ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 2, стр. 281-294

БЕСЩЕЛЕВАЯ КИРАЛЬНАЯ СВЕРХПРОВОДЯЩАЯ

d + id-ФАЗА В СЛОИСТЫХ СИЛЬНО КОРРЕЛИРОВАННЫХ

МАТЕРИАЛАХ С ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКОЙ

В. В. Вальковa*, Т. А. Валькова^b, В. А. Мицкан^b,c

^a Институт физики им. Л. В. Киренского,

ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

^b Сибирский федеральный университет

660041, Красноярск, Россия

^c Сибирский государственный университет науки и технологий им. М. Ф. Решетнёва

660037, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 4 июля 2019 г.,

после переработки 26 августа 2019 г.

Принята к публикации 27 августа 2019 г.

Показано, что учет межслоевого туннелирования электронов в квазидвумерном ансамбле фермионов

Хаббарда приводит к реализации бесщелевой сверхпроводящей фазы с киральной d + id-симметрией

параметра порядка не при одном значении концентрации ионов натрия, а в широком интервале. Имен-

но такая ситуация соответствует экспериментальным данным в интеркалированном водой слоистом ко-

бальтите натрия NaxCoO2 · yH2O. Внутриатомное отталкивание электронов, определяя режим сильных

электронных корреляций, приводит к представлению хаббардовских фермионов, взаимодействие меж-

ду которыми обеспечивает куперовскую неустойчивость. Межузельные внутрислоевые взаимодействия

между фермионами существенно влияют на положения нодальных точек кирального параметра порядка

и изменяют критическую концентрацию, при которой происходит топологический переход в двумерной

системе фермионов Хаббарда.

DOI: 10.31857/S004445102002008X

включение фермиевских степеней свободы приво-

дит к новым нетривиальным явлениям. В качестве

1. ВВЕДЕНИЕ

кандидата на основное состояние системы становит-

ся сверхпроводящая фаза [10] с киральным типом

Слоистые магнетики, в которых спины в плос-

симметрии параметра порядка [11]. Такой тип сим-

костях локализованы в узлах треугольной решетки,

метрии в сочетании с неколлинеарным спиновым

являются примером систем с квантовыми эффекта-

упорядочением приводит к возможности реализа-

ми, проявляющимися на макроскопическом уровне.

ции нетривиальной топологии и майорановских мод

Это обусловлено сильно развитыми флуктуациями,

[12-15]. Вследствие сильных электронных корреля-

являющимися следствием фрустрированных обмен-

ций возникают дополнительные особенности элек-

ных связей на треугольной решетке, а также ква-

тромагнитного отклика [16] и термодинамических

зидвумерной структурой. Перечисленные факторы

свойств [17] в сверхпроводящей фазе, обусловленной

инициируют нетривиальные свойства слоистых ма-

обменом спиновых возбуждений [18]. Возможность

териалов с треугольной решеткой и служат предме-

реализации волны спиновой плотности в системе

том повышенного интереса многих исследовательс-

электронов, описываемой моделью Хаббарда [19] на

ких групп [1-9].

треугольной решетке, может инициировать псевдо-

В проводящих квазидвумерных сильно корре-

щелевое поведение [20] такого электронного ансам-

лированных материалах с треугольной решеткой

бля. Реализация в подобных системах d-волновой

сверхпроводимости подтверждалась расчетами, ос-

^* E-mail: vvv@iph.krasn.ru

281

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

нованными на динамических кластерных методах

природе куперовского спаривания и киральным

квантового Монте-Карло [21].

d + id-типом симметрии СПП.

Открытие в интеркалированном водой слоистом

Дело заключалось в том, что в отмеченных ра-

ботах взаимодействие между фермионами учиты-

кобальтите натрия Na_xCoO₂ · yH₂O при T_c = 5 K

перехода в сверхпроводящую фазу с анизотропным

валось только в пределах первой координационной

параметром порядка [10] привело к значительному

сферы. В этом случае нодальные точки СПП распо-

лагаются только в центре и по краям зоны Бриллю-

возрастанию экспериментальных [22-25] и теорети-

ческих [26-29] исследований свойств нормальной и

эна. Поэтому спектр в сверхпроводящей фазе оста-

ется щелевым при любых величинах допирования,

сверхпроводящей фаз квазидвумерных материалов

с треугольной решеткой.

тогда как данные по спин-решеточной релаксации

требовали, чтобы сверхпроводимость была бесщеле-

В частности, большое внимание было уделе-

вой.

но симметрии сверхпроводящего параметра поряд-

Преодоление этого затруднения с указанием

ка (СПП) (см. обзоры [30-32]). Поскольку симмет-

механизма реализации бесщелевого фермиевского

рия треугольной решетки допускает реализацию ки-

спектра возбуждений в киральных d + id-сверхпро-

рального d_x2_-y2 +id_xy-типа симметрии СПП, возник

водниках с треугольной решеткой было предложено

вопрос о наличии (или отсутствии) щели в спектре

в работе [11]. Основная гипотеза авторов заклю-

фермиевских возбуждений такой сверхпроводящей

чалась в том, что сверхпроводящее спаривание

фазы.

реализуется только для фермионов, находящихся

Считается, что одноорбитальная модель Хаббар-

на узлах, следующих за ближайшими. В этом слу-

да [19] является минимальной моделью для опи-

чае нодальные точки ССП располагаются внутри

сания электронной структуры CoO₂-плоскости. В

зоны Бриллюэна. Тогда при концентрации фермио-

режиме сильных электронных корреляций, когда

нов, для которой контур Ферми нормальной фазы

энергия внутриатомного кулоновского отталкива-

пересекает нули СПП, спектр сверхпроводящей

ния электронов, характеризуемая параметром U,

фазы становится бесщелевым и характеризуется

много больше абсолютной величины интегралов пе-

шестью дираковскими точками.

рескока t_fm, используется эффективная модель. Ее

Однако предложенный механизм формирования

можно вывести, например, методом унитарного пре-

бесщелевой d+id-сверхпроводимости, не говоря о его

образования [33,34], либо по операторной форме тео-

некоторой искусственности, решает отмеченную вы-

рии возмущений в виде разложения по параметрам

ше проблему лишь частично. Суть в том, что отме-

малости t_fm/U. При этом слагаемые второго по-

ченный сценарий формирования бесщелевой фазы

рядка содержат двух- и трехцентровые операторы.

реализуется только при одной концентрации ферми-

При отбрасывании трехцентровых слагаемых полу-

онов, тогда как для экспериментального согласова-

чается так называемая t-J-модель [33,34]. Если же

ния теории и эксперимента требуется, чтобы бесще-

трехцентровые слагаемые учитываются, то возника-

левой спектр реализовывался в достаточно широкой

ющую модель обозначают как t-J^∗-модель. Суще-

области допирования ионами натрия.

ственно, что трехцентровые слагаемые также про-

Расширение возможностей формирования но-

порциональны (t_fm/U)² и поэтому оказывают суще-

дальных точек СПП внутри зоны Бриллюэна бы-

ственное влияние на условия реализации сверхпро-

ло достигнуто посредством рассмотрения более ре-

водящей d-фазы [35].

