ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 4 (10), стр. 788-793

КВАНТОВАЯ ОПЕРАЦИЯ ДЛЯ МАЙОРАНОВСКИХ КУБИТОВ

В КУБИТНЫХ ЦЕПОЧКАХ БЕЗ СОЗДАНИЯ ЗАПУТАННОСТИ

СО ВСПОМОГАТЕЛЬНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Ю. Махлинa,b*, Ш. Бакенс^c, А. Шнирман^c,d

^a Международная лаборатория физики конденсированного состояния,

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

101000, Москва, Россия

^b Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^c Institut für Theorie der Kondensierten Materie, Karlsruhe Institute of Technology

D-76131, Karlsruhe, Germany

^d Institute of Nanotechnology, Karlsruhe Institute of Technology

D-76344, Eggenstein-Leopoldshafen, Germany

Поступила в редакцию 6 мая 2019 г.,

после переработки 6 мая 2019 г.

Принята к публикации 8 мая 2019 г.

Рассматриваются квантовые логические операции над майорановскими кубитами, реализованными в

цепочках обычных кубитов, спинов или псевдоспинов. Показано, что двухкубитную операцию можно ре-

ализовать при помощи локальных управляющих сигналов с использованием вспомогательного спина в

геометрии Т-образного перекрестка. При этом состояние вспомогательного спина в результате операции

остается незапутанным (нескоррелированным) с кубитами. При помощи построенного набора симмет-

рий задачи полностью определена получаемая двухкубитная операция. Продемонстрирована характерная

для топологических квантовых вычислений устойчивость этой операции по отношению к неточностям в

управляющих импульсах и беспорядку.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию И. М. Халатникова

DOI: 10.1134/S0044451019100213

но [3] использовать операцию «квантового перепле-

тения» (braiding) майорановских фермионов [6, 7].

Была предложена [8, 9] реализация операции пере-

1. ВВЕДЕНИЕ

плетения в двумерных сетках из одномерных про-

волок, основным звеном при этом является Т-образ-

Майорановские степени свободы в конденсиро-

ный перекресток (Т-контакт).

ванных средах активно изучаются в настоящее вре-

мя [1,2]. Благодаря их необычным физическим свой-

Преобразование Йордана - Вигнера [10] связыва-

ствам они могут служить основой для топологичес-

ет фермионные и спиновые степени свободы в одно-

ких квантовых вычислений [3-5]. Майорановские

мерной геометрии. Его можно обобщить на сетки из

моды могут возникать на краю одномерных систем

одномерных проволок, ср. [11-13]. По этой причине

в топологической фазе в согласии с соответствием

наблюдение фермионных явлений в системах спи-

объем-граница. Для реализации не только тополо-

нов или кубитов привлекает внимание исследовате-

гически защищенных квантовых битов для хране-

лей. Недавно было предложено аналоговое модели-

ния информации, но и топологически защищенных

рование квантового переплетения в сетках из спино-

квантовых логических операций было предложе-

вых/кубитных цепочек и обсуждалась эксперимен-

тальная реализация в системах на основе джозеф-

^* E-mail: makhlin@itp.ac.ru

соновских кубитов [12]. Это направление исследова-

788

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Квантовая операция для майорановских кубитов в кубитных цепочках. ..

(3)

(2)

(1)

S_y

(1)

(2)

(3)

ний привлекает интерес благодаря развитию экспе-

риментов с квантовыми битами, с одной стороны,

и растущему интересу к квантовому моделирова-

Chain 1

Chain 3

нию (quantum simulation) — с другой. В частности,

S_z

S_x

такой подход позволяет моделировать физику фер-

мионных степеней свободы. Отметим, что хотя опе-

рация квантового переплетения в фермионной кар-

(1)

тине подробно описана, ее моделирование в систе-

мах спинов или кубитов требует описания на спи-

(2)

новом языке. Это описание полезно не только для

(3)

планирования и интерпретации результатов экспе-

риментов с этими системами. Оно необходимо для

понимания и анализа роли различных неидеальнос-

Рис. 1. Δ-контакт, связывающий три изинговские цепоч-

тей, в том числе влияния беспорядка и шума, ха-

ки. Связи между краевыми спинами цепочек σα(1) конт-

рактерного для таких систем и часто сильно нело-

ролируются вспомогательным спином S. Гамильтониан, а

кального на фермионном языке, а также неточнос-

значит, и эволюция системы управляется импульсами ло-

тей управляющих импульсов. Реализации этой и по-

кальных полей, которые могут использоваться для пере-

добных топологических моделей изучаются экспе-

движения (псевдо)топологических интервалов. Δ-контакт

риментаторами [12, 14].

