ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 5 (11), стр. 890-895
© 2019
СОЛИТОНЫ БЕЗ ОГИБАЮЩЕЙ В ДВУХУРОВНЕВОЙ СРЕДЕ,
ИМПЛАНТИРОВАННОЙ В АНИЗОТРОПНУЮ МАТРИЦУ
А. А. Заболотский*
Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук
690090, Новосибирск, Россия
Поступила в редакцию 23 мая 2019 г.,
после переработки 29 мая 2019 г.
Принята к публикации 30 мая 2019 г.
Рассмотрена модель эволюции импульсов поля в среде двухуровневых атомов, помещенных в анизотроп-
ную матрицу. Показано, что в приближении однонаправленного распространения система редуцирован-
ных уравнений Максвелла - Блоха может быть полностью интегрируемой. Для частного случая модели
приведены солитонные решения, описывающие эволюцию импульсов поля. Показано, что, изменяя па-
раметры анизотропии внешней среды, можно контролировать параметры импульсов.
DOI: 10.1134/S0044451019110063
ультракоротких импульсов поля в двухуровневой
атомной среде как дополнительных параметров. Из-
менение линейных оптических характеристик мат-
1. ВВЕДЕНИЕ
рицы открывает новые возможности управления па-
раметрами импульсов поля, которые отсутствуют в
Нелинейные явления, связанные с эволюцией
ультракоротких импульсов света в прямолинейных
изотропном варианте. В связи с описанием эволю-
ции импульсов поля без огибающей представляет
изотропных средах, содержащих резонансные ато-
мы или молекулы, исследуются в рамках уравне-
интерес нахождение полностью интегрируемых мо-
ний Максвелла - Блоха длительное время, см., на-
делей в таких системах. В настоящей работе приво-
пример, [1-4]. Особенное значение имеют полностью
дится интегрируемое обобщение РУМБ, описываю-
интегрируемые модели [5], в рамках которых мож-
щее динамику поляризации поля в среде двухуров-
невых атомов, имплантированных в линейную ани-
но найти многосолитонные и другие решения, иссле-
довать взаимодействие импульсов поля. Интегриру-
зотропную среду.
емые редуцированные уравнения Максвелла - Бло-
ха (РУМБ) [6-9] описывают явление самоиндуци-
2. ИНТЕГРИРУЕМАЯ СИСТЕМА
рованной прозрачности в двухуровневой среде для
УРАВНЕНИЙ И ЕЕ СВОЙСТВА
линейной поляризации однокомпонентного поля вне
рамок приближения медленно меняющейся огибаю-
Редуцированные уравнения Максвелла - Блоха
щей. Обобщение на случаи двухкомпонентного поля
для среды двухуровневых атомов, взаимодейству-
в моделях нелинейной оптики и двух-, трехкомпо-
ющих с двухкомпонентным полем, имеют вид
нентного поля в акустических моделях было сдела-
[6-8, 11, 15, 16]
но автором и другими [10-21]. В этих работах пред-
ставлены интегрируемые обобщения РУМБ, описы-
∂E⊥
∂S⊥
= -2πd0n0ϵ
,
(1)
вающие поляризационные эффекты в атомах, нахо-
∂z
c∂t′
дящихся в однородных изотропных средах. Опти-
ℏ∂tS = d0 [E, S] .
(2)
ческие характеристики атомов определяются значе-
ниями дипольных переходов и частот. Представля-
Здесь t′ = t - z/c и t,z,n0,d0 — временная, про-
ет практический интерес исследование влияния ани-
странственная переменные, плотность атомов и ди-
зотропных характеристик матрицы на эволюцию
польный момент перехода соответственно, c — фа-
зовая скорость поля в среде; E⊥ = {Ex, Ey}, E
=
* E-mail: zabolotskii@iae.nsk.su
= {Ex, Ey, ℏω/d0}, S⊥ = {Sx, Sy}, S = {Sx, Sy, Sz};
890
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
Солитоны без огибающей в двухуровневой среде. . .
