ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 4 (10), стр. 689-699

ЗАДАЧА ЛАНДАУ - ХАЛАТНИКОВА В

РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

А. М. Камчатнов^*

Институт спектроскопии Российской академии наук

108840, Троицк, Москва, Россия

Поступила в редакцию 27 мая 2019 г.,

после переработки 27 мая 2019 г.

Принята к публикации 28 мая 2019 г.

Предложен альтернативный способ решения задачи Ландау - Халатникова об одномерной стадии расши-

рения горячей адронной материи, образующейся при столкновениях высокоэнергичных частиц или атом-

ных ядер. Решение уравнений релятивистской гидродинамики методом Римана дает новое представление

для потенциала Халатникова, в котором явным образом соблюдается симметрия возникающего течения

относительно отражения в центральной плоскости начального распределения материи. Получены новые

точные соотношения, описывающие эволюцию плотности энергии в центре распределения и движение

границ между общим решением и волнами разрежения. В приближении Ландау найдены распределения

частиц по энергиям и быстротам, включающие в себя ранее неисследованные предэкспоненциальные

множители.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию И. М. Халатникова

DOI: 10.1134/S0044451019100109

а ось x направить по нормали к диску, то уравне-

ния релятивистской гидродинамики упрощаются в

предположении об ультрарелятивистских скоростях

1. ВВЕДЕНИЕ

v течения (c-v ≪ c, c — скорость света). Ландау на-

В 1950 г. Ферми предположил [1, 2], что при

шел асимптотическое решение этих уравнений при

столкновениях высокоэнергичных частиц образует-

ln(t/l) ≫ 1, ln[(ct-x)/l] ≫ 1 с логарифмической точ-

ся такое большое число новых частиц, что их дли-

ностью, что позволило ему дать оценку основных

на свободного пробега становится много меньше об-

параметров течения. В последующие годы теория

разующегося облака ядерной (адронной) материи.

Ландау послужила основой теории множественного

В результате в этом облаке быстро устанавливает-

рождения частиц при столкновениях ускоренных до

ся тепловое равновесие и, например, распределение

ультрарелятивистских скоростей элементарных час-

вылетающих из облака частиц по энергиям можно

тиц и атомных ядер и получила в основном экспери-

описать с помощью формул статистической механи-

ментальные подтверждения (см., например, [5, 6]).

ки. Вскоре Померанчук [3] обратил внимание на то,

Точное решение для одномерной стадии течения

что образующаяся материя расширяется с реляти-

было получено Халатниковым в работе [7]. Рассмот-

вистскими скоростями и конечные частицы образу-

ренную им постановку этой задачи можно сформу-

ются, когда температура в данной точке становится

лировать следующим образом. Пусть в начальный

порядка их массы. В работе [4] Ландау указал на то,

момент времени ядерная материя занимает в про-

что при столкновениях ультрарелятивистских час-

странстве слой в области -l ≤ x ≤ l и имеет темпе-

тиц возникающее облако ядерной материи в силу

ратуру T₀ ≫ mc², где m — характерная масса обра-

лоренцева сокращения длины имеет сначала форму

зующих материю адронов (скажем, пионов). При та-

тонкого диска, и поэтому начальная стадия течения

ких ультрарелятивистских температурах естествен-

имеет преимущественно одномерный характер. Ес-

но предполагать выполняющимся уравнение состоя-

ли обозначить начальную толщину диска через 2l,

ния

^* E-mail: kamch@isan.troitsk.ru

p = ε/3,

(1)

689

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

где p — давление и ε — плотность энергии. Такому

тодом было получено решение задачи о расшире-

уравнению состояния отвечает скорость звука [8]

нии бозе-эйнштейновского конденсата при выключе-

√

нии ловушки с прямоугольным потенциалом в виде

∂p

c_s = c

√ ,

(2)

«ящика». Найденная в настоящей работе форма ре-

∂ε

шения задачи Ландау - Халатникова явным образом

не зависящая от параметров среды. На самой на-

отражает симметрию течения. С его помощью по-

чальной стадии расширения слоя от его краев по-

лучено распределение по быстротам возникающих

бегут навстречу друг другу автомодельные волны

частиц и найдены точные соотношения, описываю-

разрежения, центрированные в точках x = ±l. В мо-

щие температуру в центре распределения и траек-

√

мент t_c = l/c_s =

3l/c они столкнутся в центре рас-

тории движения краев расширяющегося облака ма-

пределения материи в точке x = 0, после чего меж-

терии. Проведено сравнение двух форм решения,

ду ними образуется область общего решения уравне-

подтверждающее их эквивалентность.

ний релятивистской гидродинамики, граничащая на

своих краях с волнами разрежения. Таким образом,

общее решение должно удовлетворять граничным

2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА

условиям, вытекающим из требования его «сшивки»

с волнами разрежения. Халатников доказал [7] важ-

Начиная с этого раздела, для упрощения записи

ную теорему о том, что одномерное релятивистское

формул будем пользоваться системой единиц, в ко-

течение всегда является потенциальным, и с помо-

торой скорость света c и начальная температура ма-

щью преобразования годографа свел уравнение для

терии в слое T₀ равны единице. Здесь мы изложим

потенциала к линейному дифференциальному урав-

кратко основные факты из релятивистской гидро-

нению второго порядка с постоянными коэффици-

динамики, чтобы ввести необходимые определения

ентами. Это уравнение, часто называемое в контек-

и нужные нам соотношения теории.

