ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 2, стр. 238-244

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДОВ И ПОЛЯ

В МЕТАЛЛИЧЕСКОМ ОСТРИЕ

М. А. Кожушнерa*, В. С. Посвянский^a, Б. В. Лидский^a,

В. Л. Боднева^a, Л. И. Трахтенбергa,b**

^a Федеральный исследовательский центр химической физики им. Н. Н. Семенова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 7 августа 2019 г.,

после переработки 14 сентября 2019 г.

Принята к публикации 18 сентября 2019 г.

Найдено распределение электрического поля и зарядов в наноразмерном металлическом усеченном кону-

се в сильном электрическом поле. Геометрия задачи соответствует элементам шероховатости поверхно-

сти, а также игле сканирующего туннельного микроскопа. Показано, что происходит сильное, на десятки

процентов, изменение плотности электронов вдоль оси конуса. Поле проникает в глубь металлической

иглы на расстояния порядка нанометра. Заметно меняется положение уровня Ферми вблизи верхнего

основания конуса. Показано, что барьер, через который туннелируют электроны при входе или выходе

из иглы, асимметричен и зависит от знака внешнего электрического поля.

DOI: 10.31857/S0044451020020042

верхность в зависимости от электронной плотнос-

ти показало значительное изменение работы выхо-

да электронов в сильных электрических полях [3].

1. ВВЕДЕНИЕ

Было также показано [4], что взаимодействие точеч-

ного заряда с металлической поверхностью, во-пер-

Согласно классической электростатике (см., на-

вых, зависит от знака заряда и, во-вторых, замет-

пример, [1]), постоянное электрическое поле не про-

но меньше классического взаимодействия с «зер-

никает в толщу металла, а изменение плотности за-

кальным отражением» из-за проникновения поля от

рядов происходит лишь на поверхности. Однако та-

внешнего заряда в металл. Наведенный заряд при

кая идеализированная картина, непроникновение в

этом находится не только на поверхности, но и внут-

металл, справедлива лишь при недостижимо высо-

ри металла.

кой плотности электронов в металле или на доста-

точно больших расстояниях от поверхности в глу-

Следует, однако, иметь в виду, что в указанных

бине металла. В некоторых работах при рассмотре-

работах, где учитывался отход от общепринятого

нии воздействия электрического поля на массивные

рассмотрения воздействия электрического поля на

образцы проникновение поля в металл уже прини-

металлический образец [1], рассматривались макро-

малось во внимание. Так, в работе [2] при расчете

объекты. Вместе с тем, современный уровень ис-

работы выхода электронов из металла учитывалось

следований требует детального изучения взаимодей-

возникновение электрического поля вблизи плоской

ствия электрического поля не только с микро-, но и

поверхности при туннельном выходе электронов че-

с нанообъектами. Действительно, изучаемая поверх-

рез поверхность. Рассмотрение глубины и характе-

ность, как правило, шероховата. А форма элемента

ра проникновения поля в металл через плоскую по-

шероховатости вполне соответствует конусу или усе-

^* E-mail: kozhushner@gmail.com

ченному конусу, причем размер такого конуса — это

^** E-mail: litrakh@gmail.com

нанометры.

238

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Влияние внешнего электрического поля. . .

личина поля в металле и вне его отвечают миниму-

му полной свободной энергии системы. Будем пола-

гать, что металл находится при температуре T =

= 0, поскольку в рассматриваемых нами полях из-

менение энергии электрона на расстояниях порядка

атомных много больше k_BT. Для электронной си-

стемы металла будем использовать модель свобод-

ного электронного газа, что является неплохим при-

ближением в случае кубической симметрии решет-

ки и закрытой поверхности Ферми, например, для

z_t

вольфрама (см. [10]). Тогда плотность полной сво-

бодной энергии в электрическом поле в металле и

вне его может быть записана через плотность элек-

тронов в металле n_-(r) и электростатический по-

тенциал ϕ(r) (здесь и в дальнейшем используется

атомная система единиц):

35/3n4/3

ε(r) =

[n_-(r)]5/3 -0.235 [n_-(r)]4/3 +

Рис. 1. Схематическое изображение иглы и плоского элек-

трода: ρt — радиус верхнего основания усеченного конуса

[∇ϕ(r)]² .