ℏω — энергия перехода. В отличие от цитированных
∂χΦ = V Φ ≡ Ω(r, λ)×
⎛
(
)
⎞
выше работ здесь дополнительно учтена анизотро-
κ
1
1
λ2-
Sz
λR +
Q
пия матрицы, в которую помещены атомы. Безраз-
⎜-i
⎟
r
λ2
λ
⎜
(
)
⎟
×
,
(10)
мерный тензор анизотропии имеет вид
⎝
1
κ
1
⎠Φ
λQ +
R
i
λ2-
Sz
[
]
λ
r
λ2
a b
√
ϵ=
(3)
где λ — спектральный параметр, κ =
1 - r2/2, G =
b d
= irEx - Ey, F = G∗, R = iSx - iSy/r, Q = S∗,
τ = κτ′/(2r) и
Обозначим Ex,y
= d0Ex,y/(ℏω), τ′ = -ω t′, χ =
= z2πnd20(cℏ)-1. В новых обозначениях уравнения
4λ2r2κ
Ω(r, λ) = -
(11)
(1)-(3) имеют вид
(λ2 - 1)2 r2 - (λ2 + 1)2
∂Ex
Отметим, что для перехода к изотропному преде-
= a(Sy - dyEySy) + b(-Sy + dxExSz),
(4)
∂χ
лу r → 1 следует заменить спектральный параметр
∂Ey
λ → λ/κ. Здесь r = 0. Случай r = 0 был рас-
= d(-Sx + dxExSz) + b(Sy - dyEySz),
(5)
∂χ
смотрен в работах [6,7]. Диагональный член матри-
цы U с учетом нормировки координаты имеет вид
∂τ′ Sx = Sy - EySz,
(6)
(
)
±κ2
λ2/κ2 - κ2/λ2
и т. д. То есть в пределе r →
∂τ′ Sy = -Sx + ExSz,
(7)
→ 1, κ → 0 получаем спектральную задачу Каупа -
∂τ′ Sz = EySx - ExPy.
(8)
Ньюелла [22], которая использовалась в том числе
при решении задач, описывающих эволюцию поля в
Система уравнений (4)-(8) допускает представление
двухуровневой среде [16,23,24].
нулевой кривизны для любых a, d, b ∈ R. Однако в
Из системы (9), (10) получаем уравнения Рик-
общем случае не удается получить удобную для при-
кати для α(τ, χ) = ϕ1/ϕ2, где {ϕ1, ϕ2}T — первый
менения форму. В Приложении приведено представ-
столбец матричнозначной функции Φ,
ление для a = d и b = 0.
(
)
В частном случае det ϵ = 0 производные ∂zEx
F
∂τ α = -2iκ(λ2 - λ-2)α + Gλ +
-
и ∂zEy пропорциональны, т.е. Ex = q0Ey + E0, где
λ
(
)
q0 — константа и E0 = E0(τ′). Для нулевой асимп-
G
- Fλ+
α2,
(12)
тотики по τ′ получаем E0 ≡ 0. Этот случай не рас-
λ
сматриваем, поскольку cолитонные решения с нуле-
вой асимптотикой приводятся к решениям РУМБ,
[
κ
полученным в работе [6]. Можно показать, что со-
∂χα = Ω(r, λ)
- 2i
(λ2 - λ-2)Rz α +
r
ответствующая спектральная проблема сводится к
(
) (
)
]
Q
R
проблеме Захарова - Шабата [5] с действительным
+ Rλ +
- Qλ +
α2
(13)
потенциалом.
λ
λ
Линейные системы (9), (10) обладают следующими
свойствами симметрии:
2.1. Анизотропная, не гиротропная среда
1) W(1/λ) = σ1W(λ)σ1,
(14)
Рассмотрим частный случай анизотропной сре-
2) W(-λ) = σ3W(λ)σ3,
(15)
ды a = d, ad > 0, b = 0, т. е. в среде отсутствуют
гиротропные эффекты. Положим в (4)-(8) a = 1,
3) W∗(λ∗) = σ1W(λ)σ1,
(16)
d = r2. Система уравнений (4)-(8) является усло-
где W = U, V и σ1, σ3 — матрицы Паули. В равен-
вием совместности (∂χU - ∂τ V + [U, V ] = 0) двух
стве (16) учтена редукция G = F∗. Соответственно
линейных систем уравнений
для решений уравнений Риккати находим свойства
симметрии
∂τ Φ = UΦ ≡
⎛
(
)
⎞
1
1
1) λ → 1/λ, α → 1/α,
λG +
F
⎜ -iκλ2 -
⎟
λ2
λ
2) λ → -λ, α → -α,
⎜
(
)
⎟
≡
,
(9)
⎝
1
1
⎠Φ
λF +
G iκ λ2 -
3) λ → λ∗, α → 1/α∗.
