ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 5 (11), стр. 989-1002

СПИН-ВОЛНОВОЙ РЕЗОНАНС В

НАНОСТРУКТУРЕ (Fe0.82Ni0.18)/V

А. Б. Ринкевич^*, Д. В. Перов^**, Е. А. Кузнецов, В. В. Устинов

Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620108, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 13 мая 2019 г.,

после переработки 13 мая 2019 г.

Принята к публикации 17 мая 2019 г.

Исследовано прохождение электромагнитных волн миллиметрового диапазона через наноструктуру

(Fe0.82Ni0.18)/V. Измерены зависимости коэффициента прохождения от внешнего магнитного поля. На

частотах 26-35.6 ГГц и 37-38 ГГц на зависимости виден минимум, вызванный поглощением энергии при

условии ферромагнитного резонанса. В узком интервале частот около 36 ГГц наблюдается сложная кар-

тина резонансных явлений, обусловленных ферромагнитным и спин-волновым резонансами. Выполнен

расчет полевой зависимости коэффициента прохождения. Установлено, что модель однородной ферро-

магнитной металлической пластины, использованная в расчете, позволяет воспроизвести некоторые чер-

ты резонансных изменений коэффициента прохождения, вызванных ферромагнитным и спин-волновым

резонансами.

DOI: 10.1134/S0044451019110154

работах [10, 11]. Было экспериментально подтверж-

дено присутствие щелей в спектре спиновых волн,

обусловленных периодической модуляцией об-

1. ВВЕДЕНИЕ

менного взаимодействия в сверхрешетках

[12].

Из спектров спин-волновых резонансов в метал-

Использование эффектов спинтроники для

лических пленках и наноструктурах получены

управления распространением спиновых волн

данные о спин-волновой жесткости и константах

предоставляет новые возможности для реализации

поверхностной анизотропии [13].

наноосцилляторов, а также для преобразования

спиновых токов в электрические и обратно [1-3]. В

Разработаны несколько методов наблюдения

теоретическом описании распространения спиновых

спин-волновых резонансов

[14-16]. При иссле-

волн в пленках и наноструктурах требуется учет

довании металлических пленок и наноструктур

магнитно-дипольного и обменного взаимодействий,

необходимо принимать во внимание влияние мик-

граничных условий для спинов на границах, маг-

роволновых вихревых токов и скин-эффект [17, 18].

нитных неоднородностей

[4, 5]. Расчет спектра

Метод проникновения волн через тонкие металли-

неоднородных мод ферромагнитного резонанса в

ческие пленки и наноструктуры оказался весьма

металлических сверхрешетках выполнен в работе

эффективным, начиная с исследования ферромаг-

[6]. Наиболее существенным затруднением для

нитного антирезонанса (ФМАР) [19]. В работах

использования спиновых волн в металлических

[20, 21] этот метод был применен для изучения

наноструктурах в устройствах магноники и спинт-

микроволнового гигантского магниторезистивного

роники является их значительное затухание [7].

эффекта в обменно-связанных металлических на-

Однако существуют методы компенсации затуха-

ноструктурах. Достоинство этого метода состоит в

ния за счет спин-орбитального торк-эффекта [8, 9].

простоте интерпретации результатов: относительное

Спектры спин-волновых резонансов в трехслойных

изменение коэффициента прохождения микроволн

наноструктурах и сверхрешетках исследованы в

через наноструктуру равно относительному магни-

тосопротивлению, если измерение выполнено вдали

^* E-mail: rin@imp.uran.ru

от условий ферромагнитного резонанса (ФМР).

^** E-mail: peroff@imp.uran.ru

Совместное измерение микроволнового магнито-

989

А. Б. Ринкевич, Д. В. Перов, Е. А. Кузнецов, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

сопротивления и ФМР осуществлено на волнах

зованы для исследования магнитной анизотропии.

миллиметрового диапазона [22]. В работе [23] иссле-

Кроме того, в работе [30] было установлено присут-

дован микроволновой магниторезистивный эффект

ствие в сверхрешетках билинейного и биквадратич-

в спиновых клапанах.

ного межслоевых обменов. Электронная структура,

Экспериментально и теоретически изучено про-

магнитные моменты и температура Кюри сверхре-

никновение электромагнитных волн миллиметрово-

шеток Fe/V были теоретически рассмотрены в ра-

го диапазона через пленки пермаллоя [24]. Наблю-

боте [31]. Параметры решетки наноструктур Fe/V,

дались ферромагнитный резонанс, принадлежащий

насыщенной водородом для изменения межслоевого

акустической ветви спектра, антирезонанс, а также

обменного взаимодействия, были тщательно иссле-

спин-волновой резонанс (СВР). Для серии пленок

дованы методом рентгеновской дифракции [32]. Бы-

определена постоянная затухания Гильберта и пока-

ло установлено, что присутствие водорода приводит

зано, что с ростом толщины пленки постоянная за-

к увеличению объема решетки.

тухания уменьшается. Метод расчета резонансных

В настоящей работе детально исследовано

явлений, который дает возможность изучать вли-

прохождение электромагнитных волн на часто-

яние закрепления спинов на ФМР, ФМАР и СВР,

тах от

ГГц до 38 ГГц через наноструктуру

предложен в работе [25].

[Fe0.82Ni0.18(1.03 нм)/V(1.9 нм)]100/Pd(6 нм) и

Исследовано пространственное распределение

определен спектр резонансов. Выполнен анализ

амплитуд собственных волн в пластине в условиях

резонансных особенностей коэффициента про-

резонансов [26,27]. Выполненные в работе [27] расче-

хождения волн. Проведен расчет зависимости

ты показали, что пространственное распределение

коэффициента прохождения от магнитного поля

амплитуды собственных волн в пластине из пер-

и проведено сравнение с экспериментом. Установ-

маллоя оказалось приблизительно одинаковым как

лено, что наблюдаемая в эксперименте сложная

при слабом, так и при сильном закреплении спинов

структура резонансных особенностей вызвана

на границах пленки. Разумеется, пространственное

присутствием ферромагнитного и спин-волнового

распределение амплитуд собственных волн сильно

резонансов. Структура изложения материала в

зависит от соотношения между толщиной пленки и

статье следующая. Сначала рассмотрен способ

скин-глубиной. Существует различие в простран-

расчета коэффициента прохождения электромаг-

ственном распределении собственных мод в полях,

нитных волн через металлическую пластину и его

соответствующих условиям ФМР, СВР и ФМАР.

