии показывают поперечные мат-

Здесь U = A^μv_μ, где v_μ = (1, -dρ/dz, -1) — 4-вектор

рицы плотности начальной (до взаимодействия со средой

скорости частицы. В главном порядке по энергии

при z = zi) и конечных (после взаимодействия со средой

можно пренебречь поперечной компонентой v_μ при

при z = z_f ) частиц; б) то же, что на рис. a, для спектра,

вычислении потенциала¹⁾, тогда U ≈ A⁰ - A³. Пос-

проинтегрированного по поперечному импульсу частицы c

ле записи всех функций Грина в форме (14) веро-

ятность перехода a → bc представляется кратным

интегралом по траекториям, включающим траекто-

рии частиц для верхней и нижней частей диаграммы

волны быстрых частиц, то эффекты нарушения со-

на рис. 1a. Интегрирование идет по путям частиц в

хранения энергии для быстрых частиц несуществен-

поперечной плоскости на световом конусе t - z =

ны при вычислении вероятности процесса в главном

= const. При этом для траекторий частиц, соот-

по энергии приближении. Эти эффекты могут дать

ветствующих комплексно-сопряженным функциям

только подавленные по энергии поправки, учет ко-

Грина внизу диаграммы рис. 1a, взаимодействие с

торых был бы превышением точности наших при-

потенциалом среды аналогично взаимодействию ан-

ближений для вычисления функций φ_i. Можно ска-

тичастиц. Таким образом, в функциональном инте-

зать, что с точки зрения каждой быстрой частицы

грале, соответствующем рис. 1a, подынтегральное

важен только потенциал, который она «чувствует»

выражение содержит взаимодействие со средой в ви-

вдоль ее траектории t - z = const, и неважно, изме-

де вильсоновских факторов для частиц из верхней

няется ли он во времени до и после ее прохождения.

части и античастиц из нижней части (ниже, как и

Физически это очевидно, так как при большом раз-

на рис. 1a, будем обозначать функции Грина и пе-

личии временных/энергетических шкал для среды

ременные для линий «←» как античастичные).

и быстрых частиц каждая быстрая частица никогда

Основная идея LCPI-метода заключается в

не взаимодействует дважды с одним и тем же кон-

выполнении усреднения по состояниям среды на

ституентом среды. Для зависящего от времени по-

уровне подынтегрального выражения до вычисле-

тенциала среды можно также использовать форму-

ния функциональных интегралов в формуле для

лу (8). При этом в гамильтониане (11) надо вычис-

вероятности перехода. После выполнения этого

лять A^μ при ξ = t - z = const с одинаковыми значе-

усреднения по состояниям среды начальное взаи-

ниями ξ для амплитуды и комплексно-сопряженной

модействие траекторий с случайным потенциалом

амплитуды. В выводе спектра (8) без использования

среды трансформируется во взаимодействие между

точного сохранения энергии (7) условие, что в (8)

траекториями. Для абелевого случая это взаимо-

функции W(z₁, ρ₁) и W(z₂, ρ₂) входят при одинако-

действие описывается эффективным лагранжианом

вых значениях ξ₁ и ξ₂, возникает после интегрирова-

вида L_eff = inσ_X /2, где n — число атомов среды

ния по энергии одной из конечных частиц, которое

в единице объема среды, σ_X — сечение рассеяния

дает δ(ξ₁ - ξ₂). Эта δ-функция затем убирается ин-

системы частиц и античастиц на отдельном атоме.

тегрированием по t₁, а интегрирование по t₂ дает

просто полный временной интервал процесса взаи-

¹⁾ Это соответствует пренебрежению A_⊥ в кинетической

модействия входящего волнового пакета со средой.

части гамильтониана (11). Для статического вектор-потен-

Для единичного интервала времени это приводит к

циала среды при отбрасывании A_⊥ теряются как эффект

формуле (8).

продольного магнитного поля, так и эффект поперечного

магнитного поля, связанный с производной от A_⊥ по z. Од-

В подходе LCPI все функции Грина при вычис-

нако для случайного вектор-потенциала аморфной среды оба

этих эффекта подавлены по энергии по сравнению с тем, что

лении вероятности перехода, описываемой диаграм-

может дать член A³ в потенциале U (и, конечно, член A⁰, ска-

мой на рис. 1a, мы записываем в фейнмановской

жем, в кулоновской калибровке для обычных материалов), и

форме интеграла по путям [34]

их учет в главном по энергии приближении не имеет смысла.

619

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

S = Sbb(ρ_bf,ρbf,zf|ρb2,ρb2,z2)×

× S_bca(ρb2, ρc2, ρ¯a2, z₂|ρb1, ρc1, ρ¯a1, z₁)×



× S_aa(ρa1,ρ¯a1,z₂|ρ_ai,ρ¯ai,z_i)

(19)

^ρ

=ρ¯b2,ρc1=ρb1

Двухчастичные факторы Sbb, Saa определяются

Рис. 2. a) Диаграммное представление для спектра перехо-

формулой

да a → bc, проинтегрированного по поперечному импульсу

частицы c; б) диаграммное представление для радиацион-

ной поправки к вероятности перехода a → a от виртуаль-

S_i

(ρi2, ρ

,z₂|ρi1, ρ

,z₁) =

ного процесса a → bc → a. Имеются также аналогичные

=K_i(ρi2, z₂|ρi1, z₁)

(ρi₂, z2|ρ

,z₁),

(20)

диаграммы с перестановкой вершин между верхней и ниж-

ней частями диаграмм а и б

а трехчастичный фактор S_bca для произвольных по-

зиций концов линий b, c, a при z₁, z₂ есть

Рассмотрим спектр, проинтегрированный по по-

перечному импульсу q_c. Это соответствует матрице

S_bca(ρb2, ρc2, ρ¯a2, z₂|ρb1, ρc1, ρ¯a1, z₁) =

плотности частицы c вида

= K_b(ρb2, z₂|ρb1, z₁)K_c(ρc2, z₂|ρc1, z₁)×

∫

× K∗¯a(ρ¯a2, z₂|ρ¯a1, z₁).

(21)

ρ_c(ρ, ρ^′) =

dq_c exp [i(ρ - ρ^′)q_c] =

(2π)²

Типичные значения z₂ - z₁

для диаграмм на

= δ(ρ - ρ^′).

(15)

рис. 1a и 2a определяются длиной когерентности

(формирования) для перехода a → bc, которая для

В этом случае диаграмма на рис. 1a принимает вид

релятивистских частиц может существенно превы-

диаграммы на рис. 1б, которая (даже еще до выпол-

шать радиус корреляций в аморфной среде. Именно

нения усреднения по состояниям среды) может быть

в таком режиме для перехода a → bc в КЭД могут

трансформирована в диаграмму рис. 2a без участка

быть важны многократные перерассеяния заряжен-

с четырьмя траекториями. Эта трансформация ос-

ных частиц на атомах среды, ответственные за эф-

нована на тождествах для функций Грина

фект Ландау - Померанчука - Мигдала. В КХД та-

∫

кой режим является типичным для процессов рас-

dρ₂K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)K^∗(ρ₂, z₂|ρ′1, z₁) =

щепления быстрых партонов в холодной и горячей

КХД-материи. В этом режиме для аморфного веще-

= δ(ρ₁ - ρ′1),

(16)

ства усреднение по состояниям мишени в факторе S

в (18) можно выполнить независимо для отдельных

K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) =

сомножителей, т. е. можно записать

∫

= dρ K(ρ₂, z₂|ρ, z)K(ρ, z|ρ₁, z₁) .

(17)

〈S〉 = 〈Sbb〉〈Sbca〉〈Saa〉 .

(22)

Выражение для спектра, соответствующее диаграм-

Обсудим сначала вычисление двухчастичных

ме на рис. 2a, имеет вид

факторов 〈S_i

〉, каждый из которых является про-

∫

сто оператором эволюции поперечной матрицы

Re dρ_bf dρbf dρb2dρb₂ ×

плотности частицы i. Мы можем записать усред-

dx dq_b

(2π)²

ненный двухчастичный фактор в виде двукратного

× dρa1dρ¯a1dρ_aidρ¯ai exp[-iq_b(ρ_bf - ρbf )] ×

интеграла по путям:

z_f

∫

× dz₁

dz₂ĝ〈S〉 ,

(18)

〈S_i

〉(ρ₂, ρ′2, z₂|ρ₁, ρ′1, z₁) = DρDρ′ ×

⎧

⎫

где индексы «f», «1», «2», «i» у поперечных коорди-

⎨ ∫z²

⎬

μ_i[(dρ/dz)² - (dρ^′/dz)²]

× exp

нат ρ означают, что по продольной координате z они

⎩

⎭

соответствуют точкам z_f , z1,2, z_i, расположенным,

как показано на рис. 2a, как и в исходной формуле

×Φ_i

({ρ - ρ^′}),

(23)

(8); 〈. . .〉 означает усреднение по состояниям среды,

фактор S определен соотношением

где функционал Φ_i

определен формулой

620

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

⎧

∫

⎨

а K_i,v — свободная функция Грина в вакууме,

Φ_i

({ρ - ρ^′}) = exp

-ie_i dz[U(ρ(z), z) -

⎩

μ_i

⎫

K_i,v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) =

2πi(z₂ - z₁)

⎬

]

- U(ρ^′(z), z)]

(24)

^[iμ_i(ρ₂ - ρ₁)²

im2i(z₂ - z₁)

⎭

× exp

(30)

2(z₂ - z₁)

2μ_i

В (23), (24) мы учли, что для среды, инвариантной

Возможность аналитического вычисления функ-

относительно поперечных смещений, правая часть

ционального интеграла в (23) можно предвидеть.

выражения (24) в действительности является функ-

Действительно, интеграл (23) можно записать как

ционалом от одной функции τ (z) = ρ(z)-ρ^′(z). Для

интеграл по переменной центра масс R = (ρ + ρ^′)/2

ситуации, когда длина z₂ - z₁ в двухчастичном фак-

и по τ . Для кинетического члена в экспоненте в вы-

торе (23) много больше длины корреляций в среде,

ражении (23) в этих переменных можно получить

функционал Φ_i

можно формально записать в виде

[

∫

]

⎡

⎤

∫



∫

dτ

z2

d²τ

({τ }) = exp - dzPi(τ (z), z)

(25)



dz μ_i

=μ_i⎣R^dτ

dz R

⎦ . (31)



dz²

где конкретный вид функции P_i(τ , z) зависит от

модели среды. Нетрудно показать, что для модели

Из этой формулы видно, что функциональное инте-

среды в виде случайно распределенных статических

грирование по переменной R можно провести как и

рассеивающих центров (атомов) можно получить

для свободных функций Грина. Это интегрирование

приводит при каждом z к δ(d²τ /dz²). Эта δ-функ-

n(z)σ_i

(|τ (z)|)

P_i(τ(z), z) =

(26)

ция снимается последующим интегрированием по τ

совершенно так же, как и в свободном случае. При

где n(z) — локальная плотность среды, а σ_i

— пол-

этом δ(d²τ/dz²) гарантирует, что в конечной форму-

ное сечение рассеяния диполя i¯i на отдельном атоме,

ле функционал Φ_i

должен вычисляться для функ-

определяемое соотношением

ции τ , которая должна быть линейной по z (так как

∫

должно выполняться равенство dτ /dz = const). Та-

σ_i

(|ρ|) = 2 db ×

ким образом, полный ответ должен быть произведе-

⎧

⎡

∞

нием свободных функций Грина на фазовый фактор

⎨

∫

[

(√

)

для одной линейной траектории τ (z).