λ
λ2
891
4*
А. А. Заболотский
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
3. РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
Для коэффициентов при λN в (22) находим σ3PN -
= 0. Обобщение условий (19) записывается
-PNσ3
3.1. N-солитонное решение
как
Солитонные решения строим, используя технику
P[N](1/λ) = σ1P[N](λ)σ1,
(23)
преобразования Дарбу, развитую в работах [25, 26].
P[N](-λ) = (-1)N σ3P[N](λ)σ3.
Пусть G(χ), F (χ) и Φ — известные решения системы
Для N = 2n матрица Pm, m = 2k, 2l+1, имеет струк-
уравнений (9). Новое решение (Φ[1], U[1]) получаем
туру
калибровочным преобразованием
(
)
Φ[1](λ, τ) = P(λ, τ)Φ(λ, τ),
(17)
p2k
0
P2k =
,
k = -n,...,n ,
(24)
U[1] = ∂τ PP-1 + PUP-1,
(18)
0
p-2k
где матричная функция P обладает симметрией:
(
)
0
p2l+1
P2l+1 =
,
l = -n,...,n-1 . (25)
P (1/λ) = σ1P (λ)σ1, P (-λ) = ϵσ3P (λ)σ3,
p-2l-1
(19)
ϵ = ±1 .
Условие det P (λn) = 0 дает
После преобразования матрица U[1] должна иметь
прежний вид:
P (λn, τ)Φ(λn, τ) qn = 0,
(26)
U[1](λ, τ) ∝
где qn — нетривиальный вектор, не зависящий от τ,
⎛
⎞
см. [25]. Без потери общности перепишем (26) в виде
F[1](τ)
⎜ -iκ(λ2 - λ-2) G[1](τ)λ +λ
⎟
(
)
∝
⎜
⎟
(20)
⎝
⎠
αj(τ, χ)
G[1](τ)
P[N](λj)
≡ 0, j = 1, . . ., N.
(27)
F[1](τ)λ +
iκ(λ2 - λ-2)
1
λ
В качестве примера выберем P = P-1/λ + P0 + P1λ.
Коэффициенты αj(τ, χ), j = 1, . . ., N — решения
Тогда из (19) находим P1σ3 = -ϵσ3P1. Дополни-
уравнений Риккати (12). Обозначим λN+j = λ-1j,
тельно, из условия отсутствия элементов, пропор-
αN+j
= α-1j, βa
= α-1a, j
= 1, 2, . . ., N, a
=
циональных λ3, равенство (18) дает P1σ3 = σ3P1,
= 1, 2, . . ., 2N. Условие (27) дает 2N уравнений для
т. е. ϵ = -1.
2N + 1 неизвестных p-N, . . . , pN :
N-кратное преобразование Дарбу имеет вид
∑
∑
∑
Φ[N] = P[N]Φ, P[N] =
Pmλm .
(21)
p2kλ2k
a
+βa
p2l+1λ2l+1a = 0,
(28)
l=-N
k=-n
l=-n
a = 1,2,...,2N .
Вместо условия (18) имеем
U[N]P[N] - ∂τ P[N] - P[N]U = 0 .
(22)
Для N = 2n + 1 матрица P[N] имеет вид
(
)
∑
p2l+1λ2l+1 + p2l-1λ2l-1
p2lλ2l
P[N] =
(29)
-2l+1
p-2lλ-2l
p-2l-1λ-2l-1 + p-2l+1λ
l=-N
Аналогично уравнению (28) получаем
∑[
]
∑
p2k+1λ2k+1 + p2k-1λ2k-1
+βa
p2lλ2la = 0, a = 1, 2, . . ., 2N .
