ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 6 (12), стр. 1035-1043

ОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ ВИХРЕЙ ПРИ ИОНИЗАЦИИ

АТОМА СВЕРХКОРОТКИМ ЛАЗЕРНЫМ ИМПУЛЬСОМ:

2D- И 3D-СЛУЧАИ

Н. В. Ларионовa*, Д. Н. Макаров^b, А. А. Смирновский^a,c, С. Ю. Овчинников^c

^a Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

195251, Санкт-Петербург, Россия

^b Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

163002, Архангельск, Россия

^c Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук

194021, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 1 июня 2019 г.,

после переработки 30 июня 2019 г.

Принята к публикации 3 июля 2019 г.

Теоретически и численно исследуются квантовые вихри, образующиеся в результате надбарьерной иони-

зации атома сверхкоротким лазерным импульсом. В двумерном пространстве рассматривается ионизация

атома водорода, а в трехмерном пространстве — ионизация атома в приближении потенциала нулевого

радиуса. На основе полученных аналитических выражений делается предположение, что локализация

квантовых вихрей в трехмерном пространстве может быть предсказана на основе анализа двумерной

модели.

DOI: 10.1134/S0044451019120010

где возможно проводить их детектирование. Приро-

да таких образований обусловлена волновыми свой-

ствами электрона и имеет гидродинамическую ин-

1. ВВЕДЕНИЕ

терпретацию [12,20].

Обычно при ионизации атомов сверхкороткими

импульсами электромагнитного поля изучается ве-

Помимо несомненного фундаментального инте-

роятность этого процесса [1-4]. Однако в последнее

реса как к квантовым вихрям, так и к вихревым фо-

время в связи с существующим интересом к кванто-

тоэлектронам (электронам с определенным значени-

вым системам, состоящим всего из нескольких объ-

ем момента импульса), участвующим в их формиро-

ектов (атомов, ионов, квантовых точек и т. п. [5,6]),

вании, существует и практический интерес. В работе

в частности приготовленных в запутанных состоя-

[21] теоретически исследуется перерассеяние вихре-

ниях [7-11], представляют интерес исследования бо-

вого фотоэлектрона, образовавшегося в результате

лее тонких квантовых эффектов, возникающих в

ионизации мишени низкочастотным лазерным им-

процессе ионизации отдельных атомов. Так, недав-

пульсом, на родительском ионе. На примере расче-

но [12-15] было выявлено, что при ионизации атома

тов, в частности для молекулы кислорода, показано,

могут образовываться спиральные вихревые струк-

что анализ распределения вихревых фотоэлектро-

туры — квантовые вихри, центры которых в обыч-

нов по импульсам позволяет извлечь информацию о

ном и в импульсном пространствах являются запре-

состоянии молекулы. Используя разработанную тео-

щенными областями для вырванного электрона —

рию, авторы объясняют некоторые эксперименты, в

нулями его волновой функции [16-19]. Эти вихре-

которых вихревые фотоэлектроны с ненулевым мо-

вые структуры в неизменном виде могут распро-

ментом импульса чувствительны к киральности ми-

страняться на макроскопические расстояния [12],

шени. Таким образом, электронные вихревые струк-

туры могут быть востребованы в фотоэлектронной

^* E-mail: larionov.nickolay@gmail.com

спектроскопии вещества.

1035

Н. В. Ларионов, Д. Н. Макаров, А. А. Смирновский, С. Ю. Овчинников

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Способы ионизации, в результате которой воз-

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ИМПУЛЬСАМ

никают вихри, могут быть разными. В работе [13]

ЭЛЕКТРОНОВ, ВЫРВАННЫХ ПРИ

рассматривался эксперимент, в котором электроны

ИОНИЗАЦИИ: 2D- И 3D-СЛУЧАИ

вылетают в результате медленных атомно-ионных

Здесь и далее используем атомную систему еди-

столкновений, а теоретические работы [14,15] пред-

ниц ℏ = 1, m_e = 1, e = 1. Гамильтониан атома,

сказывают появление вихрей в результате иониза-

взаимодействующего с лазерным импульсом, имеет

ции атома гелия аттосекундным электромагнитным

следующий вид:

импульсом или УФ-импульсом.

