ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 5 (11), стр. 896-904

ЭНЕРГИЯ КАЗИМИРА ОТКРЫТОЙ СТРУНЫ С ЗАВИСЯЩИМИ

ОТ УГЛА ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

А. Джаханa*, И. Бревик^b

^a Research Institute for Astronomy and Astrophysics of Maragheh (RIAAM), University of Maragheh

P. O. Box: 55134-441, Maragheh, Iran

^b Department of Energy and Process Engineering, Norwegian University of Science and Technology

7491, Trondheim, Norway

Поступила в редакцию 17 апреля 2019 г.,

после переработки 9 мая 2019 г.

Принята к публикации 26 мая 2019 г.

(Перевод с английского)

CASIMIR ENERGY OF AN OPEN STRING WITH

ANGLE-DEPENDENT BOUNDARY CONDITION

A. Jahan, I. Brevik

Рассмотрена открытая струна с концами, лежащими на двух разных твердых стержнях. Такая система

эквивалентна двум скалярным полям с набором связей на концах. Энергия нулевых колебаний и энергия

Казимира вычислены тремя разными способами: (1) с использованием дзета-функции Гурвица, (2) с

использованием метода интегрирования по контуру на комплексной плоскости частот и (3) путем по-

строения функции Грина системы. В случае интегрирования по контуру также получено выражение для

энергии Казимира для конечной температуры, а также удобная аналитическая аппроксимация для высо-

ких температур. Оказалось, что энергия Казимира при нулевой температуре представляет собой сумму

потенциальной энергии Люшера и слагаемого, зависящего от угла между стержнями. Предложенная мо-

дель сравнивается с аналогичной моделью для открытой струны с зарядами на концах, движущейся в

электромагнитнном поле.

DOI: 10.1134/S0044451019110075

тема кварк-антикварк с хромоэлектрическим по-

лем между ними рассматривалась как колеблющая-

ся струна. Энергия Казимира кусочно-непрерывной

1. ВВЕДЕНИЕ

струны была рассмотрена в работах [5-9]. Энергия

Энергия Казимира является физическим прояв-

вакуума для открытой струны, помещенной между

лением энергии вакуума [1]. Она представляет со-

двумя бусинами, была получена в работе [10]. По-

бой чисто квантовое явление, благодаря которому,

тенциал Люшера воспроизводится, когда массы бу-

например, две параллельные проводяшие пластины

син становятся большими. В работе [11] были вы-

притягиваются друг к другу. Исследованию энергии

числены квантовые поправки к потенциалу Люше-

вакуума открытой и замкнутой струн в простейших

ра, причем это интерпретируется как возможный

случаях посвящены многие работы. В работах [2-4]

нелокальный эффект в бозонной струне. В работах

была впервые вычислена энергия Казимира откры-

[12, 13] для модели межкваркового потенциала ис-

той струны, которая теперь носит название потен-

пользовалась модель Намбу - Гото открытой стру-

циала Люшера. Для его получения статическая сис-

ны. Предполагалось, что на концах струны имеются

точечные бусины, имеющие массу m. Было показа-

^* E-mail: jahan@riaam.ac.ir

896

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Энергия Казимира открытой струны. . .

но, что в пределе m → 0, ∞ воспроизводится потен-

⁽∂φ(z, t))2

μA

(2)

циал Люшера.

∂t

∂z

Настоящая работа является продолжением

откуда мы получаем волновое уравнение

предыдущей работы одного из авторов, в которой

)

была получена энергия Казимира как предельный

⁽ 1 ∂2

∂²

φ(z, t) = 0,

(3)

случай (при стремящейся к нулю температуре) сво-

v² ∂t²

∂z²

бодной энергии открытой струны с учетом угловой

где скорость звука равна

зависимости [14]. Свободная энергия при конечной

температуре была получена с использованием

⁽T)1/2

интеграла по траекториям. В настоящей работе

для вычисления энергии Казимира для открытой

струны с концами, лежащими на двух разных

Концы струны удовлетворяют связям

твердых стержнях, мы используем три разных

φ₂(0, t) - tg θ₁φ₁(0, t) = 0,

(4)

метода. Предполагается, что между стержнями

имеется относительный угол θ, поэтому граничные

φ₂(l, t) - tg θ₂φ₁(l, t) = 0.

