ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 5 (11), стр. 853-867

СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ НА НЕОДНОРОДНУЮ СФЕРИЧЕСКУЮ

ЧАСТИЦУ В ПОЛЕ ЛАЗЕРНОГО ПИНЦЕТА

И. Р. Арцер^*, Ю. В. Рождественский

Санкт-Петербургский Национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики (Университет ИТМО)

197101, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 4 апреля 2019 г.,

после переработки 8 мая 2019 г.

Принята к публикации 28 мая 2019 г.

Рассмотрено световое давление на неоднородную сферическую диэлектрическую частицу, состоящую из

оболочки и ядра с различными показателями преломления. В приближении геометрической оптики най-

дены силы, действующие на данную частицу в лазерном пучке с гауссовым профилем интенсивности.

Проведен анализ распространения излучения с учетом различных показателей преломления ядра, обо-

лочки и среды, окружающей частицу. Показано, что световое давление существенным образом зависит

от радиуса ядра, что позволяет оценить размер ядра по пространственной динамике частицы в поле

оптического пинцета.

DOI: 10.1134/S0044451019110026

локализации нанотрубок в поверхностно-активных

веществах [11,12], коллоидных наночастиц, наноце-

пей и наноколец [13], охлаждения частиц до низ-

1. ВВЕДЕНИЕ

ких температур [14-19], в приложениях оптомехани-

ки [20-24]; а также в биологии для сортировки кле-

В 1970 г. Артуром Ашкиным (Нобелевская пре-

ток [25], управления одиночными клетками [2,26,27],

мия 2018 г. за применение оптического пинцета в

изучения строения макромолекул [28]. Более того,

биологии) была предложена идея пленения микро-

по деформации эритроцита в поле лазерного излу-

частиц полем сфокусированного лазерного излуче-

чения оказалась возможной диагностика ряда забо-

ния. Так, в работе [1] впервые было описано пле-

леваний [29, 30]. Все эти впечатляющие результаты

нение лазерным пучком полистироловой частицы,

были получены на основе действия лазерного излу-

взвешенной в жидкости, а в [2] проведено вычис-

чения на оптически однородную частицу.

ление сил оптического давления, действующих на

однородную частицу в поле оптического пинцета,

Однако понимание того, что в биологических

в приближении геометрической оптики. Впослед-

объектах чаще всего присутствуют неоднородности,

ствии описание способов пленения частиц совершен-

как, например, ядра, стимулировало попытки рас-

ствовалось, что описано в работах [3-6]. Кроме того,

смотреть действие светового давления на оптически

именно А. Ашкиным впервые была пространственно

неоднородную диэлектрическую частицу [31]. Так,

локализована в сфокусированном лазерном пучке

в работе [31] рассматривалась частица с произволь-

единичная бактерия [7], а также доказана ее жизне-

ным количеством сферических слоев с различными

способность под воздействием интенсивного лазер-

показателями преломления в поле оптического из-

ного излучения [8, 9]. Данные работы на десятиле-

лучения.

тия определили тренд развития в области взаимо-

Отметим, что при получении силы, которая дей-

действия микрочастиц различной природы с опти-

ствует на такую частицу в поле лазерного излу-

ческим излучением.

чения [7], исследователи столкнулись с двумя ос-

Так, лазерный пинцет нашел широкое примене-

новными трудностями; во-первых, наличие криво-

ние в физике для захвата крупных частиц [3, 10],

линейной, т. е. сферической, границы раздела сред.

Другими словами, чтобы найти силу светового дав-

^* E-mail: artser_ilia@mail.ru

ления, необходимо вычислить углы всех преломлен-

853

И. Р. Арцер, Ю. В. Рождественский

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

ных и отраженных лучей через начальный угол па-

имеющих ядро, так и для пространственной локали-

дения. В случае плоских границ раздела такая за-

зации оптическим излучением микроконтейнеров с

дача решается относительно просто и является ос-

характерным размером порядка 100-500 мкм. Тако-

новой для реализации просветляющих оптических

го рода контейнеры могут использоваться для хра-

покрытий и волноводов [32]. Во-вторых, необходи-

нения как лекарств, так и микропроб биологических

мость учитывать все многочисленные отражения

тканей.

луча внутри частицы приводит к выражениям для

вычисления силы светового давления в виде бес-

2. СИЛА СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ, СЛУЧАЙ

конечных рядов уже для случая оптически одно-

ОПТИЧЕСКИ ОДНОРОДНОЙ

родной частицы [7]. В результате в работе [7] бы-

СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ

ли получены силы светового давления только для

В работе [7] А. Ашкин вычислил силы, определя-

случая малого и постоянного изменения показателя

ющие динамику однородной сферической диэлект-

преломления от слоя к слою, т. е. для малого гради-

рической частицы в поле лазерного пинцета. С фи-

ента показателя преломления. Естественно, что при

зической точки зрения возникновение силы свето-

таком подходе отсутствует строгая граница между

вого давления, которая действует на диэлектриче-

средами с разными показателями преломления [7] и

скую частицу, обусловлено преломлением падающе-

в целом вид силы светового давления слабо отлича-

го светового луча на границе раздела двух сред с

ется от случая однородной частицы.

разными показателями преломления. В этом случае,

В настоящее время нанотехнологии позволяют

согласно устоявшейся терминологии, возникает две

производить практически любой тип частиц с за-

силы: рассеивающая F_S, которая является коллине-

данными оптическими свойствами, вследствие чего

арной падающему лучу, и градиентная F_g, которая

необходимо исследовать возможность оптического

стремится вернуть преломленный луч в направле-

манипулирования структурами с оболочкой, ядром

нии падающего луча [7]. Таким образом, единичный

и строго выраженной границей раздела двух сред с

вектор рассеивающей силы есть сумма единичных

разными оптическими плотностями. Однако и при-

векторов градиентной силы и преломленного луча

рода очень разнообразна: подобные объекты встре-

(см. рис. 1).

чаются в естественных средах, и именно по этой

Отметим, что световой луч, попадая внутрь час-

причине описание динамики такой частицы являет-

тицы, испытывает многократные преломления на

ся важной задачей.

границе раздела частица-среда, каждое из которых

В настоящей работе исследуется сила светового

вносит свой вклад в вычисление силы. При этом

давления, которая действует на сферическую опти-

сила светового давления определяется только пре-

чески неоднородную частицу, состоящую из сфери-

ломленной на внутренней поверхности волной, ко-

ческого ядра и оболочки при произвольных соот-

торая покидает частицу, а все углы падения и пре-

ношениях показателей преломления. Будет показа-

ломления на границе раздела могут быть определе-

но, что в зависимости от соотношений показателей

ны через начальный угол падения ϕ₁ = arcsin(s) и

преломления и размера ядра существует различие

угол после первого преломления ϕ₂ = arcsin(ns) с

в характере действия светового давления на неод-

помощью закона Снелля. Здесь n = n₁/n₂ — отно-

нородную частицу. Так, втягивание (или выталки-

сительный показатель преломления, n1,2 — показа-

вание) неоднородной частицы из области лазерно-

тели преломления среды и частицы соответственно,

го луча существенным образом зависит от размеров

s = x/R₀ — безразмерная координата точки пересе-

ядра. Например, при малых размерах ядра действие

ния луча с границей, R₀ — радиус частицы.

