ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 1, стр. 44-62

О ВРЕМЕНАХ И СКОРОСТЯХ НЕСТАЦИОНАРНОГО

КВАНТОВОГО И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ТУННЕЛИРОВАНИЯ

М. В. Давидович^*

Национальный исследовательский Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского

410012, Саратов, Россия

Поступила в редакцию 18 июня 2019 г.,

после переработки 18 июля 2019 г.

Принята к публикации 6 августа 2019 г.

Проведен обзор работ по квантовому туннелированию, описываемому одномерным уравнением Шредин-

гера, а также электромагнитному туннелированию, в которых рассмотрены «сверхсветовые» скорости

и времена туннелирования. Для туннелирования приведены интегральные и интегродифференциальные

уравнения, на основе которых показано, что сверхсветовых движений быть не может. Рассмотрен и объ-

яснен парадокс Хартмана. Показано, что в стационарном и нестационарном квантовом туннелировании

скорость прохождения барьера частицей из потока равна скорости ее набегания на барьер, а квазифото-

ны внутри любого слоя вещества переносят энергию всегда с досветовой скоростью. Однако говорить о

времени туннелирования отдельной частицей или фотоном бессмысленно.

DOI: 10.31857/S0044451020010058

нелирования затухание связано с интерференцией

волн де Бройля. ВП (также цуг или импульс) пред-

ставляет собой нестационарную волну, поэтому за-

1. ВВЕДЕНИЕ

дача состоит в решении проблемы распространения

импульса или ВП [1, 2], но только при наличии гра-

В работе рассмотрены простейшие одномерные

ниц раздела и неоднородности среды (для УШ со-

нестационарные задачи туннелирования для элект-

ответственно локальной неоднородности потенциа-

ромагнитных волн (ЭМВ) и квантовых частиц, опи-

ла). В обобщенном смысле следует говорить о вре-

сываемых соответственно одномерными уравнения-

мени и скорости распространения ВП, скорости пе-

ми Максвелла и одномерным нестационарным урав-

реноса энергии и сигнала. Для простоты считаем,

нением Шредингера (УШ). Это задачи прохожде-

что указанный участок лежит в области 0 ≤ z ≤ d.

ния волновых пакетов (ВП) через области, в кото-

Вне этой области частица движется как свободная, а

рых распространение невозможно, если они беско-

ЭМВ движется в вакууме. Для УШ вводим потенци-

нечно широкие, но прохождение возможно для ко-

ал V (z, t), а среду описываем диэлектрической про-

нечных областей. Такие области создают конечное

ницаемостью (ДП) ε(z, t). В нестационарном слу-

затухание, которое для ЭМВ является радиацион-

чае это ядро интегрального оператора, для которо-

ным и связано с отражением. В частности, запре-

го можно получить спектральную ДП ε(z, ω). Такая

щенные зоны в фотонных кристаллах возникают

постановка актуальна не только для туннелирова-

в результате брэгговских отражений. Но для ЭМВ

ния, но и для других приложений. В общем случае

возможно и диссипативное затухание, влияющее на

она определяет одномерную задачу рассеяния ВП.

туннелирование (диссипативное затухание для УШ

связано с наличием стоков, т. е. с уменьшением чис-

Квантовое туннелирование — один из основных

ла частиц в потоке, что мы рассматривать не бу-

эффектов квантовой теории, который широко ис-

дем, как не будем рассматривать и многочастичное

пользуется в различных областях, в частности, при

УШ с переменным числом частиц). Для ЭМВ силь-

создании источников электронов в автоэмиссион-

но диссипативное туннелирование часто имеет ме-

ных электронных пушках вакуумной электроники,

сто и требует рассмотрения. Для квантового тун-

в плоских экранных панелях, устройствах с прыж-

ковой проводимостью, туннельных диодах и транзи-

^* E-mail: davidovichmv@info.sgu.ru

сторах, приборах на эффекте Джозефсона и в ряде

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

других устройств [3-10]. Для всех них важно время

средой, расщепляется на два c половинными энер-

пролета или время туннелирования через потенци-

гиями, и опорный фотон служит для интерферен-

альный барьер. Этот вопрос имеет место и для ЭМВ

ционного детектирования в HOM интерферометре

[11-13]. Он возник сразу после работ Г. А. Гамова,

«фотона», туннелирующего через барьер (см., на-

Р. Гёрни и Э. Кондона (1928), а затем Ф. Т. Сми-

пример, [11,12]). Сразу следует сказать, что прошед-

та [14], Т. Е. Хартмана [15], Дж. Р. Флетчера [16],

ший многослойное зеркало из фотонного кристал-

М. Буттикера и Р. Ландауэра [17] и ряда других пуб-

ла или туннель «фотон» не является исходным оди-

ликаций (см., например, обзоры в работах [18-36]).

ночным фотоном. Это поляритон или квазифотон —

Известен парадокс Хартмана [15] (в большинстве

квазичастица, испытавшая многократные акты рас-

работ он обозначен как эффект), заключающийся

сеяния (поглощения и испускания) на атомах веще-

в насыщении времени туннелирования Бома - Виг-

ства. «Фотон», прошедший с туннелированием мно-

нера τ_BW с ростом ширины барьера, когда возмож-

гопериодный фотонный кристалл, собирается путем

но неравенство τ_BW < τ_c = d/c, т. е. сверхсветовое

интерференции рассеянных волн или квазифотонов,

туннелирование. За последние несколько десятиле-

и использовать интерферометр для его детектирова-

тий после работы [15] введен ряд различных времен

ния некорректно.

(см. [17-22, 26, 29, 31-33]), в том числе и комплекс-

При стационарном туннелировании времени нет,

ных, описывающих процессы туннелирования, но ни

и можно говорить только о вероятности обнаруже-

одному из них в литературе не отдается явное пред-

ния отраженных частиц слева |R|² и вероятности

почтение [33]. Известны времена Буттикера - Лан-

прохождения |T |², т. е. обнаружения их справа. В

дауэра, Поллака - Миллера, ларморово время, раз-

квантовом случае коэффициенты отражения и про-

личные времена пребывания (dwell time), взаимо-

хождения удовлетворяют условию |R|² + |T |² = 1.

действия, отражения и прохождения. Утверждает-

При туннелировании ЭМВ может быть поглощение,

ся, что «эффект Хартмана» обнаружен и для тун-

и тогда |R|² + |T|² < 1. Стационарное туннелиро-

нелирования ЭМВ, и на протяжении последних де-

вание на основе одночастичного УШ есть туннели-

сятилетий регулярно появляются публикации о рас-

рование потоков невзаимодействующих частиц (ко-

пространении света «быстрее света» (см., например,

гда в разреженном потоке взаимодействием элек-

[10-13, 20-26, 29]). Имеются публикации по нулево-

тронов можно пренебречь), поэтому следует зада-

му времени туннелирования [37] и даже по отрица-

вать плотность частиц в потоке |Aψ(z)|² в точке z.

тельному времени задержки [38-43]. На основании

Если использовать стационарное УШ для одной час-

рассуждения об отрицательной групповой скорости

тицы, то амплитуда A волновой функции (ВФ) в

(ГС) в ряде работ приводятся утверждения о появ-

силу нормировки интеграла от |Aψ(z)|² по беско-

лении сигнала на выходе до его появления на входе и

нечной области на единицу должна быть нулевой,

о сверхсветовой передаче информации. Абсурдность

поэтому такую ВФ нормируют на дельта-функцию.

таких выводов показана в работе [44]. К настоящему

Это позволяет говорить только о вероятностях обна-

времени имеется несколько сотен работ, где рассмат-

ружения частицы |R|² при z = -∞ и |T |² при z = 0

ривается сверхсветовое туннелирование, причем из

в бесконечном будущем (t = ∞), т. е. в такой по-

них более сотни публикаций в самых престижных

становке бессмысленно говорить о времени туннели-

журналах.

рования. Обычно (например, при автоэлектронной

Цель данной работы состоит в получении урав-

эмиссии) реально имеется заданный поток частиц,

нений для нестационарного туннелирования и в до-

часто многоскоростной [8]. При туннелировании до

казательстве отсутствия сверхсветовых движений

барьера и внутри него потоки всегда двунаправлен-

ВП. Как будет показано, они являются интеграль-

ные. Нормировка ВФ на дельта-функцию означает

ными уравнениями (ИУ) или интегродифференци-

|Aψ(z)|²=1, т. е. эквивалентна нормировке падающе-

альными уравнениями (ИДУ). Сложность нестаци-

го потока на единицу — на единичную плотность

онарного туннелирования состоит в нелокальности

частиц в падающем потоке. В односкоростном пото-

[19, 45-47], проявляющейся в том, что пакет всегда

ке можно ввести скорость частиц. В многоскорост-

существует во всем пространстве, в расплывании

ном потоке это сделать сложнее и нужно исполь-

ВП и в его раздвоении за счет дифракции. Час-

зовать ВФ со спектром, т. е. ВП. ВП обычно также

то утверждается об однофотонном туннелировании

многоскоростной, за исключением падающего из ва-

в эксперименте, при этом используется источник

куума электромагнитного ВП, движущегося со ско-

с параметрическим понижением частоты: исходный

ростью света c. Но уже при отражении такой па-

родительский фотон, взаимодействуя с нелинейной

кет становится двускоростным и состоит из двух

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

противоположно направленных потоков. В среде с

2. НЕСТАЦИОНАРНОЕ

дисперсией электромагнитный ВП также многоско-

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ

ростной.

ТУННЕЛИРОВАНИЕ

Стационарное туннелирование электронов внут-

Будем решать одномерные уравнения Максвелла

ри прямоугольного потенциального барьера описы-

вида

вается ВФ ψ(z) = A⁺ exp(-k^′′z) + A^- exp(k^′′z), где

√

-∂_zH_y(z, t) = ∂_tD_x(z, t) + J_x(z, t),

k′′ =

μ_e(V - E)/ℏ², A^± = T(1 ∓ iκ)exp(±k^′′d)/2,

(1)

√

∂_zE_x(z, t) = -μ₀∂_tH_y(z, t),

κ =

E/(V - E), μ_e

= 2m_e — удвоенная масса

электрона. Это приводит к постоянному значению

которые путем дифференцирования второго уравне-

плотности потока вероятности

ния по координате с подстановкой в результат про-

дифференцированного по времени первого уравне-

j(z) = iℏμ-1e [∂_zψ^∗(z)ψ(z)-ψ^∗(z)∂_zψ(z)] = v_z|T |²,

ния сводятся к волновому уравнению

√

∂2zE_x(z, t) - μ₀∂2tD_x(z, t) = μ₀∂_tJ_x(z, t).

(2)

где v_z =

2E/m_e — скорость набегающих частиц.

Эта величина непрерывна, поэтому следует гово-

Его вид зависит от связи индукции и поля. В

рить, что скорость частиц в прямых потоках рав-

пренебрежении временной (частотной) дисперсией

на v_z , а в обратных равна -v_z (с учетом того, что

имеем мгновенную (локальную по времени) связь

плотность в отраженном потоке есть |R|²). Этот ре-

D_x(z, t) = ε₀ε(z, t)E_x(z, t). Это обычно имеет место

зультат можно получить, определяя скорость как

для медленных процессов, когда характерные вре-

v_E(z)

= j(z)/|ψ(z)|². Для области слева ψ(z) =

мена изменения много больше обратных резонанс-

√

= exp(ikz) + Rexp(-ikz), k =

μ_eE/ℏ², и завися-

ных частот вещества. ДП ε(z, t) часто можно счи-

щую от координаты скорость следует усреднять по

тать медленной функцией времени или не завися-

нескольким длинам волн де Бройля, что и приводит

щей от него. Далее будем обозначать E_x = E, H_y =

к выражению v_z =

√μ_eE. Если же брать части вол-

= H. Тогда

новой функции: либо только падающую, либо толь-

∂2zE(z, t) - c-2∂2t [ε(z, t)E(z, t)] = μ₀∂_tJ_x(z, t).