(5)

условия на концах струны зависят от θ. Впервые

Эти связи дают следующие граничные условия на

получена энергия Казимира при T = 0 с использо-

концах струны:

ванием дзета-функции Гурвица, причем показано,

что этот метод может эффективно применяться в

∂φ₁(0, t)

∂φ₂(0, t)

+ tg θ₁

= 0,

(6)

самых разных случаях. Кроме того, использовался

∂z

метод интегрирования по контуру на комплексной

∂φ₁(l, t)

∂φ₂(l, t)

+ tg θ₂

= 0.

(7)

плоскости, который не только позволяет получить

∂z

численную оценку в случае общих температур, но и

Тогда решения принимают вид [14]

предлагает удобную аналитическую аппроксимации

в случае высоких температур. На основании этого

∑

(

)

получена угловая зависимость функции Грина и

φ₁(z, t) =

a_neiωnt + a_ne-iωnt

вычислена энергия Казимира, которая, как оказа-

n=-∞

лось, представляет собой сумму зависящего от угла

× cos(k_nz + θ₁),

(8)

слагаемого и потенциала Люшера. Помимо этого,

найдены интересные сходства и различия между

предложенной моделью и моделью открытой стру-

∑

(

)

φ₂(z, t) =

a_neiωnt + a_ne-iωnt

ны с зарядами на концах, движущейся во внешнем

n=-∞

электромагнитном поле. Этот вопрос обсуждается

× sin(k_nz + θ₁),

(9)

в Заключении.

где квантованные волновые числа k_n равны

2. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА

k_n =

(n + r), r =

(θ₂ - θ₁),

(10)

Рассмотрим струну, концы которой лежат на

двух стержнях и могут свободно по ним скользить.

а соответствующие собственные частоты равны

Струна имеет натяжение T и массовую плотность μ.

πv

ω_n =

(n + r).

(11)

Стержни расположены так, что одному из них соот-

ветствует z = 0, а другому — z = l. Углы между

Как видно из уравнений (3)-(5), данный подход

осью X и стержнями при z = 0 и z = l соответ-

можно интерпретировать как свободную теорию по-

ственно равны θ₁ и θ₂. Смещение струны от положе-

ля с набором связей на концах струны в точках z =

ния равновесия происходит параллельно плоскости

= 0, l. В следующем разделе мы положим θ₁ = 0 и

X-Y , и его можно описать полем смещения φ(z, t),

θ₂ = θ, так что r = θ/π. В разд. 4 мы снова положим

которое имеет вид

θ = θ₂ - θ₁, где θ₁ = 0.

φ(z, t) = φ₁(z, t)e₁ + φ₂(z, t)e₂.

(1)

Таким образом, основное дисперсионное соотно-

Здесь e₁ и e₂ — единичные векторы вдоль осей X и

шение имеет вид

Y , соответственно. Плотность лагранжиана для по-

ωl

ля смещения имеет вид

sin

- tg θ cos

= 0.

(12)

897

А. Джахан, И. Бревик

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Интересно отметить, что формально это тот же тип

которое затем можно преобразовать, используя

дисперсионных соотношений, который встречается

уравнение (14):

в физике твердого тела, в так называемой модели

(

)

πv

Кронига - Пенни, но в вырожденном случае, когда

E₀ =

ζ_H(-1, r) = -

r² - r +

(16)

вклад квази-импульса (который определяется бло-

ховской периодичностью) равен нулю [15].

Чтобы получить энергию Казимира E_C, нужно вы-

честь контрчлен E_counter , соответствующий энергии

нулевых колебаний в случае нулевого отклонения

3. ЭНЕРГИЯ КАЗИМИРА ПРИ НУЛЕВОЙ И

θ = 0:

КОНЕЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРАХ

πv

E_counter =

ζ_H(-1, 0) = -

(17)

24l

Чтобы вычислить энергию Казимира, связанную

При T = 0 окончательный ответ имеет вид

с собственными частотами (11), воспользуемся дву-

мя разными способами. Оба эти способа являются

πv

E_C = E₀ - E_counter =

r(1 - r).

