ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 2, стр. 342-348

ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ВИНТОВОГО ДИНАМО

В. В. Титовa*, Р. А. Степанов^a,b, Д. Д. Соколов^c,d

^a Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук

614013, Пермь, Россия

^b Пермский национальный исследовательский политехнический университет

614990, Пермь, Россия

^c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет

119991, Москва, Россия

^d Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н. В. Пушкова Российской академии наук

108840, Троицк, Москва, Россия

Поступила в редакцию 7 июля 2019 г.,

после переработки 26 августа 2019 г.

Принята к публикации 28 августа 2019 г.

Винтовое динамо представляет собой критическое явление — самовозбуждение, которое происходит толь-

ко при достижении магнитным числом Рейнольдса (Rm) некоторого порогового значения. Показано, что

при значениях Rm, несколько меньших этого критического значения, происходит временной рост маг-

нитного поля. Появление временного роста также ограничено снизу вторым критическим значением Rm.

Если же затравочное магнитное поле присутствует постоянно, а не только в начальный момент эволюции,

то временной подкритический рост магнитного поля приводит к возникновению стационарной магнитной

конфигурации. Особенно сильным это стационарное магнитное поле оказывается, если затравочное поле

в виде бегущей волны совпадает по фазовой скорости с магнитным полем, которое возникает при нали-

чии самовозбуждения. Рассматриваются возможности обнаружения такого резонанса в подкритическом

режиме работы экспериментальной установки, основанной на винтовом динамо.

DOI: 10.31857/S0044451020020121

Однако еще в 1956 г. Я. Б. Зельдович [3] обра-

тил внимание на то, что если интенсивность рабо-

ты динамо еще не достигает порогового значения,

1. ВВЕДЕНИЕ

то магнитное поле не обязательно просто убывает, а

может наблюдаться его временной рост. Это суще-

Считается, что происхождение магнитных полей

ственно отличает перенос магнитного поля от пере-

большинства небесных тел связано с работой меха-

носа, скажем, температуры, максимум которой в за-

низма динамо (например, [1, 2]). Динамо основано

мкнутой системе может только убывать. Замечание

на эффекте электромагнитной индукции и превра-

Зельдовича широко известно среди специалистов по

щает кинетическую энергию проводящей среды в

динамо, но до недавнего времени не привлекало вни-

магнитную энергию. Этот механизм является поро-

мание исследователей вероятно потому, что в небес-

говым, т. е. самовозбуждение магнитного поля про-

ных телах магнитные числа Рейнольдса, как прави-

исходит тогда, когда индукционные эффекты до-

ло, очень велики и возможность того, что они ока-

статочно сильно превосходят диссипацию. Количе-

жутся меньше критического значения не казалась

ственно это превосходство характеризуется некото-

актуальной.

рым безразмерным числом, удобным для данной ре-

ализации механизма динамо. В простейших случаях

Ситуация заметно изменилась после того, как на

этим числом является магнитное число Рейнольдса

рубеже нового тысячелетия механизм динамо впер-

(Rm), которое должно превосходить соответствую-

вые был воспроизведен в лабораторных условиях

щее пороговое значение Rm^∗.

(см. для обзора [4]). В самом деле, при постановке

динамо-эксперимента борьба идет за каждую еди-

^* E-mail: titov.v@icmm.ru

ницу магнитного числа Рейнольдса, так что обна-

342

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Переходные режимы винтового динамо

ружение временного роста магнитного поля можно

а также тем, что сама идея Зельдовича была сфор-

рассматривать как естественный шаг на пути раз-

мулирована в контексте изучения мелкомасштабно-

вития экспериментов в этом направлении. В то же

го динамо. В данной работе мы проводим изучение

время современные динамо-эксперименты, при всей

временного роста магнитного поля для механизма

их полезности и поучительности, отвечают лишь на

динамо, на котором основано большинство динамо-

очень ограниченный круг вопросов теории динамо,

экспериментов, а именно винтового динамо, и со-

а явление временного роста представляется интерес-

поставляем полученные выводы с результатами [5].

