ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 5 (11), стр. 868-874

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИФРАКЦИЯ УЛЬТРАХОЛОДНЫХ

НЕЙТРОНОВ НА ДВИЖУЩЕЙСЯ РЕШЕТКЕ И

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ НЕЙТРОНУ

Г. В. Кулин^a, А. И. Франкa*, М. А. Захаров^a,b, С. В. Горюнов^a,

В. А. Бушуев^c, А. Панзареллаd**, П. Гелтенбортe**, М. Еншельe**

^a Объединенный институт ядерных исследований

141980, Дубна, Московская обл., Россия

^b Московский физико-технический институт

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

^d ESRF, Grenoble, France-71

38043, Grenoble Cedex 9, France

^e Institut Laue-Langevin-71

38042, Grenoble Cedex 9, France

Поступила в редакцию 16 апреля 2019 г.,

после переработки 10 июля 2019 г.

Принята к публикации 10 июля 2019 г.

Дискретный спектр ультрахолодных нейтронов, возникающий при дифракции на движущейся решетке,

был измерен с помощью времяпролетного фурье-спектрометра. Показано, что выбором глубины профиля

решетки можно существенно менять соотношение интенсивностей волн разных дифракционных поряд-

ков. Результаты эксперимента хорошо согласуются с теоретическими предсказаниями, основанными на

многоволновой динамической теории дифракции нейтронов на объемной периодической решетке.

DOI: 10.1134/S0044451019110038

Качественно этот эффект рассматривался впер-

вые в работе [17], где дифракция ультрахолодных

1. ВВЕДЕНИЕ

нейтронов (УХН) на поверхностных рэлеевских вол-

Известно достаточно большое число нестацио-

нах рассматривалась в качестве причины неупру-

нарных квантовых эффектов, которые могут наблю-

гого рассеяния нейтронов, приводящего к уменьше-

даться [1-13] или уже наблюдались [14-16] в экс-

нию времени хранения УХН в ловушках. Рассмот-

периментах с нейтронами. Теоретическое описание

рение основывалось на анализе стационарной кар-

этих явлений основано, как правило, на решении

тины дифракции нейтронной волны на периодиче-

нестационарного уравнения Шредингера.

ской структуре в движущейся системе координат.

Существуют, однако, нестационарные явления,

Позднее дифракция холодных нейтронов на поверх-

теория которых может быть исчерпывающим обра-

ностной акустической волне наблюдалась в работе

зом построена на решении стационарного уравне-

[18]. Результаты эксперимента хорошо согласовыва-

ния Шредингера, примером чего является дифрак-

лись с теорией, основанной на решении уравнения

ция нейтронов на равномерно движущейся перио-

Шредингера с переменными граничными условия-

дической структуре. Такой структурой может быть

ми. Передача энергии нейтрону была малой и, стро-

волна, бегущая по поверхности твердого тела, или

го говоря, в опыте не измерялась. Спустя почти два-

искусственная дифракционная решетка.

дцать лет после работы [17] эффект изменения энер-

^* E-mail: frank@nf.jinr.ru

гии нейтронов при дифракции на движущейся ре-

^** A. Panzarella, P. Geltenbort, M. Jentschel

868

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Нестационарная дифракция ультрахолодных нейтронов...

шетке фактически был заново переосмыслен в ра-

[19, 20, 28, 30]. Во всех случаях решение находилось в

ботах [8, 19]. В этом случае анализ также основы-

движущейся системе координат с последующим его

вался на классическом решении задачи дифракции

преобразованием в лабораторную систему. В систе-

в системе покоя решетки. Вместе с тем было показа-

ме покоя решетки волновые числа и частоты дифра-

но, что поглощающая или фазовая решетка, движу-

гированных волн одинаковы в силу упругости про-

щаяся поперек нейтронного пучка, должна действо-

цесса дифракции. Однако последующее преобразо-

вать как квантовый модулятор прошедшей волны

вание решения в лабораторную систему координат

[4], дискретным образом изменяющий спектр про-

меняет лишь компоненты волновых векторов, кол-

ходящих через него нейтронов. Классический метод

линеарные вектору скорости решетки, в то время

решения приводил, таким образом, к предсказаниям

как нормальные ему компоненты остаются без из-

чисто квантового эффекта.

