ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 1, стр. 74-81

НЕРЕЗОНАНСНЫЕ ПРОЦЕССЫ КАК ОСНОВА

ФОРМИРОВАНИЯ НОВЫХ КАНАЛОВ РЕЛАКСАЦИИ

В ТЕОРИИ КВАНТОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А. И. Трубилкоa*, А. М. Башаровb,c**

^a Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

196105, Санкт-Петербург, Россия

^b Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^c Московский физико-технический институт (технический университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 17 июля 2019 г.,

после переработки 5 августа 2019 г.

Принята к публикации 8 августа 2019 г.

Представлены механизмы накачки и распада «изолированного» осциллятора, который может только

нерезонансным образом взаимодействовать с соседним осциллятором другой частоты. Показано, что ес-

ли указанный соседний осциллятор связан с широкополосным термостатным полем, то изолированный

осциллятор начинает взаимодействовать с этим термостатным полем. В результате возникает новый

канал релаксации, обусловленный квантовой интерференцией взаимодействующих систем, которую за-

труднительно или невозможно обосновать в рамках традиционных подходов.

DOI: 10.31857/S0044451020010083

да с уже заданными операторами Линдблада. На их

основе рассматривают как атомные системы, взаи-

модействующие с электромагнитными полями раз-

1. ВВЕДЕНИЕ

личной природы [6-9], так и фотонные системы,

состоящие из фотонов резонаторных мод, взаимо-

Квантовые осцилляторы моделируют фотонные

действующих с другими резонаторными система-

системы в микрорезонаторах, которые на зеркалах

ми, с внутрирезонаторными и граничными атомами

могут быть связаны друг с другом или с полями

[10-13]. Часто в исходных уравнениях, в которых ка-

накачки и вакуумного (термостатного) окружения.

налы релаксации уже зафиксированы соответству-

Взаимодействие с термостатными полями окруже-

ющими слагаемыми и операторами Линдблада, де-

ния приводит к затуханию квантовых осциллято-

лают те или иные приближения, включая диспер-

ров. Эффективные исследования затухающих кван-

сионные пределы, когда результаты получаются пу-

товых систем стали возможны во многом благода-

тем предельного перехода по отстройке от резонанса

ря введению в математический аппарат нелинейной

из рассматриваемого резонансного взаимодействия

и квантовой оптики понятия кинетического уравне-

[14-17]. Работы [6-17] приведены лишь в качестве

ния (master equation) [1-3]. В работах [4,5] установ-

примеров недавних исследований — реальный мас-

лен общий вид кинетического уравнения, который

штаб исследований, стартующих с заданных кинети-

сейчас принято называть формой Линдблада кине-

ческих уравнений в форме Линдблада, значительно

тического уравнения. Многие работы последних лет

больше.

по анализу динамики открытых квантовых систем

Обоснованный подход к формулировке основных

начинаются с формулировки (в качестве исходных)

уравнений для исследования динамики открытых

именно кинетических уравнений в форме Линдбла-

квантовых систем состоит в выводе кинетического

^* E-mail: trubilko.andrey@gmail.com

уравнения из общего исходного гамильтониана от-

^** E-mail: basharov@gmail.com

крытой системы и ее окружения. В оптике такой

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Нерезонансные процессы как основа формирования новых каналов. ..

гамильтониан содержит как быстро меняющиеся во

времени слагаемые, так и медленно меняющиеся. И

(

)

поэтому, прежде чем как-то оперировать с таким

гамильтонианом, необходимо избавиться от быстро

меняющихся во времени слагаемых. Быстрая и мед-

(

)

ленная зависимость слагаемых исходного гамильто-

ниана отчетливо видны при записи гамильтонианов

основных моделей квантовой оптики в представле-

Нерезонансная связь

осцилляторов на границе

нии взаимодействия [18-20]. Слагаемые, быстро ме-

Шкала частот

няющиеся во времени в представлении взаимодей-

термостатных бозонов

ствия, принято называть антивращающими слагае-

мыми. Было подмечено, что успех подхода на основе

Осцилляторы ωc и ωr представлены как моды двух нерезо-

нансно связанных резонаторов. В результате преобразова-

кинетических уравнений в форме Линдблада в опти-

ния исходного гамильтониана системы методами алгебра-

ческих задачах основан на пренебрежении антивра-

ической теории возмущений полученный эффективный га-

щающими слагаемыми [21]. Но такое пренебрежение

мильтониан отвечает взаимодействию резонаторных мод

возможно лишь в резонансных процессах, и то не

с различными областями спектра термостатных бозонов,

всегда [22, 23]. Так что учет антивращающих слага-

центральные частоты которых совпадают с частотами ωc

емых при выводе кинетического уравнения для ре-

и ωr

зонансных, квазирезонансных и нерезонансных про-

цессов до сих пор является актуальной задачей.

