ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 4 (10), стр. 638-650

ГРАВИТАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ

НАКОПИТЕЛЯХ И ПОИСК ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДИПОЛЬНЫХ

МОМЕНТОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

С. Н. Вергелес^*, Н. Н. Николаев

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Московский физико-технический институт

141707, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 22 апреля 2019 г.,

после переработки 22 апреля 2019 г.

Принята к публикации 30 апреля 2019 г.

Изучаются вызванные искривленным пространством-временем в поле вращающейся Земли ложные сиг-

налы в опытах по поиску электрического дипольного момента заряженных частиц по вращению спина в

чисто электростатических накопителях. Основное внимание уделено эффектам суточного вращения Зем-

ли. Обнаружено, что вращение плоскости электростатического накопителя вместе с Землей приводит к

отличному от нуля магнитному полю. Локально по кольцу накопителя линейная по суточному вращению

Земли частота прецессии спина существенно выше искомой частоты сигнала прецессии за счет электри-

ческих дипольных моментов. Показано, что для частицы на идеальной орбите знакопеременность вклада

вращения Земли вдоль кольца накопителя приводит к исчезновению интегрального ложного вращения

спина. Квадратичный по вращению Земли фоновый сигнал конечен, но численно мал.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию И. М. Халатникова

DOI: 10.1134/S0044451019100067

тонами в накопителях в принципе достижима чув-

ствительность к ЭДМ d_p ∼ 10-29e · cм ∼ 10-15μ_N

1. ВВЕДЕНИЕ

c угловой частотой вращения спина за счет ЭДМ

Наблюдение P- и T-неинвариантного электри-

η_EDM · 1 МГц ∼ 10-9 рад/с [6, 7]. Здесь 1 МГц —

ческого дипольного момента (ЭДМ) заряженных

это масштаб циклотронной частоты для протонов

частиц в накопителях может пролить свет на меха-

средней энергии. Выделение столь малых эффектов

низмы несохранения CP-инвариантности вне Стан-

требует понимания спиновой динамики и контроля

дартной Модели, без которых объяснение наблюда-

фоновых эффектов на этом же уровне. Для исклю-

емой барионной асимметрии Вселенной невозмож-

чения ложного сигнала от вращения магнитного ди-

но [1-3]. Если параметризовать ЭДМ d нуклонов

польного момента (МДМ) в магнитных полях пред-

и ядер в единицах ядерного магнетона μ_N , т. е.,

лагается искать сигнал ЭДМ в чисто электростати-

= η_EDMμ_N, то широко обсуждаемые модели

ческом накопителе при так называемом магическом

несохранения CP-инвариантности дают η_EDM

∼

импульсе протонов 704 МэВ/c, когда исчезает пара-

∼ 10-10, в то время как в Стандартной Модели

зитное взаимодействие МДМ протона с переносным

η_EDM

∼ 10-17 [3-5]. Экспериментальный сигнал

магнитным полем — это так называемый режим за-

ЭДМ — это прецессия спина в электрическом по-

мороженного спина [8].

ле. Для заряженных частиц такой сигнал наблюда-

В физике ускорителей эффектами Общей Тео-

ем только в накопительных кольцах, когда электри-

ческое поле участвует в удержании частиц на ор-

рии Относительности (ОТО) в поле вращающейся

Земли, в частности гравитационным притяжением

бите. В обсуждаемых ниже экспериментах с про-

накопленных частиц к Земле, всегда пренебрегали.

^* E-mail: vergeles@itp.ac.ru

Действительно, пучки частиц автоматически зани-

638

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Гравитационные эффекты в электростатических накопителях.. .

мают равновесное положение, в котором притяже-

ность траекторий нарушается магнитными полями.

ние к Земле компенсируется фокусирующими поля-

Один эффект, который в физике ускорителей ранее

ми в ускорителе. Само смещение орбиты при этом

не обсуждался, — это магнитные поля в электро-

пренебрежимо мало и ненаблюдаемо. Однако в зада-

статическом накопителе, индуцированные вращени-

че поиска ЭДМ эту малость надо сравнивать с пре-

ем кольца накопителя совместно с Землей. Действи-

дельной малостью интересных ЭДМ η_EDM ∼ 10-15.

тельно, кольцо такого накопителя представляет со-

В 2012 г. Орлов, Фланаган и Семерцидис [9] заме-

бой цилиндрический конденсатор. Вращение такого

тили, что при обсуждаемых предельных значениях

накопителя вместе с Землей порождает как электри-

ЭДМ фокусирующие электрические поля, компен-

ческие токи разного знака от двух противоположно

сирующие гравитационное поле Земли, вызывают

заряженных цилиндров, так и магнитное поле по-

вращение спина, существенно превышающее иско-

рядка v_ω/c ∼ 10-11 от электростатического поля

мое вращение спина за счет ЭДМ в накопителе с

на орбите накопителя. При обсуждаемых значениях

замороженным спином. Этот результат был по сути

η_EDM ∼ 10-15 роль всех указанных выше эффектов

подтвержден в 2016 г. в работе Обухова, Силенко

требует внимательного анализа.

и Теряева [10], в которой только не был явно выпи-

План дальнейшего изложения следующий. Мы

сан магический импульс. В 2017 г. ошибочная работа

уделяем основное внимание недостаточно освещен-

[11] вызвала оживленную дискуссию о роли гравита-

ным в литературе по поискам ЭДМ методическим

ции [12] с не вполне корректным обсуждением прак-

вопросам; приложения к ускорительным экспери-

тически интересного случая чисто электрического

ментам требуют отдельного анализа. В случае Зем-

накопителя в работе [13]. Полное согласие между

ли достаточно учитывать эффекты ОТО в прибли-

работами [9, 10] было установлено в 2018 г. в докла-

жении слабого поля и нерелятивистского описания

де [14].

эффектов суточного вращения. В разд. 2 изложе-

Однако полная трактовка роли гравитации Зем-

на редукция метрики Керра, которая применяет-

ли, особенно суточного вращения Земли в экспери-

ся для описания эффектов ОТО в лабораторной

ментах по поиску ЭДМ протона на чисто электри-

системе координат вращающейся Земли, в которой

ческих накопителях с замороженным спином, оста-

накопительное кольцо покоится. Здесь же изложен

ется открытой. Эта задача становится актуальной

сопутствующий тетрадный формализм, используе-

как в свете результата Орлова и др. [9], так и пла-

мый для описания циклотронного движения час-

нов созданной в 2018 г. коллаборации CPEDM по

тиц и прецессии спина с учетом гравитации враща-

строительству прототипа чисто электростатическо-

ющейся Земли. В разд. 3 рассмотрены циклотрон-

го накопителя протонов [6, 7]. Решение, приводи-

ное движение и релятивистская спиновая динами-

мое в этой работе, представляет как общеметоди-

ка в ОТО. Здесь возникают как нетривиальные ре-

ческий интерес с точки зрения спиновой динамики

лятивистская зависимость вклада центробежного и

в ОТО, так и практическое значение в поисках сиг-

кориолисова ускорений в циклотронное вращение и

нала ЭДМ. На первый взгляд, ожидаемые поправ-

прецессию спина, так и поправки на кривизну про-

ки на ОТО в поле вращающейся Земли численно

странства. В частности, найдена релятивистская за-

крайне малы. Так, отношение гравитационного ра-

висимость эффекта Лензе - Тирринга [15]. В разд. 4

диуса Земли к ее радиусу составляет величину по-

обсуждается компенсация гравитационных сил фо-

рядка 10-9. Отношение скорости v_ω = ωρ за счет су-

кусирующим электрическим полем. Мы приводим

точного вращения Земли с угловой скоростью ω для

поправки за счет вращения Земли к результатам ра-

частицы в накопительном кольце радиуса ρ ∼ 50 м

бот [9,10]. Предмет разд. 5 — это вывод магнитного

к скорости света c порядка 10-11.

