ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 6 (12), стр. 1175-1184

ДИНАМИЧЕСКИЕ И СТАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ДВУХПОДРЕШЕТОЧНОГО АНИЗОТРОПНОГО

НЕГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОГО МАГНЕТИКА

Е. А. Ярыгина, Я. Ю. Матюнина, Ф. Н. Клевец, Ю. А. Фридман^*

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

295007, Симферополь, Россия

Поступила в редакцию 26 июня 2019 г.,

после переработки 4 июля 2019 г.

Принята к публикации 5 июля 2019 г.

В приближении среднего поля исследовано влияние одноионной анизотропии на фазовые состояния и

динамические свойства негейзенберговского магнетика с S = 1. Показано, что в отличие от изотропной

модели, учет одноионной анизотропии приводит к изменению типа фазовых переходов между диполь-

ными и нематическими фазами, а также к исчезновению SU(3)-точки. Построена фазовая диаграмма.

DOI: 10.1134/S0044451019120149

ния активно изучались в кристаллических магнети-

ках [5,6], включая низкоразмерные системы [12-15].

Судя по всему, такие состояния обнаружены для

1. ВВЕДЕНИЕ

низкоразмерного магнетика LiCuVO₄ [16,17]. Иссле-

довались взаимодействия элементарных возбужде-

Хорошо известно, что в общем случае изотропное

ний и их релаксации [18-20], нелинейная динамика

обменное взаимодействие для магнетика со спином

под действием лазерного импульса [21, 22] и соли-

S > 1/2 не ограничивается билинейным взаимодей-

тонные состояния [12,23,24]. Такие системы актив-

ствием и может включать высшие инварианты типа

но исследуются как в магнетиках с простейшей кри-

(S₁, S₂)ⁿ со значениями n от 1 до 2S, где S — вели-

сталлической решеткой (квадратной), так и в более

чина спина магнитного иона [1-13]. В частности, об-

сложных случаях, например, в магнетиках с тре-

щий гамильтониан для изотропного обменного вза-

угольной решеткой [25-33] и в более сложных сис-

имодействия двух единичных спинов содержит сла-

темах типа зиг-заг [34].

гаемые (S₁, S₂) и (S₁, S₂)². Магнетики, которые опи-

сываются таким гамильтонианом, принято называть

Учет немалого биквадратичного взаимодействия

приводит к реализации спиновых структур тензор-

негейзенберговскими магнетиками [1,6,11-15].

ного типа, так называемых нематических фаз. В ра-

Такая модель обладает весьма интересными фи-

боте [35] отмечалось, что учет биквадратичного об-

зическими свойствами, отсутствующими для гейзен-

менного взаимодействия, например в ферропникти-

берговских магнетиков, обменное взаимодействие

дах LaFeAsO, позволяет объяснить некоторые осо-

которых содержит только билинейное по спиновым

бенности спектров магнонов и фазовых переходов.

операторам слагаемое. В модели изотропного негей-

Кроме того, в данной системе константа биквадра-

зенберговского магнетика возможно динамическое

тичного обменного взаимодействия может превосхо-

сокращение спина при произвольных соотношени-

дить константу билинейного обмена.

ях параметров билинейного и биквадратичного об-

менных взаимодействий, что приводит к принци-

В нематической фазе в основном состоянии маг-

пиальной невозможности использования уравнения

нитного кристалла все средние значения проекций

Ландау - Лифшица для макроскопического описа-

спиновых операторов равны нулю, а параметром по-

ния динамики магнитоупорядоченной системы. На

рядка является не магнитный момент, а компоненты

протяжении последних двадцати лет такие состоя-

тензора квадрупольного момента [1-10]. Спонтанное

нарушение симметрии в нематической фазе опре-

^* E-mail: yuriifridman@gmail.com

деляется квадрупольными средними типа 〈SⁱS^j +

1175

Е. А. Ярыгина, Я. Ю. Матюнина, Ф. Н. Клевец, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

+S^jSⁱ〉/2, геометрическим образом которых являет-

рупольных эллипсоидов подрешеток ортогональны

ся эллипсоид с главными осями, ориентированными

[14, 45, 46].

вдоль некоторых направлений e_x, e_y, e_z, и полуося-

Целью данной работы является исследование

ми, равными 〈(S^x)²〉, 〈(S^y)²〉, 〈(S^z)²〉, связанными

фазовых состояний и динамических свойств лег-

соотношением [5,12]

коплоскостного анизотропного негейзенберговского

магнетика со спином магнитного иона S = 1, пред-

〈(S^x)²〉 + 〈(S^y)²〉 + 〈(S^z)²〉 = S(S + 1).

полагающего возможность разбиения на две подре-

шетки.

Необходимо отметить, что изотропная модель, в

которой учитываются все спиновые инварианты, су-

щественно отличается от часто обсуждаемой моде-

2. ФАЗОВЫЕ СОСТОЯНИЯ МОДЕЛИ

ли негейзенберговских магнетиков с сильной одно-

Рассмотрим легкоплоскостной магнетик со спи-

ионной анизотропией типа β(S^z )² [6,36-42]. Как бы-

ном S = 1. Это минимальное значение спина, при

ло показано в работе [42], при β/2J > 1 (β и J —

котором в системе возможно существование как би-

соответственно константы одноионной анизотропии

квадратичного обменного взаимодействия, так и од-

и билинейного взаимодействия), даже при абсолют-

ноионной анизотропии. Поскольку мы рассматрива-

ном нуле температур, в системе возникает кванто-

ем произвольные соотношения для констант били-

вое сокращение спина на узле. В подобных магнети-

нейного и биквадратичного обменного взаимодей-

ках присутствуют интересные особенности как ста-

ствия, в том числе и такие, когда они принима-

тических, так и динамических свойств. В частности,

ют отрицательные значения, рассматриваемая мо-

как уже отмечалось, даже при T = 0 существуют

дель допускает разбиение на две подрешетки, на-

состояния с намагниченностью, существенно мень-

пример, при рассмотрении антиферромагнитного

шей номинальной или даже равной нулю, а также

(АФМ) упорядочения. Гамильтониан такой системы

особые типы динамических возбуждений, так назы-

имеет вид

ваемые продольные магноны, в которых намагни-

ченность меняется по модулю [43]. Следовательно,

в магнетиках с большой одноионной анизотропией

Ĥ₌ -1∑

[Jn1,n2 (Sn1 · Sn2 ) +

возможен случай, когда состояние с 〈S〉 = 0 являет-

n1,n2

ся основным состоянием. Такие фазы получили на-

]