сте релятивистской гидродинамики уравнением Ха-

латникова, математически эквивалентно телеграф-

ному уравнению, которое в случае задач с началь-

2.1. Основные уравнения

ными условиями обычно решается с помощью пре-

образования Лапласа [9]. Халатников с помощью ис-

Как известно [8, 18], уравнения релятивистской

кусного использования этого метода получил точ-

гидродинамики содержатся в законах сохранения

ное решение, удовлетворяющее требуемым гранич-

релятивистского течения, которые в случае одно-

ным условиям, и показал, что оно воспроизводит в

мерного течения имеют вид

соответствующем пределе асимптотическое решение

Ландау (см. также работу [10]). Более подробное ис-

∂T⁰⁰

∂T⁰¹

∂T¹¹

= 0,

(3)

следование решения Халатникова было затем прове-

∂t

∂x

∂t

∂x

дено в ряде последующих работ [11-13].

Несмотря на изящество решения Халатникова,

где компоненты тензора энергии-импульса T^ik рав-

оно найдено в такой форме, в которой не соблю-

ны

дается явным образом симметрия течения относи-

T⁰⁰ = (ε + p)u⁰u⁰ - p, T⁰¹ = (ε + p)u⁰u¹,

тельно отражения в плоскости x = 0, что затрудня-

(4)

ет в некоторых отношениях его исследование. Кро-

T¹¹ = (ε + p)u¹u¹ + p,

ме того, избранный в работе [7] операторный ме-

тод решения уравнения Халатникова применим, по-

uⁱ — вектор 4-скорости

видимому, лишь к системам с постоянной скоростью

(

)

звука и не обобщается на другие задачи, когда урав-

(u⁰, u¹) =

√

= (ch y, sh y),

(5)

нение для потенциала течения на плоскости годо-

1-v²

графа, относящееся в общем случае к классу уравне-

ний Эйлера - Пуассона, имеет переменные коэффи-

и мы ввели быстроту y, связанную со скоростью те-

циенты. Поэтому в настоящей работе мы использу-

чения v соотношением v = th y, так что преобразова-

ем для решения задачи Ландау - Халатникова аль-

ние Лоренца сводится к гиперболическому повороту

тернативный метод Римана [14-16], применимый к

на «угол» y. После подстановки выражения (5) в (4)

более широкому классу уравнений состояния мате-

и с учетом определения скорости звука c2s = ∂p/∂ε

рии. В частности, в недавней работе [17] этим ме-

приходим к системе уравнений

690

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Задача Ландау- Халатникова в релятивистской гидродинамике

∂e

∂y

(ch² y + c2s sh² y)

+ 2(e + p)shy chy

2.2. Волны разрежения

∂t

∂e

∂y

Из уравнений (11), (12) мгновенно следуют ре-

+ (1+c2s) sh y ch y

+(e+p)(sh² y+ ch² y)

= 0,

∂x

шения для волн разрежения. Рассмотрим, напри-

∂e

∂y

мер, правый край начального распределения, распо-

(1 + c2s) sh y ch y

+ (e + p)(sh² y + ch² y)

∂t

ложенный при x = l. Поскольку в начальном состо-

∂e

∂y

+ (sh² y + c2s ch² y)

+ 2(e + p)shy chy

= 0.

янии материя покоится, а температура повсюду рав-

∂x

на единице, в начальном состоянии оба римановых

Характеристические скорости этой системы диффе-

инварианта равны нулю. До момента столкновения

√

ренциальных уравнений первого порядка,

t_c =

3l правая волна разрежения эволюционирует

независимо от левой и параметр l входит в соответ-

v±c_s

v_± =

(6)

ствующее решение в форме комбинации x - l. По-

1±vc_s

этому римановы инварианты в нем могут зависеть

имеют ясный физический смысл: скорость распро-

лишь от автомодельной переменной (x - l)/t. Тогда

странения сигнала равна сумме скорости течения

из (11) немедленно следует, что один из римановых

и скорости звука согласно релятивистскому зако-

инвариантов должен быть постоянным, а перемен-

ну сложения скоростей, причем звук может распро-

ная (x - l)/t должна равняться характеристической

страняться как по течению, так и против него. Не

скорости, соответствующей другому риманову инва-

составляет труда найти римановы инварианты, со-

рианту. В правой волне разрежения скорость тече-

ответствующие этим скоростям [8,18,19]:

ния положительна, т. е. y > 0, а температура падает

∫ε

при расширении материи, т. е. θ < 0. Следователь-

c_sdε

r_± = y ±

(7)

но, в правой волне разрежения должен оставаться

ε+p

постоянным риманов инвариант

что в случае ультрарелятивистского уравнения со-

√

r₊ = y +

3θ = 0.

(13)

стояния (1) дает

√

r± = y ±

3θ,

(8)

Тогда из соотношения

√

где мы ввели вместо температуры переменную θ =

x-l

v - 1/

= ln T и учли, что из уравнения состояния (1) сле-

=v_- =

√

(14)

1-v/

дует выражение для плотности энергии

находим распределение скорости течения

ε=T⁴.

