ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 1, стр. 165-173

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОГО УСКОРЕНИЯ ИОННЫХ КОЛЕЦ

СЖИМАЮЩИМИСЯ ЛАЙНЕРАМИ

А. С. Дзарахохова^a, Н. П. Зарецкий^b, А. В. Максимычев^a,

Л. И. Меньшиковa*, П. Л. Меньшиков^b

^a Московский физико-технический институт (государственный университет)

141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^b Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

Поступила в редакцию 6 ноября 2018 г.,

после переработки 28 августа 2019 г.

Принята к публикации 5 сентября 2019 г.

Установлены условия подавления коллективного торможения ионного пучка на электронах, обусловлен-

ного возбуждением ионами электронных плазменных колебаний (пучковая неустойчивость). Вопреки

явным и неявным указаниям, имеющимся в литературе, достаточно большой величины разброса по энер-

гиям только ионного пучка оказывается недостаточно для указанного подавления. Показано, что уско-

рение ионов становится устойчивым при одновременном существовании достаточно большого разброса

по скоростям электронов. Пучковая неустойчивость ионов подавляется затуханием Ландау возбуждае-

мых ионами плазменных волн на электронах. Полученные результаты применены к анализу возможности

ускорения ионов сжимающимися цилиндрическими плазменными лайнерами.

DOI: 10.31857/S0044451020010198

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Изучение плазменных неустойчивостей началось

с исследования пучковой неустойчивости. Ленгмюр

обнаружил [1], что моноэнергичный пучок электро-

нов быстро термализовался даже в плазме с ма-

Рис. 1. Принципиальная схема импульсного ускорителя

лой плотностью электронов n₀, в то время как дли-

ионов на основе сжимающегося газового лайнера 3 в виде

на торможения отдельных электронов, рассчитан-

полого цилиндра. Соленоиды 1 и 2 с полем Bi ≈ 10 Тл,

ная по формуле Бёте - Блоха, превосходила размер

включенные навстречу друг другу, создают магнитное по-

плазмы на несколько порядков. Этот пример указы-

ле с конфигурацией типа «касп». Кривая 5 — траекто-

вает на то, что ускорение ионов в плазме возможно

рия одного из ионов, испускаемых импульсным источни-

ком ионов 4 — коаксиальным диодом с магнитной изоля-

только при отсутствии коллективных неустойчиво-

цией электронов

стей, связанных с возбуждением плазменных коле-

баний.

Мотивом написания данной статьи явилась дета-

лизация схемы малоразмерного (по сравнению, на-

симметричного импульсного ускорителя ионов пря-

пример, с сильноточными протонными ускорителя-

мого действия (диода), движется вдоль силовых ли-

ми) мощного импульсного ускорителя ионов, пред-

ний магнитного поля левого соленоида. В проме-

ложенного в работах [2,3] (см. рис. 1). Пучок ионов,

жутке между соленоидами, магнитные поля кото-

выходящий в виде полого цилиндра из аксиально-

рых направлены противоположно друг другу, име-

ется радиальная составляющая магнитного поля,

^* E-mail: mleonid1954@mail.ru

которая превращает пучок в кольцо с радиусом,

165

А. С. Дзарахохова, Н. П. Зарецкий, А. В. Максимычев и др.

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

несколько меньшим радиуса лайнера R. При нали-

В качестве возможных приложений рассматри-

чии градиента поля в правом соленоиде это кольцо

ваемого ускорителя можно указать следующие.

замедляется и останавливается в «магнитной проб-

1. Создание на основе ускорителя протонов им-

ке» на характерное время около 10-50 нс, в тече-

пульсного источника нейтронов, мощность которо-

ние которого происходит сжатие и ускорение ионно-

го существенно превышает таковую для известных

го кольца вихревым электрическим полем, возника-

схем, например, плазменного фокуса (см., напри-

ющим при сжатии магнитного потока, захваченного

мер, обзор [9] и ссылки в нем). Такой источник мож-

плазменным лайнером. В работах [2, 3] в качестве

но было бы применить для подпитки подкритиче-

лайнера предложено использовать газовый, позво-

ских реакторов [10], для создания мощного импульс-

ляющий осуществить высокую частоту повторения

ного источника антинейтрино по схеме, предложен-

импульсов ускорения.

ной в [11] и позже развитой и детализированной в

[12], а также в других целях.

Цель данной статьи состоит в установлении кон-

2. Создание импульсного рентгеновского источ-

кретных условий отсутствия коллективного тормо-

жения ускоряемых ионов. В литературе считается

ника сверхвысокой мощности.

(см., например, [4]), что коллективный эффект ис-

В данной статье для конкретности рассматрива-

чезает с ростом разброса Δ_i по скоростям ионов. Ни-

ется последнее направление — рентгеновский источ-

же показано, что этого недостаточно: для исчезно-

ник.

