ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 5 (11), стр. 843-852

ДИНАМИКА БОЗЕ-КОНДЕНСИРОВАННЫХ

УЛЬТРАХОЛОДНЫХ АТОМОВ И ТРИМЕРНЫХ МОЛЕКУЛ

С ОБРАЗОВАНИЕМ АТОМНО-МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПАР

А. П. Зинганa*, О. Ф. Васильева^a, П. И. Хаджи^a,b

^a Приднестровский государственный университет им. Т. Г. Шевченко

3300, Тирасполь, Молдова

^b Институт прикладной физики Академии наук Молдовы

2028, Кишинёв, Молдова

Поступила в редакцию 30 марта 2019 г.,

после переработки 24 апреля 2019 г.

Принята к публикации 24 апреля 2019 г.

Представлены результаты исследования динамики процесса фотоассоциации трехатомных бозе-конден-

сированных ультрахолодных молекул (тримеров) с образованием атомов и двухатомных (димерных) пар.

Предложен гамильтониан взаимодействия и построена система нелинейных уравнений, описывающая

эволюцию атомов и молекул. Получены интегралы движения, с учетом которых найдено нелинейное

дифференциальное уравнение для временной эволюции плотности атомов. Из решений этого уравне-

ния в разных приближениях следует, что возможны различные режимы временной эволюции системы в

зависимости от начальных условий: периодический и апериодический режимы.

DOI: 10.1134/S0044451019110014

тов бозе-стимуляции. Вероятность отдельного бозо-

на испытать переход существенно усиливается иден-

тичными частицами как в начальном, так и в ко-

1. ВВЕДЕНИЕ

нечном состоянии. Роль бозе-стимуляции в обра-

зовании и распаде молекулярного конденсата ис-

Экспериментальная реализация атомной бозе-

следовалась в ряде работ [1, 3, 4]. Было показано,

эйнштейновской конденсации при сверхнизких тем-

что атомно-молекулярный бозе-конденсат испыты-

пературах привела к быстрому прогрессу в исследо-

вает когерентные осцилляции большой амплитуды

вании свойств ультрахолодных молекул. Это способ-

между атомами и молекулами, причем частота этих

ствовало рождению новой области научных исследо-

осцилляций существенно зависит от плотности ато-

ваний — когерентной материально-волновой супер-

мов, молекул и фотонов [5-8]. Вместе с тем экспе-

химии, которая может обеспечить квантовый конт-

риментально наблюдались не только двухатомные

роль материально-волновых реакций при сверхниз-

молекулы, но также трех- и четырехатомные, та-

ких температурах. В последние два десятка лет экс-

кие как⁶Li₃,⁴⁰K₃,⁸⁷Rb⁴⁰K⁶Li [9] и др. Недавно в

перименты были связаны с рождением и исследова-

[10] наблюдалось резонансное связывание димеров

нием свойств холодных двухатомных гомо- и гетеро-

Cs₂ в молекулярные тетрамеры Cs₄, а также обра-

ядерных молекул [1, 2]. Поэтому к начальному эта-

зование тримеров Cs₃ [11, 12]. В работе [10] дока-

пу исследований можно отнести изучение когерент-

зана возможность протекания когерентной атомно-

ной атомно-молекулярной (атомно-димерной) кон-

молекулярной конверсии с образованием как гомо-

версии A + A → A₂ и A + B → AB, где A и B —

ядерных A₄, так и гетероядерных тетрамеров A₃B

атомы, A₂ и AB — молекулы (димеры). Наиболее по-

и A₂B₂, а также мультимолекулярных реакций типа

разительным свойством атомно-молекулярной ди-

2AB → A₂ + B₂, 2A₂ → A₃ + A, 3A → A₂ + A. В ра-

намики является беспрецедентная роль нелиней-

боте [13] показано, что изотопно-обменные реакции

ных, коллективных эффектов, в частности, эффек-

видаⁿA^mA +ⁿA^mA →ⁿA₂ +^mA₂ между основны-

ми состояниями щелочно-галоидных гетероядерных

^* E-mail: zingan.anna@mail.ru

843

А. П. Зинган, О. Ф. Васильева, П. И. Хаджи

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

димеров, состоящих из двух изотопов одного и того

В статье показано, что большую роль в динами-

же атома, являются экзотермическими с изменени-

ке атомно-молекулярной конверсии играют задан-

ем энергии в области 1-8000 МГц. Поэтому гетеро-

ные разности фаз. Для создания определенной раз-

ядерные димеры являются химически нестабильны-

ности фаз используется метод впечатывания фазы

ми при ультранизких температурах. Например, две

(phase imprinting method). В работе [15] говорит-

гетеромолекулы⁶Li⁷Li распадаются на два димера

ся о методе впечатывания фазы как об эффектив-

⁶Li₂ и⁷Li₂ с выделением энергии, равной 8104 МГц.