(9)

√

Скорость течения и температура жидкости, выра-

3 (x - l)/t + 1

√

(15)

женные как функции от римановых инвариантов,

3 + (x - l)/t

равны

)

а из (9), (10) и (13) — распределение плотности энер-

⁽r₊ +r_-

v = thy = th

гии

(

)2/√3

)

(10)

√

⁽r₊ -r_-

1 - 1/

1 - (x - l)/t

T = e^θ = exp

√

ε=

√

(16)

1 + 1/

3 1 + (x - l)/t

Гидродинамические уравнения, записанные через

Граница с вакуумом, где ε → 0, движется вправо со

римановы инварианты, приобретают простой диаго-

скоростью света, что неудивительно, так как среда

нальный вид:

состоит из частиц с тепловыми скоростями, равны-

∂r_±

ми в нашем приближении скорости света. В глубь

+ v_±(r₊, r_-)

= 0,

(11)

∂t

∂x

покоящейся среды, на границе с которой ε = 1, вол-

где характеристические скорости

на распространяется со скоростью звука (x - l)/t =

√

= - 1/

3. Аналогичное решение точно так же стро-

th[(r₊ + r_-)/2] ± 1/

v_± =

√

(12)

ится для левой волны разрежения, зависящей от ав-

1 ± th[(r₊ + r_-)/2]/

томодельной переменной (x + l)/t. Вдоль нее посто-

√

также весьма просто выражаются через римановы

янен риманов инвариант r_- = y -

3θ, что соответ-

инварианты.

ствует отрицательной скорости течения с y < 0.

691

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

2.3. Уравнение Халатникова

Таким образом, если функция W (r₊, r_-) будет най-

дена, то переменные x, t будут выражены через ри-

После столкновения волн разрежения в момент

√

мановы инварианты:

t_c =

3l при x = 0 между ними образуется область

общего решения, вдоль которой изменяются с x и t

√

^{(ch y

⁾∂W

3e^-θ

√

+ shy

оба римановых инварианта r_±, и нахождение этого

∂r_-

решения является более сложной задачей.

⁽ ch y

⁾∂W},

Как показал Халатников [7], из законов сохране-

√

- shy

∂r₊

ния (3) следует уравнение

)

(20)

√

^{(sh y

∂W

3e^-θ

√

+ ch y

∂(T u¹)

∂(T u⁰)

∂r_-

= 0,

(17)

(

∂t

∂x

shy

⁾∂W^}

√

- ch y

∂r₊

означающее, что мы можем ввести такой потенциал

φ = φ(x,t), что

что даст решение задачи в неявной форме.

Пока что мы решили формально уравнение (17)

dφ = T ch y · dt - T sh y · dx.

введением потенциала W = W(r₊, r_-). Чтобы полу-

Вводя также переменные светового конуса x_± = t±x

чить уравнение для W , в качестве второго уравне-

ния релятивистской гидродинамики можно исполь-

и переходя от T, y к римановым инвариантам r_± в

качестве зависимых переменных, этот дифференци-

зовать закон сохранения энтропии, плотность кото-

ал можно переписать в виде

рой обозначим через σ [8]:

∂(σu⁰)

∂(σu¹)

dφ = A(r₊, r_-) dx_- + B(r₊, r_-) dx₊,

(18)

= 0.

(21)

∂t

∂x

где

Через римановы инварианты плотность энтропии

для жидкости с ультрарелятивистским уравнением

A(r₊, r_-) =

eθ+y =

состояния выражается формулой

(

)

(

)

]

^[1

[_√

]

exp

1+√

r₊+

1-√

r_-

(19)

σ=

T³ =

exp

(r₊ - r_-)

(22)

B(r₊, r_-) =

e^θ-y =

[

(

)

(

)

]

Умножая уравнение

(21)

на

якобиан

exp -

1-√

r₊-

1+√

r_-

∂(x, t)/∂(r₊, r_-) и используя формулы

(22) и

(10), после простых преобразований приходим к

Следуя Халатникову, мы делаем преобразование

уравнению

Лежандра

)

W = φ - Ax_- - Bx₊,

∂²W

⁽∂W

∂W

√

= 0.

(23)

∂r₊∂r_-

∂r₊

∂r_-

где переменные W, x_-, x₊ считаются функциями ри-

мановых инвариантов, что соответствует известно-

Записанное вместо r_± через независимые перемен-

му в газовой динамике преобразованию годографа

ные y, θ, оно было получено Халатниковым [7].

[8, 19]. В результате получаем

Математически оно эквивалентно известному теле-

[ (

)

(

)

]

графному уравнению, для решения которого име-

dW =

- 1+√

Ax_- +

1-√

Bx₊ dr+ +

ются хорошо разработанные математические мето-

ды [9, 15, 16]. Некоторые классы таких решений ис-

[

(

)

(

)

]

пользуются в теории множественного рождения час-

- 1-√

Ax_- +

1+√

Bx₊ dr_-,

тиц (см., например, [20, 21]). В случае задачи Лан-

дау - Халатникова о расширении слоя, где важную

так что

роль играют конкретные граничные условия, весьма

[ (

)

(

)

]

удобен, по-видимому, метод Римана, в котором ре-

- 1+√

Ax_- +

1-√

Bx₊

∂W,

∂r₊

шение сразу записывается через граничные условия

[

(

)

(

)

]

∂W

задачи. Мы обратимся к этому методу в следующем

- 1-√

Ax_- +

1+√

Bx₊

разделе.