зависимости от магнитного поля. В последующем

Особенно значительное различие существует меж-

результаты расчетов будут сравниваться с измерен-

ду распределением электромагнитно-подобной и

ными зависимостями коэффициентов прохождения

антиларморовской волн в условиях ФМР и СВР.

и отражения от магнитного поля. Затем изложены

В данной работе теоретически и эксперименталь-

сведения о приготовлении и аттестации образ-

но исследуется спин-волновой резонанс в нанострук-

ца. В следующем разделе приведены результаты

туре [Fe0.82Ni0.18(1.03 нм)/V(1.9 нм)]100/Pd(6 нм).

микроволновых исследований коэффициента про-

Эта наноструктура выбрана с учетом двух обстоя-

хождения. Здесь выполнено детальное исследование

тельств. Во-первых, наноструктуры близкого соста-

резонансных особенностей коэффициента прохож-

ва Fe/V имеют знакопеременную константу межсло-

дения. Далее проведен анализ этих результатов

евого обменного взаимодействия в зависимости от

и выполнено сопоставление результатов расчета

толщины спейсера V [28, 29]. Кроме того, слои Fe,

с экспериментом. В Заключении суммированы

прилегающие к интерфейсам, имеют уменьшенную

основные результаты.

намагниченность, возможно, из-за того, что в приле-

гающих к интерфейсам слоях V индуцируется маг-

нитный момент, имеющий противоположное направ-

2. РАСЧЕТ ЗАВИСИМОСТИ

ление по сравнению с моментами слоев Fe [29]. Во-

КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И

вторых, выбрано большое число пар слоев — 100 —

ОТРАЖЕНИЯ ОТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

и суммарная толщина слоев Fe0.82Ni0.18 и V состав-

ляет около 293 нм. В наноструктуре столь боль-

В изучении спиновых волн в ферромагнитных

шой толщины на волнах миллиметрового диапазона

металлах значительную роль сыграла работа [33],

возможно достижение условий спин-волнового резо-

в которой было получено и решено дисперсионное

нанса. Ферромагнитный резонанс в сверхрешетках

уравнение для волн в металлической ферромагнит-

Fe/V был изучен в работе [30], и результаты исполь-

ной пластине с учетом закрепления спинов на гра-

990

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Спин-волновой резонанс в наноструктуре (Fe0.82Ni0.18)/V

(3)

1 ∂

4πσ

e(0,0,e

)

rotE = -

(H + 4πM), rotH =

(1)

c ∂t

k(0,k ,0)_s

(3)

[

)

h(h

,0,0)

1 ∂M

⁽ 2A

=M× H+

∇²M -

e(0,0,e

(4)

)

∂t

M²

(

)

(

)

)]

⁽ 2A

k(0,k ,0)_c

M× H+

∇²M

(2)

(4)

γM2s

M²

h(h

,0,0)

(1)

e(0,0,e

)

H, M

(2)

где M — намагниченность, σ — проводимость ме-

e(0,0,e

)

k(0,k ,0)_n

талла, c — скорость света в вакууме, A — обменный

k(0,k ,0)_a

(2)

m(m

,0)

параметр, M_s — намагниченность насыщения, γ =

(1)

(2)

= g|e|/2mc — гиромагнитное отношение, g — фактор

h(h

,0,0)

h(h

,0)

спектроскопического расщепления, e и m — заряд

и масса электрона, G — постоянная Гильберта, ха-

Рис. 1. Схема расположения векторов в задаче падения

волны на намагниченную металлическую пластину

рактеризующая затухание в магнитной системе, t —

время.

Решение системы уравнений (1) и (2) для опре-

деления дисперсии волн было найдено в работе [33].

ницах. Теория распространения спиновых волн в

металлах была развита во многих работах, напри-

Проведя линеаризацию уравнений (1) и (2), можно

мер [34,35], а проблема влияния закрепления спинов

получить дисперсионное уравнение вида

на границе ферромагнитной пленки рассмотрена в

K⁶ - C₁K⁴ + C₂K² - C₃ = 0,

(3)

работах [36, 37]. Результаты исследования магнит-

ных колебаний и волн в ферромагнитных пласти-

из которого находятся волновые числа для собствен-

нах изложены в монографии [38]. Рассмотрим про-

ных волн в металле. Существует три решения урав-

хождение электромагнитных волн через ферромаг-

нения (3): K₁, K₂, K₃. Этим решениям соответству-

нитную металлическую пленку и отражение волн от

ют волновые числа k_n, n = 1, 2, 3; k_n = K_n/εδ. Бу-

нее, следуя работам [24, 25, 33]. Пусть плоская элек-

дем использовать следующие значения цифрового

тромагнитная волна падает слева на систему, со-

индекса n для волновых чисел k_n и K_n: «1» — анти-

стоящую из тонкого, от единиц ангстрем до единиц

ларморовская спиновая волна (ALS); «2» — лармо-

микрон, слоя ферромагнитного металла и пластины

ровская спиновая волна (LS); «3» — электромагнит-

немагнитного диэлектрика. Расположение системы

но-подобная спиновая волна (ELS).

координат и полей показано на рис. 1. Намагничен-

Коэффициенты C_i в уравнении (3) выражаются

ность M и магнитное поле H состоят из постоян-

формулами

ной (не зависящей от времени) и микроволновой ча-

(

)

αΩ

стей, электрическое поле E содержит только микро-

C₁ = 1 + 2η + 2i ε² +

1+α²

волновую компоненту. Амплитуда микроволнового

магнитного поля во много раз меньше постоянного

(

)

магнитного поля. Электромагнитная волна с волно-

C₂ = (1 + η)

4iε² + η

вым вектором Γ падает из области 1 (вакуум) на ме-

[

(

)]

таллическую ферромагнитную пленку (область 2) с

−

Ω+α

4ε² - i (1 + 2η)

1+α²

толщиной d₂ и проводимостью σ. Далее волна про-

[

]

ходит в диэлектрическую подложку (область 3) с

C₃

= 2iε2 (1 + η)2 -

(Ω - 2iα(1 + η))

толщиной d_s и диэлектрической проницаемостью ε_s.