β^∑

(S^zn)²,

(1)

+ Kn1,n2(Sn1 · Sn2)²

звание квадрупольных [44], однако симметрия квад-

рупольных средних в них чисто одноосная, т. е. одна

из главных осей квадрупольного эллипсоида парал-

где S^j

— j-я компонента спинового оператора в n-м

лельна оси анизотропии, а сам эллипсоид является

узле i-й подрешетки, J и K — константы соответ-

одноосным и вырождается в эллипс с эксцентриси-

ственно билинейного и биквадратичного обменных

тетом, равным единице. Поэтому эти состояния не

взаимодействий, β > 0 — константа одноионной ани-

являются нематическими (в строгом смысле этого

зотропии типа легкая плоскость.

термина).

Дальнейшее рассмотрение будем проводить для

Таким образом, в анизотропных негейзенбергов-

случая низких температур (T ≪ T_C , T_C — темпера-

ских магнетиках эти два фактора (одноионная ани-

тура Кюри). Кроме того, мы предполагаем, что кон-

зотропия и биквадратичный обмен) могут действо-

станта одноионной анизотропии фиксирована, но

вать одновременно, формируя особенности как ос-

возможно изменение как величины, так и знака об-

новного состояния, так и спектральных свойств.

менных интегралов J и K, т. е. возможны ситуации

Если система предполагает возможность разбие-

β < J,K и β > J,K.

ния на несколько подрешеток, то ситуация становит-

Внешнее магнитное поле в рассматриваемой мо-

ся существенно сложнее. Как было показано в ряде

дели равно нулю, а изменение фазовых состоя-

работ [14, 45, 46], для двухподрешеточного изотроп-

ний связано с изменением как величины, так и

ного негейзенберговского магнетика кроме диполь-

знака обменных интегралов (и их соотношения)

ной антиферромагнитной фазы при определенном

[5, 11, 14, 45, 46]. Вариация материальных парамет-

соотношении обменных интегралов может реализо-

ров системы может происходить, например, путем

вываться ортогонально-нематическое состояние, в

изменения концентрации магнитных ионов или при-

котором средний магнитный момент на узле в каж-

ложения внешних механических напряжений, при-

дой подрешетке равен нулю, а главные оси квад-

водящих к деформации кристаллической решетки.

1176

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Динамические и статические свойства. . .

В контексте данной работы не принципиально, ка-

Выделяя в гамильтониане (2) средние поля, свя-

ким образом происходит изменение материальных

занные как с дипольными параметрами порядка

констант в рассматриваемой модели.

〈S^z 〉, так и с квадрупольными (qt2 = 〈Ot2〉), получим

Поскольку обменные взаимодействия в гамиль-

одноузельный гамильтониан

тониане (1) инвариантны относительно поворотов

магнитных моментов, магнитная анизотропия типа

Ĥ₀ = β(S^x)² - HS^z - B⁰²O⁰² - B²²O²²,

(3)

легкая плоскость приводит к ориентации магнитных

где H = (J₀ - K₀/2)〈S^z〉,

моментов подрешеток в плоскости xy. Для упроще-

ния дальнейших математических вычислений при

]

K₀

^[q⁰

расчете спектров элементарных возбуждений в од-

B⁰² =

(1 + 3 cos 2ϕ) + q²²(cos 2ϕ - 1) ,

ной из подрешеток (для определенности - второй)

совершим поворот вокруг оси z,

[

]

K₀

B²² =

q⁰²(cos 2ϕ - 1) + q²²(3 + cos2ϕ)

∏

U (ϕ) = exp(iϕS^z ),_n

J₀ и K₀ — нулевые фурье-компоненты констант со-

ответственно билинейного и биквадратичного об-

на угол ϕ в спиновом пространстве, а затем совер-

менных взаимодействий. При этом мы учли, что

шим еще один унитарный поворот вокруг оси y на

недиагональные компоненты тензора квадруполь-

угол π/2 так, чтобы ось z стала осью квантования.

ных моментов qt2 (t = xy, yz, xz) равны нулю, а от-

Дальнейшие вычисления будем проводить, исполь-

личны от нуля только q⁰² и q²².

зуя операторы Стивенса [47], поскольку они явля-

Решая уравнение Шредингера с гамильтонианом

ются генераторами группы SO(3) симметрии иссле-

(3), получим энергии уровней,

дуемой системы. Тогда гамильтониан исследуемой

системы принимает вид

E₁ =

(1- sin 2θ)-H cos 2θ-B⁰²-B²² sin 2θ,

(

)

Kn1,n

^Ĥ (ϕ) = -1∑

E₀ = β + 2B⁰²,

(4)

Jn1,n2 -

n1,n2

[

(

)

]

E-1 =

(1+ sin 2θ)+H cos 2θ-B⁰²+B²² sin 2θ,

S^xn

S^yn

+S^zn

S^z

cosϕ

[

∑

Õ0

и собственные функции магнитного иона,

(1 + 3 cos 2ϕ) +

Kn1,n2

2n1

2n2

n1,n2

|ψ(1)〉 = cos θ|1〉 + sin θ|-1〉,

|ψ(0)〉 = |0〉,

(5)

Õ2

(3 + cos 2ϕ) +

2n1

2n2

|ψ(-1)〉 = - sin θ|1〉 + cos θ|-1〉.

