ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 4 (10), стр. 724-737

НЕЛИНЕЙНАЯ СИГМА-МОДЕЛЬ ФИНКЕЛЬШТЕЙНА:

ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ БЕСПОРЯДКА И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В ДВУМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ

И. С. Бурмистров^*

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 30 января 2019 г.,

после переработки 17 марта 2019 г.

Принята к публикации 18 марта 2019 г.

Представлен обзор недавних теоретических результатов, полученных в рамках подхода нелинейной сиг-

ма-модели Финкельштейна для описания двумерных взаимодействующих неупорядоченных электронных

систем. Рассмотрены следующие примеры: электронная система с двумя долинами, электроны в двой-

ной квантовой яме, электроны на поверхности трехмерного топологического изолятора, электроны со

сверхпроводящими корреляциями, целочисленный квантовый эффект Холла.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию И. М. Халатникова

DOI: 10.1134/S0044451019100158

к логарифмическим расходимостям при размернос-

ти d = 2. Обзоры недавних результатов по лока-

лизации Андерсона могут быть найдены в рабо-

1. ВВЕДЕНИЕ

тах [13, 14].

При низких температурах электрон-электронное

Постоянный интерес к неупорядоченным элект-

взаимодействие играет важную роль в локализации

ронным системам связан с явлением локализации

Андерсона. Неупругое электрон-электронное рассе-

Андерсона [1]. Наиболее удобный способ описы-

вать такое явление — это скейлинговая теория для

яние с малой передачей энергии (по сравнению с

температурой T) разрушает фазовую когерентность

кондактанса [2], которая предсказывает локализа-

цию всех одночастичных состояний при размернос-

на больших временах [15-17]. В дополнение к вре-

мени сбоя фазы τ_φ, электрон-электронное взаимо-

ти d ≤ 2 и существование перехода Андерсона для

действие приводит к логарифмическим по темпера-

d > 2. Эта скейлинговая теория была подтверждена

туре поправкам к кондактансу (при d = 2) из-за

прямым диаграмматическим вычислением кондак-

виртуальных процессов электрон-электронного рас-

танса в режиме слабого беспорядка [3,4]. Скейлинго-

сеяния [18, 19]. Интересно, что поправка к кондак-

вая теория позволила изучать переходы Андерсона с

тансу из-за электрон-электронного взаимодействия

помощью методов теории поля, которые были разви-

ты для описания критических явлений, в частности,

может быть другого знака по сравнению с поправ-

кой слабой локализации (интерференционной по-

низкоэнергетического эффективного действия и ре-

правкой). Это позволяет предположить существова-

нормализационной группы (см. [5, 6]). Для задачи

ние перехода металл-изолятор в размерности d =

о локализации Андерсона низкоэнергетическое эф-

= 2 при наличии электрон-электронного взаимо-

фективное действие — это нелинейная сигма-модель

действия. Экспериментальные указания существо-

(НЛСМ) [7-12]. Она описывает диффузионное дви-

вания такого перехода металл-изолятор были обна-

жение электронов на масштабах, больших длины

ружены в двумерной электронной системе на основе

свободного пробега, как взаимодействие диффузи-

Si-МОП-транзистора [20, 21].

онных мод (диффузонов и куперонов), что приводит

Первая попытка учесть электрон-электронное

^* E-mail: burmi@itp.ac.ru

взаимодействие в скейлинговой теории локализации

724

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Нелинейная сигма-модель Финкельштейна.. .

Андерсона была сделана в работе [22]. Несмотря

взаимодействующей неупорядоченной электронной

на то что теория этой работы была феноменоло-

системы в сильном магнитном поле представлены в

гической (и неверной из-за путаницы между тер-

разд. 5. Статья завершается обсуждением (разд. 6).

модинамической и локальной плотностями состоя-

ний), скейлинговая теория работы [22] содержала

2. ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ СПИНА И

важную идею: в присутствии взаимодействия скей-

МНОГОДОЛИННОСТИ ВО

линговая теория перехода металл-изолятор долж-

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

на быть двухпараметрической. Открытие было сде-

НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ

лано в работе Финкельштейна [23], где НЛСМ бы-

ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЕ

ла выведена из микроскопического гамильтониа-

на с учетом электрон-электронного взаимодейст-

В этом разделе будет рассмотрена взаимодей-

вия. С помощью ренормгруппового анализа этой

ствующая неупорядоченная двумерная электронная

так называемой нелинейной сигма-модели Финкель-

система с двумя долинами. Такая ситуация реа-

штейна (НЛСМФ) скейлинговая теория перехо-

лизуется в Si(100)-МОП-транзисторе, в квантовой

да металл-изолятор для d

> 2 была развита

яме SiO₂/Si(100)/SiO₂, в квантовой яме на основе

для случая наличия электрон-электронного взаимо-

n-AlAs и в графене (см. [33]). Для упрощения изло-

действия

[24-29]. Сильное электрон-электронное

жения мы предположим наличие слабого перпенди-

взаимодействие (например, кулоновское взаимодей-

кулярного магнитного поля B_⊥ ≳ max{1/τ_φ, T }/D,

ствие) оказывается релевантным (в смысле ренорм-

где D — коэффициент диффузии. Перпендикуляр-

группы) и меняет класс универсальности перехо-

ное магнитное поле подавляет купероны и оставля-

да по сравнению со случаем невзаимодействующих

ет диффузоны единственными низкоэнергетически-

электронов (см. [30, 31]).

ми диффузионными модами. Также будем предпо-

НЛСМФ позволяет описывать взаимодействие

лагать, что температура не слишком низкая, так что

низкоэнергетических (|E|, T ≲ 1/τ_tr, где τ_tr — транс-

можно пренебречь междолинным рассеянием (эф-

портное время упругого рассеяния) диффузионных

фект конечного темпа междолинного рассеяния об-

мод (диффузонов и куперонов) в присутствии бес-

суждается в работах [34,35]).

порядка и электрон-электронного взаимодействия.

НЛСМФ — это теория матричного поля Q, которая

2.1. Нелинейная сигма-модель

действует в репличном пространстве и пространстве

Финкельштейна

мацубаровских частот. Отметим, что НЛСМФ мо-

жет быть также сформулирована на келдышевском

В низкоэнергетическом описании взаимодейству-

контуре (см. [32]). Эрмитова матрица Q удовлетво-

ющих диффузонов в неупорядоченной двумерной

ряет нелинейному условию

электронной системе со спиновыми и долинны-

ми степенями свободы элементы матричного поля

Q²(r) = 1.

(1)

Q^αβmn(r) являются матрицами 4 × 4 в спиновом и

долинном пространствах. Действие НЛСМФ имеет

В зависимости от конкретной задачи элементы

следующий вид:

Q^αβmn(r) могут иметь дополнительную матричную

структуру и удовлетворять дополнительным огра-

S =S_σ +S_F.

(2)

ничениям. Греческие индексы α, β

= 1, 2, . . ., N_r

обозначают репличные индексы, а латинские индек-

Здесь первый член,

сы — это целые числа m, n, соответствующие мацу-

∫

σ_xx

баровским частотам ε_n = πT(2n + 1).

S_σ = -

dr tr(∇Q)²,

(3)

Статья организована следующим образом. В

разд. 2 представлены результаты для неупорядо-

описывает НЛСМ для невзаимодействующих элект-

ченной взаимодействующей двумерной электронной

ронов [7-11]. Затравочное значение σ_xx (в теоре-

системы, в которой проявляется взаимное влияние

тико-полевом смысле) равно проводимости Друде

спина и долинного индекса. В разд. 3 излагаются

σxx = 4πν∗D (в единицах e2/h). Здесь ν∗ = m∗/π —

результаты для взаимодействующих электронов на

термодинамическая плотность состояний. (Эффек-

грязной поверхности тонкой пленки топологическо-

тивная масса m_∗ включает ферми-жидкостные по-

го изолятора. В разд. 4 представлены результаты

правки.) Здесь и далее предполагается, что σ_xx ≫ 1.