светового давления в большой степени соответству-

В результате получим выражение для силы све-

ет давлению оптического излучения на однородную

тового давления в виде ряда геометрической про-

частицу. В то же время по мере увеличения разме-

грессии, сумма которой имеет вид [6]

ра ядра действие светового давления ослабевает и

[ (

даже возможно изменение втягивания на выталки-

n₁P

F_t =

- Rexp{-2iϕ₁} +

вание частицы из области взаимодействия, что поз-

воляет осуществлять своеобразное неразрушающее

)]

exp{2i(ϕ₂ - ϕ₁)} + R exp{-2iϕ₁}

«измерение» размера полости по характеру динами-

+ T²

(1)

1 + R² + 2Rcos(2ϕ₂)

ки частицы.

Результаты работы могут быть использованы

Здесь P — мощность лазерного излучения, а R =

как для реализации захвата биологических клеток,

= (R_∥ + R_⊥)/2, T = (T_∥ + T_⊥)/2 (что выполняется

854

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Световое давление на неоднородную сферическую частицу...

Рис. 2. Изображение хода лучей внутри частицы для лю-

Рис. 1. Определение сил, действующих на однородную

бых соотношений показателей преломления ядра n3, обо-

сферическую частицу радиусом R0 в поле лазерного излу-

лочки n2 и окружающей частицу среды n1: пунктирная

линия 1 — прохождение излучения мимо ядра, что соот-

чения, согласно работе [7]: рассеивающая сила FS распо-

ложена на прямой распространения начального луча, гра-

ветствует случаю оптически однородной частицы; штрих-

пунктирная 2 — полное внутреннее отражение на границе

диентная сила Fg перпендикулярна рассеивающей силе.

Также показан ход луча внутри частицы с отражениями

среда-частица; штриховые 3 — полное внутреннее отра-

жение на границе оболочка-ядро; сплошная 4 — прохож-

от поверхности раздела частица-среда: ϕ1 — начальный

угол падения, ϕ2 — угол после первого преломления

дение сквозь ядро. Жирными стрелками выделены лучи,

которые вносят вклад в силу светового давления

для неполяризованных и поляризованных по кругу

3. СИЛА СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ

пучков [7]) следуют из формул Френеля для энер-

ОПТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ЧАСТИЦЫ

гетических коэффициентов отражения и преломле-

ния:

Рассмотрим теперь световое давление лазерного

излучения на диэлектрическую сферическую части-

)₂

цу радиусом R₀, которая имеет сферическое ядро

⁽ncosϕ₂ - cosϕ₁

R_∥ =

радиусом r (рис. 2). Считая показатели преломле-

n cosϕ₂ + cosϕ₁

ния окружающей частицу среды n₁, оболочки n₂ и

)₂

ядра n₃ разными, рассмотрим все возможные слу-

⁽ncosϕ₁ - cosϕ₂

R_⊥ =

чаи распространения светового излучения в частице

n cosϕ₁ + cosϕ₂

(рис. 2). Так, в общем случае возможно четыре раз-

(2)

личных пути распространения излучения: прохож-

4n cosϕ₁ cosϕ₂

T_∥ =

дение излучения, минуя ядро, полное отражение на

(n cos ϕ₂ + cos ϕ₁)²

границе среда-частица, полное внутреннее отраже-

4n cosϕ₁ cosϕ₂

ние на границе оболочка-ядро и прохождение из-

T_⊥ =

лучения сквозь ядро (см. рис. 2). Соответственно в

(n cos ϕ₁ + cos ϕ₂)2

зависимости от соотношений показателей преломле-

ния для вычисления силы светового давления будет

Отметим, что «сила» является комплексной ве-

необходимо учитывать те или иные варианты рас-

личиной, действительная часть Re(F_t) = |F_S | совпа-

пространения лучей или их комбинацию. Кроме то-

дает с модулем рассеивающей силы и мнимая часть

го, изменение размеров «ядра» ведет к изменению

Im(F_t) = |F_g| совпадает с модулем градиентной си-

«веса» комбинации распространения лучей при вы-

лы в полном соответствии с [7] (см. рис. 1).

числении силы светового давления. Например, при

855

И. Р. Арцер, Ю. В. Рождественский

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

увеличении размера «ядра» часть силы, связанная

отражение от ядра. С другой стороны, при углах

с прохождением излучения сквозь ядро, существен-

падения ϕ₁ > ϕ_cr для силы светового давления оста-

но возрастает по сравнению с другими вариантами

ется только выражение (3).

распространения.

Подчеркнем также, что не все отраженные и пре-

3.3. Полное внутреннее отражение на

ломленные лучи участвуют в формировании силы

границе частица-ядро

светового давления [6]. На рис. 2 жирными стрелка-

ми специально выделены те лучи, интенсивности ко-

Далее рассмотрим случай, когда излучение пол-

торых дают вклад в силу светового давления. Одна-

ностью отражается на границе раздела оболоч-

ко для вычисления интенсивностей лучей по форму-

ка-ядро и, соответственно, показатель преломле-

лам Френеля (2) необходимо знать углы отражения

ния ядра меньше, чем у оболочки, n₃ < n₂. Тогда

и преломления всех отдельных лучей, а не только

вклад в силу светового давления будет давать не

определяющих силу светового давления.

только преломленная компонента на границе среда-

Исследуем особенности вычисления силы свето-

оболочка, но также и отраженная от ядра доля из-

вого давления для всех случаев распространения из-

лучения. Поскольку излучение не входит внутрь яд-

лучения в частице.

ра, коэффициент преломления будет равен нулю по

всему диапазону координат, больших критическо-

го значения. В свою очередь, коэффициент отра-

3.1. Распространение излучения только в

жения для координат, больших критического зна-

оболочке частицы

чения, должен быть равен единице, поскольку из-

Случай, когда световой луч не проходит сквозь

лучение отражается без потерь.

«ядро» и распространяется только в оболочке час-

В результате в конечном выражении для силы

тицы, полностью соответствует рассмотренному вы-

светового давления будут вклады от двух групп лу-

ше случаю однородной частицы и сила светового

чей: первой, которые отразились от «ядра», и вто-

давления вычисляется согласно выражению (1). Уг-

рой, которые преломились на границе оболочка-

лы падения и преломления при этом принимают

среда. На рис. 3 показан случай полного внутрен-

значения ϕ₁ = arcsin(s), ϕ₂ = arcsin((n₁/n₂)s).

него отражения на границе оболочка-ядро. Началь-

ный луч попадает в частицу в точке A с углом паде-

3.2. Полное внутреннее отражение на

ния ϕ₁ = arcsin(s), затем луч преломляется под уг-

границе среда-оболочка

лом ϕ₂ = arcsin(sn₁/n₂) и попадает на ядро (точка

B) под углом ϕ₃ = arcsin(n₁R₀s/(n₂r)), который яв-

Исследуем теперь случай полного внутреннего

ляется углом отражения на границе оболочка-ядро.

отражения на границе среда-частица (на рис. 2 луч

Далее, в точке C происходит как преломление отра-

2), когда показатель преломления среды больше,

женного от ядра луча обратно в среду, так и отраже-

чем у оболочки, т. е. n₁ > n₂. Тогда, считая, что ко-

ние снова в частицу и попадание на «ядро» в точ-

эффициент отражения R = 1, а коэффициент пре-

ке D. Поскольку имеет место преломление на гра-

ломления T = 0, из выражения (1) сразу получим

нице раздела оболочка-среда, интенсивность отра-

вид силы светового давления в виде

женного от «ядра» излучения постепенно убывает

с увеличением количества отражений (см. рис. 3).

F_t,cr/F₀ = 1+exp{-2iϕ₁} = 2 cos² ϕ₁-i sin2ϕ₁,

(3)

Последнее обстоятельство позволяет построить для

где F₀ = (n₁n₂/c)P .

