ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 6 (12), стр. 1044-1063

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНТЕРВАЛ 1S-2S

В МЮОННЫХ ВОДОРОДЕ И ГЕЛИИ

А. Е. Дороховa*, А. П. Мартыненкоb**, Ф. А. Мартыненкоb***,

О. С. Сухорукова^b, Р. Н. Фаустовc****

^a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова,

Объединенный институт ядерных исследований

141980, Дубна, Московская обл., Россия

^b Самарский национальный исследовательский университет

443011, Самара, Россия

^c Институт образовательной информатики ФИЦ Информатика и управление Российской академии наук

119333, Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 мая 2019 г.,

после переработки 29 июня 2019 г.

Принята к публикации 3 июля 2019 г.

В рамках квазипотенциального метода в квантовой электродинамике выполнен расчет интервала боль-

шой структуры спектра энергий (1S-2S) в мюонных водороде и гелии. Учтены поправки порядка α⁴, α⁵,

α⁶, которые определяются релятивистскими эффектами, эффектами поляризации вакуума, структуры

ядра и отдачи, а также комбинированными поправками, включающими перечисленные. Эффекты струк-

туры ядра выражены в терминах зарядового радиуса ядер в случае однофотонного взаимодействия и

электромагнитных формфакторов ядер в случае двухфотонного взаимодействия. Полученные численные

значения для интервала (1S-2S) могут быть использованы для сравнения с будущими эксперименталь-

ными данными и для более точного определения зарядовых радиусов ядер.

DOI: 10.1134/S0044451019120022

рены три частоты переходов между уровнями

2P и 2S: (2SF=3/21/2-2PF=5/23/2),

(2SF=1/21/2-2PF=3/23/2),

1. ВВЕДЕНИЕ

(2SF=1/21/2-2PF=1/23/2)

[3]. Лазерная спектроскопия

обеспечивает уникальные возможности для про-

Квантовая электродинамика (КЭД) связанных

верки и дальнейшего развития теоретических

состояний — одна из самых успешных теорий в

моделей, связанных с изучением фундаментальной

современной физике, которая была проверена с по-

структуры материи. Выполненные исследования

мощью прецизионных измерений в широком классе

с мюонным водородом показали, что существует

задач. Текущая экспериментальная программа

значительное расхождение в величинах зарядового

коллаборации CREMA (Charge Radius Experiments

радиуса протона и дейтрона, которые получаются

with Muonic Atoms) по исследованию тонкой и

из экспериментов с электронными и мюонными

сверхтонкой структуры спектров энергии про-

атомами [4-7]. Эта проблема, получившая название

стейших мюонных атомов успешно выполняется,

«загадки радиуса протона», остается нерешенной

начиная с 2010 г., когда были измерены частоты

уже в течение длительного времени, хотя пред-

двух переходов (2SF=11/2-2PF=23/2) и (2SF=01/2-2PF=13/2)

принимаются многочисленные попытки для ее

в мюонном водороде [1, 2]. В мюонном дейтерии

решения. Следует заметить, что предварительные

методами лазерной спектроскопии были изме-

результаты по спектроскопии мюонного гелия

показывают, что такого расхождения в результатах

^* E-mail: dorokhov@theory.jinr.ru

для этих ионов не наблюдается. Только в случае

^** E-mail: a.p.martynenko@samsu.ru

простейших двухчастичных атомов теоретические

^*** E-mail: f.a.martynenko@gmail.com

^**** E-mail: faustov@ccas.ru

подходы достаточно хорошо разработаны, чтобы

1044

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

рассчитать как электронную, так и ядерную струк-

[11, 17-32] (см. другие ссылки в [4, 31]), посвящен-

туру из первых принципов. Одной из возможных

ные исследованию различных поправок в спектре

задач будущих экспериментов может быть измере-

энергии мюонных атомов, величина энергетическо-

ние частоты перехода (1S-2S) в мюонном водороде

го интервала (1S-2S) не изучалась с хорошей точно-

и ионах мюонного гелия. Теоретическая величина

стью. Оценка некоторых основных вкладов в интер-

интервала (1S-2S) содержит вклад на конечный

вал (1S-2S) для мюонного водорода была сделана

размер ядра порядка (Zα)⁴, который численно ве-

нами в работе [33]. Поэтому цель данной работы со-

лик по сравнению с другими поправками. Поэтому

стояла в прецизионном расчете интервала большой

такие эксперименты дополнили бы уже существу-

структуры (1S-2S) в атомах мюонного водорода и

ющие и, возможно, дали бы новую информацию о

ионах мюонного гелия, включенных в эксперименты

зарядовых радиусах легких ядер. Решение данной

коллаборации CREMA.

задачи требует соответствующего прецизионного

теоретического расчета перехода (1S-2S).

2. ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА В

ОДНОФОТОННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

Известно, что для атома электронного водорода

и дейтерия интервал большой структуры (1S-2S)

Наш подход к прецизионному расчету интерва-

был измерен с очень высокой точностью в [8-10].

ла большой структуры (1S-2S) основан на квазипо-

Так, для электронного водорода было получено зна-

тенциальном методе в квантовой электродинамике

чение [8]

[17,18,24]. Двухчастичное связанное состояние опи-

f1S-2S = 2466061413187035(10) Гц,

сывается уравнением Шредингера, а основной вклад

(1)

δ = 4.06 · 10-15.

в оператор взаимодействия частиц определяется га-

мильтонианом Брейта. Основной вклад в тонкую

Частотный интервал между состояниями 1S и

структуру спектра S-состояний водородоподобных

2S, равный 2455528940.6(9.1)(3.7) МГц был измерен

атомов, состоящих из частиц с массами m₁ (масса

также в мюонии в [10] в хорошем соответствии с

мюона), m₂ (масса ядра), может быть представлен

предсказаниями КЭД для связанных состояний [11].

с точностью O((Zα)⁶) (μ — приведенная масса) в

Новый эксперимент в мюонии MU-MASS (muonium

виде [11]

laser spectroscopy) [12] направлен на увеличение точ-

μ(Zα)²

μ(Zα)⁴

ности измерения частоты перехода (1S-2S) в тысячу

E_n = m₁ + m₂ -

2n²

2n³

раз (с точностью 10 кГц или 4 ppt). Аналогичный

[

]

μ²

m₁(Zα)⁶

эксперимент для иона гелия вступил в завершаю-

× 1-

щую стадию [13,14].

4m₁m₂n

16n⁶

Недавно в работе [15] была измерена частота пе-

× (2n³ + 6n² - 12n + 5).

(3)

рехода (1S-3S) в атоме водорода с относительной

точностью 9 · 10-13:

Данная формула правильно учитывает поправку на

отдачу (Zα)⁴m²¹/m²² для ядер спина 1/2. В слу-

f1S-3S = 2922743278671.5(2.6) кГц.

(2)

чае ядер со спином 0 и 1 необходимо ввести до-

Этот результат вместе с частотой перехода (1S-2S)

полнительную поправку на отдачу в порядке (Zα)⁴

[11, 34, 35] (см. разд. 4). Эффекты отдачи порядка

в водороде дает значение постоянной Ридберга и за-

рядового радиуса протона, которые находятся в хо-

(Zα)⁶ в формуле (3) не учтены и обсуждаются в

разд. 5.

рошем согласии с текущими значениями, рекомен-

дуемыми CODATA [16], но отличаются от значений,

Важный класс поправок к уровням энергии со-

ставляют поправки на поляризацию вакуума. Хотя

полученных из спектроскопии мюонных атомов.

Поскольку экспериментальная точность измере-

их величина уменьшается с увеличением количества

петель в поляризационном операторе, учет вкла-

ния интервала (1S-2S) для ряда простейших ато-

мов очень высока и продолжает расти, имеется пер-

дов до трех петель включительно является необ-

спектива использовать этот интервал для поиска

ходимым для достижения высокой точности расче-

та. Однопетлевая поляризация вакуума приводит к

эффектов Новой физики, лежащей за пределами

Стандартной модели. Спектроскопия чисто лептон-

модификации кулоновского потенциала и в коор-

динатном представлении определяется следующим

ных систем, а также легких мюонных атомов может

помочь в оценке возможных проявлений спин-за-

выражением (индекс «vp» обозначает здесь и ниже

электронную поляризацию вакуума, а индекс «C» —

висящих и спин-независящих сил темной материи.

Несмотря на имеющиеся многочисленные работы

вклад кулоновского взаимодействия):

1045

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

∫

∞

(

)

В первом порядке теории возмущений потенциал

Zα

V^Cvp(r) =

dξ ρ(ξ)

e-2meξr

(4) дает следующие сдвиги уровней энергии 1S и 2S

3π

(4)

(b₁ = m_e/W , W = μZα, Z — заряд ядра):

√

ξ² - 1 (2ξ²

+ 1)

ρ(ξ) =

ξ⁴

√

(

)

(

)

4μ(Zα)²α

² -1

12πb₁₃ - 24b₁₂ + 9πb₁ - 22

-6

4b₁₄ + b₁₂ - 2

sec-1(b₁)

ΔE_vp(1S) = -

√

(5)

3π

b₁₂ - 1

⎡

⎢

μ(Zα)²α

⎢

1(b1(16b1(b1(3b1(56b1(πb1 - 1) - 25π) + 68) + 6π) - 49) + 9π) - 7

ΔE_vp(2S) = -

⎢^b

⎢

(

)₂

6π

⎣

4b₁₂ - 1

(

)⎤

(

)

2ib₁

3584b

⁸ - 2048b₁₆ + 300b₁₄ + 10b₁₂ - 1

-√

⎥

4b₁₂ - 1 - i

⎥

^⎥.