(3)

ко отраженную волны, сразу получаем ±v_z. Внутри

Зависимость ДП от времени означает параметричес-

барьера

кое возбуждение. Как пример такого возбуждения

v_z

можно рассматривать изменение концентрации но-

v_E (z) =

ch² (k^′′(z - d)) + κ² sh² (k^′′(z - d))

сителей в полупроводнике под действием лазерной

накачки или путем инжекции. Амплитуда такой на-

Эта скорость движения плотности частиц (плотнос-

качки должна быть медленной функцией времени

ти вероятности) также не является сверхсветовой,

[2]. Пренебречь дисперсией можно на весьма низких

причем v_E (d) = v_z, т. е. частица выходит из барье-

частотах (для медленно изменяющихся почти ста-

ра с сохранением скорости и энергии. Если энергия

тических полей). В общем случае будем писать

частицы E = V , то

∫t

D_x(z, t) = ε₀

ε(z, t - t^′)E(z, t^′) dt^′.

(4)

v_z

v_E(z) =

1 + Eμ_e(z - d)²/ℏ²

-∞

Отсутствию дисперсии соответствует ядро ε(z, t) =

В электродинамике этому соответствует область под

= ε(z, t)δ(t) интегрального оператора (4). Между

названием epsilon near zero (ENZ) [48], характеризу-

ним и спектральной ДП имеет место связь через

емая сверхсветовой (и даже бесконечной при отсут-

преобразование Фурье:

ствии диссипации) фазовой скоростью. Вычисляя

∞

∫

время прохождения частицей потока барьера путем

ε(z, t) =

ε(z, ω) exp(jωt) dω,

(5)

интегрирования v-1E(z) по координате, видим, что

2π

−∞

оно существенно меньше светового τ_c = d/c, при-

∞

∫

чем с ростом толщины экспоненциально стремит-

ε(z, ω) =

ε(z, t) exp(-jωt) dt.

(6)

ся к бесконечности. Стационарное туннелирование

−∞

ЭМВ описывается уравнением Гельмгольца, совпа-

дающим по форме со стационарным УШ, поэтому

Для электромагнитных задач используется мнимая

и для него нет сверхсветовых скоростей. Интерес

единица j = -i. В силу аналитичности ε(z, ω) в ниж-

представляют скорости и времена при нестационар-

ней полуплоскости комплексной плоскости ω инте-

ном туннелировании.

грал (5) равен нулю при t < 0 [1, 2], что выражает

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

принцип причинности в (4): отклик в виде поляри-

Здесь интеграл замыкается нижней полуокружно-

зации возникает только от предыдущих воздействий

стью комплексной плоскости ω. Нетрудно прове-

поля. В общем случае ДП ε(z, ω) = ε^′(z, ω)-jε^′′(z, ω)

рить, что эти функции удовлетворяют волновым

является комплексной, а ее действительная и мни-

уравнениям

мая части — соответственно четной и нечетной

(∇² - c-2∂2t)g(r, t) = -δ(r)δ(t),

функциями частоты и подчиняются соотношени-

ям Крамерса - Кронига, также выражающим прин-

(∂2z - c-2∂2t)g(z, t) = -δ(z)δ(t).

цип причинности [49] (для плоской монохромати-

ческой ЭМВ мы используем зависимость от време-

Действительно, взяв разложение ФГ в виде

ни вида exp(jωt), а для ВФ квантовой частицы —

exp(-iEt/ℏ)). Соотношение (4) также будем писать

g(z, t) =

в форме D_x(z, t) = ε₀E(z, t) + P(z, t) через поля-

4π²

∫

∞

∫

∞

ризацию. Поэтому уравнение (3) можно записать,

G(ω, α) exp(jωt - jαz) dω dα

(8)

как в случае вакуума, с правой частью J(z, t) =

= μ₀∂t (J_x(z, t) + ∂_tP(z, t)). Первый член в скобках

−∞ -∞

соответствует плотности стороннего тока (тока воз-

и потребовав выполнение этого уравнения, имеем

буждения), а второй — плотности тока поляриза-

G(ω, α) = [-α² + ω²/c²]-1. Подставляя это выраже-

ции. Возбуждение весьма удобно для выяснения во-

ние в (8) и вычисляя интеграл по α методом выче-

проса о скорости распространения импульса. Если

тов, получаем

оно задано в конечной области и возникает в неко-

∞

∫

торый момент, то до этого момента поле отсутство-

-j

exp(jωt - jω|z|) dω

вало, поэтому очень просто решать вопрос о ско-

g(z, t) =

4π

ω/c

рости распространения ВП. Все уравнения электро-

-∞

динамики показывают, что максимальная скорость

т. е. результат, совпадающий с (7). При разных зна-

равна c, а возбуждение, возникшее в точке z₀, не

ках z контур замыкается либо нижней, либо верхней

может попасть в точку z раньше, чем за время

полуокружностями и считается, что имеется беско-

|z₀ - z|/c. Уже этого давно и хорошо известного

нечно малая отрицательная мнимая (диссипатив-

факта вполне достаточно, чтобы не рассматривать

ная) добавка у k₀, т. е. на полуокружностях выпол-

туннелирование света быстрее скорости света. Тем

няется лемма Жордана. Источники в области -z₁ <

не менее, больше сотни подобных публикаций по-

< z < -z₂ создают вектор-потенциал

явилось и продолжает появляться в солидных жур-

налах, что требует более детального рассмотрения

A(z, t) = x₀A(z, t) =

вопроса. Простейшим можно считать точечный ис-

∫t

∫

точник J_x(z, t) = δ(z - z₀)δ(t). В трехмерном слу-

чае точечному источнику соответствует скалярная

=x₀

g(z - z^′, t - t^′)J_x(z^′, t^′) dz^′dt^′.

(9)

функция Грина (ФГ) g(r, t) = (4π|r|)-1δ(t - |r|/c),

−∞ -z1

описывающая распространение вектор-потенциала

В этой области P = 0. Поскольку div A(z, t) = 0,

[50]. Оно происходит со скоростью света. Эта ФГ

имеем E(z, t) = -μ₀∂_tA(z, t) или

есть обратное преобразование Фурье от спектраль-

ной скалярной ФГ G(r, ω) = (4π|r|)-1 exp(-jω|r|/c).

∫

В нашем одномерном случае спектральная ФГ есть

cμ₀

E(z, t) =

J_x(z^′, t - |z - z^′|/c)dz^′.

(10)

G(z, ω) = -jc exp(-jω|z|/c)/(2ω). Для нее простран-

−z1

ственно-временная ФГ выражается через ступенча-

тую функцию Хевисайда:

Дифференцирование по верхнему пределу в (9) да-

ет нуль, а дифференцирование функции Хевисай-

да — дельта-функцию. Соотношение (10) следует и

из представления решения (3) через ФГ, если затем

cχ(t - |z|/c)

проинтегрировать по частям. Задавая источники в

g(z, t) =

указанной области, возникшие в некоторый момент

∞

∫

-jc

t₀, из (10) видим, что в более поздний момент t в

ω-1 exp(jω(t - |z|/c)) dω.

(7)

некоторой точке z они не могут появиться раньше,

4π

−∞

чем через время |z - z^′|/c. Возьмем локализованный

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

в точке -z₁ источник J_x(z, t) = I(t)δ(z + z₁). По

В момент t правая часть цуга окажется в точке z₂ =

смыслу одномерной задачи это излучающая плос-

= -z₁ + c(t - t₀). Можно говорить, что площадка

кость диполей с поверхностной плотностью тока

единичной площади S = 1 источника излучила фо-

I(t). В этом случае E(z, t) = cμ₀I(t - |z + z₁|/c)/2.

тон вправо, если

Аргумент у функции I должен быть больше t₀, по-

∫

этому поле существует только в конечной области,

ℏω₀ = ε₀S

E²(z, t)dz,

если источник излучает конечное время, скажем,

заканчивает действовать в момент t₁. В этом слу-

-z1

чае в точке источника можно определить спектр

поэтому для данной задачи следует говорить о плот-

I(ω) функции I(t), который определяет спектр по-

ности фотонов на единицу площади и длины. Если

ля E(z₁, ω) = cμ₀I(ω)/2. Этот спектр инфинитный

источник перестал действовать в момент t₁ = t₀ +τ,

(неограниченный), содержащий бесконечные часто-

то следует взять множитель (прямоугольный форм-

ты, но ВП с таким спектром обладает конечной

фактор) перед синусом в виде двух функций Хеви-

энергией E. Бесконечные частоты нельзя сопостав-

сайда χ(t - t₀) - χ(t₁ - t). Спектр такого ВП легко

лять квантам поля, поскольку может случиться, что

вычисляется и становится весьма узким (почти од-

для некоторой частоты E < ℏω. Часто рассматрива-

ночастотным) при большой длительности.

ют ВП с финитным спектром. Такой ВП всегда де-

Вопрос о распространении ВП в однородной сре-

локализован в пространстве и во времени. Это от-

де решается с помощью пропагаторной ФГ [1, 2]. В

носится и к классическому фотону: его можно пред-

вакууме ВП распространяется как целое со скорос-

ставить монохроматической волной. Ее амплитуда

тью света, и такой вопрос не возникает. В дисперги-

должна быть бесконечно мала, чтобы энергия такой

рующей однородной среде имеет место следующий

волны не разошлась и составила E = ℏω. В плос-

закон распространения:

кой монохроматической волне конечной амплитуды

имеет место поток фотонов и можно говорить об их

∫∞

плотности на единицу длины и площади, т. е. на еди-

E(z, t) =

K₀(z - z₁, t - t^′)u(z₁, t^′)dt^′ =

ницу объема. Такой фотон может поглотиться ве-

-∞

ществом путем перехода между уровнями E₁ → E₂

∫

(бесконечно узкими спектральными линиями) с раз-

= K₀(z - z₁, t - t^′)u(z₁, t^′)dt^′.

(11)

ностью энергий E = E₂ -E₁ = ℏω за бесконечное вре-

-∞

мя. Конечно, это абстракция, и все реальные процес-

сы являются квазистационарными, т. е. чуть-чуть

Здесь для вакуума K₀(z, t) = δ(t - z/c), для иде-

нестационарными, и происходят за конечное время.

альной среды без дисперсии с ДП ε(t) = εδ(t) име-

При этом существенно внешнее фоновое поле. Опи-

ем K₀(z, t) = δ (t - z/(c√ε )), а для однородной сре-

сываемый нестационарным УШ атом под воздей-

ды с дисперсией ε(ω) и постоянной распростране-

√

ствием ВП может с определенной вероятностью пе-

ния k(ω) = ω

ε(ω)/c величина K₀(z, t) определяет-

рейти из одного квазистационарного состояния (до

ся интегралом [1, 2]:

воздействия) в другое (после воздействия). ВП, опи-

∫∞

сывающий фотон, имеет ограниченный спектр вбли-

K₀(z, t) =

exp(j(ωt - k(ω)z)) dω.