(

)

Õ0

Õ2

Õ0

+ Õ22n

(cos 2ϕ - 1) +

Параметр θ является параметром обобщенного

2n1

2n2

(

)

]

u-v-преобразования и определяется следующим

+ Õyz2n

Õ^yz

cos2ϕ+

Õxz

+Õxy2n

Õ^xy

cosϕ

2n2

2n1

2n2

трансцендентным уравнением:

∑

(

)

(S^x )²,

(2)

(

)

H+η

cosθ = B²² +

sinθ,

ni,i=1,2

√

где Ot2 — операторы Стивенса (t = 0, 2, ij; i, j =

где η = H² + (B²² - β/2)² .

= x, y, z), связанные со спиновыми операторами сле-

дующим образом:

На базисе собственных функций одноузельного

гамильтониана (5) построим операторы Хаббарда

[

]

O02n = 3(S^zn)² - S(S+1), O22n =

(S+n)²+(S^-n)²

XM′M = |ψ(M^′)〉〈ψ(M)| [48-51], описывающие пе-

реход магнитного иона из состояния M в состояние

M^′. В терминах операторов Хаббарда гамильтониан

Oij2n = SⁱⁿS^jn + S^jnSⁱⁿ (i = j).

∑

(3) является диагональным,

Ĥ₀ =_M E_MXMM, а

Õt

Операторы

связаны с поворотами спиновой сис-

операторы Хаббарда связаны со спиновыми опера-

темы и имеют вид

торами следующим образом:

(

)

(

)

Õ0

Õ2

3O²² - O⁰²

O⁰² + O²²

S^zn = cos2θ(X11n - X-1-1n)-sin2θ(X1-1n + X-11n),

√

[

]

Õxz

= -Oxz2,

Õ^yz

=Oxy2,

Õ^xy

= -Oyz2.

S+n =

sinθ(X01n - X-10n)+ cosθ(X0-1n + X10n)

1177

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

Е. А. Ярыгина, Я. Ю. Матюнина, Ф. Н. Клевец, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

S^-n = (S+n)^†.

Следовательно, геометрическим образом квадру-

польных моментов в спиновом пространстве являет-

Из связи спиновых операторов с операторами Хаб-

ся эллипсоид вращения. Симметрия этого эллипсои-

барда определим как векторные (дипольные), так и

да определяется направлением магнитного момента,

тензорные (квадрупольные) параметры порядка:

которое совпадает с направлением главной оси эл-

〈S^z〉 = cos 2θ〈X¹¹ - X-1-1〉,

липсоида. Необходимо отметить, что соотношения

q⁰² = 3〈X¹¹ + X-1-1〉 - 2,

(6)

(8) являются точными в изотропном случае. В рас-

сматриваемой модели эти соотношения справедли-

q²² = sin2θ〈X¹¹ - X-1-1〉,

вы, поскольку, как хорошо известно, ФМ-упорядо-

где

чение определяется обменным взаимодействием, и,

следовательно, в этом состоянии β < J₀.

〈X^ij 〉 = 0, i = j,

〈Xⁱⁱ〉 = exp(-E_i/T )/Z,

Если же J₀ < K₀, но J₀ > 0, K₀ > 0, то миниму-

∑

Z = exp(-E_i/T)

му плотности свободной энергии (7) соответствуют

θ = π/4, ϕ = 0. В этом случае, как и в ФМ-фазе,

— статистическая сумма, E_i — энергии уровней маг-

основным энергетическим уровнем будет E₁, а вол-

нитного иона, T — температура в энергетических

новой функцией основного состояния является

единицах.

Из соотношений (4) следует, что энергия ос-

|ψ〉 =

√

(|1〉 + |-1〉) .

новного уровня магнитного иона равна E₁. Тогда

〈X¹¹〉 = 1, 〈X-1-1〉 = 0 и параметры порядка сис-

Параметры порядка в этом случае равны

темы имеют вид

〈S^z 〉 = 0, q⁰² = 1, q²² = 1.

(9)

〈S^z〉 = cos 2θ, q⁰² = 1, q²² = sin 2θ.

Поскольку мы рассматриваем случай низких

Очевидно, что основное состояние и параметры

температур, свободная энергия системы (в расче-

порядка соответствуют нематическому состоянию

те на один узел) в приближении среднего поля сов-

[11-14]. Квадрупольные средние в нематической фа-

падает с энергией E₁ основного уровня магнитного

зе имеют следующий вид:

иона (см. формулу (4)). Таким образом, для плот-

ности свободной энергии получаем

〈(S^z)²〉 = 1,

〈(S^x)²〉 = 1,

〈(S^y )²〉 = 0,

F =

(1 - sin 2θ) - H cos 2θ - B⁰² - B²² sin 2θ.

(7)

откуда следует, что геометрическим образом тен-

зора квадрупольных моментов является вырожден-

Выражение (7) зависит как от материальных па-

ный квадрупольный эллипсоид — плоский диск, ле-

раметров магнетика, так и от параметра θ и уг-

жащий в плоскости zx. При этом вектор-директор

ла поворота ϕ второй подрешетки. Минимизируя

перпендикулярен плоскости этого диска.

плотность свободной энергии по параметрам θ и ϕ,

Из неравенства нулю квадрупольного параметра

можно определить стабильные фазовые состояния

порядка (q²² = 0) следует, что в нематической фа-

при различных соотношениях материальных пара-

зе энергия одноионной анизотропии, так же как и

метров.

в ФМ-фазе, существенно меньше энергий обменных

Так, при J₀ > K₀ > 0 и θ = ϕ = 0 энергия основ-

взаимодействий: β < J₀, K₀.