(18)

элегантными и эффективными, и, кроме того, их

достаточно легко применять. Сначала рассмотрим

При θ = 0 имеем E_C = 0, как и должно быть в соот-

случай нулевой температуры, T = 0.

ветствии с построением, при θ = π мы получаем тот

же ответ. Максимальное значение получается при

3.1. Использование дзета-функции Гурвица

θ = π/2:



πv

E_C

(19)

Описание метода регуляризации можно найти в

max

16l

работах [16] или [17]. (Впервые этот метод был при-

Характерным свойством E_C является то, что эта

менен для аналогичной составной струнной систе-

энергия неотрицательна. Это противоречит поведе-

мы авторами работы [18].) ζ_H (s, a)-функция Гурви-

нию энергии Казимира, полученному для большин-

ца исходно определяется как

ства систем, поскольку эта энергия обычно отрица-

тельна, что соответствует тому, что обычно сила Ка-

∑

ζ_H(s, a) =

(n+a)^-s,

0 < a < 1, Res > 1. (13)

зимира является силой притяжения между двумя

n=0

параллельными плоскостями. В чем же с физиче-

ской точки зрения причина того, что в нашем случае

В таком виде функция Гурвица определена только

энергия E_C положительна? Мы считаем, что причи-

при Re s > 1; это мероморфная функция с простым

на заключается в том, что при переходе от начально-

полюсом в точке s = 1. При Re s < 1 ее можно ана-

го состояния θ = 0 к конечной конфигурации θ > 0

литически продолжить на комплексную плоскость.

над системой должна быть произведена работа со

На самом деле на практике требуется только следу-

стороны внешних сил. Это означает увеличение ме-

ющее свойство функции, аналитически продолжен-

ханической энергии системы, включая и увеличение

ной в точку s = -1:

энергии нулевых колебаний.

(

)

Чтобы в дальнейшем использовать этот резуль-

a² - a +

(14)

ζH (-1, a) = -

тат для более широкого круга задач, сравним его с

результатами, полученными с помощью теории Ка-

Мы предполагаем, что 0 ≤ θ ≤ π, так что 0 ≤ r ≤ 1.

зимира для кусочно-однородной струны. Исходно

В выражение (11) для собственных частот мы вклю-

теория для такой системы была развита в работе [7]

чили только положительные значения ω_n; это озна-

для случая T = 0. В этой модели рассматривается

чает, что мы считаем от n = 0 вверх. (Это связано

замкнутая струна с полной длиной l = l_I + l_II , со-

с тем, что мы описываем волны как стоячие. Если

стоящая из двух частей длиной l_I и l_II , для которых

вместо этого распространяющиеся моды рассматри-

в точке их соединения выполняются два граничных

вать как основные, то волнам, движущимся налево,

условия: (i) непрерывность поперечных смещений и

будут соответствовать отрицательные значения n.)

(ii) непрерывность поперечных упругих сил. Эта мо-

Тогда для полной энергии нулевых колебаний E₀ по-

дель релятивистская в том смысле, что для обеих

лучаем выражение в нерегуляризованном виде:

частей скорость звука предполагается равной ско-

рости света. Если определить отношение натяжений

∑

πv

как

E₀ =

(n + r),

(15)

x = T_I/T_II,

n=0

898

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Энергия Казимира открытой струны. . .

