ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 6 (12), стр. 1129-1136

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУКРАТНО ВЫРОЖДЕННЫХ ЦЕНТРОВ

ЧЕРЕЗ ПОЛЕ ДЕФОРМАЦИЙ В КУБИЧЕСКОМ КРИСТАЛЛЕ

С МАЛОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

К. В. Васин^*, М. В. Еремин^**

Институт физики Казанского (Приволжского) федерального университета

420111, Казань, Россия

Поступила в редакцию 15 мая 2019 г.,

после переработки 28 июня 2019 г.

Принята к публикации 3 июля 2019 г.

Получены аналитические выражения для взаимодействия двукратно вырожденных состояний ионов че-

рез поле деформаций в кубических кристаллах с малой анизотропией. Расположение взаимодействую-

щих пар может быть произвольным. Проведен расчет энергии кооперативного орбитального упорядоче-

ния состояний ионов Fe²⁺ в кристалле FeCr2O4 с учетом локального ян-теллеровского и квадруполь-

квадрупольного взаимодействий. Найдено, что основной вклад в кооперативный эффект Яна- Теллера

вносит взаимодействие через поле деформаций. Оцененная критическая температура фазового перехода

по порядку величины соответствует экспериментальным данным.

DOI: 10.1134/S0044451019120095

влекли также кристаллы со структурой шпинели

FeCr₂S₄, FeCr₂O₄, FeV₂O₄, где двукратно вырож-

денные ионы Fe²⁺ находятся в позициях с тетра-

1. ВВЕДЕНИЕ

эдрической координацией. Обнаружилось, что эти

Проблема описания взаимодействия орбиталь-

соединения являются мультиферроиками [9-11]. Бу-

но-вырожденных состояний ионов в кристаллах яв-

дучи ферримагнетиками, они сулят хорошие пер-

ляется актуальной. Кристаллы, содержащие так на-

спективы в практических применениях, так как в

зываемые ян-теллеровские центры, обладают мно-

отличие от других мультиферроиков, они уже спон-

жеством структурных и магнитных фазовых пере-

танно намагничены. Замечено, что магнитоэлектри-

ходов [1, 2]. Это связано с тем, что в таких крис-

ческие свойства их проявляются только в орбиталь-

таллах, как правило, имеется ряд взаимодействий

но-упорядоченных фазах.

примерно одного порядка величины: орбитально-за-

Взаимодействия примесных центров произволь-

висимые обменные, квадруполь-квадрупольное, ло-

ной природы, а также сферически-симметричных

кальное ян-теллеровское [3] и взаимодействие через

частиц в кубической среде через колебания решет-

поле фононов [4-6].

ки с учетом анизотропии были описаны в работах

Большое внимание в современных исследовани-

[12-16] в приближении теории упругости. Такой под-

ях продолжают привлекать кристаллы типа перов-

ход к описанию согласуется c предельным случаем

скита с двукратно вырожденными основными со-

квантовой теории [4, 5]. Обмен акустическими фо-

стояниями ионов: KCuF₃, LiNiO₂, KCrF₃, LaMnO₃,

нонами на уровне операторов оказывается эквива-

Rb₂CrCl₄, где ян-теллеровские ионы занимают по-

лентным взаимодействию через упругие деформа-

зиции с октаэдрической координацией. Получены

ции среды. В работе [12] получены точные выраже-

экспериментальные доказательства о переходе ор-

ния для случая, когда взаимодействующие центры с

битального упорядочения в состояние орбитальной

двукратным вырождением расположены вдоль осей

жидкости при высоких температурах в LaMnO₃

четвертого порядка¹⁾.

[7, 8]. Повышенное внимание в последние годы при-

¹⁾ В формулах (19a) и (19с) допущены опечатки. Вместо +b

^* E-mail: KVVasin@stud.kpfu.ru

перед последней круглой скобкой в (19а) должно быть (-b),

^** E-mail: Mikhail.Eremin@kpfu.ru

а в (19с) вместо -6 должно стоять +6.

1129

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

К. В. Васин, М. В. Еремин

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Ранее исследовались случаи простых кубических

решеток и, как правило, учитывалось взаимодейст-

вие только с ближайшим окружением. Как извест-

но [17], взаимодействие через поле деформаций до-

вольно дальнодействующее, оно обратно пропорци-

онально кубу расстояния между частицами. В этой

связи такого приближения при анализе кооператив-

ного упорядочения орбитальных состояний в реаль-

ных сложных соединениях, например в шпинелях,

Fe1

Fe2

оказывается недостаточно.