(b - ρ)² + ξ²

^×⎩1-exp⎣-iei dξφ

Перейдем к трехчастичному оператору 〈S_bca〉.

-∞

∫

⎤⎫

Функциональный интеграл

Dρ_bDρ_cDρ¯a удобно

∫

(√

)]

⎬

записать в новых переменных,

DρDρ_aDρ¯a, где

- φ b² +ξ²

⎦

(27)

⎭

ρ = ρ_b - ρ_c — относительная координата для сис-

темы bc, a ρ_a = x_bρ_b + x_cρ_c дает положение центра

где φ(r) — потенциал отдельного атома. При выводе

масс системы bc. Трехчастичный фазовый фактор

соотношений (25), (26) из (24) учтено, что на про-

Φ_bca для системы bca до усреднения по состояниям

дольной шкале порядка размера атома поперечные

мишени является функционалом от траекторий по

координаты траекторий в исходном функциональ-

переменным R = (ρ_a + ρ¯a)/2, ρa¯a = ρ_a - ρ¯a и ρ.

ном интеграле можно считать замороженными.

Трансляционная инвариантность системы гаранти-

Тот факт, что Φ_i

зависит только от относитель-

рует, что после усреднения по состояниям материи

ного расстояния между траекториями, позволяет

зависимость от R в Φ_bca отсутствует. Совершенно

вычислить двойной функциональный интеграл (23)

аналогично случаю двухчастичного оператора, этот

аналитически [35]. Результат имеет вид

факт позволяет выполнить аналитически интегри-

∫

рование

Dρ_aDρ¯a =

DRDρa¯a. После этого трех-

〈S_i

〉(ρ₂, ρ′2, z₂|ρ₁, ρ′1, z₁) = K_i,v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) ×

частичный фактор можно записать в виде

(ρ′2, z₂|ρ′1, z₁)Φ_i

({τ_l}) ,

(28)

i,v

〈S_bca〉(ρb2, ρc2, ρ¯a2, z₂|ρb1, ρc1, ρ¯a1, z₁

где τ_l — линейная функция z,

∗

(ρ¯a2, z₂|ρ¯a1, z₁) ×

= K_a,v(ρa2,z₂|ρa1,z₁)K

a,v

(ρ₂ - ρ′2)(z - z₁)-(ρ₁ - ρ^′

)(z - z₂)

τ_l(z) =

(29)

× K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁),

(32)

z₂ - z₁

621

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

где ρ_ai = x_bρ_bi + x_cρ_ci, ρ_i = ρ_bi - ρ_ci для i = 1, 2, а

Для среды в виде системы статических рассеива-

последний множитель есть функциональный инте-

ющих центров эффективный трехчастичный потен-

грал по ρ вида

циал в фазовом факторе (35) и гамильтониане (36)

можно записать как

⎧

∫

⎨ ∫z²

M (dρ/dz)²

K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) = Dρ exp

iσ_bca(ρ, ρa¯a)n(z)

⎩

v(z, ρ, ρa¯a) = -

(38)

⎫

⎬

i(z₂ - z₁)ϵ

где σ_bca — сечение рассеяния на атоме трехчастич-

Φ_bca({ρ}, {ρa¯a}).

(33)

⎭

ной системы bca. Трехчастичное сечение (и потен-

циал v) зависит и от продольной переменной x_b, как

и «масса» M в гамильтониане (36). Ниже, как и в

Здесь

формулах (36), (38), не будем указывать явно эту

x-зависимость.

M =E_ax_bx_c, ϵ² =m2bx_c +m2cx_b -m2ax_bx_c,

После подстановки полученных формул для

а ρla¯a обозначает линейную по z функцию,

двухчастичных и трехчастичного операторов в

формулу

(18) мы выполняем интегрирование

ρa¯a(z₂)(z - z₁)-ρa¯a(z₁)(z - z₂)

по концевым поперечным координатам при z_i,

ρla¯a(z) =

(34)

z₂ - z₁

z₁, z₂, z_f, переходя к координатам центра масс

пар и относительным координатам (например,

которая является полным аналогом функции τ_l (29)

R_bf = (ρ_bf + ρ¯_bf )/2, τbf = ρ_bf - ρbf ):

для двухчастичного оператора 〈S_i

〉 (28). Усредне-

ние по состояниям мишени носит локальный ха-

∫

рактер с типичной длиной корреляций по продоль-

dρ_bf dρ¯_bf dρb2dρ¯b2dρa1dρ¯a1dρ_aidρ¯ai =

ной переменной z порядка размера атома. Поэтому

∫

усредненный фазовый фактор Φ_bca можно формаль-

= dR_bf dτ_bf dRb2dτb2dRa1dτa1dR_aidτ_ai .

(39)

но записать в виде

Φbc¯

Интегрирование по координатам R, τ при z_i, z1,2

a({ρ}, {ρaa}) =

[

∫

]

может быть выполнено аналитически с использова-

= exp -i dz v(z, ρ(z), ρa¯a(z))

(35)

нием формулы

∫

Как и в случае двухчастичного фазового факто-

dR₁K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)K^∗v(ρ′2, z₂|ρ′1, z₁) =

ра, форма функции v(z, ρ, ρa¯a) зависит от модели

(

)₂ ∫

среды, но ее конкретный вид не важен для вывода

спектра. С учетом (35) мы можем сказать, что K яв-

dR₁ ×

2π(z₂ - z₁)

ляется запаздывающей функцией Грина для уравне-

^[iμ(τ₂ - τ₁)(R₂ - R₁)^]

ния Шредингера с гамильтонианом

× exp

= δ(τ₂ - τ₁),

(40)

(z₂ - z₁)

q² + ϵ

Ĥ₌

+ v(z, ρ, ρa¯a) =

где τi = ρi - ρ′i, Ri = (ρi + ρ′i)/2. После этого

(

)₂

интегрирования траектории для участков (z_i, z₁) и

∂

+ v(z, ρ, ρa¯a) +

(36)

(z₂, z_f ) в фазовых факторах становятся параллель-

∂ρ

L_f

ны, причем относительное расстояние τ_bf для ко-

нечной пары bb связано с относительным расстояни-

Здесь мы ввели величину

ем τ_ai для начальной пары aa соотношением (ниже

L_f = 2E_ax_bx_c/ϵ² ,

(37)

будем обозначать эти векторы как τ_f и τ_i) τ_i =

= x_bτ_f . На участке (z₁, z₂) траектория центра масс

которая может рассматриваться как длина форми-

пары bc оказывается параллельна линии a, и век-

рования для перехода a → bc в пределе низкой плот-

тор ρa¯a, который входит в потенциал (38), равен τ_i.

ности среды [9], так как в этом пределе она опре-

Принимая полную площадь, возникающую от инте-

деляет типичную шкалу z₂ - z₁ для диаграмм на

грирования по R_bf , единичной, формулу (39) можем

рис. 1а, 2а.

записать в виде

622

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

∫

те и в комплексно-сопряженном матричном элемен-

Re dτ_f exp(-iq_b · τ_f ) ×

dx dq_b

(2π)²

те сокращаются, и требуется аккуратная трактовка

z_f

∫

вклада от больших |z|.

× dz₁

dz₂ ĝΦ_f (τ_f , z₂) ×

В формуле (41) в интеграле по z₂ мы сделаем в

подынтегральном выражении тождественную заме-



ну

× K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)Φ_i(τ_i, z₁)

(41)

ρ2

=τ_f ,ρ

где

⎡

⎤

Φ_f (τ_f , z₂)K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)Φ_i(τ_i, z₁) → Φ_f (τ_f , z₂)×

∫

× [K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) - K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)]Φ_i(τ_i, z₁) +

Φ_i(τ_i, z₁) = exp^⎣- dzP_a(τ_i, z)⎦ ,

(42)

+ [Φ_f (τ_f , z₂) - 1]K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)[Φ_i(τ_i, z₁) - 1] +

⎤

+ [Φ_f (τ_f , z₂)-1]K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)+K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) ×

⎡ z_f∫

Φ_f (τ_f , z₂) = exp^⎣- dzP_b(τ_f , z)⎦ .

(43)

× [Φ_i(τ_i, z₁) - 1] + K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁).

(46)

При подстановке (46) в (41) последний член должен

Можно ожидать, что типичный размер интерва-

давать нуль, так как переход a → bc в вакууме от-

ла Δz = z₂ - z₁ в формуле (41) во всяком случае не

сутствует. Первое и второе слагаемые в правой час-

должен существенно превышать длину формирова-

ти выражения (46) не содержат вклады от областей

ния L_f (37) для перехода a → bc в вакууме. Однако

вдали от мишени. Важными для раскрытия неопре-

для конечной среды интегрирование по переменной

деленности 0 · ∞ являются слагаемые, которые со-

z₁ в формуле (41) в областях вдали от мишени, т. е.

держат интегрирование по z на больших расстояни-

при |z₁| ≫ L, требует осторожности. Действитель-

ях до мишени и после мишени. В Приложении А мы

но, вдали от мишени функция Грина K совпадает со

показываем, что вклад этих членов в спектр можно

свободной функцией Грина:

выразить через волновую функцию на световом ко-

нусе для фоковской компоненты |bc〉 частицы a, Ψ.

K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) =

Он равен

2πi(z₂ - z₁)

{

]}

^[M(ρ₂ - ρ₁)²

(z₂ - z₁)ϵ²

∫

× exp i

(44)

2(z₂ - z₁)

dτ_f dτ^′f exp(-iq_b · τ_f )Ψ^∗(x, τ^′f - τ_f ) ×

(2π)²

Для свободной функции Грина интеграл по z₂ мож-

× Ψ(x, τ^′f )[Φ_f (τ_f , z_i) + Φ_i(τ_i, z_f) - 2] .

(47)

но выразить через функцию Бесселя K₀:

∞

∫

С учетом этого окончательный ответ для спектра по

dz₂K_v(ρ₂, z|ρ₁, z₁) =

K₀(|ρ₂ - ρ₁|ϵ).

(45)

x и q_b имеет вид

iπ

∫

Действительная часть этого интеграла, которая нам

Re dτ exp(-iq_b · τ_f ) ×

нужна, равна нулю. Однако в нашем случае эта ис-

dx dq_b

(2π)²

z_f

чезающая величина умножается на бесконечность

∫

{

из-за интегрирования по z₁ до бесконечности. Рас-

× dz₁

dz₂ĝ Φ_f (τ_f , z₂)[K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -

крытие возникающей неопределенности 0 · ∞ тре-

бует аккуратных вычислений с адиабатически от-

− K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]Φ_i(τ_i,z₁) + [Φ_f(τ_f,z₂) - 1]×

ключающимся взаимодействием при больших |z|.