∂r_-

692

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Задача Ландау- Халатникова в релятивистской гидродинамике



{(

)

∂W



√



∂r_-

+=0

[

(

)

]

× exp

√

r_-

(

)

[

(

)

]}

√

exp -

√

r_-

-l

-t

x_R



{(

)

(26)

x_L

l +t

∂W



1+√



∂r₊

r₊

r-=0

[

(

)

] (

)

× exp

1+√

r₊

+ 1-

√

[

(

)

]}

× exp -

√

r₊

Рис. 1. Зависимости римановых инвариантов r± от коор-

√

динаты x в фиксированный момент времени t > l

3; xL

Поскольку потенциал W определен с точностью до

и xR обозначают края общего решения, а -l - t и l + t —

аддитивной постоянной, мы можем задать его значе-

границы левой и правой волн разрежения с вакуумом

ние W (0, 0) = 0 в начале координат на плоскости го-

дографа (r₊, r_-). Тогда интегрирование уравнений

(26) дает окончательную форму граничных условий

3. ЗАДАЧА ЛАНДАУ - ХАЛАТНИКОВА

вдоль границ общего решения с волнами разреже-

ния:

(

)

3.1. Граничные условия

W (0, r_-) =

exp

√

Потенциал W, определяющий течение жидкости

(

)

(27)

формулами (20), должен удовлетворять уравнению

W (r₊, 0) = -

exp

√

(23), а также граничным условиям, следующим из

«сшивки» общего решения на его краях с волнами

разрежения. Если решить уравнения (20) относи-

3.2. Метод Римана

тельно производных ∂W/∂r_±, то после простых пре-

Итак, мы должны решить уравнение (23) с гра-

образований решение можно представить в виде

ничными условиями (27), заданными на характерис-

(

)

тиках r₊ = 0 и r_- = 0 этого уравнения. В своей осно-

(

)

√

∂W

e^θ

shy

th y - 1/

вополагающей работе [14] Риман дал следующий ме-

ch y -

√

√ t

∂r_-

1 - thy/

тод решения этой задачи. Если нас интересует зна-

(

)

(24)

(

)

√

чение функции W в точке P = (r₊, r_-) (см. рис. 2),

∂W

e^θ

shy

th y + 1/

ch y +

√

√ t

то мы проводим на плоскости годографа (r′+, r^′-) из

∂r₊

1 + thy/

точки P характеристики PA (r′+ = r+ = const)

и PB (r′- = r- = const), которые вместе с ха-

Графики зависимости римановых инвариантов от

рактеристиками AO и OB с известными значени-

координаты x в фиксированный момент времени t

ями W (r′+, 0) и W (0, r^′-) на них образуют замкну-

показаны на рис. 1. На правой границе общего реше-

тый контур C = P AOB на этой плоскости. Посколь-

ния в нуль обращается риманов инвариант r₊, а на

ку величины (r₊, r_-) обозначают координаты точ-

левой — риманов инвариант r_-, где x и t удовлетво-

ки «наблюдения» на плоскости годографа, мы вво-

ряют решениям в виде волн разрежения (см. (14)):

дим здесь обозначения (r′+, r^′-) для текущих коор-

динат точек вдоль указанного контура. Определим

√

на этой плоскости такой вектор (V, U), что интеграл

th y - 1/

∫

√

t = l, r₊ = 0,

(V dr′+ + Udr^′-) = 0 обращается в нуль, причем

1 - thy/

√

(25)

компоненты вектора (V, U) зависят как от функции

th y + 1/

W, удовлетворяющей уравнению (23), так и от дру-

√

t = -l, r_- = 0.

1 + thy/

гой функции R = R(r′+, r^′-; r₊, r_-), на которую мож-

но наложить подходящие условия, не изменяя при

Подстановка этих формул в (24) дает граничные

этом нулевое значение указанного интеграла. Риман

условия в виде

указал, что если в качестве таких условий потребо-

693

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

уравнение (23) для W , но теперь граничные условия

(29) оказываются настолько простыми, что функ-

ция R, называемая в этой теории функцией Римана,

находится в нашем случае без особого труда. По-

скольку уравнение состояния (1) аналогично нере-

лятивистскому изотермическому уравнению состоя-

ния Бойля - Мариотта p = c2sρ, в котором изотерми-

ческая скорость звука c_s также не зависит от плот-

ности газа ρ, фактически требуемую нам функцию

R нашел сам Риман [14], рассмотревший такой газ.

Для нашего случая релятивистской гидродинамики

она равна

]

^[ (r′+ - r₊) + (r_- - r^′-)

R(r′+, r^′-; r₊, r_-) = exp

√

(√

)

(r′+ - r₊)(r_- - r^′-)

×I₀

(33)

Рис. 2. Кривая римановых инвариантов r± на плоскости

годографа (r′+, r^′-)

где I₀(z) — функция Бесселя от мнимого аргумента

(см., например, [22]; в то время это обозначение еще

вать, чтобы функция R удовлетворяла, во-первых,

не было введено в науку, и Риман дал выражение

сопряженному уравнению, имеющему в нашем слу-

для I₀ в виде степенного ряда).

чае вид

Имея формулу Римана (31) и выражение для

)

∂²R

⁽∂R

∂R

√

= 0,

(28)

функции Римана (33), нетрудно получить решение

∂r′+∂r^′-

∂r′+

∂r^′

−

для потенциала W . Прежде всего заметим, что под-

во-вторых, граничным условиям

становка (32) в (31) и элементарное интегрирование

по частям с учетом W (0, 0) = 0 позволяют преобра-

∂R

√ =0

вдоль P B,

зовать формулу Римана к виду

∂r′+

(29)

∫

)

∂R

⁽∂W

√ =0

вдоль P A

W (P ) = - R

√

dr′+ +

∂r^′-

∂r′+

и, в-третьих, зафиксированному ее значению в точ-

∫

)

ке P ,

⁽∂W

+ R

√

dr^′-.