(30)
k=-n
l=-n
Потенциал находим, сравнивая коэффициенты
2iκpN-1 + pN G[0]
G[N] =
,
(31)
при λ±N для внедиагональных элементов матрицы
p-N
(22). В итоге находим
-2iκp1-N + p-NF[0]
F[N] =
(32)
pN
892
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
Солитоны без огибающей в двухуровневой среде. . .
Зависимости α от τ и χ можно, например, найти из
Соответствующие функции βk(χ, τ) имеют вид
уравнений Риккати (12), (13).
β1 = exp(θr + iθi), β2 = exp(-θr + iθi),
(40)
=α2 .
β3 = β-11 = α1, β4 = β-12
3.2. Примеры солитонных решений
Здесь фазы θr, θi — действительные функции χ и τ,
3.2.1. N = 1
определяемые из равенства
)
Простейший вариант матрицы (19)
(τ′
θr + iθi = μ1
-Ω1χ
,
(41)
2r
P (λ, τ) =
где
(
)
p1(τ)λ + p-1(τ)/λ
p0(τ)
μ1 = i(-η2e2iϕ + (κ2/η2)e-2iϕ) ,
(42)
=
(33)
p0(τ)
p-1(τ)λ + p1(τ)/λ
2η2r2
Ω1 = -
(43)
-2iϕ
4η4e2iϕ - 2η2 (r2 + 1) + κ2e
имеет детерминант det(P ) = p2-1 - p20 + p21 + (λ2 +
+ λ-2)p1p-1. Если λ1 — нуль детерминанта det(P),
Используя (31) и решая (28), получаем
то из (33) и (19) находим, что det(P) имеет всего 4
2iκD1
G[2] = -
(44)
нуля: λ1, λ-11, -λ1 и -λ-11. Решение алгебраической
D-2
системы (28) имеет вид
Здесь 4 × 4-детерминанты D1, D-2 имеют вид
p1
k1
p-1
l1
=
,
=
,
(34)
λ-21
1
λ21
β1λ-11
p0
λ21 - λ-21
p0
λ21 - λ-2
1
∗-1
λ∗-21
1
λ∗21
β∗-11λ
1
D1 =
,
(45)
где
λ21
1
λ-21
β-11λ1
α1
λ1
1
k1 ≡
-
,
l1 ≡ -α1λ1 +
(35)
λ∗21
1
λ∗-21
β∗1λ∗1
λ1
α1
α1λ1
1
λ21
β1λ-11
β1λ1
Применяя компьютерные символьные вычисле-
ния, можно прямой подстановкой показать, что
1
λ∗21
β∗-11λ∗-11 β∗-11λ∗1
D-2 =
(46)
условие (18) выполняется и F[1] = G[1]∗ — решение
1
λ-21
β-11λ1
β-11λ-11
исходной системы уравнений.
1
λ∗-21
β∗1λ∗1
β∗1λ∗-11
Пусть G[0] = F[0] = R[0] = Q[0] = 0, Rz = -1 и
Решение для амплитуды поля имеет вид
λ1 = i exp(iϕ). Тогда решение уравнений (12), (13)
имеет вид
G[2] = irEx - Ey = -2iη sin(2ϕ)e-iθi ×
α1 = exp[μ1(-τ + χΩ1)] ,
(36)
ch(θr + iϕ) + (κ2/η2)e2iθi ch(θr - 3iϕ)
×
(47)
ch2(θr
- iϕ) - (κ2/η2)e-2iθi sin2(2ϕ)
где
Анизотропия среды проявляется в отличии κ от ну-
2r2κ
ля. В пределе κ → 0 получаем солитонное решение,
μ1 = 2κ sin2ϕ, Ω1 =
(37)
r2 + 1 - 4κ2 cos(2φ)
описывающее вращение круговой поляризации поля
в двухуровневой среде [15, 24]. На рис. 1 и 2 пока-
Из (31), (34) находим простейшее солитонное реше-
заны координатные зависимости поляризации соли-
ние
тона (47) соответственно для изотропной и сильно
анизотропной сред.
iμ1
G[1] =
{sh[μ1 (τ - χΩ1) - iϕ]}.