для двумерной электронной системы со сверхпрово-

Электрон-электронное взаимодействие дает до-

дящими корреляциями. Результаты для двумерной

полнительный вклад в действие НЛСМ [23-26]:

725

И. С. Бурмистров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

⎡

∫

∑

создает трудности при вычислениях. Поэтому есте-

Γ_ab

S_F = -πT dr^⎣

tr I^αnt_abQ(r) ×

ственно ввести обрезку на размер матрицы. Будем

αn;ab

предполагать, что мацубаровские индексы ограни-

⎤

чены интервалом -N_M ≤ m, n ≤ N_M - 1, где N_M ≫

× tr I^α-nt_abQ(r) - 4z tr ηQ⎦ .

(4)

≫ 1. Конечно, в конце всех вычислений необходимо

взять предел N_M → ∞. Однако этот предел необхо-

димо корректно определить.

Здесь 16 матриц t_ab = τ_a ⊗ σ_b (a, b = 0, 1, 2, 3) —

Глобальные повороты Q матрицей exp(i χ),

генераторы группы SU(4). Матрицы Паули τ_a (σ_a),

∑

a = 0,1,2,3, действуют в пространстве долинных

Q(r) → e^iχQ(r)e^-iχ,

χ= χ^αnI^αn,

(6)

(спиновых) индексов. Величины Γ_ab — амплитуды

α,n

электрон-электронного взаимодействия. Структура

важны из-за своей связи с электрическим потенциа-

матрицы Γ_ab определяется из микроскопического

лом, постоянным в пространстве [38, 39]. Такой по-

вывода НЛСМФ. Удобно использовать следующую

тенциал может быть устранен калибровочным пре-

параметризацию: Γ_ab = zγ_ab. Здесь параметр z —

образованием электронных операторов. Для того

независимый заряд теории поля (2), который был

чтобы НЛСМФ (2) была согласована с калибровоч-

введен Фикельштейном в работе [23]. Этот дополни-

ной симметрией U(1), необходимо определить пре-

тельный заряд (в теоретико-полевом смысле) поз-

дел N_M → ∞ таким образом, что выполняются сле-

воляет сделать ренормгрупповой поток согласован-

дующие соотношения [38]:

ным с законом сохранения числа частиц. Параметр

z описывает нетривиальную перенормировку часто-

tr I^αnt_abe^iχQe^-iχ = tr I^αnt_abeiχ0 Qe-iχ0 +

ты при ренормгрупповом потоке. Затравочное зна-

+ 8in(χ_ab)^α-n,

чение z определяется термодинамической плотно-

∑

стью состояний: z⁽⁰⁾ = πν_∗/4. В процессе перенор-

tr ηe^iχQe^-iχ = tr ηQ +

in(χ_ab)^αn ×

(7)

мировки значение z становится зависящим от тем-

αn;ab

∑

пературы и определяет зависимость теплоемкости

× tr I^αnt_abQ - 4

n²(χ_ab)^αn(χ_ab)^α-n.

от T [36].

αn;ab

Затравочные значения параметров γ_ab могут

∑

Здесь χ₀ =_α χα0Iα0. Соотношения (7) гарантируют

быть связаны с ферми-жидкостными параметрами

наличие F-инвариантности НЛСМФ (т. е. инвари-

F_ab: γ(0)ab = -F_ab/(1 + F_ab). Здесь F_ab — нулевые уг-

антности относительно глобальных поворотов (6) с

ловые гармоники ферми-жидкостных параметров,

χ_ab = χδa0δb0) для случая кулоновского взаимодей-

которые обобщают хорошо известные синглетный

ствия, Γ₀₀ = -z.

(F_ρ) и триплетный (F_σ) ферми-жидкостные пара-

метры на случай SU(4)-симметрии. Они могут быть

оценены с помощью статически экранированного

2.3. Однопетлевые уравнения ренормгруппы

электрон-электронного взаимодействия (см. [37]).

Перенормировка НЛСМФ (2) может быть изу-

В присутствии кулоновского взаимодействия за-

чена пертурбативно в рамках разложения по степе-

травочное значение Γ₀₀ оказывается связанным с за-

ням 1/σ_xx. Получающиеся в самом низшем поряд-

травочным значением параметра z: Γ⁽⁰⁾⁰⁰ = -z⁽⁰⁾. Ре-

ке уравнения ренормализационной группы имеют

нормгрупповой поток сохраняет следующую вели-

вид [33]

чину: Γ₀₀ + z. Поэтому в случае кулоновского взаи-

модействия выполняется соотношение Γ₀₀ = -z в

dσ_xx

2^∑

f (Γ_ab/z),

процессе ренормировки.

Матрицы Λ, η и I^γk определены следующим об-

dΓ_ab

разом:

2πσ

[

Λ^αβnm = signnδ_nmδ^αβt₀₀, η^αβnm = nδ_nmδ^αβt₀₀,

∑

[

]₂

(5)

[sp(t_cdt_ef t_ab)]² Γ^cd

Cabcd;ef

(8)

(I^γk )^αβnm = δ_n-m,kδ^αγ δ^βγ t₀₀.

cd;ef

)]

⁽Γ2ab

(Γ_ab - Γ_cd)(Γ_ab - Γ_ef )

z+Γ_cd

2.2. F-инвариантность

Γ_cd - Γ_ef

z+Γ_ef

∑

Матрица Q^αβmn формально имеет бесконечный

Γ_ab.

размер в пространстве мацубаровских частот. Это

πσ

726

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Нелинейная сигма-модель Финкельштейна.. .

(

)1/2

Здесь f(x) = 1-(1+1/x)ln(1+x) и y = ln(L/l), где L

σ_xx

L_s,v =

(11)

обозначает инфракрасный масштаб (размер систе-

16z(1 + γ_t)Δ_s,v

мы). Структурные константы Cabcd;ef группы SU(4)

определены следующим соотношением: [t_cd, t_ef ] =

2.5.1. Нарушение SU(4)-симметрии из-за

∑

t_ab. Отметим, что уравнения (8) были

расщепления по спину

= ab

cd;ef

выведены в низшем порядке по 1/σ_xx. Однако в этом

Предположим, что Δ_s ≫ Δ_v (L_s ≪ L_v). Тогда

порядке зависимость от параметров взаимодействия

для малых масштабов l ≪ L ≪ L_s ≪ L_v члены,

Γ_ab учтена точно.

нарушающие симметрию, иррелевантны и уравне-

ния ренормгруппы имеют вид уравнений (10). На

2.4. Однопетлевые уравнения ренормгруппы

промежуточных масштабах L_s ≪ L ≪ L_v нуж-

для случая симметрии SU(4)

но учесть влияние зеемановского расщепления. Оно

приводит к появлению массы в триплетных диф-

Микроскопический гамильтониан двухдолинной

фузионных модах, соответствующих распростране-

электронной системы, например, для электронов

нию электрон-дырочных пар с суммарной проекци-

в Si-МОП-транзисторе, не различает амплитуду

ей спина равной ±1. Это приводит к тому, что на

электрон-электронного взаимодействия для элек-

масштабах L_s ≪ L ≪ L_v матричное поле Q имеет

тронов в одной и той же и в разных долинах. Это

вид (остальные компоненты становятся массивны-

приводит к следующей структуре матрицы Γ_ab [40]:

ми)

Γ_ab = zγ_t, (ab) = (00).

(9)

∑∑

t_abQ_ab.

(12)

Напомним, что случай кулоновского взаимодейст-

a=0 b=0,3

вия соответствует соотношению Γ₀₀ = -z. В этом

Соответствующие элементы матрицы элект-

случае однопетлевые уравнения (8) превращаются в

рон-электронного взаимодействия принимают

хорошо известные уравнения [41]

вид

Γ₀₀ = -z, Γ₀₃ = zγ_t,

dσ_xx

(13)

[1 + 15f(γ_t)] ,

Γa0 = Γa3 = zγ_t, a = 1, 2, 3.

dγ_t

(1 + γ_t)²

Подчеркнем, что, вообще говоря, γ_t = γ_t. Это мож-

(10)

πσ_xx

но объяснить следующим образом. Наличие ненуле-

d ln z

15γ_t - 1

вой Δ_s позволяет различить электрон-электронное

πσ_xx

взаимодействие между электронами с одной и той

же проекцией спина и с разными.