поля, индуцируемого в электростатическом накопи-

В то же время при указанных выше предельно

теле вращением Земли, и обсуждение его роли. Это

малых ЭДМ η_EDM ∼ 10-15 угловая скорость суточ-

поле можно назвать внутренним, так как, в отличие

ного вращения Земли на пять порядков превыша-

от магнитного поля Земли, оно не может быть экра-

ет угловую скорость вращения спина за счет ЭДМ.

нировано магнитной защитой. В Заключении подве-

Ложный сигнал ЭДМ за счет гравитационного при-

дены основные результаты.

тяжения к Земле, превышающий истинный сигнал

2. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

ЭДМ, в принципе устраним сравнением вращения

2.1. Метрика Керра и суточное вращение

спина для частиц, вращающихся по одной орбите

Земли

по часовой стрелке и против нее [9]. Это возможно в

В инерциальной стационарной системе отсчета

чисто электростатических накопителях, но идентич-

K^′, связанной со звездами, координаты обозначаем

639

С. Н. Вергелес, Н. Н. Николаев

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

x^μ′ = (x0′, x^i′). Далее переходим в жестко связан-

[ω × R]²

e⁰⁰ =

√g₀₀ = 1 -

eα0 = 0,

ную с Землей систему отсчета K, равномерно вра-

2c²

(

щающуюся относительно системы K^′ c угловой ско-

g0i

3r_g

2kC

⁾ [ω × R]ⁱ

e0i =

=- 1+

(5)

ростью ω. Координаты в системе K обозначаются

√g₀₀

c²R³

x^μ = (x⁰, xⁱ), причем x⁰ = x0′ .

(

rg⁾

[ω × R]^α[ω × R]ⁱ

e^αi =

δ^αi +

В слабом поле Земли метрика в системе K мо-

2c²

жет быть получена разложением метрики Керра [16]

В выборе тетрады есть произвол. В нашей конкрет-

в системе отсчета K^′ по гравитационному радиусу

ной задаче тетрада (5) оказывается заметно удобнее

Земли r_g и угловой скорости ω ее суточного враще-

тетрад, использованных в работах [10,18,19]. Опре-

ния с последующим переходом к системе отсчета K.

делим также локальный ортонормированный базис

Таким образом, в линейном приближении по r_g, би-

(ОНБ) e^μa(x), a = 0, . . . , 3, такой что

линейном по r_g и ω и квадратичном по ω, получаем

e^aμ(x)e

(x) = δ^ab, g_μν e^μa e^νb = η_ab.

ds² = g₀₀(dx⁰)² + 2g0idxⁱdx⁰ + g_ij dxⁱdx^j ,

[ω × R]

Выпишем явно ОНБ:

g₀₀ = 1 -

c²

(

[ω × R]²

(1)

e⁰⁰ = 1 +

ei0 = 0,

2kC

⁾ [ω × R]ⁱ

g0i = -

2c²

(

c²R³

3r_g

2kC

⁾ [ω × R]^α

(

e0α =

r_g )

(6)

g_ij = -

δ^ij.

c²R³

(

)

[ω × R]ⁱ[ω × R]^α

eiα =

δ^iα -

Здесь C = IM_⊕R2⊕ — момент инерции Земли от-

2c²

носительно полярной оси с I = 0.3307 [17], M_⊕ =

Нам понадобится также обратный метрический тен-

= 5.972·10²⁷ г — масса Земли, R_⊕ = 6.378·10⁸ см —

зор g^μν = η^abe^μae^νb:

радиус Земли, гравитационная постоянная k

= 6.674· 10-8 см³ · г-1 · с-2, гравитационный радиус

g⁰⁰ = 1 +

Земли r_g = 2kM_⊕/c² = 0.887 см. Собственное время

(

t в лабораторной системе и время x⁰ в (1) связаны

2kC

⁾ [ω × R]ⁱ

g0i = -

(7)

как

c²R³

(

r_g )

[ω × R]ⁱ[ω × R]^j

dt =

√g₀₀ dx⁰.

(2)

g^ij = - 1-

δ^ij +

c²

Правила перехода из координатного базиса в

2.2. Выбор тетрады

ОНБ и обратно стандартные:

Следуя [16], приведем метрику (1) к сумме квад-

X^a = e^aμX^μ, X^μ = e^μaX^a, ξ_a = e^μaξ_μ.

ратов

(

)₂

В ОНБ тензорные индексы опускаются и поднима-

g0idxⁱ

ds² = g₀₀ dx⁰ +

ются при помощи метрических тензоров η_ab и η^ab.

g₀₀

(

)

Ковариантная производная векторного поля X^ν в

g0ig0j

координатном базисе и в ОНБ соотносятся как

- -g_ij +

dxⁱdx^j =

g₀₀

(

)(

)

∇_μX^a ≡ e^aν∇_μX^ν = ∂_μX^a + γ^abμX^b,

=η_ab

e^aμdx^μ

e^bνdx^ν

(3)

eμc∇_μX^a = e^μc∂_μX^a + γ^abcX^b,

где поле e^aμ(x) называется тетрадой, a, b = 0, 1, 2,

3, a = (0, α), α = 1, 2, 3, η_ab ≡ diag(1, -1, -1, -1).

где γ^abc

≡ e^μcγ^abμ — совокупность коэффициентов

Здесь

связности и по определению

g0ig0j

g_ij ≡ -g_ij +

(4)

γ_abc ≡ η_adγ^dbc = -γ_bac.

(8)

g₀₀

играет роль чисто пространственной метрики в ла-

Коэффициенты связности определяются однознач-

бораторной системе отсчета.

но из (8) и требования отсутствия кручения

В указанном выше приближении из (3) получаем

∂_μe^aν - ∂_νe^aμ + γ^abμe^bν - γ^abνe^bμ = 0

(9)

640

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Гравитационные эффекты в электростатических накопителях.. .

c результатом

Фолди - Вотхойзена (ФВ) [20, 21]. Поскольку влия-

ние спина на пространственное движение протона

(

[

])_α

γα00 =

g₀ -

ω × [ω × R]

пренебрежимо мало [18, 19], мы используем стан-

c²

{(

дартный дираковский гамильтониан без вкладов

⁾ω^σ

γα0β = γαβ0 = ε_αβσ

(1 - I)

ЭДМ и аномального МДМ.

