ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 6 (12), стр. 1192-1201

ПОДАВЛЕНИЕ МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ГЕНЕРАЦИИ

МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ ТРАНСФОРМАЦИИ СПЕКТРА

КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА

Е. В. Юшковa,b*, А. С. Лукин^a,c, Д. Д. Соколов^b,d

^a Институт космических исследований Российской академии наук

117997, Москва, Россия

^b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

^c Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

101100, Москва, Россия

^d Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн Российской академии наук

108840, Троицк, Москва, Россия

Поступила в редакцию 21 мая 2019 г.,

после переработки 6 июня 2019 г.

Принята к публикации 6 июня 2019 г.

Исследуется процесс стабилизации мелкомасштабного динамо, причиной которого является изменение

энергетического спектра потока проводящей плазмы. Подобное изменение кинетических свойств может

быть обусловлено обратной перекачкой генерируемой магнитной энергии в энергию движения. Процесс

обратной перекачки моделируется нами с помощью классической модели Казанцева, описывающей рабо-

ту мелкомасштабного динамо в зеркально-симметричном турбулентном течении. Полученные результаты

позволяют утверждать, что появление магнитной энергии на малых масштабах в кинетическом спектре

способно остановить процесс генерации. Такая стабилизация оказывается не менее эффективной, чем

процесс торможения турбулентного динамо за счет сохранения суммарной магнитной и кинетической

энергий, однако выглядит более реалистичной, так как для большинства динамо-систем наблюдаемая

магнитная энергия на порядки ниже кинетической. Мы показываем, что при таком способе нелинейного

подавления просто появления энергии на малых масштабах бывает недостаточно, в частности, простое

смещение гауссова спектра в сторону малых масштабов лишь усиливает генерацию. В настоящей работе

описывается разумный способ трансформации спектра, который позволяет стабилизировать генерацию

как при критических, так и при сверхкритических режимах работы мелкомасштабного динамо-механизма.

Не менее важным является и тот факт, что описываемая трансформация спектра может быть напрямую

зафиксирована при экспериментальной проверке.

DOI: 10.1134/S0044451019120162

крупномасштабных полей за счет совместного дей-

ствия дифференциального вращения астрофизичес-

ких тел и зеркальной асимметрии конвективных или

1. ВВЕДЕНИЕ

турбулентных течений (см., например, [1, 2]). Ве-

Магнитные поля Земли, Солнца, звезд и галак-

личину зеркальной асимметрии принято измерять

тик образуются в результате действия электромаг-

с помощью гидродинамической спиральности, ко-

нитной индукции в турбулентных потоках проводя-

торая по историческим причинам носит название

щей среды. Одним из наиболее известных механиз-

α-параметра. Величина α имеет размерность м/с и

мов формирования таких полей является динамо-

составляет примерно 10 % от характерной скорости

механизм среднего поля, описывающий перекачку

задачи (практическая оценка, предложенная Юд-

кинетической энергии движения плазмы в энергию

жином Паркером). Пользуясь малостью α, удается

построить простую, но очень эффективную теорию

^* E-mail: yushkov.msu@mail.ru

1192

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Подавление мелкомасштабной генерации магнитного поля. . .

нелинейного насыщения динамо среднего поля, ос-

[8, 9]. Не вызывает сомнений, что динамо во всех

нованную на представлении о том, что по мере при-

этих случаях уже находится в режиме нелинейно-

ближения энергии поля к равнораспределению с ки-

го насыщения, так как плотность магнитной энер-

нетической энергией происходит нелинейное подав-

гии сопоставима с плотностью энергии конвектив-

ление α-коэффициента. При этом важно, что меха-

ных движений и не видно следов ее экспоненциаль-

низм подавления является критическим явлением,

ного роста. Согласно модели Казанцева мелкомас-

так что рост магнитного поля прекращается, как

штабный механизм является критическим явлени-

только α становится достаточно малым. Посколь-

ем, так же как и механизм динамо среднего поля,

ку оно и так невелико, происходит это достаточ-

поэтому его работа прекращается, если интенсив-

но быстро, а детали оказываются несущественными.

ность источников генерации становится достаточно

Хотя эта модель, быть может, не вскрывает физиче-

малой. В качестве меры этой интенсивности слу-

ских деталей нелинейной стадии процесса динамо,

жит магнитное число Рейнольдса Rm, показываю-

но в прагматическом плане она является вполне до-

щее, насколько эффекты электромагнитной индук-

статочной для построения, скажем, моделей динамо

ции превосходят эффекты диффузии. По порядку

в конкретных спиральных галактиках (см. обзоры

величины критическое значение Rm_cr не превосхо-

[3, 4] и приведенную там библиографию).