ном методе для получения наперед заданной дина-

мики в бозе-эйнштейновском конденсате. Было про-

В работе

[14] исследовались многочастичные

демонстрировано два подхода к построению фазы

процессы в ультрахолодной смеси бозе-атомов Na и

волновой функции с заданной пространственной за-

Rb и слабосвязанных фешбах-димеров NaRb. Наб-

висимостью. В этом случае фаза может быть пе-

людались тетрамерные состояния Na₂Rb₂. Атомно-

редана с помощью двухфотонного процесса комби-

димерная система приводила к образованию триме-

национного рассеяния, причем фаза или угловой

ров NaRb₂ и Na₂Rb. Также при связывании двух

момент, переносимый фотоном, затем впечатыва-

димеров NaRb образовывались тетрамеры Na₂Rb₂,

ется в волновую функцию атома. В эксперимен-

а также тримеры NaRb₂ и Na₂Rb и свободные ато-

тальной работе [15] авторы придерживаются под-

мы Na и Rb соответственно.

хода к впечатыванию произвольной фазы считая,

В работах

[1, 11] было показано, что мето-

что пространственно-зависимый потенциал пульси-

ды фешбах-резонанса и фотоассоциации, которые

рует в течение короткого времени по сравнению с

успешно применялись для получения двухатомных

временем движения атома (например, периодом за-

молекул, могут быть использованы для образова-

хвата), таким образом потенциал впечатывается в

ния молекулярных тримеров. Основная идея состо-

атомную фазу. Этот потенциал может быть получен

ит в том, чтобы создать возбужденные димеры с по-

с помощью лазерного импульса с дальним резонан-

мощью фешбах-резонанса, а затем посредством фо-

сом, как, например, для приготовления солитона.

тоассоциации связать димеры и атомы в тримеры.

Отмечалось также, что путем оптимизации величи-

Исследование этого процесса привело к выводу, что

ны впечатанной фазы появляется возможность кон-

комбинированные эффекты бозе-стимуляции и кон-

тролировать конечный скачок фазы и, следователь-

куренции каналов распада для конечного числа мо-

но, свойства солитона. Был предложен метод под-

лекул приводят к усилению селективности реакции

готовки состояний заданной квантованной циркуля-

между обоими каналами. Относительно слабая кон-

ции в кольцевых бозе-эйнштейновских конденсатах,

тролируемость одночастичного процесса трансфор-

содержащихся в кольцевой ловушке, с использова-

мируется в практически полную контролируемость

нием метода впечатывания фазы без использования

бозе-стимулированного N-частичного процесса. В

двухфотонной передачи углового момента. Требуе-

работе [11] получены решения системы нелинейных

мый фазовый профиль отпечатывался на атомной

уравнений в приближении заданной плотности трех-

волновой функции с использованием короткого све-

атомных молекул N без учета роли начальных плот-

тового импульса с индивидуальной диаграммой ин-

ностей двухатомных молекул и атомов. Показано,

тенсивности.

что эволюция системы является апериодической и

При экспериментальном исследовании темных

состоит в распаде трехатомных молекул по двум ка-

солитонов в бозе-эйнштейновских конденсатах ато-

налам. Однако при учете начального макрозаполне-

мов Rb была обнаружена когерентная и диссипа-

ния атомов и молекул могут возникнуть и периоди-

тивная динамика солитонов, в этом случае солито-

ческие режимы эволюции системы. Отметим также,

ны также создавались методом впечатывания фа-

что детальное исследование эволюции системы под

зы [16].

действием ультракоротких импульсов резонансного

В работе [17] показано, что уравнения Грос-

лазерного излучения произвольной формы не про-

са - Питаевского часто используются для описания

водилось. Вместе с тем импульсное возбуждение си-

спиновой динамики бозе-конденсатов, где фаза дей-

стемы с длительностями импульсов, намного мень-

ствует как решающий фактор, поскольку отража-

шими времен релаксации атомов и молекул, являет-

ет квантовые характеристики конденсата. Для слу-

ся наиболее интересным, так как оно допускает воз-

чая, когда фаза может быть пространственно моду-

можность гибкого управления процессами распада.

лирована, показано, что спиновая динамика может

Поэтому дальнейшее исследование реакции, предло-

быть вызвана соответствующими фазовыми сдвига-

женной в [11], по-прежнему является актуальным.