вения когерентности взаимодействия ионов с элек-

тронами требуется еще и наличие достаточно боль-

шого разброса Δ_e по скоростям электронов. Наши

2. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

поиски показали, что этот факт не отмечен в ли-

РЕНТГЕНОВСКОГО ИСТОЧНИКА

тературе, несмотря на детальную изученность пуч-

По методу, представленному на рис. 1, в работе

ковой неустойчивости — классической неустойчиво-

[5] предложено создать кольцо ионов Xe+Z с заря-

сти, возникающей при наличии относительного дви-

дом Z = 8 (атомы ксенона с полностью ободран-

жения электронов и ионов в плазме. В то же вре-

ной внешней оболочкой) и ускорить их сжимаю-

мя этот вывод важен в практическом отношении,

щимся газовым лайнером до энергии ∼ 1 ГэВ. Ио-

в частности, для выяснения условий устойчивого

ны выходят из коаксиального диода со скоростью

ускорения ионного кольца в проекте [5], предложен-

u ∼ 10⁸ см/с. На оси симметрии z лайнера распола-

ном на базе работ [2, 3].

гается мишень из материала с атомами Y с большим

Возможность сжатия магнитного потока прове-

атомным номером. Сжатое и ускоренное вихревым

рена, например, в эксперименте [6]. Через струю га-

электрическим полем кольцо ионов входит в эту ми-

зообразного неона в виде полого цилиндра длиной

шень. В столкновениях Xe+Z + Y на K-оболочке и

L = 2 см с начальным радиусом R_i = 2 см пропус-

более высоких оболочках этих ионов и атомов обра-

кался созданный генератором сверхвысокой элек-

зуются вакансии, в результате чего возникает харак-

трической мощности (СВЭМ) импульсный разряд с

теристическое рентгеновское излучение с квантами

током 7.5 МА. Было получено конечное (в момент

в единицы и десятки килоэлектронвольт (используя

наибольшего сжатия) магнитное поле B_f = 40 МГс

различные ионы и атомы мишени, энергию кван-

при начальной (до сжатия) величине B_i = 100 кГс.

тов можно менять в широких пределах). Суммарная

Таким образом, при двадцатикратной степени ради-

энергия излучения составляет примерно 20 % от ки-

ального сжатия было достигнуто усиление магнит-

нетической энергии, переданной лайнеру от СВЭМ,

ного поля в 20² = 400 раз, что доказывает надеж-

и может на существующих установках достигать

ность удержания магнитного потока сжимающимся

≳ 10 МДж. Любопытным свойством возникающего

лайнером, свидетельствующую о его высокой элек-

излучения является то, что оно испускается в виде

тропроводности. Установлено, что наличие сжима-

узкого луча с углом раствора приблизительно 2^◦ в

емого оболочкой магнитного поля обеспечивает по-

течение нескольких наносекунд. Таким образом, при

вышенную устойчивость движения лайнера по срав-

достижении частоты повторения импульсов пример-

нению с его сжатием без захваченного магнитного

но один раз в минуту средняя яркость источника со-

поля.

ставит ∼ 10²⁵ фотонов/с·мм²·мрад², т. е. столько же,

Добавим, что образование ионных колец по схе-

сколько, намечается в проекте Европейского рентге-

ме, представленной на рис. 1, доказано в опытах с

новского лазера на свободных электронах (XFEL).

протонами [7, 8].

Поскольку линии характеристического спектра уз-

166

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Условия устойчивого ускорения ионных колец. . .

кие, Δλ/λ ∼ 10-3, как и у XFEL, излучение облада-

rBi ≫ rBe,

(2)

ет свойством когерентности на длине λ²/Δλ ∼ 10³λ,

что позволяет применять его для изучения свойств

поэтому, как и в [4], при изучении неустойчивостей,

мезоскопических объектов. Источник нашел бы при-

связанных с электронами, движение ионов можно

менение также в исследованиях по инерциальному

считать прямолинейным (более детальное обоснова-

управляемому термоядерному синтезу, в рентгенов-

ние дано ниже).

ской литографии и в других областях.

Неустойчивости будем анализировать в линей-

Детальная таблица значений других парамет-

ном приближении, согласно которому их наличие

ров рентгеновского источника на основе двух суще-

устанавливается из дисперсионного соотношения

ствующих установок имеется в работе [5]. Приведем

ω = ω (k) = ω′ (k) + iω′′ (k), где ω — в общем случае

здесь некоторые отсутствующие в этой таблице дан-

комплексная частота и k — вещественный волновой

ные. Так, градиент поля, необходимый для останов-

вектор возбуждаемых колебаний. Зависимость ω (k)

ки ионного кольца поля в правом соленоиде, состав-

в плазме с нерелятивистскими частицами находится

ляет ∼ 0.1 Тл/см. Между анодом и полым катодом

из условия равенства нулю продольной диэлектри-

импульсного источника ионов длиной ∼ 10 см, изго-

ческой проницаемости:

товленного по отражательной схеме из работы [13],

требуется в течение времени τ_p ≈ 0.1 мкс поддер-

ε (ω, k) = 0.