альной ситуации, когда одновременно учитываются

Проведенные в рамках t-J-модели исследования

потенциалы куперовского спаривания фермионов из

свойств сверхпроводящей фазы с комплексным па-

двух координационных сфер [36]. При таком под-

раметром порядка на треугольной решетке [26-28] в

ходе появляется зависимость положения нодальных

совокупности с результатами других теоретических

точек СПП в зоне Бриллюэна как от параметров

работ [30-32] показали необходимость корректиров-

модели, так и, вообще говоря, от уровня допирова-

ки выбранных способов описания сверхпроводящего

ния. Это существенно расширило функциональные

состояния.

возможности теории в направлении улучшения со-

Причина этого становилась очевидной при

гласия с экспериментальными данными. Однако и в

попытке согласования временной эволюции

этом случае не достигалась главная цель: теорети-

спин-решеточной релаксации, полученной в хо-

ческое описание бесщелевой киральной сверхпрово-

де наблюдения ядерного магнитного резонанса в

дящей d + id-фазы для треугольной решетки в ши-

Na_xCoO₂ · yH₂O с представлением о синглетной

роком интервале допирования.

282

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Бесщелевая киральная сверхпроводящая d + id-фаза. . .

В данной работе предлагается решение отмечен-

гонального искажения приводит к тому, что ниж-

ной выше проблемы. Основная идея связана с уче-

ний орбитальный триплет, сформированный в ок-

том реального квазидвумерного характера кристал-

таэдрическом кристаллическом поле, расщепляется

лографического строения рассматриваемых матери-

на верхний синглетный и нижний двукратно вы-

алов. При этом существенным оказалось условие

рожденный уровни. Соответственно этому четыре

|t_⊥| ≪ |t|, где t_⊥ — параметр перескока электронов

d-электрона иона Co⁴⁺ заполняют нижние состоя-

между ближайшими узлами в направлении, перпен-

ния (с учетом спиновых степеней свободы), а остав-

дикулярном слоям, а t — наибольший интеграл пере-

шийся электрон при образовании слоя CoO₂ участ-

скока электрона в плоскости слоя. В результате это-

вует в заполнении зонных состояний, образованных

го неравенства возникает ситуация, когда пропорци-

в результате коллективизации верхних состояний.

ональная квадрату перескока сверхобменная связь

Под влиянием внутриатомного кулоновского от-

между магнитоактивными ионами, находящимися в

талкивания электронов отмеченная простая кар-

одном слое, существенно больше аналогичной связи

тина зонных однофермионных состояний модифи-

между таковыми ионами, принадлежащими различ-

цируется. Главное проявление такой модификации,

ным слоям. Это позволяет использовать модель, в

как известно, описывается в рамках одноорбиталь-

которой спектр фермиевских возбуждений нормаль-

ной модели Хаббарда [19]. Однако этого не доста-

ной фазы формируется на основе квазидвумерного

точно для отражения особенностей сверхпроводя-

кристаллографического строения, тогда как по от-

щей фазы кобальтита натрия (см. ниже), и необ-

ношению к потенциалам сверхпроводящего спари-

ходимо принимать во внимание кулоновское взаи-

вания эта модель описывает систему не связанных

модействие электронов, находящихся на разных уз-

между собой слоев с треугольной решеткой.

лах. Поэтому в дальнейшем будет использоваться

Дальнейшее изложение статьи организовано сле-

модель Шубина - Вонсовского [37-39]

дующим образом. В разд. 2 обсуждается модель

∑

электронного строения отдельного CoO₂-слоя при

H = (ε - μ)n_fσ + Un_f↑nf↓ +

учете сильных электронных корреляций и осуществ-

fσ

∑

ляется переход к ансамблю фермионов Хаббарда.

+ t_fma+fσa_mσ + V_fmn_fn_m.

(1)

Вывод уравнения самосогласования для сверхпро-

fmσ

водящего параметра порядка в рамках диаграмм-

ной техники для операторов Хаббарда приведен в

Здесь n_fσ = a+fσa_fσ — оператор числа электронов

разд. 3. В разд. 4 рассмотрена область реализа-

с проекцией спина σ на узле f трехмерной решет-

ции киральной сверхпроводящей фазы в двумер-

ки, a+fσ (a_fσ) — оператор рождения (уничтожения)

ном ансамбле фермионов Хаббарда и проанализи-

электрона с проекцией спина σ на узле f; ε — затра-

рованы возможные конфигурации нодальных то-

вочная энергия одноэлектронного состояния, μ —

чек сверхпроводящего параметра порядка. Концент-

химический потенциал системы электронов, U —

рационная эволюция нодальных точек при учете

энергия хаббардовского отталкивания электронов,

межузельного кулоновского отталкивания фермио-

находящихся на одной орбитали Ванье с противо-

нов рассмотрена в разд. 5. Раздел 6 посвящен демон-

положными проекциями спина.

страции того, что учет межплоскостных перескоков

Межузельное взаимодействие электронов описы-

в квазидвумерном ансамбле хаббардовских фермио-

вается последним слагаемым второй строки в (1),

нов приводит к реализации бесщелевой киральной

n_f = n_f↑+n_f↓ — оператор полного числа электронов

сверхпроводящей фазы в широкой концентрацион-

на узле f, V_fm — параметр взаимодействия между

ной области, как это наблюдается в эксперименте.

электронами, находящимися на узлах f и m.

Суммирование результатов осуществлено в заклю-

В операторе кинетической энергии параметр t_fm

чительном разделе.

отражает интенсивность процесса перескока элект-

рона из узла m в узел f.

Для Na_xCoO₂ · yH₂O увеличение концентрации

2. КВАЗИДВУМЕРНЫЙ АНСАМБЛЬ

ионов натрия x приводит к переводу части ионов

ФЕРМИОНОВ ХАББАРДА

кобальта в состояние Co³⁺ с электронной конфи-

гурацией 3d⁶. В соответствии с обсуждавшейся вы-

Номинально ионам кобальта в CoO₂-плоскостях

ше иерархией энергетических состояний электронов

соответствует четырехвалентное состояние (Co⁴⁺)

на ионах кобальта получаем, что допирование со-

с электронной конфигурацией 3d⁵. Наличие три-

провождается заполнением верхней хаббардовской

283

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

подзоны. При этом в качестве одноузельного базиса

Корреляционная часть межузельного кулоновс-

для гильбертова подпространства служат однократ-

кого взаимодействия между такими фермионами

но заполненные электронные состояния |↑〉 и |↓〉 , а

выражается посредством оператора

также двоечные состояния |2〉.

1^∑

Соответственно этому в режиме сильных элек-

V =

V (n_f - 〈n_f〉)(nf+δ - 〈nf+δ〉),

(7)

тронных корреляций (U ≫ |t_fm|, |t_⊥|) при решении

fδ

задачи о структуре коллективизированных ферми-

в котором оператор числа электронов на узле f

евских состояний в кобальтите натрия можно перей-

определяется выражением

ти к описанию на языке однократно и двукратно

заполненных одноузельных состояний в рамках эф-

n_f = X^↑↑f + X^↓↓f + 2X22f.