(12)

зи частоты ω с энергией ℏω. Такой ВП неограничен

2π

−∞

в пространстве и во времени, однако на бесконеч-

ностях он в силу теоремы Винера - Пэли [45] силь-

Пропагаторная ФГ (12) удобна, если ВП с резким

но затухает. Большое значение приобретает теория

фронтом уже задан и движется в среде с дисперси-

функций с ограниченным спектром и аналитические

ей, а затем туннелирует. Например, для туннелиро-

свойства ВП с ограниченным спектром, приводящие

вания на плазменном слое в волноводе импульс до

в силу теоремы Винера - Пэли к целым нелокаль-

взаимодействия со слоем распространяется по за-

ным ВФ [19, 45-47]. Для рассеяния важны также

кону (11), для которого ФГ (12) известна и выра-

аналитические свойства S-матрицы и ФГ [47]. Воз-

жается через функции Бесселя [1]. Ее аналитиче-

буждению фотона частотой ω₀ можно сопоставить

ские свойства свидетельствуют, что в диспергирую-

функцию источника I(t) = I₀χ(t - t₀)sin(ω₀(t - t₀))

щей диссипативной среде пакет не может двигаться

и поле E(z, t) = cμ₀I₀χ(t-t₀ -|z+z₁|/c)/2. Такой ис-

быстрее скорости света [1]. Туннелирование прояв-

точник излучает в обе стороны. Величина ε₀E²(z, t)

ляется в неоднородных структурах, поэтому требу-

есть плотность энергии (с учетом магнитного поля).

ет других методов анализа. При этом удобно сразу

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

задавать ВП с ограниченным спектром, передний

плотность фотонов. Спектральная плотность энер-

фронт которого можно считать резким. Нерезкий

гии фотонов описывается спектральной интенсивно-

быстро убывающий вперед основной части ВП пе-

стью:

редний фронт не может быть детектирован, а его

энергия бесконечно мала. В работе [2] рассмотрено

ℏω₀

ε₀cS|E(ω)|²

W (ω) =

≈ 2πA²⁰ε₀δ(ω - ω₀).

детектирование огибающей аналитического сигна-

Δω

ла. Она имеет быстро убывающий вперед сверхсве-

Здесь Δω — эффективная ширина спектра. Интег-

товой предвестник, который также не может быть

рал от W (ω) по положительным частотам дает энер-

детектирован. Детектор определяет резкий перепад

гию E = ℏω₀. Такой фотон может быть испущен

переднего фронта с задержкой на неидеальность.

или поглощен атомом с шириной лоренцевой спек-

Поэтому рассмотрим пакет с резким фронтом. Это

тральной линии Δω за время Δt ∼ 1/Δω. Эти про-

нужно просто для того, чтобы вычислить спектр.

цессы всегда многочастотные и многочастичные, по-

Вклад в спектр от предвестника весьма мал, и им

скольку атом не изолирован во вселенной, и время

обычно пренебрегают. Пусть падающий ВП с рез-

жизни его возбужденного состояния зависит в том

ким фронтом в момент t₀ = 0 подошел к началу

числе от внешнего фонового поля, соседних частиц,

барьера (слоя) z = 0. Волну запишем в виде

температуры и т. п. Следовательно, система не яв-

E₀(z, t) = A₀χ(t - z/c)sin(ω₀(t - z/c)).

ляется замкнутой, а энергия не определена точно.

). Такой

При Δω → 0 имеем W (ω) = ℏω₀δ(ω - ω₀

Если этот цуг полубесконечный, то в момент подхо-

«чистый» фотон — это плоская монохроматическая

да волна расположена в области (-∞, 0). Передний

ЭМВ, определенная в бесконечном пространстве-

фронт резкий, но начинается с нуля. Такой цуг име-

времени, которая является удобной абстракцией.

ет бесконечную энергию, т. е. принципиально мно-

Фотоны высоких энергий не испытывают диспер-

гофотонный. Если рассмотреть конечный импульс

сию и проходят пластину или слой со скоростью

длительности τ₀ = z₀/c, то следует взять

света за время τ = d/c. Напишем нестационарное

ИУ. Слой сказывается на дифракции только как об-

E(z, t) = A₀ [χ(t - z/c) - χ(t + τ₀ - z/c)] ×

ласть с током поляризации. Вектор-потенциал по-

× sin(ω₀(t - z/c)).

ля дифракции определен таким током J_p(z, t) =

= ∂_tP = ∂_t(D(z, t) - ε₀E(z, t)) и имеет вид

Энергия ограниченного импульса конечна:

∫

∫t

∫

(

z⁾

E =ε₀A²⁰

sin²

dz =

A_x(z, t) =

g(z - z^′, t - t^′)J_p(z^′, t^′) dz^′dt^′ =

ω₀ c

−cτ0

(

)

cε₀τ₀A²⁰

sin(2ω₀τ₀)

∫d

∫

(13)

2ω₀τ₀

J_p(z^′, t^′)dt^′dz^′.

(14)

однако его математический спектр бесконечен. Он

полностью определяется сигналом в точке

-z₁.

Теперь определяем само поле дифракции: E_d(z, t) =

Естественно, в спектре не могут присутствовать фо-

= -μ₀∂_tA_x(z, t), и полное поле: E(z, t) = E₀(z, t) +

тоны с энергиями ωℏ > E. В этом заключается при-

+ E_d(z, t). Для плазмы следует найти ядро инте-

чина того, почему нельзя использовать ограничен-

грального оператора ДП в соотношении (4), (6). Оно

ный в пространстве ВП при квантовом туннелиро-

дается вычислением обратного преобразования Фу-

вании спектрально ограниченного пакета. Энергия

рье от ДП плазмы:

полуограниченного пакета бесконечна, и указанных

трудностей не возникает. Однако такой ВП описыва-

∞

∫

ет поток фотонов. Неограниченный пакет существу-

ω2p

ε(t) = δ(t) -

(ω² - jωω_c)-1 exp(jωt) dω =

ет везде во все времена, поэтому для него трудно

2π

определять времена прохождения каких-то участ-

-∞

ков. Это справедливо и для квантового туннели-

ω2p

= δ(t) -

χ(t)[1 - exp(-ω_ct)].

(15)

рования на основе УШ. Монохроматическая вол-

ω_c

на описывает поток фотонов частотой ω₀. В та-

кой волне конечной амплитуды A₀ следует вводить

Поэтому имеем соотношения

ЖЭТФ, вып. 1

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

ε₀ω2p

-1

τ определяется интегрированием v_E

(z, ω₀) по пла-

D(z, t) = ε₀E(z, t) -

ω_c

стине и всегда больше τ_c. Идеальный детектор в

∫^t

этой точке, определяющий момент прихода перед-

× exp(-ω_c(t - t^′)) E(z, t^′) dt^′,

него фронта и работающий без задержки [2], опре-

делил бы, что это время больше τ + π/(2ω₀). Для

туннелирования через неоднородный слой следует

использовать зависящую от координаты плазмен-

ε₀ω2p

ную частоту ω_p(z). Собственно для туннелирования

∂_tD(z, t) = ε₀∂_tE(z, t) -

ω_c

спектр ВП должен быть ограниченным именно этой

⎡

⎤

∫t

частотой: ω < ω_p(z). Если это не выполняется, то

×^⎣E(z, t) - ω_c exp(-ω_c(t - t′)) E(z, t′) dt′⎦ ,

имеет место туннелирование низкочастотной части

ВП и распространение высокочастотной его части.

Часто дисперсию реальных разреженных сред моде-

лируют несколькими членами дисперсии Лоренца:

ε₀ω2p

J_p(z, t) = -

ω_c

ω2p

⎡

⎤

ε(ω) = 1 +

∫

ω²⁰ - ω² + jωω_c

×^⎣E(z, t) - ω_c exp(-ω_c(t - t′)) E(z, t′) dt′⎦ ,

Для нее оператор ε(t) просто вычисляется методом

вычетов и имеет вид

ω2p

E_d(z, t) =

ω2p exp(-ω_ct/2)

c²

ε(t) = δ(t) + χ(t)

√

ω²⁰ - ω2c/4

∫d

∫

(√

)

exp(-ω_c(t-t^′-|z-z^′|/c)) E(z, t^′) dt^′dz^′.

× sin t ω²⁰ - ω2c/4

ИУ для однородного плазменного слоя имеет вид

Величины ω2p определяются через силы осцилля-

торов соответствующих квантовых переходов с ча-

⎧

⎨

стотами ω₀, а величины ω_c и τ_c = 1/ω_c отвечают

( (

z⁾⁾

E(z, t) = χ(t - z/c)

sin ω₀

ширинам соответствующих спектральных линий и

⎩

временам жизни возбужденных состояний. Полагая

ω₀

= 0 (не связанные заряды диполя), получаем

∫

( (

))

ω2p

|z - z^′|

ε(t) = δ(t) + ω2pω-1c[1 - exp(-ωct)], что совпадает

exp

-ω_c t - t^′ -

с (15). Для дисперсии Лоренца возможно условие

c²

ε^′(ω) = Re(ε(ω)) < 0, при котором в соответству-

⎫

⎬

ющем обычно узком диапазоне имеет место стаци-

× E(z, t^′)dt^′dz^′

(16)

онарное туннелирование. Нормируя все частоты на

⎭

плазменную частоту и обозначая их буквой Ω, ви-

дим, что при предельно малой частоте столкнове-

√

В силу своего вида оно дает максимальную скорость

ний это область Ω₀ < Ω <

1 + Ω²⁰, а при конечном

туннелирования c. Это ИУ необходимо решать чис-

времени жизни это область нормированных частот:

ленно. Наиболее интересно рассмотреть пакет в точ-



√

ке d. Момент t = τ_c = d/c соответствует появле-



1-Ω2c

(1 - Ω2c)²



² -Ω²⁰ -

-Ω²⁰Ω2c.

^Ω

^≤

нию начала предвестника, начинающегося с нуля:

E(d, τ_c) = 0. Затем вклад в это значение дает воз-

буждение в ближайших точках слоя. Интересно зна-

В случае большой диссипации (малой силы осцил-

чение поля в этой точке при больших временах. Для

лятора), когда Ω_c > |1 - Ω2c|/(2Ω₀), область отрица-

них все высокоэнергетические фотоны фронта ушли

тельных значений ДП отсутствует.

вперед и остались только фотоны частоты ω₀ (уста-

Итак, пусть конечный цуг длиной l в момент t₀ =

новился монохроматический процесс) [2]. Скорость

= 0 его подхода к слою имеет плотность энергии U

энергии в стационарной волне в пластине v_E (z, ω₀) <

на единицу площади поперечного сечения. Считая

< c будет получена ниже. Время туннелирования

цуг поперечно ограниченным площадью S, имеем

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

энергию E = SU, плотность энергии W = U/l и дли-

ста импульса. Аналогично прошедший цуг имеет

тельность цуга τ₀ = l/c. В момент t = -l/c цуг под-

вид

ходит к точке z₁ = -l. В этой точке известны поле

E(-l, t) на всем промежутке сигнала -l/c ≤ t ≤ 0,

E_T (z, t) = χ(t - d/c)×

спектр E(ω), энергия U, плотность энергии ε₀E и

∫

∞

спектральная плотность энергии W соответственно:

× T(ω)E(ω)exp(jω (t - (z - d)/c)) dω.