2R_⊕

Перейдем к нормальным координатам Римана y^μ

(

(10)

⁾ (ω · n_⊕)n^σ⊕ }

с центром в произвольной точке p:

R_⊕

{

}

e^aμ(y) = δ^aμ +

R^νλμ(p)y^νy^λ + O(y³),

gδ0

γ_αβρ = ε_αβσ

-ε_σρδ

ω^σ[ω × R]^ρ

(15)

c²

2c²

γ_abμ(y) =

Rab νμ(p)y^ν + O(y²),

где n_⊕

= R/R — единичный вектор, g₀/c²

≡

где Rab νμ — тензор Римана. Эта координатная си-

≡ -(r_g/2R²)n_⊕ — ускорение свободного падения без

стема далее называется K₀, и она не совпадает с

поправки на центробежное ускорение (гравиметры

системами координат K и K^′, что видно из сравне-

измеряют их совокупность). В дальнейшем мы об-

ния формул (1) и (15). Координатная система K₀

суждаем движение заряженных частиц и динами-

является математической моделью «свободно пада-

ку их спина в накопителе на поверхности Земли и

ющего лифта», т. е. такой системой, в которой гра-

|R| = R_⊕.

витация влияет на динамику в минимально возмож-

ной степени. В этих координатах влияние гравита-

ции проявляется исключительно через тензор Ри-

3. ЦИКЛОТРОННОЕ ДВИЖЕНИЕ И

мана, который имеет размерность см-2. Размеры

СПИНОВАЯ ДИНАМИКА В ОТО

«лифта» (расстояние от точки p) входят квадра-

3.1. Орбитальное движение частицы

тичным множителем при тензоре Римана. В нор-

√

мальных координатах Римана удобно устанавливать

Пусть ds ≡

g_μνdx^μdx^ν обозначает бесконечно

фундаментальные уравнения и затем переписывать

малый интервал при движении частицы вдоль ми-

их в произвольных системах, руководствуясь прин-

ровой линии. Введем обозначение

ципом общей ковариантности. Далее мы рассматри-

DX^μ

dx^ν

ваем уравнение Дирака в нормальных координатах

≡u^ν∇_νX^μ, u^ν ≡

(11)

Римана в малой окрестности центра координат p с

тем, чтобы обосновать уравнения (13) для частицы

Известное уравнение движения заряженной части-

со спином.

цы в электромагнитном поле в искривленном прост-

Будем пользоваться совместной с (15) калибров-

ранстве,

кой

A₀ = 0, γab0 = 0, eα0 = 0, ei0 = 0.

(16)

F^μνu_ν, F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ,

(12)

Тогда одночастичный дираковский гамильтониан

переписывается в ОНБ в компонентах как

принимает вид

{

}

dγ

H=γ⁰

cγ^αp_α + mc²

= (γα0cu^c)v^α +

E·β, β≡

(17)

(

)

p_α ≡ -iℏe^iαD_i, D_i ≡ ∂_i +

σ^abγ_abi +

A_i.

du^α

= c (γα0cu^c) + (γ_αβcuc)ββ

ℏc

(13)

Везде γ^a — матрицы Дирака и σ^ab ≡ (1/4)[γ^a, γ^b].

(E^α + [β × H]^α) ,

Оператор (γ⁰γ^αp_α) эрмитов относительно функ-

∫

†

циональной метрики

d⁽³⁾x√-gΨ

Ψ₂, т.е.

u^a = (γ, u) = γ(1, β), ds =

dt.

(γ^αp_α)^†γ⁰ = γ⁰(γ^αp_α).

(18)

Здесь используются стандартные обозначения

Применим квантовое каноническое преобразование

ФВ к спинорам и операторам согласно правилу

E^α ≡ Fα0, H^α ≡ -

ε_αβγF^βγ.

(14)

(

)

Ψ^′ = e^iSΨ, H^′ =

e^-iS

^† He^-iS,

√

Для обоснования уравнений движения (13) вос-

(19)

(iγ^αp_α)²

пользуемся уравнением Дирака в представлении

S ≡-

(iγ^αp_α) w(φ), φ ≡

2mc

641

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

С. Н. Вергелес, Н. Н. Николаев

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

[

]

При помощи (17)-(19) находим

Eⁱ(x), A^j(y)

= 4πiℏcδ^ijδ⁽³⁾(x - y),

(

)

коммутатор [HEM , pα] приводит к упомянутому

H^′ = γ⁰e-2iS

cγ^αp_α + mc²

[

]

слагаемому.

γ^αpα

Многоточие в (23) означает вклад, пропорцио-

=γ⁰

cos(φw) -

√

sin(φw)

(iγ^αp_α)²

нальный тензору Римана и спиновым матрицам (см.

{

(22)), т. е. вклад в орбитальное движение, обуслов-

(

)

cγ^αp_α+mc²

= mc²γ⁰

[cos(φw)+φ sin(φw)] +

ленный наличием спина. Более подробное изучение

проблемы влияния спина на орбитальное движе-

}

ние содержится в pаботах [18,19]. Мы ограничимся

γ^αp_α

√

[φ cos(φw) - sin(φw)]

(20)

утверждением, что в нашей основной задаче об элек-

(iγ^αp_α)²

тростатическом накопителе для поиска ЭДМ этой

Если положить φw = arctg φ, то последнее слагае-

поправкой можно пренебречь. При этом уравнение

мое в правой части выражения (20) обращается в

(23) воспроизводит уравнение (13) в нормальных ко-

нуль, так что

ординатах Римана, когда частица находится в их

√

центре. Этот факт абсолютно прозрачен в случае

H^′ = γ⁰c

m²c² + (iγ^αp_α)² ≡ γ⁰E,

(21)

Rabcd = 0 и H = E = 0, когда все силы, включая

гравитационные, отсутствуют. В произвольных ко-

где E — энергия частицы.

ординатах следует пользоваться уравнениями (12)

Операторами координат частицы в представле-

или (13).

нии ФВ являются координаты Римана y^α. Имеем

Угловая скорость циклотронного вращения час-

[yⁱ, p_α] = iℏe^iα,

тицы,

[

]

(22)

ℏq

ℏ

[p_α, p_β ] = -i

F_αβ -

σ^ab Rαβab .

Ω_c =

v×

(24)

v²

Для положительно-частотной частицы (протон), ко-

обусловленная электромагнитным полем, известна:

гда можно заменить γ⁰ → 1, оператор скорости име-

ет вид

Ω^EMc = -

H+

mcγ

mcγβ²

(

)

cp_α

c²p_α

v^α ≡

e^αi[H^′, yⁱ] =

√

× (H · β)β + [β × E] .

(25)

ℏ

m²c² + (iγ^αp_α)²

Вычисление вклада ОТО в циклотронное вращение

Мы пренебрегаем проблемой расстановки операто-

дает в лабораторной системе угловую скорость

ров, которая возникает при коммутировании слож-

ных операторов, поскольку нас интересует класси-

[

)

^{(2γ²-1

[

]

ческий предел, в котором слагаемые с лишними

Ω^Grc =

v×

g₀+γ

ω × [R × ω]

γv²

степенями постоянной Планка исчезают. Оператор

((

)

(

))

v · [ω × R]

Ev^α/c² = p_α является квантовым аналогом введен-

+ 2γ

(1-I)

[v × ω] +

ного выше классического импульса mu^α. Для ско-

2R_⊕

4c²

(

)

}]

рости изменения p_α имеем

2γr

I (ω · n_⊕)[v × n_⊕]

(26)

R_⊕

p_α =

[H^′, p_α] =

[p × H]^α +

dy⁰

ℏc

Полная угловая скорость вращения импульса части-

∂

цы во вращающейся с Землей лабораторной системе

A_α + . . .