В работах [22, 23] с помощью численного мето-

Ĥ= Ĥ₀ +

да решения нестационарного уравнения Шрединге-

Ĥ₀ =

p² + U(r),

(1)

ра в расширяющемся пространстве [24] нами были

исследованы возникновение и эволюция квантовых

V = -d · E(t),

вихрей, образующихся при надбарьерной ионизации

d—

атома водорода сверхкоротким лазерным импуль-

где

Ĥ₀ — гамильтониан свободного атома, p и

сом в 2D-случае (далее 2D-атом). Для более глубо-

операторы импульса и дипольного момента атома,

кого понимания природы возникновения этих вих-

U — потенциальная энергия,

V — оператор взаимо-

рей данная задача была проанализирована с помо-

действия атома с полем E(t) лазерного излучения.

щью нестационарной теории возмущений. Было по-

Теперь конкретизируем понятие «атом» и от-

казано, что вихри являются результатом интерфе-

дельно рассмотрим случаи 2D-атома водорода и

ренции конечных состояний электрона, образован-

3D-атома, представляющего собой электрон, связан-

ных посредством «двухфотонного» перехода через

ный ПНР.

промежуточные состояния непрерывного спектра.

Выбор 2D-задачи был обусловлен несколькими

2.1. 2D-атом водорода

причинами. Первая причина — существующий ин-

Квантовые вихри, образующиеся при ионизации

терес к системам с пониженной размерностью [25], в

2D-атома водорода, исследовалось нами в работах

качестве которых, к примеру, может выступать мо-

[22, 23] с помощью как численного моделирования

нослой графита [26] или квазидвумерный кристалл

уравнения Шредингера, так и аналитических реше-

[27]. Вторая причина связана с существенными

ний, полученных во втором порядке нестационарной

трудностями, возникающими при численном моде-

теории возмущений. Однако при выводе аналитиче-

лировании процесса ионизации в 3D-пространстве.

ского выражения для амплитуды вероятности b(k, t)

Поэтому естественно попытаться предсказать осо-

того, что вырванный электрон имеет импульс k =

бенности процесса ионизации в 3D-случае, в частно-

= (k_x, k_y), мы ограничились частными случаями и

сти и образование вихрей, основываясь на решении

получили выражения только для b(k_x, k_y = 0, t) и

задачи в пространстве с пониженной размерностью.

b(k_x = 0, k_y, t). Здесь, используя тот же подход, что

В представленной работе, основываясь на

и в работе [23], обобщим полученные ранее результа-

нестационарной теории возмущений, мы исследуем

ты на случай произвольных значений проекций век-

возможность идентификации квантовых вихрей в

тора k.

3D-пространстве на основе результатов, получен-

Невозмущенный гамильтониан

Ĥ₀

и оператор

ных при решении задачи об ионизации 2D-атома

возмущения

V в случае поля, поляризованного

водорода. В качестве 3D-атома будет выступать

вдоль оси x, E(t) = e_x

^E(t), e_x — единичный вектор

электрон, изначально связанный потенциалом

вдоль оси x, имеют вид

нулевого радиуса (ПНР).

(

)

∂²

∂

∂²

Отметим, что выбор такого 3D-атома, обуслов-

Ĥ₀ = -¹

∂ρ²

ρ ∂ρ

ρ² ∂ϕ²

2ρ

(2)

лен несколькими причинами. Во-первых, условия

V = ρ E(t)cosϕ,

ионизации 2D-атома водорода будут выбраны та-

кими, что возможно использовать приближение од-

где ρ, ϕ — полярные координаты вектора r, и, так

ноуровневого атома [22, 23], а также вполне успеш-

же, как в наших предыдущих работах [22, 23], счи-

но заменять кулоновские волны на цилиндрические.

таем заряд ядра равным 1/2.

Во-вторых, задачи, содержащие ПНР, являющегося

Примем следующие приближения. Будем счи-

хорошим приближением для различных физических

тать, что имеет место надбарьерная ионизация и ис-

объектов [28-31], имеют самостоятельный интерес.

пользуем приближение одноуровневого атома. Этот

1036

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Образование квантовых вихрей при ионизации атома. ..