Уравнения ренормгруппы (10) предсказывают немо-

Модифицированная структура диффузионных

нотонное поведение σ_xx с L, которое в итоге стано-

мод и матрицы взаимодействий Γ_ab приводит к од-

вится металлического типа, т. е. проводимость рас-

нопетлевым ренормгрупповым уравнениям следую-

тет с ростом L. Отметим, что симметричный случай

щего вида на масштабах l ≪ L_s ≪ L ≪ L_v [40]:

SU(4), описываемый уравнениями (10), оказывается

неустойчивым относительно общего ренормгруппо-

dσ_xx

[1 + 6f(γ_t) + f(γ_t)] ,

вого потока (8) [33].

dγ_t

1+γ_t

(1 + 2γ_t - γ_t),

πσ_xx

2.5. Однопетлевые уравнения ренормгруппы

(14)

dγ_t

1+γ_t

при нарушении симметрии

(1 - 6γ_t - γ_t),

πσ_xx

SU(4)-симметрия в спиновом пространстве мо-

d ln z

жет быть разрушена внешними полями, например,

(1 - 6γ_t - γ_t) .

πσ_xx

магнитным полем, которое приводит к конечному

зеемановскому расщеплению Δ_s. Аналогично сим-

Здесь ренормгрупповое время определено как y =

метрию понижает и конечное междолинное расщеп-

= ln(L/L_s). Поскольку при L < L_s значение пара-

ление Δ_v. Оно контролируется приложенным упру-

метра Γ₀₃ совпадает с Γa3 (a = 1, 2, 3), уравнения ре-

гим напряжением [42,43]. Этот масштаб энергии, ко-

нормгруппы (14) должны иметь следующие началь-

торый нарушает симметрию, может быть пересчи-

ные условия:

тан в соответствующую длину

γt(0) = γt(0).

(15)

727

И. С. Бурмистров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Уравнения (14) имеют неустойчивую фиксирован-

2.5.3. Нарушение SU(4)-симметрии в двойной

ную точку при γ_t = 1 и γ_t = 0. Однако она недости-

квантовой яме

жима при начальных условиях (15), γ_t(0) = γ_t(0) >

Другой механизм нарушения SU(4)-симметрии

> 0. Типичный ренормгрупповой поток для урав-

случается во взаимодействующей неупорядоченной

нений (14) течет к значениям γ_t = -1 и γ_t = ∞.

двумерной электронной системе в двойной кванто-

В этом случае уравнения ренормгруппы становят-

вой яме. В этом случае низкоэнергетическая эф-

ся эквивалентны уравнениям для двух независимых

фективная теория — это та же НЛСМФ (2). Од-

долин, т. е. должны приводить к металлическому по-

нако из-за наличия разного взаимодействия между

ведению проводимости.

электронами в одной и той же и в разных квантовых

ямах элементы матрицы Γ_ab принимают вид [37]

2.5.2. Нарушение SU(4)-симметрии как

спиновым, так и долинным расщеплениями

Γ₀₀ = -z, Γ₁₀ = zγ_s, Γ0a = Γ1a = zγ_t,

(19)

На самых больших масштабах L ≫ L_v ≫ L_s ≫ l

Γ₂₀ = Γ₃₀ = Γ2a = Γ3a = zγ_v, a = 1, 2, 3.

начинает играть роль долинное расщепление Δ_v: Δ_v

приводит к появлению массы у диффузонов с нену-

Здесь γ_s, γ_t, γ_v — три безразмерных параметра, ко-

левой проекцией долинного изоспина. Из-за этого

торые описывают межэлектронное взаимодействие

элементы Q₁₀, Q₁₃, Q₂₀, Q₂₃ матрицы Q выпадают

в двойной квантовой яме. Первый параметр, γ_s, со-

из низкоэнергетического сектора теории. Таким об-

ответствует короткодействующему взаимодействию

разом, матричное поле Q принимает вид

между диполями, составленными из электронов в

∑

разных квантовых ямах. Параметры γ_t и γ_v опи-

t_abQ_ab.

(16)

a,b=0,3

сывают взаимодействие электронов внутри и между

ямами в триплетном частично-дырочном канале.

В этом режиме есть только четыре релевантных эле-

Однопетлевые уравнения (8) принимают следую-

мента матрицы взаимодействий:

щий вид [37]:

Γ₀₀ = -z, Γ₀₃ = zγ_t,

(17)

dσ_xx

]

Γ₃₀ = zγ_t, Γ₃₃ = zγ_t.

1 + f(γ_s) + 6f(γ_t) + 8f(γ_v)

Появление нового параметра γ_t можно объяснить

]

dγ_s

1+γ_s [

следующим образом. В присутствии сильного спи-

1-6γ_t-γ_s+8γ_v+2h(γ_s, γ_v) ,

πσ_xx

нового и междолинного расщеплений можно разли-

]

dγ_t

1+γ_t[

чить взаимодействие между электронами с равны-

1 - γ_s + 2γ_t + h(γ_t,γ_v) ,

(20)

πσ_xx

ми и противоположными проекциями спинов и изо-

[

]

dγ_v

спинов. Однако уравнения ренормгруппы сохраня-

(1+γ_s)(1-γ_v)+2γ_vp(γ_t, γ_v) ,

ют величину Γ₃₃ - Γ₃₀ [40]. При L ∼ L_v эта величи-

πσ_xx

[

]

на равна нулю, поэтому выполняется соотношение

d ln z

γs + 6γt + 8γv - 1 ,

Γ₃₃ = Γ₀₃ (γ_t = γ_t) для L ≫ L_v ≫ L_s.

πσ_xx

В итоге на масштабах L ≫ L_v ≫ L_s уравнения

где

ренормгруппы имеют вид [40]

dσ_xx

8v(u - v)

[1 + 2f(γ_t) + f(γ_t)] ,

h(u, v) =

p(u, v) = 1 - 3u + 4v.

1+v

dγ_t

1+γ_t

(1 - 2γ_t - γ_t),

Для случая двойной квантовой ямы начальные

πσ_xx

(18)

значения параметров взаимодействия удовлетворя-

dγ_t

1+γ_t

(1 - 2γ_t - γ_t),

ют неравенствам γ_t(0) ≥ γ_v(0) ≥ 0 и γ_t(0) ≥ γ_s(0)

πσ_xx

[37]. В этом случае уравнения (20) сохраняют выпол-

d ln z

(1 - 2γ_t - γ_t),

ненными неравенства γ_t ≥ γ_v ≥ 0 и γ_t ≥ γ_s. Также

πσ_xx

амплитуда взаимодействия γ_t растет с ростом L. Ре-

где y = ln(L/L_v). Для уравнений (18) существует

нормгрупповой поток согласно уравнениям (20) те-

линия фиксированных точек 2γ_t + γ_t = 1. Типичное

чет в сторону γ_v = 0, γ_s = -1 и γ_t = ∞, что со-

поведение проводимости оказывается диэлектричес-

ответствует случаю невзаимодействующих двойных

ким, т. е. проводимость σ_xx уменьшается с увеличе-

квантовых ям. В итоге зависимость проводимости

нием L.

от размера оказывается металлического типа.

728

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Нелинейная сигма-модель Финкельштейна.. .

3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА

Вклад в действие НЛСМФ, связанный с элект-

ГРЯЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТОНКОЙ

рон-электронным взаимодействием, имеет вид [46]

ПЛЕНКИ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО

⎡

ИЗОЛЯТОРА

∫

∑

Γ_ss′

S_F = -πT dr^⎣

tr I^αn(1+τ_y)Q_s(r) ×

В этом разделе мы рассмотрим взаимодействую-

αn;ss^′

щие электроны на грязной поверхности тонкой

⎤

пленки топологического изолятора. Трехмерный то-

∑

× tr I^α

(1 + τ_y)Q_s′ (r) - 2

z_s tr ηQ_s⎦.

(22)

пологический изолятор не имеет проводящих состо-

-n

яний в объеме, а имеет поверхностные состояния на

уровне Ферми (см. [44, 45]). Такое необычное пове-

Здесь симметричная матрица

дение является следствием спин-орбитальной связи.

(

)

Свойства поверхностных состояний зависят от бес-

Γ₁₁

Γ₁₂

порядка на поверхности, который мы будем считать

Γ_ss′ =

(23)

Γ₁₂

Γ₂₂

немагнитным (т. е. сохраняющим симметрию по от-

ношению к обращению времени). Наличие симмет-

описывает взаимодействие электронов на одной и

рии по отношению к обращению времени и отсут-

той же поверхности (Γ₁₁ и Γ₂₂) и взаимодействие

ствие симметрии по отношению к вращению в спи-

электронов на разных поверхностях (Γ₁₂). Пара-

новом пространстве означает, что система относится

метры z1,2 описывают перенормировку частоты для

к симплектическому классу Вигнера - Дайсона. Это

каждой из поверхностей.