(3)

живать напряжение ≈ 150 кВ. При вводе электро-

Будем считать, что средняя скорость ионов u на-

нов в полый катод на его концах образуются вирту-

правлена перпендикулярно магнитному полю B. За-

альные катоды, запирающие электроны внутри ка-

дача об устойчивости плазмы при таком движении

тода. В результате за время примерно τ_p каждый

ионов в случае ω_Be ≫ ω_e была рассмотрена в ра-

электрон совершает около 100 осцилляций внутри

боте [4] на основе гидродинамического приближе-

полого катода. Электроны ионизуют впускаемые в

ния для ионов и электронов, которое при ω_Be ≫

полый катод порции газообразного ксенона. Стен-

≫ ω_e удовлетворительно описывает возникающую

ки катода имеют форму усеченных конусов. Вслед-

пучковую неустойчивость. Здесь ω_Be = eB/mc, ω_e =

ствие этого между концами катода создается напря-

√

4πn₀e²/m и m — соответственно ларморова,

жение ∼ 100 кВ, разгоняющее ионы ксенона до на-

плазменная частоты и масса электронов. В нашем

чальной энергии ∼ 1 МэВ.

случае ω_Be ≪ ω_e, поэтому, как будет видно ниже,

гидродинамического описания оказывается недоста-

3. ИСХОДНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

точно и необходимо применить более общее — кине-

тическое.

При выходе из коаксиального диода ионы Xe+Z

Все приводимые ниже численные оценки будут

своим электрическим полем вытягивают вслед за со-

относиться к условиям опыта по созданию импульс-

бой электроны, поэтому заряд ионов в пучке прак-

ного рентгеновского источника сверхвысокой мощ-

тически полностью компенсируется этими электро-

ности, предложенного в статье [5], согласно которой

нами, которые движутся вместе с ионами примерно

начальные (перед ускорением) параметры плазмы

с такой же скоростью:

таковы: n0i ≈ 2 · 1014 см-3, n0e ≈ 1.5 · 1015, u ∼

∼ 10⁸ см/с, M = 2.3·10-22 г (ионы ксенона c зарядом

v ≈ u.

(1)

Z = 8), B_i ≈ 5 · 10⁴ Гс.

В случае максвелловского распределения анали-

Во время сжатия кольца ионы взаимодействуют

тическое выражение для ε (ω, k) можно получить

как с электронами плазмы, так и, при посредстве

только в предельных случаях предельно малых,

электронов, между собой. Последний вид взаимо-

Δ ≪ γ/k, и больших, Δ ≫ γ/k, величин разбросов

действия может привести к развитию коллектив-

Δ частиц по скоростям [17] (здесь γ = max ω^′′ (k) —

ных неустойчивостей, наиболее опасной из кото-

инкремент неустойчивости). Эта трудность преодо-

рых в нашем случае является альфвеновская ионно-

левается, если для функций распределения ионов и

циклотронная [14-16]. Этот вопрос требует отдель-

электронов по скоростям использовать выражения

ного рассмотрения, а здесь ограничимся выяснени-

в виде рациональных функций:

ем роли торможения ионов на электронах.

Вследствие (1) радиус ионного кольца, r_Bi, обра-

Δ_i

зующегося в правом соленоиде, намного превышает

f_i (v) =

[

]₂ ,

(4)

радиус ларморовских орбит электронов r_Be,

π²

(v - u)² + Δ²

167

А. С. Дзарахохова, Н. П. Зарецкий, А. В. Максимычев и др.

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Δ_e

Созданное кольцом поле B_r направлено против

f_e (v) =

d³v.

(5)

π² (v² + Δ2e)²

поля правого соленоида B. Следовательно, по ме-

ре накопления ионов магнитное поле внутри кольца

По поводу формул (4) и (5) необходимо сде-

становится меньше, чем снаружи. Изменение маг-

лать следующее замечание. Что касается (4), то эта

нитного поля во времени приводит к возникнове-

формула вполне пригодна для количественных оце-

нию азимутального вихревого электрического поля,

нок, поскольку столкновительная релаксация ионов

которое тормозит часть ионов. Толщина кольца в

крайне медленна и, следовательно, их функция рас-

радиальном направлении увеличивается и в нашем

пределения существенно отличается от максвеллов-

случае составляет приблизительно r_Bi/2 ≈ R/2. От-

ской. Электроны же быстро, за время τ_ee ≈ 0.5 нс,

сюда следует оценка Br ∼ 2πniMu2/B. В целях

релаксируют к максвелловскому распределению с

дальнейшего анализа введем понятие эффективно-

температурой T_e, определяемой запасом их энергии.