дит 10² (см., например, [10]). С другой стороны, зна-

Кроме хорошо изученного механизма динамо

чения магнитных чисел Рейнольдса для реальных

средних полей, в астрофизике востребован и дру-

небесных тел за небольшими исключениями всегда

гой вид МГД-генерации, известный как мелкомас-

превышают Rm_cr. Например, в конвективной зоне

штабное динамо. В отличие от первого механиз-

Солнца Rm ≈ 10⁶, для скопления галактик оцен-

ма это динамо может работать как в зеркально-

ки получаются на порядки больше. Очевидно, что

асимметричных, так и в зеркально-симметричных

представление о том, что нелинейное насыщение

(α = 0) средах, при этом производить не крупномас-

мелкомасштабного динамо сводится к постепенному

штабное магнитное поле, характерный размер кото-

уменьшению Rm до Rm_cr, неправильно (см., напри-

рого сопоставим с размером самого небесного тела,

мер, [11]). Отсутствие простой модели, которая опи-

а мелкомасштабное поле, характерный размер ко-

сывает, пусть и не во всех деталях, процесс мелко-

торого определяется размером турбулентных (или

масштабной стабилизации, существенно затрудняет

конвективных) вихрей. Исторически этот механизм

понимание физики этого явления.

был впервые исследован А. П. Казанцевым в 1967 г.

Цель настоящей работы как раз и состоит в том,

[5], примерно в то же время, когда впервые была по-

чтобы предложить адекватную модель нелинейно-

следовательно описана работа динамо среднего по-

го подавления для мелкомасштабного динамо. В об-

ля. Предложенное Казанцевым описание мелкомас-

щем виде идея строится следующим образом: рас-

штабного механизма основано на модели конвекции

тущее мелкомасштабное магнитное поле изменяет

(или турбулентности) как случайного поля с корот-

корреляционные свойства поля скорости так, что-

кими временными корреляциями (подобное течение

бы сделать более эффективной работу турбулентной

можно рассматривать как некоторую реализацию

(или конвективной) диффузии и, таким образом,

белого шума). Это, конечно, не позволяет воспроиз-

эффективно уменьшить до критического значения

вести все детали реальной конвекции, но имеющий-

магнитное число Рейнольдса, не меняя существен-

ся к настоящему времени опыт численного модели-

но его номинального значения. В этом смысле наша

рования мелкомасштабного динамо (см., например,

модель находится в русле представлений, высказан-

[6]) убеждает нас в том, что модель Казанцева слу-

ных в работе [11]. По существу, эта конструкция ка-

жит столь же удачным и не очень сложным описа-

жется единственной возможностью, не использую-

нием этого вида процесса, как и модель α-эффекта

щей каких-то частных дополнительных свойств си-

для описания динамо среднего поля (более подробно

стемы.

см. в [1]).

В рамках модели Казанцева мелкомасштабное

Примером небесных тел, для которых мелкомас-

магнитное поле описывается с помощью корреля-

штабный механизм генерации кажется наиболее вос-

ционной функции поля (в более сложных ситуа-

требованным, являются скопления галактик, хотя

циях — корреляционного тензора). Для демонстра-

бы потому что они не вращаются (см., например,

ции того, что наша модель действительно описыва-

[7]). В то же время, этот вид динамо, по-видимому,

ет нелинейное насыщение мелкомасштабного дина-

работает, наряду с динамо среднего поля, и во вра-

мо, мы, конечно, должны решить соответствующие

щающихся небесных телах, например на Солнце

нелинейные уравнения для корреляционной функ-

1193

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

Е. В. Юшков, А. С. Лукин, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

ции. Это приходится делать численно, однако объ-

уравнения (3) корреляционную функцию магнитно-

ем и сложность этих вычислений совершенно несо-

го поля 〈H · H〉(r) и ее фурье-образ — спектральную

поставимы с теми, которые приходится делать в ме-

плотность энергии 〈H · H〉(k):

тодах прямого численного моделирования. Предла-

∂M

гаемая схема нелинейного подавления предъявля-

〈H · H〉(r) = 3M + r

∂r

ет значительные требования к используемому чис-

∫∫∫

(4)

ленному подходу, в частности, требуется смодели-

〈H · H〉(k) =

eir·k〈H · H〉d³r.