(6)

(

)5/2

⎥

4b₁₂ - 1

⎦

{

[

(

)

Соответствующие численные значения этих вкладов

1-v

f (v) = v

(3 - v²)(1 + v²) Li2

для интервала (2S-1S) представлены в табл. 1 (ли-

1+v

ния 2). Они выписаны для определенности с точно-

]

стью до четырех десятичных знаков, так как ошиб-

⁽1-v⁾

1+v

+ 2Li₂

- ln

ln v

ки, связанные с погрешностями определения фун-

1+v

1-v

даментальных физических констант, значительно

]

меньше. Выражения (5), (6) можно использовать и

^[11

v⁴

1+v

(3 - v²)(1 + v²) +

для численной оценки вклада мюонной поляризации

1-v

вакуума, заменяя массу электрона на массу мюона.

]

}

^[3

1-v²

Численное значение вклада при этом резко умень-

v(3-v²) ln

-2v(3-v²) ln v +

v(5-3v²)

шается, что связано с уменьшением общего поряд-

ка такого вклада за счет множителя α² (см. линию

3 в табл. 1, 2). Численное значение этой поправки

Li₂(z) — дилогарифм Эйлера. Тогда в координат-

несколько отличается от того, которое получается,

ном представлении оператор взаимодействия час-

если использовать аналитическое выражение в ве-

тиц принимает удобный для последующего расчета

дущем порядке ΔE_mvp(2S-1S) = 7α(Zα)⁴μ³/30πm²¹.

сдвига энергии вид:

Оператор (4) дает также вклады в старших поряд-

ках теории возмущений, которые рассмотрены ни-

)₂

2Zα⁽α

же. В однофотонном взаимодействии имеются так-

ΔVC1γ,2-loopvp(r) = -

3r π

же вклады двухпетлевой и трехпетлевой поляриза-

ций вакуума (см. рис. 1, рис. 2, рис. 3, рис. 4).

∫

(

)

f (v) dv

2m_er

В случае вкладов поляризационного оператора

exp

-√

(8)

1-v²

четвертого порядка (рис. 1) можно построить по-

тенциал взаимодействия частиц и сдвиг уровней

энергии в интегральной форме, используя замену

Численный вклад (8) включен в табл. 1 вместе с

в фотонном пропагаторе в импульсном представле-

другим вкладом двухпетлевой поляризации ваку-

нии [36]:

ума с двумя последовательными петлями, который

∫

обозначен далее индексом «vp-vp». В импульсном

2⁽α⁾2

f (v) dv

→

(7)

представлении соответствующий потенциал взаимо-

k²

4m2e

+ k²(1 - v²)

действия частиц имеет вид

1046

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

Рис. 3. Эффекты трехпетлевой поляризации вакуума с

двумя фермионными циклами в однофотонном взаимо-

действии

Рис. 1. Эффекты однопетлевой и двухпетлевой поляриза-

ций вакуума в однофотонном взаимодействии

Рис. 2. Эффекты трехпетлевой поляризации вакуума с

Рис. 4. Эффекты трехпетлевой поляризации вакуума в

однофотонном взаимодействии и третьем порядке теории

одним фермионным циклом в однофотонном взаимодей-

ствии

возмущений

∫

∞

∫

∞

петле), заметим, что они изучались в случае лэм-

V^Cvp-vp(k²) = -4π(Zα)

ρ(ξ) dξ ρ(η) dη ×

9π²

бовского сдвига (2P-2S) в работах [37, 38]. Удобно

разделить этот вклад на две части с одним и дву-

2α²(Zα)

мя фермионными циклами. Полезно заметить, что в

(k² + 4m2eξ²)(k² + 4m2eη²)

9π

[39] была получена общая параметрическая форму-

∫∞

∫

∞

{

ла для вкладов на рис. 2, 3, но использовать ее для

× ρ(ξ) dξ ρ(η) dη

получения численных оценок сложно в силу оста-

k² + 4m2eξ²

k² + 4m2eη²

ющихся многократных интегралов по фейнманов-

[

]}

ξ² + η

ским и спектральным параметрам, а также проведе-

(9)

η² - ξ²

k² + 4m2eξ²

k² + 4m2eη2

ния процедуры перенормировки. Более удобная для

практического использования формула была полу-

После преобразования Фурье (9) принимает вид су-

чена в [37, 40] для вклада восьми диаграмм:

перпозиции юкавовских потенциалов, распределен-

ной с некоторой плотностью:

Π⁽¹⁾

Π⁽¹⁾³(z) =

(z) - 4Π₂(z) - (1 - z)G(z) ×

∫

∞

∫

∞

(

)

Zα

⁽9

229

173

ρ(ξ) dξ ρ(η) dη

G(z) +

(11)

VC1γ,vp-vp(r) =

9π²

32z

(ξ²e-2meξr - η²e-2meηr).

(10)

ξ² - η²

(1)

Π⁽¹⁾

(z) =

(z)(-∞) +

При вычислении матричных элементов (8), (10) ин-

тегрирование по координатам выполняется анали-

(1 + ω)² ã₀ + ã₁ω + ã₂ω + ã₃ω

тически, а последующее интегрирование по спект-

1-ω

b₀ +b1ω +b2ω +b3ω

ральным параметрам — численно. Вклад (8), (10)

имеет порядок α²(Zα)² и численно велик (см. стро-

явный вид входящих сюда функций и их асимпто-

ки 6 в табл. 1, 2), поэтому необходимо рассмотреть

тические значения можно найти в [37, 40]. Коэффи-

поправки следующего по α порядка.

циенты паде-аппроксимации ã_i,

bi выписаны в [38].

Переходя ко вкладам поляризационного опера-

Общая формула для вклада поляризационного опе-

тора шестого порядка (в данном случае шесть озна-

ратора (11) (вклад восьми диаграмм на рис. 2) в

чает число вершин взаимодействия в вакуумной

сдвиг (1S-2S) имеет вид

1047

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

)₃

∞

⁽α

∫

ΔEvp-8(2S-1S) =

μ(Zα)²

Zα α³

V^Cvp-vp-vp(r) = -

ρ(ξ) dξ ρ(η) dη ×

(3π)³

∫∞

)

s²(104 + 87s² + 51s⁴ + 14s⁶)

⁽ s

Π⁽¹⁾

(12)

∞

[

∫

(1 + s²)⁴(4 + s²)²

4b²

ζ⁴

× ρ(ζ) dζ e-2meζr

+e-2meξr ×

(ξ²-ζ²)(η²-ζ²)

]

ξ⁴

η⁴

а численные значения интервала (2S-1S) мюонного

+e-2meηr

(15)

водорода и гелия равны

(ζ²-ξ²)(η²-ξ²)

(ξ²-η²)(ζ²-η²)

⎧

∫

∞

⎪0.0156 мэВ, (μp),

4μα³(Zα)

⎪

VCvp-2-loopvP = -

ρ(ξ) dξ ×

⎪0.0169 мэВ, (μd),

9π³r

⎨

ΔEvp-8(2S-1S) =

0.0173 мэВ, (μt),

(13)

∫

∞

[

]

⎪

f (η) dη

η²

ξ²

⎪

0.0731 мэВ, (μ³He)⁺,

e-2meηr

-e-2meξr

(16)

⎪

η²-ξ²

^⎩0.0736 мэВ, (μ⁴He)⁺.

Соответствующие этим взаимодействиям поправки

в спектре энергии атомов были представлены в ин-

Диаграммы с двумя фермионными циклами на

тегральной форме по трем спектральным парамет-

рис. 3 можно рассматривать как поправки к массо-

рам и рассчитаны численно. Суммарное численное

вому и вершинному операторам. При этом для поля-

значение трехпетлевого вклада поляризации ваку-

ризационного оператора второго порядка можно ис-

ума из 1γ-взаимодействия представлено в табл. 1, 2

пользовать дисперсионное соотношение. Эффектив-

строками 7.

ный пропагатор виртуального фотона в этих диа-

граммах может быть представлен в виде

3. ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА И

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ

(

)

-i

k_μk

-i

g_μλ - ξ

Π_λσ(k²)

Потенциал Брейта дает вклад в структуру уров-

k² + i0

k²

k² + i0

(

)

ней энергии S-состояний в лидирующем порядке

k_νk_σ

× g_νσ -ξ

(14)

(Zα)⁴. Эффект поляризации вакуума приводит к

k²

изменению не только кулоновского потенциала, но

и других слагаемых в брейтовском потенциале, ко-

что с учетом поперечности поляризационного опе-

торые будут давать вклад в спектре энергии поряд-

ратора Π_λσ(k²) означает, что результат является

ка α(Zα)⁴. Такой порядок вклада говорит о том,

калибровочно-инвариантным. Учет таких вкладов

что численные значения поправок могут быть зна-

имеет важное значение для достижения высокой

чительными. Модификация потенциала Брейта за

точности расчета аномального магнитного момен-

счет однопетлевой поляризации вакуума определя-

та лептона [41,42]. Мнимая часть поляризационного

ется в случае S-состояний следующими слагаемыми

оператора на рис. 3 первоначально представлялась

(индекс «B» обозначает потенциал Брейта) [19, 45]

в виде двумерного спектрального интеграла [43], а

(δI = 1 для полуцелого спина и δI = 0 для целого

затем и в аналитическом виде в [44], причем оконча-

спина):

тельная формула имеет довольно громоздкий вид. В

∫

∞

наших расчетах мы используем последнее представ-

∑

ΔV^Bvp(r) =

ρ(ξ) dξ

ΔV^Bi,vp(r),

(17)

ление поляризационного оператора из [44].

3π

i=1

Остальные трехпетлевые вклады на рис. 3 с по-

следовательными петлями можно вычислить так

(

)

Zα

δ_I

же, как двухпетлевые на рис. 1, выполнив постро-

ΔVB1,vp =

m²¹

m²

ение потенциалов взаимодействия так, как это бы-

[

]

ло сделано в (9), (10). Общие выражения для этих

4m2eξ²

× 4πδ(r) -

e-2meξr

(18)

потенциалов в координатном представлении имеют

вид

1048

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

Zαm2eξ

вычисляются аналитически для 1S- и 2S-состояний:

ΔVB2,vp = -

e-2meξr(1 - m_eξr),

(19)

m₁m₂r

(

)

α(Zα)⁴μ³

δ_I

ΔE^B

1,vp

(1S) =

-2meξr

Zα

18π

m²¹

m²

ΔVB3,vp = -

p_i

[

2m₁m₂

(

)

[

]

rirj

1 + 6b²¹ - 3b³¹π

√

(6 - 3b²¹ + 6b⁴¹) ×

× δ_ij +

(1 + 2m_eξr) p_j.