означает, что низкоэнергетические диффузионные

моды — это синглетные диффузоны и купероны. По-

следние приводят к слабо-антилокализационной по-

3.2. F-инвариантность

правке к проводимости в симплектическом ансамб-

Как уже было объяснено выше, глобальные по-

ле. Мы рассмотрим общую ситуацию, когда верхняя

вороты матрицы Q играют важную роль в теории. В

и нижняя поверхности пленки топологического изо-

данном случае есть две Q матрицы: одна на верхней

лятора имеют неравные концентрации носителей и

поверхности и одна — на нижней. Поэтому имеются

нескоррелированные случайные потенциалы. В рас-

независимые вращения каждой из матриц:

смотрении мы пренебрежем влиянием торцов плен-

ки.

Q_s(r) → W_sQ_s(r)W^Ts ,

(24)

3.1. Нелинейная сигма-модель

где

Финкельштейна

1-τ_y

W_s = e-iχs 1+τy

+eiχs

Низкоэнергетическое описание взаимодействую-

∑

(25)

χ_s = (χ_s)^αnI^αn.

щих электронов на грязной поверхности тонкой

α,n

пленки трехмерного топологического изолятора

строится на основе НЛСМФ, которая имеет вид

Калибровочная симметрия U(1) реализуется с помо-

(2). Теперь первый член в уравнении (2) описывает

щью следующих преобразований [46]:

НЛСМ для двух копий (верхняя и нижняя поверх-

1+τ_y

ности пленки) невзаимодействующих электронов:

tr I^α

W_sQW^Ts = tr I^α

Q-2in(χ_s)^αn ,

∫

∑

σ^x

tr ηW

= tr ηQ + 2

in(χ_s)^α-n ×

S_σ = -

dr tr(∇Q_s)².

(21)

(26)

αn

s=1,2

∑

1+τ

× tr I^α

Q-2

n²(χ_s)^αn(χ_s)^α-n.

Здесь σ^x

x — проводимость на каждой из поверхнос-

αn

тей; вообще говоря, σ^x

= σxx . Благодаря нали-

чию симметрии по отношению к обращению вре-

Действие НЛСМФ инвариантно относительно гло-

мени, элементы Q^αβnm — матрицы размером 2 × 2 в

бальных вращений W_s при условии выполнения сле-

пространстве частица-дырка (в нем действуют мат-

дующих соотношений:

рицы Паули τ_j ). Из-за наличия сильной спин-орби-

(

)

-1

тальной связи у элемента Q^αβnm нет матричной струк-

z_sδ_ss′ + Γ_ss′ = const

(27)

туры в спиновом пространстве.

-1

ss^′

729

И. С. Бурмистров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Эти соотношения между параметрами взаимодейст-

частности, в случае независимых поверхностей этот

вия выполняются в случае кулоновского взаимодей-

топологический вклад приводит к подавлению ло-

ствия. Как мы увидим ниже, условия (27) согласова-

кализации и появлению критического состояния на

ны с ренормгрупповым потоком, т. е. есть три неза-

грязной поверхности трехмерного топологического

висимых ренормгрупповых инварианта:

изолятора [47].

z₁ + Γ₁₁, z₂ + Γ₂₂, Γ₁₂.

(28)

4. ДВУМЕРНАЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩАЯ

ЭЛЕКТРОННАЯ СИСТЕМА СО

3.3. Однопетлевые уравнения ренормгруппы

СВЕРХПРОВОДЯЩИМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ

Поскольку есть три ренормгрупповых инвариан-

та (28), ренормгрупповой поток определяется толь-

В этом разделе мы рассмотрим двумерную взаи-

модействующую неупорядоченную электронную си-

ко четырьмя независимыми параметрами. Мы вы-

берем их равными σ^x

стему в присутствии сверхпроводящих корреляций.

x и γss = Γss/zs. Тогда одно-

Такая ситуация реализуется в большом количестве

петлевые уравнения ренормгруппы могут быть за-

писаны в следующем виде [46]:

материалов, например, в таких сверхпроводящих

(

)

пленках, как аморфный Bi и Pb [48, 49], MoC [50],

dσ^x

σ^x

MoGe [51], Ta [52], InO [53-56], NbN [57-59], TiN

F γ₁₁,

[60-63], FeSe [64-66]. Также двумерная сверхпрово-

σxx

(

)

димость была экспериментально обнаружена в та-

dσxx

σ^x

F γ₂₂,

ких новых материалах, как LaAlO₃/SrTiO₃ [67, 68],

σxx

(29)

поверхность SrTiO₃ [69, 70], MoS₂ [71-73], поверх-

dγ₁₁

γ₁₁ (1 + γ₁₁)

ность LaSrCuO [74], и Li_xZrNCl [75-78]. НЛСМФ

позволяет описать свойства этих систем при темпе-

πσxx

ратурах выше температуры сверхпроводящего пе-

dγ₂₂

γ₂₂ (1 + γ₂₂)

рехода T_c и оценить T_c

при наличии беспорядка.

(2)

πσ

Отметим, что НЛСМФ может быть использована

где

и для описания двумерных грязных сверхпроводни-

ков при температурах ниже T_c (см. [79]).

(1 + γ) ln [(1 + x) (1 + γ)]

F (γ, x) =

(30)

x [1 + γ (1 + 1/x)]

4.1. Нелинейная сигма-модель

Уравнения

(29) демонстрируют достаточно

Финкельштейна

сложное поведение. Существует устойчивая фик-

сированная точка, в которой внутриповерхностное

В присутствии сверхпроводящих корреляций

взаимодействие обращается в нуль, γ₁₁ = γ₂₂ = 0.

элементы Q^αβnm — это матрицы 4 × 4 в пространст-

Эта фиксированная точка соответствует силь-

ве частица-дырка и в спиновом пространстве, в

но-связанным поверхностям (при этом межповерх-

которых действуют матрицы Паули τ_a и σ_b соответ-

ностное взаимодействие Γ₁₂ остается конечным)

ственно. Действие (2) должно быть расширено за

с суперметаллической проводимостью на каждой

счет дополнительного члена S_C :

из поверхностей, σ^x

= σ^x

= ∞. Другая фикси-

S =S_σ +S_F +S_C.

(31)

рованная точка с γ11 = γ22 = -1 соответствует

несвязанным верхней и нижней поверхностям,

Здесь первый член S_σ имеет точно такую же фор-

Γ₁₂ = 0. При этом проводимость имеет изоляторное

му, как в уравнении (3). Второй член S_F описывает

поведение, т. е. σ^x

→ 0 при L → ∞. Однако эта

взаимодействие в канале частица-дырка. Оно дает-

фиксированная точка оказывается неустойчивой по

ся уравнением (4) с матрицей взаимодействия сле-

отношению к межповерхностному взаимодействию.

дующего вида (a = 1, 2, 3):

Отметим, что двумерная нелинейная сигма-

модель для симплектического класса допускает

Γ₀₀ = Γ₃₀ = Γ_s, Γ0a = Γ3a = Γ_t,

(32)

существование топологического члена в эффектив-

Γ₁₀ = Γ₂₀ = 0, Γ1a = Γ2a = 0.

ном действии. Этот топологический член является

членом типа Весса - Зумино - Новикова - Виттена.

Взаимодействие в канале частица-частица (ку-

Из-за его наличия в НЛСМФ существуют непертур-

перовский канал) описывается третьим членом в

бативные вклады в уравнения ренормгруппы [46]. В

правой части уравнения (31):

730

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Нелинейная сигма-модель Финкельштейна.. .

∑

∑∫

[

πT

[

]

dγ_c

S_C = -

Γ_c

dr Tr

ta0L^αnQ

= -2γ2c-

(1+γ_c)(γ_s-nγ_t)-2γ2c +

πσ_xx

α,n a=1,2

(

)]

[

]

+ 4γ³

+ 2nγ_c γ_t - ln(1 + γ_t)

(37d)

× Tr

ta0L^αnQ

(33)

(

)

d ln z

Здесь мы ввели новую матрицу

γ_s + nγ_t + 2γ_c + 4γ²

(37e)

πσ_xx

(L^αn)^βγkm = δk+m,nδ^αβ δ^αγ t₀₀.