сводится к T-контакту, когда сила одной из связей в тре-

На спиновом языке кубит представляет собой

угольнике становится равной нулю

ферромагнитный интервал. Адиабатические изме-

нения локальных полей в области этого интервала

беспорядку. Это означает высокую степень гибко-

изменяют состояние кубита. Таким образом могут

сти при проведении операции без изменения ее ре-

быть реализованы однокубитные квантовые логиче-

зультата в согласии со свойствами топологических

ские операции, являющиеся аналогом операции пе-

квантовых вычислений.

реплетения для двух майорановских нулевых мод

в фермионной картине [8, 12]. В дальнейшем была

предложена [13] операция переплетения для двух

2. ДВУХКУБИТНАЯ ОПЕРАЦИЯ В

кубитных интервалов и был вычислен результат ее

ГЕОМЕТРИИ Т-КОНТАКТА

применения (с точностью до фазового множителя)

Для описания полученных результатов кратко

к простым базисным начальным состояниям для

опишем рассматриваемую систему и реализацию

упрощенной процедуры ее проведения. Частичный

двухкубитной логической операции. Рассматривает-

анализ роли этих упрощений был представлен в ра-

ся система из трех изинговских цепочек, в каждом

боте [15]. С другой стороны, даже для упрощенной

узле которых расположен кубит (или спин/псевдо-

процедуры было показано, что выполняемая опера-

спин). Концы цепочек связаны в форме треугольни-

ция приводит к запутыванию квантовых состояний

ка, см. рис. 1.

кубитов с состоянием вспомогательного спина. Это

Гамильтониан системы имеет вид

означает, что его начальное состояние и влияние шу-

ма на его динамику должны существенным образом

∑

влиять на выполняемую двухкубитную операцию.

H = H_α+H^Sjct.

(1)

α=1

В настоящей работе в развитие более ранних ре-

зультатов показано, что двухкубитная операция мо-

При этом гамильтонианы трех цепочек даются вы-

жет быть выполнена таким образом, что вспомо-

ражениями

∑

гательный спин не запутывается (не приобретает

H_α = - h_α(i)σ^xα(i) - J σ^zα(i)σ^zα(i + 1),

(2)

корреляций) с кубитами. Кроме того, построен на-

i≥1

бор симметрий задачи. Эти симметрии позволяют, с

а связи между цепочками описываются гамильтони-

одной стороны, полностью найти результат приме-

аном

нения двухкубитной операции к произвольным на-

чальным состояниям (а не только базисным). С дру-

H^Sjct = -

J₁₂S³σz1(1)σz2(1)-

гой стороны, найденные симметрии позволяют обос-

новать устойчивость полученной операции по отно-

J₁₃S²σz1(1)σz3(1).

(3)

шению к возмущениям управляющих импульсов и

^- 2J23S¹σ²(1)σ3(1)-

789

Ю. Махлин, Ш. Бакенс, А. Шнирман

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Иными словами, система состоит из трех изинговс-

ких цепочек с поперечными локальными магнитны-

ми полями h_α(i). Эти поля могут меняться внеш-

ними управляющими импульсами. Знак константы

связи J не влияет на физику системы, и мы по-

лагаем J > 0. В каждой из изинговских цепочек

любая область, находящаяся в сильном поперечном

поле |h| ≫ J, представляет собой парамагнетик, а

область в слабом поле |h| ≪ J — ферромагнетик.

Узлы в каждой цепочке пронумерованы, начиная с

i = 1. Краевые узлы, i = 1, связаны попарно, см.

