ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 4 (10), стр. 651-666

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ С ОТСКОКОМ И ГЕНЕЗИСОМ

В ТЕОРИИ ХОРНДЕСКИ И ЕЕ РАСШИРЕНИИ

В. Е. Волковаa*, С. А. Мироновa,c,d**, В. А. Рубаковa,b***

^a Институт ядерных исследований Российской академии наук

117312, Москва, Россия

^b Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

^c Институт теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алиханова

117218, Москва, Россия

^d Институт теоретической и математической физики,

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 4 июня 2019 г.,

после переработки 7 июня 2019 г.

Принята к публикации 8 июня 2019 г.

Представлен краткий обзор результатов недавних исследований космологических сценариев без началь-

ной сингулярности, типа отскока и генезиса, и их устойчивости в подклассе скалярно-тензорных теорий

гравитации со старшими производными — в расширенных теориях Хорндески. Обсуждаются общие ре-

зультаты анализа устойчивости несингулярных решений в расширенных теориях Хорндески, включая

такие аспекты, как причина отсутствия теоремы запрета, справедливой для обычных (не расширенных)

теорий Хорндески, сингулярный характер дисформного преобразования от расширенных к обычным тео-

риям Хорндески, допустимость сингулярностей в коэффициентах квадратичного действия для возмуще-

ний в унитарной калибровке (γ-кроссинг). Рассмотрены конкретные примеры моделей ранней Вселенной

с космологическим отскоком или эпохой генезиса, в которых среди линеаризованных возмущений над

однородным изотропным фоном не возникает духов и градиентных неустойчивостей на протяжении всей

эволюции.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию И. М. Халатникова

DOI: 10.1134/S0044451019100079

времени (момент «отскока») сменяется расширени-

ем (см. обзоры [1-3]). Сценарий с генезисом описы-

1. ВВЕДЕНИЕ

вает ускоренное расширение Вселенной из асимпто-

тически пустого пространства Минковского; с тече-

Космологические сценарии с отскоком или гене-

нием времени плотность энергии экзотической ма-

зисом являются примерами моделей ранней Вселен-

терии, определяющей динамику системы в эту эпо-

ной, которые дополняют стандартную теорию го-

ху, растет, соответственно растет и темп расшире-

рячего Большого взрыва. В обоих этих сценари-

ния (параметр Хаббла), а на некотором этапе, когда

ях на ранних временах пространство-время имеет

плотность энергии и параметр Хаббла уже велики,

малую четырехмерную кривизну (параметр Хабб-

энергия экзотической материи переходит в тепло-

ла и его производные по времени малы). Модель

вую энергию и эволюция выходит на стандартную

с отскоком предполагает, что изначально происхо-

горячую стадию [4, 5].

дит сжатие Вселенной, которое в некоторый момент

Характерным свойством обоих сценариев явля-

ется отсутствие начальной сингулярности, которая

^* E-mail: volkova.viktoriya@physics.msu.ru

^** E-mail: sa.mironov_1@physics.msu.ru

составляет проблему стандартной теории горяче-

^*** E-mail: rubakov@inr.ac.ru

го Большого взрыва, так и не нашедшую своего

651

В. Е. Волкова, С. А. Миронов, В. А. Рубаков

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

элегантного решения с появлением теории инфля-

где H — параметр Хаббла. Действительно, выби-

ции [6, 7]. Сценарии с отскоком и генезисом могут

рая n^μ = (1, a-1qⁱ), где q² = 1, получим, что усло-

рассматриваться в равной степени как дополняю-

вие NEC (1) для описанного космологического фона

щие инфляционный сценарий, так и альтернатив-

имеет вид

ные ему [3, 8].

p + ρ > 0.

(4)

Одним из вопросов, возникающих при построе-

При условии выполнения NEC (4) из закона эволю-

нии моделей с отскоком, является наличие или от-

ции параметра Хаббла (3) следует, что

< 0, т.е.,

сутствие явления Белинского - Лифшица - Халатни-

если Вселенная сжималась в прошлом, она продол-

кова [9] (БЛХ). Оно может приводить к полному от-

жит сжиматься, пока не достигнет сингулярности¹⁾.

сутствию однородности и изотропии пространства

Аналогично, отсутствие во Вселенной вещества, на-

к концу стадии сжатия, что недопустимо в согла-

рушающего NEC, не допускает сценария с генези-

сованной космологической модели, см. обсуждение

сом: этот сценарий предполагает рост параметра

в работе [10] и обзоре [1]. Одним из решений этой

Хаббла в эпоху генезиса, что прямо противоречит

проблемы в рамках общей теории относительности

(3). Таким образом, космологические решения с от-

(ОТО) служит использование на стадии сжатия ма-

скоком и генезисом для своей реализации требуют

терии с жестким уравнением состояния p ≥ ρ, где ρ и

материи, которая нарушала бы NEC (а в модифи-

p — соответственно плотность энергии и эффектив-

цированной гравитации требуют нарушения NCC).

ное давление. Простая возможность состоит в том,

Данное свойство относит указанные космологиче-

что на стадии сжатия доминирует однородное без-

ские сценарии к категории нестандартных, посколь-

массовое скалярное поле, для которого уравнение

ку NEC/NCC удовлетворяет существенная часть из-

состояния имеет вид p = ρ; эта возможность сле-

вестных типов материи, а попытки нарушить эти

дует из результатов Халатникова и Каменщика [11].

энергетические условия, как правило, приводят к

Другие возможности реализуются, например, в сце-

возникновению неустойчивостей типа духов, гради-

нарии экпирозиса [12]. В любом случае, одним из

ентных неустойчивостей и тахионов среди линеари-

критериев жизнеспособности модели с отскоком яв-

зованных возмущений над однородным изотропным

ляется отсутствие БЛХ-поведения при сжатии.

фоном, см., например, обзоры [13,16].

Исключительно важной особенностью космоло-

Одним из возможных претендентов на роль

гических сценариев без начальной сингулярности —

необычной материи, нарушающей NEC/NCC, явля-

с отскоком или генезисом — является необходимость

ется теория обобщенных галилеонов [17-20] или, что

использовать в модели специфическую материю,

то же самое, теория Хорндески [21]. Теория Хорн-

которая, если оставаться в рамках ОТО и прене-

дески является наиболее общей скалярно-тензорной

бречь кривизной трехмерного пространства, долж-

теорией модифицированной гравитации, характери-

на нарушать изотропное условие энергодоминантно-

зующейся наличием вторых производных в лагран-

сти (Null Energy Condition, NEC), см., например, об-

жиане, которые тем не менее не приводят к появле-

зор [13],

нию производных третьего и более высоких поряд-

T_μνn^μn^ν > 0,

(1)

ков в уравнениях поля. Таким образом, благодаря

где T_μν — тензор энергии-импульса, а n^μ — произ-

специально подобранной структуре лагранжиана в

вольный изотропный вектор, т.е. g_μνn^μnν = 0. В

теории не возникает духов Остроградского, как это-

более общем случае, когда речь идет о теориях с мо-

го можно было бы ожидать, а количество динамиче-

дифицированной гравитацией, говорят о нарушении

ских степеней свободы равно (2 + 1) (две тензорные

изотропного условия сходимости (Null Convergence

моды и одна скалярная над однородным изотроп-

Condition, NCC) [14]

ным фоном). Сравнительно недавно было обнаруже-

но, что существует более широкий класс скалярно-

R_μνn^μn^ν > 0,

(2)

тензорных теорий, в которых наличие старших про-

изводных в лагранжиане не приводит к появлению

где R_μν — тензор Риччи. Необходимость введения

духов Остроградского — это так называемые «вы-

материи, которая нарушала бы NEC, становится

рожденные скалярно-тензорные теории со старши-

очевидной, если рассмотреть комбинацию уравне-

ми производными» (degenerate higher order scalar-

ний Эйнштейна для пространственно-плоской, од-

нородной и изотропной Вселенной:

¹⁾ Рассуждение не относится к случаю закрытой Вселен-

ной, где отскок возможен, если плотность энергии и давление

= -4πG(ρ + p),

(3)

при сжатии растут медленнее, чем a-2 [15].

