ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 2, стр. 357-380

НЕТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНОПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ

И U(1)-ИНВАРИАНТНОСТЬ

Э. Я. Нугаевa*, А. В. Шкерин^b

^a Институт ядерных исследований Российской академии наук

117312, Москва, Россия

^b Федеральная политехническая школа Лозанны

CH-1015, Lausanne, Switzerland

Поступила в редакцию 22 мая 2019 г.,

после переработки 22 мая 2019 г.

Принята к публикации 30 мая 2019 г.

Обсуждаются решения классических уравнений движения в теориях с комплексным скалярным полем

и глобальной или калибровочной U(1)-симметрией. Примерами таких решений являются Q-шары, од-

нородный заряженный скалярный конденсат, а также нелинейные локальные неоднородности на фоне

классически устойчивого конденсата. Свойства этих решений, в том числе их устойчивость, обсуждают-

ся с точки зрения различных перспективных приложений в физических задачах. Развитый формализм

позволяет рассматривать модели с дополнительными массивными полями и связать нетопологические

солитоны, возникающие в таких моделях, с Q-шарами. Также обсуждаются эффекты, связанные с на-

личием в теории дополнительных безмассовых полей, таких как электромагнитное или гравитационное.

DOI: 10.31857/S0044451020020145

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

357

3.1.1. Нелинейная оптика

366

2. Заряженный скалярный конденсат и

3.1.2. Конденсат Бозе - Эйнштейна

366

Q-шары

360

3.1.3. Релятивистская теория поля

367

2.1. Описание модели

360

3.2. Q-дырки и Q-балджи

367

2.2. Свойства

361

3.3. Пример

370

2.3. Устойчивость

363

4. Q-шары в теориях с дополнительными

2.3.1. Линейная классическая устойчивость Q-

полями

371

шаров

364

4.1. Дополнительные тяжелые поля

371

2.3.2. Линейная классическая устойчивость одно-

4.2. Калибровочные Q-шары

373

родного конденсата

365

4.3. Бозонные звезды

374

3. Нелинейные разрежения и сгущения в

заряженном скалярном конденсате

366

5. Заключение

375

3.1. Мотивация

366

Литература

376

1. ВВЕДЕНИЕ

друг с другом с сохранением своей начальной фор-

мы. Немного ранее решения с подобными свойства-

Термин «солитон» был введен Забуски и Круска-

ми изучались в системе синус-Гордона Перрингом

лом [1] в 1965 г. при численном изучении нелинейно-

и Скирмом [2]¹⁾. Вскоре число публикаций о «соли-

го уравнения Кортевега-де Фриза. Они обнаружи-

ли уединенные волны, упруго взаимодействующие

¹⁾ Одно из точных решений для изучаемой системы также

^* E-mail: emin@ms2.inr.ac.ru

уже было известно к тому времени.

357

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

тонах» стало расти «экспоненциально быстро» (см.

ский подход применим в режиме слабой связи, когда

подробнее в более ранних обзорах [3, 4]), и к насто-

нелинейное взаимодействие параметрически подав-

ящему моменту подобные объекты широко изуча-

лено [5, 11]. Хорошей иллюстрацией этого подхода

ются как теоретически, так и экспериментально в

является скалярная теория поля φ с нелинейным по-

различных областях физики.

тенциалом V (φ) в 1+1 измерениях. Если потенциал

В теории поля термин «солитон» применяется к

имеет вид

V (φ) = g-2U(gφ),

(1)

широкому классу полевых конфигураций, описыва-

ющих локализованный сгусток энергии [5]. Обычно

где функция U зависит от g только через комбина-

это частицеподобное решение классических уравне-

цию gφ, то переопределением полей gφ → φ можно

ний движения, сохраняющее свой вид при свобод-

вынести всю зависимость от константы связи в виде

ном движении, но, вообще говоря, меняющее его при

коэффициента g-2 перед лагранжевой плотностью.

взаимодействии²⁾. Стационарность решения обеспе-

К теории с такой зависимостью действия от безраз-

чивается балансом между дефокусирующим дис-

мерной константы хорошо применим квазикласси-

персионным эффектом и фокусирующим нелиней-

ческий подход. В четырехмерном пространстве-вре-

ным взаимодействием.

мени аналогичная процедура применима к потенци-

В зависимости от асимптотического поведения

алу вида

V (φ) = m⁴g-2U(gφ/m),

(2)

полей солитоны можно разделить на топологичес-

кие и нетопологические. Упомянутые выше реше-

где m характеризует энергетический масштаб тео-

ния системы синус-Гордона являются топологичес-

рии и, например, может соответствовать массе сво-

кими. Помимо них, важным примером для физи-

бодного бозона.

ки частиц являются скирмионы (см., например, [6]).

Поскольку солитон является непертурбативным

Что касается нетопологических солитонов, то наи-

решением уравнений поля, его взаимодействие

более простые их примеры — Q-шары [7]. Асимп-

с пробной частицей, вообще говоря, отличается

тотики нетопологических солитонов имеют одно и

от двухчастичного взаимодействия свободных

то же вакуумное значение на пространственной

частиц. Аналогичная ситуация имеет место в

бесконечности. Таким образом, отображение про-

случае нерелятивистского бозе-эйнштейновского

странственной бесконечности в вакуумное многооб-

конденсата (БЭК). Тем не менее, непертурбативные

разие, осуществляемое решением, тривиально. За-

возмущения над конденсатом можно изучать и

метим, однако, что локализованные решения мо-

в двухчастичном приближении в случае сильно

гут возникнуть и для невакуумных граничных усло-

разреженного конденсата. Условием для исполь-

вий [8]. Существование и устойчивость нетопологи-

зования такого приближения является малость

ческих солитонов определяются сохраняющимся за-

плотности энергии взаимодействия поля в солитоне

рядом, отвечающим симметрии теории. При фик-

по сравнению с внешним потенциалом, который

сированном заряде солитон соответствует локально-

определяет условия локализации конденсата.

му экстремуму функционала энергии. В случае, ес-

Вернемся к теории комплексного скалярного по-

ли этот экстремум соответствует локальному мини-

ля с глобальной или локальной U(1)-инвариантнос-

муму, конфигурация стабильна относительно малых

тью. При определенных условиях для потенциала

возмущений³⁾. В противоположном случае возника-

взаимодействия в ней существуют локализованные

ет неустойчивость на классическом уровне.

стационарные решения с конечным зарядом и энер-

Солитон соответствует экстремуму гамильтониа-

гией, называемые Q-шарами [7] (см. также главу 6

на. В общем случае это состояние находится дале-

монографии [12]). История изучения подобных ре-

ко от вакуума и не может быть получено из него

шений началась с работы Розена [13]. Позднее Q-ша-

по теории возмущений. В то же время, теорию воз-

ры изучались в многочисленных расширениях Стан-

мущений можно строить во внешнем поле солитона.

дартной модели в физике частиц и космологии, на-

Полученный таким образом спектр возмущений поз-

пример, в суперсимметричных теориях [14-16], для

воляет описать некоторые квантовые эффекты [9]

решения проблемы бариогенезиса [17] и описания

(см. также главу 5 книги [10]). Такой квазиклассиче-

фазовых переходов в ранней Вселенной [18], а так-

же в качестве кандидатов на роль темной материи

²⁾ По этой причине используется термин «солитоноподоб-

[19]. Компактные Q-шары также рассматриваются

ные» решения, но в обзоре будет использоваться просто «со-

в качестве альтернативы черным дырам. Например,

литон» с учетом приведенной выше оговорки.

³⁾ Это еще не гарантирует абсолютную стабильность, см.

тяжелый вращающийся Q-шар в центре галактики

разд. 2.3.

трудно отличить от сверхмассивной керровской чер-

358

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

ной дыры [20, 21] (см. также [22]). С другой сто-

шения важно, например, для описания динамики

роны, Q-шары имеют достаточно простую струк-

скалярных полей после инфляции, см. обзор [34].

туру и этим можно воспользоваться при изучении

В зависимости от потенциала самодействия как

других компактных объектов, чья динамика услож-

конденсат, так и Q-шары могут быть классически

нена дополнительными степенями свободы. Напри-

устойчивы [35, 36]. В частности, пространственная

мер, некоторые типы бозонных звезд сводятся к

нестабильность конденсата ведет к формированию

Q-шарам в пределе бесконечной планковской мас-

Q-шаров. Среди других нелинейных конфигураций

сы [23]. В свою очередь, бозонными звездами можно

отметим Q-дырки и Q-балджи [8], которые описы-

моделировать реалистичные астрофизические объ-

вают нелинейные разрежения и сгущения в класси-

екты, такие как нейтронные звезды, в случаях, ко-

чески устойчивом конденсате. Отметим, что эти со-

гда внутренней динамикой последних можно прене-

литоны на бесконечности имеют конденсатную, а не

бречь, см. обзор [24].

вакуумную асимптотику. В данном обзоре мы раз-

Изучение Q-шаров позволяет понять природу

берем свойства перечисленных типов решений.

других нелинейных решений классических уравне-

Существуют прямые аналоги Q-шаров в тео-

ний движения. К примеру, в теориях действитель-

риях с дополнительными действительными и ком-

ного скалярного поля отсутствует сохраняющийся

плексными скалярными полями. Наиболее изучен-

U(1)-заряд, обеспечивающий устойчивость. Тем не

ным примером являются нетопологические солито-

менее, классические уравнения допускают долгожи-

ны в модели Фридберга, Ли и Сирлина [37]. В слу-

вущие локализованные периодические во времени

чае, когда масса дополнительного действительного

конфигурации, названные осциллонами [25, 26]. Ос-

поля в этой модели велика по сравнению с массой

циллоны могли играть существенную роль в ран-

бозона комплексного поля, новую степень свободы

ней Вселенной, например, на инфляционной стадии

можно проинтегрировать. В этом случае изучение

[27]. Среди последних исследований на эту тему —

свойств нетопологических солитонов сводится к изу-

описание передачи асимметрии от поля инфлато-

чению Q-шаров в эффективном потенциале само-

на барионной материи через осциллоны [28], расчет

действия. В случае отсутствия иерархии энергети-

гравитационно-волнового сигнала от столкновения

ческих масштабов анализ усложняется. Отдельного

осциллонов [29,30], образование первичных черных

рассмотрения заслуживают теории с безмассовыми

дыр из действительного скалярного поля [29].

полями, такими как электромагнитное или гравита-

Имея явное решение для Q-шара в релятивист-

ционное.

ской теории поля, можно поставить задачу о нели-

Обычно Q-шары вполне характеризуются энер-

нейных решениях в нерелятивистском режиме. За-

гией E и глобальным зарядом Q⁵⁾. Если доба-

метим в связи с этим, что глобальная U(1)-инвари-

вить к этим величинам сохраняющийся угловой мо-

антность, необходимая для существования солито-

мент J, то можно также рассмотреть аксиально-

нов, появляется в нерелятивистском пределе естест-

симметричные вращающиеся Q-шары [38] (см. так-

венным образом, даже если исходная релятивист-

же [39]) либо протяженные вихреобразные конфи-

ская теория ей не обладала (см., например, [31,32]).

гурации, называемые Q-трубками (см., например,

Нерелятивистские системы с решениями, аналогич-

[40-42]). Отказ от условия стационарности увели-

ными Q-шарам, такие как БЭК, будут обсуждаться

чивает количество решений, но при этом теряется

в разд. 3.1.

возможность их описания в аналитическом виде.

Помимо Q-шаров в теории комплексного скаляр-

В данном обзоре будут обсуждаться нетопологи-

ного поля с глобальной U(1)-симметрией встреча-

ческие солитоны с глобальной или калибровочной

ется много других нетривиальных решений. В ка-

U(1)-инвариантностью с упором на недавние дости-

честве наиболее естественного примера можно рас-

жения в этой области. В разд. 2 мы с помощью

смотреть пространственно-однородный заряженный

различных подходов изучим свойства классически

конденсат⁴⁾. Понимание свойств конденсатного ре-

устойчивых Q-шаров, их классически неустойчивые

аналоги (так называемые Q-клауды) и однородный

⁴⁾ Под пространственно-однородным решением мы подра-

конденсат. Раздел 3 посвящен двум другим типам

зумеваем конфигурацию, у которой и фаза, и амплитуда

решений: Q-дыркам и Q-балджам. Перед этим мы

не зависят от пространственной координаты. Заметим, что

приведем дополнительные мотивационные сообра-

можно построить решения, которые спонтанно нарушают

трансляционную инвариантность пространства, но сохраня-

ют ненарушенной линейную комбинацию трансляций и гене-

⁵⁾ Именно, может существовать лишь конечное число ре-

ратора U(1)-симметрии, см. [33].

шений с разной частотой, но одинаковыми E и Q.

359

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

жения для изучения подобных решений, возникаю-

Задача на отыскание условного экстремума сводит-

щие из аналогии между солитонами в релятивист-

ся к вариации функционала H - ωQ с лагранжевым

ской теории поля и солитонами в нерелятивистских

множителем ω. Решение этой задачи приводит к ста-

теориях, таких как БЭК и нелинейная оптика.

ционарной конфигурации [11]

В разд. 4 изучаются нетопологические солито-

ны в моделях с дополнительными полями. Наша

φ(r, t) = f(r)e^iωt

(6)

цель заключается в иллюстрации общих подходов

с действительной функцией f(r), удовлетворяющей

к теориям с дополнительными полями и обычными

следующему уравнению:

Q-шарами, а также пределов, где в этих теориях воз-

никают существенные отличия. Сначала будет изу-

d²f

d - 1 df

dV (f²)

чена модель с точным аналитическим решением для

+ω²f - f

= 0.