(20)

1-b

r²

√

]

Наибольший численный вклад (более 80 %) да-

1-b²¹

× ln

(21)

ет слагаемое ΔVB1,vp, матричные элементы которого

b₁

⎡

(

)

(

)₂

(

)

⎢2 8b1

48b₁₃-3π

1-4b₁₂

−22b₁

-29

b₁₂+11

α(Zα)⁴μ

δ_I

ΔEB1,vp(2S) =

⎢

⎣

(

)₂

288π

m²¹

m²²

1 - 4b₁

(

)

⎤

2b₁

256b

⁸-160b₁₆+66b₁₄-10b₁₂+1

√

⎥

1-4b₁₂+1

⎥

(

)5/2

⎦

(22)

1 - 4b₁

Суммарный вклад релятивистских поправок с уче-

Такие вклады, представленные для наглядности

том однопетлевой поляризации вакуума представ-

на диаграммах рис. 5, можно рассматривать как од-

лен в строке 8 табл. 1, 2. С целью увеличения точ-

нопетлевые и двухпетлевые поправки поляризации

ности расчета мы учитываем также вклад реляти-

вакуума с учетом релятивистских эффектов. Реду-

вистских поправок с эффектами двухпетлевой поля-

цированные кулоновские функции Грина 1S- и 2S-

ризации вакуума порядка α²(Zα)⁴. Основной член в

состояний имеют вид [46]

потенциале взаимодействия имеет вид

(

)∫1

G1S(r₁, r₂) = -αμ

e-(x1+x2)g1S(x₁, x₂),

(26)

α²(Zα)

δ_I

f (v) dv

ΔVB1,2loop-vp =

12π²

m²¹

m²²

1-v²

[

(

)]

4m²

2m_er

× 4πδ(r) -

exp

-√

(23)

r(1 - v²)

1-v²

g1S(x₁, x₂) =

- ln 2x_> - ln 2x_< + Ei(2x_<) +

2x_>

а расчет матричных элементов проводится анало-

1-e2x<

гично (21), (22).

- 2γ - (x₁ + x₂) +

2x_<

Во втором порядке теории возмущений (ТВ)

имеется ряд вкладов, в которых потенциалы ΔV^Cvp,

ΔV^B (потенциал Брейта), ΔV^Bvp рассматриваются

αμ²

как операторы возмущения (индекс «sopt» обозна-

G2S(r₁, r₂) = -

e-(x1+x2)g2S(x₁, x₂),

(27)

16πx₁x₂

чает вклад второго порядка ТВ):

ΔE^B,vpsopt = 〈ψ|ΔV^Cvp GΔV^Cvp|ψ〉 +

+ 2〈ψ|ΔV ^B GΔV ^Cvp|ψ〉+

g2S(x₁, x₂) = 8x_< - 4x2< + 8x_> + 12x_<x_> -

- 26x2<x_> + 2x3<x_> - 4x2> - 26x_<x2> + 23x2<x2> -

+ 2〈ψ|ΔV ^Bvp GΔV ^Cvp|ψ〉+2〈ψ|ΔV ^B GΔV ^Cvp,vp|ψ〉,

(24)

-x3<x2> +2x_<x3> -x2<x3> +4ex<(1-x_<)(x> -2)x> +

(

)

p⁴

πZα

δ_I

+ 4(x_<-2)x_<(x_>-2)x_>[-2γ+Ei(x_<)-lnx_<-lnx_>],

ΔV^B = -

δ(r) -

8m³¹

8m³²

m²¹

m²

(

)

Zα

r(r · p)p

где x_< = min(x₁, x₂), x_> = max(x₁, x₂), x_i = W r_i,

p² +

(25)

2m₁m₂r

r²

γ — константа Эйлера.

1049

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

⎧

⎪1.8811 мэВ, (μp),

⎪

V^BVP

V^CVP

⎪

V^CVP

2.1924 мэВ, (μd),

⎨

vp,vp

V^B

ΔE_s

(2S-1S) =

2.3101 мэВ, (μt),

(30)

opt

V^C

⎪

29.6344 мэВ, (μ³He)⁺,

⎪

⎩

30.2930 мэВ, (μ⁴He)⁺.

При вычислении других поправок во втором по-

рядке ТВ с брейтовским потенциалом используют-

ся преобразования исходных матричных элементов

V^B

для приведения их к удобному для интегрирова-

ния виду. Так, например, при вычислении вклада на

диаграмме рис. 5б возникает следующий матричный

элемент (nS-состояние):

∑

Рис. 5. Эффекты однопетлевой и двухпетлевой поляриза-

p⁴

′ |ψ_m〉〈ψ_m|

M_nS = 〈ψ_nS|

ΔV^Cvp|ψ_nS 〉 =

ций вакуума во втором порядке ТВ.

G— редуцированная

(2μ)²

E_n - E_m

кулоновская функция Грина

(

)(

)

Zα

= 〈ψ_nS | E_n +

Ĥ₀ +

∑′ |ψm〉〈ψm|

Среди амплитуд на рис. 5 наибольший вклад

ΔV^Cvp|ψ_nS 〉 =

порядка α²(Zα)² дает амплитуда (в), содержащая

E_n - E_m

два потенциала с поправкой на поляризацию вакуу-

(

)₂

Zα

ма к кулоновскому потенциалу. Интегрирование по

= 〈ψ_nS | E_n +

^GΔV^Cvp|ψ_nS 〉 -

координатам проводится аналитически, а по спек-

Zα

тральным параметрам — численно. Поскольку по-

- 〈ψ_nS |

ΔV^Cvp|ψ_nS 〉 +

сле интегрирования по координатам результат име-

Zα

ет громоздкий вид, мы приводим здесь исходное ин-

+ 〈ψ_nS |

|ψ_nS 〉〈ψ_nS |ΔV^Cvp|ψ_nS 〉.

(31)

тегральное выражение для этой поправки и ее чис-

ленные значения в сдвиге (2S-1S):

После интегрирования по координатам получается

интегральное выражение вида

∫

∞

∫

∞

16μα²(Zα)

∫

ΔE^vp,vpsopt(1S) = -

ρ(ξ) dξ ρ(η) dη ×

μ²α(Zα)⁴

ρ(s) ds

9π²

M1S =

6π

(b₁s + 1)³

∫∞

{

(

)}

[

]

2m_eξ

× x1 exp

-x₁

dx₁ ×

× 4b₁s² + 11b₁s + 4(b₁s + 1)ln(b₁s + 1) + 5 ,

(32)

∫∞

{

(

)}

2m_eη

∫

∞

[

× x2 exp

-x₂

g2S(x₁, x₂)dx₂,

(28)

μ²α(Zα)⁴

ρ(s) ds

M2S =

256b₁₄s⁴ +

96π

(2b₁s + 1)⁵

(

16b₁₃s³+8b₁₂s² +

+ 208b₁₃s³+40b₁₂s²+16

]

∫

∞

∫

∞

+ 2b₁s + 1)ln(2b₁s + 1) + 70b₁s - 1 .

(33)

ΔE^vp,vpsopt(2S) = -μα2(Zα)

ρ(ξ) dξ ρ(η) dη ×

72π²

Другое слагаемое в потенциале Брейта, пропор-

∫∞

{

(

)}

циональное δ(r), дает при вычислении матричных

(

x₁ )

2m_eξ

G_nS

exp

-x₁

dx₁ ×

элементов

(r, 0). Для 1S- и 2S-состояний функ-

ция Грина с одним нулевым аргументом имеет вид

∫∞

{

(

)}

(

x₂ )

2m_eη

Zαμ² e^-x

exp

-x₂

G1S(r, 0) =

g1S(x),

4π x

(34)

g1S(x) = 4x(ln2x + γ) + 4x² - 10x - 2,

× g2S(x₁,x₂)dx₂,

(29)

x = μZαr,

1050

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

e-x/2

G2S(r, 0) = -Zαμ

g2S(x),

4π

(35)

g2S(x) = 4x(x-2)(ln x+γ)+x³-13x²+6x+4.

Структура получающегося выражения после ко-

ординатного интегрирования вполне аналогична

(32), (33):

Рис. 6. Поправки трехпетлевой поляризации вакуума во

(

)∫∞

втором порядке ТВ.

G — редуцированная кулоновская

μ³α(Zα)

δ_I

ρ(s) ds

ΔEB,vp2(1S) =

функция Грина

6π

m²¹

m²

(1+b₁s)³

[

]

× 2b₁₂s²+7b₁s+2(b₁s+1)ln(b₁s+1)+3 ,

(36)

Вклад трехпетлевой поляризации вакуума в тре-

тьем порядке ТВ показан на рис. 4в. В аналити-

ческом виде он определяется суммой двух слагае-

(

)

μ²α(Zα)

δ_I

мых [47]:

ΔEB,vp2(2S) =

48π

m²¹

m²

∫∞

[

ΔE_nS = 〈ψ_nS |ΔV^C GΔV^C GΔV^C |ψ_nS 〉 -

ρ(s) ds

(

)

4(2b₁s+1)

8b₁₂s²+1

ln(2b₁s+1) +

(1 + 2b₁s)⁵

- 〈ψ_nS |ΔV ^C |ψ_nS 〉〈ψ_nS |ΔV ^C G GΔV ^C |ψ_nS 〉.

(40)

]

+ 2b₁s(8b₁s(2b₁s(2b₁s + 3) + 1) + 11) + 3 .