(34)

Здесь n = 3 учитывает число триплетных диффузо-

Матричное поле Q удовлетворяет дополнительному

нов. В случае сильной спин-орбитальной связи трип-

условию (так называемому условию зарядового со-

летные диффузоны становятся массивными и нуж-

пряжения)

но использовать уравнения (37a)-(37e) с n = 0 (в

этом случае уравнение для dγ_t/dy не имеет смыс-

Q^† = C^T Q^T C, C = it₁₂.

(35)

ла).

Уравнения ренормгруппы (37a)-(37e) имеют бо-

4.2. F-инвариантность

гатую фазовую диаграмму. Ренормгрупповые урав-

нения имеют тенденцию к образованию ферромаг-

F-инвариантность действия НЛСМФ (31) реали-

нитной фазы (γ_t = ∞), фазы изолятора (σ_xx = 0) и

зуется поворотами (6), в которых χ ∼ t₀₀. Правила

сверхпроводящей фазы (γ_c = -∞). Однако урав-

преобразований при таких поворотах даются урав-

нения (37a)-(37e) становятся неконтролируемыми

нениями (7) и соотношением

вблизи этих фиксированных точек. Например, срав-

нение первого и второго членов в правой части урав-

Tr L^αnta0e^iχQe^-iχ = Tr L^αnta0Q -

нения (37d) приводит к критерию применимости од-

нопетлевых уравнений для описания сверхпроводя-

∑

[

]

- 8i

(χa0)^αm - (χa0)^α-m

(36)

щей неустойчивости: |γ_c|/πσ_xx ≪ 1.

m>|n|

В случае короткодействующего слабого взаимо-

Используя уравнения (7) и (36), можно проверить,

действия, т. е. в случае |γs0|, |γt0|, |γc0| ≪ 1, уравне-

что действие (31) инвариантно относительно гло-

ния (37a)-(37e) предсказывают усиление T_c несмот-

бальных поворотов матрицы Q с χ ∼ t₀₀ в случае

ря на наличие беспорядка [81]. В этом случае анализ

кулоновского взаимодействия, Γ_s = -z.

сверхпроводящей неустойчивости на основе урав-

нений (37a)-(37e) эквивалентен анализу на основе

уравнения самосогласования для сверхпроводящего

4.3. Однопетлевые уравнения ренормгруппы

параметра порядка [82].

Для n = 0 и в случае кулоновского взаимодейст-

Наличие взаимодействия в куперовском кана-

вия, γ_s = -1, уравнения ренормгруппы (37a)-(37e)

ле усложняет вывод уравнений ренормгруппы [31].

имеют устойчивую фиксированную точку при γ_c =

Используя процедуру фонового поля, можно вы-

= 1/2 и σ_xx

= 3/π. Несмотря на то что по-

вести следующие однопетлевые уравнения ренорм-

ложение этой фиксированной точки находится на

группы [80]:

границе применимости однопетлевых уравнений ре-

нормгруппы, существование симплектического кри-

)

dσ_xx

⁽n-1

тического металла может быть общим свойством

+ f(γ_s) + nf(γ_t) - γ_c

(37a)

НЛСМФ.

)

dγ_s

1+γ_s(

Отметим, что в низшем порядке по γ_c уравнения

γ_s + nγ_t + 2γ_c + 4γ²

(37b)

πσ_xx

(37a)-(37e) совпадают с оригинальным результатом

Финкельштейна [29]. Уравнения (37a)-(37e) отлича-

dγ_t

1+γ_t(

γ_s - (n - 2)γ_t -

ются от соответствующих уравнений из работы [83]

πσ_xx

для случая наличия симметрий по отношению к вра-

)

(

)

щению в спиновом пространстве и обращению вре-

- 2γ_c

1 + 2γ_t - 2γ_c

(37c)

мени (n = 3). Уравнения ренормгруппы из работы

731

И. С. Бурмистров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

[83] несовместны с условием сохранения числа час-

Здесь ϵ_jk — антисимметричный тензор второго ран-

тиц¹⁾.

га, ϵ_xy = -ϵ_yx = 1. Напомним, что последний член в

правой части уравнения (38) пропорционален топо-

логическому инварианту, принимающему целочис-

5. ДВУМЕРНАЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩАЯ

ленные значения. Он может быть записан как гра-

НЕУПОРЯДОЧЕННАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ

ничный член. В присутствии электрон-электронного

СИСТЕМА В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ

взаимодействия эффективное действие включает

ПОЛЕ

член Финкельштейна:

∫

В этом разделе мы рассмотрим двумерную взаи-

S_F = -πT dr×

модействующую неупорядоченную электронную си-

]

[∑

стему в сильном магнитном поле. Сильное магнит-

× Γs trI^αnQ(r)trI^α-nQ(r) - 4z trηQ

(39)

ное поле приводит к двум эффектам. Во-первых,

αn

оно нарушает симметрию по отношению к обраще-

Как и выше, в случае кулоновского взаимодействия

нию времени и поляризует спины электронов. По-

выполняется соотношение Γ_s = -z.

этому матрица Q не имеет матричной структуры

в спиновом пространстве и пространстве частица-

дырка (нет куперонов). Во-вторых, наличие магнит-

5.2. F-инвариантность

ного поля, а значит, наличие ненулевой холловской

F-инвариантность действия НЛСМФ (31) реали-

проводимости σ_xy, приводит к возможности доба-

∑

зуется поворотами (6) с χ =_αn χ^αnI^αn (здесь χ^αn не

вить к действию НЛСМФ тета-член Пруискена.

имеет матричной структуры). Преобразования при

поворотах имеют вид, аналогичный (7):

5.1. Нелинейная сигма-модель

tr I^αne^iχQe^-iχ = tr I^αnt_abQ + 2inχ^α-n ,

Финкельштейна

∑

tr ηe^iχQe^-iχ = tr ηQ + 2

inχ^αn tr I^αnQ -

Низкоэнергетическое эффективное действие для

(40)

^αn∑

двумерной неупорядоченной электронной системы в

-4

n²χ^αnχ^α-n.

сильном перпендикулярном магнитном поле имеет

αn;ab

следующий вид [85, 86]:

Эти соотношения гарантируют F-инвариантность в

∫

случае кулоновского взаимодействия, Γ_s = -z.

σ_xx

S_σ = -

dr tr(∇Q)² +

∫

σ_xy

5.3. Двухпетлевые уравнения ренормгруппы

dr tr ϵ_jkQ∇_j Q∇_kQ.

(38)

Из-за простой матричной структуры Q в случае

сильного магнитного поля пертурбативный анализ

¹⁾ Для экспертов отметим следующие различия между

действия НЛСМФ может быть проведен в двухпет-

уравнениями

(37a)-(37e) и уравнениями из работы

[83].

левом приближении (второй порядок по 1/σ_xx). К

Во-первых, правая часть уравнения для γs (см. уравнение

настоящему времени получены следующие резуль-

(A12) из [83]) не пропорциональна множителю 1 + γs, в от-

личие от уравнения (37b). Это означает, что кулоновское

таты [87-89]:

взаимодействие, γs = -1, не является фиксированной точ-

кой уравнений ренормгруппы из работы [83] в противоречие

dσ_xx

2f(γ_s)

4A(γ_s)

с F-инвариантностью действия НЛСМФ. Во-вторых, урав-

π²σ_xx

нение для γt из работы [83] не содержит член, пропорцио-

dγ_s

γ_s(1 + γ_s)

нальный tγ2c, в отличие от уравнения (37b). Наконец, урав-

нение для γc в работе [83] содержит дополнительный член

πσ_xx

[

(41)

(

)]

tγc ln(1 + γs), который отсутствует в уравнении (37d). Ана-

логичный член был найден Белицем и Киркпатриком (см.

