ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 2, стр. 349-356
© 2020
ВОЛНОВЫЕ РЕЖИМЫ ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ
СЛАБОПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ ПРИ
УНИПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННОМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В. А. Ильин*, В. Н. Александрова
Пермский государственный национальный исследовательский университет
614990, Пермь, Россия
Поступила в редакцию 24 июля 2019 г.,
после переработки 24 июля 2019 г.
Принята к публикации 15 августа 2019 г.
Исследованы нелинейные режимы неоднородно нагретой слабопроводящей жидкости в горизонтальном
конденсаторе в поле тяжести и постоянном электрическом поле при униполярной инжекции заряда с
катода и нагреве сверху. Рассмотрена модель, в которой плотность инжектируемых с катода зарядов
пропорциональна напряженности электрического поля в конденсаторе. При тепловом числе Рэлея Ra =
= -1000 построена бифуркационная диаграмма режимов. Исследованы различные режимы электрокон-
векции: стационарный режим, режим стоячих и бегущих волн. При изучении влияния увеличения нагрева
сверху были обнаружены переходы между режимами: режим бегущей волны сменяется режимом стоячей
волны, который переходит в режим модулированной стоячей волны.
DOI: 10.31857/S0044451020020133
тыми вопросы, связанные с возникновением и эво-
люцией электроконвективных движений [4]. Суще-
ствуют различные механизмы зарядообразования в
1. ВВЕДЕНИЕ
жидкостях [4]. В работе [5] проведено исследование
влияния электрокондуктивного механизма зарядо-
Изучение конвекции слабопроводящих жидкос-
образования на нелинейные режимы электроконвек-
тей в электрическом поле представляет интерес, по-
ции. Инжекционный механизм зарядообразования
тому что является способом прямого преобразова-
связан с инжекцией зарядов с поверхности электро-
ния энергии электрического поля в энергию движе-
да. В силу сложности проблемы существует много
ния [1-3]. Электроконвективные движения наблю-
моделей, описывающих инжекцию заряда в слабо-
даются в жидких диэлектриках, в которых присут-
проводящей жидкости. В работе [6] проведено иссле-
ствует хотя бы небольшой заряд. Электрическое по-
дование электроконвекции слабопроводящей жид-
ле может изменить пороги тепловой конвекции и
кости в случае униполярной автономной инжекции
обеспечить эффективный способ управления дви-
заряда с постоянной плотностью заряда на аноде.
жением жидкостей [2]. С практической точки зре-
ния, знание законов действия электрического по-
Ряд экспериментальных данных описывается
ля на конвективные течения актуально в связи с
моделью, в которой инжектируемый с катода заряд
проблемой эффективного управления конвекцией,
зависит от напряженности электрического поля
тепло- и массопереносом в различных технологи-
в конденсаторе
[7, 8]. В работах [7-10] исполь-
ческих ситуациях [4], например, в электрогидроди-
зуется такая модель инжекции заряда с катода.
намических преобразователях, ионно-конвективных
Согласно этой модели плотность инжектируемого
насосах и немеханических переключателях.
в жидкость заряда на катоде прямо пропорци-
Несмотря на большое количество эксперимен-
ональна напряженности электрического поля в
тальных и теоретических работ, остаются откры-
конденсаторе. В настоящей работе в рамках этой
модели рассматривается электроконвекция неод-
* E-mail: ilin1@psu.ru
нородно нагретой слабопроводящей жидкости в
349
В. А. Ильин, В. Н. Александрова
ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020
z
горизонтальном конденсаторе в поле тяжести и в
постоянном электрическом поле при униполярной
инжекции заряда. Используется электрогидроди-
=U
T = 0
h
намическое приближение (магнитными эффектами
по сравнению c электрическими пренебрегают).
Инжектируемые с поверхности катода заряды
движутся через слой жидкости, изменяя в ней
g
E
распределение электрического поля. Диффузия
заряда не учитывается. Считается, что время диф-
фузии заряда пренебрежимо мало по сравнению
T=
= 0
= aE
с характерным гидродинамическим временем и
e
z
временем релаксации заряда.
0
x
В статье [7] в аналогичной постановке проведе-
но исследование линейной устойчивости изотерми-
Рис. 1. Геометрия задачи
ческой слабопроводящей жидкости, нагрев жидко-
сти в ней не рассматривался. В работе [8] иссле-
тываемая от температуры верхнего электрода, Θ —
довано влияние подвижности носителей заряда на
характерная разность температур. Случай Θ > 0 со-
критические параметры задачи, изучены нелиней-
ответствует нагреву снизу (Θ < 0 — нагреву сверху).