(37)

Наиболее удобными для представления поправок

данного типа являются следующие общие инте-

Наконец, третье слагаемое из (25) дает во втором по-

гральные выражения (индекс

«topt» обозначает

рядке поправку на отдачу, которую мы, как и (32),

третий порядок ТВ):

(33), (36), (37), представим в интегральной форме:

16μα³(Zα)²

ΔEtopt,1(1S) = -

∫

∞

27π

ρ(s) ds

∫

∞

∫

∞

∫

∞

ΔEB,vp3(1S) = -μ3α(Zα)

3πm₁m₂

(1 + b₁s)³

ρ(ξ) dξ ρ(η) dη ρ(ζ) dζ ×

[

]

(41)

× 5b₁s + 4(b₁s + 1)ln(b₁s + 1) + 3 ,

(38)

∞

∫

e-y(1+b1ζ⁾f1S(a₁, y)f1S(a₃, y),

∞

∫

a₁ = 1 + b₁ξ, a₃ = 1 + b₁η,

ρ(s) ds

ΔEB,vp3(2S) = -μ3α(Zα)

48πm₁m₂

(1 + 2b₁s)⁵

[

(

)

× 2b₁s

88b₁₂s² + 12b₁s + 29

∫

∞

8α²

(

)

]

ΔEtopt,2(1S) = ΔE_vp(1S)

ρ(ξ) dξ ×

+ 16(2b₁s + 1)

8b₁₂s² + 1

ln(2b₁s + 1) + 9 .

(39)

9π²

∫

∞

∫

∞

Численные значения вкладов на рис. 5 показаны в

× ρ(η) dη f1S (a₁, y)f1S(a₃, y) dy,

(42)

нескольких строках 10, 11, 12 в табл. 1, 2. Посколь-

ку вклад взаимодействия на рис. 5в имеет порядок

α²(Zα)², добавление одной петли поляризации ваку-

∫

∞

ума (ПВ) оставляет такую поправку потенциально

μα³(Zα)²

ΔEtopt,1(2S) = -

ρ(ξ) dξ ×

важной. Вклад трехпетлевой ПВ во втором порядке

864π³

ТВ показан на рис. 6 (все потенциалы возмущения

∫

∞

∫

∞

∫

∞

представляют собой поправки ПВ к кулоновскому

(43)

× ρ(η) dη ρ(ζ) dζ

e-y(1+2b1ζ⁾ ×

потенциалу). Опустим детали расчета этого вклада

(см. [18]), так как они аналогичны расчету амплиту-

ды на рис. 5в, его численное значение представлено

× f2S(c₁,y)f2S(c₃,y),

в табл. 1, 2 (строки 13).

c₁ = 1 + 2b₁ξ, c₃ = 1 + 2b₁η,

1051

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Рис. 8. Поправки на структуру ядра порядка (Zα)⁵. Жир-

Рис. 7. Поправки на структуру ядра и поляризацию ваку-

ная точка на диаграмме обозначает вершинный оператор

ума в первом порядке ТВ (ППТВ) и втором порядке ТВ

ядра

(ВПТВ). Жирная точка на диаграмме обозначает вершин-

ный оператор ядра

∞

∫

зарядовый формфактор ядра при малых передачах

ΔEtopt,2(2S) = ΔE_vp(2S)

ρ(ξ) dξ ×

импульса, получим, что в лидирующем порядке эф-

288π²

фект структуры ядра определяется в спектре энер-

∫∞

гии следующей поправкой, пропорциональной квад-

× ρ(η) dη f2S (c₁, y)f2S(c₃, y) dy,

(44)

рату зарядового радиуса r2N [11] (см. рис. 7a) (индекс

«str» обозначает здесь и ниже поправку на структу-

ру ядра):

(

-a1y

[

f1S =

-(a₁-1)a₁yea1y a1(y+2)×

2(a₁ - 1)a₁₂y

7μ³(Zα)

× Ei(-a₁y) - (a₁y + 7)Ei(y - a₁y)+

ΔE_str (2S-1S) = -

〈r2N 〉 =

)

+ (a₁y + 7) ln(a₁ - 1) - a₁y ln a₁ + 2 ln

⎧

a₁

⎪-36.382165 r2p мэВ,

(μp),

(

⎪

+a₁

a₁e^yy - a₁y + ea1y(a₁(2 - 2γy)+

⎪

)

]

⎪−42.512306 r2d мэВ,

(μd),

⎪

+ 2γy + y - 2) - 2a₁ + e^y - 2e^yy + y + 1

-e^y +1 ,

⎨

−44.854681 r2t мэВ,

(μt),

(45)

⁼⎪⎪

[

⎪

-c1y

(

⎪

f2S =

ec1y

2c₁₃(y(4γ(y - 2) + (y-13)y +

⎪-717.660184 r2He-3

мэВ, (μ³He)⁺,

c₁₅

⎪

+ 6)+4)-4c₁₂(y(4γ(y-2)+(y-15)y+10)+4)+

^⎩-737.256053 r2He-4 мэВ, (μ⁴He)⁺,

+ 4(2(c₁ - 2)c₁ + 3)c₁(y - 2)y(-Ei(y - c₁y)+

+ ln(c₁ - 1) - ln c₁ + ln y) + c₁(y(12γ(y - 2) +

)

где мы выделили коэффициент при r2N , а само зна-

+ y(3y - 53) + 46) + 12) + 12(y - 2)y

]

чение зарядового радиуса берется в фм. Для после-

+ 4c₁e^y(c₁(c₁(y - 2) - y + 4) + 3(y - 1)) ,

дующей численной оценки вкладов (45) использова-

лись следующие значения зарядовых радиусов ядер:

где ΔE_vp(1S), ΔE_vp(2S) определяются

(5),

(6).

rp = 0.84087 фм, rd = 2.12562 фм, rt = 1.7591 фм,

Несмотря на остающиеся многочисленные интегра-

rHe-3 = 1.9661 фм, rHe-4 = 1.6755 фм [1,3,48]. Следу-

лы, численное интегрирование в (41)-(44) выполня-

ющей по значимости является поправка на структу-

ется с хорошей точностью.

ру ядра порядка (Zα)⁵ из двухфотонных обменных

амплитуд (см. рис. 8), которая выражается в тер-

минах электромагнитных формфакторов ядра. Пре-

4. ПОПРАВКИ НА СТРУКТУРУ ЯДРА И

небрегая относительными импульсами частиц в на-

ПОЛЯРИЗАЦИЮ ВАКУУМА

чальном и конечном состояниях, можно представить

Уменьшение величины боровского радиуса ор-

этот вклад в сдвиг S-уровней в интегральном виде в

бит в мюонных атомах по сравнению с электрон-

случае ядер со спином 1/2, для которых вершинный

ными приводит к тому, что волновая функция мюо-

оператор выражается в терминах дираковского F₁ и

на сильно перекрывается с областью ядра. Разлагая

паулиевского F₂ формфакторов:

1052

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

∞

∫

μ³(Zα)

ΔE2γstr (nS) = -

δl0

V2γ(k),

πn³

2(F²¹ - 1)

V2γ(k) =

m₁m₂

8m₁[F₂(0) + 4m²²F′1(0)]

m₂(m₁ + m₂)k

[

2(F²¹ - 1)(m²¹ + m²²) +

2m³¹m³

√

]

k² + 4m²¹

(46)

Рис. 9. Эффекты структуры ядра и двухпетлевой поляри-

+ 4F₁F₂m²¹ + 3F22 m²¹

2m³¹m₂(m²¹ - m²²)k

зации вакуума в однофотонном взаимодействии. Жирной

{

точкой на диаграмме обозначен вершинный оператор ядра

× k²[2(F²¹ - 1)m²² + 4F₁F₂m²¹ + 3F²²m²¹] -

}

16m⁴¹m²²(F²¹ - 1)

при расчете матричных элементов. Для 1S- и 2S-со-

- 8m⁴¹F₁F₂ +

k²

стояний сдвиги уровней энергии равны

√

{

k² + 4m²²m₁

[

k²[2(F²¹ - 1) + 4F₁F₂ +

2α(Zα)⁴r2N μ³

(

)

2m³²(m²¹-m²²)k

ΔE^vpstr (1S) =

√

6b⁴¹ - 3b²¹ + 6

}

16m⁴²(F²

- 1)

27π

1-b²

+ 3F22 ] - 8m²²F₁F₂ +

√

]

k²

√

1-b²¹+1

(

)

× ln

1-b²¹

-3πb³¹+6b²¹+1

(48)

Аналогичные выражения можно получить и для

b₁

ядер спина 0 и 1 [18, 49]. При численном интегри-

ровании в (46) мы используем параметризацию [50]

в случае мюонного водорода, параметризацию [51]

{√

α(Zα)⁴r2N μ³

для мюонного дейтерия и гауссову параметриза-

ΔE^vpstr (2S) =

4b²¹ - 1 ×

216π (4b²¹

- 1)5/2

цию для формфакторов тритона, гелиона и альфа-

(

)

[

(

)₂

)

]

частицы [18].

8b₁

48b³¹-3π

1-4b²¹

-22b₁

-29

b²¹+11

Численный результат для поправки на структу-

(

)

+ 12i

256b⁸¹ - 160b⁶¹ + 66b⁴¹ - 10b²¹ + 1

ру ядра из двухфотонных обменных амплитуд (46)

(

)1/2

)}

показан в строках 18 в табл. 1, 2. Погрешность рас-

-2ib₁

4b²¹ - 1

× ln

√

(49)

чета этого вклада оценивается в 1 %, поэтому ре-

4b²¹ - i

4b²¹ - 1 - 1

зультат приведен с точностью до двух десятичных

знаков. Величина этой поправки в ионах мюонно-

Вклад в спектр энергии такого же порядка

го гелия значительно возрастает по сравнению с по-

α(Zα)⁴ определяется теми же эффектами во втором

правкой в мюонном водороде. Это связано как с рос-

порядке теории возмущений (см. рис. 7в) следующи-

том заряда ядра Z, так и с увеличением размера

ми интегральными выражениями:

ядра.