Метод учета антивращающих слагаемых при вы-

частота которой равна частоте ω_c, т. е. резонансна

воде кинетических уравнений открытых оптических

частоте осциллятора ω_c. Осциллятор ω_r, не связан-

квантовых систем разработан в работах [22, 23] на

ный с термостатом, начинает взаимодействовать с

основе квантовых стохастических уравнений в пред-

тем же термостатом, что и осциллятор ω_c, только с

ставлении алгебраической теории возмущений. В

термостатными бозонами, чьи частоты лежат в дру-

работе [24] этот метод применен к системе резонанс-

гой области спектра, а именно ω_r. Это наглядно ил-

но взаимодействующих осцилляторов.

люстрирует рисунок.

В данной работе метод [22-24] применен к дру-

Важно подчеркнуть, что из кинетического урав-

гой простейшей задаче о двух нерезонансно свя-

нения с уже заданными релаксационными опера-

занных квантовых осцилляторах. Часто такой свя-

торами в форме Линдблада в силу пренебрежения

зью пренебрегают, полагая, что осцилляторы мож-

антивращающими слагаемыми следует, что все ос-

но считать изолированными друг от друга. В на-

цилляторы должны взаимодействовать лишь с об-

стоящей работе показано, что нерезонансная связь

ластью спектра термостатных бозонов с централь-

обеспечивает как накачку осциллятора, так и его

ной частотой ω_c. Но в реальности термостатные по-

распад за счет каналов накачки и релаксации ос-

ля можно моделировать высокоинтенсивными шу-

циллятора, нерезонансной связью с которым обыч-

мовыми источниками, частоты которых разбросаны

но пренебрегают. Показано, что у осциллятора, на-

вблизи определенных центральных частот, и поэто-

прямую невзаимодействующего с термостатом, в от-

му могут совсем не перекрываться. Такие шумовые

сутствие каких-либо резонансных взаимодействий с

источники могут характеризоваться разными пара-

окружением формируется свой канал релаксации.

метрами, например, плотностью числа фотонов на

При этом отчетливо видна некорректность описа-

единицу длины частотного спектра. Это означает,

ния такого канала релаксации методами рассмотре-

что дисперсионный предел в принципе не способен

ния дисперсионных пределов [14-17]. Например, ес-

такие процессы описывать.

ли имеется два квантовых осциллятора существенно

Случай «чисто» фотонных (бозонных) систем с

разных частот ω_c = ω_r, причем осциллятор ω_r яв-

точки зрения кинетических уравнений особый. С од-

ляется «практически изолированным» и лишь нере-

ной стороны, развиты методы для точного решения

зонансно взаимодействует с осциллятором ω_c, то

многочастичных и многомодовых бозонных задач

это нерезонансное взаимодействие формирует пря-

[25-28], которые тем не менее нуждаются в числен-

мой канал релаксации осциллятора ω_r, если осцил-

ном моделировании. Это так называемый глобаль-

лятор ω_c взаимодействует с термостатным полем.

ный подход в термодинамических задачах [25-28].

При этом осциллятор ω_c взаимодействует со своей

С другой стороны, резонансное приближение для

областью спектра термостатного поля, центральная

взаимодействующих мод в интерпретации работы

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

[25] приводит к результатам, противоречащим прин-

между собой осцилляторов, например двух осцил-

ципам термодинамики: «возможна» передача энер-

ляторов ω_c и ω_r, описывается гамильтонианом [30]

гии от холодного окружения к горячему [25] и невер-

H_c +H_r +Vc-r, где общий вид оператора взаимодей-

ное стационарное состояние сильно связанных кван-

ствия Vc-r определяется параметром взаимодейст-

товых систем [29]). Последнее впервые было от-

вия (константой связи) g:

мечено еще в работе [30] на основе введения фе-

Vc-r = g(c + c^†)(r + r^†),

номенологического релаксационного оператора для

резонансно взаимодействующих фотонных систем.

где пары операторов уничтожения и рождения r,

Именно поэтому в условиях нерезонансного (диспер-

r^† и c, c^† фотонов ω_r и ω_c удовлетворяют обыч-

сионного) взаимодействия фотонных мод, несомнен-

ным бозевским коммутационным соотношениям, и

но, важным является вывод кинетического управля-

при этом операторы каждой пары коммутируют с

ющего уравнения открытой системы из общих прин-

операторами другой пары.