фективного гамильтониана.

Переход к эффективному гамильтониану, дей-

Операторы Хаббарда X^pqf = |f, p〉〈f, q| опреде-

ствующему в усеченном гильбертовом пространстве,

лены обычным образом при использовании базиса

может быть строго реализован в рамках оператор-

атомных состояний, таких, что |f, p〉 является одним

ной формы теории возмущений [40].

из трех возможных состояний на узле f.

При учете членов второго порядка малости по

В дальнейшем кулоновское взаимодействие бу-

|t_fm|/U включительно получаем модель, представ-

дет учитываться только для электронов, находя-

ляющую ансамбль фермионов Хаббарда

щихся в пределах одного слоя. Кулоновское взаимо-

действие между электронами из разных слоев при-

H_eff = H₀ +

T +

J+

J^∗ +

(2)

ниматься в расчет не будет из-за эффектов экра-

нирования, поскольку при интеркалировании рас-

Первое слагаемое

стояние между слоями значительно увеличивается

∑

вследствие размещения молекул воды между плос-

H₀ = (ε - μ)X^σσf +

(2ε + U - 2μ) X22f

(3)

костями CoO₂.

fσ

По аналогичной причине считается, что межсло-

евое туннелирование электронов значительно слабее

описывает в атомном представлении [41, 42] одно-

туннелирования электронов между узлами, находя-

и двухэлектронные состояния на узлах трехмерной

щимися в пределах одной CoO₂-плоскости. Соответ-

решетки.

ственно этому параметр t_⊥, определяющий интен-

Оператор

сивность перехода электрона между ближайшими

∑

узлами из соседних слоев, будет считаться по абсо-

T = t_fmX2σfXσ2m

(4)

лютной величине много меньшим абсолютной вели-

fmσ

чины параметра перескока в одной плоскости. Для

учитывает процессы перескоков между узлами хаб-

простоты принимается, что межслоевые перескоки

бардовских фермионов.

происходят только между узлами, находящимися в

Третье слагаемое H_eff отражает возникновение

соседних слоях CoO₂.

во втором порядке теории возмущений обменной

При этом обменное взаимодействие между иона-

связи между ионами кобальта (J_fm = 2t_fm · t_mf /U)

ми кобальта, находящимися не в одном CoO₂-слое,

не учитывается, поскольку из-за условия t_⊥ ≪ |t|

1^∑

(

)

(|t| — наибольший по абсолютной величине из пара-

J =

J_fm

X^σσfX^σσm - X^σσfX^σσm

(5)

метров перескока |t_fm| внутри плоскости) межслое-

fmσ

вой параметр обменной связи существенно меньше

Оператор с трехцентровыми слагаемыми

внутрислоевого. Межслоевое взаимодействие имеет

значение при рассмотрении магнитоупорядоченной

∑

t_fmt_mg

фазы при конечных температурах.

J^∗ =

В дальнейшем межслоевые коррелированные пе-

fmgσ

(f=g)

рескоки не учитываются по причине, отмеченной

(

)

X2σfX^σσmXσ2g - X2σfX^σσmXσ2g

(6)

при описании оператора

С учетом сказанного приходим к выводу, что осо-

получающийся в том же самом порядке теории

бенности сверхпроводящей фазы кобальтита натрия

возмущений, описывает коррелированные переско-

будут определяться особенностями квазидвумерно-

ки фермионов Хаббарда.

го ансамбля фермионов Хаббарда с треугольной ре-

284

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Бесщелевая киральная сверхпроводящая d + id-фаза. . .

шеткой в слоях CoO₂. При этом учет сильных одно-

Если функции D_α,β(k, iω_n) рассматривать как

узельных электронных корреляций отразился в пе-

элементы матрицы

^D(k, iω_l), то из анализа диа-

реходе к X-операторам, обладающим, как извест-

граммных рядов для D_α,β (k, iω_l) следует матричное

но, иной алгеброй перестановочных соотношений.

уравнение

С этим обстоятельством связано использование вве-

^D(k, iω_l) =

^Ĝ(k, iω_l

P (k, iω_l),

(9)

денного ранее понятия фермионов Хаббарда.

где

P (k, iω_l) — силовой оператор [42,43]. Функция

удовлетворяет уравнению Дайсона в обычной фор-

3. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПАРАМЕТРА

ПОРЯДКА КИРАЛЬНОЙ

ме:

СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ ФАЗЫ

^Ĝ(k, iω_l) =

Ĝ⁽⁰⁾(k, iω_l) +

Вывод уравнения самосогласования для пара-

+ Ĝ⁽⁰⁾(k,iω_l)Σ(k,iω_l)^Ĝ(k,iω_l),

метра порядка в сверхпроводящей фазе осуществим

с помощью мацубаровских функций Грина (ФГ) в

где

Σ(k, iω_l) — массовый оператор, а коллективизи-

атомном представлении [42]:

рованная функция Грина

X-β

D_α,β(fτ, gτ^′) = -〈T_τ X^αf(τ)

(τ^′)〉 =

Ĝ⁽⁰⁾(k, iω_l) = {[Ĝ0(iω_l)]-1 -

P (k, iω_l)tˆ_k}-1

∑

eik(f-g)-iωn(τ-τ′)D_α,β(k, iω_n),

(8)

описывает невзаимодействующие квазичастицы

k,ωn

нормальной фазы, если силовой оператор вычис-

где в первой строке угловые скобки обозначают

ляется в среднеполевом приближении,

Ĝ₀(iω_l) —

усреднение по большому каноническому ансамблю,

матрица одноузельных пропагаторов

задаваемому статистическим оператором

(Ĝ0(iω_l))_αβ = δ_αβ[iω_l+E_n-E_m]-1, α = α(n, m),

ρ = exp(-H_eff/T)

E_n, E_m — затравочные одноионные энергии. Мат-

с температурой T. Оператор T_τ осуществляет хро-

рица tˆ_k составлена из фурье-образов элементов t^αβfg ,

нологизацию по мацубаровским «временным» пере-

значения которых находятся из сопоставления опе-

менным τ и τ^′ произведения операторов Хаббарда в

ратора

T с этим же оператором, записанным в фор-

«гейзенберговском» представлении:

ме

∑∑

αβ

T =

X^-αfX^βg.

Xα

(τ) = exp(τH_eff )X^αf exp(-τH_eff ).

fg αβ

Индексы α, β (корневые векторы [42]) используются

В дальнейшем ограничимся среднеполевым при-

для обозначения переходов между одноузельными

ближением, соответствующим теории Горькова для

состояниями | ↑〉, | ↓〉, |2〉 и поэтому зависят от двух

обычных сверхпроводников [44]. Для краткости в

номеров этих состояний: α = α(n, m). При этом

дальнейшем нормальную ФГ G↓2,↓2 будем обозна-

чать посредством G, а аномальную ФГ G↓2,2↑ — че-

X^αf = Xα(n,m)f = X^nmf.

рез F .