ми. Результаты [17] показывают, что фазовая инже-

844

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Динамика бозе-конденсированных ультрахолодных атомов. . .

i Ψ _AB = Ω₁ΦΨ^∗C, i

Ψ_C = Ω₁ΦΨ^∗AB,

нерия решает вопрос о контроле разности фаз и мо-

жет играть важную роль в изменении квантовых ха-

i Ψ _BC = Ω₂ΦΨ^∗A, i

Ψ_A = Ω₂ΦΨ^∗BC,

(2)

рактеристик спинорных бозе-конденсатов.

iΦ=Ω₁Ψ_ABΨ_C +Ω₂Ψ_BCΨ_A,

где точка над символами означает производную по

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ

времени. Решения этих уравнений будем искать в

РЕЗУЛЬТАТЫ

виде

√

В данной статье приводятся результаты теорети-

Φ=

N exp(iϕ), Ψ_AB =

N_AB exp(iϕ_AB),

√

ческого исследования динамики процесса фотодис-

Ψ_C =

N_C exp(iϕ_C),

социации (или фотоассоциации) трехатомных бозе-

√

(3)

конденсированных ультрахолодных молекул ABC с

Ψ_BC =

N_BC exp(iϕ_BC),

√

образованием атомно-молекулярных пар AB+C ли-

Ψ_A =

N_A exp(iϕ_A),

бо A+BC под действием двух рамановских импуль-

сов резонансного лазерного излучения. Здесь сим-

где N_j под знаками квадратных корней и ϕ_j в экс-

волы A и C относятся к атомам, AB и BC — к

понентах являются действительными функциями и

двухатомным молекулам (димеры), а ABC — к ге-

представляют собой числа частиц и их фазы соот-

теромолекуле (тример), состоящей из атомов A, B

ветственно. Подставляя (3) в (2), приходим к сле-

и C. Предполагается, что состояния атомов и моле-

дующей системе нелинейных эволюционных уравне-

кул являются макрозаполненными. После адиабати-

ний:

√

ческого исключения промежуточных состояний воз-

N_AB =

N_C = 2Ω₁

NN_CN_AB sinθ₁,

бужденной трехатомной молекулы многочастичный

√

N_BC =

NN_AN_BC sinθ₂,

гамильтониан взаимодействия в представлении вто-

A = 2Ω2

√

ричного квантования и в приближении вращающей-

= -2Ω₁

NN_CN_AB sinθ1 -

ся волны можно записать в виде [18]

√

- 2Ω₂

NN_AN_BC sinθ₂,

[

(√

√

H_int = ℏΦ(r) Ω₁ Ψ+AB(r)Ψ+C(r) +

NN_AB

NN_C

θ₁ = Ω₁

]

N_C

N_AB

+ Ω2 Ψ+A(r)Ψ+BC(r) + c.c.

(1)

(4)

√

)

√

N_CN_AB

N_AN_BC

−

cosθ₁ - Ω₂

cosθ₂,

Здесь

Φ,

Ψ_AB,

Ψ_BC,

Ψ_A,

Ψ_C — бозонные операторы

уничтожения молекул ABC, двухатомных молекул

(√

√

NN_BC

NN_A

AB и BC, а также атомов A и C соответственно,

θ₂ = Ω₂

N_A

N_BC

c.c. — комплексно-сопряженные слагаемые. Первое

√

)

√

слагаемое в правой части (1) описывает стимули-

N_AN_BC

N_ABN_C

рованный двумя рамановскими импульсами распад

−

cosθ₂ - Ω₁

cosθ₁,

трехатомной молекулы с образованием атомно-мо-

лекулярной пары C+AB, а второе — соответственно

где θ₁ = ϕ - ϕ_C - ϕ_AB, θ₂ = ϕ - ϕ_A - ϕ_BC . Первые

A + BC. Комплексно-сопряженные слагаемые в (1)

пять уравнений в (4) приводят к трем независимым

описывают связывание атомно-молекулярных пар

интегралам движения:

в тример ABC. Константы связи Ω₁ и Ω₂ опре-

N_AB - N_C = NAB0 - NC0,

деляются амплитудами полей обоих импульсов и

атомно-молекулярного взаимодействия по первому

N_BC - N_A = NBC0 - NA0,

(5)

и второму каналу реакции.

N+N_A +N_C =N₀ +NA0 +NC0,

Используя (1), легко получить систему гейзен-

где N₀, NAB0, NBC0, NA0, NC0 — начальные плот-

берговских уравнений для операторов

Φ,

Ψ_AB,

Ψ_BC,

ности частиц. Соотношения (5) представляют собой

Ψ_A,

Ψ_C. Усредняя эту систему и используя прибли-

законы сохранения частиц в системе. Легко видеть

жение среднего поля (mean field approximation [19]),

также, что решения для разностей фаз

можно получить систему нелинейных дифференци-

альных уравнений для амплитуд (параметров по-

θ₁ = ±π/2, θ₂ = ±π/2,

(6)

рядка) материальных полей

Φ,

Ψ_AB,

Ψ_BC,

Ψ_A,

Ψ_C,

которые в условиях точного резонанса принимают

удовлетворяют системе уравнений (4). Решения с

вид

θ1 = θ2 = π/2 (θ1 = θ2 = -π/2) соответствуют

845

А. П. Зинган, О. Ф. Васильева, П. И. Хаджи

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

реакции фотодиссоциации (фотоассоциации) трех-

N /NA0

атомных молекул. Их можно назвать синфазными

решениями, так как они соответствуют синфазной

динамике частиц по обоим каналам реакции. Реше-

ния же с θ₁ = π/2 и θ₂ = π/2 или θ₁ = -π/2 и

θ₂ = π/2 можно назвать антифазными. В этом слу-

чае, как видно из (4), динамика частиц по одному

0.4

0.8

из каналов находится в противофазе с динамикой

N /NC0

частиц по другому каналу.