один уровень будет соответствовать основному со-

Искомая амплитуда вероятности b(k, t) выража-

стоянию 2D-атома водорода [32,33],

ется через bkm,10(t) следующим образом:

√

Ψ⁽⁰⁾¹⁰(ρ, ϕ) = R₁₀(ρ)Φ₀(ϕ) =

2/π e^-ρ,

(3)

∫

b(k, t) =

k^′dk^′b_k′_m′,10(t)〈k|Ψ(0)k′m′〉=

в котором атом находился в начальный момент вре-

m^′ 0

мени t₀ = 0. Здесь нижние индексы «10» у волно-

∑

= b_km′,10(t)C_m′i-m′Φ_m′(ϕ_k),

(6)

вой функции — индексы состояния: n = 1 — главное

m^′

квантовое число, характеризующее основное состоя-

ние с энергией E₁ = -1/2 и проекцией момента m =

где C_m = 1 для m ≥ 0 и C_m = (-1)^m для m < 0, а

= 0 на ось z; R_nm(ρ) и Φ_m(ϕ) — соответственно ра-

волновой вектор задается своими полярными коор-

диальная и угловая части волновой функции. Сле-

динатами, k = (k, ϕ_k). Второе равенство в (6) полу-

дующее важное приближение — замена кулоновских

чено с помощью явного вида цилиндрической волны

волн на цилиндрические волны:

в импульсном представлении [35]:

imϕ

Ψ⁽⁰⁾(ρ, ϕ) = J|m|(kρ)Φm(ϕ) = J|m|(kρ)√

(4)

2π

Ψ⁽⁰⁾

(k) ≡ 〈k|Ψ(0)k′_m′ 〉 =

k^′m^′

где J_|m|(kρ) — функция Бесселя первого рода, а

= C_m′i-m′ δ(k′ - k)

Φ_m′(ϕ_k),

(7)

k^′

нижние индексы «km» указывают на то, что элек-

трон обладает энергией E_k = k²/2 = (k2x + k2y)/2

где δ(x) — дельта-функция. С точностью до второго

и проекция его момента на ось z равна m

порядка теории возмущений включительно ампли-

= 0, ±1, ±2, . . .

туда (6) имеет вид

Применяя нестационарную теорию возмущений

[34] к уравнению Шредингера и используя перечис-

∑

ленные приближения, можно получить следующую

b(k, t) = -i

b(1)km,10(t)Φ_m(ϕ_k)+

m=±1

систему уравнений (формула (14) в работе [23]) для

∑

нахождения амплитуды вероятности bkm,10(t) того,

+ b(2)k0,10(t)Φ₀(ϕ_k) -

b(2)km,10(t)Φ_m(ϕ_k),

(8)

что вырванный электрон к моменту времени t нахо-

m=±2

Ψ⁽⁰⁾

дится в состоянии

(ρ, ϕ):

где верхние индексы у амплитуд указывают на по-

(1,2)

рядок теории возмущений. Величины b

(t) легко

km,10

bkm,10(t) = -

(δm,1 + δm,-1)

находятся из системы (5) [23].

(k² + 1)5/2

Формулы (6), (8) являются обобщением формул

∫t

(15), (16) из [23] на случай произвольного направле-

^E(t^′) exp(iωk1t^′) dt^′ -

ния вектора k.

)∫ t

⁽ |m| ∓ 1

∂

∓

^E(t^′)bkm-1,10(t^′) dt^′ -

∂k

2.2. 3D-атом

)∫t

Теперь рассмотрим трехмерную задачу, где в ка-

⁽ |m| ± 1

∂

E(t^′)bkm+1,10(t^′) dt^′,

(5)

честве 3D-атома будет выступать электрон, связан-

∂k

ный ПНР U(r). Явный вид невозмущенного гамиль-

тониана

Ĥ₀

имеет вид

где δ_m,m′ — символы Кронекера, верхний знак для

(

)

слагаемого с bkm-1,10(t^′) соответствует значениям

∂

m ≥ 1, а нижний — m ≤ 0. Для слагаемого с

Ĥ₀ = -¹

r²

- U(r),

(9)

r² ∂r

∂r

r²

bkm+1,10(t^′) верхний знак используется для значений

m ≥ 0, а нижний — для m ≤ -1. Частота перехода

ωk1 = E_k -E₁. Система (5) представляет собой урав-

гдеl2 — оператор квадрата момента импульса элект-

нение Дайсона для амплитуды bkm,10(t), где было

рона. Оператор взаимодействия

V представлен фор-

проведено суммирование по всем промежуточным

мулой (1), где пока не будем конкретизировать по-

состояниям непрерывного спектра.