1+α²

В областях 2 и 3 происходят отражения волн на гра-

Здесь η = H/4πMs — нормированная напряжен-

ницах и интерференция. Из области 3 волна перехо-

ность внешнего постоянного магнитного поля, Ω =

дит в область 4 (вакуум).

= ω/4πM_sγ — нормированная круговая частота,

Используем систему уравнений, связывающих

α = G/M_sγ — нормированный безразмерный пара-

√

электрическое поле E и магнитное поле H в метал-

метр затухания, ε = (1/M_sδ)

A/2π — нормирован-

ле, состоящую из уравнений Максвелла и уравнения

ный обменный параметр, K_n = k_nεδ — нормирован-

√

Ландау - Лифшица движения магнитного момента

ное волновое число n-й моды, δ = c/

2πωσ — глу-

с учетом обменного взаимодействия и затухания в

бина скин-слоя, ω = 2πf — круговая частота, соот-

магнитной системе:

ветствующая частоте f.

991

А. Б. Ринкевич, Д. В. Перов, Е. А. Кузнецов, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Для нахождения амплитуд волн систему (1), (2)

Суммарные поля, определяемые суперпозицией

нужно дополнить граничными условиями для полей

вкладов всех трех мод спиновых волн, распростра-

и спинов. Запишем граничные условия на границе

няющихся в пластине, могут быть найдены по фор-

между областями 1 и 2 при y = 0:

мулам

h(1)x = h(2)x, e(1)z = e(2)z,

∑

hxΣ (t, y) =

hxn , hyΣ (t, y) =

hyn ,

(11)

∂m_x

∂m_y

(4)

= 0, A

+ K(0)sm_y = 0.

n=1

∂y

∑

На границе металлической пленки и диэлектри-

mxΣ (t, y) =

mxn, myΣ (t, y) =

myn.

(12)

ческой подложки (области 2 и 3) при y = d₂ гранич-

n=1

ные условия имеют вид

Выражения (11), (12) описывают структуру вы-

h(2)x = h(3)x, e(2)z = e(3)z,

сокочастотных магнитных полей и намагниченности

в области 2, занятой ферромагнитной металличе-

∂m_x

∂m_y

(5)

= 0, A

- K(d2)_sm_y = 0,

ской пластиной. Суммирование проводится с учетом

∂y

фаз собственных волн. Структура волн в частичных

а между подложкой и вакуумом (области 3 и 4) при

областях 1 (до пластины) и 4 (после прохождения

y = d₂ + d_s имеем

подложки и пластины) для компоненты h_x может

быть записана, соответственно, как

h(3)x = h(4)x, e(3)z = e(4)z.

(6)

h(1)x = e-ikay + Reikay, h(4)x

= Deikc(y-d2-ds). (13)

В выражениях (4)-(6) h_i, e_i, m_i — компонен-

ты напряженности электрического и магнитного

В области 1 существуют падающая волна с еди-

микроволнового поля и намагниченности, Ks0) и

ничной амплитудой и отраженная волна с амплиту-

Ksd2) — константы закрепления (пиннинга) спинов

дой R. В области 4 существует только прошедшая

на границах пленки; они, в принципе, могут иметь

волна с амплитудой D. Выражения (13) определя-

различные значения. Ход решения системы (1), (2)

ют комплексные коэффициенты прохождения D и

с граничными условиями (4)-(6) подробно изло-

отражения R. Схема нахождения этих коэффици-

жен в работах [25,27]. Результатом расчета являют-

ентов подробно описана в работах [25, 27]. Сначала

ся амплитуды собственных волн A_n и B_n, распро-

находится решение дисперсионного уравнения (3) и

страняющихся в прямом и обратном направлениях.

определяются волновые числа всех мод в пластине,

Будем полагать, что все компоненты переменных

затем с учетом граничных условий (4)-(6) решает-

электромагнитных полей пропорциональны множи-

ся задача нахождения амплитудных коэффициентов

телям exp(iωt - k_ny). Для расчета компонент век-

A_n, B_n всех волн. Эта процедура включает в се-

торов переменного магнитного поля h_n и намагни-

бя решение системы, состоящей из десяти линейных

ченности m_n, соответствующих n-й моде спиновых

уравнений с десятью неизвестными, в том числе ам-

волн, распространяющихся в пластине, используем

плитудными коэффициентами мод и коэффициен-

следующие выражения [25, 27]:

тами прохождения D и отражения R. Данная про-

цедура описана в работе [39]. Результатом расчетов

hxn (t, y) = Re {F (k_n, y)(expiωt)} ,

(7)

в данной статье будут коэффициенты прохождения

и отражения и их зависимости от магнитного поля.

hyn (t, y) = Re {-4πv_n (k_n)F (k_n, y)(expiωt)},

(8)

Эти полевые зависимости можно будет сравнить с

mxn (t, y) = Re {u_n (k_n)F (k_n, y)(expiωt)},

(9)

результатами экспериментов.

myn (t, y) = Re {v_n (k_n) F (k_n, y)(expiωt)} ,

(10)

где

3. ПРИГОТОВЛЕНИЕ И АТТЕСТАЦИЯ

ОБРАЗЦА

F (k_n, y) = A_n (k_n) exp (-k_ny) +B_n (k_n) exp (k_ny) ,

(1.03

нм)/V(1.9 нм)]

Сверхрешетка [Fe0.82Ni0.18

K2n - 2iε

100/Pd(6 нм) была получена методом магнетронно-

u_n =

8πiε²

го распыления в высоковакуумной установке, снаб-

(

)

K4n -

2ε²i + η

K2n + 2iε² (1 + η)

женной анализатором дифракции электронов и ана-

v_n = -

лизатором остаточных газов. Напыление осуществ-

8πiε² (iΩ - α (K2n

- 1 - η))

992

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Спин-волновой резонанс в наноструктуре (Fe0.82Ni0.18)/V

M, ед. СГСМ/г

I, отн. ед.

