ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 5 (11), стр. 1016-1028
© 2019
О ТЕПЛОВЫХ УБЕГАЮЩИХ ЭЛЕКТРОНАХ И ПОЛЯРИЗАЦИИ
РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВО ВСПЫШКАХ НА СОЛНЦЕ
П. А. Грицык*, Б. В. Сомов**
Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
119234, Москва, Россия
Поступила в редакцию 11 марта 2019 г.,
после переработки 24 апреля 2019 г.
Принята к публикации 25 апреля 2019 г.
Рассматривается модель эффекта теплового убегания электронов в солнечных вспышках, основанная на
приближенном аналитическом решении кинетического уравнения с линеаризованным интегралом столк-
новений Ландау. Показано, что кулоновские столкновения делают почти изотропным поток убегающих
электронов, которые имеют очень высокую температуру. Найденная функция распределения электронов
использована для оценки поляризации тормозного жесткого рентгеновского излучения вспышек. В си-
лу малой анизотропии потока электронов поляризация их тормозного излучения не превышает 3-4 %
при энергии около 15 кэВ, что порождает большие трудности для будущих внеатмосферных наблюдений
поляризации. Кроме того, комптоновское рассеяние жесткого рентгеновского изучения на фотосфере и
неоднородность магнитного поля могут сильно исказить ожидаемые результаты и затруднить их интер-
претацию. Обсуждаются перспективы космических экспериментов по измерению поляризации жесткого
рентгеновского излучения вспышек на Солнце.
DOI: 10.1134/S0044451019110178
няющий слой со столь высокой электронной темпе-
ратурой принято называть сверхгорячим (superhot)
турбулентным токовым слоем. О присутствии в сол-
1. ВВЕДЕНИЕ
нечных вспышках сверхгорячей плазмы свидетель-
Современные лабораторные эксперименты по
ствуют радио- и рентгеновские наблюдения Солнца,
магнитному пересоединению [1, 2] и многочислен-
начиная с классической работы [16]. Проблема лишь
ные космические наблюдения Солнца [3-6] свиде-
в том, что мера эмиссии сверхгорячей плазмы при
тельствуют в пользу того, что источником энергии
температурах T1 > 108 K очень мала [17].
солнечных вспышек являются тонкие пересоединя-
Из сверхгорячего токового слоя потоки тепла в
ющие токовые слои [7, 8]. Они расположены в об-
виде тепловых волн огромной амплитуды распро-
ластях взаимодействия магнитных потоков в атмо-
страняются вдоль силовых линий магнитного поля
сфере Солнца, преимущественно в короне [9-12]. Во
в расположенные ниже слои солнечной атмосферы
время вспышек в токовых слоях энергия магнитно-
с заметно меньшей температурой T2 ≳ 106 К в ко-
го поля преобразуется в тепловую и кинетическую
роне и T2 ≲ 104 К в хромосфере. Во всех случа-
энергию плазмы и ускоренных частиц. При этом
ях T2 ≪ T1. Фронт тепловой волны является тур-
ускоренные электроны могут возбуждать плазмен-
булентным, и классическая теплопроводность в нем
ную турбулентность, приводящую к нагреву элект-
подавлена [18]. Однако, как и в случае классическо-
ронной компоненты плазмы в слое до огромных тем-
го эффекта теплового убегания, связанного только с
ператур, T1 ≳ 108 K [13]. В пользу этой гипотезы
кулоновскими столкновениями в плазме (см. § 8.4.3
свидетельствуют модельные расчеты процесса пере-
в работе [19]), электроны со скоростями больше
соединения, например [14]; обзор современного со-
некоторой критической скорости [20] практически
стояния теории см. в работе [15], § 8.3. Пересоеди-
беспрепятственно проникают через турбулентный
* E-mail: pgritsyk@gmail.com
фронт из сверхгорячей плазмы в горячую. Электро-
** E-mail: somov-boris@mail.ru
ны с меньшими скоростями остаются в сверхгорячем
1016
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
О тепловых убегающих электронах. . .
источнике. Фактически, в наших расчетах подразу-
T1
v
мевается, что электроны с кинетической энергией
v
E ≳ 10 кэВ свободно проникают через турбулент-
ный фронт.
v||
Цель данной работы — построение аналитичес-
TF
0
кой модели, которая описывает процесс распростра-
нения тепловых электронов, убегающих из сверхго-
рячей плазмы в горячую плазму и далее в хромо-
сферу, и рассмотреть вопрос о возможности изме-
T2
рения поляризации формируемого ими тормозного
излучения. Такое исследование актуально в связи
0
r
x
с увеличением точности современных космических
обсерваторий для наблюдений Солнца и, как след-
Рис. 1. Постановка задачи об электронах, которые убе-
жали из сверхгорячей плазмы с температурой T1 сквозь
ствие, необходимо для интерпретации так называе-
турбулентный фронт TF в менее горячую плазму с темпе-
мой тепловой составляющей жесткого рентгеновско-
ратурой T2: r — расстояние от турбулентного фронта до
го излучения вспышек (hν ≲ 20 кэВ).
точки, в которой необходимо найти функцию распределе-
План статьи таков. В разд. 2 сформулирована и
ния электронов. Ожидаемый вид функции распределения
решена кинетическая задача об убегающих сверхго-
условно показан в двумерном пространстве скоростей v
рячих электронах. Построено ее приближенное ре-
шение на оси потока убегающих электронов и в ее
окрестности. Приведены оценки степени анизотро-
деления электронов, убегающих в расположенную
пии потока. Обсуждена область применимости мо-
справа от турбулентного фронта область — мишень,
дели. В разд. 3 рассчитана степень поляризации тор-
имеет вид
мозного излучения убегающих электронов. Показа-
но, что в силу малой анизотропии потока электронов
fvff (0, υ, θ) =
степень поляризации не превышает 3-4 % при энер-
= fvs(υ, θ)Θ(υ - υmin)Θ(υmax - υ).
(1)
гии hν ≈ 15 кэВ. Это порождает большие трудности
для будущих внеатмосферных измерений поляриза-
Здесь υ — величина скорости электронов, θ — угол
ции жесткого рентгеновского излучения в солнеч-
между вектором скорости v и направлением магнит-
ных вспышках. Обсуждение результатов и выводы
ного поля, υmin = υcr и υmax — минимальная и
приведены в разд. 4.
максимальная скорости электронов, тета-функция
Θ(x) = 1 при x ≥ 0 и Θ(x) = 0 при x < 0. В наших
расчетах принято υmax = 100 кэВ, что определяет
2. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О
условную границу по максимальной энергии элек-
ТЕПЛОВЫХ УБЕГАЮЩИХ ЭЛЕКТРОНАХ
тронов, выше которой кулоновскими потерями мож-
но пренебречь. Условность в выборе такой верхней
2.1. Вывод модельного кинетического
границы допустима, поскольку функция распреде-
уравнения
ления нагретых электронов быстро уменьшается с
Пусть для простоты в системе координат, свя-
энергией. В формуле (1) индекс «v» указывает на
занной с фронтом тепловой волны, сверхгорячая
то, что искомая функция fv = fv(r, υ, θ) являет-
и горячая плазма занимают два полупространства:
ся функцией распределения электронов по вектору
x < 0 и x > 0, разделенные плоским тонким турбу-
скорости v. Таким образом, задача формулируется
лентным слоем TF при x = 0 (рис. 1). Будем также
как одномерная в обычном пространстве, но двумер-
считать, если не оговорено иное, что магнитное поле
ная в пространстве скоростей. Ожидаемый вид этой
однородно и направлено вдоль оси x, т. е. перпенди-
функции на расстоянии r от турбулентного фронта
кулярно к границе между сверхгорячей и горячей
TF условно показан в двумерном пространстве ско-
плазмой.