652

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Космологические решения с отскоком и генезисом.. .

tensor theories, DHOST theories) [22-30] и «U-вы-

чивые модели с отскоком или генезисом постро-

рожденные теории» [31]. Их существенное отличие

ить невозможно, поскольку среди возмущений над

от теорий Хорндески заключается в том, что соот-

однородным изотропным фоном рано или поздно

ветствующие уравнения поля имеют третий поря-

неизбежно возникают градиентные неустойчивости

док по производным, но количество степеней свобо-

и/или духи [53]. Аналогичная теорема была дока-

ды оказывается неизменным и равным трем. Кроме

зана для случая, когда кроме поля галилеона при-

этого, любопытным фактом является связь между

сутствует дополнительное скалярное поле, для ко-

некоторыми подклассами DHOST-теорий и теория-

торого NEC выполняется [54]. Указанные запреща-

ми Хорндески: они переходят друг в друга при обра-

ющие теоремы были далее обобщены на случай тео-

тимом дисформном преобразовании метрики [32-35]

рии Хорндески наиболее общего вида [55], а также

на системы с несколькими полями галилеонного ти-

g_μν → Ω²(π, X)g_μν + Γ(π, X)∂_μπ∂_νπ,

(5)

па [56]. Таким образом, было сформулировано общее

где π — скалярное поле галилеона, X = g^μν ∂_μπ∂_ν π,

утверждение о том, что теории Хорндески не под-

а Ω²(π, X) и Γ(π, X) — произвольные функции. От-

ходят для построения космологических моделей без

метим, что первые примеры DHOST-теорий из под-

начальной сингулярности, которые были бы устой-

класса так называемых расширенных теорий Хорн-

чивы на протяжении всей своей эволюции (см. так-

дески были получены с помощью применения дис-

же [16, 57]).

формного преобразования (5) к одной из теорий

Свое дальнейшее развитие это направление по-

Хорндески [22].

лучило при исследовании возможности обойти за-

Характерной особенностью теории Хорндески и

прещающую теорему путем введения в рассмотре-

ее расширений является возможность нарушения

ние одного из подклассов DHOST/U-вырожденных

NEC/NCC за счет наличия старших производных

теорий, получившего название расширенных теорий

в лагранжиане. При этом нарушение NEC/NCC

Хорндески (beyond Horndeski или GLVP) [23, 24]. В

не противоречит требованию устойчивости реше-

работах [58, 59] в рамках эффективной теории поля

ния на линеаризованном уровне [16]; здесь и да-

было показано, что новые слагаемые в лагранжи-

лее под устойчивостью решения подразумевается

ане, специфические для расширенной теории Хорн-

отсутствие духов и градиентных неустойчивостей.

дески, вносят принципиальные изменения в условие

Это приводит к идее использовать данный класс

устойчивости, лежащее в основе обсуждавшейся вы-

теорий для построения нестандартных космологи-

ше запрещающей теоремы. Это стало сильным ука-

ческих моделей типа отскока и генезиса. Так, был

занием на неприменимость запрещающей теоремы

предложен целый ряд моделей с отскоком, где фа-

в расширенной теории Хорндески. Первые явные

за с нарушением NEC/NCC реализовывалась за

примеры устойчивых космологических решений без

счет наличия поля галилеона, описываемого той или

сингулярности были приведены в работах [60, 61],

иной конкретной теорией Хорндески [36-43]. Для

где, в отличие от эффективной теории поля, был

предложенных решений было проверено, что они яв-

использован так называемый ковариантный подход.

ляются устойчивыми на протяжении некоторого пе-

Преимуществом ковариантного формализма явля-

риода эволюции системы, включающего в себя эпоху

ется возможность явно выписать лагранжиан тео-

с нарушенным NEC/NCC. Различные варианты тео-

рии и проверить выполнение уравнений движения,

рии Хорндески использовались также для описания

что невозможно сделать в рамках подхода эффек-

моделей ранней Вселенной с генезисом [5,44-50]. От-

тивной теории поля. Как следствие, были предло-

дельно исследовалась проблема сверхсветового рас-

жены явные примеры лагранжианов расширенной

пространения возмущений в оригинальной модели

теории Хорндески, допускающие полностью устой-

генезиса [51,52].

чивые решения в виде отскока [60,61], а также устой-

Однако впоследствии было показано, что постро-

чивое решение, подобное генезису [60].

ение в теории Хорндески полных космологических

Особенностью сценариев с отскоком и модифи-

моделей без начальной сингулярности (т. е. моде-

цированным генезисом, предложенных в работе [60],

лей, где эволюция прослеживается на всех ее эта-

является форма асимптотик теории при t → ±∞: на

пах, формально от t → -∞ до t → +∞) сталкива-

поздних временах расширенная теория Хорндески

ется с трудностями, связанными с проблемой устой-

трансформируется в теорию обычного безмассово-

чивости. Для кубического подкласса теорий Хорн-

го скалярного поля в рамках ОТО, однако на ран-

дески была сформулирована и доказана запрещаю-

них временах (t → -∞) лагранжиан почти не упро-

щая теорема, утверждающая, что полностью устой-

щается и соответствует модифицированной грави-

653

В. Е. Волкова, С. А. Миронов, В. А. Рубаков

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

тации, существенно отличающейся от ОТО со ска-

ется запрещающая теорема, справедливая в теории

лярным полем и описываемой расширенной теорией

Хорндески, а также способы ее обойти; разд. 2.3 опи-

Хорндески. Простота формы асимптотик теории —

сывает природу γ-кроссинга и проясняет его роль

необязательное требование, но она является пре-

в космологических решениях с отскоком или гене-

имуществом, если указанные космологические сце-

зисом. В разд. 2.4 сформулирован способ построе-

нарии оценивать с точки зрения перспективы их

ния полностью устойчивых решений с отскоком и

использования для построения реалистичных мо-

генезисом в расширенных теориях Хорндески и рас-

делей ранней Вселенной. Как обсуждалось в рабо-

смотрены конкретные модели, которые были пред-

те [60], сложность построения отскока или генезиса с

ложены в работах [60, 63, 64]. В разд. 3 обсуждает-

простыми асимптотиками заключается в так назы-

ся связь теорий Хорндески и их расширений через

ваемом γ-кроссинге, который изначально считался

дисформное преобразование; в рамках ковариант-

недопустимым. Подробности, связанные с пробле-

ной теории показано, что преобразования от расши-

мой γ-кроссинга, приведены в разд. 2.3. Там мы от-

ренных теорий Хорндески, где имеются полностью

мечаем, что в действительности, как показано в ра-

устойчивые несингулярные решения, к соответству-

ботах [62,63], γ-кроссинг допустим. На этой основе в

ющим (нерасширенным) теориям Хорндески обяза-

работах [63] и [64] были предложены примеры моде-

тельно сингулярны. Краткое заключение приведено

лей с полностью устойчивыми отскоком и генезисом

в разд. 4.

в расширенной теории Хорндески, чьи асимптотики

описываются ОТО с безмассовым скалярным полем.

2. УСТОЙЧИВОСТЬ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ

Дополнительным преимуществом предложенной в

СЦЕНАРИЕВ БЕЗ НАЧАЛЬНОЙ

работе [63] модели с отскоком служит отсутствие,

СИНГУЛЯРНОСТИ В РАСШИРЕННОЙ

благодаря доминированию безмассового скалярного

ТЕОРИИ ХОРНДЕСКИ

поля, явления БЛХ на стадии сжатия.

Итак, на сегодняшний день имеются примеры

Данный раздел посвящен обзору известных ре-

полностью устойчивых космологических решений

зультатов, касающихся построения космологичес-

типа отскока и генезиса в рамках расширенных тео-

ких решений в обычных и расширенных теориях

рий Хорндески. При этом возникает вопрос: как со-

Хорндески и анализа их устойчивости. Здесь и да-

гласуется возможность обойти запрещающую теоре-

лее мы придерживаемся обозначений, введенных в

му путем использования расширенных теорий Хорн-

работе [65], которые впоследствии также были ис-

дески с тем, что рассматриваемые теории связа-

пользованы в работах [60, 63, 64].

ны дисформными преобразованиями (5) с обычны-

ми теориями Хорндески (для которых запрещаю-

2.1. Лагранжиан и условия устойчивости

щая теорема работает)? Действительно, дисформ-

В общем случае лагранжиан расширенной тео-

ное преобразование (5) — это не что иное, как заме-

на полевых переменных, которая, на первый взгляд,

рии Хорндески имеет вид (используется метрика с

сигнатурой (+, -, -, -))

не влияет на вопрос об устойчивости решения. Тон-

кость состоит в том, что дисформное преобразо-

∫

(

)

√

S = d⁴x

−g L₂ + L₃ + L₄ + L₅ + L_BH ,

(6)

вание, которое связывает расширенную и обычную

теории Хорндески, в интересующей нас ситуации

(с полностью устойчивым решением в расширен-

L₂ = F(π, X),

(7)

ной теории) оказывается сингулярным в определен-

ный момент времени. Данный результат был по-

L₃ = K(π, X)□π,

(8)

лучен в рамках эффективной теории поля в рабо-

те [59]. Одна из наших целей в этой работе заклю-

чается в демонстрации указанного свойства в рам-

L₄ = -G₄(π, X)R + 2G4X(π, X)×

ках ковариантного подхода, использованного в ра-

[

]

× (□π)² - π;μνπ;μν ,

(9)

ботах [60,63,64]. Этому посвящен разд. 3.