150

10⁷

100

H || [100]MgO

10⁵

-50

10³

-100

10¹

–150

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

Н, кЭ

Рис. 2. а) Спектр малоугловой рентгеновской дифракции для сверхрешетки [(100)MgO/Fe0.82 Ni0.18(1.03 нм)/V(1.9 нм)]

100/Pd(6 нм); б) кривая намагничивания сверхрешетки

лено на подложку из полированного монокристал-

Измерения магнитных свойств были выполне-

лического оксида магния MgO(001). Перед напы-

ны на СКВИД-магнитометре MPMS-5XL. Были

лением подложка была промыта в ультразвуковой

измерены кривые намагничивания для направле-

ванне с изопропанолом и этанолом, а после загрузки

ния магнитного поля вдоль оси [100] подложки,

в высоковакуумную установку подвергнута отжигу

см. рис. 2б. Зафиксировано существенное умень-

при T = 700^◦C в течение 10 мин. Напыление осу-

шение величины намагниченности насыщения сло-

ществлялось в атмосфере чистого аргона при давле-

ев Fe0.82Ni0.18 (M_s

≈ 120 ед. СГСМ/г) по срав-

нии 5·10-3 Торр со скоростью около 3 нм/мин. Тем-

нению с величиной M_s для объемного материа-

пература подложки поддерживалась равной 330^◦C.

ла (M_s ≈ 230 ед. СГСМ/г). Это уменьшение объяс-

Верхний слой ванадия был покрыт слоем палла-

няется наличием в интерфейсах слоев Fe в окру-

дия толщиной 6 нм, чтобы предотвратить окисле-

жении атомов V с индуцированной намагниченно-

ние. Толщина слоев была выбрана таким образом,

стью и качественно согласуется с литературными

чтобы слои Fe0.82Ni0.18 соответствовали четырем, а

данными [40]. В соответствии с этими, а также

слои ванадия — семи монослоям. Образец сверхре-

опубликованными результатами [29], в сверхрешетке

шетки выращен в Университете Упсалы, Швеция.

в отсутствие внешнего магнитного поля осуществ-

Исследование образца сверхрешетки методом мало-

ляется параллельное упорядочение соседних слоев

углового рентгеновского рассеяния было выполнено

Fe0.82Ni0.18.

на дифрактометре ДРОН-3М в K_α-излучении Co с

графитовым монохроматором на первичном пучке.

На спектре на рис. 2а видны 3 брэгговских пика ин-

тенсивности I от сверхструктуры, подтверждающие

4. МИКРОВОЛНОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

строгую периодичность толщин слоев.

Структурная характеризация образца была вы-

Микроволновые измерения выполнены на час-

полнена на просвечивающем электронном микро-

тотах f от 27 ГГц до 38 ГГц с использованием

скопе JEM-200CX. Было установлено, что обра-

измерителя амплитудно-частотных характеристик

зец является псевдомонокристаллом с латеральны-

(АЧХ) и коэффициента стоячей волны. Образец по-

ми размерами кристаллитов от 5 нм до 20 нм и сла-

мещается поперек стандартного волновода разме-

бовыраженными границами между ними. Основная

ром 7.2 × 3.6 мм² таким образом, чтобы перекрыть

кристаллографическая ориентация (100), но иногда

поперечное сечение полностью. Щели между образ-

встречается ориентация (320). В некоторых обла-

цом и стенками волновода заполняются токопрово-

стях проявляются вытянутые образования в виде

дящим клеем, чтобы предотвратить паразитное про-

«паркетной структуры».

сачивание поля. Методика измерений описана в ра-

993

А. Б. Ринкевич, Д. В. Перов, Е. А. Кузнецов, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Измеритель АЧХ

Выход генератора

Вход 1

Вход 2

Падающая волна

Прошедшая волна

Отраженная волна

Рис. 3. Схема микроволновых измерений: 1 — волновод, 2 — электромагнит, 3 — направленный ответвитель, 4 — образец,

5 — поглотитель

боте [41]. Схема микроволновых измерений показана

эффектом

[20, 21]. Для образца сверхрешетки

на рис. 3.

(Fe0.82Ni0.18) /V, исследуемого в данной работе,

Сигнал с выхода генератора измерителя АЧХ по-

этот эффект мал, так как реализуется параллель-

дается на коаксиально-волноводный переход, кото-

ное упорядочение соседних слоев Fe0.82Ni0.18 в

рый возбуждает волну TE₁₀ в волноводе 1. Волна

отсутствие внешнего магнитного поля. Поэтому

падает на образец сверхрешетки 4, частично отра-

нет оснований ожидать заметного микроволнового

жается от него, частично проходит насквозь. Про-

магниторезистивного эффекта в нашем случае.

шедшая и отраженная волны через направленные

Зависимости от магнитного поля коэффициентов

ответвители 3 попадают на входы измерителя АЧХ.

прохождения и отражения для ориентации H ⊥ h,

Прошедшая волна частично попадает на поглоти-

измеренные на нескольких частотах, показаны на

тель 5, чтобы предотвратить нежелательное отра-

рис. 4. На частотах от 27 ГГц до 35 ГГц поле-

жение. Магнитное поле H ≤ 12 кЭ создается элек-

вые зависимости коэффициентов D и R имеют

тромагнитом 2. Магнитное поле лежит в плоскости

вид, типичный для сверхрешеток [22]. В области

образца, причем могут реализоваться две ориента-

ферромагнитного резонанса (ФМР) наблюдается

ции постоянного поля H: H ∥ h и H ⊥ h, h — век-

резкое уменьшение коэффициента прохождения,

тор микроволнового магнитного поля. Измеряются

вызванное поглощением электромагнитной волны,

модуль коэффициента прохождения D и отражения

см. рис. 4а,б. В полевой зависимости коэффициента

R и их изменения в магнитном поле. Относитель-

отражения регистрируется очень слабый минимум,

ные изменения модулей коэффициентов прохожде-

подобный наблюдаемому ранее для сверхрешеток

ния d_m и отражения r_m в зависимости от величины

Fe/Cr

[42]. При увеличении частоты в области

постоянного магнитного поля определяются как

f = 36-37 ГГц наблюдаются существенные измене-

ния резонансных явлений. На частоте f = 36 ГГц

|D(H)| - |D(0)|

|R(H)| - |R(0)|

d_m =

r_m =

видна сложная картина резонансных явлений. Так,

|D(0)|

|R(0)|

при небольшом увеличении частоты на рис.

