ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 4 (10), стр. 806-836

ФИЗИКА ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЕЙ ЭНЕРГИИ

И ЛАЗЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

С. И. Анисимов^a, В. В. Жаховский^b, Н. А. Иногамовa,b*,

К. П. Мигдал^b, Ю. В. Петров^a,c, В. А. Хохловa**

^a Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^b Всероссийский НИИ автоматики им. Н. Л. Духова

127055, Москва, Россия

^c Московский физико-технический институт

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 30 мая 2019 г.,

после переработки 11 июня 2019 г.

Принята к публикации 14 июня 2019 г.

Эта статья посвящена юбилею И. М. Халатникова, основателя и первого директора Института теоретиче-

ской физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук. И. М. Халатников организовал первоклассный

институт, исследования в котором покрывают широкий спектр научных направлений. Сектор лазеров и

плазмы института ведет исследования по проблемам физики плазмы, по взаимодействию лазерного излу-

чения с веществом, по вопросам, относящимся к лазерным приложениям, по проблемам гидродинамики.

Много внимания уделяется физике твердого тела с акцентом на поведение вещества в экстремальных

условиях, возникающих при интенсивном воздействии. Излагается ряд новых результатов: поведение ме-

таллов в двухтемпературных состояниях (когда из-за сверхбыстрого лазерного нагрева температура элек-

тронной подсистемы металла намного превышает температуру ионной подсистемы); определение границ

существования одноволнового режима распространения упруго-пластических ударных волн в кристаллах

ковких металлов; формирование лазерного факела из веществ мишени и жидкости при лазерной абля-

ции металла в окружающую жидкость; физико-механические последствия (плавление, капиллярность,

рекристаллизация) неоднородной (вдоль по облученной поверхности) диссипации энергии, вызванной

интерференцией плазмон-поляритонных и лазерных электромагнитных полей.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию И. М. Халатникова

DOI: 10.1134/S0044451019100249

ние конденсированных фаз. Это трудная область,

изучение которой необходимо для многих важных

1. ВВЕДЕНИЕ

приложений (недра планет, пучковые воздействия,

высокоскоростные соударения конденсированных

Работы сектора лазеров и плазмы ИТФ

тел). Сложности описания состояний, относящихся

им. Л. Д. Ландау РАН в основном касаются

к физике высоких плотностей энергии, связаны с

проблем физики высоких плотностей энергии. Так

тем, что потенциальная энергия U межатомных

называется область науки, в которой рассматрива-

взаимодействий порядка кинетической энергии K.

ются вещества твердотельных плотностей, нагретые

Следовательно, не пригодны ни теории конденсиро-

до температур порядка электронвольта. Причем

ванных твердых и жидких фаз, K ≪ U, ни теория

нас интересуют давления от промежуточных до

газообразной плазмы, U ≪ K.

высоких (десятки-сотни ГПа) и растягивающие

напряжения до 1-10 ГПа, вызывающие разруше-

В рассматриваемых приложениях (например,

^* E-mail: nailinogamov@gmail.com

пучковые воздействия) нельзя ограничиться только

^** E-mail: khokhlov@itp.ac.ru

термодинамикой состояний с высокой плотностью

806

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

энергии. Системы находятся в движении, поэтому

чинаются растяжение пленок и перетоки вещества

термодинамические явления переплетаются с гидро-

на значительные расстояния.

динамическими. Движения бывают как медленные,

Не менее замечательно проявляет себя обратный

тогда нами применяется равновесная термодинами-

переход из жидкой в твердую фазу, особенно ког-

ка, так и сверхбыстрые. Для описания сверхбыст-

да зона кристаллизации распространяется по дви-

рых изменений мы применяем кинетические подхо-

жущемуся телу. Именно таким способом образовы-

ды. В кинетике к системе гидродинамических урав-

ваются самые разные поверхностные структуры: от

нений, в левых частях которых стоят производные

уединенных типа куполов при остросфокусирован-

по времени от плотности, скорости и внутренней

ном воздействии (малое пятно) до сложноустроен-

энергии, присоединяются дополнительные уравне-

ных затвердевших поверхностей. Такие поверхнос-

ния с добавочными производными по времени. На-

ти появляются после ультракороткого воздействия

пример, в случае физики высоких плотностей энер-

(длительностью до нескольких пикосекунд) и при

гии двухтемпературной среды появляется дополни-

большой площади пятна (размер пятна облучения

тельное уравнение энергии. Об этом говорится ниже

от десятков микрометров).

в тексте статьи.

Возмущения внутри больших пятен пред-

Процессы, инициируемые лазерными пучками,

ставляют собой нагромождение замороженных

приводят к сжатиям и растяжениям вещества. В

стенок-мембран, окружающих вогнутые ямки, и

связи с этим в статье рассматриваются физика удар-

затвердевших струй часто с каплей наверху в

ных волн и явления, имеющие место при объем-

вершине струи. На поверхности лежит дебрис в

ном расширении. Расширение горячих конденсиро-

виде шариков. Это капли, оторвавшиеся и возвра-

ванных сред сопровождается испарением. В свою

щенные назад поверхностным натяжением. Ямки —

очередь, пары при уменьшении плотности охлажда-

это следы пузырей пены. Сложные структуры

ются и конденсируются (производство наночастиц).

образуются и при оптическом, и при рентгеновском

Особенно сложно протекает этот процесс при рас-

воздействии вследствие конкуренции инерции,

ширении паров в окружающую жидкость (лазерная

капиллярных сил и быстрой рекристаллизации:

абляция в жидкую среду).

охлаждение в темпе

10¹²

К/с, переохлаждения

Растяжение по инерции менее горячих (U > K)

расплава в сотни градусов, предельные скорости

веществ при достаточной амплитуде градиента ско-

продвижения зон замораживания около 100 м/с

рости растяжения ведет к механическому разруше-

(они определяются диффузией атомов в расплаве).

нию конденсированной фазы. Говорят о фрагмента-

Следовательно, на их формировании мало сказы-

ции или отколе в сплошной среде. В случае твер-

ваются плазмоны (рентгеновские частоты намного

дой фазы фрагментация связана с образованием се-

превышают плазменные).

ти трещин [1]. В расплаве происходит нуклеация пу-

Много внимания в литературе уделяется вопро-

зырьков — кавитация. Объем, занятый пузырьками

сам производства наночастиц. Лазерная абляция в

в смеси жидкость-пар, растет под действием отри-

жидкость является экологически чистым вариантом

цательного давления. Так формируются вспененные

такого производства. Сегодня теория соответствую-

слои, эволюция которых сказывается на составе вы-

щих процессов существенно отстает от эксперимен-

летевших частиц и на поверхностных структурах,

та, где, действуя эмпирически, практики применяют

остающихся после воздействия.

самые разные условия облучения по длительности,

Удивительным образом при лазерном воздей-

энергетике и размеру пятна воздействия. Ниже в

ствии на пленки могут сочетаться явления кавита-

статье рассмотрена проблема описания абляции при

ции на фронтальной стороне пленки и откол в твер-

облучении через прозрачную жидкость мишени, по-

дой среде на тыльной стороне пленки [2]; фронталь-

глощающей свет.

ной называем облучаемую поверхность. Более то-

К передовым относится технологическое направ-

го, при достаточной энергетике на фронтальной сто-

ление с использованием комбинированных воздей-

роне сочетается испарение внешних слоев с кавита-

ствий. Складываются электромагнитные волны от

цией и вспениванием более глубоких слоев.

лазера и от поверхностных плазмон-поляритонов.

Важную роль играют эффекты, обусловленные

Таким образом осуществляется на микромасштабах

фазовыми переходами. Очень существенно сказы-

тонкое управление пространственным распределе-

вается плавление. Переход в жидкую фазу скачком

нием мощности диссипации в скин-слое металла.

убирает сопротивление деформированию формы те-

Используются точная синхронизация во времени и

ла. Качественным образом меняется динамика, на-

пространстве, когерентность и фазовые характери-

807

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

стики волн. Распределение мощности связано с ин-

Дирихле; при вращении распределение скорос-

терференцией и формированием стоячей волны. В

ти — линейная функция радиуса. При решении

результате записывается голограмма (заданный ре-

используется дополнительный интеграл движения.

льеф на поверхности), при освещении которой на

Недавно Е. А. Кузнецовым было выяснено, что

поверхности инициируется плазмон-поляритон с за-

математически соответствующие уравнения свя-

данной фазой [3].

заны с системами Ермакова [32]. Было открыто,

Деятельность сектора ИТФ им. Л. Д. Ландау

что оптический пробой диэлектриков связан с

РАН связана с построением физических моделей и

субмикронными включениями

[33-37]. Важными

с предсказательным численным моделированием на

являются работы по фотоэмиссии электронов,

этой основе. Во многом такое моделирование основа-

металлическому водороду и жидким кристаллам.

но на уравнениях термодинамического состояния за-

Огромная работа выполнена по гидродинамике

действованных веществ. Современная база данных

и гидродинамическим неустойчивостям. К сожа-

по уравнениям состояния создана в ОИВТ РАН и

лению, обзор всех этих исследований слишком

ИПХФ РАН [4-7]. Важным был толчок к развитию

велик и далеко выходит за рамки данной статьи,

расчетно-экспериментальной базы уравнений состо-

посвященной новым результатам.

яния, связанный с миссией Вега — проект Венера и

комета Галлея (см. следующий раздел). Физические

2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И

модели необходимы для теоретического описания и

ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР

оптимизации лазерных экспериментов, которые ве-

дутся в отделе М. Б. Аграната ОИВТ РАН.

Проект Вега оказался самым успешным из всех

Структура статьи следующая. В разд. 2 излага-

советских научных исследований в космосе. Это свя-

ются вопросы, связанные с уравнениями состояния

зано, во-первых, с грамотным руководством инсти-

конденсированных веществ и их гидродинамически-

тутами и согласованными действиями подразделе-

ми приложениями. Раздел 3 посвящен физике вза-

ний АН СССР и, во-вторых, с плодотворным тру-

имодействия ультракоротких лазерных импульсов с

дом ученых. ИТФ им. Л. Д. Ландау в лице своего

веществом. В разд. 4 представлены результаты по

руководителя И. М. Халатникова внес значитель-

ударным волнам в твердых телах. Проблемы сверх-

ный вклад в проект (отмеченный государственной

скоростного удара изложены в разд. 5. Астрофизи-

премией СССР). Эффективно работала проверен-

ческим приложениям и лазерным технологиям по-

ная временем связка сектора С. И. Анисимова и на-

священы соответственно разд. 6 и 7.

учной группы Института высоких температур, ко-

60-90

гг. в секторе под руководством

торую возглавлял В. Е. Фортов.

С. И. Анисимова было получено много основопола-

В результате были достигнуты две важнейшие

гающих результатов. Они относятся к плазменной

цели.

короне и лазерному термоядерному синтезу [8, 9], к

1) Предложена, обоснована и осуществлена ори-

коническим мишеням для генерации нейтронов при

гинальная концепция противопылевой защиты ап-

лазерном воздействии [10]; к уравнениям Власова,

парата [38-41]. Защита была выполнена в виде бам-

плазменным параметрическим неустойчивостям и

перного экрана с двумя листами. При этом первый

ленгмюровскому коллапсу [11-13]. Детально изуче-

лист играет роль испарителя сверхбыстрых комет-

ны испарительная абляция [14-17] и неустойчивость

ных пылинок.

фронта такой абляции [17-19]. Проанализирована

2) Сконструирован и установлен на борт прибор

устойчивость фронтов плавления и рекристал-

«Фотон». С помощью прибора были впервые получе-

лизации

[18-23]. Изучены гидродинамические и

ны данные по наиболее крупной фракции кометной

кнудсеновские режимы расширения пара и со-

пыли в коме кометы [42].

существование этих режимов

[24-28]. Кинетика

К комете была направлена флотилия из шести

испарения является сложным, многоступенчатым

спутников, созданных и управлявшихся четырьмя

процессом

[28]. Описаны трехмерные эффекты

национальными космическими агентствами. Наибо-

разлета

[29, 30] и сжатия сферической мишени

лее важной составляющей флотилии были два рос-

[31] с помощью изящного точного решения (эл-

сийских аппарата, Вега-1 и Вега-2, и Джотто — де-

липсоиды с линейным распределением скорости

тище европейского космического агентства. Эти три

по радиусу). Этот подход восходит к известным

аппарата были оснащены множеством научных при-

классическим решениям для вращающихся тел

боров. Многие из них разрабатывались в Институте

наподобие сфероида МакЛорена и эллипсоидов

космических исследований, научным руководителем

808

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

проекта являлся Р. З. Сагдеев. Ключевую роль иг-

массы до 100 км/с. На ускорителе Ван-де-Граафа

рали Вега-1 и Вега-2. Дело в том, что благодаря де-

(электростатический ускоритель) при предель-

тальной информации о траектории кометы, посту-

ном напряжении

МВ до указанной скорости

пившей от них, удалось осуществить высокоточное

разгоняются только частицы субмикронных раз-

наведение на комету аппарата Джотто, летевшего

меров, причем контроль массы представляет собой

позади Вег. 6 и 9 марта 1986 г. состоялись рандеву

отдельную проблему.

Вег с кометой на расстояниях 9 и 8 тысяч километ-

Для подготовки полета за несколько лет бы-

ров.

ла проведена огромная работа. Работа проводилась

Через несколько дней (ночью с 13 на 14 мар-

в ИТФ им. Л. Д. Ландау АН СССР (директор

та 1986 г.) после коррекции полета с помощью со-

И. М. Халатников) в секторе С. И. Анисимова сов-

ветских аппаратов, Джотто пролетел на расстоянии

местно с научным коллективом В. Е. Фортова. При

600 км от ядра кометы. Находясь столь близко к

необходимости привлекались специалисты других

ядру в период прохождения точки перигелия коме-

подразделений: НПО им. Лавочкина, Московского

той, Джотто получил существенные повреждения.

авиационного института, ИФТТ, Института косми-

Комета Галлея прошла точку перигелия своей ор-

ческих исследований. В результате до полета бы-

биты 10 марта. В дни прохождения перигелия из-за

ло понято, как протекает взаимодействие сверхско-

близости к Солнцу активность кометы была наибо-

ростной кометной пылинки с конструкциями аппа-

лее высокой.

рата.

Получена ценнейшая информация о комете,

Как это выяснить в отсутствие прямого экспе-

только предварительные сообщения заполнили

римента? Были разработаны мощные программы

майский номер журнала Nature (том 321, 15 мая

трехмерных расчетов столкновения. Были созданы

1986 г.). На них имеются несколько тысяч ссылок.

аккуратные описания уравнений состояния конден-

Например, точно определены размеры кометы —

сированных веществ. Важнейший вклад коллекти-

гигантского образования объемом порядка годо-

ва В. Е. Фортова заключался в разработке много-

вого стока Волги или порядка вулкана Эльбрус.

фазных широкодиапазонных уравнений состояния

Оказалось, что комета чрезвычайно плохо от-

[39, 40].

ражает свет (альбедо — проценты, чернее угля,

говорили о «мартовском снеге») и сильно нагрета.

Дело в том, что при такого рода взаимодейст-

вии имеет место диссипация огромной кинетичес-

Изучен состав пыли

— много органики (важно

для концепций происхождения жизни на Земле),

кой энергии — около полумиллиона градусов на нук-

лон; для сравнения, при ударе бронебойного снаряда

определено распределение пылинок по размерам

на разных расстояниях от кометы. Упомянутый

энергия на нуклон на четыре порядка меньше. По-

этому требуется охват всех фаз от кристаллической

выше прибор «Фотон» дал сведения о крупных пы-

до расплава, от расплава до испарения и нагрева до

линках, зафиксировал сильную пространственную

состояния плазмы. Поясним необходимость широко-

неоднородность пылевого облака [42].

диапазонных уравнений состояния.

Веги летели к комете более года, при этом про-

хождение комы на расстояниях порядка 10000 км за-

При рандеву с кометой Галлея энергия на атом,

няло около 5 мин. Это было связано с чрезвычайно

скажем, железа составляет около 2 кэВ при потенци-

высокой скоростью сближения аппаратов (80 км/с!)

але первой ионизации 8 эВ. Таким образом в ближ-

с ядром кометы (близость к Солнцу и сближение

ней зоне удара возникает плазма многозарядных

на встречных курсах). Центральная зона комы на

ионов, а температура падает более чем на порядок

стадии прохождения перигелия заполнена плотны-

(из-за расходов на ионизацию) по сравнению с тем-

ми газами и кометной пылью высокой концентра-

пературой около 2 кэВ, которая была бы при прене-

ции. Именно поэтому исключительно важной была

брежении ионизацией. Далее по времени из-за рас-

упомянутая выше проблема противопылевой защи-

ширения происходит быстрое уменьшение плотно-

ты аппарата.

сти и температуры, продукты соударения представ-

Конечно, исследования на скоростях около

ляют собой рекомбинирующую плазму, газ нейтра-

100 км/с не проблема, если речь идет об отдельных

лов, кластеры конденсатов, капли гидродинамиче-

атомах. Но здесь мы говорим о конденсированных

ского выброса жидкости и твердые частицы перифе-

частицах массой до 10-9 г и размерами до 10 мкм.

рийного откольного разрушения. Продукты разле-

На Земле до сих пор не существует устройств, в

таются в широких интервалах углов вылета и со ско-

которых можно было бы ускорить частицы такой

ростями вылета от десятков км/с до десятков м/с.

809

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Отметим, что до полета в своих оценках ученые-

день теория двухтемпературных состояний, старто-

кометологи пренебрегали ионизацией (пылинка

вавшая с пионерских работ [43,44], имеет уже про-

представлялась уравнением состояния идеального

должительную историю своего развития [45, 46]. В

газа), а ударная волна в преграде описывалась,

данном разделе описаны подходы и результаты, по-

как сильная ударная волна Седова; напомним, что

лученные в секторе, по теплофизике (уравнение со-

это решение годится только для идеального газа

стояния) и кинетическим коэффициентам (тепло-

с фиксированным показателем адиабаты. Отсюда

проводность и коэффициент электрон-ионного теп-

ясна огромная роль гидродинамических программ

лообмена) веществ, находящихся в двухтемператур-

в реальной геометрии и с реальными уравнениями

ных состояниях.