(23)

c ∂y⁰

равна

Второе слагаемое в правой части выражения (23)

Ω_c = Ω^Grc + Ω^EMc, β · Ω_c = 0.

(27)

получается, если к фермионной части гамильтониа-

Обсудим подробнее выражение в фигурных скоб-

на H^′ в (23) добавляется гамильтониан электромаг-

ках во вкладе ОТО (26). Заметим сначала, что час-

нитного поля

то встречающееся векторное произведение [R × v]

∫

E² + H

напоминает об орбитальном моменте протона отно-

H_EM =

d⁽³⁾y.

8π

сительно Земли

[

]

[

]

Поскольку

L_⊕ ≡ γm

R_⊕ × v

R_⊕ × p

642

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Гравитационные эффекты в электростатических накопителях.. .

Первый член в этом разложении отвечает притя-

где

жению релятивистской частицы к центру Земли в

совокупности со вкладом центробежного ускорения,

F^∗ab ≡

ε^abcdF_cd, ε⁰¹²³ = 1,

входящего с релятивистским фактором γ. При γ →

qℏ

g-2

→ 1 воспроизводится обычный нерелятивистский

μ ≡ (G+1)

μ^′ = G

(32)

2mc

результат. Второй член описывает ускорение Корио-

qℏ

лиса с релятивистским фактором γ. Он содержит

d=η_EDM

2mc

поправку на ОТО, пропорциональную r_g/R_⊕, а так-

же поправку на вращение Земли. Занятно, что по-

Левая часть уравнения (31) вытекает из того

следняя напоминает известное взаимодействие Лен-

факта, что в отсутствие электромагнитных полей

зе - Тирринга [15] между орбитальным моментом

вектор поляризации частицы переносится парал-

протона относительно Земли, L_⊕, и спином цен-

лельно вдоль мировой линии частицы, что с очевид-

трального тела, S_⊕ ≡ IM_⊕R2⊕ω:

ностью имеет место в системе K₀ согласно уравне-

нию (29).

(

)

3γ

v · [ω × R]

S_⊕ · L_⊕

Для оправдания правой части уравнения (31) пе-

(28)

4c²

4mc² IM_⊕R²

рейдем в систему координат K₀, в которой, соглас-

⊕

но (30), P = S, dP/dt = dS/dt и пространствен-

Предостережем, однако, что в циклическом ускори-

ные части второго и четвертого 4-векторов в фи-

теле частица движется в электромагнитных полях и

гурных скобках в (31) исчезают. Тогда в обеих час-

L_⊕ не является сохраняющейся величиной. Послед-

тях уравнения (31) пространственные вклады вос-

ний член в фигурных скобках в (26) есть поправка

производят уравнение (29). Далее, свернем уравне-

на ОТО, пропорциональная L_⊕.

ние (31) с 4-вектором скорости u_a. Вследствие урав-

нений (12), (30) и (32) мы получим тождество. Тем

3.2. Релятивистское движение спина при

самым справедливость уравнения (31) установлена.

наличии МДМ и ЭДМ

Пусть μ и d — соответственно МДМ и ЭДМ час-

3.3. Вклад в прецессию поляризации от

МДМ, ЭДМ и гравитации

тицы, покоящейся в начале координат системы K₀

с нормальными координатами Римана. В этом слу-

Релятивистское уравнение (31) не является окон-

чае уравнение для прецессии вектора поляризации

чательным продуктом, нам нужно уравнение пре-

S имеет обычный нерелятивистский вид:

цессии для экспериментально измеряемого вектора

поляризации S. Рассмотрим последовательно вкла-

2μ[

]

2d[

]

S×H

S×E

(29)

ды в прецессию от МДМ, ЭДМ и гравитации.

ℏ

В стандартном описании динамики спина реля-

3.3.1. Вклад от МДМ

тивистской частицы в лабораторной системе вводит-

Этот вклад был получен в классических работах

ся 4-вектор поляризации P^a такой, что в системе

Френкеля [24] и Томаса [25], а в используемой в фи-

K₀ он равен P^a = (0, S), а в лабораторной системе,

зике ускорителей форме — в работе [26]:

в которой частица движется с 4-скоростью u^a, этот

4-вектор получается путем преобразования Лорен-

2μ+2μ^′(γ-1)

2μ^′γ

ца:

Ω_MDM = -

H+

(H · β)β +

γℏ

(γ + 1)ℏ

P=S+

(S · v)v,

c²(γ + 1)

2μ + 2μ^′γ

(30)

[β × E] =

(γ + 1)ℏ

P⁰ =

(S · v), u_aP^a = 0.

{(

)

γG(H · β)

G+

H-

β-

С учетом вклада ЭДМ релятивистское динами-

⁼-mc

γ+1

(

)

}

ческое уравнение для 4-вектора поляризации в ла-

- G+

[β × E]

(33)

бораторной системе имеет вид [22,23]

γ+1

dP^a

2 {

3.3.2. Вклад от ЭДМ

+(γ^abcu^c)P^b =

μF^abP^b-μ^′u^aF^bcu_bP^c -

ℏc

}

Вклад в угловую скорость прецессии спина ЭДМ

− dF∗a bP^b + du^aF∗b cu_bPc ,

(31)

был обсужден ранее в работах [22, 23]. Его можно

643

С. Н. Вергелес, Н. Н. Николаев

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

элементарно получить из результата (33) для МДМ,

3.3.4. Полная относительная скорость прецессии

сделав, согласно (31), замены μ → -d, μ^′ → -d,

спина

E → H и H → -E. После этих подстановок в фор-

Экспериментаторов интересует полная относи-

мулу (33) мы приходим к вкладу в угловую частоту

тельная прецессия спина Ω^rel, которая определяет-

прецессии спина, обусловленному ЭДМ,

ся как полная скорость прецессии спина за вычетом

полной циклотронной угловой скорости:

Ω_EDM =

{

}

Ω^rel ≡ Ω_MDM + Ω_EDM + Ω_Gr - Ω_c =

=η_EDM

-E+

(E · β)β+[H × β]

(34)

{

(

)

γ+1

GH-

G-

(H · β)β -

⁼-mc

γ+1

γ-1

3.3.3. Вклад от гравитации

(

)

}

− G-

[β × E]

Согласно (13) и (31), этот вклад получается из

γ² - 1

вклада от МДМ, если в (33) положить 2μ = qℏ/mc,

{

}

μ^′ = d = 0 и сделать замены [18]

+η

-E+

(E · β)β+[H × β]

+Ω^relGr.

(37)

γ+1

E^α → (γα0cu^c),

Вычитание Ω_c означает переход к представлению

mc²

(35)

взаимодействия, в котором за нулевое приближение

H^α →

ε_αβρ(γ_βρcu^c).