(34)

R(r₊, r_-; r₊, r_-) = 1,

(30)

∂r^′-

то значение W в точке P = (r₊, r_-) будет даваться

Подстановка сюда граничных выражений (27) для

выражением

W после простых преобразований дает

)

⁽r_- -r₊

W (P ) =

(RW )_A +

(RW )_B +

W (r₊, r_-) =

exp

√

∫O

∫

⎧

∫

(

)

(

)

+ V dr′+ + U dr^′-,

(31)

√

exp

√

^×⎩

(√

)

где A = (r₊, 0), B = (0, r_-), O = (0, 0) и U, V выра-

(r - r₊)r_-

жаются через граничные значения (27) формулами

×I₀

dr +

(

)

∂R

∂W

∫

(

)

(

)

U =

-R

√ ,

∂r′+

√

exp

-√

(

)

(32)

∂W

∂R

V =

-W

√ .

⎫

(√

)

∂r^′-

⎬

-r₊(r_- - r)

× I₀

(35)

Хотя, на первый взгляд, кажется, что решить урав-

^dr⎭

нение (28) для R ничуть не проще, чем исходное

694

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Задача Ландау- Халатникова в релятивистской гидродинамике

{

}

(

)₂

Вместе с формулами (20) это выражение определяет

xR(t) ≈ l

√

-1-4

√ -1

неявным образом зависимость римановых инвари-

(39)

антов r_± от x и t, откуда с помощью (10) мы находим

и зависимость физических величин от координаты и

√ - 1 ≪ 1.

времени. Полученное выражение для W несколько

Следовательно, в главном приближении эта граница

сложнее, чем аналогичное выражение для потенци-

движется на начальном этапе со скоростью звука.

ала в решении Халатникова [7] (см. ниже разд. 4),

В центре распределения при r_- = -r₊ ≡ r полу-

но оно инвариантно относительно преобразования

чаем

(

)

r+ → -r-, r- → -r+, соответствующего изменению

√

знака скорости течения, что означает симметрию те-

t≈l

3+r+

r²

чения относительно отражения в плоскости x = 0,

отсутствующую в выбранной Халатниковым форме

так что температура материи в этом месте убывает

решения задачи. Получим конкретные следствия из

сначала по закону

найденного решения.

(

)

(

)

T = exp

-√

≈1-

√ -1

3.3. Начальная стадия эволюции области

(

)₂

общего решения

√

-1

√ - 1 ≪ 1.

(40)

При малых временах t - t_c ≪ t_c после момента

√

столкновения t_c = l

3 волн разрежения римановы

3.4. Движение границ области общего

инварианты r_± малы по абсолютной величине и мы

решения

можем разложить производные ∂W/∂r_± по их сте-

Поскольку течение симметрично относительно

пеням:

плоскости x = 0, достаточно рассмотреть движение

(

)

∂W

r+ + r-

r²⁺

правой границы x_R(t), где r₊ = 0. Здесь значение

≈l

√

∂r₊

∂W/∂r_-|_r

нам уже известно из граничного усло-

+=0

)

(36)

∂W

⁽1

r₊ + r_-

r2-

вия (26), а вычисление аналогичного предела для

≈l

√

∂W/∂r₊ с помощью решения (35) проводится без

∂r_-

особого труда. В результате имеем (r = r_-)



(

)

Тогда из (20) следуют разложения



∂W



exp

√

(

)



∂r₊

5(r₊ - r_-)

r+=0

x ≈ l(r₊ + r_-)

√

[

(

)]

(

× ch

√

- 2exp

√

r- - r+



(

)

(41)

t≈l

(r²⁺ + r2-) -

(37)

∂W



exp

√



)

∂r_-

r+=0

r₊r_-

(

)

√

|r₊|, r_- ≪ 1.

× ch

√

В момент зарождения общего решения при r₊ =

√

Подстановка этих формул в (20) дает параметричес-

= r_- = 0, как и должно быть, имеем t = l

3, и

кий закон движения правой границы:

при дальнейшей эволюции в центре распределения

[

(

)(_√

r^)]

при x = 0 всегда r₊ = -r_- (см. рис. 1).

xR = l 1 + exp

√

3 sh

- ch

На правой границе между общим решением и

(

(42)

)(_√

волной разрежения имеем r₊ = 0 и получаем закон

r⁾

t = lexp

√

3 ch

- sh

движения этой границы в параметрической форме:

(

)

При малых r ≪ 1 эти формулы сводятся, естествен-

x_R ≈ lr

√

но, к (38), а при асимптотически больших временах

(

)

t/l ≫ 1, когда r ≫ 1, получаем

√

(38)

√

)(2-√3)/(2+√3)

t≈l

r²

r ≪ 1,

(_√

)(

x ≈ l+t-l

3+1

√

3-1 l

(43)

т. е., с той же точностью,

t≫l.