ного уровня магнитного иона есть E₁, параметры

Предположим теперь, что константа билинейно-

порядка равны

го обменного взаимодействия отрицательна (J₀ <

< 0). В этом случае системе выгодно разбиться на

〈S^z 〉 = 1, q⁰² = 1, q²² = 0,

(8)

две подрешетки.

а волновая функция основного состояния есть |ψ〉 =

Если же в таком двухподрешеточном магнети-

= |1〉. Очевидно, что такое соотношение параметров

ке гейзенберговский обмен (по модулю) превосходит

соответствует одноподрешеточному ферромагнит-

биквадратичное обменное взаимодействие (|J₀| >

ному (ФМ) упорядочению. Кроме того, в этом со-

> |K₀|), то, как показывает анализ свободной энер-

стоянии квадрупольные средние определяются вы-

гии, параметры θ и ϕ принимают следующие зна-

ражениями

чения: θ = 0, а ϕ = 0 или ϕ = π. Два различных

значения угла ϕ соответствуют первой и второй под-

〈(S^z)²〉 = 1,

〈(S^x)²〉 = 〈(S^y)²〉 =

решеткам. Следовательно, |ψ₁〉 = |1〉 и |ψ₂〉 = |-1〉 —

1178

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Динамические и статические свойства. . .

волновые функции подрешеток в основном состоя-

(Sz

)

нии. Параметры порядка в подрешетках имеют вид

〈Sz(1)〉 = 1, q⁰²⁽¹⁾ = 1, q²²⁽¹⁾ = 0,

(10)

〈Sz(2)〉 = -1, q⁰²⁽²⁾ = 1, q²²⁽²⁾ = 0.

Такие параметры порядка соответствуют АФМ-упо-

рядочению в магнетике.

Очевидно, что и в этой фазе константа одноион-

ной анизотропии не превосходит обменных интегра-

лов.

Рассмотрим теперь случай |J₀| < |K₀|, причем

(Sy

)

K₀ и J₀ меньше нуля. Эта ситуация также соот-

ветствует двухподрешеточному магнетику; при этом

параметры θ и ϕ принимают следующие значения в

подрешетках:

θ₁ =

θ₂ = -

ϕ₁ = ϕ₂ =

(Sx

)

Таким образом, векторы основного состояния, |ψ₁〉

и |ψ₂〉, в каждой из подрешеток имеют вид

Рис. 1. Ориентация геометрических образов тензорных па-

раметров порядка в спиновом пространстве для первой

|ψ₁〉 =

√

(|1〉 + |-1〉) ,

(zx) и второй (zy) подрешеток в ортогонально нематиче-

ской фазе

|ψ₂〉 =

√

(|1〉 - |-1〉)

Грина для операторов Хаббарда [49, 51]. В нашем

и ортогональны друг другу (〈ψ₁|ψ₂〉 = 0).

случае этот подход требует громоздких вычислений,

Параметры порядка для первой и второй подре-

но в некотором приближении допускает аналити-

шеток равны

ческое вычисление спектров во всей области пара-

〈Sz(1)〉 = 0, q⁰²⁽¹⁾ = 1, q²²⁽¹⁾ = 1,

метров модели. Энергетический спектр возбужде-

(11)

ний сильнокоррелированных систем определяются

〈Sz(2)〉 = 0, q⁰²⁽²⁾ = 1, q²²⁽²⁾ = -1.

полюсами функции Грина [2, 52-55]. В качестве ма-

Квадрупольные средние в каждой из подрешеток

лого параметра, позволяющего применить теорию

имеют вид

возмущений, используется, как и в работе [47], об-

ратный радиус взаимодействия.

〈(Sx(1))²〉 = 1,

〈(Sy(1))²〉 = 0,

〈(Sz(1))²〉 = 1,

Определим мацубаровские функции Грина сле-

〈(Sx(2))²〉 = 0,

〈(Sy(2))²〉 = 1,

〈(Sz(2))²〉 = 1.

дующим образом [53]:

Такой вид квадрупольных средних говорит о том,

Xλ^′

Gλλ′ (n, τ; n^′, τ^′) = -

T X^λn(τ)

(τ^′)〉,

n^′

что их вектор-директоры ортогональны, т. е. дан-

Xλ

ное состояние является ортогонально-нематическим

где

T — оператор Вика,

(τ)

= e^ĤτX^λne^-Ĥτ —

[14, 45, 46]. При этом в первой подрешетке квадру-

оператор Хаббарда в гейзенберговском представле-

польный эллипсоид имеет форму диска в плоскости

нии, а усреднение проводится с полным гамильто-

zx, а во второй подрешетке диск лежит в плоскос-

нианом

Ĥ =

Ĥ₀ +

Ĥ_int, λ = α₁, α₂, . . . , α2S+1, M₁,

ти zy. Поскольку плоскости zx и zy ортогональны,

M₂, . . . , M2S+1, где α — корневые векторы, опреде-

данное фазовое состояние и получило название ор-

ляемые алгеброй операторов Хаббарда [49, 51].

тогональный нематик (рис. 1).

Дальнейшие вычисления будем проводить в при-

ближении среднего поля, поэтому нам понадобится

только «поперечная» часть обменного гамильтони-

3. АНАЛИЗ СПЕКТРОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ

Ĥ⊥

ана,

, которую можно представить в виде

int

ВОЗБУЖДЕНИЙ

∑[

]

Ĥ⊥

int

c(λ),

A_nn′ c(λ^′) X^λnXλ′n,

Для анализа элементарных возбуждений в маг-

=-2

′

n,n

нетике с S = 1 воспользуемся методом функций

λ,λ^′

1179

10*

Е. А. Ярыгина, Я. Ю. Матюнина, Ф. Н. Клевец, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

где компоненты вектора c(λ) определяются из свя-

квадрупольное среднее q²² равно нулю, а величина

зи спиновых операторов с операторами Хаббарда,

q02 является константой и не влияет на динамику

а матрицу

A_nn′ можно представить в виде

A_nn′ =

системы. Следовательно, в ФМ-фазе для системы

=Aˆ(3)nn′ ⊕

A(5)nn′ . Тогда фурье-образ системы уравне-

со спином S = 1 и малой одноионной анизотропи-

ний для функций Грина можно записать как

ей, симметрия квадрупольных средних полностью

определяется симметрией магнитного момента.