берется прецессия импульса частицы:

mc²

(

)

Таким образом находим

[β × g₀]

Ω^relGr = -

(1-I) ω +

(

)

γβ²

2R_⊕

2γ + 1 [β × g₀]

2γ-1

(

)

Ω^Gr =

β · [ω × R]

(ω · β)[ω × R]

γ+1

2R_⊕

ω-

γβ²

(

))

(

)

5γ+3

β · [ω × R]

(ω · β) -

I (ω · n_⊕)n_⊕ -

2(γ+1)

ω+ γ+1

⁺ γ R_⊕

(

))

γ+1

3γ

β · [ω × R]

⁽1

(ω · β)-(ω · n_⊕)(β · n_⊕) β +

(ω · β)β +

R_⊕

γβ²

2c(γ + 1)

2γ-1 r_g

γ+1

(ω · β)[ω × R]-

(ω · n_⊕)n_⊕ -

(1 - I)(ω · β)β -

(γ+1)c

γ R_⊕

γβ²

2R_⊕

(

)

(

)

γ+1 r_g

rgI

^[2γ - 1

−

I (ω · n_⊕)(β · n_⊕)β.

(38)

ω - 3(ω · n_⊕)n_⊕

γβ²

R_⊕

2R_⊕

(

) ]

−

(ω · β) - 3(ω · n_⊕)(β · n_⊕) β

(36)

4. ЗАМКНУТАЯ ОРБИТА В

γ+1

ИСКРИВЛЕННОМ

Здесь первый член описывает геодетический эф-

ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ И

фект де Ситтера [27] c установленной в работах

СИГНАЛ ЭДМ

[18,19] релятивистской зависимостью. Второй член,

Тактика экспериментального поиска крайне мед-

пропорциональный ω, есть эффект вращения Зем-

ленного вращения поляризации частицы за счет

ли с релятивистским множителем (2γ - 1)/γ и с по-

ЭДМ следующая [8]. Чтобы исключить взаимодей-

правкой на ОТО. Еще одна поправка, пропорцио-

(

)

ствие МДМ с паразитными магнитными полями

нальная

β · [ω × R]

, сходна с обсужденной выше

[28], накопитель должен быть чисто электростати-

релятивистской поправкой к ускорению Кориолиса.

ческим: H = 0. Чтобы исключить взаимодействие

Третий член, пропорциональный β, описывает пре-

МДМ протона с переносным магнитным полем, про-

цессию спина вокруг импульса — она есть во вкла-

порциональным [β × E], следует работать при так

дах и от МДМ, и от ЭДМ. Четвертый член — это

называемой магической энергии, когда

прецессия спина относительного вклада [ω ×R] вра-

щения Земли в скорость частицы. Наконец, послед-

β² =

(39)

ние два члена этого разложения, пропорциональные

1+G

моменту инерции Земли I, есть не что иное, как ре-

Тогда без учета эффектов ОТО спин прецессировал

лятивистское обобщение вклада Лензе - Тирринга в

бы вокруг радиального электрического поля только

прецессию спина [15].

за счет ЭДМ:

644

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Гравитационные эффекты в электростатических накопителях.. .

(

)

Ω_EDM = -η_EDM

(40)

Ω^relf = G +

[β × E_f ] + Ω_Gr =

γ+1

1-(2γ²-1)G |g|₀

Для полноты картины полезно решить задачу

=Ω^relg +Ω^relω =

[n_⊕ × β] -

об эффектах ОТО для произвольной энергии. Разо-

бьем электрическое поле на два слагаемых, E =

-γG

(ω · β)[ω_t × n_⊕] +

= E₀ + E_f, где фокусирующее поле E_f полностью

[

(

)

компенсирует гравитационный вклад в движение

1 - 2(γ² - 1)G

(1 - I)

импульса и обеспечивает замкнутость траектории в

2R_⊕

ускорителе и сохранение энергии. Трактуя это как

]

((

)

⁾R_⊕

(

)

малую поправку, далее можно пользоваться метри-

5γ² - 3

G-3

β[ω_t × n_⊕]

ω+

2γ

кой Минковского. В плоскости кольца удерживаю-

)

(

)

щее поле E₀ чисто радиальное, скорость частицы

⁽2(γ²-1)

G-

I (ω_t · n_⊕)n_⊕ -

лежит в плоскости кольца и ортогональна удержи-

γ R_⊕

вающему полю, (E₀β) = 0, и n_⊕ есть нормаль к

(

)((

)

плоскости кольца, так что E₀ · n_⊕ = 0 и β · n_⊕ = 0.

- 2γG+

(1-I) (ω_t · β) +

γ+1

2R_⊕

В дальнейшем удобно будет выделить проекцию ω

)

(

)

на плоскость кольца накопителя; эта проекция ω_t

направлена по касательной к меридиану. С учетом

I (ω_t · n_⊕)(β · n_⊕) β -

R_⊕

вклада ОТО и фокусирующего поля уравнение дви-

(

)

(

жения для импульса имеет вид

⁾3

β[ω_t × r]

- γG+

(ω_t · β)β.

(43)

γ+1

du^α

Eα0 +

Этот же результат может быть получен из общей

{

}

формулы (37), если в ней положить H = 0 и вы-

[

]

+ c

(γα0cu^c) + (γ_αβcu^c)β^β

E^α

(41)

делить сумму вкладов от Ω^relGr и E_f согласно (38) и

(42). Тем самым отдельно учитываются все грави-

тационные эффекты с учетом замкнутости траекто-

и дает

рии частицы.

{

В (43) мы выделили отдельный вклад Ω^relg от

(2γ² - 1)g₀

(β · g₀)β

компенсации релятивизованной силы тяжести:

E_f = γ

γ²c

[

]

1 - G(2γ² - 1) |g|₀

ω × [ω × R]

Ω^relg =

[n_⊕ × β] .

(44)

(

)

(

)

Эта формула для произвольных энергий была по-

+ 2-

(1-I)+

β · [ω × R]

[ω × β] -

R_⊕

лучена ранее в 2016 г. Обуховым и др. [10], а в спе-

}

циальном случае магической энергии протонов она

r^g (2 - 3I)(ω · n_⊕)[β × n_⊕]

(42)

воспроизводит [14] результат 2012 г. Орлова и др. [9]

R_⊕

√

|g|₀

Ω^rel =

e_r,

(45)

Важно, что поле E_f может быть реализовано элект-

ростатически. Действительно, так как β · g₀

где e_r — единичный радиальный вектор в накопи-

= β · n_⊕ = 0, нетрудно убедиться, что вдоль кольца

∮

тельном кольце. Кстати, если выполнено условие

накопителя

E_fdr = 0, т. е. поле E_f является по-

магической энергии (39), то выражение для угло-

тенциальным.

вой скорости (43) просто переходит в (38). Далее мы

После компенсации эффектов ОТО циклотрон-

сконцентрируемся на вкладе вращения Земли, Ω^relω.