менения. Именно поэтому дискретное угловое рас-

Появление такого дискретного спектра было

пределение волновых векторов дифракционных по-

продемонстрировано в эксперименте с УХН [20], а

рядков в движущейся системе координат приводит

более детально эффект был исследован в работе [21].

к появлению дискретного энергетического спектра

Кроме того, было экспериментально продемонстри-

в лабораторной системе.

ровано, что, в согласии с предсказаниями [22], дви-

Приведем здесь результат решения этой задачи

жущаяся апериодическая решетка может служить

[28]. Полагая, что штрихи решетки ориентированы

нейтронной временной линзой, с помощью которой

вдоль оси y, будем рассматривать только двумер-

можно фокусировать нейтроны во времени [23, 24].

ный случай, а кроме того, положим, что решетка

Явление нестационарной дифракции нейтронов

бесконечно тонкая. Исходная волна, падающая на

на движущейся решетке нашло свое применение в

решетку, имеет вид

экспериментах по проверке слабого принципа эк-

Ψ_in(x, z, t) = exp[i(k0xx + k0zz - ω₀t)],

(1)

вивалентности для нейтрона [25, 26]. Их развитие

[27] привело к пониманию необходимости более де-

где k0x = Mv0x/ℏ, k0z = Mv0z/ℏ, v0x и v0z — со-

тального теоретического и экспериментального изу-

ответственно тангенциальная и нормальная компо-

чения энергетического спектра УХН, возникающе-

ненты скорости, M — масса нейтрона, ω₀ = ℏk²⁰/2M

√

го в результате дифракции на движущейся решет-

и k₀ =

k20x + k20z — частота и волновое число.

ке. Последовавшая работа [28] была посвящена опи-

Положим, что решетка движется со скоростью

санию динамического подхода к теории дифракции

V_g в положительном направлении оси x. Решая за-

на физической решетке конечной толщины. В ра-

дачу о дифракции в движущейся системе, в которой

боте [29] сообщалось о создании времяпролетного

решетка покоится, можно найти проекции волновых

фурье-спектрометра, необходимого для измерения

векторов k_mx и k_mz в этой системе, а также ампли-

нейтронных спектров в более широком, чем ранее,

туды a_m дифракционных порядков. В области z >

диапазоне энергий. Результаты измерения дифрак-

> 0 волновая функция дифрагировавших нейтронов

ционных спектров УХН от движущейся фазовой ре-

имеет вид

шетки и сравнение их с предсказаниями динами-

ческой теории приведены в работе [30]. Измерения

Ψ^′(x^′, z, t) =

проводились с единственной решеткой, скорость ко-

∑

торой варьировалась. Эксперименты подтвердили

a_m exp[i(k^′mxx^′ + k_mzz - ω^′t)] ,

(2)

предсказание теории о зависимости интенсивностей

m=-∞

дифракционных порядков от скорости решетки. Од-

где

нако зависимость интенсивности порядков от глуби-

k^′mx = k_mx - k_V , k_mx = k0x + g_m,

ны профиля решетки, также предсказанная теори-

k_V = MV_g/ℏ,

ей, тогда продемонстрирована не была. Настоящая

√

(3)

k_mz = k20z + 2(k_V - k0x)g_m - g2m,

работа частично восполняет этот пробел.

√

ω′0 = ℏk′20/2M, k′0 = k′20x + k20z

2. ДИФРАКЦИЯ НЕЙТРОНОВ НА

ДВИЖУЩЕЙСЯ ДИФРАКЦИОННОЙ

g_m = mg₀, g₀ = 2π/d — величина вектора обрат-

РЕШЕТКЕ КАК НЕСТАЦИОНАРНОЕ

ной решетки, d — пространственный период решет-

КВАНТОВОЕ ЯВЛЕНИЕ

ки, m = 0, ±1, ±2, . . . — целые числа, а вопрос о ве-

Задача о дифракции нейтронов на движущей-

личине амплитуд a_m рассмотрим ниже (см. форму-

ся решетке многократно рассматривалась ранее

лу (6)).