ляризацию поля E(t).

1037

Н. В. Ларионов, Д. Н. Макаров, А. А. Смирновский, С. Ю. Овчинников

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

В ПНР имеется всего одно связанное состояние с

где n — единичный вектор, а его матричные элемен-

равным нулю орбитальным квантовым числом l = 0,

ты отличны от нуля, когда l = l^′∓1 [36]. Таким обра-

энергией E₁ = -α²/2 и волновой функцией

зом, необходимо вычислить радиальные матричные

элементы r_kl,k′l∓1. Это можно проделать так же, как

Ψ⁽⁰⁾¹⁰⁰(r, θ, ϕ) = R₁₀(r)Y₀₀(θ, ϕ) =

и в [23], тогда получаем

√

-αr

2α

√

(10)

∫

∞

4π

rkl,k′ l∓1 =

R_kl(r)rR_k′_l′ (r)r²dr =

где Y_lm(θ, ϕ) — сферическая функция (l = 0, m = 0)

и α определяет мощность ПНР. Для непрерывного

∫

∞

спектра энергия равна E_k = k²/2 и волновые функ-

= Jl+1/2(kr)Jl+1/2∓1(k^′r)r²dr =

ции представлены сферическими волнами

)

⁽l + 1/2 ∓ 1

Ψ(0)klm(r, θ, ϕ) = R_kl(r)Y_lm(θ, ϕ) =

∓

δ(k^′ - k),

(15)

dk k^′

Jl+1/2(kr)

Y_lm(θ, ϕ),

(11)

а для перехода из связанного состояния в непрерыв-

√r

ный спектр —

где радиальная часть, так же как и в 2D-случае,

∞

∫

нормирована по «шкале энергии»,

rk1,10 =

Rk1(r)rR₁₀(r)r²dr =

∞

∫

R_kl(r)R_k′_l(r)r²dr =

^√α k3/2

(16)

π (k² + α²)²

δ(k^′ - k) = δ(E_k′ - E_k).

(12)

k^′

Используя выражения (14) и (15), уравнение (13)

может быть записано в следующем виде:

Найдем амплитуду вероятности b(k, t) того, что

вырванный электрон имеет импульс k = (k_x, k_y, k_z ).

bklm,100(t) = -iδl1rkl,10 ×

Следуя работе [23], где было проведено суммирова-

∫t

ние рядов теории возмущений, можно получить сле-

× exp(iωk1t^′) (E(t^′) · nlm,00) dt^′ -

дующее уравнение Дайсона (см. уравнение (9) в [23])

для определения амплитуды вероятности bklm,100(t)

)

того, что вырванный электрон находится в состоя-

∑

⁽l - 1/2

-i

нии Ψ(0)klm(r, θ, ϕ):

m^′=-(l-1)

bklm,100(t) =

∫

∫^t

∫

× bkl-1m′,100(t^′)(E(t^′) · nlm,l-1m′ ) dt^′ -

∑

= -i V Iklm,100(t^′)dt^′ - i

k^′dk^′ ×

)

l^′=0 m^′=-l^′ 0

∑

⁽l + 3/2

-i

∫^t

m^′=-(l+1)

× V ^Iklm,k′_l′_m′ (t^′)b_k′_l′_m′,100(t^′) dt^′,

(13)

∫

× bkl+1m′,100(t^′)(E(t^′) · nlm,l+1m′ ) dt^′.

(17)

где матричные элементы оператора возмущения

в представлении взаимодействия (верхний индекс

«I») имеют вид

Искомая амплитуда b(k, t) записывается через

bklm,100(t) следующим образом:

V Iklm,k′_l′_m′ (t) =

= exp(ω_kk′ t)(E(t) · n_lm,l′_m′ )r_kl,k′_l′ ,

∫

∑

∫

b(k, t) =

k^′dk^′b_k′_l′_m′,100(t)〈k|Ψ(0)k′l′m′ 〉 =

n_lm,l′_m′ = Y^∗lm(θ, ϕ)nY_l′_m′ (θ, ϕ)dΩ,

(14)

l^′=0 m^′=-l^′

∫∞

∑

i-l′

√

b_kl′_m′,100(t)Y_l′_m′ (θ_k, ϕ_k),

(18)

r_kl,k′_l′ =

R_kl(r)rR_k′_l′ (r)r²dr,

l^′=0 m^′=-l^′

1038

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Образование квантовых вихрей при ионизации атома. ..