(2π)3/2

ровать процессы на очень малых масштабах, следя

при этом за граничными условиями на бесконечнос-

Заметим, что за единицу длины в (3) традицион-

ти, оказывающими существенное влияние на про-

но принимается характерный размер конвективно-

цесс [12,13]. Поэтому при ее реализации мы широко

го (турбулентного) вихря, который в рамках моде-

пользуемся имеющимися асимптотическими и чис-

ли Казанцева является корреляционной длиной за-

ленными результатами, полученными при изучении

дачи. Случайный поток предполагается простран-

модели Казанцева на линейной стадии неустойчи-

ственно-неограниченным. Конечно, реальные пото-

вости, в качестве начального приближения (см. де-

ки сосредоточены в конечной области пространства

тали в [14, 15]) и ограничиваемся на первом этапе

характерного размера L и учет конечности L пред-

зеркально-симметричным случайным течением, хо-

ставляет очевидный интерес, однако это выходит за

тя, конечно, понимаем необходимость ее развития и

рамки данной работы. Несмотря на то что пренебре-

на зеркально-асимметричный случай.

жение конечностью L может приводить к явлениям,

впервые отмеченным в работе [17], в астрофизиче-

ской постановке этими проблемами в первом при-

2. МОДЕЛЬ КАЗАНЦЕВА И ЧИСЛЕННЫЙ

ближении можно пренебречь.

ЭКСПЕРИМЕНТ

Численная реализация данной задачи осуществ-

ляется с помощью чисто неявной схемы с нулевы-

Модель Казанцева получается после усреднения

ми граничными условиями. В качестве начального

уравнения магнитной индукции для несжимаемого

распределения задается малое возмущение M₀(r) =

дельта-коррелированного во времени поля скорости

= 10-6 exp(-r²). Сетка из 5000 узлов выбирается

в зеркально-симметричном потоке v(r, t) :

неравномерной и таким образом, чтобы половина

узлов попала в интервал r ∈ [0, 1]. Плюсом тако-

〈v_i(r, t) · v_j (0, 0)〉 =

((

)

го выбора является то, что качественно удается ре-

)(

)

r∂F

rir

rirj

= F +

δ_ij -

δ(t) .

(1)

ализовать задачу на полупрямой r ∈ [0, ∞) и од-

2 ∂r

r²

новременно восстановить мелкомасштабное поле в

областях r ≪ 1. Недостатком является сложность

Она определяет эволюцию корреляционного тензо-

восстановления фурье-спектров (из-за ячеек разно-

ра магнитного поля

го размера при больших k возникают ошибки, свя-

занные с вычислением интегралов). Волновое чис-

〈H_i(r, t) · H_j (0, 0)〉 =

(

ло k = 1 соответствует корреляционной длине по-

)(

)

r∂M

rir

rirj

ля скорости или максимуму кинетического энерге-

= M+

δ_ij -

(2)

2 ∂r

r²

тического спектра, а величина 〈V·V〉(0), пропорцио-

нальная начальной кинетической энергии, принима-

задаваемого в общем случае функцией M(r, t) (по-

ется равной 1 (это служит нормировкой скорости).

дробнее см., например, [12]). Корреляционная функ-

Так что в дальнейшем, хотя мы и предполагаем, что

ция M(r, t) при фиксированной магнитной вязкости

магнитная энергия приближается к равнораспреде-

η(r) = 1/ Rm +F (0)/3 - F (r)/3 удовлетворяет урав-

лению, однако она остается заметно меньше кинети-

нению параболического типа, полученному впервые

ческой энергии, в единицах плотности которой мы

в работе [5], а в несколько ином виде — в работе [16]:

и измеряем магнитную.

(

)

(

)

Наконец, заметим, что в методах получения

∂M

∂

∂M

2M ∂

∂η

r⁴η

r⁴

(3)

уравнения Казанцева не используются представле-

∂t

r⁴ ∂r

∂r

r⁴

∂r

ния об инерционном интервале и в качестве типич-

Определив кинетические свойства случайного пото-

ного вида корреляционной функции скорости выби-

ка F (r), а следовательно, и эффективную магнит-

рается гауссова форма F(r) ∼ exp(-r²). Кинетиче-

ную вязкость η(r), можно вычислить с помощью

ский спектр при таком выборе имеет вид 〈V·V〉(k) ∼

1194

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Подавление мелкомасштабной генерации магнитного поля. . .

∼ k2 exp(-k²/4) и локализован вблизи энергонесу-

где v — масштаб скорости, l — пространственный

щего масштаба k = 2. Это приводит к экспоненци-

масштаб. При нашем преобразовании v неизменно,

альному возрастанию энергии, если Rm превыша-

а l уменьшается.