(21)

-∞

∫0

E(ω) =

E(-l, t) exp(-jωt) dt =

В нем образуется предвестник, передний фронт и

задний фронт (хвост). Такого одиночного «фото-

-l/c

на» не существует. Фотон должен либо пройти «ба-

∫τ0

рьер» со скоростью света, либо рассеяться. Много-

= A sin(ω₀t)exp(-jωt)dt,

(17)

кратное рассеяние приводит к возникновению ква-

зифотонов (20), (21). В частности, дисперсия в плаз-

∫0

менном слое, или замедление в двойной призме с

U =ε₀

E²(z, 0)dz = ε₀c

E²(-l, t)dt =

зазором и нарушенным полным внутренним отра-

−l

-l/c

жением (НПВО) обусловлены именно этими мно-

∞

гофотонными эффектами, т. е. они не могут про-

∫

ε₀c

являться для одиночного фотона. Момент прохо-

|E(ω)|²dω,

(18)

да многофотонного цуга следует идентифицировать

по времени установления в точке z = d колебаний

. За счет отражения и возможной дис-

частоты ω₀

W (ω) = ε₀cS|E(ω)|²/π.

(19)

сипации спектр прошедшего цуга может изменить-

ся. В сильном поле возможны нелинейные эффек-

Такой цуг тем лучше описывает идеальный фотон

ты и появление комбинационных частот. Очевид-

частоты ω₀, чем больше его длина. В силу теоремы

но, интеграл (21) может быть вычислен, а указан-

Винера - Хинчина - Колмогорова - Эйнштейна энер-

ный момент установлен. Однако всегда будет иметь

гия сигнала (18) может быть записана также через

место некоторая неопределенность его определения.

его спектр (17). Для спектра имеем

Очевидно, что τ > d/c, т. е. сверхсветовое тунне-

E(ω) =

лирование невозможно. Это определяется полюса-

ω₀- exp(-jωτ₀)[ω₀ cos(ω₀τ₀)+jω sin(ω₀τ₀)]

ми функции T (ω), которые лежат в верхней полу-

ω²⁰ - ω²

плоскости. Рассмотренная постановка удобна тем,

что можно моделировать почти монохроматический

а энергия выражается как

«фотон». В однофотонном эксперименте излучаю-

щий атом должен иметь весьма узкую спектраль-

E = A²ε₀cτ0 [1 - sin(2ω₀τ₀)/(2ω₀τ₀)]/2.

ную линию (большое время жизни), причем необхо-

Положим 2ω₀τ₀ = nπ. Спектральная плотность W

димо сгенерировать направленное на барьер излу-

имеет максимум на частоте «фотона» и при n → ∞

чение только одним атомом. Для существования та-

стремится к ℏω₀δ(ω-ω₀). Наиболее простое выраже-

кого «фотона» должно выполняться равенство τ₀ =

ние имеем при четном n: W (ω₀) = τ₀/cπ. Заметим,

= 2ℏω₀/(ε₀cA²S), которое определяет время цуга.

что при нечетном числе полуволн в спектре присут-

Здесь S может иметь смысл площади мишени. Та-

ствуют фотоны нулевой частоты или энергии. Да-

кой цуг должен быть существенно длиннее барье-

лее считаем, что спектральная задача решена, т. е.

ра. Возможны процессы детектирования рассеян-

определены функции R(ω) и T (ω). Отраженный цуг

ных фотонов перед и за мишенью. Однако прошед-

теперь дается спектральным интегралом:

ший с многократным переотражением «фотон» не

может считаться исходным: он «провзаимодейство-

E_R(z, t) =

вал» с веществом: часть цуга отразилась, часть по-

∫∞

глотилась, поэтому он имеет другой спектр. Невза-

= χ(t) R(ω)E(ω) exp (jω(t + z/c)) dω.

(20)

имодействующий фотон — это гамма-квант высокой

-∞

энергии. Для него любой барьер прозрачен, его ско-

рость равна скорости света, а вероятности его упру-

Если слой дисперсивный, т. е. ε(t) = εδ(t), то дли-

тельность цуга (20) может увеличиться за счет хво-

гого и неупругого рассеяния ничтожно малы.

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Получим теперь значения коэффициентов отра-

т. е. в режиме распространения (ε^′ > 1) имеем k^′ =

√

жения R(ω) и прохождения T (ω) для однородной

= k₀

ε^′(1 + ε′′2/(8ε′2)) и k′′ = k0ε′′/(2

ε^′ ), а в

пластины, а также скорость движения энергии мо-

режиме туннелирования (ε^′ < 0) постоянные рас-

нохроматической волны в ней. Это удобно сделать

пространения и затухания меняются местами: k^′ =

√

методом сшивания или с использованием метода

= k₀ε^′′/(2

ε^′ ), k′′ = k0

ε^′(1 + ε′′2/(8ε′2)). Амп-

матриц передачи. Результат имеет вид

литуды волн двух направлений имеют вид A^± =

[

(

)

= exp(±jkd)T(1 ± ρ)/2, что позволяет вычислить

T =

cos(kd) + j sin(kd)

ρ+ρ-1

/2]-1 ,

(22)

усредненную за период компоненту вектора Пойн-

тинга S_z = Re(EH^∗)/2 и плотность энергии W . Ес-

1 - exp(-2jkd)

ли слой недиссипативный, то |R|² + |T |² = 1. Если

R=R₀

(23)

же слой диссипативный, т. е. ε = ε^′ - jε^′′, то |R|² +

1 - exp(-2jkd)R²

+ |T |² < 1. Полученные соотношения удобны для

где R₀ = (ρ - 1) / (ρ + 1) — коэффициент отражения

решения задачи о туннелировании из среды при на-

от полубесконечного слоя. Здесь мы ввели норми-

клонном падении на воздушный зазор с НПВО, ко-

рованные импедансы для падения волны под углом

гда угол задается величиной k_x. В бесконечной од-

θ = arctg(kx/k0z), который задается компонентой

√

нородной среде H_y/E_x =

√ε/Z₀, Z₀ = (ε₀c)-1, по-

волнового вектора k_x: в вакууме k0z =

k²⁰ - k2x, а в

этому S_z = Re(E_xH^∗y)/2 = cε₀|E_x|²k^′/(2k₀). Если в

√

пластине k_z =

k²⁰ε - k2x. При этом нормированные

диссипативной среде нет накопленной потенциаль-

импедансы имеют вид ρ₀ = k0z/k₀, ρ = k_z/(k₀ε) для

ной и кинетической энергии колебаний (например,

E-мод (p-поляризация) и ρ₀ = k₀/k0z, ρ = k₀/k_z для

в дистиллированной воде, описываемой формулой

(

√

)

H-мод (s-поляризация), а ρ = ρ/ρ₀. При нормаль-

Дебая), то W = ε₀

ε^′ +

ε′2 + ε′′2

|E_x|²/4 [51-54],

ном падении ρ = ρ = 1/√ε. Внутри пластины E(z) =

√(√

)

поэтому v_E = c/

ε′2 + ε′′2 + ε^′

/2. Без диссипа-

= A+ exp(-jkz) + A- exp(jkz), причем k = k^′ - jk^′′

√

ции v_E = c/

ε^′. Диссипация уменьшает |T| и увели-

и имеют место связи

чивает замедление. Для столкновительной плазмы

^√√

ε′2+ε′′2+ε^′

ε′2+ε′′2-ε^′

имеем

k^′

=k₀

k^′′

=k₀

⎡

(

)

ε₀|E|

ω2p

Они показывают, что при малой диссипации, ε′′2 ≪

W =

⎣

ω² + ω²

≪ ε′2, имеют место соотношения

√

⎤

|ε^′| + ε′′2/2|ε^′| + ε^′

√(

)₂

k^′

=k₀

ω2p

ω4pω2c

⎦,

(24)

ω² + ω2c

(ω² + ω2c)²ω²

√

|ε^′| + ε′′2/2|ε^′| - ε^′

k^′′

=k₀

√(

)₂

cε₀|E|

ω2p

ω4pω2c

S_z =

^√1 -

(25)

23/2

ω² + ω2c

(ω² + ω2c)²ω²

Поэтому для скорости энергии получаем [51-54]

)₂

ω2p

ω4pω2c

√1-

√ 1-

ω² + ω2c

(ω² + ω2c)²ω²

v_E = 21/2c

(26)

)

ω2p

ω4pω2c

√ 1-

ω² + ω2c

(ω²+ω2c)2ω2

Эти формулы можно записать в свернутом виде:

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

образующейся как полярный вектор, т. е. как ско-

[

√

]

ε₀|E|

рость материальной точки. В полосах непрозрачно-

W =

2-ε^′ +

ε′2 + ε′′2

сти, в том числе и внутри барьеров, ГС является

√

′′2

величиной кинематической, определяющей скорость

cε₀|E|²

ε^′ +

ε′2 + ε

S_z =

движения биений двух бесконечно близких по час-

23/2

√

тоте волн (как ее определил Дж. Г. Стокс) и мо-

′′2

21/2c ε^′ +

ε′2 + ε

v_E =

√

жет быть любой: превышающей c, бесконечной и

2-ε^′ +

ε′2 + ε′′2

даже отрицательной (направленной против движе-

Для слабо диссипативной плазмы v_E = cε^′′/(2|ε^′| +

ния энергии) [56]. Это же относится и к групповому

+2|ε^′|²+ε′′2/2). При туннелировании в приближении

времени запаздывания или времени Бома - Вигне-

отсутствия диссипации

ра, которое может стать нулевым и отрицательным

√

[38-44]. Поэтому движение ВП и скорость переноса

√

cω

1 - ω²/ω2p

пакетом энергии, особенно при достаточно широком

|ε^′|

v_E = c

< c.

1 + |ε^′|

2ω_p

спектре, не следует отождествлять с ГС.