× 1+

c(γ_s) + 2 li₂(-γ_s)

πσ_xx

уравнение (6.8g) в [31]). Этот член критиковался Финкельш-

[

(

)]

тейном в работе [84]: его появление было связано им с нару-

d ln z

γ_s

c(γ_s) + 2 li₂(-γ_s)

шением калибровочной инвариантности при вычислении пе-

πσ_xx

ренормировки действия НЛСМФ. Действительно, такие чле-

ны, расходящиеся для случая кулоновского взаимодействия,

Здесь функция c(γ) определена как

γs = -1, не могут появляться в процессе перенормировки

для F-инвариантных операторов, в том числе в части дейст-

2+γ

1+γ

c(γ) = 2 +

li₂(-γ) +

ln²(1 + γ).

(42)

вия S_C .

2γ²

732

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Нелинейная сигма-модель Финкельштейна.. .

Значение функции A(γ_s) известно только для двух

Функция ψ(z) — это дигамма-функция Эйлера и

точек: γ_s = 0 (невзаимодействующие электроны) и

g(z) определена как

γ_s = -1 (кулоновское взаимодействие). Для γ_s = 0

∑

известно, что A(0) = 1/8 [90,91]. В случае кулоновс-

ln J

g(z) = 2z²

(46)

кого взаимодействия значение A(γ_s) имеет вид [88]

J (J² - z²)

J =0

^[139

(π² - 18)

Функция D_z(γ) = D(γ)m(γ), где

A(-1) =

ζ(3) + 16G -

(

)

(

)

(

)

1+γ

2 ln(1 + γ)

π²

m(γ) = 2

exp

- 44 -

+ 7ζ(3) ln2 +

16 +

ln² 2 -

)]

∫

⁽1

ln⁴

2 - 8li₄

≈ 1.64,

(43)

× ds(1 + s)-2+2/s.

(47)

где G ≈ 0.915 — постоянная Каталана, ζ(x) — дзе-

∑_∞

та-функция Римана, li_n(x) =

x^k/kⁿ — полило-

Подчеркнем, что, хотя различные вклады в функ-

k=1

гарифм.

цию

^D(γ) имеют полюсы на интервале -1 < γ < 0,

Уравнения ренормгруппы (41) предсказывают,

функция

^D(γ) не имеет сингулярностей.

что фиксированная точка при γ_s = 0, соответствую-

Непертурбативный вклад в уравнение ренорм-

щая невзаимодействующим электронам, является

группы для dσ_xx/dy имеет противоположный знак

устойчивой. Фиксированная точка при γ_s = -1, ко-

для случая полуцелого значения σ_xy. Соревнова-

торая соответствует случаю кулоновского взаимо-

ние пертурбативного и непертурбативного вкладов

действия, является неустойчивой. В обоих случаях

при полуцелом значении σ_xy может приводить к су-

зависимость проводимости от L имеет изоляторный

ществованию нетривиальной фиксированной точки

тип.

при некотором значении σ_xx, как для случая невза-

имодействующих электронов, γ_s

= 0, так и для

случая электронов с кулоновским взаимодействием,

5.4. Непертурбативные уравнения

γ_s = -1.

ренормгруппы

Наличие тета-члена (38) в действии НЛСМФ

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

приводит к существованию топологических возбуж-

дений — инстантонов. Они приводят к появлению

непертурбативных вкладов в уравнения ренорм-

В настоящей работе представлен обзор недавних

группы [92]:

результатов, полученных в рамках подхода нели-

нейной сигма-модели Финкельштейна для описания

^[ dσ_xx ]

= -D(γ_s)σ2xxe-2πσxx cos(2πσ_xy),

взаимодействующих неупорядоченных электронных

dy_NP

систем. Этот теоретико-полевой метод позволил по-

^[ dσ_xy ]

лучить ряд интересных физических результатов.

= -D(γ_s)σ2xxe-2πσxx sin(2πσ_xy),

dy_NP

1. В случае двумерной электронной системы с

^[ dγ_s ]

(44)

двумя долинами (разд. 2) НЛСМФ позволила объ-

= -γ_s(1 + γ_s)D_z(γ_s)σ_xx ×

dy_NP

яснить необычное температурное поведение сопро-

тивления при наличии спинового и долинного рас-

× e-2πσxx cos(2πσ_xy),

щеплений в экспериментах на Si-МОП-транзисторах

^[dlnz^]

[93-95] и в n-AlAs квантовых ямах [42,43], а также в

= γ_sD_z(γ_s)σ_xxe-2πσxx cos(2πσ_xy).

dy_NP

Al_xGa1-xAs/GaAs/Al_xGa1-xAs двойных квантовых

[

]

ямах [96].

Здесь D(γ) = 4π

^D(γ) exp

1 - 4γ_Ef(γ)

, где γE ≈

2. В случае двумерной электронной системы на

≈ 0.577 — постоянная Эйлера и

поверхности трехмерного топологического изоля-

{[

]

тора подход НЛСМФ позволил разработать мик-

⁽1+3γ⁾

⁽1⁾

^D(γ) = 21+γ

+ψ

-1

роскопическую теорию электронного транспорта и

предсказать неустойчивость критического поверх-

}

(

)

1+γ

⁽1⁾

2γ² ln2

ностного состояния относительно межповерхностно-

× ln(1+γ)-g

-g

(45)

2γ + 1

го электрон-электронного взаимодействия.

733

И. С. Бурмистров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

3. В случае двумерной электронной системы со

[111] были изучены для НЛСМФ. Также недавно

сверхпроводящими корреляциями НЛСМФ позво-

были доказаны точные симметрийные соотношения

ляет продемонстрировать существование перехода

между размерностями таких операторов в НЛСМ

сверхпроводник-изолятор в рамках так называемо-

для невзаимодействующих электронов [112]. Вообще

го фермионного механизма, а также предсказать ре-

говоря, такие точные симметрийные соотношения

жим усиления температуры сверхпроводящего пере-

для размерностей операторов должны существовать

хода при наличии беспорядка в случае отсутствия

и при наличии электрон-электронного взаимодей-

кулоновского взаимодействия.

ствия, т. е. для НЛСМФ.

4. В случае двумерной электронной системы

Более чем 35-летнее развитие нелинейной сиг-

в сильном магнитном поле НЛСМФ позволяет

ма-модели Финкельштейна показывает, что эта

подтвердить идею об отсутствии перехода Андер-

внутренне согласованная теория является удоб-

сона (на пертурбативном уровне) в присутствии

ным аналитическим инструментом для изучения

электрон-электронного взаимодействия. Также она

взаимного влияния локализации и взаимодействия

позволяет аккуратно учесть инстантонные эффек-

в неупорядоченных электронных системах.

ты, ответственные за существование целочислен-

ного эффекта Холла, в случае наличия электрон-

Благодарности. Автор выражает благодар-

электронного взаимодействия.

ность соавторам М. Баранову, И. Горному, Э. Кё-

Дальнейшее развитие результатов, представлен-

нигу, А. Левченко, А. Мирлину, П. Островс-

ных в этом обзоре, может идти в следующих направ-

кому, И. Протопопову, А. Пруискену, К. Тихонову,

лениях.

Н. Щелкачеву за плодотворную совместную работу

1. Уточнение известных уравнений ренормгруп-

над задачами, представленными в обзоре. Также ав-

пы в двухпетлевом приближении. Известные двух-

тор благодарит А. Германенко, Д. Князева, А. Кун-

петлевые результаты указывают на сложную мате-

цевича, Д. де Ланга, Г. Минькова, Л. Пономаренко,

матическую структуру НЛСМФ, которая усложня-

В. Пудалова, А. Шерстобитова за подробные обсуж-

ет получение результатов в следующих порядках

дения экспериментальных результатов. Автор бла-

петлевого разложения. Отметим, что для НЛСМФ

годарен А. Иоселевичу, Ю. Махлину, М. Скворцову,

пока не удалось придумать аналог параметра

М. Фейгельману, А. Финкельштейну, Я. Фоминову и

«большое-N», который позволил бы решить задачу

остальным сотрудникам ИТФ им. Л. Д. Ландау за

точно. К сожалению, число долин не является таким

полезные обсуждения и комментарии.

параметром, как показывают двухпетлевые вычис-

ления работы [97].

2. В этом обзоре НЛСМФ была использована для

ЛИТЕРАТУРА

описания неупорядоченных электронных систем в

1. P. W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).

присутствии или в отсутствие стандартных симмет-

рий по классификации Вигнера - Дайсона. Другими

2. E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello,

словами, рассмотренная НЛСМФ является расши-

and T. V. Ramakrishnan, Phys. Rev. Lett. 42, 673

(1979).