силы светового давления убывающий ряд, который

Отметим, что в случае n₁ > n₂ полная сила све-

учитывает все бесконечное количество отражений

тового давления будет содержать несколько частей.

от ядра и преломлений на границе оболочка-среда.

Так, при углах падения ϕ₁ < ϕ_cr, что соответствует

При этом интенсивности всех отраженных и прелом-

определенной координате s_cr = x_cr/R₀, излучение

ленных лучей будут определяться посредством фор-

проникает в частицу, где ϕ_cr — критический угол

мул Френеля (2) для каждой границы раздела. Для

полного внутреннего отражения. Тогда в силе, в за-

того чтобы использовать формулы (2), необходимо

висимости от показателя преломления n₃ и размера

еще найти все углы, образованные положительным

ядра r, должны учитываться разные варианты рас-

направлением оси x и направлением распростране-

пространения излучения, например, только в обо-

ния луча, отраженного от ядра (рис. 3). При этом

лочке — случай однородной частицы (1), прохожде-

углы падения и преломления определяются относи-

ние излучения сквозь ядро или полное внутреннее

тельно радиуса частицы, который является норма-

856

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Световое давление на неоднородную сферическую частицу...

Отметим, что вклад в силу светового давления

вносят как отраженные от ядра лучи в точках B и D,

так и преломленные на границе раздела оболочка-

среда лучи в точках C, E. Тогда проекция на ось x

каждого луча определяет вклад в градиентную силу

F_g, а проекция на ось z — в силу рассеяния F_S.

При этом при переходе между средой и оболоч-

кой интенсивности преломленного и отраженного

луча определяются согласно коэффициентам пре-

ломления T и отражения R (см. (2)). В результате

выражения для проекций силы светового давления

по осям координат могут быть записаны как

F_g = F_x = T sin(ϕ₁ + 2ϕ₃ - ϕ₂)+

+ TRsin(ϕ₁ + 4ϕ₃ - 3ϕ₂)+

+ T2 sin(2ϕ₁ + 2ϕ₃ - 2ϕ₂)+

)+...,

+ T²R sin(2ϕ₁ + 4ϕ₃ - 4ϕ₂

(4)

F_S = F_z = -T cos(ϕ₁ + 2ϕ₃ - ϕ₂)-

- TRcos(ϕ₁ + 4ϕ₃ - 3ϕ₂)-

Рис. 3. Случай полного внутреннего отражения на границе

- T2 cos(2ϕ₁ + 2ϕ₃ - 2ϕ₂)-

раздела оболочка-ядро: указаны оси, углы падения и отра-

- T²R cos(2ϕ₁ + 4ϕ₃ - 4ϕ₂) - . . .

жения, а также углы между положительным направлением

оси x и направлением распространения лучей. Выбор лу-

Сгруппируем члены с T и T², представив их в

ча происходит по направлению, которое указано круговой

виде суммы с постоянно возрастающей степенью у

стрелкой. Углы преломления и отражения обозначаются,

множителя R. Также для удобства, следуя [7], пред-

как ∠ A = π/2 + ϕ1 - ϕ2 соответствует углу отражения в

точке A, угол ∠ B = 3π/2 + ϕ1 + 2ϕ3 - ϕ2 — углу отраже-

ставим (4) в виде F_t = F_z + iF_x и построим выраже-

ния в точке B, угол ∠ C = 3π/2 + 2ϕ1 + 2ϕ3 - 2ϕ2 — углу

ния для полной силы светового давления, где пер-

преломления в точке C, ∠ D = 3π/2 + ϕ1 + 4ϕ3 - 3ϕ2 —

вый ряд будет относиться к отраженным лучам, а

углу отражения в точке D, ∠ E = 3π/2 + 2ϕ1 + 4ϕ3 - 4ϕ2 —

второй — к преломленным:

углу преломления в точке E

Ft/F0 = -n¹¹T exp{i(ϕ2 - ϕ1 - 2ϕ3)} ×

∑

лью к сферической границе раздела. Тогда в точке

× Rn exp{2ni(ϕ₂ - ϕ₃)}-

A угол равен ∠ A = π/2 + ϕ₁ - ϕ₂ и для отражен-

n=0

ного от ядра луча в точке B найдем, что угол ∠ B

- n-12T2 exp{2i(ϕ₂ - ϕ₁ - ϕ₃)} ×

будет иметь значение ∠ B = 3π/2 + ϕ₁ + 2ϕ₃ - ϕ₂,

∑

а для отраженного в точке D луча получим ∠ D =

× Rn exp{2ni(ϕ₂ - ϕ₃)}.

(5)

= 3π/2 + ϕ₁ + 4ϕ₃ - 3ϕ₂. При этом для луча, пре-

n=0

ломленного в точке C, угол между осью x и на-

Учитывая далее, что ряд в (5) является беско-

правлением распространения имеет значение ∠ C =

нечно убывающей геометрической прогрессией, по-

= 3π/2+2ϕ₁ +2ϕ₃ -2ϕ₂, а для луча, преломленного

лучим

в точке E угол ∠ E = 3π/2 + 2ϕ₁ + 4ϕ₃ - 4ϕ₂. В

результате такой процедуры возможно вычисление

∑

углов отражения и преломления для всех точек при-

B = Rn exp{2ni(ϕ₂ - ϕ₃)} =

хода лучей как на «ядро», так и на границу разде-

n=0

ла оболочка-среда. Причем при последовательных

1 - Rexp{2i(ϕ₂ - ϕ₃)}

отражениях луча от «ядра» угол увеличивается на

(6)

1 + R² - 2Rcos[2i(ϕ₂ - ϕ₃)]

величину π +2ϕ₃, а при отражении на внешней гра-

нице уменьшается на величину π - 2ϕ₂. Кроме того,

и окончательное выражение для сил, действующих

при преломлении на границе раздела оболочка-сре-

на частицу в случае полного внутреннего отражения

да угол луча изменяется на величину ϕ₁ - ϕ₂.

на границе оболочка-ядро, примет вид

857

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

И. Р. Арцер, Ю. В. Рождественский

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

n₁

n₃

n₂

n₁

n₃

n₂

Рис. 4. а) Движение луча сквозь ядро и указание углов падения и отражения. На рис. б-г указаны сплошные, штриховые

и штрихпунктирные лучи: первые показывают действие первого луча, вторые — однажды отраженного, причем первые

и вторые отвечают за силы преломления из ядра, третьи ответственны за отраженную компоненту, как в случае полного

внутреннего отражения. б) Первый луч, который проходит в ядро и бесконечно в ядре переотражается. в) Прохождение

излучения сквозь ядро после отражения от ядра. г) Прохождение излучения дважды сквозь ядро после того, как луч

отразился от оболочки и вернулся в ядро

F_t/F₀ = n-12 + n-12R exp{-2iϕ₁} -

ления направления луча необходимо знать четыре

угла, три из которых ранее определили — ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃,

- TB exp{i(ϕ₂ - ϕ₁ - 2ϕ₃)} ×

(

)

а четвертый

— угол преломления на границе

n-11 + n-12T exp{i(ϕ₂ - ϕ₁)}

(7)

оболочка-ядро, равен ϕ₄

= arcsin((n₁R₀/n₃r)s),

при этом s = x/R₀ (см. рис. 4а).

3.4. Прохождение излучения сквозь ядро

Разделим силы по природе возникновения на

Теперь рассмотрим случай прохождения излу-

силы, возникающие при преломлении на границе

чения сквозь ядро. Тогда для однозначного опреде-

оболочка-ядро (оболочка-среда) и при отражении

858

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Световое давление на неоднородную сферическую частицу...