ципов и общего начального гамильтониана.

Задача о динамике двух взаимодействующих ос-

В данной статье на примере двух нерезонанс-

цилляторов решена в общем виде еще в работе [31].

но взаимодействующих осцилляторов учтены ан-

Там же проанализированы нестыковки с прибли-

тивращающие слагаемые их оператора взаимодей-

женным методом, когда пренебрегаются антивраща-

ствия и показан механизм формирования так на-

ющими слагаемыми. Отсюда следует вывод: прене-

зываемых интерференционных [23] взаимодействий

брежение антивращающими слагаемыми возможно

при включении взаимодействия одного из осцилля-

только в случае резонансного взаимодействия. При

торов с термостатным полем. Описан канал релакса-

этом точные результаты выглядели уже достаточно

ции с термостатом осциллятора, напрямую с ним не

громоздко и при дополнительном учете взаимодей-

связанным. Наконец, получено кинетическое урав-

ствия одного из осцилляторов с бозонами термостат-

нение, которое учитывает все антивращающие сла-

ного поля они становятся непрозрачными, допуска-

гаемые и не противоречит принципам термодинами-

ющими дальнейшее применение только при исполь-

ки, о чем свидетельствует его стандартная форма

зовании численного счета [26-28].

Линдблада, в терминах которой представлены два

Между тем рассмотрение многомодового поля в

релаксационных оператора для изначально задан-

качестве термостата предполагает применение мар-

ного и нового каналов релаксации. В отличие от ра-

ковского приближения [21], так что точные резуль-

боты [24] имеет место нерезонансный характер вза-

таты здесь, вообще говоря, и не нужны. Необходи-

имодействия рассматриваемой пары осцилляторов,

ма наглядность вычислений для анализа возмож-

поэтому соответствующий эффективный гамильто-

ных физических следствий взаимодействия одного

ниан выведен. Однако дальнейшее использование

из осцилляторов с термостатными бозонами, кото-

аппарата квантовых стохастических дифференци-

рые в точном подходе можно и не увидеть, и на дан-

альных уравнений аналогично работам [22-24] и мы

ный момент такие результаты для рассматриваемой

приводим лишь окончательные кинетические урав-

ниже задачи авторам неизвестны.

нения, описывающие рассматриваемую в статье си-

В случае произвольных частот ω_c = ω_r, включа-

туацию.

ющем также предельные случаи ω_c ≫ ω_r или обрат-

ный ω_c ≪ ω_r, а также случай близких частот ω_c ≈

≈ ω_r, видна главная особенность оптических систем.

2. НЕРЕЗОНАНСНО СВЯЗАННЫЕ

Если записать уравнение Шредингера в представле-

ОСЦИЛЛЯТОРЫ

нии взаимодействия

Квантовый осциллятор с гамильтонианом H_c =

iℏdt|Ψ(t)〉=Vc-r(t)|Ψ(t)〉,

(1)

= ℏω_cc^†c является простейшей квантовой моделью.

Vc-r(t) = g(ce-iωct+c^†eiωct)(re-iωrt+r^†eiωrt),

Она успешно описывает фотоны в высокодобротных

одномодовых резонаторах, колебания плазмонов и

то видно, что слагаемые содержат быстро меняющи-

другие нанообъекты, а его взаимодействия с различ-

еся во времени множители exp(±i(ω_c ± ω_r)t). В слу-

ными объектами: электромагнитными полями, ато-

чае близких частот наряду с быстро меняющимися

мами, другими резонаторами и пр., давно являют-

во времени появляются медленно меняющиеся сла-

ся предметом пристальных исследований. Такой ос-

гаемые, содержащие множители exp(±i(ω_c - ω_r)t).

циллятор будем называть по его частоте — осцил-

Стандартный подход для упрощения уравнения

лятор ω_c. Простейший случай взаимодействующих

(1) состоит в применении метода усреднения Кры-

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Нерезонансные процессы как основа формирования новых каналов. ..

(

)

лова - Боголюбова - Митропольского [32-34]. Проде-

g²

Π_c(ω_r) =

монстрируем его применение к интересуемому нас

ℏ ω_c +ω_r

ω_c - ω_r

(

)

(5)

случаю нерезонансно взаимодействующих осцилля-

g²

Π_r(ω_c) =

торов. Тогда при усреднении сразу получаем, что

ℏ ω_r +ω_c

ω_r - ω_c

〈Vc-r(t)〉 = 0, так что нерезонансные осцилляторы в

Видим, что и во втором порядке осцилляторы

первом приближении можно считать невзаимодей-

остаются невзаимодействующими между собой, од-

ствующими.

