ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 1, стр. 180-188

НЕОДНОРОДНОСТЬ СТРУКТУРНЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК ПЫЛЕВОЙ ПЛАЗМЫ В ГАЗОВОМ РАЗРЯДЕ

А. В. Тимофеев^a,b, В. С. Николаевa,b*, В. П. Семенов^a,c

^a Объединенный институт высоких температур Российской академии наук

125412, Москва, Россия

^b Московский физико-технический институт (Национальный исследовательский университет)

141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^c Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

101000, Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 июня 2019 г.,

после переработки 8 июля 2019 г.

Принята к публикации 9 июля 2019 г.

Плазменно-пылевые кристаллы принято рассматривать как пространственно-однородные структуры с

равными значениями структурных и термодинамических параметров в различных областях системы. В

работе показано, что уже в системе частиц с упрощенной моделью взаимодействия, учитывающей экрани-

рованный кулоновский потенциал и параболическую ловушку, возникает неоднородность межчастичного

расстояния, амплитуды тепловых колебаний частиц, параметра Линдеманна и параметра неидеальности.

Исследуется вопрос о распределении величины кинетической энергии частиц в неоднородном плазменно-

пылевом монослое: показано, что из-за неоднородности структурных параметров средняя кинетическая

энергия частиц в центральной части структуры может значительно отличаться от средней кинетической

энергии частиц на периферии. Обнаруженные эффекты проверяются при помощи аналитических мето-

дов и численного моделирования, а также посредством сравнения с плазменно-пылевым экспериментом

в тлеющем разряде постоянного тока. Полученные результаты имеют важное значение для исследо-

вания конечных систем одноименных зарядов в ловушке и изучения механизма фазовых переходов в

плазменно-пылевых системах.

DOI: 10.31857/S0044451020010216

этого момента исследования пылевой плазмы выде-

лились в отдельное направление.

В земных условиях пылевая плазма чаще все-

1. ВВЕДЕНИЕ

го исследуется в условиях тлеющего разряда посто-

янного тока [12-15] или высокочастотного разряда

Пылевая плазма была впервые открыта Ленгмю-

[16, 17]. Частицы пыли, инжектированные в плаз-

ром в 1920-е гг. [1]. Особое внимание исследовате-

му разряда, заряжаются до больших величин за-

лей она привлекла в 1980-е гг., когда было пока-

ряда (от нескольких сотен до сотен тысяч элемен-

зано, что из одноименно заряженных пылевых час-

тарных зарядов) и сильно взаимодействуют друг

тиц состоят кольца Сатурна, и было обнаружено,

с другом. Степень неидеальности системы значи-

что пылевая плазма является источником загрязне-

тельно возрастает, что приводит к возникновению

ния кремниевых подложек в процессе их травления

упорядоченных структур, называемых плазменно-

[2-7]. В 1986 г. Икези предсказал возможность воз-

пылевыми кристаллами.

никновения сильно неидеальной системы из заря-

Плазменно-пылевые кристаллы на протяжении

женных частиц в условиях плазменно-пылевых экс-

долгого времени рассматривались в качестве мо-

периментов [8]. Эта возможность была подтвержде-

дельной системы для конденсированного состояния

на в 1994 г. сразу несколькими группами [9-11]. С

вещества. Возможность непосредственного наблю-

дения каждой частицы пылевого кристалла стиму-

^* E-mail: vladiorussia@mail.ru

лировала изучение принципов структурообразова-

180

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Неоднородность структурных и динамических характеристик.. .

ния [18-20], процессов тепломассопереноса, диффу-

2. ОБЗОР РАБОТ ПО НЕОДНОРОДНОСТИ

зии [21], распространения акустических волн [22,23]

СИСТЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В

и спектральных свойств системы [24]. Сами кристал-

ЛОВУШКЕ

лы практически всегда считались пространственно-

В большинстве теоретических работ в качестве

однородными, и структурные и динамические свой-

основного приближения для описания взаимодейст-

ства (межчастичное расстояние, парная корреляци-

вия пылевых частиц в плазме используется экра-

онная функция, параметр Линдеманна, параметр

неидеальности, спектр системы) рассчитывались и

нированный кулоновский потенциал [7]. В связи с

отталкивательным характером данного потенциала

усреднялись по всей структуре. Исследователи уде-

ляли недостаточное внимание неоднородности на-

образование устойчивых структур из взаимодейст-

вующих по нему частиц возможно только при пери-

блюдаемых систем и ее влиянию на их структурные

и динамические свойства.

одических граничных условиях. Свойства и фазовая

диаграмма таких модельных бесконечных однород-

ных систем детально изучены [30].

Впервые неоднородность плотности и амплиту-

В условиях реального эксперимента одноимен-

ды тепловых колебаний в ансамбле частиц, взаимо-

но заряженные частицы удерживаются от разлета

действующих по чисто кулоновскому потенциалу в

электростатической ловушкой. Она может быть обу-

параболической ловушке, обсуждалась в работе Бе-

словлена явлением амбиполярной диффузии в тлею-

данова и Питерса в 1994 г. [25]. Применительно к

щем разряде постоянного тока [14] или создаваться

системам частиц, взаимодействующих по экраниро-

специальным металлическим или стеклянным коль-

ванному кулоновскому потенциалу в ловушке, ис-

цом в высокочастотном разряде [16]. В первом при-

следование зависимости плотности от радиального

ближении она имеет параболический профиль.