869

Г. В. Кулин, А. И. Франк, М. А. Захаров и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

После преобразования решения в лабораторную

(подробнее см. [28]). Попытка учесть это обстоятель-

систему координат x = x^′ + V_gt для волновой функ-

ство была сделана в работе [31], где для вычисления

ции дифрагировавших нейтронов получим

амплитуд дифракционных порядков в соответствии

с выражением (6) использовалась трапециевидная

Ψ(x, z, t) =

зависимость фазы от координаты. Для характерис-

∑

тики профиля использовался параметр

A_m exp[i(k_mxx + k_mzz - ω_mt)] ,

(4)

m=-∞

C =

(V_g - v0x)/v0z,

где проекции k_mx и k_mz определены в (3), а часто-

ты дифрагировавших волн ω_m = ω₀ + mΩ харак-

где h — глубина профиля решетки. Этот пара-

теризуются спектральным расщеплением Ω = 2π/τ,

метр увеличивается с увеличением скорости решет-

где τ = d/V_g. Величина этого расщепления увеличи-

ки, глубины профиля и с уменьшением ее периода.

вается с увеличением скорости движения решетки

При C ≪ 1 фазовый профиль близок к прямоуголь-

и (или) с уменьшением ее периода. Амплитуды ди-

ному, а при C = 1 он принимает треугольную фор-

фрагировавших волн в лабораторной системе опре-

му.

деляются из условия сохранения потока

В таком модифицированном кинематическом

A_m = a_m[k²⁰/(k²⁰ + 2k_V g_m)]1/4.

(5)

подходе [31] полагалось, что объемный характер

структуры, т.е. наличие зубцов и канавок, приво-

дит только к модификации функции пропускания,

3. АМПЛИТУДЫ ДИФРАКЦИОННЫХ

а волны с разными порядками m дифракции в

ПОРЯДКОВ

выражении (2) никак не связаны между собой и

В работах [8, 19] задача о дифракции в движу-

не влияют друг на друга, как если бы это было

щейся системе рассматривалась в рамках кинема-

в бесконечно тонкой решетке. В более строгом

тической теории, в которой для амплитуд a_m при-

подходе необходимо принять во внимание, что

нимались величины фурье-амплитуд периодической

волны, распространяющиеся в материале решетки

функции пропускания решетки f(x) = f(x + d):

конечной толщины, могут взаимодействовать. Для

учета этого обстоятельства необходим динами-

∫

ческий подход к дифракции [28], основанный на

a_m =

f (x) exp(-img₀x) dx.

(6)

решении уравнения Шредингера

ΔΨ(r) + [k² - χ(r)]Ψ(r) = 0,

(7)

При этом молчаливо предполагалось, что факт дви-

жения решетки не меняет функцию пропускания,

где k — волновое число нейтронов в вакууме, χ(r) =

что возможно только для идеально тонкой решетки.

= 4πN(r)b(r), N(r) — плотность ядер, b(r) — дли-

В работе [19] отмечалось, что с практической точки

на когерентного рассеяния нейтронов в среде. Как

зрения выгодно использовать так называемую π-ре-

функция χ(x), периодическая в области 0 ≤ z ≤ h,

шетку, для которой фаза меняется скачком на π че-

занимаемой решеткой, так и волновая функция в

рез каждые полпериода. Такая решетка характери-

веществе, записанная в движущейся системе коор-

зуется отсутствием четных порядков, а интенсивно-

динат, представляются в виде сумм:

сти дифракционных порядков ±1 в четыре раза пре-

вышают соответствующие величины для амплитуд-

∑

χ(x) =

χ_n exp(ig_nx),

(8)

ных решеток. Именно фазовая π-решетка была ис-

n=-∞

пользована в экспериментах [20,21], где зависимость

фазы проходящей волны от координаты достигалась

за счет преломления в материале решетки, толщина

∑

Ψ^′(x^′, z) =

Ψ_m(z)exp[i(q_mxx^′ + q0zz)],

(9)

которой менялась каждые полпериода.

m=-∞

На самом деле, идеально скачкообразного изме-

нения фазы на π в реальных условиях добиться

где g_n = ng₀, g₀ = 2π/d, χ_n — фурье-амплитуды

трудно. Это связано с тем, что в системе координат

функции χ(x), а

движущейся решетки нейтроны падают на нее под

√

некоторым углом, поэтому изменение фазы имеет

q_mx = k0x - k_V + g_m, q0z = k20z - χ₀

(10)

трапециевидный вид из-за разных длин пробега в ве-

ществе вблизи краев Π-образных выступов решетки

— проекции волновых векторов.