Из уравнений для

N_C в (4) можно получить

A и

Рис. 1. Зависимости NA от NC при NA0/N0 = 2 (1),

еще один интеграл движения, связывающий числа

1 (2), 0.5 (3); NC0/N0 = 1; NAB0/N0 = 2; NBC0/N0 = 4;

частиц в обоих каналах реакции:

Ω2/Ω1 = 2 (сплошные линии), 1 (пунктирные линии);

(√

√

)₂

а) синфазный случай, б) антифазный случай

N_A = NA0 chx +

NBC0 shx

(7a)

для синфазного случая и

где N_A выражается через N_C с помощью формул

(√

√

)₂

(7a), (7b), (8). Полученное уравнение является су-

N_A = NA0 chx -

NBC0 shx

(7b)

щественно нелинейным. Его аналитическое решение

для антифазного случая, где

можно представить в квадратурах.

)

Далее для удобства введем нормированные на

Ω₂

( √NAB0 - NC0 + N_C +√N_C

(8)

NC0 плотности:

Ω₁

√NAB0 +^√

NC0

N_C = NC0n_C = NC0y², N_A = NC0n_A,

Для значений начальных плотностей частиц

NAB0 = NC0, NBC0 = NA0 и при равенстве констант

N₀ = NC0n₀, NA0 = NC0nA0,

(11)

связи α = Ω₂/Ω₁ = 1 выражения (7a), (7b) сводятся

NAB0 = NC0nAB0, NBC0 = NC0nBC0.

к простым соотношениям:

Тогда уравнение (10) для определения N_C принима-

NA0

N_A =

N_C

(9a)

ет вид

NC0

для синфазного случая и

= ±Ω₁ ×

NA0

√

N_A =

NC0

(9b)

(nAB0 - 1 + y²)(n₀ + nA0 + 1 - y² - n_A),

(12)

N_C

для антифазного случая. В первом случае количе-

где

ство атомов N_A в одном канале пропорционально

n_A = (√nA0 ch x ±√nBC0 sh x)2

(13)

количеству атомов N_C в другом канале в любой мо-

мент времени. Плотности атомов в обоих каналах

для синфазного и антифазного случаев соответст-

либо растут, либо убывают одновременно, в то вре-

венно, а

мя как в антифазном случае плотности атомов изме-

(√

)

няются обратно пропорционально друг другу. Связи

nAB0 - 1 + y² + y

x = αln

(14)

(7a) и (7b) либо (9a) и (9b) определяют две ради-

√nAB0 + 1

кально различающиеся динамики системы частиц.

На рис. 1 представлены графики зависимостей N_A

Уравнение (12) можно записать в виде уравне-

от N_C при различных соотношениях между пара-

ния колебаний нелинейного осциллятора

метрами системы.

⁽ dy)2

Используя полученные интегралы движения, си-

+ W(y) = 0,

стему уравнений (4) можно привести к одному диф-

ференциальному уравнению, например для N_C, ко-

где

торое имеет вид

W (y) = -Ω²¹(nAB0-1+y²)(n₀+nA0+1-y²-n_A)

dNC

= ±2Ω1 ×

играет роль потенциальной энергии некоторого

√

NC(NAB0-NC0+NC )(N0+NA0+NC0-NC -NA),

нелинейного осциллятора. Исследование поведе-

(10)

ния W (y) может дать качественное объяснение

846

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Динамика бозе-конденсированных ультрахолодных атомов. . .

n_С

n_A

n_С

t/t₀

Рис. 2. Графики потенциальной энергии W (nC ) и функ-

Рис. 3. Временные зависимости нормированной плотно-

ции nA(nC ) при nA0 = nBC0 = 3, nC0 = nAB0 = 2, n0 = 1;

сти nC при N0/NC0 = 1, NAB0/NC0 = 2, NBC0/NC0 = 4,

Ω2/Ω1 — четное (а), нечетное (б)

Ω2/Ω1 = 1 (пунктирная линия — N0/NC0 = 0)

поведения самого решения y(t) в зависимости от

которая определяется как ближайший к единице по-

времени t и начальных параметров системы. В

ложительный корень уравнения

зависимости от значений начальных плотностей

n₀ + nA0 + 1 - n_CM - nA0n^αCM = 0.

частиц эволюция плотности атомов сорта C может

быть как периодической, так и апериодической.