а отношение длин как

Сначала рассмотрим следующий анзац для g(ω):



ωl

ωl2

s = l_II/l_I,



g(ω) =

- tg θ cos

(24)

^s



то дисперсионное уравнение примет вид

У этой функции есть нули на действительной оси

(

)

ωπ

⁽ ωsπ

и нет полюсов. Расходимости, появляющейся при

sin

+ sin

sin

= 0. (20)

суммировании по всем частотам, можно избежать,

(1 - x)²

1+s

вводя регуляризующий множитель e^-αω, где α —

Это уравнение можно решить различными способа-

малый положительный параметр. Кроме того, при

ми. Для простоты ограничимся случаем малого от-

вычислении энергии нулевых колебаний при ненуле-

ношения натяжений, x → 0. Тогда спектр собствен-

вых значениях θ проводится деление на sin²(ωl/v),

ных значений для двух частей струны разбивается

так что при θ = 0 аргумент логарифма становит-

на две последовательности:

ся равным единице. Наконец, по причинам, которые

мы объясним ниже, проводится деление на постоян-

ω_n(s) = (1 + s)πn/l,

(21)

ную величину (1 + tg² θ). Таким образом, получаем



ω_n(s-1) = (1 + s-1)πn/l.

(22)

sin(ωl/v)- tg θ cos(ωl/v)2

g(ω) →



(25)



sin(ωl/v)

1 + tg2 θ

Из этих выражений хорошо видно характерное от-

личие предлагаемой модели: собственные частоты в

На мнимой оси, где ω = iξ, имеем

выражениях (21) и (22) пропорциональны n. В мо-

1 + tg2 θcth²(ξl/v)

дели составных струн нет характеристик, которые

g(iξ) =

(26)

1 + tg2 θ

делали бы уравнение на собственные значения неод-

нородным, как уравнение (11).

видно, что g(iξ) → 1 при ξ → ±∞. Эти экстремаль-

Интересно также провести сравнение с так на-

ные точки, вместе с другими точками на большой

зываемой квантовой пружиной [19]. В такой системе

полуокружности, не дают вклада. Таким образом,

рассматриваются колебания безмассового скалярно-

при T = 0 для энергии Казимира можно записать

го поля при наличии спиральных граничных усло-

∞

∫

вий, при этом сила Казимира, параллельная оси

E_C = -

ln g(iξ) dξ.

(27)

спирали, аналогична упругой силе пружины. В этом

2π

dξ

случае собственные значения становятся неоднород-

Выполним интегрирование по частям, заметив,

ными при целых n, причем неоднородность возника-

что граничные члены при ξ = 0 и ξ = ∞ не да-

ет из-за шага спирали.

ют вклада. Окончательно, после введения регуляри-

зующего множителя, энергия Казимира принимает

3.2. Метод интегрирования по контуру

вид

При вычислении энергии нулевых колебаний

∫

∞

⁽1 + tg2 θcth²(ξl/v)⁾

сумму по n можно выразить как интеграл по кон-

E_C =

e^-iαξ ln

dξ.

(28)

2π

1 + tg2 θ

туру, используя тот факт, что любая мероморфная

функция g(ω) удовлетворяет уравнению

Преимущество метода интегрирования по контуру

∮

∑

состоит в том, что это выражение легко обобщить

ln g(ω) dω =

ω₀ -

ω_∞,

(23)

2πi

dω

на случай конечных температур. Общая подстанов-

ка имеет вид

где ω₀ соответствует нулям, а ω_∞ — полюсам g(ω)

∫

∞

′

внутри контура интегрирования. Выберем этот кон-

∑

ℏ dξ → 2πk_B T

(29)

тур в виде полуокружности большого радиуса R на

n=0

правой полуплоскости ω, которая замыкается пря-

мой линией, проходящей из точки ω = iR в точ-

(это выражение записано в размерных единицах),

ку ω = -iR. Подробное описание этой процедуры,

где штрих означает, что слагаемое с n = 0 берет-

обычно называемой принципом аргумента, приведе-

ся с половинным весом. Дискретные мацубаровские

но, например, в работе [20]. Применение этого прин-

частоты имеют вид

ципа к теории Казимира было предложено в рабо-

2π

те [21].

ξ_n =

nk_BT,

ℏ

899

А. Джахан, И. Бревик

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

где n = 0, 1, 2, . . . Соответственно, при конечных T

(в случае высоких температур множитель обрезания

свободная энергия Казимира принимает вид

не играет роли).