выражение (3), и три соответствующие связи конт-

ролируются тремя разными компонентами вспомо-

гательного спина S (полезность такого трехспино-

вого взаимодействия для различных приложений и

возможности его реализации обсуждаются, напри-

мер, в работах [12,16-18] для различных реализаций

кубитов). Данный гамильтониан описывает так на-

Рис. 2. Операция переплетения с ферромагнитными куби-

зываемый Δ-контакт [19] с симметричной структу-

тами: a — однокубитное переплетение, б — двухкубитное

рой связей между цепочками. Он сводится к T-кон-

переплетение. В процессе операций топологические обла-

такту, если сила одной из связей в треугольнике ста-

сти (жирные линии) сдвигаются из одной цепочки в дру-

гую, как показано на рис. Стрелками показан переход от

новится равной нулю.

одного этапа операции к следующему

Аналогично преобразованию Йордана - Вигнера

между спиновыми и фермионными степенями сво-

боды в одномерной цепочке [10] обобщенное преоб-

Аналогично передвижение двух кубитных интер-

разование Йордана - Вигнера отображает спиновую

валов, см. рис. 2б, позволяет выполнить двухкубит-

систему (1) в геометрии Т-контакта на систему сво-

ную операцию [13,15]. Результат этой операции лег-

бодных фермионов на той же решетке [11, 12, 20].

ко найти для простого начального состояния систе-

Это позволяет рассматривать в спиновой системе

мы — оба кубита и вспомогательный спин находятся

аналоги физических явлений в фермионной систе-

в состоянии «спин вверх» — и для упрощенной (для

ме. В частности, можно найти аналоги майоранов-

описания, но не для выполнения, см. ниже) проце-

ских фермионных кубитов, основанных на майора-

дуры изменения параметров гамильтониана [13,15].

новских нулевых модах, а также операции квантово-

Такое рассмотрение легко обобщить на остальные

го переплетения (braiding) для майорановских мод.

начальные базисные состояния, но в описании опе-

Переплетение реализует квантовые логические опе-

ратора этого квантового преобразования остается

рации для таких кубитов. В частности, кубит реали-

неопределенность: для каждого начального состоя-

зуется как область слабого поперечного поля (h ≪

ния рассмотрение адиабатической эволюции позво-

≪ J) между областями сильного поля (h ≫ J), при

ляет определить конечное состояние только с точно-

этом на фермионном языке на концах такой области

стью до фазового множителя. Более того, использо-

расположены нулевые моды. Управляя локальными

вание упрощенной процедуры оставляет открыты-

полями, можно реализовать операции переплетения

ми вопросы об устойчивости результирующей опе-

для майорановских нулевых мод: изменяя значение

рации. Эти вопросы обсуждаются ниже.

поперечных полей, можно удлинять или укорачи-

Начнем с обсуждения изменения параметров

вать любую кубитную (низкополевую) область с лю-

(локальных полей), требуемых для выполнения опе-

бого конца.

рации. Начальное состояние перед операцией пока-

Таким образом можно сдвигать ферромагнит-

зано на рис. 2б: при этом один кубит находится

ные (псевдотопологические) интервалы. В частно-

в левой цепочке (Chain 1), а другой — в правой

сти, проводя такой интервал через область Т-кон-

(Chain 3). В ходе первого этапа операции правый ко-

такта, см. рис. 2a, можно реализовать однокубитную

нец первого кубитного интервала передвигается из

операцию при помощи переплетения эффективных

цепочки 1 вниз в цепочку 2; при этом сохраняется

майорановских нулевых мод на его концах [12].

S_z-компонента вспомогательного спина, так что опе-

790

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Квантовая операция для майорановских кубитов в кубитных цепочках. ..

рацию удобно описывать в ее собственном базисе.

обращает (z-компоненту) всех спинов в цепочке 2, а

На втором этапе операции другой кубит передвига-

также x- и z-компоненты вспомогательного спина.