состояния. Такие необходимые исследования были

Кроме параметра τ_L, определяющего продол-

выполнены в секторе С. И. Анисимова вместе с

жительность лазерного воздействия, имеются три

коллективом В. Е. Фортова.

внутренних релаксационных масштаба времени:

Более того, численные исследования были до-

τee = 1/νee, τei = 1/νei, τii = 1/νii, определяемые

полнены сравнениями с натурными опытами, что

частотами электрон-электронных, электрон-фо-

позволило доказать адекватность физических моде-

нонных и фонон-фононных столкновений. От них

лей и примененных кодов. Опыты выполнялись с

зависят распределения электронов и ионов по

применением лазеров и сильноточных релятивист-

энергии.

ских электронных пучков (Ангара) [41]. При этом

За времена порядка τ_ee = 1/ν_ee устанавливается

параметры воздействия (энергетика, длительность,

фермиевское распределение электронов с текущей

размер пятна) соответствовали удару кометной пы-

локальной по веществу температурой T_e(x, t); для

линки.

простоты говорится об одномерном случае с коорди-

В результате проведенных работ была разрабо-

натой x по пространству. До температур T_e ∼ 1 эВ

тана система защиты космических аппаратов от на-

[47] частота ν_ee растет примерно как квадрат элек-

летающей кометной пыли. Таким образом, был вне-

тронной температуры; при более высоких темпера-

сен неоценимый вклад в успешное выполнение про-

турах T_e рост функции ν(T_e) резко замедляется [47].

екта.

Оценки [48, 49] показывают, что если поглощенная

за время ультракороткого импульса энергия превы-

3. УЛЬТРАКОРОТКИЕ ИМПУЛЬСЫ

шает величину порядка 1 мДж/см², то установле-

ние фермиевского распределения в металле проис-

Наш сектор можно назвать родоначальником

ходит за время порядка длительности рассматрива-

теории мощного лазерного ультракороткого воздей-

емых здесь импульсов 0.1 пс. Нас интересуют ситуа-

ствия. Действительно, классическая работа [43], в

ции, когда поглощенная мишенью энергия превыша-

которой описана физика явлений, возникающих при

ет пороги плавления и абляции. Типичные пороги

облучении вещества сверхкороткими импульсами,

абляции порядка 100 мДж/см²; порог плавления в

примерно на 10 лет опередила создание таких лазе-

несколько раз ниже. Поэтому с самих ранних стадий

ров в 80-е годы. Исключительная важность темати-

действия импульса допустимо пользоваться темпе-

ки с использованием фемтосекундных лазеров была

ратурой T_e для описания электронной подсистемы.

отмечена в 2018 г. присуждением Нобелевской пре-

Сечения электрон-электронных и электрон-ион-

мии по физике Жерару Муру и Донне Стрикленд.

ных столкновений сопоставимы, но из-за большого

отношения масс иона и электрона время t_eq пере-

дачи поглощенной энергии из электронной в ион-

3.1. Физика двухтемпературных состояний

ную подсистему намного превышает масштаб вре-

Учет двухтемпературных состояний требуется в

мени порядка τ_ee; разумеется, это сказано для наше-

случаях, когда на металл действует ультракороткий

го интервала поглощенных энергий, начинающегося

(длительностью τ_L ∼ 0.01-1 пс) лазерный импульс.

со значений порядка десятков и сотен мДж/см², ко-

Дело в том, что поглощенная лазерная энергия дис-

гда τ_ee снижается до значений 1-10 фс. Этим фак-

сипирует в электронной подсистеме; при этом за

том объясняется обособление физики двухтемпера-

время действия импульса не успевает установить-

турных состояний в отдельное научное направле-

ся температурное равновесие между электронной

ние. Поясним, что времена свободного полета при

и ионной подсистемами [43]. Соответственно элек-

электрон-электронном τ_ee и электрон-фононном τ_ei

тронная температура T_e оказывается намного вы-

столкновениях (в интересующих нас условиях) срав-

ше, чем ионная температура T_i. На сегодняшний

нимы, а время t_eq намного больше времен τ_ee и τ_ei.

810

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

В этом месте целесообразно пояснить двухтем-

ся коэффициентом электрон-ионного энергообмена.

пературную модель в отношении фононной подси-

На стадии незавершенной электрон-ионной релакса-

стемы. Обычно применяют приближение изотроп-

ции важную роль играет давление горячих электро-

ного упругого тела, дебаевскую модель твердого те-

нов, растягивающее ионную подсистему. Кроме то-

ла с продольными и поперечными модами, и счи-

го, двухтемпературная теплопроводность металлов

тают, что температуры фононной подсистемы вы-

может намного превышать теплопроводность при

ше дебаевской и что фононная подсистема находит-

комнатной температуре.

ся в равновесии, т. е. характеризуется температурой

Система уравнений двухтемпературной гидро-

ионов T_i. При этом частота наиболее жестких фо-

динамики в одномерной геометрии, записанная в

нонных мод порядка 10 ТГц, т. е. их периоды поряд-

лагранжевых координатах, имеет вид [59]

ка 100 фс. Ясно, что термализация этих мод (время

жизни моды) минимум на порядок превышает пери-

∂x(x⁰, t)

ρ(x⁰, t)

=ρ⁰,

(1)

од, т. е. порядка 1 пс и более. Сверхзвуковой элект-

∂x⁰

рон, за счет черенковского механизма рождающий

∂u

∂p(x⁰, t)

продольный фонон, создает в основном самые жест-

ρ⁰

(2)

∂t

∂x⁰

кие продольные акустические фононы в случае, ес-

ли нет оптических мод. Если такие моды есть, то

∂x(x⁰, t)

= u(x⁰, t),

(3)

рождаются и оптические фононы, и высокочастот-

∂t

ные акустические.

∂(E_e/ρ)

∂q

ρ⁰

∂u

ρ⁰

-E˙_ei +

Q-p_e

(4)

Далее жесткие фононы распадаются из-за нали-

∂t

∂x⁰

чия ангармонических поправок. Установление фо-

ρ⁰

ρκ ∂T_e

нонной температуры происходит долго. Особенно

Ė_ei =

α(T_e - T_i), q = -

(5)

ρ⁰ ∂x⁰

долго (до наносекунд) формируется равновесный по

температуре длинноволновый хвост распределения

∂(E_i/ρ)

∂u

ρ⁰

=E˙_ei -p_i

(6)

[50-52]. Правда, мягкая часть фононного распреде-

∂t

∂x⁰

ления содержит малую долю энергии и поэтому ма-

(

) (

Fabs

t²

x⁾

лосущественна в балансах энергии. Видим, что вре-

exp

θ(x).

(7)

√π τ_L

τ2L

мя t_eq установления полного или эффективного рав-

новесия в фононной подсистеме сравнимо со вре-

Выше записаны закон сохранения массы (1), траек-

менем электрон-ионной релаксации или превышает

тория x(x⁰, t) материальной частицы с лагранжевой

его.

координатой x⁰, x(x⁰, t = -∞) = x⁰, ρ⁰ — начальная

Недавно появился ряд работ, посвященных ана-

плотность. Закон сохранения импульса представлен

лизу влияния неравновесности фононного распре-

уравнением (2), здесь u(x⁰, t) — скорость лагранже-

деления на темп электрон-фононной релаксации

вой частицы. Кинематическое условие имеет вид (3).

[53-58]. Согласно работе [53] в алюминии соот-

Закон сохранения энергии записан по отдельности

ветствующая поправка к коэффициенту электрон-

для электронной и ионной подсистем. Баланс энер-

фононной релаксации составляет порядка десятков

гии в электронной подсистеме дается уравнением (4)

процентов. С другой стороны, вычисления [56] дают

[43]. Мощность обмена энергией между электронной

для этой поправки единицы процентов.

и ионной подсистемами в расчете на единицу объема

Итак, выделение двухтемпературных исследова-

и электронный тепловой поток даются формулами

ний в независимую ветвь науки, во-первых, связано

(5). Баланс энергии в ионной подсистеме описыва-

с относительной продолжительностью «жизни» сис-

ется уравнением (6). Мощность нагрева на единицу

темы в таких состояниях. Во-вторых, оказывается

объема за счет поглощения импульса лазерного из-

(см. ниже), что термодинамические и кинетические

лучения задается уравнением (7), где δ — толщина

характеристики двухтемпературных веществ суще-

скин-слоя, τ_L — длительность лазерного импульса.

ственно отличаются от таковых в однотемператур-

Формула (7) с функцией θ(x) = 1, x > 0, θ(x) =

ных состояниях. Для расчетов динамики мишеней

= 0, x < 0 справедлива для ультракоротких импуль-

с протекающей в них двухтемпературной релакса-

сов умеренной интенсивности, когда можно прене-

цией наиболее существенны электронные вклады в

бречь смещением контактной границы за время дей-

термодинамику (изменение уравнения состояния) и

ствия импульса. В начальный момент она находится

в увеличение электронной теплопроводности. При

в точке x = 0. Поглощающее вещество располагает-

этом продолжительность релаксации определяет-

ся справа, при x > 0.

811

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Система двухтемпературных уравнений (1)-(7)

Соответственно на такую же сумму разбиваются

представляет собой просто законы сохранения мас-

вклады в давление p = p_e+p_i и внутреннюю энергию

сы, импульса и энергии. Мы привели эту систему

E = E_e+E_i. Разделение (8) было предложено уже в

здесь, чтобы адресно обозначать места, в которых

60-е годы в работах по конструированию уравнений

в уравнениях появляются члены, представляющие

состояний конденсированных веществ при высоких

собой уравнение состояния, теплопроводность и ко-

температурах [4, 40, 64-67], см. также [5-7, 68-70].

эффициент электрон-ионного теплообмена. Полное

Речь идет о конденсированных состояниях, т. е. о

давление p = p_e + p_i входит в уравнение (2) для

состояниях с высокой плотностью вещества. В на-

импульса. Теплопроводность κ (5) выносит (4), (5)

ших ситуациях можно говорить о физике двухтем-

поглощенное электронами тепло из скин-слоя. Тепло

пературных состояниях с высокой плотностью энер-

передается от электрона электрону в глубину мише-

гии — two-temperature warm dense matter. Подчерк-

ни вдоль по электронной подсистеме. Одновременно

нем, что в ранних работах это были однотемпе-

на всех расстояниях от границы мишени имеет ме-

ратурные уравнения состояния, т. е. электронная и

сто передача тепла от горячих электронов к холод-

ионная температуры были равны.

ным ионам.

Отметим, что при температурах порядка темпе-

Таким образом, для решения системы необходи-

ратуры в критической точке и плотностях поряд-

мы знания об уравнении состояния, теплопроводнос-

ка плотности вещества в критической точке элек-

ти и коэффициенте теплообмена α (5). Уравнение

тронный вклад в металлах становится сопостави-

состояния связывает внутреннюю энергию, давле-

мым с ионным вкладом (здесь это говорится при-

ние и температуры подсистем T_e и T_i.

менительно к однотемпературным состояниям). При

этом ионный вклад в давление отрицательный, а

3.2. Уравнение состояния

электронный — положительный. Их разность фор-

Созданные в нашем секторе уравнения единым

мирует значение критического давления p_c, которое

непрерывным образом описывают двухтемператур-

заметно меньше, чем абсолютные значения членов

ные (T_e

≫ T_i) и однотемпературные (T_e

≈ T_i)

каждого вклада.

состояния [60-62]. При высоких температурах T_e

С электронами в приближении (8) связан только

электронный вклад доминирует: тепловое давление

тепловой вклад p_e. В этом смысле двухтемператур-

электронов превосходит ионное тепловое давление,

ное уравнение состояния сходно с уравнением состо-

теплоемкость электронов начинает превышать вели-

яния в приближении Ми - Грюнайзена

чину 3k_B (закон Дюлонга - Пти), где k_B — постоян-

ная Больцмана. При T_e ≈ 2 эВ для разных металлов

p=p_cold|_i +p_T|_i +p_e.

(9)

конденсированная фаза и, соответственно, связан-

ное состояние вещества перестают существовать да-

Тепловой вклад в однотемпературном случае равен

же при низких температурах T_i фононной подсисте-

p_T . В двухтемпературном случае (9) тепловой вклад

мы (см. рис. 2b,c в [63]). Таким образом, эта темпера-

распадается на два вклада: электронный p_e с темпе-

тура является аналогом критической температуры,

ратурой T_e и ионный p_T |_i с температурой T_i [45,60].

которая имеется в однотемпературном случае. При

Наш подход к двухтемпературному уравнению

нагреве до T_e ≈ 2 эВ при холодной ионной подсис-

термодинамического состояния следующий. Ионная

теме и низком внешнем давлении металл расширя-

часть F_i (8) берется или из многофазного широ-

ется на десятки процентов, перед тем как связан-

кодиапазонного уравнения состояния [5-7, 66], или

ные состояния перестанут существовать. При этом

аппроксимируется в приближении Ми - Грюнайзе-

электронное давление начинает превышать макси-

на. Сравнение этих подходов представлено на рис. 1

мальное напряжение сопротивления, которое спо-

и 2. Области Solid (твердое тело) и Liquid (жид-

собна создать конденсированная среда в ответ на ее

кая фаза) на рис. 1 разделены коридором плавления

растяжение. Сказанное подчеркивает важность ис-

S+L, в котором располагается двухфазная смесь.

следований по физике двухтемпературных состоя-

Увеличение внутренней энергии E_int при изохори-

ний.

ческом плавлении составляет 2.3 · 10⁹ Дж/м³ со-

Идея аналитических аппроксимаций описаний

гласно рис. 1. Эта величина равна 23.6 кДж/мол

двухтемпературных состояний состоит в разделении

в пересчете на единицу массы. Скрытая теплота

электронного F_e и ионного F_i вкладов в свободную

плавления золота существенно меньше и состав-

энергию:

ляет 12.55 кДж/мол. Минимальная ионная внут-

F =F_e +F_i.

(8)

ренняя энергия в чистом расплаве при плотности

812

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

p, ГПа

Solid

S + L

Liquid

E_int, ГДж/м³

T, кК

Рис. 1. (В цвете онлайн) Изохора золота, построенная со-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Изохора золота (ср. с рис. 1).

гласно широкодиапазонному уравнению состояния (сплош-

В этих переменных изохоры по Ми - Грюнайзену (зеленые

ная кривая) [5-7, 66, 71, 72] и в соответствии с подходом

точки) и по широкодиапазонному уравнению состояния

Ми - Грюнайзена (зеленые точки). В последнем случае па-

(сплошная кривая) различаются сильнее. Стрелками от-

раметр Грюнайзена не зависит от температуры и равен 3.1

мечены пересечения солидуса и ликвидуса с изохорой. В

для заданной плотности, которая на данной изохоре равна

области плавления давление на изохоре растет значитель-

плотности в нормальных условиях, 19.3 г/см³. Поведение

но быстрее по сравнению с однофазными областями

на изохоре важно, так как при облучении ультракоротким

импульсом с поглощенной энергией порядка и выше порога

абляции плавление слоя толщиной около 100 нм происхо-

лом. В модели Ми - Грюнайзена параметр Грюнай-

дит за время tm порядка единиц пикосекунд. Волна раз-

зена определяется по твердой фазе и не зависит от

режения, идущая от границы с вакуумом, успевает пройти

температуры.

расстояние cs tm ∼ 5-10 нм. Поэтому плотность вещества

Разница по температуре между двумя подхода-

в слое нагрева меняется мало. Имеются три области, отно-

ми больше. Эта разница сосредоточена в области

сящиеся к твердой фазе, смеси жидкость-кристалл и рас-

плаву

плавления и достигает максимума в точке окон-

чания плавления (переход из смеси в чистый рас-

плав). Точки начала и окончания плавления отмече-

19.3 г/см³ составляет 6.85 ГПа, или 0.72 эВ/атом =

ны стрелками на рис. 2. Температура начала плав-

= 70 кДж/мол.

ления 2030 К на выбранной изохоре выше темпера-

Недостатком приближения Ми- Грюнайзена по

туры плавления золота 1337 К при низких давле-

сравнению с многофазным уравнением состояния

ниях. В точке окончания плавления 2390 К давле-

[5-7, 66, 71, 72] является отсутствие давления насы-

ние по Ми - Грюнайзену ниже на 6.4 ГПа при рав-

щенного пара и кривой плавления. Из рис. 1 и 2

ных температурах; ниже, чем давление по много-

можно понять, насколько существенно отсутствие

фазному уравнению состояния. При равных давле-

скрытой теплоты плавления сказывается на резуль-

ниях 22 ГПа температура по Ми - Грюнайзену выше

татах. Показаны изохорические зависимости, по-

на 860 К.

скольку при ультракоротком нагреве объемное рас-

Детальный анализ влияния замены многофазно-

ширение вещества на двухтемпературной стадии ма-

го уравнения состояния на уравнение Ми - Грюнай-

ло. Видим, что по зависимостям p(E_int) давления от

зена дан в работе [73]. Анализ выполнен на приме-

внутренней энергии разница небольшая, если огра-

ре гидродинамического течения, в котором пласти-

ничиться показанным на рис. 1 диапазоном энер-

на пробивается шариком, летящим на высокой ско-

гий и, соответственно, температурами ниже 5 кК

рости (см. также разд. 2 выше). Ударные адиабаты

(ср. рис. 1 и 2). Причем теплота плавления мало

этих подходов практически идентичны (см. рис. 4b

сказывается на зависимостях p(E_int). Более суще-

в работе [73]). Огромная разница между подходами

ственным оказывается уменьшение параметра Грю-

видна в адиабатах разгрузки, идущих от состояний

найзена в жидкой фазе по сравнению с твердым те-

при больших давлениях за ударной волной (несколь-

813

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

ко Мбар и выше). Разница по адиабатам разгрузки

Действительно, из формулы x(t) = 2√χt, где

возникает и растет при подходе к бинодали (кри-

χ = (1/3)l_ev_F — температуропроводность, нетрудно

вой фазового равновесия пар-жидкость) со стороны

получить

высоких давлений. Понятно, что поскольку в урав-

x(t)

2 M_Fl_e

^√τ_e

√

M_F

(10)

нении Ми - Грюнайзена не учитывается испарение,

c_s

x(t)

эта разница обусловлена малой плотностью пара в

смеси.