ростей на рис. 1.
Будем предполагать, что функция распределе-
С необходимостью остановимся на выборе усло-
ния электронов в источнике (область сверхгорячей
вия нормировки для функции распределения fv.
плазмы слева от турбулентного фронта) fvs обла-
С точки зрения интерпретации наблюдений сол-
дает осевой симметрией относительно направления
нечных вспышек в жестком рентгеновском излуче-
магнитного поля. Тогда граничная функция распре-
нии плотность потока энергии F на турбулентном
1017
12
ЖЭТФ, вып. 5 (11)
П. А. Грицык, Б. В. Сомов
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
фронте TF (рис. 1), переносимого инжектирован-
где n2 — концентрация электронов в горячей плаз-
ными электронами, представляет собой существен-
ме, ln Λ — кулоновский логарифм. Для простоты мы
ный физический параметр задачи, который необхо-
полагаем, что горячая плазма состоит из электро-
дим для расчета процессов, происходящих в мише-
нов и протонов с постоянной температурой T2, так
ни. Действительно, величина F учитывает различ-
что ln Λ = const. Кроме того, как было предположе-
ные характеристики спектра инжекции: концентра-
но выше, функция распределения обладает осевой
цию (число частиц в единице объема) энергичных
симметрией и поэтому в левой части кинетическо-
электронов, их минимальную и максимальную энер-
го уравнения член с магнитным полем равен нулю
гии. При моделировании конкретных вспышек ре-
(см. [19], § 4.1.1).
шается обратная задача (см., например, [21]) — ве-
В условиях солнечных вспышек на малых вре-
личина потока энергии F на границе (т.е. на турбу-
менах порядка времени кулоновских столкновений
лентном фронте TF) восстанавливается по наблю-
в плазме мишени процесс инжекции сверхгорячих
даемой интенсивности жесткого рентгеновского из-
электронов можно рассматривать как стационар-
лучения в хромосферных основаниях вспышечных
ный, а их распределение в мишени — как устано-
петель, поскольку мера эмиссии в короне невелика
вившееся. По этой причине в кинетическом уравне-
и жесткое рентгеновское излучение не всегда наблю-
нии (3) можно пренебречь производной ∂fv/∂t. Кро-
дается. Напротив, в хромосферных основаниях оно
ме того, удобно переписать кинетическое уравнение
почти всегда присутствует, причем в спектре раз-
в следующих безразмерных переменных и парамет-
личимы две компоненты — тепловая и нетепловая.
рах:
Функция распределения электронов нормируется на
μ = cosθ,
поток энергии следующим образом:
∫
r
∫
πe4 lnΛ
mυ2
s=
n2(x)dx
F [эрг·см-2·с-1] = fv(0, υ, θ) υ cos θ
d3v. (2)
2
(kB T1)
2
0
Для нахождения функции распределения убега-
— отношение глубины проникания сверхгорячих
ющих электронов fv в горячей плазме воспользуем-
электронов в мишень к длине их свободного пробега
ся кинетическим уравнением с интегралом столкно-
в сверхгорячей плазме,
вений Ландау, вычисленным для случая полностью
z = meυ2/2kB T1
ионизованной максвелловской плазмы (см., напри-
мер, [19], § 4.1):
— отношение кинетической энергии сверхгорячих
∂fv
∂fv
электронов к средней тепловой энергии электронов
+ υ cosθ
= StL(fv),
(3)
∂t
∂x
сверхгорячей плазмы,
где
τ = T2/T1 ≪ 1
1
∂
StL(fv) =
×
— отношение температуры плазмы в мишени к
υ2 ∂υ
[
)]
температуре сверхгорячей плазмы в источнике.
(kBT2 ∂fv
× υ2 νcoll (υ)
+ υfv
+
В новых переменных кинетическое уравнение (3)
me
∂υ
(
)
принимает вид (см. Приложение)
∂
∂fv
+ νcoll (υ)
sin2θ
(4)
(
)
∂ cosθ
∂ cosθ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂2ϕ
∂ϕ
z
2μ
-2z
1-τ
-2τz
+2μ
+
∂s
∂z
∂z
∂z2
∂μ
Выражение (4) подразумевает, что кинетическая
энергия сверхгорячих электронов много больше
(
)
(∂ϕ)2
(
)
(∂2ϕ)
+
1-μ2
-
1-μ2
=0.
(5)
энергии тепловых электронов в горячей плазме. Как
∂μ
∂μ2
следствие, используется линеаризованный интеграл
Вместо функции распределения fv здесь введена но-
столкновений Ландау. В нем частота соударений
вая функция
сверхгорячих электронов с тепловыми электронами
и протонами в плазме (§ 43 в [22])
ϕ = -lnfv ,
(6)
4
что удобно при рассмотрении функций распределе-
4π n2 e
νcoll (υ) =
ln Λ ,
ния, мало отличающихся от максвелловской.
me
2υ3
1018
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
О тепловых убегающих электронах. . .
2.2. Решение в малой окрестности оси
С учетом этого условия из общего решения G выби-
потока убегающих электронов
раем
2η
Сначала будем искать решение уравнения (5) в
Φ0 (η, z) = z +
(9)
z
окрестности точки μ = 1, т. е. на оси потока убега-
Теперь учтем нелинейные члены в уравнении (8).
ющих электронов (θ = 0). Пренебрегая двумя по-
Пусть
следними слагаемыми, которые содержат множи-
(
)
тель
1-μ2
, получим уравнение
Φ1 (η, z) = ψ1 (η, z)τ + ψ2 (η, z)τ2 + . . .
(10)
(
)
Подставляя в (8) искомое решение в виде (9), (10)
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
z2μ
- 2z
1-τ
-
и, пренебрегая высокими степенями 1/z, получаем
∂s
∂z
∂z
уравнение для ψ1 (η, z):
∂2ϕ
∂ϕ
- 2τz
+ 2μ
=0.
(7)
(
)
∂z2
∂μ
∂ψ
1
∂ψ1
∂ψ1
4η
z2
- 2η
- 2z
+2
z-
=0.
∂η
∂η
∂z
z
Заметим, что сверхгорячие электроны, движу-
щиеся под углом θ к оси x, проходят путь, рав-
Это уравнение также решаем методом характерис-
ный x/ cos θ = x/μ. Поскольку мы ищем приближен-
тик. Сначала находим общее решение
ное решение уравнения (7) и не хотим усложнять
(
) (
)
2η
2η
его, будем считать, что локально в каждой точке x
ψ1 (η, z) = R z +
-2
z+
ln z + 3 z,
z
z
приращение толщи ds пропорционально dx, причем
ds = n dx. Это означает, что локально мы пренебре-
где R — произвольная функция. Потребуем, чтобы
гаем зависимостью n от x. Тогда зависимость от s
и μ в (7) входит в виде комбинации η = s/μ, и реше-
ψ1 (η, z) → 0 при z → ∞
ние уравнения (7) будет зависеть от переменной η.