ет критическое значение Rm_cr = 65, поэтому при

Заметим, что для докритического режима (крас-

анализе мелкомасштабного механизма разумно вы-

ная кривая на рис. 1б), когда магнитная энергия

делить докритический, критический и сверхкрити-

уменьшается, спектры энергии не являются, вообще

ческий режимы. Для сравнения оценки Rm в ла-

говоря, фурье-образами собственных функций зада-

бораторных экспериментах, доступных с недавнего

чи, поэтому на рис. 1а (и далее на рис. 2а и 3а)

времени (см., например, [18]), дают 10-10², в ядре

мы рисуем спектральную форму магнитной энер-

Земли около 10³, на Солнце около 10⁶, а оценки Rm

гии, взятую в конечный момент времени проведе-

в галактиках и их скоплениях зависят от того, какие

ния эксперимента (этот момент соответствует мак-

процессы, помимо кулоновских столкновений, опи-

симальному времени на рис. 1в для временной за-

сываются как диффузия, что, однако, всегда дает

висимости), кроме того, спектр нормируется таким

очень большие величины. Нас же в первую очередь

образом, чтобы его максимальное значение равня-

интересуют критические условия, характеризующие

лось единице. В связи с этим важно, что на энер-

начало генерации и возможную стабилизацию, по-

гетическом спектре докритического режима возни-

этому в дальнейшем, если не оговорено отдельно,

кает пик в области k < 1 и ступенька при k > 1.

мы полагаем для конкретности Rm = 250.

Этот пик соответствует тому факту, что на больших

масштабах (при малых k) энергия убывает степен-

ным образом, как ∝ t-5/2 exp(-r²/8ηt) (это видно

непосредственно из уравнения (3) при больших t и

3. ГАУССОВ СПЕКТР, КОЛМОГОРОВСКИЙ

И ДИНАМИЧЕСКИЙ

r), т.е. гораздо медленнее, чем на малых масштабах

(при больших k), где энергия убывает экспоненци-

Исходной идеей нашей модели нелинейного на-

альным образом. Наконец, отметим, что в крити-

сыщения мелкомасштабного динамо является то,

ческом режиме форма спектральной кривой (зеле-

что хотя исходная корреляционная функция поля

ная линяя) менее выпукла, чем в сверхкритическом

скорости имеет характерную ширину r = 1, а мак-

режиме (синяя линяя), в дальнейшем аналогичная

симум ее энергетического спектра находится вбли-

картина будет наблюдаться и обсуждаться отдельно

зи k = 1, генерируемая корреляционная функция

для насыщенных спектров.

магнитного поля имеет максимум при k ≫ 1, т. е.

Выясним теперь, насколько модифицируется эта

присутствует на масштабах много меньших харак-

картина в случае более реалистической модели кон-

терного масштаба поля скорости. Поэтому, напри-

векции, которая содержит инерционный интервал.

мер, за счет вмороженности поля возможна перекач-

Напомним, что выбор традиционной корреляцион-

ка магнитной энергии в кинетическую при больших

ной функции продиктован техническими методами

волновых числах вблизи диссипативного масштаба.

вывода уравнения Казанцева, тогда как нет сомне-

Такая перекачка энергии практически не меняет но-

ния, что реалистический кинетический спектр, вооб-

минальное значение магнитного числа Рейнольдса,

ще говоря, характеризуется не «гауссовым убывани-

но может принципиально повлиять на возможности

ем», а степенным, колмогоровским. Однако если мы,

генерации.

не обращая внимания на ограничения, накладывае-

Начнем с того, что рассмотрим ситуацию, ко-

мые выводом уравнения Казанцева, будем использо-

гда корреляционный тензор для поля скорости

вать колмогоровскую форму корреляционной функ-

〈V · V〉(k) не имеет стандартную гауссову форму

ции, то и тогда получим значительное присутствие

∼ k2 exp(-k²/4) с максимумом вблизи k = 1, а явля-

энергии на малых масштабах при k ≫ 1 (рис. 2а, зе-

ется спектром, сдвинутым на большие k: 〈V·V〉(k) =

леная кривая, ниже приведено более подробное опи-

= k2 exp(-k²/100). Рисунок 1а демонстрирует энер-

сание).