го параметра бета, характеризующего диамагнетизм

Дисперсионное соотношение (3) с максвелловскими

кольца, который в проекте [5] оказывается суще-

электронами не может быть получено в аналитиче-

ственным:

ском виде, а при численном его исследовании те-

(

)

ряется наглядность. В частности, из-за погрешно-

B_r

4πn_i

Mu²/2

β=

∼ 1.

(7)

стей численного расчета в нашем случае не удает-

B²

ся получить качественный ответ — с достоверно-

Соотношение (7) свидетельствует о возможном

стью убедиться в пороговом характере исчезнове-

ния пучковой неустойчивости с ростом T_e. Исполь-

образовании ионного кольца, внутри которого сум-

марное поле направлено противоположно по отно-

зование формулы (5) для электронов позволяет для

продольной диэлектрической проницаемости найти

шению к наружному, т.е. о так называемой конфи-

гурации с обращенным полем. Добавим, что в на-

явное и легко анализируемое уравнение. Оконча-

шем случае характерное время ввода пучка поряд-

тельное же количественное условие отсутствия кол-

ка периода обращения ионов в магнитном поле. По

лективного торможения ионов будет приведено ни-

этой причине при вводе пучка нарушается аксиаль-

же для реального случая, т. е. для максвелловских

ная симметрия, что является необходимым услови-

электронов.

ем для образования конфигурации с обращенным

В важной для нас формуле (7.2) из книги [18]

полем [19, 20]. И действительно, такие кольца обра-

имеется опечатка: вместо k_z V₀ следует писать ска-

зовывались в опытах [7,8] при малом времени ввода

лярное произведение k · V₀. По этой причине в

пучка. В более поздних исследованиях, представлен-

Приложении приведен простой вывод формулы для

ных в обзоре [21], этот процесс был изучен более де-

ε (ω, k). В случае (4) и (5) уравнение (3) принимает

тально. Траектории ионов при этом становятся до-

вид

вольно сложными [?,22,23], а распределения ионов

[

]

и электронов по скоростям значительно уширяются.

sin² θ

cos² θ

ω²

Добавим, что при испускании ионов из диода также

^e (ω + ikΔ_e)² - ω2Be

(ω + ikΔ_e)2

создается начальный значительный разброс по ско-

ω2i

ростям. По этим причинам характерные значения

= 1.

(6)

(ω - k · u + ikΔ_i)²

параметров для плазмы в кольце проекта [5] имеют

вид

√

Здесь ωi =

4πn₀Ze²/M и M — соответственно

δ_i ∼ δ_e ∼ 1,

(8)

плазменная частота и масса ионов, θ — угол меж-

где δi = Δi/u и δe = Δe/u. При этом процессы

ду векторами k и B.

сжатия ионного кольца и ускорения ионов остают-

Отметим, что в формуле (6) отсутствуют цик-

ся устойчивыми даже при обращении направления

лотронные резонансы с номерами n > 1, что объ-

поля внутри кольца [21, 25, 26].

ясняется малостью радиусов циклотронных орбит

электронов, kr_Be ≪ 1, характерной для нашего слу-

чая. Для ионов справедлив противоположный слу-

4. РЕЗУЛЬТАТЫ

чай, kr_Bi ∼ ω_er_Bi/u = ω_e/ω_Bi ∼ 10⁴ ≫ 1 (характер-

ная величина k приведена в следующем разделе),

Рассмотрим сначала случай δ_e = 0. При указан-

поэтому можно считать, что r_Bi = ∞, т. е., как го-

ных выше параметрах плазмы ω2e ≫ ω2Be, а именно

ворилось выше, их траектории можно считать пря-

ω2Be/ω2e ≈ 0.15, поэтому положим сначала для про-

молинейными.

стоты ω2Be = 0 и, кроме того, рассмотрим случай

168

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Условия устойчивого ускорения ионных колец. . .

соответствует устойчивым колебаниям и по этой

0.044

причине на рис. 2 не показан. Как видно из рис. 3, с

ростом δ_i траектории нулей наклоняются вниз. При

(

)

0.022

δi ∼ ξ1/3 ∼ 0.1, где ξ = ω2i/

2ω2e

∼ 1.5 · 10-4,

как показано на рис. 4, происходит разрыв, «переза-

мыкание» верхней из траекторий. От нее отделяет-

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

ся сливовидная петля, окружающая точку ω = ω_e.