Gλλ′ (k, ω_n) = Σλλ′ (k, ω_n) -

Σλλ1(k, ω_n)×

Используя общее дисперсионное уравнение (12),

{

}

определим спектры возбуждений в ФМ-фазе. В низ-

× c(-λ₁),A(k)c(λ2) Gλ2λ′ (k, ωn),

котемпературном приближении в системе будут су-

ществовать две магнонные ветви возбуждений [2],

и фурье-компоненты Gλλ′(k, ω_n) отличны от нуля

спектры которых имеют вид

только для четных частот ω_n = 2πnT, n = 0, ±1,

±2, . . ., а неприводимые по Ларкину графики могут

ε₁(k) = 2J₀ - K₀ - K(k),

(13)

быть следующих типов [49]:

ε₂(k) = J(k) - J₀ +

(14)

Σ^αβ(k, ω_n), Σ^αM (k, ω_n), Σ^Mα(k, ω_n), ΣMM′(k, ω_n).

Из выражений (13) и (14) видно, что при β → 0

Однако в нулевом приближении по обратному ради-

спектры магнонов переходят в известные результа-

усу взаимодействия система уравнений для функ-

ты для негейзенберговского изотропного магнетика

ций Грина существенно упрощается, поскольку в

с S = 1 [14].

этом приближении

Ветвь ε₂(k) — «поперечная» мода, характер-

ная для ферромагнетика. Анализ показывает, что в

Σ^αβ(k, ω_n) = δ_αα′ b(α)Gα0(ω_n),

этой моде «поперечные» колебания спиновой плот-

Σ^αM (k, ω_n) = Σ^Mα(k, ω_n) = 0,

ности связаны с поворотами направления главной

оси квадрупольного эллипсоида (т.е. в данном слу-

ΣMM′(k, ω_n) = -nMM′

δωn,0,

чае направлением магнитного момента). Мода ε₁(k)

где Gα0(ω_n) = (iω_n + αE)-1 — нулевая функция Гри-

описывает «продольную» динамику спина [14,21,44].

Эта мода включает продольные колебания моду-

на, b(α) = 〈αX〉₀ — концевой множитель. Таким об-

разом, в нулевом приближении по обратному ради-

ля вектора намагниченности, направление которо-

усу взаимодействия дисперсионное уравнение имеет

го остается параллельным главной оси эллипсоида

вид

квадрупольных моментов, деформацию эллипсоида

и его поворот вокруг намагниченности.

det ∥ δ_ij + x_ij ∥= 0, i, j = 1, 2, . . . , 8,

(12)

Рассмотрим теперь устойчивость ФМ-фазы от-

носительно произвольных возмущений, которые со-

где x_ij = Gα0(ω_n)b(α)c^†i(α)A_jk c_k(-α).

ответствуют спектрам (13) и (14). Из условия обра-

Поскольку техника операторов Хаббарда позво-

щения в нуль энергетической щели в спектре (13)

ляет точно учесть одноузельные корреляторы, дис-

при малых волновых векторах (k → 0) и вблизи

персионное уравнение справедливо при произволь-

края зоны Бриллюэна (k → π) получим, что мода

ных соотношениях обменных интегралов, т. е. в раз-

(13) теряет устойчивость при

личных фазовых состояниях [48-51].

После обсуждения общих подходов и формули-

J₀ = K₀(k → 0), J₀ = 0(k → π).

(15)

ровки проблемы перейдем к конкретному анализу

спиновых состояний и спектров элементарных воз-

Поскольку мы рассматриваем систему с малой од-

буждений в различных фазах магнетика, описывае-

ноионной анизотропией, можно предположить, что

мого гамильтонианом (1).

данные результаты должны быть близки к случаю

Рассмотрим систему в ФМ-фазе. Как отмечалось

изотропного негейзенберговского магнетика, для ко-

ранее, этому фазовому состоянию отвечают пара-

торого линия J₀

= K₀ является линией потери

метры θ = ϕ = 0. Параметры порядка, характеризу-

устойчивости ФМ-фазы при переходе в иное, од-

ющие ФМ-фазу, имеют вид (8). Основным энергети-

ноподрешеточное состояние (как увидим ниже —

ческим уровнем в ФМ-состоянии является уровень

в нематическое), а линия J0 = 0 — линия поте-

с энергией E₁, а волновая функция основного состо-

ри устойчивости при переходе в двухподрешеточ-

яния есть вектор-состояние с максимальной проек-

ное состояние (ортогонально-нематическое состоя-

цией спина, |ψ〉 = |1〉. Как видно из выражений (8),

ние (ОН) [14,45,46]). Таким образом, в случае малой

1180

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Динамические и статические свойства. . .

одноионной анизотропии ФМ-фаза граничит с нема-

т. е. энергетическая щель в спектре (16) при k → π

тической и ОН-фазами.

обращается в нуль при отрицательных значениях

Рассмотрим теперь систему в нематической фа-

константы билинейного обмена, что соответствует

зе. В этой фазе параметр θ = π/4, а ϕ = 0. Парамет-

реализации двухподрешеточной структуры, т. е. пе-

ры порядка, характеризующие нематическую фа-

реходу в состояние с АФМ-упорядочением.