∫

∞

Вклады пятого порядка по α дают также ампли-

2α(Zα)⁴μ³〈r2N 〉

ρ(ξ) dξ

туды взаимодействия частиц, содержащие эффекты

ΔE^vpstr,sopt(1S) =

9π

(b₁ξ+1)³

как структуры ядра, так и поляризации вакуума

[

]

(см. рис. 7). Оператор взаимодействия частиц в ко-

2b₁₂ξ² - 7b₁ξ - 2(b₁ξ + 1)ln(b₁ξ + 1) - 3

(50)

ординатном представлении, соответствующий диа-

грамме рис. 7б имеет вид

∫

∞

∫

∞

α(Zα)⁴μ³〈r2N 〉

ρ(ξ) dξ

ΔE^vpstr,sopt(2S) =

36π

(2b₁ξ + 1)⁵

ΔV^vpstr(r) =

πZα〈r2N 〉

ρ(ξ) dξ ×

3π

[

(

[

]

64b₁₄ξ⁴ + 96b₁₃ξ³ + 16b₁₂ξ² + 4

16b₁₃ξ³ +

m2eξ²

)

]

× δ(r) -

e-2meξr

(47)

+ 8b₁₂ξ² + 2b₁ξ + 1

ln(2b₁ξ + 1) + 22b₁ξ + 3

(51)

πr

С помощью выражения (47) можно выполнить ана-

В табл. 1, 2 в строках 16 приведены суммарные

литическое интегрирование по всем переменным

вклады (48) и (50), (49) и (51). Поскольку (48)-(51)

1053

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

∫

∞

vp,vp

2α²(Zα)⁴μ³r2N

ΔE_s

tr,sopt

(1S) =

ρ(ξ) dξ ×

27π²

∞

∫

f1S(p₁, p₂)

× ρ(η) dη

(54)

(1 + p₁)³(1 + p₂)³(1 + p₁ + p₂)

Рис. 10. Эффекты структуры ядра и двухпетлевой поля-

ризации вакуума во втором порядке теории возмущений.

∞

∫

Жирной точкой на диаграмме обозначен вершинный опе-

α²(Zα)⁴μ³r2N

ратор ядра.

G — редуцированная кулоновская функция

ΔE^{vp,vpstr,sopt}(2S) =

ρ(ξ) dξ ×

216π²

Грина

∞

∫

f2S(p₁, p₂)

ρ(η) dη

(55)

(1 + p₁)⁵(1 + p₂)⁵(1 + p₁ + p₂)³

содержат в виде множителя r2N и численно вели-

ки, они могут быть объединены с (45) для увеличе-

ния точности извлечения зарядового радиуса ядер

f1S(p₁, p₂) = 2p₁₃(p₂ + 1)³ +

(

)

при наличии экспериментальных данных. Поправки

+p₁₂

p₂

8p₂₂ + 30p₂ + 29

двухпетлевой поляризации вакуума с учетом струк-

− 2(p₁ + 1)(p₂ + 1)(p₁ + p₂ + 1)×

туры ядра вычислены в такой же последовательно-

(

сти. В однофотонном взаимодействии они показаны

p₂₂(ln(p₂ + 1) - ln(p₁ + p₂ + 1)) + (-2p₂ - 1)×

)

на рис. 9. Соответствующие этим амплитудам опе-

× ln(p₁ + 1)

+ p₁(p₂(p₂(18p₂ + 47) + 37) + 10)+

раторы взаимодействия частиц построены в инте-

m_e

+ (p₂(8p₂ +9)+3)(p₂ +1), p₁ =

ξ, p₂ =

η,

гральной форме:

∫

f2S(p₁, p₂) = 8p₁₇(p₂ + 1)⁵ + 2p₁₆(p₂(p₂(p₂ ×

( α

ΔV^vp-^vpstr(r) =

Zα〈r2N 〉

ρ(ξ) dξ ×

× (4p₂(2p₂(p₂ + 9) + 59) + 349) + 297) + 132) + 24) +

3π

+ 2p₁₅(p₂(p₂(p₂(p₂(4p₂(p₂(p₂ + 20) + 111) + 967)+

∫∞

[

m2e

+ 1143)+824)+320)+52)+p₁₄(p₂(p₂(p₂(2p₂(2p₂(p₂ ×

× ρ(η) dη πδ(r) -

r(ξ² - η²)

×(14p₂

+163)+540)+1777)+3581)+2299)+822)+126)+

]

(

)

+ p₁₃(p₂(p₂(p₂(p₂(4p₂(5p₂(8p₂ + 47) + 599) + 3567)+

(

)

ξ⁴e-2meξr - η⁴e-2meηr

(52)

+ 3483) + 2210) + 786) + 120) + 4(p₁ + 1)

2p₁₂ + 1

((

)

× (p₂ + 1)(p₁ + p₂ + 1)³

2p₂₂ + 1

p₂₂ ×

×(ln(p₁+p₂+1)- ln(p₂+1))+(p₂(p₂(8p₂+11)+8)+2) ×

)

×ln(p₁ +1)

+p₁₂(p₂+1)(p₂(p₂(p₂(p₂(4p₂(26p₂+151)+

∫

)₂

⁽α

f (v) dv

ΔV²-^loopvpstr(r) =

Zα〈r2N 〉

+ 1365) + 1701) + 1322) + 542) + 92) + p₁(p₂ + 1)² ×

1-v²

× (p₂(p₂(p₂(5p₂(24p₂+83)+579)+502)+222)+40) +

[

(

)]

m²

2m_er

+ (p₂ + 1)³(p₂(p₂(p₂(32p₂ + 55) + 59) + 30) + 6).

× πδ(r) -

exp

-√

(53)

r(1 - v²)

1-v²

Другие поправки на рис. 10б,в,г вычисляются ана-

логично и их сумма представлена в табл. 1, 2 (стро-

Во втором порядке ТВ вклады двухпетлевой по-

ки 17). Явный вид функций f1S , f2S приведен здесь

ляризации вакуума с эффектом структуры ядра по-

для того, чтобы показать общую структуру выраже-

рядка α²(Zα)⁴ показаны на рис. 10. При вычисле-

ний перед интегрированием по спектральным пара-

нии вклада на рис. 10a его удобно разбить на две

метрам. Для поправок высокого порядка по α такие

части при интегрировании по координатам частиц в

подынтегральные функции становятся весьма гро-

соответствии с двумя слагаемыми потенциала (47).

моздкими.

Каждое из них при интегрировании по спектраль-

Мы также учитываем в нашем расчете комбини-

ным параметрам расходится, но их сумма является

рованную поправку шестого порядка по α на струк-

конечной и определяется следующими выражения-

туру ядра и поляризацию вакуума, которая воз-

ми:

никает в двухфотонных обменных амплитудах в

1054

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

5. ПОПРАВКИ НА ОТДАЧУ,

СОБСТВЕННУЮ ЭНЕРГИЮ МЮОНА И

ПОЛЯРИЗАЦИЮ ВАКУУМА

До сих пор мы рассматривали поправки различ-

ного порядка в интервале (1S-2S), которые явля-

ются специфичными для каждого мюонного атома.

Такие вклады были получены либо в аналитическом

Рис. 11. Эффекты структуры ядра и поляризации вакуума

виде, либо в виде интегральных выражений и рас-

в двухфотонных обменных диаграммах. Жирной точкой на

считаны численно. В них нельзя использовать раз-

диаграмме обозначен вершинный оператор ядра

ложение по характерному параметру m_e/μZα, так

как он недостаточно мал для этого. Но есть также

другой набор вкладов, которые известны в анали-

тическом виде и были получены при исследовании

тонкой структуры спектра атома водорода [11]. Их

можно использовать для численной оценки вкладов

в случае мюонных атомов. Остановимся кратко на

таких основных поправках [11, 19].

Имеется группа поправок на отдачу (использу-

Рис. 12. Двухфотонные обменные амплитуды с радиаци-

ется индекс «rec») различного порядка по Zα, по-

онными поправками в мюонную линию, дающие вклад по-

лученных в случае точечного ядра. Вклад на отда-

рядка α(Zα)⁵. Жирной точкой на диаграмме показан вер-

чу порядка (Zα)⁴m²¹/m²² возникает при вычислении

шинный оператор ядра

матричных элементов потенциала Брейта. Для ядер

спина 1/2 такие поправки учтены в исходной фор-

муле (3). Для ядер целого спина необходимо ввести

результате модификации пропагатора фотона (см.

следующую поправку:

рис.

11). Соответствующий оператор взаимодей-

ствия частиц отличается от V2γ (k) из (46) допол-

7μ³(Zα)⁴

нительным функциональным множителем. Инте-

ΔE(Zα)rec

(2S - 1S) =

(1 - δ_I ).

(57)

16m²

гральное выражение для поправки данного типа

имеет вид [17, 29, 45]

Поправка на отдачу порядка по (Zα)⁵m₁/m₂ для

S-состояний определяется двухфотонными ампли-

2μ³α(Zα)

тудами, в которых ядро рассматривается как точеч-

ΔE2γstr,vp(nS) = -

3π²n³

ная частица [11, 53]:

∫∞

V2γ(k)F_vp(k)dk

(56)

μ³(Zα)⁵

^[2

k²

ln k₀(n, 0) -

m₁m₂πn³

Zα

(

)]

m₁

m₂

a_n-

m²² ln

-m²¹ ln

(58)

(

)√

m²

-m²¹

Fvp(k) = -5k³ + 6

k² - 2me2

k² + 4me2 ×

(

)

где ln k₀(n, 0) — логарифм Бете, который имеет сле-

× th-1

√

+ 12kme2,

дующие значения для 1S-, 2S-состояний [11]:

k² + 4me2

ln k₀(1S) = 2.984128555765498,

а ее численное значение для интервала (1S-2S)

(59)

ln k₀(2S) = 2.811769893120563,

приведено в табл. 1, 2 (строки 19). Другие радиа-

ционные поправки в мюонную линию (собственно-

[

(

)

]

энергетическая поправка (СЭ), вершинная поправ-

a_n = -2 ln

+ 1+

+...+

+1-

(60)

ка и поправка с охватывающим фотоном) со струк-

турой ядра того же порядка α(Zα)⁵ определяются

Поправка на отдачу порядка (Zα)⁶m₁/m₂ иссле-

амплитудами на рис. 12. Их вычисление выполнено

довалась во многих работах [54-57], а в работе [58]

для S-состояний в легких мюонных атомах в [52], а

вычислены поправки на отдачу более высокого по-

результаты для сдвига (2S-1S) включены в табл. 1,

рядка. Поскольку в нашей работе мы ограничились

2 (см. строки 20).