расстояния было проведено в 2002 и 2006 гг. [26,27].

Системы из частиц, взаимодействующих по

В этих работах рассматривалась только плотность

экранированному кулоновскому потенциалу в по-

структур и не уделялось внимания поведению дина-

ле параболической ловушки, принято называть

мических параметров. В работе [28] соавторы дан-

шарами Юкавы вследствие их сферической сим-

ной статьи показали, что неоднородность плотно-

метричности. Структурные свойства шаров Юкавы

сти в системах частиц Юкавы в ловушке приводит

исследованы в двумерном [31] и трехмерном [18]

также к неоднородности спектров колебаний час-

случаях. При большом числе частиц структуры

тиц, параметров Линдеманна и неидеальности и фа-

являются оболочечными во всем объеме кроме

зового состояния системы. Эти результаты ставят

центральной части, в которой может начать расти

под сомнение точность термина «плазменно-пыле-

кристаллическая решетка

[32]. Ниже приведен

вой кристалл» применительно к упорядоченным си-

краткий обзор основных известных авторам работ,

стемам пылевых частиц в плазме газовых разрядов,

в которых исследуется вопрос об однородности

ведь подсистемы частиц в различных областях си-

таких систем.

стемы могут обладать различными структурными,

Первое глубокое исследование, в котором обра-

динамическими свойствами и фазовым состоянием.

щается внимание на неоднородность межчастично-

го расстояния и амплитуды тепловых колебаний в

В данной работе детально исследуется неод-

ограниченных структурах из заряженных частиц,

нородность структурных и динамических свойств

было проведено в 1994 г. Бедановым и Питерсом

плазменно-пылевого монослоя. Исследование про-

[25]. В их работе исследуются двумерные системы,

водится аналитическими и численными методами.

взаимодействующие по чисто кулоновскому потен-

Демонстрируется фундаментальная неоднородность

циалу и удерживаемые либо потенциалом жестких

плотности, параметра Линдеманна и параметра

стенок, либо параболической ловушкой. Показано,

неидеальности в рассматриваемой системе. Впер-

что в случае параболической ловушки расстояние

вые показывается, что неоднородность плотности

между частицами увеличивается от центра к пери-

плазменно-пылевого монослоя может приводить к

ферии системы, а амплитуда тепловых колебаний

неоднородности средней кинетической энергии го-

частиц возрастает от центра до некоторого радиу-

ризонтального движения пылинок в различных об-

са, а затем убывает к периферии структуры, дости-

ластях системы. Полученные теоретические резуль-

гая максимального значения на средних оболочках.

таты сравниваются с экспериментальными данны-

Также обсуждается двухэтапный механизм плавле-

ми [29].

ния таких структур: показано, что внутриоболочеч-

181

А. В. Тимофеев, В. С. Николаев, В. П. Семенов

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

ное разупорядочивание происходит при более низ-

мы, приводит к флуктуациям электрического поля,

ких температурах, чем межоболочечное.

что, в свою очередь, приводит к флуктуациям элек-

Следующие шаги по изучению структурной

трических сил, действующих на заряженную пыле-

неоднородности были сделаны для систем частиц,

вую частицу. Это вызывает ее хаотическое движе-

взаимодействующих по экранированному куло-

ние, дополнительное к броуновскому. Показано, что

новскому потенциалу. Для двумерных систем на

в условиях, характерных для плазменно-пылевого

основании результатов численного моделирования

эксперимента, основной вклад в разогрев пылевых

в работе [26] показано, что плотность структуры

частиц вносят флуктуации плотности ионов, и пы-

квадратично уменьшается с увеличением радиаль-

левые частицы могут разогреваться данным меха-

ного расстояния от центра к периферии системы.

низмом до энергий, на несколько порядков превы-

Аналогичные результаты были позже получены

шающих температуру окружающего газа.

для трехмерных структур [27] при помощи анали-

Разогрев пылевых частиц, вызванный флуктуа-

тических методов, в основе которых лежит теория

циями их заряда, рассмотрен в работах [44, 45].

функционала плотности. Стоит отметить, что в

Флуктуации заряда всегда присутствуют в пылевой

работе [26] обнаружено состояние системы, в кото-

плазме из-за дискретности процесса зарядки пыле-

ром жидкая и упорядоченная фазы сосуществовали

вых частиц. Флуктуации заряда приводят к флукту-

друг с другом. Авторы [26, 27] исследовали неод-

ациям действующих на пылевые частицы электри-

нородность плотности структур, но не коснулись

ческих сил, что, в свою очередь, приводит к разо-

вопроса о влиянии изменяющегося межчастичного

греву пылинок. В работах [44,45] показано, что дан-

расстояния на поведение амплитуды тепловых ко-

ный механизм может приводить к разогреву пыле-

лебаний частиц в кристаллической фазе, параметра

вой компоненты до средней кинетической энергии в

Линдеманна, неидеальности системы и спектров

несколько электронвольт.