870

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Нестационарная дифракция ультрахолодных нейтронов...

I, отн. ед.

0.6

1.0

m = 0

0.8

0.4

m = 0

0.6

m = -1

0.4

m = -2

0.2

0.1

0.2

0.3

h, мкм

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Рис. 2. Интенсивности дифракционных порядков в зави-

симости от глубины h профиля решетки, рассчитанные в

рамках динамической теории. Число штрихов N = 84000,

Рис. 1. Интенсивности дифракционных порядков для дви-

частота вращения 4800 об./мин, начальная энергия ней-

жущейся π-решетки, рассчитанные в кинематическом при-

тронов 120 нэВ

ближении [31] (штриховые кривые) и в рамках динами-

ческой теории [28] (сплошные кривые) в зависимости от

параметра C

параметра C отличие интенсивностей дифракцион-

ных порядков от рассчитанных в кинематическом

приближении возрастает. Недавние измерения спек-

Тогда решение уравнения (7) определяется бес-

тров УХН при дифракции на движущейся решетке

конечной системой связанных дифференциальных

[30] демонстрируют вполне удовлетворительное со-

уравнений второго порядка. Однако, как показано

гласие с расчетами, основанными на динамической

в работе [28], при определенных условиях, справед-

теории.

ливых в условиях экспериментов [21-26], в этой си-

Таким образом, можно прийти к выводу, что же-

стеме уравнений можно пренебречь вторыми произ-

лание увеличить величину спектрального расщепле-

водными по координате z, что упрощает ситуацию и

приводит к системе дифференциальных уравнений

ния путем увеличения скорости решетки или умень-

шения ее периода практически неизбежно приводит

первого порядка

к росту интенсивности нулевого порядка, отвечаю-

∑

dΨ_m

= -iα_mΨ_m - i β_nΨ_m-n,

(11)

щего волне с исходной частотой, и к заметной по-

n=0

тере интенсивности первых порядков, т. е. к потере

эффективности передачи нейтрону кванта энергии

где α_m = g_m[g_m - 2(k_V - k0x)]/2q0z, β_n = χ_n/2q0z.

ΔE = ℏΩ.

Что касается волновой функции нейтронов в ла-

Подчеркнем, однако, что приведенные выше ре-

бораторной системе координат, то в области наблю-

зультаты относятся только к решетке с фиксирован-

дения z > h она также определяется соотношениями

ной высотой зуба (π-решетка) и равных ширинах

(4) и (5), в которых амплитуды a_m следует заменить

зуба и канавки. В то же время теория предсказы-

на величины Ψ_m(z = h), полученные из решения

вает, что при заданной скорости решетки и энергии

системы уравнений (11).

нейтрона соотношение между интенсивностями по-

Результаты для интенсивностей дифракционных

рядков существенным образом зависит от глубины

порядков движущейся π-решетки с коэффициентом

профиля h. Рисунок 2 иллюстрирует это обстоятель-

заполнения 1/2, рассчитанные в рамках модифици-

ство.

рованного кинематического приближения [31] и ди-

намической теории [28], приведены на рис. 1. Видно,

что обе модели предсказывают уменьшение интен-

4. НОВЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И СРАВНЕНИЕ

сивностей первого порядка с увеличением парамет-

С РАСЧЕТОМ

ра C при одновременном росте интенсивности ну-

левого порядка и немонотонном поведении интен-

Эксперимент был поставлен на источнике ульт-

сивностей волн второго порядка. При этом дина-

рахолодных нейтронов PF2 Института Лауэ - Лан-

мическая теория предсказывает, что с увеличением

жевена (Гренобль, Франция) с использованием вре-

871

Г. В. Кулин, А. И. Франк, М. А. Захаров и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

форма профиля была не в точности прямоугольной,

а имела трапецеидальный вид, причем ширина ка-

навок слегка уменьшалась с глубиной. Это сужение

составляло около 0.2 мкм.

Времяпролетные спектры УХН, возникающие

при дифракции на вращающейся решетке, измеря-

лись при частоте вращения решетки 4800 об./мин.