Полезно сравнить полученный результат с выра-

∑

жением для свободной энергии Казимира для вы-

FC (T ) = kBT

e-iαξn ×

соких температур для пары проводящих пластин,

n=1

разделенных щелью шириной a [1]:

⁽1 + tg2 θ cth²(ζ_nl/v)⁾

× ln

(30)

k_BT

1 + tg2 θ

F_C(plates) = -

ζ(3) -

e-4πkBTa.

(33)

8πa²

4πa²

где суммирование проведено начиная с n = 1, что-

Можно сделать следующие выводы.

бы избежать расходимости при n = 0. Опять, по по-

1. Первый и главный член в выражении (33), про-

строению, при θ = 0 энергия Казимира F_C (T ) стано-

порциональный T , в выражении (32) отсутствует.

вится равной нулю. Между состояниями с высокими

Этот член соответствует n = 0 при наличии внешне-

и низкими температурами имеются различия. Есть

го электромагнитного поля и соответствует класси-

две естественные частоты: первая — тепловая час-

ческой теории. В предложенной нами модели случай

тота ω_T = k_BT/ℏ, а вторая — геометрическая час-

n = 0 не играет существенной роли.

тота ω_geom = 2πc/l, связанная с размером системы.

2. Первый член в выражении (32) и второе сла-

Состояние с высокой температурой характеризуется

гаемое в выражении (33) аналогичны, поскольку со-

большим значением отношения частот ω_T /ω_geom, а

держат T , умноженную на убывающую экспоненту,

именно,

в показатель которой входит T . В этих экспонентах

ω_T

k_BTl

ξ₁l

l/v соответствует πa.

≫ 1.

(31)

ω_geom

2πℏc

(2π)²ℏc

3. При фиксированном T свободная энергия в

выражении (32) достигает максимального значения

Для состояния с низкой температурой этот пара-

при θ = π/2. Аналогичное поведение было получено

метр мал.

выше для случая T = 0.

4. Наконец, выражение (32) и второе слагае-

3.2.1. Высокие температуры

мое в выражении (33) имеют противоположные зна-

ки. Мы уже обсуждали это выше. Это можно так-

При низких температурах выражение (30) име-

же проиллюстрировать с помощью следующего рас-

ет сложный вид вследствие того, что функция cth в

суждения: предположим, что наша струнная си-

области частот n ∈ [1, ∞] сильно изменяется. Для

стема медленно перемещается из точки β в точку

вычислений можно использовать формулу Эйле-

β +dβ при постоянной температуре. Для этого про-

ра - Маклорена или формулу Абеля - Плана, одна-

цесса требуется положительная внешнняя работа,

ко мы ограничимся случаем высоких температур.

при этом свободная энергия Казимира увеличива-

Для этого случая вычисления проводить несложно

ется. При наличии электромагнитного поля, если

и, кроме того, можно получить характеристические

пластины перемещаются из точки a в точку a + da,

свойства нашей механической системы. С учетом то-

также требуется положительная внешняя работа.

го, что

В этом смысле оба случая аналогичны друг другу.

Различие заключается в том, что струнная система

cth z ≈ 1 + 2e-2z при z ≫ 1,

приближается к состоянию с максимальной энерги-

заметим, что аргумент логарифма в формуле (30)

ей при θ = π/2, в то время как система пластин

можно заменить выражением

приближается к состоянию с a = ∞, когда свобод-

ная энергия равна нулю. В этом причина различия

1 + 4sin2 θe-2z,

знаков свободных энергий Казимира.

где

3.2.2. Другие термодинамические потенциалы

z = ξ_nl/v.

Интересно также вычислить другие термодина-

Основной вклад дает низшая мода при n = 1. Таким

мические потенциалы, по-прежнему полагая, что

образом, для высоких температур получаем следу-

температура является высокой. В этом случае, ис-

ющее выражение для свободной энергии (ℏ = 1):

пользуя общую формулу

F_C(T) = 4k_BT sin² θe-4kBTl/v

(32)

S = -∂F/∂T,

900

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Энергия Казимира открытой струны. . .