нако влияние другого осциллятора проявляется в

Чтобы учесть второй порядок метода усредне-

значении параметров Π_c(ω_r) и Π_r(ω_c), определяю-

ния в приложении к подобным оптическим задачам,

щих сдвиги частот.

удобно использовать его алгебраический вариант

Аналогично описывается случай резонансного

[22-24, 35]. Пользуясь унитарной симметрией кван-

взаимодействия, когда ωc ≈ ωr. Этот случай по-

товой теории, перейдем к новому представлению

дробно рассмотрен в работе [24]. Подчеркнем, что

при помощи унитарного преобразования |Ψ(t)〉 =

в отличие от [24] здесь мы изучаем нерезонансно

= exp(-iS)|Ψ(t)〉. В новом представлении все со-

взаимодействующие осцилляторы ω_c и ω_r, когда их

отношения, в том числе и уравнение Шредингера,

частоты существенно отличаются друг от друга. Но

имеют прежний вид, но помечены знаком «тильда».

для того чтобы было понятно, как осциллятор вза-

Раскладывая (согласно общей теории [23]) преоб-

имодействует с термостатом, ниже приводим выра-

разованный гамильтониан и генератор преобразова-

жение для эффективного гамильтониана резонанс-

ния в ряд по константе связи g, получаем

но взаимодействующих осцилляторов [24]. Для ре-

S(t) = S⁽¹⁾(t) + S⁽²⁾(t) + . . . ,

зонансно взаимодействующих осцилляторов в выра-

жениях для Π_c(ω_r) и Π_r(ω_c) появляются расходящи-

Vc-r(t) =

V (1)c-r(t) +

V (2)c-r(t) + . . . ,

еся резонансные знаменатели. Расходящиеся знаме-

где с учетом формулы Бейкера - Хаусдорфа

натели должны быть исключены, но тогда соглас-

dS⁽¹⁾(t)

но формуле (1) становится отличным от нуля опе-

V (1)c-r(t) = ℏ

+ Vc-r(t),

(2)

ратор взаимодействия

c-r (t). В результате для ре-

зонансного взаимодействия получаются следующие

[

]

dS⁽²⁾(t)

эффективные операторы взаимодействия и генера-

V (2)c-r(t) = ℏ

S⁽¹⁾(t),V (1)c-r(t)

тор преобразования [24]:

[

]

(

)

−

S⁽¹⁾(t), Vc-r(t)

(3)

V(1)c-r(t) = g cr†e-i(ωc-ωr )t + c†rei(ωc -ωr )t

(6)

Основное требование, отвечающее подходу Кры-

лова - Боголюбова - Митропольского, — отсутствие

g²

V (2)c-r(t) = -c^†cΠ(ω_c) - r^†rΠ(ω_c) -

в выражении для преобразованного гамильтониана

2ℏω_c

(7)

быстро меняющихся во времени слагаемых. Тогда

g²

Π(ω_c) =

c-r (t) = 0 (как и при усреднении), но дополнитель-

2ℏω_c

но в алгебраической теории возмущений получаем

ge-i(ωc+ωr)^t

gei(ωc+ωr)^t

значение генератора преобразования в предположе-

S⁽¹⁾(t) = cr

-c^†r^†

i2ℏω_c

нии адиабатического включения взаимодействия:

На основе этих результатов нетрудно ввести взаи-

-i(ωc +ωr )t

gei(ωc+ωr)^t

модействие осциллятора ω_c с фотонами бозонного

S⁽¹⁾(t) = cr

-c^†r^†

iℏ(ω_c + ω_r)

термостата.

−i(ωc-ωr )t

gei(ωc-ωr)^t

Выписанные генераторы преобразования S⁽¹⁾(t)

+ cr^†

-c^†r

определяют не только второй порядок гамильтониа-

iℏ(ω_c - ω_r)

нов рассматриваемых нерезонансно взаимодейству-

По формуле (3) этот генератор определяет поправ-

ющих осцилляторов ω_c и ω_r, но и так называемые

ку второго порядка по константе связи, обуслов-

интерференционные каналы при учете каких-либо

ленную учетом антивращающих слагаемых. Подхо-

других взаимодействий [23]. Применительно к уче-

ду Крылова - Боголюбова - Митропольского отвеча-

ту дополнительного взаимодействия осциллятора ω_c

ет отсутствие в (3) быстро меняющихся во времени

с термостатом эти интерференционные слагаемые

слагаемых:

проявятся в выражении, обобщающем формулу (3)

(см. ниже выражение (9)). Вообще, каждому допол-

V (2)c-r(t) = -c^†cΠ_c(ω_r)-r^†rΠ_r(ω_c)-

(4)

ℏ(ω_c + ω_r)

нительному взаимодействию — и резонансному, и

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

нерезонансному — в алгебраической теории возму-

В результате вычислений, которые описаны в

щений [22-24] ставятся в соответствие слагаемые,

предыдущем разделе, получаем эффективный га-

имеющие свой порядок по константе этого взаимо-

мильтониан V^Eff (t) рассматриваемой задачи о двух

действия. Пример рассмотрен в следующем разделе.