зу, имеют вид (9). Основным энергетическим уров-

Необходимо отметить, что выражение (18) при

нем является E₁, при этом возбужденные энергети-

= 0 также переходит в известное выражение

ческие уровни вырождены, E₀ = E-1, а волновая

для линии фазового перехода из нематической в

функция основного состояния

АФМ-фазу изотропного негейзенберговского маг-

нетка с S = 1 [14].

|ψ〉 =

√

(|1〉 + |-1〉) .

Как уже отмечалось ранее, рассматриваемая си-

стема предполагает возможность разбиения на две

Как видно из соотношений (9), параметры порядка

подрешетки. Это означает, что константы обмен-

таковы, что среднее значение магнитного момента

ных взаимодействий могут менять знак. Рассмот-

на узле равно нулю, но не равны нулю компоненты

рим вначале случай, когда константа билинейного

тензора квадрупольных моментов. Как уже отмеча-

обменного взаимодействия отрицательна, но по мо-

лось ранее, геометрическим образом этого фазового

дулю превосходит константу биквадратичного обме-

состояния в спиновом пространстве является эллип-

на (J₀ < 0, |J₀| > K₀). В этом случае параметр θ = 0,

соид вращения, форма которого принципиально от-

а ϕ = 0 или ϕ = π. Два различных значения угла

личается от геометрического образа ФМ-фазы.

ϕ соответствуют разным подрешеткам. Основным

Используя общее дисперсионное уравнение (12),

энергетическим уровнем в АФМ-фазе является E₁,

определим спектры возбуждений в нематической

а волновые функции подрешеток в основном состо-

фазе. Из-за вырождения энергетических уровней, в

янии равны соответственно |ψ₁〉 = |1〉 и |ψ₂〉 = |-1〉.

нематической фазе две ветви элементарных возбуж-

Параметры порядка в подрешетках имеют вид (10).

дений совпадают. В приближении ближайших сосе-

В этом случае решения дисперсионного уравнения

дей эти спектры имеют вид

(12) имеют следующий вид:

[

]

ε²¹(k) = (2J0 - K0)2 - K2(k),

(19)

ε21,2(k) = K₀ - K(k) +

[

]

× K₀ + K(k) - 2J(k) +

(16)

(

)₂

ε²(k) = J0 - K0 -

- [J(k) - K(k)]² .

(20)

Прежде всего отметим, что при β = 0 спектры (16)

в точности совпадают со спектрами элементарных

В изотропном случае эти выражения совпадают

возбуждений изотропного негейзенберговского маг-

с известными результатами работы [14]. Спектр

нетика с S = 1 в нематической фазе [14]. Симметрия

(19) описывает «продольную» динамику спина, обу-

нематического состояния определяется квадруполь-

словленную его квантовыми сокращениями. Спектр

ным эллипсоидом. Следовательно, ветви ε1,2(k) опи-

(20) — «поперечную», описывающую спиновые вол-

сывают колебания квадрупольного эллипсоида, что

ны в подрешетках.

и определяет двукратное вырождение этих мод.

В длинноволновом пределе и на границе зоны

Анализ спектров (16) показывает, что в длин-

Бриллюэна оба спектра ведут себя одинаково. Из об-

новолновом пределе, т. е. при k → 0, спектры (16)

ращения в нуль энергетической щели в спектре (19)

«смягчаются» при

получим, что линии фазового перехода из АФМ-фа-

зы в нематическую фазу соответствует J₀ = 0, а ли-

J₀ = K₀ +

(17)

нии фазового перехода из АФМ-фазы в ОН-фазу —

J₀ = K₀. Энергетическая щель в спектре (20) обра-

следовательно, это условие определяет линию фазо-

щается в нуль при J₀ = K₀ + β/4, что соответствует

вого перехода из нематической в ФМ-фазу.

линии, на которой ориентации намагниченностей в

На краю зоны Бриллюэна спектр (16) также ста-

обеих подрешетках совпадают, но это решение нефи-

новится неустойчивым на линии

зично, так как при любой отличной от нуля анизо-

тропии в рассматриваемой системе нет прямого фа-

J₀ = -

(18)

зового перехода из АФМ-фазы в ФМ-фазу.

1181

Е. А. Ярыгина, Я. Ю. Матюнина, Ф. Н. Клевец, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Наконец, рассмотрим спектры элементарных

Анализ плотности свободной энергии и спект-

возбуждений в ОН-фазе, т. е. при K₀ < 0, |J₀| <

ров элементарных возбуждений позволяет постро-

< |K₀|. В этой фазе параметры θ и ϕ равны

ить фазовую диаграмму исследуемой системы. Как

было показано, в слабоанизотропном негейзенбер-

θ₁ =

θ₂ = -

ϕ₁ = ϕ₂ =

говском магнетике с S = 1 возможна реализация

четырех устойчивых спиновых состояний, два из ко-

соответственно для первой и второй подрешеток.

торых (ФМ и АФМ) характеризуются дипольными

Параметры порядка, характеризующие ОН-фазу,

параметрами порядка, а два (нематическое и ОН) —

имеют вид (11). Основным энергетическим уровнем

квадрупольными средними. Фазовые переходы меж-

является E₁, при этом возбужденные энергетичес-

ду этими состояниями являются переходами перво-

кие уровни вырождены, E₀

= E-1, а волновые

го рода, протекающими через смешанные состояния,

функции основного состояния для первой и второй

в которых одновременно присутствуют как диполь-

подрешеток имеют соответственно вид

ные, так и квадрупольные параметры порядка. В

изотропном негейзенберговском магнетике реализу-

|ψ₁〉 =

√

(|1〉 + |-1〉) ,

|ψ₂〉 =

√

(|1〉 - |-1〉) .

ются те же четыре фазовых состояния, что и в рас-

сматриваемом случае, но фазовые переходы между

В случае ОН-фазы спектры элементарных возбуж-

ними являются вырожденными переходами первого

дений совпадают из-за вырождения возбужденных

рода [14]. Таким образом, даже малая, по сравнению

состояний магнитного иона и принимают следую-

с константами обменных взаимодействий, анизотро-

щий вид:

пия снимает вырождение фазовых переходов.