гетические нормированные спектры для трех режи-

Выберем корреляционную функцию скорости со

мов генерации Rm = 50, 250, 1000, рис. 1в отобража-

следующей спектральной формой:

ет рост магнитной энергии со временем для сдвину-

(

)

k²

тых и традиционных спектров. Хорошо видно, что

〈V · V〉(k) ∼

exp

1 + (k/k_min)2+5/3

k²

max

со сдвигом энергетического спектра в сторону k ≫ 1

скорость генерации увеличивается. Это происходит

где два параметра k_min и k_max определяют инер-

потому, что скорость роста пропорциональна v/l,

ционный интервал, в котором энергия убывает по

1195

11*

Е. В. Юшков, А. С. Лукин, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

H.H

Eng_H

10¹

10²

10⁰

10^-1

10^-2

-2

10^-4

10^-5

-3

10^-6

-8

10^-4

10⁰

Время

Рис. 1. (В цвете онлайн) Гауссов спектр. а) Энергетические спектры магнитной энергии. б) Спектры энергии в докри-

тическом режиме для трех моментов времени t = 0.25, 2.5, 25 (сверху вниз соответственно). в) Изменение суммарной

магнитной энергии со временем для трех режимов: докритического Rm = 50 (красный), критического Rm = 250 (зеле-

ный), сверхкритического Rm = 1000 (синий). Сплошные линии на рис. в соответствуют стандартному гауссову спектру,

штриховые — спектру, сдвинутому на малые масштабы. Точки на рис. а, выпадающие из спектральных кривых, — арте-

факт численного преобразования Фурье на неравномерной сетке, они могут быть немного отодвинуты путем измельчения

сеточного шага, но избавиться от них совсем невозможно, поэтому мы их оставили здесь и на других рисунках, чтобы

не вносить внешние исправления в полученные результаты и показать ограничения выбранной численной реализации и

разрешения

H.H ,

V V

Eng_H

10²

10^-4

10⁰

10^-5

10^-2

10^-6

10^-4

10^-7

10^-6

-8

10^-8

10⁰

Время

Рис. 2. (В цвете онлайн) Колмогоровский спектр. а) Энергетические спектры магнитной (точки) и кинетической (сплош-

ные линии) энергий. б) Изменение суммарной магнитной энергии со временем для инерционных интервалов различной

ширины kmin = 2, kmax = 2, 15, 20, 25, 100, которые соответствуют зеленому, красному, синему, черному, голубому цве-

там. Для первых двух значений параметров наблюдается рост магнитной энергии, для оставшихся — затухание

1196

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Подавление мелкомасштабной генерации магнитного поля. . .

H.H ,

V V

Eng_H

10²

10⁰

10^-2

10^-4

10^-6

10^-8

10^-6

10⁰

100

150

200

250

Время

Рис. 3. (В цвете онлайн) Динамический спектр. а) Энергетические спектры магнитной (синие точки) и кинетической

(черные точки) энергий, красная линия соответствует начальному гауссову кинетическому спектру. б) Зависимости пол-

ной магнитной энергии от времени (синяя линия — сохранение суммарной энергии и формы спектра, черная — добавка

магнитного поля к гауссову спектру, красная — постоянная подкачка магнитной энергии с сохранением суммарной энергии

равной 1

колмогоровскому закону

∝ k-5/3. Зафиксируем

счет перераспределения энергии между магнитным

k_min = 2, что соответствует в гауссовом случае поло-

полем и полем скорости — по смыслу задачи в на-

жению максимума спектра вблизи k = 1. На рис. 2

шем распоряжении нет других возможностей. Важ-

показаны спектры и поведение магнитной энергии

но то, что это перераспределение можно осуществ-

для различных k_max = 2, 15, 20, 25, 100, характери-

лять разными способами, которые, как оказывает-

зующих ширину инерционного интервала (степен-

ся, приводят к существенно разным результатам.

ного убывания). Хорошо видно, что при появлении

Для того чтобы показать это различие и выбрать

энергии на малых масштабах (при больших k_max)

способ перераспределения, соответствующий нашим

магнитная энергия сначала растет быстрее, чем при

целям, рассмотрим три модельных варианта транс-

малых k_max (это явление в виде транзиентного роста

формации спектра, из которых третий и является

наблюдалось и в докритических режимах генерации

тем способом, который дает желаемый результат, а

[12]). Однако на более поздних этапах эволюции ди-

два других приведены для сравнения.

намика меняется: видно, что с увеличением инерци-

1. Из кинетического спектра энергия переходит

онного колмогоровского интервала экспоненциаль-

в энергию магнитного поля в каждом спектральном

ный рост энергии может смениться ее затуханием.

интервале, при этом транспортом энергии по спект-

Наша идея состоит в том, чтобы использовать

ру можно пренебречь. Такой механизм кажется ма-

отмеченный факт как основу для модели нелиней-

ловероятным, так как магнитная энергия генериру-

ного подавления мелкомасштабного динамо. Если

ется на масштабах k ≫ 1, при которых запасы ки-

трансформация гауссова спектра в колмогоровский

нетической энергии практически отсутствуют.