где M_F = v_F /c_s ∼ 100 — число Маха по скорости

Электронная часть двухтемпературного уравне-

Ферми, τ_e = l_e/v_F , l_e — длина свободного пробега

ния состояния получается путем квантовомеханиче-

электрона. Пусть переход между двух- и однотемпе-

ских расчетов в приближении функционала плотно-

ратурными стадиями происходит при снижении чис-

сти. При этом ионная подсистема рассматривается

ла Маха тепловой волны до значения M_eq ∼ 1. Тогда

при T_i = 0 (ионы покоятся в узлах решетки). По-

согласно (10) толщина d_T слоя прогрева, созданного

стоянная решетки варьируется, чтобы понять, как

на двухтемпературной стадии, равна

влияет изменение плотности. Делается серия расче-

2 M_F

d_T =

l_e = 130 нм.

(11)

тов с нарастающей электронной температурой для

3 M_eq

разных плотностей. Электроны распределяются по

энергии в соответствии с распределением Ферми и

Числовая оценка в (11) выполнена для типичных

значений параметров M_F = 100, M_eq = 1, l_e = 2 нм.

в соответствии со спектром плотностей электрон-

ных состояний для заданных плотности и темпера-

Продолжительность двухтемпературной стадии, на

которой сверхзвуковым образом растет слой прогре-

туры T_e.

ва d_T , дается оценкой

t_eq = (M2F /3 M2eq)τ_e = 6 пс.

(12)

3.3. Гидродинамические явления, связанные

с высокой теплопроводностью металлов в

При оценке (12) использованы параметры, данные

двухтемпературных состояниях

выше. При этом время свободного пробега τ_e

= l_e/v_F составляет 2 фс.

Лазерное воздействие состоит в нагреве вещест-

Сверхзвуковым характером распространения

ва. Если импульс ультракороткий, то гидродинами-

тепла обусловлено излучение акустических воз-

ческие явления (генерация акустических волн сжа-

мущений [70, 74, 76, 80]. Излучение происходит на

тия и расширения), распространяющиеся со ско-

трансзвуковом участке распространения тепла. На

ростью звука, запаздывают, отстают относительно

этом участке темп распространения тепла в толщу

тепловых эффектов, поскольку имеет место сверх-

мишени снижается от сверхзвукового до сильно

звуковое распространение тепла в глубь слоя нагре-

дозвукового. На этом же участке выравниваются

ва [70, 74-77]. Здесь необходимо разделить стадии

электронная и ионная температуры и заканчивает-

протекания тепловых эффектов. Как ясно из ска-

ся двухтемпературный режим. Если проникновение

занного выше, этих тепловых стадий две. Они отно-

тепла в объем сопровождается сверхзвуковым

сятся соответственно к двухтемпературной и одно-

расширением слоя плавления в веществе (вещество

температурной стадиям. Именно двухтемператур-

при этом покоится, геометрического расширения

ная стадия протекает со сверхзвуковой скоростью

вещества нет), то на профиле волны сжатия оста-

[76, 78, 79], т. е. на этой стадии распространение по-

ется след от процесса плавления [?, 70]; параметр

глощенного в скин-слое тепла в глубь мишени про-

Грюнайзена повышен в коридоре плавления между

исходит со скоростями, которые превосходят ско-

солидусом и ликвидусом; сверхзвуковое плавление

рость звука.

называется в литературе гомогенным плавлением;

Физические причины, почему скорость распрост-

оно противопоставляется медленному (дозвуко-

ранения тепла может быть сверхзвуковой, просты.

вому) гетерогенному плавлению в духе задачи

Дело, во-первых, в большой величине фермиевской

Стефана.

скорости v_F ∼ 10⁸ см/с (с этой скоростью движутся

Указанный след представляет собой крутой от-

электроны) по сравнению со скоростью звука c_s =

резок волны сжатия (из-за повышения параметра

= (3-7) · 10⁵ см/с [76]. Во-вторых, важную роль иг-

Грюнайзена в коридоре плавления). Наличие тако-

рает умеренное отношение толщины прогрева d_T на

го отрезка ускоряет процессы опрокидывания волны

двухтемпературной стадии к толщине l_e кнудсенов-

сжатия и формирования ударной волны и влияет

ского слоя по пробегу электрона [76].

на процесс расщепления ударной волны на упругий

814

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

предвестник и пластическую ударную волну [70,76].

ресные исследования по гидродинамике тонких пле-

К проблемам лазерной инициации ударной волны

нок, выполненные в секторе [63, 85-97]. Здесь пере-

мы вернемся ниже, в разделе, посвященном удар-

числены работы, посвященные гидродинамике тон-

ным волнам.

ких пленок, подвергнутых воздействию остросфоку-

Анализ гидродинамических последствий резко-

сированных (пятно освещения на пленке ограниче-

го возрастания коэффициента теплопроводности на

но дифракционным пределом) ультракоротких им-

двухтемпературной стадии был проведен в нашем

пульсов излучения.

секторе [76,79]. На рис. 6 и 7 в работе [79] средняя

Недавняя работа [98] коррелирует с представлен-

скорость расширения слоя плавления составляет

ными выше соображениями относительно резко уве-

20 км/с. Феномен чрезвычайно быстрого распрост-

личенного коэффициента температуропроводности

ранения тепла после воздействия фемтосекундного

на двухтемпературной стадии [97,99]. В радиальном

импульса на ранней стадии виден на графиках, по-

направлении в двухтемпературном режиме успева-

строенных численно во многих работах [81, 82]. Но

ет произойти небольшое расширение пятна нагре-

ранее данный феномен не связывали с двухтемпе-

ва на пленке; оно порядка d_T , но теперь d_T — это

ратурной стадией и с резким возрастанием коэффи-

расстояние в радиальном направлении (а не по нор-

циента температуропроводности на указанной ста-

мали к поверхности пленки), небольшое по сравне-

дии. Не было и физических объяснений (фермиев-

нию с радиусом R_L пятна лазерного нагрева, ес-

ская скорость), почему этот коэффициент так силь-

ли R_L ≈ 1 мкм или больше. Чтобы зафиксировать

но увеличивается.

эффект, радиус R_L должен быть как можно мень-

Уже в первых экспериментальных работах по

ше (дифракционный предел и применение лазеров в

воздействию фемтосекундных импульсов на тон-

УФ-диапазоне).

кие пленки отмечалась исключительно высокая ско-

рость распространения тепла из скин-слоя в глубь

3.4. Теплопроводность металлов в

пленки с быстрым достижением тыльной стороны

двухтемпературных состояниях

пленки и нагревом этой стороны, которое фикси-

Начиная с пионерской работы [43], в секторе

ровалось в опыте [83]. Использовались пленки зо-

проводилась большая работа по определению коэф-

лота толщиной 50-100 нм. Применялась техника

фициента теплопроводности в двухтемпературном

накачка-диагностика (pump-probe) измерений тер-

режиме [46, 47, 49, 61, 62, 75, 78, 100-109]. Правиль-

морефлектанса, т. е. изменения коэффициента отра-

ное описание теплопроводности имеет исключитель-

жения от поверхности при нагреве поверхности.

ное значение для моделирования двухтемпературой

В то время экспериментаторы объясняли такое

гидродинамики. После небольшой обзорной части

аномально быстрое распространение тепла с по-

приведем новые результаты, относящиеся к такому

мощью предположения о баллистическом пролете

тугоплавкому металлу, как рутений.

электронов всей толщины пластинки около 100 нм

Вначале предлагалась формула [110, 111]

без столкновений. На самом деле пробег электронов

меньше. Зато коэффициент температуропроводнос-

(t2e + 0.16)5/4 (t2e + 0.44) t_e

κ=C

√

(13)

ти χ на двухтемпературной стадии исключительно

t2e + 0.092

t2e + βt_i

велик — возрастает на два порядка по сравнению со

значениями при комнатной температуре.

где t_e = T_e/T_F , t_i = T_i/T_F , T_F — фермиевская тем-

Итак, ультракороткий импульс порождает ряд

пература. Формула (13) базируется на предположе-

тепловых и гидродинамических явлений. Если ми-

нии о том, что частота электрон-электронных столк-

шень толще, чем глубина прогрева d_T , то тепловая

новений растет по закону

эволюция слоя прогрева на двухтемпературной ста-

ν_ee = B T2e,

(14)

дии определяется значениями двух параметров, κ

и α (см. уравнение (5)). Зная эти значения можно

где коэффициент B постоянен, если T_e ≪ T_F .

оценить глубину прогрева d_T и продолжительность

Спрашивается, до каких температур, меньших

релаксации t_eq [59, 84].

T_F , справедливо выражение (14)? Этот вопрос был

В тонких пленках (d_f < d_T ) вещество по тол-

исследован в работе [47] на примере алюминия. Ока-

щине пленки прогревается быстро, даже до оконча-

залось, что довольно рано, при T_e ≈ 1 эВ, быстрый

ния двухтемпературной релаксации (d_f — толщина

(квадратичный) рост частоты (14) насыщается. При

пленки). Дальнейшая двухтемпературная тепловая

температурах выше указанной, частота (14) возрас-

эволюция зависит от параметра α. Отметим инте-

тает, но гораздо более медленно.

815

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

В работе [47] рассматривался однозонный ме-

, Вт/м . К

талл. В дальнейшем в наших работах были проана-

лизированы сложные случаи с переходными метал-

лами. В таких металлах зона проводимости форми-

600

e i

руется из s-, p- и d-зон.

T = 300 K_i

Были освоены методики квантовомеханических

расчетов с помощью теории функционала плотности

400

и вычислены электронные спектры (плотность элек-

тронных состояний как функция энергии) несколь-

ких металлов, см. перечисленные выше работы. Для

200

d-металлов был разработан подход, названный двух-

параболическим приближением. В этом приближе-

нии расчетный электронный спектр аппроксимиру-

ется двумя параболами. Одна парабола соответ-

ствует s- или sp-зоне электронного спектра. Вто-

T_e, кК

рая парабола аппроксимирует d-зону [49,103]. Двух-

параболический подход позволил рассчитать в тау-

Рис. 3. (В цвете онлайн) Теплопроводность твердого руте-

приближении теплопроводность κ и коэффициент

ния нормальной плотности 12.45 г/см³ в двухтемператур-

ных состояниях (кривая Σ). Теплопроводность Σ получена

электрон-ионного теплообмена α ряда d-металлов

сложением тепловых сопротивлений. Это парциальные со-

[49, 103].

противления. Одно из них связано с рассеянием электро-

В более простом по сравнению с (13) приближе-

нов, несущих тепловой поток, на ионах. Ему соответствует

нии для теплопроводности пишут

проводимость i. Второе сопротивление — следствие рассе-

яния s-электронов на s- и d-электронах рутения. Его пред-

κ = κrt T_e/T_i,

(15)

ставляет проводимость e

где κ_rt — коэффициент теплопроводности при ком-

натной температуре. Формула (15) применима в слу-

чае ультракоротких импульсов на двухтемператур-

, Вт/м. К

ной стадии, если можно пренебречь расширением

400

вещества. Смысл формулы (15) прост. Числитель

возникает в связи с ростом теплоемкости электрон-

ного газа, а знаменатель связан с рассеянием на фо-

300

нонах. Выше температуры Дебая частота ν_ei такого

рассеяния пропорциональна температуре решетки:

T_i = 0.3 кK

200

ν_ei ∝ T_i.

(16)

1.0 кK

Очевидный недостаток формулы (15) по сравне-

100

4.0 кK

нию с выражением (13) состоит в игнорировании

рассеяния на электронах. Соответственно формула

2.5 кK

(15) применима в ограниченном диапазоне темпе-

ратур, как правило, ниже T_e = (5-10) кК. Отме-

T_e, кК

тим интересное обстоятельство. Хотя формула (13)

учитывает частоту ν_ee, но влияние этой частоты на

Рис. 4. (В цвете онлайн) Теплопроводность твердого руте-

коэффициент κ начинается там, где перестает быть

ния нормальной плотности 12.45 г/см³ в двухтемператур-

верной аппроксимация (14). Однако здесь мы хотели

ных состояниях. Показано, как повышение температуры Ti

бы отметить другое, более тонкое обстоятельство.

ионной подсистемы сказывается на тепловой проводимо-

Дело в том, что в случае d-металлов с недозапол-

сти. Видно, что выше примерно Te = 10 кК повышение

ненной d-зоной нарушается формула (16). А имен-

Ti с 300 К на порядок величины мало меняет теплопро-

водность κ. Это связано с тем, что в этой горячей по Te

но, оказывается, что коэффициент пропорциональ-

области основным является электрон-электронное рассея-

ности в формуле (16) зависит от электронной темпе-

ние

ратуры T_e [102]. Эта зависимость весьма существен-

на, если верхний край E₂ d-зоны лишь немного пре-

816

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

восходит энергию Ферми: E₂ - E_F ≪ E_F . На участ-

мость α(T_e) для диэлектрика качественно отлича-

ке от энергии Ферми до края E₂ d-состояния пу-

ется от случая металла. При малых температурах

стые при низких температурах T_e. К металлам с ма-

T_e электронов в зоне проводимости мало, поэтому

лыми значениями E₂ относятся, например, никель,

мощность теплопередачи α (T_e - T_i) в ионную под-

платина, палладий [112]. Расчеты [102] показывают,

систему (на единицу объема) мала.

что коэффициент пропорциональности в (16) резко

уменьшается при T_e ≤ E₂. Большие значения это-

3.6. Кольца Ньютона

го коэффициента (при T_e ≪ E₂) для металлов с

малыми значениями E₂ обусловлены высокой плот-

Выше изложены вопросы, относящиеся к физике

ностью пустых состояний возле уровня Ферми (эф-

двухтемпературных состояний. Это система урав-

фект Мотта [102]). При T_e ∼ E₂ эти состояния пере-

нений двухтемпературной гидродинамики (1)-(7),

стают быть пустыми.

двухтемпературные уравнения термодинамического

К сожалению, двухтемпературную теплопровод-

состояния (разд. 3.2), двухтемпературная теплопро-

ность каждого металла приходится рассчитывать

водность (разд. 3.4) и коэффициент обмена энер-

индивидуально. Применим описанную выше мето-

гией между электронной и ионной подсистемами в

дику для вычисления коэффициента теплопровод-

конденсированной среде (разд. 3.5). Формирование

ности рутения — важного тугоплавкого металла, ко-

двухтемпературных состояний обусловлено кратко-

торый применяется, например, в современных фото-

стью ультракороткого лазерного воздействия. Из-за

литографических машинах (см. разд. 3.7 про ком-

сверхзвукового характера охвата теплом приповерх-

панию ASML). Результаты расчетов показаны на

ностного слоя толщиной d_T (см. разд. 3.3) акустиче-

рис. 3 и 4. Теплопроводность κ вычисляется в два

ское движение этого слоя запаздывает относительно

шага. Сначала находится тепловое сопротивление,

времени нагрева. Такое запаздывание имеет важные

вызванное рассеянием на ионной подсистеме. Потом

гидродинамические последствия.

определяется электрон-электронный вклад в сопро-

Получается, что ультракороткая вспышка

тивление. Далее сопротивления складываются, как

«мгновенно» (для звука) формирует нагретый

для двух последовательно соединенных проводни-

слой, т. е. механически пассивное покоящееся

ков.

вещество с нулевым давлением “мгновенно” пре-

Суммарное сопротивление асимптотически вы-

образуется в вещество с достаточно высоким

ходит на ионное сопротивление при низких темпе-

давлением в нем. Разумеется, такое вещество на

ратурах T_e. Действительно, при таких температу-

звуковых масштабах времен t_s = d_T /c_s начинает

рах возбужденных электронов мало. Поэтому элект-

разгружаться в две стороны (закон сохранения

рон-электронный вклад в сопротивление ничтожен.

импульса). Разгрузка в сторону мишени порождает

При высоких температурах T_e, наоборот, электрон-

волну сжатия в мишени, а разгрузка в сторону

электронное рассеяние доминирует.

вакуума (или другой прилегающей к мишени сре-

ды с малым акустическим импедансом) является

3.5. О внутреннем тепловом потоке от

волной разрежения. С волной разрежения связано

горячих электронов в ионную подсистему

формирование растягивающих напряжений. При

Передача энергии от горячих электронов к

достаточной (но и не слишком большой) их ампли-

ионам пропорциональна коэффициенту α

(5)

туде, превышающей предел прочности вещества

обмена энергией между электронной и ионной

на растяжение, начинается генерация зародышей

подсистемами. Вычислению коэффициента α

несплошностей — пустот в конденсированной среде

посвящено много работ. В нашем подходе с двух-

(нуклеация).

параболической аппроксимацией электронного

Такая генерация заканчивается отрывом припо-

спектра коэффициент α вычисляется раздельно

верхностного слоя толщиной порядка d_T от основ-

для электронов s- и d-зон [49]. Таким образом, сум-

ного тела мишени. Это явление подробно изучено в

марное значение α складывается из парциальных

нашем секторе [1, 100, 114-118] и ныне хорошо из-

вкладов, α = α_s + α_d.

вестное в литературе [81,82,119-122]. Расчеты пока-

Отметим также важную работу [113] (см. в ней

зывают, что порог абляции (так называется отрыв

гл. 4 и рис. 4), в которой был вычислен коэффи-

вещества в лазерных приложениях) в 2-3 раза вы-

циент α для не металлического вещества, т. е. для

ше порога плавления. Поэтому отрыв происходит в

вещества со щелью в электронном энергетическом

расплаве и называется кавитацией. Действительно,

спектре (широкозонный диэлектрик LiF). Зависи-

при больших превышениях над порогом плавления

817

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

(в разы) кристалл оказывается сильно перегретым

фии на нанометровых масштабах; см. ASML (сайт

по ионной температуре. В таких условиях плавле-

https://www.asml.com/) про уже поставляемую за-

ние идет быстро, за атомные времена. Тогда на зву-

казчикам машину TWINSCAN NXE:3400B, работа-

ковом масштабе времен уже имеется сформировав-

ющую на длине волны 13.5 нм. Дробление капли

шийся приповерхностный слой жидкой фазы.