ные режимы электроконвекции при нагреве свер-
На катоде (нижнем электроде) потенциал равен ну-
ху. В [9] проведен линейный анализ устойчивости
лю ϕ(0) = 0, на аноде (верхнем электроде) — ϕ(h) =
равновесия слабопроводящей жидкости при нагре-
= U. Здесь U — напряжение электрического поля.
ве снизу и сверху, приведены предварительные ре-
Под действием электрического поля в узком слое
зультаты исследования нелинейных режимов элек-
вблизи катода в результате электрохимических ре-
троконвекции при нагреве снизу. В работе [10] в од-
акций образуется заряд. Плотность свободных заря-
номерном случае проведено исследование динамики
дов у катода пропорциональна нормальной состав-
переноса заряда в изотермической жидкости в мо-
ляющей вектора напряженности поля ρe = aEz , где
дулированном электрическом поле и в двумерном
a — коэффициент, характеризующий степень ин-
случае исследованы нелинейные режимы в неизо-
жекции заряда. Инжектированный заряд под дей-
термической жидкости при нагреве снизу в посто-
ствием поля движется в глубь жидкости. Двига-
янном электрическом поле. В работе [11] исследова-
ясь к аноду, заряд может увлекать за собой жид-
ны амплитудно- и фазовомодулированные бегущие
кость, вызывая электроконвективное течение. Дви-
волны в бинарных смесях при модулированном на-
жение жидкости и свободных зарядов в слое описы-
греве. В работах [9, 10] обнаружено, что при нагре-
вается системой уравнений электрогидродинамики:
ве снизу существуют только стационарные режимы,
(
)
волновые режимы не найдены. В настоящей работе
∂v
ρ
+(v · ∇)v
= -∇p+ρν0Δv+ρeE+ρg,
продолжено исследование нелинейных волновых ре-
∂t
жимов электроконвекции при нагреве сверху.
∂T
+ (v · ∇)T = χΔT,
∂t
(1)
∂ρe
+ div(ρev - bρeE) = 0,
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
∂t
div v = 0, ρ = ρ0(1 - βT ),
Рассмотрим бесконечный плоский горизонталь-
div(εε0E) = ρe, E = -∇ϕ,
ный слой вязкой несжимаемой слабопроводящей
жидкости в вертикальном постоянном электриче-
где ρ — массовая плотность жидкости; v — вектор
ском поле и поле тяжести с ускорением свободного
скорости жидкости; p — давление; ν0 — коэффици-
падения g. Ось x направлена вдоль нижней грани-
ент кинематической вязкости; ρe — плотность сво-
цы слоя, ось z — перпендикулярна границам слоя.
бодных зарядов; χ — коэффициент температуропро-
Два плоских электрода лежат в плоскостях z = 0 и
водности; β — коэффициент теплового расширения
z = h (рис. 1), h — толщина слоя.
жидкости; ε — диэлектрическая проницаемость сре-
Идеально тепло- и электропроводные пластины
ды; ε0 — электрическая постоянная; b — подвиж-
конденсатора нагреты до разной температуры —
ность зарядов; E — напряженность, ϕ — потенци-
T (0) = Θ, T (h) = 0. Здесь T — температура, отсчи-
ал поля. Считается, что диэлектрическая проница-
350
ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020
Волновые режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости. . .
емость среды ε и коэффициент подвижности ионов
Вследствие малой инжекции нелинейную задачу
b не зависят от температуры и поля.
можно решать в безындукционном приближении,
Границы слоя считаются твердыми, непроницае-
в котором предполагается, что изменение распре-
мыми, на них выполняются условия прилипания —
деления заряда, возникающее в результате появле-
скорость равна нулю:
ния электроконвективных структур, по сравнению
с равновесным, не вызывает заметного изменения
z = 0 : v = 0, ϕ = 0,
потенциала электрического поля [7]. Система (3) в
∂ϕ
безындукционном приближении примет вид
ρe = aEz = -a
,
T = Θ,
(2)
∂z
∂Φ
∂ψ ∂Φ
∂ψ ∂Φ
z = h : v = 0, ϕ = U, T = 0.