695

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

= T⁴ = e4θ убывает с ростом собственного времени

по квадратичному закону:

(

√ )(

)₂

e≈

(45)

x_R(t)

3.5. Эволюция плотности энергии в центре

распределения

В центре распределения при x = 0, где r_- =

≡ r, вторая формула (20) сводится после

= -r₊

простых преобразований к

(

)

√

t=l

3 exp

√

⎧

(

)∫r

(

)

⎨

r^′

√

^×⎩^exp

(√

)

}

(

)

r^′

r(r - r^′)

× exp

-√

I₀

dr^′

(46)

Рис. 3. Сплошной линией показано движение правой гра-

ницы xR(t) согласно точным соотношениям (42) с l = 1,

что определяет зависимость параметра r от времени

√

а штриховой линией — согласно асимптотической форму-

t. Поскольку в этой точке T = exp(θ) = exp(-r/

3 ),

ле (43). Пунктирными линиями показано движение границ

тем самым мы находим зависимость температуры и

правой волны разрежения: ее правый край распространя-

плотности энергии от времени в центре распределе-

ется в вакуум со скоростью света, а левый край в глубь

√

ния. При асимптотически больших временах t ≫ l и

материи со скоростью звука 1/

3 до момента столкнове-

r ≫ 1, учитывая, что интеграл в (46) сходится при

ния с левой волной разрежения в центре распределения

√

r′ ∼ 1 благодаря наличию множителя exp(-r′/

материи при x = 0

в подынтегральном выражении, мы можем исполь-

зовать для функции Бесселя асимптотическое при-

ближение [22]

Как мы видим, хотя эта граница движется со ско-

e^z

ростью, близкой к скорости света, она отстает от

I₀(z) ≈

√

(47)

2πz

правой границы волны разрежения с вакуумом по

так что

степенному закону. Однако относительная величи-

(

) (

)

на области, занимаемой волной разрежения, со вре-

r^′

(√

)

exp

√

exp

√

менем уменьшается. Легко выписать аналогичные

r(r - r^′)

I₀

≈

√

формулы для движения левой границы. Общая кар-

√

(48)

2πr/

тина движения краев волн разрежения и общего ре-

шения показана на рис. 3.

r ≫ r^′ ∼ 1,

Изменение плотности энергии на границе обла-

и заменить верхний предел интегрирования на бес-

сти общего решения естественно искать в зависимо-

конечность. В результате получаем

сти от собственного времени t по часам, движущим-

√

ся вместе с этой границей:

t≈l

e-3θ,

|θ| ≫ 1.

(49)

3π(-θ)

∫^t

∫

√

dt/dr

1-v² =

dr ≈

Это уравнение можно решить с логарифмической

ch(r/2)

√

точностью относительно -θ,

√

(

)

⁽t⁾

3+1

-θ ≈

≈l

exp

√

(44)

т. е.

(

)1/6 (

)1/3

где t = t(r) выражается второй формулой (42) и

√

T ≈

(50)

r = -2

3θ. Следовательно, плотность энергии ε =

π ln(t/l)

696

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Задача Ландау- Халатникова в релятивистской гидродинамике

а плотность энергии убывает со временем как

10⁴

)4/3

⁽2l

ε=T⁴ ≈

t≫l.

(51)

[2π ln(t/l)]2/3

l = 1, t = 1000

Закон ε ∝ (l/t)4/3 был получен Ландау [4] в приб-

лижении, не учитывающем логарифмически завися-

щих от времени коэффициентов.

3.6. Течение вдали от границ общего

решения с волнами разрежения

При больших временах температура материи

500

1000

сильно уменьшается по сравнению с ее начальным

значением, так что |θ| = | ln T | ≫ 1. Если нас инте-

Рис. 4. Сплошной линией показано распределение энергии

ресует течение вдали от границ общего решения, на

ε(x) при x > 0 и t = 1000 при длине начального распреде-

которых один из римановых инвариантов обраща-

ления l = 1 для асимптотического решения, определяемо-

го функцией (52) и волной разрежения. Штриховая линия

ется в нуль, то можно считать, что оба римановых

√

соответствует приближению Ландау, когда предэкспонен-

инварианта, r_± = y ±

3θ, велики по абсолютной ве-

циальный множитель в (52) заменен на постоянный коэф-

личине, и использовать асимптотическую формулу

фициент, подобранный так, чтобы решения совпадали при

(47) для вычисления интегралов в (35), снова заме-

x=0

няя пределы интегрирования на r₊ → -∞, r_- → ∞.

В результате приходим к простой формуле для W :

Зафиксировав, допустим, r₊ в указанном интервале,

√

1/4

мы находим при заданном t соответствующее зна-

(-r₊r_-)

W (r₊, r_-) ≈ l · 33/4

√

чение r_- из второго уравнения (20), и тогда соот-

π r_- -r₊ +4

-r₊r_-

[(√

)₂]

ветствующее значение x определяется первой фор-

√

− +

-r₊

мулой (20). Таким образом, мы находим значения

× exp

√

(52)

римановых инвариантов при фиксированном t в за-

висимости от x, что определяет распределения фи-

Если опустить предэкспоненциальный множитель,

зических величин согласно формулам (10). Общий

то мы возвращаемся к решению, найденному Лан-

характер поведения этого решения выяснен в ра-

дау [4, 10]. При вычислении производных в главном

ботах [4,10], где показано, что распределение энер-

приближении достаточно дифференцировать лишь

гии находится в ультрарелятивистской области те-

показатель экспоненты, так как при этом не пони-

чения, тогда как плотность числа частиц сосредо-

жается степень предэкспоненциального множителя:

точена при относительно малых скоростях течения.