ным и само по себе. Тем не менее, работ, специально

В частности, мы также допускаем, что интересую-

посвященных подкритическому временному росту

щая нас задача имеет две достаточно независимые

магнитного поля, очень мало (см., например, [5]).

и различные по своим свойствам конкретизации —

Винтовое динамо, впервые рассмотренное Поно-

внешнее магнитное поле может вноситься в систе-

маренко [6], использует для генерации магнитно-

му как начальное условие либо постоянно возобнов-

го поля вращающуюся струю проводящей жидкос-

ляться внешним источником магнитного поля. Вто-

ти. В оригинальной работе движение струи пред-

рая постановка более востребована в рамках экспе-

ставляется как твердотельное движение бесконечно

риментов по динамо, в которых, если не предпри-

длинного цилиндра, так что индукционные эффек-

нимать специальных мер, внешнее магнитное поле

ты возникают на границе цилиндра. В более реали-

постоянно присутствует в виде геомагнитного по-

стических моделях нет необходимости воспроизво-

ля. Создание внешнего магнитного поля в экспери-

дить скачок угловой скорости буквально, но гене-

ментальных условиях возможно также с использо-

рационные эффекты все равно сосредоточены неда-

ванием специальных внешних катушек, входящих в

леко от границы струи. Замечательным свойством

состав экспериментальной установки [14], которые

винтового динамо является наиболее низкое крити-

позволяют реализовать бегущее поле с нужной сим-

ческое магнитное число Рейнольдса. Это критичес-

метрией. В рамках этой работы мы ориентируем-

кое значение, конечно, несколько зависит от дета-

ся на вторую возможность, которая представляется

лей задачи, в частности, от профиля угловой ско-

нам более актуальной.

рости, однако его минимальные оценки составляют

Rm^∗ ≈ 17.7 [7]. Было предложено несколько вари-

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

антов экспериментальной реализации винтового ди-

Генерация магнитного поля B в движущейся со

намо, в частности, в ограниченном цилиндрическом

скоростью U электропроводящей среде описывается

канале [8] (г. Рига) и в замкнутом тороидальном

следующей системой уравнений:

канале [9] (г. Пермь). Рижская установка извест-

на тем, что на ней порог генерации был достигнут

∂_tB = ∇ × (U × (B + B₀)) + η∇²B,

(1)

и эффект динамо наблюдался в эксперименте [10].

∇ · B = 0,

Идея пермской динамо-установки была реализова-

где η — коэффициент магнитной вязкости среды,

на в нескольких модификациях, которые послужили

B₀ — внешнее магнитное поле. В задаче винтово-

для экспериментального обнаружения ряда значи-

го динамо рассматривается осесимметричное твер-

мых турбулентных магнитогидродинамических эф-

дотельное движение внутри цилиндрического кана-

фектов [11-13]. Поиск режимов, которые бы обес-

ла, которое в цилиндрической системе координат

печили демонстрацию механизма винтового дина-

(r, ϕ, z) может быть представлено в виде

мо в торе, по-прежнему представляет теоретичес-

кий интерес в том, чтобы обнаружить абсолютную

U(r, t) = {0, ru(r, t), χu(r, t)} ,

(2)

неустойчивость.

где u(r, t) = ζ(r)v(t) — параметризация поля ско-

В данном исследовании, проведенном методами

рости, а параметр χ — шаг винта. Для описания

численного моделирования, мы отталкиваемся от

скачка скорости на границе цилиндра была исполь-

недавней работы [5], посвященной подкритическому

зована гладкая функция профиля в виде ζ(r) =

временному росту магнитного поля в задаче мел-

= (1 - th[100(r - 1)])/2, при котором переход осу-

комасштабного динамо. Мелкомасштабным принято

ществляется в слое с характерной толщиной 0.01. В

называть динамо, в котором магнитное поле гене-

таком приближении отличие решения от решения со

рируется статистически однородным и изотропным

скачком составляет менее 1 %. Решение уравнения

потоком проводящей жидкости. Мотивация авторов

(1) можно представить в факторизованном виде:

этой работы была связана с изучением именно мел-

комасштабного динамо, а не динамо-эксперимента,

B(r, ϕ, z, t) = b(r, t)ei(mϕ+kz),

(3)

343

В. В. Титов, Р. А. Степанов, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

где m и k — волновые числа. Используя условие со-

леноидальности, можно выразить продольную ком-

поненту магнитного поля через две другие,

∂(rb_r)

mb_ϕ

b_z(r, t) =

(4)

∂r

и свести задачу к решению одномерной системы

уравнений в частных производных:

∂b_r

2imb_ϕ

= D(b_r) -

∂t

r²

- iRmu(b_r + b0r)(m + kχ),

(5)

∂b_ϕ

2imb_r

= D(b_ϕ) +

- iRmu(b_ϕ + b0ϕ)×

∂t

r²

Рис. 1. (В цвете онлайн) Зависимость магнитной энергии

∂u

внутри канала от времени при различных значениях маг-

× (m + kχ) + rRm(b_r + b0r)

∂r

нитного числа Рейнольдса Rm, выраженных относительно

∗

критического значения Rm

где оператор

∂

m² + 1

-k² +

(6)

По результатам численного решения уравнений

r ∂r

∂r²

r²

(5) вычисляется средняя энергия поперечного маг-

Магнитное число Рейнольдса Rm = r₀u₀/η получе-

нитного поля в сечении канала:

но при приведении к безразмерному виду с исполь-

∫

зованием следующих характерных величин: радиуса

(

)

E(t) =

|b_r(r, t)|² + |b_ϕ(r, t)|²

r dr,

(9)

канала r₀, скорости на границе канала u₀, диффу-

зионного времени r²⁰/η. Математическая постановка

дополняется граничными условиями осевой симмет-

где выбранная нормировка соответствует E(0) = 1

рии для моды m = 1 (здесь мы ограничиваемся рас-

для поля (8). Для вида (3) E(t) не зависит от z

смотрением этой, наиболее интересной, моды) при

и отражает эволюцию энергии всей системы, кото-

r = 0:

рая для рассматриваемого случая показана на рис. 1

∂_rb_r(0, t) = 0,

∂_rb_ϕ(0, t) = 0,

(7)

при различных Rm. Для удобства значения выбра-

ны в соответствии с заданными надкритичностями

и условием затухания магнитного поля b(r, t) при

относительно порога генерации Rm^∗. В самом де-

r → ∞. Начальные условия и вид поля B₀(r,t) кон-

ле, можно видеть, что до момента времени уста-

кретизируются ниже.

новления экспоненциального неограниченного роста

энергии, который обнаруживается при Rm > Rm^∗,

наблюдается стадия быстрого роста продолжитель-

3. ЭВОЛЮЦИЯ НАЧАЛЬНОГО

МАГНИТНОГО ПОЛЯ

ностью нескольких характерных (диффузионных)

единиц времени. Этот рост имеет место и для под-

Рассмотрим сначала стандартную постановку за-

критических режимов. При Rm = 0.75Rm^∗ энергия

дачи об эволюции магнитного поля при заданном

усиливается примерно в 2.5 раза. Схожее поведе-

начальном условии и отсутствии внешнего источни-

ние наблюдали [5] в задаче мелкомасштабного ди-

ка (B₀(r, t) = 0). Расчеты выполнены при следую-

намо. Понятно, что в таких различных задачах пря-

щих значениях параметров: m = 1, k = -0.4, χ =

мое количественное сравнение затруднительно, хотя

= 1.3. Этот набор соответствует режиму генерации

в нашем случае явление временного роста кажется

при минимальном критическом значении числа Рей-

существенно менее выраженным. Тем не менее, его

нольдса Rm^∗ = 17.729.

в принципе можно было бы наблюдать в реальном

Начальные условия задачи с однородным и пер-

эксперименте. Подробное обсуждение этого вопроса

пендикулярным к оси канала магнитным полем в

и оценка предлагаются в разд. 5.