(7)

dr²

r dr

df²

дополнительного действительного поля. Затем но-

вая степень свободы будет проинтегрирована и по-

Заметим, что конфигурация (6) нестатична, поэто-

строен эффективный потенциал самодействия ком-

му масштабные аргументы Деррика [43], которые

плексного поля. Мы сравним подход с использова-

запрещают статические солитоны в скалярных тео-

нием эффективного потенциала и проанализируем

риях при d > 1, неприменимы.

свойства явного решения. Затем будут рассмотрены

Уравнение движения (7) может быть также по-

теории с калибровочными Q-шарами, возникающие

лучено вариацией лагранжиана с плотностью (3)

при расширении группы симметрии до локальной

по отношению к φ и φ^∗ и последующей подстанов-

U(1). Также будут затронуты некоторые вопросы,

кой анзаца (6). С другой стороны, можно также

связанные с описанием бозонных звезд, в которых

подставить анзац (6) непосредственно в выражение

роль дополнительного поля играет гравитация. В

(3), а затем проварьировать результат по f. «Прин-

разд. 5 приведен обзор перспективных направлений

цип максимальной симметричности» [44] гарантиру-

для исследования нетопологических солитонов.

ет, что конечное уравнение будет иметь один и тот

В обзоре используется натуральная система еди-

же вид (см. также Приложение 4 в [5]).

ниц: c = ℏ = 1. Буквы греческого и латинского

Q-шар описывается регулярным решением ви-

алфавитов используются для пространственно-вре-

да (6) с конечной энергией, зарядом и монотонно

менных и пространственных индексов соответствен-

уменьшающимся профилем f⁶⁾. Рассмотрим усло-

но, а обозначение

φ используется для производной

вия существования подобных решений. Без потери

величины φ по времени. Суммирование по повторя-

общности можно положить V (0) = 0. Качественный

ющимся индексам подразумевается.

анализ решений нелинейного уравнения (7) можно

провести, воспользовавшись механической аналоги-

ей. В этом подходе уравнение (7) следует из закона

2. ЗАРЯЖЕННЫЙ СКАЛЯРНЫЙ

Ньютона движения частицы единичной массы в по-

КОНДЕНСАТ И Q-ШАРЫ

тенциале

2.1. Описание модели

U_ω(f) =

(ω²f² - V (f))

(8)

Рассмотрим теорию комплексного поля φ в

с учетом силы трения при d > 1. При этом радиаль-

(d + 1)-мерном пространстве-времени, описываемую

ная координата r соответствует времени, а амплиту-

лагранжевой плотностью

да скалярного поля f — координате частицы. Меха-

ническая аналогия часто используется для нахож-

L = η^μν∂_μφ^∗∂_νφ - V (φ^∗φ),

(3)

дения классических симметричных решений урав-

где η^μν = diag(+1, -1, -1, -1). Можно искать сфе-

нений теории поля (7) и сводит задачу к поиску и

рически-симметричные конфигурации φ(r, t), r =

классификации траекторий движения частицы в по-

√

-η^ijx_ix_j, являющиеся локальным экстремумом

тенциале (8).

гамильтониана

Классическая траектория, соответствующая по-

∫

левому решению, представлена на рис. 1. Из конеч-

H = d^dx(

φ∗φ˙+∇φ∗∇φ+V (φ^∗φ))

(4)

ности энергии следует, что f(r) → 0 при r → ∞, по-

при определенном значении глобального U(1)-заря-

⁶⁾ Если отказаться от требования монотонности f, то появ-

да

ляются дополнительные решения с нулями плотности заряда

∫

при конечных r, которые можно интерпретировать как «воз-

Q=i d^dx(

φ^∗φ -

φφ^∗).

(5)

бужденные состояния» Q-шаров (см. [45]).

360

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

но в бесконечном пространстве полная энергия и

полный заряд расходятся. Заметим, что это решение

не соответствует газу свободных частиц около клас-

сического вакуума, так как в общем случае ρ_E =

= mρ_Q, а описывает однородный заряженный кон-

денсат.

Классически стабильная конфигурация типа

f(0)

конденсата или Q-шара описывает стационарное

распределение материи в основном состоянии при

нулевой температуре [49,50]. Это состояние спонтан-

но нарушает трансляции, связанные с генератором

H и внутреннюю U(1)-симметрию, связанную с

Рис. 1. Вид эффективного потенциала (8), допускающего

генератором Q. Однако их линейная комбинация

решения в виде Q-шаров. Траектория частицы представ-

лена для случая d > 1

F := H - ωQ

(12)

остается ненарушенной. Эта ситуация с сохранени-

этому частица должна остановиться на вершине эф-

ем линейной комбинации генераторов была названа

фективного потенциала U_ω(f). Отсюда имеем огра-

в [50] “spontaneous symmetry probing”. Мы можем ас-

ничение U^′′ω(0) < 0, из которого следует верхний

социировать частоту ω с химическим потенциалом

предел для |ω|. Если, например, V (φ^∗φ) ∼ m²φ^∗φ

конфигурации. Как будет видно далее, эта анало-

при малых значениях поля, то f экспоненциально

гия между теорией поля при нулевой температуре

(

√

)

убывает на бесконечности, f ∼ exp

m² - ω²r

и статистической физикой позволяет лучше понять

откуда получаем ограничение |ω| < m. Чтобы ча-

некоторые свойства нетопологических солитонов. В

стица могла закатиться на верхушку барьера U_ω(f),

завершение отметим, что нахождение условного экс-

необходимо стартовать из такой точки f(0), что

тремума H при заданном Q эквивалентно отыска-

U_ω(f(0)) > 0 при d > 1, либо U′ω(f(0)) > 0 и

нию экстремума F при фиксированном ω [37].

U_ω(f(0)) = 0 при d = 1.

Заметим, что для ω, фиксированной в допусти-

2.2. Свойства

мом интервале, частицу можно запускать из раз-

ных точек. Если начальное положение частицы ни-

Без ограничения общности ниже мы рассматри-

же f(0), то частица не докатится до максимума в

ваем решения с ω > 0. Как было упомянуто во Вве-

начале координат. Если же начальное положение

дении, Q-шары характеризуются зарядом и энерги-

частицы выше f(0), то она преодолеет максимум с

ей

ненулевой скоростью и покатится дальше. Таким об-

∫

разом, мы имеем качественно разное поведение при

Q = 2ω d^dx f²,

«недолете» и «перелете», что очень удобно с точки

∫

(13)

(

)

зрения численного решения.

E= d^dx

ω²f² + (∇f)² + V (f²)

Рассмотрим теперь другой класс решений урав-

нения (7) вида

Возьмем производную по ω в выражениях (13) и вос-

пользуемся уравнением движения (7) для получения

f (r) = f_c = const.

(9)

связи между дифференциалами Q и E⁷⁾:

Постоянное решение существует, если у потенциала

∂E

∂Q

=ω

(14)

U_ω(f) есть локальный экстремум:

∂ω



dU_ω(f)



⁷⁾ Заметим, что заряд и энергия, определенные в (13), име-

= 0.

(10)



ют смысл не только для решений уравнений движения, но и

f =fc

для более общих конфигураций вида (6). Таким образом, они

могут содержать бесконечное количество параметров. Мы

Это решение обладает конечными плотностями

выбираем ω для параметризации одномерного пространства

энергии и заряда,

решений типа Q-шаров и им подобных. Тогда ∂Q/∂ω и ∂E/∂ω

можно понимать в смысле производных по направлению. Со-

ρ_Q = 2ωf2c, ρ_E = ω²f2c + V (f2c),

(11)

отношения (14) и (15) понимаются именно в этом смысле.

361

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

E/m

Значит, Q(ω) и E(ω) одновременно возрастают или

убывают и имеют экстремумы при одинаковых зна-

чениях частоты ω = ω_c. При построении парамет-

рической зависимости E как функции Q эти экс-

тремумы становятся точками излома. При ω = ω_c

уравнение (14) эквивалентно

∂E

= ω.

(15)

∂Q

Уравнения (14) и (15) являются наиболее важны-

ми соотношениями для нетопологических солито-

нов. Их область применения гораздо шире, чем тео-

рия Q-шаров. В самом деле, они справедливы для

E/m

всех типов солитонов, обсуждаемых в этом обзо-

ре: однородного скалярного конденсата, нелинейных

разрежений и сгущений в конденсате, солитонов в

теориях с дополнительными скалярными и калиб-

ровочными полями, а также с гравитацией.

Точка излома графика E(Q) может соответство-

вать решению с максимальными зарядом и энергией

(рис. 2a), решению с минимальными зарядом и энер-

гией (рис. 2в) или иному решению (рис. 2б). Как

будет показано в разд. 2.3, излом обозначает грани-

цу между классически устойчивыми и классически

неустойчивыми Q-шарами. Заметим также, что ес-

Em/4 v²

ли излом находится справа (как на рис. 2a), то тео-

рия содержит статическое решение с нулевым за-

рядом и положительной энергией. Можно показать,

что это решение соответствует туннельному реше-

нию в квантовомеханической задаче.

На рис. 2б,в продемонстрированы ситуации, ко-

гда энергия и заряд солитонов не ограничены свер-

ху. Часть этих решений абсолютно устойчива. Угло-

вая частота устойчивых солитонов с большим заря-

дом стремится к нижнему пределу ω_min. Если этот

предел строго положителен, то Q-шары хорошо опи-

сываются тонкостенным приближением [7]. Стенка

разграничивает область с почти однородным кон-

денсатом и внешнее пространство, где поле стремит-

ся к вакуумному значению. В таком приближении

Qm /4 v²²

полезно определить поверхностную энергию:

∫

Рис. 2. Параметрическая зависимость энергии Q-шара E

E_surf = d^dx (∇f)².

(16)

от его заряда Q в различных моделях. a) (1 + 1)-мерная

теория с полиномиальным потенциалом шестой степени

Можно также отметить полезное соотношение меж-

(см. выражение (38)). Более подробно Q-шары в этой мо-

ду поверхностной энергией и «свободной энергией»

дели изучены в [46]. Мы взяли α = 1 и β = 0.1, что-

Q-шара (12):

бы существовало статическое решение ωmin = 0. Излом

∫

находится справа. б) Та же модель, но при β

= 0.19

2E_surf

F =

d^dx (∇f)² =

(17)

и ωmin > 0. в) Модель в (3 + 1)-мерном пространстве-

времени с плоским кусочно-параболическим потенциалом:

Случай ω_min > 0 типичен для моделей с полиноми-

V (φφ^∗) = m²φφ^∗ для φφ^∗ < v², и V (φφ^∗) = m²v² для

альным скалярным потенциалом. Для существова-

φφ^∗ > v². Q-шары в этой модели изучались в [13,47,48].

ния Q-шаров в теориях с одним комплексным полем

Излом располагается слева. Штриховая линия соответ-

ствует газу невзаимодействующих частиц с E = mQ

362

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

и глобальной U(1)-симметрией ограниченный снизу

2.0

полиномиальный потенциал должен быть по край-

ней мере шестой степени по полю [7]⁸⁾. Интерес с

1.5

точки зрения феноменологии представляют потен-

1.0

циалы, выходящие на плато при больших амплиту-

дах поля f² (см., например, [52, 53]). В этом случае

0.5

ω_min = 0 и тонкостенное приближение непримени-

мо.

Как уже упоминалось, стационарные конфигу-

рации вида (6) можно рассматривать с точки зре-

-0.5

ния статистической физики. Также оказывается по-

лезной гидродинамическая аналогия для нелиней-

ных полевых решений. Рассмотрим тензор энергии-

Рис. 3. Плотность энергии (пунктирная линия) и давление

импульса теории (3):

(штриховая линия) для Q-шара (профиль показан сплош-

ной линией) в режиме тонкой стенки. Здесь взята (3 + 1)-

T_μν = ∂_μφ^∗∂_νφ + ∂_μφ∂_νφ^∗ - η_μνL.

(18)

мерная теория с потенциалом (38). Все величины норми-

рованы на m, и α = 1, β = 0.2m-2, ω = 0.45m

При d > 1 определим

T₀₀ = ρ_E(r),

(

)

Для больших Q-шаров в модели с плоским потенци-

x_ix_j

(19)

T_ij =

δ_ij s(r) + δ_ijp(r).

алом при d = 3 можно получить, что ∂p/∂ρ_E|r=0 ≈

r²

≈ 5/3. Заметим, наконец, что для однородного кон-

Тогда ρ_E соответствует плотности энергии решения,

денсата величина ρ_E всегда положительна, в то вре-

∫

мя как давление p = 2U_ω(f_c) и, как следует из вы-

ражений (8) и (21), может быть любого знака.

E= d^dxρ_E,

(20)

Отметим для полноты, что в (1 + 1)-мерном слу-

чае недиагональные компоненты T_ij отсутствуют, а

s(r) определяет распределение вязкости⁹⁾, а p(r) —

давление p(r) = ω²f² + f′2 - V (f²) = const = 0 при-

давление,

нимает нулевое значение для любого решения урав-

нений движения (7).

p(r) = ω²f² -

f′2 - V (f²), d > 1.