(

)[

]

ε²(k) = K₀-

K₀ - K(k) + 2J(k) -

(21)

4. ФАЗОВАЯ ДИАГРАММА И

В длинноволновом пределе спектр (21) имеет вид

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

√(

)(

)

Используя полученные результаты можно пост-

ε(k → 0) =

K₀-

2J₀-

роить фазовую диаграмму анизотропного негейзен-

берговского магнетика с S = 1 для различных соот-

следовательно, линия фазового перехода из ОН-фа-

ношений между обменными интегралами. Посколь-

зы в ФМ-фазу определяется следующим образом:

ку общий энергетический масштаб в рассмотренном

случае нулевой температуры не существен, факти-

чески важны лишь соотношения обменных интег-

J₀ =

(k → 0).

(22)

ралов. Для наглядного представления результатов

можно ввести два независимых параметра, в качест-

Выражение (22) отличается от выражения для ана-

ве которых удобно выбрать x = K₀/β и y = J₀/β.

логичного фазового перехода, полученного в работе

Фазовая диаграмма в этих переменных представле-

[14] для изотропного магнетика, где линии фазовых

на на рис. 2. Как видно из фазовой диаграммы, а

переходов из ФМ-фазы в ОН-фазу и наоборот сов-

также из анализа свободной энергии и спектров воз-

падают, и эти фазовые переходы являются вырож-

буждений, все устойчивые фазовые состояния реа-

денными фазовыми переходами первого рода. В на-

лизуются при условиях β > 0 и β/4 < |J₀|, |K₀|, а

шем случае учет легкоплоскостной одноионной ани-

фазовые переходы между этими фазами являются

зотропии приводит к снятию вырождения.

фазовыми переходами первого рода.

На краю зоны Бриллюэна спектр (21) имеет вид

Что касается области, определяемой неравен-

√(

)(

)

ствами -1/4 < y < 1/4 и y - 1/4 < x < y + 1/4,

ε(k → π) =

K₀-

2K₀ - 2J₀-

представляющей собой параллелограмм, то, как лег-

ко видеть, β/4 > |J₀|, |K₀| в этой области парамет-

при этом энергетическая щель в спектре обращает-

ров, т. е. этот параллелограмм можно рассматри-

ся в нуль при отрицательных значениях константы

вать как область с большой анизотропией. Причем

билинейного обмена:

эта область параметров обладает следующей особен-

J₀ = K₀ -

(k → π),

(23)

ностью: на отрезке x = 0, -1/4 < y < 1/4, т. е.

K₀ = 0, свободные энергии нематической и ОН-фаз

что соответствует переходу в АФМ-фазу.

совпадают. Следовательно, указанный отрезок ли-

1182

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Динамические и статические свойства. . .

SU(3)-точка, в которой энергии всех четырех фаз

совпадают.

Благодарности. Авторы благодарят Б. А. Ива-

нова и О. А. Космачева за плодотворные дискуссии

и полезные замечания.

y = 1/4

y = 0

ЛИТЕРАТУРА

y = -1/4

A. F. Andreev and I. A. Grishchuk, ЖЭТФ 87, 467

(1984).

С. Л. Гинзбург, ФТТ 12, 1805 (1970).

AFM

Y. Y. Hsieh and M. Blume, Phys. Rev. B 8, 2684

(1972).

В. М. Матвеев, ЖЭТФ 65, 1626 (1973).

Рис. 2. Фазовая диаграмма, построенная в приведенных

Э. Л. Нагаев, УФН 136, 61 (1982).

переменных x = K0/β и y = J0/β. Штриховые стрел-

ки указывают на линии потери устойчивости соответству-

В. М. Локтев, В. С. Островский, ФНТ 20, 983

ющих фаз: FM — ферромагнитная фаза; AFM — анти-

(1994).

ферромагнитная фаза; SN — нематическая фаза; ON —

ортогонально-нематическая фаза

Ф. П. Онуфриева, ЖЭТФ 80, 2372 (1981).

Ф. П. Онуфриева, ЖЭТФ 89, 2270 (1988).

нии K₀ = 0 является линией фазового перехода из

А. М. Переломов, УФН 123, 23 (1977).

нематической фазы в ОН-фазу. Кроме того, анализ

10.

A. Perelomov, Generalized Coherent States and Their

спектров (16) и (21) показывает, что нематическая и

Applications, Springer-Verlag, Berlin (1986).

ОН-фазы теряют устойчивость на линиях соответ-

ственно y = x + 1/4 и y = x - 1/4. Таким образом,

11.

Э. Л. Нагаев, Магнетики со сложными обменны-

область параметров, ограниченная указанным выше

ми взаимодействиями, Наука, Москва (1988).

параллелограммом, представляет собой область со-

12.

B. A. Ivanov and A. K. Kolezhuk, Phys. Rev. B 68,

существования нематической и ОН-фаз, а переход

052401 (2003).

между этими фазами является фазовым переходом

первого рода.

13.

K. Buchta, G. Fáth,

Ö.Legeza, and J. Sólyom, Phys.

Таким образом, можно констатировать, что

Rev. B 72, 054433 (2005).

влияние одноионной анизотропии на фазовые

14.

Yu. A. Fridman, O. A. Kosmachev, and Ph. N. Kle-

состояния и динамические свойства негейзенбер-

vets, J. Magn. Magn. Mater. 325, 125 (2013).

говского магнетика с S

= 1 сохраняет фазовые

состояния, присущие изотропной модели работы

15.

A. Läuchli, G. Schmid, and S. Trebst, Phys. Rev.

[14], но существенно меняет картину фазовых пере-

B 74, 144426 (2006).

ходов. Так, фазовые переходы между дипольными

16.