колебаний частиц.

Стоит отметить, что представленные механизмы

Этот пробел восполнен в работе соавторов дан-

не зависят от среднего расстояния между пылевыми

ного исследования [28], в которой построена и под-

частицами в структуре и предполагают равномер-

тверждена результатами численного моделирования

ный разогрев частиц в неоднородном монослое из

аналитическая модель, описывающая зависимость

пылевых частиц. К неоднородности разогрева пы-

амплитуды тепловых колебаний частиц и параметра

левых частиц может приводить резонансный меха-

Линдеманна от локального расстояния между час-

низм переноса энергии между степенями свободы,

тицами. В текущей работе результаты, полученные

рассмотренный в работе [46]. Действие данного ме-

с использованием предложенной в [28] модели, срав-

ханизма основано на том, что вертикальные колеба-

ниваются с экспериментальными данными [29].

ния частиц влияют не только на силу их вертикаль-

Особое внимание уделяется неоднородности

ного взаимодействия, но и на силу их горизонталь-

разогрева частиц в плазменно-пылевом монослое

ного взаимодействия по причине изменения расстоя-

в условиях лабораторного эксперимента. Возмож-

ния между частицами во время колебаний. Интен-

ность разогрева частиц до аномально высоких

сивность перекачки энергии между вертикальными

значений кинетической энергии по сравнению с

и горизонтальными колебаниями частиц напрямую

температурой окружающего газа является харак-

зависит от среднего межчастичного расстояния. Та-

терной особенностью пылевой плазмы [33-46]. В

ким образом, данный механизм может существенно

литературе было предложено несколько возможных

влиять на распределение по структуре средней ки-

механизмов разогрева пылинок.

нетической энергии горизонтального движения при

Один из них основан на взаимодействии пыле-

наличии структурной неоднородности в системе.

вых частиц с положительно заряженными ионными

В экспериментальных работах неоднородности

облаками, образующимися между слоями пылевого

плазменно-пылевых структур не уделялось доста-

кристалла [33], и не может быть применен для плаз-

точного внимания, прежде всего, из-за трудности ее

менно-пылевого монослоя.

диагностики. Можно выделить эксперимент с одно-

В работе [35] рассматривается влияние флуктуа-

мерными пылевыми структурами [47], посвященный

ций электрического поля разряда на среднюю кине-

изучению фононов в одномерной юкавовской цепоч-

тическую энергию пылевых частиц. Принцип дейст-

ке. В нем был впервые измерен градиент среднего

вия данного механизма основан на том, что про-

межчастичного расстояния в структуре. Отдельно-

странственное разделение зарядов, обусловленное

го упоминания заслуживает эксперимент индийской

тепловым движением заряженных компонент плаз-

группы [29], в котором плазменно-пылевой монослой

182

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Неоднородность структурных и динамических характеристик.. .

исследовался в приэлектродном слое тлеющего раз-

и влияния на нее самих пылевых частиц. По этим

ряда постоянного тока. В ходе этого эксперимента

причинам потенциалы (1) и (3) стоит воспринимать,

были впервые одновременно измерены радиальные

скорее, как эффективный подход к описанию взаи-

профили плотности и средней энергии горизонталь-

модействия пылинок, подтвердивший свою приме-

ного движения в монослое из пылевых частиц. Кро-

нимость [2, 4, 7].

ме того, авторы [29] оценили параметр неидеально-

Рассмотрим упорядоченную двумерную структу-

сти в различных областях системы и обнаружили

ру из большого числа пылевых частиц, взаимодейст-

его неоднородность.

вующих по потенциалам (1) и (3). Под большим чис-

лом понимается количество достаточное, чтобы рас-

сматриваемая структура проявляла макроскопичес-

3. НЕОДНОРОДНОСТЬ СТРУКТУРНЫХ

кие свойства [29]. Предположим, что известен ради-

СВОЙСТВ И ФАЗОВОГО СОСТОЯНИЯ

альный профиль плотности n(d) или межчастично-

ПЛАЗМЕННО-ПЫЛЕВОГО МОНОСЛОЯ

го расстояния Δ_local(d), измеренный в лабораторном

или численном эксперименте. Согласно работе [26],

Для исследования неоднородности плотности и

значение плотности квадратично убывает от центра

фазового состояния плазменно-пылевого монослоя

к периферии структуры, а межчастичное расстоя-

в данном разделе мы опираемся на упрощенную мо-

ние монотонно увеличивается. При этом

дель взаимодействия частиц, использованную в ра-

боте [28]. Она включает в себя экранированный ку-

(4)

Δ_local(d) = n-1/3(d).

лоновский потенциал и параболическую ловушку.

Экранированный кулоновский потенциал задается

В таком случае при учете условия (2), означаю-

следующим выражением:

щего, что вклад в энергию частицы вносят толь-

ко ближайшие N_c соседей, можно получить зависи-

мость потенциальной энергии частицы от радиаль-

V (r) =

exp(-κr),

(1)

ного расстояния:

где Q — заряд частицы, полагаемый равным и посто-

E_single(d) = E_trap(d) + E_C(d) =

янным для всех частиц, κ — постоянная экраниро-

Q²

вания, r — расстояние между частицами. В данной

αQd²

+N_c

exp(-κΔ_local(d)) .