нерезонансно взаимодействующих между собой ос-

цилляторах в условиях, когда осциллятор ω_c допол-

нительно связан с термостатом:

3. КАНАЛ РАСПАДА В ТЕРМОСТАТ

ОДНОГО ИЗ НЕРЕЗОНАНСНО СВЯЗАННЫХ

V^Eff (t) =

V (1)c(t) +

V (2)r(t) +

V (2)c-r(t),

(10)

ОСЦИЛЛЯТОРОВ ПРИ

∑

(

)

ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

V(1)

(t) = γ_с

ca^†ωe-i(ωc-ω)t+c^†a_ωei(ωc-ω)t

ДРУГОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С

ω∈(ωс)

ТЕРМОСТАТОМ

∑

Пусть теперь один из нерезонансно взаимодей-

gγ_c

V (2)r(t) = -

r^†a_ωe-i(ω-ωr)^t -

ствующих осцилляторов, например ω_c, связан с тер-

2ℏω

ω∈(ωr)

мостатом. Это описывается гамильтонианом термо-

∑

gγ_c

стата_ω ℏωa^†ωa_ω и оператором взаимодействия V_c

ra^†ωei(ω-ωr)^t.

2ℏωc

осциллятора ω_c с этим термостатом, который запи-

ω∈(ωr)

шем в представлении взаимодействия с учетом всех

Выражение для

c-r (t) дается формулами (4) и

антивращающих слагаемых:

(5). Оператор

c (t) эффективно описывает введен-

∑(

)

ное в задачу взаимодействие осциллятора ω_c с тер-

Vc(t) = γc

ce-iωct + c^†eiωct

мостатом после усреднения по быстро меняющим-

(

)

ся слагаемым исходного гамильтониана (8). Взаи-

a_ωe^-iωt + a^†ωe^iωt

(8)

модействие эффективно происходит с бозонами, чьи

Здесь γ_c — константа связи с термостатом, чьи опе-

частоты лежат вблизи центральной резонансной

раторы рождения a^†ω и уничтожения a_ω удовлетво-

частоты ω_c (см. рисунок). Эта область спектра тер-

ряют обычным бозевским коммутационным соотно-

мостатных бозонов обозначена как (ω_c). Оператор

шениям. Учет такого взаимодействия в задаче о

r (t) описывает резонансное взаимодействие ос-

двух нерезонансно взаимодействующих осциллято-

циллятора ω_r с тем же термостатом. Это взаимо-

рах ω_c и ω_r состоит в изменении разложений генера-

действие возникло благодаря интерференции нере-

тора S преобразования волнового вектора системы

зонансного процесса взаимодействия между осцил-

и преобразованного суммарного оператора взаимо-

ляторами ω_c и ω_r (их исходный оператор взаимо-

действия V (t) = V_c(t) + Vc-r(t):

действия целиком определяется антивращающими

слагаемыми) и нерезонансных антивращающих сла-

S(t) = S(1,0)(t) + S(0,1)(t) + . . . ,

гаемых в операторе (8) взаимодействия осциллято-

ра ω_c с термостатом. Взаимодействие эффективно

V (t) =

V (1,0)(t) +

V (0,1)(t) +

V (1,1)(t) + . . .

происходит с бозонами, чьи частоты лежат вблизи

центральной резонансной частоты ω_r (см. рисунок).

Теперь нерезонансному взаимодействию между ос-

цилляторами отвечает левый верхний индекс, опи-

Эта область спектра термостатных бозонов обозна-

чена как (ω_r).

сывающий, как и раньше, порядок по константе g.