Детальное моделирование эксперимента методом

Монте-Карло и анализ результатов осуществлялись

с помощью двух программ [34]. C помощью первой

из них вычислялся спектр нейтронов после дифрак-

ции на решетке. При этом моделировался угловой и

Рис. 3. Верхняя часть спектрометра: 1 — кольцевой кори-

энергетический спектры нейтронов.

дор; 2 — монохроматор; 3 — дифракционная решетка; 4 —

Известная трудность была связана с некото-

вертикальные разделители

рой неопределенностью распределения горизонталь-

ных скоростей, поскольку прибор изначально был

сконструирован для измерения только вертикаль-

мяпролетного фурье-спектрометра УХН [29]. Поста-

ной компоненты скорости нейтронов. В расчетах

новка эксперимента аналогична описанной в работе

спектр горизонтальных скоростей принимался гаус-

[30]. Исходный спектр формировался путем пропус-

совым с нулевым средним значением и шириной на

кания УХН через комбинацию пятислойного интер-

половине высоты 5 м/с.

ференционного фильтра Ni-Ti и многослойного «су-

Как видно из выражений (3), распределение по

перокна» [32, 33], установленных на выходе кольце-

горизонтальным скоростям непосредственно входит

вого коридора и формирующего пространственное

в распределение вертикальных скоростей, приво-

распределение потока УХН, падающего на решет-

дя к спектральному уширению соответствующих

ку (рис. 3). Такая комбинация монохроматора и ин-

дифракционных пиков. Симметричное распределе-

терференционного фильтра обеспечивала монохро-

ние горизонтальных скоростей приводит к появ-

матизацию по вертикальной компоненте скоростей

лению дополнительной дисперсии σ_m пиков соот-

на уровне Δv0z /v0z ≤ 0.02 (см. рис. 9 в [30]).

ветствующих дифракционных порядков, оценка ко-

В отличие от эксперимента работы [30], внутри

торых приведена в работе [28]. В условиях наше-

кольцевого коридора были установлены шесть вер-

го эксперимента наличие коллимирующих пластин-

тикальных пластин-разделителей. Они были изго-

разделителей ограничивало величину горизонталь-

товлены из нержавеющей стали и покрыты полиэти-

ной скорости и, следовательно, величину добавоч-

леном. Благодаря малой граничной скорости и боль-

ного уширения пиков.

шому сечению неупругого рассеяния полиэтилен яв-

В расчете также учитывалось то обстоятельство,

ляется эффективным поглотителем УХН. Образуя

что ширина канавок в силу радиальной ориентации

своеобразный коллиматор, эти разделители препят-

канавок зависела от радиуса при примерно одинако-

ствовали прохождению через коридор нейтронов с

вом угле наклона стенок. Вторая программа модели-

большой горизонтальной скоростью.

ровала процесс измерения спектра времяпролетным

Так же как и в работе [30], дифракционная ре-

фурье-спектрометром.

шетка была приготовлена на периферической обла-

Результаты измерений в сравнении с расчетами

сти кремниевого диска. Она имела вид кольца со

показаны на рис. 4. Начальная энергия и, соответ-

средним диаметром 12 см и шириной около 2 см.

ственно, положение нулевого пика при измерении с

Угловой период структуры α = 2π/N был точно из-

двумя решетками слегка различаются, поскольку в

вестен. Измерения проводились с двумя решетками.

этих измерениях в качестве монохроматоров исполь-

Решетка 1 была той же, что и в работе [30]. Она име-

зовались разные пятислойные интерференционные

ла 94500 канавок глубиной h = 0.14 мкм. У решетки

фильтры. Спектры пропускания каждого из них из-

2 было меньшее число канавок, N = 84000, но их

мерялись обычным методом времени пролета (см.

глубина была больше, h = 0.22 мкм. Обе решетки

рис. 3 в [29]), а полученные результаты учитывались

исследовались с помощью микроскопа атомных сил.

в расчете.

В обоих случаях глубина профиля удовлетворитель-

Из результатов, приведенных на рис. 4, ясно вид-

но соответствовала расчетному значению. Однако

но, что спектры, полученные с двумя решетками,

872

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Нестационарная дифракция ультрахолодных нейтронов...