(5)

работе рассматривается ситуация сильного экрани-

Δ_local(d)

рования:

Первое слагаемое E_trap в этой сумме связано с

вкладом в энергию частицы энергии в поле ловуш-

κΔ_local > 1,

(2)

ки, второе E_C — энергии межчастичного взаимодей-

ствия. При расчете характерной частоты колебаний

где Δ_local — среднее расстояние между двумя со-

частицы относительно положения равновесия (час-

седними частицами. Для математического описания

тоты Эйнштейна [30]) в системе, взаимодействую-

электростатической ловушки используется форму-

щей по экранированному кулоновскому потенциалу,

ла, дающая параболический профиль потенциала

используется следующая формула:

U_trap в зависимости от расстояния d до центра ло-

вушки:

2κ²

ω2E(d) =

E_C(d) =

U_trap =

αd²,

(3)

2κ²

Q²

exp(-κΔ_local(d)) ,

(6)

N_c Δ

local(d)

где α — параметр ловушки. В условиях реально-

где M — масса частицы. Далее, используя сообра-

го плазменно-пылевого эксперимента как форма по-

жения теории динамики кристаллической решетки

тенциала (1), так и профиль ловушки (3) являют-

в низкотемпературном приближении [30], можно с

ся лишь первым приближением к описанию сил,

точностью до постоянного коэффициента рассчи-

действующих на пылевые частицы. Это связано с

тать квадрат амплитуды тепловых колебаний час-

тем, что линеаризация уравнения Пуассона, при-

тицы относительно положения равновесия:

меняемая в ходе вывода экранированного кулонов-

ского потенциала, некорректна в случае сильно за-

3kT(d)

ряженных пылевых частиц. В свою очередь, про-

〈u²〉(d) ≈

Mω2E(d)

филь ловушки может отклоняться от параболиче-

= A²T(d)Δ_local(d)exp(κΔ_local(d)) ,

(7)

ского вследствие неоднородности разрядной плазмы

183

А. В. Тимофеев, В. С. Николаев, В. П. Семенов

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

где T (d) — радиальный профиль средней кинетичес-

кой энергии пылевых частиц в структуре, A — коэф-

фициент, не зависящий от радиального расстояния.

Из этой формулы напрямую следует, что неодно-

родность плотности плазменно-пылевой структуры

приводит также к неоднородности величины сред-

неквадратичного смещения частиц от положения

равновесия в кристаллической плазменно-пылевой

1 мм

структуре. Данная формула подтверждена в [28] по

результатам численного моделирования и в этой ра-

Рис. 1. Структура из 368 частиц, (а) наблюдавшаяся в

боте используется самостоятельно.

эксперименте [29] в приэлектродном слое тлеющего разря-

Из (7) также следует неоднородность параметра

да постоянного тока; (б) полученная в данной работе при

Линдеманна, равного отношению амплитуды тепло-

помощи численного моделирования при значениях пара-

вых колебаний к расстоянию между частицами:

метров Q = 3300e, κ = 136.0 см-1, α = 0.0005 ед. СГСЭ.

√

Данные значения получены с использованием формул (4)

〈u²(d)〉

T (d) exp (κΔ_local(d))

и (7)-(9)

δ(d) =

(8)

Δ_local(d)

Стоит отметить, что при условии постоянства

но и динамические свойства плазменно-пылевых си-

средней кинетической энергии частиц T по структу-

стем, что подчеркивает их ценность.

ре параметр Линдеманна увеличивается от центра

к периферии системы, что указывает на неоднород-

Одной из экспериментальных работ, в которых

ность ее фазового состояния.

исследуется неоднородность плазменно-пылевых

Неоднородность межчастичного расстояния и

кристаллов, является эксперимент индийской груп-

средней кинетической энергии частиц в структу-

пы [29]. Он посвящен исследованию монослоя из

ре также обеспечивает неоднородность параметра

пылевых частиц в тлеющем разряде постоянного

неидеальности, который для плазменно-пылевой си-

тока. В работе впервые измерены зависимости

стемы записывается как [48]

межчастичного расстояния, кинетической энергии

(

)

горизонтального движения пылинок и параметра

λ²(d)

Γ^∗ =

1 + λ(d) +

неидеальности от расстояния до центра системы.

Δ_local(d)k_BT(d)

Обнаружена неоднородность каждого из этих па-

× exp(-λ(d)) ,

(9)

раметров: межчастичное расстояние в структуре

где λ(d) = κΔ_local(d).