(

)1/4

∂W

31/4

√r_- +√-r₊

Мы не будем останавливаться на деталях и отметим

≈ -l√

√

∂r₊

2π

-r₊ r_--r₊+4

-r₊r_-

лишь, что теперь распределения физических вели-

[(√

)₂]

√

чин могут быть найдены с учетом предэкспоненци-

− +

-r₊

× exp

√

ального множителя. Пример распределения плотно-

сти энергии показан на рис. 4. Время эволюции t =

(53)

∂W

31/4

⁽-r₊ )1/4

√r_- +√-r₊

= 1000 выбрано большим для того, чтобы прибли-

≈l√

√

жение Ландау имело достаточно хорошую точность

∂r_-

2π r-

r--r++4

-r₊r_-

]

при значениях римановых инвариантов r_± ∼ 5. Од-

[(√

√

)₂

r- +

-r₊

нако при не слишком больших временах роль пред-

× exp

√

экспоненциального множителя становится более су-

щественной, что сказывается на распределении из-

Подстановка этих формул в (20) определяет зависи-

меряемого в эксперименте распределения частиц по

мость римановых инвариантов от x и t. Интервалы

быстротам.

изменения r₊, r_- при фиксированном значении вре-

мени t находим из второй формулы (42):

3.7. Распределение по быстротам

- r_m ≲ r₊ ≲ 0,

0≲r_- ≲r_m,

√

(

)

(54)

Экспериментально наблюдаемой величиной яв-

rm ≈

√

ляется распределение частиц по быстротам y [23], и

3-1

697

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

√

обычно проводится сравнение с гауссовым распреде-

θ-

θ² - y²/3

dN = G(-θ)

√

лением, следующим из приближения Ландау. Здесь

(θ² - y²/3)1/4(θ - 2

θ² - y²/3)

[

√

]

мы приведем более точные формулы, учитывающие

y²

предэкспоненциальный множитель.

× exp θ + θ² -

dy,

(57)

Согласно Ландау [4], распределение числа час-

тиц воспроизводит распределение энтропии. Поэто-

где G(-θ) — нормировочный множитель, определя-

му распределение по быстротам пропорционально

∫-√3θ

√

емый условием

dN = 1, и θ = ln T соответ-

3θ

распределению энтропии в каждом элементе мате-

ствует температуре распада ядерной материи на от-

рии в момент, когда она превращается в реальные

дельные частицы. Фактически G(-θ) зависит от -θ

адроны при температуре порядка их массы [11]. В

слабо, изменяясь от значения G(3) ≈ 0.3597 до пре-

√

собственной системе координат элемента жидкости

дельного значения G(∞) = (1/2)

3/(2π) ≈ 0.3455

количество энтропии в слое с толщиной dx^′ рав-

всего на 4 %. При -θ ≫ 1, y ≪ |θ| это распределе-

но σdx′ = σ(u0)′dx′, где (u0)′ = 1 — временная

ние превращается в гауссово:

(

)

компонента 4-скорости. Это является произведени-

y²

dN =

√

exp

(58)

ем временной компоненты вектора потока энтропии

6π(-θ)

6(-θ)

на пространственную компоненту 4-вектора dxⁱ. Ве-

в согласии с экспериментом при очень высоких энер-

личину (u⁰)^′dx^′ в двумерной геометрии Минковс-

гиях столкновения ядер [23]. Однако при более уме-

кого можно считать элементом «площади» A′01 =

ренных энергиях следует, по-видимому, пользовать-

= (u⁰)^′dx^′ - (u¹)^′dt^′, где (u¹)^′ = 0 в собственной си-

ся более точной формулой (57).

стеме координат. Эта компонента тензора инвари-

антна относительно преобразований Лоренца, и по-

4. СРАВНЕНИЕ С РЕШЕНИЕМ В ФОРМЕ

этому для дифференциала энтропии в произвольной

ХАЛАТНИКОВА

системе координат получаем выражение

В работе [7] Халатников пользуется системой ко-

dS = σ(u⁰dx - u¹dt).

(55)

ординат, в которой правый край начального распре-

деления материи находится в точке x = 0 (а не x = l,

В системе центра инерции координаты t и x связаны

как в нашей работе). При этом для связи между x, t

с параметрами θ, y течения формулами

и переменными θ, y по-прежнему используются фор-

мулы (56) без трансляционной замены x → x - l.

(

)

∂W

Вследствие этого полученное им выражение для по-

t = e^-θ shy

- ch y

∂y

∂θ

тенциала,

(

)

(56)

∫

√

(√

)

∂W

x = e^-θ chy

- shy

^W(θ, y) = l

3e^θ

e2zI₀

z² - y²/3 dz,

(59)

∂y

∂θ

√

которые получаются из (20) в результате замены (8).

не инвариантно относительно изменения знака ско-

Подставляя их в (56) и учитывая, что σ ∝ T³ = e3θ,

рости (y → -y), но зато приобретает более простую

u⁰ = chy, u¹ = shy, находим

форму по сравнению с нашим выражением (35). За-

писанное через римановы инварианты, решение в

)

}

^{(∂²W

∂W

⁽∂²W

∂W

форме Халатникова имеет вид

dS ∝ e2θ

dy+

dθ

(

)

∂y²

∂θ

∂θ∂y

∂y

√

r+ - r-

^W(r₊, r_-) = l

3 exp

√

В момент образования свободных частиц изменени-

√

(r--∫+)/2

(√

)

ем температуры можно пренебречь, а их распреде-

(r₊ - r_-)²

ление по быстротам повторяет распределение энтро-

e2zI0

z² -

dz.