(21)

Мы приходим к выводу, что гидродинамическое

описание может применяться весьма ограниченно к

Из выражений (13), (20) следует, что для положи-

таким системам, как Q-шары. Оно применимо во

тельного потенциала V (f²) плотность энергии ρ_E

внутренней области солитона в тонкостенном при-

также положительна для всех r. Заметим, что плот-

ближении или для однородного конденсата. Но оно

ность энергии не обязана быть монотонно убыва-

неприменимо, когда имеют место большие градиен-

ющей функцией радиуса. Далее, из (8) и (21) в

ты поля, т.е. вблизи поверхности солитона. Коротко

случае d > 1 видно, что в центре Q-шара давле-

говоря, Q-шар — это не капля какой-либо жидкости.

ние положительно, а далеко снаружи оно строго от-

Это же справедливо и в отношении других нетопо-

рицательно. Рисунок 3 иллюстрирует эти свойст-

логических солитонов.

ва в (3 + 1)-мерной модели. Таким образом, усло-

вия термодинамического равновесия не выполняют-

ся для Q-шаров. В частности, отношение ∂p/∂ρ_E ≡

2.3. Устойчивость

≡ (∂p/∂r)(∂r/∂ρ_E ), определяющее квадрат скорос-

Нестабильность нетопологических солитонов мо-

ти звука, отрицательно везде, кроме области внут-

жет вызываться различными причинами. Она мо-

ри солитона. В тонкостенном приближении и p, и

жет проявиться уже на уровне классических урав-

∂p/∂ρ_E невелики и положительны внутри Q-шара.

нений движения. В этом случае в поле солитона

⁸⁾ Если рассматривать неограниченные снизу потенциалы,

имеются малые возмущения, экспоненциально рас-

то достаточно иметь нелинейность четвертой степени, напри-

тущие со временем. Неустойчивые моды могут быть

мер V = m²φ^∗φ - λ(φ^∗φ)² [51]. Однако все Q-шары в такой

как в спектре линейных возмущений, так и на нели-

модели нестабильны.

⁹⁾ Насколько известно авторам, впервые вязкие силы в кон-

нейном уровне. Линейная классическая неустойчи-

тексте Q-шаров были упомянуты в работе [54].

вость означает, что солитон с конечной энергией не

363

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

является условным минимумом гамильтониана H,

ризованных уравнениях движения приводит к неэр-

а соответствует локальному максимуму или седло-

митовости оператора, собственные значения которо-

вой точке. Оказывается, что классически неустой-

го соответствуют γ, а сами уравнения не сводятся к

чивые Q-шары отвечают седловым точкам H, по-

уравнению Шредингера. Тем не менее, квантовоме-

скольку в их спектре имеется ровно одна распадная

ханическая интуиция дает правильное представле-

мода¹⁰⁾. Однородный конденсат также может быть

ние о связанных состояниях в поле Q-шара [62].

неустойчив относительно линейных возмущений и

Изучение условий, при которых спектр операто-

также имеет не более одной распадной моды.

ра линейных возмущений не содержит экспоненци-

Солитон, устойчивый на классическом уровне,

ально растущих мод, приводит к следующему доста-

может тем не менее оказаться нестабильным при

точному условию стабильности Q-шаров [11,37,55]

учете квантовых и статистических эффектов. От-

(см. также [63])¹¹⁾:

метим здесь возможность туннелирования солитон-

∂Q

ного решения в энергетически более выгодное со-

< 0,

(24)

∂ω

стояние [56,57], возможность квантового испарения

Q-шара в частицы других полей [58, 59], а также

или с учетом (14)

неустойчивость, возникающую за счет радиацион-

ных поправок к скалярному потенциалу [60]. Ниже

∂²E

< 0.

(25)

в этом разделе мы рассмотрим линейную классиче-

∂Q²

скую устойчивость Q-шаров и однородного конден-

Как показано в работе [55], условие (24) также яв-

сата.

ляется необходимым для классической устойчиво-

сти Q-шаров. Мы видим, что области стабильных

2.3.1. Линейная классическая устойчивость

и нестабильных решений разделены точками изло-

Q-шаров

мов, в которых ∂Q/∂ω = ∂E/∂ω = 0. В соответ-

Рассмотрим линейную классическую стабиль-

ствии с условием (25), нижняя ветвь решений на

ность Q-шаров. Считая заданным классическое ре-

рис. 2 стабильна, а верхняя — нестабильна. Боль-

шение, изучим его возмущения вида

шие неустойчивые Q-шары имеют более широкий

пространственный профиль, чем устойчивые реше-

φ(x, t) = f(r)e^iωt + h(x, t)e^iωt,

(22)

ния того же заряда, как это проиллюстрировано на

рис. 4. По этой причине их также называют Q-клау-

где

дами (Q-clouds) [66].

Как обсуждалось в разд. 2.2, частота ω для

∑

(

)

h(x, t) =

h(l)1(r)e^iγt + h(l)2(r)e-iγ∗ t

Q-шара играет роль химического потенциала систе-

l=0

мы. С другой стороны, заряд солитона Q пропорци-

−l≤m≤l

онален количеству содержащихся в нем в связанном

× Y_l,m(θ, ϕ).

(23)

состоянии частиц N. Тогда условие (24) можно ин-

терпретировать следующим образом. Для удаления

В этой подстановке h(l)1 и h(l)2 — действительные

одной частицы из Q-шара требуется провести рабо-

функции, Y_l,m — сферические гармоники, γ — комп-

ту -(∂ω/∂Q)ΔQ, где ΔQ ∼ ΔN = 1. Если эта ра-

лексный параметр. Возмущение (22) надо подста-

бота отрицательна, то Q-шару выгодно распадаться

вить в линеаризованные уравнения движения для

на отдельные частицы; в противоположном случае

поля φ. Если Im γ = 0 на всех решениях линеаризо-

он устойчив по отношению к такому распаду. Мы

ванных уравнений, то Q-шар классически устойчив.

видим, что аргумент из статистической физики пра-

Заметим, что анзац (23) не описывает все воз-

вильно воспроизводит условие классической устой-

можные типы возмущений фонового решения. В

чивости.

частности, им не описываются моды, соответствую-

Обсудим границы применимости статистическо-

щие спонтанному нарушению U(1)-симметрии и ло-

го подхода. Он неприменим, если система, устой-

ренц-инвариантности, см. подробнее [61]. Также за-

чивость которой мы исследуем, не изолирована

метим, что перемешивание между h(l)1 и h(l)2 в линеа-

от пространственной бесконечности, где находится

¹⁰⁾ Авторам неизвестно общее доказательство этого утверж-

¹¹⁾ Заметим, что условие, аналогичное (24), было сначала

дения, но во всех конкретных примерах оно справедливо, см.

получено для решений нелинейного уравнения Шредингера

подробнее [55].

[64, 65].

364

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

f/v

конденсатом (9) записывается в виде (см., напри-

3.0

мер, [68])



∂²V (z)

2.5



> 0, z = φ^∗φ.

(26)



∂z²

f =fc

2.0

Заметим, что если потенциал V ограничен снизу, то

1.5

для существования Q-шаров [7] он должен удовлет-

1.0

ворять условию (26) при некотором значении f_c. Да-

лее, интересно сравнить условие (26) с условием ста-

0.5

бильности Q-шаров (24). Так как заряд и энергия

конденсата расходятся в бесконечном объеме, мы бу-

дем накладывать периодические граничные условия

с периодом L¹²⁾. Тогда

Рис.

4. Классически неустойчивый Q-шар (или

«Q-

клауд», штриховая линия) и классически устойчивый Q-

Q_c = L^dρ_Q, E_c = L^dρ_E,

(27)

шар (сплошная линия) в (3 + 1)-мерной теории с плос-

где ρ_Q, ρ_E определяются из (11). Условие (26) пере-

ким кусочно-параболическим потенциалом (см. подпись к

рис. 2). Оба решения соответствуют одному и тому же за-

ходит в неравенство



ряду Qm²/(4πv²) ∼ 10²



∂Q_c



> 0,

(28)



∂ω

ω=ω

пробная частица. Примерами являются протяжен-

противоположное критерию (24).

ные аксиально-симметричные конфигурации типа

Условия устойчивости конденсата и Q-шаров по-

Q-трубок. И действительно, для Q-трубок условие

лучились разными, потому что сами эти решения

(24) не выполняется [42]. Другой пример возника-

довольно сильно различаются. Можно проверить

ет в теориях с дополнительными безмассовыми по-

[55], что рассуждение, приводящее к критерию Ва-

лями, приводящими к появлению дальнодействую-

хитова - Колоколова (24), не подходит для однород-

щих сил. Так, теории с векторными калибровочны-

ного решения. Далее, статистический аргумент то-

ми полями допускают так называемые калибровоч-

же неприменим, поскольку невозможно изолировать

ные Q-шары [67]. Для них условие (24) также непри-

частицу от системы, занимающей весь доступный

менимо [55] (см. разд. 4.2).

объем. Интересно отметить, что условия (24) и (28),

Вернемся к обсуждению спектра линейных воз-

на самом деле, не исключают друг друга, и можно

мущений вида (23). Исследования [11, 61] показы-

построить скалярный потенциал, в котором будут

вают, что неустойчивые Q-шары обладают единст-

как устойчивые Q-шары, так и устойчивый конден-

венной сферически-симметричной распадной модой.

сат [68].

Для нее Re γ = 0. Значит, неустойчивые решения со-

Сделаем важное замечание. В литературе по-

ответствуют седловым точкам гамильтониана тео-

дробно обсуждается механизм образования Q-шаров

рии. Для устойчивых Q-шаров Im γ = 0 и имеется

в ранней Вселенной путем распада однородного

целый спектр колебательных мод. В пределе боль-

скалярного конденсата [19, 35, 69-73] (см. также

шого Q их количество пропорционально объему со-

[74]). Этот механизм неприменим, если конденсат

литона ∝ Q³ [62]. В заключение отметим, что при

классически устойчив. Задача получения устойчи-

прохождении параметром ω точки излома ω = ω_c

вых Q-шаров из устойчивого же конденсата весь-

распадная мода с γ² < 0 переходит в колебатель-

ма нетривиальна¹³⁾. Можно предположить, что при

ную с γ² > 0. Таким образом, у Q-шара с ω = ω_c

определенных условиях однородное решение тунне-

есть дополнительная нулевая мода в спектре малых

лирует в энергетически более выгодное состояние,

возмущений.

содержащее Q-шары. Процесс туннелирования мож-

но описать квазиклассически, туннельное решение

при этом является седловой точкой гамильтониа-

2.3.2. Линейная классическая устойчивость

на, а, как мы знаем, седловая точка гамильтониа-

однородного конденсата

на — это Q-клауд. Таким образом, Q-клауд — это

Необходимое и достаточное условие отсутствия

¹²⁾ L можно взять много больше размера Q-шара заряда Qc.

растущих возмущений вида (23) над однородным

¹³⁾ Похожий вопрос обсуждается в работе [56].

365

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

сфалерон, т. е. решение, соответствующее вершине

два режима. Случай σ = -1 соответствует аномаль-

энергетического барьера, разделяющего классиче-

ной дисперсии групповой скорости. Уравнение (29)

ски устойчивые решения. Роль Q-клаудов в перехо-

тогда имеет решения в форме «светлых» солитонов.

дах между однородным и локализованным решени-

Для таких решений u локализована по переменной t.

ями обсуждалась в [68] и была подтверждена чис-

Также имеется однородное решение |u| = const, ана-

ленно в [57].

логичное заряженному конденсату, но при σ = -1

Напоследок отметим, что распадная мода кон-

оно классически неустойчиво.

денсата, если она существует, единственна, а соот-

Значение σ = 1 отвечает нормальной дисперсии

ветствующее собственное значение γ является чисто

групповой скорости. В этом случае «светлые» соли-

мнимым, как и для неустойчивых Q-шаров.

тоны отсутствуют. Постоянное решение |u| = const

по-прежнему имеется и классически устойчиво. По-

мимо него, уравнение (29) имеет решения, описыва-

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ РАЗРЕЖЕНИЯ И

ющие локальное уменьшение интенсивности на по-

СГУЩЕНИЯ В ЗАРЯЖЕННОМ

стоянном фоне. Это так называемые «темные» со-

СКАЛЯРНОМ КОНДЕНСАТЕ

литоны [84]¹⁴⁾. Отметим, что у светлого солитона

3.1. Мотивация

набег фазы равен нулю, в то время как для темно-

го солитона он отличен от нуля (и может достигать

3.1.1. Нелинейная оптика

2π). Экспериментально темные солитоны были по-

Как упоминалось во Введении, солитоны возни-

лучены в 1981 г. на фоне широких импульсов, ими-

кают во многих разделах физики за пределами ре-

тирующих постоянный фон [86].

лятивистской теории поля. Одним из таких разде-

лов является нелинейная оптика, где солитоны изу-

3.1.2. Конденсат Бозе - Эйнштейна

чаются не только теоретически, но и эксперимен-

тально [75, 76]. В частности, распространение нели-

Конденсация Бозе - Эйнштейна [87] в разрежен-

нейных волн в оптическом волокне исследовалось с

ном газе атомов [88] была обнаружена в 1995 г. в экс-

1970-х гг. (см. обзор [77]). Математически солитон в

периментах с парами рубидия, натрия и лития, см.

этом случае — это огибающая u комплексной ампли-

обзор [89]. В наши дни изучение разреженных кван-

туды электромагнитного поля волны, бегущей вдоль

товых газов стало важной частью атомной физики

волокна. Сохранение формы волны достигается за

и физики конденсированных сред. Значение БЭК¹⁵⁾

счет баланса между дефокусирующей дисперсией и

для фундаментальной физики связывается, напри-

фокусирующим нелинейным показателем преломле-

мер, с изучением черных дыр [90, 91]. Также БЭК

ния среды.