I, отн. ед.

1.4

–1

1.2

-1

1.0

0.8

-2

0.6

0.4

-2

0.2

100 120 140 160 180 200 220

100

120

140

160

180

200

220

E, нэВ

Рис. 4. (В цвете онлайн) Времяпролетные спектры при дифракции УХН на движущихся решетках в сравнении с резуль-

татами расчетов. Экспериментальные (красные сплошные линии) и расчетные (синие штриховые линии) показаны для

решетки 1 (а) и 2 (б)

как и ожидалось, существенно различаются. В соот-

го порядков может быть весьма важным для увели-

ветствии с расчетами относительная интенсивность

чения эффективности передачи энергии нейтрону.

нулевого порядка при дифракции на решетке 2 су-

Полученные результаты находятся в прекрасном

щественно меньше, чем на решетке 1. Кроме того,

согласии с расчетами [34], основанными на динами-

спектр, полученный с решеткой 2, отличается замет-

ческой теории дифракции на движущейся решетке.

ным увеличением интенсивностей второго порядка,

Этот результат вместе с предшествующим резуль-

что хорошо согласуется с расчетом интенсивности

татом работы [30] можно рассматривать как доста-

|Ψ±2(h)|² (см. значения кривой с m = -2 на рис. 2

точно убедительную проверку динамической теории

при h = 0.14 и h = 0.22 мкм).

дифракции нейтронов на дифракционных решетках

[28], которая в рамках модели связанных волн поз-

волила более строго, по сравнению с предыдущим

кинематическим подходом, описать зависимость ин-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

тенсивностей дифракционных порядков от периода

решетки, скорости ее движения, глубины профиля

Дискретные спектры УХН, возникающие при ди-

и параметров потока падающих нейтронов.

фракции нейтронов на движущихся решетках, были

измерены для двух фазовых решеток с различаю-

щимися глубинами профиля. Падающий на решет-

ЛИТЕРАТУРА

ку пучок имел узкое распределение скоростей в на-

правлении, нормальном к поверхности решетки, при

1. А. С. Герасимов, М. В. Казарновский, Письма в

относительно широком распределении в плоскости,

ЖЭТФ 71, 1700 (1976).

параллельной решетке. Передача энергии при такой

2. R. Gähler and R. Golub, Z. Phys. B 56, 5 (1984).

нестационарной дифракции составляла 30 и 60 нэВ

соответственно для первого и второго дифракцион-

3. J. Felber, R. Gähler, and R. Golub, Physica B 151,

ных порядков.

135 (1988).

Измерения проводились с помощью времяпро-

4. J. Felber, G. Müller, R. Gähler, and R. Golub,

летного фурье-спектрометра. Показано, что в со-

Physica B 162, 191 (1990).

ответствии с теоретическими предсказаниями воз-

5. V. G. Nosov and A. I. Frank, J. Moscow Phys. Soc.

можно существенно изменять соотношение меж-

1, 1 (1991).

ду интенсивностями дифракционных порядков пу-

тем подходящего выбора глубины профиля. Относи-

6. R. Golub and S. K. Lamoreaux, Phys. Lett. A 162,

тельное увеличение интенсивности первого и второ-

122 (1992).

873

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

Г. В. Кулин, А. И. Франк, М. А. Захаров и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

J. Summhammer, Phys. Rev. A 47, 556 (1993).

24.

S. N. Balashov, I. V. Bondarenko, A. I. Frank, P. Gel-

tenbort, P. Høghøj, G. V. Kulin, S. V. Masalovich,

В. Г. Носов, А. И. Франк, ЯФ 57, 1029 (1994).

V. G. Nosov, and A. N. Strepetov, Physica B 350,

246 (2004).

A. I. Frank and V. G. Nosov, Ann. N. Y. Acad. Sci.

755, 293 (1995).

25.

А. И. Франк, П. Гелтенборт, М. Жентшель,

Г. В. Кулин, Д. В. Кустов, В. Г. Носов, А. Н. Стре-

10.

В. Г. Носов, А. И. Франк, ЯФ 62, 807 (1999).

петов, Письма в ЖЭТФ 86, 255 (2007).

11.

J. Felber, R. Gähler, R. Golub, P. Hank, V. Ignato-

26.