Рис. 1. Два типа тетраэдрически координированных пози-

В данной работе будут получены формулы для

ций — Fe1 и Fe2 в шпинели FeCr2O4. В вершинах тетраэд-

расчета энергии взаимодействия двух центров с дву-

ра находятся ионы кислорода. Векторы a, b, c направлены

кратным вырождением при произвольном располо-

вдоль кристаллографических осей

жении в кубической среде со слабой анизотропи-

ей. В качестве приложения мы рассмотрим коопе-

√

ративное орбитальное упорядочение состояний Fe²⁺

Ĥⁱ =

σ^iθ (2e_zz-e_xx-e_yy)+

σ^iε (e_xx - e_yy)+

в кристалле FeCr₂O₄.

Вообще говоря, орбитальное упорядочение в кри-

+ σ^ia(e_xx + e_yy + e_zz).

(3)

сталлах со структурой шпинели обсуждалось ранее.

Так, в работе [16] рассмотрено упорядочение орби-

В соединении FeCr₂O₄ имеются два типа центров

тально-вырожденных ионов, занимающих позиции с

Fe, тетраэдрически координированных ионами кис-

октаэдрической координацией. В FeCr₂O₄ орбиталь-

лорода. Фрагменты Fe1 и Fe2 развернуты относи-

но-вырожденные состояния ионов железа занимают

тельно друг друга на 90 градусов вокруг оси c кри-

позиции в тетраэдрах, образованных ионами кисло-

сталла, как это поясняется на рис. 1. В формуле (3)

рода, а октаэдрически координированные ионы Cr

считается, что локальные оси координат сонаправ-

находятся в орбитально-невырожденных состояни-

лены с кристаллографическими, как для Fe1. Ком-

ях.

поненты σ_θ, σ_ε, σ_a выражаются через эффективные

операторы [3]

2. ОПЕРАТОР СВЯЗИ ЭЛЕКТРОННЫХ

U_a = |θ〉〈θ| + |ε〉〈ε|, U_θ = |ε〉〈ε| - |θ〉〈θ|,

СОСТОЯНИЙ С ПОЛЕМ ДЕФОРМАЦИЙ

Взаимодействие локализованных электронов че-

U_ε = |θ〉〈ε| + |ε〉〈θ|

рез акустические колебания решетки можно рассчи-

в пространстве орбитального дублета |θ〉 и |ε〉.

тать по теории упругости [12].

В общем случае, энергия взаимодействия двух

При тетраэдрическом окружении²⁾ для операто-

частиц произвольной природы через поле деформа-

ров σ_θ,

σ_ε справедливы соотношения

ций определяется по формуле [17]

√

σa =

RV_aU_a,

σθ =

RV U_θ,

H^ij = σ^iαβσ^jγη∇^iβ∇^iηG_αγ(r_i - r_j),

(1)

√

(4)

σε =

RV U_ε.

где G_αδ — тензор Грина — решение основного урав-

нения теории упругости [18]. В отсутствие локаль-

ных вращений компоненты тензора σ_αβ симметрич-

В (4) R — расстояние от иона Fe до иона кислоро-

ны. Взаимодействие i-й частицы со средой записы-

да, V , V_a — постоянные электрон-решетчатой связи

вают в виде

[3], связанные с внутренними параметрами теории

кристаллического поля a⁽²⁾ и a⁽⁴⁾ соотношениями

Hⁱ = σ^iαβe_αβ,

(2)

√

(

)

∂a⁽⁴⁾

2 1

V_a =

V =

5a⁽⁴⁾ - 9a⁽²⁾

(5)

где eαβ — компоненты тензора деформации. Для

∂R

центров в состоянии орбитального дублета оператор

взаимодействия (2) обычно представляют в виде [3]

²⁾ Формулы для октаэдрического окружения приведены в

работе [3].

1130

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Взаимодействие двукратно вырожденных центров. . .