увеличивается от 250 мкм в центральной области

Формулы (4), (7)-(9) содержат полный набор па-

структуры до

300

мкм на периферии, средняя

раметров, определяющих взаимодействие пылевых

кинетическая энергия горизонтального движения

частиц и структурные характеристики плазменно-

монотонно убывает, а параметр неидеальности

пылевой системы: в эти формулы входят заряд час-

монотонно возрастает с увеличением радиального

тицы, константа экранирования и косвенно (через

расстояния. В то же время заряд, радиус экра-

величину межчастичного расстояния) параметр ло-

нирования, параметр параболической ловушки не

вушки. Таким образом, располагая данными о неод-

измерены экспериментаторами. По измеренному в

нородности плотности, амплитуды тепловых колеба-

эксперименте профилю средней кинетической энер-

ний, средней кинетической энергии частиц и пара-

гии горизонтального движения частиц и формулам

метра неидеальности в плазменно-пылевой системе,

(7)-(9) в данной работе оценены эффективные

можно сделать достаточно точные оценки парамет-

параметры экспериментальной пылевой структуры:

ров, входящих в потенциалы (1) и (3). Хочется еще

Q = 3300e ± 100e, где e — элементарный заряд;

раз отметить, что полученные значения будут соот-

κ = 136.0±20.0 см-1; α = 0.0005±0.0001 ед.СГСЭ.

ветствовать не абсолютным, а эффективным значе-

Система пылевых частиц при данных значени-

ниям приведенных параметров, так как формы по-

ях Q, κ, α исследована путем численного решения

тенциалов (1) и (3) записаны в первом приближе-

уравнений движения пылевых частиц скоростной

нии. К примеру, полученный по этим оценкам заряд

схемой Верле. Данный метод аналогичен методу мо-

может оказаться далек от реального заряда пылевой

лекулярной динамики [45, 49]. Количество частиц в

частицы в эксперименте. Тем не менее, такие оцен-

численном эксперименте выбрано равным 368, как в

ки могут позволить описать не только структурные,

экспериментальной структуре. Учет трения и разо-

184

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Неоднородность структурных и динамических характеристик.. .

340

320

300

320

280

300

260

240

280

220

260

200

180

240

160

220

140

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Расстояние от центра структуры, мм

Рис. 2. Сравнение радиального профиля межчастичного расстояния (а) и параметра неидеальности (б) в эксперимен-

тальной структуре [29] и в структуре, полученной в ходе численного моделирования в данной работе при параметрах

Q = 3300e, κ = 136.0 см-1, α = 0.0005 ед.СГСЭ. Крестами отмечены экспериментальные точки, сплошными линиями —

зависимости, построенные по модельной структуре

грева колебаний частиц при моделировании в дан-

левого монослоя, но и неоднородность средней кине-

ном разделе не проводится, так как исследуются

тической энергии горизонтальных колебаний пыле-

структурные свойства системы. Средняя кинетиче-

вых частиц: она монотонно уменьшается от центра

ская энергия частиц в модельной системе постоянна,

к краю монослоя. Целью данного раздела являет-

однородна и соответствует комнатной температуре.

ся исследование влияния неоднородности плотнос-

Конфигурации частиц, полученные в [29] и в дан-

ти плазменно-пылевого монослоя на разогрев гори-

ной работе, представлены на рис. 1. Как видно на

зонтальных колебаний пылевых частиц и сравнение

рис. 2, в расчетной и экспериментальной структу-

расчетного радиального профиля средней кинети-

рах радиальные профили межчастичного расстоя-

ческой энергии горизонтальных колебаний пылевых

ния и параметра неидеальности совпадают в преде-

частиц с экспериментальным [29].

лах погрешности эксперимента. При расчете пара-

метра неидеальности учитывается эксперименталь-

При определенных условиях в плазменно-пыле-

ное распределение средней кинетической энергии

вой структуре может происходить перекачка энер-

частиц по структуре.

гии между вертикальными и горизонтальными ко-

лебаниями. Один из механизмов ее реализации, ос-

Таким образом, в данном разделе показано, что

нованный на явлении параметрического резонанса,

формулы (4) и (7)-(9) с учетом измеренного в экс-

описан в работе [46], и интенсивность перекачки

перименте профиля средней кинетической энергии

энергии в нем явным образом зависит от среднего

пылевых частиц могут использоваться для опре-

межчастичного расстояния. Таким образом, струк-

деления эффективных параметров взаимодействия,

турная неоднородность вместе с перекачкой энергии

входящих в формулы (1) и (3). Рассчитанные та-

от вертикальных колебаний к горизонтальным мо-

ким образом параметры позволяют достаточно точ-

гут приводить к неоднородному разогреву горизон-

но описать структурные свойства и фазовое состо-

тальных колебаний частиц.

яние реальных плазменно-пылевых кристаллов. Во-

прос о том, обусловлена ли неоднородность кинети-

Для исследования этой возможности в модель

ческой энергии пылевых частиц структурной неод-

пылевой плазмы вносится ряд изменений, позволяю-

нородностью системы или является следствием дру-

щих учитывать влияние разогретых до средней ки-

гих механизмов, рассматривается в следующем раз-

нетической энергии T_z вертикальных колебаний на

деле.

энергию горизонтального движения частиц.