(1)

(иглы), h — расстояние между вершиной конуса и плоским

8π

электродом, zt — высота усеченного конуса, ρ0 — радиус

Здесь первое слагаемое — плотность кинетической

нижнего основания усеченного конуса, b — расстояние от

энергии электронного газа [11], второе слагаемое —

нижнего основания конуса до точки, где потенциал и на-

плотность обменно-корреляционной энергии

[12],

пряженность поля равны нулю

третье слагаемое — плотность электростатической

энергии (эффективная масса электрона полагается

равной массе свободного электрона). Для простоты

Кроме того, за последние декады для исследова-

ния строения поверхности проводников, структуры

в выражении для плотности энергии учтены только

главные слагаемые, а существенно меньшими кор-

электронных и колебательных уровней поверхности

и адсорбатов [5-9] широкое распространение полу-

реляционной добавкой [2] и неоднородной добавкой

к кинетической энергии [13,14] будем пренебрегать.

чил метод, использующий сканирующий туннель-

ный микроскоп (СТМ) [5], размер острия иглы кото-

Потенциал ϕ(r) определяется уравнением Лапласа:

рого тоже составляет нанометры. При этих измере-

ниях электрические поля в области между острием

Δϕ = -4π[n₊ - n_-(r)]

(2a)

СТМ и исследуемой поверхностью имеют величину

порядка 10⁷ В/см и для правильного истолкования

— внутри металла

результатов эксперимента необходимо знать реаль-

ную плотность электронов у конца иглы и распреде-

Δϕ = 0

(2b)

ление поля в межэлектродном промежутке. Имен-

но эта актуальная задача, определение указанных

— вне металла.

величин для конусообразного металлического элек-

Исходя из геометрии задачи (рис. 1), граничные

трода, в зависимости от приложенного напряжения,

условия для уравнений (2) имеют вид

параметров конуса и электронной плотности в мате-

ϕ = 0, z = -b,

(2c)

риале электрода, будет решаться в данной работе.

ϕ = ϕ₀, z = z_t + h.

(2d)

Здесь n₊ — постоянная плотность положительных

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

зарядов, z_t — высота усеченного конуса, h — рассто-

Рассмотрим металлический образец, на поверх-

яние от верхнего основания конуса до поверхности

ности которого находится наноразмерный усечен-

второго электрода, b — расстояние от нижнего осно-

ный конус (рис. 1). Равновесное распределение элек-

вания конуса до точки в образце, где напряженность

тронов внутри металла в электрическом поле и ве-

поля и потенциал можно считать равными нулю,

239

М. А. Кожушнер, В. С. Посвянский, Б. В. Лидский и др.

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

ϕ₀ — заданная разность потенциалов между элек-

выполнен, если бы задача рассматривалась в гра-

тродами. В области, где ∇ϕ(r) = 0, плотность n_-

ницах всего металлического образца. В результате

не зависит от координат и n_- = n₊. Распределение

правая часть уравнения (2a) становится нелиней-

электронов и потенциала отвечает минимуму пол-

ной функцией потенциала ϕ. Для решения задачи

ной энергии E:

использовалась неявная разностная схема с нерегу-

∫

лярной двумерной сеткой, узлы которой сгущались

E = drε(r).

(3)

к границе металла [16].

4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДОВ И

Мы не учитываем туннельной составляющей

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

плотности электронов вне металла [2,3], так как при

больших значениях ϕ₀ влияние туннелирования на

Как показывают расчеты, поле заметно прони-

изменение плотности электронов в игле существен-

кает в металл в области острия. Оказалось, что от-

но меньше, чем от проникновения поля в иглу.

ношение потенциала у вершины усеченного конуса

ϕ_top к полному напряжению ϕ₀, ϕ_top/ϕ₀, не зави-

сит (в пределах точности расчета) от величины ϕ₀,

3. ГЕОМЕТРИЯ ЭЛЕКТРОДА,

а зависит лишь от геометрии конуса, т. е. от ради-

ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕТАЛЛА И МЕТОД

уса нижнего основания (высота и радиус верхнего

РАСЧЕТА

основания конуса в расчетах не менялись) и от n₊.

Значения отношения ϕ_top/ϕ₀ для различных плот-

Рассмотрим усеченный конус с достаточно ши-

ностей n₊ и различных радиусов ρ₀ представлены в

роким нижним основанием (см. рис. 1), у которого

табл. 1.