ное движение частицы в накопителе такое же, как в

Роль трех компонент в разложении

метрике Минковского для движения в чисто ради-

альном поле E₀. Поэтому поправка на ОТО сводит-

Ω^relω = Ω^relω,r[β × n_⊕] + Ω^relω,ββ + Ω^relω,nn_⊕

(46)

ся к вкладу фокусирующего поля E_f во вращение

магнитного момента (33) в совокупности со вкла-

разная. На качественном уровне отличная от нуля

дом гравитации (36), так что для вращения спина

проекция Ω^relf на нормаль n_⊕ к плоскости нако-

относительно импульса получаем

пителя нарушала бы условие замороженности спи-

645

С. Н. Вергелес, Н. Н. Николаев

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

на. Вращение спина за счет отличной от нуля про-

Ситуация полностью повторяет разобранную вы-

екции Ω^relω на скорость β нарушала бы накопле-

ше. Интегральный за один оборот вклад линейного

ние вертикальной поляризации — главного сигнала

по суточному вращению Земли члена обращается в

ЭДМ. Нежелательным фоном к сигналу ЭДМ была

нуль. Квадратичный вклад имеет малость (50). Все

бы проекция Ω^relf на радиальную ось накопителя,

сказанное выше относится и к вращению спина от-

пропорциональная [β × n_⊕]. Детальное обсуждение

носительно нормали к плоскости кольца накопите-

полной динамики спина c учетом всех поправок на

ля:

ОТО выходит за рамки этой статьи, мы ограничим-

(

)

2(γ² - 1)G - 1

ся здесь рядом простых замечаний.

Ω^relω,β = n_⊕ · Ω⁽⁰⁾

Начнем с возможного ложного сигнала ЭДМ:

(

)

(

)

1-2G(γ²-1)

× 1+

(1 - 2I) (ω_t · n_⊕) +

Ω^relω,r ≡

[n_⊕ × β] · Ω⁽⁰⁾

2R_⊕

β²

γβ²

)

((

)

(

3(γ² - 1)

)(

)

R_⊕

+ γ+

G-

× 1-

(1-I)

β · [ω_t × n_⊕]

+γG

(ω_t · β)² +

2γ

2R_⊕

cβ²

(

)

(

)

⁾R_⊕

(

)₂

β · [ωt × R]

5γ² - 3

G-3

β · [ω_t × n_⊕]

(47)

(ω_t · n_⊕).

(52)

2γ

cβ²

Здесь первый член порядка угловой скорости суточ-

ного вращения Земли ω = 7.3 · 10-5 c-1. Формально

5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ВО

при предельно малых обсуждаемых η_EDM ∼ 10-15

ВРАЩАЮЩЕМСЯ

это гигантская угловая скорость, на пять порядков

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

превышающая угловую скорость вращения спина за

НАКОПИТЕЛЯ И ЭДМ

счет ЭДМ. Однако векторы ω_t и n_⊕ постоянны в ла-

Здесь мы обсудим еще один фоновый магнит-

бораторной системе, и при движении частицы по ор-

ный эффект в чисто электростатическом накопите-

бите этот член знакопеременный. Поэтому на каче-

ле, связанный с суточным вращением Земли. Пояс-

ственном уровне для частицы на идеальной орбите

ним его на примере накопителя на Северном полю-

его интегральный за один оборот вклад во вращение

се, когда вектор ω направлен по нормали к плоско-

спина обращается в нуль:

∮

сти кольца накопителя. Сам накопитель представ-

(

)

dθ

β · [ω_t × n_⊕]

=0,

(48)

ляет собой цилиндрический конденсатор с зазором

2π

d между цилиндрами, много меньшим высоты h ци-

где θ — азимутальный угол. Для нецентральных

линдров, которая, в свою очередь, много меньше ра-

частиц в реальных накопителях точность этой ком-

диуса цилиндров r1,2 = ρ ± d/2:

пенсации надо устанавливать детальным числен-

ным моделированием. Усреднение по обороту вкла-

d ≪ h ≪ ρ.

да квадратичных членов дает

Введем локальные декартовы координаты x, y, z

(

)₂

〈(ω_t · β)²〉 = 〈

β · [ω_t × n_⊕]

〉=

β²ω2t

(49)

с центром координат в центре кольца накопителя и

с r = (x, y) в плоскости кольца. Равновесная траек-

и ЭДМ-подобный вклад в угловую скорость враще-

тория частиц идет по центру зазора, и в силу гео-

ния спина вокруг радиальной оси накопителя поряд-

метрии задачи зависимостью от вертикальной коор-

ка

динаты z можно пренебречь. Тогда направленное к

R_⊕ω

центру кольца электрическое поле в зазоре конден-

∼

ω ≈ 10-10 c-1 ,

(50)

²,r

сатора равно

что при η_EDM ∼ 10-15 всего на один порядок мень-

ρr

ше сигнала ЭДМ.

E₀ = -E₀

= -∇A₀(r), A₀(r) = E₀ρ ln

(53)

r²

Обратимся к вращению спина вокруг скорости β:

[(

)

Статические заряды на цилиндрах имеют противо-

(

)

положные знаки. С точки зрения наблюдателя в

Ω^relω,β =

β·Ω⁽⁰⁾

(1 - I)

β²

2R_⊕

инерциальной системе неподвижных звезд K^′, вра-

(

)]

щение цилиндров с угловой скоростью вращения

β · [ωt × R]

(ω_t · β).

(51)

Земли означает, что в системе имеются два про-

β²

тивоположных тока. В зазоре между цилиндрами,

646

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Гравитационные эффекты в электростатических накопителях.. .

r₁

< r < r₂, генерируемые двумя цилиндрами

Наш выбор тетрады (5) удобен тем, что дает нуле-

магнитные поля складываются конструктивно. В

вую пространственную компоненту тока, и в ОНБ

инерциальной системе линейные скорости нереля-

(

)

(

)

J^a = e^aμJ^μ =

e⁰⁰J⁰, e^αiJⁱ

e⁰⁰J⁰, 0, 0, 0

(60)

тивистского движения зарядов на цилиндрах равны

[

]

v(r1,2) =

ω×r1,2

. Простое вычисление полей в за-

Подчеркнем, что это свойство имеет место не для

зоре дает однородное магнитное поле, связанное с

всех тетрад (см., например, работу [19]).

электрическим полем соотношением

Разрешим однородные уравнения (56) традици-

]

онным выбором F_μν = ∂_μA_ν - ∂_ν A_μ. В нашем ста-

H^′ω(r) =

v(r) × E₀(r)

(54)

тическом случае тензор F^μν с верхними индексами

равен

На первый взгляд, это паразитное с точки зрения

(

)

ЭДМ магнитное поле вносит асимметрию между

Fi0 =

g^ijg⁰⁰ - g0ig0j

Fj0 + g^ijg0kF_jk,

(61)

пучками, вращающимися в накопителе по и против

часовой стрелки.

(

)

F^ij = g^ikg^jlF_kl +

g^ikg0j - g^jkg0i

Fk0.

(62)

Однако на Северном полюсе это чисто перенос-

ное магнитное поле обращается в нуль после пере-

При помощи (6) и (14) находим связь с полями E и

хода к связанной с Землей лабораторной системе, в

H, которые входят в динамические уравнения для

которой кольцо накопителя покоится. На произволь-

импульса и спина в ОНБ:

ной широте картина токов сложнее и эта компенса-

ция не выполняется. Очевидно, что для накопителя

Fi0 = e^iae0bF^ab = e⁰⁰e^iαE^α - ε_αβγ e^iαe0βH^γ,

(63)

радиусом ρ ∼ 50 м параметр малости паразитного

магнитного поля есть

F^ij = e^iae^jbF^ab = -ε_αβγ e^iαe^jβH^γ.

(64)

|ω|ρ

η_ω =

∼ 10-11.