нетрудно вычислить энтропию Казимира системы

Матрица K^αβ(z, z^′) имеет явный вид

S_C. Получаем

⎡

⎤

πr

(

)

cos

(z - z^′)

- sin

(z - z^′)

4k_BTl

⎥

S_C = -4k_B sin² θ

e-4kBTl/v.

(34)

K^αβ =^⎣

⎦,

(40)

πr

sin

(z - z^′)

cos

(z - z^′)

Это выражение может иметь тот или иной знак в

зависимости от величины отношения 4k_BT l/v. Для

который можно получить, используя представления

других случаев хорошо известно, см., например, ра-

в виде рядов Фурье:

боты [22,23], что энтропии Казимира могут быть от-

рицательными. Противоречия второму закону тер-

∑

πnz

πnz^′

cos

= δ(z - z^′),

(41)

модинамики нет, поскольку мы имеем дело лишь с

n=-∞

частью полной системы, а второй закон термодина-

∑

πnz

πnz^′

мики применим только к полной системе. Для не

sin

= δ(z - z^′).

(42)

слишком высоких температур энтропия S_C < 0. Ес-

n=-∞

ли 4k_BT l/v > 1, то энтропия S_C становится положи-

Второе из равенств (39) есть ни что иное как

тельной, однако ее величина экспоненциально убы-

вает. При T → ∞ энтропия S_C → 0.

K^αβ(z, z^′)|z=z′ = δ^αβ.

Внутреннюю энергию Казимира U_C можно най-

ти, воспользовавшись соотношением

Из выражения (40) следует, что

F = U - TS.

=δ^αβ,

K^αβ(z, z^′)|r=0

Получаем

)

откуда следует, что функция Грина является диаго-

⁽4k_BTl

U_C = 4k_BT

sin² θe-4kBTl/v.

(35)

нальной, если стержни параллельны. Функцию Гри-

на G^αβ можно разложить по собственным модам

Это выражение всегда положительно.

(36) и (37):

∞

∫

4. ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВОЙ ПОДХОД:

dω

G^αβ(t - t^′; z, z^′) =

eiω(t-t′)g^αβ(ω; z, z^′),

(43)

ФУНКЦИЯ ГРИНА

2π

-∞

Теперь рассмотрим проблему с помощью теоре-

где

тико-полевого подхода, где главное — найти функ-

∑

u^αn(z)u^βn(z^′)

цию Грина. В данном разделе мы будем учитывать

g^αβ(ω; z, z^′) =

(44)

λ_n(ω)

n=-∞

всю частотную область, включая и отрицательные

частоты, так что n ∈ [-∞, ∞]. Собственные моды,

при этом собственные значения равны

определяемые как

ω²

λ_n(ω) = k2n -

(45)

u1n(z) =

√

cos(k_nz + θ₁),

(36)

v²

Используя выражения (39), (43) и (44), получаем

u2n(z) =

√

sin(k_nz + θ₁),

(37)

)

удовлетворяют соотношениям ортогональности

⁽ 1 ∂2

∂²

G^αβ(t - t^′; z, z^′) =

v² ∂t²

∂z²

∫l

∑

= δ^αβδ(t - t^′)δ(z - z^′).

(46)

u^αn′ (z)u^αn(z) =

dz cos z(k_n - k_n′ ) =

α=1

= δ_n′_n

(38)

5. АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ВЫВОД ЭНЕРГИИ

КАЗИМИРА ПРИ T = 0

и замкнутости

∑

Энергия нулевых колебаний в терминах функ-

u^αn(z)u^βn(z^′) = K^αβ(z, z^′)δ(z - z^′) ≡

ции Грина имеет вид [1]

n=-∞

≡ δ^αβδ(z - z^′).

(39)

E₀ =

Tr ln G^αβ (t - t^′; z, z^′),

(47)

901

А. Джахан, И. Бревик

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

где T

— (бесконечный) временной интервал. Для

(напомним, что r

= θ/π). Вычтем контрчлен

функции Грина (43), используя выражения (44) и

E_counter, соответствующий точке r = 0, после чего

(38), получаем энергию нулевых колебаний в виде

получим выражение для энергии Казимира:

πv

∫

∞

(

)

E_C = E₀ - E_counter =

r(1 - r).