4в

Мы интересуемся изменениями коэффициен-

вместо одной резонансной линии ясно виден дублет

тов прохождения и отражения, которые имеют

из двух близко расположенных линий. Сложная

резонансный характер. Помимо них, в принципе,

структура резонансов, вероятно, связана с реа-

возможны также монотонные изменения, связанные

лизацией условий спин-волновых резонансов, что

с микроволновым гигантским магниторезистивным

будет обсуждаться ниже. Дальнейшее увеличение

994

А. Б. Ринкевич, Д. В. Перов, Е. А. Кузнецов, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

d_m, %

-2

-5

-4

-10

-6

f = 33 ГГц

f = 37,5 ГГц

H || h

-8

-15

H h

-10

-20

Н, кЭ

Рис. 5. Сопоставление зависимости коэффициента прохождения от магнитного поля для двух ориентаций постоянного

магнитного поля: H ⊥ h и H ∥ h. Частоты f = 33 ГГц (а) и f = 37.5 ГГц (б)

частоты до 36.8 ГГц приводит к тому, что остается

ния при H ⊥ h на этих частотах подобна, но ам-

одна резонансная линия, но ее форма значительно

плитуда резонанса больше на более высокой час-

изменилась по сравнению с формой линии на

тоте 37.5 ГГц. В другой конфигурации полей при

более низких частотах f = 27-35 ГГц. На частоте

H ∥ h на частоте 33 ГГц резонансная особенность

f = 36.8 ГГц на высокополевом крыле резонансной

не видна, но на частоте 37.5 ГГц она наблюдает-

линии величина d_m меняет знак. Эта форма линии

ся вполне отчетливо, см. рис. 5б. Присутствие ре-

сохраняется и при дальнейшем увеличении частоты

зонансной особенности при H ∥ h отличается от

до 37.2 ГГц (рис. 4е). Асимметричную форму линии

наблюдавшегося для металлических сверхрешеток

ФМР связывают с проводимостью исследуемой

Fe/Cr ранее [22], где эта особенность отсутствует.

среды [17], по аналогии с известной формой линии

Можно обсудить две возможности, которые могут

Дайсона [43]. Отметим также, что на тех же ча-

привести к возникновению этой резонансной особен-

стотах от 36.2 ГГц до 37.2 ГГц зарегистрировано

ности. Первая — это выход вектора намагниченнос-

значительное увеличение резонансных изменений в

ти из плоскости образца, вторая — отличие тензора

коэффициенте отражения.

динамической магнитной проницаемости от полде-

ровской формы [38]. Первая возможность не пред-

Для квалификации причин, вызвавших суще-

ставляется вероятной, поскольку внешнее постоян-

ственные изменения характера резонансных явле-

ное магнитное поле, которое приводит к магнитно-

ний, важно провести измерения при двух ориента-

му насыщению образца, лежит в плоскости сверхре-

циях внешнего магнитного поля относительно мик-

шетки и нет оснований для выхода вектора намаг-

роволнового. В исследованиях, выполненных ра-

ниченности из плоскости образца. Вторая возмож-

нее на сверхрешетках Fe/Cr, было установлено, что

ность представляется более вероятной с учетом су-

ферромагнитный резонанс в прохождении наблюда-

ществования спин-волновых резонансов в близком

ется при ориентации полей H ⊥ h, а при ориен-

интервале частот f = 36-37 ГГц.

тации H ∥ h сколько-нибудь заметные изменения

коэффициента прохождения в области ФМР отсут-

Измерения резонансов на разных частотах дают

ствуют [22]. Результаты измерений для сверхрешет-

возможность восстановить спектр резонанса. Он по-

ки [Fe0.82Ni0.18(1.03 нм)/V(1.9 нм)]100/Pd(6 нм) по-

казан на рис. 6а. На зависимости, полученной при

казаны на рис. 5. Для сравнения выбраны частоты

H ⊥ h, на графике есть разрыв около частоты

33 ГГц и 37.5 ГГц, на которых в прохождении волн

36 ГГц, связанный с наложением ферромагнитного

при H ⊥ h наблюдаются резонансные минимумы с

и спин-волнового резонансов, когда затруднитель-

формой линии, типичной для сверхрешеток. Фор-

но точно определить положение ФМР. Резонансная

ма резонансной линии в коэффициенте прохожде-

особенность при H ∥ h наблюдается только в облас-

996

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Спин-волновой резонанс в наноструктуре (Fe0.82Ni0.18)/V

H_FMR, кЭ

t_FMR, %

f, ГГц

Рис. 6. а) Спектр ферромагнитного резонанса для сверхрешетки [(100)MgO/Fe0.82 Ni0.18(1.03 нм)/V: H ⊥ h темные

символы), H ∥ h (светлые символы); б) частотная зависимость величины резонансной особенности при ФМР при H ⊥ h

-1

ти частот 36.3-38 ГГц. На рис. 6б показана зави-

K_n, 10⁶

см

симость амплитуды t_FMR резонансной особенности

коэффициента прохождения при H ⊥ h. В отли-

чие от типичного увеличения амплитуды резонан-

са с увеличением частоты [22] здесь наблюдается

ALS

ELS

сложная немонотонная зависимость. В области час-

Re(k )₁

Re(k )₂

Re(k )₃

тот около 36 ГГц, где наблюдается СВР, амплитуда

Im(k )₁

Im(k )₂

Im(k )₃

ФМР уменьшается, но она значительно возрастает

при увеличении частоты свыше 36.5-37 ГГц.

5. ОБСУЖДЕНИЕ

Задачей этого раздела является решение диспер-

H, кЭ

сионного уравнения для волн в ферромагнитной ме-

таллической пластине, установление условий реали-

Рис. 7. Дисперсионные характеристики спиновых волн в

зации СВР, численный расчет полевых зависимо-

ферромагнитной пластине толщиной 290 нм на частоте

f = 36 ГГц

стей коэффициентов прохождения и отражения и

сопоставление расчетных и измеренных зависимо-

стей. Расчет будет выполнен в соответствии с поло-

жениями, приведенными в разд. 1 в приближении

эффективной среды. В этом приближении много-

Намагниченность слоев Fe0.82Ni0.18 принята равной

слойная наноструктура заменяется однородной пла-

M_s = 1285 Гс с учетом совпадения рассчитанно-

стиной с эффективной проводимостью.