высота z_t и радиус вершины конуса ρ_t полагаются

Для примера, на рис.2 показаны зависимости по-

постоянными, z_t = 30 (15Å) и ρ_t = 2 (1Å). Рас-

тенциала от координаты z на оси металлического

четы проводились для радиусов нижнего основания

конуса (n₊ = 0.01) при полном напряжении ϕ₀ =

конуса ρ₀ = 5, 10, 30 и средних плотностей поло-

= 0.03675 (1 В). Расчет проводился при различных

жительных зарядов n₊ = 0.01 (6.755 · 19²² см-3)

радиусах основания конуса (нуль потенциала рас-

и 0.02 (1.351 · 19²³ см-3), которые соответствуют

полагается в металле на уровне нижнего основания

плотностям в реальных металлах. Рассматривались

конуса, т. е. при b ≈ 0).

шесть различных значений разностей потенциалов

Абсолютная величина напряженности поля за-

между плоским электродом и иглой ϕ₀ = ±0.03675,

метно увеличивается у вершины иглы (рис. 3) по

±0.0735, ±0.11025 (±1 В, ±2 В, ±3 В). Расстояние

сравнению с полем у плоского электрода и посте-

между вершиной конуса и поверхностью электрода

пенно стремится к нулю в глубине иглы. При изме-

h во всех случаях было одним и тем же, h = 10 (5Å).

нении знака потенциала меняется только знак на-

Размеры конуса, расстояния и напряжения харак-

пряженности, но не ее величина. Нетрудно видеть

терны для СТМ. Выбор конической формы электро-

(рис. 3), что эта абсолютная величина напряжен-

да — иглы СТМ — обусловлен методом ее приготов-

ности у верхнего основания конуса уменьшается, а

ления — срезание проволоки (например, вольфрамо-

у второго электрода растет с увеличением радиуса

вой) под острым углом, а затем ее протравливание.

нижнего основания. Напряженность вблизи верши-

При этом минимальный радиус верхнего основания,

ны для ρ₀ = 5 ат. ед. примерно в 4 раза больше, чем у

который этим способом можно получить, соответст-

вует атомным размерам. Именно такой радиус и ис-

Таблица 1. Значения отношений ϕtop/ϕ0 в зави-

пользовался в расчетах. Интересно, что коническая

симости от радиуса нижнего основания усеченного

форма иглы туннельного микроскопа наблюдалась

конуса ρ0 и плотности n+

в эксперименте (см. [15]).

Минимизация функционала (3) позволяет полу-

ρ₀

чить зависимость n_-(ϕ). При выводе этой зависимо-

n₊

сти будет учтено, что при z = -b, с учетом условия

ϕ_top/ϕ₀

(2b), выполняется равенство n₊ = n_-. Отметим, что

выполнение краевого условия (2c) приводит к тому,

0.01

0.27

0.24

0.18

что закон сохранения заряда не выполняется, так

как электроны уходят (или приходят) с противопо-

0.02

0.24

0.21

0.16

ложной границы металла. Закон сохранения был бы

240

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Влияние внешнего электрического поля

.103

n_- . 10⁴

–50

0.5

1.0

1.5

2.0

Рис. 2. Зависимость электростатического потенциала от

Рис. 4. Зависимость плотности электронов у вершины ко-

координаты вдоль оси конуса при разных радиусах ниж-

нуса от расстояния до его оси при разных радиусах осно-

него основания конуса: ρ0 = 5 ат. ед. (кривая 1), ρ0 =

вания конуса: ρ0 = 5 ат. ед. (кривая 1), ρ0 = 10 ат. ед.

= 10 ат. ед. (кривая 2), ρ0 = 30 ат. ед. (кривая 3). Вер-

(кривая 2), ρ0 = 30 ат. ед. (кривая 3). Полное приложен-

тикальной линией отмечен край иглы — z = zt. Расчет

ное напряжение равно ϕ0 = -0.03675 (-1 В) и средняя

проводился для n+ = 0.01 и ϕ0 = 0.03675 (1 В)

плотность положительных зарядов n+ = 0.01

E. 10³

Таблица 2. Значения отношений Δnzt /n+ в зави-

симости от радиуса нижнего основания усеченного

конуса ρ0 и плотности n+ при ϕ0 = 0.03675 (1 В)

ρ₀

-2

n₊

Δnzt/n

-4

0.01

0.094

0.083

0.058

0.02

0.052

0.045

0.033

–6

нуса. Согласно расчету, относительное изменение

плотности электронов вблизи верхнего основания

конуса квадратично зависит от его радиальной ко-

Рис. 3. Напряженность поля E = dϕ/dz по оси конуса для

ординаты ρ:

случая n+ = 0.01 и ϕ0 = 0.03675 (1 В) при разных ради-

n_-(ρ) - n_-(0)

усах нижнего основания конуса: ρ0 = 5 ат. ед. (кривая 1),

= k(ρ₀)ρ².