(55)

∑

dω

ω²

E₀ =

ln k2n -

(48)

2π

v²

Приведенные результаты согласуются с результата-

n=-∞

-∞

ми, полученными ранее в разд. 3 (причина, по ко-

торой выражения (54) и (55) аналогичны, соответ-

Выполнив евклидово вращение ω → iξ и непосред-

ственно, выражениям (16) и (18), состоит в том, что

ственно используя регуляризацию посредством дзе-

в настоящем разделе мы учитываем весь интервал

та-функции Римана

n ∈ [-∞,∞]).

∑

С точки зрения теоретико-полевого подхода,

1 = 1 + 2ζ(0) = 0,

(49)

уравнение (54) воспроизводит потенциал Люшера,

n=-∞

если стержни параллельны (θ = 0) или антипарал-

лельны (θ = π). В обоих случаях струна удовлет-

перепишем выражение (48) в виде (см. Приложение)

воряет граничным условиям Неймана - Неймана и

∞

]

Дирихле - Дирихле. При θ = π/2 концы струны удо-

∫

[(

)₂

∑

влетворяют граничным условиям Неймана - Дирих-

E₀ =

dκ

+κ²

ле, а энергия нулевых колебаний (54) достигает мак-

n=-∞

симального значения (см. [14]):

∫∞

[

]

× dκ ln(1-e-2πκ-2iθ)+ ln(1-e-2πκ+2iθ) ,

(50)

πv

E₀|_max =

где

ωl

6. ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ

κ=

ЗАМЕЧАНИЯ

πv

Во второй строке выражения (50) мы пренебрегли

Есть несколько вариантов теории Казимира для

второстепенными квадратично расходящимися чле-

струнной системы. Как было отмечено выше в

нами. Теперь, чтобы вычислить последние интегра-

разд. 3, имеется связь между предложенной в на-

лы в выражении (50), разложим в ряд логарифм для

стоящей работе теорией и теорией кусочно-непре-

заданного комплексного числа Z:

рывной струны. Еще один вариант, который требу-

ет дальнейшего исследования, — это теория Кази-

∑

Z^m

мира для струны, имеющей электрические заряды

ln(1 - Z) = -

(51)

на концах и взаимодействующей с внешним элек-

m=1

тромагнитным полем. Эта теория рассматривалась

при условии, что |Z| < 1. Тогда можно записать

в работе [25]. Представляют интерес сходства и раз-

личия между теорией, учитывающей наличие элек-

∫

∞

(

)

∑

e±2imθ

тромагнитного поля, и теорией, предложенной в на-

dκ ln

1-e±2iθe-2πκ

(52)

m²

стоящей работе. Во-первых, оказалось, что основ-

m=1

ные волновые уравнения для обеих теорий в основ-

ном те же самые; см. уравнение (3), приведенное вы-

Подставим соотношение (52) в выражение (50) и

ше. Во-вторых, оказалось, что для них различаются

используем тождество [24]

граничные условия. В теории струн, учитывающей

наличие электромагнитного поля, координатами яв-

^∑ cosmx

π²

πx

x²

(53)

ляются величины x^μ(τ, σ), см. [25], где τ — времен-

m²

m=1

ная координата, а σ — координата вдоль струны, а

граничные условия состоят в том, что концы при

после чего получим выражение для энергии нулевых

σ = 0 и σ = π остаются в покое. Это означает, что

колебаний:

и электромаг-

на концах струны упругая сила T x^′μ

(

)

∑

cos2mθ

πv

нитная сила qF_μν (x) x^ν находятся в равновесии:

E₀ = -

r² - r +

(54)

m²

m=1

Tx^′μ + q_iF_μν(x) x^ν = 0, i = 1,2,

(56)

902

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Энергия Казимира открытой струны. . .