Данный краткий обзор имеет следующую струк-

туру. В разд. 2 рассмотрены результаты построения

L₅ = G₅(π, X)G^μνπ;μν +

G5X ×

и исследования устойчивости космологических мо-

[

]

делей с отскоком и генезисом в расширенной тео-

× (□π)³ - 3□ππ;μν π;μν + 2π;μν π;μρπ^ν

;ρ

(10)

рии Хорндески. В частности, в разд. 2.2 обсужда-

654

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Космологические решения с отскоком и генезисом.. .

L_BH = F₄(π, X)ϵ^μνρσϵμ′ν^′ρ^′σπ_,μπ_,μ′ π;νν′ π;ρρ′ +

При этом фоновое поле галилеона однородно, π =

= π(t). В этом случае независимые полевые уравне-

+ F₅(π, X)ϵ^μνρσϵμ′ν^′ρ^′σ^′π_,μπ_,μ′π;νν′π;ρρ′π;σσ′.

(11)

ния в теории с действием (6) имеют вид

Здесь π — скалярное (галилеонное) поле, X

= g^μνπ_,μπ_,ν, π_,μ

= ∂_μπ, π;μν

= ▽_ν▽_μπ, □π

δg⁰⁰ : F-2F_XX-6HK_XX ˙π+K_πX+6H²G₄ +

= g^μν▽_ν▽_μπ, G4X = ∂G₄/∂X и т.д.; R в (9) и G^μν

X ˙π -

+ 6HG4π ˙π-24H²X(G4X+G4XXX)+12HG4πX

в (10) — скаляр кривизны и тензор Эйнштейна со-

- 6H²X²(5F₄ + 2F4XX) = 0,

(14)

ответственно. Вклады (7)-(10) описывают теорию

Хорндески, куда входят четыре независимые функ-

ции F (π, X), K(π, X), G₄(π, X) и G₅(π, X). Функ-

δgⁱⁱ :

F - X(2K_Xπ + K_π) + 2(3H² + 2

^H)G₄ -

ции F₄(π, X) и F₅(π, X) в слагаемом (11) относятся к

расширенной теории Хорндески. Отметим, что дей-

− 12H²G4XX - 8

H G4XX - 8HG4Xπ ˙π -

ствие (6) уже содержит гравитационную часть (см.

- 16HG4XXXπ ˙π + 2(π + 2H ˙π)G4π +

(9) и (10)): действие Эйнштейна - Гильберта восста-

+ 4XG4πX(π-2H ˙π)+2XG4ππ-2F₄X(3H²X +

навливается в пределе G₄(π, X) = 1/2κ и G₅(π, X) =

H X + 8Hπ ˙π) - 8HF4XX²π ˙π -

= 0, где κ = 8πG, а G — гравитационная постоян-

ная. Кубические теории Хорндески, упоминавшиеся

- 4HF4πX² ˙π = 0,

(15)

ранее и особенно популярные в литературе, описы-

где H = ˙a/a — параметр Хаббла. Уравнения, по-

ваются лагранжианом вида

лучаемые при вариации по π, являются линейными

L_cub = -

R+L₂ +L₃.

(12)

комбинациями уравнений (14), (15) и их производ-

2κ

ных.

Добавление к (12) вкладов (9) и (10) приводит к тео-

Ключевым для космологических моделей слу-

риям Хорндески соответственно четвертого и пятого

жит вопрос об их устойчивости относительно линеа-

порядков.

ризованных неоднородных возмущений. В линеари-

Как видно, лагранжиан обычной теории Хорн-

зованной теории мы рассматриваем как возмущения

дески — теории (6) с F₄ = F₅ = 0 — содержит вто-

метрики, так и возмущения скалярного поля π. Вве-

рые производные как поля галилеона π, так и мет-

дем следующие обозначения для компонент полной

рики. При этом от вторых производных в лагранжи-

метрики с учетом малых возмущений:

ане в общем случае нельзя избавиться интегрирова-

нием по частям. Тем не менее, все полевые урав-

g₀₀ = 1 + 2α, g0i = -∂_iβ,

нения являются уравнениями с производными не

(16)

(

)

выше второго порядка. Расширенные теории Хорн-

g_ij = -a²

2ζδ_ij + h^Tij

дески с F₄ = 0 и/или F₅ = 0 таким свойством не об-

где α, β и ζ

— скалярные возмущения, h^Tij

—

ладают, однако, как мы говорили во Введении, они

тензорные возмущения, для которых выполняют-

описывают столько же распространяющихся степе-

ся условия бесследовости (hTii = 0) и поперечнос-

ней свободы, сколько их имеется в обычной теории

ти (∂_ihTij = 0). Отметим, что нетривиальных век-

Хорндески — две тензорные и одну скалярную. Это

торных возмущений в рассматриваемых скалярно-

же справедливо для еще более общих DHOST- и

тензорных теориях нет и в параметризации (16) час-

U-вырожденных теорий, лагранжианы которых мы

тично использована калибровочная свобода. Возму-

не приводим, см. [30,31]. Для наших целей достаточ-

щения над однородным фоновым полем галилеона

но ограничиться изучением теорий вида (6). Кроме

π_c обозначаются как χ:

того, для сокращения формул в дальнейшем мы по-

ложим

π → π_c(t) + χ(t,r).

(17)

G₅ = 0, F₅ = 0.

Ничего принципиально нового для наших задач в

В общем случае линеаризованная теория инвари-

общем случае G₅ = 0, F₅ = 0 не возникает, но фор-

антна относительно инфинитезимальных преобра-

мулы становятся необозримыми.

зований координат вида

Нас интересуют космологические модели, описы-

x^μ → x^μ + ξ^μ,

(18)

ваемые пространственно-плоской метрикой Фрид-

мана - Леметра - Робертсона - Уокера (FLRW):

где ξ^μ — малые параметры. Часть этой калибровоч-

ds² = dt² - a²(t)δ_ij dxⁱdx^j .

(13)

ной свободы уже использована в (16). Оставшаяся

655

В. Е. Волкова, С. А. Миронов, В. А. Рубаков

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

калибровочная свобода связана с единственной ка-

Из структуры квадратичного действия (20) вид-

либровочной функцией ξ⁰. В терминах введенной

но, что α и β — нединамические степени свободы.

параметризации возмущений в (16) и (17) преобра-

Варьируя действие (20) по α и β, получим два урав-

зования (18) скалярных мод сводятся к следующему

нения связи:

виду:

(

)

△β

△ζ

3Θζ - (GT + Dπ)

+ Σα

(26)

a²

χ → χ + ξ0 ˙π, α → α +

⁰, β → β - ξ⁰,

(19)

G_T

α=

(27)

ζ →ζ+ξ⁰

Разрешив связи (26) и (27), действие (20) можно за-

Зафиксируем оставшуюся калибровочную свободу

писать в терминах только динамических степеней

таким образом, чтобы в скалярном секторе нетри-

свободы:

виальными остались только величины α, β и ζ,

∫

(

)₂

т. е. положим χ = 0 (унитарная калибровка). Тогда

^[G_T

F_T

(

)₂

S = dtd³x a³

∂_kh^Tij

квадратичное действие для возмущений в теории с

8a²

лагранжианом (6) имеет вид

]

(▽ζ)²

+ G_Sζ2

-F_S

(28)

∫

)

(

)₂

[(G_T

F_T

(

)₂

S = dtd³xa³

∂_kh^Tij

где введены следующие обозначения:

8a²

(

(▽ζ)²

△ζ

ΣG

G_S

+ 3G_T ,

(29)

+ -3G_T

ζ²

+F_T

- 2(G_T + D ˙π)α

Θ²

a²

)]

1 dξ

△β

F_S =

-F_T

(30)

+ 2G_T

+ 6Θαζ - 2Θα

+ Σα²

(20)

a dt

a²

a (G_T + D π) G_T

ξ=

(31)

где (▽ζ)2 = δij∂iζ∂jζ, △ = δij∂i∂j, коэффициен-

ты G_T , D, F_T , Θ и Σ выражаются через функции

Таким образом, действие (28) содержит одну ска-

лагранжиана как

лярную (ζ) и две тензорных (h^Tij ) степени свободы.

Квадраты скоростей звука для скалярных и тензор-

G_T = 2G₄ - 4G4XX - 2F₄X²,

(21)

ных мод имеют следующий вид соответственно:

F_T

D = 2F₄X ˙π,

(22)

c2T =

c2S =

F_S .