Обозначив аномальную компоненту массового

Такой оператор при действии на волновую функцию

оператора через Δ(k), из уравнения Дайсона нахо-

системы переводит состояние |m〉 узла f в состояние

дим

|n〉 этого же узла. Отрицательному значению корне-

вого вектора -β = -β(n, m) соответствует инверти-

Δ(k)

F (k, iω_l) =

(10)

рованный переход иона кобальта из одноузельного

(iω_l)² - E²

состояния |n〉 в одноузельное состояние |m〉, т.е.

где

√

X-β(n,m)f = Xβ(m,n)f = X^mnf.

E_k = ξ2k + |Δ(k)|²

(11)

Во второй строке определения (8) вводится фу-

— спектр фермиевских возбуждений в сверхпрово-

рье-образ мацубаровской функции Грина в атомном

дящей фазе. Для t-J-V -модели спектр нормаль-

представлении D_α,β(k, iω_l), в котором k — квазиим-

ной фазы, отсчитанный от химического потенциала,

пульс, а ω_l = (2l + 1)πT , l = 0, ±1, ±2, . . . — мацуба-

определяется выражением

ровская частота для случая антикоммутирующих

1+x

операторов.

ξ_k = ε + U +

t_k - μ,

(12)

285

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

а для t-J^∗-V -модели —

1+x

(1 - x²)

ξ_k = ε + U +

t_k +

t2k - μ,

(13)

где x — доля двоечных состояний в ансамбле ферми-

онов Хаббарда, которая связана с узельной концент-

рацией электронов n соотношением x = n - 1. Фу-

рье-образ интеграла перескока t_k при учете пара-

метров t₁, t₂, t₃ для трех координационных сфер за-

писывается в виде

t_k = 2t₁ϕs1(k) + 2t₂ϕs2(k) + 2t₃ϕs3(k),

(14)

где

(_√

)

3k_x

⁽k_y)

ϕs1(k) = cosk_y + 2 cos

cos

(√

)

ϕs2(k) = cos

3k_x

(_√

)

(15)

(

)

3k_x

3k_y

+ 2cos

cos

(_√

)

ϕs3(k) = cos(2k_y) + 2 cos

3k_x cos(k_y)

— базисные функции симметрии s-типа. Поскольку

Рис. 1. Диаграммы для параметра порядка Δ(k)

в Na_xCoO₂ · yH₂O реализуется синглетная сверхпро-

водимость с симметрией параметра порядка d-ти-

па, в дальнейшем, для краткости, ограничимся

раз J_q параметров межузельного обменного взаимо-

представлением только тех вкладов в аномальную

действия J_fg.

компоненту массового оператора, которые обеспе-

Следующие четыре графика, расположенные во

чивают отмеченную симметрию. Тогда графичес-

второй и третьей строках, происходят от коррелиро-

кое представление Δ(k) задается суммой семи диа-

ванных перескоков, отраженных в H_eff посредством

грамм, показанных на рис. 1.

трехцентровых слагаемых (6). Как показано в рабо-

Входящие в графики толстые линии со светлой

те [35], суммарный вклад первых шести диаграмм в

(темной) стрелкой обозначают аномальные функ-

уравнение для параметра порядка симметрии d-ти-

ции Грина соответственно G↓2,2↑(q, iω_l) = F (q, iω_l)

па может быть записан в виде вклада только от пер-

и G↑2,2↓(q, iω_l) = -F(-q, -iω_l).

вых двух диаграмм, если в качестве эффективной

Тонкой линией со светлой (темной) стрелкой обо-

константы связи взять ренормированный обменный

значен затравочный пропагатор для верхней хаббар-

интеграл

J_q:

довской подзоны фермиевской частицы со спином

«вверх» («вниз»).

1-x

Светлому (темному) кружку соответствует кон-

J_q →

J_q = J_q - J_qN2σ =

J_q.

(16)

цевой множитель N2↑ (N2↓), где N2σ = N₂ + N_σ,

N_σ = 〈X^σσf〉 — число заполнения одноузельного со-

Седьмая диаграмма соответствует вкладу в Δ(k)

стояния с одним электроном с проекцией спина σ,

межузельного кулоновского взаимодействия ферми-

N₂ = 〈X22f〉 — число заполнения одноузельного со-

онов. Фурье-образ этого взаимодействия V_q изобра-

стояния с двумя электронами. Для спин-синглет-

жается жирной штриховой линией.

ной сверхпроводящей фазы их значения совпадают

После сопоставления диаграммам аналитиче-

N2↑ = N2↓ = (1 + x)/2.

ских выражений и учета отмеченных выше ренор-

Две диаграммы в верхнем ряду определяют

мировок, а также приведенных выражений для ано-

вклады в Δ(k), связанные с обменным взаимодей-

мальных функций Грина, получаем уравнение са-

ствием, описываемым оператором

J. Жирной вол-

мосогласования для симметрии параметра порядка

нистой линии на графиках соответствует фурье-об-

d + id-типа:

286

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Бесщелевая киральная сверхпроводящая d + id-фаза. . .

)

(_√

)

∑

⁽1-x

√

3k_x

⁽3k_y )

Δ(k) =

(Jk+q + J_k-q ) - V_k-q

ϕd2 (k) = cos

3k_x - cos

cos

(_√

)

th(E_q/2T )

√

3k_x

⁽3k_y )

× Δ(q)

(17)

2E_q

−i

3sin

sin

(19)

При выводе этого уравнения предварительно прове-

Тогда киральный d + id-параметр порядка записы-

дено суммирование по мацубаровским частотам при

вается в виде суперпозиции

использовании структуры функции F (q, iω_l).

Δ_d (k) = 2Δ0d1ϕd1 (k) + 2Δ0d2ϕd2 (k).

(20)

В результате задача сводится к решению систе-

4. ТЕМПЕРАТУРА ПЕРЕХОДА В

мы двух трансцендентных уравнений относительно

КИРАЛЬНУЮ СВЕРХПРОВОДЯЩУЮ

неизвестных амплитуд Δ0d1 и Δ0d2:

d + id-ФАЗУ В ДВУМЕРНОМ АНСАМБЛЕ

ФЕРМИОНОВ ХАББАРДА

(1 - A₁₁)Δ0d1 - A₁₂Δ0d2 = 0,

(21)

-A₂₁Δ0d1 + (1 - A₂₂)Δ0d2

= 0,

Точное решение

(17) найти нетрудно, если

учесть, что ядро этого интегрального уравнения до-

которая получается при подстановке в (17) решения

пускает запись в расщепленном виде. В двумерном

для Δ_d(k) в виде (20). Коэффициенты A_ij этой сис-

случае с треугольной решеткой, когда динамика

темы определяются выражениями

фермионов Хаббарда связана с процессами их

(_√

)

перескоков и межузельными взаимодействиями,

1^∑

A₁₁ = (αJ₁ - V₁)

cos

q_x +

q_y

свойство расщепленности следует из фурье-пред-

ставления межузельных взаимодействий.