го и экспериментального полей ФМР, а также маг-

Расчеты коэффициентов прохождения и отра-

нитных измерений, постоянная α = 0.0085 опре-

жения выполнены для материальных параметров,

делена из ширины линии ФМР, обменная посто-

по возможности близких к параметрам нанострук-

янная A = 5 · 10-6 эрг/см имеет типичное значе-

туры [Fe0.82Ni0.18(1.03 нм)/V(1.9 нм)]100/Pd(6 нм).

ние для сплавов Fe-Ni [38]. Толщина металла на-

Эффективная проводимость для исследуемой нано-

ноструктуры (толщина пластины) выбрана равной

структуры была определена по методу, изложенно-

d = 290 нм, что близко к толщине исследуемой на-

му в работе [41], и составила σ = 2 · 107 См/м.

ноструктуры. Параметры диэлектрической подлож-

997

А. Б. Ринкевич, Д. В. Перов, Е. А. Кузнецов, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

ки: толщина d_s = 0.5 мм, диэлектрическая проница-

На рис. 9а показано решение дисперсионного

емость ε_s = 8.5. Меньше всего определенности есть

уравнения на частоте 36 ГГц. Результаты по оси ор-

в выборе постоянных закрепления спинов на грани-

динат представлены как отношение толщины пла-

це пластины. Нами они выбраны равными на раз-

стины к длине волны в зависимости от внешнего

ных сторонах пластины Ks0) = Ksd) = 0.3 эрг/см²,

магнитного поля. Такая форма представления ре-

а численное значение выбрано по результатам се-

зультатов позволяет определить, какие четвертьвол-

рии расчетов из условия наилучшего совпадения

новые λ/4, полуволновые λ/2 и иные спин-волновые

результатов расчета и эксперимента. Результат ре-

резонансы могут реализоваться и для каких мод.

шения дисперсионного уравнения (3) на частоте

Представленные на рис. 9а результаты показыва-

= 36 ГГц показан на рис. 7. Характер реше-

ют, что в рассматриваемых условиях осуществля-

ния типичен для мод ферромагнитной металличес-

ются четвертьволновые резонансы для действитель-

кой пластины [33, 34]. Результатом расчета являют-

ной части волнового числа электромагнитноподоб-

ся комплексные волновые числа мод, рассматрива-

ной моды ELS в полях 5.76 кЭ и 6.64 кЭ. Кроме того,

емые как функции частоты волны и напряженно-

по мере изменения магнитного поля осуществляет-

сти внешнего магнитного поля. Эти данные будут

ся совпадение мнимой части волнового числа лармо-

использованы для расчетов полевых зависимостей

ровской моды LS с условиями нескольких резонан-

модулей коэффициентов прохождения и отражения.

сов от 3λ/2 до λ/4 в полях от 5.83 кЭ до 7.95 кЭ. Из

этих расчетов следует, что в ограниченной области

Результаты расчетов модуля коэффициента про-

полей на частоте 36 ГГц осуществляются условия

хождения показаны на рис. 8. На всех рассмотрен-

для целой серии спин-волновых резонансов. Прове-

ных частотах присутствует серия резонансных из-

дем сравнение расчетной и экспериментальной за-

менений коэффициента прохождения, причем с уве-

висимостей модуля коэффициента прохождения, см.

личением частоты особенности смещаются в область

рис. 9б и 9в. Можно отметить безусловное подобие

более сильных полей. Минимум коэффициента про-

формы расчетной и экспериментальной зависимо-

хождения, наиболее сильный и расположенный на

стей. Однако амплитуда резонансных особенностей

каждом графике справа, вызван поглощением мик-

на расчетной кривой в несколько раз больше. Этот

роволн в условиях однородной моды ФМР. Особен-

факт не является удивительным, так как в расчет-

ности, находящиеся слева от пика ФМР, вызваны

ной модели намагниченность M_s относится ко всей

СВР. Они имеют интерференционную природу, т. е.

толщине пластины и в резонансе участвует вся пла-

вызваны интерференцией волн на толщине пласти-

стина, а в наноструктуре в реальности в резонан-

ны, это будет более подробно рассмотрено ниже. Из

се участвуют только слои Fe0.82Ni0.18. Расчет поля

интерференционной природы следует, что измене-

ФМР по формуле Киттеля дает для частоты 36 ГГц

ния могут, в зависимости от фазовых соотношений,

значение H_FMR = 6.648 кЭ. На рис. 9б видно, что

давать особенности как отрицательного, так и поло-

в области поля ФМР присутствует «дублет» — два

жительного знака, что и осуществляется в резуль-

минимума коэффициента прохождения. Этот дуб-

татах для частоты f

= 15 ГГц, где есть особен-

лет можно трактовать как осуществление резонанса

ность положительного знака, и на более высоких

Фано [44, 45], в котором происходит взаимное влия-

частотах, где знак изменений отрицательный. При-

ние узкого резонанса ФМР, при котором происходит

надлежность особенностей к СВР следует, в част-

поглощение микроволн и серии резонансов СВР, ко-

ности, из того факта, что они пропадают в расчете

торые занимают более широкую область полей, и

при значительном уменьшении констант закрепле-

которые имеют интерференционную природу. Как

ния спинов K_s. Некоторые результаты расчета име-

видно на рис. 9в, дублет линий реализовался в экс-

ют сходство с результатами эксперимента. Ширина

перименте. Полевая зависимость модуля коэффици-

линии ФМР и поле ФМР рассчитанных зависимо-

ента отражения показана на рис. 9г, и поле миниму-

стей во всем частотном диапазоне близки к изме-

ма на этой зависимости весьма близко к рассчитан-

ренным. Основное различие расчета и эксперимен-

ному полю ФМР, так что изменения коэффициента

та заключается в том, что в расчете особенности,

отражения вызваны ФМР и резонансов СВР на этой

вызванные СВР, присутствуют в широком частот-

зависимости не видно ни в расчете, ни в эксперимен-

ном интервале, а в эксперименте они зафиксирова-

те.

ны только вблизи частоты f = 36 ГГц. Рассмотрим

Проанализируем возможность применения моде-

результаты расчета и эксперимента на этой частоте

ли однородной пластины для изучения резонанс-

более подробно.