Для корректного рассмотрения динамических

4. НЕОДНОРОДНЫЙ РАЗОГРЕВ

ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

свойств системы поддержание температуры моде-

ПЫЛЕВЫХ ЧАСТИЦ В МОНОСЛОЕ

лируемого ансамбля осуществляется термостатом

Ланжевена [50,51], состоящим из силы трения и сто-

В эксперименте [29] наблюдается не только неод-

хастической силы, описывающей случайные соуда-

нородность структурных параметров плазменно-пы-

рения с нейтральными молекулами газа:

185

А. В. Тимофеев, В. С. Николаев, В. П. Семенов

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

√

0.14

4γk_BT_room

F_Lang = -2Mγv +

(10)

0.13

M Δt

0.12

где v — скорость пылевой частицы, γ — коэффици-

0.11

ент трения, T_room — температура нейтральной ком-

0.10

поненты, Δt — шаг интегрирования при моделиро-

0.09

вании. Коэффициент трения рассчитывается по сле-

0.08

дующей формуле [4]:

0.07

√

0.06

2π r2dn_nT_room

γ =

(11)

0.05

v_nM

0.04

где r_d — радиус пылевой частицы, n_n — концент-

0.03

рация нейтральных частиц, v_n — скорость их теп-

Расстояние от центра структуры, мм

лового движения. Значения величин, входящих в

эту формулу, задаются в соответствии с экспери-

Рис. 3. Сравнение профилей средней кинетической энер-

ментом [29]: в нем используется аргон при давлении

гии горизонтальных колебаний, полученных моделирова-

нием при различных значениях нормированного градиента

0.06 Торр и температуре 300 К и пылевые частицы

электрического поля, и профиля, полученного эксперимен-

с массой M = 7 · 10-11 г и радиусом 2.19 мкм, что

тально в работе [29]. Крестами отмечены эксперименталь-

дает значение коэффициента трения γ = 4.06 см-1.

ные данные, штриховой линией — результаты моделиро-

Дополнительно учитывается действующая на

вания при ez = 16 см-1, точками — при ez = 12 см-1,

каждую частицу вертикальная электрическая сила.

сплошной линией — при ez = 8.8 см-1. Значение энергии

Она уравновешивает силу тяжести и обладает изме-

вертикальных колебаний во всех случаях равно 10 эВ

няющейся по вертикали напряженностью:

E_el = E₀(1 - e_zz),

(12)

тикальных колебаний не зависят от среднего меж-

где e_z — нормированный градиент электрического

частичного расстояния [35,44]. Значение T_z в расче-

поля; E₀ — значение напряженности на уровне, где

тах изменяется в диапазоне от 1 эВ до 40 эВ, что

сила тяжести и электростатическая сила уравнове-

соответствует значениям, наблюдаемым в работах

шены; z — вертикальная координата.

[37, 40-42]. Нормированный градиент электрическо-

В данном разделе в ходе численного моделиро-

го поля e_z изменяется в диапазоне от 2 до 24, харак-

вания система из пылевых частиц исследуется пу-

терном для приэлектродного слоя тлеющего разря-

тем решения уравнений движения пылевых частиц.

да постоянного тока [52].

Число частиц в системе выбирается равным 368,

Для сравнения профиля средней кинетической

как в эксперименте [29]. Параметры потенциала вза-

энергии горизонтального движения пылевых частиц

имодействия пылевых частиц задаются в соответ-

с экспериментальным модельная структура разби-

ствии с оценками, полученными в предыдущем раз-

вается на три области, по которым усредняются зна-

деле по формулам (7)-(9): Q = 3300e ± 100e, κ =

чения энергии горизонтального движения частиц.

= 136.0 ± 20.0 см-1, α = 0.0005 ± 0.0001 ед.СГ-

Во всем диапазоне энергий вертикальных колебаний

СЭ. При таком наборе параметров получающаяся

T_z = 1 ÷ 40 эВ и значений нормированного гради-

в моделировании структура близка к эксперимен-

ента электрического поля e_z = 2 ÷ 24 см-1 сред-

тальной и представляет собой монослой из пылевых

няя кинетическая энергия горизонтального движе-

частиц радиусом 3 мм.

ния зависит от расстояния до центра системы. При

Стоит отметить, что энергия вертикальных коле-

этом для всех значений T_z найдены значения e_z, при

баний T_z и нормированный градиент электрическо-

которых профиль энергии горизонтальных колеба-

го поля e_z, оказывающие сильное влияние на интен-

ний совпадает с экспериментальным профилем [29].

сивность перекачки энергии от вертикальных коле-

Это наблюдение, с одной стороны, позволяет сде-

баний к горизонтальным [46], не измерялись в экспе-

лать вывод о возможности неоднородного разогрева

рименте [29]. Для выбора значений этих параметров

горизонтальных колебаний, вызванного структур-

в данной работе используется следующий подход.

ной неоднородностью плазменно-пылевой системы,

Энергия вертикальных колебаний T_z принимается

в рассматриваемом широком диапазоне параметров,

одинаковой для всех частиц в монослое, так как наи-

а с другой — не позволяет сделать оценку экспери-

более распространенные механизмы разогрева вер-

ментальных значений T_z и e_z. Для иллюстрации ха-

186

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

Неоднородность структурных и динамических характеристик.. .