}



Мы выполним это, проводя вычисления для λ(z) =

× K_v(ρ₂,z₂|ρ,z₁)[Φ_i(τ_i,z₁) - 1]



ρ₂=τ_f ,ρ₁=0

= λexp(-δ|z|) с последующим переходом к пределу

∫

δ → 0. Появление вкладов от z-областей на боль-

dτ_f dτ^′f exp(-iq_b · τ_f )Ψ^∗(x, τ^′f - τ_f ) ×

(2π)²

ших расстояниях от мишени есть плата за то, что

× Ψ(x, τ^′f )[Φ_f (τ_f , z_i) + Φ_i(τ_i, z_f) - 2] .

(48)

мы имеем дело с квадратом матричного элемента.

Для самого матричного элемента (7) вклады очень

больших |z| исчезают из-за осцилляций произведе-

Отсюда, после интегрирования по поперечному им-

ния волновых функций. Но для квадрата матрич-

пульсу, получаем спектр по одной фейнмановской

ного элемента эти осцилляции в матричном элемен-

переменной x:

623

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

∫

z_f

∫

Re dτ exp(-iq_b · τ_f ) ×

= 2Re dz₁ dz₂ĝ[K(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁) -

dx dq_b

(2π)²

z_f

∫

{



dz₁

dz₂ĝ Φ_f (τ_f , z₂)[K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -



- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]

(49)

ρ₁=ρ₂=τ_f =0

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]Φ_i(τ_i,z₁) + [Φ_f(τ_f,z₂) - 1]×

}

Для перехода трехчастичной системы bca нулево-



× K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)Φ_i(τ_i,z₁)



го размера при z₁ снова в систему нулевого разме-

ρ₂=τ_f ,ρ₁=0

ра при z₂ функции Грина в формуле (49) должны

∫

вычисляться для ρa¯a = 0. Поэтому потенциал v в

dτ_f dτ^′f exp(-iq_b · τ_f )Ψ^∗(x, τ^′f -τ_f ) ×

гамильтониане (36) в этом случае становится цен-

(2π)²

тральным.

dPv

× Ψ(x, τ^′)[Φ_i(τ_i, z_f) - 1] +

(51)

Обсудим теперь, как меняются формулы для

dx dq_b

случая быстрой частицы, рождающейся в среде.

Для случая частицы a, рожденной в среде, доста-

Здесь последний член есть чисто вакуумный спектр

точно в формуле (41) использовать для z_i координа-

ту точки рождения быстрой частицы a, для которой

перехода a → bc:

мы будем брать z_i = 0. В данном случае в формуле

(41) в интеграле по z₂ мы сделаем тождественную

∫

замену

dP_v

dτ_f dτ^′f exp(-iq_b · τ_f ) ×

dx dq_b

(2π)²

)|²

|Ψ(x, q_b

× Ψ^∗(x, τ^′f - τ_f)Ψ(x, τ^′f) =

(52)

Φ_f (τ_f , z₂)K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)Φ_i(τ_i, z₁) → Φ_f (τ_f , z₂)×

(2π)²

× [K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) - K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)]Φ_i(τ_i, z₁) +

где Ψ(x, q_b) — волновая функция на световом конусе

+ [Φ_f (τ_f , z₂) - 1]K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)Φ_i(τ_i, z₁) +

для перехода a → bc в импульсном представлении.

+ K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)[Φ_i(τ_i,z₁) - 1]+

При расчетах радиационного вклада в p_⊥-уши-

рение частицы b для процессов с a = b, как и для

+ K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁).

(50)

процесса q → qg, который мы будем рассматривать,

возникает необходимость вычисления также спек-

тра для виртуального процесса a → bc → a, соот-

При этом возникает неопределенность 0 · ∞ только

ветствующего диаграмме на рис. 2б. Для виртуаль-

для области больших положительных z1,2, происхо-

ной диаграммы на рис. 2б промежуточная система

дящая от двух последних слагаемых в правой ча-

bc эволюционирует от точечной конфигурации при

сти выражения (50). Очевидно, что самый послед-

z₁ к точечной конфигурации при z₂. Поэтому в этом

ний член должен давать обычный спектр, соответ-

случае в формулах (41), (51) функции Грина вхо-

ствующий распаду a → bc в вакууме, который для

дят с аргументами ρ₂ = ρ₁ = 0. При этом для чле-

начальной частицы, рожденной в жестком процессе,

нов с волновой функцией Ψ^∗(x, τ^′f - τ_f ) переходит

уже не должен быть нулевым (в отличие от случая

в Ψ^∗(x, τ^′f ). Отличием виртуальной диаграммы яв-

начальной частицы, налетающей на мишень из бес-

ляется также то, что теперь τ_i = τ_f , в то время

конечности). А предпоследний член в (50) соответ-

как для реального процесса τ_i = x_bτ_f . Конечная

ствует поправке к вакуумному спектру от перерассе-

формула для вклада промежуточного состояния bc

яний начальной частицы в среде. После раскрытия

с определенным значением продольной фейнманов-

неопределенности 0·∞ для двух последних членов в

ской переменной x = x_b в спектр конечной частицы

(50) путем адиабатического отключения взаимодей-

a по поперечному импульсу q^′a для диаграммы на

ствия при z → ∞ полный спектр можно записать в

рис. 2б имеет вид (мы будем писать величины для

виде

виртуального вклада со знаком «тильда»)

624

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

∫

в базисе спиральных состояний в системе бесконеч-

Re dτ_f exp(-iq^′a · τ_f ) ×

dx dq^′a

(2π)²

ного импульса [36, 37]. При этом электронные ди-

z_f

раковские волновые функции и волновую функцию

∫

{

× dz₁

dz₂ĝ Φ_f (τ_f , z₂)[^K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -

фотона, подобно случаю скалярных частиц, мож-

но выразить через медленно меняющиеся скалярные

функции, удовлетворяющие уравнению Шрединге-

− K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]Φ_i(τ_i,z₁) + [Φ_f(τ_f,z₂) - 1]×

}

ра (10).

S-матричный элемент (55) можно записать



× K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)Φ_i(τ_i,z₁)



через скалярные волновые функции φ_i для электро-

=ρ

нов и фотона в виде

∫

−

dτ_f dτ^′f exp(-iq^′aτ_f )Ψ^∗(x, τ^′f ) ×

(2π)²

i2πδ(E_γ + E_e

-Eei)

〈e_f γ

S|e_i〉 = -

√

dP_v

8Eei E_γE_e

× Ψ(x, τ^′f )[Φ_i(τ_i, z_f) - 1] - δ(q^′a)

(53)

z_f

∫

где

× dz dρ eφ^∗γ (z, ρ)φ^∗e

(z, ρ)Γφei (z, ρ).

(56)

∫

dP_v

= dq_b

= dτ_f |Ψ(x, τ_f )|²

(54)

dx dq_b

Здесь

Γ— вершинный оператор, который является

суммой вершинных факторов с сохранением и изме-

— вакуумный спектр для перехода a → bc по фейн-

нением спиральности электрона,

мановской переменной x. Изменение знаков по срав-

нению со спектром для реального процесса связано

Γ= Γ_nf +

Γ_sf .

(57)

с тем, что произведение (iλ)(iλ)^∗ для диаграммы на

рис. 2а в случае диаграммы на рис. 2б заменяется на

Компонента без переворота спина имеет вид

(iλ)². Отметим, что в приведенных выше формулах

}

мы не указывали явно зависимость функций Грина

Γ_nf = -√

^{1 + x_f q∗ · e∗ + i2λ[q∗ × e∗]z

(58)

от вектора τ_f , которая связана с зависимостью по-

x_f

x_γ

тенциальной энергии (38) от вектора ρa¯a. Тот факт,

что для реального процесса ρa¯a = x_bτ_f , а для вир-

где λ спиральность электрона, e — вектор поляри-

зации фотона, а

туального ρa¯a = τ_f , будет важен в последующем

анализе радиационного вклада в p_⊥-уширение.

q=x_γq_f -x_fq_γ

(59)

2.2. Индуцированные переходы типа a → bc

— оператор относительного поперечного импульса

для реальной КЭД и КХД

для пары конечных частиц e_f γ. Уравнение (56) за-

писано в форме, в которой операторы импульсов

Обсудим сначала обобщение формул предыду-

конечных частиц, появляющиеся в

Γ_nf , действуют

щего раздела для реальной КЭД. В этом случае в

справа налево. Компонента оператора

Γ с переворо-

трехчастичной системе bca могут быть только две

том спина имеет вид

заряженные частицы, и поэтому трехчастичное се-

чение может быть выражено через сечение для па-

Γ_sf = -

√

(2λ_ie^∗x + ie^∗y)δ-2λ

f,2λi .

(60)

x_f

ры e⁺e^-. Следует также учесть спин частиц в вер-

шинном факторе. Рассмотрим обобщение формул

Наличие вершинного оператора

Γ в (56) не при-

предыдущего раздела для процесса e → eγ, т. е. ког-

да a = b = e, c = γ.

водит к изменениям в выводе вероятности перехо-

да по сравнению со случаем скалярных частиц. Все

Элемент

S-матрицы для процесса e → eγ запи-

формулы, полученные выше для скалярных частиц,

сывается в виде

остаются верны и для перехода e → eγ в реаль-

∫

ной КЭД, если вершинный фактор ĝ (9) заменить

〈e_f γ

S|e_i〉 = -ie dt dr

ψ_f γ^μA^∗μψ_i ,

(55)

на оператор

где ψ_i,f — дираковские волновые функции началь-

ĝ(z₁, z₂) = ĝ_nf (z₁, z₂) + ĝ_sf (z₁, z₂) ,

(61)

ного и конечного электронов во внешнем поле, A_μ —

4-вектор волновой функции излученного фотона.

e²

ĝk(z1, z2) =

V_k(z₁, z₂),

(62)

Удобно описывать спиновые состояния электронов

16πE2ei x_f x_γ

625

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

где оператор

V_i для случая спектра, просуммиро-

(64), где операторы импульса при z₁ и z₂ действуют

ванного по спиральностям конечных частиц и усред-

на функции Грина для трехчастичной системы bca

ненного по спиральностям начального электрона,

в начальной и конечных точках.

дается формулой

Перейдем к случаю КХД. Будем рассматривать

∑

кварк-глюонную плазму как систему статических

Vk(z1, z2) =

Γ_k(z₁)Γ∗k(z₂).