цилиндрической системе координат имеют вид

Обращает на себя внимание также кратковре-

менное уменьшение магнитной энергии после пер-

b_r(r, 0) = 1, b_ϕ(r, 0) = i.

(8)

вичного этапа роста в самом начале эволюции. Оно

344

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Переходные режимы винтового динамо

0.5

1.0

1.5

2.0

не отмечалось в [5] для рассматриваемой там задачи

вероятно потому, что использовавшиеся в [5] уравне-

ния уже предусматривают, что начальное магнитное

поле довольно близко по своей структуре к собствен-

10³

ной функции, которая появляется по достижении

порога возбуждения. Также необходимо отметить,

10²

что уже при Rm = 0.4Rm^∗ эффект временного ро-

ста магнитной энергии практически не проявляется.

Наличие этого второго порога возбуждения также

не отмечалось в задаче, рассмотренной в [5]. Про-

исхождение этого порога кажется естественным —

магнитная энергия не успевает перейти от падения

на самом начальном этапе к временному росту до

того, как вступает в действие диссипация. Различие

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

двух порогов возбуждения, т. е. диапазон Rm, при

которых заметен временной рост, невелико и состав-

10.00

ляет по грубой оценке 20-30 %. Конечно, этот диа-

5.00

пазон зависит от конфигурации начального магнит-

1.00

ного поля, но, в принципе, при целенаправленных

0.50

исследованиях он кажется достижимым в экспери-

менте.

0.10

0.05

4. ГЕНЕРАЦИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ

ВНЕШНЕГО БЕГУЩЕГО МАГНИТНОГО

ПОЛЯ

Рассмотрим влияние внешнего постоянно дейст-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Временная эволюция магнитной

вующего затравочного магнитного поля на времен-

энергии E в зависимости от частоты внешнего бегущего

ной рост энергии в подкритическом режиме динамо.

магнитного поля ω0 при фиксированном магнитном чис-

Конечно, это влияние существенно зависит от кон-

ле Рейнольдса Rm = Rm^∗. Значения ω0 представлены в

фигурации затравочного магнитного поля, причем

единицах ω: ω0/ω > 0 (а) и ω0/ω < 0 (б)

естественно ожидать, что оно наиболее существен-

но тогда, когда это внешнее поле более-менее напо-

m = 1, k = -0.4, χ = 1.3. Воздействие на собствен-

минает то магнитное поле, генерацию которого мы

ной частоте ω₀ = ω не изменяет порог генерации

ожидали бы в надкритическом режиме. Поскольку

Rm^∗, но способно существенно усилить амплитуд-

в случае винтового динамо таким магнитным полем

ные характеристики магнитного поля в подкритиче-

является бегущая волна квазистационарного маг-

ском режиме. Оно важно и в критическом режиме,

нитного поля, то B₀ также полагается в виде бе-

с которого мы и начинаем исследование.

гущей волны. Итак, мы рассматриваем однородное

поперечное поле (9), которое вращается вокруг оси с

На рис. 2 представлены временные зависимос-

циклической частотой ω₀. В этом случае компонен-

ти магнитной энергии при Rm = Rm^∗ и различ-

ты внешнего магнитного поля B₀ имеют вид

ных значениях частоты возбуждения ω₀ (значения

указаны относительно ω). При ω₀ = ω (и только

b0r = cosω₀t + i sinω₀t,

(10)

в этом случае) энергия поля растет неограниченно

(см. рис. 2а), хотя и не экспоненциально. При значе-

b0ϕ = - sinω₀t + i cosω₀t.

(11)

ниях ω₀, близких к ω, можно добиться существенно-

Подчеркнем, что выбор ω₀ имеет решающее значе-

го периодического роста с частотой, обусловленной

ние. При совпадении собственной частоты задачи и

ω₀-ω. Можно видеть, что при переходе от ω₀ = 1.5ω

частоты внешнего магнитного поля можно ожидать

к ω₀ = 2ω частота осцилляций энергии удваивается.