–0.022

В этой петле в действительности имеется невиди-

мый на рисунках небольшой разрыв, соответствую-

щий предельным случаям k → 0 и k → ∞. Часть

-0.044

этой петли при δ_e = 0 всегда расположена в верх-

Рис. 2. Зависимости корней уравнения (6) при ω2Be = 0,

ней полуплоскости комплексной переменной ω. Са-

k||u, δe = 0 и δi = 0 от модуля волнового вектора k. На

мая верхняя часть этой кривой соответствует наи-

осях абсцисс и ординат отложены соответственно безраз-

большей величине инкремента, определяемой интер-

мерные величины Ω^′ = ω^′ (k) /ωe и Ω^′′ = ω^′′ (k) /ωe

поляционной формулой

(_√

)₃

γ_max ≈ ω_e

(9)

δ²

+ 3ξ2/3/4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Отсюда ясно, что в случае δ_e = 0 при любом зна-

-0.072

чении δ_i всегда имеется пучковая неустойчивость с

возбуждением волн с ω ≈ ω_e. Причина состоит в

-0.144

том, что в системе пучка электроны колеблются с

частотой ω^′e = ω_e - ku. При k ≈ ω_e/u эта частота

становится сравнимой с малой частотой ω_i, поэтому

-0.216

всегда имеется резонанс между плазменными коле-

баниями электронов и ионов [17,18,27].

Рис. 3. То же, что и на рис. 2, но при δi = 0.1. Верхняя

Определим теперь пороговое значение разброса

нулевая траектория из рис. 2 претерпела разрыв

по скоростям электронов δ^CRe, при котором исчезает

коллективное торможение ионов. Начнем рассмот-

0.02

рение со случая δ_e = 0, δ_i ≈ 1 и будем увеличивать

одновременно и на одинаковую малую величину как

δ_e, так и δ_i. При этом нулевые кривые, соответству-

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

ющие δ_e = 0, δ_i ≈ 1, которые по форме подобны

-0.02

приведенным на рис. 3, сдвигаются как целое вниз

. Из (9) заключаем, что неустойчи-

на величину δ_e

-0.04

вость исчезает при

(_√

)₃

-0.06

δ_e >

∼ 0.5ξ ∼ 10-4.

(10)

δ2i

Рис. 4. Верхняя нулевая кривая в окрестности точки Ω^′ =

= 1, Ω^′′ = 0 перед самым ее разрывом. Значения пара-

Отсюда видно, что для подавления неустойчивости

метров: ω2Be = 0, k||u, δe = 0 и δi = 0.0901

требуется наличие достаточно большого разброса по

энергиям как у ионов, так и у электронов.

Этот вывод основан на приближении (4), (5) и ве-

k||u. Полученные ниже выводы об условиях подав-

рен в качественном (пороговый характер исчезнове-

ления пучковой неустойчивости остаются справед-

ния неустойчивости), но не в количественном отно-

ливыми и при отказе от этих приближений. Решение

шении. Теперь учтем тот факт, что в действительно-

уравнения (6) для разных k при δ_i = δ_e = 0 пред-

сти электроны успевают релаксировать к равновес-

ставляет собой линии («траектории нулей»), приве-

ному максвелловскому распределению. При v_e ≪ u

денные на рис. 2. Еще один, четвертый, корень этого

электроны, принадлежащие к дальнему «хвосту»

уравнения расположен вблизи Ω^′ = -1, веществен,

этого распределения, приводят к затуханию Ландау.

169

А. С. Дзарахохова, Н. П. Зарецкий, А. В. Максимычев и др.

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

C использованием известных формул из теории за-

тухания Ландау вместо (6) получаем

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

)₂

⁽ω_e

ω2i

- 2iϕ +

= 1,

(11)

(ω - ku + ikΔ_i)²

√

-0.1

где теперь δ_e

= v_e/u, v_e

T_e/m и ϕ

√πδ-3e exp⁽-δ-2e). Исследуя характерную для

пучковой неустойчивости область ω ≈ ω_e, k ≈ ω_e/u,

из (11) заключаем, что указанная неустойчивость

–0.2

подавляется затуханием Ландау на электронах при

условии

Рис. 5. То же, что на рис. 3, но при ω2Be/ω2e ≈ 0.15

(_√

)₃

(_√

)₃

немонохроматичности только ионов. Одновременно

ϕ>

∼

ξ.

(12)

необходим также и достаточно большой разброс по

δ2i

энергиям электронной составляющей. В практичес-

В интересующем нас случае δ_i ∼ 1 оно справедли-

ком отношении этот вывод важен для оценки воз-

во уже при δ_e > δ^CRe, где δ^CRe ≈ 0.2. Использова-

можности ускорения ионов с применением сжимаю-

ние строгого выражения для вклада в диэлектриче-

щихся лайнеров.

скую проницаемость от максвелловских электронов

Показано, что в интересующем нас типичном

[28] с табличными данными из [29] приводит к вели-

случае (8) коллективное торможение ионов на элек-

чине δ^CRe ≈ 0.15, что соответствует начальной тем-

тронах отсутствует. Отметим, что для подавления

пературе электронов T^CRe ≈ 1 эВ. При этом условие

рассмотренной здесь неустойчивости вовсе не тре-

kr_Be ≪ 1 все еще выполняется, поэтому электрон-

буется иметь необходимую для подавления пучко-

ные циклотронные резонансы с n > 1, не учтенные

вой неустойчивости достаточно большую величи-

в формуле (6), несущественны.