Поскольку формулы (22), (23) получены сшива-

Заметим, что слабая диссипация возможна только в

нием поперечных компонент, в отсутствие диссипа-

области ω ≫ ω_c. Вблизи плазменной частоты ε^′ ≈ 0

ции сразу следует непрерывность S_z(z) во всех точ-

применять разложение нельзя, и непосредственно

√

ках, включая точки 0 и d, причем 2Z₀S_z (d) = |T |²,

из (26) имеем vE = c

ε^′′/2/(1 + ε^′′/2) ≪ c. Сре-

2Z₀S_z(0) = (1-|R|²). Обозначая ρ = ρ^′ +jρ^′′, имеем

дой без накопления энергии колебаний можно счи-

тать плазму на низких частотах ω ≪ ω_c [53]. То-

cε₀|T|² (ρ^′α(z) - ρ^′′β(z))

S_z(z) =

гда ε(ω) = -jω2p/(ωω_c) = -jσε₀/ω, и из (26) сле-

дует v_E ≈ 2c√ωωc/ωp ≪ c. Дисперсия в такой сре-

где

де обусловлена проводимостью σ. Можно получить

аналогичное (26) выражение для v_E в случае дис-

α(z) =

персии Лоренца, для которой также v_E ≤ c. Соот-

4|ρ|²

ветствующее громоздкое выражение мы не приво-

[

]

|1+ρ|² exp (-k^′′(z-d)) -|1-ρ|² exp (k^′′(z-d))

дим. В области аномальной отрицательной диспер-

сии при малой диссипации для такой среды возмо-

жен случай ε^′ < 0 и туннелирование. Отметим, что

β(z) =

из дисперсии Лоренца при равной нулю резонансной

| ρ|²

частоте, ω₀ = 0, (свободные осцилляторы) следует

[

(

)

]

sin(2k^′(z-d))

1-|ρ|²

/2-ρ^′′ cos(2k^′(z-d))

дисперсия плазмы, а предельный переход ω₀ → ∞,

ω_c → ∞, ω_p → ∞ (бесконечно жесткие диполи) при

Считая, что пластина является слоем плазмы, име-

условии ω2p/ω²⁰ = κ, ω2c/ω⁴⁰/τ² дает формулу Дебая:

ем

ε^′

= 1 + κ/(1 + ω²τ²), ε^′′ = (ε^′ - 1)ωτ. В бесстолк-√

(

√

)

новительной плазме v_E = c

1 - ω2p/ω2 , что совпа-

ε′2+ε′′2-ε^′

a²(z)+b²(z)

W (z) = ε₀|T |2

дает с ГС. Ниже плазменной частоты ГС мнимая,

т. е. распространение невозможно. Однако туннели-

рование сквозь слой бесстолкновительной плазмы

идет со скоростью меньшей скорости света как ниже

a(z) = cos (k^′(z - d)) [ch (k^′′(z - d)) -

плазменной частоты, так и выше нее, если учесть,

- ρ′ sh(k^′′(z - d))]+ρ′′ sin(k^′(z - d))ch(k^′′(z - d)),

что плотность потока мощности пропорциональна

|T |². Как при диссипации, так и без нее эта скорость

меньше c и зависит от координаты. ГС соответству-

b(z) = ρ^′′ cos (k^′(z - d)) sh (k^′′(z - d)) +

ет скорости распространения энергии, как ее опре-

+ sin(k^′(z - d)) [ρ^′ ch(k^′′(z - d)) - sh(k^′′(z - d))] .

делил У. Гамильтон, только в монохроматической

волне и только в абсолютно недиссипативных (кон-

Отсюда получаем скорость энергии

сервативных или гамильтоновых) системах и сре-

дах, когда выполняются условия теоремы Леонто-

v_E (z) =

вича - Лайтхилла - Рытова [55]. Только в этих слу-

ρ′α(z) - ρ^′′β(z)

чаях ГС является действительной величиной, пре-

=c[

(√

)

]

(27)

ε′2 + ε′′2 - ε^′

(a²(z) + b²(z))

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Она всегда меньше скорости света. Для идеально

T (ω) все полюсы лежат в верхней полуплоскости

прозрачной пластины имеем скорость

[1, 2]. Смещая при t < z/c контур интегрирования

в нижнюю полуплоскость, получаем равенство ну-

v_E(z) =

≤c

лю интеграла (29).

ε + 1 + (ε - 1)cos(2k₀

√ε (z - d))

Теперь рассмотрим вопрос о времени нестацио-

и время туннелирования

нарного туннелирования. Зная поле E(z, t) и H(z, t),

можно вычислить S_z (z, t) = E(z, t)H(z, t). Однако

d [ε + 1 + (ε - 1) sinc (2k₀d√ε)]

τ =

≥

получить плотность энергии W (z, t) в общем виде

нельзя. Из теоремы Пойнтинга известна только ве-

В случае туннелирования через недиссипативный

личина ∂_tW (z, t). Поэтому можно вычислить вели-

слой с отрицательной ДП

чину

∫

E = A+ exp(-k^′′z) + A- exp(k^′′z),

W (z, t) =

∂_t′ W(z, t^′)dt^′

√

(

)

H = -jcε₀

|ε|

A⁺ exp(-k^′′z) - A^- exp(k^′′z)

-∞

(

)

в каждой точке, зная предысторию процесса созда-

√

exp(±k^′′d)T

k^′′ = k₀

|ε|,

A^± =

1±

√

ния поля источниками или предысторию входа им-

|ε|

пульса с резким фронтом в точку z. Поэтому можно

поэтому имеют место соотношения

определить скорость

cε₀|T|

ε₀|E|²(2 - ε + |ε|)

S_z(z, t)

S_z(z) =

W =

v_E(z, t) =

∫

′

[

]

∂_t′

W (z, t^′) dt

|T |

sh² (k^′′(z - d))

|E|² =

ch² (k^′′(z - d)) +

−∞

|ε|

и для скорости энергии на частоте ниже плазменной

К сожалению, в общем случае нет доказательства

того, что эта величина всегда меньше c. Можно

получаем

только утверждать, что скорость движения резких

v_E(z, ω) =

фронтов для вектора Пойнтинга не превышает c.

Соответственно имеем время

c(ω2p/ω2 - 1)

< c.

(28)

(ω2p/ω²)[ω2p/ω² ch²(k^′′(z - d)) - 1]

∫

∫t

∂_t′ W(z, t^′)

τ (t) =

dt^′dz =

Из (28) следует v_E(z, ω_p) = 0, v_E(d, ω) = c(ω/ω_p)² ≤

S_z(z, t)

0 -∞

≤ c, а при ω

≪ ω_p получаем v_E(ω)/c

≈

∫d

∫

≈ ω²/[ω2p ch²(k^′′(z - d))]. Эта скорость очень мала,

E(z, t^′)∂_t′ D_x(z, t^′)+μ₀H(z, t^′)∂_t′ H(z, t^′)

особенно в начале широкого барьера.

E(z, t)H(z, t)

Рассмотрим другой метод решения на осно-

0 -∞

ве обратного преобразования Фурье величины

× dt^′dz.

E(z, ω)T (ω). Она определяет прошедшее поле. Ве-

личина (22) определена относительно точки z = d, а

Как положено в нестационарной теории, это время

зависит от текущего времени.

спектр E(0, ω) есть спектр падающего импульса пе-

ред барьером. Поэтому следует добавить множитель

exp(-jk₀z) и рассматривать интеграл

3. НЕСТАЦИОНАРНОЕ КВАНТОВОЕ

ТУННЕЛИРОВАНИЕ

E_T (z, t) =

2π

Квантовое нестационарное туннелирование есть

∫∞

следствие решения уравнения УШ

× E(0, ω)T(ω)exp(jω(t - z/c)) dω.

(29)

[

]

-∞

iℏ∂_tψ(z, t) =

Ĥψ(z, t) =

+ V (z,t) ψ(z,t).

(30)

μ_e

Как видно, его ненулевое значение возникает, толь-

ко если t > z/c, т. е. при рассмотрении точки z = d

В уравнении (30) p = -iℏ∂_z — оператор импульса

в момент t = d/c. Действительно, E(0, ω) имеет по-

вдоль оси z, а μ_e = 2m_e. Трудность задачи состоит

люсы на действительной оси частот, а у величины

в том, что ВФ ψ(z, t) нелокальна и существует во

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

всем пространстве. Плотность вероятности обнару-

Обычно задача о туннелировании ставится в бес-

жить электрон |ψ(z, t)|² также является нелокаль-

конечной области. В релятивистской квантовой тео-

ной функцией, поэтому положение электрона нель-

рии рассеяния интересуются падающими и рассеян-

зя измерить в точке z = 0 в момент t₀ перед барье-

ными амплитудами при z = ±∞ в моменты t =

ром и затем в точке z = d в момент t₀ + τ: каж-

= ±∞, а временем взаимодействия обычно не ин-

дое такое измерение приводит к коллапсу волновой

тересуются. Для УШ, однако, ВП при t → ∞ рас-

функции и неопределенности импульса электрона,

плывается по бесконечной области. Нестационар-

т. е. опять к его делокализации. Если пакет почти од-

ное УШ — уравнение не релятивистски ковариант-

носкоростной (монохроматический), т. е. почти бес-

ное, поэтому ему могут соответствовать бесконеч-

конечно протяженный и намного шире барьера, то

ные скорости. Так, ВФ в виде ВП с фиксирован-

вопрос о моментах его прохождения тем более оста-

ной областью импульсов бесконечна в пространст-

ется открытым. Именно в этом случае обычно ис-

ве [19]. ФГ при появлении в некоторой области

пользуют метод стационарной фазы для коэффици-

плотности вероятности имеет отклик во всей бес-

ента прохождения

конечной области [57]. Соответственно можно ввес-

[

]-1

ти пропагаторную ФГ (функцию распространения)

√

ρ′′ - ρ′′-1

T = ch(k^′′d) - ish(k^′′d)

K₀(z, t) =

μ_e/(4iπℏt)exp(iz²μ_e/(4ℏ|t|)) свободного

поля ψ [57]. Даже если имеем пространственно-ог-

приводящий к времени Бома - Вигнера τ_BW = ℏ∂_E φ

раниченный в области a < z < b ВП ϕ(z) в момент

для фазы φ = arg(T ):

t₀ = 0, то в момент t > t₀ он становится неограни-

[

)]

)(

ченным:

(√

2 - V/E

φ = arctg th

μ_e(V - E)

√

ℏ

∫b

V/E - 1

ψ(z, t) = K₀(z - z^′, t)ϕ(z^′) dz^′.

Насыщение при большой ширине барьера дает

√

τ_BW = ℏ/

V E - E², что никак не отражает про-

цесс туннелирования. Измерение следует тракто-

Однако ограниченный в пространстве пакет не мо-

вать как введение в момент измерения дополнитель-

жет быть представлен как интеграл в конечной об-

ного потенциала в (30). Поэтому бессмысленно го-

ласти импульсов. Мы должны положить

ворить о времени нестационарного туннелирования

∞

∫

ВП. ВП всегда бесконечный, многоскоростной и дис-

ϕ(z) =

A(k₀) exp(-ik₀z) dk₀.

(31)

пергирующий, т. е. изменяющийся при движении да-

же без влияния потенциала. При набегании на ба-

−∞

рьер в нем возникают интерференционные макси-

В силу (31) такая «частица» может иметь бесконеч-

мумы до того, как главный максимум подошел к

ные импульсы и энергии, которые «фиксирует» ВФ

барьеру. ВП раздваивается и в нем возникают об-

(31) в области a ≤ z ≤ b, и при локализации частицы

ратные потоки плотности вероятности перед барье-

(a = b) имеем

ром и внутри него. Поэтому энергетическая ско-

рость v_E (z, t) = j(z, t)/|ψ(z, t)|² также не определяет

∫∞

скорость движения конкретной частицы. Здесь

|ϕ(z)|² = δ(z - a) =

cos(k₀(z - a))dk₀.

j(z, t) = iℏμ-1e [∂_z ψ^∗(z, t)ψ(z, t) - ψ^∗(z, t)∂_zψ(z, t)] .

Однако скорость в стационарном потоке опреде-

Такую частицу нельзя рассматривать как свобод-

лить можно. В односкоростном стационарном пото-

ную и набегающую на барьер. Локализация свобод-

ке она совпадает со скоростью набегающих частиц

ной частицы приводит к коллапсу ВФ и невозможна

даже внутри барьера, где для отрицательной энер-

при отсутствии внешних полей. Поэтому свободную

гии она должна быть мнимой, но при учете отра-

частицу следует описывать волновым пакетом с ко-

женного потока зависит от координаты. Если поток

нечной областью импульсов, который не ограничен

набегающих изнутри на барьер электронов (напри-

в пространстве. Чем более узкий спектр, тем более

мер, на границу катод-вакуум) задан и в момент

ВП соответствует плоской волне и тем более точно

t0 начинает меняться анодное напряжение, имеет

туннелирование будет соответствовать стационар-

смысл ставить вопрос о времени запаздывания изме-

ному случаю. Для нестационарного туннелирования

нения анодного тока, т. е. о времени туннелирования

частиц следует определить пропагаторную ФГ в об-

сквозь барьер.