+
-
=
∂t
∂x ∂z
∂z ∂x
Используем безразмерные переменные на основе
T2e ∂ρe
Ra ∂T
= ΔΦ - E
-
,
масштабов времени — время вязкой диссипации [t] =
M2 ∂x
Pr ∂x
(
)
(7)
= h2/ν0, расстояния — расстояние между электро-
∂ρe
∂ψ ∂ρe
∂ψ ∂ρe
Te
∂ρe
+
-
=
ρ2e + E
,
дами [r] = h, скорости — [v] = ν0/h, потенциала —
∂t
∂x ∂z
∂z
∂x
M2
∂z
[ϕ] = U, давления — [p] = ρν20/h2, температуры —
∂T
∂ψ ∂T
∂ψ ∂T
1
+
-
=
ΔT,
[T ] = Θ, плотности заряда — [ρe] = εε0U/h2.
∂t
∂x ∂z
∂z ∂x
Pr
После приведения к безразмерному виду система
со следующими граничными условиями:
уравнений (1) с граничными условиями (2) следую-
щая [8]:
z = 0 : ψ = 0,
∂ψ/∂x = 0,
ρe = AE, T = 1,
(8)
∂v
T2e
Ra
+(v · ∇)v = -∇p+Δv-
ρe∇ϕ+
Tγ,
∂t
M2
Pr
z = 1 : ψ = 0,
∂ψ/∂z = 0, T = 0.
∂T
1
+ (v · ∇)T =
ΔT,
На боковых границах для всех искомых функций
∂t
Pr
(3)
выполняются условия периодичности.
div v = 0, Δϕ + ρe = 0,
∂ρe
Te
+ (v · ∇)ρe =
(ρ2e - ∇ϕ · ∇ρe),
∂t
M2
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
где γ = (0, 0, 1), p — превышение давления над гид-
3.1. Нелинейные режимы электроконвекции
ростатическим. Граничные условия перепишутся в
при нагреве сверху
виде
Система
(7),
(8) аппроксимировалась конеч-
z = 0 : v = 0, ϕ = 0,
но-разностными отношениями. Эволюционные
∂ϕ
уравнения решались по явной схеме, конвективные
ρe = -A
,
T = 1,
(4)
∂z
слагаемые в уравнении для заряда и температуры
z = 1 : v = 0, ϕ = 1, T = 0.
аппроксимировалась разностями «против потока»
[8]. Для уравнения переноса тепла использовались
Здесь введены безразмерные параметры — тепловое
центральные разности. Для удобства работы с
число Рэлея Ra, электрические параметры Te и M,
условиями периодичности к сетке добавлялись два
число Прандтля Pr и параметр инжекции A:
вертикальных ряда. Вихрь скорости на горизон-
3
тальных границах вычислялся по формуле Тома.
gβΘh
εε0U
1
√εε0
Ra =
,
Te =
,
M =
,
Для решения уравнения Пуассона использовался
ν0χ
bρν0
b
ρ
(5)
метод последовательной верхней релаксации.
ν0
Pr =
,
A=
ah .
Для вычислений выбиралась прямоугольная
χ
εε0
ячейка с пространственными размерами Lz
= 1,
Lx
=
2. Горизонтальная ячейка соответствует
Рассматриваются плоские возмущения v = (u, 0, w)
волновому числу k = 3.14. Размер сетки брался
и ∂/∂y = 0. Для исследования нелинейных режимов
21×41 узел. Следующие параметры фиксировались:
электроконвекции вводится функция тока ψ и вихрь
число Прандтля Pr = 10, электрический параметр
скорости Φ:
M = 14.14 (M2 = 200), параметр инжекции заряда
∂ψ
∂ψ
A = 0.15. Вычислялись зависимости максимальной
vx = -
,
vz =
,
Φ = (rotv)y = -Δψ.
(6)
∂z
∂x
функции тока от параметра Te. Большой нагрев
351
В. А. Ильин, В. Н. Александрова
ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020
max
max
30
30
a
25
25
20
20
SOC
15
15
10
10
5
5
0
0
5
10
15
20
25
30
1
2
3
4
5
6
7
t
Te . 10-3
max
Рис. 3. Стационарная электроконвекция: Ra = -1000,
0.8
Te = 6830
б
0.7
тодом продолжения по параметру. При постоянных
0.6
TW
начальных условиях возмущения либо колебатель-
0.5
ным образом затухают к равновесию или колеба-
тельному режиму, либо резко возрастают и в неко-
0.4
торый момент времени происходит переход в режим
SOC
стационарной конвекции.