ну начального разброса по скоростям электронов

Различие оценок (10) и оценок, полученных с ис-

Δ0e

≳ Δ^CRe, которую сложно создать, применяя

пользованием (11), объясняется гораздо более быст-

импульсные коаксиальные диоды. Действительно,

рым убыванием максвелловского распределения с

пусть начальный разброс очень мал: Δ0e ≪ Δ^CRe,

ростом скорости электронов v по сравнению с (5). С

т. е. T0e ≪ T^CRe ≈ 1 эВ. В нашем случае это соот-

этим же обстоятельством связана довольно слабая

ветствует δ_e = 0, δ_i ≈ 1 и, согласно (9), инкременту

зависимость величины δ^CRe от δ_i: так, при δ_i = 0.3

пучковой неустойчивости

по указанным таблицам получаем δ^CRe ≈ 0.2.

(_√

)₃

Таким образом, использование (5) приводит к

γ_max ≈ ω_e

ξ ≈ 2 · 10⁸ с-1.

значениям δ^CRe, значительно отличающимся от по-

лученных для максвелловского распределения элек-

Таким образом, уже на самом начальном этапе раз-

тронов. Тем не менее расчет в приближении (5) поз-

вития неустойчивости, за время ∼ 0.1-1 нс, элект-

воляет явным образом убедиться в пороговом харак-

роны нагреются до температуры T^CRe, после чего

тере исчезновения пучковой неустойчивости с рос-

коллективное торможение ионов на электронах ис-

том величины Δ_e.

чезнет.

Приведенные выше оценки относились к началь-

Учет наличия электронной циклотронной часто-

ному периоду ускорения. Заметим, что все введен-

ты ω_Be в дисперсионном выражении (6) не меняет

ные выше безразмерные параметры остаются посто-

полученных выводов. Как видно из рис. 5, снова по-

янными в процессе сжатия плазмы лайнером, поэто-

лучаются траектории нулей, подобные приведенным

му в нашем случае (8) пучковая неустойчивость не

на рис. 2-4. Разница состоит лишь в том, что ука-

развивается и в течение всего этого процесса.

занная выше сливовидная петля окружает теперь

точку

√

5. ВЫВОДЫ

√

ω=

ω²⁰+ ω⁴⁰-4ω2eω2Be cos² θ ≈ ω_e+

sin² θ,

2ω_e

Из приведенного выше анализа заключаем, что

где

для подавления пучковой неустойчивости ионного

√

кольца в поперечном магнитном поле недостаточно

ω₀ = ω2e + ω2Be.

170

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Условия устойчивого ускорения ионных колец. . .

⎧

Установленные в данной статье условия осу-

⎪

iq (iωk_x + ω_Bek_y)

⎪vx = -

ϕ,

ществления или отсутствия коллективного меха-

⎪

m (ω² - ω2Be)

⎨

низма торможения пучков быстрых электронов

iq (iωk_y - ω_Bek_x)

(15)

v_y = -

ϕ,

следует учитывать также при разработке методов

⎪

m (ω² - ω2Be)

лазерного термоядерного синтеза, рассмотренных в

⎪

qk_z

[30].

^⎩v_z =

ϕ.

mω

Объемная плотность электронов равна n = n₀ +

Благодарности.

Авторы

благодарны

+n₁. Здесь n1 (r, t) — ее слабое возмущение под дей-

М. Д. Скорохватову за полезные замечания.

ствием волны, |n₁| ≪ n₀. Эту величину находим из

уравнения непрерывности ∂n/∂t + ∇ · (nv) = 0. Пу-

ПРИЛОЖЕНИЕ

тем линеаризации последнего получаем

k·v

Вывод уравнения (6)

n₁ = n₀

(16)

Электрическое поле волны, возбуждаемой иона-

Формулы (15), (16) дают следующее выражение

ми в плазме, обозначим через E (r, t). В формуле из

для возмущения плотности заряда электронов:

электродинамики

(

)

ω2ek²

sin² θ

cos² θ

1 ∂A

ρ_e = qn₁ =

ϕ,

(17)

E = -∇ϕ -

4π ω² - ω2Be

ω²

c ∂t

где θ — угол между векторами k и B.

пренебрегаем последним членом, поскольку нас ин-

Как говорилось выше, выражение (17) относится

тересует плазма с нерелятивистскими частицами.

к системе отсчета K, в которой при t = 0 частицы

Таким образом, это поле является потенциальным:

покоились. Если же они двигались со скоростью v,

то надо перейти в систему отсчета K^′, движущуюся

E ≈ -∇ϕ.