L. E. Svistov, T. Fujita, H. Yamaguchi, S. Kimura,

(ФМ и АФМ) и нематическими (нематическая

K. Omura, A. Prokofiev, A. I. Smirnov, Z. Honda,

и ОН) фазами являются фазовыми переходами

and M. Hagiwara, Письма в ЖЭТФ 93, 24 (2011).

первого рода, в то время как в изотропной модели

эти переходы являются вырожденными переходами

17.

M. E. Zhitomirsky and H. Tsunetsugu, Europhys.

первого рода. Кроме того, в рассматриваемом

Lett. 92, 37001 (2010).

нами случае возникает переход первого рода между

18.

V. G. Bar’yakhtar, V. I. Butrim, A. K. Kolezhuk, and

нематической и ОН-фазами, тогда как в изотропной

B. A. Ivanov, Phys. Rev. B 87, 224407 (2013).

модели прямой переход между нематическими со-

стояниями не реализуется. Вместо такого перехода

19.

V. I. Butrim, B. A. Ivanov, A. S. Kuznetsov, and

в изотропном случае реализуется так называемая

R. S. Khymyn, Low Temp. Phys. 34, 997 (2008).

1183

Е. А. Ярыгина, Я. Ю. Матюнина, Ф. Н. Клевец, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

20.

В. И. Бутрим, Б. А. Иванов, А. С. Кузнецов, Пись-

36.

H. H. Chen and P. M. Levy, Phys. Rev. B 7, 4267

ма в ЖЭТФ 92, 172 (2010).

(1973).

21.

E. G. Galkina, V. I. Butrim, Yu. A. Fridman,

37.

В. М. Калита, В. М. Локтев, ФНТ 45, 1450 (2003).

B. A. Ivanov, and F. Nori, Phys. Rev. B 88, 144420

38.

Yu. A. Fridman and O. A. Kosmachev, J. Magn.

(2013).

Magn. Mater. 236, 272 (2001).

22.

Е. Г. Галкина, Б. А. Иванов, В. И. Бутрим, ФНТ

39.

В. П. Дьяконов, Э. У. Зубов, Ф. П. Онуфриева,

40, 817 (2014).

А. В. Сайко, И. М. Фита, ЖЭТФ 93, 1775 (1987).

23.

E. G. Galkina, B. A. Ivanov, S. Savel’ev, and F. Nori,

40.

Yu. A. Fridman, D. V. Spirin, and C. N. Alexeyev, J.

Phys. Rev. B 77, 134425 (2008).

Magn. Magn. Mater. 234, 174 (2001).

24.

Е. Г. Галкина, Б. А. Иванов, О. А. Космачев,

41.

Ю. Н. Мицай, Ю. А. Фридман, О. В. Кожемяко,

Ю. А. Фридман, ФНТ 41, 490 (2015).

О. А. Космачев, ФНТ 25, 690 (1999).

25.

H. Tsunetsugu and M. Arikawa, J. Phys. Soc. Jpn 75,

42.

T. Moriya, Phys. Rev. 117, 635 (1960).

083701 (2006).

43.

B. C. Oстровский, ЖЭТФ 91, 1960 (1986).

26.

Yu. A. Sakhratov, L. E. Svistov, P. L. Kuhns,

H. D. Zhou, and A. P. Reyes, Phys. Rev. B 94, 094410

44.

Б. А. Иванов, Р. С. Химин, ЖЭТФ 131, 343 (2007).

(2016).

45.

N. Papanikolaou, Nucl. Phys. B 305, 367 (1988).

27.

Yu. A. Sakhratov, J. J. Kweon, E. S. Choi,

H. D. Zhou, L. E. Svistov, and A. P. Reyes, Phys.

46.

A. V. Chubukov, J. Phys.: Condens. Matter 2, 1593

Rev. B 97, 094409 (2018).

(1990).

28.

T. A. Toth, A. Lauchli, F. Mila, and K. Penc, Phys.

47.

K. Stevens, Proc. Phys. Soc. A 65, 209 (1952).

Rev. B 85, 140403(R) (2012).

48.

В. В. Вальков, ТМФ 76, 143 (1988).

29.

A. Lauchli, F. Mila, and K. Penc, Phys. Rev. Lett.

97, 087205 (2006).

49.

Р. О. Зайцев, ЖЭТФ 68, 207 (1975).

50.

Yu. A. Fridman, O. A. Kosmachev, and Ph. N. Kle-

30.

A. Smerald and N. Shannon, Phys. Rev. B 88, 184430

(2013).

vets, J. Magn. Magn. Mater. 320, 435 (2008).

51.

Ю. Н. Мицай, Ю. А. Фридман, ТМФ 81, 263

31.

M. Arikawa and H. Tsunetsugu, J. Magn. Magn.

(1989).

Mater. 310, 1308 (2007).

52.

A. K. Kolezhuk and T. Vekua, Phys. Rev. B 83,

32.

Ribhu K. Kaul, Phys. Rev. B 86, 104411 (2012).

014418 (2011).

53.

В. В. Вальков, С. Г. Овчинников, Квазичастицы

33.

T. Momoi, P. Sindzingre, and K. Kubo, Phys. Rev.

в сильнокоррелированных системах, Изд-во СО

Lett. 108, 057207 (2012).

РАН, Новосибирск (2001).

34.

P. Corboz, A. M. Läuchli, K. Totsuka, and H. Tsu-

54.

В. Г. Барьяхтар, В. Н. Криворучко, Д. А. Яблонс-

netsugu, Phys. Rev. B 76, 220404(R) (2007).

кий, Функции Грина в теории магнетизма, Наук.

думка, Киев (1984).

35.

A. L. Wysocki, K. D. Belashchenko, and V. P. Ant-

55.

В. Г. Вакс, А. И. Ларкин, С. А. Пикин, ЖЭТФ 53,

ropov, Nature Phys. 7, 485 (2011).

1089 (1967).

1184