жидкого олова лазерным импульсом в «оловянной

Отметим тонкую зависимость от над- или подпо-

лампочке» исследовано в работах [140, 141]. Кап-

роговости. Важную роль начинают играть поверх-

ля диаметром десятки микрон падает из дозатора

ностное натяжение и баланс между капиллярностью

и разбивается на мельчайшие фрагменты лазерным

и темпом рекристаллизации расплава. Например,

ударом. Диапазон энергий порядка 100 эВ относят

это приводит к формированию приповерхностного

к мягкому рентгену или вакуумному ультафиолету

пористого слоя из вмороженных в твердую матрицу

(extreme ultraviolet).

нанокаверн [123, 124].

Кроме того, выполняется работа с группой лазе-

Первая яркая (и неожиданная) манифестация

ра SACLA (SPring-8 Angstrom Compact Free Elect-

термомеханического характера лазерной абляции

ron Laser) на свободных электронах организации

при ультракоротком воздействии была обнаружена

RIKEN в Японии. Исследовано действие остросфо-

в замечательной работе 1998 г. [125] группы Дит-

кусированного лазерного импульса с тороидальным

риха фон дер Линде из Эссена. Наблюдалось по-

распределением интенсивности по пятну (вихревой

явление интерференционных колец Ньютона, число

пучок, сформированный спиральной зонной плас-

которых на пятне освещения увеличивалось с тече-

тинкой Френеля) на сложные мишени (ламинаты).

нием времени. В этой связи в начале предлагалось

Пучок имеет рекордные параметры: диаметр пят-

приписывать это явление креации некой переходной

на порядка микрона, длительность импульса 10 фс,

фазы вещества, оптические характеристики которо-

энергия жесткого рентгеновского фотона 7.71 кэВ

го намного отличаются от стандартных и к тому же

[139].

меняются с течением времени.

В нашем секторе удалось объяснить это явле-

3.8. Хаотическое структурирование

ние с помощью представления о термомеханиче-

поверхности

ской абляции, кавитации и отколе [1, 100, 114-118].

Так появилось понятие о наноотколе — свет про-

Хаотическое микро- наноструктурирование по-

ходит сквозь откольную пластину дважды; значит

верхности ультракороткими импульсами было обна-

ее толщина порядка или меньше толщины 10-20 нм

ружено экспериментально [142-146]. Явление разра-

скин-слоя для оптического диапазона частот. Такая

батывается во множестве последующих исследова-

картина абляции тогда оказалась неожиданной для

ний, поскольку имеет огромный спектр важных при-

физиков, занимавшихся изучением взаимодействия

ложений. Сюда относятся заданная вариация опти-

лазер-вещество. Дело в том, что привычными были

ческих характеристик поверхности, использование

представления об испарительном характере абляции

сфабрикованных метаповерхностей в качестве высо-

при лазерных потоках умеренной интенсивности.

кочувствительных сенсоров, изменение каталитиче-

ских свойств, смачиваемости и коэффициента тре-

ния (трибология).

3.7. Рентгеновские источники

Микро- и наноструктуры с пространственными

Много работ выполнено в секторе по рентгеновс-

масштабами 10-100 нм (меньше оптической дли-

ким лазерам [79,113,126-141]. Они относятся к абля-

ны волны) резко усиливают слабые падающие на

ции ультракороткими импульсами. Лазер с энергией

поверхность электромагнитные поля [91]. Усиление

фотона 90 эВ и длительностью импульса 7 пс создан

имеет место в крошечных локальных объемах на

в Институте фотонных наук (Kansai Photon Science

остриях металлических структур (капиллярные на-

Institute). Наш сектор осуществляет совместные ис-

нокапли, венчающие замороженные джеты) и в тес-

следования приложений рентгеновской лазерной аб-

ных промежутках между соседними выпуклостя-

ляции с сильной лазерной группой этого инсти-

ми поверхности. С этим связано почернение хоро-

тута, а также совместно с лабораторией диагнос-

шо отражающих металлов [142,143] и сильные изме-

тики вещества в экстремальном состоянии ОИВТ

нения коэффициента диэлектрической проницаемо-

РАН. Энергия фотона 90 эВ близка к энергии фо-

сти (метаповерхности). Высокоамплитудные точеч-

тона 92 эВ, используемой в «оловянной лампочке».

ные электрические поля усиливают эффект Рамана

Это источник света для современной фотолитогра-

и фотолюминесценцию [91]. На этом основано при-

818

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

менение структурированных поверхностей в высоко-

же в сравнении с ультракоротким ударом. Главное,

чувствительных сенсорах [91]. Резким фрактальным

в случае длинного импульса кавитации нет. Соот-

увеличением площади и нанорельефом обусловле-

ветственно нет пены, ее разрыва и замораживания

на высокая каталитическая активность и вариация

остатков. Следовательно, не будет хаотических по-

смачиваемости (эффект листа лотоса) и трения.

верхностных структур. Таким образом, между сред-

Работы нашего сектора были первыми, которые

ними и продолжительными воздействиями пролега-

объяснили физические причины формирования ха-

ет граница, которая разделяет принципиально раз-

отических микро- наноструктур [70,77,100,104,116,

ные затвердевшие финальные поверхности.

123, 147-153]. Мы связали воедино ультракороткое

воздействие, плавление, термомеханическую нукле-

ацию, вспенивание горячего расплава металла, рас-

4. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

ширение пены, формирование пены в виде совокуп-

ности ячеек Вороного (ячейки, ограниченные плос-

Важным является научное направление, связан-

кими гранями), процесс разрыва мембран вместе с

ное с акустическими и ударными волнами. По дан-

кристаллизацией остатков разрыва мембран на по-

ному направлению в секторе выполнен огромный

верхности мишени. При сильных воздействиях пена

объем работ. Тема сложная, имеет много разветвле-

имеет несколько отчетливо видных ярусов. По мере

ний и переплетается с динамическими явлениями.

продвижения волны растягивающих напряжений в

Динамика обусловлена как генерацией и формиро-

объем от облученной поверхности сначала формиру-

ванием ударных волн (прохождение зоны расплава,

ется первый ярус пузырьков, потом второй. Число

опрокидывание), так и с гидродинамическими по-

ярусов растет с увеличением поглощенной энергии.

следствиями их распространения (сжатие и пере-

Но ярусов не более 2-3.

мещения среды, фазовые превращения в веществах

При сильных воздействиях верхние порции про-

под давлением).

гретого вещества (они располагались ближе к по-

Изучена внутренняя структура ударных волн в

верхности) разлетаются в виде двухфазной смеси

газах и конденсированных средах (жидкостях и кри-

пар-жидкость. Ярусы пены расширяются со ско-

сталлах) [115,155-161]. Структура появляется из-за

ростью, которая меньше скорости разлета верхних

вязких и диффузионных процессов, из-за релакса-

порций. Они расширяются под верхними порция-

ции колебательных степеней свободы [155, 157, 159].

ми. На начальных стадиях температура вещества в

В других случаях уширение фронта обусловлено

ярусах находится в интервале между температурой

возбуждением молекул, ионизацией и химическими

плавления и критической температурой. Именно эта

реакциями [155,162]. В конденсированной фазе име-

последовательность явлений завершается кристал-

ется минимальный масштаб — межатомное расстоя-

лизацией остатков пены первого яруса и образова-

ние [115, 158-161]. Сложным образом протекает ре-

нием поверхностного микро- нанорельефа.

лаксация в кристаллах. В частности, появляется за-

Добавим, что для получения хаотических струк-

висимость от ориентации кристаллической решетки

тур необходимо добиться значительных растягива-

относительно фронта ударной волны [115].

ющих напряжений, приводящих к кавитации. Для

Проанализирован комплекс вопросов, относя-

этого требуется, чтобы длительность τ_L лазерного

щихся к радиационным ударным волнам. Здесь ска-

импульса не слишком превышала звуковой масш-

зано «радиационный» не в смысле того, что часть

таб t_s = d_T /c_s. Величина t_s зависит от материала.

давления за фронтом связана с давлением излуче-

Особенно велик этот масштаб в случае золота, t_s =

ния. Говорится о структуре ионизационных скач-

= 30-50 пс. Это связано с большой глубиной про-

ков, поддерживаемых поглощением лазерного излу-

грева d_T

= 100-150 нм и малой скоростью звука

чения, проходящего через прозрачный газ и падаю-

c_s ≈ 3 км/с. Глубина прогрева в золоте получает-

щего на ионизированный слой [163-165]. Из-за иони-

ся большой, так как двухтемпературная релаксация

зации поглощательная способность газа меняется.

идет медленно, а теплопроводность велика.

Исследовано распространение ударных волн в

В наших расчетах для золота в воде [154] сравни-

плазме. В разреженной горячей плазме кинетичес-

вались ультракороткие импульсы с τ_L < 1 пс, проме-

кий пробег частиц велик. И эффективно «столк-

жуточные импульсы с τ_L = 50 пс и длинные импуль-

новения» появляются из-за раскачки плазменных

сы с τ_L = 0.5 нс; τ_L — время уменьшения интенсив-

неустойчивостей (двухпотоковая, Вайбеля). Поэто-

ности e раз: I(t) = I₀ exp(-t²/τ2L). В случае проме-

му структура волны связана не с привычными ре-

жуточной длительности кавитация начинается поз-

альными столкновениями частиц, а с хаотически-

819

16*

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

ми электрическими полями, генерируемыми за счет

Кроме сильного взрыва и короткого удара, о ко-

плазменных неустойчивостей, — бесстолкновитель-

торых говорилось выше, с ударными волнами связа-

ные ударные волны [166].

но много динамических явлений. В работах сектора

было изучено схождение ударной волны к центру

Много внимания было уделено проблемам силь-

ного взрыва. Классическим является точное ре-

для задач кумуляции и имплозии, для генерации

термоядерных нейтронов [10,183].

шение Седова. Но оно получено для идеального

Другой круг ударноволновых явлений связан с

газа с постоянными теплоемкостями. Спрашива-

ется, каким будет сильный взрыв или короткий

пробиванием преград и формированием ударных

кратеров при высокоскоростном ударе частиц (см.

удар Зельдовича и Вайцзеккера в реальных сре-

дах? Эта проблематика была детально изучена в

разд. 2).

работах сектора под руководством С. И. Анисимо-

Диапазон умеренных амплитуд давлений в

ва

[162,165,167-169] (сильный взрыв и приложе-

единицы-десятки гигапаскаль представляет боль-

ния теории сильного взрыва) и [170, 171] (короткий

шой интерес для современных технологических

удар — влияние характеристик конденсированной

приложений [60, 80, 184-195]. В секторе выполнено

фазы).

много работ по этой обширной тематике. Изучено

формирование сначала волны сжатия, а затем

Весьма существенными являются вопросы о

ударной волны при воздействии ультракоротко-

влиянии уравнения термодинамического состояния

го импульса. Показано, что порог пластичности

на ударные волны (например, гидроакустические

сильно сдвигается вверх в сторону повышения

неустойчивости ударных волн) и об определении

прочности при ультракоротком воздействии

уравнения состояния с помощью ударных волн. Ра-

[60, 185-188, 190, 194, 196-198]. Поэтому ударные

боты [8,9,172] посвящены использованию лазерных

волны остаются упругими даже при нагрузках, на

ударных волн для нахождения ударной адиабаты

порядок превышающих те, при которых происходит

(адиабата Гюгонио) и уравнений состояния. Иссле-

переход кристалла в пластическое состояние при

дования относились к генерации мощных ударных

воздействиях более традиционными средствами

волн с амплитудами в единицы-десятки мегабар

(метание пластинок).

[9, 173].

Многие годы наши исследования продолжают-

Детально был изучен вопрос о газодинамических

ся совместно с ОИВТ РАН [60, 70, 74-78, 86, 104,

неустойчивостях ударных волн, обусловленных осо-

116, 123, 149-153, 184, 194, 196, 199-216]. В частно-

бенностями уравнения состояния и, соответственно,

сти, в этом отделе выполнялись тонкие опыты на

адиабаты Гюгонио [174-180]. Обнаружено существо-

высокочувствительной аппаратуре с использовани-

вание неустойчивых и нейтрально-устойчивых ре-

ем пленок алюминия, железа, ванадия, олова и

жимов. Определены соответствующие области фа-

др. материалов. Более 10 лет исследовалось про-

зовых диаграмм веществ. Описано излучение аку-

хождение лазерных ударных волн через пленку

стических волн и энтропийно-вихревых мод. Эти яв-

[184, 185, 211, 217-219]. Важный вклад в работу по

ления схожи с теми, которые наблюдаются при дето-

ударным волнам в пленках внес Канель (ОИВТ

нации. Близкие акустические процессы протекают

РАН). Он связал данные, полученные при ульт-

также при прохождении ударной волны через ска-

ракоротких нагрузках, с данными своих измере-

чок плотности на контакте двух газов (неустойчи-

ний с помощью VISAR на миллиметровых мишенях

вость Рихтмайера - Мешкова).

[211,218-220]. В результате получены зависимости в

Имеет место взаимодействие ударной волны с

широчайшем диапазоне темпов деформации от 10⁵

тыльной границей мишени и сопутствующие отколь-

до 10⁹ с-1. Показано, что при ультравысоких тем-

ные явления [?]. Откольные явления неразрывно

пах деформации прочность металлов приближает-

связаны с процессами «пыления». Так называется

ся к предельным значениям, которые определяются

неустойчивость Рихтмайера - Мешкова, разыгрыва-

межатомным взаимодействием [211, 218-220].

ющаяся на границе двух сред (твердой или жид-

Обнаружен новый режим существования упруго-

кой конденсированной среды и вакуума) при выходе

пластических ударных волн [60, 187, 192, 193, 196,

ударной волны на границу.

197]. Теперь классификация режимов распростра-

Исследована динамика столкновения двух сверх-

нения ударных волн в твердых телах следующая:

звуковых потоков с формированием двух ударных

(I) чисто упругие волны; (II) упруго-пластические

волн и контактной границы. Рассмотрен вопрос об

ударные волны, в которых скорость упругой волны

устойчивости контакта [181, 182].

больше скорости пластической волны; (III) упруго-

820

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

пластическая ударная волна, которая движется как

Подсчитаем давление на поршне на границе ре-

целое с единой скоростью распространения [60,187,

жимов II и III. Пластическая адиабата Гюгонио есть

192,193,196,197]; (IV) чисто пластическая ударная

u_s = c_plast + a_plast u_p.

(17)

волна. Ранее режим III был неизвестен.

В уравнении (17) величина u_s — скорость одновол-

новой структуры, u_p — скорость поршня, который

4.1. Одноволновой упруго-пластический

поддерживает одноволновую структуру. Для алю-

режим распространения

миния пластическая скорость звука равна c_plast =

= 5.35 км/с, коэффициент a_plast = 1.37 [185,187,211].

Рассмотрим вопрос о границах существования

На границе режимов II и III скорость u_s одно-

режима III. На рис. 5 показана кривая «hydrostat»

волновой структуры снижается до упругой скорос-

трехосного однородного гидростатического сжатия

ти звука c_elast. Подставляя в (17) упругую скорость

упруго-пластического тела. Упруго-пластическая

звука алюминия c_elast ≈ 6.5 км/с, определяем ско-

структура, распространяющаяся с единой скоро-

рость поршня на границе II/III:

стью, представляется прямой Рэлея. Соответству-

u_p|_min = (c_elast - c_plast)/a_plast = 840 м/с.

(18)

ющая прямая пересекает сначала упругую (H_elast),

а затем пластическую (H_plast) адиабаты Гюгонио.

Сжатие за пластической ударной волной в слу-

Давление на поршне, который поддерживает рас-

чае (18) равно

пространение этой стационарной структуры, равно

)

давлению в точке пересечения прямой Рэлея и

⁽V

u_p|_min

=1-

пластической ударной адиабаты.

V₀

c_elast + a_plast u_p|_min

plast|min

Пусть d — расстояние между упругим и пласти-

= 0.87,

(19)

ческим скачками в режиме III. Режим III переходит

в режим IV, когда расстояние d сокращается до по-

где u_p|_min дается соотношением (18).

стоянной решетки. При этом скорость распростра-

Давление на поршне на границе II/III равно

нения равна D_elast|_max (см. рис. 5). Соответствую-

p_plast|_min =

щее давление на поршне равно 40-65 ГПа в случае

алюминия [187].

1 - (V/V₀)_plast|_min

=ρ₀c²

plast [1 - a_plast(1 - (V/V₀)_plast|_min)]²

= 14.9 ГПа.

(20)

На рис. 5 — это давление в точке пересечения пла-

D_elast\max

стической ударной адиабаты H_plast и прямой Рэлея,

c_elast

относящейся к упругой скорости звука c_elast. Значе-

H_elast

ние (20) определяет нижнюю границу интервала су-

ществования одноволновой структуры. Расстояние

d, разделяющее упругий и пластический скачки, в

H_plast

случае (20) велико, на много порядков больше меж-

Hydrostat

атомного расстояния.

c_plast

4.2. Остаточные деформации и напряжения

после ультракороткого воздействия

0.5

1.0

V/V₀

Проблемы, относящиеся к ультракоротким ла-

зерным импульсам, обсуждались выше в разд. 3.

Рис. 5. (В цвете онлайн) Гидростатическое сжатие (кри-

В данном разд. 4 рассматриваются ударные волны.

вая Hydrostat) и ударные адиабаты, упругая H_elast и плас-

Приведем результаты, касающиеся остаточных де-

тическая H_plast. Показаны пластическая c_plast и упругая

формаций и напряжений после воздействия ульт-

c_elast скорости звука. Одноволновой упруго-пластический

ракороткого лазерного импульса. Как говорилось в

режим распространения существует в интервале между

разд. 3.8, с такими воздействиями связано форми-

предельной скоростью D_elast|max одноволновой структу-

ры и упругой скоростью звука c_elast

рование поверхностных структур. При воздействи-

ях около порога абляции (несколько ниже порога)

821

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

образуются нанопористые подповерхностные струк-

p , s₁₁, ГПа

, г/см³

туры (см. разд. 3.8).

Здесь приведем новые результаты, которые опи-

сывают состояние металла ниже пористого слоя.