Правый индекс отвечает взаимодействию осцилля-

Операторы

c (t) и

r (t) имеют стандарт-

тора ω_c с термостатом и отмечает порядок слагаемо-

ный вид, позволяющий представить их в марковс-

го по константе γ_c. Интерференционные слагаемые

ком приближении квантовыми винеровскими про-

определяются следующим выражением алгебраиче-

цессами (см., например, [21-24, 36-38]) и записать

ской теории возмущений:

уравнение для оператора эволюции как стохастичес-

кое дифференциальное уравнение. Далее стандарт-

[

]

dS(1,1)(t)

ным образом получается кинетическое уравнение

V (1,1)(t) = ℏ

S(1,0)(t), V_c(t)

для матрицы плотности ρ^S (t) нерезонансно взаимо-

[

]

i [

действующих осцилляторов ω_c и ω_r (верхний индекс

−

S(1,0)(t),V (0,1)(t) -

S(0,1)(t), Vc-r(t)

S говорит о рассматриваемой системе двух нерезо-

[

]

нансно связанных осцилляторов). Поскольку оказа-

−

S(0,1)(t),V (1,0)(t)

(9)

лось, что эффективно нерезонансно связанные ос-

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Нерезонансные процессы как основа формирования новых каналов. ..

цилляторы между собой не взаимодействуют, а по-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

стоянные сдвиги частот (7) второго порядка можно

включить в перенормированные частоты осцилля-

Метод алгебраической теории возмущений, при-

торов ω_c и ω_r, ω_c = ω_c -Π_c(ω_r), ω_r = ω_r -Π_r(ω_c), ки-

мененный к данной задаче, неоднократно приме-

нетическое уравнение в представлении взаимодейст-

нялся авторами к решению других оптических за-

вия имеет самый стандартный вид Линдблада:

дач, некоторые из которых собраны в монографии

[22]. Наш подход не привлекает к описанию оптиче-

dρ^S (t)

ских эффектов какое-либо феноменологическое мо-

= -Γcρ^S(t) -

Γ_rρ^S(t),

(11)

делирование процессов и явлений, а исходит ис-

ключительно из первых принципов и естественно-

го предположения о марковости взаимодействия от-

крытой квантовой системы с термостатом. Однако

Γ_iρ^S(t) = -γ_in_iY^†iρ^S(t)Y_i-γ_iY_iρ^S(t)(n_i + 1)Y^†i +

( (

)

важным его условием является вывод кинетическо-

n_i + 1

n_i

+ γ_i

Y†iY_i +

Y_iY^†

ρ^S(t) +

го уравнения исходя из эффективного гамильтони-

))

ана, который, в отличие от исходного гамильтони-

⁽n_i +1

n_i

ана, не содержит в представлении взаимодействия

+ ρ^S(t)γi

Y†iY_i +

Y_iY^†i

каких-либо быстро меняющихся во времени сла-

гаемых. Для получения кинетического уравнения

Здесь индекс i нумерует нерезонансно связанные ос-

(11) не требуется привлекать громоздкий глобаль-

цилляторы открытой системы ω_c и ω_r, пробегая зна-

ный подход и диагонализацию гамильтониана — га-

чения c и r, чертой над символом обозначен безраз-

мильтониан нерезонансно связанных систем распал-

мерный аналог введенной ранее величины:

ся на диагональные гамильтонианы невзаимодей-

ствующих осцилляторов при естественном приме-

2πγ2c

πg²γ2c

нении метода усреднения Крылова - Боголюбова -

t = ω_ct, γ_c =

γ_r =

ℏω2c

2ℏ²ω⁴

Митропольского. В применении к оптическим за-

дачам этот метод представлен в его алгебраиче-

В константах связи с термостатами учтено их преоб-

ском варианте, разработанном в работах [22, 23, 35],

разование при получении кинетического уравнения

в который естественно интегрируется метод кван-

[21-24,36-38]. Операторы уничтожения с учетом пе-

товых стохастических дифференциальных уравне-

ренормировки констант связи с термостатом оказы-

ний для получения основного кинетического урав-

ваются равными линдбладовским операторам: Y_c =

нения в марковском приближении [23]. Алгебраиче-

= c, Y_r = r. Наконец, термодинамические парамет-

ский вариант метода усреднения Крылова - Боголю-

ры — плотности числа фотонов n_c и n_r на единицу

бова - Митропольского иначе называют алгебраиче-

безразмерной частоты — определены соответствен-

ской теорией возмущений [35]. До сих пор примеры

но на частотах ω_c и ω_r, т. е. если среднее от опера-

интеграции метода квантовых стохастических диф-

торов рождении и уничтожения бозонов термостата

ференциальных уравнений в алгебраическую тео-

дельта-коррелировано, 〈a^†ω a_ω′ 〉 = n(ω)δ(ω - ω^′), то

рию возмущений были рассмотрены лишь для от-

n_c = n(ω_c)ω-1c, n_r = n(ω_r)ω-1r. Подчеркнем, что эти

крытых квантовых систем с атомной подсистемой

плотности фотонов отвечают плотностям фотонов

[36-38]. В работе [24] мы обсуждали резонансные

интенсивных хаотических бозонных полей, которые

взаимодействия бозонов на основе алгебраической

могут моделировать различные части спектра бо-

теории возмущений. Рассмотренный подход допол-

зонного дельта-коррелированного поля, взаимодей-

няет рассмотрение [24] учетом нерезонансно взаи-

ствующего с осциллятором ω_c.