(32)

G_T

В качестве отступления обсудим главные типы

F_T = 2G₄,

(23)

неустойчивостей, которые могут обнаруживаться в

квадратичном действии (28) для расширенной тео-

рии Хорндески. Для однородного изотропного фона

Θ = -K_XX ˙π+2G₄H-8HG4XX-8HG4XXX2 +

коэффициенты G_T , F_T , G_S и F_S являются функция-

+ G4π ˙π + 2G4πXX ˙π - 10HF₄X² - 4HF4XX³,

(24)

ми времени. Наиболее опасными являются неустой-

чивости, возникающие в высокоэнергетическом ре-

Σ = F_XX + 2F_XXX² + 12HK_XX ˙π+

жиме, когда пространственные и временные измене-

ния полей ζ и h^Tij характеризуются масштабами, су-

+ 6HK_XXX² ˙π - K_πX - K_πXX² - 6H²G₄ +

щественно меньшими, чем характерный временной

+ 42H²G4XX + 96H²G4XXX² + 24H²G4XXXX³ -

масштаб изменения однородного фона. В таком при-

- 6HG4π ˙π - 30HG4πXX ˙π - 12HG4πXXX² ˙π +

ближении коэффициенты G_S,T и F_S,T можно счи-

+ 90H²F₄X² + 78H²F4XX³ + 12H²F4XXX⁴.

(25)

тать не зависящими от времени. Тогда возможны

следующие случаи (обозначение G_S,T , F_S,T относит-

Отметим, что фиксация калибровки непосредствен-

ся к паре величин G_S , F_S или G_T , F_T ):

но в квадратичном действии (20) корректна, по-

1) решение с градиентными неустойчивостями

скольку уравнение поля галилеона является след-

(экспоненциальный рост возмущений):

ствием уравнений (14), (15) (см. обсуждение в [65] и

подробности в [31]).

G_S,T > 0, F_S,T < 0 или G_S,T < 0, F_S,T > 0;

656

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Космологические решения с отскоком и генезисом.. .

2) решение с духами (катастрофическая неустой-

полноту), центральное утверждение опирается на

чивость вакуума, см. обсуждение в [13]):

условие отсутствия градиентных неустойчивостей

(см. (30)):

G_S,T < 0, F_S,T < 0;

(33)

dξ

= a(F_S + FT ) > ϵ > 0.

(36)

3) устойчивое решение:

Согласно (36) величина

G_S,T > 0, F_S,T > 0.

(34)

aG_T

Отметим, что, в силу вида действия (28) в унитар-

ξ=

(37)

ной калибровке, в системе не возникает неустойчи-

востей типа тахионов.

должна быть монотонно растущей функцией. Заме-

Таким образом, согласно (34) отсутствие духо-

тим, что в определении (37) учтено, что в случае

вых и градиентных неустойчивостей на фоне од-

теории Хорндески D = 0 (ср. с (31)). Из условия

нородного решения требует выполнения следующих

(36), которое должно выполняться в любой момент

ограничений, наложенных на коэффициенты квад-

времени, при учете (35) мы получаем, что ξ → -∞

ратичного действия (28):

при t → -∞ и ξ → +∞ при t → +∞, а значит,

ξ обязательно пересекает нуль в некоторый(е) мо-

G_T ≥ F_T > ϵ > 0, G_S ≥ F_S > ϵ > 0 .

(35)

мент(ы) времени, независимо от того, обращается Θ

в нуль или нет. Заметим, что данный вывод о по-

Здесь и далее ϵ обозначает некоторую положитель-

ведении величины ξ справедлив как в теории Хорн-

ную константу, значение которой для нас несуще-

дески, так и в расширенной теории Хорндески (ког-

ственно и может быть разным в разных формулах.

да D = 0 и ξ определяется выражением (31)), по-

В (35) она введена с целью избежать случаев, когда

скольку условие (36) справедливо для обоих клас-

G_S,T , F_S,T → 0, что по крайней мере наивно соответ-

сов теорий. Однако из определения (37) следует, что

ствует режиму сильной связи²⁾. Выполнение нера-

добиться необходимого поведения ξ в теории Хорн-

венств (35) также обеспечивает распространение и

дески невозможно: поскольку a > 0 и G_T > ϵ > 0,

скалярных, и тензорных возмущений со скоростями,

ξ может пересекать нуль, только если Θ → ∞, что

меньшими или равными скорости света.

соответствует сингулярности в классическом реше-

Как упоминалось выше, в работах [53, 55] было

нии. Отсюда и следует, что полностью устойчивые

показано, что в теории Хорндески, где F₄(π, X) =

модели без начальной сингулярности в теории Хорн-

= F₅(π, X)

= 0 (см. (11)), добиться выполне-

дески невозможны. Отметим, что все эти результа-

ния неравенств (35) на протяжении всей эволюции

ты справедливы и при G₅ = 0 (но F₄ = F₅ = 0).

невозможно. Указанный результат был сформули-

Сделаем замечание относительно попыток обой-

рован в виде теоремы, запрещающей существова-

ти запрещающую теорему в теории Хорндески

ние в общей теории Хорндески полностью устойчи-

[43, 55]. Одна из них состоит в предположении, что

вых несингулярных космологических решений ти-

требуемое пересечение нуля величиной ξ проис-

па отскока и генезиса. Следующий раздел посвя-

ходит, когда Θ = 0 и одновременно G_T

= 0 (что

щен обсуждению этой запрещающей теоремы, что

противоречит условиям (35)). Это не только пред-

позволит затем продемонстрировать, каким обра-

полагает тонкую подстройку параметров, но также

зом добавление слагаемых c F₄(π, X) (и F₅(π, X)) в

и проблему сильной связи в тензорном секторе (см.

лагранжиан теории принципиально меняет структу-

(28)). Другая возможность заключается в ослаб-

ру условий устойчивости космологических решений.

лении требований к асимптотическому поведению

теории, так что F_S,T

→ 0 при t → -∞ и/или

2.2. Запрещающая теорема в теории

t → +∞, и требование

ξ > ϵ > 0 при t → ±∞ не

Хорндески

выполняется. В данном случае возникает потенци-

альная проблема сильной связи в асимптотическом

В исследовании на устойчивость космологичес-

прошлом и/или асимптотическом будущем.

ких сценариев в теории Хорндески, для которых

В расширенной теории Хорндески ситуация

масштабный фактор a ограничен снизу положи-

принципиально иная: в определение ξ (31) входит

тельной величиной (что гарантирует геодезическую

D = 0, которое зависит от новой функции F₄(π,X)

²⁾ Мы не рассматриваем специальный случай «теории ду-

(и F₅(π, X)). Коэффициент G_T по-прежнему опре-

хового конденсата» [66].

деляет устойчивость тензорного сектора и должен

657

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

В. Е. Волкова, С. А. Миронов, В. А. Рубаков

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

быть всегда положительным, но на комбинацию

решений, предложенных в работе [60]. В полном со-

GT + D˙π такого ограничения нет, и она может

гласии с изложенным выше отсутствие γ-кроссинга

принимать отрицательные значения и пересекать

не позволило построить модель отскока, в которой

нуль. Именно за счет вклада D появляется воз-

обе асимптотики t → ±∞ описывались ОТО, и в ре-

можность добиться того, чтобы ξ была монотонно

шении [60] гравитация в асимптотическом прошлом

растущей функцией и пересекала нуль в некоторый

существенно отличалась от ОТО. Однако из тех же

момент времени, и тем самым обойти запрещаю-

выражений (29), (30) следует, что дисперсионное со-

щую теорему. Таким образом, изменение структуры

отношение c2S = F_S/G_S остается конечным в момент

условий устойчивости (35) в расширенной теории

γ-кроссинга, а это свидетельствует в пользу того,

Хорндески указывает на возможность построить

что на самом деле проблем не возникает. И дей-

решения в виде космологического отскока и гене-

ствительно, в работе [62] было показано, что урав-

зиса, которые свободны от духовых и градиентных

нения для возмущений не имеют сингулярностей в

неустойчивостей в течение всей эволюции.

ньютоновой калибровке. Позднее были также про-

ведены явные вычисления в унитарной калибров-

ке [63], которые показали, что в результате γ-крос-

2.3. γ-кроссинг

синга в решении для скалярной степени свободы ζ

Прежде чем перейти к обсуждению примеров ре-

расходимости нет. Тем самым было доказано, что

шений с отскоком и генезисом в расширенной тео-

γ-кроссинг допустим. Последнее позволило постро-

рии Хорндески, вновь обратимся к поведению ко-

ить космологические решения с отскоком и генези-

эффициента Θ в (31) и так называемому явлению

сом, асимптотики которых имеют простое поведение

γ-кроссинга, когда коэффициент Θ = 0 (в исход-

при t → ±∞, описываемое ОТО с безмассовым ска-

ных работах [43, 62, 67], в которых обсуждался дан-

лярным полем [63, 64].

ный вопрос, коэффициент Θ обозначен как γ, от-

В следующем разделе приводятся примеры моде-

куда и появилось название явления). В работе [67]

лей с полностью устойчивым отскоком и генезисом

было показано, что γ-кроссинг — это не что иное,

в расширенной теории Хорндески, которые были по-

как переход с одной ветви решения уравнения (14),

строены в работах [60,63,64]. Особое внимание уде-

рассматриваемого как уравнение относительно па-

ляется тому, как обходится запрещающая теорема

раметра Хаббла, на другую. Как было отмечено вы-

в каждом решении, а также описываются характер-

ше, γ-кроссинг не дает возможности обойти запре-

ные свойства предложенных моделей.