В модели обменных зарядов [19] величины a⁽²⁾ и a⁽⁴⁾

(1), (8) приводит к довольно громоздким выра-

оцениваются по формулам

жениям. Более эффективным оказывается метод

расчета с использованием фурье-преобразования

(

)

〈r²〉 e² |Z|

e²G

∫

a⁽²⁾ =

S2s + S2σ + S²

(6)

R³

G_αβ(r) =

G_αβ(p)e-ip·rdp³

(10)

(

)

(2π)³

〈r⁴〉 e² |Z|

9e²G

a⁽⁴⁾ =

S2s + S2σ -

S²

(7)

R⁵

и применением формулы разложения по сферичес-

ким функциям

В формулах (6), (7) эффективный заряд иона кисло-

рода Z = -2. Первые слагаемые соответствуют ку-

∑

лоновскому взаимодействию, вторые — обменному.

eip·r = 4π

i^lj_l(pr)Y_lm(θ, φ)Y^∗lm(θ_r, φ_r),

(11)

S_π, S_σ, S_s — интегралы перекрывания 3d-состояний

l=0 m=-l

с 2p- и 2s-оболочками кислорода, определенные в

где j_l(pr) — сферические функции Бесселя. В про-

локальной системе координат с осью z вдоль пары

цессе расчета по формуле (1) или (8) операции диф-

Fe-O. Параметр G имеет смысл полусуммы эффек-

ференцирования по координатам частиц выполнят-

тивных зарядов остовов ионов Fe и O [20].

ся под знаком интеграла (10), а при последующем

Средние значения 〈r²〉, 〈r4〉 и интегралы пе-

интегрировании используется соотношение ортого-

рекрывания рассчитывались на хартри-фоковских

нальности сферических функций Y_lm.

функциях для Fe²⁺ и O2-, приведенных в работах

Случай сферически-симметричных частиц был

[21, 22], а параметр G ≈ 4.3 уточнялся по величине

рассмотрен в работе [15]. В данной работе получе-

расщепления основного терма иона Fe²⁺ в неиска-

но аналитическое выражение для оператора взаи-

женном тетраэдре Δ =²⁰²⁷ a⁽⁴⁾, которая по оценке

модействия ионов с двукратно вырожденными ор-

[23] составляет около 4000 см-1.

битальными состояниями. Таким образом, учиты-

В результате мы получили a(2) ≈ 1500 см-1,

ваются как анизотропия кубической среды, так и

a⁽⁴⁾ ≈ 5500 см-1 и V ≈ -5000 см-1/Å.

анизотропия взаимодействия двукратно вырожден-

Можно заметить в (5), что параметр элект-

ного центра со средой. В системе координат с осями

рон-решетчатой связи V определяется разностью

x, y, z, ориентированными вдоль осей четвертого по-

больших величин. В этой связи была проведена до-

рядка кубической среды, оно имеет вид

полнительная оценка с привлечением полуэмпири-

[

ческих данных о параметрах ян-теллеровской свя-

Ĥ^ij

V2ESU^iθ U^jθ Φ_θθ(r)+

зи для тетраэдрических комплексов [24] [MnO₄]2-,

16πr³

[CrO₄]3-. Согласно [24] для оксидов отношение

+ V 2ES(Uiθ U^jε+Uiε U^jθ)Φ_θε(r)+V 2ESUiε U^jε Φ_εε(r)+

a⁽⁴⁾/a⁽²⁾

≈ 1.4, что при Δ ≈ 4000 см-1 приводит

к значению V ≈ -3500 см-1/Å.

+ V_ESV_AS(Uiθ U^ja + Uia U^jθ)Φ_θa(r)+

+ V_ESV_AS(Uiε U^ja + Uia U^jε)Φ_εa(r)+

3. ОПЕРАТОР ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

]

ДВУКРАТНО ВЫРОЖДЕННЫХ ЦЕНТРОВ

+ V 2ASU^iaU^ja Φ_aa(r) ,

(12)

Для вывода оператора взаимодействия центров

√

где r = r_i - r_j и V_ES = 2

2RV/3, V_AS = 2RV_a/3

(1) необходимо решить основное уравнение для тен-

для тетраэдрически координированных ионов (4).

зора Грина G_αβ [17]

Общий вид оператора (12) такой же, как и в ранней

работе для случая изотропной среды [4]. Новыми яв-

∂²G_mn(r)

λ_ijml + δ_inδ(r) = 0

(8)

ляются аналитические формулы для функций Φ:

∂X_j∂X_l

√

с упругими постоянными вида

A₂P2,0

(12A₁ + 7B₁)P4,0 +

70B₁P4,4

Φ_θθ =

2002

λijkl = aδij δkl + b (δilδjk + δikδjl) + dδijkl .