полезен как кандидат на роль темной материи [92].

Распространение нелинейных сохраняющих

Локализация БЭК обусловлена внешними, как

форму волновых импульсов обсуждалось теорети-

правило, гармоническими, силами, создающими ло-

чески в 1973 г. Хасегавой и Таппертом [78, 79] и

вушку для газа атомов. Внешний потенциал обес-

было обнаружено экспериментально в 1980 г. [80]. В

печивается магнитным полем. Обычно БЭК явля-

наши дни оптические солитоны привлекают боль-

ется разреженным основным состоянием системы с

шое внимание из-за возможности их использования

неоднородным профилем в импульсном и коорди-

для передачи информации на большие расстояния

натном пространствах. Средняя длина пробега ато-

(реализовано на коммерческой основе с 2002 г.),

ма в БЭК может быть на несколько порядков боль-

в системах оптической коммутации, логических

ше радиуса межатомного взаимодействия. Тем не

элементах и пр. [81-83].

менее, роль двухчастичного взаимодействия суще-

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) яв-

ственна при образовании конденсата.

ляется основным инструментом описания оптиче-

В приближении среднего поля конденсат описы-

ских солитонов. В подходящих единицах оно запи-

вается уравнением Гросса - Питаевского. Последнее

сывается как

¹⁴⁾ Решение НУШ, описывающее темный солитон, было по-

iu_z - σu_tt + 2|u|²u = 0.

(29)

лучено в работе [85].

Здесь z обозначает координату вдоль оптического

¹⁵⁾ Следует различать бозе-эйнштейновский конденсат и

скалярный конденсат, обсуждавшийся в разд. 2. По нашей

волокна, t — запаздывающее время в системе отсче-

терминологии последний является однородным решением ре-

та, движущейся с групповой скоростью вдоль волок-

лятивистских уравнений, в то время как первый обычно неод-

на, σ = ±1. В зависимости от знака σ реализуются

нороден и описывается нерелятивистским уравнением.

366

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

имеет тот же вид, что и НУШ. К примеру, возь-

Видно, что ρ_Q имеет провал в центре конфигура-

мем сферически-симметричный потенциал ловуш-

ции. Вдали от центра восстанавливается заряжен-

ки V (r). Тогда при подходящем выборе единиц (ср.

ный конденсат¹⁶⁾. Заметим, что асимптотики φ при

с уравнением (29)) уравнение Гросса - Питаевского

x → ±∞ имеют разные фазы, как и для темных

записывается в виде

солитонов НУШ.

Можно поставить вопрос о существовании тем-

iψ_t + Δ_rψ - g|ψ|²ψ + V (r)ψ = 0.

(30)

ных солитонов среди нетопологических конфигура-

Здесь ψ обозначает волновую функцию системы, t

ций. Утвердительный ответ на него был получен в

и r — временную и радиальную координаты соот-

[8]. В теории комплексного поля эти конфигурации

ветственно, а g задает силу межатомного взаимо-

описывают локализованный провал («Q-дырки») в

действия. Если это взаимодействие притягивающее

однородном конденсате. В отличие от темного соли-

(g > 0), в БЭК имеются светлые солитоны, впер-

тона, топология полей Q-дырки на пространствен-

вые наблюдавшиеся в двухкомпонентной системе в

ной бесконечности тривиальна, более того, подоб-

1999 г. [93]. Если взаимодействие отталкивающее

ные конфигурации существуют в тех же моделях,

(g < 0), возможно наличие темных солитонов, что

где возможны Q-шары. Помимо Q-дырок, могут

также было обнаружено на опыте [94].

возникать локальные сгустки («Q-балджи») заряда

Заметим, что уравнение Гросса - Питаевского

над конденсатом. Для существования и Q-дырок, и

(30) следует из минимизации функционала энергии

Q-балджей необходимым условием является класси-

∫ (

)

ческая устойчивость окружающего конденсата.

E[ψ] = dr

|∇ψ|² + V (r)|ψ|² +

|ψ|⁴

(31)

Оставшаяся часть этого раздела посвящена

обсуждению двух упомянутых типов солитонов.

∫

при фиксированном числе частиц N

dr|ψ|².

В разд. 3.2 обсуждаются условия существования

Мы заключаем, что нерелятивистская теория поля,

Q-дырок и Q-балджей и их основные свойства. Мы

описывающая БЭК, инвариантна относительно гло-

также коснемся вопроса классической устойчивости

бальных фазовых сдвигов волновой функции ψ, что

Q-дырок и Q-балджей. Изложение основано на

очень похоже на глобальную инвариантность реля-

работе [8]. В разд. 3.3 приводятся явные примеры

тивистской теории поля φ, описывающего Q-шары.

для

(1 + 1)-мерной модели с полиномиальным

потенциалом.

3.1.3. Релятивистская теория поля

Как мы уже видели, условие возникновения свет-

3.2. Q-дырки и Q-балджи

лых либо темных солитонов зависит от знака дис-

персии либо межатомных сил. Светлые солитоны

Рассмотрим (d + 1)-мерную теорию комплексно-

имеют очевидные аналоги в релятивистской теории

го поля с лагранжианом (3) и воспользуемся подста-

поля — это те же Q-шары. Например, в [95] разобра-

новкой (6) для уравнений скалярного поля. В разд. 2

ны признаки сходства между Q-шарами и солитона-

мы пользовались аналогией между профилем соли-

ми в БЭК, а в работе [96] обсуждается образование

тона и классическим движением частицы в потенци-

Q-шаров в БЭК.

але (8) для нахождения Q-шаров. Давайте исполь-

Решения, аналогичные темным солитонам, так-

зуем эту же аналогию для Q-дырок и Q-балджей.

же можно найти в релятивистской теории поля.

Пусть у потенциала U_ω существует локальный

Рассмотрим (1 + 1)-мерную теорию действительно-

максимум правее начала координат при некоторой

го скалярного поля ϕ с потенциалом, допускающим

ω, см. рис. 5a. Тогда можно найти траекторию, стар-

спонтанное нарушение, V (ϕ) = -m²ϕ² + λϕ⁴, λ >

тующую при некотором f(0) > 0 и направленную в

> 0. В ней существует решение типа кинка, ϕ ∼

сторону максимума, так что при r = ∞, f(∞) >

√

∼ th(mx/

2) [97-99]. Если сделать из ϕ комплекс-

> f(0). Эта траектория соответствует профилю со-

ное поле φ и заменить ϕ² → φ^∗φ, то теория станет

литона f, который монотонно возрастает от центра

U(1)-инвариантной. В ней могут существовать ста-

и достигает постоянного значения на бесконечности.

ционарные решения вида (6). При ω = 0 будет вос-

С положением локального максимума U_ω ассоции-

производиться обычный кинк с нулевым зарядом.

руется однородное конденсатное решение уравнения

При ω > 0 имеется непрерывное семейство решений

с плотностью заряда

¹⁶⁾ Кинки в комплексной теории поля могут быть отож-

дествлены со сфалеронами в абелевой модели Хиггса, см. гла-

ρ_Q = 2ωf².

(32)

ву 11 монографии [100].

367

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

этому имеет смысл рассматривать значения Q и E

по отношению к заряду Q_c и энергии E_c фонового

f(0)

)

конденсата:

Q_rel = Q - Q_c, E_rel = E - E_c.

(33)

Тогда и Q_rel, и E_rel конечны и удовлетворяют соот-

ношениям (14), (17). Q-дырка (Q-балдж) описыва-

ется решением φ(r, t), обеспечивающим локальный

экстремум функционала E_rel = E_rel(ω, f_c) при за-

данном значении Q_rel с фиксированными значения-

ми f_c = f_c(ω) и ω (амплитуда и частота конденсата).

В самом деле, вариационная задача

δ(E_rel(ω, f_c) - ΩQ_rel) = 0

(34)

определяет φ = f(r)eiΩt с f, удовлетворяющим (7),

а требование |E_rel| < ∞ приводит к Ω = ω, f → f_c,

r→∞¹⁷⁾.

Относительный заряд Q-балджа всегда положи-

телен, так же как и энергия, см. (17). Для Q-дырок

Q_rel < 0, а энергия E_rel не является положительно

)

f(0)

определенной. Соответственно, энергия конденсата

с дыркой может быть меньше, чем энергия конден-

сата без дырки. Это случается, когда убыль энер-

гии внутри дырки превышает приращение энергии

за счет стенок дырки. Будет ли относительная энер-

гия отрицательной на практике, зависит от конкрет-

Рис. 5. Схематичная форма потенциала (8), допускающе-

ной модели. К примеру, в модели с кусочно-парабо-

го Q-дырки (а) и Q-балджи (б). Траектория механической

лическим потенциалом, изученной в [8], она отри-

частицы показана для случая d > 1

цательна. В обсуждаемой ниже модели с полиноми-

альным потенциалом E_rel положительна.

(10). Таким образом, солитон описывает локальный

Подчеркнем, что о Q-дырках и Q-балджах имеет

нелинейный провал в скалярном конденсате, поэто-

смысл говорить, только если конденсат, на фоне ко-

му его и называют Q-дыркой.

торого они существуют, классически устойчив. Зна-

чит, даже если наличие дырки энергетически вы-

Пусть теперь потенциал U_ω при некоторых f воз-

растает выше локального максимума, см. рис. 5б.

годно, она не может появиться в результате разви-

Тогда существует траектория, стартующая из f(0)

тия классической неустойчивости. Можно предпо-

правее локального максимума, достигающая его при

ложить, что Q-дырка является промежуточным со-

r = ∞, f(∞) < f(0). Траектория соответствует мо-

стоянием квантового распада однородного решения.

нотонно убывающему с r решению, которое стре-

Для существования Q-дырок дополнительный

мится к конденсату на бесконечности. Это решение

максимум потенциала U_ω должен быть ниже макси-

мума в начале координат, как продемонстрировано

представляет собой локальный нелинейный сгусток

в конденсате, который называют Q-балджем.

на рис. 6б. Напротив, для существования Q-шаров

дополнительный максимум должен быть выше ос-

Ключевое свойство Q-балджей и Q-дырок за-

новного, как показано на рис. 6в. Но для заданного

ключается в том, что на больших расстояниях

потенциала V значение U_ω в дополнительном мак-

они не стремятся к классическому вакууму теории.

симуме определяется параметром ω. Допустимая об-

Вместо этого они стремятся к некоторому конден-

ласть значений частоты Q-шаров есть ω_min ≡ ω₂ <

сатному решению, а частота солитона синхронизи-

< |ω| < m, где при ω₂ максимумы вырождены (или

рована с частотой фонового конденсата.

Заряд Q и энергия E для Q-дырки и Q-балджа

¹⁷⁾ В конечном объеме |E_rel| < ∞ перестает играть опреде-

определены обычными формулами (13). Обе эти ве-

ляющую роль и частота Q-дырки (Q-балджа) в общем случае

личины расходятся в бесконечном пространстве. По-

не совпадает с частотой конденсата.

368

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

U /m²

ω₂ = 0), а верхний предел обсуждался в разд. 2. Ес-

ли ω₂ > 0, то в модели присутствуют Q-дырки, а

0.5

1.0

1.5

2.0

значения ω, при которых они существуют, дополня-

-0.5

ют область существования Q-шаров: ω₁ < |ω| < ω₂,

-1.0

где при ω₁ дополнительный максимум исчезает (или

ω₁ = 0). Таким образом, наличие Q-дырок не связа-

-1.5

но с какими-либо экзотическими свойствами теории;

-2.0

напротив, они совершенно типичны и существуют в

-2.5

тех же моделях, что и Q-шары, но при меньших час-

тотах. Мы проиллюстрируем это ниже на конкрет-

-3.0

ном примере.

-3.5

Вопрос о классической (не)устойчивости Q-ды-

U /m²

рок и Q-балджей не является простым. Заметим,

что критерий (24) неприменим для решений с нева-

0.5

1.0

1.5

2.0

куумными асимптотиками на бесконечности [55]. В

–0.2

работе [8] приводится аргумент в пользу классиче-

ской неустойчивости Q-дырок и Q-балджей, кото-

-0.4

рый основывается на рассмотрении системы в ко-

нечном объеме размера L с последующим взятием

предела L → ∞. Приведем его здесь для случая

-0.6

Q-дырок, для Q-балджей рассуждение аналогично.

-0.8

Для простоты рассмотрим (1 + 1)-мерный слу-

чай и наложим периодические граничные условия:

f (-L/2) = f(L/2), f^′(-L/2) = f^′(L/2). Ничто не

U /m²

запрещает нам применить критерий (24) к конфи-

0.4

гурации с конечным объемом [55], так что Q-дырка

0.2

классически нестабильна в случае

∂Q_L

0.5

1.0

1.5

2.0

> 0,

(35)

∂ω

-0.2

где Q_L — (конечный) заряд конфигурации. Рассмот-

-0.4

рим режим, когда L много больше характерного раз-

-0.6

мера солитона. Тогда существует однородный кон-

денсат с амплитудой f_c,L и зарядом Q_c,L такой, что

-0.8

Рис. 6. Потенциал (8), где V задается формулой (38), при

f (±L/2) - f_c,L → 0,

различных ω (см. текст). Точки соответствуют конденсат-

Q_L - Q_c,L

ным решениям

→ 0,

c,L

(36)

(

)

(а)

(б)

(в)

∂Q_L

∂Q_c,L

→ 0, L → ∞.

∂ω

∂ω Q_c,L

Так как конденсатное решение, будучи фоновым

Stable cond.

для Q-дырки, классически устойчиво, то на осно-

Unstable cond.