и фиксированном η. С учетом этого условия нахо-
Подставив η = s/μ в (7), получим уравнение
дим
(
)
ψ1 (η, z) = -2η/z .
(11)
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂2ϕ
z2
-2η
-2z
1-τ
-2τz
= 0. (8)
∂η
∂η
∂z
∂z
∂z2
Итак, в первом порядке по малым параметрам τ
и 1/z искомое решение уравнения (8) имеет вид
Учитывая малость параметра τ, будем искать ре-
шение этого уравнения в виде
2s
ϕ (s, z, μ) = z + (1 - τ)
μz
ϕ(η, z) = Φ0 (η, z) + Φ1 (η, z),
В силу малости τ перепишем эту формулу в окон-
чательном виде
где Φ1 (η, z) = 0 при τ = 0. Функция Φ0 (η, z) удов-
летворяет линейному уравнению
2s
ϕ(s, z, μ) = z +
(12)
μz
∂Φ0
∂Φ0
∂Φ0
z2
- 2η
- 2z
=0.
∂η
∂η
∂z
Полученный результат означает, что в рамках вы-
бранного приближения здесь и в дальнейшем можно
Данное уравнение решаем методом характеристик;
пренебрегать в уравнении (7) диффузией по энер-
см. разд. 3.3 в работе [23]. В результате получаем
гии. Главными являются регулярные потери энер-
общее решение:
гии сверхгорячих электронов при кулоновских со-
(
)
2η
ударениях с частицами горячей плазмы, а не диф-
Φ0 (η, z) = G z +
,
фузия по энергии. Разумеется, следует помнить, что
z
энергетическая диффузия может оказаться суще-
где G — произвольная функция.
ственной в области низких энергий, т. е. при z → 1.
В области высоких энергий (z → ∞) кулоновс-
кие столкновения электронов с частицами плазмы
2.3. Решение вне оси потока убегающих
редки, поэтому исходное тепловое распределение не
электронов
меняется с глубиной η. В терминах нашей модели
это означает справедливость граничного условия
Напомним, что решение (12) справедливо лишь в
малой окрестности точки μ = 1. Чтобы найти функ-
Φ0 (η, z) → z при z → ∞ .
цию распределения для сверхгорячих электронов с
1019
12*
П. А. Грицык, Б. В. Сомов
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
большими значениями питч-угла, вернемся к урав-
распределения сверхгорячих электронов экспонен-
нению (5). Положив в нем τ = 0, получаем уравне-
циально убывает с глубиной проникания в горячую
ние
плазму. Количество электронов с энергией z, приле-
тающих под углом θ к оси x и прошедших в плазме
)2
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
(
)
(∂ϕ
толщину ξ(x)
z2μ
- 2z
+ 2μ
+
1-μ2
-
∂s
∂z
∂μ
∂μ
(
)
(
)
)
s
ξ
1
(
)
(∂2ϕ
Ne ∼ exp
-
= exp
-
(19)
-
1-μ2
=0.
(13)
sz
ξT z2 μ
∂μ2
В соответствии с определением безразмерной тол-
Будем искать его решение в виде ряда по степеням
щины здесь учтено, что s = ξ/ξT . Толщина
малого параметра (1 - μ):
ξT = lT n1 ,
ϕ(s, z, μ) = ϕ0 (s, z) + ϕ1 (s, z)(1 - μ) +
где
+ ϕ2 (s,z)(1 - μ)2 + ...,
(14)
(kB T1)2
lT =
πe4n1 lnΛ
где в силу (12)
— длина свободного пробега электронов в сверх-
2s
горячей плазме, n1 — концентрация электронов в
ϕ0 (s, z) = ϕ(s, 1, z) = z +
(15)
z
ней. Безразмерная толщина sz = z2 μ соответствует
длине свободного пробега в горячей плазме убежав-
Подставив (14) в (13) и приравняв члены с оди-
ших электронов с энергией z, которые двигаются с
наковыми степенями (1 - μ), получим цепочку урав-
питч-углом μ.
нений для функций ϕi (s, z). Первые два уравнения
Рассмотрим электроны с энергией E в области
этой цепочки имеют вид
(
)1/2
(
)1/2
∂ϕ0
∂ϕ0
ξ
ξ
z2
- 2z
- 2ϕ1 = 0 ,
(16)
kB T1
≤E ≤kB T1
+kB T1.
(20)
∂s
∂z
ξT
ξ
T
Они составляют большую часть всех электронов,
∂ϕ0
∂ϕ1
∂ϕ1
описываемых функцией
(18), поскольку Ne
∼
-z2
+ 4s2
- 2z
+
∂s
∂s
∂z
∼ e-E/kBT1
. Из
(19) следует, что большинство
+ 2ϕ1 + 2ϕ12 - 8ϕ2 = 0 .
(17)
электронов достигает глубины ξ в растворе угла:
Пренебрегая высшими степенями 1/z, из (15)-(17)
ξ
(kB T1)2
≲μ.
(21)
находим
ξT
E
ϕ1 (s, z, μ) = 2s/z , ϕ2 (s, z, μ) = s/z .
Оценив величину (kB T1/E)2 из (20), получаем оцен-
ку направленности функции распределения (18):
Таким образом получаем искомую функцию распре-
ξ
деления
μ≳
(
)2 .
(22)
1/2
s
s
s
ξ1/2 + ξT
ϕ(s, z, μ) = z + 2
+2
(1 - μ) +
(1 - μ)2 .
(18)
z
z
z
Соотношение (22) свидетельствует о правомерности
разложения (14) и, следовательно, о справедливости
2.4. Зависимость направленности потока
решения (18) при ξ ≫ ξT .
электронов от энергии
, примыкающей к тур-
В области 0 ≤ ξ ≤ ξT
Перейдем от безразмерных параметров s и z к их
булентному фронту, функция распределения сверх-
физическим аналогам — толщине плазмы ξ, опреде-
горячих электронов имеет иной вид. Электроны,
ляемой по формуле
описываемые этой функцией распределения, слабо
∫x
взаимодействуют с горячими электронами, поэтому,
пренебрегая в уравнении (13) явной зависимостью
ξ(x) [см-2] = n2(x′) dx′,
от μ, получаем искомую функцию распределения в
0
области 0 ≤ ξ ≤ ξT :
и кинетической энергии электрона E = meυ2/2. В
s
этих терминах из (18) и (6) следует, что функция
ϕ (s, z) = z + 2
(23)
z
1020
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
О тепловых убегающих электронах. . .
Однако эта функция распределения не может быть
и поляризационные наблюдения Солнца позволят c
изотропной. Анизотропию ее можно учесть, если
экспериментальных позиций уверенно ответить на
приписать функцию (23) лишь тем электронам, ко-
ключевые вопросы теории солнечных вспышек.
торые еще не провзаимодействовали с плазмой, т. е.