вкладами на отдачу шестого порядка по Zα, для

1055

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

получения численной оценки используем следующее

выражение (см. [11]):

)

7(Zα)⁶m²¹

⁽7

(2S-1S) =

- 4ln2

(61)

8m₂

Для энергетических вкладов, полученных из ам-

плитуд с радиационными поправками в мюонную

линию (se), из дираковского и паулиевского форм-

факторов (ff) мюона существует компактное анали-

тическое представление [11]:

α(Zα)

μ³

ΔE_se,ff (nS) =

Рис. 13. Радиационные поправки с эффектами поляриза-

πn³

m²

ции вакуума

(

m₁

ln k₀(n, 0) +

[

μ(Zα)²

(

)

F_rel = -〈r²〉 ψ(n) + 2γ +

2179

4n²

ζ(3) +

π² ln2 -

π² -

648

2Wr

^&1^'

))

+ ln

〈r³〉

+Irel2 +Irel3,

(65)

⁽427

ln 2

+ 4πZα

(62)

384

[

(

)

2〈r²〉

Обсуждение вкладов высших порядков по α можно

Fnr =

〈r²〉 ψ(n) + 2γ -

найти в [59] (см. также ссылки на другие статьи в

2Wr

〈r⁴〉

этой работе).

+ r2 ln

+ 〈r³〉〈r〉 + 〈r⁵〉 ×

10n²

Радиационные поправки с отдачей порядков

^&1^'

α(Zα)⁵ и (Z²α)(Zα)⁴ из табл. 9 [11] имеют следую-

+Inr2 +Inr3,

(66)

щий вид для nS-состояний:

(

)

где величины Irel2,3, Inr2,3, а также моменты плотности

распределения заряда выписаны явно в [60] для раз-

ΔE_rad-rec(nS) =

6ζ(3) - 2π² ln2+

π²-14

личных параметризаций. На основе полученных в

)

α(Zα)⁵μ

α(Zα)⁵m²¹

⁽2π²

[60] выражений можно дать оценку вкладов в сдвиг

m₁m₂n³

m₂n³π²

(2S-1S) для мюонных атомов (строки 27 табл. 1, 2).

(

-2

Еще один вклад шестого порядка по α в сдвиг

Λ(Zα)

7π Λ²

(2S-1S) (см. рис. 13б) выражается в терминах на-

32 4m²

клона дираковского формфактора F′1(0) и паулиев-

)

(

)₂

4(Z²α)(Zα)⁴μ³

ского формфактора F₂(0) [11], которые вычислены

ln k₀(n, 0)

(63)

4m²²

πm²²n³

аналитически в [61]:

7α²(Zα)⁴μ

^[3me2

Формулы (62) и (63) дают вклады в сдвиг (2S-1S)

ΔErad+vp = -

√

8π²m²

m²

(параметр Λ

12/r2N), которые показаны в

табл. 1, 2 строками 24, 25.

4me2 ln(m₁/m_e)

π²m_e

m₁

−

ln²

m²¹

4m₁

m_e

Поправка на структуру ядра в спектре энергии

]

порядка (Zα)⁶, которая исследовалась в работе [60]

m₁

2π²

−

(67)

для мюонного водородоподобного атома с различ-

m_e

162

ными параметризациями для формфакторов ядра,

Для оценки вклада собственной энергии мюо-

была представлена в виде

на (mse) с учетом поляризации вакуума в работе

[

]

[19] было получено в логарифмическом приближе-

2μ(Zα)⁶

ΔE(Zα)str

(nS) =

μ²F_rel + μ⁴F_nr

(64)

нии следующее выражение:

3n³

1056

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

оном и протоном. Исследования такого механизма в

[67] показали, что в мюонном водороде обмен ска-

лярным мезоном дает значительный сдвиг S-уров-

ней энергии ΔE(2S-1S) = -0.0960 мэВ. Поэтому он

тоже был включен в итоговую таблицу только для

мюонного водорода.

Рис. 14. Амплитуды рассеяния света на свете

6. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

[

m₁

ΔE^vpmse(n) =

〈ψ_n|Δ · ΔV^Cvp|ψ_n〉 +

3πm²¹

μ(Zα)²

В данной работе продолжены наши исследова-

(

)

]

Zα

ния [17, 18, 24, 58] низколежащих уровней энергии

+ 2〈ψ_n|ΔV^Cvp GΔ

|ψ_n〉

(68)

мюонного водорода и гелия, которые интенсивно

изучаются в настоящее время экспериментально. В

Полагая, как при вычислении релятивистских по-

качестве энергетического интервала для прецизион-

правок, p² = 2μ(H+Zα/r) и вычисляя многочислен-

ного расчета был выбран переход (2S-1S), точность

ные матричные элементы в (68), получим поправку

измерения которого в случае электронных систем

в интервале большой структуры (2S-1S) (строки 29

является беспрецедентно высокой. Нами выполнен

табл. 1, 2).

расчет энергетического сдвига (2S-1S) с учетом по-

Учитывая точность расчета, мы включили в пол-

правок пятого и шестого порядков по альфа и с

ный результат для сдвига (2S-1S) вклад адрон-

учетом эффектов отдачи и структуры ядра. Были

ной поляризации вакуума (hvp), который исследо-

проанализированы различные потенциально важ-

вался в работах [62-64] в случае мюонного водоро-

ные взаимодействия в мюонных атомах и вычислен

да. Численные значения вкладов адронной ПВ для

их вклад в структуру S-состояний в рамках квази-

мюонных атомов можно найти, используя получен-

потенциального метода в квантовой электродинами-

ный результат для мюонного водорода, по формуле

ке.

ΔE_hvp = ΔE_hvp(μp)μ³Z⁴/μ3μp.

В последние годы разными группами был выпол-

На рис. 14 представлены четыре амплитуды рас-

нен расчет новых поправок в тонкой и сверхтонкой

сеяния света на свете. Амплитуда рис. 14a обознача-

структуре спектра мюонных атомов, в том числе

ет вклад, известный как поправка Вихмана - Крол-

и для S-уровней энергии. Поскольку число таких

ла (см. аппроксимационный потенциал в [11]). Он

работ значительно, ссылки на многие другие рабо-

показан в табл. 1, 2 в строках 4. В работах [65,66] бы-

ты можно найти в обзорных работах [3, 4, 30]. Хо-

ло показано, что вклад амплитуды на рис. 14 отли-

тя в этих работах и не вычислялся непосредствен-

чается от вклада Вихмана - Кролла фактором 1/Z².

но интервал большой структуры (2S-1S), некоторое

Потенциал взаимодействий на рис. 14в,г был полу-

сравнение с полученными ранее результатами мож-

чен в [65] с помощью аппроксимации Паде в удоб-

но провести. Большая часть вычисленных нами по-

ной форме для расчетов поправок в спектре энергии

правок на поляризацию вакуума (поправки Улинга,

(коэффициенты s_i, t_i выписаны в [65]) (индекс «ll»

Челлена - Сабри, Вихмана - Кролла) хорошо согла-

соответствует сокращению light-by-light):

суется с предыдущими расчетами [2, 4, 20, 27, 28], но

в данной работе эти поправки представлены не в

α²(Zα)

ΔV^ll(r) = -

суммарном виде, а более детально. Наши расчеты

трехпетлевых эффектов ПВ в однофотонном взаи-

s₀ + s₁x + s₂x

x = m_er.

(69)

модействии основаны на интерполяционной форму-

t₀+t₁x+t₂x²+t₃x³+t₄x⁴+t₅x⁵

ле Киношиты - Нио (восемь диаграмм на рис. 2), по

Численные значения соответствующей поправки

которой получается известный результат для лэм-

(см. в табл. 1,

строки 5, в которых выписан

бовского сдвига из [37]. Для интервала (2S-1S) этот

суммарный вклад амплитуд на рис. 14б,в,г) важны

вклад получен впервые, как и вклад трехпетлевого

для уточнения полных результатов.