С ростом nA0 и α плотность n_CM убывает, асимпто-

Рассмотрим ряд простейших частных случа-

тически стремится к единице справа при больших

ев, допускающих точные аналитические решения.

nA0 и α и монотонно возрастает с ростом n₀. Нали-

Пусть NA0 = NBC0 и NC0 = NAB0, т. е. числа ато-

чие двукратного корня n_C = 0 уравнения W (n_C ) =

мов и двухатомных молекул в каждом канале реак-

= 0 свидетельствует о том, что эволюция системы

ции одинаковы. Кроме того, полагаем, что времен-

в синфазном случае является апериодической. В са-

ная эволюция системы является синфазной. Тогда

мом деле, полагая α = 1, легко получить решение

плотность атомов определяется как n_A = nA0n^αC , а

уравнения (12), которое для n_C = y² выражается в

потенциальная энергия W (n_C ) имеет вид

виде

(

√

)

W (n_C ) = -n_C (n₀ + nA0 + 1 - n_C - nA0n^αC ).

n_C = n_CM sch²

n₀ + nA0 + 1Ω₁t + ϕ

(15)

где

На рис. 2 представлены графики потенциальной

n₀

энергии нелинейного осциллятора. Изменение плот-

n_CM = 1 +

ϕ = arch

√n_CM .

nA0 + 1

ности атомов сорта C со временем возможно лишь

в той области значений n_C, где W(n_C) ≤ 0. Особен-

Из (15) и рис. 3 видно, что эволюция плотнос-

ности эволюции системы определяются не только

ти атомов n_C(t) действительно является апериоди-

значениями начальных плотностей частиц, но так-

ческой. При этом решение для n_C со знаком «+»

же и соотношениями между ними. Легко понять,

в аргументе секанса гиперболического показывает,

что плотность дополнительно генерируемых моле-

что плотность атомов n_C монотонно убывает со вре-

кул равна наименьшей из плотностей атомов и ди-

менем, асимптотически стремясь к нулю на больших

меров. Так как каждая новая образующаяся молеку-

временах. Решение со знаком «-» сначала растет,

ла содержит по одному из атомов первого и второго

достигает максимальной величины n_CM в момент

сорта, то процесс образования дополнительных мо-

времени

лекул заканчивается, как только обратятся в нуль

плотности атомов одного из сортов.

t=t_M =

arch

√n_CM ,

Ω₁

√n₀ + nA0 + 1

Отсюда видно, что W(n_C) ≤ 0 в области 0 ≤

≤ n_C ≤ n_CM, где n_CM — максимальная нормирован-

после чего монотонно убывает и также асимптотиче-

ная плотность атомов типа C в процессе эволюции,

ски стремится к нулю. В этот момент времени число

847

А. П. Зинган, О. Ф. Васильева, П. И. Хаджи

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

n_С

трехатомных молекул обращается в нуль. Следова-

тельно, на этапе 0 ≤ t ≤ t_M плотность атомов типа

C растет за счет распада трехатомных молекул. Чем

больше начальная плотность n₀ трехатомных моле-

кул, тем позже возникает максимум функции n_C (t)

для решения со знаком «-» и тем выше этот мак-

симум. Такое поведение функции n_C (t) обусловле-

но знаком производной n_C |t=0 в начальный момент

времени и особенностями бозе-стимулирования про-

цесса. В случае одинаковых начальных чисел ато-

мов и двухатомных молекул в каждом из каналов

вероятность связывания их в трехатомные молеку-

t/t₀

лы обращается в нуль вместе со стремлением чи-

сел этих частиц к нулю в процессе эволюции. Таким

Рис. 4. Временные зависимости плотности атомов типа C

при α = 1/2 (пунктирная линия), 2 (сплошная линия)

образом, эволюция атомно-молекулярной системы в

этом случае является необратимой и завершается

тем, что все атомы и двухатомные молекулы исче-

4(n₀ + nA0 + 1)²

n_C =

зают, превращаясь в трехатомные молекулы.

(nA0 + 2)² + 4n₀

[

Если трехатомные молекулы в начальный мо-

(

мент времени отсутствуют в системе (n₀ = 0), что

× ch

±√n0 + nA0 + 1 Ω1t + ϕ) +

с практической точки зрения является наиболее ин-

]-2

тересным случаем, то полученное решение (15) су-

nA0

щественно упрощается и принимает вид

√

(15b)

(nA0 + 2)² + 4n₀

n_C = sch²

(√nA0 + 1 Ω₁t⁾ .