летящим под углом μ таким, что
)2
ξ
(kB T1
3. РАСЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИИ ТОРМОЗНОГО
1>μ>
(24)
ИЗЛУЧЕНИЯ УБЕГАЮЩИХ ЭЛЕКТРОНОВ
ξT
E
Окончательно, перепишем теперь функцию рас-
Воспользуемся функцией распределения
(25)
пределения сверхгорячих электронов в размерных
для расчета поляризации тормозного жесткого
переменных. Получим
рентгеновского излучения сверхгорячих убегаю-
[
(
)]
E
ξ kBT1
щих электронов. Степень поляризации тормозного
fv (ξ, E, θ) = K exp -
+2
,
kBT1
ξT E
излучения — наиболее чувствительная мера анизо-
)2
ξ
(kB T1
тропии потока электронов, переносящих энергию
cos θ >
,
ξ<aξT ,
в солнечных вспышках. В реальных вспышках
ξT
E
(
)1/2
на Солнце наблюдаемая степень поляризации
ξ
E >kB T1
;
жесткого рентгеновского излучения зависит от
ξT
многих факторов, включая координаты вспышки
[
(
E
ξ kB T1
на солнечном диске. Об этом речь пойдет в разд. 4.
fv (ξ, E, θ) = K exp -
+2
×
kB T1
ξT E
Мы начнем с модельного расчета поляризации в
)]
ξ kB T1
рамках нашей ограниченной постановки задачи,
× (2 - cos θ) +
(1 - cos θ)2
,
ξT E
(25)
как она показана на рис. 1.
ξ
Общая методика расчета поляризации тормоз-
cos θ ≳
(
)2 , ξ > a ξT ,
ного излучения представлена, например, в рабо-
1/2
ξ1/2 + ξT
те [24], см. также работу [25]. Пусть I∥ и I⊥ —
(
)1/2
потоки излучения с поляризацией параллельной
ξ
E >kB T1
;
и перпендикулярной плоскости, образованной лу-
ξT
[
(
)]
чом зрения (направлением из источника излучения
(
)
1/2
E
ξ
на наблюдателя) и магнитным полем в источнике,
fv (ξ, E, θ) = K exp
-
+2
,
kBT1
ξT
т. е. направлением распространения потока электро-
(
)1/2
нов (рис. 2). Напомним, что подразумевается осе-
ξ
E <kB T1
вая симметрия функции распределения убегающих
ξT
сверхгорячих электронов в пространстве скоростей.
Здесь K — нормировочная постоянная. Например, в
Согласно полученным в работе [26] формулам пол-
работе [21] об ускоренных электронах со степенным
ный поток жесткого рентгеновского излучения
спектром в солнечных вспышках эта постоянная
определяется из условия нормировки на плотность
e
потока энергии, переносимой энергичными электро-
v
нами. Параметр a выбирается таким образом, что-
бы обеспечить сшивку первых двух распределений
B
в (25). Выбор этого параметра несколько влияет
x
на степень анизотропии сверхгорячих электронов и,
следовательно, на поляризацию их тормозного из-
лучения. Однако, как показано в следующем раз-
Q||
k
деле, это влияние проявляется лишь при столь вы-
соких энергиях, где поток жесткого рентгеновского
Рис. 2. Схема модельного расчета поляризации тормозно-
излучения пренебрежимо мал с точки зрения прак-
го излучения: k — волновой вектор рентгеновского фотона,
тических возможностей измерения поляризации. Об
ψ — угол между лучом зрения и направлением распростра-
этом речь пойдет в разд. 4. В области энергий тор-
нения потока убегающих электронов (ось x на рис. 1), θ —
мозного излучения hν ≈ 10 - 30 кэВ выбор парамет-
питч-угол электрона, Q∥ — плоскость параллельной поля-
ра a не является существенным. Именно в этой обла-
ризации излучения, e⊥ — нормаль к плоскости Q∥
сти мы ожидаем, что одновременные спектральные
1021
П. А. Грицык, Б. В. Сомов
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
-P, %
-P, %
7
7
6
6
= 90
5
5
= 90
4
4
3
3
= 45
= 45
2
2
1
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
h , кэВ
h , кэВ
Рис. 3. Поляризация тормозного жесткого рентгеновского излучения, генерируемого сверхгорячими убегающими элект-
ронами, в зависимости от энергии фотонов hν при различных значениях угла ψ. Угол ψ ≈ 90◦ соответствует лучу
зрения, перпендикулярному направлению распространения потока электронов (ось x на рис. 1). Расчеты выполнены в
предположении, что температура T1 = 108 К, параметр a = 5 (левая панель) и a = 10 (правая панель)
⎡
⎛
⎞
∫
∞
∫
∞
толщине ξ источника равен бесконечности, что
I = I⊥ + I∥ = ϖ⎣8 A · C ⎝ L0 dξ⎠ z dz +
соответствует модели «толстой мишени», см. рабо-
hν
0
ту [27]. Константа ϖ ∼ K SHXR/R2, где SHXR —
⎛
⎞
∫
∞
∫∞
площадь источника излучения и R — расстояние
8
+
B·C
⎝ L0 dξ⎠ z dz +
от источника до наблюдателя. Очевидно, величина
3
поляризации
hν
0
⎛
⎞
⎤
∫
∞
∫
∞
12 sin2ψ-8
I⊥ - I
∥
+
B·C
⎝ L2 dξ⎠ z dz ⎦
(26)
P (ψ, hν) =
(28)
15
I⊥ + I
∥
hν
0
не зависит от конкретных значений константы ϖ,
и разность поляризованных потоков
как не зависит она, разумеется, и от нормировоч-
⎛
⎞
∞
ной константы K в функции распределения (25). В
∫∞
∫
4
этом существенное преимущество поляризационных
I⊥ - I∥ = -
ϖsin2ψ B · C ⎝ L2 dξ⎠ z dz . (27)
5
измерений по отношению к измерениям спектраль-
hν
0
ным при наблюдениях солнечных вспышек в жест-
Здесь ψ — угол между лучом зрения и направлением
ком рентгеновском диапазоне.
распространения потока убегающих электронов;
Результат расчета поляризации для двух зна-
A = A(ψ,hν,z), B (ψ,hν,z) и C (ψ,hν,z) — диффе-
чений угла ψ представлен на рис.
3. Степень
ренциальные сечения тормозного излучения [24] в
поляризации в рамках предложенной нами мо-
выбранной системе координат (рис. 1) и с учетом
дели небольшая, что обусловлено сравнительно
осевой симметрии функции распределения электро-
небольшой анизотропией функции распределе-
нов; L0 = L0(z, ξ) и L2 = L2(z, ξ) — коэффициенты
ния
(25). Действительно, электроны небольших
разложения функции распределения
(25) в ряд
энергий (E < kB T1(ξ/ξT )1/2) за счет кулоновских
по полиномам Лежандра. Использование здесь
столкновений очень быстро теряют свою энергию,
величины ξ очень удобно, поскольку позволяет
а их функция распределения мало отличается
избежать необходимости делать предположения
от изотропной. Такие электроны генерируют
о распределении концентрации плазмы в мишени
почти неполяризованное жесткое рентгеновское
и протяженности рентгеновского источника. В
излучение. Напротив, убегающие электроны с
(26) и
(27) верхний предел интегрирования по
энергиями E
> kB T1(ξ/ξT)1/2, почти не рассеи-
1022
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
О тепловых убегающих электронах. . .