(4)

n₊

ρ0 = 10 ат. ед. (кривая 2), ρ0 = 30 ат. ед. (кривая 3)

Зависимость n_-(ρ), при n₊ = 0.01 и ϕ₀ = -0.03675

(-1 В), для различных ρ₀ изображена на рис. 4. От-

плоского электрода. Максимальное увеличение это-

сюда следует, что соответствующая средняя плот-

го отношения в случае конуса заметно больше, чем

ность электронов равна

известное увеличение поля, — в 3 раза у поверхности

n_-(ρ_t) + n_-(0)

металлической сферы [1].

nzt =

(5)

Плотность электронов в металле вблизи верши-

ны конуса заметно отличается от n₊, причем она

Именно эта средняя плотность используется в

несколько изменяется вдоль радиуса у вершины ко-

табл. 2 как плотность электронов вблизи верхнего

241

ЖЭТФ, вып. 2

М. А. Кожушнер, В. С. Посвянский, Б. В. Лидский и др.

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

основания конуса. В этой таблице представлены зна-

чения приповерхностной относительной плотности

электронов

Δnzt/n₊ = (nzt - n₊)/n₊

в зависимости от величины n₊ и радиуса нижнего

основания конуса ρ₀ при ϕ₀ = 0.03675 (1 В). Расче-

ты показывают, что при напряжениях до несколь-

ких вольт величина Δnzt с точностью до нескольких

E^tF

E_F

процентов пропорциональна ϕ₀. При изменении зна-

ка ϕ₀ соответственно меняется и знак Δnzt. Величи-

на Δnzt уменьшается с ростом ρ₀ и слабо увеличива-

E^p

ется с ростом n₊. Из табл. 1 и 2 следует, что относи-

тельное изменение плотности электронов у верхнего

Рис.

5. Изменение энергии электронов (-ϕ(z)) вдоль

основания конуса и величина поля внутри металла

оси иглы от точки b до поверхности плоского электрода

уменьшаются с ростом плотности зарядов в метал-

(сплошная кривая 1) при ϕ0 = 0.03675, штрихпунктир-

ле.

ная линия 2 — ход энергии электронов (-ϕ(z)) при неуче-

Проводились также расчеты для радиусов верх-

те проникновения поля в иглу. В нижней части рисунка

него основания ρ_t > 2 (1Å). Однако зависимости

горизонтальные сплошные линии показывают положения

для электростатического потенциала, напряженно-

уровня Ферми иглы (слева 3) и плоского электрода (спра-

сти поля и плотности электронов не показали ничего

ва 4). Пунктиром слева (в игле 5) отмечено положение

уровня Ферми, если поле не проникает в иглу. Вертикаль-

нового по сравнению с зависимостями, полученны-

ными линиями 6, 7 отмечены границы двух электродов,

ми при изменении радиуса нижнего основания. При

а вертикальной штриховой линией 8 — интервал энергий

этом важно, что совпадают не только закономерно-

электронов, туннелирующих из иглы, A — работа выхода

сти изменения указанных величин, но и амплиту-

электронов из металла

да этих изменений при увеличении радиуса соответ-

ствующего основания.

Полученные результаты позволяют рассчиты-

кальный уровень Ферми E_F (nzt). В принятой нами

вать туннельный ток в СТМ. Предположим для

модели электронного газа

простоты, что работа выхода электрона из иглы

(

√

)2/3

и поверхности электрода одинаковая. Рассмотрим

E_F (n_-) =

3π²n_-/2

(6)

сначала случай, когда туннельный ток соответству-

ет переходу электронов из иглы в исследуемую по-

Тогда увеличение энергии Ферми на краю иглы по

верхность, т.е. положительной разности потенциа-

отношению к энергии Ферми в металле без поля

лов между поверхностью и иглой. При напряжении

(n- = n+), связанное с изменением электронной

ϕ₀ уровень Ферми поверхности электрода опускает-

плотности Δnzt, имеет вид

ся на ту же величину (см. рис. 5). Верхняя энергети-

[

]

ческая граница туннельного барьера следует за хо-

ΔE_F (nzt) = E_F (n₊) (1 + Δnzt/n₊)2/3 - 1 .