ется по цепочке 3 к Т-контакту. В случае упрощен-

Другая операция,

ной процедуры это происходит при J₁₃ = J₂₃ = 0,

∏

что позволяет легко отследить адиабатическое из-

R₁ = R^Sx(π) Rxi

(π) ,

(5)

менение состояния спина σ₃(1). На следующем эта-

i≥1

пе поперечное поле для спина σ₁(1) увеличивается

обращает все спины в цепочке 1, а также y- и z-ком-

и замораживает его в направлении оси x, а правый

поненты вспомогательного спина. Наконец, третья

конец первого кубита возвращается в цепочку 1. В

операция,

ходе этого этапа вспомогательный спин адиабатиче-

∏

R₃ = R^Sz(π) Rxi(π),

(6)

ски поворачивается в направлении x. На последнем

i≥1

этапе левый конец второго (правого) кубита возвра-

щается в цепочку 3 (как и выше, этот этап удобно

обращает все спины в цепочке 3, а также x- и y-ком-

описывать в собственном базисе S_x).

поненты вспомогательного спина.

Поэтапно отслеживая эволюцию, можно найти

Таким образом, каждая из трех операций об-

получающееся состояние системы. Рассмотрим ба-

ращает z-компоненты всех спинов в одной из трех

зисные состояния первого кубитного интервала со

цепочек (отмеченной индексом в обозначении опе-

всеми спинами вверх (a = +1) или вниз (a = -1)

рации), а также две компоненты вспомогательного

и аналогично для второго кубитного интервала (b =

спина, контролирующие две связи в треугольнике,

= ±1) и вспомогательного спина (S ≡ S_z = ±1). Для

прилегающие к этой цепочке (эти компоненты по-

начального состояния кубитов и вспомогательного

казаны на рис. 1 рядом с этой цепочкой). Из этого

спина a = +1, b = +1, S = +1 конечное состояние

краткого описания операций легко видеть, что они

будет |a = +1, b = +1, +x〉 с точностью до фазово-

действительно сохраняют гамильтониан T-контак-

го множителя. В этом состоянии вспомогательный

та.

спин имеет направление +x.

Эти симметрии сохраняют гамильтониан даже

Можно ли найти оператор получающегося пре-

при наличии некоторого беспорядка, например, при

образования, несмотря на неопределенность в отно-

неоднородном поперечном поле h_i. Поскольку они

сительной фазе для различных начальных базовых

коммутируют с гамильтонианом, они связывают

состояний? Что происходит, если управляющие па-

эволюцию с различными начальными состояниями,

раметры меняются не точно в соответствии с опи-

одно из которых получается из другого примене-

санной процедурой, а только приближенно? Эти во-

нием симметрии. Действительно, если R — одна из

просы обсуждаются ниже.

этих операций или их комбинация, то RH = HR, и

поэтому если эволюция некоторой волновой функ-

ции |ψ(t)〉 с начальным состоянием |ψ(0)〉 вызвана

3. СИММЕТРИИ ЗАДАЧИ И ПОЛНАЯ

гамильтонианом H, то R |ψ(t)〉 — также эволюция,

ДВУХКУБИТНАЯ ОПЕРАЦИЯ

вызванная H, но для другого начального состояния

R |ψ(0)〉.

В этом разделе показано, что задача T-контакта

Рассмотрим, как эти симметрии действуют на

инвариантна относительно действия трех описан-

интересующие нас начальные базисные состояния:

ных ниже операций симметрии. С одной сторо-

состояние |a, b, S〉 они переводят соответственно в

ны, это позволяет полностью описать двухкубитную

операцию, т. е. найти результат ее применения к лю-

R₂ : |a, b, S〉 → |a, b, -S〉 ,

(7)

бым базисным состояниям и их суперпозициям, ос-

R₁ : |a, b, S〉 → |-a, b, -S〉 ,

(8)

новываясь только на результате ее применения к од-

ному начальному базисному состоянию, как это опи-

R₃ : |a, b, S〉 → |a, -b, S〉 .

(9)

сано выше. Помимо этого, это позволяет показать,

Помимо самих R_i можно использовать их ком-

что система обладает определенной устойчивостью

бинации, причем каждый из них может входить или

в описанном ниже смысле.