щающую теорему в теории Хорндески, однако это

явление играет заметную роль в вопросе об асимп-

2.4. Примеры полностью устойчивых

тотическом поведении теории при t → ±∞. А имен-

сценариев с отскоком и генезисом

но, если требовать от искомого космологического ре-

Мы не будем детально описывать процедуру по-

шения, чтобы лагранжиан соответствующей теории

строения решения, которая подробно изложена в ра-

и в асимптотическом прошлом, и в асимптотиче-

ботах [60,63,64], и ограничимся формулировкой ос-

ском будущем описывал безмассовое скалярное по-

новных идей и результатов.

ле в рамках ОТО, функция Θ(t) должна пересекать

Искомые модели удобно строить методом рекон-

нуль в некоторый момент t_∗ ∈ (-∞, +∞). Необходи-

струкции, использовавшимся ранее, например, в ра-

мость γ-кроссинга следует из того факта, что тре-

ботах [42,53]³⁾. Идея состоит в том, чтобы подобрать

буемая форма асимптотик предполагает F₄ → 0 при

лагранжевы функции F , K, G₄, F₄ в (7)-(11) так,

t → ±∞, что, в свою очередь, означает D → 0 при

чтобы теория с лагранжианом (6) имела интересу-

t → ±∞ (см. (22)). Как мы говорили, ξ < 0 при

ющее нас решение (мы по-прежнему считаем, что

t → -∞ и ξ > 0 при t → +∞, поэтому из D → 0 при

G₅ = F₅ = 0). Прежде всего, с помощью замены по-

t → ±∞ следует, что Θ < 0 при t → -∞ и Θ > 0

левой переменной однородное поле галилеона всегда

при t → +∞, а это подразумевает обращение коэф-

можно выбрать так, что на решении

фициента Θ в нуль в некоторый конечный момент

времени t_∗.

π_c(t) = t .

(38)

Выражения для G_S и F_S в (29), (30) говорят

о сингулярности обоих коэффициентов в момент

Тогда X_c

= g^μνc∂_μπ_c∂_νπ_c

= 1. В полевые урав-

γ-кроссинга. На первый взгляд, это недопустимо,

нения (14), (15) и условия устойчивости (35) те-

поэтому Θ считалось строго положительным в од-

ном из первых полностью устойчивых отскоковых

³⁾ Упомянем также обсуждение решений [42] в работе [67].

658

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Космологические решения с отскоком и генезисом.. .

перь входят функции времени F (π_c, X_c) = F (t, 1),

асимптотику с ОТО при t → ±∞ и добиться полной

F_X(π_c, X_c) = (∂F/∂_X)(t, 1) ≡ F_X(t, 1) и т.д., причем

устойчивости решения одновременно. Таким обра-

все эти функции независимы (в то время как, на-

зом, в данной модели Θ > 0 в любой момент времени

пример, функция G4,π равна

Ġ₄(t, 1)). Эти функции

и требование простой формы асимптотики теории в

и необходимо подобрать, задав явно поведение пара-

виде ОТО с безмассовым скалярным полем накла-

метра Хаббла H(t). При этом накладываются следу-

дывается только при t → +∞.

ющие требования: 1) должны выполняться уравне-

Параметр Хаббла для данной модели выбран в

ния поля (14), (15); 2) решение должно быть устой-

виде

чиво, т. е. должны удовлетворяться условия (35) с

H(t) =

a(t) = (τ² + t²)1/6,

(39)

коэффициентами, заданными в (21)-(25). Разумеет-

3(τ² + t²)

ся, эти требования не определяют однозначно все

при этом отскок происходит при t = 0; параметр

функции F(t, 1), F_X(t, 1), . . . , F4XX(t, 1), входящие в

τ определяет продолжительность эпохи отскока (в

(14), (15), (35): на них имеется всего два уравнения

дальнейшем полагаем для простоты τ

= 10), а

(14), (15), а условия (35) носят характер неравенств.

асимптотика H(t)|t→+∞ → (3t)-1 соответствует тре-

Поэтому рассматриваемое построение допускает су-

буемому поведению теории при t → +∞. Согласно

щественный произвол; часть указанных функций

процедуре реконструкции мы выбираем часть функ-

выбирается исключительно из соображений удобст-

ций так, чтобы выполнялись условия устойчивости

ва.

(35) и требования к асимптотическому поведению

В качестве дополнительного ограничения, кото-

функций, а оставшиеся функции находим из фо-

рое, вообще говоря, не является обязательным, мож-

новых уравнений движения с учетом выбора H(t)

но потребовать определенного асимптотического по-

в (39).

ведения теории при t → ±∞. Например, в случае ре-

Поскольку в данном сценарии Θ > 0 всегда, за-

шений, описанных ниже, мы требуем, чтобы расши-

прещающая теорема обходится с помощью выбора

ренная теория Хорндески в асимптотическом буду-

функции F₄(π, X), входящей в D в (31), так что G_T +

щем (а во втором и третьем случаях и в асимптоти-

+D ˙π < 0 при t → -∞ и G_T +D ˙π > 0 при t → +∞. На

ческом прошлом) стремилась к ОТО с безмассовым

рис. 1а представлено поведение ξ, G_T + D π и Θ для

скалярным полем. Напомним в связи с этим, что без-

данного сценария, и видно, что ключевая для запре-

массовое однородное скалярное поле с минимальной

щающей теоремы величина ξ монотонно растет и пе-

связью с гравитацией характеризуется уравнением

ресекает нуль одновременно с G_T + D π. Отсутствие

состояния p = ρ, так что в ОТО пространствен-

духов и градиентных неустойчивостей в найденном

но-плоское решение имеет вид

решении с параметром Хаббла (39) подтверждает-

a(t) ∝ |t|1/3, H(t) =

ся положительностью на протяжении всего времени

эволюции коэффициентов G_T , F_T , G_S и F_S в квад-

а каноническое скалярное поле ведет себя как

ратичном действии (28), см. рис. 1в,г.

√

φ_c(t) = ±

2/3ln|t|, откуда с учетом (38) следует

Квадраты скоростей звука для скалярного и тен-

соотношение

зорного сектора приведены на рис. 1б. Обе скорости

(√

)

всегда положительны и стремятся к скорости света

π = exp

при t → +∞ в согласии с требованием асимптоти-

ческого соответствия теории на поздних временах

которое должно выполняться в соответствующей

случаю ОТО с безмассовым скалярным полем.

асимптотике. Здесь и далее мы полагаем

Наконец, приведем асимптотический вид лагран-

κ = 8πG = 1 .

жиана при t → ±∞. На поздних временах, как и

требовалось, лагранжиан имеет простую форму за

2.4.1. Космологический отскок с экзотической

счет выбора асимптотического поведения лагранже-

стадией сжатия

вых функций и соответствует теории безмассового

скалярного поля и эйнштейновской гравитации:

Один из первых примеров полностью устойчи-

1 (∂π)²

вых решений с отскоком в расширенной теории

L|t=+∞ = -

R+

(∂φ)² .

(40)

Хорндески, для которых был приведен явный вид

π²

лагранжиана, представлен в работе [60]. Его осо-

На ранних временах модель отскока без γ-кроссинга

бенностью является запрет γ-кроссинга, в результа-

описывается лагранжианом, соответствующим рас-

те чего, как обсуждалось выше, невозможно иметь

ширенной теории Хорндески:

659

В. Е. Волкова, С. А. Миронов, В. А. Рубаков

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

/300

0.8

.30

0.8

0.6

0.4

0.6

c²

0.2

0.4

c²

-40

-20

0.2

-0.2

-0.4

-100

-50

0.8

0.6

0.4

0.2

-100

–50

-100

–50

Рис. 1. a) Графики зависимости от времени ξ, GT + D π и Θ для сценария [60]: ξ пересекает нуль при t ≈ -1.039 из-за

поведения GT + D π; Θ всегда положительна, т. е. γ-кроссинга не происходит. б) Поведение квадратов скоростей звука

для скалярных и тензорных мод: c2S → 0.006, c2T → 0.18 при t → -∞; c2S, c2T → 1 при t → +∞. в) Коэффициенты GS и

FS в зависимости от t; оба конечны при t → -∞: FS → 0.193. г) Коэффициенты GT и FT в зависимости от t

⁽1

⁾ (∂π)²

(∂π)⁴

ние, которое описывается лагранжианом (40) как

L|t=-∞ = C₀

+C₁

+C₂

π²

при t → +∞, так и при t → -∞.

(∂π)

[

]

□π-

(∂π)²R+

(□π)²-∇^μν π∇_μν π

Параметр Хаббла для данной модели был вы-

бран таким же, как в предыдущей модели, см. (39).