A. I. Frank, P. Geltenbort, M. Jentschel, G. V. Kulin,

vich, T. Keller, and U. Rauch, Found. Phys. 29, 381

D. V. Kustov, V. G. Nosov, and A. N. Strepetov,

(1999).

Nucl. Instr. Meth. A 611, 314 (2009).

12.

A. I. Frank and D. B. Amandzholova, Ann. N. Y.

27.

G. V. Kulin, A. I. Frank, S. V. Goryunov, D. V. Kus-

Acad. Sci. 755, 858 (1995).

tov, P. Geltenbort, M. Jentschel, A. N. Strepetov, and

13.

А. В. Козлов, А. И. Франк, ЯФ 68, 1149 (2005).

V. A. Bushuev, Nucl. Instr. Meth. A 792, 38 (2015).

14.

Th. Hils, J. Felber, R. Gähler, W. Gläser, R. Golub,

28.

В. А. Бушуев, А. И. Франк, Г. В. Кулин, ЖЭТФ

K. Habicht, and P. Wille, Phys. Rev. A 58, 4784

149, 41 (2016).

(1998).

29.

G. V. Kulin, A. I. Frank, S. V. Goryunov, D. V. Kus-

15.

J. Summhammer, K. A. Hamacher, H. Kaiser,

tov, P. Geltenbort, M. Jentschel, B. Lauss, and

H. Weinfurter, D. L. Jacobson, and S. A. Werner,

Ph. Schmidt-Wellenburg, Nucl. Instr. Meth. A 819,

Phys. Rev. Lett. 75, 3206 (1995).

67 (2016).

16.

J. Felber, R. Gähler, C. Rausch, and R. Golub, Phys.

30.

G. V. Kulin, A. I. Frank, S. V. Goryunov,

Rev. A 53, 319 (1996).

P. Geltenbort, M. Jentschel, V. A. Bushuev,

B. Lauss, Ph. Schmidt-Wellenburg, A. Panzarella,

17.

И. М. Франк, Сообщения ОИЯИ Р4-8851, Дубна

and Y. Fuchs, Phys. Rev. A 93, 033606 (2016).

(1975).

31.

А. И. Франк, П. Гелтенборт, Г. В. Кулин,

18.

W. A. Hamilton, A. G. Klein, G. I. Opat, and

Д. В. Кустов, В. Г. Носов, А. Н. Стрепетов, Со-

P. A. Timmins, Phys. Rev. Lett. 58, 2770 (1987).

общения ОИЯИ P3-2004-207, Дубна (2004).

19.

A. I. Frank and V. G. Nosov, Phys. Lett. A 188, 120

32.

И. В. Бондаренко, В. И. Боднарчук, С. Н. Ба-

(1994).

лашов, П. Гелтенборт, A. Г. Kляйн, А. В. Коз-

лов, Д. А. Корнеев, С. В. Масалович, В. Г. Носов,

20.

A. I. Frank, S. N. Balashov, I. V. Bondarenko, P. Gel-

А. И. Франк, П. Хогхой, A. Чиммино, ЯФ 62, 775

tenbort, P. Høghøj, S. V. Masalovich, and V. G. No-

(1999).

sov, Phys. Lett. A 311, 6 (2003).

21.

А. И. Франк, П. Гелтенборт, Г. В. Кулин,

33.

A. I. Frank, S. V. Balashov, V. I. Bodnarchuk,

I. V. Bondarenko, А. Cimmino, Р. Geltenbort,

Д. В. Кустов, В. Г. Носов, А. Н. Стрепетов, Письма

в ЖЭТФ 81, 541 (2005).

P. Hoghoj, A. G. Klein, D. A. Korneev, A. V. Kozlov,

and S. V. Masalovich, Proc. SPIE 3767, 360 (1999).

22.

A. И. Франк, Р. Гэйлер, ЯФ 63, 605 (2000).

34.

М. А. Захаров, А. И. Франк, Г. В. Кулин,

23.

А. И. Франк, П. Гелтенборт, Г. В. Кулин,

С. В. Горюнов, Сообщения ОИЯИ Р3-2018-20, Дуб-

А. Н. Стрепетов, Письма в ЖЭТФ 78, 224 (2003).

на (2018).

874