вании критерия (28) естественно ожидать, что при

больших L

Q-holes

∂Q

c,L

> 0.

(37)

Q-balls

∂ω

Это и последнее из соотношений (36) подразумева-

Рис. 7. Спектр классических решений в модели с потенци-

ют, что (35) верно для достаточно больших L. Таким

алом (38). Пометки (а), (б), (в) соответствуют точкам на

образом, распадная мода Q-дырки выживает в пре-

рис. 6а,б,в соответственно

деле L → ∞.

369

ЖЭТФ, вып. 2

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

3.3. Пример

Рассмотрим (1+1)-мерную теорию комплексного

поля (3) с полиномиальным потенциалом. Для суще-

2.0

ствования Q-дырок и Q-шаров (ограниченный сни-

зу) потенциал должен быть не ниже шестой степе-

ни [7]. С другой стороны, существование Q-балджей

1.5

требует еще более сложного потенциала, для кото-

рого может не существовать Q-шаров. По этой при-

1.0

чине мы сфокусируемся на первых двух типах со-

литонов. Запишем потенциал в следующем виде:

0.5

V =m²φ^∗φ-

α²(φ^∗φ)² +

β(φ^∗φ)³,

(38)

-4

-2

где β > 0. (1 + 1)-мерные Q-шары в теории с этим

потенциалом подробно изучены в работе [46]. Най-

Рис. 8. Q-дырка в потенциале (38). Здесь α = m, β =

дем области допустимых значений ω для Q-шаров и

= 0.2m² и ω = 0.1m. Штриховая линия соответствует ам-

Q-дырок. Пусть ω₁ соответствует наименьшему зна-

плитуде фонового конденсата

чению частоты, выше которого U_ω приобретает два

локальных экстремума. Тогда

(

)

α⁴

ω²¹ = max

0, m² -

(39)

Q , E /m_relrel

4β

Пусть при ω₂ ≡ ω_min второй локальный максимум

потенциала U_ω пересекает нуль, тогда

(

)

3α⁴

ω²² = max

0, m² -

(40)

16β

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Подстроим параметры так, чтобы ω₁ > 0. Тогда в

-5

области 0 < |ω| < ω₁ солитонов нет (рис. 6а). В

области ω₁ < |ω| < ω₂ (рис. 6б) существуют Q-дыр-

-10

ки, а значениям ω₂ < |ω| < m (рис. 6в) отвечают

Q-шары. Помимо Q-дырок и Q-шаров существует

два семейства однородных конденсатов. Семейство с

Q , E /m_relrel

меньшей амплитудой скалярного поля соответству-

ет локальному минимуму U_ω, для него ω₁ < |ω| < m.

Семейство с большей амплитудой соответствует до-

полнительному максимуму U_ω, для него |ω| > ω₁.

Используя (26), можно убедиться, что решения пер-

вого семейства классически неустойчивы, а решения

–0.4

-0.

0.4

второго семейства, на фоне которых существуют Q-

-10

дырки, классически устойчивы. Рисунок 7 суммиру-

ет результаты, а типичный профиль Q-дырки при-

-20

веден на рис. 8.

Q-шары определяются значениями заряда и

-30

энергии по отношению к классическому вакууму,

Рис. 9. Относительные заряд (сплошные линии) и энер-

в то время как Q-дырки характеризуются своими

гия (пунктирные линии) Q-дырок в модели с потенциа-

зарядом и энергией по отношению к фоновому кон-

лом (38). a) α = m, β = 0.12m². Из (39) имеем ω1 = 0.

денсату. На рис. 9 представлены зависимости Q_rel

б) α = m, β = 0.26m². Здесь ω1 = 0.2m и обозначена

и E_rel от ω. Мы видим, что E_rel неотрицательна, а

вертикальными штриховыми линиями

знак Q_rel противоположен знаку ω. В зависимости

от параметров потенциала

(38) возможны два

370

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

случая. Если ω₁ = 0, в теории имеется статическая

Более того, для некоторых случаев можно проинтег-

Q-дырка с нулевым относительным зарядом, но с

рировать дополнительные поля и свести многоком-

положительной относительной энергией. Фоновый

понентный солитон к обычному Q-шару.

конденсат в этом случае — не что иное, как допол-

Настоящий раздел организован следующим об-

нительный (ложный) классический вакуум. Можно

разом. Сначала мы рассмотрим три примера с дву-

предположить, что статическая Q-дырка — это про-

мя массивными скалярными полями, включая мо-

межуточный продукт распада ложного вакуума.

дель Фридберга, Ли и Сирлина [37] (разд. 4.1). Бу-

Если ω₁ > 0, то, выбирая |ω| сколь угодно близко

дет показано, как подход с использованием эффек-

к ω₁, можно получить Q-дырку, сколь угодно мало

тивной теории позволяет установить соответствие

отличающуюся от фонового конденсата, так что

между двухкомпонентным солитоном и Q-шаром в

в пределе |ω| = ω1 солитон полностью исчезает.

модели с эффективным потенциалом. В разд. 4.2

В противоположном пределе, |ω| → ω₂, Q-дырки

обсудим свойства Q-шаров в теориях с локаль-

описываются тонкостенным приближением с почти

ной U(1)-симметрией. В этом случае роль допол-

вакуумным значением поля внутри солитона.

нительных полей играют безмассовые калибровоч-

ные поля. Ключевое отличие от случая глобаль-

ной U(1)-группы заключается в том, что безмассо-

4. Q-ШАРЫ В ТЕОРИЯХ С

вые поля приводят к дальнодействующему (куло-

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ

новскому) взаимодействию, а это существенно меня-

ет свойства солитонов. В разд. 4.3 будет рассмотрен

Выше мы ограничивались рассмотрением нето-

еще один пример с дальнодействующими силами. А

пологических солитонов в моделях с одним ком-

именно, мы разберем основные свойства бозонных

плексным полем φ и глобальной U(1)-симметрией.

звезд — нетопологических солитонов в присутствии

Введение в теорию дополнительных полей может

динамической гравитации.

сильно влиять на свойства солитонов. Новые поля

могут прямо не участвовать в построении нелиней-

4.1. Дополнительные тяжелые поля

ного решения. Это типично, например, для Q-шаров

в суперсимметричных расширениях Стандартной

В качестве первого примера рассмотрим

модели, где роль поля φ играет комбинация сквар-

(1 + 1)-мерную модель скалярных полей φ и χ

ков и слептонов [14]. Как обсуждалось в разд. 2.3,

с лагранжевой плотностью [102]

взаимодействие поля φ с остальными степенями сво-

боды может повлиять на устойчивость солитона, на-

L=η^μν∂_μφ^∗∂_νφ+

η^μν∂_μχ∂_νχ - m²φ^∗φ-

пример, путем изменения эффективного потенциа-

M²

ла. В этом разделе мы рассмотрим случаи, когда

χ² + gχφ^∗φ + g^′χ³.

(41)

дополнительные поля имеют большие числа запол-

нения и влияют на существование и стабильность

Здесь φ заряжено по глобальной U(1)-группе, а χ

классических решений. Мы обсудим модели с одним

действительно. Если g = g′, модель имеет явное

комплексным скалярным полем и дополнительными

аналитическое решение для солитонов, в которых

полями спина 0, 1 (калибровочные поля) и 2 (гра-

φ имеет форму (6)¹⁸⁾. При m ≪ M имеем

витационное поле). Цель состоит в сравнении мно-

гокомпонентных солитонов с обычными Q-шарами,

m²

|φ| ∼

ch-1( mx), χ ∼

ch-2( mx),

(42)

описанными в разд. 2.

Интересно отметить, что исторически термин

«нетопологические солитоны» относился к решени-

где m² = m² - ω² и 0 ≤ ω < m. Видно, что

ям в теории одного комплексного и одного дейст-

χ∼

|φ|²

при всех x.

(43)

вительного массивных скалярных полей, взаимо-

M²

действующих друг с другом [101]. В общем случае

Отсюда можно заключить, что в пределе g/M² → 0

эти решения не попадают под определение Q-ша-

ров, данного Коулменом [7]. Тем не менее, после-

двухполевое решение

(42) сводится к обычному

довавшие исследования выявили многочисленные

¹⁸⁾ Возможность проинтегрировать уравнения связана с

общие свойства у многокомпонентных солитонов и

тем, что соответствующая механическая задача для точеч-

Q-шаров. Например, дифференциальное соотноше-

ной частицы сводится к описанию движения в потенциале

ние (14) остается в силе для всех классов решений.

Хенона - Хейлеса [103].

371

12*

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Q-шару, поправки к которому из-за наличия поля χ

ры нельзя получить интегрированием тяжелого по-

можно учитывать по теории возмущений в рамках

ля в модели с двумя полями. И обратно, теория воз-

эффективной теории поля.

мущений над классическим вакуумом неприменима

Разберемся более подробно, как работает эффек-

для двухкомпонентных солитонов в тонкостенном

тивная теория поля. Для этого проинтегрируем поле

режиме, так как средние значения обоих полей внут-

χ. Это приводит к низкоэнергетической теории (3)

ри солитона заметно отличаются от вакуумных.

со следующим эффективным потенциалом для по-

Для двухкомпонентного солитона в режиме тон-

ля φ:

кой стенки естественно строить различные теории

)_n

возмущений для одного из полей над различными

∑

( g

V =m²φ^∗φ+g an

(φ^∗φ)n+1,

(44)

значениями второго поля внутри и снаружи солито-

M²

n=1

на. Продемонстрируем это на примере модели Фрид-

берга - Ли- Сирлина в (3 + 1)-измерениях [37]¹⁹⁾:

где a_n = O(1) для всех n. Полагая, что

max|φ(x)|2 ≪

(45)

L=η^μν∂_μφ^∗∂_νφ+

η^μν∂_μχ∂_νχ -

можно ограничиться первым нелинейным слагае-

- gχ²φ^∗φ -

(χ² - v²)²,

(47)

мым в потенциале, для которого a₁

= -1/2. В

этом случае в низкоэнергетической теории имеются

где g, λ > 0. В общем случае солитонное решение

Q-шары, поле которых φ ведет себя в соответствии с

в этой модели приходится искать численно (см., на-

(42). Мы получили соответствие между двухполевы-

пример, [107]). Однако, если частота ω поля φ близка

ми солитонами и их однокомпонентными аналогами

к gv, для поля χ реализуется тонкостенный режим,

при наличии иерархии масштабов между тяжелым

который можно рассмотреть аналитически. В этом

и легким полями (задаваемой соотношением (45)).

случае снаружи солитона поля можно положить

При этом важно, чтобы иерархия масштабов соблю-

равными вакуумным значениям, χ = v, φ = 0. Раз-

далась на всем протяжении солитона. В модели (41)

ложение над вакуумом дает эффективный потенци-

это обеспечивается тем, что характерный масштаб

ал для φ. Он квадратичен около φ = 0, поэтому вос-

длины m-1, на котором меняется решение, одина-

производятся экспоненциально убывающие асимп-

ков как для φ, так и для χ.

тотики φ на больших расстояниях. Теория возму-

Дополнительное тяжелое поле можно также за-

щений, построенная для χ = v, применима до тех

рядить по группе U(1). В качестве примера рассмот-

пор пока

рим теорию двух массивных комплексных скаляр-

λv²

ных полей φ и X с потенциалом (см. [104, 105])

|φ(x)| ≪

(48)

V_φ,X = m²φ^∗φ + M²X^∗X + gXφ^∗φ^∗ + g^∗X^∗φφ. (46)

Внутри солитона χ почти равно нулю. Теория воз-

Здесь заряд поля X в два раза больше, чем заряд по-

мущений для поля φ над этим значением χ дает

ля φ. Как и прежде, в случае g/M² ≪ 1 можно про-

плоский скалярный потенциал. Опять же, поведение

интегрировать поле X и свести задачу с двухкомпо-

φ для такого потенциала, |φ| ∝ sin(ωr)/r, согласует-

нентными солитонами к изучению обычных Q-ша-

ся с поведением решения вблизи нуля в модели (47).

ров в полиномиальном потенциале (44). Эффектив-

Приведенные соображения проясняют причину

ная теория для поля φ применима, если выполнено

сходства солитонов в теории (47) и теории (3) с плос-

условие (45).

ким потенциалом. В частности, график на рис. 2в,

В приведенных выше примерах эффективную

на котором приведена зависимость энергии одно-

теорию поля можно применять, потому что на соли-

компонентного Q-шара от его заряда, похож на ана-

тонном решении дополнительное тяжелое поле всю-

логичный график в теории (47) [37]. Заметим также,

ду близко к вакууму. Легко привести пример реше-

что для всех приведенных примеров критерий клас-

ния, для которого это не так. Рассмотрим Q-шар в

сической стабильности Вахитова - Колоколова (24)

режиме тонкой стенки. Тонкая стенка означает, что

остается в силе (см., например, [55]).

по крайней мере два нелинейных члена в потенциале

одинаково важны. Но тогда из (44) следует, что все

¹⁹⁾ Заметим, что, в отличие от теории одного скалярного

нелинейные члены одинаково важны, и теория воз-

поля, потенциал для двух полей, допускающий нетопологи-

мущений неприменима. Значит, тонкостенные Q-ша-

ческие солитоны, может быть перенормируемым.

