ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 1, стр. 97-100

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ВРЕМЕННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

ВЕРОЯТНОСТИ ВЫЖИВАНИЯ ДИФФУНДИРУЮЩИХ

ЧАСТИЦ В МНОГОМЕРНЫХ СРЕДАХ С ПОГЛОЩАЮЩИМИ

ЛОВУШКАМИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

В. Е. Архинчеев^*

Laboratory of Applied Physics, Advanced Institute of Materials Science, Ton Duc Thang University

700000, Ho Chi Minh City, Vietnam

Faculty of Applied Sciences, Ton Duc Thang University

700000, Ho Chi Minh City, Vietnam

Поступила в редакцию 28 июля 2019 г.,

после переработки 2 августа 2019 г.

Принята к публикации 6 августа 2019 г.

Установлен эффект уменьшения «эффективной» размерности в многомерной задаче диффузии в среде

с поглощающими ловушками за счет электрического поля. Эффективный переход к одномерному случаю

происходит из-за направленного движения частицы, когда оно становится доминирующим по сравнению

с диффузией. Была установлена универсальная «одномерная» зависимость вероятности выживания час-

тиц в многомерной среде с поглощающими ловушками на больших временах.

DOI: 10.31857/S0044451020010113

расстояния между ловушками, d — размерность за-

дачи. Этот механизм захвата частиц на поглощаю-

щие ловушки, описывающийся формулой (2), впер-

1. ВВЕДЕНИЕ

вые был подробно исследован в работе [4]. Физиче-

Проблема диффузии частиц в средах с погло-

ская причина такого механизма заключается в по-

щающими ловушками изучалась во многих работах

явлении из-за флуктуаций редких больших облас-

[1-3]. Как известно, вероятность выживания рассеи-

тей без ловушек, в которых и выживают частицы

вающихся частиц в многомерной среде с ловушками

на больших временах. Обобщение для многомерно-

на малых временах описывается приближением эф-

го случая и дальнейшее его развитие были получены

фективной среды:

в работах [5-7].

(

)

Появление электрического поля E в диффузион-

π²c²Dt

W (t; c) ∝ W₀ exp

(1)

ной задаче с ловушками приводит также и к новому

параметру — «полевому времени» t_E = D/v², т. е.

На больших временах асимптотическое поведение

времени, при котором дрейфовое смещение срав-

нивается с диффузионным смещением [8, 9]. Здесь

вероятности выживания описывается другой фор-

мулой:

v(E) = μE — скорость дрейфа частиц в электричес-

ком поле E, μ — подвижность частиц. Подвижность

(

)

3π1/2(Dtc²)d/d+2

связана с коэффициентом диффузии D известным

W (t; c) ∝ W₀ exp

(2)

соотношением Эйнштейна:

Здесь t — время диффузии, D — коэффициент диф-

μkT = qD,

(3)

фузии, c — концентрация поглощающих ловушек,

t_c = 1/Dc2/d — время, за которое диффундирующая

где k — коэффициент Больцмана, T — температура

частица смещается на расстояние порядка среднего

(использовалась классическая статистика Больцма-

^* E-mail: valeriy.arkhincheev@tdtu.edu.vn

на).

ЖЭТФ, вып. 1

В. Е. Архинчеев

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Отметим, что проблема диффузии на поглощаю-

в клетках [19]. Исследование влияния электрическо-

щих ловушках частиц в электрическом поле изуча-

го поля на диффузию в средах с ловушками может

лась в работах [10, 11]. Было установлено экспонен-

быть также использовано для разработки управле-

циальное убывание со временем, которое соответ-

ния диффузионными процессами с помощью внеш-

ствовало приближению эффективной среды в слу-

них электрических полей.

чае электрического поля:

Цель данной статьи — доказать универсаль-

(

)

ность временной асимптотики (6) для многомерно-

v²t

го случая. Статья построена следующим образом. В

W (t; E) ∝ W (t; 0) exp

(4)

разд. 2 кратко описано введение электрического по-

ля в исследуемую диффузионную задачу. В разд. 3

Многомерный случай был рассмотрен в работе [10].

исследована асимптотика вероятности выживания

Был сделан вывод, что

«ненулевой постоянный

на больших временах в многомерном случае.

дрейф приводит к экспоненциальному затуханию»

на больших временах с линейным членом электри-

ческого поля в экспоненте:

2. ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В

(

)

ДИФФУЗИОННУЮ ЗАДАЧУ С

v²t

W (t; E) ∝ W (t; 0) exp

- πcvt

(5)

ПОГЛОЩАЮЩИМИ ЛОВУШКАМИ.

ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

В настоящей работе исследовано влияние элект-

Напомним коротко решение проблемы диффу-

рического поля на вероятность выживания и полу-

зии в одномерных средах с поглощающими ловуш-

чена универсальная временная зависимость, имею-

ками, помещенными в электрическое поле. Как из-

щая «квазиодномерный характер» для любой раз-

вестно, уравнение диффузии в электрическом поле

мерности [8]:

имеет вид

(

)

3π1/2(t/t_E)1/3

∂W(x,t)

∂²W(x, t)

∂W(x,t)

W (t; c) ∝ W₀ exp

(6)

(7)

∂t

∂x²

∂x

Первая особенность формулы (6) в том, что вмес-

Решим уравнение (7) для одномерного случая.

то диффузионного времени t_c = 1/Dc² в асимпто-

Будем использовать следующие начальные и погло-

тике появилось новое характерное «полевое время»

щающие граничные условия, которые аналогичны

tE = D/v2. Вторая особенность — «одномерная»

условиям в [20]:

временная зависимость является универсальной в

1-c

d-мерном случае.

W (x, 0) =

, W(x_i,t) = 0, W(xi+1,t) = 0.

(8)

Полученные результаты могут быть использова-

ны в различных областях. Во-первых, как извест-

Здесь x_i, xi+1 являются координатами соседних ло-

но, модель диффузии в среде с ловушками была

вушек.

введена в качестве классической модели Continuous

Ищем решение уравнения (7) в виде

Time Random Walks (CTRW) [12] для изучения та-

∑

ких процессов, как контролируемые диффузией хи-

W (x, t; E) =

a_nϕ_n exp(-E_nt),

(9)

мические реакции [13, 14]. Было показано, что за-

n=0

хват на ловушки приводит к новому диффузион-

ному поведению [15, 16]. Во-вторых, в наноразмер-

где собственные функции равны

ных системах проблема захвата диффундирующих

⁽v(x - x_i)⁾

частиц возникла при изучении транспорта актив-

ϕ_n = exp

sin(k_n(x - x_i)).

(10)

ных частиц в нанопористых диэлектриках с низкой

диэлектрической проницаемостью [17]. Материалы с

Здесь k_n = nπ/l_i, n = 0, 1, 2, . . . и |l_i| = |xi+1 - x_i|.

низкой диэлектрической проницаемостью использу-

Собственные значения определялись выражени-

ются в современной электронике для изоляции эле-

ем

ментов микросхем [18]. Соответственно, проникно-

v²

вение активных частиц в нанопоры диэлектриков

E_n = Dk2n +

(11)

приводит к временной деградации чипсов. В другой

области аналогичная проблема возникает при изуче-

Коэффициенты a_n являются коэффициентами раз-

нии переноса (транслокации) полимеров через поры

ложения по собственным функциям. Неизвестная

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Универсальная временная зависимость вероятности выживания. . .

∞

∫

искомая величина — вероятность выживания диф-

W (t; v(E)) = W (l, v(E))f(l) dl ≈

фундирующих частиц равна среднему значению:

⎛

⎞

(

)

∫

∞

∫

v²

∑

≈ exp

W (t) = W_i =

⎝

W (x, t, v(E)) dx^⎠ ×

∫

∞

(

)

∑

π²n²

∫∞

exp

-D

- cl^d dl.

(15)

l²

× f(l)dl = W (l,v(E))exp(-E_nt)f(l)dl.

(12)

n=0 0

Далее поиск асимптотики экспоненциального ре-

шения (15) осуществлялся стандартным методом

Для пуассоновского распределения ловушек f(l) =

перевала. Общее уравнение для определения пере-

= cexp(-cl), где c = N/l — концентрация ловушек,

вальных точек имеет вид

l — среднее расстояние между ловушками. Для ну-

левого электрического поля указанные выше асимп-

π²

+ cl^d = 0.

(16)

тотики (1) и (2) были получены в работе [8]. Отме-

l²

тим также, что

В случае слабых полей, vl/D ≪ cl^d, получаем из-

вестный результат: вероятность выживания опреде-

∫

∑

ляется флуктуациями концентрации поглощающих

W (l, v(E)) =

W (x, v(E)) dx =

ловушек, другими словами, наличием больших об-

i xi

ластей, свободных от ловушек:

∫

(

)

∑∑

v(x - x_i)

exp

Dtπ²

+ cl^d ≈ 0.

(17)

i n=0

l²

× sin(k_n(x - x_i)) dx.

(13)

Таким образом, мы получаем выражение (2) для

многомерного случая, как и ожидалось.

Для проведения необходимых расчетов нам нужно

В противоположном предельном случае сильных

найти нормировочный коэффициент в формуле (13),

электрических полей, vl/D ≫ cl^d, седловая точка в

подробнее см. [21].

методе перевала определяется другим уравнением:

π²

≈ 0.

(18)

l²

3. ВРЕМЕННАЯ АСИМПТОТИКА

Это выражение (18) получается из уравнения (16),

ВЕРОЯТНОСТИ ВЫЖИВАНИЯ ЧАСТИЦ В

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ В

когда можно пренебречь cl^d. Подчеркнем, что урав-

МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

нение (18) соответствует одномерному случаю. Та-

ким образом, можно сказать, что в сильных элек-

Изучим влияние электрического поля на много-

трических полях имеем переход от общей d-мерной

мерную задачу. Согласно формулам (12), (13) по-

ситуации к эффективно одномерному случаю.