(38)
Графики решений 1 и 2 иллюстрируют факт
κ
существенного влияния анизотропии матрицы на
амплитуду и поляризацию солитонных импульсов.
3.2.2. N = 2
Здесь степень анизотропии среды, в которую им-
Берем прежнее вакуумное решение: G[0] = F[0] =
плантированы атомы, определяется коэффициен-
= R[0] = Q[0] = 0,Rz = -1 и пусть λ2 = λ∗1. Введем
том r. Для некоторых значений амплитуд η/κ < 1
обозначения
и λ1 в решении (47) знаменатель может обращаться
η
в нуль. Таким образом, в случае анизотропной сре-
λ1 = i
eiϕ, λ2 = λ∗1,
κ
ды амплитуда импульса поля E2z + E2y может быть в
(39)
λ3 = λ-11, λ4 = λ-12 .
разы больше, чем в случае изотропной.
893
А. А. Заболотский
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
E ,Exy
и среды. Отметим, что для случая N = 1 влияние
анизотропии слабее, чем для решения c N = 2. Со-
0.5
литонное решение (47) в изотропном пределе κ → 0
0
приводится к решению с нелинейной фазовой моду-
ляцией [16]. Эффекты, связанные с анизотропией,
-0.5
проявляются в дополнительной нелинейной модуля-
-1.0
ции как фазы, так и амплитуды импульса. Отметим,
что линейные характеристики среды, в которую по-
-1.5
мещена нелинейная среда, приводят к критическому
-2.0
изменению нелинейной динамики солитонов, но не
-2.5
нарушают интегрируемость модели. Метод постро-
-
-
ения солитонных решений, примененный в настоя-
z
щей работе, может быть использован для построе-
Рис. 1. Изотропная среда, отвечающая пределу κ → 0,
ния N-солитонного решения. Из свойств симметрии
λ1 → exp(iπ/5). Зависимости Ex(z) и Ey(z) в произволь-
спектральной задачи следует, что ее собственные
ных единицах показаны штриховой и сплошной линиями
значения появляются парами {λn, 1/λn}. То есть
соответственно
простейшим нетривиальным решением рассмотрен-
ной здесь модели является аналог бризера вместо
E ,Exy
N = 1 солитона в случае 2π-импульсов РУМБ [4,6].
Случай гиротропной среды b = 0 дает еще один
параметр для контроля характеристик солитонов.
10
Представляет также интерес интегрируемое обоб-
щение РУМБ на случай ненулевого постоянного
5
дипольного момента двухуровневой среды. Однако
эти интегрируемые модели требуют отдельного
0
рассмотрения ввиду их сложности.
Финансирование. Работа выполнена при
-5
финансовой поддержке Российского фон-
-
-
да фундаментальных исследований (грант
z
№18-02-00379) и Министерства науки и высше-
го образования Российской Федерации (грант
Рис. 2. То же что на рис. 1 для анизотропной среды r = 0.5
№ АААА-А17-117060810014-9).
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
В работе приводится обобщение интегрируемой
Представление нулевой кривизны для
системы, которая включает систему РУМБ, приме-
гиротропной среды
няемую для описания эволюции импульсов поля в
двухуровневой среде с учетом характеристик ани-
Представление нулевой кривизны уравнений
зотропной матрицы, в которую эта среда импланти-
(4)-(8) для a = d = 1, b = 0 имеет вид
рована. Существенного изменения параметров ато-
мов, таких как дипольный момент и частота перехо-
[
]
да, в реальной системе двухуровневой среды добить-
-iλ
μxEx + μyEy
∂τ ψ =
ψ, (A.1)
ся экспериментально невозможно. Плотность ато-
μxEx + μyEy
iλ
мов определяет длину формирования и эволюции
импульсов, но не оказывает влияния на его внут-
[
]
ренние степени свободы. Поэтому изменение оптиче-
iαSz
γSx +βSy
∂χψ =
ψ.