(13)

относительно K со скоростью v. В последней части-

Рассмотрим сначала облако «холодных» элект-

цы при t = 0 покоились, и поэтому к ней применима

ронов (для определенности говорим пока о них),

формула (17), но с заменой ω на ω^′ = ω - k · v. Дей-

скорость которых в произвольной точке r в мо-

ствительно, координаты в обеих системах связаны

мент t имеет определенное значение, равное v (r, t).

формулой r = r^′ + vt. Электрическое поле в волне

Это облако описывается функцией распределения

колеблется по закону

f (r, V, t) = n (r, t) δ [V - v (r, t)]. В этом случае ки-

нетическое описание поведения облака, основанное

exp(ik · r - iωt) = exp[ik · (r^′ + vt) - iωt] =

на уравнении Власова (в пренебрежении столкнове-

= exp(ik · r^′ - iω^′t),

ниями), равносильно гидродинамическому [17, 18].

поэтому частота колебаний в системе K^′ равна ω^′.

Пусть при t = 0 облако электронов покоится.

Таким образом, формулу (17) следует переписать в

При t > 0 оно начинает двигаться под действием

виде

электрического поля волны

ω2ek²

ρ_e =

g (ω - k · v) ϕ,

(

)

4π

E = E0 cos(k · r - ωt) = Re

E₀eik·r-iωt

где

= Re (-ikϕ)

sin² θ

cos² θ

g (ω - k · v) =

по закону

(

)

(ω - k · v)² - ω2Be

(ω - k · v)²

E+

v×B ,

(14)

Пусть электроны состоят из групп A, движущих-

ся со скоростями v_A и имеющих плотности n_A. Тог-

совпадающему с уравнением движения одной час-

да

тицы, что является следствием линеаризации гид-

(

)₂

родинамического уравнения Эйлера. Здесь мы пре-

∑

ω^Ae

k²

небрегли действием на электроны магнитного поля

ρ_e =

ρ^Ae = ϕ

g (ω - k · v_A) =

4π

волны, малого по сравнению с основным магнит-

∑

ным полем в плазме B, вдоль которого направим

ω2ek²

ϕ ξ_Ag (ω - k · v_A),

(18)

ось z. Решение (14), записанное в комплексной фор-

4π

ме, имеет вид

171

А. С. Дзарахохова, Н. П. Зарецкий, А. В. Максимычев и др.

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

где ξ_A = n_A/n₀ — доля электронов, принадлежащих

где ε ≡ ε (k, ω) = 1 + 4πχ — продольная диэлектри-

∑

группе A, n₀ =_A n_A — полная плотность электро-

ческая проницаемость плазмы. В случае произволь-

нов. В случае непрерывного распределения по ско-

ной плотности сторонних зарядов, ρ_ex = ρ_ex (r, t),

ростям вместо (18) имеем

созданный ими в плазме электрический потенциал

∫

равен

ω²k

∫

ρ_e =

ϕ d³vf (v) g (ω - k · v) .

d³kdω 4πρ_ex (k, ω)

4π

ϕ(r, t) =

eik·r-iωt

(2π)⁴

ε (k, ω) k²

Здесь f (v) — функция распределения, нормирован-

В отсутствие сторонних зарядов из (22) следу-

ная условием

∫

ет соотношение ϕε (k, ω) = 0. При наличии волны

d³vf (v) = 1.

ϕ = 0, откуда следует уравнение (3).

Рассмотрим распределения вида

В случае плазмы, состоящей из частиц различ-

Δ_a

ных видов «a», возмущение плотности полного за-

f_a (v) =

[

]₂ .

ряда, очевидно, равно

π²

(v - u_a)² + Δ²

∑

В (20) сделаем замену переменной интегрирования

ρ=

ϕ ω2aJ_a,

(19)

4π

V = v - u_a, тогда

∫

Δ_a

g_a (ω + i0 - k · u_a - k · V)

где

J_a =

d³V

∫

π²

(V² + Δ2a)²

J_a = d³vf_a (v) g_a (ω - k · v) ,

(20)

Для расчета этого интеграла направим ось z вдоль

вектора k и проинтегрируем по перпендикулярным

sin² θ

cos² θ

g_a (ω - k · v) =

к ней компонентам скорости, в результате имеем

(ω - k · v)² - ω2Ba

(ω - k · v)²

∫

∞

Δ_a

g_a (ω + i0 - k · u_a - kV_z)

q_aB

J_a =

dV_z

ω_Ba =

V2z + Δ

m_ac

-∞

По правилу Ландау, следующему из принципа при-

Три полюса подынтегрального выражения лежат в

чинности, в (20) следует заменить ω → ω + i0.

верхней полуплоскости комплексной переменной V_z

Вследствие большой массы для ионов можно по-

и один, V_z = -iΔ_a, — в нижней. Замыкая контур

ложить ω_Bi = 0, поэтому

интегрирования в нижней полуплоскости, получаем

g_i =

sin² θ

J_a =

(ω - k · v)²

² -ω2Ba

(ω - k · u_a + ikΔ_a)

Пусть теперь помимо собственных зарядов в

cos² θ

плазме имеется сторонний заряд с плотностью

(ω - k · u_a + ikΔ_a)²

С учетом сказанного уравнение (3) принимает

ρ_ex = ρ₀ exp(ik · r - iωt).