лучаем экспоненциальную зависимость вероятности

В результате мы получаем новое асимптотичес-

выживания частиц, которые поглощаются ловушка-

кое поведение, вызванное механизмом дрейфа, для

ми под действием электрического поля:

многомерного случая:

(

)

v²t

W (t; E) ∝

W (t) ∝ W (t; 0) exp

(14)

⎧

(

⎨

[

]₂)1/3^⎫⎬

3π1/2

∝ W0 exp

(19)

Подчеркнем, что этот результат соответствует при-

⎩

4kT

⎭

ближению среднего поля. В общем случае из вы-

ражения, аналогичного (12), для многомерного слу-

Как следует из выражения (19), вероятность выжи-

чая и после выполнения необходимых вычислений

вания частиц в среде с поглощающими ловушками в

с многомерным распределением Пуассона f(l) =

сильном электрическом поле и на больших временах

= cexp(-cl^d), где c = N/l^d, получаем следующий

в многомерном случае имеет эффективно «одномер-

асимптотический вид:

ную» временную зависимость с новым «полевым»

В. Е. Архинчеев

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

M. D. Donsker and S. R. S. Varadhan, Comm. Pure

Appl. Math. 28, 525 (1975).

M. D. Donsker and S. R. S. Varadhan, Comm. Pure

Appl. Math. 32, 721 (1979).

Переход от изотропной диффузии к направленному дрей-

P. Grassberger and I. Procaccia, J. Chem. Phys. 77,

фовому движению вдоль электрического поля

6281 (1982).

V. E. Arkhincheev, Chaos 27, 033117 (2017), http://

временем, которое определяется дрейфом частиц в

dx.doi.org/10.1063/1.4979349.

электрическом поле.

V. E. Arkhincheev, AIP Conf. Proc. 553, 231 (2001),

Главной особенностью этого нового асимптоти-

http://dx.doi.org/10.1063/1.1358189.

ческого поведения вероятности выживания частиц

в многомерных средах с поглощающими ловушка-

10.

P. Grassberger and I. Procaccia, Phys. Rev. A 26,

ми является полученная универсальная «одномер-

3686 (1982).

ная» временная зависимость, см. (19). Уменьшение

11.

B. Movaghar, B. Pohlmann, and D. Würtz, Phys.

«эффективной размерности» исследуемой d-мерной

Rev. A 29, 1568 (1984).

задачи до одномерного случая происходит за счет

12.

E. W. Montroll and G. H. Weiss, J. Math. Phys. 6,

сильных электрических полей. В случае сильных

167 (1965).

электрических полей частица движется в основном

вдоль направления электрического поля (см. рису-

13.

Sang Bub Lee, In Chan Kim, C. A. Miller, and S. Tor-

нок).

quato, Phys. Rev. B 39, 11833 (1989).

Соответственно, седловая точка определяется

14.

I. Fouxon and M. Holzner, Phys. Rev. E 94, 022132

уравнением (18), аналогичным уравнению для од-

(2016).

номерного случая. Поэтому для асимптотического

решения, обусловленного механизмом дрейфа, по-

15.

R. Metzler and J. Klafter, Phys. Rep. 339, 1 (2000).

лучаем выражение, как для одномерного случая, —

формулу (6). Таким образом, мы можем сказать,

16.

S. G. Samko, A. A. Kilbas, and O. I. Marichev, Frac-

tional Integrals and Derivatives: Theory and Applica-

что электрическое поле сводит «эффективную раз-

tions, Gordon and Breach, Amsterdam (1993).

мерность» многомерной задачи к квазиодномерному

случаю.

17.

V. E. Arkhincheev, E. Kunnen, and M. R. Baklanov,

J. Microelectronics 88, 686 (2011).

18.

M. Baklanov, K. Maex, and M. Green (Eds.), Di-

ЛИТЕРАТУРА

electric Films for Advanced Microelectronics, Wi-

1. E. W. Montroll and G. H. Weiss, J. Math. Phys. 6,

ley & Sons (2007).

167 (1965).

19.

J. L. A. Dubbeldam, A. Milchev, V. G. Rostiashvili,

2. A. A. Овчинников, А. A. Белый, Теор. и эксп. хи-

and T. A. Vilgis, Phys. Rev. E 76, 010801 (2007).

мия 2, 405 (1966).

20.

V. Mehra and P. Grassberger, Physica D 168, 244

3. Г. В. Рязанов, ТМФ 10, 271 (1972).

(2002).

4. Б. Я. Балагуров, В. Г. Вакс, ЖЭТФ 38, 799 (1974).

21.

В. Е. Архинчеев, ЖЭТФ 128, 166 (2019).

100