(15a)

где

(

)

2(n₀ + 1) + nA0

ϕ = arch

√

При этом исчезает различие, связанное со зна-

(nA0 + 2)² + 4n₀

ками «+» и «-», так как в начальный момент вре-

В этом случае также имеет место апериодический

мени осциллятор находится в точке с координатой

режим эволюции. Наконец, полагая отношение кон-

n_C = 1 с потенциальной энергией W, равной нулю,

стант связи α = 2, получаем

в силу чего единственным направлением смещения

(

√

может быть движение в сторону уменьшения вели-

n_C =

1 + 4nA0(n₀ + nA0 + 1) ×

чины n_C (t) до нуля, т. е. все атомы и двухатомные

(

√

молекулы связываются в трехатомные гетероядер-

× ch

±2

n₀ + nA0 + 1Ω₁t + ψ))-1 , (15c)

ные тримеры.

где

При произвольном значении отношения конс-

(

)

тант связи α качественно динамика плотности ато-

2(n₀ + nA0) + 1

мов сорта C сохраняется, т. е. по-прежнему имеет

ψ = arch

√

1 + 4nA0(n₀ + nA0 + 1)

место необратимый апериодический режим эволю-

ции. При этом максимальное значение плотности

Отсюда видно, что и в этом случае решение являет-

атомов n_CM в решении со знаком «-» определя-

ся апериодическим (рис. 4).

ется уравнением n₀ + nA0 + 1 = n_CM + n_A. Вид-

Таким образом, можно высказать общий вывод,

но, что максимальное значение n_CM монотонно воз-

состоящий в том, что при любом отношении конс-

растает с ростом начальной плотности трехатомных

тант связи эволюция системы в синфазном режиме

молекул n₀ при фиксированном значении плотности

является апериодической и необратимой во време-

атомов nA0 и монотонно убывает с ростом плотно-

ни.

сти атомов nA0 при фиксированной плотности трех-

Рассмотрим теперь решение для случая анти-

атомных молекул n₀.

фазной эволюции. Из (9b) получаем n_A = nA0/n_C.

Легко получить аналитическое решение также и

Следовательно, произведение n_An_C сохраняется со

для случая, когда константа связи по первому кана-

временем: если одна из величин возрастает со вре-

лу реакции в два раза меньше константы связи по

менем, то другая — убывает. В этом и заключает-

второму каналу (α = 1/2):

ся смысл термина антифазная эволюция. Уравнение

848

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Динамика бозе-конденсированных ультрахолодных атомов. . .

n_С

N /NС0

nA0

t/t₀

Рис. 6. Временная эволюция нормированной плотности

атомов nC в зависимости от значений параметра nA0 при

n0 = 2, α = 2

nA0

Рис. 5. Временная эволюция нормированной плотности nC

Якоби dn(x) свидетельствуют о том, что в началь-

в зависимости от значений параметра nA0 при NC0/N0 =

ный момент времени плотность атомов n_C (t) воз-

= 1, n0 = 0, Ω1 = 1

растает либо убывает со временем, что, в свою оче-

редь, определяется направлением начальной скоро-

сти n_C|t=0. Решения со знаками «+» и «-» в аргу-

для динамики плотности атомов n_C(t) в этом случае

менте функции dn(x) различаются постоянной вели-

имеет вид

чиной F (ϕ₀, k). Легко видеть, что ϕ₀ = 0 при n₀ = 0,

√

тогда решение (18) упрощается и приводится к виду

n_C = ±2Ω₁

NC0

n_C(n₊ - n_C)(n_C - n_-),

(16)

(

√

)

n_C = dn2 Ω1

NC0 t

k² = 1 - nA0

(18a)

где

при nA0 < 1,

n_± =

(

)

√

n_C =

(

(18b)

× n₀+nA0+1 ±

(n₀-nA0+1)²+4n₀nA0

(17)

dn²

Ω₁

√NC0nA0 t),k2 =

nA0

при nA0 > 1 и

Здесь n_± — максимальная (+) и минимальная (-)

плотности атомов n_C , которые возможны в процессе

n_C = 1

(18c)

эволюции. Решение уравнения (16) имеет вид

при nA0 = 1. Таким образом, если начальная плот-

n_-

n_C =

(

√

(18)

ность трехатомных молекул равна нулю, n₀ = 0,

dn²

±2Ω₁

NC0n₊t + F(ϕ₀, k)

а начальные плотности атомов и димеров равны

nA0 = nC0 = nAB0 = nBC0 = 1, то временная эво-

где F (ϕ₀, k) — неполный эллиптический интеграл

люция в системе атомов и молекул отсутствует, т. е.

первого рода с параметром ϕ₀ и модулем k [20, 21],

плотности атомов и молекул сохраняются. Как вид-

которые определяются выражениями

но из (4), это обусловлено спецификой бозе-стиму-

√

ляции процесса.

n_-

n₊(1 - n_-)

k² = 1 -

ϕ₀ = arcsin

(19)

Если рассматривать случай произвольных значе-

n₊

n₊ - n_-

ний отношения констант связи α = Ω₂/Ω₁, то урав-

(t) за-

нение для определения плотности атомов n_C

а dn(x) — эллиптическая функция Якоби [20,21]. Из

пишется в виде

(18) и рис. 5 видно, что плотность атомов n_C перио-

√

дически изменяется со временем в пределах n_- ≤

n_C = ±2Ω₁

NC0 ×

≤ n_C ≤ n₊ с периодом T, равным

√

×n_C n₀ +nA0 +1-n_C -nA0n^-αC.