модействующих осцилляторов и позволяет нагляд-

Если начальные состояния нерезонансно связан-

но учесть все антивращающие слагаемые исходного

ных осцилляторов никак не сцеплены между собой,

бозонного гамильтониана, интерференция которых

то уравнение (11) распадается на два уравнения,

описана посредством генераторов унитарного преоб-

каждое из которых описывает один осциллятор, ре-

разования исходного вектора состояния всей систе-

зонансно связанный с термостатным полем. Тогда

мы, состоящей из нерезонансно связанных осцилля-

среднее число фотонов осциллятора в стационарном

торов и термостатного (дельта-коррелированного)

состоянии 〈Y^†iY_i〉 = n_i, так что никаких противо-

поля, взаимодействующего с одним из осциллято-

речий с законами термодинамики в рассмотренном

ров. В результате у «невзаимодействующего» ос-

подходе не возникает.

циллятора, лишь нерезонансно связанного с другим,

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

образовался канал релаксации и/или накачки, осу-

же. Здесь собственно нелинейность взаимодействия

ществляющий энергообмен с термостатным полем и

между выделенной парой осцилляторов не влияет

другими внешними полями, с ним напрямую несвя-

на появление нового канала релаксации.

занными. Очевидно, что примеры подобных кана-

Практическое значение описанный канал

лов, которые часто упускаются из рассмотрения,

релаксации приобретает в задачах квантовой ин-

можно найти и в других квантовых системах, и не

формации, поскольку служит не только каналом

только оптических.

диссипации энергии «изолированного» осциллятора

Еще раз подчеркнем, что наш метод применя-

(в рассмотренном в статье смысле), но и каналом

ется к исходному гамильтониану V_ini(t), в кото-

накачки осциллятора и записи информационного

ром в представлении взаимодействия представле-

сигнала. Если такую запись осуществлять посред-

ны все слагаемые — как медленно меняющиеся во

ством нерезонансного соседнего осциллятора, не

времени слагаемые V^′ini(t), так и быстро меняющие-

связанного с термостатным полем, то возможно

ся во времени (антивращающие) слагаемые V^′′ini(t),

увеличение времени хранения информации.

V_ini(t) = V′ini(t) + V′′ini(t) (один и два штриха от-

мечают слагаемые, медленно и быстро меняющие-

Финансирование. Работа выполнена при

ся во времени). Это касается как взаимодействия

частичной финансовой поддержке Российского

между выделенной парой осцилляторов, так и взаи-

фонда фундаментальных исследований (грант

модействия одного из осцилляторов с термостатом.

№19-02-00234а).

Между тем, при рассмотрении каких-либо других и

сложных видов взаимодействия между выделенной

парой осцилляторов, например нелинейного взаимо-

ЛИТЕРАТУРА

действия между осцилляторами, в прикладных це-

W. Louisell, Quantum Statistical Properties of Radia-

лях сразу используют эффективный гамильтониан

tion, Wiley, New York (1974).

V_NL = V^′(t), который не содержит антивращающих

слагаемых V^′′(t). Это оправдано во многих задачах

F. Haake, Springer Tracts Mod. Phys. 66, Springer,

(см., например, [39]), однако в задачах теории от-

Berlin (1973).

крытых систем при использовании в качестве исход-

ного гамильтониана только медленно меняющихся

B. Davies, Quantum Theory of Open Systems, Aca-

demic, New York (1972).

во времени слагаемых V^′(t) канал релаксации, кото-

рому посвящена данная статья, будет упущен из ви-

G. Lindblad, Comm. Math. Phys. 40, 147 (1975).

ду. Это связано с пропорциональностью слагаемых

эффективного оператора взаимодействия V_NEW (t)

V. Gorini, A. Kossakowski, and E. C. G. Sundarsham,

обсуждаемого нового канала релаксации выраже-

J. Math. Phys. 17, 821 (1976).

ниям вида V_NEW (t) ∝ [S^′′Thermo(t), V^′′(t)]^′, которые

T. Werlang, A. V. Dodonov, E. I. Duzzioni, and

определяются интерференцией только быстропере-

C. J. Villas-Bôas, Phys. Rev. A 78, 053805 (2008).

менных слагаемых. Поэтому появление нового кана-

ла релаксации невозможно, когда в качестве исход-

C. L. Cortes, M. Otten, and S. K. Gray, Phys. Rev.

ного гамильтониана некорректно берут тот или иной

B 99, 014107 (2019).