Нас интересуют остаточные деформации и напря-

p₁₁

жения, которые оставляет за собой сильная ударная

t = 51.2 пс

волна. Ударная волна формируется в приповерх-

ностном слое высокого давления, который возника-

ет на временах порядка t_s = d_T /c_s после ультрако-

роткого лазерного воздействия. Для алюминия этот

масштаб времени равен 20 пс.

-2

Формирование волны сжатия, ее распростране-

ние в объем полубесконечной мишени, опрокидыва-

200

400

x, нм

ние волны сжатия исследованы достаточно. Спра-

шивается, каково асимптотическое состояние ковко-

Рис. 6. Профили плотности ρ, продольного давления p11 и

го металла после ухода ударной волны на бесконеч-

сдвигового напряжения s = (1/2)[p11 - (p22 + p33)/2]. Ам-

плитуда ударной волны 6 ГПа; 1 — след в профиле плотно-

ность. При слабых воздействиях (существенно ниже

сти от подповерхностных пузырьков. Профили представля-

порога плавления) металл возвращается в началь-

ют собой результаты усреднения по направлениям 22 и 33,

ное состояние: происходит, во-первых, остывание на-

поперечным по отношению к направлению 11. Направле-

гретого слоя, и, во-вторых, упругая волна сжатия

ние 11 перпендикулярно начальному положению плоской

не оставляет остаточных деформаций. Воздействия

границы алюминия. Метка 2 — фронт плавления, жид-

с амплитудой около порога абляции слабыми счи-

кая фаза располагается левее этого фронта; 3 — отколь-

тать не приходится. При таком воздействии возни-

ный импульс, который образуется в момент нуклеации пу-

кает горячий слой расплава, амплитуда растягива-

зырьков и снимает растягивающее напряжение. На фронте

ющих напряжений достаточна, чтобы инициировать

плавления сдвиговое напряжение s скачком обращается в

кавитацию.

нуль

На рис. 6 показана ситуация на околозвуковой

(t = 51.2 пс ∼ t_s) стадии после воздействия немно-

p , s₁₁, ГПа

, г/см³

го ниже порога абляции алюминия; ниже абляцион-

ного порога нет термомеханического отрыва веще-

t = 205 пс

ства, хотя, если превышен порог нуклеации, кавита-

0.2

ция имеет место. Поглощенная энергия 70 мДж/см².

p₁₁

Имеется достаточно мощная ударная волна, за ко-

торой начинается образование пластических дефор-

маций. Рисунок 6 и последующие представляют ре-

зультаты крупномасштабного молекулярно-динами-

ческого моделирования — число атомов около 400

миллионов. Толщина плоской пластинки 500 нм.

-0.2

Размеры системы 500 × 500 × 24 нм³. На правой

границе слоя действует граничное условие, кото-

200

400

x, нм

рое пропускает акустические возмущения без их от-

ражения. Таким образом, наша постановка эквива-

Рис. 7. Профили и обозначения такие же, как на рис. 6.

лентна воздействию на полубесконечную мишень.

Отметим смену знака напряжения s в твердом слое 1 около

Развитие остаточных деформаций и напряжений

слоя расплава

представлено на рис. 7. Ударная волна давно по-

кинула рассматриваемый слой через правую грани-

цу x = 500 нм. Момент времени, соответствующий

остаточные напряжения. Отметим образование осо-

рис. 7, составляет 10 t_s. Продолжающиеся процес-

бого тонкого слоя твердой фазы у самой границы

сы — это, во-первых, теплоотвод из горячего поверх-

твердой и жидкой фаз. Этот особый слой отмечен

ностного слоя. На границе, разделяющей жидкую и

цифрой 1 на рис. 7.

твердую фазы, имеет место скачок плотности, ср.

Эволюция напряжений внутри слоя при x

с меткой 2 на рис. 6. Во-вторых, эволюционируют

< 500 нм прослежена на рис. 8 и 9. Видим, как

822

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

s, ГПа

, г/см³

p , s₁₁, ГПа

0.2

p₁₁

0.1

p₁₁

-0.1

-2

-0.2

200

400

600

200

400

x, нм

t, пс

Рис. 10. (В цвете онлайн) Полное затвердевание алюми-

Рис. 8. (В цвете онлайн) Максимальные по модулю значе-

ния при t = 614 пс. Продольное давление уменьшается

ния продольного давления p11 (берутся со своими знака-

практически до нуля. Но поперечные напряжения остаются

ми) в алюминии показаны большими красными кружками.

на значительном уровне порядка 200 МПа. Особый слой,

Видно прохождение ударной волны по слою x < 500 нм —

отмеченный цифрой 1 на рис. 7, остается и после затвер-

первый красный кружок с давлением 6 ГПа (ср. с про-

девания нанополостей внутри твердой матрицы

филем на рис. 6). Далее ударная волна уходит в толщу

мишени. По слою бежит волна разрежения. Растяжениям

соответствуют второй и третий красные кружки. На боль-

ших временах продольное давление снижается до нулевых

значений, поскольку рассматриваемый слой граничит с ва-

куумом

p , s₁₁, ГПа

0.4

Рис. 11. (В цвете онлайн) Карты плотности (а) и пара-

метра симметрии (б) на момент времени 614 пс. Видны

остатки нанопузырьков, затвердевших в твердой матрице.

Параметр симметрии уменьшается на границах дислока-

-0.4

ций, которым соответствуют темные линии

-0.8

достаточно мощная ударная волна пробегает рас-

p₁₁

-1.2

сматриваемый слой и покидает его, уходя в толщу

мишени. За ударной волной из рассматриваемого

-1.6

слоя уходит волна разрежения. Как известно, вол-

200

400

600

на разрежения образуется вследствие распада слоя

t, пс

высокого давления на две волны Даламбера. Одна

Рис. 9. (В цвете онлайн) Снижение продольного давления

из волн Даламбера идет в толщу металла, а другая

в алюминии с течением времени до нулевого значения —

отражается от свободной границы мишени, меняет

это процесс продольной разгрузки (см. подпись к рис. 8).

знак (из сжатия в растяжение) и распространяется

При этом остаточные напряжения в поперечных направле-

следом за волной сжатия.

ниях в толще слоя (вне особого слоя 1 на рис. 7) выходят

Эволюция напряжений продолжается после ухо-

на свои квазистационарные значения, отличные от нуля.

да из нашего слоя комбинированного акустического

С ними связано формирование поля остаточных дефор-

(амплитуды малы по сравнению с объемным моду-

маций

лем) возмущения (см. рис. 9). Это комбинирован-

ное возмущение состоит из волн сжатия и разре-

823

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

жения. Амплитуда акустических возмущений доста-

Это первое упрощение. Второе связано с отказом от

точно велика, чтобы инициировать движение дисло-

оптических спектров и от разделения по отношению

каций. Квазиасимптотическое состояние слоя пока-

заряд/масса (z/m) в магнитном поле. Вместо это-

зано на рис. 10 и 11.

го просто прикладывается электростатическое поле,

Квазиасимптотическое состояние (см. рис. 10 и

которое создается заземленной сеткой в промежут-

11) достигается на больших временах после ухода

ке между мишенью и анодом с одной стороны и сет-

акустических возмущений. Момент времени, пока-

кой с другой. На мишени поддерживается постоян-

занный на этих двух рисунках, соответствует 30 зву-

ное положительное напряжение [224].

ковым масштабам t_s. Остаются вмороженные пу-

Ионы вытягиваются из плазменного облака элек-

зырьки и металл, составленный из мельчайших кри-

трическим полем конденсатора; сетка и анод дейст-

сталлитов вокруг пузырьков. Из-за чрезвычайно

вуют аналогично обкладкам конденсатора. Чем вы-

мелких размеров кристаллитов (единицы наномет-

ше отношение z/m иона, тем с большей скоростью

ров) этот слой показан темно-зеленым цветом на

вылетает ион за сетку. Вылетевшие ионы направ-

нижнем из рис. 11. Именно к этому особому слою

ляются в первую пролетную трубу масс-рефлект-

относится смена знака сдвигового напряжения на

рона. Для повышения разрешения прибора по мас-

рис. 7 и 10. Но и в подстилающем слое остаются

се ПУМА выполнена в виде масс-рефлектрона. Ре-

деформации (тонкие зеленые линии на рис. 11) и

флектрон состоит из первой трубы, рефлектора и

напряжения (см. рис. 10).

второй трубы [222,224,227]. В конце второй трубы

установлен коллектор ионов, фиксирующий время

прихода ионов на коллектор. Отсчет времени запус-

5. ФИЗИКА СВЕРХСКОРОСТНОГО УДАРА

кается оптической вспышкой от прилетевшей пы-

И ПЫЛЕУДАРНЫЙ МАСС-АНАЛИЗАТОР

линки.

Более быстрые ионы из группы ионов с одинако-

С исследованиями кометы Галлея (см. разд. 2)

вым отношением z/m глубже залетают в рефлект-

связано много физических задач. В разд. 2 пред-

рон с электрическим полем, отталкивающим поло-

ставлены результаты по противопылевой защите и

жительный заряд. Поэтому более быстрые ионы на-

по прибору «Фотон» (анализ крупных кометных пы-

ходятся в рефлектроне дольше. Это обстоятельство

линок по массам и временам прибытия на «Фо-

сильно сужает в масс-спектре линию, относящуюся

тон»). Эти результаты были получены благодаря со-

к данной группе z/m.

дружеству научного коллектива под руководством

В работах [221-229] была проанализирована эф-

В. Е. Фортова и сектора физической гидродинами-

фективность работы прибора ПУМА, предложены

ки ИТФ им. Л. Д. Ландау. Другой важнейший ас-

пути его оптимизации, например, применение сту-

пект космической миссии относился к анализу хи-

пенек на серебряной пластинке мишени. Были ре-

мического и изотопного составов пыли (в частно-

шены проблемы физики высокоскоростного удара и

сти, в связи с гипотезами о происхождении жиз-

расшифровки спектров. Уширения линий и искаже-

ни на Земле). Для такого анализа на межпланет-

ния спектров связаны с конечными распределени-

ных аппаратах Вега 1 и

и на Джотто были

ями вылета ионов по углу и скорости и, главное,

установлены приборы ПУМА (пылеударный масс-

с действием объемного заряда плазменного обла-

анализатор) [221-229].

ка из вещества пылинки и мишени. Электростати-

Существует ряд способов исследования химиче-

ка объемного заряда существенно экранирует внеш-

ского состава. Имеются устройства с ионизацией

нее вытягивающее поле конденсатора и сказывается

лазерным воздействием и выяснением состава пу-

на времени вытягивания ионного заряда из облака

тем обработки оптических спектров вспышки. Име-

[221-224, 226].

ются магнитные масс-анализаторы. Эти два вида

Итоги миссии. Приборы ПУМА на борту ап-

устройств трудно использовать на космическом бор-

паратов Вега 1 и 2 и Джотто позволили впервые

ту из-за большой массы лазера или магнитов и их

прямым образом (до этого были только данные аст-

технической сложности.

рономических наблюдений) получить сведения от-

Была предложена исключительно оригиналь-

носительно физических и химических характери-

ная концепция. Зачем нужны внешние источники

стик кометной пыли. Выяснилось, что концентра-

ионизации (лазер, электронный пучок, дуга), когда

ция пылинок массой менее 10-14 г и размерами ме-

пылинка ионизуется вследствие ультраскоростного

нее 100 нм (нанопыль) намного больше, чем пред-

удара (скорость соударения 80 км/с, см. разд. 2)?

сказывалось моделями кометной комы. Другое важ-

824

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

нейшее наблюдение, кроме обилия нанопыли, за-

Ранее постановка с контактом быстро вращаю-

ключалось в обнаружении органики. Оказалось, что

щегося (существенная доля от кеплеровской скорос-

большая часть пылинок сильно обогащена легкими

ти на поверхности звезды) течения вдоль пояса ко-

элементами, такими как водород, углерод, азот и

нечной ширины по полярному углу не рассматри-

кислород. Данные наблюдения свидетельствуют в

валась. Вместо нее рассматривался диск в духе ре-

пользу моделей, которые описывают кометные ве-

шения Шакуры и Сюняева [235], а механическое

щества как льды, прошедшие серьезную радиаци-

взаимодействие со звездой привносилось в это ре-

онную обработку.

шение с помощью граничного условия на диск, кото-

Было обнаружено формирование электронной

рое ставилось на поверхности звезды [236]. Враща-

струи [223]. Такая струя образуется в случае плаз-

ющийся поток движется над поверхностью звезды

менного облака во внешнем электрическом поле об-

со сверхзвуковой скоростью [230, 233,237]. Взаимо-

ратной полярности, когда внешнее поле вытягива-

действие со звездой происходит через турбулентное

ет электроны из облака (облако на катоде). Пока-

трение [230].

зано [223], что за счет суммарного поля (внешнее

Важное значение имеет определение скоростей

плюс объемный заряд) рельеф электростатического

плазмы, наполняющей межгалактические простран-

потенциала имеет точку перевала.

ства в кластерах галактик. Эти скорости связаны

Эта точка аналогична точкам перевала в сум-

с крупномасштабными движениями и турбулентно-

марном поле гравитационного и центробежного по-

стью [231]. В результате происходит существенное

тенциалов двух масс, вращающихся вокруг общего

гидродинамическое уширение рентгеновских эмис-

центра масс. Истечение электронов из облака проис-

сионных линий. Измерение ширин линий в несколь-

ходит через точку перевала и поэтому имеет харак-

ко электронвольт вполне возможно с практической

тер коллимированной струи. Отметим, что враща-

точки зрения для современных космических рент-

ющаяся система двух гравитирующих точек имеет

геновских обсерваторий с криогенными детектора-

пять точек перевала, называемых точками Лагран-

ми. Измерения формы и ширины линий дает ценную

жа, или точками либрации. Известно, что перевалка

информацию о поле межгалактических скоростей, а

вещества в двойной системе с заполненной полостью

следовательно, о глобальном распределении масс и

Роша происходит в виде струи через внутреннюю

темной материи (dark matter), о течениях охлажде-

точку Лагранжа. Например, таким образом проте-

ния (cooling flow) и об ударных волнах, генерируе-

кает аккреция в маломассивных двойных системах.

мых релятивистскими джетами центрального объ-

екта.

6. АСТРОФИЗИКА

В нашей работе

[231] для вычисления фор-

мы радиационных линий использовано спектраль-

Сектор лазеров и плазмы ИТФ им. Л. Д. Ландау

ное представление инерционного интервала кол-

РАН выполнил ряд работ по астрофизике. Исследо-

могоровского каскада, перекачивающего кинетиче-

вания велись совместно с Р. А. Сюняевым в ИКИ

скую энергию из крупных в мелкие масштабы. На-

РАН и MPI for Astrophysics [230-234]. Было описа-

блюдения и измерения кинематического эффекта

но контактное присоединение аккреционного диска

Сюняева - Зельдовича и профиля рентгеновских ли-

к нейтронной звезде со слабым магнитным полем, не

ний дают взаимодополняющие сведения о поле ско-

способным отодвинуть диск от поверхности звезды

ростей.

и создать магнитосферу в разрыве между диском

В работе [233] рассмотрена аккреция на сверх-

и поверхностью. Оказалось, что за счет аккреции

массивную черную дыру масштаба М87. Типичным

углового момента диска на поверхность по поверх-

является случай, в котором аккрецирующее вещест-

ности движется закрученный поток [230, 233]. Этот

во медленно (по сравнению с местной скоростью зву-

поток постепенно передает угловой момент звезде.

ка) вращается на радиусе Бонди R_B. Причиной вра-

Причем заметное дифференциальное вращение рас-

щения является дозвуковая турбулентность в газе

пространяется на довольно существенные глубины.

на расстояниях больших по сравнению с радиусом

Ширина потока по полярному углу, который от-

Бонди. Угловой момент l аккрецирующего вещества

считывается от плоскости экватора, пропорциональ-

на радиусе Бонди невелик. Тем не менее из-за со-

на темпу аккреции. Чем больше этот темп, тем на

хранения удельного углового момента при аккре-

более высокие широты поднимается поток. Это обу-

ции (т. е. при оседании вещества от радиуса Бонди

словлено локальным ограничением на мощность ра-

к центру) скорость вращения вещества растет при

диационного охлаждения по Эддингтону.

оседании (дозвуковая аккреция).

825

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

На радиусе r_c = l²/Gm_bh = M2BR_B скорость

перспективное направление, которое позволяет про-

вращения газа сравнивается с местной центробеж-

изводить наночастицы с ценными для практических

ной скоростью (G — гравитационная постоянная,

применений свойствами экологически чистым спо-

m_bh — масса сверхмассивной черной дыры, M_B —

собом.

число Маха по скорости вращения на радиусе Бон-

7.1. Численное моделирование

ди). Здесь формируется центробежный барьер, ко-

формирования куполов на тонких пленках

торый резко уменьшает темп аккреции по сравне-

нию с максимально возможным [233]. Барьер имеет

Выше уже упоминалось о структурировании по-

форму тороидального уплотнения.

верхности, создании метаповерхностей с искусствен-

На радиусе r_c начинает сказываться турбулент-

ными свойствами (см. разд. 3.8). Но рассматрива-

ное трение; выше этого радиуса газ оседал с со-

лись хаотические поверхности, возникающие при

хранением удельного углового момента. В резуль-

достаточно малом по времени и достаточно интен-

тате формируются внутренний и внешний диски.

сивном воздействии на объемные мишени. Кроме

По внутреннему диску вещество спускается к чер-

того, важно подчеркнуть, что для формирования

ной дыре. При этом внешний диск отводит угловой

хаотической поверхности пятно воздействия долж-

момент внутреннего диска наружу за радиус Бонди

но быть достаточно большим по размерам — не ме-

[233]. По внешнему диску часть вещества выбрасы-

нее десятков микрон. В малых пятнах на пределе

вается наружу. Видимо, это вещество образует об-

дифракции лазерного излучения никаких случай-

ширные пылевые облака вокруг М87 и квазаров.

ных структур не образуется, так как требуется су-

В работе [233] приведены оценки времен, за ко-

щественное превышение диаметра пятна над капил-

торые меняется (за счет переменности внешней тур-

лярным масштабом; размеры хаотических структур

булентности) вектор углового вращения на радиусе

контролируются поверхностным натяжением [70,77,

Бонди и, соответственно, направление релятивист-

104,116,123,147,150-153].