может привести к затуханию магнитной энергии,

2. Из кинетического спектра энергия уходит в

то выглядит естественным, что переход от линей-

энергию магнитного поля таким образом, что фор-

ного режима эволюции к режиму насыщенной тур-

ма спектра сохраняется, т. е. транспорт энергии на-

булентности может не быть связан с переходом ки-

столько быстрый, что энергия везде снижается рав-

нетической энергии в магнитную, а являться следст-

номерно, при этом суммарная полная энергия со-

вием деформации спектра.

храняется. Этот вариант действительно приводит к

Подчеркнем, что в рамках предлагаемой схе-

подавлению генерации, как только магнитная энер-

мы нелинейное насыщение генерации происходит за гия становится сравнимой с кинетической (или да-

1197

Е. В. Юшков, А. С. Лукин, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

же больше), но этот вариант нам не интересен, как

могоровский (сохраняя полную энергию и энерго-

противоречащий наблюдениям.

несущий масштаб), то экспоненциальный рост мо-

3. Растущая энергия магнитного поля на ма-

жет резко смениться степенным затуханием. Усло-

лых масштабах переносится обратно в кинетичес-

вием смены роста затуханием является достаточ-

кую таким образом, что полная кинетическая энер-

ная ширина инерционного интервала. Конечно, та-

гия остается постоянной (или почти постоянной),

кой механизм является чувствительным к выбору

а изменяется только форма спектра. Пренебрегая

Rm: при больших сверхкритических значениях маг-

транспортом энергии по спектру, разумно описать

нитного числа Рейнольдса для того, чтобы добить-

это изменение формы как

ся затухания, трансформируя спектр в колмогоров-

ский, приходится тщательно следить за перераспре-

〈V²〉_old(k) + 〈H²〉(k)

делением энергии, так как при появлении энергии на

〈V²〉_new (k) =

∫

малых масштабах начальный подстроечный скачок

(〈V²〉_old(k) + 〈H²〉(k)) dk

бывает весьма значительным и быстрым, а затуха-

ние — степенным и медленным. Кроме того, грани-

При этом старый спектр 〈V²〉_old(k) может быть за-

ца, на которой рост сменяется затуханием, оказы-

фиксирован, а может выбираться равным 〈V²〉_new

вается достаточно резкой. При плавном увеличении

на каждом новом шаге. На всем диапазоне магнит-

инерционного интервала с k_max = 15 до k_max = 20

ных чисел Рейнольдса как для первого, так и для

для Rm = 250 генерация пропадает, что, возможно,

второго случая наблюдается явное подавление маг-

связано с принципиальным изменением корреляци-

нитной генерации. Изменение магнитной энергии со

онной функции магнитного поля (см. рис. 4а). Дей-

временем показано на рис. 3б, при этом, когда до-

ствительно, стандартная корреляционная функция

бавка прибавляется к фиксированному гауссову по-

для генерируемой энергии на энергонесущем мас-

лю, наблюдается стабилизация генерации (черная

штабе меняет знак, поскольку в генерируемых пет-

линяя), а когда добавка магнитной энергии сумми-

лях магнитного поля это магнитное поле имеет раз-

руется с текущим спектром, происходит смена роста

ную направленность на разных сторонах энергоне-

магнитной энергии на затухание (красная линия).

сущего вихря. При анализе генерации для колмо-

На рис. 3а для стабилизировавшегося спектра четко

горовского спектра мы получили, что, несмотря на

видно, как изменяется форма кинетического спек-

очень малое различие между кинетическими спек-

тра потока (от красной линии в начальный момент

трами для роста поля и для затухания (рис. 3а), для

времени до черной линии в конечный момент). За-

корреляционной функции при затухании появляет-

метим, что уровень стабилизации магнитной энер-

ся дополнительный нуль (рис. 4а). Другими слова-

гии при этом на порядок ниже уровня стабилиза-

ми, на энергонесущем масштабе у магнитного поля

ции, на который процесс вышел бы при сохранении

оказывается тот же знак, что и в нуле — в таком

полной энергии (черная и синяя линии на рис. 3б со-

случае петля выглядит, скорее, как восьмерка, а ее

ответственно). Таким образом, действительно мож-

растяжение и наложение не может привести к эф-

но утверждать, что трансформация формы спектра

фективному росту поля, и это ведет к исчезновению

энергии потока (или, другими словами, учет мед-

генерации.

ленного степенного убывания на малых масштабах)

Обнаруженное влияние формы спектра на рабо-

оказывается достаточной, чтобы остановить меха-

ту динамо наводит на мысль, что устойчивую стаби-

низм мелкомасштабной генерации.