не входить в комбинацию, что дает всего 2 · 2 · 2 =

Три операции симметрии, сохраняющие гамиль-

= 8 вариантов. Из одного начального состояния

тониан, имеют следующий вид: первая операция,

|a = 1, b = 1, S = 1〉 под действием R_i в результате

∏

получаются все восемь базисных состояний. Таким

R₂ = R^Sy(π)

Rxi(π) ,

(4)

образом, зная результат применения двухкубитной

i≥1

791

Ю. Махлин, Ш. Бакенс, А. Шнирман

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

операции к одному начальному состоянию, мы по-

Легко видеть, что эта операция действительно пред-

лучаем все восемь результатов для всех восьми на-

ставляет собой двухкубитную операцию, не затраги-

чальных базисных состояний, а значит, полное опи-

вающую состояния вспомогательного спина.

сание операции.

В результате можно показать, что переплетение

реализует следующий оператор на состоянии куби-

5. ОБСУЖДЕНИЕ

тов и вспомогательного спина:

Результат предыдущего раздела показывает, что

[

]

U = exp -i

S^yτz1τ^z

(10)

двухкубитную операцию можно провести без созда-

ния корреляций между кубитами и вспомогатель-

Этот оператор выражен через оператор S^y вспомо-

ным спином. Такой метод особенно удобен, так как

гательного спина и матрицы Паули кубитов. Легко

позволяет проводить операцию непосредственно на

видеть, что этот оператор коммутирует с операция-

кубитах без дополнительных операций со вспомога-

ми симметрии.

тельным спином (ср. аналогичные результаты для

однокубитной операции [12]). В частности, резуль-

тат такой операции не зависит от начального состоя-

ния вспомогательного спина, даже если он находит-

4. ДВУХКУБИТНАЯ ОПЕРАЦИЯ БЕЗ

СОЗДАНИЯ ЗАПУТАННОСТИ СО

ся в смешанном состоянии. Вместе с однокубитными

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫМ СПИНОМ

операциями такая операция может быть использо-

вана для создания универсального набора элемен-

В предыдущем разделе был получен резуль-

тарных операций для квантовых алгоритмов. Отме-

тат (10) для операции двухкубитного переплетения.

тим, что получающаяся двухкубитная операция (11)

Он показывает, что, помимо изменения состояния

является клиффордовой.

пары кубитов, эта операция приводит к созданию

Поскольку клиффордовы операции не образуют

квантовой запутанности (entanglement) кубитов со

универсального набора и недостаточны для кванто-

вспомогательным спином (если он не находился в

вых вычислений, требуется дополнить их другими

собственном состоянии S_y). Однако с точки зрения

операциями. Для этого можно, например, прикла-

реализации квантовых вычислений требуется прово-

дывать управляющие поля к вспомогательному спи-

дить двухкубитную логическую операцию, не затра-

ну и/или локальные магнитные поля к спинам в це-

гивая состояние остальных степеней свободы. Ниже

почках. Напомним, что рассматриваемые кубиты не

показано, как можно модифицировать процедуру,

защищены от продольного шума, однако, с другой

чтобы добиться этого результата.

стороны, как описано выше, этот канал дает воз-

Требуемая операция основана на (10). Нужный

можность для реализации необходимых квантовых

результат достигается, если перед началом опера-

операций.

ции оба кубита находятся в одной и той же цепочке,

Необходимо сделать замечание о влиянии шума.

а не в разных. Предположим, что оба кубита рас-

Как видно из рассуждений выше, частичная топо-

положены в цепочке 1. Для выполнения операции

логическая устойчивость проявляется в защите от

второй кубит, который расположен ближе к T-кон-

влияния шума в параметрах гамильтониана (1), но

такту, сначала сдвигается в цепочку 3 через область

дополнительная защита от продольного шума отсут-

контакта. После этого проводится операция пере-

ствует. Таким образом, в экспериментах с такими

плетения, как описано выше. После нее второй ку-

ферромагнитными кубитами требуются составляю-

бит возвращается обратно из цепочки 3 в цепочку 1.

щие их «обычные» кубиты с продолжительной ко-

Результат такой операции может быть найден на

герентностью. Так как в зависимости от реализации

основе выражения (10), если его сопрячь операто-

кубитов продольное и поперечное времена релакса-

ром сдвига V второго кубита (chain 1 ↔ chain 3).

ции могут значительно различаться, описанная ча-

Этот оператор сдвига представляет собой завися-

стичная топологическая защита может значительно

щую от S^y операцию переворота второго кубита:

удлинить время когерентности композитных (псев-

V = 1 при S^y = 1 и V = τx2 при S^y = -1. Явное

до)топологических кубитов.