372

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

4.2. Калибровочные Q-шары

E/mQ

Q-шары в теории комплексного скалярного поля

1.2

с локальной U(1)-симметрией

(«калибровочные

1.0

Q-шары») были впервые предложены в работе

[67]²⁰⁾ и активно изучались в [108]. Позже их свой-

0.8

ства, в том числе классическая устойчивость, были

0.6

детально изучены в работах [55, 106, 109-111]. Для

того чтобы описать результаты этих исследований,

0.4

рассмотрим теорию в (3 + 1)-измерениях (ср. с (3)):

0.2

L=η^μνD_μφ^∗D_νφ-

F_μνF^μν - V (φ^∗φ).

(49)

10²

10³

10⁴

10⁵

10⁶

10⁷

10⁸

Здесь F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ, D_μ = ∂_μ - ieA_μ, A_μ —

m Q/v²²

E/mQ

4-потенциал, e обозначает константу связи, а V —

1.2

некий скалярный потенциал, выбранный так, что-

бы существовали Q-шары в отсутствие калибро-

1.0

вочного поля. При подходящем выборе калибровки

сферически-симметричная подстановка для калиб-

0.8

ровочных Q-шаров имеет вид

0.6

φ = f(r)e^iωt, A₀ = A₀(r), A_i = 0.

(50)

0.4

Требование конечности энергии накладывает огра-

0.2

ничения на асимптотики при больших расстояниях:

φ(r), A₀(r) → 0, r → ∞. Регулярность в начале ко-

10²

10³

10⁴

10⁵

10⁶

10⁷

10⁸

ординат приводит к требованиям φ^′(0) = A′0(0) = 0.

m Q/v²²

Энергия и заряд калибровочного Q-шара даются

выражениями (ср. с выражениями (13))

Рис. 10. Параметрическая зависимость энергии E и заря-

∫

да Q калибровочных Q-шаров от частоты ω в модели (49)

Q=2

d³x f²(ω + eA₀),

с кусочно-параболическим потенциалом: V (φ^∗φ) = m²φ^∗φ

∫

при |φ| < v, V (φ^∗φ) = m²v² при |φ| > v. Тонкая черная

E = d³x ((ω + eA₀)²f² + (∇f)2 +

(51)

линия соответствует случаю глобальной симметрии. Кон-

станта связи e = 0.005m/v (а), e = 0.02m/v (б). Кружком

и квадратом помечены точки, в которых ω = m, треуголь-

+ V (f) +

(∇A₀)²).

ником помечена точка ∂Q/∂ω = 0 (излом), звездочка со-

ответствует точке, в которой ∂Q/∂ω = ∞. Заметим, что

Также можно показать, что дифференциальное со-

ни одно из решений не расходится на верхнем пределе для

отношение (14) остается в силе [110].

ω. Взято из работы [106]

Когда константа связи e и/или заряд Q малы,

обратной реакцией калибровочного поля на скаляр-

ное поле можно пренебречь, и свойства калибровоч-

максимального заряда Q_max означает, что оба конца

ных Q-шаров в этом режиме те же, что и у обычных

интервала допустимых значений частоты ω достига-

Q-шаров. Качественно новое поведение наблюдается

ются при конечных зарядах и энергиях, как показа-

в случае, когда обратная реакция становится суще-

но на рис. 10. Напомним, что в случае глобальной

ственной. Это происходит потому, что калибровоч-

симметрии ω < m (как обычно, m обозначает мас-

ное поле приводит к дальнодействующей отталкива-

су φ-бозона). В калибровочном же случае имеется

ющей силе между заряженными скалярными части-

особое решение с ω = m [106]. Q-шар с максималь-

цами, составляющими солитон. Отталкивающее вза-

ной частотой также имеет максимальный заряд²¹⁾.

имодействие проявляется, например, в том, что за-

Калибровочные Q-шары с ω > m отсутствуют. За-

ряд Q-шара становится ограничен сверху. Наличие

метим еще, что задание частоты может не опреде-

²⁰⁾ Интересно, что и глобальные [13], и калибровочные [67]

Q-шары предложены в следующих одна за другой статьях в

²¹⁾ Хотя этот факт не был строго доказан, его справедли-

одном и том же выпуске журнала.

вость подтверждена численными расчетами.

373

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

m Q/v²²

В конце заметим, что из-за кулоновского оттал-

10⁶

кивания в калибровочной теории не существует од-

нородного конденсата, аналогичного (9).

4.3. Бозонные звезды

10⁴

Еще один пример дальнодействующей силы —

это гравитация. Она ожидаемо приводит к дополни-

тельной стабилизации локализованных сгустков ма-

10²

терии. В плоском пространстве и в пренебрежении

0.4

0.6

0.8

1.0

обратной реакцией скалярного поля на гравитацию

энергия Q-шаров не ограничена сверху (см. рис. 2в),

Рис. 11. Заряд Q как функция частоты ω для калибро-

так что в принципе допустимы решения астрономи-

вочных Q-шаров в модели (49) с кусочно-параболическим

ческих размеров и масс. При последовательном изу-

потенциалом, см. подпись к рис. 10. Сплошная линия со-

чении таких решений уравнения скалярного поля

ответствует калибровочным Q-шарам, которые устойчивы

дополняются нерелятивистским уравнением Пуас-

относительно сферически-симметричных возмущений ви-

сона, описывающим гравитационный потенциал, ли-

да (52). Линия с коротким пунктиром означает решения,

бо полной системой уравнений Эйнштейна. Нето-

неустойчивые относительно этих возмущений, а штрихо-

пологические солитоны, возникающие в теориях с

вая линия соответствует Q-шарам в модели с глобальной

U(1)-симметрией и динамической гравитацией, на-

симметрией и тем же потенциалом. Видно, что ω не опре-

деляет калибровочный Q-шар однозначно. Калибровочная

зываются бозонными звездами. Подробный обзор на

константа выбрана как e = 0.02m/v. Взято из работы [55]

эту тему см., например, в [24,112].

Вследствие гравитационного притяжения усло-

вия существования локализованных решений слабее

лять калибровочный Q-шар однозначным образом,

таковых для Q-шаров. Так, «мини-бозонные звез-

см. рис. 11 в качестве иллюстрации.

ды» имеются уже в теории свободного массивно-

Вопрос о классической устойчивости калибро-

го скалярного поля [113]. Естественно, такие реше-

вочных Q-шаров достаточно сложен [55]. Во-первых,

ния не выживают в пределе M_P → ∞, где M_P —

неясно, существуют ли асферические распадные мо-

планковская масса. С другой стороны, «солитон-

ды для решений вида (50). Напомним, что для гло-

ные бозонные звезды» в теориях с самодействием

бальных Q-шаров, описываемых анзацем (6), рас-

переходят в обычные Q-шары в пределе плоского

падная мода, если она есть, единственна и сфери-

пространства [23]. Похожим образом вращающие-

чески-симметрична. Во-вторых, рассмотрим следу-

ся бозе-звезды сводятся к вращающимся Q-шарам

ющее возмущение классического решения [55]:

в случае, если их существование допускается ска-

лярным потенциалом [39,114].

φ = f(r)e^iωt + e^iωte^γt(u(r) + iv(r)),

Важнейшими характеристиками бозонных звезд

A₀ = A₀(r) + e^γta₀(r),

(52)

являются критическая масса M_c и компактность

A_ϕ = A_θ = A_r = 0.

M/R, где R — характерный размер конфигурации.

Критическая масса устанавливает энергетический

Здесь a₀, u и v являются действительными функ-

порог, выше которого не существует стационарно-

циями. Можно численно показать, что, с одной сто-

го решения без горизонта. Конфигурации с массой

роны, для калибровочных Q-шаров, удовлетворяю-

выше массы M_c, если они вообще существуют, со-

щих условию ∂Q/∂ω > 0, может не существовать

держат черную дыру²²⁾, либо это нестационарные

растущих со временем возмущений вида (52). При-

решения, коллапсирующие в черную дыру или рас-

мер приведен на рис. 11. С другой стороны, такие

падающиеся, например, в множество более легких

моды могут возникать для решений, для которых

∂Q/∂ω < 0. Вывод состоит в том, что критерий

²²⁾ Заметим, что при выполнении слабого условия энерго-

классической устойчивости (24) неприменим для

доминантности и при условии минимального взаимодействия

калибровочных Q-шаров даже в классе сферичес-

с гравитацией в скалярных теориях поля с каноническим ки-

ки-симметричных возмущений. Что касается стати-

нетическим членом не существует стационарных сферичес-

ки-симметричных конфигураций с горизонтом [115]. Подоб-

стического аргумента, который приведен в разд. 2.3,

ные решения (черные дыры со скалярными «волосами») бы-

то он неприменим из-за наличия дальнодействую-

ли получены в классе аксиально-симметричных вращающих-

щей силы.

ся конфигураций, см. обзор в [116].

374

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

солитонов. Для рассмотрения бозонных звезд в ка-

ду [20,21] (см. также [22]). Кроме того, можно срав-

честве альтернативы черным дырам [117] полезно

нивать гравитационно-волновые сигналы от слия-

сравнить их критическую массу с пределом Чанд-

ния черных дыр и бозонных звезд [127]. Также в

расекара. В случае свободного скалярного поля с

моделях со сверхлегкой темной материей бозонные

массой m можно получить M_c ∼ M2P /m ≪ M3P /m²

звезды могут играть роль галактических гало, ре-

(см., например, [113]). Включение самодействия для

шая таким образом проблему плотности темной ма-

скалярного поля модифицирует оценку для M_c. На-

терии в центрах галактик [128].

пример, замена m²|φ|² на m²|φ|²(1-|φ|²/φ²⁰)² приво-

В свете многочисленных применений бозонных

дит к M_c ∼ M4P /m³ [118]. Итак, критическая масса

звезд в астрофизике и космологии важно понимать

бозонных звезд может меняться от величин, харак-

механизм их образования (см. обзор [129]). В рабо-

терных для звезд, до значений, характерных для га-

те [130] было показано, что гравитационное взаимо-

лактических гало [119].

действие приводит к появлению компактной соли-

Помимо массы, верхний предел можно также по-

тонной конфигурации из начальных неоднородно-

лучить и для компактности бозонных звезд. В рам-

стей в распределении материи. Позже был изучен

ках общей теории относительности модельно-неза-

механизм «гравитационного остывания» в системе

висимый верхний предел для компактности сфери-

Шредингера - Пуассона, который позволяет описать

чески-симметричного тела, состоящего из идеаль-

формирование бозонной звезды [131]. В работе [132]

ной жидкости, был получен Бухдалом [120]. При

изучалось образование бозонного ядра компактной

звезды путем аккреции из окружающего конден-

этом предполагались некоторые условия на рас-

пределение жидкости и ее уравнение состояния

сата. Недавно было продемонстрировано [133], что

гравитационная неустойчивость в однородном рас-

[120]. Этот предел, M/R ≤ (4/9)M2P , строго мень-

ше компактности шварцшильдовой черной дыры,

пределении материи или миникластере приводит к

M_BH/R_BH = 0.5M2P . В принципе, это ограниче-

формированию компактных объектов. Также фор-

ние можно обойти, отказываясь от некоторых усло-

мирование солитонов из маленьких пространствен-

вий, использованных при его выводе. Компактность

ных неоднородностей и их последующая кластери-

невращающихся бозонных звезд обычно заметно

зация в нерелятивистской теории с самодействием

меньше предела Бухдала. Предел может достигать-

были изучены в [134].

ся при некоторых частотах и определенном скаляр-

ном потенциале (см., например, [117,121]). Для вра-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

щающихся бозонных звезд имеется тенденция уве-

В заключение обсудим перспективные направле-

личения компактности с ростом скорости вращения

ния исследований, которые, как нам кажется, ин-

[122, 123].

тересны как с теоретической точки зрения, так и с

Феноменологический интерес к бозонным звез-

точки зрения феноменологических применений.

дам вызван двумя обстоятельствами. С одной сто-

В данном обзоре в основном изучались четы-

роны, они служат относительно простыми моделями

ре типа нетопологических солитонов, возникающих

наблюдаемых астрономических объектов типа нейт-

в релятивистских теориях с глобальной U(1)-сим-

ронных звезд. Заменяя объект со сложной внутрен-

метрией. Это однородный заряженный конденсат,

ней динамикой бозонной звездой, структура кото-

Q-шары, Q-дырки и Q-балджи. Примечательно, что

рой достаточно проста, можно в некоторых случаях

первые три типа решений могут существовать в рам-

существенно упростить исследование. Примером яв-

ках одной теории, а первые два типа могут быть од-

ляется динамика вращения в системах двойных ней-

новременно классически устойчивыми. Естественно

тронных звезд²³⁾. С другой стороны, бозонные звез-

задаться вопросом о динамических процессах, вклю-

ды являются альтернативной гипотезой при анали-

чающих классические и квантовые переходы меж-

зе астрофизических проявлений нейтронных звезд

ду всеми этими решениями. Это важно для пони-

и черных дыр. Так, в недавних работах обсужда-

мания сложной динамики скалярных полей, напри-

лась возможность различить сверхмассивную чер-

мер, после окончания инфляции. На сегодняшний

ную дыру в центре Млечного Пути и бозонную звез-

день вопрос далек от полного разрешения. В част-

ности, роль Q-дырок (или Q-балджей) в подобных

²³⁾ В этом случае имеет значение отклик распределения

процессах остается неясной. Изучение классической

масс внутри компактного объекта на приливные силы (см.,

устойчивости Q-дырок и Q-балджей может пролить

например, [124, 125]). Детали внутренней структуры объекта

не важны для решения задачи о его внешнем движении [126].

свет на эту проблему.

375

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Изучение классической устойчивости дает много

ные частицы, связанные состояния адронов и пр.