где волновой вектор задается своими сферическими

относительно оси k_x локальных минимума распре-

координатами, k = (k, θ_k, ϕ_k). Второе равенство в

деления — центры квантовых вихрей. Анализ век-

(18) получается после подстановки явного выраже-

тора плотности потока вероятности, проведенный в

ния для сферической волны в импульсном представ-

[22], показал, что поле скоростей электрона вокруг

лении [37]

этих центров образует вихревую структуру — кван-

товый вихрь. Из численного расчета следует, что

〉=

точки локализаций вихрей есть (k_x = 0, k_y ≈ ±2.3).

^′l^′m^′

На рис. 1б представлены результаты, полученные

=i-l′ δ(k-k′)

Y_l′_m′ (θ_k, ϕ_k).

(19)

с помощью аналитического выражения (8). Также

k3/2

видны центры двух квантовых вихрей. Используя

С точностью до второго порядка теории возмуще-

(8), можно легко вычислить точки локализации этих

ний включительно амплитуда (18) равна (ср. с фор-

вихрей: |b(k_x = 0, k_y)| = 0. Отсюда k_y = ±2.2985, что

мулой (8))

совпадает с результатами численных расчетов.

Теперь проведем сравнение результатов, пред-

∑

b(k, t) = -i

√

b(1)k1m′,100(t)Y1m′ (θk, ϕk)+

ставленных на рис.

1, с соответствующими ре-

m^′=±1

зультатами в 3D-случае. Мощность ПНР α выбе-

рем равной единице, так что энергия связанно-

√

b(2)k00,100(t)Y₀₀(θ_k, ϕ_k)-

го уровня будет такой же, как и у 2D-атома во-

∑

дорода (см. формулы (3) и (9) и текст под ни-

√

b(2)k2m′,100(t)Y2m′ (θk, ϕk).

(20)

ми). Если, используя формулу (20), построить в

m^′=0,±2

плоскости (k_x, k_y, k_z

= 0) график распределения

Явные аналитические выражения для амплитуд

|b(k_x, k_y, k_z = 0, t > T )| ≡ |b(k_x, k_y, 0)|, то получится

b(1,2)klm,100(t) могут быть легко получены из систе-

картина, практически идентичная представленной

мы (17).

на рис. 1б: локализации минимумов и максимумов

будут полностью совпадать.

Проанализируем

теперь

распределение

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

|b(k_x, k_y, kz = 0)|, но в плоскости (kx, ky, kz = -2)

(рис. 2а). Видно, что центры двух возможных вих-

В качестве «реперных» используем результа-

рей сместились к началу координат. Таким образом,

ты численных расчетов, полученные нами ранее

основываясь на симметрии возбуждения 3D-ато-

[22], где поле лазерного импульса, ионизирующее

ма, естественно предположить, что запрещенная

2D-атом водорода, моделировалось выражением

область для электрона, соответствующая центру

√

квантового вихря, представляет собой тонкое коль-

4ω

E(t) = e_x

цо, лежащее в плоскости, перпендикулярной силе,

2ωT + sin(2ωT)

вырывающей электрон, т. е., в нашем случае, в

× E0 cos(ωt)[θ(T - t) - θ(-t)].

(21)

плоскости (k_y, k_z ). На рис. 2б в импульсном 3D-про-

странстве можно видеть эту запрещенную область

Здесь θ(x) — ступенчатая функция Хэвисайда,

E₀ —

(темное полукольцо).