(A.2)
ских свойств матрицы является новым инструмен-
γSx +
βSy
-iαPz
том управления параметрами импульса поля, если
не включать дополнительные оптические элементы
Здесь k — спектральный параметр и
894
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
Солитоны без огибающей в двухуровневой среде. . .
bk
8.
P. J. Caudrey, J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon, and
λ=
,
(A.3)
k2(b - 1) + 1 + b
R. K. Bullough, J. Phys. A: Math. Gen. 6, L53 (1973).
√
b
k+i
μx = -
√
√
,
(A.4)
9.
M. Agrotis, N. M. Ercolani, S. A. Glasgow, and
2
1+b-k
1-b
J. V. Moloney, Phys. D 138, 134 (2000).
√
b
k-i
μx =
√
√
,
(A.5)
10.
А. А. Заболотский, ЖЭТФ 121, 1012 (2002).
2
1+b+k
1-b
√
11.
А. А. Заболотский, Письма в ЖЭТФ 77, 558
b
k-i
μy =
√
√
,
(A.6)
(2003).
2
1+b-k
1-b
√
b
k+i
12.
A. A. Zabolotskii, Phys. Rev. E 67, 066606 (2003).
μy = -
√
√
,
(A.7)
2
1+b+k
1-b
13.
A. A. Zabolotskii, J. Phys. A: Math. Gen. 36, 8077
bk
(2003).
α=
,
(A.8)
k2 - 1
√
(√
)
14.
A. A. Zabolotskii, Physica D: Nonlin. Phen. 185(2),
b k+i
√
γ =
1+b+k
1-b
,
(A.9)
117 (2003).
2
k2 - 1
√
)
b k-i
(√
√
15.
А. А. Заболотский, ЖЭТФ 125, 1220 (2004).
γ=-
1+b-k
1-b
,
(A.10)
2
k2 - 1
√
16.
H. Steudel and A. A. Zabolotskii, J. Phys. A: Math.
)
b k-i
(√
√
Gen. 37, 5047 (2004).
β =-
1+b+k
1-b
,
(A.11)
2
k2 - 1
√
17.
A. A. Zabolotskii, Phys. Rev. E 75, 036612 (2007).
(√
√
)
b k+i
β =
1+b-k
1-b
(A.12)
2
k2 - 1
18.
С. В. Сазонов, Н. В. Устинов, ТМФ 164, 222
(2010).
ЛИТЕРАТУРА
19.
С. В. Сазонов, Н. В. Устинов, ЖЭТФ 141, 738
(2012).
1. F. T. Arecchi and R. Bonifacio, IEEE J. Quant. Elect-
ron. 1(4), 169 (1965).
20.
С. В. Сазонов, Н. В. Устинов, ЖЭТФ 151, 249
(2017).
2. L. Allen and J. H. Eberly, Optical Resonance and
Two-Level Atoms, Dover, New York (1987).
21.
S. V. Sazonov and N. V. Ustinov, Phys. Rev. A 98,
063803 (2018).
3. A. I. Maimistov, A. M. Basharov, S. O. Elyutin, and
Yu. S. Sklyarov, Phys. Rep. 191, 1594 (1990).
22.
D. J. Kaup and A. C. Newell, J. Math Phys. 19, 798
(1978).
4. А. И. Маймистов, КЭ 40, 756 (2010).
23.
A. A. Zabolotskii, Phys. Lett. A 124, 500 (1987).
5. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков,
Л. П. Питаевский, Теория солитонов: метод об-
24.
H. Steudel and A. A. Zabolotskii, J. Phys. A: Math.
ратной задачи, Наука, Москва (1980).
Gen. 34, 5297 (2001).
6. J. K. Eilbeck, J. Phys. A: Math. Gen. 5, 1355 (1972).
25.
G. Neugebauer and R. Meinel, Phys. Lett. A 100,
467 (1984).
7. J. K. Eilbeck, J. D. Gibbon, P. J. Caudrey, and
R. K. Bullough, J. Phys. A: Math. Gen. 6, 1337
26.
H. Steudel, R. Meinel, and G. Neugebauer, J. Math.
(1973).
Phys. 38, 4692 (1997).
895