ласти с потенциалом. Она удовлетворяет ИУ [57]

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

G(z, t|z^′, t^′) = K₀(z, t|z^′, t^′) - iℏ-1 ×

значений n из спектра [1]. Возьмем теперь пакет в

∫∫

виде

× K₀(z, t|z^′′, t^′′)V (z^′′, t^′′)×

∫

(

× G(z^′′, t^′′|z^′, t^′) dz^′′dt^′′,

(32)

iℏk²

ϕ(z, t) =

exp ik(z+z₀) -

μ_e

-Δk

при этом движение «частицы» описывается как

)

|z + z₀||k - k₀|

−

dk.

(35)

2ΔzΔk

∫^t

∫

∞

Он локализован вблизи точки z₀ и в пространстве

ψ(z, t) =

G(z, t|z^′, t^′)ψ(z^′, t^′) dz^′dt^′.

(33)

, но не удовлетворяет УШ сво-

импульсов вблизи ℏk₀

-∞ -∞

бодной частицы. При действии оператора Шредин-

гера

S = iℏ∂_t + ℏ²∂2z/μ_e на (35) возникает не нуль,

В силу действия потенциала энергия не сохраняется

а функция ϕ^′(z, t) = V (z, t)ϕ(z, t) в правой части,

во времени (система не консервативна). Пусть в на-

которую можно связать с неким потенциалом

чальный момент t₀ = 0 ВФ представляла собой ВП

ϕ(z, t), а потенциал до момента t₀ = 0 отсутствовал.

δ(z + z₀)ϕ₁(z, t) - ϕ₂(z, t)

V (z, t) = -

Такой пакет в точке -z₀ можно взять гауссовым,

μ_eΔzΔkϕ(z, t)

например

где

∫

(

)

ϕ(z, t) =

iℏk²t

ϕ₁(t) =

|k - k₀| exp

dk,

∫

(

)

μ_e

iℏk²

(k-k₀)²

-Δk

exp ik(z+z₀)-

dk.

(34)

μ_e

2Δk²

∫

k0-Δk

(k - k₀)²

ϕ₂(z, t) =

4ΔzΔk

Он удовлетворяет УШ при V ≡ 0 и имеет разброс

k0-Δk

(

)

по импульсам ±Δp = ±ℏΔk, плотность вероятности

iℏk²

|z + z₀||k - k₀|

× exp ik(z + z₀) -

dk.

для которых имеет максимум при k = k₀, а его спек-

μ_e

2ΔzΔk

тральная плотность Φ(k) = exp(-(k - k₀)²/(2Δk))

Можно считать, что локализация пакета эквива-

начинает меняться при включении потенциала со-

лентна дополнительному потенциалу воздействия

гласно уравнениям (32) и (33). При свободном дви-

(возникающему, например, при ионизации атома с

жении без потенциала она также расплывается в си-

образованием электрона). Пакет, локализованный в

лу многоскоростного движения (34). Это видно при

координатном и импульсном пространствах, запи-

разложении

сываем в виде

Δk

∫

(

ω(k) = ω(k₀) + ∂_kω(k₀)Δk + ∂2kω(k₀)

iℏk²

ϕ(z, t) =

exp ik(z + z₀) -

μ_e

k0-Δk

)

и подстановке в (34). Учитывая, что ∂_kω(k₀)

|z + z₀||k - k₀|

= v_g(k₀), ∂2kω(k₀) = ∂_kv_g(k₀), видим, что к расплы-

- α

dk.

(36)

2ΔzΔk

ванию пакета приводит дисперсия ГС. Поправка да-

ется на основе функции Эйри [1]. Здесь при Δk → 0

Множитель α отвечает за локализацию огибающей.

можно говорить о локализации в пространстве им-

При α = 0 имеем локализацию только за счет

пульсов (поскольку гауссов формфактор стремится

стационарности фазы. Пакет (36) движется с рас-

к δ(k-k₀)), а при Δk = ∞ пакет имеет бесконечные

плыванием в обе стороны и удовлетворяет неодно-

пределы и равномерную плотность распределения

родному УШ

Sϕ(z, t) = δ(z + z₀)ϕ₁(z, t) + ϕ₂(z, t).

по всем импульсам. Для описания широкого в им-

Функция ϕ₂(z, t) отличается от (36) множителем

пульсном пространстве (т. е. сильно локализованно-

ℏ²α²/(4Δz²Δk²μ_e) перед интегралом и множите-

го по координате) пакета одной ГС явно недостаточ-

лем (k - k₀)² под интегралом. Полагая α = 0, т. е.

но. Более точное описание основывают на несколь-

ϕ₂(z, t) = 0, видим, что ВФ (36) удовлетворяет УШ

ких ГС v_g(k_n) = ℏk_n/m_e, взятых для нескольких

с потенциалом V (z, t) = δ(z + z₀)ϕ₁(z, t)/ϕ(z, t), где

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

∫

(

)

Действуя на его левую и правую части оператором

2ℏ

|k - k₀|

ϕ₁(z, t) =

ik + α

S, видим, что ψ(z,t) удовлетворяет УШ (30).

μ_e

2ΔzΔk

k0-Δk

(

)

Итак, можно обеспечить довольно хорошую ло-

iℏk²

кализацию частицы в заданный момент с некоторым

× exp

t dk.

μ_e

разбросом импульсов вокруг среднего, когда взаи-

Здесь в момент t₀ в точке -z₀ имеет место макси-

модействие не включено, и посмотреть, как такая

мальная (но не полная) локализация, но это воз-

«частица» подойдет к области барьера. При дви-

можно только при потенциале, пропорциональном

жении ВП расплывается и расширяется на всю об-

дельта-функции. Наконец, пусть в момент t₀ в точ-

ласть, а также интерферирует с барьером уже до

ке -z₀ имеет место полная локализация частицы.

подхода главного максимума. Поэтому необходимо

Ее ВФ должна удовлетворять начальному условию

определить некую границу пакета, и при ее при-

ϕ(z, t₀) = δ(z - z0) и УШ при t > t0. Поэтому

ближении включить барьер. Использовать для это-

она совпадает с введенной выше пропагаторной ФГ:

го максимум не очень удобно, это не отражает по-

ϕ(z, t) = K₀(z - z₀, t - t₀). Как видно, небольшое

становку задачи. Возможно плавное и резкое вклю-

отклонение t = t₀ + Δt приведет к делокализации:

чение барьера. Затем следует использовать пропа-

функция отлична от нуля во всем пространстве при

гаторную ФГ G и формулу (33). Решение требует

любом Δt. Правда, на больших дистанциях отли-

вычисления сложных интегралов и может быть по-

чие экспоненциально мало. Со временем делокали-

лучено только численно. Часто используется диа-

зация увеличивается: пакет расплывается во все сто-

граммная техника и теория возмущений [57]. Заме-

роны. Теперь распространение такого пакета (и лю-

тим, что в работе Хартмана [15] потенциал считал-

бого другого) можно описать этой функцией распро-

ся стационарным, а пакеты вне барьера удовлетво-

странения вида

ряли УШ свободной частицы, что неверно. Макси-

мум движется со скоростью v_z = ℏk₀/m_e, но при

∫∞

его подходе к барьеру возникают отражения, интер-

ϕ(z, t) =

K₀(z - z^′, t - t^′)ϕ(z^′, t^′)dz^′.

ференция, и может возникнуть несколько максиму-

-∞

мов. Тем не менее, момент его подхода можно ин-

Здесь принципиальна нелокальность: движение из

терполировать по скорости. Зная время стационар-

точки z^′ в момент t^′ требует интегрирования по

ного туннелирования, можно определить примерное

всей бесконечной области координат. Часто исполь-

время прохода максимума к барьеру. Пропагаторная

зуют представление ВП с произвольной спектраль-

ФГ позволяет приближенно определить максимум

ной амплитудой A(k). В этом случае первое прибли-

на выходе спустя некоторое время. Это время долж-

жение теории дисперсии для узкого по k ВП дает

но быть больше, чем необходимо для прохода ба-

ВФ ψ(z, t) ≈

A(z, t, k₀) exp(ik₀(z +z₀)-ωt) с огибаю-

рьера со скоростью v_z . По положению максимума и

щей

A(z, t, k₀) = 2A(k₀) sinc((z + z₀) - tv_g(k₀)). Здесь

скорости v_z можно рассчитать и время туннелирова-

sinc(x) = sin(x)/x. Такая ВФ не локализована, хотя

ния. Следует, правда, отметить, что туннелирование

и имеет главный максимум в точке -z₀.

искажает спектральный состав выходного пакета:

В силу суперпозиции ВФ при t > t₀ следует ис-

для больших k прохождение (прозрачность) обычно

кать как сумму решения УШ при V = 0

выше. За выходной спектр ответственна функция

∫∞

T (ω). Определение потока, спектра и всех связан-

ных с ними величин имеет смысл только по области

ψ₀(z, t) =

K₀(z - z^′, t)ϕ(z^′)dz^′

за барьером, где поток однонаправленный. Приве-

-∞

денная схема, наверное, наиболее естественна для

и решения, обусловленного включением взаимодей-

введения скорости и времени нестационарного тун-

ствия:

нелирования. По-видимому, результат будет близок

к результату среднего времени и скорости в стацио-

ψ_V (z, t) =

нарной задаче.

∫t

∫

∞

Рассмотрим введение энергетической скорости

= -iℏ

G₀(z, z^′, t - t^′)V (z^′, t^′)ψ(z^′, t^′)dz^′dt^′.

v_E . Решив ИУ (19), определяем

0 -∞

В результате получаем ИУ для ВФ:

ψ(z, t) = ψ₀(z, t) + ψ_V (z, t).

(37)

j(z, t) =

[∂_zψ^∗(z, t)ψ(z, t) - ψ^∗(z, t)∂_zψ(z, t)] ,

iℏμ_e

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

j(z, t)

Пусть в момент t₀ = 0 на время τ включается пе-

v_E(z, t) =

|ψ(z, t)|²

ременный потенциал U(z, t). Задачу нельзя решать

раздельно, т. е. порознь удовлетворяя УШ в трех об-

Эта скорость (как и положено в нестационарном

ластях и сшивая решение (в этом была одна из оши-

случае) зависит от координаты и времени и может

бок Хартмана). Как можно показать, такое решение

быть определена в любой области, включая барьер.

в области барьера в виде

Ее можно усреднить по области барьера: v_E (t), и то-

]

гда она зависит только от времени. Целесообразно

(

)[

∑

iEt

определить время туннелирования как

ψ(z, t) = exp

ψ(z)+ a_n(t) cos(nπz/d)

ℏ

n=0

∫d

позволяет получить дифференциальные уравнения

τ (t) =

v_e(z, t)

для a_n(t) и их решения, но приводит к противо-

речию при сшивании ВФ. Будем искать решение

Это время есть функция времени, и оно же опреде-

в виде суперпозиции во всей области: ψ(z, t)

ляет время пребывания (dwell time). Следует искать

= exp(-iEt/ℏ)ψ(z)+Δψ(z, t), что в силу линейности

момент времени t_min, когда время туннелирования

дает

минимально. Можно говорить о некоторой средней

(

)

iEt

скорости 〈v_E 〉 и о среднем времени туннелирования

ψ(z, t) = exp

ψ(z) +

ℏ

τ = d/〈v_E〉, если усреднить v_E(t) около этого момен-

∫

та:

∫

K₀(z - z^′, t - t^′)U(z^′, t^′)ψ(z^′, t^′)dz^′dt^′.