(55)

Пусть g_ij — матрица, обратная к матрице g^ij и

g = detg_ij. Приравнивая правые части уравнений

В отличие от магнитного поля Земли, это внутрен-

(62) и (64) и опуская верхние индексы «ij» при по-

нее паразитное поле не может быть скомпенсиро-

мощи матрицы g_ik, получаем равенство

вано магнитной экранировкой кольца накопителя.

Несмотря на очевидную малость η_ω, для интерпре-

(

)

F_ij = g0l

g_liFj0 - g_ljFi0

(65)

тации экспериментов по поиску ЭДМ с предполага-

√-gεijle⁰e^αH^α.

емой чувствительностью η_EDM ∼ 10-15 требуется

Вследствие уравнений (56) с μ = 0 имеем ε_ijk∂_kF_ij =

аккуратный анализ решения уравнений Максвелла

= 0, и потому равенство (65) приводит к уравнению

с учетом вращения Земли. Такая специфическая за-

дача о паразитных магнитных полях в электроста-

(

)

(

)

тическом накопителе ранее не обсуждалась, и здесь

∂_k

H^α

=ε_ijk∂_k

g0lg_ljFi0

√-ge0

мы приведем ее общий анализ для представляющего

(

)

практический интерес случая статической метрики

=ε_ijkFi0∂_k

g0lg_lj

(66)

с g0i = 0.

Здесь мы учли, что в статической задаче ε_ijk∂_kFi0 =

Нам интересен специальный случай электроста-

= ε_ijk∂_k∂_iA₀ ≡ 0. Поправки на ОТО входят через

тического накопителя в отсутствие электрических

производную ∂_kg_lj и имеют относительную малость

токов. Решаем уравнения Максвелла в искривлен-

порядка r_g/R_⊕ ∼ 10-9.

ном пространстве со статической метрикой c g0i = 0:

Отсюда видно, что если Fi0 = 0 и g0i = 0, что

ε_μνλρ∂_νF_λρ = 0,

(56)

имеет место в нашем случае, то правая часть урав-

нения (66), вообще говоря, не равна нулю. Это озна-

чает, что во вращающейся системе отсчета K при

(√-g F^νμ) = 4πJ^μ,

(57)

наличии статических электрических зарядов воз-

√-g∂ν

можно отличное от нуля магнитное поле даже в от-

сутствие электрических токов.

g ≡ detg_μν.

(58)

Далее мы проводим вычисления с точностью до

первого порядка по ω, опуская поправки, пропорци-

Имеем статические заряд и нулевые токи:

ональные r_g/R_⊕, а также полагаем E = E₀. Тогда,

J⁰ = 0, Jⁱ = 0 .

(59)

согласно выражениям (1), (5), (6) и (7),

647

С. Н. Вергелес, Н. Н. Николаев

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

[

ω × r]ⁱ

f (r), можно записать разложение по неприводимым

g₀₀ = g⁰⁰ = 1, g0i = g0i = -

тензорным структурам:

g_ij = g_ij = g^ij = -δ^ij, g = g = -1,

{

[

]_i

A₀

E₀ρ

(67)

ω×r

H^iω =

δ_ij +

e⁰⁰ = 1, e0i = -

e^αi = δ^αi, eα0 = 0,

[

]_α

[(

)

]}

ω×r

e⁰⁰ = 1,

e0α =

eiα = δ^iα,

ei₀ = 0.

× ζ-

δ_ij +

(δ_ij - 2n_i · n_j ) ω^jt,

(77)

Поскольку e0α = O(ω), в силу (66) и (67) имеем

где n = r/r.

H = O(ω). Поэтому, согласно (63) и (67), в этом же

Для постановки граничного условия для ζ выпи-

приближении

шем формальное решение уравнения (72). С учетом

(68) имеем

Fi0 = Ei0 = -Fi0 = -∂_iA₀,

(68)

∫

2ω_t

так что уравнение (58) с μ = 0 переходит в уравне-

ψ(r) =

d⁽²⁾y Δ-1(r - y)Ej0(y) =

ние Пуассона для потенциала A₀:

∫

2ω^jt

d⁽²⁾y ∂_jΔ-1(r - y)A₀(y).

(78)

div E₀ = -ΔA₀ = 4πJ⁰.

(69)

Здесь Δ-1(r) = (1/2π)ln|r| — оператор, обратный к

При помощи (67) уравнение (66) переписывается

оператору Лапласа. Так как суммарный заряд сис-

как

темы конденсаторов равен нулю и потенциал A₀(r)

достаточно быстро убывает на больших расстояни-

div H_ω = -

(ω · E₀).

(70)

ях от кольца, что играет роль граничного условия,

при преобразовании в (78) поверхностные члены не

Это есть центральный результат нашего анализа.

возникают. Согласно (71), искомое магнитное поле

Здесь и ниже индекс «ω» указывает на вращение

можно записать как

Земли как источник этого магнитного поля H_ω. В

этом же приближении в силу уравнений (58) с μ = 1,

2ω^jt

H_ω,i(r) =

A_ij(r),

2, 3 имеем rotH_ω = 0 во всем пространстве, так что

∫

(79)

H_ω = -∇ψ,

(71)

A_ij(r) = d⁽²⁾y ∂_i∂_jΔ-1(r - y)A₀(y).

Заметим, что матрица A_ij

симметричная и

Δψ =

(ω · E₀).

(72)

Tr A(r) = A₀(r).

(80)

В соответствии с (53) ищем магнитный потенци-

Матрицу A_ij общего вида разлагаем по неприводи-

ал ψ в (71) в виде

мым тензорам, при этом коэффициент при символе

Кронекера нам уже известен из (80):

ψ = f(r)(ω_t · r).

(73)

A_ij =

δ_ijA₀(r) + σ(r)(δ_ij - 2nⁱ · n^j).

(81)

Нижний индекс «t» означает, что берется компонен-

та вектора в плоскости xy. Тогда имеем

Сравнение с (77) немедленно дает

H_ω = -∇ψ = -fω_t - f^′(ω_t · r)

(74)

σ(r) =

E₀ρ, ζ =

(82)

)

′

⁽3f

2E₀ρ

Тем самым задача решена.

Δψ =

+ f^′′ (ω_t · r) = -

(ω_t · r)

(75)

cr²

Найденное поле H_ω лежит в плоскости кольца.

По сравнению с электрическим полем оно имеет ма-

с решением

лость η_ω. При электрическом поле |E| = 7 МВ/м

(

)

речь идет о паразитных магнитных полях |H_ω| ≈

E₀ρ

A₀(r)

E₀ρ

f (r) = -

+ζ

ζ,

(76)

≈ 3 · 10-13 Тл, много меньших магнитного поля

Земли. Но, в отличие от магнитного поля Земли,

где ζ — константа, подлежащая определению из

оно неустранимо внешней магнитной экранировкой.

граничных условий. Используя явный вид функции

Столь слабые поля не имеют никакого значения в

648

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Гравитационные эффекты в электростатических накопителях.. .