(60)

√

пии:

(r-+r+)/2

)

⁽∂²W

∂W

dN ∝ dS ∝ e2θ

dy,

Очевидно, что функции W в (35) и

W в (60) не

∂y²

∂θ

совпадают друг с другом, имея разные свойства

где dN — число частиц с быстротами в интервале

симметрии. Однако получаемые из них физические

(y, y +dy). В асимптотической области вдали от гра-

следствия, конечно, одинаковы. Например, на пра-

√

ниц, на которых y = ±

3θ, простое вычисление да-

вой границе общего решения с волной разрежения

√

ет

при y = -

3θ находим значения производных

698

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Задача Ландау- Халатникова в релятивистской гидродинамике



∂W

И. Я. Померанчук, ДАН СССР 78, 889 (1951).



= -le^-θ,

∂y



√

y=-

3θ

Л. Д. Ландау, Изв. АН СССР, сер. физ. 17, 51



(61)



(1953).

∂W

√



= -l

3e^-θ,

∂θ



√

C.-Y. Wong, Introduction to High-Energy Heavy-Ion

y=-

3θ

Collisions, World Sci., Singapore (1994).

и их подстановка в (56) дает закон движения грани-

W. Florkowski, Phenomenology of Ultra-Relativistic

цы, совпадающий с (42) с учетом переноса начала

Heavy-Ion Collisions, World Sci., Singapore (2010).

координат в точку x = l. В центре распределения

√

при y = 0 формула (59) дает (r = -

3θ)

И. М. Халатников, ЖЭТФ 27, 529 (1954).

√

t=l

3×

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика,

⎧

√

⎫

Физматлит, Москва (2006).

⎨

)

(

∫

⎬

⁽ 2r

√

I₀

√

e2zI₀(z)dz

(62)

Б. ван дер Поль, Х. Бреммер, Операционное ис-

^×⎪⎩exp

⎭

числение на основе двустороннего преобразования

Лапласа, Изд-во иностр. лит., Москва (1952).

что отличается по форме от (46), но тождествен-

10.

С. З. Беленький, Л. Д. Ландау, УФН 56, 309

ность этих двух выражений легко проверить чис-

(1955).

ленно.

Следует отметить, что вычислить предэкспонен-

11.

Г. А. Милехин, ЖЭТФ 35, 1185 (1958).

циальный множитель простой подстановкой асимп-

12.

S. Chadha, C. S. Lam, and Y. C. Leung, Phys. Rev.

тотической формулы (47) в (60) невозможно, так

D 10, 2817 (1974).

как теперь в подынтегральном выражении отсутст-

13.

C.-Y. Wong, A. Sen, J. Gerhard, G. Torrieri, and

вует множитель, обеспечивающий сходимость инте-

K. Read, Phys. Rev. C 90, 064907 (2014).

грала при конечных z. Таким образом, каждое пред-

ставление имеет свои преимущества при исследова-

14.

B. Riemann, Abh. Ges. Wiss. Göttingen,

нии характерных свойств течения.

Math.-phys. Kl. 8,

(1860)

[Б. Риман, Сочи-

нения, ОГИЗ-ГТТИ, Москва-Ленинград (1948),

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

с. 376].

В этой работе получена альтернативная форма

15.

А. Зоммерфельд, Дифференциальные уравнения в

точного решения задачи о расширении слоя материи

частных производных математической физики,

в релятивистской гидродинамике. Эта задача была

Изд-во иностр. лит., Москва (1950).

поставлена Ландау [4], и им было найдено ее асимп-

16.

Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов,

тотическое решение. Метод Римана [14, 15], при-

Уравнения в частных производных математиче-

мененный к уравнению Халатникова [7], позволяет

ской физики, Высшая школа, Москва (1970).

найти решение, удовлетворяющее граничным усло-

виям на границах с волнами разрежения. Хотя это

17.

S. K. Ivanov and A. M. Kamchatnov, Phys. Rev.

A 99, 013609 (2019).

решение физически эквивалентно решению Халат-

никова, его математическая форма обладает неко-

18.

A. M. Anile, Relativistic Fluids and Magneto-Fluids,

торыми преимуществами при исследовании асимп-

Cambridge Univ. Press, New York (1989).

тотического характера течения с учетом предэкспо-

19.

A. M. Kamchatnov,Nonlinear Periodic Waves and

ненциального множителя. В работе дано достаточно

Their Modulations, World Sci., Singapore (2000).

полное исследование основных параметров течения

во всем диапазоне его эволюции.

20.

G. Beuf, R. Peschanski, and E. N. Saridakis, Phys.

Rev. C 78, 064909 (2008).

ЛИТЕРАТУРА

21.

R. Peschanski and E. N. Saridakis, Nucl. Phys.

A 849, 147 (2011).

1. E. Fermi, Progr. Theor. Phys. 5, 570 (1950) [Э. Фер-

ми, Научные труды, т. II, Наука, Москва (1972),

22.

Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного

с. 485].

анализа, т. II, Физматлит, Москва (1963).

2. Э. Ферми, Элементарные частицы, Изд-во

23.

J. G. Bearden et al. (BRAHMS Collaboration), Phys.

иностр. лит., Москва (1953).

Rev. Lett. 94, 162301 (2005).

699