(9)

(

√

)

(C₃ + 6C₂)P6,0 -

14(2C₁ + C₂)P6,4

Аналитические выражения для компонент

G_αβ(r_i-r_j) как функций декартовых координат для

(

√

)

3C₁

98P8,0 + 3

154P8,4

(13)

кубических сред со слабой анизотропией известны

286

[13-15]. Однако прямое вычисление по формулам

1131

К. В. Васин, М. В. Еремин

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

√

2A₂P2,2

30A₁P4,2

7C₂

(-5B₁ + 96C₁ + 39C₂)P4,4

Φ_θε = -

1001

143

(_√

)

√

(

)

√

5P6,2 +

11P6,6

(-C₁ + C₂)

7P6,0 +

14P6,4

(16)

(

√

)

3C₁

105P

8,2 + 7

143P8,6

(14)

572

Φ_εa =

√

2(5A₁-65A₂-5B₁+157C₂+118C₃)P2,2

A₂P2,0

Φ_εε = -

5005

√

2(5B₁ - 87C₂ - 48C₃)P4,2

(2A₁ + 7B₁)P4,0 +

70(2A₁ + B₁)P4,4

1001

(17)

2002

√

(

)

(√

√

)

√

7(-C₁ + C₂)

(C₁ - C₃) P6,0 +

14(C₁ + C₂)P6,4

5P6,2 +

11P6,6

√

(

√

)

(

)

√

3C₁

35P8,0 + 8

154P8,4 + 7

1430P8,8

(15)

Φ_aa =

B₂

P4,4 +

P4,0

572

2(5A₁-65A₂-5B₁+236C₁+39C₂)P2,0

где P_l,m = (C^lm + C^l∗m) — комбинация сферических

√

Φ_θa = -

4π

5005

тензорных компонент C^lm =

Y_lm [25], завися-

2l+1

(5B₁ - 96C₁ - 39C₂)P4,0

щих от углов, которые определяют ориентацию па-

1001

ры центров относительно кристаллографической си-

стемы координат,

3a²(143b - 70d) + 9ab(143b - 90d) + b²(858b - 457d)

A₁ =

(18)

b²(a + 2b)²

(

)

a²(33b - 14d) + 8ab(22b - 9d) + 4b²(55b - 31d)

27a² + 132ab + 248b

A₂ =

B₁ =

(19)

b²(a + 2b)²

d(a + b)

B₂ =

C₁ =

ет упорядочению орбиталей типа антиферромагнит-

(a+2b)²

b²(a+2b)²

ного (антиферродисторсия). В нашем случае в об-

(20)

d(a+6b)(a+b)

d(a+b)(a-4b)

щей формуле результат зависит как от соотношения

C₂ =

C₃ =

b²(a + 2b)²

между упругими постоянными среды, так и от знака

Величины a, b, d связаны с упругими постоянны-

параметра анизотропии d. На рис. 2, 3 мы привели

ми соотношениями [18] a = C₁₂, b = C₄₄, d = C₁₁ -

угловую зависимость коэффициентов Φ_θθ, Φ_εε для

- C₁₂ - 2C₄₄.

разных знаков относительного параметра анизотро-

В процессе вывода выражений для Φ предпола-

пии w = d/(a + 2b).

галось, что параметр анизотропии среды d < a, b. В

Сравнивая (12) с формулами, приведенными в

частных случаях, когда ось пары совпадает с одной

работе [16], можно сказать, что в физическом смыс-

из кристаллографических осей, формулы (13)-(17)

ле они различаются примерно так же, как оператор

совпадают с теми, которые получаются из общих

модели Изинга отличается от спинового оператора

выражений в работе [12].

модели Гейзенберга. Основное состояние пары спи-

Оператор взаимодействия орбитальных дубле-

нов в модели Гейзенберга, в отличие от первой, со-

тов, полученный в работе [16], содержит только од-

держит перепутанные состояния, что, как известно,

но слагаемое. Для пар, расположенных по оси чет-

важно для реализации состояния спиновой жидко-

вертого порядка, оно пропорционально произведе-

сти. В этом контексте ясно, что общее выражение

нию операторов U_θ × U_θ. В нашей формуле (12)

для оператора (12) может быть основой для рас-

он соответствует первому слагаемому. Коэффици-

смотрения реальных фазовых переходов с орбиталь-

ент Φ_θθ в [16] положителен, это приводит к тому, что

ным упорядочением, включая состояния орбиталь-

взаимодействие через поле деформаций способству-

ной жидкости.