возникновения резонансных эффектов.

Это явление наблюдается и для ω₀ со знаком, про-

Собственная частота динамо-волны ω = 0.44 по-

тивоположным знаку ω (см. рис. 2б). При ω₀ = -ω

лучена из (5) при Rm = Rm^∗ и тех же параметрах

энергия может временно усиливаться в 5-6 раз.

345

В. В. Титов, Р. А. Степанов, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Рис. 4. Характерное изменение скорости v со временем в

Рис. 3. Зависимости стационарного значения энергии Es

канале относительно стенок в процессе торможения канала

от параметра ξ = Rm^∗/Rm при различных значениях вол-

(t ≤ 10) и после его полной остановки в момент времени

нового числа k. Штриховой линией показана зависимость

ts = 10

4(ξ - 1)-2

Внешнее бегущее магнитное поле, действующее

на резонансной частоте (ω₀ = ω), позволяет суще-

ственно увеличить энергию магнитного поля тече-

ния и для подкритических режимов Rm < Rm^∗. Рас-

четы показали, что энергия индуцированного маг-

нитного поля принимает стационарное значение E_s.

Зависимости достигаемого усиления магнитного по-

ля E_i от параметра подкритичности ξ = Rm^∗/Rm

показаны на рис. 3. При этом характерное время

насыщения генерации также зависит от ξ. Для ξ =

= 10 это время выхода к стационарному значению

составляет около 10 характерных единиц, а для ξ =

= 1.1 — порядка 50. Мы провели исследование дан-

ной зависимости и при других значениях k. На рис. 3

Рис. 5. (В цвете онлайн) Эволюция магнитной энергии в

нестационарном винтовом движении при наличии внешне-

приводятся результаты при k

= -0.77, т.е. при

го бегущего магнитного поля с ω0 = ω; k = -0.4 и χ = 1.3

Rm = Rm^∗ = 26.9, при котором собственная крити-

ческая частота равна ω = 3.68. Зависимость E_s(ξ)

хорошо аппроксимируется функцией 4(ξ - 1)-2 (на

ретает особую практическую ценность, если сопо-

рисунке показана штриховой линией). Данная зави-

ставить время усиления с характерными гидроди-

симость представляется важной, так как позволяет

намическими временами в существующей динамо-

в подкритических условиях эксперимента оценить

установке [4]. Ее особенность состоит в том, что ин-

близость к критическому значению числа Рейнольд-

тенсивный винтовой поток возникает за счет накоп-

са. Так, например, при Rm = 0.5Rm^∗, т. е. ξ - 1 = 1,

ленной кинетической энергии вращающегося объе-

можно ожидать усиление E относительно внешнего

ма жидкого металла и последующей резкой оста-

поля в 4 раза.

новки канала. На рис. 4 показана характерная эво-

люция интенсивности течения. Приблизительно ли-

нейный рост на интервале t ≤ 10 соответствует тор-

5. ГЕНЕРАЦИЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ

можению канала, а после полной остановки поток

ПОТОКЕ

затухает. Время остановки канала t_s зависит от па-

Мы видели, что резонанс с затравочным внеш-

раметров установки и ускорения торможения, ко-

ним магнитным полем может дать существенное

торые, в свою очередь, влияют на Rm. Значение

временное усиление поля. Этот результат приоб-

t_s = 10 выбрано как одно из возможных среди са-

346

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Переходные режимы винтового динамо

мых типичных для эксперимента динамо. На рис. 5

При реалистичных параметрах эксперимен-

показана эволюция магнитной энергии при различ-

тальной установки эффект генерации винтовым

ных значениях Rm. Даже при значительных над-

динамо может давать 10-ти кратный рост энергии

критичностях Rm поле со временем затухает. Тем

магнитного поля. Конечно, существенная нестаци-

не менее, можно наблюдать существенный скачок

онарность реализуемого в эксперименте течения

энергии к моменту остановки.