лизацию получить можно, например, если не просто

трансформировать спектр и добавлять энергию на

малые масштабы, а осуществлять эту добавку ди-

4. СЦЕНАРИЙ НЕЛИНЕЙНОГО

намически. В частности, если на каждом шаге маг-

ПОДАВЛЕНИЯ ГЕНЕРАЦИИ

нитную энергию, пренебрегая транспортом по спек-

Проведенный анализ уравнения Казанцева пока-

тру, добавлять к энергии потока, то рост не про-

зал, что форма спектра кинетической энергии мо-

сто сменяется затуханием, а при достижении зна-

жет очень сильно влиять на возможность мелко-

чения насыщения стабилизируется. При этом уро-

масштабной генерации. В частности, если гауссов

вень этой стабилизации зависит от магнитного чис-

спектр с постоянной полной энергией сдвигать на

ла Рейнольдса: так, для Rm = 250 отношение ста-

малые масштабы (в сторону больших k), скорость

билизировавшейся магнитной энергии к потоковой

генерации поля значительно увеличивается. В то же

оказывается равным 0.02, а для Rm = 1000 это от-

время, если гауссов спектр трансформировать в кол-

ношение равно 0.15 (рис. 4б). Конечно, аналогич-

1198

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

Подавление мелкомасштабной генерации магнитного поля. . .

H.H

Eng /EngH

10⁰

10¹

10^-2

10⁰

10^-4

10^-1

10^-6

10^-2

10⁰

10²

500

1000

1500

2000

Рис. 4. (В цвете онлайн) а) Корреляционные функции магнитного поля для колмогоровских кинетических спектров с

разными ширинами инерционного интервала: kmax = 20, генерация (красная линия) и kmax = 15, затухание (черная

линия). б) Отношение стабилизировавшейся магнитной энергии к кинетической для разных магнитных чисел Рейнольд-

са: сплошная линия соответствует стабилизации из-за сохранения энергии, штриховая — стабилизации из-за изменения

формы спектра

ное насыщение можно было бы получить и за счет

штабного механизма — и плато, и подстройка маг-

сохранения энергии без изменения формы спектра,

нитного спектра под кинетический в процессе насы-

просто уменьшая кинетическую энергию, так что-

щения — могут быть проверены как в рамках пря-

бы ее сумма с магнитной была постоянной. Однако

мого численного моделирования, так и в каскадных

в этом случае, даже если предположить мгновен-

моделях МГД-турбулентности [20].

ный транспорт энергии по спектру, уровень стаби-

лизации магнитной энергии дает величины на поря-

5. ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ

док большие, чем в случае изменения формы спект-

ра (сплошная и штриховая линии на рис. 4б). То

Механизм подавления турбулентного динамо —

есть трансформация спектра на малых масштабах —

один из ключевых вопросов, связанных с ролью мел-

это более действенный механизм стабилизации, чем

комасштабной генерации в формировании наблюда-

уменьшение кинетической энергии потока. Еще раз

емых крупномасштабных магнитных полей планет,

напомним, что представление о стабилизации мел-

звезд и галактик. В данной работе мы предложили

комасштабного динамо простым уменьшением ки-

модель того, как эта стабилизация может происхо-

нетической энергии выглядит логичным, однако не

дить за счет трансформации формы кинетического

соответствует астрономическим наблюдениям.

спектра.

Полученная форма спектра магнитной энергии

Как и феноменологические модели подавления

после насыщения примерно одинакова как для кол-

динамо среднего поля, наша модель, конечно, не

могоровской, так и для динамической стабилизации.

ориентирована на то, чтобы вскрывать тонкие яв-

При малых k спектр, как и в соответствующей ли-

ления, происходящие при таком подавлении. Это,

нейной задаче (см. для сравнения [19]), растет как

вероятно, можно сделать только в рамках прямо-

k². В области энергонесущего масштаба происхо-

го численного моделирования. Однако наша модель

дит излом спектра и выход его на плато. В инерци-

достаточно проста для того, чтобы ее можно было

онном интервале, где кинетическая энергия убыва-

использовать для прагматических моделей генера-

ет по степенному закону, магнитная также убывает

ции мелкомасштабного магнитного поля, скажем, в

степенным образом. Эти свойства работы мелкомас-

скоплениях галактик. В то же время использовать

1199

Е. В. Юшков, А. С. Лукин, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 156, вып. 6 (12), 2019

для сравнения с данными наблюдений магнитных

они приводят к сходным результатам, хотя, конечно,

полей, скажем, в скоплениях галактик, исключи-

различаются в деталях. У нас нет оснований наста-

тельно данные прямого численного моделирования

ивать на том, что приведенная модель нелинейного

кажется недостаточным просто в силу ограниченно-

насыщения мелкомасштабного динамо является

сти наших знаний о гидродинамике этих объектов.