1132

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Взаимодействие двукратно вырожденных центров. . .

, отн. ед.

1.0

C₃

0.5

–0.5

-0.5

-1.0

[110]

Рис. 2. (В цвете онлайн) Угловая зависимость функции

Φθθ относительно осей четвертого порядка в относитель-

ных единицах. Области положительных и отрицательных

значений отмечены соответственно красным и синим (тем-

ным): a — w = -0.145, как в FeCr2O4, б — w = 0.145

Рис. 4. Расположение тетраэдрически координированных

ионов Fe в элементарной ячейке кристалла FeCr2O4 при

, отн. ед.

-0.5

0.5

T > 150 K [26]

0.5

-0.5

При оценке критической температуры коопера-

тивного орбитального упорядочения мы следуем ме-

тоду, изложенному в работе [29]. Исходный гамиль-

тониан системы запишем в виде

∑

-0.5

Ĥ₌ λν(e2θ + e2ε)+

V_ES(U^Lθe_θ + U^Lε

e_ε)+

0.5

∑

(Ĥ^ijqq +

(22)

Рис. 3. Угловая зависимость функции Φεε относительно

i>j

осей четвертого порядка: a — w = -0.145, как в FeCr2O4,

б — w = 0.145

Первое слагаемое учитывает упругую энергию крис-

талла, где λ = (a + b + d)/3 — упругая постоянная,

которая получается из общего выражения для энер-

4. КООПЕРАТИВНОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ

гии деформации [17], ν — объем кристалла, e_θ, e_ε —

УПОРЯДОЧЕНИЕ В FeCr2O4

компоненты тензора деформации, фигурирующие в

круглых скобках формулы (3). Второе слагаемое

Cтруктурный фазовый переход из кубической

фазы в тетрагональную наблюдается в интервале

учитывает локальные ян-теллеровские искажения

[3]. Последнее слагаемое в (22) определяет энергию

температур 135-141 K [27,28]. При этом дублет Fe²⁺

расщепляется. В качестве основного для всех ионов

взаимодействия центров железа; через поле дефор-

маций и электрическое квадруполь-квадрупольное.

оказывается состояние |⁵E, θ〉 [28].

Для удобства расчета перепишем сумму опера-

Структура ячейки FeCr₂O₄ в кубической фазе

торов (12), (21) в более компактном виде:

изображена на рис. 4.

Между ионами Fe²⁺ существует также электри-

∑

Ĥ^ij

ческое квадруполь-квадрупольное взаимодействие.

(Ĥ^ijqq +

В пространстве орбитального дублета его оператор

i>j

имеет ту же форму, что и (12):

∑[

Q^ijθθU^iθU^jθ + Q^ijθε(U^iθU^jε + U^iεU^jθ)+

[√

i>j

12 e²〈rⁱ〉〈r^j〉

]

Ĥ ij

P4,2(U^iθU^jε + U^iεU^jθ) +

+Q^ijεεU^iεU^jε+Q

(U^iθU^ja +U^iaU^jθ )+Q^ijεa(U^iεU^ja +U^iaU^jε )

r⁵

θa

]

∑∑[

]

√

U^iεU^jε(P4,0 +

70P4,4) + U^iθU^jθ P4,0

(21)

Q^ijθaU^iθU^ja + Q^ijεaU^iεU^j

(23)

1133

К. В. Васин, М. В. Еремин

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Таблица. Рассчитанные значения Q^dfαβ и Q^qqαβ для

ничтожно малым, поэтому в таблице он не приво-

подрешетки Fe в FeCr2O4

дится.

Свободная энергия в расчете на одну позицию Fe

Q^dfαβ, см-1

Q^qqαβ, см-1

записывается в виде

Q^dfθθ

-70

Q^qqθθ

-20

F = -kT lnZ.

(26)

Q^dfθε

Q^qqθε

Q^dfεε

-70

Q^qqεε

-20

Оператор энергии (24) легко диагонализуется. Та-

ким образом, находим

(

)

√

F = W - kT ln 2ch

K2θ + K²

(27)

Явный вид величин Q^ijθθ = Q(df)θθ(ij)+Q(qq)θθ(ij) и т. п.

очевиден из сопоставления (23) с формулами (21)

и (12).