негативно сказывается на возможности выделения

эффекта, но эта возможность не кажется безнадеж-

ной. Проведенные в последнее время эксперименты

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

с медленным торможением [19] показывают, что

можно добиться квазистационарности на протя-

Мы последовательно изучили особенности под-

жении десятков диффузионных времен, что дает

критических режимов генерации магнитного поля

надежду на обнаружение резонансных эффектов в

в задаче винтового динамо и подтвердили возмож-

подкритическом режиме.

ность подкритического усиления начального маг-

нитного поля относительно простой пространствен-

Финансирование. Работа выполнена при фи-

ной конфигурации при Rm ≲ Rm^∗. При включении

нансовой поддержке Российского научного фонда

внешнего периодического магнитного поля этот эф-

(грант № 18-41-06201).

фект становится более выраженным и дает постоян-

ное индуцированное поле. Мы показали, что дости-

жимое усиление определяется уровнем подкритич-

ЛИТЕРАТУРА

ности Rm^∗/Rm.

Е. Паркер, Космические магнитные поля, Мир,

Полученные результаты в самом общем виде, ко-

Москва (1982).

нечно, подтверждают представление о временном

росте магнитного поля при слегка подкритических

Я. Б. Зельдович, А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов,

магнитных числах Рейнольдса, восходящее к рабо-

Магнитные поля в астрофизике, НИЦ «Регуляр-

те Зельдовича [3]. Однако оказывается, что в более

ная и хаотическая динамика», Ижевск (2006).

конкретных свойствах этот подкритический рост су-

Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 31, 154 (1956).

щественно отличается от подкритического роста в

задаче мелкомасштабного динамо, полученного в

Д. Д. Соколов, Р. А. Степанов, П. Г. Фрик, УФН

работе [5]. Это представляется естественным, по-

184, 313 (2014).

скольку физический механизм винтового динамо су-

E. Yushkov, A. Lukin, and D. Sokoloff, Phys. Rev.

щественно связан с волновым характером магнитно-

E 97, 063108 (2018).

го поля, возбуждаемого механизмом динамо, чего не

скажешь про механизм мелкомасштабного динамо.

Ю. Б. Пономаренко, Прикл. мех. тех. физ. № 6, 47

Это также, по-видимому, объясняет, почему в ис-

(1973).

следованиях винтового динамо с флуктуациями те-

А. Гайлитис, Я. Ж. Фрейберг, Магн. гидрод. №2,

чения [15,16] усиления генерации не наблюдалось —

3 (1976).

эти флуктуации не имели волнового характера.

Несколько неожиданно наше исследование вы-

A. Gailitis and G. Lipsbergs, Magnetohydrodynamics

явило родство рассмотренной нами задачи с зада-

53, 349 (2017).

чей о резонансных и близких к ним эффектах в яв-

P. Frick, V. Noskov, S. Denisov et al., Magnetohyd-

лении динамо. Изучение резонансных эффектов в

rodynamics 38, 143 (2002).

динамо исторически связано с тем, что номиналь-

ная длина солнечного цикла близка к орбитально-

10.

A. Gailitis, O. Lielausis, S. Dement’ev et al., Phys.

му периоду Юпитера (см. [17] и приведенные там

Rev. Lett. 84, 4365 (2000).

ссылки). Нам кажется, что вопрос о резонансе в ди-

11.

R. Stepanov, R. Volk, S. Denisov et al., Phys. Rev.

намо заслуживает специального исследования вне

E 73, 046310 (2006).

рамок этого конкретного астрофизического вопроса

[18]. Мы показали, что резонансное усиление маг-

12.

С. А. Денисов, В. И. Носков, Р. А. Степанов,

нитного поля в подкритическом режиме винтового

П. Г. Фрик, Письма в ЖЭТФ 88, 198 (2008)

динамо может быть существенным и представлять

[S. A. Denisov, V. I. Noskov, R. A. Stepanov, and

интерес для динамо-эксперимента.

P. G. Frick, JETP Lett. 88, 167 (2008)].

347