ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 387-393
© 2020
СИЛА КАЗИМИРА И СИЛА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
В ОДНОКОМПОНЕНТНОМ БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОМ
КОНДЕНСАТЕ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ
Нгуен Ван Тхуa,b*, Луонг Тхи Теуb, Данг Тхань Хайc
a Institute for Research and Development, Duy Tan University
550000, Da Nang, Vietnam
b Department of Physics, Hanoi Pedagogical University 2
100000, Hanoi, Vietnam
c Vietnam Education Publishing House
100000, Hanoi, Vietnam
Поступила в редакцию 26 апреля 2019 г.,
после переработки 16 июля 2019 г.
Принята к публикации 12 сентября 2019 г.
(Перевод с английского)
CASIMIR AND SURFACE TENSION FORCES ON A SINGLE
INTERACTING BOSE-EINSTEIN CONDENSATE
IN CANONICAL ENSEMBLE
Nguyen Van Thu, Luong Thi Theu, Dang Thanh Hai
Силы, возникающие в однокомпонентном бозе-эйнштейновском конденсате, заключенном между двумя
параллельными пластинами, состоят из двух компонент, а именно, силы поверхностного натяжения и
силы Казимира. Для канонического ансамбля и для большого канонического ансамбля эти силы суще-
ственно различаются. Оказалось, что при малом расстоянии ℓ между пластинами сила поверхностного
натяжения, полученная с использованием двойного параболичского приближения, убывает как ℓ-3, в то
время как сила Казимира, полученная в рамках квантовой теории поля в однопетлевом приближении,
пропорциональна ℓ-13/2. Кроме того, рассмотрена полная сила и найдена ее точка поворота.
DOI: 10.31857/S0044451020030013
Казимира, было впервые открыто Х. Казимиром в
1948 г. [1] и положило начало новым перспективным
1. ВВЕДЕНИЕ
задачам квантовой физики. Начиная с этого момен-
та эффект Казимира исследовался как теоретиче-
Нетривиальная структура вакуумного состояния
ски, так и экспериментально в связи с его широкими
заключенного между двумя пластинами электро-
приложениями в науке и технике [2]. Эффект Кази-
магнитного поля и ассоциированного с вакуумными
мира изучается применительно к различным облас-
флуктуациями, является одним из наиболее инте-
тям физики, например, в рамках квантовой теории
ресных объектов исследований современной кванто-
поля [3], физики твердого тела [4], атомной и мо-
вой теории поля. Это явление, известное как эффект
лекулярной физики [5], физики кварковой материи
[6], гравитации и космологии [7, 8].
* E-mail: nvthu@live.com
387
Нгуен Ван Тху, Луонг Тхи Теу, Данг Тхань Хай
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
Исследованиям эффекта Казимира для бозе-эйн-
было много больше ℓ. Положение пластин задается
штейновского конденсата (БЭК) посвящено много
координатами z = -ℓ/2 и z = ℓ/2. В отсутствие
работ. Некоторые интересные свойства двухкомпо-
внешнего поля и в пренебрежении квантовыми
нентного БЭК были исследованы в работе [9]. В этой
флуктуациями объемный гамильтониан можно
работе в рамках квантовой теории поля в однопет-
записать в виде [15]
левом приближении было показано, что вследствие
[
]
ℏ2
взаимодействия между компонентами сила Казими-
H = ψ∗(z) -
∂2z
ψ(z) + VGP ,
(1)
2m
ра является не просто суперпозицией сил для двух
где
отдельных компонент БЭК, а в пределе полного раз-
g
деления компонент данная сила обращается в нуль.
VGP = -μψ(z) +
|ψ(z)|4
(2)
2
В работе [10] было доказано, что в разделенном сос-
тоянии, когда взаимодействие между двумя компо-
— потенциал Гросса - Питаевского (ГП). Волновая
функция основного состояния ψ(z) играет роль па-
нентами отсутствует, на пластинах возникает сила
раметра порядка, m — атомная масса. Постоянная
типа силы Казимира.