ных электромагнитных свойств многослойной на-

998

А. Б. Ринкевич, Д. В. Перов, Е. А. Кузнецов, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

d_m, %

1.5

f = 36 ГГц

-20

1.0

ФМР

-40

0.5

-60

f = 36 ГГц

ELS

-80

Н, кЭ

d_m, %

r_m, %

–1

-0.2

-2

-0.4

-3

-0.6

–4

f = 36 ГГц

-5

-0.8

Н, кЭ

Рис. 9. Осуществление четверть- и полуволновых резонансов при f

= 36 ГГц для пластины толщиной 290 нм (а);

рассчитанные (б) и экспериментальные (в) зависимости коэффициента прохождения от магнитного поля; рассчитанная

зависимость коэффициента отражения от магнитного поля (г)

ноструктуры. Соображения относительно соотно-

шей части рассматриваемого частотного интерва-

шения амплитуд резонансов уже были высказаны

ла их влияние на коэффициент прохождения не за-

выше. В пользу допустимости модели однородной

метно. Только в случае, когда резонансы СВР на-

пластины говорит соотношение толщины отдельных

ходятся вблизи линии ФМР и реализуются усло-

слоев наноструктуры и классической скин-глубины

вия резонанса Фано, энергия однородных колеба-

δ: толщина каждого отдельного слоя во много раз

ний намагниченности в условиях ФМР «подпиты-

меньше δ. Однако в модели однородной пластины

вает» неоднородные колебания. Конечно, эта интер-

невозможно учесть закрепление спинов на грани-

претация осуществления дублета линий может рас-

цах слоев, которое, безусловно, присутствует в на-

сматриваться только как предположение. В пользу

ноструктуре. Это закрепление, в отличие от закреп-

этого предположения говорит аномальная частот-

ления спинов на границах пластины, препятству-

ная зависимость амплитуды резонансной особеннос-

ет распространению спиновых волн и снижает ам-

ти, вызванной ФМР, показанная на рис. 6б. Умень-

плитуду спин-волновых резонансов. Действительно,

шение амплитуды резонанса вблизи частоты 36 ГГц

в эксперименте амплитуда спин-волновых резонан-

может быть связано с трансформацией энергии ко-

сов значительно меньше, чем в расчете, и на боль-

лебаний в другие моды, что и привело к образова-

1000

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

Спин-волновой резонанс в наноструктуре (Fe0.82Ni0.18)/V

нию дублета. Возможность перераспределения энер-

Благодарности. Авторы благодарны проф.

гии между модами колебаний в условиях резонанса

Б. Хьёрварссону из Университета Упсала, Швеция

Фано вполне возможна [45]. Помимо этого, в модели

за предоставление образца наноструктуры.

не учитывается существование брэгговских щелей в

Финансирование.

Работа

выполнена

спектре спиновых волн [12], которые существуют в

при поддержке Российского научного фон-

периодических структурах.

да (грант

№17-12-01002). Результаты разд.

получены в соответствии с темами

«Спин»

(№ AAAA-A18-118020290104-2) и

«Функция»

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(№ АААА-А19-119012990095-0).

Изучены резонансные явления при прохожде-

нии электромагнитных волн миллиметрового диа-

ЛИТЕРАТУРА

пазона через наноструктуру [Fe0.82Ni0.18(1.03 нм)/

A. V. Chumak, V. I. Vasyuchka, A. A. Serga, and

V(1.9 нм)]100/Pd(6 нм). Измерения выполнены в ин-

B. Hillebrands, Nat. Phys. 11, 453 (2015).

тервале частот от 27 ГГц до 38 ГГц в магнитных

полях до 12 кЭ. Установлено, что в условиях фер-

B. Divinskiy, V. E. Demidov, S. O. Demokritov,

ромагнитного резонанса осцилляции намагниченно-

A. B. Rinkevich, and S. Urazhdin, Appl. Phys. Lett.

109, 252401 (2016).

сти, принадлежащие однородной моде спектра, при-

водят, как правило, к минимуму на зависимости ко-

С. А. Никитов, Д. В. Калябин, И. В. Лисенков,

эффициента прохождения от магнитного поля. Ис-

А. Н. Славин, Ю. Н. Барабаненков, С. А. Осокин,

ключение составляет узкий интервал частот около

А. В. Садовников, Е. Н. Бегинин, М. А. Морозова,

36 ГГц, где наблюдается сложная структура резо-

Ю. П. Шараевский, Ю. А. Филимонов, Ю. В. Хи-

нансных явлений, вызванных как ФМР, так и СВР.

винцев, С. Л. Высоцкий, В. К. Сахаров, Е. С. Пав-

Развит метод расчета коэффициента прохож-

лов, УФН 185, 1099 (2015).

дения волн через металлическую ферромагнитную

B. A. Kalinikos and A. N. Slavin, J. Phys. C. 19, 7013

пластину, в котором многослойная наноструктура

(1986).

заменяется на однородную пластину такой же тол-

В. А. Игнатченко, Р. С. Исхаков, ЖЭТФ 75, 1438

щины с эффективными проводимостью, намагни-

(1978).

ченностью и параметром затухания в уравнении

Ландау - Лифшица. В расчете учитывается наличие

А. Б. Дровосеков, О. В. Жотикова, Н. М. Крей-

в пластине трех типов мод спиновых волн, и реше-

нес, В. Ф. Мещеряков, М. А. Миляев, Л. Н. Ро-

нием дисперсионного уравнения находятся их вол-

машев, В. В. Устинов, Д. И. Холин, ЖЭТФ 116,

новые числа. Показано, что этот метод позволяет

1817 (1999).

правильно воспроизвести форму полевой зависимо-

K. Lenz, H. Wende, W. Kuch, K. Baberschke, K. Na-

сти коэффициента прохождения. Однако величина

gy, and A. Jánossy, Phys. Rev. B 73, 144424 (2006).

резонансных эффектов в расчете превышает наблю-

даемую в эксперименте из-за того, что у нанострук-

A. Hamadeh, O. d’Allivy Kelly, C. Hahn, H. Meley,

R. Bernard, A. H. Molpeceres, V. V. Naletov,

туры участвуют в резонансах только ферромагнит-

M. Viret, A. Anane, V. Cros, S. O. Demokritov,

но упорядоченные слои Fe0.82Ni0.18, составляющие

J. L. Prieto, M. Muñoz, G. de Loubens, and O. Klein,

только часть поперечного сечения наноструктуры.