где q₁ и q₂ — заряды на концах струны. До неко-

Финансирование. Работа И. Б. выполнена

торой степени, это граничное условие аналогично

при финансовой поддержке Research Council of

условию, используемому в нашей модели, при этом

Norway, Project 250346. Работа А. Дж. выполнена

мы также требуем, чтобы положения концов стру-

при финансовой поддержке Research Institute for

ны были фиксированы для любых t, как следует

Astronomy and Astrophysics of Maragha (RIAAM),

из уравнений (4) и (5), приведенных выше. Однако

Project 1/6025-65.

имеется важное различие: при наличии электромаг-

нитного поля граничные условия являются динами-

ческими, поэтому на концах струны упругая и элек-

ЛИТЕРАТУРА

тромагнитная сила находятся в равновесии. В на-

K. A. Milton, The Casimir Enegy: Physical Manifes-

шем случае условия являются, наоборот, чисто гео-

tations of Zero-Point Energy, World Scientific, Sin-

метрическими по своей природе, что не имеет пря-

gapore (2001).

мого отношения к силам, действующим на концах.

Тем не менее, несколько удивительным оказался

M. Lüscher, K. Symanzik, and P. Weisz, Nucl. Phys.

тот факт, что полученные для обоих случаев резуль-

B 173, 365 (1980).

таты хорошо согласуются между собой. Например,

M. Lüscher, Nucl. Phys. B 180, 317 (1981).

полученное выражение для энергии нулевых колеба-

ний (54) в точности совпадает с выражением (5.31)

O. Alvarez, Phys. Rev. D 24, 440 (1981).

из работы [25] для струны, движущейся во внеш-

L. Hadasz, G. Lambiase, and V. V. Nesterenko, Phys.

нем магнитном поле. Несмотря на то что физиче-

Rev. D 62, 025011 (2000).

ские модели различаются, это согласие указывает на

I. Brevik, A. A. Bytsenko, and B. M. Pimentel in:

устойчивость метода регуляризации при различных

Theoretical Physics, 2002, ed. by T. F. George and

физических условиях, в особенности при использо-

H. F. Arnoldus, Nova Science Publishers (2003).

вании дзета-функции Гурвица.

I. Brevik and H. B. Nielsen, Phys. Rev. D 41, 1185

(1990).

ПРИЛОЖЕНИЕ

I. Brevik and E. Elizalde, Phys. Rev. D 49, 5319

Чтобы вычислить бесконечную сумму в первой

(1994).

строке выражения (50), запишем

I. Brevik and H. B. Nielsen, Phys. Rev. D 51, 1869

∑

∏

(1995).

ln(n2r + κ²) = ln

(n2r + κ²) =

10.

E. D’Hoker and P. Sikivie, Phys. Rev. Lett. 71, 1136

n=-∞

(1993).

[

]

∏

11.

E. Elizalde and S. Odintsov, Class. Quant. Grav. 12,

= ln

(n_r + iκ)

(n_r - iκ)

(A.1)

2881 (1995).

n=-∞

12.

G. Lambiase and V. V. Nesterenko, Phys. Rev. D 54,

где n_r = n + r. Тогда, поскольку

6387 (1996).

∏

⁽πx⁾

(nx + y) = sin

(A.2)

13.

H. Кleinert, G. Lambiase, and V. V. Nesterenko,

Phys. Lett. B 384, 213 (1996).

n=-∞

получаем

14.

A. Jahan and S. Sukhasena, Int. J. Mod. Phys. A 33,

1850097 (2018).

∑

ln(n2r + κ²) =

15.

R. de L. Kronig and W. G. Penney, Proc. Roy. Soc.

n=-∞

London A: Math., Phys., Eng. Sciences 130, 499

= ln sh π(κ + ir) + ln sh π(κ - ir). (A.3)

(1931).

16.

E. Elizalde, S. D. Odintsov, A. Romeo, A. A. Bytsen-

ko, and S. Zerbini, Zeta Regularization Techniques

with Applications, World Scientific, Singapore (1994).

Благодарности. И. Б. благодарит В. Нестерен-

ко за полезную информацию.

17.

E. Elizalde, Ten Physical Applications of Spectral

Zeta Functions, Springer, Berlin (1995).

903