(41)

Поскольку требуемая форма асимптотик теории при

ϵ^μνρσϵμ′ν^′ρ^′ σ∇μπ∇^μπ∇νν′ π∇ρρ′ π,

t → ±∞ соответствует ОТО, из соображений удоб-

ства функции лагранжиана G₄(π, X) и F₄(π, X) бы-

где C₀ = 2.43, C₁ = -5.53, C₂ = 1.06 — модельно за-

ли выбраны так, что G_T = F_T = 1 на протяжении

висимые константы. Теория (41) не сводится к ОТО,

всей эволюции. Таким образом, в тензорном секторе

что полностью соответствует обсуждавшимся выше

возмущений неустойчивостей нет, а гравитационные

последствиям запрещенного γ-кроссинга.

волны всегда распространяются со скоростью света,

c2T = 1.

2.4.2. Космологический отскок с γ-кроссингом и

Как обсуждалось в разд. 2.3, благодаря γ-крос-

двумя простыми асимптотиками

сингу, т. е. смене знака Θ, становится возможным

Модель отскока с γ-кроссингом [63] является мо-

выбрать функцию лагранжиана F₄ (по-прежнему

дификацией модели, описанной выше. Отличие дан-

G₅ = F₅ = 0) так, что D|_t→±∞ → 0, и одновре-

ного решения от предыдущего заключается в нали-

менно добиться выполнения неравенства

ξ > ϵ > 0

чии γ-кроссинга в некоторый момент времени, что

в (36), которое соответствует условию отсутствия

позволяет иметь простое асимптотическое поведе-

градиентных неустойчивостей в скалярном секторе.

660

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Космологические решения с отскоком и генезисом.. .

-40

-20

-40

-20

-1

–3

-1

–2

.102

–3

-2

Рис. 2. Графики зависимости от времени ξ, GT + D π и Θ а) для сценария [63]: ξ пересекает нуль дважды благодаря

поведению GT +D π; Θ пересекает нуль и меняет знак; б) для случая тонкой подстройки параметров: ξ остается конечным

при γ-кроссинге

Как следует из рис. 2, функция G_T + D π пересекает

вами, полная устойчивость модифицированного ге-

нуль дважды и (G_T +D ˙π)|_t→±∞ → 1 в соответствии с

незиса достигалась за счет геодезической неполноты

тем, что в данном сценарии G_T = 1 в любой момент

решения при t → -∞. В отличие от оригинального

времени. При этом ξ по-прежнему пересекает нуль в

сценария, предложенного в [4], где H ∝ (-t)-3, па-

тех же точках, что и G_T + D π, а правильный знак ξ

раметр Хаббла в эпоху, подобную генезису, имеет

при t → -∞ в данной модели обеспечивается пове-

следующую зависимость от времени:

дением Θ. Таким образом, γ-кроссинг действитель-

но позволяет построить теорию с полностью устой-

H =-

a(t) ∝

h = const,

чивым отскоком, в которой обе асимптотики описы-

(-t)^h

(42)

ваются ОТО с безмассовым скалярным полем. Для

h > 1, t < 0,

полноты изложения на рис. 2б изображен случай с

тонкой подстройкой параметров: несмотря на нали-

а плотность энергии ρ и давление p убывают как

чие γ-кроссинга, ξ остается всюду конечным за счет

t-2 при t → -∞ (в оригинальном сценарии ρ ∝ t-6,

касания нуля функцией G_T + D π в момент, когда

p ∝ t-4).

Θ = 0.

Позднее аналог описанного сценария модифи-

Устойчивость в скалярном секторе в найденном

цированного генезиса был построен в расширенной

решении подтверждается поведением G_S и F_S , изоб-

теории Хорндески в [60]. Параметр Хаббла и соот-

раженным на рис. 3а: оба коэффициента положи-

ветствующий ему масштабный фактор были выбра-

тельны и расходятся в момент γ-кроссинга, однако

ны в виде

их отношение остается конечным и строго положи-

[

√

]1/3

тельным (см. рис. 3б), что согласуется с выражени-

H(t) =

√

a(t) = t +

τ² + t²

(43)

τ² + t²

ями (29) и (30).

где τ — характерный временной масштаб модели.

2.4.3. Генезис и его модификации в теориях

Существенным отличием предложенного решения в

Хорндески и их расширениях

расширенной теории Хорндески является медленное

В работе [53], где была сформулирована за-

поведение a(t) ∝ |t|-2/3 при t → -∞ и, соответст-

прещающая теорема для кубической теории Хорн-

венно, геодезическая полнота, которая была прове-

дески (12), в том же кубическом классе был впервые

рена явно.

предложен сценарий модифицированного генезиса,

Для нового решения (43) запрещающая теорема

в котором был найден способ обойти запрещающую

обходилась аналогично тому, как это было сдела-

теорему: за счет того, что масштабный фактор стре-

но в описанном выше отскоковом решении без γ-

мился к нулю при t → -∞ (но так, что кривизна

кроссинга. В данной модели γ-кроссинг также был

пространства-времени тоже стремилась к нулю), в

запрещен, в результате чего асимптотика теории

решении не возникало духов и градиентных неустой-

при t → -∞ описывается существенно модифи-

чивостей на протяжении всей эволюции. Иными сло-

цированной гравитацией типа расширенной теории

661

В. Е. Волкова, С. А. Миронов, В. А. Рубаков

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

c²

120

1.0

100

0.8

0.4

0.2

-150

-100

-50

100

-2000

-1000

1000

2000

Рис. 3. Поведение коэффициентов GS и FS (а): оба коэффициента строго положительны и расходятся в момент γ-крос-

синга, но их отношение, равное квадрату скорости звука скалярных мод c2S (б), всегда конечно и строго положительно:

min(c2S) ≈ 0.001

c²

1.0

0.8

0.6

150

0.4

100

0.2

-60

-40

-20

-100

100

200

Рис. 4. Поведение коэффициентов GS и FS (а): оба коэффициента строго положительны и расходятся в момент γ-крос-

синга, однако их отношение, равное квадрату скорости звука скалярных мод c2S (б), всегда конечно и строго положительно:

min(c2S) ≈ 0.02

Хорндески. При t → +∞, как и в исходном геоде-

где Λ, f и α — те же параметры, что и в работе [5].

зически неполном решении (42), теория асимптоти-

Лагранжиан теории в эпоху генезиса соответствует

чески описывается лагранжианом безмассового ска-

кубическому подклассу теорий Хорндески:

лярного поля и ОТО (40).

1+α

3f³ 1 + α/3

Наконец, в работе [64] был предложен полностью

L_t→-∞ = -

R-

X+

X² -

4Λ³

π⁴

4Λ³

π⁴

устойчивый пример субсветового генезиса в расши-

f³

ренной теории Хорндески с простым асимптотиче-

□π,

(45)

2Λ³ π³

ским поведением. На ранних временах теория сов-

падает с оригинальным сценарием [5]:

который после замены

(

√

)

(

α⁾

φ = f log

2Λ³ π

t → -∞ : H =

4Λ³

|t|³

(

(44)

совпадает с приведенным в [5]. За счет γ-кроссинга

α⁾

асимптотика построенной теории на поздних време-

a(t) = 1 +

нах также описывается ОТО: при t → +∞ лагран-

8Λ³

|t|²

662

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Космологические решения с отскоком и генезисом.. .

жиан принимает стандартный вид (40), а H

который приводит к устойчивым решениям, описан-

= (3t)-1.

ным в предыдущем разделе, может быть преобразо-

Параметр Хаббла для модели с описанными

ван с помощью дисформного преобразования к виду

асимптотиками был выбран в виде

L = L

G₄), т. е. к лагранжиану (нерасширен-

ной) теории Хорндески.

[(

)

Λ³ 1 - th(t/τ)

1 + th(t/τ)

В контексте запрещающей теоремы, справедли-

H(t) =

f³ 2 (1 + α/3)

вой в теории Хорндески, и возможности обойти ее

]-1

в расширенных теориях Хорндески естественно за-

√

2τ² + t²

(46)

дать следующий вопрос: как согласуется существо-

вание полностью устойчивого решения в расширен-

Процедура реконструкции полной теории во мно-

ном классе теорий (47) с запрещающей теоремой,

гом повторяет случай отскокового решения с γ-

справедливой в теории Хорндески с F₄(π, X) = 0,

кроссингом: G_T = F_T = 1 в любой момент времени,

если эти теории связаны преобразованием полей?