Условие экстремума свободной энергии приводит к

В качестве критерия наиболее выгодного орби-

системе уравнений для определения 〈U_θ〉, 〈U_ε〉, e_θ, e_ε

тального упорядочения принимается критическая

∂F

температура фазового перехода. В наших расчетах

= 0,

= 0. (28)

∂e_θ

∂e_ε

∂〈U_θ〉

∂〈U_ε〉

наиболее высокой оказалась температура, соответ-

ствующая ферроупорядочиванию орбиталей. В этом

При взятии производных в (28) от логарифма ста-

случае промежуточные выражения записываются

тистической суммы Z возникает функция вида β =

наиболее просто. Оператор энергии (22) в расчете

= th(E/kT )/E. Система (28) приобретает вид

на одну позицию железа имеет вид

(

)

e_θ

2γ - V2ESβ

- V_ESβ〈U_θ〉Q_θθ = 0,

Ĥ₌ K_θU_θ + K_εU_ε + W,

(24)

(

)

e_ε

2γ - V2ESβ

- V_ESβ〈U_ε〉Q_εε = 0,

(29)

где введены обозначения (через ν_c обозначен объем

V_ESβe_θ + 〈U_θ〉βQ_θθ + 〈U_θ〉 = 0,

ячейки кристалла)

V_ESβe_ε + 〈U_ε〉βQ_εε + 〈U_ε〉 = 0,

∑

где введено обозначение γ = ν_cλ/8. Уравнения (29)

K_θ = V_ES e_θ + 〈U_θ〉 Q^ijθθ + 〈U_ε〉 Q^ijθε +

позволяют получить аналитические выражения для

термодинамических средних 〈U_θ〉, 〈U_ε〉:

∑

+ Q^ijθa + Q^ijθa,

βV_ES e_θ

βV_ES e_ε

〈U_θ〉 = -

〈U_ε〉 = -

(30)

1+βQ_θθ

1+βQ_εε

∑

K_ε = V_ES e_ε + 〈U_ε〉 Q^ijεε +

В высокотемпературном приближении функция β

раскладывается в ряд и, с точностью до линейно-

(25)

го члена, оказывается равной β ≈ 1/kT. Это поз-

∑

+ 〈U_θ〉 Q^ijθε +

Q^ijεa +

Q^ijεa,

воляет оценить критическую температуру фазового

перехода

∑

V2ES - 2γQ

θθ

W =

ν_cλ(e2θ + e2ε) -

〈U_θ〉²

Q^ijθθ+

T_cr =

(31)

2kγ

∑

Коэффициенты Q_θθ = Q

+ Q^qqθθ и др. приведе-

−

〈U_ε〉²

Q^ijεε - 〈U_θ〉〈U_ε〉

Q^ijθε.

θθ

ны в таблице. Видно, что взаимодействие через по-

ле деформаций преобладает над квадруполь-квад-

Рассчитанные вклады в коэффициенты Q(Fe)θθ =

рупольным.

∑_Fe

Q^ijθθ и т.п., обусловленные взаимодействием

Используя V ≈ -3500 см-1/Å (см. разд. 2) и a =

= 1.4370 · 10¹² дин/см², b = 1.1670 · 10¹² дин/см²,

через поле деформаций и электрическим квадру-

поль-квадрупольным взаимодействием, приведены

d = -0.5460 · 10¹² дин/см² из работы [30], по фор-

муле (31) находим T_cr ≈ 250 K. Вычисленное зна-

в таблице.

Отметим, что вклад в энергию молекулярного

чение температуры фазового перехода по поряд-

ку величины соответствует экспериментальному [28]

поля Q(Fe)θa, Q(Cr)θa и др., связанный с полносиммет-

ричной деформацией от центров Fe и Cr, оказался

(135-141 K).

1134

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Взаимодействие двукратно вырожденных центров. . .

5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Л. К. Аминов, Б. И. Кочелаев, ЖЭТФ 42, 1303

(1962).

В данной работе в рамках теории упругости вы-

R. Orbach and M. Tachiki, Phys. Rev. 158, 524

веден оператор взаимодействия двукратно вырож-

(1967).

денных центров произвольной природы в кубичес-

ких кристаллах со слабой анизотропией. Получе-

G. A. Gehring and K. A. Gehring, Rep. Progr. Phys.

ны общие аналитические формулы для параметров

38, 1 (1975).