от ядра. Для второго случая при каждом отраже-

ответствующей такому лучу, получаем следующие

нии направление лучей изменяется на угол π + 2ϕ₃

выражения в виде бесконечных рядов:

или π - 2ϕ₂ в зависимости от границы отражения:

F₁ = n-11T₁T²² exp{-i(ϕ₁ + 2ϕ₃ - ϕ₂ - 2ϕ₄)} ×

оболочка-ядро или оболочка-среда соответственно

∑

(см. разд. 3.3). В первом случае при каждом прелом-

(-R₂)ⁿ exp{2inϕ₄} +

лении луча на границах раздела также происходит

n=0

изменение углов: при переходе из среды в оболочку

+ n-12T²¹T22 exp{-2i(ϕ₁ + ϕ₃ - ϕ₂ - ϕ₄)} ×

или из оболочки в среду угол преломления изменя-

∑

ется на ϕ₁ -ϕ₂, а из оболочки в ядро, как и из ядра

(-R₂)ⁿ exp{2inϕ₄}.

(9)

в оболочку — на ϕ₃ - ϕ₄.

n=0

Наконец, изменение угла при каждом переотра-

жении луча внутри ядра составляет π - 2ϕ₄.

Теперь предположим, что луч отразился от ядра

и от среды и снова упал на ядро, пройдя в него. Тог-

Опишем процесс вычисления сил, оказывающих

да излучение будет испытывать в ядре бесконечное

воздействие на частицу.

количество отражений и изменять свою интенсив-

На рис. 4б показан ход луча, преломляющего-

ность при отражении от границы раздела ядро-обо-

ся на границе оболочка-ядро. Сначала опишем те

лочка в R₂ раз, а при выходе из ядра — в T₂ раз.

силы, которые возникают в результате бесконечных

Далее, вышедшие из ядра лучи будут выходить из

переотражений внутри ядра. Так, каждый луч при

частицы, внося вклад в результирующую силу с из-

отражении от границы раздела ядро-оболочка из-

менением в T₁ раз (на рис. 4б данная серия лучей

меняет интенсивность в R₂ раз, а часть излучения

указана штриховыми линиями):

выходит из ядра и ее интенсивность изменяется в

T₂ раз. При этом именно преломленная компонента

F₂ = n-11T₁T²²R₁R₂ ×

вносит вклад в результирующую силу. Кроме того,

(

данные лучи выходят из частицы с изменением ин-

× exp{-i(ϕ₁ + 4ϕ₃ - 3ϕ₂ - 2ϕ₄)} ×

тенсивности в T₁ раз и тоже вносят вклад в резуль-

)

тирующую силу. Таким образом, мы получаем, что

∑

вклад в силу дают выходящие из ядра бесконечно

(-R₂)ⁿ exp{2iϕ₄}

переотражающиеся лучи и их продолжения, поки-

n=0

(

дающие частицу (на рис. 4б данные лучи указаны

+n-12T²¹T²

R₁R₂

exp{-i(2ϕ₁+4ϕ₃-4ϕ₂-2ϕ₄)} ×

сплошными жирными линиями).

Тогда для лучей, преломленных на границе

)

∑

оболочка-ядро, получим, что проекции силы на оси

(-R₂)ⁿ exp{2iϕ₄}

(10)

x и z принимают вид

n=0

Теперь определим силу, которая возникает из-за

F_x = -T₁T²² [sin(ϕ₁ + 2ϕ₃ - ϕ₂ - 2ϕ₄) +

множества всех лучей, прошедших в частицу и, в ре-

+ R2 sin(ϕ₁ + 2ϕ₃ - ϕ₂ - 4ϕ₄ + π) +

зультате бесконечных переотражений между ядром

+ T1 {sin(2ϕ₁ + 2ϕ₃ - 2ϕ₂ - 2ϕ₄) +

и средой, преломленных внутрь ядра с последую-

+ R2 sin(2ϕ₁+2ϕ₃-2ϕ₂-4ϕ₄+π)} + ...],

щим бесконечным переотражением лучей в ядре:

(8)

[

F_z = T₁T²² [cos(ϕ₁ + 2ϕ₃ - ϕ₂ - 2ϕ₄) +

F₃ = n-11T₁T²²A exp{i(ϕ₂+2ϕ₄-ϕ₁-2ϕ₃)} ×

+ R2 cos(ϕ₁ + 2ϕ₃ - ϕ₂ - 4ϕ₄ + π) +

+ T1 {cos(2ϕ₁ + 2ϕ₃ - 2ϕ₂ - 2ϕ₄) +

]

∑

+ R2 cos(2ϕ₁+2ϕ₃-2ϕ₂-4ϕ₄+π)}+...],

× (R₁R₂)^m exp{2im(ϕ₂ - ϕ₃)}

m=0

[

где T1,2 и R1,2 — коэффициенты Френеля прелом-

+ n-12T²¹T²²A exp{i(2ϕ₂+2ϕ₄-2ϕ₁-2ϕ₃)} ×

ления и отражения соответственно на первой (сре-

да-оболочка) и на второй (оболочка-ядро) грани-

]

∑

цах. В результате первый луч, прошедший в частицу

× (R₁R₂)^m exp{2im(ϕ₂ - ϕ₃)} ,

(11)

и бесконечно переотражающийся в ядре, формирует

m=0

силу из вкладов лучей, преломленных на выходе из

∑∞

ядра и на выходе из частицы. Тогда для силы, со-

где A =

(-R₂)ⁿ exp{2inϕ₄}.

n=0

859

И. Р. Арцер, Ю. В. Рождественский

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Далее, как и в разд. 3.3, мы определим силу, ко-

F₇ = -T₁T⁴²R²¹R₂An-11B ×

торая возникает в результате переотражений меж-

× [exp{i(3ϕ₂ + 4ϕ₄ - ϕ₁ - 4ϕ₃)} +

ду ядром и средой без проникновения излучения

+ T1 exp{i(4ϕ₂ + 4ϕ₄ - 2ϕ₁ - 4ϕ₃)}],

(14)

внутрь ядра (на рис. 4б показаны штрихпунктир-

ными линиями). В этом случае мы должны учесть,

где

что излучение не полностью отражается от ядра, и

∑

B = (R₁R₂)m exp{2im(ϕ₂ - ϕ₃)}.

соответственно сила будет зависеть от обоих коэф-

m=0

фициентов отражения R1,2:

Теперь возможно определить силу действия по всем

бесконечно переотраженным между ядром и средой

∑

F₄ = -T₁R₂ (R₁R₂)ⁿ exp{2in(ϕ₂ - ϕ₃)} ×

лучам, порожденным первым прошедшим сквозь

n=0

ядро лучом (на рис. 4в — штрихпунктирные лучи)

× [exp{i(ϕ₂ - ϕ₁ - 2ϕ₃)} +

F₈ = T₁T²²R₁R₂B ×

+ T1 exp{2i(ϕ₂ - ϕ₁ - ϕ₃)}].

(12)

× [exp{i(3ϕ₂ + 2ϕ₄ - ϕ₁ - 4ϕ₃)} +

+ T1 exp{i(4ϕ₂ + 2ϕ₄ - 2ϕ₁ - 4ϕ₃)}].