(63)

дебаевски экранированных цветных центров [6]. Так

λγ ,λi,λf

как обмен t-канальными глюонами между быст-

Здесь аргументы z1,2 указывают, в какой точ-

рыми партонами приводит к изменению их цвето-

ке действует оператор

Γ_i. Используя формулу

вых состояний и цветовых состояний рассеивающих

∑

e_i(λ_γ)e^∗j(λ_γ) = δij, с помощью соотношений

центров, вычисление индуцированного расщепления

λγ

(58), (60)-(63) легко получить для ĝ в процессе

партонов в КХД является, на первый взгляд, суще-

e → eγ выражение

ственно более сложной задачей, чем для абелевого

случая. Однако если на уровне амплитуды перехо-

α[1 + (1 - x_γ )²]

да a → bc ограничиться для каждого центра учетом

ĝnf (z1, z2) =

q(z₂) · q^∗(z₁) =

только одноглюонных и двухглюонных синглетных

2x_γM²

по цвету обменов, то вычисление спектра, проинте-

α[1 - (1 - x_γ )²]

∂

(64)

грированного по одному из поперечных импульсов в

2x_γM²

∂ρ₂

∂ρ₁

приближении двухглюонных обменов для каждого

рассеивающего центра, проводится аналогично абе-

αm2ex_γ

левому случаю. Действительно, тот факт, что цве-

ĝsf (z1, z2) =

(65)

2E2ei (1 - x_γ)²

товые генераторы любого партона p и его антипарт-

В спиновом операторе ĝ_nf , при его подстановке

нера p связаны соотношением (-T^αp)^∗ = Tα¯p, позво-

в (41), операторы q(z_i) = -i∂/∂ρi действуют на

ляет трактовать взаимодействие быстрых партонов

функции Грина при постоянной позиции центра

для нижней части диаграммы на рис. 1a как взаи-

масс пары bc. Тот факт, что оператор ĝ_nf записан в

модействие антипартонов. При этом, как и в абеле-

форме, в которой оператор импульса q(z₂) действу-

вом случае, после усреднения по состояниям среды

ет на функцию Грина K (или ее вакуумный аналог),

и суммирования по всем конечным цветным состо-

описывающую внутреннюю динамику по координа-

яниям среды возникает взаимодействие траекторий

те ρ_b-ρ_c = ρ_f -ρ_γ, может показаться странным, так

быстрых партонов, которое описывается дифракци-

как изначально в формуле (41) в точке z₂ для ниж-

онным оператором системы партонов и антипарто-

них частей диаграмм на рис. 1 вершинный оператор

нов. Отличие КХД от КЭД заключается в том, что

действует на волновые функции конечных частиц

для четырехчастичной части диаграммы на рис. 1a

для комплексно-сопряженной амплитуды. Диаграм-

при z > z₂ задача становится многоканальной, так

ма на рис. 1б, соответствующая спектру, проинте-

как для четырех партонов существует несколько

грированному по поперечному импульсу частицы c,

синглетных по цвету состояний. Однако для спек-

для частиц со спином также может быть деформи-

тра, проинтегрированного по одному из поперечных

рована в диаграмму на рис. 2а. После этого опера-

импульсов, который, как и в абелевом случае, опи-

тор импульса для c в нижней части диаграммы на

сывается диаграммой на рис. 2a, задача является

рис. 2а будет действовать теперь на конец линии c

одноканальной, поскольку в промежуточных двух-

в точке z = z₂, но оператор импульса для

b оста-

частичных и трехчастичной частях имеется только

ется действующим на конец линии

b при z = z₂.

одно синглетное по цвету состояние²⁾. В этом случае

Однако, используя тот факт, что после усреднения

дифракционный оператор является просто сечением

по состояниям среды усредненный фазовый фактор

в функциональном интеграле для области z > z₂

²⁾ На первый взгляд, для процесса g

→ gg возможны

зависит только от относительных расстояний меж-

два синглетных состояния для трехчастичного участка, так

как для трех глюонов существуют два цветовых синглет-

ду траекториями конечных частиц, с помощью сдви-

ных состояния: антисимметричное (∝ f_αβγ ) и симметрич-

жек переменных интегрирования мы можем переки-

ное (∝ d_αβγ ). Однако в случае g → gg-расщепления система

нуть дифференциальный оператор поперечного им-

трех партонов на диаграмме рис. 2a может находиться толь-

пульса с линии

b на траекторию b в верхней части

ко в антисимметричном цветовом состоянии, так как после

g → gg-перехода при z = z₁ два глюона находятся в анти-

диаграммы, где она подходит к точке z = z₂ слева

симметричном цветовом октетном состоянии, и последующие

(при этом дифференцирование не затрагивает ли-

t-канальные глюонные обмены не могут изменить симметрию

нию b правее z₂). Эта операция приводит к формуле

трехглюонной цветовой волновой функции.

626

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

для соответствующей системы. В результате форму-

Формулы для статической модели КГП мож-

ла для спектра имеет вид, аналогичный абелевому

но обобщить [40] на случай динамического описа-

случаю. Меняются только формулы для сечений и

ния КГП в полевой трактовке в приближении HTL

для вершинного фактора. Приведем эти формулы

(hard termal loop), которое использовалось в рабо-

для процесса q → qg, т. е. a = b = q и c = g. Основной

те [11]. При этом потенциал (38) выражается через

вклад в излучение глюона кварком идет от перехода

глюонный поляризационный тензор. Однако особо-

без переворота спина кварка. Пренебрегая вкладом

го смысла это не имеет, так как для применимости

с переворотом спина кварка, вершинный фактор мы

схемы HTL для условий RHIC и LHC нет оснований.

можем записать в виде

Более того, можно показать [20], что схема HTL при-

водит к неправильной нормировке трехчастичного

α_sP_qq(x_q)

ĝ(z₁, z₂) =

q(z₂) · q^∗(z₁) =

потенциала (38) для партонных состояний малого

2M²

размера, которые важны для JQ при энергиях RHIC

α_sP_qq(x_q)

∂

(66)

и LHC.

2M²

∂ρ₂

∂ρ₁

где P_qq — стандартная функция расщепления для

процесса q → q. В общем случае процесса a → bc

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАДИАЦИОННОГО

в (66) следует использовать функцию расщепления

ВКЛАДА В p⊥-УШИРЕНИЕ БЫСТРЫХ

P_ba(x_b). Для двухглюонного обмена трехчастичное

ПАРТОНОВ

сечение σ_bca = σ_qgq выражается через дипольное се-

Будем рассматривать p_⊥-уширение для быстрых

чение σ_qq [38]:

кварков в КГП конечного размера L. Радиационный

σ_qgq(ρ, R) =

[σ_qq(|ρ|) + σ_qq(|R - x_bρ|)] -

вклад в p_⊥-уширение в этом случае связан с пере-

ходом q → qg, т. е. в обозначениях частиц разд. 2

σ_qq(|R + x_cρ|),

(67)

имеем a = b = q, c = g. Среду считаем однородной,

т. е. n = const. Будем предполагать, что начальный

где ρ = ρ_b -ρ_c, R = x_cρ_b +x_bρ_c -ρ¯a. В приближении

кварк рождается с энергией E при z = 0.

статических дебаевски экранированных рассеиваю-

Обсудим сначала обычное нерадиационное

щих центров [6] дипольное сечение для синглетной

p_⊥-уширение быстрого кварка за счет многократ-

по цвету qq-пары имеет вид

∫

ного рассеяния в среде. Без учета радиационных

1 - exp(iq · ρ)

процессов распределение кварка по поперечно-

σqq(ρ) = CF CR dq α^s(q²)

(68)

(q² + m2D)²

му импульсу при распространении в среде от z₁

до z2 можно записать через оператор эволюции

где m_D — дебаевская масса, C_F = 4/3 и C_R — цвето-

поперечной кварковой матрицы плотности в виде

вые операторы Казимира для кварка конституента

КГП. Отметим, что в то время как в КЭД изло-

∫

женная схема позволяет учесть обмены любым чис-

= dR₂dτ₂dτ₁ exp (-ip_⊥ · τ₂) ×

dp_⊥

лом t-канальных фотонов [39] (для этого достаточ-

но точно вычислить дипольное сечение в эйкональ-

× 〈S_qq〉(ρ₂, ρ′2, z₂|ρ₁, ρ′1, z₁) ,

(69)

ном приближении по формуле (27)), для КХД наша

где τ_i = ρ_i - ρ^′i, R₂ = (ρ₂ + ρ′2)/2. Используя (28)

схема применима только в приближении двухглю-

из (69), легко получить

онных t-канальных обменов³⁾.

∫

³⁾ В литературе при анализе индуцированных переходов

a → bc в КХД взаимодействие партонных траекторий для

= dτ₂ exp (-ip_⊥ · τ₂) ×

dp_⊥

диаграммы на рис. 1a часто описывается в терминах виль-

[

]

соновских факторов. Это может создавать впечатление, что

σ_qq(|τ₂|)Ln

× exp -

(70)

картина с синглетной по цвету, взаимодействующей со сре-

дой партон-антипартонной системой справедлива даже для

непертурбативных флуктуаций цветовых полей среды. Одна-

где L = z₂ - z₁ — длина пути в среде. Отметим,

ко никаких оснований для этого нет, потому что для непер-

что хотя оператор эволюции (28) матрицы плотно-

турбативной ситуации векторные потенциалы в линиях Виль-

сона для амплитуды и для комплексно-сопряженной ампли-

сти учитывает поперечное движение частиц, форму-

туды могут быть разными. Даже в теории возмущений уже

ла (70) совпадает с результатом вычисления dP/dp_⊥

на уровне обмена тремя глюонами вычисление вероятности

в эйкональном приближении, когда траектории час-

перехода a → bc не может быть сведено к задаче прохожде-

ния через среду фиктивной партон-антипартонной системы,

тиц считаются прямолинейными. Для КЭД этот

как на диаграмме рис. 1a.

факт в методе интеграла по путям был обнаружен в

627

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

работе [35]. Мы будем использовать квадратичную

В этом приближении полная энергия двухпартон-

параметризацию дипольного сечения,

ного состояния и энергия однопартонного состоя-

ния одинаковы после прохождения среды. Однако

σqq(ρ) = Cρ² .

(71)

среда может менять относительный вес однопартон-

ного и двухпартонного состояний. Меняется также

В этом приближении формула (70) дает гауссовское

и распределение партонов по поперечным импуль-

распределение

сам. Мы будем интересоваться влиянием среды на

[

]

p2⊥

распределение по поперечным импульсам конечно-

exp -

(72)

dp_⊥

π〈p2⊥〉₀

〈p2⊥〉₀

го кварка, проинтегрированное по его энергии. При

этом для виртуального вклада энергия конечного

где

кварка не меняется, однако надо учитывать, что

〈p2⊥〉₀ = 2LCn .