0.3
При постоянных начальных условиях и значени-
SW
ях Te > 6821 возмущения колебательным образом
0.2
возрастают и происходит переход в режим стацио-
0.1
нарной конвекции (рис. 3). Максимальное значение
функции тока, а также функция тока в фиксиро-
0
ванной точке после переходного процесса принима-
6.77
6.78
6.79
6.80
6.81
6.82
6.83
6.84
ют постоянные значения. При этом в ячейке обра-
Te . 10-3
зуются два зеркально-симметричных конвективных
вала (рис. 4а), которые смещены вверх относительно
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма: зависимость макси-
центра слоя. Это связано с действием кулоновских
мальной функции тока от электрического параметра Te:
сил, поскольку за счет инжекции заряда с катода
а — режим стационарной конвекции (SOC); б — режим ко-
жидкость в целом имеет отрицательный заряд, ко-
лебательной конвекции (TW — режим бегущих волн, SW —
режим стоячих волн)
торый стремится к аноду. Данный режим характе-
ризуется интенсивным движением жидкости с до-
вольно сложной структурой распределения заряда
сверху (Ra = -2500) рассмотрен в работе [8]. Нагрев
(рис. 4в).
снизу изучен в работах [9, 10]. В настоящей работе
При вычислении методом продолжения по пара-
рассмотрен умеренный нагрев сверху: Ra = -1000.
метру было обнаружено, что стационарный режим
В результате вычислений были обнаружены два
начинает существовать при Te = 1549. Это означа-
режима электроконвекции, один из которых коле-
ет, что при Te < 1549 в системе устанавливается
бательный, а другой — стационарный. Между ре-
равновесное распределение переменных. Если элек-
жимами наблюдались гистерезисные переходы. На
трический параметр изменяется в пределах от 1549
рис. 2 представлена бифуркационная диаграмма —
до 6774, то в системе будет либо равновесие, либо
зависимость максимальной функции тока от элек-
стационарная конвекция. При Te ≥ 6775 в системе
трического параметра Te с учетом вычислений ме-
наблюдаются два колебательных режима: бегущих
352
ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020
Волновые режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости. . .
а
z
max
1.0
0.8
0.6
а
10
-10
20
0.6
10
-10
0.4
0.4
0.2
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
0.2
x
б
z
1.0
0.8
0
10
20
30
40
50
60
70
t
0.6
fix
0.4
0.2
б
0.5
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
x
в
z
1.0
0
0.8
-0.15
-0.2
0.6
-0.5
0.4
-0.15
0.2
–0.2
70
71
72
73
74
75
0
t
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
x
Рис. 5.
Колебательный режим электроконвекции: Ra =
= -1000, Te = 6810; а — эволюция максимального значе-
Рис. 4. а) Изолинии функции тока; б) изолинии функции
ния функции тока с течением времени; б — функция тока
температуры; в) изолинии функции плотности электричес-
в фиксированной точке
кого заряда для стационарного режима: Ra = -1000,
Te = 6900
чивый характер (штриховая линия SW на рис. 2б).
Это означает, что после длительного переходного
(TW) или стоячих (SW) волн (рис. 2б).
процесса стоячая волна переходит в бегущую вол-
Режим стоячих волн (SW, рис. 2б) устойчив при
ну (TW).
6775 ≤ Te ≤ 6786. Для него характерна осцилля-
На рис. 5а представлена эволюция максимально-
ция максимального значения функции тока от нуля
го значения функции тока в конвективной ячейке
до некоторой постоянной величины, при этом зна-
для режима бегущих волн при Te = 6810. На на-
чение функции тока в фиксированной точке перио-
чальной стадии наблюдается режим стоячей волны,
дически меняет знак. В ячейке находятся два кон-
который увеличивает свою амплитуду. Фазовая ско-
вективных вала, которые периодически меняют на-
рость волны вдоль оси x равна нулю. Далее про-
правление вращения и не смещаются вдоль оси x.
исходит переходный процесс, при котором режим
При 6787 ≤ Te ≤ 6820 стоячая волна имеет неустой-
стоячей волны сменяется режимом бегущей волны:
353
11
ЖЭТФ, вып. 2
В. А. Ильин, В. Н. Александрова
ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020
z
а
max
1.0
1.3
0.8
0.2
SW
0.45
MW
0.2
1.2
0.6
1.1
0.7
0.4
0.45
1.0
0.2
0.7
0
0.9
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
TW
x
0.8
б
z
1.0
0.7
0.8
06
1200
1600
2000
2400
-0.194
-0.194
|Ra|
0.6
-0.204
Рис. 7. Бифуркационная диаграмма: зависимость макси-
0.4
-0.204
мального значения функции тока от степени нагрева свер-
0.2
ху при Te = 6820 (TW — режим бегущих волн, SW — ре-
–0.214
-0.214
жим стоячих волн, MW - режим модулированных стоячих
0
волн)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
x
Рис. 6. а) Изолинии функции температуры; б) изолинии
функции тока не принимает стационарного значе-
функции плотности электрического заряда для режима бе-
ния, а начинает колебаться в некотором интервале
гущих волн: Ra = -1000, Te = 6810
величин. С ростом параметра Te этот интервал зна-
чений растет, а затем происходит переход к режиму
стационарной конвекции.