[

(_√

)

]

При учете обменных и кулоновских взаимодейст-

× cos

q_x +

q_y

- cosq_y L_q,

вий в пределах двух координационных сфер, пара-

(_√

)

метризация которых задается соответственно вели-

1^∑

A₁₂ = (αJ₁ - V₁)

cos

q_x +

q_y

чинами J₁, J₂ и V₁, V₂, это представление записыва-

ется в виде

[

(_√

)

]

√

× cos

q_x -

q_y

- cos

3q_x L_q,

J_q = 2J₁ϕs1(q) + 2J₂ϕs2(q),

(22)

(_√

)

V_q = 2V₁ϕs1(q) + 2V₂ϕs2(q),

1^∑

A₂₂ = (αJ₂ - V₂)

cos

3q_x

где ϕ_si(q) — базисные функции, определенные в

[

(_√

)]

(_√

)

(15). При этом вид аналитической зависимости

× cos

3q_x

- cos

q_x +

q_y

L_q,

от квазиимпульса Δ_d(k) определяется базисными

(_√

)

функциями потенциалов спаривания, преобразую-

1^∑

A₂₁ = (αJ₂ - V₂)

cos

3q_x

щихся по неприводимому d-представлению группы

вращений C₆.

[

(_√

)]

Для треугольной решетки такие базисные функ-

× cosq_y - cos

q_x +

q_y

L_q,

ции обладают киральным характером и являются

комплексными. В случае, когда радиус действия по-

где L_q = th (E_q/2T ) /E_q.

тенциалов спаривания ограничен двумя координа-

Для демонстрации роли коррелированных пере-

ционными сферами, в качестве базиса достаточно

скоков при формировании свойств сверхпроводящей

использовать две функции [11]:

фазы здесь введен ренормировочный множитель α

(_√

)

перед параметрами обменных взаимодействий. В

3k_x

⁽k_y)

случае, когда коррелированные перескоки не учи-

ϕd1 (k) = cosk_y - cos

cos

тываются (t-J-V -модель), α = 2, а ξ_q

определяется

(_√

)

(

)

выражениями (12). Если же эти перескоки учиты-

√

3k_x

k_y

3 sin

sin

(18)

ваются (t-J^∗-V -модель), то коэффициент α = 1-x,

а спектр находится из (13).

287

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

T /|t_c |₁

0.10

0.030

0.025

0.08

0.020

0.06

0.015

0.04

0.010

0.02

0.005

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Рис. 3. Зависимость критической температуры перехода в

Рис. 2. Зависимость критической температуры перехода в

киральную СП-фазу от концентрации «двоек», полученная

киральную СП-фазу от концентрации «двоек» (x = n-1),

в рамках t-J^∗-V -модели: сплошная линия — V1 = 0, штри-

полученная в рамках t-J-V -модели: сплошная линия —

ховая линия — V1 = 0.15; J1 = 0.3, J2 = 0.2, t2 = t3 = 0

V1 = 0, штриховая линия — V1 = 0.3; J1 = 0.3, J2 = 0.2,

t2 = t3 = 0 (здесь и далее все параметры в единицах |t1|)

ной сфере. При этом происходит значительное пере-

распределение относительных вкладов двух кираль-

Поскольку величины V_i и J_i входят в уравнения

ных инвариантов в Δ_d(k). Это определяет механизм,

для параметра порядка (22) аддитивно, далее будем

благодаря которому межузельное кулоновское взаи-

полагать V₂ = 0.

модействие влияет на топологический переход в ки-

Из (21) следует уравнение для вычисления тем-

ральной сверхпроводящей фазе двумерного ансамб-

пературы перехода в сверхпроводящую фазу:

ля фермионов Хаббарда на треугольной решетке.

(

)(

)

Остановимся на этом эффекте подробнее.

1-A⁰¹¹

1-A⁰²²

- A⁰¹²A⁰²¹ = 0,

(23)

в котором величины A0ij отличаются от A_ij только

5. ВЛИЯНИЕ КУЛОНОВСКИХ

тем, что спектр E_q, входящий в величину L_q, берет-

КОРРЕЛЯЦИЙ НА КОНФИГУРАЦИЮ

ся при Δ_q ≡ 0.

НОДАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ЕЕ

На рис. 2 продемонстрировано влияние куло-

КОНЦЕНТРАЦИОННУЮ ЭВОЛЮЦИЮ

новских корреляций на концентрационную зависи-

мость критической температуры перехода в сверх-

Важная роль кулоновских корреляций в пробле-

проводящую фазу с киральной d + id-симметрией

ме концентрационного квантового топологического

для t-J-V -модели. Перенормировка, обусловленная

перехода связана с расширением возможности его

включением трехцентровых слагаемых, приводит

реализации. Как известно, изменение топологичес-

к уменьшению критической температуры и обла-

ких свойств двумерной сверхпроводящей фазы с

сти реализации сверхпроводящей фазы (см. рис. 3).

комплексным параметром порядка

Сплошная линия на обоих рисунках соответствует

случаю, когда кулоновские корреляции не учитыва-

Δ_d(k) = ReΔ_d(k) + i ImΔ_d(k)

ются (V₁ = V₂ = 0). Как и должно быть, кулонов-

ское отталкивание фермионов подавляет куперов-

происходит в том случае, когда поверхность Фер-

скую неустойчивость. Вместе с тем существенным

ми пересекает нодальные точки Δ_d(k). Как пока-

является то, что представление Δ_d(k) через две ба-

зано в работе [11], при наличии только одной ба-

зисные функции может приводить к важному эф-

зисной функции, соответствующей второй коорди-

фекту. Суть его заключается в том, что при по-

национной сфере, нули Δ_d(k) располагаются внут-

давлении спаривания в одной координационной сфе-

ри зоны Бриллюэна в геометрически фиксирован-

ре сверхпроводящая фаза может остаться устойчи-

ных точках. Поэтому квантовый топологический пе-

вой благодаря спариванию в другой координацион-

реход будет иметь место только для одного ни от

288

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Бесщелевая киральная сверхпроводящая d + id-фаза. . .

x = 0.06

x = 0.1

x = 0.21

| > 3|

| > |

x = 0.05

x = 0.08

x = 0.15

= 2.5

= -0.95

x = 0.1

x = 0.18

x = 0.25

= 0.4

= -0.45

Рис. 5. Конфигурации нодальных точек Δ_d(q) и конту-

= 0

ра Ферми при различных концентрациях x двоечных со-

стояний t-J-V -модели: а — t2 = t3 = 0, V1 = 0; б —

t2 = t3 = 0, V1 = 0.3; в — t2 = 0.2, t3 = 0.15, V1 = 10. На

всех рисунках J1 = 0.3, J2 = 0.2

ратуры, бесщелевую фазу и точку топологического

перехода нетрудно согласовать с экспериментальны-

Рис. 4. Конфигурации нодальных точек параметра поряд-

ми.

ка Δ_d(k) с киральным типом симметрии при различных

Особый интерес представляет концентрационная

соотношениях между амплитудами Δ0d1 и Δ0d2: а — знаки

амплитуд одинаковые; б — знаки амплитуд противополож-

эволюция нодальных точек. Поскольку при включе-

ные

нии коррелированных перескоков эта эволюция мо-

жет меняться качественно, представим результаты

по отдельности.

чего не зависящего значения концентрации ферми-

5.1. t-J-V -модель

онов. При этом трудно реализовать бесщелевую фа-

зу при концентрации, соответствующей эксперимен-

На рис. 5 для t-J-V -модели показано найден-

тальной.