Phys. Rev. Lett. 113, 197203 (2014).

Кроме того, в этой модели не учтено закрепление

спинов на каждой границе слоев внутри нанострук-

B. Divinsky, V. E. Demidov, S. Urazhdin, R. Free-

туры, что приводит к уменьшению резонансных осо-

man, A. B. Rinkevich, and S. O. Demokritov, Adv.

бенностей.

Mater. 30, 1802837 (2018).

Получены экспериментальные свидетельства то-

10.

С. Исхаков, Н. А. Шепета, С. В. Столяр, Л. А. Че-

го, что в области частот около 36 ГГц, где реализу-

канова, В. Ю. Яковчук, Письма в ЖЭТФ 83, 31

ется сложная картина резонансных явлений, струк-

(2006).

тура тензора динамической восприимчивости отли-

11.

Р. С. Исхаков, С. В. Столяр, М. В. Чижик,

чается от полдеровского вида. Это выражается в су-

Л. А. Чеканова, Письма в ЖЭТФ 94, 325 (2011).

ществовании резонансных особенностей в условиях,

когда векторы постоянного и микроволнового маг-

12.

Р. С. Исхаков, С. В. Столяр, Л. А. Чеканова,

нитных полей параллельны.

М. В. Чижик, ФТТ 54, 704 (2012).

1001

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

А. Б. Ринкевич, Д. В. Перов, Е. А. Кузнецов, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019

13.

И. Г. Важенина, Р. С. Исхаков, Л. А. Чеканова,

30.

P. Poulopoulos, P. Isberg, W. Platow, W. Wisny,

ФТТ 60, 287 (2018).

M. Farle, B. Hjörvarsson, and K. Baberschke, J.

Magn. Magn. Mater. 170, 57 (1997).

14.

M. Kostylev, J. Appl. Phys. 113, 053908 (2013).

31.

O. Eriksson, L. Bergqvist, E. Holmström, A. Berg-

15.

S. S. Kalarickal, P. Krivosik, M. Wu, C. E. Patton,

man, O. Le Bacq, S. Frota-Pessoa, B. Hjörvarsson,

M. L. Schneider, P. Kabos, T. J. Silva, and J. P. Ni-

and L. Nordström, J. Phys.: Condens. Matter 15,

barger, J. Appl. Phys. 99, 093909 (2006).

S599 (2003).

16.

K. Ando, J. Ieda, K. Sasage, S. Takahashi, S. Mae-

32.

G. K. Pálsson, A. R. Rennie, and B. Hjörvarsson,

kawa, and E. Saitoh, Appl. Phys. Lett. 94, 262505

Phys. Rev. B 78, 104118 (2008).

(2009).

33.

W. S. Ament and G. T. Rado, Phys. Rev. 97, 1558

17.

I. S. Maksymov and M. Kostylev, J. Appl. Phys. 116,

(1955).

173905 (2014).

34.

C. E. Patton, Czech J. Phys. B 26, 925 (1976).

18.

V. Flovik, E. Wahlström, F. Macià, and A. D. Kent,

arXiv/cond-mat.mes-hall:1412.1385v3 (2015).

35.

D. Fraitová, Phys. Stat. Sol. (b) 120, 341 (1983).

19.

Б. Гейнрих, В. Ф. Мещеряков, Письма в ЖЭТФ 9,

36.

М. И. Каганов, Юй Лу, Изв. АН СССР, Cер. физ.

618 (1969).

25, 1375 (1961).

20.

V. V. Ustinov, A. B. Rinkevich, L. N. Romashev,

37.

H. Puszkarski and P. Tomczak, Phys. Rev. B 91,

and V. I. Minin, J. Magn. Magn. Mater. 177-181,

195437 (2015).

1205 (1998).

38.

А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков, Магнитные колеба-

21.

А. Б. Ринкевич, Л. Н. Ромашев, В. В. Устинов,

ния и волны, Наука, Москва (1994).

ЖЭТФ 90, 834 (2000).

39.

A. B. Rinkevich and D. V. Perov, in Recent Research

22.

A. B. Rinkevich, L. N. Romashev, V. V. Ustinov, and

Development in Material Sciences 9, ed. by S. G. Pan-

E. A. Kuznetsov, J. Magn. Magn. Mater. 254-255C,

dalai, Research Signpost, Kirala (2012), Ch. 6, p. 157.

603 (2003).

23.

D. E. Endean, J. N. Heyman, S. Maat, and

40.

J. Izquierdo, R. Robles, A. Vega, M. Talanana, and

E. Dan Dahlberg, Phys. Rev. B 84, 212405 (2011).

C. Demangeat, Phys. Rev. B 64, 060404 (2001).

24.

А. Б. Ринкевич, Д. В. Перов, В. О. Васьковский,

41.

A. B. Rinkevich, M. I. Samoilovich, S. M. Klescheva,

В. Н. Лепаловский, ЖТФ 79, 96 (2009).

D. V. Perov, A. M. Burkhanov, and E. A. Kuznetsov,

25.

A. B. Rinkevich, D. V. Perov, and V. O. Vaskovsky,

IEEE Trans. Nanotechnol. 13, 3 (2014).

Phys. Scr. 83, 015705 (2011).

42.

В. В. Устинов, А. Б. Ринкевич, Л. Н. Ромашев,

26.

D. Fraitová, Phys. Stat. Sol. (b) 120, 659 (1983).

Е. А. Кузнецов, Письма в ЖТФ 33, 23 (2007).

27.

D. V. Perov, A. B. Rinkevich, and S. O. Demokritov,

43.

Ч. Пул, Техника ЭПР-спектроскопии, Мир, Моск-

Phys. Scr. 91, 025802 (2016).

ва (1970).

28.

G. Andersson, B. Hjörvarsson, and H. Zabel, Phys.

44.

U. Fano, Phys. Rev. 124, 1866 (1961).

Rev. B 55, 15905 (1997).

29.

D. Labergerie, C. Sutter, H. Zabel, and B. Hjörvars-

45.

A. E. Miroshnichenko, S. Flach, and Yu. S. Kivshar,

son, J. Magn. Magn. Mater. 192, 238 (1999).

Rev. Mod. Phys. 82, 2257 (2010).

1002