так что тензорные моды всегда распространяются со

Ответ на этот вопрос был дан в терминах эффек-

скоростью света (c2T = 1); поведение ключевых для

тивной теории в работе [59]: в соответствующих за-

запрещающей теоремы величин ξ, G_T + D π и Θ сов-

конах преобразования функций лагранжиана возни-

падает с изображенным на рис. 2а. Графики зави-

кает сингулярность именно в тот момент, когда ξ

симости от времени коэффициентов G_S и F_S , опре-

в (36) пересекает нуль. В работе [59] этот факт был

деляющих устойчивость в скалярном секторе, при-

установлен на уровне эффективного действия для

ведены на рис. 4, где G_S|t→+∞ → 3, F_S|t→+∞ → 3,

возмущений наиболее общего вида. Целью данного

c2S|t→+∞ → 1. На ранних временах (t → -∞) име-

раздела является подтверждение этого результата

ем G_S|_t→-∞ ∝ |t|² и F_S|_t→-∞ ∝ |t|², что является

на языке ковариантной теории.

характерной особенностью сценария с генезисом, а

Рассмотрим дисформное преобразование

c2S|_t→-∞ < 1.

gμν = gμν + Γ4(π, X)∂μπ∂ν π,

(48)

которое позволяет перейти к общей теории Хорн-

3. ДИСФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И

дески в лагранжиане (47):

ЗАПРЕЩАЮЩАЯ ТЕОРЕМА

L₄[G₄] + L₄[F₄] =

L₄[¯4].

(49)

Как упоминалось во Введении, некоторые под-

Уравнение для функции Γ₄(π, X), позволяющей осу-

классы DHOST- и U-вырожденных теорий одно-

ществить переход (49), было найдено в ковариант-

значно связаны с общими теориями Хорндески по-

ной форме в работах [24, 35]:

средством обратимого дисформного преобразова-

ния [32] метрики (5), которое является обобще-

F₄

Γ4X =

(50)

нием стандартного конформного преобразования

G₄ - 2G4XX - F₄X²

gμν

= Ω²(π)g_μν [29, 30, 34, 35]. Отметим несколько

Там же была приведена связь новой функции

свойств дисформных преобразований. Дисформные

в теории Хорндески

L₄ с исходной функцией G₄ в

преобразования (5) с функциями Ω²(π) и Γ(π), ко-

расширенной теории Хорндески L₄:

торые зависят от скалярного поля π, но не от ки-

G₄(π, X)

нетического члена X, будучи примененными к тео-

X₌

G₄(π,

^X)=

(51)

^√1 + XΓ₄ ,

1+XΓ₄

рии Хорндески L₂ + L₃ + L₄, не выводят за пределы

этого подкласса теорий. Обратимые преобразования

Покажем, что преобразованная функция

4 X сингу-

с Ω²(π, X) = 1 и произвольным Γ(π, X) позволяют

лярна в тот момент времени, когда ξ вместе c G_T +

получить из теорий Хорндески L₂ + L₃ + L₄ их рас-

+ D˙π в (31) пересекает нуль.

ширение с F₄(π, X) = 0 [22, 33]. Это, в частности,

Из преобразований (51) следует, что функции

означает, что лагранжиан вида

4 X и G4X, явно входящие в лагранжианы двух тео-

рий, связаны следующим соотношением:

L(F, K, G₄, F₄) = F (π, X) + K(π, X)□π -

∂G₄

- G₄(π, X)R + (2G4X(π, X) - F₄(π, X) X) ×

4X =

^√1 + XΓ₄ ×

[

]

∂ X

1-X²Γ4X

(

)

× (□π)² - π;μνπ;μν

+ 2F₄(π, X)×

× G4X(1 + XΓ₄) -

G₄(Γ₄ + XΓ4X)

(52)

[

]

π^,μπ;μνπ^,ν□π - π^,μπ;μλπ;νλπ_,ν

(47)

663

В. Е. Волкова, С. А. Миронов, В. А. Рубаков

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Перепишем Γ4X в (50) в терминах обозначений (21)

рии вне NEC/NCC-нарушающей фазы. Анализ фе-

и (22):

номенологических следствий таких космологичес-

Dπ

ких сценариев без начальной сингулярности выхо-

Γ4X =

(53)

X²(G_T + 2D ˙π)

дит за рамки данного обзора, однако данное направ-

ление исследований весьма перспективно и популяр-

Обратимся теперь к знаменателю преобразования

но в современной литературе.

(52) и подставим в него явное выражение для

Отдельное обсуждение вопроса о связи теорий

Γ4X (53):

G_T + 2D ˙π

Хорндески с их расширениями через дисформное

(54)

преобразование было призвано собрать воедино уже

1-X²Γ4X

G_T + D ˙π

существующие частные результаты, полученные в

Из (54) следует, что знаменатель в преобразова-

ковариантном формализме. Вопрос о том, как согла-

нии (52) обращается в нуль в тот момент, когда

суются запрещающая теорема в теории Хорндески

= 0 (31). Действительно, как обсуждалось в

и существование полностью устойчивых решений

разд. 2.2, обойти запрещающую теорему в расши-

в расширенной теории Хорндески с учетом связи

ренной теории Хорндески возможно благодаря тому,

этих теорий через замену полей, неоднократно под-

что D = 0. Это позволяет добиться необходимого по-

нимался и после публикации [59]. Подтверждение

ведения ξ в (36). Последнее подразумевает сущест-

вывода работы [59] в рамках ковариантной теории

вование момента(моментов), когда G_T + D π = 0.

нам представляется полезным дополнением, кото-

Таким образом, расширенные теории Хорндески, в

рое дает исчерпывающий ответ на поставленный

которых существует полностью устойчивое решение

вопрос.

без начальной сингулярности, оказываются связаны

с теориями Хорндески сингулярными дисформны-

Благодарности. Авторы благодарны Р. Коле-

ми преобразованиями. Поэтому противоречия меж-

ватову и Н. Сухову за плодотворное сотрудничество,

ду существованием полностью устойчивых решений

а также Е. Бабичеву и А. Викману за полезные об-

и запрещающей теоремой в дисформно-связанных

суждения.

теориях действительно не возникает.

Финансирование. Исследование выполнено за

счет гранта Российского научного фонда (проект

№19-12-00393).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном обзоре мы ставили перед собой цель

дать краткое описание результатов исследований

ЛИТЕРАТУРА

космологических решений без начальных сингуляр-

1. J. L. Lehners, Phys. Rep. 465, 223 (2008) [arXiv:

ностей и их устойчивости в расширенных теориях

0806.1245 [astro-ph]].

Хорндески.

Были описаны конкретные примеры моделей

2. M. Novello and S. E. P. Bergliaffa, Phys. Rep. 463,

Вселенной с отскоком или генезисом в расширенной

127 (2008) [arXiv:0802.1634 [astro-ph]].

теории Хорндески, свободных от градиентных и ду-

ховых неустойчивостей на линеаризованном уровне

3. D. Battefeld and P. Peter, Phys. Rep. 571, 1 (2015)

в течение полного времени эволюции системы от

[arXiv:1406.2790 [astro-ph.CO]].

t → -∞ до t → +∞. Привлекательной особенно-

4. P. Creminelli, M. A. Luty, A. Nicolis, and L. Senatore,

стью некоторых из предложенных моделей является

JHEP 0612, 080 (2006) [hep-th/0606090].

простая форма асимптотик теории при t → ±∞, ко-

торая соответствует ОТО с обычным безмассовым

5. P. Creminelli, A. Nicolis, and E. Trincherini, JCAP

скалярным полем. Преимущество простого асимп-

1011, 021 (2010) [arXiv:1007.0027 [hep-th]].

тотического поведения становится очевидным, ес-

ли рассматривать описанные сценарии с точки зре-

6. A. Borde, A. H. Guth, and A. Vilenkin, Phys. Rev.

Lett. 90, 151301 (2003) [gr-qc/0110012].

ния их возможного использования в реалистичных

моделях ранней Вселенной. Действительно, модели

7. A. Borde and A. Vilenkin, Int. J. Mod. Phys. D 5,

используют специфическую способность галилеонов

813 (1996) [gr-qc/9612036].

безопасно нарушать NEC/NCC, что делает возмож-

ным отскок или фазу генезиса, и одновременно избе-

8. F. Finelli and R. Brandenberger, Phys. Rev. D 65,

гают появления экзотической, нестандартной мате-

103522 (2002) [hep-th/0112249].

664

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Космологические решения с отскоком и генезисом.. .

В. А. Белинский, Е. М. Лифшиц, И. М. Халатни-

27.

J. Ben Achour, M. Crisostomi, K. Koyama, D. Lan-

ков, УФН 102, 463 (1970); V. A. Belinsky, I. M. Kha-

glois, K. Noui, and G. Tasinato, JHEP 1612, 100

latnikov, and E. M. Lifshitz, Adv. Phys. 19, 525

(2016) [arXiv:1608.08135 [hep-th]].

(1970).

28.

D. Langlois, M. Mancarella, K. Noui, and F. Vernizzi,

10.

J. K. Erickson, D. H. Wesley, P. J. Steinhardt, and

JCAP 1705, 033 (2017) [arXiv:1703.03797 [hep-th]].

N. Turok, Phys. Rev. D 69, 063514 (2004) [hep-th/

29.