(15)

Следующий этап — рассмотрение действия лу-

чей, которые создают силу после двукратного про-

На рис. 4г показаны лучи, сначала отражающи-

хождения излучения сквозь ядро, бесконечного от-

еся от ядра, далее от среды и проходящие сквозь

ражения между ядром и средой и бесконечного

ядро. Снова излучение бесконечно переотражается

отражения между средой и ядром при однократ-

между ядром и средой, причем каждый падающий

ном прохождении. На рис. 4в жирными сплошными

на ядро луч частично преломляется и бесконечно пе-

и штриховыми линиями показаны лучи, вносящие

реотражается в ядре с последующим выходом час-

вклад в силу, которые возникают при переотраже-

ти излучения (часть таких лучей, вносящих вклад в

нии части излучения в ядре. Определим силы, со-

результирующую силу, на рис. 4г обозначена жир-

здаваемые первым прошедшим сквозь ядро лучом,

ными сплошными и штриховыми лучами); это фор-

отраженным от среды и снова проникающим внутрь

мирует силы, описываемые выражениями

ядра с последующим бесконечным отражением от

границы ядро-оболочка, где каждый переотражен-

∑

F₉ = -T₁T²²R²

R₂

(-R₂)ⁿ exp{2inϕ₄} ×

ный луч между средой и ядром будет вносить вклад:

n=0

× [exp{i(5ϕ₂ + 4ϕ₄ - ϕ₁ - 6ϕ₃)} +

∑

F₅ = -T₁T⁴²R₁

(-R₂)ⁿ exp{2in(ϕ₄)} ×

+ T1 exp{i(6ϕ₂ + 4ϕ₄ - 2ϕ₁ - 6ϕ₃)}],

n=0

(16)

∑

× [exp{i(3ϕ₂ + 4ϕ₄ - ϕ₁ - 4ϕ₃)} +

F₁₀ = -T₁T²²R³¹R²

(-R₂)ⁿ exp{2inϕ₄} ×

n=0

+ T1 exp{i(4ϕ₂ + 4ϕ₄ - 2ϕ₁ - 4ϕ₃)}],

(13)

× [exp{i(7ϕ₂ + 4ϕ₄ - ϕ₁ - 8ϕ₃)} +

∑

F₆ = -T₁T⁴²R²¹R₂

(-R₂)ⁿ exp{2in(ϕ₄)} ×

+ T1 exp{i(8ϕ₂ + 4ϕ₄ - 2ϕ₁ - 8ϕ₃)}].

n=0

× [exp{i(5ϕ₂ + 4ϕ₄ - ϕ₁ - 6ϕ₃)} +

Вновь составим ряд из сил, которые возникают

при бесконечных переотражениях излучения в ядре:

+ T1 exp{i(6ϕ₂ + 4ϕ₄ - 2ϕ₁ - 6ϕ₃)}].

R₂AB ×

F₁₁ = -T₁T⁴²R²¹

В выражениях (13) представлены первые члены

× [exp{i(5ϕ₂ + 4ϕ₄ - ϕ₁ - 6ϕ₃)} +

ряда (аналогичные выражениям (9), (10) для груп-

+ T1 exp{i(6ϕ₂ + 4ϕ₄ - 2ϕ₁ - 6ϕ₃)}].

(17)

пы сил, которая формируется всеми переотражени-

ями излучения внутри ядра в случае прохождения

При этом сила за счет отраженной компоненты

первого луча сквозь ядро, дальнейшего отражения

луча в случае штрихпунктирной линии на рис. 4г

от среды и проникновения его продолжений в яд-

может быть определена с помощью выражения

ро при бесконечных отражениях между оболочкой и

ядром. Тогда для результирующей силы, возникаю-

F₁₂ = T₁T²²R²¹R²²B [exp{i(5ϕ₂+2ϕ₄-ϕ₁-6ϕ₃)} +

щей для бесконечного отражения в ядре, получим

+ T1 exp{i(6ϕ₂ + 2ϕ₄ - 2ϕ₁ - 6ϕ₃)}].

(18)

следующее выражение:

860

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Световое давление на неоднородную сферическую частицу...

Сила, сформированная двойным прохождением

где ряды геометрической прогрессии имеют суммы

излучения сквозь ядро, может быть представлена

1 + R2 exp{-2iϕ₄}

суммой выражений (14) и (17):

1 + R²² + 2R2 cos(2ϕ₄)

1 - R₁R2 exp{2i(ϕ₃ - ϕ₂)}

F₁₃ = -T₁T⁴²R₁AB² [exp{i(3ϕ₂+4ϕ₄-ϕ₁-4ϕ₃)} +

(24)

1 + (R₁R₂)² - 2R₁R2 cos[2(ϕ₃ - ϕ₂)]

+ T1 exp{i(4ϕ₂ + 4ϕ₄ - 2ϕ₁ - 4ϕ₃)}].

(19)

exp{2i(ϕ₃ - ϕ₂ - ϕ₄)}

1+R₁BT²²

C =

Тогда сила, которая учитывает все возможные

1+(R₁BT²²)²+2R₁BT²² cos[2(ϕ₃-ϕ₂-ϕ₄)]

переотражения внутри частицы, может быть полу-

Таким образом, проекции силы на оси z и x опре-

чена с помощью построения ряда из выражений (11)

деляются как

и (19):

Fz = Re(Ft),

(25)

F₁₄ = ABT₁T²²C [exp{i(ϕ₂+2ϕ₄-ϕ₁-2ϕ₃)} +

F_x = Im(F_t).

+ T1 exp{2i(ϕ₂ + ϕ₄ - ϕ₁ - ϕ₃)}],

(20)

Отметим, что случай прохождения сквозь ядро

для ситуации, когда n₃ > n₂, реализуется с опреде-

где

ленных значений относительной координаты. Что-

∑

бы их вычислить, необходимо приравнять значения

C =

(-BR₁T²²)ⁿ exp{2in(ϕ₂ + ϕ₄ - ϕ₃)}.

для углов по условию Снелля n₂ sin ϕ₃ = n₃ и по ра-

n=0

нее отмеченному условию ϕ₃ = arcsin (n₁R₀s/(n₂r)).

Данные условия совпадают с некоторой координаты

Сила светового давления (20) полностью описы-

s, которую нам необходимо выразить из указанных

вает все силы, действующие при любом количест-

значений. Аналогичным образом с помощью гео-

ве прохождений излучения сквозь ядро с бесконеч-

метрических построений (при координате, где пре-

ным количеством отражений от границы раздела

ломленный луч касается ядра) определим равенство

ядро-оболочка. Аналогичным образом определим

условий ϕ₂ = arcsin(r/R₀) и ϕ₂ = arcsin ((n₁/n₂)s),

силы, действующие при переотражении между яд-

где s = x/R₀. Тогда определим выражения, показы-

ром и средой после полного прохождения излуче-

вающие граничные положения для каждой из сил,

ния сквозь ядро. Для этого сложим выражения (13)

действующих на частицу:

и (16):

n₃

0≤s<

(26a)

F₁₅ = T₁T²²R₁R₂B² ×

n₁ R₀

n₃

n₂

× [exp{i(3ϕ₂ + 2ϕ₄ - ϕ₁ - 4ϕ₃)} +

≤s<

(26b)

n₁ R₀

+ T1 exp{i(4ϕ₂ + 2ϕ₄ - 2ϕ₁ - 4ϕ₃)}].

(21)

n₂

≤s≤

n₂ ,

(26c)

n₁ R₀

n₁

При этом полная сила по всем переотражени-

n₂

< s < 1.