ваясь, проникают на большие глубины в плазму
Попытки наблюдать поляризацию на спутнике
и обеспечивают некоторую анизотропию функции
OSO-7 (1972 г.) в области энергий hν = 15-30 кэВ
распределения. Здесь, как и ранее, T1 = 108 К.
были неудачными из-за неполадок в работе поля-
На левой панели рис. 3 значения поляризации
риметра. Прямое измерение величины поляризации
излучения в области высоких энергий заметно пре-
оказалось невозможным, но все же удалось полу-
вышают аналогичные значения на правой. В пер-
чить нижнюю оценку абсолютной величины степени
вом случае оценки сделаны при a
= 5, во вто-
поляризации |P | = 10-20 % [30]. Как и в измерени-
ром — при a = 10. Этот результат нетрудно объяс-
ях на спутниках «Интеркосмос», было обнаружено
нить, поскольку малые значения параметра a озна-
длительное существование значительной поляриза-
чают, что менее энергичные электроны сравнитель-
ции, на много превышающее время термализации
но быстро (т. е. на малых толщинах) начинают рас-
ускоренных электронов во вспышечной плазме [31].
сеиваться, и их функция распределения начинает
Возможность наблюдать поляризацию излуче-
становиться все более анизотропной (cos θ ≈ 1). Во
ния в диапазоне hν = 20-100 кэВ была предусмот-
втором случае аналогичный эффект достигается на
рена в комплексе аппаратуры на спутнике RHESSI
больших толщинах проникания сверхгорячих элек-
(2002-2018 гг.) [32]. Однако чувствительность поля-
тронов в горячую плазму. Там, однако, количество
риметра оказалась недостаточно высокой, и не бы-
более энергичных электронов значительно снижает-
ли получены результаты, достоверность которых не
ся. Следует отметить, что интерпретация наблюде-
вызывала бы сомнений [33]. Более удачными, по-
ний тепловой компоненты рентгеновского спектра
видимому, являются измерения поляризации гамма-
вспышки мало зависит от выбора параметра a, по-
излучения hν = 0.2-1 МэВ в двух больших вспыш-
скольку в области энергий Ehν ≲ 20 кэВ предска-
ках: P = 21 ± 9 % во вспышке балла X4.8 23 июля
зываемые значения степени поляризации излучения
2002 г., P = -11 ± 5 % во вспышке балла X17 28 ок-
также не зависят от a (ср. левую и правую панели
тября 2003 г. [34]. Напомним, что степень поляриза-
на рис. 3).
ции считается положительной, если электрический
Принципиально важно, что функция распреде-
вектор направлен к центру солнечного диска.
ления тепловых убегающих электронов остается по-
Cо времени первых измерений поляризации про-
чти равновесной и почти изотропной в хромосфер-
шло полвека, но ситуация почти не изменилась.
ной части мишени. Это проявляется в очень малой
С ростом точности поляриметрических наблюдений
степени поляризации тормозного жесткого рентге-
уменьшалась регистрируемая степень поляризации,
новского излучения и подтверждает исходные пред-
но достоверность полученных данных оставалась,
положения нашей модели.
строго говоря, не установленной.
Кроме того, важно отметить, что согласно со-
временным наблюдениям жесткого рентгеновского
4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И
излучения, энергия hν = 15 кэВ находится в той
ВЫВОДЫ
области спектра, где имеет место наложение нетеп-
ловой и тепловой компонент тормозного излучения;
4.1. Наблюдения поляризации в солнечных
см., например, [12]. Это значит, что поляризация мо-
вспышках
жет определяться не только ускоренными электро-
Первые попытки измерения поляризации жест-
нами со степенным спектром, но и сверхгорячими
кого рентгеновского излучения в солнечных вспыш-
электронами, спектр которых мало отличается от
ках, по-видимому, нельзя назвать вполне успеш-
максвелловского. Какие именно электроны, нетеп-
ными, поскольку измеренные значения степени по-
ловые или тепловые, дают наибольший вклад в по-
ляризации оказались сравнимыми с ошибками из-
ляризацию и какова реально ожидаемая величина
мерений, см. работы
[28, 29]. Так, при энергии
поляризации? Ответить на эти вопросы нельзя без
hν = 15 кэВ измерения на спутниках серии «Интер-
детального количественного анализа ситуации с экс-
космос» (1969-1974 гг.) демонстрировали большую
периментальных и теоретических позиций.
степень поляризации P = 40 % при весьма больших
ошибках измерений, см. рис. 2 в работе [28]. Кро-
4.2. Расчеты поляризации в солнечных
ме того, большая поляризация наблюдалась столь
вспышках
длительное время, что объяснить ее ускоренными
во вспышке электронами не предствлялось возмож-
Вернемся к теоретическому рассмотрению про-
ным, а другого объяснения не было.
блемы. Согласно нашим расчетам поляризации
1023
П. А. Грицык, Б. В. Сомов
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
(рис. 3), максимальная поляризация тормозного из-
почти изотропны уже в источнике энергии вспыш-
лучения сверхгорячих убегающих электронов может
ки.
достигать 6 % при энергии фотонов hν ≈ 15 кэВ.
Во-вторых, для сверхгорячих и ускоренных элек-
Однако столь большая поляризация могла бы быть,
тронов, энергия которых много больше энергии теп-
если бы угол между лучом зрения и направлением
ловых электронов плазмы, в кинетическом уравне-
распространения сверхгорячих электронов был
нии можно пренебречь энергетической диффузией
ψ = 90◦. Имея в виду гелиоцентрическое распре-
по сравнению с регулярными потерями энергии на
деление солнечных вспышек, мы должны отдать
кулоновских столкновениях, но нельзя пренебрегать
предпочтение более вероятному значению ψ ≈ 45◦
угловой диффузией (см. § 4.2 в работе [19]). Угловая
и, следовательно, принять в качестве наиболее
диффузия работает в том же порядке, что и регу-
вероятных значений поляризации P
≲ 3-4 % для
лярные потери энергии:
тормозного излучения убегающих
сверхгорячих
∂fv
1 ∂fv
1
электронов.
cosθ
=
+
Δθfv .
∂ξ
z
∂z
2z2
Ускоренные электроны во вспышках имеют сте-
пенной спектр и порождают тормозное излучение,
Чем больше потери энергии, тем быстрее угловая
поляризация которого согласно расчетам (см. рис. 4
диффузия изотропизует функцию распределения
работы [35]) не превышает 3 %. Расчеты выполне-
энергичных электронов. Этот эффект гарантирова-
ны в рамках кинетической модели распространения
но обеспечивает изотропизацию энергичных элект-
энергичных электронов в том же диапазоне энергии,
ронов, ответственных за тормозное излучение в об-
что и в данной работе. Особо отметим, что наша теп-
ласти энергий фотонов hν ≈ 15 кэВ, где наша мо-
ловая модель и ее предсказания могут быть провере-
дель предсказывает P ≲ 3 % для убегающих сверх-
ны наблюдениями рентгеновского спектра вспышки
горячих электронов.