единственно возможной (отметим еще раз работу

Отличие нашей модели от феноменологических

[11] как исходную для нашей модели), однако нам

моделей нелинейного насыщения динамо среднего

неизвестны другие модели, выдерживающие хотя

поля состоит в том, что она не основана на аргу-

бы предварительное сравнение с наблюдениями.

ментах, связанных с сохранением интегралов дви-

Конечно, и в такой ситуации вопрос о сравнении

жения — полной энергии и спиральности. Для рас-

нашей модели с данными прямого численного

сматриваемого вида динамо наивное представление

моделирования, каскадных моделей и астрономи-

о том, что нелинейная стабилизация магнитного по-

ческих наблюдений остается очень важным, хотя и

ля происходит за счет общего уменьшения кинети-

выходит за рамки данной работы.

ческой энергии, явно противоречит имеющимся наб-

людениям. Что касается вопроса о балансе магнит-

Финансирование. Работа Д. Д. С. и А. С. Л. по

ной спиральности, на основе которого строятся со-

постановке задачи и поиску методов ее решения под-

временные модели подавления динамо среднего по-

держивалась Российским фондом фундаменталь-

ля, то мелкомасштабное динамо может работать и в

ных исследований (грант №18-02-0085). Числен-

зеркально-симметричном течении. Конечно, вопрос

ный эксперимент, проводимый Е. В. Ю., а так-

о том, как трансформируется наша модель в зер-

же трактовка результатов, осуществляемая всеми

кально-асимметричном (в среднем) потоке, заслу-

авторами, обеспечивалась фондом БАЗИС (грант

живает специального изучения, которое, однако, вы-

№18-1-1-77-3).

ходит за рамки данной статьи.

Подчеркнем, что предложенная модель нелиней-

ного насыщения мелкомасштабного динамо основа-

ЛИТЕРАТУРА

на на представлении о том, что форма уравнения

1. F. Krause and K.-H. Rädler, Mean-Field Magneto-

Казанцева, полученная для линейной неустойчивос-

hydrodynamics and Dinamo Theory, Pergamon Press,

ти, сохраняется и на нелинейной стадии ее развития,

Oxford (1980).

а изменяются лишь коэффициенты этого уравне-

ния. На том же предположении, но, естественно, для

2. Ya. B. Zeldovich, A. A. Ruzmaikin, and D. D. So-

уравнения динамо среднего поля, основаны и фено-

koloff, Magnetic Fields in Astrophysics, G&B, New

менологические модели подавления динамо средне-

York (1983).

го поля. В работе [21] показано, что обоснование это-

3. R. Beck, A. Brandenburg, D. Moss, A. Shukurov, and

го предположения требует определенных представ-

D. Sokoloff, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 34, 155

лений о том, как именно происходит воздействие

(1996).

магнитного поля на течение (необходим некоторый

временной лаг между магнитным полем и изменени-

4. С. А. Молчанов, А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов,

ем распределения турбулентных или конвективных

УФН 145, 307 (1985).

вихрей). Вероятно, с этим связаны также и ограни-

5. А. П. Казанцев, ЖЭТФ 53, 1806 (1967).

чения того, как именно перераспределяется транс-

формированная энергия по спектру случайных дви-

6. A. Brandenburg and K. Subramanian, Phys. Rep.

жений. Конечно, нет оснований в принципе исклю-

417(1-4), 1 (2005).

чать возможность того, что в ходе нелинейной ста-

7. A. Ruzmaikin, D. Sokoloff, and A. Shukurov, Month.

билизации динамо в соответствующих уравнениях

Not. Roy. Astron. Soc. 241, 1 (1989).

могут появляться некие экстра-члены, но нам неиз-

вестны какие-либо конкретные результаты в этом

8. D. Sokoloff, A. Khlystova, and V. Abramenko,

направлении.

Month. Not. Roy. Astron. Soc. 451, 6040 (2015).

Для моделей динамо среднего поля известны

9. D. D. Sokoloff, E. V. Yushkov, and A. S. Lukin, Geo-

несколько феноменологических моделей нели-

magnetism and Aeronomy 57, 844 (2017).

нейного подавления генерации, ориентирован-

ных на моделирование различных конкретных

10. В. Г. Новиков, А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов,

астрономических ситуаций. В самом общем виде

ЖЭТФ 85, 909 (1983).

1200