ное из решения системы (21) расположение нодаль-

Иная ситуация складывается при учете кулонов-

ных точек Δ_d(k) в зоне Бриллюэна и контура Фер-

ских корреляций и обменных взаимодействий в пре-

ми при различных параметрах системы. Рисунок 5a

делах двух координационных сфер. В этом случае

соответствует случаю, когда межузельное кулонов-

из-за суперпозиции двух базисных функций положе-

ское взаимодействие не учитывается. При увеличе-

ние нулей зависит от отношения амплитуд Δ0d1 и Δ0d2

нии концентрации происходит изменение отноше-

комплексного параметра Δ_d(k). При этом «старые»

ния Δ0d1/Δ0d2. Это вызывает сначала незначитель-

нули могут исчезнуть и появиться новые. Характер

ное «расширение», а затем смещение нодальных то-

изменения конфигурации нодальных точек при из-

чек к центру зоны Бриллюэна, более сильное, чем

менении амплитуд Δ0d1 и Δ0d2 продемонстрирован на

смещение контура Ферми. В результате изменение

рис. 4. Поскольку конкретные значения этих ампли-

концентрации фермионов в данном режиме не бу-

туд меняются при изменении параметров модели,

дет сопровождаться квантовым топологическим пе-

концентрации фермионов и, в общем случае, темпе-

реходом. В этом заключается одна из существенных

289

ЖЭТФ, вып. 2

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

x = 0.06

x = 0.15

x = 0.24

особенностей, связанная с суперпозиционным харак-

тером кирального параметра порядка.

При учете кулоновских корреляций ситуация мо-

жет значительно измениться. Несмотря на то что

положение контура Ферми не зависит от кулоновс-

кого взаимодействия, в случае, когда V₁ (параметр

кулоновского взаимодействия электронов, находя-

щихся на соседних узлах) близок по значению к J₁

x = 0.06

x = 0.08

x = 0.12

(параметр обменной связи для ближайших узлов),

а параметр кулоновского взаимодействия электро-

нов для второй координационной сферы V₂ равен

нулю, взаимная динамика нодальных точек и конту-

ра Ферми меняется качественно (см. рис. 5б). В этом

случае нодальные точки смещаются относительно

медленно и контур Ферми успевает их «догнать».

При критической концентрации система нодальных

Рис. 6. Конфигурации нодальных точек Δ_d(q) и контура

Ферми при различных концентрациях x двоечных состоя-

точек Δ_d(k) располагается на контуре Ферми.

ний t-J^∗-V -модели: а — межузельные корреляции отсут-

Таким образом, учет кулоновских корреляций

ствуют (V1 = 0); б — межузельные корреляции включены

между фермионами Хаббарда из первой координа-

(V1 = 0.15); J1 = 0.3, J2 = 0.2, t2 = t3 = 0

ционной сферы не просто подавляет тенденцию к

спариванию, а модифицируя парциальные амплиту-

ды Δ0d1 и Δ0d2, может существенно повлиять на дина-

качественно не отличается от поведения этих точек

мику нодальных точек и, тем самым, инициировать

для t-J-модели. Таким образом, контур Ферми

топологический квантовый переход в сверхпроводя-

также не пересекает нодальные точки, и квантовый

щем состоянии.

топологический переход не происходит. При учете

При V₁ ≫ J₁ система нодальных точек стано-

межузельного отталкивания из-за ренормировки

вится близкой к системе, определяемой только вто-

обменного взаимодействия первый сценарий фор-

рой базисной функцией, и концентрационное пове-

мирования фазы с бесщелевым спектром (рис. 6б)

дение системы соответствует сценарию, описанному

наблюдается при V₁ ∼ J₁/2, а уменьшение области

в работе [11], а увеличение кулоновского взаимодей-

существования сверхпроводящей фазы приводит к

ствия проявляется лишь в уменьшении температу-

тому, что второй сценарий образования бесщелевой

ры перехода и области реализации сверхпроводящей

фазы (при V₁

≫ J₁) в рамках t-J^∗-V -модели

фазы, но не влияет на положение нодальных точек.

становится невозможным.

На рис. 5в параметры системы таковы, что при боль-

ших значениях V сверхпроводящая фаза существует

при критической концентрации.

6. ВЛИЯНИЕ МЕЖПЛОСКОСТНЫХ

ПЕРЕСКОКОВ НА ФОРМИРОВАНИЕ

БЕСЩЕЛЕВОЙ КИРАЛЬНОЙ

5.2. t-J^∗-V -модель

СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ d + id-ФАЗЫ

Учет коррелированных перескоков вызывает

перенормировку константы связи спаривательного

При анализе влияния квазидвумерности на спек-

взаимодействия. Поэтому происходит уменьшение

тральные характеристики сверхпроводящей фазы

величины критической температуры и области ре-

примем во внимание факторы, имеющие место, на-

ализации сверхпроводящей фазы. Другое влияние

пример, в кобальтите натрия. Главная особенность

отмеченных перескоков проявляется в возможности

связана с тем, что интеркалирование водой (именно

изменения концентрационной динамики нодальных

в этом случае наблюдается переход в сверхпрово-

точек и, как следствие, изменения сценария топо-

дящее состояние) вызывает раздвижку CoO₂-слоев

логического перехода. Это продемонстрировано на

(молекулы воды размещаются между этими слоя-

рис. 6, где показаны конфигурации нодальных точек

ми). Поэтому интеграл перескока фермионов между

Δ_d(k) в зоне Бриллюэна при различных условиях.

узлами, принадлежащими разным слоям, становит-

В отсутствие кулоновских корреляций (рис. 6а)

ся значительно меньше соответствующего интегра-

поведение нодальных точек для t-J^∗-V -модели

ла перескока в плоскости слоев: |t_⊥| ≪ |t|, где t_⊥ —

290

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Бесщелевая киральная сверхпроводящая d + id-фаза. . .

T /|t_c |₁

параметр перескока электронов между ближайши-

0.10

ми узлами в направлении, перпендикулярном слоям,

t_z = 0

а |t| — наибольший интеграл перескока электрона в

плоскости слоя.

0.08

0.2

В результате пропорциональное квадрату пе-

0.5

рескока взаимодействие между магнитоактивными

0.06

ионами, находящимися в одном слое, будет много

больше аналогичного взаимодействия между иона-

0.04

ми из разных слоев. Это позволяет использовать

приближение, в котором спектр фермиевских воз-

0.02

буждений нормальной фазы вычисляется для ква-

зидвумерного случая, тогда как по отношению к по-

тенциалам сверхпроводящего спаривания трехмер-

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ная система рассматривается как набор не связан-

ных между собой слоев с треугольными решетками.

Как известно, при интеркалировании ионы моле-

t_z = 0

кулы воды размещаются между слоями CoO₂. Это

0.10

вызывает увеличение расстояния между этими сло-

0.2

ями. Поэтому совместное влияние большой удален-

0.08

0.5

ности слоев и наличие в межслоевом пространстве

молекул с большой поляризационной активностью

0.06

приводят к эффектам сильной экранировки куло-

новского потенциала в направлении, перпендику-

0.04

лярном слоям. Из сказанного следует, что кулоновс-

ким взаимодействием фермионов, находящихся в

0.02

разных слоях, в главном приближении можно пре-

небречь.