эффективный гамильтониан, полученный без уче-

та взаимодействий изучаемой системы с термостата-

C. J. Villas-Boas and D. Z. Rossatto, Phys. Rev. Lett.

122, 123604 (2019).

ми. Предложенный метод корректен и в этом случае

нелинейного взаимодействия осцилляторов, толь-

Ze-an Peng, Guo-qing Yang, Qing-lin Wu, and

ко тогда надо получать эффективный гамильтони-

Gao-xiang Li, Phys. Rev. A 99, 033819 (2019).

ан нелинейного взаимодействия осцилляторов сов-

местно с эффективным гамильтонианом взаимодей-

10.

A. Tugen and S. Kocaman, Opt. Comm. 436, 146

ствия осциллятора (одного или каждого) с термо-

(2019).

статом. В результате будут учтены все антивраща-

11.

Th. K. Mavrogordatos, F. Barratt, U. Asari, P. Sza-

ющие слагаемые и предлагаемый подход алгебраи-

fulski, E. Ginossar, and M. H. Szymanska, Phys. Rev.

ческой теории возмущений, наряду с эффективным

A 97, 033828 (2018).

гамильтонианом нелинейного взаимодействия меж-

ду осцилляторами, определит эффективную связь

12.

M. Malekakhlagh and A. W. Rodriguez, Phys. Rev.

«изолированного» от термостата осциллятора с ним

Lett. 122, 043601 (2019).

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Нерезонансные процессы как основа формирования новых каналов. ..

13.

O. Scarlatella, A. Clerk, and M. Schiro, New J. Phys.

26.

A. S. Trushechkin and I. V. Volovich, Europhys. Lett.

21, 043040 (2019).

113, 30005 (2016).

14.

A. B. Klimov, J. L. Romero, J. Delgado, and

27.

А. Е. Теретёнков, Матем. заметки 100, 636 (2016).

L. L. Sanchez-Soto, J. Opt. B: Quantum Semiclass.

28.

А. Е. Теретёнков, Дисс

канд. физ.-матем. наук,

Opt. 5, 34 (2003).

МГУ (2018).

15.

K. Lalumiere, J. M. Gambetta, and A. Blais, Phys.

29.

C. Joshi, P. Ohberg, J. D. Cresser, and E. Andersson,

Rev. A 81, 040301(R) (2010).

Phys. Rev. A 90, 063815 (2014).

16.

M. Boissonneault, J. M. Gambetta, and A. Blais,

30.

D. F. Walls, Z. Phys. 234, 231 (1970).

Phys. Rev. A 79, 013819 (2009).

31.

L. E. Estes, T. H. Keil, and L. M. Narducci, Phys.

17.

C. D. Ogden, E. K. Irish, and M. S. Kim, Phys. Rev.

Rev. 175, 286 (1968).

A 78, 063805 (2008).

32.

Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Введение в нели-

18.

Л. Мандель, Э. Вольф, Оптическая когерент-

нейную механику, РХД, Москва (2004) (переизда-

ность и квантовая оптика, Физматлит, Москва

ние книги 1937 г.).

(2000).

33.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимп-

19.

В. П. Шляйх, Квантовая оптика в фазовом про-

тотические методы в теории нелинейных коле-

странстве, Физматлит, Москва (2005).

баний, Физматлит, Москва (1958).

20.

Д. С. Могилевцев, С. Я. Килин, Методы кванто-

34.

В. С. Бутылкин, А. Е. Каплан, Ю. Г. Хронопу-

вой оптики, Беларусская наука, Минск (2007).

ло, Е. И. Якубович, Резонансные взаимодействия

21.

C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum Noise, Sprin-

света с веществом, Наука, Москва (1977).

ger-Verlag, Berlin (2004).

35.

V. N. Bogaevski and A. Povzner, Algebraic Methods

22.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear Op-

in Nonlinear Perturbation Theory, Springer (1991).

tical Waves, Kluwer Acad., Dordrecht (1999).

36.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 94, 28 (2011).

23.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 142, 419 (2012).

37.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 107, 151 (2018).

24.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 156, 407

38.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

(2019).

109, 75 (2019).

25.

A. Levy and R. Kozloff, Europhys. Lett. 107, 20004

39.

P. D. Drummond, K. J. McNeil, and D. F. Walls,

(2014).

Optica Acta 28, 211 (1981).

ЖЭТФ, вып. 1