рактерного вида зависимости энергии горизонталь-

предположение о фундаментальной неоднородности

ных колебаний от расстояния до центра структуры

упорядоченных плазменно-пылевых структур в

на рис. 3 приводится эта зависимость при энергии

параболической ловушке с точки зрения ключевых

вертикальных колебаний T_z = 10 эВ и различных

параметров (плотности, кинетической энергии, фа-

значениях нормированного градиента электрическо-

зового состояния) и предлагается анализировать их

го поля e_z. Видно, что при нормированном градиен-

в локальном приближении, разбивая на подсистемы

те электрического поля, равном 8.8 см-1, получен-

с близкими к однородным свойствами.

ная расчетная зависимость совпадает с эксперимен-

тальной в пределах погрешности эксперимента.

Финансирование. Работа выполнена с ис-

На основании полученных результатов можно

пользованием оборудования Центра коллективного

сделать вывод о том, что неоднородность плотнос-

пользования

сверхвысокопроизводительными

ти плазменно-пылевого монослоя и перенос энер-

вычислительными ресурсами МГУ им. М. В. Ло-

гии от вертикальных колебаний к горизонтальным

моносова. Работа В. С. Николаева поддержана

могут приводить к неоднородному разогреву гори-

грантом Президента Российской Федерации для

зонтальных колебаний пылевых частиц в диапазоне

государственной поддержки ведущих научных

параметров, характерном для плазменно-пылевых

школ НШ-5922.2018.8. Работа А. В. Тимофеева под-

экспериментов [37,40-42]. Таким образом, основные

держана Правительством Российской Федерации

свойства плазменно-пылевых структур (плотность,

(соглашение 074-02-2018-286). Работа В. П. Семё-

средняя кинетическая энергия колебаний, фазовое

нова поддержана Программой фундаментальных

состояние) могут являться фундаментально неодно-

исследований Национального исследовательского

родными и требуют рассмотрения в локальном при-

университета «Высшая школа экономики» (НИУ

ближении.

ВШЭ) и субсидией в рамках государственной

поддержки ведущих университетов Российской

Федерации «5-100».

5. РЕЗУЛЬТАТЫ

В работе изучено влияние структурной неодно-

ЛИТЕРАТУРА

родности упорядоченных плазменно-пылевых си-

1. I. Langmuir, C. G. Found, and A. F. Detmer, Science

стем на неоднородность их динамических свойств,

60, 392 (1924).

включающих амплитуду тепловых колебаний,

параметр Линдеманна и параметр неидеальности.

2. В. Н. Цытович, УФН 167, 57 (1997).

Показано, что уже в упрощенной модели пылевой

плазмы, включающей в себя взаимодействие пыле-

3. P. K. Shukla and A. A. Mamun, Introduction to Dusty

вых частиц по экранированному кулоновскому по-

Plasma Physics, IOP, Bristol (2002).

тенциалу и параболическую ловушку, возникающие

4. В. Е. Фортов, А. Г. Храпак, С. А. Храпак,

структуры принципиально неоднородны: межча-

В. И. Молотков, О. Ф. Петров, УФН 174, 5 (2004).

стичное расстояние, амплитуда тепловых колебаний

и параметр Линдеманна увеличиваются от центра

5. А. В. Филиппов, Взаимодействие заряженных

к периферии системы, в то время как параметр

микрочастиц в пылевой плазме и электролитах,

неидеальности уменьшается. Предложена методика

LAP Lambert Acad. Publ., Saarbrücken (2018).

оценки эффективных параметров взаимодей-

6. С. И. Попель, Лекции по физике пылевой плазмы,

ствия пылевых частиц по степени неоднородности

МФТИ, Москва (2012).

плазменно-пылевых структур. Впервые теоретиче-

ски исследован вопрос об однородности разогрева

7. V. N. Tsytovich, G. Morfill, S. V. Vladimirov, and

пылевых частиц в монослое: при помощи ком-

H. M. Thomas, Lect. Notes in Phys. 731, Springer,

пьютерного моделирования продемонстрировано,

Berlin, Heidenberg (2008).

что увеличение межчастичного расстояния от

8. H. Ikezi, Phys. Fluids 29, 1765 (1986).

центра к периферии пылевой структуры приводит

к уменьшению энергии горизонтальных колебаний

9. J. H. Chu and L. I, Phys. Rev. Lett. 72, 4009 (1994).

частиц. Полученные теоретические результаты

согласуются с экспериментальными данными. На

10. H. Thomas, G. E. Morfill, V. Demmel et al., Phys.

основании полученных результатов можно сделать

Rev. Lett. 73, 652 (1994).

187

А. В. Тимофеев, В. С. Николаев, В. П. Семенов

ЖЭТФ, том 157, вып. 1, 2020

11.

Y. Hayashi and K. Tachibana, Jpn. J. Appl. Phys.

31.

H. Totsuji, C. Totsuji, and K. Tsuruta, Phys. Rev.

Part 2 33, L804 (1994).

E 64, 066402 (2001).

12.

G. I. Sukhinin, A. V. Fedoseev, S. N. Antipov et al.,

32.