вычисление результата сопряжения дает выражение

Результаты разд.

показывают устойчивость

для полной двухкубитной операции:

реализуемой операции в следующем смысле. Во-

[

]

первых, результат применения операции к началь-

U2qb = exp -i

τz1τ^z

(11)

ному состоянию |a = 1, b = 1, S = 1〉 устойчив (с точ-

792

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Квантовая операция для майорановских кубитов в кубитных цепочках. ..

ностью до фазового множителя) по отношению к

A. Yu. Kitaev, Ann. Phys. 303, 2 (2003).

отклонениям параметров гамильтониана в процес-

C. Nayak, S. H. Simon, A. Stern, M. Freedman, and

се выполнения операции от их номинальных значе-

S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 80, 1083 (2008).

ний — при сохранении адиабатичности операции. То

же самое верно для остальных семи базисных со-

S. Das Sarma, M. Freedman, and C. Nayak, NPJ

стояний. Если эти восемь фазовых множителей сов-

Quant. Inf. 1, 15001 (2015).

падают, операция определена однозначно (с точно-

N. Read and D. Green, Phys. Rev. B 61, 10267

стью до общего фазового множителя, который в та-

(2000).

ких условиях несуществен). Однако если для восьми

базисных состояний фазовые множители различны,

D. Ivanov, Phys. Rev. Lett. 86, 268 (2001).

операция может значительно измениться. Результа-

J. Alicea, Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen, and

ты разд. 3 означают, что эти восемь фазовых мно-

M. P. A. Fisher, Nat. Phys. 7, 412 (2011).

жителей жестко связаны между собой, в том числе

для всех путей в пространстве параметров, близких

J. Alicea, Rep. Progr. Phys. 75, 076501 (2012).

к идеальному.

10.

P. Jordan and E. Wigner, Z. Phys. 47, 631 (1928).

Более того, подчеркнем, что эти результаты

подразумевают, что полученное описание операции

11.

N. Crampé and A. Trombettoni, Nucl. Phys. B 871,

сохраняется в широком диапазоне при отклоне-

526 (2013).

нии управляющих параметров гамильтониана от

12.

S. Backens, A. Shnirman, Yu. Makhlin, Y. Gefen,

идеальных значений, предписанных процедурой

J. E. Mooij, and G. Schön, Phys. Rev. B 96, 195402

(при этом отклонения возможны на всех этапах,

(2017).

а не только на этапах 2 или 3, как в [15]). Кроме

того, эти же результаты позволяют учесть и случай

13.

S. Backens, A. Shnirman, and Yu. Makhlin, Sci. Rep.

конечных (небесконечных) поперечных полей в

9, 2598 (2019).

парамагнитной области, в том числе на начальном

14.

A. Petrescu, H. E. Türeci, A. V. Ustinov, and

этапе операции или в ее процессе. Все эти свойства

I. M. Pop, Phys. Rev. B 98, 174505 (2018).

демонстрируют (частичную) топологическую защи-

ту системы кубитов.

15.

Yu. Makhlin, S. Backens, and A. Shnirman, JETP

Lett. 108, 763 (2018).

Финансирование. Исследования в Высшей

16.

P. Hauke, D. Marcos, M. Dalmonte, and P. Zoller,

школе экономики были поддержаны Программой

Phys. Rev. X 3, 041018 (2013).

фундаментальных исследований ВШЭ.

17.

C. Hutter, A. Shnirman, Yu. Makhlin, and G. Schön,

Europhys. Lett. 74, 1088 (2006).

ЛИТЕРАТУРА

18.

J. K. Pachos and M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 93,

056402 (2004).

1. R. M. Lutchyn, E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenho-

ven, P. Krogstrup, C. M. Marcus, and Y. Oreg, Nat.

19.

A. M. Tsvelik, Phys. Rev. Lett. 110, 147202 (2013).

Rev. Mater. 3, 52 (2018).

20.

M. Pino, A. M. Tsvelik, and L. B. Ioffe, Phys. Rev.

2. A. Rahmani and M. Franz, arXiv:1811.02593.

Lett. 115, 197001 (2015).

793