(26d)

ям после любого количества прохождения излуче-

n₁

ния сквозь ядро может быть получена с помощью

Выражение (26a) ограничивает область, где на

построения ряда из выражений (10) и (19) как

частицу действует сила из разд. 3.4, в (26b) — из

разд. 3.3, в (26c) — из разд. 3.1, в (26d) — из

F₁₆ = -T₁R₂BC [exp{i(ϕ₂ - ϕ₁ - 2ϕ₃)} +

разд. 3.2. Если в какой-то частице по соотношению

+ T1 exp{2i(ϕ₂ - ϕ₁ - ϕ₃)}].

(22)

показателей преломления невозможно возникнове-

ние описанных сил, то выражения (26) комбиниру-

Наконец, суммируя (20) и (22), получим резуль-

ются, принимая соответствующие значения (напри-

тирующую силу, действующую на неоднородную

мер, в случае частицы с n₂ > n₁ > n₃ выражение

частицу в поле светового пучка с гауссовым профи-

(26c) не актуально, поэтому его граничные условия

лем интенсивности:

распределяются между (26b) и (26d)).

Кроме того, полученные выражения показыва-

n₁n₂P

(

)

F_t =

n-12 exp(2iπ)

+n-12R₁ exp(-2iϕ₁) +

ют, что координаты, при которых начинается полное

[

]

внутреннее отражение на границе оболочка-ядро и

+ T₁BC exp{i(ϕ₂-ϕ₁-2ϕ₃)}

T²²Aexp(2iϕ₄)-R₂

[

]

при которых прекращается взаимодействие излуче-

n-11 - n-12T₁ exp{i(ϕ₂ - ϕ₁)}

(23)

ния с ядром, не совпадают с координатами ядра по

861

И. Р. Арцер, Ю. В. Рождественский

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

оси x, поскольку луч преломляется в частице и его

F /F₁₀

направление внутри частицы не является более па-

0.2

раллельным оси z.

Докажем, что бесконечное отражение между

-1.0

-0.5

0.5

1.0

оболочкой и средой без потери интенсивности на

-0.2

преломление невозможно. Для этого запишем усло-

вия полного внутреннего отражения на границе час-

–0.4

тица-среда, т. е. n₂ sin ϕ₂ = n₁. Выразив параметр s

с помощью ранее указанных выражений, получим

–0.6

s = 1. Таким образом, получаем, что условие полно-

-0.8

го отражения излучения на границе частица-среда

совпадает с условием невзаимодействия излучения

-1.0

с частицей, что означает отсутствие полного отра-

F /F₁₀

жения на указанной границе. Аналогичным образом

1.0

определим, что бесконечное переотражение излуче-

ния в ядре с полным внутренним отражением невоз-

0.8

можно, поскольку накладывается на другие гранич-

ные условия. Перейдем к вычислению сил.

0.6

4. ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ

СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

0.4

Выше были рассмотрены все типы сил, действу-

ющих на неоднородную частицу в поле лазерного

0.2

пинцета в случае произвольных соотношений между

показателями преломлений среды n₁, оболочки n₂ и

ядра n₃. Рассмотрим теперь вид силы светового дав-

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

ления при определенных соотношениях показателей

преломления n₁, n₂, n₃. Будем считать, что неодно-

Рис. 5. а) Графики зависимости от s сил, действующих

родная частица находится в поле светового пучка

на частицу с n2 > n1 > n3 (для воды n1 = 1.33, стекла

с поперечным гауссовым профилем распределения

n2 = 1.5, воздуха n3 = 1) по оси x при разных размерах

интенсивности

ядра: пунктирная линия — сила для однородной частицы.

(

)

Для наглядности сила, действующая на частицу радиусом

(s - s₀)²

I = I0 exp

0.2R0, увеличена в два раза (сплошная линия), а для ради-

2σ²

уса 0.8R0 — в три раза (штрихпунктирная). б) Направле-

ние силы, действующей на частицу c n2 > n1 > n3 от па-

который распространяется вдоль положительного

раллельного пучка, направленного снизу вверх. Пунктир-

направления оси z с положением максимума интен-

ная стрелка — однородная частица, сплошная — с ядром

сивности в s₀ = 0.5R₀ и радиусом пучка σ = 0.8R₀.

0.2R0, штрихпунктирная — с 0.8R0. Маленькой стрелкой

Ниже (рис. 5-10) показана проекция полной си-

показан максимум интенсивности пучка

лы светового давления на ось x — F_x = Im(F_t) и

√

вектор полной силы с модулем |F| =

F2z + F2x и

Другими словами, однородная частица будет быст-

углом tg θ = F_z /F_x в зависимости от безразмерной

рее втягиваться или выталкиваться при одинаковом

переменной s для всех шести случаев различных со-

расположении с неоднородной относительно макси-

отношений между показателями преломления сре-

мума распределения интенсивности.

ды, оболочки и ядра.

Для соотношений показателей преломления n₂ >

В случае соотношения n₂ > n₁ > n₃ возникают

> n₁ > n₃ и n₂ > n₃ > n₁ частица выталкивается

силы, которые обусловлены прохождением оптиче-

из пучка (рис. 5, 6), а при значениях n₁ > n₂ > n₃,

ского излучения сквозь ядро, полным внутреннем

n₁ > n₃ > n₂ и n₃ > n₁ > n₂ частица всегда втяги-

отражением на границе оболочка-ядро и отсутстви-

вается в пучок (рис. 7-9). При этом увеличение ра-

ем взаимодействия излучения с ядром (рис. 5). При

диуса ядра всегда приводит к снижению величины

этом по мере роста радиуса ядра возрастает вклад в

проекции компоненты силы на горизонтальную ось.

силу от соответствующей области, кроме того, сила

862

ЖЭТФ, том

156, вып. 5 (11), 2019

Световое давление на неоднородную сферическую частицу...

F /F₁₀

0.4

0.5

0.2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-0.5

–0.2

-1.0

–0.4

-1.5

-0.6

-0.8

-2.0

F /F₁₀

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Рис. 7. а) Графики зависимости от s сил, действующих на

частицу с n1 > n2 > n3 (для масла n1 = 1.47, льда n2 =

= 1.3, воздуха n3 = 1) по оси x при разных размерах ядра:

Рис. 6. а) Графики зависимости от s сил, действующих

пунктирная линия — однородная частица. Для наглядно-

на частицу c n2 > n3 > n1 (для воздуха n1 = 1, стекла

сти сила, действующая на частицу радиусом 0.2R0, увели-

n2 = 1.5, воды n3 = 1.33) по оси x при разных размерах

чена в два раза (сплошная линия), радиусом 0.8R0 — в три

ядра: пунктирная линия — сила для однородной частицы.

раза (штрихпунктирная). б) Направление силы, действую-

Для наглядности сила, действующая на частицу радиусом

щей на частицу c n1 > n2 > n3 от параллельного пучка,

0.2R0, увеличена в два раза (сплошная линия), радиусом

направленного снизу вверх. Пунктирная стрелка — сила,

0.8R0 — в полтора раза (штрихпунктирная). б) Направле-

действующая на однородную частицу, сплошная — частица

ние силы, действующей на частицу c n2 > n3 > n1 от па-

с ядром 0.2R0, штрихпунктирная — частица с 0.8R0. Ма-

раллельного пучка, направленного снизу вверх. Пунктир-

ленькой стрелкой показан максимум интенсивности пучка

ная стрелка — сила для однородной частицы, сплошная —

с ядром 0.2R0, штрихпунктирная — с 0.8R0. Маленькой

стрелкой показан максимум интенсивности пучка

Для частицы с соотношением показателей пре-

ломления n₂ > n₃ > n₁ (рис. 6) в целом сохраняется

характер силы светового давления (см. рис. 5), по-

из-за преломления в ядре возрастает при прибли-

скольку сила также формируется разными типами

жении координаты к граничному значению (выра-

лучей: лучи первого типа проходят сквозь ядро, вто-

жение (26a)), а при полном внутреннем отражении

рого — не проходят, а третьего — испытывают пол-

снижается при движении от начала области к краю

ное внутреннее отражение на границе оболочка-яд-

частицы (26b).