в области энергий hν ≲ 20 кэВ. Это обусловлено
Предложенная в настоящей работе модель учи-
тем, что в области более высоких энергий преобла-
тывает только кулоновские столкновения. Между
дает тормозное излучение, генерируемое нетепловы-
тeм, в реальных условиях солнечных вспышек су-
ми (ускоренными) электронами.
ществует ряд факторов, уменьшающих степень ани-
Согласно [35] наибольшие значения поляризации
зотропии потока энергичных электронов; см. обзор
≈ 3% достигаются при наименьших значениях энер-
проблемы в [21]. Становится меньше и поляриза-
гии фотонов, с ростом энергии величина поляриза-
ция их тормозного излучения. Существуют факто-
ции монотонно уменьшается. При уменьшении уг-
ры, влияющие на измеряемую поляризацию тормоз-
ла ψ между лучом зрения и направлением распро-
ного излучения энергичных электронов, например,
странения потока ускоренных электронов величина
комптоновское рассеяние жесткого рентгеновского
поляризации тоже уменьшается. Столь низкие зна-
излучения на фотосфере [38, 39].
чения поляризации тормозного излучения (≲ 3 %)
Проблема в том, что в верхней фотосфере, куда
вполне естественны и связаны с двумя обстоятель-
проникает поток фотонов с энергией hν ≳ 12 кэВ
ствами.
(cм. § 2 в [40]), доминирующим механизмом ослаб-
Во-первых, в солнечных вспышках функция рас-
ления рентгеновского потока становится компто-
пределения энергичных электронов (сверхгорячих
новское рассеяние. Оно приводит к потере энергии
и ускоренных) не может быть сильно анизотроп-
рентгеновских фотонов
ной. Если бы все электроны, порождающие жесткое
δ (hν)/hν ∼ hν/mec2
рентгеновское излучение вспышки, были направле-
ны в одну сторону, то переносимый ими электричес-
в каждом акте рассеяния. При этом часть пото-
кий ток
ка рентгеновских фотонов приходит к наблюдателю
∫
после комптоновского отражения от фотосферы. В
J (r) = Sj(r) = Se fv(r, υ, θ) υ cos θ d3v ,
интересующей нас области hν ≳ 15 кэВ наиболее
существенным фотопоглощением на Fe и Ni можно
где S — площадь сечения потока энергичных элект-
пренебречь (cм. рис. 4 в работе [40]) по сравнению
ронов, имел бы огромную величину 1017-1018 А [36].
с комптоновским рассеянием, и отраженный поток
Реальные токи во вспышке, включая источник ее
может, в принципе, иметь большую (до 50 % по аб-
энергии, составляют 1011-1012 А [37]. Следователь-
солютной величине) поляризацию [38, 39, 41].
но, степень анизотропии энергичных электронов не
Например, в работе [39] показано, что в зависи-
превышает 10-6-10-5, при этом они должны быть
мости от высоты вспышки и ее углового расстояния
1024
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
О тепловых убегающих электронах. . .
от видимого центра солнечного диска степень по-
ления электронов почти изотропна. Причиной тому
ляризации рассеянного излучения меняется от -50
является электрическое поле обратного тока и куло-
до +20 %. Поляризация полного излучения вспыш-
новское рассеяние [21]. По этой причине для боль-
ки (прямой поток фотонов плюс рассеянный) меня-
шинства вспышек следует ожидать степень поляри-
ется в пределах от -2 до +1.7 %, т. е. очень мала
зации, не превышающую по модулю 3-4 %. Столь
по абсолютной величине. Смена знака поляризации
малую поляризацию трудно регистрировать на до-
усложняет проблему ее измерения.
стоверном уровне с помощью современных поляри-
Влияние комптоновского рассеяния в фотосфере
метров жесткого рентгеновского излучения.
на направленность и поляризацию рентгеновского
В области высоких энергий (> 200 кэВ) плот-
излучения в диапазоне от 15 до 150 кэВ рассчитыва-
ность потока электронов много меньше, чем в облас-
лось методом Монте-Карло в работе [38]. Показано,
ти низких энергий, а плотность плазмы в мишени
что в случае изотропного источника рентгеновских
значительно больше. При этом роль обратного тока
фотонов в короне суммарная поляризация излуче-
уменьшается, и можно ожидать некоторую замет-
ния на орбите Земли не превышает 4 %. Этот вы-
ную анизотропию потока электронов и значитель-
вод наиболее близок к нашим результатам, посколь-
ную поляризацию их тормозного излучения. Одна-
ку найденная нами функция распределения энер-
ко, поскольку поток электронов столь высоких энер-
гичных электронов мало отличается от изотропной.
гий мал, такой эффект может оказаться наблюдае-
Следовательно, почти изотропно первичное рентге-
мым только в очень мощных вспышках, что, по-ви-
новское излучение вспышки, что и предполагается
димому, и подтверждается наблюдениями поляриза-
в работе [38].
ции гамма-излучения в двух вспышках [34].
Подчеркнем, однако, что мы решали другую за-
дачу. Наш подход к вопросу о возможной поляри-
4.3. Будущие эксперименты по измерению
зации жесткого рентгеновского излучения вспышек
поляризации в солнечных вспышках
принципиально отличается от того, что делалось
в работах [38, 39]. Мы не задаем первичный поток
Что необходимо учитывать при планировании
рентгеновского излучения, а рассчитываем его на
будущих экспериментов по измерению поляриза-
основании найденного нами решения кинетического
ции жесткого рентгеновского излучения вспышек
уравнения для функции распределения сверхгоря-
на Солнце и интерпретации будущих результа-
чих убегающих электронов. Мы показали, что по-
тов? В целом, мы видим, что оценки ожидае-
ляризация их тормозного излучения не превышает
мой максимальной поляризации, полученные для
4 %, что формально совпадает с результатом [38].
сверхгорячих и ускоренных электронов в обла-
Но при этом остается открытым вопрос, насколько
сти энергий
15-100
кэВ, находятся в пределах
комптоновское рассеяние первичного рентгеновско-
3-4 %. Следовательно, необходимы измерения по-
го излучения на фотосфере уменьшит поляризацию
ляризации с чувствительностью и точностью по-
суммарного потока излучения, наблюдаемого на ор-
рядка 1 %. Лучшие в мире поляриметры (напри-
бите Земли. Возможно, наблюдаемая поляризация
мер, Gamma-Ray Imager/Polarimeter for Solar fla-
окажется ближе к предсказываемой в работе [39].
res-GRIPS [42], Imaging X-ray Polarimetry Explorer-
Реальная оценка поляризации возможна лишь
IXPE [43], POLAR [44]) обладают чувствительно-
для конкретных моделей вспышки и требует прове-
стью на два порядка превышающей чувствитель-
дения интегрирования вдоль линий магнитного по-
ность RHESSI. Однако они имеют своей целью
ля, в общем случае неоднородного, и интегрирова-
изучение не солнечных вспышек, а космических
ния по энергетическому и угловому распределени-
гамма-всплесков — наиболее ярких электромагнит-
ям электронов. Детальные расчеты такого рода по-
ных событий, происходящих во Вселенной. Поляри-
ка отсутствуют, поскольку они не были востребо-
зационные измерения дополнят результаты спект-
ваны ввиду большой неопределенности эксперимен-
ральных наблюдений, которые будут получены в
тальных данных.