(21)

вид (6).

Перепишем (19) в виде

ρ = -k²χϕ,

ЛИТЕРАТУРА

1. I. Langmuir, Proc. Nat. Acad. Sci. 14(8), 627 (1928).

где

1^∑

2. Л. И. Меньшиков, С. Л. Недосеев, В. П. Смир-

χ=-

ω2aJ_a

4π

нов, Л. Н. Сомов, Препринт ИАЭ-5077/6, Москва

(1990).

— поляризуемость плазмы. Из уравнения Пуассона

3. Л. И. Меньшиков, С. Л. Недосеев, В. П. Смирнов,

∇ · E = 4π(ρ + ρ_ex)

Л. Н. Сомов, Атомная энергия 71, 511 (1991).

4. Б. Б. Кадомцев, в сб. Физика плазмы и проблема

и (13) находим

управляемых термоядерных реакций, т. IV, с. 364,

4π

ϕ=

ρ_ex,

(22)

Изд-во АН СССР, Москва (1958).

εk²

172

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Условия устойчивого ускорения ионных колец. . .

V. Bystritskii, F. J. Wessel, N. Rostoker, and H. Rah-

18.

А. Б. Михайловский, Теория плазменных неус-

man, in Current Trends in International Fusion Re-

тойчивостей. Неустойчивости однородной плаз-

search, Springer (1997), pp. 347-364.

мы, т. 1, Атомиздат, Москва (1970).

F. S. Felber, M. M. Malley, F. J. Wessel, M. K. Mat-

19.

D. E. Baldwin and M. E. Rensink, Comments on

zen, M. A. Palmer, R. B. Spielman, M. A. Liberman,

Plasma Phys. Control. Fusion 4, 55 (1978).

and A. L. Velikovich, Phys. Fluids 31, 2053 (1988).

20.

R. N. Sudan, AIP Conf. Proc. 311, 194 (1994).

P. L. Dreike, J. B. Greenly, D. A. Hammer, and

R. N. Sudan, Phys. Rev. Lett. 46, 539 (1981).

21.

M. Tuszewski, Nucl. Fusion 28, 2033 (1988).

P. L. Dreike, J. B. Greenly, D. A. Hammer, and

22.

M. Y. Wang and G. H. Miley, Nucl. Fusion 19, 39

R. N. Sudan, Phys. Fluids 25, 59 (1982).

(1979).

Н. Н. Петров, Атом 37, 2 (2008).

23.

D. A. Larrabee and R. V. Lovelace, Phys. Fluids 25,

10.

P. N. Alekseev, V. V. Ignatiev, S. A. Konakov,

714 (1982).

L. I. Menshikov, N. N. Ponomarev-Stepnoi,

V. N. Prusakov, V. A. Stukalov, and S. A. Subboti-

24.

L. C. Steinhauer, Phys. Plasmas 18, 070501 (2011).

ne, Nucl. Eng. Design 173, 151 (1997).

25.

R. V. Lovelace, Phys. Fluids 22, 542 (1979).

11.

Л. А. Микаэлян, П. Е. Спивак, В. Г. Циноев, ЯФ

1, 853 (1965).

26.

R. N. Sudan and E. Ott, Phys. Rev. Lett. 33, 355

(1974).

12.

В. И. Ляшук, Ю. С. Лютостанский, Письма в

ЖЭТФ 103, 331 (2016).

27.

А. В. Тимофеев, Резонансные явления в колебани-

13.

В. М. Быстрицкий, ЖТФ 55, 2040 (1985).

ях плазмы, Физматлит, Москва (2000).

14.

R. C. Davidson and J. M. Ogden, Phys. Fluids 18,

28.

В. Д. Шафранов, в сб. Вопросы теории плазмы,

1045 (1975).

вып. 3, с. 3, Госатомиздат, Москва (1963).

15.

T. Tajima, K. Mima, and J. M. Dawson, Phys. Rev.

29.

B. D. Fried and S. D. Conte, The Plasma Dispersion

Lett. 39, 201 (1977).

Function: the Hilbert Transform of the Gaussian,

Acad. Press, New York, London (1961).

16.

I. S. Chernoshtanov and Yu. A. Tsidulko, Fusion Sci.

Tech. 63(1T), 319 (2013).

30.

С. Ю. Гуськов, Н. В. Змитренко, О. Р. Рагимли,

17.

А. А. Иванов, Физика сильнонеравновесной плаз-

Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша, 094 (2017);

мы, Атомиздат, Москва (1977).

DOI: https://doi.org/10.20948/prepr-2017-94.

173