не зависящая от времени амплитуда, ω и T — часто-

На рис. 2в и г сравниваются зависимости рас-

та и длительность импульса. Импульс (21) норми-

пределений |b(k_x, k_y)|, |b(k_x, k_y, k_z )| от одного из ар-

рован так, что интеграл от интенсивности по все-

гументов, k_x или k_y, при фиксированном нулевом

му времени действия импульса равен

E²⁰. Сначала

одном аргументе для 2D-атома и фиксированных

проверим полученную формулу (8). На рис. 1 для

нулевых двух аргументах для 3D-атома. Отчетли-

E₀

параметров поля (21)

= 0.5, ω = π, T

= 2,

во видно, что нули распределений, соответствующие

представлено распределение по импульсам электро-

центрам квантовых вихрей, полностью совпадают.

на |b(k_x, k_y, t > T )| ≡ |b(k_x, k_y)|, вырванного в про-

Отличия кривых друг от друга связаны с различием

цессе ионизации (для более четкого отображения

перераспределений переданной электрону энергии.

центров квантовых вихрей на графиках строятся

Так, в частности, для 3D-атома во втором поряд-

кривые не для квадрата модуля |b|², а для модуля

ке теории возмущений появляются четыре сфериче-

амплитуды |b|).

ские волны, характеризующиеся квантовыми числа-

На рис. 1а приведены данные численного расче-

ми l = 0, m = 0; l = 2, m = 0, ±2 (20), тогда как для

та из работы [22]. Четко видны два симметричных

2D-атома в этом же порядке присутствуют только

1039

Н. В. Ларионов, Д. Н. Макаров, А. А. Смирновский, С. Ю. Овчинников

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

k_y

ln|b|

|b|

–5.0

1.0

0.5

0.2

-7.5

0.1

0.05

–10.0

0.02

0.01

0.005

-2

-12.5

-4

0.002

0.001

-15.0

-4

–8

–4

-2

k_x

Рис. 1. (В цвете онлайн) Распределение по импульсам электрона в конечном состоянии |b(kx, ky )|: a — численный расчет

из работы [22]; б — аналитический расчет по формуле (8). Параметры импульса:

E₀ = 0.5, ω = π, T = 2

k_y

k_x

-2

ln|b|

-4

-2

-6

-8

-10

k_y

-10

-12

-2

-12

-14

-3

-4

-2

-1

k_z

-4

-2

k_x

0.05

0.014

0.04

0.012

0.010

0.03

0.008

0.02

0.006

0.004

0.01

0.002

-4

-2

-4

-2

k_x

k_y

Рис. 2. (В цвете онлайн) Распределение по импульсам электрона в конечном состоянии, 2D- и 3D-случаи: a —

|b(kx, ky , kz )| (сплошная линия). Все графики получены с помощью формул (8) и (20). Параметры импульса:

E₀ = 0.5,

ω=π, T =2

1040

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Образование квантовых вихрей при ионизации атома. ..

k_y

k_x

-2

ln|b|

-4

|b|

-2

1.0

-6

0.5

0.2

-8

0.1

0.05

k_y

-10

0.02

-2

0.01

-12

0.005

0.002

-14

0.001

–4

-3

-2

-4

-2

-1

k_z

k_x

0.014

0.04

0.012

0.03

0.010

0.008

0.02

0.006

0.004

0.01

0.002

-4

-2

-4

-2

k_x

k_y

Рис. 3. (В цвете онлайн) Распределение по импульсам электрона в конечном состоянии: a) |b(kx, ky)| — численный рас-

чет из работы [22]; б) ln(|b(kx, ky, kz)|) — аналитический расчет с помощью формулы (20); в и г — сравнение 2D-случая

|b(kx, ky )| (штриховая линия) с 3D-случаем |b(kx, ky , kz )| (сплошная линия). Графики в и г получены с помощью формул

(8) и (20). Параметры импульса:

E₀ = 0.5, ω = π, T = 3

три типа цилиндрических волн с квантовыми чис-

пульсом. Во втором порядке нестационарной тео-

лами m = 0; m = ±2 (8).