рамках совместного российско-германского проек-
На основе существующих теоретических расче-
та космической обсерватории «Спектр-Рентген-Гам-
тов довольно очевидны следующие выводы.
ма» (Спектр-РГ), что обеспечит большой вклад в
В области низких энергий (15-100 кэВ) нетепло-
физику космических гамма-всплесков.
вых и тепловых (ускоренных и сверхгорячих) элект-
Большое значение будут иметь будущие измере-
ронов их тормозное излучение имеет малую степень
ния поляризации жесткого рентгеновского и гамма-
поляризации в силу того, что функция распреде-
излучения вспышек на Солнце. Одновременные
1025
П. А. Грицык, Б. В. Сомов
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
∂fv
1
∂
спектральные и поляризационные наблюдения вмес-
υ cosθ
-
×
те с получением изображений солнечных вспышек в
∂x
υ2 ∂υ
области энергий hν ≈ 10-100 кэВ позволят c экс-
[
)]
(kBT2 ∂fv
периментальных позиций ответить на ключевые во-
× υ2 νcoll (υ)
+ υfv
-
me
∂υ
просы физики широкого класса вспышек электро-
(
)
магнитной природы не только на Солнце, но и дру-
∂
∂fv
гих звездах с сильным магнитным полем: 1) магнит-
− νcoll (υ)
sin2θ
= 0. (A.1)
∂ cosθ
∂ cosθ
ное пересоединение в качестве первичного механиз-
ма ускорения электронов и ионов, 2) пересоединение
Подставив в (A.1) выражение для частоты куло-
как механизм нагрева плазмы до огромных темпера-
новских столкновений сверхгорячих электронов с
тур, 3) дополнительные механизмы ускорения час-
электронами и протонами в горячей плазме
тиц и нагрева плазмы во вспышках.
4
4π n2 e
В рамках международного проекта «Interhelio-
νcoll (υ) =
ln Λ ,
me2υ3
probe» [45] планируется использование поляриметра
«PING-P» [46] в диапазоне 18-150 кэВ, который при
получим уравнение
потоке рентгеновского излучения в этом диапазоне
∂fv
1
∂
1500 фотонов · см-2 (типичный поток для вспышек
υ cosθ
-
×
∂x
υ2 ∂υ
балла X1) обеспечит минимально измеряемую поля-
ризацию Pmin = 2.9 % на уровне 3σ при временном
[
)]
4π n2 e4
(kBT2 ∂fv
разрешении 10 c. При более высоких потоках излу-
× υ2
ln Λ
+ υfv
-
me2υ3
me
∂υ
чения (при вспышках балла больше X1) можно бу-
(
)
дет достигнуть еще более высокой чувствительности
4π n2 e4
∂
∂fv
и точности измерения поляризации. Можно наде-
−
ln Λ
sin2θ
=0.
(A.2)
me2υ3
∂ cosθ
∂ cosθ
яться, что это позволит ответить на поставленные
выше вопросы физики солнечных вспышек, тесно
С целью перейти от исходных перемен-
связанные с фундаментальным процессом магнит-
ных (x, υ, θ) к безразмерным переменным (s, z, μ)
ного пересоединения в плазме с сильным магнитным
сделаем следующие подстановки в (A.2):
полем.
2
(kB T1)
В более отдаленной перспективе хотелось бы
∂x=
∂s, υ =
(2kBT1 )1/2 z1/2,
π n2 e4 lnΛ
me
ориентироваться на проекты космических обсерва-
торий, предназначенных для непрерывного мони-
cosθ = μ,
торинга солнечной активности, включая измерения
получим
спектра и поляризации рентгеновского и гамма-из-
лучения вспышек, а также сопутствующие измере-
)1/2
(
)3/2
ния состава и характеристик заряженных частиц и
(2kBT1
πn2e4 lnΛ
∂fv
me
плазмы солнечного ветра. Для решения этой комп-
z1/2μ
-
×
me
(kB T1)2
∂s
2kBT1
лексной экспериментальной задачи с очевидностью
необходимо стабильное расположение космической
∂
[(2kBT1 )
4πn2e4 lnΛ
обсерватории в точке Лагранжа L1 на линии Солн-
×2z-1/2
×
∂z
me me1/2 (2kBT1)3/2
це-Земля.
)]
)(
)1/2
)1/2
((2kBT2
me
∂fv
(2kBT1
×
+
fv
-
m
e
2kBT1
∂z
me
ПРИЛОЖЕНИЕ
4πn2e4 lnΛ
∂
−
×
me1/2 (2kBT1)3/2z3/2 ∂μ
Приведем подробный вывод основного кинети-
)
((
)∂fv
ческого уравнения (5), которое мы решаем в дан-
×
1-μ2
= 0. (A.3)
ной статье. Перепишем исходное уравнение (3) с
∂μ
учетом (4), пренебрегая производной ∂fv/∂t (см.
Отсюда имеем
разд. 2.1):
1026
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
О тепловых убегающих электронах. . .
4
∂fv
(me ) ∂
8.
С. И. Сыроватский, ЖЭТФ
60,
1727
(1971)
z2μ
- 2z
×
∂s
2kB
∂z
[S. I. Syrovatskii, Soviet Phys. JETP 33, 933 (1971)].
me1/2 (2kBT1)3/2
[
4
((2kB ) T2 ∂fv
9.
M. Aschwanden, Physics of the Solar Corona: An
×
+
Introduction with Problems and Solutions, Springer
me T1 ∂z
me1/2 (2kBT1)3/2
)
)]
SBM, New York (2006).
(2kB
4
+
fv
-
×
10.
L. Fletcher, B. R. Dennis, H. S. Hudson et al., Space
me
me1/2 (2kBT1)3/2
)
Sci. Rev. 159, 19 (2011).
∂
((
) ∂fv
×
1-μ2
= 0. (A.4)
11.
A. Reva, S. Shestov, I. Zimovets et al., Solar Phys.
∂μ
∂μ
290, 2909 (2015).
Учитывая τ = T2/T1, преобразуем (A.4) к виду
12.
A. O. Benz, Living Rev. Solar Phys. 14:2 (2017) [doi:
)
10.1007/s41116-016-0004-3].
∂fv
(∂fv
∂2fv
z2μ
- 2z
+τ
-
13.
Б. В. Сомов, Изв. АН СССР, сер. физ. 45, 576
∂s
∂z
∂z2
)
(1981)
[B. V. Somov, Bull. Academy of Sciences
∂
((
) ∂fv
-
1-μ2
= 0. (A.5)
USSR, Physical Ser. 45, No. 4, 114 (1981)].
∂μ
∂μ
14.
B. V. Somov and V. S. Titov, Solar Phys. 102, 79
В уравнение (A.5) подставляем fv = e-ϕ и после
(1985).
дифференцирования и несложных преобразований
15.
B. V. Somov, Plasma Astrophysics, Part II: Recon-
получаем искомое уравнение в безразмерных пере-
nection and Flares, Second Edition, Springer SBM,
менных (s, z, μ):
New York (2013b).