рением НЛСМ для классов A, AI, и AII на слу-

чай наличия взаимодействия. Отметим, что НЛСМ

3. L. P. Gorkov, A. I. Larkin, and D. E. Khmel’nitskii,

в отсутствие взаимодействия для других семи клас-

JETP Lett. 30, 228 (1979).

сов симметрии [98, 99] может быть расширена на

4. E. Abrahams and T. V. Ramakrishnan, J. Non-Cryst.

случай наличия электрон-электронного взаимодей-

Sol. 35, 15 (1980).

ствия [100-102].

3. Как известно, в НЛСМ имеется богатое и

5. D. J. Amit, Field Theory, Renormalization Group,

нетривиальное поведение размерностей операторов

and Critical Phenomena, World Sci. (1984).

(без пространственных производных и с ними)

6. J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical

[103-105], которое приводит к мультифрактально-

Phenomena, Oxford Univ. Press, Oxford (1989).

му поведению волновых функций [106] и локаль-

ной плотности состояний [107], а также к флукту-

7. F. Wegner, Z. Phys. B 35, 207 (1979).

ациям кондактанса [108,109]. Недавно мультифрак-

8. L. Schäfer and F. Wegner, Z. Phys. B 38, 113 (1980).

тальное поведение локальной плотности состояний

(см. [110]) и нетривиальное поведение размерно-

9. K. B. Efetov, A. I. Larkin, and D. E. Kheml’nitskii,

стей операторов без пространственных производных

JETP 52, 568 (1980).

734

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Нелинейная сигма-модель Финкельштейна.. .

10.

K. Jüngling and R. Oppermann, Z. Phys. B 38, 93

33.

I. S. Burmistrov, in Strongly Correlated Electrons in

(1980).

Two Dimensions, ed. S. V. Kravchenko, Pan Stanford

Publ. (2017), pp. 65-116; arXiv:1609.07874.

11.

A. J. McKane and M. Stone, Ann. Phys. (N.Y.) 131,

36 (1981).

34.

A. Punnoose, Phys. Rev. B 81, 035306 (2010).

12.

K. B. Efetov, JETP 55, 514 (1982).

35.

A. Punnoose, Phys. Rev. B 82, 115310 (2010).

36.

C. Castellani and C. Di Castro, Phys. Rev. B 34,

13.

A. D. Mirlin and F. Evers, Rev. Mod. Phys. 80, 1355

5935 (1986).

(2008).

37.

I. S. Burmistrov, I. V. Gornyi, and K. S. Tikhonov,

14.

Special Issue: 50 Years of Anderson Localization, Int.

Phys. Rev. B 84, 075338 (2011).

J. Mod. Phys. B 24, Nos. 12&13 (2010).

38.

A. M. M. Pruisken, M. A. Baranov, and B.

Skorić,

15.

D. J. Thouless, Phys. Rev. Lett. 39, 1167 (1977).

Phys. Rev. B 60, 16807 (1999).

16.

E. Abrahams, P. W. Anderson, and T. V. Ramakri-

39.

A. Kamenev and A. Andreev, Phys. Rev. B 60, 2218

shnan, Phys. Rev. Lett. 43, 718 (1979).

(1999).

17.

B. L. Altshuler, A. G. Aronov, and D. E. Khmelni-

40.

I. S. Burmistrov and N. M. Chtchelkatchev, Phys.

tsky, J. Phys. C 15, 7367 (1982).

Rev. B 77, 195319 (2008).

18.

B. L. Altshuler and A. G. Aronov, JETP 50, 968

41.

A. Punnoose and A. M. Finkelstein, Phys. Rev. Lett.

(1979).

88, 016802 (2001).

19.

G. Zala, B. N. Narozhny, and I. L. Aleiner, Phys. Rev.

42.

O. Gunawan, Y. P. Shkolnikov, K. Vakili, T. Gokmen,

B 64, 214204 (2001).

E. P. De Poortere, and M. Shayegan, Phys. Rev. Lett.

97, 186404 (2006).

20.

S. V. Kravchenko, G. V. Kravchenko, J. E. Furneaux,

V. M. Pudalov, and M. D’Iorio, Phys. Rev. B 50, 8039

43.

O. Gunawan, T. Gokmen, K. Vakili, M. Padmana-

(1994).

bhan, E. P. De Poortere, and M. Shayegan, Nature

Phys. 3, 388 (2007).

21.

S. V. Kravchenko, W. E. Mason, G. E. Bowker,

J. E. Furneaux, V. M. Pudalov, and M. D’Iorio, Phys.

44.

M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82,

Rev. B 51, 7038 (1995).

3045 (2010).

22.

W. L. McMillan, Phys. Rev. B 24, 2739 (1981).

45.

X.-L. Qi and S.-C. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057

(2011).

23.

A. M. Finkelstein, JETP 57, 97 (1983).

46.

E. J. Koenig, P. M. Ostrovsky, I. V. Protopopov,

24.

A. M. Finkelstein, JETP Lett. 37, 517 (1983).

I. V. Gornyi, I. S. Burmistrov, and A. D. Mirlin, Phys.

Rev. B 88, 035106 (2013)

25.

A. M. Finkelstein, JETP Lett. 40, 796 (1984).

47.

P. M. Ostrovsky, I. V. Gornyi, and A. D. Mirlin, Phys.

26.

A. M. Finkelstein, JETP 59, 212 (1984).

Rev. Lett. 105, 036803 (2010).

27.

C. Castellani, C. Di Castro, P. A. Lee, and M. Ma,

48.

D. B. Haviland, Y. Liu, and A. M. Goldman, Phys.

Phys. Rev. B 30, 527 (1984).

Rev. Lett. 62, 2180 (1989).

28.

C. Castellani, C. Di Castro, P. A. Lee, M. Ma, S. So-

49.

K. A. Parendo, K. H. Sarwa, B. Tan, A. Bhat-

rella, and E. Tabet, Phys. Rev. B 30, 1596 (1984).

tacharya, M. Eblen-Zayas, N. E. Staley, and

A. M. Goldman, Phys. Rev. Lett. 94, 197004 (2005).

29.

A. M. Finkelstein, Z. Phys. B 56, 189 (1984).

50.

S. J. Lee and J. B. Ketterson, Phys. Rev. Lett. 64,

30.

A. M. Finkelstein, Electron Liquid in Disordered Con-

3078 (1990).

ductors, Vol. 14 of Soviet Scientific Reviews, ed. by

I. M. Khalatnikov, Harwood Acad. Publ., London

51.

A. Yazdani and A. Kapitulnik, Phys. Rev. Lett. 74,

(1990).

3037 (1995).

31.

D. Belitz and T. R. Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 66,

52.

Y. Qin, C. L. Vicente, and J. Yoon, Phys. Rev. B 73,

261 (1994).

100505(R) (2006).

32.

A. Kamenev and A. Levchenko, Adv. Phys. 58, 197

53.

A. F. Hebard and M. A. Paalanen, Phys. Rev. Lett.

(2009).

65, 927 (1990).

735

И. С. Бурмистров

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

54.

G. Sambandamurthy, L. W. Engel, A. Johansson, and

69.

M. Kim, Y. Kozuka, C. Bell, Y. Hikita, and

D. Shahar, Phys. Rev. Lett. 92, 107005 (2004); ibid

H. Y. Hwang, Phys. Rev. B 86, 085121 (2012).

94, 017003 (2005).

70.

K. Ueno, T. Nojima, S. Yonezawa, M. Kawasaki,

55.

D. Sherman, G. Kopnov, D. Shahar, and A. Frydman,

Y. Iwasa, and Y. Maeno, Phys. Rev. B 89, 020508(R)

Phys. Rev. Lett. 108, 177006 (2012).

(2014).

56.

B. Sacépé, T. Dubouchet, C. Chapelier, M. Sanquer,

71.

J. T. Ye, Y. J. Zhang, R. Akashi, M. S. Bahramy,

M. Ovadia, D. Shahar, M. Feigel’man, and L. Ioffe,

R. Arita, and Y. Iwasa, Science 338, 1193 (2012).

Nature Phys. 7, 239 (2011).

72.