(73)

перерассеяния в среде для промежуточного двух-

Эта величина нерадиационного вклада в 〈p2⊥〉 с

частичного состояния отличаются от перерассеяний

транспортным коэффициентом q = 2Cn, введенным

одного кварка. Так как типичная энергия излуча-

в работе [7], соответствует (1). Приближение квад-

емого глюона существенно меньше энергии кварка,

ратичного дипольного сечения не учитывает куло-

в данной модели отношение поперечного импульса

новских логарифмических эффектов в ρ-зависимос-

конечного кварка, приобретаемого в среде, к энер-

ти дипольного сечения при ρ ≪ 1/m_D и его выпола-

гии может рассматриваться как угол отклонения

живание при ρ> 1/m_D при расчете σ_qq по двухглю-

струи за счет взаимодействия с КГП. Поэтому мож-

онной формуле (68). Логарифмическое отклонение

но говорить, что модель описывает p_⊥-уширение в

от квадратичной зависимости при малых ρ приво-

КГП всей струи. В этой модели, которая точно со-

дит к энергетической зависимости 〈p2⊥〉. При исполь-

ответствует формулировке работ [27, 28], величину

зовании реалистического дипольного сечения вели-

〈p2⊥〉_rad, связанную с взаимодействием со средой,

чина C медленно растет с уменьшением ρ при малых

можно записать в форме

ρ. При этом 〈p2⊥〉 определяется как 2nLC(ρ_min), где

[

]

∫

ρ_min ∼ 1/p_⊥max. Для кварка с энергией E в КГП

〈p2⊥〉_rad = dxdp_⊥p²

(75)

с температурой T имеем p2⊥max ∼ 3ET. Эффектив-

^⊥ dx dp_⊥

dxdp_⊥

ный, зависящий от энергии транспортный коэффи-

где dP /dx dp_⊥ — индуцированный вклад (т. е. без

циент q_eff = 2nC(ρ_min) можно записать также че-

учета чисто вакуумного вклада) в распределение по

рез дифференциальное сечение рассеяния кварка на

фейнмановской переменной x = x_q и поперечному

конституенте среды dσ/dp2⊥ [8, 41, 42]

импульсу кварка для реального процесса q → qg, а

P/dxdp_⊥ — индуцированный вклад в распределе-

∫

dσ

ние для виртуального процесса q → qg → q. В фор-

q=n

dp2⊥p²

(74)

^⊥ dp²

муле (75) смысл продольной переменной x разли-

⊥

чен для реального и виртуального вкладов. Для ре-

Перейдем к анализу радиационного вклада в

ального процесса x соответствует конечному кварку,

p_⊥-уширение. Будем учитывать излучение только

а для виртуального процесса x определяется фейн-

одного глюона. В этом приближении начальный

мановской переменной кварка в промежуточном qg-

быстрый кварк q на большом расстоянии от точки

состоянии. Переменная p_⊥ в формуле (75) для ре-

рождения может оказаться в одночастичном квар-

ального и виртуального вкладов соответствует ко-

ковом состоянии или в двухчастичном состоянии qg.

нечным кваркам. Ввиду сохранения энергии, фор-

Важно, что вероятность образования конечного со-

мула (75) может быть записана и в терминах фейн-

стояния qg включает в себя как обычное вакуум-

мановской переменной глюона, x_g = E_g/E, которая

ное, так индуцированное расщепление q → qg. Для

связана с x_q соотношением x_q + x_g = 1.

сохранения полной вероятности необходимо учиты-

При вычислении радиационного вклада в 〈p2⊥〉

вать уменьшение вероятности выхода одного кварка

по формуле (75) можно избежать вычислений самих

из-за возможности образования двухчастичной си-

p_⊥-распределений. Действительно, из общей форму-

стемы. Это уменьшение веса однопартонного состо-

лы (51) видно, что индуцированный спектр по попе-

яния описывается радиационной поправкой от вир-

речным импульсам для реального процесса можно

туального процесса q → qg → q. Мы будем прене-

записать в виде

∫

брегать столкновительными энергетическими поте-

dτ_f exp(-ip_⊥ · τ_f )F (τ_f ) .

(76)

рями партонов, которые сравнительно малы [13,14].

dxdp_⊥

(2π)²

628

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

Спектр для виртуального процесса (53) можно за-

ĝ действует на функции Грина при постоянном τ_f , а

писать в такой же форме с заменой F на

F. Из (75),

дифференцирование по τ_f выполняется последним.

(76) легко видеть, что 〈p2⊥〉_rad можно выразить че-

Из (53) видно, что для случая виртуального про-

рез лапласиан от функции F +

F по τ_f при τ_f = 0

цесса формулы для

F1,2 можно получить из (79),

как

(80), заменяя функции Грина K, K_v на

^K,

K_v, ко-

∫



торые теперь вычисляются при ρ₂ = ρ₁ = 0, и за-



〈p2⊥〉_rad = - dx [∇²F (τ_f ) + ∇²

F (τ_f )]

(77)

меняя в глауберовском факторе Φ_i аргумент xτ_f на

τ_f =0

τ_f . Следует также изменить для

F1,2 общие знаки

Используя (51) для функции F реального про-

на противоположные. С учетом этого формулы для

цесса, можно получить

лапласиана от функций

F1,2 можно записать в виде

F (τ_f ) = F₁(τ_f ) + F₂(τ_f ) ,

(78)

∫

∞



∇²

F₁(τ_f )

= -2 Re

dz₁

dz₂ ×

где

τ_f =0

{

z_f

∫

× ∇²Φ_f(τ_f, z₂)ĝ[^K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)-

F₁(τ_f ) = 2 Re dz₁ dz₂ ×

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)] + ∇²ĝ[ ^K(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁

{

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)] + ĝ[ ^K(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)-

× Φ_f(τ_f,z₂)ĝ[K(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)-K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]×

)×

- K_v(ρ,z₂|ρ₁,z₁)]∇²Φ_i(τ_f,z₁)+∇²Φ_f(τ_f,z₂

× Φ_i(xτ_f, z₁) + [Φ_f(τ_f, z₂) - 1] ×

}



}

× ĝKv(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)



(83)



× K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)Φ_i(xτ,z₁)



(79)

ρ₂=ρ₁=0,τ_f =0

ρ₂=τ_f , ρ₁=0



∫



∇²

F₂(τ_f )



^τ_f =0=-∇2Φⁱ(τf ,L)

τ_f =0

F₂(τ_f ) = dτ^′f Ψ^∗(x, τ^′f - τ_f )×

∫

× dτ^′f |Ψ(x, τ^′f )|² .

(84)

× Ψ(x, τ^′)[Φ_i(xτ_f , z_f) - 1] .

(80)

В (79), (80) мы учли, что в (51) τ_i = xτ_f . Исполь-

Правила действия дифференциальных операторов в

зуя (79), (80), для нужного нам лапласиана по τ_f от

(83) такие же, как и для (81). Интегрирование по z₁

F1,2 при τ_f = 0 получаем

в F₁ (81) и

F₁ (83) ограничено областью z₁ < L, так

как K - K₀,

K- K_v и ∇²Φ_f исчезают при z₁ > L.

∫

∞

При этом все z-интегрирования можно выполнять



∇²F₁(τ_f )

= 2Re

dz₁

dz₂ ×

при фиксированной константе связи. В наших вы-

τ_f =0

числениях использование адиабатически отключаю-

{

щейся константы связи было важно только для по-

× ∇²Φ_f(τ, z₂)ĝ[K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)-

лучения выражений для членов F₂ и

F₂ через вол-

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)] + ∇²ĝ[K(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)-

новую функцию двухпартонного состояния.

При τ_f = 0 для функций Грина, входящих в

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)] + ĝ[K(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)-

формулы для F₁ и

F₁, выполняется равенство

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]∇²Φ_i(xτ_f,z₁)+

+ ∇²Φ_f(τ_f, z₂)×

ĝ[K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -

}



× ĝK_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)



(81)

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]

ρ₂=τ_f ,ρ₁=0,τ_f =0

=τ_f ,ρ

=0,τ_f =0

= ĝ[ ^K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -



∇²F₂(τ_f )



− K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]

(85)

^τ_f =0=∇2Φⁱ(xτf ,L)

τ_f =0

=ρ

=0,τ_f =0

∫

× dτ^′f |Ψ(x, τ^′f )|² .

(82)

Учитывая, что для F₁ и

F₁ глауберовский фактор

Φ_f входит с одинаковым аргументом τ_f , из (81) и

Отметим, что при вычислении (81) дифференциаль-

(83) мы видим, что в сумме F +F члены с лапласи-

ный оператор ∂/∂ρ₁ · ∂/∂ρ₂ в вершинном операторе

аном Φ_f точно сокращаются. Однако это свойство

629

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

∫

∞

не имеет места для членов, содержащих ∇²Φ_i, так

как в F₁ и

F₁ величина Φ_i появляется с разными

I₂ = -2

dx dz₁ dΔz ×

аргументами. По этой же причине нет сокращения

{

для F₂ и

F₂, которые также содержат различающи-

× Re

ĝ[K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -

еся факторы ∇²Φ_i. Члены с действием ∇² в F₁ и



F₁ на функции Грина различаются, так как вычис-

− K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]∇²Φ_i(xτ_f,z₁)

ρ₂=τ_f ,ρ₁=0,τ_f =0

ление лапласиана требует вычисления ĝK и ĝK при

ненулевых τ_f , где эти функции для реального и вир-

- ĝ[ ^K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -



}

туального процессов различаются.



- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]∇²Φ_i(τ_f,z₁)

Интеграл по пространственной координате от

ρ₂=ρ₁=0,τ_f =0

квадрата Ψ-функции в (82) и (84) дает просто ва-

∫

∞

z₁

куумный x-спектр dP_v/dx, который можно также

= -2〈p²

〉₀

dxf(x) dz₁

dΔz ×

⊥

записать через интеграл по поперечному импульсу

двойного дифференциального спектра:

× Re ĝ [K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -

∫



dP_v

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]

(90)

= dp_⊥

(86)

ρ₂=ρ₁=0,τ_f =0

dx dp_⊥

Для q → qg вакуумный спектр по x и поперечному

∫



dP_v

импульсу кварка имеет вид

I₃ = dx∇²[Φ_i(τ_f , L)-Φ_i(xτ_f , L)]

τ_f =0 dx

∫

dP_v

α_sP_qq(x)

p2⊥

dP_v

(87)

= -〈p²

〉₀

dxf(x)

(91)

⊥

dx dp_⊥

2π²

(p2⊥ + ϵ²)²

где P_qq — обычная функция расщепления перехода

где f(x) = 1 - x², Δz = z₂ - z₁. В формулах для I2,3

q → q. При этом интеграл по p_⊥ в (86) логариф-

мы использовали соотношение (85) и равенства

мически расходится при больших p2⊥. Эта расходи-



мость связана с тем, что мы работаем в приближе-

∇²Φ_i(xτ_f , z₁)



(92)

^τ f =0=x2∇²Φⁱ(τf ,z1)

τf=0

нии малых углов и не учитываем кинематических

ограничений. В численных расчетах мы регуляри-



зовали эту расходимость, ограничивая область ин-



∇²Φ_i(τ_f , z₁)

(93)

тегрирования p_⊥ < p^max⊥ с p^max⊥ = Emin(x, (1 - x)).

^τ_f =0=-〈p⊥〉⁰z¹/L,

Более формально эта расходимость может быть ре-

гуляризована в духе метода Паули - Вилларса, если

где 〈p2⊥〉0 соответствует нерадиационному вкладу

ввести контрчлен с заменой ϵ на ϵ^′ ∼ p^max⊥.

в p_⊥-уширение

(73). Мы используем формулы

Полный вклад в 〈p2⊥〉_rad, соответствующий сумме

(88)-(91) для численных расчетов 〈p2⊥〉_rad. Форму-

F +

F, может быть записан как сумма трех членов:

лы для функций Грина, которые необходимы для

расчета I1,2, приведены в Приложении B.

〈p2⊥〉_rad = I₁ + I₂ + I₃ ,

(88)

Из (91) видно, что I₃ < 0, что, таким образом,

приводит к уменьшению 〈p2⊥〉. Как мы увидим ни-

где величины I_i даются формулами

же, вклад I₂ для L = 5 также отрицательный. Каче-

ственно это можно понять, вычисляя I₂ в приближе-

∫

∞

нии малой длины формирования индуцированного

I₁ = -2

dx dz₁ dΔz ×

излучения глюона по сравнению с размером среды.