Ниже, для простоты, пренебрежем влиянием

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

коррелированных перескоков. Тогда уравнение для

вычисления параметра порядка сверхпроводящей

Рис. 7. а) Зависимость критической температуры перехода

фазы в формальном отношении остается без изме-

в киральную сверхпроводящую фазу в ансамбле ферми-

нений (17), однако в выражении для фурье-образа

онов Хаббарда от концентрации «двоек» при различных

интеграла перескоков (14) добавляется слагаемое

значениях tz ; б) концентрационная зависимость плотности

2t_z cos(k_z).

состояний на уровне химического потенциала для того же

Рисунок 7а демонстрирует влияние межплос-

ансамбля; J1 = 0.3, J2 = 0.2, t2 = t3 = 0

костных перескоков на концентрационную зависи-

мость критической температуры перехода в кираль-

ную сверхпроводящую фазу с d + id-типом симмет-

расходимости, имевшей место в двумерной систе-

рии параметра порядка, а рис. 7б показывает влия-

ме, а также с немонотонным по концентрации из-

ние этих перескоков на плотность состояний при

менением плотности состояний на уровне химиче-

значении энергии, равном химическому потенциалу.

ского потенциала. Значительное изменение крити-

Видно, что увеличение t_z приводит к понижению

ческой температуры наблюдается только при значе-

максимальной критической температуры. Вместе с

ниях t_z около 0.5|t₁|. Область реализации СП-фазы

тем следует отметить, что характер изменения T_c

при этом изменяется незначительно.

при возрастании t_z является немонотонным и за-

Поскольку при «включении» межплоскостных

висит от концентрации (авторы благодарны рецен-

перескоков спектр элементарных возбуждений об-

зенту, обратившему внимание на это обстоятельст-

ретает зависимость от p_z, а параметр порядка Δ_d(p)

во). Если в области оптимального допирования T_c

зависит только от p_x и p_y, для исследования условий

уменьшается с ростом t_z , то в «передопированной»

образования бесщелевой фазы удобнее рассматри-

области имеет место обратный процесс. Такое по-

вать не саму поверхность Ферми, а ее проекцию на

ведение связано с модификацией плотности состоя-

плоскость (p_x, p_y) (см. рис. 8). На рис. 8б синей ли-

ний, проявляющейся в размытии логарифмической

нией показан контур Ферми при t_z = 0 (двумерная

291

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

1.5

p_z

1.0

0.5

t_z = 0

-0.5

0.5

-1.0

p_x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

p_y

Рис. 9. Зависимость отношения Δ0d2/Δ0d1 от концентра-

ции для t-J-V -модели при различных значениях tz и V1.

Сплошные линии соответствуют tz = 0, штриховые —

= 0.5; нижние линии рассчитаны при V1 = 0, а верх-

ние при V1 = 0.3; J1 = 0.3, J2 = 0.2, t2 = t3 = 0

Emin. 10³

–

p_x

Рис. 8. (В цвете онлайн) a) Поверхность Ферми для ква-

зидвумерного ансамбля фермионов Хаббарда (tz = 0.5),

б) проекция поверхности Ферми этого же ансамбля на

плоскость (px, py). Концентрация x = 0.18. Остальные па-

раметры такие же, как на предыдущем рисунке

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

система), а область, закрашенная красным цветом,

Рис. 10. Зависимость щели спектра фермиевских возбуж-

возникает при проецировании поверхности Ферми,

дений в сверхпроводящей фазе от концентрации при tz = 0

построенной при той же концентрации и парамет-

(штриховая линия) и tz = 0.1 (сплошная линия); J1 = 0.3,

рах модели, но при t_z = 0.5|t₁|. Завышенное значе-

J2 = 0.2, V1 = 0.3, t2 = t3 = 0

ние этого параметра взято для наглядности рисун-

ка. При вычислении концентрационной зависимости

щели будет взято более реальное значение. Таким

раметром Δ0d2/Δ0d1 (см. рис. 4), слабо зависит от

образом, учет межплоскостных перескоков приво-

межплоскостного интеграла перескока. Это проде-

дит к тому, что вместо рассмотрения отдельного

монстрировано на рис. 9. Из сказанного следует,

контура Ферми в чисто двумерном случае необхо-

что основное влияние эффекта квазидвумерности

димо рассматривать поверхность, ширина проекции

на систему проявляется в возникновении конечной

которой на плоскость (p_x, p_y) пропорциональна ве-

ширины проекции поверхности Ферми на плоскость

личине t_z .

(p_x, p_y). В результате сверхпроводящая фаза с бес-

Для дальнейшего существенно, что положение

щелевым спектром будет наблюдаться не при од-

нодальных точек Δ_d(p), которое определяется па-

ном значении концентрации (критическая точка), а

292

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Бесщелевая киральная сверхпроводящая d + id-фаза. . .

в широкой области концентраций (см. рис. 10). Ана-

центрации фермионов, и именно она обсуждалась в

логично этому уширение поверхности приводит к

работе [11].

увеличению диапазона значений межузельного ку-

Учет коррелированных перескоков приводит к

лоновского взаимодействия, при которых реализу-

уменьшению области реализации сверхпроводящей

ется бесщелевой спектр. Например, при t₂ = t₃ = 0,

фазы, в результате чего сверхпроводимость разру-

J₁ = 0.3, J₂ = 0.2 и t_z = 0.2 первый сценарий форми-

шается раньше, чем контур Ферми пересечет нули

рования бесщелевой фазы (см. рис. 5б) реализуется

базисной функции ϕd2(p), и поэтому второй сцена-

при V₁ ∈ (0.2, 0.5).

рий в рамках t-J^∗-V -модели не реализуется.

Учет перескоков между слоями также благопри-

Показано, что при переходе к квазидвумерному

ятствует и второму сценарию формирования бес-

ансамблю фермионов Хаббарда, когда принима-

щелевой фазы, который реализуется при больших

ются во внимание межплоскостные перескоки,

значениях межузельного кулоновского отталкива-

бесщелевая сверхпроводящая киральная d+ id-фаза

ния (см. рис. 5в). Положение нодальных точек в

реализуется не при единственном значении кон-

этом сценарии почти полностью совпадает с нуля-

центрации, а в некотором диапазоне. Расширение

ми базисной функции ϕd2(p), а из-за «уширения»

концентрационной области приводит к смягчению

поверхность Ферми пересекает их при меньших кон-

требований реализации бесщелевой фазы, и оба

центрациях. Для случая t₂ = t₃ = 0 при увеличении

рассмотренных выше сценария

реализуются в

t_z от 0 до 0.5 минимальная концентрация, при ко-

большей области параметров.

торой происходит данное пересечение, уменьшается

от 0.43 до 0.29.