(38)

〈v_E 〉 =

v_E(t)dt.

0 0

τ_min

tmin-τmin/2

Это ИУ упрощается для постоянного прямоуголь-

Из-за переотражений от границ ВФ внутри не исче-

ного скачка потенциала U(z, t) = U₀. В бесконечной

зает резко со временем, и неограниченные пределы

области удобно использовать метод возмущений, ко-

интегрирования могут искажать время туннелиро-

торой можно трактовать как многократное рассея-

вания. При прохождении конечного ВП ЭМВ через

ние на потенциале U₀. В случае однократного рас-

пластину из-за бесконечных переотражений возни-

сеяния при t > τ

кают бесконечные хвосты у прошедшего и отражен-

(

)

iEt

U₀

ного импульсов, а в области пластины — затухаю-

ψ(z, t) = exp

ψ(z) - i

ℏ

щие колебания.

∫

(

)

iE(t-t^′)

K₀(z-z^′, t-t^′)exp

ψ(z-z^′) dz^′dt^′.

ℏ

4. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЙ ПОДХОД К

0 0

КВАНТОВОМУ ТУННЕЛИРОВАНИЮ

Этот интеграл можно вычислить численно и оце-

Пусть до момента t₀ = 0 имелся стационарный

нить изменение величины |ψ(d, t)|² по сравнению

прямоугольный барьер V (z) = V₀ > E, падающий

с |T |2. Если предположить, что временная зави-

поток электронов с энергией E и единичной плот-

симость включения потенциала имеет вид дельта-

ностью |ψ⁺(z)|² = 1, были известны коэффициенты

функции δ(t), то

отражения R(E) и прохождения T(E), а также вол-

(

)

(

)

iEt

новая функция ψ(z) = A⁺ exp(-k^′′z) + A^- exp(k^′′z)

ψ(z, t) = exp

ψ(z) - iℏU₀ exp

в области 0 ≤ z ≤ d, слева ψ(z) = exp(ikz) +

ℏ

+ Rexp(-ikz) и справа ψ(z) = T exp(ik₀(z - d)) от

∫

барьера. В нее входят следующие величины:

× K₀(z - z^′, t)ψ(z^′)dz^′.

T (1 ∓ iκ) exp(±k^′′d)

A^± =

T = |T|exp(iφ),

Для широкого барьера

√

|T |

μ_e(V - E)

ψ(z) ≈

exp(iφ)(1 - iκ) exp (-k^′′(z - d)) .

k^′′ =

κ=ρ^′′ =

ℏ²

V -E

√

Теперь следует вычислить интеграл. Оценим его по

μ_eE

теореме о среднем в точке z^′ = d/2. Имеем

ℏ

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

(

)

iEt

Здесь мы воспользовались малостью Δk, поло-

ψ(d, t) = |T | exp

+ iφ

ℏ

жив sin(2Δktv)

≈ 2Δktv - 8(Δktv)³/3 + . . ., од-

[

idℏ-1U₀(1 - iκ)

⁽k^′′d⁾

нако интеграл можно вычислить через интеграль-

× 1-

exp

ную показательную функцию. В результате I0 =

√

(

)]

= d(1 - exp(-2iτE/ℏ))/(2iE/ℏ). Интеграл I₁ вычис-

μ_e

d²μ_e

exp i

ляется элементарно, как и следующие поправки, но

4iπℏt

16ℏt

мы оставим только I₀. В результате получаем

√

[

(

)]

Этот результат показывает мгновенное изменение

μ_e

2iEτ

волновой функции. Однако он никак не отража-

ψ(z, τ) = ψ₀(z, τ)-d(V₀/E)

1- exp

4iπℏ

ℏ

ет время туннелирования. Потенциал мгновенно

воздействует на волну де Бройля внутри барье-

Добавка к ВФ не зависит от z, поэтому максимум

ра и вне его. Как видно, при больших време-

остается в точке d, но становится более размазан-

нах волновая функция изменилась. Это измене-

ным. Строгое рассмотрение требует решения ИУ

ние связано с воздействием потенциала, изменя-

(38), однако и в этом случае скорость движения мак-

ющего энергию системы. Наконец, возьмем бес-

симума должна иметь такой же порядок.

конечно узкий ВП по спектру Δk

→ 0 в сво-

бодном от потенциала пространстве: ψ₀(z, t)

= sinc(Δk(z - tv))exp(ik₀z - iEt/ℏ). Здесь v

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

√μ_eE — скорость набегающей частицы. В момент

t = 0 в точке z = 0 имеется максимум |ψ(z,t)|² = 1,

Постановка задач о скоростях и временах тун-

нелирования или прохождения каких-то областей

поэтому включив в этот момент на время τ прямо-

должна основываться на правильных определени-

угольный барьерный потенциал V₀, можно посмот-

ях. Стационарное туннелирование фотонов — это

реть, где окажется максимум, например, в момент

многофотонный процесс: имеется падающий поток

τ = d/v. Имеем

с плотностью фотонов одной частоты. В области

√

барьера или слоя распространяются квазифотоны

μ_e

ψ(z, τ) = ψ₀(z, τ) - iℏ-1V0

(поляритоны), с другой фазовой скоростью, кото-

4iπℏ

рая может превышать c, но скорость переноса ими

∫τ

∫

энергии всегда меньше c. Для определения скоро-

sin(Δk[(z - z^′) - (τ - t)v])

стей важны спектральные свойства линейной сре-

Δk[(z - z^′) - (τ - t)v]

0 0

ды, ε(r, ω) и μ(r, ω), которая в общем случае мо-

× exp(iϕ(z, z^′, t, τ)) dz^′dt.

(39)

жет быть неоднородной анизотропной (даже биа-

низотропной), а также правильные выражения для

Фаза ϕ в (39) равна

плотности энергии. Спектральные свойства обеспе-

чивают принцип причинности. Параметры рассея-

(z - z^′)²μ_e

E(τ - t)

ния для неоднородного барьера или слоя получают-

ϕ(z, z^′, t, τ) =

+ k₀(z - z^′)-

ся как решение ИУ или путем интегрирования вол-

4ℏ(τ - t)

ℏ

нового дифференциального уравнения типа Гельм-

Здесь мы опять использовали первое приближе-

гольца [58-60]. Для нестационарного туннелирова-

ние теории возмущений. Интеграл является быстро

ния следует рассматривать движение ВП, который

осциллирующей функцией. Уже по структуре ВФ

не является локальным. Здесь важен его спектр.

(39) видно, что при очень малом V₀ максимум бу-

Для ЭМВ ВП может иметь резкий фронт с раз-

дет определять член ψ₀(z, τ), т. е. точка максиму-

рывом, идущим со скоростью света, при этом вся

ма z₀ = d. При этом возможны любые соотноше-

остальная его часть в веществе движется медленнее

ния между V₀ и E. Применим к вычислению ин-

c. Цуг ЭМВ с конечной энергией принципиально не

теграла в (39) метод стационарной фазы. Имеем

локализован. Однако и в этом случае движение ос-

∂_z′ ϕ(z, z^′, t, τ) = 0, или z^′s(t) = z + 2ℏ(τ - t)k₀/μ_e.

новной его части не может быть сверхсветовым. Ко-

В результате двойной интеграл сводится к одномер-

нечный цуг не является однофотонным, а после вза-

ному:

имодействия почти однофотонный цуг уже не явля-

ется тем исходным (падающим) «фотоном». Поэто-

(

)

∫

му вызывает сомнение сверхсветовое детектирова-

sin(2Δktv)

2itE

exp

dt = I₀ - I₁ + . . .

ние такого «фотона» в ряде экспериментов, тем бо-

2Δkv

ℏ

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

лее с использованием интерферометров. Также вы-

уравнений. Для произвольного барьера не очевид-

зывают сомнения публикации типа [61] по сверх-

но, что имеет место один максимум |ψ(z, t)|² в обла-

световому распространению СВЧ через суженные

сти 0 < z < d. Определение времен стационарного

участки волноводов или света через зазор в двойных

туннелирования на основе комплексного коэффици-

призмах с НПВО. Картина распространения неста-

ента T (ω) бессмысленно, так же как и для квази-

ционарных волн в волноводе похожа на движение

стационарного односкоростного (длинного) пакета.

волн в канале с жидкостью, только она трехмерная

Чем больше длина пакета, тем точнее он соответ-

(см. [62]). Сужение канала приведет к отражению,

ствует частице, но когда длина существенно пре-

прохождению малой части быстрых волн с той же

вышает d, говорить о каких-то временах нереаль-

скоростью, а время прохождения основной медлен-

но. В этом и проявляется корпускулярно-волновой

ной части импульса только увеличится. Для спек-

дуализм. Фазу T (ω) для простоты определяют от-

тральной задачи можно получить ИУ и функцио-

носительно конца слоя, т. е. с точностью до kd от-

налы для R(ω) и T (ω). Задав приближенно поле на

носительно начала, что дает множитель exp(-jkd).

сужении, легко найти их явный вид. Проведя преоб-

В прозрачной среде он вносит вклад в задержку

разование Фурье, получим прошедший и отражен-

= d√ε/c. В непрозрачной среде коэффициент

ный ВП. Приближенное решение не меняет полюсы

распространения превращается в коэффициент за-

коэффициента прохождения T (ω), которые лежат в

тухания, и этой задержки как бы нет, но ее на-

верхней полуплоскости. Это означает, что сигнал не

до вводить. Однако такая постановка задачи некор-

может появиться раньше времени прохождения уз-

ректна. Имеет смысл скорость стационарного тун-

кого участка со скоростью света. Дисперсия не мо-

нелирования частиц в потоке, которая не являет-

жет быть без диссипации, которая (как и отраже-

ся сверхсветовой. Ее следует определять в энерге-

ния) меняет спектральный состав цуга и приводит к

тической трактовке через поток вероятности и его

его расплыванию. Детектирование ВП требует опре-

плотность. Соответственно для нее можно ввести

деления его огибающей на основе аналитического

время, которое нельзя привязать к туннелирова-

сигнала. Время прихода переднего фронта следу-

нию отдельной частицы. Бессмысленно применять

ет определять как время максимума производной

и метод стационарной фазы к выходной амплиту-

огибающей (максимальной крутизны фронта). Тун-

де ВП. Во-первых, ее надо сначала найти как ре-

нелирование есть интерференция процессов много-

шение ИУ или ИДУ. Как нам известно, ни в од-

кратных отражений и прохождений слоя или барье-

ной работе, рассматривающей времена туннелиро-

ра с досветовой скоростью, что не может приводить

вания, этого сделано не было. Ошибка Хартмана в

к результирующим сверхсветовым скоростям.