появляется движение электроконвективных струк-
тур вдоль горизонтали. В конце переходного процес-
са максимальное значение функции тока принимает
3.2. Исследование влияния интенсивности
постоянное значение, в то время как значение функ-
нагрева на смену режимов
ции тока в фиксированной точке ячейки периодиче-
ски меняется (рис. 5б). В отличие от режима стаци-
В статье [8] изучена электроконвекция в слабо-
онарной конвекции, в режиме бегущей волны поле
проводящей жидкости с более интенсивным нагре-
заряда имеет простую структуру (рис. 6б), а интен-
вом (Ra = -2500). В этом исследовании между бегу-
сивность конвективного движения на два порядка
щими волнами и стационарным режимом был най-
меньше, чем в случае стационарной конвекции. Ес-
ден еще один колебательный режим — модулиро-
ли сопоставить рис. 4б и 6а, то можно заметить, что
ванных стоячих волн. При Ra = -1000 данный ре-
поток тепла в стационарном режиме больше, чем в
жим не был обнаружен. Возникло предположение,
колебательном.
что на появление режима модулированных стоячих
При использовании метода продолжения по па-
волн влияет степень нагрева жидкости. Было реше-
раметру было обнаружено, что при увеличении
но провести изучение смены режимов при фикси-
электрического параметра Te интенсивность тече-
рованном значении электрического параметра Te =
ния резко возрастает. Бегущая волна теряет устой-
= 6820 в зависимости от теплового числа Рэлея.
чивость и система переходит в режим стационарной
На рис. 7 представлена бифуркационная диа-
конвекции при Te = 6835. При уменьшении пара-
грамма смены режимов — график зависимости мак-
метра Te бегущие волны сохраняют устойчивость до
симального значения функции тока от интенсивно-
значения Te = 6777, после чего происходит жест-
сти нагрева сверху. Выяснилось, что при увеличении
кий переход к режиму стоячих волн. Начиная со
по модулю теплового числа Рэлея от Ra = -1000
значения Te = 6826 режим продолжает быть бегу-
режим бегущих волн (TW, рис. 7) наблюдается до
щей волной, но амплитуда максимального значения
Ra = -2072. При этом в системе максимальное зна-
354
ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020
Волновые режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости. . .
а
а
max
z
1.0
1.4
0.8
1.2
0.6
0.2
1.0
0.4
0.2
0.8
0.2
0.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
x
0.4
б
z
1.0
0.2
0.8
0.6
0
50
100
150
200
250
300
350
400
t
0.4
0.06
б
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
x
0.39
в
z
0.26
1.0
0.8
0.13
2
0.2
0.6
0.4
0
1
2
3
4
5
6
0.2
Рис. 8. а) Эволюция максимального значения функции
0
тока в режиме стоячих волн при Ra = -2370; б) фу-
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
x
рье-спектр колебаний максимального значения функции
тока
Рис. 9. а) Изолинии функции тока в момент времени t =
= 198; б) t = 198.5; в) t = 199 для стоячей волны: Ra =
= -2183, Te = 6820
чение функции тока принимает стационарное значе-
ние, изменяется значение функции тока в фиксиро-
переходного процесса максимальное значение функ-
ванной точке ячейки, качественно поведение систе-
ции тока колеблется в некотором интервале значе-
мы остается неизменным при разных температурах
ний. Значение функции тока в фиксированной точке
нагрева. Далее при Ra = -2073 появляются стоя-
ячейки периодически меняется, как в случае бегу-
чие волны (SW, рис. 7), которые при Ra = -2375
щих волн, изменяется только амплитуда этих коле-
(MW, рис. 7) сменяются режимом модулированных
баний. В фурье-спектре наблюдается лишь главная
стоячих волн. С увеличением по модулю теплово-
частота и ее вторая гармоника (рис. 8б).