J. T. Ye, Y. J. Zhang, M. Yoshida, Y. Saito, and

57.

M. Mondal, A. Kamlapure, M. Chand, G. Saraswat,

Y. Iwasa, J. Supercond. Nov. Magn. 27, 981 (2014).

S. Kumar, J. Jesudasan, L. Benfatto, V. Tripathi,

73.

K. Taniguchi, A. Matsumoto, H. Shimotani, and

and P. Raychaudhuri, Phys. Rev. Lett. 106, 047001

H. Takagi, Appl. Phys. Lett. 101, 042603 (2012).

(2011).

74.

A. T. Bollinger, G. Dubuis, J. Yoon, D. Pavuna,

58.

M. Chand, G. Saraswat, A. Kamlapure, M. Mondal,

J. Misewich, and I. Bozovic, Nature 472, 458 (2011).

S. Kumar, J. Jesudasan, V. Bagwe, L. Benfatto,

V. Tripathi, and P. Raychaudhuri, Phys. Rev. B 85,

75.

Y. Taguchi, A. Kitora, and Y. Iwasa, Phys. Rev. Lett.

014508 (2012).

97, 107001 (2006).

59.

G. Lemarié, A. Kamlapure, D. Bucheli, L. Benfatto,

76.

Y. Taguchi, T. Kawabata, T. Takano, A. Kitora,

J. Lorenzana, G. Seibold, S. C. Ganguli, P. Ray-

K. Kato, M. Takata, and Y. Iwasa, Phys. Rev. B 76,

chaudhuri, and C. Castellani, Phys. Rev. B 87,

064508 (2007).

184509 (2013).

77.

Y. Kasahara, T. Kishiume, T. Takano, K. Kobayashi,

60.

T. I. Baturina, A. Y. Mironov, V. M. Vinokur,

E. Matsuoka, H. Onodera, K. Kuroki, Y. Taguchi,

M. R. Baklanov, and C. Strunk, Phys. Rev. Lett. 99,

and Y. Iwasa, Phys. Rev. Lett. 103, 077004 (2009).

257003 (2007).

78.

H. Kotegawa, S. Oshiro, Y. Shimizu, H. Tou, Y. Ka-

61.

B. Sacépé, C. Chapelier, T. I. Baturina, V. M. Vi-

sahara, T. Kishiume, Y. Taguchi, and Y. Iwasa, Phys.

nokur, M. R. Baklanov, and M. Sanquer, Phys. Rev.

Rev. B 90, 020503(R) (2014).

Lett. 101, 157006 (2008).

79.

E. J. Koenig, A. Levchenko, I. V. Protopopov,

62.

B. Sacépé, C. Chapelier, T. I. Baturina, V. M. Vino-

I. V. Gornyi, I. S. Burmistrov, and A. D. Mirlin, Phys.

kur, M. R. Baklanov, and M. Sanquer, Nat. Commun.

Rev. B 92, 214503 (2015).

1, 140 (2010).

80.

I. S. Burmistrov, I. V. Gornyi, and A. D. Mirlin, Phys.

Rev. B 92, 014506 (2015).

63.

T. I. Baturina, S. V. Postolova, A. Yu. Mironov,

A. Glatz, M. R. Baklanov, and V. M. Vinokur, Euro-

81.

I. S. Burmistrov, I. V. Gornyi, and A. D. Mirlin, Phys.

phys. Lett. 97, 17012 (2012).

Rev. Lett. 117, 017002 (2012).

64.

R. Schneider, A. G. Zaitsev, D. Fuchs, and

82.

M. V. Feigel’man, L. B. Ioffe, V. E. Kravtsov, and

H. von Löhneysen, Phys. Rev. Lett. 108, 257003

E. A. Yuzbashyan, Phys. Rev. Lett. 98, 027001

(2012).

(2007).

65.

R. Schneider, A. G. Zaitsev, D. Fuchs, and

83.

L. Dell’Anna, Phys. Rev. B 88, 195139 (2013).

H. von Löhneysen, J. Low Temp. Phys 178, 118

(2014).

84.

A. M. Finkelstein, Physica B 197, 636 (1994).

66.

R. Schneider, A. G. Zaitsev, D. Fuchs, and

85.

H. Levine, S. B. Libby, and A. M. M. Pruisken, Phys.

H. von Löhneysen, J. Phys.: Condens. Matter 26,

Rev. Lett. 51, 1915 (1983).

455701 (2014); Eur. Phys. J. B 88, 14 (2015).

86.

A. M. M. Pruisken, Nucl. Phys. B 235, 277 (1984).

67.

A. D. Caviglia, S. Gariglio, N. Reyren, D. Jaccard,

Skorić,

87.

M. A. Baranov, A. M. M. Pruisken, and B.

T. Schneider, M. Gabay, S. Thiel, G. Hammerl,

Phys. Rev. B 60, 16821 (1999).

J. Mannhart, and J.-M. Triscone, Nature 456, 624

(2008).

88.

M. A. Baranov, I. S. Burmistrov, and A. M. M. Pru-

isken, Phys. Rev. B 66, 075317 (2002).

68.

J. A. Sulpizio, S. Ilani, P. Irvin, and J. Levy, Annu.

Rev. Mater. Res. 44, 117 (2014).

89.

I. S. Burmistrov, Ann. Phys. (N.Y.) 364, 120 (2016).

736

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Нелинейная сигма-модель Финкельштейна.. .

90. S. Hikami, Phys. Lett. B 98, 208 (1981).

101. L. Dell’Anna, Ann. der Phys. 529, 1600317 (2017).

91. P. Ostrovsky, T. Nakayama, K. A. Muttalib, and

102. Y. Liao, A. Levchenko, and M. S. Foster, Ann. Phys.

P. Wölfle, New J. Phys. 15, 055010 (2013).

(N.Y.) 386, 97 (2017).

92. A. M. M. Pruisken and I. S. Burmistrov, Ann. of

103. F. Wegner, Z. Phys. B 36, 209 (1980).

Phys. (N.Y.) 322, 1265 (2007).

104. D. Höf and F. Wegner, Nucl. Phys. B 275, 561 (1986).

93. D. Simonian, S. V. Kravchenko, M. P. Sarachik, and

V. M. Pudalov, Phys. Rev. Lett. 79, 2304 (1997).

105. F. Wegner, Nucl. Phys. B 280, 193 (1987); ibid 280,

210 (1987).

94. S. A. Vitkalov, K. James, B. N. Narozhny, M. P. Sa-

rachik, and T. M. Klapwijk, Phys. Rev. B 67, 113310

106. C. Castellani and L. Peliti, J. Phys. A 19, L429

(2003).

(1986).

95. V. M. Pudalov, M. E. Gershenson, H. Kojima,

107. I. V. Lerner, Phys. Lett. A 133, 253 (1988).

G. Brunthaler, A. Prinz, and G. Bauer, Phys. Rev.

108. B. L. Al’tshuler, V. E. Kravtsov, and I. V. Lerner,

Lett. 91, 126403 (2003).

JETP 64, 1352 (1986) [Sov. Phys. ZhETF 91, 2276

96. G. M. Minkov, A. V. Germanenko, O. E. Rut,

(1986)].

A. A. Sherstobitov, A. K. Bakarov, and D. V. Dmit-

109. V. E. Kravtsov, I. V. Lerner, and V. I. Yudson, JETP

riev, Phys. Rev. B 84, 075337 (2011).

67, 1441 (1988) [Sov. Phys. ZhETF 94, 255 (1988)].

97. A. Punnoose and A. M. Finkelstein, Science 310, 289

110. I. S. Burmistrov, I. V. Gornyi, and A. D. Mirlin,

(2005).

Pis’ma v ZhETF 106, 252 (2017).

98. M. R. Zirnbauer, J. Math. Phys. 37, 4986 (1996).

111. E. V. Repin and I. S. Burmistrov, Phys. Rev. B 94,

99. A. Altland and M. R. Zirnbauer, Phys. Rev. B 55,

245442 (2016).

1142 (1997).

112. I. A. Gruzberg, A. D. Mirlin, and M. R. Zirnbauer,

100. L. Dell’Anna, Nucl. Phys. B 758, 255 (2006).

Phys. Rev. B 87, 125144 (2013).

737

ЖЭТФ, вып. 4 (10)