ских джетов, выбрасываемых из центральной зоны

Серия точечных воздействий применяется для

черной дыры. Меняется также ориентация внутрен-

создания массивов из «куполов» [91, 95] на тонких

него и внешнего дисков.

пленках, напыленных на подложки. Так возникает

В работе [234] мы вывели релятивистскую фор-

метаповерхность [91, 95]. Здесь говорится о «купо-

мулу для энергии стоячих звуковых волн в фо-

лах» в кавычках, потому что в этом месте мы имеем

тон-барион-электронной плазме. Формула получена

в виду фигуру, созданную точечным лазерным воз-

из простых гидродинамических и термодинамиче-

действием. Это может быть действительно неболь-

ских соотношений. Она применима для произволь-

шое поднятие поверхности пленки в виде примерно

ного соотношения между плотностью энергии фо-

параболического купола, или это купол с застывшей

тонов, плотностью энергии покоя барионов и плот-

струйкой на вершине, или струйка является острой,

ностью тепловой энергии барионов. Формула непре-

потом короткой, потом вместо струйки в вершине

рывным образом описывает переход между крайни-

купола появляется отверстие, далее отверстие рас-

ми случаями. Результаты работы [234] существенны

ширяется по размеру плюс вокруг него образуется

для описания звуковых волн в фотонном газе в ран-

корона из застывших струек (нанокорона), наконец

ней Вселенной.

фигурой, созданной лазерным воздействием, стано-

вится отверстие в пленке. Мы прошлись по череде

уединенных структур в направлении роста энергии

7. ЛАЗЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

лазерного импульса [84,88-96,99,238-243]. При этом

считали, что размер пучка на мишени и другие па-

Лазеры применяются во многих современных

раметры (например, длительность импульса) фик-

технологиях. Здесь остановимся на недавних рабо-

сированы.

тах сектора лазеров и плазмы по двум направлени-

Очевидно, что с ростом энергии импульса растет

ям. Во-первых, расскажем о производстве метапо-

степень модификации пленки в пятне воздействия —

верхностей с помощью точечных лазерных воздейст-

от небольшого вздутия к отверстию в пленке. При

вий. Точечными здесь называются остросфокусиро-

еще больших энергиях E диаметр отверстия d(E)

ванные воздействия, при которых освещенное пятно

увеличивается. Но, как показано в работе [242], это

имеет размеры порядка длины волны оптического

происходит не за счет крыльев лазерного пучка (т. е.

излучения — освещение на дифракционном пределе.

по формуле Лиу [244]). Интересная идея, предло-

Во-вторых, речь пойдет об абляции в жидкость. Это

женная в работе [242], состоит в следующем. Рост

826

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

функции d(E) обеспечивает ударная волна, которая

а ts2, и на других пространственных масштабах, не

генерируется в подложке и расходится от пятна воз-

d_T , d_f , а R_L. При этом принципиально меняется за-

действия, поднимая пленку снизу, т. е. от подложки.

кон расширения отверстия с ростом энергии — рас-

Такое действие ударной волны в подложке обуслов-

ширение степенное [242], а не логарифмическое (22).

лено боковым расширением вещества подложки на

Выше мы остановились на изменении степени

границе с пленкой.

модификации повреждения на тонкой пленке с рос-

Хорошей аппроксимацией пространственного

том поглощенной энергии; тонкой называем плен-

профиля лазерного пучка в поперечном по отноше-

ку, толщина d_f которой меньше глубины прогре-

нию к его оси направлении является аппроксимация

ва d_T . Обсудили работу [242], описывающую самые

функцией Гаусса:

сильные повреждения. Говорили об уединенном по-

вреждении. Отмечено, что метаповерхность созда-

I(r) = I₀ exp(-r²/R2L),

(21)

ется из массива таких повторяющихся повреждений

(«куполов»). Взаимное влияние соседних куполов

где r — радиус цилиндра, отсчитанный от оси пуч-

начинается только при уменьшении шага массива

ка; считаем, что пучок направлен перпендикуляр-

по пространству до размера порядка R_L.

но поверхности мишени. Если пренебречь тепловой

Вкратце коснемся методики, которая позволила

или механической связью между соседними радиу-

нам в работах [84, 88-96, 99, 238-243] промоделиро-

сами r и r^′, то вариация локальной термо-гидроди-

вать процесс создания «купола». Процесс этот не

намической ситуации по r определяется только из-

простой. Он включает несколько достаточно само-

менением интенсивности пучка (21) по r. Если до-

стоятельных физических стадий.

полнительно к сказанному предположить, что име-

1) Поглощение энергии ультракороткого импуль-

ется порог абляции I_thr, то приходим к формуле Лиу

са в пятне радиуса R_L.

[244] для роста радиуса абляции r_thr с усилением

2) Сверхзвуковое распространение (см. разд. 3.3)

энергетики импульса (величины E и I₀ пропорцио-

поглощенной энергии по электронной подсистеме из

нальны друг другу).

скин-слоя δ_skin в глубину по толщине пленки, d_f >

Формула Лиу проста. Запишем I(r_thr ) = I_thr в

> δ_skin [97].

(21). Логарифмируя экспоненту (потенциирование),

3) Пленка тонкая, df < dT. В работе [97] на-

получаем

√

ми рассмотрен поворот теплового потока от распро-

rthr = RL

ln(I₀/I_thr).

(22)

странения по толщине пленки (т. е. в направлении

В опытах варьируют I₀ и откладывают зависимость

нормали к плоскости пленки) к распространению

rthr от логарифма [95]. Таким образом определяют

в стороны, вдоль пленки (т. е. по тангенциальным

порог абляции I_thr (E_thr ∝ I_thr) и радиус пучка R_L.

направлениям к поверхности пленки). Причем по-

Соотношение (22) применимо, когда диаметр

ворот этот происходит еще на двухтемпературной

пятна 2R_L намного больше глубины прогрева d_T (в

стадии. Это важно, поскольку на этой стадии пе-

случае объемной мишени) или толщины пленки d_f .

редача тепла по электронной подсистеме происхо-

Это так при важном условии: процесс абляции за-

дит со сверхзвуковой скоростью. Между тем после-

вершается на глубинах порядка d_T или d_f . В случае,

дующее отслоение пленки от подложки носит ме-

рассмотренном в работе [242], это не так. Ударная

ханический характер и протекает на звуковых вре-

волна уходит на глубины порядка R_L и далее. На

менах t_s = d_T /c_s, следовательно, запаздывает от-

отрезке глубин до R_L амплитуда волны уменьшает-

носительно сверхзвукового пространственного пере-

ся слабо. Затем на глубинах порядка R_L начинает-

распределения тепла, первоначально запасенного в

ся сферизация формы ударной волны и течения за

скин-слое. Отслоится пленка или нет в данном ло-

ударной волной, т. е. волна идет в объем и распро-

кальном месте определяется количеством тепловой

страняется в стороны под пленкой вдоль границы

энергии, занесенной в это место на сверхзвуковой

между пленкой и подложкой.

стадии, т. е. пока пленка была практически непо-

При этом на больших временах ts2 = R_L/c_s ам-

движна (см. также обсуждение в конце разд. 3.3 от-

плитуда ударной волны уменьшается, но степенным

носительно сравнения нашей теории поворота сверх-

образом, тогда как по формулам (21), (22) затухание

звукового теплового потока с опытами [98]).

крыльев гауссиана экспоненциальное. Поэтому при

4) Итак, распределение внутренней энергии по

сильных воздействиях (энергия E велика) расшире-

пространству пленки создано (двухтемпературная

ние отверстия в пленке начинает контролироваться

теплопроводность, разд. 3.4, и электрон-ионный теп-

на совсем других временах, не t_s = d_T /c_s, t_s = d_f /c_s,

лообмен, разд. 3.5). Далее начинается звуковая ста-

827

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

дия механических явлений; t_s

= d_f/c_s

≈ 17 пс

описания релаксационных явлений в рамках тради-

для пленки золота толщиной 50 нм, продолжитель-

ционных представлений об упруго- и пластически-

ность двухтемпературной релаксации t_eq порядка

деформируемом твердом теле, т. е. об эффективно-

нескольких пикосекунд. Вариация продолжительно-

сти применения МД для раскрытия динамики собы-

сти импульса τ_L от малых значений до 8 пс не влияет

тий приходится забыть.

на формирование купола при R_L порядка несколь-

В работах [84, 88-92, 95, 99, 238, 240, 241, 243] мы

ких микрон [245]. При таких довольно больших зна-

пошли по другому пути. Прямое МД-моделирование

чениях R_L расширение пятна прогрева за счет по-

эксперимента [245] затруднительно, площадка плен-

ворота теплового потока ничтожно.

ки размерами 3 × 3 мкм² и толщиной 50 нм имеет

Пленка отрывается от подложки, когда меж-

довольно большой (для МД) объем около 0.5 мкм³.

ду границами пленки и подложки появляется за-

Поэтому были применены масштабирование и

зор Δ в несколько межатомных расстояний. Име-

теория подобия. Это позволило описать явления

ем Δ ≪ d_f ≪ R_L. Поэтому задачу об отрыве мож-

куполообразования на пространственно-временных

но рассматривать в одномерном гидродинамическом

масштабах в 5-10 раз меньших. Теория подобия гла-

приближении. После отрыва пленки скорость ее ло-

сит: течения идентичны, если одинаковы характер-

кального (по поверхности пленки) центра масс более

ные безразмерные параметры, описывающие поста-

не меняется. Мы применили наш код 1D-2Т-гд для

новку задачи.

расчета скорости центра масс v_cm(r) = v_cm(F_abs(r))

7) Подробности теории масштабирования изло-

[95] как функции локального значения поглощенной

жены в работах [84,88,89,95,240], где показано, что

энергии (код 1D-2Т-гд — это одномерный, двухтем-

задача описывается с помощью двух безразмерных

пературный, гидродинамический код [90,239]). Бы-

параметров: капиллярного числа N_cap и теплового

ло вычислено также распределение ионной темпера-

числа N_T . Далее бралась реальная задача (напри-

туры T_i(r) на стадии отрыва пленки.

мер, [245]) и подсчитывались числа N_cap и N_T . Да-

5) Упомянутые распределения v_cm(r) и T_i(r) ис-

лее параметры кода МД-МК менялись так, чтобы в

пользовались как входные данные для молекулярно-

постановке с численным моделированием указанные

динамической (МД) программы МД-МК (МК —

числа были такими же.

описание теплопроводности металла с помощью бло-

Это можно сделать. В МК-блоке мы уменьшали

ка Монте-Карло) [84, 88-92, 95, 99, 238, 240, 241, 243].

теплопроводность так, чтобы подогнать число N_T

При этом программа МД-МК описывала только

в численном эксперименте к реальному. Капилляр-

движение пленки — в этом заключалось упрощение

ные числа N_cap согласовывались с помощью пара-

МД-моделирования, поскольку после отрыва плен-

метра a. В такое число раз мы увеличивали ско-

ки от подложки не надо учитывать атомы подлож-

рость, v_cm(r) → a v_cm(r). Здесь первая скорость —

ки. Механическое действие подложки вне пятна от-

это скорость из кода 1D-2Т-гд, а вторая — это ско-

рыва моделировалось с применением термостата,

рость, которая закладывалась в МД-постановку.

который удерживал пленку от движения вне пятна

8) Код МД-МК замечательным образом описы-

отрыва.

вает всю последовательность событий. Это началь-

6) С МД связан колоссальный прогресс в пони-

ная стадия движения с заданным распределением

мании неравновесных и равновесных процессов.

скоростей a v_cm(r) и температур T_i(r). Данная ста-

Оказалось, что «простые» гидродинамические те-

дия завершается, когда пленка проходит по норма-

чения описываются МД, начиная с нескольких де-

ли расстояние, которое сопоставимо с радиусом R_L.

сятков межатомных расстояний (под «простыми»

Далее начинается интересное.

мы понимаем ситуации без медленной релаксации).

Становятся важны капиллярные силы — дей-

Важнейшее ограничение МД-подходов обусловле-

ствительно, появляется кривизна (формируется ку-

но ограниченностью вычислительных ресурсов —

пол) оторвавшегося участка пленки. Вместе с кри-

сложно моделировать конденсированные системы

визной становятся существенными, во-первых, тор-

объемом больше кубического микрона (это около

можение пленки поверхностным натяжением и,

ста миллиардов атомов). Поэтому современная на-

во-вторых, перетекание вещества пленки по плен-

ука идет по пути создания многомасштабных моде-

ке в сторону оси купола. Перетекание происходит

лей, где нижний ярус — это МД. А надстройки стро-

потому, что имеется касательная составляющая ка-

ятся феноменологически, через теории дислокаций

пиллярной силы, причем она направлена в сторону

и теории пластичности. Правда, на этом пути из МД

оси. Перетекание приводит к росту односторонней

извлекают только необходимые коэффициенты для

(вверх от купола) или двухсторонней (вверх и вниз

828

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

от вершины купола) струи в вершине купола, см.

тонкой оболочки. Сокращение площади невозмож-

[84, 88].

но. В результате избыток площади складывается в

Сопоставим время стадии отрыва t_s = d_T /c_s =

гофры.

= 10-30 пс и время формирования купола t3D =

Гофры не имеют возможности выпрямиться об-

= R_L/v_cm. В экспериментальной ситуации имеем

ратно. Пластическая деформация поглощает кине-

t3D ∼ 100 нс [246]. В нашем расчете t3D ∼ 3 нс. Мы

тическую энергию движения оболочки к подложке.

хотим обратить внимание на громадную разницу во

Происходит остановка движения купола в гофриро-

временных масштабах начальной t_s и последующей

ванном состоянии.

t3D стадий.

Подчеркнем, что на временах t > t_eq можно пре-

7.2. Плазмоника, теплофизика и

небречь двухтемпературными эффектами; t_eq < t_s.

гидродинамика

Соответственно в расчетах МД-МК мы отталкива-

емся от справочных значений коэффициента обыч-

Другое направление трудов сектора связано с

ной (т. е. однотемпературной) теплопроводности.

решением комбинированных задач. Интерференция

В реальной задаче параметры N_cap и N_T тако-

поверхностного плазмон-поляритона с падающей

вы, что примерно одновременно с действием капил-

лазерной электромагнитной волной приводит к фор-

лярности на временах порядка t3D становится суще-

мированию нетривиального пятна нагрева [3, 248,

ственным охлаждение жидкой фазы, составляющей

249]. В этом пятне чередуются горячие и холодные

пленку. Охлаждение обусловлено оттоком тепла по

полосы. Шаг между полосами определяется длиной

пленке металла из пятна нагрева на холодную пе-

волны плазмон-поляритона, λ_pp. Нагрев осуществ-

риферию; радиационные потери и теплоотвод в ди-

ляется с помощью ультракороткого импульса. На-

электрическую подложку малы.

гревается тонкая пленка d_f < d_T , причем λ_pp ≫ d_f .

В численной постановке (из-за одинаковости па-

В этих условиях применима выработанная выше

ры параметров, N_cap и N_T , в расчете и в опыте)

стратегия.

взаимовлияние динамики (капиллярность) и охла-

Сначала с помощью электродинамического кода

ждения также имеет место на временах порядка t3D.

находятся распределения полей и зависимость мощ-

Следовательно, на стадии t3D конкурируют процес-

ности диссипации энергии в скин-слое пленки (пер-

сы охлаждения и замораживания расплава, с одной

вый этап). Затем включается код 1D-2Т-гд, и рас-

стороны, и капиллярного торможения и формиро-

пределение по поверхности пленки энергии диссипа-

вания струи в вершине, с другой.

ции F_abs(y) перерабатывается в распределения ско-

Такая конкуренция создает достаточно богатую

рости v_cm(y) механического отскока [238] и темпера-

картину перечисленных выше модификаций поверх-

туры T(y); координата y направлена вдоль пленки

ности (купола, нанокороны) в зависимости от погло-

поперек полос гофрировки (второй этап). На тре-

щенной энергии и «игры» параметров N_cap и N_T

тьем этапе с помощью кода МД-МК находим фи-

[93, 95]. В работах [84, 88-96, 99, 238-243] детально

нальные застывшие формы гофрировки.

описано происходящее. Хотя эксперименты с купо-

Отметим, что такая гофрировка применяется

лами ведутся с 2003-2004 гг. [247], но ранее коли-

для создания голограмм [3, 248, 249].

чественной картины с движением жидкой пленки,

останавливаемой кристаллизацией, не существова-

7.3. Абляция в жидкость

ло.

Отметим, что в опытах [245] видна радиальная

Процессы при абляции в жидкость слабо изуче-

гофрировка застывших куполов. Гофрировка ука-

ны с теоретической и расчетной сторон. В этой свя-

зывает на интересное явление. После затвердевания

зи в секторе, начиная с 2016 г., проводятся соответ-

не происходит мгновенной остановки движения ку-

ствующие исследования. Прикладной аспект данной

пола. Купол продолжает двигаться по инерции в

проблемы можно изучить по первым ссылкам в ра-

направлении к подложке. При этом купол тонкий,

ботах [59,154,250-254].

поскольку часть его массы перетекла в струю. Име-

Выполненные работы [59,154,250-254] позволили

ет место пластическая деформация тонкой оболочки

осветить ряд не ясных прежде вопросов. Рассмотре-

купола.

ны воздействия разной длительности на мишень из

При движении к подложке площадь купола

золота, погруженную в воду. Вариация длительно-

должна уменьшаться; так и происходит, если пленка

стей τ_L от ультракороткой, порядка 1 пс, до про-

жидкая. Но мы имеем дело с твердым телом в виде

межуточной (50 пс) и до большой (500 пс) суще-

829

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

ственно влияет на инициированную импульсом си-

ратурном состоянии. Остались за рамками повество-

туацию [154]. В частности, происходит качествен-

вания исследования, посвященные нелинейному фо-

ное изменение остаточного рельефа на поверхности

тоэффекту — испусканию электронов при освеще-

в пятне воздействия. Обсуждение этого факта было

нии поверхности.

дано выше, см. конец разд. 3.8.

Перечисленные выше расчеты абляции в жид-

кость велись с помощью программ двухтемпера-

ЛИТЕРАТУРА

турной гидродинамики и МД-МК. Отметим работу

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов

[255], в которой для моделирования проблемы был

и др., Письма в ЖЭТФ 77, 731 (2003).