рии возмущений как в 2D-, так и в 3D-случае по-

На рис. 3 представлены результаты расчетов для

лучены аналитические выражения (8), (20) для ам-

случая, когда продолжительность импульса T

плитуд вероятности того, что вырванный электрон

= 3. В 2D-случае появляются две пары вихрей

имеет определенный импульс. Показано, что реше-

(рис. 3a), расположенных симметрично относитель-

ния 2D-задачи позволяют идентифицировать запре-

но оси k_x [22]. При ионизации в 3D-пространстве,

щенную для электрона область в 3D-пространстве,

область, соответствующая центрам квантовых вих-

которая может быть интерпретирована как центр

рей, представляет собой два концентрических коль-

квантового вихря. Эта область для рассмотренно-

ца (рис. 3б). На рис. 3в и 3г сравниваются зависимо-

го случая ионизации линейно-поляризованным све-

сти распределений |b(k_x, k_y)|, |b(k_x, k_y, k_z )| от одного

том представляет собой тонкое кольцо или несколь-

из аргументов, k_x или k_y . Видно, что в плоскости

ко концентрических колец, лежащих в плоскости,

(k_x, k_y) локализации нулей распределений для 2D-

перпендикулярной силе, вырывающей электрон.

и 3D-атомов полностью совпадают и их координаты

Так же как и в 2D-случае [23], возникновение

равны k_x = 0, k_y = ±1.7857, ±2.7161.

нулей волновой функции в 3D-пространстве, соот-

ветствующих квантовым вихрям, может быть объ-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

яснено квантовой интерференцией конечных состо-

В данной статье теоретически исследованы кван-

яний вырванного электрона: состояний с амплиту-

товые вихри, возникающие при надбарьерной иони-

дами b(2)klm,100(t), см. формулу (20). Эти конечные

зации 2D- и 3D-атомов сверхкоротким лазерным им-

состояния, в свою очередь, появляются в результа-

1041

Н. В. Ларионов, Д. Н. Макаров, А. А. Смирновский, С. Ю. Овчинников

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

те «двухфотонного» перехода через промежуточные

Н. Н. Розанов, Опт. и спектр. 124(1), 75 (2018).

состояния непрерывного спектра.

N. V. Larionov and M. I. Kolobov, Phys. Rev. A 88,

Мы ограничились рассмотрением случая надба-

013843 (2013).

рьерной ионизации и выбрали параметры ионизи-

рующего импульса такие, что в расчетах можно бы-

S. Ritter, C. Nlleke, C. Hahn et al., Nature 484, 195

ло использовать приближение одноуровневого ато-

(2012).

ма. Таким образом, развитый в работе теоретиче-

J. S. Bell, Physics 1(3), 195 (1964).

ский подход не учитывает переходы электрона в ко-

нечное состояние непрерывного спектра через про-

A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger, Phys. Rev.

межуточные состояния дискретного спектра. Одна-

Lett. 47, 460 (1981).

ко известно, что внутренняя структура атома мо-

P. G. Kwiat, K. Mattle, H. Weinfurter, A. Zeilinger,

жет существенно влиять на различные интерферен-

A. V. Sergienko, and Y. Shin, Phys. Rev. Lett. 75,

ционные процессы, в частности это имеет место и

4337 (1995).

для волн электромагнитной природы при их рассе-

янии на атомных системах [38]. Поэтому изменяя

10.

D. N. Makarov, Sci. Rep. 8, 8204 (2018).

несущую частоту, а также величину ионизирующе-

11.

D. N. Makarov, Phys. Rev. A 99, 033850 (2019).

го поля и тем самым задействуя некоторые возбуж-

денные состояния дискретного спектра атома, мож-

12.

S. Yu. Ovchinnikov, J. H. Macek, and D. R. Schultz,

но влиять на структуру и локализацию квантовых

Phys. Rev. A 90, 062713 (2014).

вихрей в пространстве.

13.

L. Ph. H. Schmidt, C. Goihl, D. Metz, H. Schmidt-

Отметим, что в упомянутой выше работе [21] ис-

Böcking, R. Dörner, S. Yu. Ovchinnikov, J. H. Macek,

пользовалось распределение вихревых фотоэлект-

and D. R. Schultz, Phys. Rev. Lett. 112, 083201

ронов, образованных в процессе ионизации низкоча-

(2014).

стотным лазерным импульсом длительностью T ≫

≫ 10, для корректного описания которых необходи-

14.

J. M. Ngoko Djiokap, S. X. Hu, L. B. Madsen,

мо учитывать эффекты туннелирования. Перерассе-

N. L. Manakov, A. V. Meremianin, and A. F. Starace,

Phys. Rev. Lett. 115, 113004 (2015).