H. Totsuji, T. Kishimoto, C. Totsuji, and K. Tsuruta,

Phys. Rev. E 87, 013101 (2013).

Phys. Rev. Lett. 88, 125002 (2002).

13.

И. С. Самойлов, В. П Баев, А. В. Тимофеев,

33.

V. A. Schweigert, I. V. Schweigert, A. Melzer et al.,

Р. Х. Амиров, А. В. Кириллин, В. С. Николаев,

Phys. Rev. E 54, 4155 (1996).

З. В. Бедрань, ЖЭТФ 151, 582 (2017).

34.

И. В. Швейгерт, В. А. Швейгерт, В. М. Беданов и

14.

D. N. Polyakov, V. V. Shumova, and L. M. Vasilyak,

др., ЖЭТФ 114, 1672 (1998).

Plasma Sources Sci. Technol. 26, 8 (2017).

35.

О. С. Ваулина, А. Ю. Репин, О. Ф. Петров и др.,

ЖЭТФ 129, 1118 (2006).

15.

R. E. Boltnev, M. M. Vasiliev, E. A. Kononov, and

O. F. Petrov, Sci. Rep. 9, 3261 (2019).

36.

A. A. Samarian, B. James, S. V. Vladimirov et al.,

Phys. Rev. E 64, 1 (2001).

16.

T. S. Ramazanov, K. N. Dzhumagulova, A. N. Juma-

bekov, and M. K. Dosbolayev, Phys. Plasmas 15,

37.

A. Melzer, A. Homann, and A. Piel, Phys. Rev. E 53,

053704 (2008).

2757 (1996).

17.

U. Konopka, G. E. Morfill, and L. Ratke, Phys. Rev.

38.

S. Nunomura, T. Misawa, N. Ohno et al., Phys. Rev.

Lett. 84, 891 (2000).

Lett. 83, 1970 (1999).

18.

O. Arp, D. Block, A. Piel, and A. Melzer, Phys. Rev.

39.

Y. Ivanov and A. Melzer, Phys. Plasmas 12, 072110

Lett. 93, 165004 (2004).

(2005).

19.

Yu. E. Lozovik and V. A. Mandelshtam, Phys. Lett.

40.

R. A. Quinn and J. Goree, Phys. Plasmas 7, 3904

A 145, 269 (1990).

(2000).

20.

Б. А. Клумов, Г. Е. Морфилл, Письма в ЖЭТФ

41.

О. С. Ваулина, А. А. Самарян, Б. Джеймс и др.,

90, 489 (2009) [B. A. Klumov and G. E. Morfill,

ЖЭТФ 123, 1179 (2003).

JETP Lett. 90, 444 (2009)].

42.

R. A. Quinn and J. Goree, Phys. Rev. E 61, 3033

21.

S. A. Khrapak, N. P. Kryuchkov, S. O. Yurchenko et

(2000).

al., J. Chem. Phys. 142, 194903 (2015).

43.

A. V. Ivlev, U. Knopka, and G. E. Morfill, Phys. Rev.

22.

A. Piel and A. Melzer, Plasma Phys. Control. Fusion

E 62, 2739 (2000).

44, R1 (2002).

44.

O. S. Vaulina, S. A. Khrapak, A. P. Nefedov et al.,

23.

N. P. Kryuchkov, E. V. Yakovlev, and E. A. Gorbu-

Phys. Rev. E 60, 5959 (1999).

nov, Phys. Rev. Lett. 121, 075003 (2018).

45.

G. E. Norman and A. V. Timofeev, Phys. Rev. E 84,

24.

Y. Ivanov and A. Melzer, Phys. Rev. E 79, 036402

056401 (2011).

(2009).

46.

В. П. Семенов, А. В. Тимофеев, Матем. моделиро-

вание 30, 3 (2018).

25.

V. Bedanov and F. Peeters, Phys. Rev. B 49, 2667

(1994).

47.

B. Liu and J. Goree, Phys. Rev. E 71, 046410 (2005).

26.

H. Totsuji, Phys. Plasmas 8, 1856 (2001).

48.

O. Vaulina and X. Koss, Phys. Rev. E 92, 042155

(2015).

27.

C. Henning, H. Baumgartner, A. Piel et al., Phys.

Rev. E 74, 056403 (2006).

49.

В. В. Стегайлов, Г. Э. Норман, Матем. моделиро-

вание 24(6), 3 (2012).

28.

V. S. Nikolaev and A.V. Timofeev, Phys. Plasmas 26,

50.

Б. А. Клумов, УФН 180, 1095 (2010) [B. A. Klumov,

073701 (2019).

Phys. Usp. 53, 1053 (2010)].

29.

M. Hariprasad, P. Bandyopadhyay, G. Agora, and

51.

D. S. Lemons and A. Gythiel, Amer. J. Phys.65,

A. Sen, Phys. Plasmas 25, 123704 (2018).

1079 (1997).

30.

M. Robbins, K. Kremer, and C. Grest, J. Chem.

52.

R. J. Carman, J. Phys. D: Appl. Phys. 22(1), 55

Phys. 88, 3286 (1988).

(1989).

188