том, что единую волновую функцию, являющуюся

ВФ электрона и другой частицы, описываемой

решением нестационарного УШ, он разделил на три

нестационарным УШ, не локализована в коорди-

подобно тому, как это делается в методе сшивания

натном и в импульсном пространствах, а также и

при решении стационарного УШ. Вторая его ошиб-

во времени. Строго определить скорость движения

ка — использование метода стационарной фазы. Во-

и время туннелирования отдельной частицы нель-

вторых, следует определить, какую же скорость мы

зя. Ее описание ВП является приближенным в том

ищем. Принципиально пакет ψ(z, t) расплывающий-

смысле, что ни координата, ни импульс точно не за-

ся и многоскоростной. Можно искать скорость мак-

даны. Пакет начинает сильно интерферировать с об-

симума, а можно, например, усредненную энергети-

разованием нескольких максимумов уже при подхо-

ческую скорость v(t) = 〈ψ|v_E (z, t)|ψ〉/〈ψ/ψ〉. Ско-

де к барьеру и разделяется на два пакета, идущих

рость v_E (z, t), естественно, следует определять че-

с расплыванием в разные стороны после «туннели-

рез поток j(z, t) и его плотность |ψ(z, t)|². Она опре-

рования». Туннелирует не частица, а ВП и плот-

деляет скорость плотности вероятности. Посколь-

ность вероятности, что означает возможность на-

ку справа от барьера поток идет вправо, там для

хождения частиц при серии одинаковых экспери-

усреднения следует использовать правую от барье-

ментов в состояниях z = ±∞ в отношении |T/R|².

ра область (d, ∞), иначе на скорость будет влиять

Возможно определение скоростей максимумов отра-

отраженная от барьера часть ВФ и волны внутри

женного и прошедшего пакетов вдали от барьера,

барьера. Определяя спектр Φ(k, t) части ВФ за ба-

или максимума производной их огибающей в некой

рьером, можно усреднять по спектру спектральную

точке конфигурационной плоскости (z, t), что нель-

энергетическую скорость, т. е. брать средневзвешен-

зя сделать аналитически. Необходимо численное мо-

ную энергетическую скорость многоимпульсного по-

делирование, в том числе и на основе приведенных

тока. Этот спектр мгновенный, т. е. зависящий от

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

О временах и скоростях нестационарного квантового. ..

времени. Если исходная ВФ имеет бесконечный по-

рименты для диафрагмированных отрезков волно-

логий возрастающий передний фронт, то основная

водов (в том числе и с запредельными секциями),

часть импульса в точке z = d появится спустя неко-

запитываемых импульсными сигналами, и опроверг-

торое время. Собственно в этой точке и надо опре-

нуть результаты работ типа [61] о сверхсветовом

делять функцию ψ(d, t), которую следует раскла-

туннелировании.

дывать в мгновенный спектр Φ(k, t). Соответствен-

но скорость будет определяться в этой точке. Полу-

ченную волновую функцию с помощью пропагатор-

ЛИТЕРАТУРА

ной ФГ можно переместить в другую точку (z, t) и

Л. А. Вайнштейн, УФН 118, 339 (1976).

определить скорость в ней. Во всяком случае, неста-

ционарная теория должна давать величины, зави-

Л. А. Вайнштейн, Д. Е. Вакман, Разделение час-

сящие от координат и времени. Поэтому постанов-

тот в теории колебаний и волн, Наука, Москва

ка вопроса о времени туннелирования пакета в це-

(1983).

лом бессмысленна: это время в каждой точке зави-

Ю. Кениг, Х. Шеллер, Г. Шен, УФН 168, 170

сит от текущего времени. То же самое можно де-

(1998).

лать и для определения скорости внутри барьера.

А. А. Абрикосов, УФН 168, 683 (1998).

Спектральную энергетическую скорость ЭМВ удоб-

но усреднять по спектру W (ω) [27]. Однако есть

В. Н. Мурзин, Ю. А. Митягин, УФН 169, 464

простая формула: v_e(z, t) = Z₀E²(z, t)/W (z, t). Надо

(1999).

только решить ИДУ для E(z, t) и знать, как найти

Е. С. Солдатов, А. С. Трифонов, В. В. Ха-

плотность энергии W (z, t) (см. [51-54]). Это пробле-

нин, С. П. Губин, С. А. Яковенко, Г. Б. Хому-

ма непростая, поскольку из теоремы Пойнтинга из-

тов, УФН 166, 903 (1996).

вестна только величина ∂_tW (z, t), и в общем случае

определение W (z, t) требует интегрирования с уче-

П. И. Арсеев, В. Н. Манцевич, Н. С. Маслова,

В. И. Панов, УФН 187, 1147 (2017).

том всей предыстории процесса.

В электронике СВЧ известны приборы — ЛБВ

М. В. Давидович, Р. К. Яфаров, ЖТФ 89, 1282

(лампы бегущей волны), работающие в импульсном

(2019).

режиме как в областях прозрачности, так и за их

М. Я. Азбель, УФН 168, 613 (1998).

пределами. Во всех случаях сигнал появляется на

выходе спустя некоторое время τ ∼ l/v < l/c, где

10.

А. Б. Шварцбург, Н. С. Ерохин, УФН 181, 1212

l — длина прибора, относительно сигнала на входе.

(2011).

Работа за пределами полосы прозрачности, по сути,

11.

A. M. Steinberg, P. G. Kwiat, and R. Y. Chiao, Phys.

является туннелированием волны, которую усили-

Rev. Lett. 71, 708 (1993).

вает электронный поток. И только когда туннель-

12.

R. Y. Chiao, P. G. Kwiat, and A. M. Steinberg, arXiv:

ное затухание становится больше усиления, прибор

quant-ph/9501016v1 (1995).

прекращает работу. Недавно исследованы переход-

ные процессы в резонансно-туннельных диодах, не

13.

A. M. Steinberg, Phys. Rev. A 52, 32 (1995).

показывающие сверхсветовых движений. В технике

14.

F. T. Smith, Phys. Rev. 118, 1349 (1960).

СВЧ известны волноводные фильтры на запредель-

ных участках волновода с включением диэлектриче-

15.

T. E. Hartman, J. Appl. Phys. 33, 3427 (1962).

ских резонаторов. Такие резонаторы, представляю-

16.

J. R. Fletcher, J. Phys. 18, L55 (1985).

щие собой отрезки запредельного волновода, запол-

ненные диэлектриком, поддерживают распростра-

17.

M. Buttiker and R. Landauer, Phys. Rev. Lett. 49,

нение, тогда как в областях между ними идет тун-

1739 (1982).

нелирование. Известны гиперболические метамате-

18.

M. Jonson, in Quantum Transport in Semiconductors,

риалы — периодические структуры, в частности, со-

ed. by D. K. Ferry and C. Jacoboni, Physics of

стоящие из слоев металла и диэлектрика. Во всех та-

Solids and Liquids, Springer, Boston, MA (1992),

ких структурах экспериментально не наблюдалось

p. 193-238.

сверхсветовое распространение. Моделирование на

19.

Л. А. Халфин, УФН 166, 688 (1996).

основе стандартных пакетов программ для них тоже

не дает таких движений. Принципиально не состав-

20.

E. H. Hauge and J. A. Støvneng, Rev. Mod. Phys.

ляет особого труда поставить весьма точные экспе-

61, 917 (1989).

М. В. Давидович

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

21.

V. S. Olkhovsky and E. Recami, Phys. Rep. 214, 339

44.

М. В. Давидович, ЖТФ 82(3) 15 (2012).

(1992); arXiv:cond-mat/9802162 (1998).

45.

Я. И. Хургин, В. П. Яковлев, Финитные функции

22.

C. A. A. de Carvalho and H. M. Nussenzveig, Phys.

в физике и технике, Наука, Москва (1971).

Rep. 364, 83 (2002).

46.

Я. И. Хургин, В. П. Яковлев, Методы теории це-

23.

H. Winful, Phys. Rev. Lett. 91, 260401 (2003).

лых функций в радиофизике, теории связи и оп-

тике, Физматгиз, Москва (1962).

24.

H. G. Winful, Phys. Rep. 436, 1 (2006).

47.

А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рас-

25.

H. G. Winful, New J. Phys. 8, 1 (2006).

сеяние, реакции и распады в нерелятивистской

квантовой механике, Наука, Москва (1971).

26.

А. Б. Шварцбург, УФН 177, 43 (2007).

27.

М. В. Давидович, УФН 179, 443 (2009).

48.

A. Alù, M. G. Silveirinha, A. Salandrino, and N. En-

gheta, Phys. Rev. 75, 155410 (2007).

28.

В. С. Ольховский, УФН 181, 859 (2011).

49.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-

29.

E. E. Kolomeitsev and D. N. Voskresensky, J. Phys.

зика, т. 8, Электродинамика сплошных сред, Нау-

G: Nucl. Part. Phys. 40, 113101 (2013).

ка, Москва (1982).

30.

В. С. Ольховский, УФН 184, 1255 (2014).

50.

Л. Фелсен, Н. Маркувиц, Излучение и рассеяние

волн, Мир, Москва (1978).

31.

M. Büttiker, in Electronic Properties of Multilayers

and Low Dimensional Semiconductor Structures, ed.

51.

М. В. Давидович, Законы сохранения и плотнос-

by J. M. Chamberlain, L. Eaves, and J. C. Portal,

ти энергии и импульса электромагнитного поля

Plenum Press, New York (1990), p. 297-315.

в диспергирующей среде, Изд-во Сарат. унив., Са-

ратов (2012).

32.

N. Yamada, Phys. Rev. Lett. 93, 170401 (2004).

52.

М. В. Давидович, Письма в ЖТФ 32(22), 53

33.

Y. Ban, E. Ya. Sherman, J. G. Muga, and M. Bütti-

(2006).

ker, Phys. Rev. A 82, 062121 (2010).

53.

М. В. Давидович, ЖТФ 80(5), 40 (2010).

34.

P. Hraskó, Found. Phys. 33, 1009 (2003).

54.

М. В. Давидович, УФН 180, 623 (2010).

35.

N. Yamada, Phys. Rev. Lett. 83, 3350 (1999).

55.

С. М. Рытов, ЖЭТФ 17, 930 (1947).

36.

J. G. Muga and C. R. Leavens, Phys. Rep. 338, 353

(2000).

56.

М. В. Давидович, КЭ 47, 567 (2017).

37.

L. A. MacColl, Phys. Rev. 40, 621 (1932).

57.

В. Н. Грибов, Квантовая электродинамика, НИЦ

«Регулярная и хаотическая динамика», Моск-

38.

M. W. Mitchell and R. Y. Chiao, Amer. J. Phys.

66, 14 (1998).

ва-Ижевск (2001).

39.

N. Borjemscaia, S. V. Polyakov, P. D. Lett, and

58.

М. В. Давидович, Радиотехн. и электрон. 55, 492

A. Migdall, Opt. Express 18, 2279 (2010).

(2010).

40.

J. G. Muga and J. P. Palao, Ann. Physik (Leipzig) 7,

59.

М. В. Давидович, Радиотехн. и электрон. 55, 105

671 (1998).

(2010).

41.

J. G. Muga, I. L. Egusquiza, J. A. Damborenea, and

60.

М. В. Давидович, Ю. В. Стефюк, Изв. вузов. ПНД

F. Delgado, Phys. Rev. A 66, 042115 (2002).

18(3), 160 (2010).

42.

X. Chen and C.-F. Li, J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 11,

61.

A. Enders and G. Nimtz, Phys. Rev. B 47, 9605

085004 (2009).

(1993).

43.

A. Dogariu, A. Kuzmich, and L. H. Wang, Phys. Rev.

62.

М. В. Давидович, Радиотехн. и электрон. 46, 1285

A 63, 053806 (2001).

(2001).