Финансирование. Исследование выполнено

при поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований (проекты

№№ 19-02-00348,

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

18-42-240014), Правительства Красноярского края,

Красноярского краевого фонда науки в рамках

Для квазидвумерного ансамбля фермионов Хаб-

научного проекта «Одноорбитальная эффективная

барда на треугольной решетке при учете взаимодей-

модель ансамбля спин-поляронных квазичастиц в

ствий в пределах двух координационных сфер про-

проблеме описания промежуточного состояния и

анализированы условия, при которых спектр сверх-

псевдощелевого поведения купратных сверхпровод-

проводящей фазы с киральным параметром поряд-

ников» (проект № 18-42-240014).

ка становится бесщелевым. Показано, что существу-

ет два различных сценария формирования бесщеле-

вой фазы.

ЛИТЕРАТУРА

Первый из них реализуется в случае, когда пара-

метры межузельного кулоновского взаимодействия

1. Р. С. Гехт, УФН 159, 261 (1989).

сравнимы по величине с параметрами обменного

взаимодействия. Тогда базисные функции ϕd1(p) и

2. Д. И. Голосов, А. В. Чубуков, Письма в ЖЭТФ

50, 416 (1989).

ϕd2(p) дают примерно одинаковые вклады в кираль-

ный параметр порядка Δ_d(p). При этом положение

3. A. V. Chubukov and D. I. Golosov, J. Phys.: Condens.

нодальных точек сильно зависит как от параметров

Matter 3, 69 (1991).

системы, так и от концентрации, а реализация бес-

щелевой фазы определяется относительной динами-

4. L. E. Svistov, A. I. Smirnov, L. A. Prozorova,

кой нодальных точек и контура Ферми.

O. A. Petrenko, A. Micheler, N. Buttgen, A. Ya. Sha-

Второй сценарий реализуется при V₁

≫ J₁.

piro, and L. N. Demianets, Phys. Rev. 74, 024412

Положение нодальных точек практически полнос-

(2006).

тью определяется только одной базисной функцией

5. A. I. Smirnov, T. A. Soldatov, O. A. Petrenko, A. Ta-

ϕd2(p). Нули параметра порядка находятся внутри

kata, T. Kida, M. Hagiwara, A. Ya. Shapiro, and

зоны Бриллюэна, и их положение слабо зависит от

M. E. Zhitomirsky, Phys. Rev. Lett. 119, 047204

концентрации. Если сверхпроводимость существует

(2017).

при концентрации, при которой контур Ферми нор-

мальной фазы пересечет эти точки, то реализуется

6. T. A. Soldatov, A. I. Smirnov, K. Y. Povarov,

фаза с бесщелевым спектром. Однако такая ситу-

M. Halg, W. E. A. Lorenz, and A. Zheludev, Phys.

ация имеет место только при одном значении кон-

Rev. B 98, 144440 (2018).

293

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Д. М. Дзебисашвили, А. А. Худайбердыев, Письма

27.

B. Kumar and B. S. Shastry, Phys. Rev. B 68, 104508

в ЖЭТФ 108, 189 (2018).

(2005).

O. A. Starykh, Rep. Progr. Phys. 78, 052592 (2015).

28.

M. Ogata, J. Phys. Soc. Jpn. 72, 1839 (2003).

А. И. Смирнов, УФН 186, 633 (2016).

29.

K. S. Chen, Z. Y. Meng, U. Yu, S. Yang, M. Jarrell,

and J. Moreno, Phys. Rev. B 88, 041103 (2013).

10.

K. Takada, H. Sakurai, E. Takayama-Muromachi,

F. Izumi, R. A. Dilanian, and T. Sasaki, Nature 422,

30.

Y. Yanase, M. Mochizuki, and M. Ogata, J. Phys.

53 (2003).

Soc. Jpn. 74, 430 (2005).

11.

S. Zhou and Z. Wang, Phys. Rev. Lett. 100, 217002

31.

M. Ogata, J. Phys.: Condens. Matter 19, 145282

(2008).

(2007).

12.

Y.-M. Lu and Z. Wang, Phys. Rev. Lett. 110, 096403

32.

Н. Б. Иванова, С. Г. Овчинников, М. М. Коршу-

(2013).

нов, И. М. Ерёмин, Н. В. Казак, УФН 179, 837

(2009).

13.

V. V. Val’kov, A. O. Zlotnikov, and M. S. Shustin, J.

Magn. Magn. Mater. 459, 112 (2018).

33.

N. M. Plakida, High-Temperature Superconductivity,

Springer, Berlin (1995).

14.

В. В. Вальков, А. О. Злотников, Письма в ЖЭТФ

109, 769 (2019).

34.

Ю. А. Изюмов, УФН 167, 465 (1997).

15.

В. В. Вальков, В. А. Мицкан, А. О. Злотников,

35.

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, Д. М. Дзебисашви-

М. С. Шустин, С. В. Аксенов, Письма в ЖЭТФ

ли, С. Г. Овчинников, Письма в ЖЭТФ 75, 450

110, 126 (2019).

(2002).

16.

S. Feng, Y. Lan, H. Zhao, L. Kuang, L. Qin, and

36.

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан,

X. Ma, Int. J. Mod. Phys. B29, 1530009 (2015).

Письма в ЖЭТФ 102, 399 (2015).

17.

X. Ma, L. Qin, H. Zhao, Y. Lan, and S. Feng, J. Low

37.

S. P. Shubin and S. V. Vonsovsky, Proc. R. Soc. Lond.

Temp. Phys. 183, 329 (2016).

A 145, 159 (1934).

18.

L. Qin, X. Ma, L. Kuang, J. Qon, and S. Feng, J. Low

38.

S. P. Shubin and S. V. Vonsovsky, Phys. Z. Sowye-

Temp. Phys. 181, 112 (2015).

tunion 7, 292 (1935).

19.

J. Hubbard, Proc. R. Soc. London Ser. A 276, 238

39.

S. P. Shubin and S. V. Vonsovsky, Phys. Z. Sowye-

(1963).

tunion 10, 348 (1936).

20.

M. Ye and A. Chubukov, Phys. Rev. B 100, 035135

40.

Н. Н. Боголюбов, Избранные труды в трех томах,

(2019).

т. 2, Наукова думка, Киев (1970).

21.

K. S. Chen, Z. Y. Meng, U. Yu, S. Yang, M. Jarrell,

41.

Р. О. Зайцев, ЖЭТФ 68, 207 (1975); 70, 1100

and J. Moreno, Phys. Rev. B 88, 041103(R) (2013).

(1976).

22.

G.-Q. Zheng et al., J. Phys. Condens. Matter 18, L63

(2006).

42.

Р. О. Зайцев, Диаграммные методы в теории

сверхпроводимости и ферромагнетизма, УРСС,

23.

A. Kanigel et al., Phys. Rev. Lett. 92, 257007 (2004).

Москва (2004).

24.

H. D. Yang et al., Phys. Rev. B 71, 020504R (2005).

43.

В. В. Вальков, А. А. Головня, ЖЭТФ 134, 1167

25.

G.-Q. Zheng et al., Phys. Rev. B 73, 180503R (2006).

(2008).

26.

G. Baskaran, Phys. Rev. Lett. 91, 097003 (2003).

44.

Л. П. Горьков, ЖЭТФ 34, 735 (1958).

294