поляризационного оператора с двумя фермионными

Имеется еще один эффект рассеяния света на

циклами на рис. 3, полученный на основе аналитиче-

свете, который приводит к возникновению эффек-

ской формулы для поляризационного оператора из

тивного одномезонного взаимодействия между мю-

[43,44]. Нами детально проработан расчет комбини-

1057

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12),

2019

Таблица 1. Поправки в интервале большой структуры (2S-1S) мюонного водорода

№

Вклад в сдвиг (2S-1S)

(μp), мэВ

(μd), мэВ

(μt), мэВ

Поправка тонкой структуры (3)

1896396.0189

1997426.3960

2033457.2306

Поправка ПВ в 1γ-взаи-

1679.2457

1883.9532

1959.6265

модействии порядка α(Zα)²

Вклад мюонной ПВ в 1γ-взаи-

0.1170

0.1366

0.1441

модействии порядка α(Zα)⁴

Поправка Вихмана - Кролла

-0.0102

-0.0112

-0.0116

Поправка рассеяния света на свете

0.0039

0.0042

0.0043

Вклад двухпетлевой ПВ в 1γ-взаи-

12.8421

14.3594

14.9190

модействии порядка α²(Zα)²

Вклад трехпетлевой ПВ в 1γ-

0.0246

0.0290

0.0306

взаимодействии порядка α³(Zα)²

Релятивистские поправки с

-0.1637

-0.2141

-0.2356

учетом однопетлевой ПВ в ППТВ

Релятивистские поправки с

-0.0009

-0.0010

-0.0011

учетом двухпетлевой ПВ в ППТВ

Релятивистские поправки с

0.2900

0.3560

0.3802

учетом однопетлевой ПВ в ВПТВ

Релятивистские поправки с

-0.0012

-0.0007

-0.0016

учетом двухпетлевой ПВ в ВПТВ

Поправка двухпетлевой ПВ во

1.8810

2.1924

2.3101

втором порядке ТВ порядка α²(Zα)²

Поправка трехпетлевой ПВ во

0.0277

0.0322

0.0339

втором порядке ТВ порядка α³(Zα)²

Поправка трехпетлевой ПВ в

0.0029

0.0037

0.0039

третьем порядке ТВ порядка α³(Zα)²

Поправка на структуру ядра

-25.72 ± 0.04

-192.08 ± 0.14

-138.80 ± 5.79

порядка (Zα)⁴

Поправка на структуру ядра с

-0.1587

-1.2367

-0.9003

учетом однопетлевой ПВ порядка α(Zα)

Поправка на структуру ядра с

-0.0015

-0.0128

-0.0094

учетом двухпетлевой ПВ порядка α²(Zα)⁴

Поправки на структуру ядра из

0.15

2.57

1.75

2γ-амплитуд порядка (Zα)⁵

Поправки на структуру ядра и ПВ в

0.0030

0.0455

0.0290

2γ-взаимодействии порядка α(Zα)⁵

Радиационные поправки в мюонную

0.0032

0.0152

0.0137

линию со структурой ядра порядка α(Zα)⁵

Поправка на поляризуемость ядра

0.10 ± 0.02

8.70 ± 0.08

3.33 ± 0.10

Поправка на отдачу (Zα)⁴

0.3529

1058

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

Таблица 1. Продолжение

№

Вклад в сдвиг (2S-1S)

(μp), мэВ

(μd), мэВ

(μt), мэВ

Поправка на отдачу (Zα)⁵

-0.2986

-0.1769

-0.1252

Поправка на отдачу (Zα)⁶

0.0011

0.0006

0.0004

Вклад собственной энергии

-4.6132

-5.3548

-5.6368

мюона и мюонных формфакторов

Радиационные поправки с отдачей порядка

-0.0657

-0.0081

α(Zα)⁵ и поправки формфакторов ядра Z²α(Zα)⁴

Поправки на структуру ядра порядка (Zα)⁶

-0.0079

-0.0352

-0.0296

Вклад мюонных формфакторов F′1(0), F₂(0)

-0.0102

-0.0119

-0.0126

Поправка на ПВ с мюонной СЭ

-0.0281

-0.0285

-0.0306

Вклад адронной ПВ

0.0756

0.0881

0.0930

Вклад одномезонного обмена

-0.0960

Суммарный вклад

1898059.6108

1999140.0712

2035294.0968

рованных поправок на поляризацию вакуума с ре-

ляет до сих пор несколько процентов. Мы исполь-

лятивистскими эффектами, выписаны соответству-

зуем в наших оценках полного вклада результаты

ющие потенциалы и матричные элементы в первом

работы [30] (табл. 5, 6). При этом поправка Земаха

и втором порядках теории возмущений. Общие вы-

вычислена нами независимо из двухфотонных об-

ражения для расчета эффектов трехпетлевой ПВ в

менных амплитуд (см. рис. 8), которые включают

третьем порядке теории возмущений согласуются с

также эффекты отдачи. Самая большая ошибка в

данными работ [27, 28], а сами численные результа-

численных значениях таблиц связана с самой боль-

ты являются новыми, так же как и многочисленные

шой по величине поправкой на структуру ядра по-

поправки на структуру ядра и поляризацию ваку-

рядка (Zα)⁴. Если сравнивать эту ошибку для от-

ума в первом и втором порядках теории возмуще-

дельных мюонных атомов, то для мюонных водоро-

ний. Отметим, что для расчета эффектов рассеяния

да и дейтерия она оказывается существенно мень-

света на свете мы используем формулу для потен-

ше, чем для мюонного трития или ионов мюонного

циала, полученную в работе [65]. Расчет поправок

гелия. Это связано с тем, что в результате экспери-

в разд. 5 основан на известных аналитических вы-

ментов CREMA в последние годы численные значе-

ражениях (см. [11]) и результаты представлены по-

ния зарядовых радиусов протона и дейтрона были

дробно в табл. 1, 2.

получены с точностью, на порядок превосходящей

точность предыдущих значений. Для ядер тритона,

Вычисленные вклады представлены в работе в

гелиона и альфа-частицы такого пока нет. Если не

виде аналитических формул, интегральных выра-

фиксировать численные значения поправок (45), то

жений, которые могут быть проинтегрированы чис-

полные результаты из табл. 1-3 можно представить

ленно, а также в численном виде в табл. 1,

в виде

Большая часть результатов в табл. 1, 2 приведе-

на с точностью до четырех десятичных знаков, так

ΔE^tot(2S-1S) =

как погрешности в их определении за счет оши-

⎧

⎪1898085.3308- 36.382165 r2p мэВ,

(μp),

бок фундаментальных физических констант суще-

⎪

ственно меньше. Но есть вклады на структуру ядра

19993321.5120- 42.512306 r2d мэВ,

(μd),

⎨

и поляризуемость, которые определяются сильным

2035432.8968- 44.854681 r2t мэВ,

(μt),

⁼⎪⎪

взаимодействием и получены пока со значительной

⎪

8152683.2021-717.660184 r2He-3 мэВ, (μ³He)⁺,

⎪

ошибкой. В последние годы был значительно улуч-

⎩

8224287.1535-737.256053 r2He-4 мэВ, (μ⁴He)⁺.

шен расчет поправки на поляризуемость для легких

(70)

ядер в [30, 68, 69], но теоретическая ошибка состав-

1059

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12),

2019

Таблица 2. Поправки в интервале большой структуры (2S-1S) мюонного гелия

№

Вклад в сдвиг (2S-1S)

(μ³²He)⁺, мэВ

(μ⁴²He)⁺, мэВ

Поправка тонкой структуры (3)

8136106.6000

8207451.4111

Поправка ПВ в 1γ-взаимодействии

16423.3926

16711.3167

порядка α(Zα)²

Вклад мюонной ПВ в 1γ-взаи-

2.2862

2.3482

модействии порядка α(Zα)⁴

Поправка Вихмана - Кролла

-0.3026

-0.3069

Поправка рассеяния света на свете

0.1186

0.1201

Вклад двухпетлевой ПВ в 1γ-взаи-

120.3612

122.4258

модействии порядка α²(Zα)²

Вклад трехпетлевой ПВ в 1γ-взаи-

0.3665

0.3741

модействии порядка α³(Zα)²

Релятивистские поправки с

-5.3654

-5.6216

учетом однопетлевой ПВ в ППТВ

Релятивистские поправки с

-0.0225

-0.0231

учетом двухпетлевой ПВ в ППТВ

Релятивистские поправки с

9.3067

9.6191

учетом однопетлевой ПВ в ВПТВ

Релятивистские поправки с

0.1059

0.0659

учетом двухпетлевой ПВ в ВПТВ

Поправка двухпетлевой ПВ во

29.6344

30.2930

втором порядке ТВ порядка α²(Zα)²

Поправка трехпетлевой ПВ во

0.4262

0.4356

втором порядке ТВ порядка α³(Zα)²

Поправка трехпетлевой ПВ в

0.0895

0.0921

третьем порядке ТВ порядка α³(Zα)²

Поправка на структуру

-2774.15 ± 8.47

-2069.70 ± 6.92

ядра порядка (Zα)⁴

Поправка на структуру ядра с учетом

-27.8566

-20.8906

однопетлевой ПВ порядка α(Zα)⁴

Поправка на структуру ядра с учетом

-0.3746

-0.2859

двухпетлевой ПВ порядка α²(Zα)⁴

Поправки на структуру ядра из

71.96

46.27

2γ-амплитуд порядка (Zα)⁵

Поправки на структуру ядра и ПВ в

1.5498

0.8890

2γ-взаимодействии порядка α(Zα)⁵

Радиационные поправки в мюонную

0.5345

0.4127

линию со структурой ядра порядка α(Zα)

Поправка на поляризуемость ядра

29.46 ± 1.20

16.00 ± 0.80

Поправка на отдачу (Zα)⁴

1.5497

1060

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

Таблица 2. Продолжение

№

Вклад в сдвиг (2S-1S)

(μ³²He)⁺, мэВ (μ⁴²He)⁺, мэВ

Поправка на отдачу (Zα)⁵

-3.6710

-2.8499

Поправка на отдачу (Zα)⁶

0.0245

0.0184

Вклад собственной энергии

-73.9788

-75.8915

мюона и мюонных формфакторов

Радиационные поправки с отдачей порядка

-0.4409

α(Zα)⁵ и поправки формфакторов ядра Z²α(Zα)⁴

Поправки на структуру ядра порядка (Zα)⁶

-2.0282

-1.6686

Вклад мюонных формфакторов F′1(0), F₂(0)

-0.2016

-0.2071

Поправка на ПВ с мюонной СЭ

-0.2597

-0.2708

Вклад адронной ПВ

1.4874

1.5280

Вклад одномезонного обмена

Суммарный вклад

8149909.0521

8222217.4535

Таблица 3. Изотопические сдвиги в мюонных водороде и гелии для интервала (2S-1S)

ΔE_is(D-H)

101246.8204 - 42.512306 r2d + 36.382165 r2p

ΔE_is(T-H)

137347.5660 - 44.854681 r2t + 36.382165 r2p

ΔE_is(T-D)

36100.7456 - 44.854681 r2t + 42.512306 r2d

ΔE_is(⁴²He-³²He)

71603.9514 - 737.256053 r2He-4 + 717.660184 r2He-3

Таким образом, прецизионное измерение частоты

Заметим, что разность квадратов зарядовых радиу-

перехода (2S-1S) может дать новые более точные

сов ядер³²He и⁴²He 1.074(3) фм², полученная в [70],

значения зарядовых радиусов легких ядер из (70).