В этом приближении можно пренебречь в интеграле

{

по Δz в (90) наличием границы среды, что дает

× Re ∇²ĝ[K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -



∫

∞

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]

=τ_f ,ρ

=0,τ_f =0

2 Re dΔzĝ[K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) -

− ∇²ĝ[ ^K(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)-



}



dP_in

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]

(89)

- K_v(ρ₂,z₂|ρ₁,z₁)]

≈

(94)

^ρ

=ρ

=0,τ_f =0

^ρ

=ρ

=τ =0

dx dL

630

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

где dP_in/dx dL — x-спектр индуцированного излуче-

к уменьшению p_⊥-уширения. Как будет видно из ре-

ния глюона на единицу пути кварка в среде. Тогда

зультатов численных расчетов, суммарный отрица-

для I₂ получим

тельный вклад I₂ и I₃ для условий RHIC и LHC по

абсолютной величине больше I₁, и величина 〈p2⊥〉_rad

∫

〈p2⊥〉₀L

dP_in

оказывается отрицательной.

I₂ ≈ -

dxf(x)

≈

dx dL

∫

〈p2⊥〉₀

dP_in

≈-

dxf(x)

(95)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

Поскольку dP_in/dx > 0, видно, что I₂ < 0. Таким

При проведении численных расчетов 〈p2⊥〉_rad в

образом ясно, что члены, пропорциональные ∇²Φ_i,

качестве основного варианта мы использовали для

дают отрицательный вклад в p_⊥-уширение.

квазичастичных масс значения mq = 300 МэВ и

Подынтегральное выражение интеграла по Δz

m_g = 400 МэВ, которые были получены из ана-

в формуле (89) при Δz → 0 ведет себя как 1/Δz,

лиза решеточных данных в квазичастичной модели

что приводит к логарифмической расходимости I₁.

КГП [43] для температур, соответствующих услови-

Аналогично случаю логарифмической расходимо-

ям RHIC и LHC. С этими значениями масс в наших

сти интегрирования по p2⊥ для dP_v/dx в I₃, эта

предыдущих работах по JQ [20, 21] были успешно

расходимость есть следствие использования прибли-

описаны данные RHIC и LHC по ядерному факто-

жения малых углов. Расходимость интеграла по

ру модификации R_AA. Результаты для R_AA не очень

Δz в I₁ также может быть регуляризована вве-

чувствительны к массам квазичастиц. Для того что-

дением контрчлена Паули - Вилларса с ϵ^′ ∼ p^max⊥.

бы понять возможные неопределенности, связанные

Такой контрчлен приведет к обрезанию интеграла

с выбором масс партонов, мы провели расчеты и для

при Δz ≲ M/ϵ′2, что для xg ≪ 1 эквивалентно

масс m_q = 150 МэВ и m_g = 200 МэВ. В настоящей

Δz ≲ 1/E_g. Однако эта процедура могла бы быть ра-

работе мы, как и в [27], проводим расчеты для сре-

зумна только для среды с расстоянием между кон-

ды с постоянным q, с фиксированной α_s в распадной

ституентами (и дебаевским радиусом), много мень-

вершине q → qg. В работах [20,21] расчет R_AA про-

ше 1/M. Для реальной КГП это неравенство не вы-

водился в более реалистической модели вне рамок

полняется. Поэтому для диаграмм реального и вир-

осцилляторного приближения с использованием бе-

туального процессов влияние среды должно стано-

гущей α_s, с дебаевской массой КГП, полученной в

виться малым, уже когда Δz становится мало по

решеточных расчетах [44]. Расчеты в работах [20,21]

сравнению с дебаевским радиусом. Дело в том, что

были выполнены с учетом продольного разлета КГП

формулы подхода LCPI получены в предположе-

в модели Бьеркена [45], которая приводит к зависи-

нии, что для расщепления a → bc при взаимодей-

мости транспортного коэффициента от собственного

ствии с изолированной частицей длина формирова-

времени, q ∝ 1/τ.

ния существенно превышает радиус действия потен-

Для того чтобы сделать предсказания для

циала, роль которого в КЭД играет размер атома,

p_⊥-уширения в модели с фиксированной α_s и без

а в КГП — дебаевский радиус. Поэтому для про-

расширения КГП как можно более надежными,

цессов в среде разумно регуляризовать интегриро-

мы провели подгонку параметра

q из условия

вание по Δz, принимая для нижнего предела в (89)

совпадения потери энергии кварка ΔE в фор-

Δz ∼ 1/m_D (эта величина существенно больше, чем

мулировке данной работы с результатами более

1/E_g при E_g ≫ m_D). Этот рецепт был предложен в

реалистичной модели, использованной в [21]. Для

работе [27] для расчета радиационного вклада в p_⊥-

условий центральных соударений Au+Au на RHIC

уширение с логарифмической точностью. В нашей

при

√s = 0.2 ТэВ мы получили для транспортного

формулировке вклад, рассмотренный в [27], проис-

коэффициента⁴⁾ q ≈ 0.12 ГэВ³ при E = 30 ГэВ.

ходит из вклада I₁ (89). Авторы обнаружили, что

Для соударений Pb+Pb на LHC при

√s = 2.76 ТэВ

доминирующий вклад в 〈p2⊥〉_rad идет от дважды ло-

∫

мы получили q ≈ 0.14 ГэВ³ при E = 100 ГэВ.

гарифмического интеграла

dx_g/x_g

dΔz/Δz, ко-

Как и в расчетах, выполненных в [27], мы берем

торый при Δz_min = l₀ и приводит к формуле (2). В

α_s = 1/3 и L = 5 фм (это значение L примерно

[27] при вычислении 〈p2⊥〉_rad авторы не учитывали

глауберовские факторы Φ_i,f . Поэтому вклады I2,3,

⁴⁾ В данной работе мы во всех формулах используем транс-

пропорциональные ∇²Φ_i, были потеряны. Эти вкла-

портный коэффициент кварка, который на фактор C_F /C_A =

ды, как мы сказали ранее, отрицательны и приводят

= 4/9 меньше глюонного транспортного коэффициента.

631

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

соответствует типичной длине пути струи для

с m = 300 МэВ. Наши численные расчеты для чле-

центральных соударений).

нов I1,2,3 в формуле (88) дают

В формулах для I2,3, приведенных выше, мы вы-

[I₁, I₂, I₃]/〈p2⊥〉₀ ≈ [0.417/r, -0.213, -0.601]

(97)

разили ∇²Φ_i через нерадиационное значение 〈p2⊥〉₀,

которое связано с транспортным коэффициентом q

при E = 30 ГэВ для условий RHIC. Расчеты для

соотношением (1). В осцилляторном приближении,

условий LHC при энергии кварка E = 100 ГэВ дают

которое мы используем для вычисления функций

Грина, входящих в формулу для I1,2, частота Ω в ос-

[I₁, I₂, I₃]/〈p2⊥〉₀ ≈ [0.823/r, -0.107, -0.908] .

(98)

цилляторном гамильтониане (115) в Приложении B

Используя значения отношения

q′/q (96), из

также содержит q (Ω² ∝ q). При этом надо иметь в

виду, что эти значения q могут отличаться друг от

(97) и (98) получаем для отношений радиационно-

го и нерадиационного вкладов в наших версиях для

друга из-за кулоновских эффектов. Действительно,

по своему физическому смыслу величина q, возника-

RHIC (LHC)

ющая из вычисления ∇²Φ_i соответствует перерассе-

〈p2⊥〉_rad/〈p2⊥〉₀ ≈ -0.598 (-0.629) ,

янию в среде начального кварка. Поэтому естествен-

(99)

r = 1.94 (2.13).

но брать q = 2nC(ρ ∼ 1/p_⊥max), как обсуждалось в

разд. 3. В то же время для частоты Ω в гамиль-

Приведем также результат для случая q^′ = q:

тониане (115), описывающем функции Грина, есте-

ственно использовать транспортный коэффициент,

〈p2⊥〉_rad/〈p2⊥〉₀ ≈ -0.397 (-0.192) ,

(100)

определенный как 2nC, где C — отношение точного

r = 1 (1).

дипольного сечения (68) к ρ² при ρ_eff , определяе-

мом как характерный размер трехпартонной систе-

Как видно, даже для версии без учета различия q^′ и

мы [9, 46]. Количественно для перехода q → qg для

q радиационный вклад в p_⊥-уширение оказывается

условий RHIC и LHC этот рецепт дает значение q,

отрицательным для условий RHIC и LHC.

которое близко к q, определяемому по формуле (74)

Для понимания чувствительности результатов к

при энергии, равной типичной энергии излучаемого

массам партонов мы провели расчеты также для

глюона

E_g, которая существенно меньше энергии E

масс партонов, уменьшенных в два раза (m_q

начального кварка и слабо зависит от энергии квар-

= 150 МэВ и m_g = 200 МэВ). Это приводит к

ка. Для кварков с E ∼ 30-100 ГэВ для условий RHIC

увеличению по абсолютной величине вкладов I1,2,3

и LHC

E_g ∼ 3-5 ГэВ. При этом изменение с энергией

примерно на 10-20 %. Чувствительность полного

транспортного коэффициента при расчете по фор-

〈p2⊥〉_rad к уменьшению масс в два раза оказывает-

муле (74) оказывается весьма значительным. Мы бу-

ся несколько больше (так как имеется сильная ком-

дем обозначать транспортный коэффициент началь-

пенсация между вкладом от I₁ и отрицательными

ного кварка как q^′, оставляя обозначение q для ко-

вкладами от I2,3). Полный 〈p2⊥〉_rad для всех версий

эффициента при энергии глюона, который входит в

остается отрицательным. Для варианта с q^′ > q (96)

частоту осцилляторного гамильтониана (115) трех-

〈p2⊥〉_rad увеличивается по абсолютной величине при-

партонной системы. Наши вычисления по (74) с бе-

мерно на фактор 1.36 (1.4) для RHIC (LHC), а для

гущей α_s и с дебаевской массой КГП, предсказывае-

версии с q^′ = q — примерно на фактор 1.26 (1.5)

мой решеточными расчетами [44], дают для r = q^′/q

для RHIC (LHC). Основной отрицательный вклад в

величину

〈p2⊥〉_rad идет от члена I₃. В приведенных выше ре-

зультатах по зависимости от масс партонов вакуум-

r ≈ 1.94 (2.13)

(96)

ный спектр, входящий в формулу (91) для I₃, вычис-

лялся для квазичастичных масс партонов в КГП.

для кварков с энергией E = 30 (100) ГэВ для усло-

Мы исследовали также, как меняются резуль-

вий RHIC (LHC).