яние вихревых фотоэлектронов, образованных при

такой ионизации, может рассматриваться как до-

15.

J. M. Ngoko Djiokap, A. V. Meremianin, N. L. Ma-

полнение к существующим методам низкочастотной

nakov, S. X. Hu, L. B. Madsen, and A. F. Starace,

спектроскопии молекул.

Phys. Rev. A 94, 013408 (2016).

Следует добавить, что основное отличие нашей

16.

P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London A 133, 60

работы от работы [21] состоит в выбранных пара-

(1931).

метрах ионизирующего поля. Так, в нашем случае

рассматривается длительность импульса T ∼ 1, ам-

17.

T. Takabayashi, Progr. Theor. Phys. 8, 143 (1952).

плитуда поля

E₀ ∼ 1 и частота ω ∼ 1, тогда как в

[21] T ≫ 10, F₀ ≡

E₀ ≪ 1, ω ≪ 1. Все это позволи-

18.

I. Bialynicki-Birula, M. Kalinski, and J. H. Eberly,

Phys. Rev. Lett. 73, 1777 (1994).

ло сосредоточить наше внимание на выявлении фи-

зических механизмов образования вихревых струк-

19.

I. Bialynicki-Birula, Z. Bialynicka-Birula, and C. Sli-

тур при ионизации, пренебрегая при этом возмож-

wa, Phys. Rev. A 61, 032110 (2000).

ностью процесса перерассеяния электрона на роди-

тельском ионе.

20.

А. Л. Санин, А. А. Смирновский, Физика. Кван-

товая динамика, Изд-во Политехнического ун-та,

Санкт-Петербург (2012).

ЛИТЕРАТУРА

21.

O. I. Tolstikhin and T. Morishita, Phys. Rev. A 99,

063415 (2019).

1. F. Krausz and M. Ivanov, Rev. Mod. Phys. 81, 163

(2009).

22.

С. Ю. Овчинников, Н. В. Ларионов, A. A. Смир-

новский, A. A. Шмидт, Научно-технические ведо-

2. Б. М. Карнаков, В. Д. Мур, С. В. Попруженко,

мости СПбГПУ, Физико-матемаческие науки 10,

В. С. Попов, УФН 185, 3 (2015).

111 (2017).

3. Д. Н. Макаров, В. И. Матвеев, ЖЭТФ 152, 227

23.

Н. В. Ларионов, С. Ю. Овчинников, A. A. Смир-

(2017).

новский, A. A. Шмидт, ЖТФ 88, 1621 (2018).

1042

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Образование квантовых вихрей при ионизации атома. ..

24. С. Ю. Овчинников, А. А. Смирновский,

32. X. L. Yang, S. H. Guo, F. T. Chan, K. W. Wong, and

А. А. Шмидт, Письма в ЖТФ 42, 37 (2016).

W. Y. Ching, Phys. Rev. A 43, 1186 (1991).

25. В. Я. Демиховский, Г. А. Вугальтер, Физика кван-

33. D. G. W. Parfitt and M. E. Portnoi, J. Math. Phys.

товых низкоразмерных структур, Логос, Москва

43, 4681 (2002).

(2000).

34. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая ме-

ханика (нерелятивистская теория), Физматлит,

26. K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gel-

Москва (2004).

lert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192

(2012).

35. B. A. Диткин, А. П. Прудников, Интегральные

преобразования и операционное исчисление, Физ-

27. С. А. Тарасенко, УФН 188, 1129 (2018).

матгиз, Москва (1961).

28. И. Ю. Попов, Письма в ЖТФ 27(20), 25 (2001).

36. Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Хер-

сонский, Квантовая теория углового момента.

29. Ю. Н. Демков, В. Н. Островский, ЖЭТФ 59, 1765

Аппарат неприводимых тензоров. Сферические

(1970).

функции. 3nj-символы, Наука, Ленинград (1975).

30. М. К. Есеев, В. И. Матвеев, В. М. Юлкова, Опт. и

37. З. Флюгге, Задачи по квантовой механике, т. 1,

спектр. 111, 360 (2011).

Мир, Москва (1974).

31. Б. С. Павлов, ТМФ 59, 345 (1984).

38. Н. В. Ларионов, И. М. Соколов, ЖЭТФ 154, 310

(2018).

1043