большинстве практических приложений; исключе-

вращения Земли вклад оказывается знакоперемен-

нием является задача поиска ЭДМ, когда H_ω может

ным вдоль орбиты частицы и в идеальном кольце

в принципе влиять на динамику спина при η_EDM <

его интегральный эффект обращается в нуль. Этот

< η_ω, т.е. при d_p < 3 · 10-27e · см. Так, фундамен-

вывод о подавлении фона на пять и более порядков

тальной для электростатических накопителей явля-

требует проверки численным моделированием с ре-

ется возможность исключения систематических фо-

алистической динамикой пучка в накопителе. Квад-

новых эффектов сравнением вращения спина для

ратичная по угловой скорости Земли поправка ко-

встречных пучков на идентичных траекториях, а

нечна, но численно примерно на порядок меньше ис-

магнитное поле H_ω разводит траектории частиц,

комого сигнала ЭДМ.

вращающихся по часовой стрелке и против нее.

Неожиданный результат — это отличные от нуля

Для частицы на центральной орбите r = ρ и

магнитные поля в чисто электростатическом нако-

A₀(r) = 0, так что постоянная компонента H_ω об-

пителе заряженных частиц, индуцируемые враще-

ращается в нуль и остается только квадрупольная

нием кольца электростатического накопителя вме-

компонента. Как обсуждалось в предыдущем разде-

сте с Землей. Это внутреннее поле во вращающемся

ле, «опасна» постоянная радиальная проекция H_ω.

накопителе примечательно тем, что, в отличие от

Интегральный за оборот вклад квадрупольной ком-

магнитного поля Земли, оно не может быть подав-

поненты в принципе обращается в нуль,

лено магнитными экранами. Его вклад в локальное

∮

вращение спина тоже численно велик по сравне-

нию со вкладом ЭДМ, но он тоже знакопеременный

dθ H_ω(r) = 0,

(83)

вдоль кольца накопителя, и его интегральный вклад

обращается в нуль. В любом случае роль найден-

так что можно рассчитывать на заметное подавле-

ных эффектов в поисках ЭДМ заряженных частиц

ние роли этого неожиданного магнитного поля.

в практических опытах на электростатических на-

копителях требует отдельного обсуждения в духе

формализма, развитого, например, в работе [28].

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенный анализ был инициирован с прак-

Благодарности. Авторы благодарны А. Ф. Ан-

тической стороны планами [6,7] строительства про-

дрееву и А. В. Бялко за приглашение представить

тотипа чисто электростатического накопителя-про-

эту статью к публикации в выпуске ЖЭТФ, посвя-

тотипа протонов с энергией 30 МэВ для изучения

щенном 100-летнему юбилею Исаака Марковича Ха-

систематических ошибок, которые могут оказаться

латникова. Мы крайне признательны юбиляру, Иса-

существенными в электростатическом накопителе с

аку Марковичу, за честь быть с середины 1970-х в

замороженным при магической энергии спине. С

числе сотрудников созданного им уникального Ин-

другой стороны, стимулом было важное наблюдение

ститута теоретической физики им. Л. Д. Ландау.

Орлова, Фланагана и Семерцидиса [9], что при пре-

Мы благодарим за полезные обсуждения

дельно достижимой чувствительности к ЭДМ про-

С. С. Вергелеса, А. Я. Мальцева и А. А. Старо-

тонов, η_EDM ∼ 10-15, гравитационное поле Земли

бинского.

приводит к ложному вращению спина частиц, су-

щественно превышающему сигнал ЭДМ.

Финансирование. Данная работа выпол-

Основной результат данной работы — последо-

нена в рамках Государственной Программы

вательный анализ спиновой динамики в электроста-

0033-2019-0005.

тических накопителях релятивистских заряженных

частиц с учетом поправок на ОТО, включая эффек-

ты от вращения Земли. Некоторые из найденных

ЛИТЕРАТУРА

нами поправок имеют скорее академический инте-

1. А. Д. Сахаров, Письма в ЖЭТФ 5, 32 (1967); УФН

рес. Но при η_EDM ∼ 10-15 угловая скорость враще-

161(5), 61 (1991).

ния спина в электрическом поле электростатическо-

го накопителя за счет ЭДМ порядка 10-9 рад/с, и

2. W. Bernreuther, Lect. Notes Phys. 591, 237 (2002).

по сравнению с этим локально по кольцу имитирую-

3. T. Chupp, P. Fierlinger, M. Ramsey-Musolf, and

щий ЭДМ вклад суточного вращения Земли оказы-

J. Singh, Rev. Mod. Phys. 91, 015001 (2019).

вается просто гигантским. Качественное рассмотре-

ние показывает, что линейный по угловой скорости

4. Л. Б. Окунь, УФН 89, 603 (1966).

649

С. Н. Вергелес, Н. Н. Николаев

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

5. I. B. Khriplovich and S. K. Lamoreaux, CP Violation

16.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, Наука,

without Strangeness, Springer, Berlin (1997).

Москва (1988).

6. F. Rathmann, Plenary Talk at the 23rd Internat.

17.

K. A. Dunn and J. G. Williams, Astronom. J. 108,

Spin Physics Symposium

— SPIN2018, Ferrara,

711 (1994).

Italy, September 10-14, 2018 (to be published in

18.

И. Б. Хриплович, А. А. Померанчук, ЖЭТФ 86,

Proceedings of Science).

839 (1998).

7. F. Abusaif et al. [CPEDM Collaboration], arXiv:

1812.08535 [physics.acc-ph].

19.

А. А. Померанчук, Р. А. Сенков, И. Б. Хриплович,

УФН 43, 1055 (2000).

8. V. Anastassopoulos et al. [srEDM Collaboration],

Rev. Sci. Instrum. 87, 115116 (2016).

20.

С. Швебер, Введение в релятивистскую кванто-

вую теорию поля, Изд-во иностр. лит. (1963).

9. Y. Orlov, E. Flanagan, and Y. Semertzidis, Phys.

Lett. A 376, 2822 (2012).

21.

A. J. Silenko and O. V. Teryaev, Phys. Rev. D 71,

064016 (2005).

10. Y. N. Obukhov, A. J. Silenko, and O. V. Teryaev,

Phys. Rev. D 94, 044019 (2016).

22.

D. F. Nelson, A. A. Schupp, R. W. Pidd, and

H. R. Crane, Phys. Rev. Lett. 2, 492 (1959).

11. T. Morishima, T. Futamase, and H. M. Shimizu,

PTEP 2018, 089201 (2018).

23.

T. Fukuyama and A. J. Silenko, Int. J. Mod. Phys.

A 28, 1350147 (2013).

12. J. P. Miller and B. L. Roberts, arXiv:1805.01944

[hep-ph].

24.

J. Frenkel, Z. Phys. 37, 243 (1926).

13. A. Laszlo and Z. Zimboras, Class. Quant. Grav. 35,

25.

L. H. Thomas, Nature 117, 514 (1926).

175003 (2018).

26.

V. Bargmann, L. Michel, and V. L. Telegdi, Phys.

14. N. Nikolaev, F. Rathmann, A. Saleev, and A. Silenko,

Rev. Lett. 2, 435 (1959).

Invited Talk at the 23rd Internat. Spin Physics

Symposium — SPIN2018, Ferrara, Italy, September

27.

W. de Sitter, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 77, 155

10-14,

2018

(to be published in Proceedings of

(1916).

Science).

28.

A. Saleev et al. [JEDI Collaboration], Phys. Rev.

15. J. Lense and H. Thirring, Phys. Z. 19, 156 (1918).

Accel. Beams. 20, 072801 (2017).

650