(
)
16.
G. A. Dulk and B. R. Dennis, Astrophys. J. 260, 875
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂2ϕ
∂ϕ
z2μ
- 2z
1-τ
- 2τz
+ 2μ
+
(1982).
∂s
∂z
∂z
∂z2
∂μ
)2
(
)
(∂ϕ
(
)
(∂2ϕ)
17.
А. В. Орешина, Б. В. Сомов, Изв. РАН, сер. физ.
+
1-μ2
-
1-μ2
= 0. (A.6)
59, 26 (1995) [A. V. Oreshina and B. V. Somov,
∂μ
∂μ2
Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Physical
Series (Allerton Press, Inc.; New York),
59, 1318
(1995)].
ЛИТЕРАТУРА
18.
D. F. Smith and C. G. Lilliequist, Astrophys. J. 232,
1. А. Г. Франк, Н. П. Кирий, В. С. Марков и др., Фи-
582 (1979).
зика плазмы 44, 483 (2018) [A. G. Frank, N. P. Ky-
rie, V. S. Markov et al., Plasma Phys. Rep. 44, 551
19.
B. V. Somov, Plasma Astrophysics. Part I. Funda-
(2018)].
mentals and Practice. Second Edition, Springer SBM,
New York (2013a).
2. А. Г. Франк, С. Н. Сатунин, Физика плазмы 44,
144 (2018) [A. G. Frank and S. N. Satunin, Plasma
20.
J. C. Brown, D. B. Melrose, and D. S. Spicer, Asito-
phys. J. 228, 592 (1979).
Phys. Rep. 44, 190 (2018)].
21.
П. А. Грицык, Б. В. Сомов, Письма в Астрон. ж.
3. The Coronas-F Space Mission: Key Results for Solar
40, 554 (2014). [P. A. Gritsyk and B. V. Somov,
Terrestrial Physics, ed. by V. D. Kuznetsov, Springer
Astron. Lett. 40, 499 (2014)].
SBM, Berlin, Heydelberg (2014).
22.
Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Теоретичес-
4. Magnetic Reconnection. Concepts and Applications,
кая физика. Т. 10. Физическая кинетика, Наука,
ed. by W. Gonzalez and E. Parker, Springer SBM,
Москва (1979).
Heidelberg (2016).
23.
В. С. Владимиров, Уравнения математической
5. A. S. Kirichenko and S. A. Bogachev, Astrophys. J.
физики, Наука, Москва (1981).
840, article id. 45 (2017).
24.
G. Elwert and E. Haug, Solar Phys. 15, 234 (1970).
6. I. H. Cairns, V. V. Lobzin, A. Donea et al., Sci. Rep.
8, 1676 (2018) [DOI: 10.1038/s41598-018-19195-3].
25.
G. D. Fleishman and I. N. Toptygin, Cosmic Elect-
rodynamics: Electrodynamics and Magnetic Hydrody-
7. С. И. Сыроватский, ЖЭТФ
50,
1133
(1966)
namics of Cosmic Plasmas, Springer SBM, New York
[S. I. Syrovatskii, Soviet Phys. JETP 23, 754 (1966)].
(2013).
1027
П. А. Грицык, Б. В. Сомов
ЖЭТФ, том 156, вып. 5 (11), 2019
26.
L. Nocera, Yu. I. Skrynnikov, and B. V. Somov, Solar
36.
P. Hoyng, J. C. Brown, and H. Frank Van Beek, Solar
Phys. 97, 81 (1985).
Phys. 48, 197 (1976).
27.
Б. В. Сомов, С. И. Сыроватский, УФН 120, 217
37.
S. I. Gopasyuk, Adv. Space Res. 10, No. 9, 151 (1990).
(1976) [B. V. Somov and S. I. Syrovatskii, Soviet
38.
J. C. Henoux, Solar Phys. 42, 219 (1975).
Phys. Usp. 19, 813 (1976)].
39.
S. L. Mandelshtam, I. L. Beigman, and I. P. Tindo,
28.
I. P. Tindo and B. V. Somov, COSPAR: New
Nature 254, 462 (1975).
Instrumentation for Space Astronomy, ed. by
K. Van der Hucht and G. S. Vaiana, Pergamon Press,
40.
Б. В. Сомов, Труды ФИАН, Наука, Москва, 88
New York and Oxford, 131 (1978).
«Космические лучи в стратосфере и ближнем
29.
Б. В. Сомов, И. П. Тиндо, Космические исследо-
космосе»,
127
(1976)
[B. V. Somov, Proceedings
вания 16, 686 (1978) [B. V. Somov and I. P. Tindo,
(Trudy) P. N. Lebedev Physics Institute of the
Cosmic Research, 16, 555 (1979)].
Academy of Sciences of the USSR (Consultants
Bureau, New York, London), Vol. 88 «Cosmic Rays
30.
R. J. Thomas, Solar Gamma-, X-, and EUV Radia-
in the Stratosphere and in Near Space», 121 (1978)].
tion, IAU/COSPAR Symp. No. 68, ed. by S. Kane,
Reidel, Dordrecht, 25 (1975).
41.
С. В. Боговалов, С. Р. Кельнер, Ю. Д. Ко-
тов, Астрон. ж. 65, 1275 (1988) [S. V. Bogovalov,
31.
S. P. Maran, R. J. Thomas, The New Astronomy
S. R. Kel’ner, and Yu. D. Kotov, Soviet Astronomy
and Space Science Reader, ed. by J. C. Brandt and
32, 664 (1988)].
S. P. Maran, W. H. Freeman and Company, San
Francisco, CA, 293 (1977).
42.
N. Duncan, P. Saint-Hilaire, A. Y. Shih, et al.,
Proceedings of the SPIE, Vol. 9905, id. 9905Q 17
32.
M. L. McConnell, J. M. Rayn, D. M. Smith et al.,
pp. (2016) [doi: 10.1117/12.2233859].
Solar Phys. 210, 125 (2002).
43.
M. C. Waisskopf, B. Ramsey, S. L. O’Dell et al.,
33.
M. L. McConnell, D. M. Smith, A. G. Emslie et al.,
Proceedings of the SPIE, Vol. 9905, id. 990517 10
Advances in Space Research 34, 462 (2004).
pp. (2016) [doi: 10.1117/12.2235240].
34.
S. E. Boggs, W. Coburn, and E. Kalemci, Asitophys.
44.
N. Produit, T. W. Bao, T. Batsch et al., Nuclear Inst.
J. 638, 1129 (2006).
and Methods in Physics Research A 877, 259 (2018).
35.
Б. В. Сомов, П. А. Грицык, Вестник МГУ. Серия
45.
V. D. Kuznetsov, L. M. Zelenyi, I. V. Zimovets et al.,
3. Физика. Астрономия № 1, 106 (2012) [B. V. So-
Geomagnetism and Aeronomy 56, 781 (2016).
mov and P. A. Gritsyk, Moscow University Physics
Bulletin (Allerton Press, Inc.; New York), 67, 102
46.
Yu. D. Kotov, V. N. Yurov, A. S. Glyanenko et al.,
(2012)].
Advances in Space Research 58, 635 (2016).
1028