D. Langlois and K. Noui, JCAP 1602, 034 (2016)

0312009].

[arXiv:1510.06930 [gr-qc]].

11.

I. M. Khalatnikov and A. Y. Kamenshchik, Phys.

30.

D. Langlois, Int. J. Mod. Phys. D 28, 1942006 (2019)

Lett. B 553, 119 (2003) [gr-qc/0301022].

[arXiv:1811.06271 [gr-qc]].

12.

J. Khoury, B. A. Ovrut, P. J. Steinhardt, and

31.

A. De Felice, D. Langlois, S. Mukohyama, K. Noui,

N. Turok, Phys. Rev. D

64,

123522

(2001)

and A. Wang, Phys. Rev. D 98, 084024 (2018) [arXiv:

[hep-th/0103239]; E. I. Buchbinder, J. Khoury, and

1803.06241 [hep-th]].

B. A. Ovrut, Phys. Rev. D

76,

123503

(2007)

[hep-th/0702154].

32.

J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 48, 3641 (1993)

[gr-qc/9211017].

13.

В. А. Рубаков, УФН 184, 137 (2014) [V. A. Ru-

bakov, Phys. Usp. 57, 128 (2014)] [arXiv:1401.4024

33.

D. Bettoni and S. Liberati, Phys. Rev. D 88, 084020

(2013) [arXiv:1306.6724 [gr-qc]].

[hep-th]].

34.

J. Ben Achour, D. Langlois, and K. Noui, Phys. Rev.

14.

F. J. Tipler, Phys. Rev. D 17, 2521 (1978).

D 93, 124005 (2016) [arXiv:1602.08398 [gr-qc]].

15.

A. A. Starobinsky, Sov. Astron. Lett. 4, 82 (1978).

35.

M. Crisostomi, M. Hull, K. Koyama, and G. Tasinato,

JCAP 1603, 038 (2016) [arXiv:1601.04658 [hep-th]].

16.

T. Kobayashi, arXiv:1901.07183 [gr-qc].

36.

T. Qiu, J. Evslin, Y. F. Cai, M. Li, and X. Zhang,

17.

A. Nicolis, R. Rattazzi, and E. Trincherini, Phys. Rev.

JCAP 1110, 036 (2011) [arXiv:1108.0593 [hep-th]].

D 79, 064036 (2009) [arXiv:0811.2197 [hep-th]].

37.

D. A. Easson, I. Sawicki, and A. Vikman, JCAP

18.

C. Deffayet, G. Esposito-Farese, and A. Vikman,

1111, 021 (2011) [arXiv:1109.1047 [hep-th]].

Phys. Rev. D 79, 084003 (2009) [arXiv:0901.1314

[hep-th]].

38.

M. Osipov and V. Rubakov, JCAP 1311, 031 (2013)

[arXiv:1303.1221 [hep-th]].

19.

C. Deffayet, S. Deser, and G. Esposito-Farese, Phys.

Rev. D 80, 064015 (2009) [arXiv:0906.1967 [gr-qc]].

39.

Y. F. Cai, D. A. Easson, and R. Brandenberger,

JCAP 1208, 020 (2012) [arXiv:1206.2382 [hep-th]].

20.

C. Deffayet, X. Gao, D. A. Steer, and G. Zahariade,

Phys. Rev. D 84, 064039 (2011) [arXiv:1103.3260

40.

L. Battarra, M. Koehn, J. L. Lehners, and B. A. Ov-

[hep-th]].

rut, JCAP

1407,

007

(2014)

[arXiv:1404.5067

[hep-th]].

21.

G. W. Horndeski, Int. J. Theor. Phys. 10, 363 (1974).

41.

T. Qiu and Y. T. Wang, JHEP 1504, 130 (2015)

22.

M. Zumalacárregui and J. Garc´ıa-Bellido, Phys. Rev.

[arXiv:1501.03568 [astro-ph.CO]].

D 89, 064046 (2014) [arXiv:1308.4685 [gr-qc]].

42.

A. Ijjas and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 117,

121304 (2016) [arXiv:1606.08880 [gr-qc]].

23.

J. Gleyzes, D. Langlois, F. Piazza, and F. Vernizzi,

Phys. Rev. Lett. 114, 211101 (2015) [arXiv:1404.6495

43.

A. Ijjas and P. J. Steinhardt, Phys. Lett. B 764, 289

[hep-th]].

(2017) [arXiv:1609.01253 [gr-qc]].

24.

J. Gleyzes, D. Langlois, F. Piazza, and F. Vernizzi,

44.

L. Perreault Levasseur, R. Brandenberger, and

JCAP

1502,

018

(2015)

[arXiv:1408.1952

A. C. Davis, Phys. Rev. D 84, 103512 (2011) [arXiv:

[astro-ph.CO]].

1105.5649 [astro-ph.CO]].

25.

D. Langlois and K. Noui, JCAP 1607, 016 (2016)

45.

Z. G. Liu, J. Zhang, and Y. S. Piao, Phys. Rev. D 84,

[arXiv:1512.06820 [gr-qc]].

063508 (2011) [arXiv:1105.5713 [astro-ph.CO]].

26.

M. Crisostomi, K. Koyama, and G. Tasinato, JCAP

46.

Z. G. Liu and Y. S. Piao, Phys. Lett. B 718, 734

1604, 044 (2016) [arXiv:1602.03119 [hep-th]].

(2013) [arXiv:1207.2568 [gr-qc]].

665

В. Е. Волкова, С. А. Миронов, В. А. Рубаков

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

47.

K. Hinterbichler, A. Joyce, J. Khoury, and

58.

Y. Cai, Y. Wan, H. G. Li, T. Qiu, and Y. S. Piao,

G. E. J. Miller, JCAP 1212, 030 (2012) [arXiv:1209.

JHEP 1701, 090 (2017) [arXiv:1610.03400 [gr-qc]].

5742 [hep-th]].

59.

P. Creminelli, D. Pirtskhalava, L. Santoni, and

48.

S. Nishi and T. Kobayashi, JCAP 1503, 057 (2015)

E. Trincherini, JCAP 1611, 047 (2016) [arXiv:1610.

[arXiv:1501.02553 [hep-th]].

04207 [hep-th]].

49.

S. Nishi and T. Kobayashi, Phys. Rev. D 95, 064001

60.

R. Kolevatov, S. Mironov, N. Sukhov, and V. Volkova,

(2017) [arXiv:1611.01906 [hep-th]].

JCAP 1708, 038 (2017) [arXiv:1705.06626 [hep-th]].

50.

Y. A. Ageeva, O. A. Evseev, O. I. Melichev, and

61.

Y. Cai and Y. S. Piao, JHEP 1709, 027 (2017) [arXiv:

V. A. Rubakov, arXiv:1810.00465 [hep-th].

1705.03401 [gr-qc]].

51.

P. Creminelli, K. Hinterbichler, J. Khoury, A. Nicolis,

62.

A. Ijjas, JCAP 1802, 007 (2018) [arXiv:1710.05990

and E. Trincherini, JHEP 1302, 006 (2013) [arXiv:

[gr-qc]].

1209.3768 [hep-th]].

63.

S. Mironov, V. Rubakov, and V. Volkova, JCAP

52.

D. A. Easson, I. Sawicki, and A. Vikman, JCAP

1810, 050 (2018) [arXiv:1807.08361 [hep-th]].

1307, 014 (2013) [arXiv:1304.3903 [hep-th]].

64.

S. Mironov, V. Rubakov, and V. Volkova, arXiv:1905.

53.

M. Libanov, S. Mironov, and V. Rubakov, JCAP

06249 [hep-th].

1608, 037 (2016) [arXiv:1605.05992 [hep-th]].

65.

T. Kobayashi, M. Yamaguchi, and J. Yokoyama,

54.

R. Kolevatov and S. Mironov, Phys. Rev. D 94,

Progr. Theor. Phys. 126, 511 (2011) [arXiv:1105.5723

[hep-th]].

123516 (2016) [arXiv:1607.04099 [hep-th]].

55.

T. Kobayashi, Phys. Rev. D 94, 043511 (2016) [arXiv:

66.

N. Arkani-Hamed, H. C. Cheng, M. A. Luty, and

S. Mukohyama, JHEP 0405, 074 (2004) [hep-th/

1606.05831 [hep-th]].

0312099].

56.

S. Akama and T. Kobayashi, Phys. Rev. D 95, 064011

67.

D. A. Dobre, A. V. Frolov, J. T. G. Ghersi, S. Rama-

(2017) [arXiv:1701.02926 [hep-th]].

zanov, and A. Vikman, JCAP 1803, 020 (2018), doi:

57.

S. Mironov, Universe 5, 52(2) (2019) doi:10.3390/

10.1088/1475-7516/2018/03/020 [arXiv:

1712.10272

universe5020052.

[gr-qc]].

666