таты, если вакуумный спектр вычисляется для

В численных расчетах в соотношениях (89)-(91)

массы глюона m_g

= 800 МэВ. Примерно такая

мы интегрируем по x от x_min = m_q/E до x_max =

масса глюона ранее была получена в работе [47]

= 1 - m_g/E (напомним, что мы определяем x как

(m_g = 0.75 ГэВ) из анализа протонной структур-

xq, в терминах xg наша область соответствует из-

ной функции F₂ при малых x в дипольном уравне-

менению x_g от m_g/E до 1 - m_q/E). Как и в работе

нии БФКЛ. Масса глюона, полученная в [47], хоро-

[27], для регуляризации 1/Δz-расходимости в (89)

шо согласуется с естественным инфракрасным об-

мы обрезаем Δz-интегрирование при Δz_min = 1/m

резанием для пертурбативных глюонов, m_g ∼ 1/R_c,

632

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

где R_c ≈ 0.27 фм — глюонный радиус корреляций

ной в работе [27] значительной положительной ра-

в вакууме КХД [48]. Поэтому использование m_g ∼

диационной поправки 〈p2⊥〉_rad ≈ 0.75qL. В форме ис-

∼ 800 ГэВ можно считать разумным. Отметим, что

пользованной в выражениях (99), (100), это соответ-

в принципе формализм LCPI допускает использова-

ствует 〈p2⊥〉_rad/〈p2⊥〉₀ ≈ 0.75/r. Это предсказание на-

ние зависящих от продольных координат масс пар-

ходится в качественном согласии с нашими резуль-

тонов. Наши расчеты с m_g = 800 МэВ приводят

татами (97), (98) для вклада в 〈p2⊥〉_rad одного чле-

к подавлению I₃ на фактор 0.77 (0.83) для усло-

на I₁, который можно рассматривать как аналог ре-

вий RHIC (LHC). При этом отношение 〈p2⊥〉_rad/〈p2⊥〉₀

зультата работы [27] (но с аккуратным численным

остается отрицательным как для версий c q^′ > q, так

расчетом вне рамок логарифмического приближе-

и для q^′ = q (оценки с большей массой m_g для ва-

ния и приближения мягких глюонов).

куумного спектра носят, конечно, качественный ха-

Отметим, что учет членов I2,3, которые в работе

рактер, так как для случая разных масс партонов в

[27] не учитывались, меняет и физическую картину

КГП и в вакууме следовало бы учесть также влия-

радиационного p_⊥-уширения. Действительно, вклад

ние эффекта Тер-Микаеляна [49]).

I1 на качественном уровне в приближении малой

Таким образом, проведенные тесты показывают,

длины формирования L_f ≪ L можно рассматривать

что предсказание об отрицательном 〈p2⊥〉_rad доста-

как локальный по продольной координате эффект и

точно стабильно к вариации масс партонов. Отме-

интерпретировать как перенормировку транспорт-

тим, что чувствительность индуцированного излу-

ного коэффициента. Для вкладов I2,3 существен-

чения глюонов к массе легкого кварка вообще ма-

ны большие продольные расстояния порядка L. По-

ла (за исключением излучения жестких глюонов с

этому влияние членов I2,3 на p_⊥-уширение нельзя

xg ∼ 1) и изменение предсказаний связано, главным

интерпретировать как простую перенормировку ло-

образом, с вариацией m_g.

кального транспортного коэффициента. Важно, что

В приведенных выше результатах мы использо-

для доминирующего отрицательного вклада I₃ из-

вали фиксированную величину α_s. Обобщение вы-

лучение глюона происходит в вакууме. Этот факт

числений на бегущую α_s является сложной задачей

ставит под сомнение возможность факторизовать

и выходит за рамки этой работы. В то же время в

эффекты взаимодействия со средой и судаковские

рамках схемы данной работы можно легко оценить

эффекты при анализе азимутальной декоррелляции

роль бегущей α_s на доминирующий отрицательный

струй в AA-соударениях, как это делалось в рабо-

вклад в 〈p2⊥〉_rad от члена I₃, связанный с зависимос-

те [22].

тью от параметризации α_s чисто вакуумного спект-

ра dP_v/dx в формуле (91). Для вычисления dP_v/dx

с бегущей константой связи достаточно в форму-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ле (87) заменить статическую α_s на бегущую. Мы

использовали однопетлевую α_s, замороженную при

Мы провели анализ радиационного p_⊥-уширения

малых импульсах на значении α^frs = 0.7. Это зна-

быстрых партонов в КГП. Анализ выполнен в

чение α^frs для данной параметризации ранее было

рамках формализма LCPI [9, 29] в осцилляторном

получено из анализа структурных функций при ма-

приближении. Расчеты проводились для однород-

лых x в рамках дипольного БФКЛ-уравнения [47].

ной КГП для толщины L = 5 фм со значения-

Оно хорошо согласуется также с результатом анали-

ми транспортного коэффициента, соответствующи-

за потери энергии тяжелых кварков в вакууме [50].

ми условиям центральных соударений ядер Au+Au

Отметим, что метод вычисления фактора ∇²Φ_i, ко-

и Pb+Pb на RHIC и LHC. Мы показали, что в ради-

торый входит в формулу (91), вообще не важен для

ационное p_⊥-уширение дают вклад как реальные и

отношения I₃/〈p2⊥〉₀, которое и представляет инте-

виртуальные процессы, имеющие локальный харак-

рес. Использование вакуумного спектра с такой бе-

тер по длине пути струи с характерным продоль-

гущей α_s приводит к увеличению по абсолютной ве-

ным размером порядка длины формирования инду-

личине члена I₃ примерно на фактор 1.45 (1.2) для

цированного глюонного излучения, так и процессы,

условий RHIC (LHC). Абсолютное значение отноше-

включающие перерассеяния начального партона на

ния 〈p2⊥〉_rad/〈p2⊥〉₀ при этом увеличивается примерно

размерах порядка размера КГП. В то время как про-

на фактор 1.45 (1.3) для RHIC (LHC).

цессы первого типа дают положительный вклад в

Большой отрицательный вклад от I2,3 делает на-

p_⊥-уширение, нелокальные процессы второго типа,

ши результаты для радиационного вклада в p_⊥-уши-

напротив, дают отрицательный вклад и уменьша-

рение кардинально отличающимися от предсказан-

ют p_⊥-уширение. Процессы первого типа рассмат-

633

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

∫

ривались ранее в работах [27,28] с логарифмической

K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) =

dq exp [iq(ρ₂-ρ₁)] ×

точностью в приближении мягких глюонов. Вклад в

(2π)²

[

]

p_⊥-уширение от перерассеяний начального партона

q² + ϵ²

× exp -i(z₂ - z₁)

(102)

рассмотрен впервые.

Наши расчеты показывают, что для условий

Будем брать константу взаимодействия в виде

RHIC и LHC отрицательный вклад от перерас-

λ(z) = λ exp(-δ|z|) с пределом δ → 0 в конечных

сеяний начального партона настолько велик, что

формулах. Тогда, выделяя явно экспоненциальную

полный вклад 〈p2⊥〉_rad оказывается отрицательным

z-зависимость ĝ, для фиксированного δ получаем

и по абсолютной величине может быть больше

половины обычного нерадиационного вклада 〈p2⊥〉₀.

∫

∞

dP₊

2ĝ

В этом случае суммарный эффект нерадиационного

Re dqJ(q_b-q) dz₁ exp (-2δz₁) ×

dxdq_b

(2π)⁴

и радиационного механизмов на p_⊥-уширение струй

может оказаться весьма малым. Возможно, что с

∫

∞

[

]

q² + ϵ

этим связан несколько неожиданный отрицатель-

× dξ exp -δξ - iξ

(103)

ный результат эксперимента STAR [23] по поиску

эффекта перерассеяния струй в КГП в соударе-

где

ниях Au+Au при

√s = 0.2 ТэВ. Разумеется, для

∫

более надежного заключения крайне желательно

J (k) = dτ_f exp (-ik · τ_f )[Φ_i(xτ_f , ∞) - 1] .

(104)

обобщить вычисления данной работы на случай

расширяющейся КГП.

В (104) учтено, что τ_i = xτ_f (считаем x = x_b). Пос-

и ξ и взятия предела δ → 0

ле интегрирования по z₁

Благодарности. Я глубоко благодарен главно-

получаем

му редактору ЖЭТФ академику А. Ф. Андрееву

∫

(

)₂

за предложение представить работу для юбилейного

dP₊

dq J(q_b - q)

(105)

выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию академи-

dx dq_b

(2π)⁴

ϵ² + q²

ка И. М. Халатникова.

Используя нековариантную теорию возмущений в

системе бесконечного импульса, нетрудно показать,

что волновая функция для двухчастичного фоков-

ского состояния |bc〉 в (x, q)-представлении для пе-

ПРИЛОЖЕНИЕ A

рехода a → bc есть

√

Здесь мы обсуждаем раскрытие неопределеннос-

x(1 - x)

Ψ(x, q) =

(106)

ти 0 · ∞, возникающей от областей больших z1,2

2√π(ϵ2 + q2)

в формуле (41). Рассмотрим вычисление вклада в

Здесь Ψ(x, q) нормирована так, что вероятность фо-

спектр по x и q_b для процесса a → bc от члена

ковской компоненты bc в физической частице a есть

K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)[Φ_i(τ_i, z₁) - 1] в (46), для которого

∫

возникает неопределенность 0 · ∞ (обозначим его

P (a → bc) =

dx dq|Ψ(x, q)|² .

(107)

dP₊/dxdq_b). Для раскрытия неопределенности 0 · ∞

(2π)²

вклад конечной области по z₁ несуществен, поэтому

мы можем написать

С учетом (106) и (9), можно записать (105) в виде

∫

dP₊

∫

dq J(q_b - q)|Ψ(x, q)|² .

(108)

dP₊

dx dq_b

(2π)⁴

Re dτ_f exp(-iq_bτ_f ) ×

dxdq_b

(2π)²

∞

Это выражение в координатном представлении

∫∞

∫

можно записать как

× dz₁

dz₂ĝK_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) ×

∫

dP₊



dτ_f dτ^′f exp (-iq_b · τ_f ) ×



dx dq_b

(2π)²

× [Φ_i(τ_i, ∞) - 1]

(101)

ρ₂=τ_f ,ρ₁=0

× Ψ^∗(x, τ^′f - τ_f)Ψ(x, τ^′f)[Φ_i(xτ_f, ∞) - 1] .

(109)

Запишем функцию Грина в виде фурье-представле-

Вычисление вклада от области отрицательных

ния:

z1,2 для (41) от члена [Φ_f (τ_f , z₂)-1]K_v(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)

634

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

в (46) проводится аналогично, и суммарный вклад

где d = nx2b(A - B²/C₃), а H_osc — осцилляторный

областей z1,2 < 0 и z1,2 > 0 приводит к (47). Вы-

гамильтониан,

ражение (109) в то же время дает вклад в спектр

(

)₂

∂

MΩ²u²

для ситуации с начальной частицей a, рождающейся

H_osc = -

(115)

∂u

при z = 0. Применение аналогичного метода для по-

следнего члена в правой части формулы (50) с одной

с комплексной частотой

функцией Грина без функции профиля дает обыч-

√

ный вакуумный спектр (52). Отметим, что для си-

-inC₃θ(L - z)

Ω=

(116)

туации с начальной частицей, налетающей из беско-

нечности, последний член в (46) дает нулевой вклад

Отметим, что |Ω|² ∝ q, так как C₃ ∝ C ∝ q. Из (114)

из-за сокращения суммы вкладов областей z1,2 < 0

видно, что функцию Грина K (для области z₁ < L,

и z1,2 > 0 с вкладом области z₁ < 0, z₂ > 0.

которая нам нужна) можно записать в форме

Мы провели вычисления для скалярных частиц.

Включение спина не меняет процедуру раскрытия

K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) = K_osc(u₂, z₂|u₁, z₁)U(z₂, z₁) ,

(117)

неопределенности 0 · ∞. Результат записывается в

том же виде через волновую функцию пары bc.