информации о свойствах солитона как изолирован-

При этом взаимодействия между частицами пред-

ного, так и находящегося во взаимодействии с дру-

полагалось свести к классическому взаимодействию

гими солитонами и частицами. Как обсуждалось в

солитонов. Как мы теперь знаем, эти попытки не

разд. 2.3, критерий линейной классической устой-

увенчались успехом. Однако в астрофизике, кос-

чивости (24) не имеет простого обобщения на все

мологии, теории конденсированного состояния —

типы нетопологических солитонов. В частности, он

везде, где речь идет о классических фоновых ре-

неприменим для однородных конфигураций, Q-ды-

шениях — роль солитонов трудно переоценить. А

рок, калибровочных Q-шаров и бозонных звезд. Так

значит, их изучение и, в частности, изучение Q-ша-

что любой прогресс в изучении классической устой-

ров, будет продолжаться.

чивости имеет значение.

Сделаем замечание относительно гидродина-

Благодарности. Авторы благодарны Д. Лев-

мического описания Q-шаров, обсуждаемого в

кову, А. Панину, М. Смолякову, И. Тимирясову,

разд. 2.2. Как было указано, недиагональные компо-

С. Троицкому, А. Флорио, М. Шапошникову и

ненты тензора энергии-импульса для Q-шара (даже

Я. Шниру за полезные обсуждения и критические

абсолютно устойчивого) не равны нулю, что указы-

замечания.

вает на наличие сил вязкости. С точки зрения тео-

Финансирование. Работа Э. Н. (разд. 1, 2,

рии поля значение этих сил не вполне ясно. Одна-

3.1) была поддержана Российским научным фондом

ко на уровне кинетических уравнений учет вязкости

(грант РНФ 16-12-10-494). Работа А. Ш. (разд. 3.2,

становится обязательным, так как играет критиче-

3.3, 4, 5) была поддержана Швейцарским нацио-

скую роль, например, при образовании солитонов.

нальным научным фондом.

Изучение квантовых свойств солитонов (за рам-

ками (1 + 1)-мерных моделей) представляет неко-

торые трудности, так как поле солитона, подле-

ЛИТЕРАТУРА

жащее квантованию, не является ни однородным,

N. J. Zabusky and M. D. Kruskal, Phys. Rev. Lett.

ни статическим. Необходимым промежуточным ша-

15, 240 (1965), doi:10.1103/PhysRevLett.15.240.

гом на этом пути является изучение спектра ли-

нейных классических возмущений над (классически

J. K. Perring and T. H. R. Skyrme, Nucl. Phys. 31,

550 (1962), doi:10.1016/0029-5582(62)90774-5.

устойчивым) солитоном. В этой части существует

определенный прогресс (см., например, [62]). С дру-

A. C. Scott, F. Y. F. Chu, and D. W. McLaughlin,

гой стороны, некоторые квантовые эффекты мож-

IEEE Proc. 61,

1443

(1973), doi:10.1109/PROC.

но описать в ведущем порядке в квазиклассическом

1973.9296.

приближении. Среди них процесс туннелирования,

V. G. Makhankov, Phys. Rep. 35, 1 (1978), doi:

который строго изучен для Q-шаров относительно

10.1016/0370-1573(78)90074-1.

недавно [57].

S. R. Coleman, Subnucl. Ser. 13, 297 (1977).

Еще раз подчеркнем, что Q-шары хорошо под-

ходят для моделирования на их примере различ-

G. E. Brown, World Scientific Series in 20th Century

ных явлений, проистекающих в более сложных сис-

Physics, 3, World Sci., Singapore (1994), p. 438.

темах, таких как черные дыры, нейтронные и бозон-

S. R. Coleman, Nucl. Phys. B

262,

263

ные звезды. Отметим, например, тот нетривиаль-

(1985); Erratum: Nucl. Phys. B

269,

744

ный факт, что квантовый переход между классичес-

(1986).

doi:10.1016/0550-3213(85)90286-X,

ки устойчивым однородным конденсатом и клас-

10.1016/0550-3213(86)90520-1.

сически устойчивым Q-шаром осуществляется че-

E. Nugaev, A. Shkerin, and M. Smolyakov, JHEP

рез не сферически-симметричное туннельное реше-

1612,

032

(2016), doi:10.1007/JHEP12(2016)032

ние [57]. Интересно также, что на примере Q-шаров

[arXiv:1609.05568 [hep-th]].

можно изучать спонтанное нарушение простран-

ственных симметрий в системах с внутренней гло-

N. H. Christ and T. D. Lee, Phys. Rev. D 12, 1606

бальной симметрией (см., например, [50]).

(1975), doi:10.1103/PhysRevD.12.1606.

В заключение упомянем, что в ранних работах

10.

R. Rajaraman, Solitons and Instantons. An Int-

по солитонам в релятивистских полевых теориях

roduction to Solitons and Instantons in Quantum

предпринимались попытки отождествить их с фун-

Field Theory, Netherlands: North-Holland, Amster-

даментальными объектами, такими как элементар-

dam (1982).

376

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

11.

T. D. Lee and Y. Pang, Phys. Rep. 221, 251 (1992),

28.

K. D. Lozanov and M. A. Amin, Phys. Rev. D 90,

doi:10.1016/0370-1573(92)90064-7.

083528

(2014), doi:10.1103/PhysRevD.90.083528

[arXiv:1408.1811 [hep-ph]].

12.

Y. M. Shnir, Topological and Non-Topological So-

litons in Scalar Field Theories, Cambridge Mono-

29.

E. Cotner, A. Kusenko, and V. Takhistov, Phys.

graphs on Mathematical Physics, Cambridge Univ.

Rev. D 98, 083513 (2018), doi:10.1103/PhysRevD.

Press, Cambridge (2018).

98.083513 [arXiv:1801.03321 [astro-ph.CO]].

13.

G. Rosen, J. Math. Phys. 9, 996 (1968).

30.

K. D. Lozanov and M. A. Amin, Phys. Rev. D 99,

123504

(2019), doi:10.1103/PhysRevD.99.123504

14.

A. Kusenko, Phys. Lett. B 405, 108 (1997), doi:

[arXiv:1902.06736 [astro-ph.CO]].

10.1016/S0370-2693(97)00584-4 [hep-ph/9704273].

15.

G. R. Dvali, A. Kusenko, and M. E. Shaposhnikov,

31.

K. Mukaida, M. Takimoto, and M. Yamada, JHEP

Phys. Lett. B

417,

(1998), doi:10.1016/

1703,

122

(2017), doi:10.1007/JHEP03(2017)122

S0370-2693(97)01378-6 [hep-ph/9707423].

[arXiv:1612.07750 [hep-ph]].

16.

A. Kusenko, M. E. Shaposhnikov, and P. G. Tinya-

32.

M. H. Namjoo, A. H. Guth, and D. I. Kai-

kov, Pisma v Zh. Eksp. Teor. Fiz. 67, 229 (1998),

ser, Phys. Rev. D 98, 016011 (2018), doi:10.1103/

[JETP Lett. 67, 247 (1998)], doi:10.1134/1.567658

PhysRevD.98.016011 [arXiv:1712.00445 [hep-ph]].

[hep-th/9801041].

33.

D. Musso, arXiv:1810.01799 [hep-th].

17.

I. Affleck and M. Dine, Nucl. Phys. B 249, 361 (1985),

doi:10.1016/0550-3213(85)90021-5.

34.

M. A. Amin, M. P. Hertzberg, D. I. Kaiser, and

J. Karouby, Int. J. Mod. Phys. D 24, 1530003 (2014),

18.

J. A. Frieman, G. B. Gelmini, M. Gleiser, and

doi:10.1142/S0218271815300037

[arXiv:1410.3808

E. W. Kolb, Phys. Rev. Lett. 60, 2101 (1988), doi:

[hep-ph]].

10.1103/PhysRevLett.60.2101.

35.

S. Kasuya and M. Kawasaki, Phys. Rev. D 62,

19.

A. Kusenko and M. E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B

023512

(2000), doi:10.1103/PhysRevD.62.023512

418, 46 (1998), doi:10.1016/S0370-2693(97)01375-0

[hep-ph/0002285].

[hep-ph/9709492].

36.

V. A. Rubakov and D. S. Gorbunov, Introduction

20.

F. H. Vincent, Z. Meliani, P. Grandclement, E. Go-

urgoulhon, and O. Straub, Class. Quant. Grav. 33,

to the Theory of the Early Universe: Hot Big Bang

Theory, World Sci. (2018), doi:10.1142/10447.

105015 (2016), doi:10.1088/0264-9381/33/10/105015

[arXiv:1510.04170 [gr-qc]].

37.

R. Friedberg, T. D. Lee, and A. Sirlin, Phys. Rev.

21.

S. Troitsky, JCAP 1611, 027 (2016), doi:10.1088/

D 13, 2739 (1976), doi:10.1103/PhysRevD.13.2739.

1475-7516/2016/11/027 [arXiv:1510.07132 [hep-ph]].

38.

M. S. Volkov and E. Wohnert, Phys. Rev. D 66,

22.

K. Akiyama et al. [Event Horizon Telescope Colla-

085003

(2002), doi:10.1103/PhysRevD.66.085003

boration], Astrophys. J. 875, L1 (2019), doi:10.3847/

[hep-th/0205157].

2041-8213/ab0ec7.

39.

B. Kleihaus, J. Kunz, and M. List, Phys. Rev. D 72,

23.

B. W. Lynn, Nucl. Phys. B 321, 465 (1989), doi:

064002

(2005), doi:10.1103/PhysRevD.72.064002

10.1016/0550-3213(89)90352-0.

[gr-qc/0505143].

24.

S. L. Liebling and C. Palenzuela, Living Rev.

40.

N. Sakai, H. Ishihara, and K.-i. Nakao, Phys. Rev. D

Rel. 15, 6 (2012); Living Rev. Rel. 20, 5 (2017);

84, 105022 (2011), doi:10.1103/PhysRevD.84.105022

doi:10.12942/lrr-2012-6,

10.1007/s41114-017-0007-y

[arXiv:1011.4828 [hep-th]].

[arXiv:1202.5809 [gr-qc]].

41.

T. Tamaki and N. Sakai, Phys. Rev. D 86, 105011

25.

I. L. Bogolyubsky and V. G. Makhankov, JETP Lett.

(2012), doi:10.1103/PhysRevD.86.105011

[arXiv:

24, 12 (1976).

1208.4440 [gr-qc]].

26.

M. Gleiser, Phys. Rev. D 49,

2978

(1994), doi:

10.1103/PhysRevD.49.2978 [hep-ph/9308279].

42.

E. Nugaev and A. Shkerin, Phys. Rev. D 90, 016002

(2014), doi:10.1103/PhysRevD.90.016002

[arXiv:

27.

M. A. Amin, R. Easther, H. Finkel, R. Flauger,

1404.3207 [hep-th]].

and M. P. Hertzberg, Phys. Rev. Lett. 108, 241302

(2012), doi:10.1103/PhysRevLett.108.241302 [arXiv:

43.

G. H. Derrick, J. Math. Phys. 5, 1252 (1964), doi:

1106.3335 [astro-ph.CO]].

10.1063/1.1704233.

377

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

44.

R. S. Palais, Comm. Math. Phys. 69, 19 (1979), doi:

61.

M. N. Smolyakov, Phys. Rev. D 97, 045011 (2018),

10.1007/BF01941322.

doi:10.1103/PhysRevD.97.045011

[arXiv:1711.05730

[hep-th]].

45.

M. Mai and P. Schweitzer, Phys. Rev. D 86, 096002

(2012), doi:10.1103/PhysRevD.86.096002

[arXiv:

62.

A. Kovtun, E. Nugaev, and A. Shkerin, Phys. Rev. D

1206.2930 [hep-ph]].

98, 096016 (2018), doi:10.1103/PhysRevD.98.096016

[arXiv:1805.03518 [hep-th]].

46.

T. I. Belova, N. A. Voronov, N. B. Konyukhova, and

B. S. Pariisky, Phys. Atom. Nucl. 57, 2028 (1994),

63.

В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов, УФН 182, 569

[Yad. Fiz. 57, 2105 (1994)].

(2012) [V. E. Zakharov and E. A. Kuznetsov, UFN

55, 535 (2012)].

47.

S. Theodorakis, Phys. Rev. D 61, 047701 (2000),

doi:10.1103/PhysRevD.61.047701.

64.

N. Vakhitov and A. Kolokolov, Radiophys. Quant.

Electron. 16, 787 (1973).

48.

I. E. Gulamov, E. Y. Nugaev, and M. N. Smolya-

kov, Phys. Rev. D 87, 085043 (2013), doi:10.1103/

65.

A. Kolokolov, J. Appl. Mech. Tech. Phys. 14, 426

PhysRevD.87.085043 [arXiv:1303.1173 [hep-th]].

(1973).

49.

M. Laine and M. E. Shaposhnikov, Nucl. Phys. B

66.

M. G. Alford, Nucl. Phys. B 298, 323 (1988), doi:

532, 376 (1998), doi:10.1016/S0550-3213(98)00474-X

10.1016/0550-3213(88)90269-6.

[hep-ph/9804237].

67.

G. Rosen, J. Math. Phys. 9, 999 (1968).

50.

A. Nicolis and F. Piazza, JHEP 1206, 025 (2012),

68.

E. Nugaev and A. Shkerin, Phys. Lett. B 747, 287

doi:10.1007/JHEP06(2012)025

[arXiv:1112.5174

(2015), doi:10.1016/j.physletb.2015.06.008

[arXiv:

[hep-th]].

1501.05903 [hep-ph]].