впервые применен высокопроизводительный мно-

гопроцессорный вариант SPH-кода (SPH — smoo-

B. J. Demaske, V. V. Zhakhovsky, N. A. Inogamov,

and I. I. Oleynik, Phys. Rev. B 82, 064113 (2010).

thed particles hydrodynamics — бессеточный гидро-

код) [256].

A. I. Ignatov, V. V. Zhakhovsky, A. M. Merzlikin, and

Длительность стадии ускорения контактной гра-

N. A. Inogamov, J. Phys.: Conf. Ser. 1147, 012068

ницы между металлом и жидкостью порядка дли-

(2019).

тельности лазерного импульса. За окончанием ста-

А. В. Бушман, В. Е. Фортов, УФН 140, 177 (1983).

дии ускорения следует продолжительное по време-

ни замедление контактной границы. С замедлением

K. V. Khishchenko, S. I. Tkachenko, P. R. Levashov

связано возникновение условий, при которых начи-

et al., Int. J. Thermophys. 23, 1359 (2002).

нается развитие гидродинамической неустойчивос-

I. V. Lomonosov, Laser Part. Beams 25, 567 (2007).

ти Рэлея - Тейлора. Удлинение импульса по времени

http://teos.ficp.ac.ru/rusbank/, http://www.ihed.

уменьшает важность развития неустойчивости.

ras.ru/rusbank/.

В случае воздействия с повышенной энергетикой

диффузия протекает более интенсивно. При этом

А. М. Прохоров, С. И. Анисимов, П. П. Пашинин,

диффузионные процессы действуют в сторону по-

УФН 119, 401 (1976).

давления неустойчивости Рэлея - Тейлора. В наших

С. И. Анисимов, А. М. Прохоров, В. Е. Фортов,

работах изучены процессы конденсации пара золо-

УФН 142, 395 (1984).

та в жидкости в слое диффузионного смешивания.

10.

С. И. Анисимов, В. Е. Беспалов, В. И. Вовченко и

Конденсация начинается не одновременно и не одно-

др., Письма в ЖЭТФ 31, 67 (1980).

родно по слою диффузии. В результате конденсации

образуются кластеры и затем наночастицы золота.

11.

S. I. Anisimov, M. A. Berezovskii, M. F. Ivanov et

Впервые прослежена эволюция течения вплоть

al., Phys. Lett. A 92, 32 (1982).

до формирования пузырька в жидкости [154].

12.

С. И. Анисимов, М. А. Березовский, В. Е. Захаров

и др., ЖЭТФ 84, 2046 (1983).

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

13.

С. И. Анисимов, М. А. Березовский, М. Ф. Иванов

и др., ДАН СССР 258(1), 78 (1981).

Выше изложена современная деятельность сек-

14.

С. И. Анисимов, А. М. Бонч-Бруевич, М. А. Елья-

тора лазеров и плазмы в составе Института теоре-

шевич и др., ЖТФ 36, 1273 (1966).

тической физики им. Л. Д. Ландау, организованно-

15.

С. И. Анисимов, ЖЭТФ 54, 339 (1968).

го в свое время академиком И. М. Халатниковым.

Сотрудники сектора глубоко благодарны И. М. Ха-

16.

С. И. Анисимов, Я. А. Имас, Г. С. Романов,

латникову за создание института и многолетнее эф-

Ю. В. Ходыко, Действие излучения большой

фективное управление им. Сектор прошел славный

мощности на металлы, Наука, Москва (1970).

путь, отмеченный значительными фундаменталь-

17.

S. I. Anisimov and V. A. Khokhlov, Instabilities in

ными и прикладными достижениями.

Laser-Matter Interaction, CRC Press, Boca Raton,

Далеко не все достижения нашли свое отраже-

USA (1995).

ние в приведенном выше перечне, например, недо-

18.

С. И. Анисимов, М. И. Трибельский, Я. Г. Эпель-

статочно освещены работы по «созреванию» тепло-

баум, ЖЭТФ 78, 1597 (1980).

вого взрыва или по биофизической тематике — по

продуктивности биосистем. Мы не коснулись работ

19.

С. И. Анисимов, С. М. Гольберг, Э. Н. Соболь,

по излучению металла, находящегося в двухтемпе-

М. И. Трибельский, Письма в ЖТФ 7, 882 (1980).

830

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

20.

С. И. Анисимов, С. М. Гольберг, О. Л. Куликов и

40.

В. А. Агурейкин, С. И. Анисимов, А. В. Бушман

др., Письма в ЖТФ 9, 226 (1983).

и др., ТВТ 22, 964 (1984).

21.

С. И. Анисимов, С. М. Гольберг, Б. А. Маломед,

41.

С. И. Анисимов, Б. А. Демидов, Л. И. Рудаков и

др., Письма в ЖЭТФ 41, 455 (1985).

М. И. Трибельский, ДАН СССР 262, 1117 (1982).

42.

С. И. Анисимов, В. П. Карягин, В. А. Кудряшов и

22.

С. И. Анисимов, С. М. Гольберг, М. И. Трибельс-

др., Письма в ЖЭТФ 44(10), 477 (1986).

кий, ЖЭТФ 82, 1604 (1982).

43.

С. И. Анисимов, Б. Л. Капелиович, Т. Л. Перель-

23.

С. И. Анисимов, М. И. Трибельский, Письма в

ман, ЖЭТФ 66, 776 (1974).

ЖТФ 6, 31 (1980).

44.

М. И. Каганов, И. М. Лифшиц, Л. В. Танатаров,

24.

С. И. Анисимов, А. Х. Рахматулина, ЖЭТФ 64,

ЖЭТФ 31, 232 (1957).

869 (1973).

45.

B. Rethfeld, D. S. Ivanov, M. E. Garcia, and S. I. Ani-

25.

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Письма в

simov, J. Phys. D 50, 193001 (2017).

ЖЭТФ 57, 91 (1993).

46.

Ю. В. Петров, К. П. Мигдал, Н. А. Иногамов,

С. И. Анисимов, Письма в ЖЭТФ 104, 446 (2016).

26.

В. В. Жаховский, С. И. Анисимов, ЖЭТФ 111,

1328 (1997).

47.

Н. А. Иногамов, Ю. В. Петров, ЖЭТФ 137, 505

(2010).

27.

S. I. Anisimov, D. O. Dunikov, V. V. Zhakhovskii,

and S. P. Malyshenko, J. Chem. Phys. 110, 8722

48.

B. Y. Mueller, I. Klett, and B. Rethfeld, AIP Conf.

(1999).

Proc. 1464, 609 (2012).

49.

Ю. В. Петров, Н. А. Иногамов, К. П. Мигдал,

28.

V. V. Zhakhovsky, A. P. Kryukov, V. Yu. Levashov et

Письма в ЖЭТФ 97, 24 (2013).

al., www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.1714503115

(2018).

50.

Л. Д. Ландау, Собрание научных трудов, Наука,

Москва (1969).

29.

С. И. Анисимов, Ю. И. Лысиков, ПММ 34, 926

(1970).

51.

А. И. Ахиезер, ЖЭТФ 8, 1318 (1938).

52.

В. А. Красильников, В. В. Крылов, Введение в фи-

30.

С. И. Анисимов, Б. С. Лукьянчук, УФН 172, 301

зическую акустику, Наука, Москва (1984).

(2002).

53.

L. Waldecker, R. Bertoni, R. Ernstorfer, and J. Vor-

31.

С. И. Анисимов, Н. А. Иногамов, Письма в ЖЭТФ

berger, Phys. Rev. X 6, 021003 (2016).

20, 174 (1974).

54.

A. M. Brown, R. Sundararaman, P. Narang et al.,

32.

A. V. Turlapov, E. A. Kuznetsov, and M. Yu. Kagan,

Phys. Rev. B 94, 075120 (2016).

arXiv:1903.04245 [cond-mat.quant-gas] (2019).

55.

P. Maldonado, K. Carva, M. Flammer, and P. M. Op-

33.

С. И. Анисимов, Б. И. Макшанцев, ФТТ 15, 1090

peneer, Phys. Rev. B 96, 174439 (2017).

(1973).

56.

I. Klett and B. Rethfeld, Phys. Rev. B 98, 144306

(2018).

34.

С. И. Анисимов, В. Л. Комолов, ФТТ 16, 575

(1974).

57.

S. Ono, Phys. Rev. B 97, 054310 (2018).

35.

И. В. Алешин, С. И. Анисимов, А. М. Бонч-Бруе-

58.

S. Ono, arXiv:1901.04652v1

[cond-mat.mtrl-sci]

вич и др., ЖЭТФ 70, 1214 (1976).

(2019).

59.

Н. А. Иногамов, В. В. Жаховский, В. А. Хохлов,

36.

С. И. Анисимов, В. А. Гальбурт, М. И. Трибельс-

ЖЭТФ 154, 92 (2018).

кий, КЭ 8, 1671 (1981).

60.

N. A. Inogamov, V. A. Khokhlov, Yu. V. Petrov et

37.

S. I. Anisimov, B. I. Makshantsev, and A. V. Barsu-

al., AIP Conf. Proc. 1426, 909 (2012).

kov, Opt. Acoust. Rev. 1, 251 (1991).

61.

Yu. V. Petrov, K. P. Migdal, N. A. Inogamov, and

38.

R. Z. Sagdeev, S. I. Anisimov, A. A. Galeev et al.,

V. V. Zhakhovsky, Appl. Phys. B 119, 401 (2015).

Adv. Space Res. 2(12), 133 (1982).

62.

K. P. Migdal, D. K. Il’nitsky, Yu. V. Petrov, and

39.

С. И. Анисимов, А. В. Бушман, Г. И. Канель и др.,

N. A. Inogamov, J. Phys.: Conf. Ser. 653, 012086

Письма в ЖЭТФ 39, 9 (1984).

(2015).

831

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

63.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, V. A. Khokhlov

83.

J. Hohlfeld, S.-S. Wellershoff, J. Guedde et al., Chem.

et al., J. Phys.: Conf. Ser. 500, 192023 (2014).

Phys. 251, 237 (2000).

64.

Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, Физика ударных

84.

Н. А. Иногамов, В. В. Жаховский, В. А. Хохлов,

волн и высокотемпературных гидродинамических

ЖЭТФ 147, 20 (2015).

явлений, Физматгиз, Москва (1963).

85.

Ю. В. Петров, Н. А. Иногамов, К. П. Мигдал, Изв.

Кабардино-Балкарского гос. университета 4(3), 15

65.

В. Н. Жарков, В. А. Калинин, Уравнения состоя-

(2014).

ния твердых тел при высоких давлениях и тем-

пературах, Наука, Москва (1968).

86.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, N. Hasegawa et

al., Appl. Phys. B 119, 413 (2015).

66.

A. V. Bushman, G. I. Kanel’, A. L. Ni, and V. E. For-

tov, Intense Dynamic Loading of Condensed Matter,

87.

V. A. Khokhlov, N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky

Taylor & Francis (1993).

et al., J. Phys.: Conf. Ser. 653, 012003 (2015).

67.

В. Е. Фортов, И. В. Ломоносов, УФН 184, 231

88.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, V. A. Khokhlov

(2014).

et al., Nanoscale Res. Lett. 11, 177 (2016).

89.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, and K. P. Migdal,

68.

I. K. Krasyuk, P. P. Pashinin, A. Yu. Semenov et al.,

Appl. Phys. A 122, 432 (2016).

Laser Phys. 26, 094001 (2016).

90.

N. A. Inogamov and V. V. Zhakhovsky, J. Phys.:

69.

V. Recoules, J. Clerouin, G. Zerah et al., Phys. Rev.

Conf. Ser. 681, 012001 (2016).

Lett. 96, 055503 (2006).

91.

A. Kuchmizhak, O. Vitrik, Yu. Kulchin et al., Nano-

70.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, Yu. V. Petrov et

scale 8, 12352 (2016).

al., Contrib. Plasma Phys. 53, 796 (2013).

92.

N. A. Inogamov, V. A. Khokhlov, Yu. V. Petrov et

71.

P. R. Levashov, K. V. Khishchenko, I. V. Lomonosov,

al., AIP Conf. Proc. 1793, 070012 (2017).

and V. E. Fortov, AIP Conf. Proc. 706, 87 (2004).

93.

П. А. Данилов, Д. А. Заярный, С. И. Ионин и др.,

72.

К. В. Хищенко, Письма в ЖТФ 30(19), 65 (2004).

Письма в ЖЭТФ 104, 780 (2016).

73.

V. E. Fortov, V. V. Kim, I. V. Lomonosov et al., Int.

94.

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов

J. Impact Engin. 33, 244 (2006).

и др., КЭ 47, 509 (2017).

74.

N. A. Inogamov, S. I. Ashitkov, V. V. Zhakhovsky et

95.

X. W. Wang, A. A. Kuchmizhak, X. Li et al., Phys.

Rev. Appl. 8, 044016 (2017).

al., Appl. Phys. A 101, 1 (2010).

96.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, and V. A. Khokh-

75.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, S. I. Ashitkov et

lov, J. Phys.: Conf. Ser. 946, 012008 (2018).

al., AIP Conf. Proc. 1278, 590 (2010).

97.

V. V. Shepelev and N. A. Inogamov, J. Phys: Conf.

76.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, S. I. Ashitkov et

Ser. 946, 012010 (2018).

al., Contrib. Plasma Phys. 51, 367 (2011).

98.

A. Block, M. Liebel, R. Yu et al., Sci. Adv. 5,

77.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, S. I. Ashitkov et

eaav8965 (2019).

al., J. Phys.: Conf. Ser. 500, 112070 (2014).

99.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, V. A. Khokhlov

78.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovskii, S. I. Ashitkov et

et al., J. Phys.: Conf. Ser. 774, 012102 (2016).

al., Appl. Surf. Sci. 255, 9712 (2009).

100.

N. A. Inogamov, S. I. Anisimov, Yu. V. Petrov et al.,

79.

N. A. Inogamov, A. Ya. Faenov, V. A. Khokhlov et

Proc. SPIE 7005, 70052F (2008).

al., Contrib. Plasma Phys. 49, 455 (2009).

101.

N. A. Inogamov, Yu. V. Petrov, V. V. Zhakhovsky et

al., AIP Conf. Proc. 1464, 593 (2012).

80.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, S. I. Ashitkov et

al., In Proc. of Intern. Symposium on High Power La-

102.

Ю. В. Петров, Н. А. Иногамов, Письма в ЖЭТФ

ser Ablation, Santa Fe, NM, 19-22 April 2010, p. 590.

98, 316 (2013).

81.

L. V. Zhigilei, Z. Lin, and D. S. Ivanov, J. Phys.

103.

K. P. Migdal, Yu. V. Petrov, and N. A. Inogamov,

Chem. C 113, 11892 (2009).

Proc. SPIE 9065, 906503 (2013).

82.

M. E. Povarnitsyn and T. E. Itina, Appl. Phys.

104.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, Yu. V. Petrov et

A 117, 175 (2014).

al., Proc. SPIE 9065, 906502 (2013).

832

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

105.

Yu. V. Petrov, N. A. Inogamov, and K. P. Migdal, In

125.

K. Sokolowski-Tinten, J. Bialkowski, A. Cavalleri et

ed. by V. E. Fortov et al., Physics of Extreme States

al., Phys. Rev. Lett. 81, 224 (1998).

of Matter — 2013, JIHT (2013), p. 33.

126.

A. Ya. Faenov, N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovskii

106.

Yu. V. Petrov, N. A. Inogamov, S. I. Anisimov et al.,

et al., Appl. Phys. Lett. 94, 231107 (2009).

J. Phys. Conf. Ser. 653, 012087 (2015).

127.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, A. Y. Faenov et

al., Appl. Phys. A 101, 87 (2010).

107.

K. P. Migdal, Yu. V. Petrov, D. K. Il’nitsky et al.,

Appl. Phys. A 122, 408 (2016).

128.

M. Ishino, A. Ya. Faenov, M. Tanaka et al., J. Appl.

Phys. 109, 013504 (2011).

108.

Yu. V. Petrov, N. A. Inogamov, A. V. Mokshin, and

B. N. Galimzyanov, J. Phys: Conf. Ser. 946, 012096

129.

N. A. Inogamov, A. Ya. Faenov, V. V. Zhakhovskii

(2018).

et al., Contrib. Plasma Phys. 51, 361 (2011).

109.

Yu. V. Petrov, N. A. Inogamov, K. P. Migdal et al.,

130.

Y. Cherednikov, N. A. Inogamov, and H. M. Urbas-

J. Phys.: Conf. Ser. 1147, 012069 (2019).

sek, J. Opt. Soc. Amer. B 28, 1817 (2011).

131.

Н. А. Иногамов, С. И. Анисимов, В. В. Жаховский

110.

S. I. Anisimov and B. Rethfeld, Изв. РАН, сер. физ.

и др., Опт. ж. 78, 5 (2011).

61, 1642 (1997).

132.

M. Ishino, A. Faenov, M. Tanaka et al., AIP Conf.

111.

S. I. Anisimov and B. Rethfeld, Proc. SPIE 3093,

Proc. 1465, 236 (2012).

192 (1997).

133.

Y. Cherednikov, N. A. Inogamov, and H. M. Urbas-

112.

F. Ladstädter, U. Hohenester, P. Puschnig, and

sek, Phys. Rev. B 88, 134109 (2013).

C. Ambrosch-Draxl, Phys. Rev. B 70, 235125 (2004).

134.

M. Ishino, A. Faenov, M. Tanaka et al., Proc. SPIE

113.

N. A. Inogamov, A. Ya. Faenov, V. V. Zhakhovsky et

8849, 88490F (2013).

al., Contrib. Plasma Phys. 51, 419 (2011).

135.

M. Ishino, N. Hasegawa, M. Nishikino et al., J. Appl.

114.

Н. А. Иногамов, А. М. Опарин, Ю. В. Петров и

Phys. 116, 183302 (2014).

др., Письма в ЖЭТФ 69, 284 (1999).

136.

M. Ishino, N. Hasegawa, M. Nishikino et al., Proc.

115.

В. В. Жаховский, К. Нишихара, С. И. Анисимов,

SPIE 9598, 958904 (2015).