(21)

2K(k)

T =

√

(20)

Ω₁

NC0n₊

Видно, что временная эволюция системы

по-прежнему является периодической и плотность

где K(k) — полный эллиптический интеграл перво-

атомов n_C(t) периодически осциллирует между

го рода [20, 21]. Знаки «±» в аргументе функции

двумя наибольшими корнями уравнения

849

А. П. Зинган, О. Ф. Васильева, П. И. Хаджи

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

n_С

nA0

t/t₀

nA0

Рис. 7. Временная эволюция нормированной плотности атомов nC в зависимости от значений параметра nA0 в синфаз-

ном случае при n0 = 2, α = 2; а) решение со знаком «+», б) решение со знаком «-», в) максимальное и минимальное

значения нормированной плотности атомов nC в зависимости от значений параметра nA0 в синфазном случае

nα+1C - (n₀ + nA0 + 1)n^αC + nA0 = 0.

(22)

Если рассматривать случай произвольных зна-

чений отношения констант связи α > 0, то иссле-

Если положить отношение констант связи α = 2,

дование поведения потенциальной энергии W (n_C )

то решение уравнения (21) запишется в виде

нелинейного осциллятора показывает, что уравне-

) = 0 всегда имеет два положительных

ние W (n_C

n_C = α₃ +

корня α₁ > α₂, между которыми изменяется плот-

α₁ - α₃

(

√

(23)

ность атомов n_C (t). Поэтому, хотя общее решение

dn²

±Ω₁

NC0(α₁ - α₃) t + F(ϕ₀, k)

уравнения (21) в известных функциях представить

не удается, однако в квадратурах это решение имеет

где α₁ > α₂ > α₃ — три действительных корня ку-

вид

бического уравнения (22) (рис. 6),

∫

√

α₁-α₂

α₁ - α₃ 1 - α₂

x(n₀ + nA0 + 1 - x - nA0x^-α)

k² =

ϕ₀ = arcsin

(24)

α₁-α₃

α₁ - α₂ 1 - α₃

√

= ±2Ω₁

NC0

(26)

Таким образом, плотность атомов n_C (t) перио-

дически осциллирует в пределах α₂ ≤ n_C ≤ α₁ с

Следовательно, плотность атомов n_C (t) колеблется

в пределах α₂ ≤ n_C ≤ α₁ с периодом T , который

периодом T , равным

определяется выражением

2K(k)

T =

√

(25)

T =

√

Ω₁

NC0(α₁ - α₃)

4Ω₁

NC0

∫

Из рис. 6 видно, что колебания плотности атомов

√

(27)

типа C происходят между максимальным и средним

x(n₀ + nA0 + 1 - x - nA0x^-α)

корнями (22).

α2

850

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Динамика бозе-конденсированных ультрахолодных атомов. . .

n_С

nA0

t/t₀

nA0

Рис. 8. Временная эволюция нормированной плотности атомов nC в зависимости от значений параметра nA0 в антифаз-

ном случае при n0 = 2, α = 2; а) решение со знаком «+», б) решение со знаком «-», в) максимальное и минимальное

значения нормированной плотности атомов nC в зависимости от значений параметра nA0 в антифазном случае

Рассмотрим теперь временную эволюцию систе-

где

мы в приближении заданных плотностей двухатом-

ных молекул: NAB0 = NBC0 ≫ N₀, NC0, NA0. В этом

y_± =

приближении плотности двухатомных молекул со-

1+α²

(

√

)

храняются: N_AB(t) = NAB0, N_BC (t) = NBC0. Интег-

× α(α -

√nA0 ) ±

(1+α²)n₀+ (1+α

√nA0

)²

ралы движения (7), связывающие плотности атомов

в различных каналах, принимают вид

n_A = (√nA0 ± α (√nC - 1))2

(28)

На рис. 7а,б представлены зависимости плотнос-

от времени при различных значениях

ти атомов n_C

для синфазного (+) и антифазного (-) случаев, где

параметров. Видно, что имеет место периодический

α = γ₂/γ₁, γ₁ = 2Ω₁√NAB0, γ2 = 2Ω2√NBC0. Тог-

режим превращения атомов и молекул в трехатом-

да решение уравнения (12) для синфазного случая

ные молекулы и обратно с периодом T , равным

записывается как

⎛

2π

NC0

T =

√

(30)

n_C =

⎝y+ + y_- + (y₊ - y_-) ×

BC0

Ω²¹NAB0 + Ω²²N

⎛

√

При больших значениях nA0 решение со знаком «+»