ро. Однако в этом случае вид графиков принимает

863

И. Р. Арцер, Ю. В. Рождественский

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

F /F₁₀

0.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

–0.5

-0.5

-1.0

-1.5

–1.0

-2.0

-1.5

F /F₁₀

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 8. а) Графики зависимости от s сил, действующих на

Рис. 9. а) Графики зависимости от s сил, действующих

частицу с n1 > n3 > n2 (для глицерина n1 = 1.47, льда

на частицу с n3 > n1 > n2 по оси x при разных раз-

n2 = 1.3, воды n3 = 1.33) по оси x при разных размерах

мерах ядра: пунктирная линия — однородная частица.

ядра: пунктирная линия — однородная частица. Для на-

Для наглядности сила, действующая на частицу радиусом

глядности силы, действующие на частицы радиусом 0.2R0

0.2R0, увеличена в два раза (сплошная линия), радиусом

(сплошная линия), 0.8R0 (штрихпунктирная), увеличены

0.8R0 — в полтора раза (штрихпунктирная). б) Направ-

в три раза. б) Направление силы, действующей на части-

ление силы, действующей на частицу c n3 > n1 > n2

цу c n1 > n3 > n2 от параллельного пучка, направлен-

(для масла n1 = 1.47, льда n2 = 1.3, канадского бальзама

ного снизу вверх. Пунктирная стрелка — однородная ча-

n3 = 1.55) от параллельного пучка, направленного снизу

стица, сплошная — с ядром 0.2R0, штрихпунктирная — с

вверх. Пунктирная стрелка — однородная частица, сплош-

0.8R0. Маленькой стрелкой показан максимум интенсив-

ная — с ядром 0.2R0, штрихпунктирная — с 0.8R0. Ма-

ности пучка

ленькой стрелкой показан максимум интенсивности пучка

несколько иной вид: относительная величина обла-

стей, где происходит преломление в ядре и полное

ной, но преобладающей оказывается именно поло-

внутреннее отражение на границе оболочка-ядро по

жительная сила. Из граничных условий (26) мы за-

ширине меньше, чем в предыдущем случае.

метим, что вне зависимости от радиуса ядра силы

В случае соотношения n₁ > n₂ > n₃ силу све-

от полного внешнего отражения излучения оказы-

тового давления формируют все типы лучей (см.

ваются одинаковыми. При этом величина силы по-

разд. 2) (рис. 7). В данном случае часть сил ока-

стоянно возрастает при удалении от центра частицы

зывается положительной, а часть — отрицатель-

к краю до области полного внешнего отражения.

864

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Световое давление на неоднородную сферическую частицу...

F /F₁₀

Для частицы с соотношением показателей пре-

ломления n₁ > n₃ > n₂ сила светового давления

0.4

формируется лучами, которые как проходят, так и

0.2

не проходят сквозь ядро, а также внешним отраже-

нием на внешней границе раздела среда-оболочка.

-1.0

-0.5

0.5

Как видно, величина силы возрастает при движении

-0.2

от центра частицы к области полного отражения от

-0.4

внешней границы (рис. 8).

-0.6

Случай соотношения показателей преломления

n₃ > n₁ > n₂ в целом оказывается подобен предыду-

-0.8

щему — сила остается положительной, что приводит

-1.0

к втягиванию частицы в область максимума интен-

F /F₁₀

сивности (рис. 9).

На рис. 10 представлена сила светового давления

1.0

на неоднородную частицу с соотношением показате-

лей преломления n₃ > n₂ > n₁. Силы, которые дей-

0.8

ствуют на такую частицу, формируют два типа лу-

чей, один из которых проходит сквозь ядро, а другой

0.6

не взаимодействует с ядром. Как видно, до опреде-

ленного размера ядра частица «выталкивается» из

максимума интенсивности, а затем после преодоле-

0.4

ния критического размера втягивается в лазерный

пучок (рис. 10).

0.2

Подчеркнем, что все приведенные выше зави-

симости для силы светового давления демонстри-

руют легко наблюдаемую зависимость от наличия

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

ядра, т. е. наличия неоднородности в частице. Так,

уже относительно небольшое ядро размером 0.2R₀

Рис. 10. а) Графики зависимости от s сил, действую-

приводит к существенному изменению силы свето-

щих на частицу с n3 > n2 > n1 (для воздуха n1 = 1,

вого давления по сравнению со случаем однород-

льда n2 = 1.3, масла n3 = 1.47) по оси x при разных

ной частицы, что связано с появлением дополни-

размерах ядра: пунктирная линия — однородная частица.

тельной границы раздела оболочка-ядро. При этом

Для наглядности сила, действующая на частицу радиусом

в силе светового давления появляются дополнитель-

0.2R0, увеличена в два раза (сплошная линия), радиусом

0.8R0 — в полтора раза (штрихпунктирная). б) Направле-

ные члены, которые формируются как отраженны-

ние силы, действующей на частицу c n3 > n2 > n1 от па-

ми, так и преломленными лучами. В результате та-

раллельного пучка, направленного снизу вверх. Пунктир-

кие особенности действия силы светового давления

ная стрелка — однородная частица, сплошная — с ядром

на неоднородную частицу можно использовать для

0.2R0, штрихпунктирная — с 0.8R0. Маленькой стрелкой

сортировки частиц в лазерном пучке по размерам

показан максимум интенсивности пучка

ядер при одинаковых показателях преломления яд-

ра и оболочки. Для этого рассмотрим уравнение ди-

намики частиц в поле лазерного пучка с гауссовым

Для решения (27) следует определить силы све-

распределением интенсивности по оси x:

тового давления, действующие на частицу в поле ла-

зерного пучка, центрированного в начале координат,

mr = F_light + mg + F_Arh + F_Frict,

с полушириной σ = 0.8R₀. Вычисление силы све-

которое запишем в проекциях на оси координат:

тового давления проводилось относительно положе-

ния центра частицы. Тогда для данного положения

mx = Im(F_light) - k x,

(27)

центра частицы мы вычисляем силу светового дав-

mz = Re(F_light) - mg + ρgV - k Ż,

ления, считаем, что за малый промежуток времени

где m — масса частицы, V — объем, g — ускоре-

(при решении определен как доли секунд) данная

ние свободного падения, k = 6πR₀η — коэффициент

сила не меняется, и решаем уравнения (27). Затем

вязкого трения, ρ и η — соответственно плотность и

определяем малое смещение (Δx = 0.1, Δz ≪ R)

вязкость окружающей среды.

частицы под действием силы и снова вычисляем

865

И. Р. Арцер, Ю. В. Рождественский

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

и силе оптического давления F ≈ (n₁n₂P/c)Q_S мощ-

ность излучения должна составлять

4π

(

) gc

P =

ρ₃r³ + ρ₂(R³⁰ - r³)

1n2

Тогда при плотности ядра ρ₃ = 920 кг/м³, плотнос-

ти оболочки ρ₂ = 900 кг/м³, радиусе частицы R₀ =

= 100 мкм, радиусе ядра r = 80 мкм, ускорении

свободного падения g ≈ 10 м/с², скорости света c =

= 3 · 10⁸ м/с и коэффициенте, возникающем от све-

тового давления по поверхности всей частицы, Q_S =

= 100 мы определим, что мощность лазерного пучка

должна составлять не менее 0.1 Вт. Выберем данное

0.5R₀

значение мощности для оценки траекторий частиц.