Н. А. Иногамов, Письма в ЖЭТФ 71, 241 (2000).

137.

T. A. Pikuz, A. Ya. Faenov, N. Ozaki et al., J. Appl.

Phys. 120, 035901 (2016).

116.

Н. А. Иногамов, В. В. Жаховский, С. И. Ашитков

и др., ЖЭТФ 134, 5 (2008).

138.

N. A. Inogamov, V. A. Khokhlov, V. V. Zhakhovsky,

and Yu. V. Petrov, J. Phys.: Conf. Ser. 946, 012009

117.

S. I. Anisimov, N. A. Inogamov, A. M. Oparin et al.,

(2018).

Appl. Phys. A 69, 617 (1999).

139.

Y. Kohmura, V. Zhakhovsky, D. Takei et al., Appl.

118.

Н. А. Иногамов, С. И. Анисимов, Б. Ретфельд,

Phys. Lett. 112, 123103 (2018).

ЖЭТФ 115, 2091 (1999).

140.

S. Yu. Grigoryev, B. V. Lakatosh, M. S. Krivokorytov

119.

E. Leveugle, D. S. Ivanov, and L. V. Zhigilei, Appl.

et al., Phys. Rev. Appl. 10, 064009 (2018).

Phys. A 79, 1643 (2004).

141.

S. Yu. Grigoryev, S. A. Dyachkov, V. A. Khokhlov et

120.

M. E. Povarnitsyn, T. E. Itina, M. Sentis et al., Phys.

al., J. Phys.: Conf. Ser. 1147, 012067 (2019).

Rev. B 75, 235414 (2007).

142.

A. Ya. Vorobyev and C. Guo, Opt. Express 14, 2164

121.

M.V. Shugaev, C. Wu, O. Armbruster et al., MRS

(2006).

Bulletin 41, 12 (2016).

143.

A. Ya. Vorobyev and C. Guo, Appl. Phys. Lett. 92,

041914 (2008).

122.

P. N. Mayer and A. E. Mayer, J. Appl. Phys. 124,

035901 (2018).

144.

R. N. Patel, T. Schröder, N. Wan et al., Light: Sci.

and Appl. 5, e16032 (2016).

123.

С. И. Ашитков, Н. А. Иногамов, В. В. Жаховский

и др., Письма в ЖЭТФ 95, 192 (2012).

145.

E. L. Gurevich, Phys. Rev. E 83, 031604 (2011).

124.

C. Wu, M. S. Christensen, J.-M. Savolainen et al.,

146.

A. A. Ionin, S. I. Kudryashov, S. V. Makarov et al.,

Phys. Rev. B 91, 035413 (2015).

Laser Phys. Lett. 13, 025603 (2015).

833

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

147.

В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов, K. Nishihara,

167.

С. И. Анисимов, ЖТФ 30, 1124 (1960).

Письма в ЖЭТФ 87, 491 (2008).

168.

C. И. Анисимов, Н. М. Кузнецов, ПМТФ № 6, 167

148.

V. V. Zhakhovskii, N. A. Inogamov, and K. Nishiha-

(1961).

ra, J. Phys.: Conf. Ser. 112, 042080 (2008).

169.

B. S. Luk’yanchuk and S. I. Anisimov, Proc. SPIE

149.

Yu. V. Petrov, V. V. Zhakhovskii, N. A. Inogamov et

5448, 95 (2004).

al., Proc. SPIE 7005, 70051W (2008).

170.

S. I. Anisimov and V. A. Kravchenko, Z. Naturforsch.

A 40, 8 (1985).

150.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, S. I. Ashitkov et

al., Engin. Failure Analysis 47, 328 (2015).

171.

S. A. Lifits, S. I. Anisimov, and J. Meyer ter Vehn,

Z. Naturforsch. A 47, 453 (1992).

151.

С. И. Ашитков, П. С. Комаров, А. В. Овчинников

и др., КЭ 44, 535 (2014).

172.

С. И. Анисимов, А. М. Прохоров, В. Е. Фортов,

Изв. АН СССР, сер. физ. 46, 1081 (1982).

152.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, V. A. Khokhlov

et al., J. Phys.: Conf. Ser. 510, 012041 (2014).

173.

B. Albertazzi, N. Ozaki, V. Zhakhovsky et al., Sci.

Adv. 3, e160270 (2017).

153.

С. И. Ашитков, С. А. Ромашевский, П. С. Комаров

и др., КЭ 45, 547 (2015).

174.

С. И. Анисимов, А. В. Конюхов, А. П. Лихачев

и др., В сб. Математическое моделирование, под

154.

Yu. V. Petrov, N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky,

ред. О. М. Белоцерковского, В. А. Гущина, Наука,

and V. A. Khokhlov, Contrib. Plasma Phys. 59, e419

Москва (2003).

(2019), arXiv:1812.09929 [physics.comp-ph].

175.

А. В. Конюхов, А. П. Лихачев, А. М. Опарин и др.,

155.

С. И. Анисимов, Н. М. Кузнецов, Е. Ф. Ноготов,

ЖЭТФ 125, 927 (2004).

ТВТ 2, 337 (1964).

176.

А. В. Конюхов, А. П. Лихачев, А. М. Опарин и др.,

156.

С. И. Анисимов, ЖТФ 34, 620 (1964).

ЖЭТФ 131, 761 (2007).

157.

S. I. Anisimov and V. I. Matsaev, Preprint PLF-14,

177.

A. P. Likhachev, A. V. Konyukhov, V. E. Fortov et

Max-Planck Institut für Plasma Physik, Garching

al., AIP Conf. Proc. 1195, 37 (2009).

(1979).

178.

А. В. Конюхов, А. П. Лихачев, В. Е. Фортов и др.,

158.

S. I. Anisimov, V. V. Zhakhovskii, and K. Nishihara,

Письма в ЖЭТФ 90, 21 (2009).

In Absrtacts, 13th Int. Conf. on Laser Interaction and

179.

А. В. Конюхов, А. П. Лихачев, В. Е. Фортов и др.,

Related Plasma Phenomena, Monterey, CA (1997),

Письма в ЖЭТФ 90, 28 (2009).

p. 56.

180.

A. Konyukhov, A. Likhachev, V. Fortov, and S. Ani-

159.

V. V. Zhakhovskii, K. Nishihara, and S. I. Anisimov,

simov, 28th Int. Symposium on Shock Waves, ed. by

Письма в ЖЭТФ 66, 91 (1997).

K. Kontis, Vol. 2, Springer (2012), p. 531.

160.

S. I. Anisimov, V. V. Zhakhovskii, and V. E. Fortov,

181.

С. И. Анисимов, Я. Б. Зельдович, Письма в ЖТФ

Письма в ЖЭТФ 65, 722 (1997).

3, 1080 (1977).

161.

V. V. Zhakhovskii, S. V. Zybin, K. Nishihara, and

182.

S. I. Anisimov, Ya. B. Zel’dovich, N. A. Inogamov,

S. I. Anisimov, Phys. Rev. Lett. 83, 1175 (1999).

and M. F. Ivanov, Progr. in Astronautics and Aero-

nautics 87, 218 (1983).

162.

С. И. Анисимов, Ю. В. Ходыко, ЖТФ 33, 1333

(1963).

183.

С. И. Анисимов, А. М. Прохоров, П. П. Пашинин

и др., Письма в ЖТФ 4, 388 (1978).

163.

S. I. Anisimov and V. I. Fisher, In Proc. IUTAM Sym-

posium on Dynamics of Ionized Gases, Tokyo (1971),

184.

M. Б. Агрaнaт, С. И. Aнисимов, С. И. Aшиткoв и

p. 38.

др., Письма в ЖЭТФ 91, 517 (2010).

164.

С. И. Анисимов, В. И. Фишер, ЖТФ 41, 2571

185.

В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов, Письма в

(1971).

ЖЭТФ 92, 574 (2010).

165.

С. И. Анисимов, М. Ф. Иванов, П. П. Пашинин,

186.

Н. А. Иногамов, В. В. Жаховский, В. А. Хохлов,

А. М. Прохоров, Письма в ЖЭТФ 22, 343 (1975).

В. В. Шепелев, Письма в ЖЭТФ 93, 245 (2011).

166.

С. И. Анисимов, Ю. В. Медведев, ЖТФ 58, 1846

187.

V. V. Zhakhovsky, M. M. Budzevich, N. A. Inogamov

(1988).

et al., Phys. Rev. Lett. 107, 135502 (2011).

834

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

Физика высоких плотностей энергии...

188.

B. J. Demaske, V. V. Zhakhovsky, N. A. Inogamov

208.

S. I. Anisimov, N. A. Inogamov, Yu. V. Petrov et al.,

et al., AIP Conf. Proc. 1426, 1163 (2012).

Appl. Phys. A 92, 797 (2008).

189.

B. J. Demaske, V. V. Zhakhovsky, N. A. Inogamov

209.

S. I. Anisimov, N. A. Inogamov, Yu. V. Petrov et al.,

et al., AIP Conf. Proc. 1426, 1303 (2012).

Appl. Phys. A 92, 939 (2008).

210.

V. V. Zhakhovskii, N. A. Inogamov, Yu. V. Petrov et

190.

B. J. Demaske, V. V. Zhakhovsky, N. A. Inogamov,

al., Appl. Surf. Sci. 255, 9592 (2009).

and I. I. Oleynik, Phys. Rev. B 87, 054109 (2013).

211.

С. И. Ашитков, M. Б. Агрaнaт, Г. И. Канель и др.,

191.

V. A. Khokhlov, N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky,

Письма в ЖЭТФ 92, 568 (2010).

and S. I. Anisimov, In: Physics of Extreme States of

Matter — 2013, ed. by V. E. Fortov et al., JIHT,

212.

N. A. Inogamov, S. I. Anisimov, V. V. Zhakhovsky et

Moscow (2013), p. 61.

al., Proc. SPIE 7996, 79960T (2010).

192.

R. Perriot, V. V. Zhakhovsky, N. A. Inogamov, and

213.

S. I. Ashitkov, N. A. Inogamov, P. S. Komarov et al.,

I. I. Oleynik, J. Phys. Conf. Ser. 500, 172008 (2014).

AIP Conf. Proc. 1464, 120 (2012).

193.

V. V. Zhakhovsky, N. A. Inogamov, B. J. Demaske

214.

М. Б. Агранат, С. И. Ашитков, А. В. Овчинников

et al., J. Phys.: Conf. Ser.

500, 172007 (2014).

и др., Письма в ЖЭТФ 101, 671 (2015).

215.

S. I. Ashitkov, P. S. Komarov, V. V. Zhakhovsky et

194.

S. I. Ashitkov, V. V. Zhakhovsky, N. A. Inogamov et

al., J. Phys.: Conf. Ser. 774, 012097 (2016).

al., AIP Conf. Proc. 1793, 100035 (2017).

216.

S. I. Ashitkov, P. S. Komarov, E. V. Struleva et al.,

195.

V. V. Zhakhovsky, K. P. Migdal, N. A. Inogamov,

J. Phys.: Conf. Ser. 946, 012002 (2018).

and S. I. Anisimov, AIP Conf. Proc. 1793, 070003

(2017).

217.

С. И. Ашитков, П. С. Комаров, М. Б. Агранат и

др., Письма в ЖЭТФ 98, 439 (2013).

196.

V. V. Zhakhovsky, B. J. Demaske, N. A. Inogamov

et al., AIP Conf. Proc. 1464, 102 (2012).

218.

Г. И. Канель, С. В. Разоренов, Г. В. Гаркушин и

др., ФТТ 56, 1518 (2014).

197.

V. V. Zhakhovsky, M. M. Budzevich, N. A. Inogamov

et al., AIP Conf. Proc. 1426, 1227 (2012).

219.

С. И. Ашитков, П. С. Комаров, Е. В. Струлева и

др., Письма в ЖЭТФ 101, 294 (2015).

198.

D. K. Ilnitsky, V. A. Khokhlov, N. A. Inogamov et

220.

Г. И. Канель, Е. Б. Зарецкий, С. В. Разоренов и

al., J. Phys.: Conf. Ser. 500, 032021 (2014).

др., УФН 187, 525 (2017).

199.

С. И. Анисимов, М. Б. Агранат, С. И. Ашитков и

221.

Н. А. Иногамов, Письма в ЖТФ 10, 769 (1984).

др., ФТТ 29, 3267 (1987).

222.

Р. З. Сагдеев, С. И. Анисимов, С. Б. Житенев и

200.

М. Б. Агранат, С. И. Анисимов, С. И. Ашитков и

др., ДАН СССР 279, 613 (1984).

др., Письма в ЖЭТФ 66, 661 (1997).

223.

Н. А. Иногамов, ДАН СССР 277, 1375 (1984).

201.

М. Б. Агранат, С. И. Анисимов, С. И. Ашитков и

др., Письма в ЖЭТФ 67, 904 (1998).

224.

С. Б. Житенев, Н. А. Иногамов, А. Б. Константи-

нов, Инж.-физ. ж., 50, 751 (1986).

202.

М. Б. Агранат, С. И. Анисимов, С. И. Ашитков и

225.

J. Kissel, R. Z. Sagdeev, J. L. Bertaux et al., Nature

др., ЖЭТФ 113, 2162 (1998).

321, 280 (1986).

203.

М. Б. Агранат, С. И. Анисимов, С. И. Ашитков и

226.

Н. А. Иногамов, Инж.-физ. ж. 52, 553 (1987).

др., ЖЭТФ 115, 675 (1999).

227.

R. Z. Sagdeev, J. Kissel, E. N. Evlanov et al., Astron.

204.

Б. Ретфельд, В. В. Темнов, К. Соколовски-Тинтен

Astrophys. 187, 179 (1987).

и др., Опт. ж. 71(6), 18 (2004).

228.

С. И. Анисимов, С. Б. Житенев, Н. А. Иногамов,

205.

М. Б. Агранат, С. И. Анисимов, С. И. Ашитков и

А. Б. Константинов, Письма в ЖТФ 17(5), 57

др., Письма в ЖЭТФ 83, 592 (2006).

(1991).

206.

M. B. Agranat, S. I. Anisimov, S. I. Ashitkov et al.,

229.

Н. А. Иногамов, А. Б. Константинов, С. И. Аниси-

Appl. Surf. Sci. 253, 6276 (2007).

мов, С. Б. Житенев, ЖЭТФ 99, 1699 (1991).

207.

M. B. Agranat, S. I. Anisimov, S. I. Ashitkov et al.,

230.

Н. А. Иногамов, Р. А. Сюняев, Письма в астрон.

Proc. SPIE 6720, 672002 (2007).

ж. 25, 323 (1999).

835

17*

С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 4 (10), 2019

231.

Н. А. Иногамов, Р. А. Сюняев, Письма в астрон.

245.

D. Wortmann, J. Koch, M. Reininghaus et al., J.

ж. 29, 892 (2003).

Laser Appl. 24, 042017 (2012).

232.

Н. А. Иногамов, Р. А. Сюняев, Письма в астрон.

246.

C. Unger, J. Koch, L. Overmeyer, and B. N. Chich-

ж. 36, 896 (2010).

kov, Opt. Express 20, 24864 (2012).

247.

F. Korte, J. Koch, and B. N. Chichkov, Appl. Phys.

233.

Н. А. Иногамов, Р. А. Сюняев, Письма в астрон.

A 79, 879 (2004).

ж., 36, 883 (2010).

248.

A. I. Ignatov, V. V. Zhakhovsky, A. M. Merzlikin, and

234.

Н. А. Иногамов, Р. А. Сюняев, Письма в астрон.

N. A. Inogamov, J. Phys.: Conf. Ser. 1092, 012051

ж. 41, 753 (2015).

(2018).

235.

N. I. Shakura and R. A. Sunyaev, Astron. Astrophys.

249.

A. I. Ignatov, V. V. Zhakhovsky, A. M. Merzlikin, and

500, 33 (1973).

N. A. Inogamov, J. Phys.: Conf. Ser. 1092, 012052

(2018).

236.

R. Popham and R. Sunyaev, Astrophys. J. 547, 355

(2001).

250.

N. Inogamov, V. Zhakhovsky, and V. Khokhlov, AIP

Conf. Proc. 1979, 190001 (2018).

237.

M. A. Belyaev, R. R. Rafikov, and J. M. Stone, Astro-

phys. J. 770, 67 (2013).

251.

N. Inogamov, V. Zhakhovsky, and V. Khokhlov,

arXiv:1803.07343v1 (2018).

238.

Н. А. Иногамов, В. В. Жаховский, Письма в

ЖЭТФ 100, 6 (2014).

252.

Н. А. Иногамов, В. А. Хохлов, В. В. Жаховский,

Письма в ЖЭТФ 108, 470 (2018).

239.

V. A. Khokhlov, V. V. Zhakhovsky, K. V. Khishchen-

ko et al., J. Phys.: Conf. Ser. 774, 012100 (2016).

253.

V. A. Khokhlov, N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky,

and Yu. V. Petrov, arXiv:1811.11990 [cond-mat.mes-

240.

V. A. Khokhlov, N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky

hall] (2018).

et al., AIP Conf. Proc. 1793, 100038 (2017).

254.

Yu. V. Petrov, V. A. Khokhlov, V. V. Zha-

241.

N. A. Inogamov and V. V. Zhakhovsky, Lobachevskii

khovsky, and N. A. Inogamov, arXiv:1812.09109,

J. Mathem. 38, 914 (2017).

[physics.comp-ph] (2018).

242.

V. V. Shepelev, N. A. Inogamov, S. V. Fortova et al.,

255.

S. A. Dyachkov, V. V. Zhakhovsky, A. N. Parshikov,

J. Phys.: Conf. Ser. 1128, 012092 (2018).

and N. A. Inogamov, J. Phys.: Conf. Ser. 1147,

012064 (2019).

243.

N. A. Inogamov, V. V. Zhakhovsky, and V. A. Khokh-

lov, AIP Conf. Proc. 1979, 190002 (2018).

256.

M. S. Egorova, S. A. Dyachkov, A. N. Parshikov, and

V. V. Zhakhovsky, Comput. Phys. Comm. 234, 112

244.

J. M. Liu. Opt. Lett. 7, 196 (1982).

(2019).

836