× sin^⎝ ±

γ²¹ + γ²² t +

в аргументе синуса в начальный момент времени

возрастает, достигая значения y2-, затем убывает до

⎛

⎞⎞⎞₂

нуля и далее снова возрастает до значения y²⁺; ре-

1+α

√nA0

шение со знаком «-» в начальный момент убыва-

+ arcsin⎝√

⎠⎠⎠ ,

(29)

(

√

)₂

ет, а при больших значениях t эволюция совпадает

(1+α²)n₀+

1+α

nA0

с решением со знаком «+». Как видно из (29), эти

851

А. П. Зинган, О. Ф. Васильева, П. И. Хаджи

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

решения отличаются друг от друга постоянной раз-

то временная эволюция в системе атомов и молекул

ностью фаз, равной

отсутствует, т. е. плотности атомов и молекул сохра-

⎛

⎞

няются постоянными.

1+α

√nA0

arcsin⎝√

⎠.

(

√

)₂

(1 + α²)n₀

1+α

nA0

ЛИТЕРАТУРА

При близких к нулю значениях nA0 максимумы ко-

лебаний с меньшей амплитудой определяются значе-

В. Кеттерле, УФН 173, 1339 (2003).

нием y2-, а с большей — y²⁺, тогда как при значении

nA0 > nA0cr (nA0cr численно равно α²), при котором

Э. А. Корнелл, К. Э. Виман, УФН 173, 1320 (2003).

y2- = y²⁺, максимумы колебаний с меньшей ампли-

J. M. Sage et al., Phys. Rev. Lett. 94, 203001 (2005).

тудой определяются значением y²⁺, а с большей —

y2- (рис. 7в). При nA0 = nA0cr амплитуда колебаний

D. J. Heinzen et al., Phys. Rev. Lett. 84, 5029 (2005).

плотности атомов n_C периодически изменяется от

П. И. Хаджи, А. П. Зинган, ЖЭТФ 139, 645

нуля до y2±.

(2011).

Что касается антифазной эволюции (рис. 8), то

она сводится здесь к замене параметра α на -α. При

П. И. Хаджи, А. П. Зинган, Письма в ЖТФ 37,

этом, как видно из рис. 8а,б, амплитуда колебаний

29 (2011).

плотности n_C с течением времени, в отличие от син-

П. И. Хаджи, А. П. Зинган, Письма в ЖЭТФ 92,

фазной эволюции, не изменяется при фиксирован-

490 (2010).

ном значении нормированной плотности атомов nA0.

В этом случае значения плотности атомов n_C перио-

П. И. Хаджи, Д. В. Ткаченко, Письма в ЖТФ 34,

дически изменяются от значения y2- до y²⁺ (рис. 8в),

87 (2008).

где значения y_± определяются так же, как и в слу-

M. Taglieber et al., Phys. Rev. Lett. 100, 010401

чае синфазной эволюции, но с заменой параметра α

(2008).

на -α.

10.

C. Chin et al., Phys. Rev. Lett. 94, 123201 (2005).

11.

J. Perez-Rios et al., Phys. Rev. Lett. 115, 073201

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(2015).

В заключение отметим, что в данной ра-

12.

H. Jing et al., Phys. Rev. A 77, 043614 (2008).

боте представлены результаты исследования

явления фотоассоциации бозе-конденсированных

13.

M. Tomza, Phys. Rev. Lett. 115, 063201 (2015).

ультрахолодных атомов и трехатомных моле-

14.

X. Ye et al., Science Adv. 4, 0083 (2016).

кул с образованием двухатомных гетероядерных

димеров и атомов. Предсказана возможность

15.

A. Kumar et al., Phys. Rev. A 97, 043615 (2018).

существования синфазного и антифазного ре-

16.

S. Burger et al., Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999).

жимов эволюции системы. Если числа атомов и

двухатомных молекул в каждом канале реакции

17.

Ch. Tao and Q. Gu, Phys. Rev. A 79, 023612 (2009).

одинаковы, то эволюция системы в синфазном

18.

M. G. Moore and A. Vardi, Phys. Rev. Lett. 88,

режиме при любом значении параметра Ω₂/Ω₁ яв-

160402 (2002).

ляется апериодической и необратимой во времени.

Все атомы и двухатомные молекулы в процессе

19.

P. I. Khadzhi and D. V. Tkachenko, J. Nanoelectr.

эволюции связываются в трехатомные молекулы,

Optoelectr. 4, 101 (2009).

чем эволюция и завершается. Для антифазного

20.

И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегра-

случая характерна преимущественно периодиче-

лов, сумм, рядов и произведений, Наука, Москва

ская эволюция конверсии бозе-конденсированных

(1971).

атомов и молекул. Более того, если начальная

плотность трехатомных молекул тождественно

21.

Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для

равна нулю и все атомы и двухатомные мо-

научных работников и инженеров, Наука, Москва

лекулы имеют одинаковые начальные плотности,

(1968).

852