Рис. 11. Пространственная динамика частицы в среде при

На рис. 11 показаны траектории частиц для раз-

соотношении показателей преломления n3 > n2 > n1 под

личных размеров ядер. Видно, что частицы с раз-

действием светового давления в лазерном луче с попереч-

мером ядер, меньшим предельного значения, будут

ным гауссовым распределением интенсивности. Центр ла-

выталкиваться из области пучка, а большим пре-

зерного пучка находится в центре координат, а начальное

дельного — втягиваться. При этом траектории для

положение частицы — на расстоянии 0.5R0 от максиму-

однородных частиц и частиц с размером ядра, мень-

ма интенсивности. Показаны траектории, которые соот-

шим предельного (штриховая и сплошная линии на

ветствуют динамике частиц с разным внутренним строе-

рис. 11), показывают, что в результате выталкива-

нием: однородная частица — штриховая линия, с ядром

20 мкм — сплошная линия, частица радиусом 80 мкм —

ния из пучка частицы падают вниз, когда сила све-

штрихпунктирная линия

тового давления оказывается меньше силы тяжести.

Другой характер движения наблюдается в случае

частицы с ядром радиуса 80 мкм, которая движет-

значение силы уже при другом расстоянии от оси

ся в максимум излучения и удерживается в данной

пучка:

области. В результате по динамике частицы в поле

F₁

x_j

оптического излучения можно судить о размере цен-

xj+1 = x_j +

(t - t_j) -

k²

трального ядра, т. е. реализовать своеобразный вид

x_j - F₁/k

неразрушающего контроля.

−

ek(tj -t),

F₂

Ż_j

zj+1 = z_j +

(t - t_j ) -

k²

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(28)

Ż_j - F₂/k

ek(tj-t),

Мы исследовали вид силы светового давления на

(

)

неоднородную частицу с резкими границами между

F₁

xj+1 =

x_j -

ek(tj-t),

средами и представили вид динамики такой части-

(

)

цы в поле оптического излучения. Данная модель

F₂

Żj+1 =

Ż_j -

ek(tj-t),

позволяет, например, имитировать динамику в по-

ле оптического излучения живых клеток, которые

где F₁ = F_x из выражения (25), а F₂ = F_Arh - mg +

могут быть представлены в виде оболочки и ядра с

+ Re(F_t).

разными показателями преломления. Заметим, что

В результате получим траекторию частицы в по-

введение дополнительных границ раздела приводит

ле лазерного луча (рис. 11).

к большему изменению вектора Пойнтинга, вслед-

Исследуем динамику частицы в лазерном луче с

ствие чего ядро даже с малым радиусом приводит

масляным ядром (n₃ = 1.47) и ледяной оболочкой

к появлению дополнительной границы и вызывает

(n₂ = 1.3) при наличии воздушной среды (n₁ = 1).

заметное изменение силы в сравнении с однородной

Оценим мощность лазерного пучка, выбрав ее та-

частицей.

кой, чтобы сила светового давления превышала си-

Полученные результаты позволяют нам опреде-

лу тяжести. При массе частицы

лить возможность применения данной техники. Так,

(

)

частицы могут быть отсортированы в лазерном пуч-

4π

ρ₃r³ + ρ₂(R³⁰ - r³)

ке в зависимости от размеров радиуса и отношения

866

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Световое давление на неоднородную сферическую частицу...

показателей преломления. При этом для отношений

11.

S. Tan et al., Amer. Chem. Soc. 4, 1415 (2004).

показателей преломления n₂ > n₁ > n₃ и n₂ > n₃ >

12.

M. Khan and A. K. Sood, Opt. Express 14, 424

> n₁ частицы выталкиваются из области максиму-

(2006).

ма интенсивности, а для других случаев видно од-

нозначное втягивание частицы в область максиму-

13.

Nan Chen et al., Phys. Rev. B 72, 085416 (2005).

ма излучения. Однако для соотношения показате-

14.

P. Asenbaum et al., Nature Comm. 4, 2743 (2013).

лей преломления n₃ > n₂ > n₁ в случае параллель-

ного пучка частица движется в направлении рас-

15.

N. Kiesel et al., Proc. Nat. Acad. Sci. 110, 1180

пространения пучка, а по горизонтальной оси может

(2013).

как втягиваться в центр пучка, так и выталкиваться

16.

J. Millen et al., Phys. 114, 123602 (2015).

из него.

Таким образом, данная работа может быть

17.

B. Rodenburg et al., Optica 3, 318 (2016).

полезна для сортировки частиц по размерам

18.

С. Чу, УФН 169, 274 (1999).

ядер, для исследования загрузки микропроб в

контейнеры-капилляры и для оптимизации захвата

19.

У. Д. Филипс, УФН 169, 305 (1999).

неоднородных биологических объектов.

20.

D. E. Chang, Proc. Nat. Acad. Sci. 107, 1005 (2010).

Финансирование. Работа поддержана Минис-

21.

S. Groblacher et al., Nature Phys. 5, 485 (2009).

терством образования и науки Российской Феде-

рации (проект № 3.821.2014/К), грантом № 074-U01

22.

T. S. Monteiro et al., New J. Phys. 15, 015001 (2013).

для лидирующих университетов Российской Феде-

23.

L. P. Neukirch and A. N. Vamivakas, Contemp. Phys.

рации.

56, 48 (2014).

24.

Zhang-qi Yin, A. A. Geraci, and Tongcang Li, arXiv:

1308.4503v1.

ЛИТЕРАТУРА

25.

R. W. Applegate et al., Opt. Express 12, 4390 (2004).

1. A. Ashkin, Phys. Rev. Lett. 4, 156 (1970).

26.

Hu Zhang and Kuo-Kang Liu, J. Roy. Soc. Interface

2. В. А. Сойфер, В. В. Котляр, С. Н. Хонина, ЭЧАЯ

5, 671 (2008).

35, 1368 (2004).

27.

C. Bradac, Nanoscale Optical Trapping: A Review,

3. G. Roosen and C. Imbert, Phys. Lett. 59A, 6 (1976).

Advanced Optical Materials 6, 180005 (2018).

4. G. Roosen, Opt. Comm. 21, 189 (1977).

28.

M. C. Williams, Optical Tweezers: Measuring Pico-

5. R. Gauthier and S. Wallace, J. Opt. Soc. Amer. B 12,

newton Forces, Department of Physics and Center

1680 (1995).

for Interdisciplinary Research on Complex Systems

(2004), p. 14.

6. A. Ashkin, Biophys. J. 61, 569 (1992).

29.

М. Dao, C. T. Lim, and S. Suresh, J. Mech. Phys.

7. A. Ashkin, Proc. Nat. Acad. Sci. 94, 4853 (1997).

Sol. 51, 2259 (2003).

8. A. Ashkin et al., Opt. Lett. 11, 288 (1986).

30.

P. J. Bronkhorst et al., Biophys. J. 69, 1666 (1995).

9. A. Ashkin and J. M. Dziedzic, Proc. Nat. Acad. Sci.

31.

Yi-Ren Chang, L. Hsu, and Sien Chi, Appl. Opt. 45,

86, 7914 (1989).

3885 (2006).

10. С. С. Клыков, И. В. Федосов, В. В. Тучин, Ком-

32.

М. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, Наука, Моск-

пьютерная оптика 39, 694 (2015).

ва (1973).

867