[

]

dξτ

i(z₂ - z₁)ϵ²

U (z₂, z₁) = exp

(118)

ПРИЛОЖЕНИЕ B

где ξ = min(z₂, L) - z₁, u_i = ρ_i

+ δ, а K_osc есть

В этом Приложении мы приводим формулы для

функция Грина для осцилляторного гамильтониана

функций Грина, необходимых для вычисления чле-

(115), которую можно записать в виде

нов I1,2 по формулам (89), (90) в осцилляторном

приближении. В КХД для квадратичной парамет-

K_osc(u₂, z₂|u₁, z₁) =

ризации дипольного сечения σ_qq(ρ) = Cρ² (в терми-

[

]

exp

i(αu²² + βu²¹ - γu₁ · u₂)

(119)

нах кваркового транспортного коэффициента C =

2πi

= q/2n) трехчастичное партонное сечение σ_bca так-

Здесь для z₂ < L

же можно записать в квадратичном виде:

MΩ

α=β =

σbca(ρ, R) = Cba(ρb - ρa)² + Cca(ρc - ρa)² +

2 tg [Ω(z₂ - z₁)]

(120)

+ C_bc(ρ_b - ρ_c)2 .

(110)

MΩ

γ =

sin[Ω(z₂ - z₁)]

Здесь ρ = ρ_b - ρ_c, R = x_cρ_b + x_bρ_c - ρ¯a, ρ_b - ρ¯a =

= R + x_cρ, ρ_c - ρ¯a = R - x_bρ. Для процесса q → qg

а для конфигураций z₂ > L > z₁

(a = b = q, c = g) из (67) можно получить

MΩ

α=

2[tg (Ωξ₁) + Ωξ₂]

C_bc = C_ca =

C_ba = -

(111)

M Ω[1 - Ωξ₂ tg (Ωξ₁)]

β=

(121)

Для диаграммы на рис. 2а R = τ_i = x_bτ_f . Тогда,

2[tg (Ωξ₁) + Ωξ₂]

вводя новую переменную

MΩ

γ =

cos(Ωξ₁)[tg (Ωξ₁) + Ωξ₂]

u = ρ + δ , δ = τ_iB/C₃ = x_bτ_fB/C3 ,

(112)

где ξ₁ = L - z₁, ξ₂ = z₂

- L.

где B = x_cC_ba - x_bC_ca, C₃ = C_bax2c + C_cax2b + C_bc,

В наших формулах для спектров дифференци-

выражение для σ_bca можно записать в форме

альный оператор ĝ действует на функцию Грина K

при постоянном значении τ_i. Поэтому в нем можно

σbca(ρ, R) = (A - B²/C3)R² + C3u² ,

(113)

заменить (∂/∂ρ₂) · (∂/∂ρ₁) на (∂/∂u₂) · (∂/∂u₁). Из

где A = C_ba + C_ca.

(119) легко получить

С учетом (113) гамильтониан (36) системы bca в

зависимости от z в терминах переменной u и векто-

∂

K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) = - [2iγ+(2αu₂-γu₁) ×

ра τ_f можно записать в виде

∂ρ₂

∂ρ₁

idθ(L - z)τ²

× (2βu₁ - γu₂)] K(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) .

(122)

H =H_osc -

(114)

635

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Для диаграммы на рис. 2a функция Грина входит

H. Song, S. A. Bass, U. Heinz, and T. Hirano, Phys.

при ρ₁ = 0, ρ₂ = τ_f , что соответствует

Rev. C 83, 054910 (2011), Erratum: Phys. Rev. C 86,

059903 (2012) [arXiv:1101.4638].

u1,2 = τ_f k1,2 , k₁ = x_bB/C₃ ,

(123)

R. Pasechnik and M.

Šumbera, Universe 3, 7 (2017)

k₂ = 1 + x_bB/C₃ .

[arXiv:1611.01533].

Поэтому для значения τf = 0, которое входит в

U. A. Wiedemann, Landolt-Börnstein 23, 521 (2010)

формулы для 〈p2⊥〉_rad, мы имеем u1,2 = 0. Тогда с

[arXiv:0908.2306].

учетом выражений (66), (123) получаем

J. D. Bjorken, Fermilab preprint 82/59-THY (1982),



unpublished.

ĝK(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)

=τ_f =0

1,2

[

]

M. Gyulassy and X. N. Wang, Nucl. Phys. B 420,

α_sP_ba γ

i(z₂ - z₁)ϵ²

exp -

(124)

583 (1994) [nucl-th/9306003].

2M²

R. Baier, Y. L. Dokshitzer, A. H. Mueller, S. Peigné,

Для вычисления члена I₁ (89) надо знать также ла-

and D. Schiff, Nucl. Phys. B

483,

291

(1997)

пласиан по τ_f при τ_f = 0 от ĝK(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁) при

[hep-ph/9607355].

ρ₂ = τ_f , ρ₁ = 0. Правая часть формулы (122), запи-

R. Baier, Y. L. Dokshitzer, A. H. Mueller, S. Peigné,

санная как функция τ_f , при ρ₂ = τ_f , ρ₁ = 0 имеет

and D. Schiff, Nucl. Phys. B

484,

265

(1997)

вид

[hep-ph/9608322].

[

]

i(z₂ - z₁)ϵ²

[2iγ + Gτ2f ] exp iτ2f D -

(125)

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 63, 906 (1996)

2πi

[hep-ph/9607440].

где

10.

M. Gyulassy, P. Lévai, and I. Vitev, Nucl. Phys.

idξ

B 594, 371 (2001) [hep-ph/0006010].

D = αk²² + βk²¹ - γk₁k₂ +

(126)

11.

P. Arnold, G. D. Moore, and L. G. Yaffe, JHEP 0206,

G = (2αk₂ - γk₁)(2βk₁ - γk₂).

(127)

030 (2002) [hep-ph/0204343].

Тогда с учетом (66) и (125) нетрудно получить при

12.

U. A. Wiedemann, Nucl. Phys. A 690, 731 (2001)

τ_f = 0

[hep-ph/0008241].



Δ²ĝK(ρ₂, z₂|ρ₁, z₁)

13.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 86, 509 (2007)

=τ_f ,ρ

=0,τ_f =0

[arXiv:0708.0816].

[

]

α_sP_ba 2γ(2iγD - G)

i(z₂ - z₁)ϵ²

exp -

(128)

14.

G.-Y. Qin, J. Ruppert, C. Gale, S. Jeon, G. D. Moore,

2M²

iπ

and M. G. Mustafa, Phys. Rev. Lett. 100, 072301

(2008) [arXiv:0710.0605].

Для вычисления аналогов формул (124) и (128) для

вакуумной функции Грина достаточно положить

15.

Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук, ДАН СССР 92,

d = 0 и заменить функции α, β, γ их вакуумными

735 (1953).

аналогами

16.

A. B. Migdal, Phys. Rev. 103, 1811 (1956).

α₀ = β₀ = γ₀/2 =

(129)

2(z₂ - z₁)

17.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 73, 55 (2001)

[hep-ph/0012360].

Для виртyальной диаграммы на рис. 2б, в ко-

торую входит функция Грина

^K, в полученных

18.

P. Arnold and S. Iqbal, JHEP 1504, 070 (2015),

формулах меняются только значения параметров d,

Erratum: JHEP 1609, 072 (2016) [arXiv:1501.04964].

k1,2, которые теперь для

K даются формулами d =

19.

R. Baier, Yu. L. Dokshitzer, A. H. Mueller, and

= n(A - B²/C₃), k1,2 = B/C₃.

D. Schiff, JHEP 0109, 033 (2001).

20.

B. G. Zakharov, J. Phys. G 40, 085003

(2013)

ЛИТЕРАТУРА

[arXiv:1304.5742].

1. U. W. Heinz, Landolt-Börnstein

23,

240

(2010)

21.

B. G. Zakharov, J. Phys. G 41, 075008

(2014)

[arXiv:0901.4355].

[arXiv:1311.1159].

636

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Радиационный вклад в p_⊥-уширение быстрых партонов. . .

22.

A. H. Mueller, B. Wu, B.-W. Xiao, and F. Yuan,

36.

J. D. Bjorken, J. B. Kogut, and D. E. Soper, Phys.

Phys. Lett. B 763, 208 (2016) [arXiv:1604.04250].

Rev. D 3, 1382 (1971).

23.

L. Adamczyk et al. [STAR Collaboration], Phys. Rev.

37.

G. P. Lepage and S. J. Brodsky, Phys. Rev. D 22,

C 96, 024905 (2017) [arXiv:1702.01108].

2157 (1980).

24.

J. Norman

[for ALICE Collaboration], arXiv:

38.

N. N. Nikolaev and B. G. Zakharov, Z. Phys. C 64,

1901.02706.

631 (1994) [hep-ph/9306230].

25.

M. Gyulassy, P. Levai, J. Liao, S. Shi, F. Yuan, and

39.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 64, 737 (1996)

X. N. Wang, Nucl. Phys. A 982, 627 (2019) [arXiv:

[hep-ph/9612431].

1808.03238].

40.

P. Aurenche and B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ

26.

B. Wu, JHEP 1110, 029 (2011) [arXiv:1102.0388].

85, 181 (2007) [hep-ph/0612343].

27.

T. Liou, A. H. Mueller, and B. Wu, Nucl. Phys.

41.

R. Baier, Nucl. Phys. A

715,

209

(2003)

A 916, 102 (2013) [arXiv:1304.7677].

[hep-ph/0209038].

28.

J.-P. Blaizot and Y. Mehtar-Tani, Nucl. Phys. A 929,

42.

K. M. Burke et al. [JET Collaboration] Phys. Rev.

202 (2014) [arXiv:1403.2323].

C 90, 014909 (2014) [arXiv:1312.5003].

29.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 70, 171 (1999)

43.

P. Lévai and U. Heinz, Phys. Rev. C 57, 1879 (1998).

[hep-ph/9906536].

44.

O. Kaczmarek and F. Zantow, Phys. Rev. D 71,

30.

R. Baier, D. Schiff, and B. G. Zakharov, Ann. Rev.

114510 (2005) [hep-lat/0503017].

Nucl. Part. Sci. 50, 37 (2000) [hep-ph/0002198].

45.

J. D. Bjorken, Phys. Rev. D 27, 140 (1983).

31.

B. G. Zakharov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 146, 151

(2005) [hep-ph/0412117].

46.

B. G. Zakharov, Phys. Atom. Nucl. 61, 838 (1998)

[hep-ph/9807540].

32.

В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Пи-

таевский, Квантовая электродинамика, Наука,

47.

N. N. Nikolaev and B. G. Zakharov, Phys. Lett.

Москва (1980).

B 327, 149 (1994).

33.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 80, 75 (2004)

48.

E. V. Shuryak, Rev. Mod. Phys. 65, 1 (1993).

[hep-ph/0406063].

49.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 76, 236 (2002)

34.

R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics

[hep-ph/0207206].

and Path Integrals, McGraw-Hill, New York (1965).

50.

Yu. L. Dokshitzer, V. A. Khoze, and S. I. Troyan,

35.

Б. Г. Захаров, ЯФ 46, 148 (1987).

Phys. Rev. D 53, 89 (1996).

637