(7)

дом -ϕ(z) (см. рис. 2) и оказывается заметно ниже

линии (штрихпунктир), соответствующей нулевому

Для n₊

10-2, согласно выражению

(6),

полю в игле (рис. 5).

E_F (10-2) = 0.223

≈ 6 В, и расчеты показыва-

Следует иметь в виду, что положение локального

ют (см. табл. 2), что при ϕ₀

= 1 В величина

уровня Ферми в игле всегда следует за -ϕ(z) и да-

Δnzt/n₊

= 0.094. Тогда прирост уровня Фер-

леко от вершины оказывается выше уровня Ферми

ми δE_F (nzt) ≈ 0.37 В, а результирующая разность

поверхности (см. рис. 5) на величину напряжения

между уровнями Ферми вершины иглы и поверхнос-

ϕ₀. Тогда вблизи поверхности иглы при неизменной

ти равна

плотности электронов уровень Ферми был бы вы-

ше лишь на величину ϕ₀ - ϕ_top. Но и максимальная

ΔE_F = -(ϕ₀ - ϕ_top) + δE_F (nzt).

(8)

энергия электронов у вершины также увеличивает-

ся, следовательно, плотность электронов возрастает.

Подставляя в выражение (8) данные из табл. 1, по-

Вместе с ростом плотности должен подыматься ло-

лучаем ΔE_F = 0.1 В.

242

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Влияние внешнего электрического поля. . .

из поверхности в иглу меньше, чем при положитель-

ном напряжении.

Таким образом, при узкой вершине иглы вели-

чина туннельного тока в СТМ должна заметно,

на десятки процентов, зависеть от знака напряже-

ния при достаточно больших значениях напряже-

ния, ϕ₀ ≥ 1 В, даже если игла и плоский электрод

сделаны из одного и того же металла. Асимметрия

E^p

туннельного тока связана именно с различной гео-

E_F

метрией электродов.

E^t

Использование для описания наноразмерного

металлического объекта модели желе (размазан-

ность и постоянство положительного заряда), ко-

Рис.

6. Изменение энергии электронов (-ϕ(z)) вдоль

нечно, не может дать точного решения задачи.

оси иглы от точки b до поверхности плоского электрода

Вместе с тем, эта модель применима, когда отно-

(сплошная кривая 1) при полной разности потенциалов

сительное изменение плотности заряда значительно

между поверхностью и иглой ϕ0 = -0.03675, штрихпунк-

меньше единицы, а результирующее поле внутри ме-

тирная линия 2 — ход энергии (-ϕ(z)) при неучете про-

талла существенно меньше внутриатомного. Оба эти

никновения поля в иглу. В нижней части рисунка горизон-

признака относятся к рассматриваемому в данной

тальные сплошные линии показывают положения уровня

работе случаю.

Ферми иглы (слева 3) и плоского электрода (справа 4).

Пунктиром слева (в игле 5) отмечено положение уровня

Ферми, если поле не проникает в иглу. Вертикальными

линиями 6, 7 отмечены границы двух электродов, а верти-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

кальной штриховой линией 8 — интервал энергий электро-

нов, туннелирующих из поверхности плоского электрода в

Показано, что электрическое поле заметно про-

иглу, A — работа выхода электронов из металла

никает в область наноразмерной металлической иг-

лы — усеченного конуса. Задача решалась для ха-

рактеристик конуса, которые соответствуют реаль-

Следовательно, проникновение поля в иглу су-

ной шероховатости поверхности и параметрам иглы

щественно увеличивает туннельный ток. Это про-

туннельного микроскопа. Величины приложенного

исходит по двум причинам: 1) увеличение диапазо-

напряжения отвечают условиям работы сканирую-

на энергий туннелирующих электронов с 1 эВ до

щего туннельного микроскопа. Оказалось, что изме-

1.1 эВ, т. е. увеличение количества туннелирующих

нение потенциала в пространстве между основанием

электронов; 2) уменьшение туннельного барьера из-

иглы и вершиной составляет существенную, в десят-

за проникновения поля в иглу и из-за увеличения

ки процентов, долю от полной разности потенциалов

энергии добавочных туннелирующих электронов.