отличается на 4σ от результата 1.019(11) фм² в [71].

Так, например, измерение сдвига (2S-1S) в мюон-

Численные значения r_He-3 и r_He-4, используемые на-

ном водороде с относительной ошибкой 1-2 ppb поз-

ми, таковы, что разность r2He-4 - r2He-3 = 1.058 фм².

волит уменьшить погрешность в определении заря-

Для изотопического сдвига ΔE_is(He) теоретическая

дового радиуса протона до 0.0001 фм.

точность расчета повышается, так как происходит

Еще более точные значения зарядовых радиусов

сокращение квантовоэлектродинамических попра-

ядер можно получить, если рассмотреть изотопичес-

вок высокого порядка. Таким образом, высокоточ-

кий сдвиг для интервала (2S-1S). Так, в случае мю-

ное измерение изотопического сдвига позволяет по-

онного гелия получим для изотопического сдвига

лучить из (71) соотношение, содержащее квадраты

следующее выражение (см. табл. 3):

зарядовых радиусов протона, дейтрона, тритона или

ядер гелия. Такие соотношения можно использовать

для определения одного из зарядовых радиусов, ес-

ΔE_is(He) = [E(2S) - E(1S)]_He-4 -

ли второй известен с высокой точностью, или для

дополнительной проверки квантовой электродина-

- [E(2S) - E(1S)]_He-3 = 71603.9514 -

мики. Определение зарядовых радиусов ядер раз-

ными способами имеет важное значение в том числе

7μ3He-4(Zα)

7μ3He-3(Zα)⁴

и для проверки используемых методов.

r2He-4 +

r2He-3.

(71)

1061

А. Е. Дорохов, А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Финансирование. Работа выполнена при фи-

21.

J. L. Friar and G. L. Payne, Phys. Rev. C 72, 014002

нансовой поддержке Российского научного фонда

(2005).

(грант № 18-12-00128) и Российского фонда фун-

22.

C. E. Carlson, M. Gorchtein, and M. Vanderhaeghen,

даментальных исследований (грант № 18-32-00023)

Phys. Rev. A 89, 022504 (2014).

(ФАМ).

23.

C. Peset and A. Pineda, JHEP 1704, 060 (2017).

24.

R. N. Faustov et al., Phys. Rev. A 90, 012520 (2014).

ЛИТЕРАТУРА

25.

R. N. Faustov et al., Phys. Lett. B 733, 354 (2014).

A. Antognini et al., Science 339, 417 (2013).

26.

A. A. Krutov and A. P. Martynenko, Phys. Rev. A 84,

A. Antognini, F. Kottmann, F. Biraben et al., Ann.

052514 (2011).

Phys. 331, 127 (2013).

27.

E. Yu. Korzinin et al., Phys. Rev. A 97, 012514

R. Pohl et al., Science 353, 669 (2016).

(2018).

M. Diepold, B. Franke, J. J. Krauth et al., Ann. Phys.

28.

S. G. Karshenboim et al., Phys. Rev. A 81, 060501

396, 220 (2018).

(2010).

R. Pohl, J. Phys. Soc. Japan 85, 091003 (2016).

29.

A. E. Dorokhov et al., Phys. Rev. A 98, 042501

(2018).

A. E. Dorokhov et al., Europhys. J. Web Conf. 191,

04001 (2018).

30.

C. Ji, S. Bacca, N. Barnea et al., J. Phys. G 45,

093002 (2018).

S. G. Karshenboim et al., J. Phys. Chem. Ref. Data

44, 031202 (2015).

31.

B. Franke et al., Eur. Phys. J. D 71, 341 (2017).

C. J. Parthey et al., Phys. Rev. Lett. 107, 203001

32.

O. Tomalak, Eur. Phys. J. C 77, 858 (2017).

(2011).

33.

R. N. Faustov et al., Europhys. J. Web Conf. 204,

C. J. Parthey et al., Phys. Rev. Lett. 104, 233001

05005 (2019).

(2010).

34.

K. Pachucki and S. G. Karshenboim, J. Phys. B:

10.

I. Fan et al., Phys. Rev. A 89, 032513 (2014).

Atom. Mol. Opt. Phys. 28, L22 (1995).

11.

M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Phys.

35.

U. D. Jentschura, Phys. Rev. A 84, 012505 (2011).

Rep.

342,

(2001); M. I. Eides, H. Grotch,

36.

G. Källen and A. Sabry, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid.

and V. A. Shelyuto, Theory of Light Hydrogenic

Selesk. 29, No. 17, 1 (1955), in Portrait of Gunnar

Bound States, Springer, Berlin-Heidelberg-New York

Källen, ed. by C. Jarlskog, Springer, Switzerland

(2007).

(2014), p. 555.

12.

P. Crivelli, Hyperfine Interact. 239, 49 (2018).

37.

T. Kinoshita and M. Nio, Phys. Rev. Lett. 82, 3240

(1999).

13.

M. Herrmann et al., Phys. Rev. A 79, 052505 (2009).

38.

T. Kinoshita and M. Nio, Phys. Rev. D 60, 053008

14.

R. K. Altmann et al., Phys. Rev. Lett. 117, 173201

(1999).

(2016).

39.

T. Kinoshita and W. B. Lindquist, Phys. Rev. D 27,

15.

S. Tomas et al., Ann. Phys. 531(5), 1800363 (2019).

853 (1983).

16.

P. J. Mohr, D. B. Newell, and B. N. Taylor, Rev.

40.

P. A. Baikov and D. J. Broadhurst, in New Computing

Mod. Phys. 88, 035009 (2016).

Techniques in Physics Research IV, ed. by B. Denby

17.

А. П. Мартыненко, ЖЭТФ 128, 1169 (2005).

and D. Perrei-Gallix, World Sci. Pupl. Co., Singapore

(1995), p. 167.

18.

А. А. Крутов, А. П. Мартыненко, Г. А. Мартынен-

ко, Р. Н. Фаустов, ЖЭТФ 147, 85 (2015).

41.

R. N. Faustov, A. L. Kataev, S. A. Larin, and

V. V. Starshenko, Phys. Lett. B 254, 241 (1991).

19.

K. Pachucki, Phys. Rev. A 54, 1994 (1996).

42.

D. J. Broadhurst, A. L. Kataev, and O. V. Tarasov,

20.

E. Borie, Ann. Phys. 327, 733 (2012).

Phys. Lett. B 298, 445 (1993).

1062

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Энергетический интервал 1S-2S...

43.

A. H. Hoang, J. H. Kühn, and T. Teubner, Nucl.

58.

V. A. Yerokhin and V. M. Shabaev, Phys. Rev. Lett.

Phys. B 452, 173 (1995).

115, 233002 (2015).

44.

K. G. Chetyrkin et al., Phys. Lett. B 384, 233 (1996).

59.

V. A. Yerokhin and V. M. Shabaev, J. Phys. Chem.

Ref. Data 44, 033103 (2015).

45.

A. P. Martynenko, Phys. Rev. A 76, 012505 (2007).

60.

J. L. Friar, Ann. Phys. 122, 151 (1979).

46.

H. F. Hameka, J. Chem. Phys. 47, 2728 (1967).

61.

R. Barbieri, M. Caffo, and E. Remiddi, Nuovo Cim.

47.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-

Lett. 7, 60 (1973).

ка, Физматлит, Москва (2008).

48.

I. Angeli and K. P. Marinova, Atom. Data Nucl. Data

62.

E. Borie, Z. Phys. A 302, 187 (1981).

Tabl. 99, 69 (2013).

63.

J. L. Friar, J. Martorell, and D. W. L. Sprung, Phys.

49.

R. N. Faustov and A. P. Martynenko, Phys. Rev.

Rev. A 59, 4061 (1999).

A 67, 052506 (2003).

64.

А. П. Мартыненко, Р. Н. Фаустов, ЯФ 64, 1358

50.

J. J. Kelly, Phys. Rev. C 70, 068202 (2004).

(2001).

51.

D. Abbott, A. Ahmidouch, H. Anklin et al., Eur.

65.

E. Yu. Korzinin et al., Phys. Rev. A 98, 062519

Phys. J. A 7, 421 (2000).

(2018).

52.

R. N. Faustov, A. P. Martynenko, F. A. Martynenko,

66.

С. Г. Каршенбойм, Е. Ю. Корзинин, В. Г. Иванов,

and V. V. Sorokin, Phys. Lett. B 775, 79 (2017).

В. А. Шелюто, Письма в ЖЭТФ 92, 9 (2010).

53.

J. R. Sapirstein and D. R. Yennie, in Quantum

67.

A. E. Dorokhov, A. P. Martynenko, F. A. Martynen-

Electrodynamics, ed. by T. Kinoshita, World Sci.

ko, and A. E. Radzhabov, Europhys. J. Web Conf.

Pupl., Singapore (1990), p. 560.

204, 05008 (2019).

54.

M. I. Eides and H. Grotch, Phys. Rev. A 55, 3351

68.

K. Pachucki, Phys. Rev. Lett. 106, 193007 (2011).

(1997).

69.

J. L. Friar, Phys. Rev. C 88, 034003 (2013).

55.

K. Pachucki and H. Grotch, Phys. Rev. A 51, 1854

(1995).

70.

P. Cancio Pastor et al., Phys. Rev. Lett. 108, 143001

56.

В. М. Шабаев, ТМФ 63, 394 (1985).

(2012).

57.

А. С. Елховский, ЖЭТФ 110, 431 (1996).

71.

R. van Rooij et al., Science 333, 196 (2011).

1063