взаимодействия Φ (13)-(17) в линейном приближе-

A. Trokiner, S. Verkhovskii, A. Gerashenko, Z. Vol-

нии по d. Они рассчитываются через упругие посто-

kova, O. Anikeenok, K. Mikhalev, M. Eremin, and

янные среды и также могут быть выражены через

L. Pinsard-Gaudart, Phys. Rev. B 87, 125142 (2013).

скорости продольного и поперечного звука. Исполь-

S. Schaile, H. A. Krug von Nidda, J. Deisenhofer,

зуя модель обменных зарядов в теории кристалли-

M. V. Eremin, Y. Tokura, and A. Loidl, Phys. Rev.

ческого поля, мы оценили параметры линейной ян-

B 90, 054424 (2014).

теллеровской связи состояний орбитального дублета

J. Bertinshaw, C. Ulrich et al, Sci. Rep. 4,

6079

с колебаниями ионов в вершинах тетраэдра. В ка-

(2014).

честве конкретного примера рассчитаны параметр

связи основного дублета Fe²⁺ (⁵E) с полем дефор-

10.

K. Singh, A. Maignana, C. Simon, and C. Martin,

маций в FeCr₂O₄ и орбитальное упорядочение со-

Appl. Phys. Lett. 99, 172903 (2011).

стояний Fe²⁺ с учетом как взаимодействия через

11.

Q. Zhang et al., Phys. Rev. B 85, 054405 (2012).

поле деформаций, так и электростатического взаи-

модействия квадрупольных моментов. Найдено, что

12.

M. В. Еремин, А. Ю. Завидонов, Б. И. Кочелаев,

ЖЭТФ 90, 537 (1985).

взаимодействие через поле упругости превалирует

над квадруполь-квадрупольным. Наиболее выгод-

13.

П. Н. Остапчук, ФТТ 54, 92 (2012).

ным оказалось орбитальное упорядочение типа фер-

14.

С. А. Кукушкин, А. В. Осипов, Р. С. Телятник,

ромагнитного. Рассчитанная критическая темпера-

ФТТ 58, 941 (2016).

тура в приближении среднего поля по порядку вели-

чины соответствует определенной эксперименталь-

15.

M. В. Еремин, К. В. Васин, ЖЭТФ 154, 6 (2018).

но.

16.

R. Englman and B. Halperin, Phys. Rev. B 2, 1

Найдено, что анизотропия среды играет сущест-

(1970).

венную роль, меняется угловая зависимость пара-

17.

А. М. Косевич, Основы механики кристалличес-

метров в операторе взаимодействия. Полученные

кой решетки, Наука, Москва (1972).

аналитические выражения применимы для широко-

го класса соединений, ориентация пар взаимодей-

18.

И. М. Лифшиц, Л. Н. Розенцвейг, ЖЭТФ 9, 183

ствующих центров в кристалле может быть произ-

(1947).

вольной.

19.

B. Z. Malkin, Modern Problems in Condensed Matter

Sciences, ed. by A. A. Kaplyanskii and R. M. Macfar-

Финансирование. Работа выполнена при под-

lane, Amsterdam, Elsevier Science Publishers (1987),

держке Российского национального фонда (грант

Vol. 21, Ch. 2, p. 13.

№19-12-00244).

20.

M. V. Eremin and A. A. Kornienko, Phys. Stat. Sol.

B 79, 775 (1977).

21.

E. Clementi and A. D. McLean, Phys. Rev. A133,

ЛИТЕРАТУРА

419 (1964).

1. К. И. Кугель, Д. И. Хомский, УФН 136, 621 (1982).

22.

E. Clementi and C. Roetti, Atomic Data and Nuclear

Data Tables 14 (1974), p. 177.

2. D. I. Khomskii and K. I. Kugel, Phys. Rev. B 67,

134401 (2003).

23.

F. Hartmann-Boutron and P. Imbert, J. Appl. Phys.

39, 775 (1968).

3. A. Abragam and B. Bleany, Paramagnetic Resonance

24.

K. Wissing and J. Degen, Mol. Phys. 95, 51 (1998).

of Transition Ions, Clarendon Press, Oxford (1970)

[А. Абрагам, Б. Блини, Электронный парамаг-

25.

Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсон-

нитный резонанс переходных ионов, Том 2, Мир,

ский, Квантовая теория углового момента, Нау-

Москва (1972)].

ка, Москва (1975).

1135