между электродами. Эта доля зависит главным об-

При изменении знака напряжения (см. рис. 6)

разом от отношения радиусов нижнего и верхнего

электроны туннелируют из поверхности в иглу. Те-

оснований конуса.

перь истинная верхняя граница потенциального ба-

Кроме того, приложенное электрическое поле

рьера (сплошная линия на рис. 6) оказывается выше

значительно меняет плотность электронов вблизи

границы барьера (штрихпунктирная линия) без уче-

вершины, и знак изменения, естественно, зависит

та проникновения поля в иглу. При этом абсолют-

от знака потенциала. Изменение величины потен-

ная величина ϕ_top не зависит от знака потенциала,

циального барьера для туннелирования электронов

и модуль величины Δnzt при небольших напряже-

между конусом и плоским электродом при измене-

ниях, около 1-2 В, не меняется при изменении знака

нии полярности приводит к существенной асиммет-

напряжения. Тогда, поскольку Δnzt/n₊ ≪ 1, сдвиг

рии величины туннельного тока. Все это необходимо

уровня Ферми у вершины иглы (согласно (8)) та-

учитывать при интерпретации экспериментальных

кой же по величине, но меняет знак. Таким образом,

данных, полученных с помощью СТМ.

число электронов, которые могут принять участие

Величина электрического поля вблизи верхнего

в туннелировании, такое же, как и при положитель-

основания конуса оказалась примерно в четыре раза

ном напряжении. Однако теперь барьер для тунне-

больше приложенного поля, т.е. наноразмерные

лирования существенно больше, и поток электронов

выступы на поверхности приводят к существен-

243

М. А. Кожушнер, В. С. Посвянский, Б. В. Лидский и др.

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

ному увеличению поля вблизи них. Это явление

R. J. Hamers and Y. J. Wang, Chem. Rev. 96, 1261

необходимо принимать во внимание при изучении

(1996).

влияния электрического поля на приповерхностные

E. Meyer, H. J. Hug, and R. Bennewitz, Scanning

химические реакции.

Probe Microscopy, Springer, Berlin (2004).

Благодарности.

Авторы

благодарны

S. Kovalevskii, F. Dalidchik, M. Grishin, N. Kolchen-

М. И. Иким за помощь в работе.

ko, and B. Shub, Appl. Phys. A 66, 125 (1998).

Финансирование. Работа выполнена в

I. Diez-Perez, J. Hihath, Y. Lee, L. Yu, L. Adamska,

рамках Государственного задания, тема

45.22

M. A. Kozhushner, I. I. Oleynik and N. Tao, Nature

№0082-2018-0003

(регистрационный

номер

Chem. 1, 635 (2009).

АААА-А18-118012390045-2), а также при поддержке

Российского фонда фундаментальных исследований

10.

И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов,

Электронная теория металлов, Наука, Москва

(гранты №№ 19-07-00141, 18-29-02012).

(1971).

11.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-

ЛИТЕРАТУРА

зика, Т. V Статистическая физика, Наука, Моск-

ва (1995).

1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-

12.

E. Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 (1934).

зика, Т. VIII Электродинамика сплошных сред,

13.

Д. А. Киржниц, ЖЭТФ 32, 115 (1957).

Наука, Москва (1982).

2. J. R. Smith, Phys. Rev. 181, 522 (1969).

14.

P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. B 136, 864

(1971).

3. М. Б. Партенский, Я. Г. Смородинский, ФТТ 16,

644 (1974).

15.

S. I. Bozhko, S. V. Chekmazov, V. Usov, O. Lüb-

ben, A. M. Ionov, H.-C. Wu, V. N. Semenov,

4. М. А. Кожушнер, В. С. Посвянский, Б. В. Лидс-

M. E. Nesterova, S. A. Krasnikov, and I. V. Shvets,

кий, М. И. Иким, Хим. физика 37, 35 (2018).

J. Appl. Phys. 122, 235301 (2017).

5. G. Binnig, H. Roher, C. Berber, and E. Weibel, Appl.

16.

С. К. Годунов, В. С. Рябенький, Разностные схе-

Phys. Lett. 40, 178 (1981).

мы, Наука, Москва (1977).

244