го числа Рэлея амплитуда колебаний функции тока
Амплитуда этих колебаний увеличивается с рос-
возрастает. При переходе от режима бегущих волн
том нагрева. Фазовая скорость волны вдоль оси x
к стоячим волнам максимальное значение функции
равна нулю. Однако в пределах ячейки можно на-
тока претерпевает скачок. А смена модулированных
блюдать перемещение вихрей вдоль горизонтально-
волн стоячими происходит непрерывно.
го направления. Структура в ячейке может быть
На рис. 8а представлена эволюция максимально-
как двухвихревая, так и четырехвихревая (рис. 9).
го значения функции тока в конвективной ячейке
Связано это с конкуренцией первой и второй про-
для режима стоячих волн при Ra = -2370. После
странственных гармоник [8].
355
11*
В. А. Ильин, В. Н. Александрова
ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020
а
бопроводящей жидкости в горизонтальном конден-
max
саторе в гравитационном и постоянном электричес-
1.4
ком полях при униполярной инжекции заряда при
1.2
нагреве сверху и инжекции заряда с катода.
Изучены нелинейные режимы электроконвек-
1.0
ции, один из которых колебательный, а другой ста-
ционарный. Построена бифуркационная диаграмма
0.8
найденных режимов при Ra = -1000. Обнаруже-
но, что режимам стоячих или бегущих волн соот-
0.6
ветствует почти упорядоченное распределение за-
ряда в конвективной ячейке. При больших значе-
0.4
ниях электрического параметра Te устанавливается
режим стационарной конвекции, который характе-
0.2
ризуется сложным распределением заряда и боль-
шей интенсивностью вихрей.
0
20
40
60
80
100
Также было рассмотрено влияние увеличения
t
степени нагрева жидкости на смену режимов при
б
Te = 6820. Обнаружено, что при слабом нагреве
0.60
сверху в системе устанавливается режим бегущих
волн. При | Ra| = 2073 на смену ему приходит ре-
0.45
жим стоячих волн, который при | Ra | = 2375 сменя-
ется режимом модулированных стоячих волн. Рас-
0.30
четы проведены с постоянными начальными усло-
виями.
0.15
2
1
ЛИТЕРАТУРА
0
1
2
3
4
5
6
1. Г. А. Остроумов,Взаимодействие электрических
и гидродинамических полей: Физические основы
Рис. 10. а) Эволюция максимального значения функции
электрогидродинамики, Наука, Москва (1979).
тока в режиме модулированных стоячих волн при Ra =
2. С. Б. Афанасьев, Ю. К. Стишков, Электрофизи-
= -2400; б) фурье-спектр колебаний максимального зна-
ческие процессы в жидкостях и газах: учебно-ме-
чения функции тока
тодическое пособие, Санкт-Петербург (2007).
3. Ю. К. Стишков, Электрофизические процессы в
Модуляция амплитуды колебаний максимально-
жидкостях при воздействии сильных электриче-
го значения функции тока и колебаний функции то-
ских полей, Юстицинформ, Москва (2019).
ка в фиксированной точке ячейки появляется, ког-
4. А. И. Жакин, УФН 182, 495 (2012).
да число Рэлея принимает значение Ra = -2375.
5. Н. Н. Картавых, Б. Л. Смородин, В. А. Ильин,
На рис. 10а представлена эволюция максимального
ЖЭТФ 148, 178 (2015).
значения функции тока в конвективной ячейке для
6. А. В. Тараут, Б. Л. Смородин, ЖЭТФ 142, 403
режима модулированных стоячих волн при Ra =
(2012).
= -2400. Движение жидкости как целого вдоль оси
7. А. Н. Верещага, в сб.: Гидродинамика и процессы
x отсутствует. В спектре Фурье колебаний макси-
тепломассопереноса, УрО АН СССР, Свердловск
мального значения функции тока (рис. 10б) кро-
(1989), с. 42.
ме основной частоты ν и ее второй гармоники 2ν
8. А. Н. Мордвинов, Б. Л. Смородин, ЖЭТФ 141,
имеются собственная частота ν1, с которой происхо-
997 (2012).
дит модуляция, и комбинированные частоты (ν -ν1,
9. В. А. Ильин, А. Н. Мордвинов, Д. А. Петров,
ν + ν1 и др.).
ЖЭТФ 147, 181 (2015).
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
10. В. А. Ильин, ЖТФ 87, 5 (2017).
11. B. L. Smorodin and M. Luecke, Phys. Rev. E 79,
В работе проведено исследование нелинейных
026315 (2009).
режимов электроконвекции неизотермической сла-
356