51.

D. L. T. Anderson and G. H. Derrick, J. Math. Phys.

69.

E. W. Kolb and I. I. Tkachev, Phys. Rev. Lett.

11, 1336 (1970), doi:10.1063/1.1665265.

71,

3051

(1993), doi:10.1103/PhysRevLett.71.3051

52.

F. L. Bezrukov and M. Shaposhnikov, Phys. Lett.

[hep-ph/9303313].

B 659,

703

(2008), doi:10.1016/j.physletb.2007.

70.

A. Kusenko, Phys. Lett. B 406,

(1997), doi:

11.072 [arXiv:0710.3755 [hep-th]].

10.1016/S0370-2693(97)00700-4 [hep-ph/9705361].

53.

F. Bezrukov and M. Shaposhnikov, JHEP 0907, 089

71.

S. Khlebnikov and I. Tkachev, Phys. Rev. D 61,

(2009), doi:10.1088/1126-6708/2009/07/089 [arXiv:

083517

(2000), doi:10.1103/PhysRevD.61.083517

0904.1537 [hep-ph]].

[hep-ph/9902272].

54.

M. Mai and P. Schweitzer, Phys. Rev. D 86, 076001

72.

M. A. Amin, arXiv:1006.3075 [astro-ph.CO].

(2012), doi:10.1103/PhysRevD.86.076001

[arXiv:

1206.2632 [hep-ph]].

73.

E. Krylov, A. Levin, and V. Rubakov, Phys. Rev. D

87, 083528 (2013), doi:10.1103/PhysRevD.87.083528

55.

A. G. Panin and M. N. Smolyakov, Phys. Rev. D 95,

[arXiv:1301.0354 [hep-ph]].

065006

(2017), doi:10.1103/PhysRevD.95.065006

[arXiv:1612.00737 [hep-th]].

74.

V. E. Zakharov, Sov. Phys. JETP 26, 994 (1968).

56.

K. M. Lee and E. J. Weinberg, Nucl. Phys. B 267,

75.

Y. S. Kivshar and G. Agrawal, Optical Solitons: From

181 (1986), doi:10.1016/0550-3213(86)90150-1.

Fibers to Photonic Crystals, Elsevier Science (2003).

57.

D. Levkov, E. Nugaev, and A. Popescu, JHEP 1712,

76.

N. Akhmediev and A. Ankiewicz, Dissipative Soli-

131

(2017), doi:10.1007/JHEP12(2017)131

[arXiv:

tons, Lect. Notes Phys., Springer, Berlin, Heidelberg

1711.05279 [hep-ph]].

(2005).

58.

A. G. Cohen, S. R. Coleman, H. Georgi, and

77.

A. Kumar, Phys. Rep. 187, 63 (1990).

A. Manohar, Nucl. Phys. B 272, 301 (1986), doi:10.

1016/0550-3213(86)90004-0.

78.

A. Hasegawa and F. Tappert, Appl. Phys. Lett. 23,

142 (1973).

59.

M. Kawasaki and M. Yamada, Phys. Rev. D 87,

023517

(2013), doi:10.1103/PhysRevD.87.023517

79.

A. Hasegawa and F. Tappert, Appl. Phys. Lett. 23,

[arXiv:1209.5781 [hep-ph]].

171 (1973).

60.

A. V. Kovtun and E. Y. Nugaev, Mod. Phys. Lett. A

80.

L. F. Mollenauer, R. H. Stolen, and J. P. Gor-

32, 1750198 (2017), doi:10.1142/S021773231750198X

don, Phys. Rev. Lett. 45, 1095 (1980), doi:10.1103/

[arXiv:1612.00700 [hep-ph]].

PhysRevLett.45.1095.

378

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

Нетопологические солитоноподобные решения...

81.

A. Hasegawa, Chaos: An Interdisciplinary J. Nonlin.

97.

R. F. Dashen, B. Hasslacher, and A. Neveu, Phys.

Sci. 10, 475 (2000).

Rev. D

10,

4130

(1974), doi:10.1103/PhysRevD.

10.4130.

82.

S. Blair and K. Wagner, in Collision-Based Compu-

98.

A. M. Polyakov, JETP Lett. 20, 194 (1974), [Pisma

ting, Springer, London (2002), pp. 355-380.

v Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 430 (1974)].

83.

F. Mitschke, A. Hause, C. Mahnke, and P. Rohrmann,

99.

J. Goldstone and R. Jackiw, Phys. Rev. D 11, 1486

Nonlin. Phenomena Complex Syst. 15, 369 (2012).

(1975), doi:10.1103/PhysRevD.11.1486.

84.

Y. S. Kivshar, IEEE J. Quant. Electron. 29, 250

100.

N. S. Manton and P. Sutcliffe, Topological Solitons,

(1993).

doi:10.1017/CBO9780511617034.

85.

V. E. Zakharov and A. B. Shabat, JETP 37, 823

101.

T. D. Lee, Comments Nucl. Part. Phys. 7(6), 165

(1973).

(1978).

102.

E. Nugaev, Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 20,

86.

M. Weiner, J. Heritage, R. Hawkins, N. Thurston,

M. Kirschner, D. Leaird, and J. Tomlinson, Phys.

443 (2015), doi:10.1016/j.cnsns.2014.06.016 [arXiv:

1403.0434 [hep-th]].

Rev. Lett. 61, 2445 (1988).

103.

M. Henon and C. Heiles, Astron. J. 69, 73 (1964).

87.

L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein Con-

densation, Oxford Univ. Press, Oxford (2003).

104.

D. B. Kaplan, Nucl. Phys. B 494, 471 (1997), doi:

10.1016/S0550-3213(97)00178-8 [nucl-th/9610052].

88.

C. J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Con-

densation in Dilute Gases, Cambridge Univ. Press,

105.

P. F. Bedaque, H. W. Hammer, and U. van Kolck,

Cambridge (2008).

Phys. Rev. Lett.

82,

463

(1999), doi:10.1103/

PhysRevLett.82.463 [nucl-th/9809025].

89.

F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Strin-

106.

I. E. Gulamov, E. Y. Nugaev, A. G. Panin, and

gari, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999), doi:10.1103/

M. N. Smolyakov, Phys. Rev. D 92, 045011 (2015),

RevModPhys.71.463 [cond-mat/9806038].

doi:10.1103/PhysRevD.92.045011

[arXiv:1506.05786

90.

L. J. Garay, J. R. Anglin, J. I. Cirac, and P. Zol-

[hep-th]].

ler, Phys. Rev. A 63, 023611 (2001), doi:10.1103/

107.

V. Loiko, I. Perapechka, and Y. Shnir, Phys. Rev. D

PhysRevA.63.023611 [gr-qc/0005131].

98, 045018 (2018), doi:10.1103/PhysRevD.98.045018

[arXiv:1805.11929 [hep-th]].

91.

O. Lahav, A. Itah, A. Blumkin, C. Gordon,

and J. Steinhauer, Phys. Rev. Lett. 105,

240401

108.

K. M. Lee, J. A. Stein-Schabes, R. Watkins, and

(2010), doi:10.1103/PhysRevLett.105.240401 [arXiv:

L. M. Widrow, Phys. Rev. D 39, 1665 (1989), doi:

0906.1337 [cond-mat.quant-gas]].

10.1103/PhysRevD.39.1665.

92.

A. Suarez, V. H. Robles, and T. Matos, Astrophys.

109.

H. Arodz and J. Lis, Phys. Rev. D 79, 045002 (2009),

Space Sci. Proc. 38, 107 (2014), doi:10.1007/978-3-

doi:10.1103/PhysRevD.79.045002

[arXiv:0812.3284

319-02063-19 [arXiv:1302.0903 [astro-ph.CO]].

[hep-th]].

110.

I. E. Gulamov, E. Y. Nugaev, and M. N. Smolya-

93.

M. R. Matthews,

Anderson,

kov, Phys. Rev. D 89, 085006 (2014), doi:10.1103/

P. C. Haljan, D. S. Hall, C. E. Wieman, and

PhysRevD.89.085006 [arXiv:1311.0325 [hep-th]].

E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 83, 2498 (1999),

doi:10.1103/PhysRevLett.83.2498.

111.

T. Tamaki and N. Sakai, Phys. Rev. D 90, 085022

(2014), doi:10.1103/PhysRevD.90.085022.

94.

S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer,

K. Sengstock, A. Sanpera, G. V. Shlyapnikov, and

112.

P. Jetzer, Phys. Rep. 220, 163 (1992), doi:10.1016/

M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999), doi:

0370-1573(92)90123-H.

10.1103/PhysRevLett.83.5198 [cond-mat/9910487].

113.

R. Friedberg, T. D. Lee, and Y. Pang, Phys. Rev.

D 35, 3640 (1987), doi:10.1103/PhysRevD.35.3640.

95.

K. Enqvist and M. Laine, JCAP

0308,

003

(2003),

doi:10.1088/1475-7516/2003/08/003

114.

B. Kleihaus, J. Kunz, M. List, and I. Schaf-

[cond-mat/ 0304355].

fer, Phys. Rev. D 77, 064025 (2008), doi:10.1103/

PhysRevD.77.064025 [arXiv:0712.3742 [gr-qc]].

96.

Y. M. Bunkov and G. E. Volovik, Phys. Rev. Lett. 98,

265302

(2007), doi:10.1103/PhysRevLett.98.265302

115.

I. Pena and D. Sudarsky, Class. Quant. Grav. 14,

[cond-mat/0703183 [cond-mat.soft]].

3131 (1997), doi:10.1088/0264-9381/14/11/013.

379

Э. Я. Нугаев, А. В. Шкерин

ЖЭТФ, том 157, вып. 2, 2020

116.

C. A. R. Herdeiro and E. Radu, Int. J. Mod. Phys. D

126.

T. Damour, in Three Hundred Years of Gravitation,

24, 1542014 (2015), doi:10.1142/S0218271815420146

ed. by S. Hawking and W. Israel (1987), pp. 128-198.

[arXiv:1504.08209 [gr-qc]].

127.

V. Cardoso, S. Hopper, C. F. B. Macedo, C. Palen-

117.

V. Cardoso and P. Pani, Living Rev. Rel. 22, 4

zuela, and P. Pani, Phys. Rev. D 94, 084031 (2016),

(2019), doi:10.1007/s41114-019-0020-4

[arXiv:1904.

doi:10.1103/PhysRevD.94.084031

[arXiv:1608.08637

05363 [gr-qc]].

[gr-qc]].

118.

T. D. Lee, Phys. Rev. D 35, 3637 (1987), doi:10.1103/

128.

L. Hui, J. P. Ostriker, S. Tremaine, and E. Wit-

PhysRevD.35.3637.

ten, Phys. Rev. D

95,

043541

(2017), doi:

10.1103/PhysRevD.95.043541

[arXiv:1610.08297

119.

J.-w. Lee and I.-g. Koh, Phys. Rev. D 53, 2236 (1996),

[astro-ph.CO]].

doi:10.1103/PhysRevD.53.2236 [hep-ph/9507385].

129.

A. R. Liddle and M. S. Madsen, Int. J. Mod. Phys.

120.

H. A. Buchdahl, Phys. Rev. 116, 1027 (1959), doi:

D 1, 101 (1992), doi:10.1142/S0218271892000057.

10.1103/PhysRev.116.1027.

130.

E. Seidel and W. M. Suen, Phys. Rev. Lett.

121.

B. Kleihaus, J. Kunz, and S. Schneider, Phys. Rev. D

72,

2516

(1994), doi:10.1103/PhysRevLett.72.2516

85, 024045 (2012), doi:10.1103/PhysRevD.85.024045

[gr-qc/9309015].

[arXiv:1109.5858 [gr-qc]].

131.

F. S. Guzman and L. A. Urena-Lopez,

122.

M. Kesden, J. Gair, and M. Kamionkowski, Phys.

Astrophys. J. 645, 814 (2006), doi:10.1086/504508

Rev. D 71, 044015 (2005), doi:10.1103/PhysRevD.

[astro-ph/0603613].

71.044015 [astro-ph/0411478].

123.

P. Grandclément, Phys. Rev. D 95, 084011 (2017),

132.

R. Brito, V. Cardoso, C. F. B. Macedo, H. Okawa,

doi:10.1103/PhysRevD.95.084011

[arXiv:1612.07507

and C. Palenzuela, Phys. Rev. D 93, 044045 (2016),

[gr-qc]].

doi:10.1103/PhysRevD.93.044045

[arXiv:1512.00466

[astro-ph.SR]].

124.

P. Pani, L. Gualtieri, A. Maselli, and V. Ferrari, Phys.

Rev. D 92, 024010 (2015), doi:10.1103/PhysRevD.

133.

D. G. Levkov, A. G. Panin, and I. I. Tkachev, Phys.

92.024010 [arXiv:1503.07365 [gr-qc]].

Rev. Lett.

121,

151301

(2018), doi:10.1103/

PhysRevLett.121.151301

[arXiv:1804.05857

125.

V. Cardoso, E. Franzin, A. Maselli, P. Pani,

[astro-ph.CO]].

and G. Raposo, Phys. Rev. D

95,

084014

(2017); Addendum: Phys. Rev. D

95,

089901

134.

M. A. Amin and P. Mocz, Phys. Rev. D 100, 063507

(2017); doi:10.1103/PhysRevD.95.089901,

10.1103/

(2019), doi:10.1103/PhysRevD.100.063507

[arXiv:

PhysRevD.95.084014 [arXiv:1701.01116 [gr-qc]].

1902.07261 [astro-ph.CO]].

380