взаимодействия g
= 4πℏ2as/m > 0 соответству-
Исследованиям эффекта Казимира для случая
ет силе взаимодействия отталкивающихся компо-
однокомпонентного бозе-эйнштейновского конден-
нент, она определяется через as — длину рассея-
сата посвящено много работ. В работе [11] в рамках
ния s-волны; μ — химический потенциал. Посколь-
квантовой теории поля в однопетлевом приближе-
ку система является изолированной, число частиц
нии было получено выражение для энергии Казими-
N фиксировано:
ра как интеграла плотности состояний; оказалось,
что данная энергия убывает как ℓ-3. Этот эффект
∫
исследовался также при конечных температурах
N = ψ(z)2dz.
(3)
[12, 13]. Сила Казимира для бозе-эйнштейновского
-ℓ/2
конденсата с взаимодействующими компонентами,
Как было отмечено выше, мы ограничимся случаем,
состоящая из силы среднего поля (или силы поверх-
когда рассматриваемая система представляет собой
ностного натяжения) и силы Казимира, была полу-
разреженный газ. Тогда, согласно теории среднего
чена в работе [14]. Однако, наскольно известно авто-
поля [11, 16, 17], химический потенциал μ является
рам, эти системы соединены с резервуаром (резер-
производной плотности свободной энергии по плот-
вуарами) частиц, что означает, что вычисления про-
ности частиц, в результате чего получаем μ = gn0.
водились для большого канонического ансамбля. В
Минимизируя полный гамильтониан (1), получа-
настоящей работе рассматриваемая система являет-
ем стационарное уравнение ГП [18]:
ся изолированной, что соответствует каноническому
ансамблю. Кроме того, мы ограничиваемся рассмот-
ℏ2
-
∂2zψ(z) - μψ(z) + g|ψ(z)|3 = 0,
(4)
рением БЭК в разреженном взаимодействующем га-
2m
зе [11], т. е. n0a3s ≪ 1, где as — длина рассеяния
которое позволяет найти волновую функцию ψ(z)
s-волны. Объемная плотность n0 определяется как
основного состояния. Пластины играют роль твер-
число частиц в единичном объеме, которое равно от-
дых стенок, на которых волновая функция обра-
ношению полного числа частиц N к объему системы
щается в нуль. Этот факт выражается граничным
V , т.е. n0 = N/V .
условием Дирихле на стенках:
Работа построена следующим образом. В разд. 2
ψ(-ℓ/2) = ψ(ℓ/2) = 0.
(5)
исследуется сила поверхностного натяжения. В
разд.
3
исследуется сила Казимира. Раздел
4
Чтобы исследовать силу поверхностного натя-
представляет собой Заключение.
жения, решим уравнение ГП (4). Для этого вве-
дем безразмерную координату ϱ = z/ξ, где ξ =
√
= ℏ/
2mgn0 — поправочная длина, и безразмерный
2. СИЛА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
параметр порядка φ = ψ/√n0. Таким образом, по-
тенциал ГП (2) и уравнение ГП (4) можно перепи-
Начнем с рассмотрения однокомпонентного
сать в виде
БЭК, помещенного между двумя параллельными
- ∂2ϱφ - φ + φ3 = 0,
(6)
пластинами площадью A, лежащими в плоскости
(x, y) и отстоящими друг от друга на расстояние
φ4
√
VGP = -φ2 +
(7)
ℓ в направлении z. Обычно требуется, чтобы
A
2
388
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
Сила Казимира и сила поверхностного натяжения. . .
В общем случае уравнение (6) невозможно решить
/0
точно, однако имеется несколько приближенных ме-
1.4
тодов [16, 19, 20]. Двойное параболическое прибли-
жение (ДПП), предложенное в работе [21], позво-
1.2
ляет найти аналитическое решение для основного
1.0
состояния нашей системы. В силу того что значение
безразмерного параметра порядка φ вблизи пластин
0.8
меньше, чем в объеме, его можно записать в виде
разложения:
0.6
φ ≈ 1 + δ,
(8)
0.4
где δ — достаточно малая вещественная величина.
Подставляя выражение (8) в уравнение (7), во вто-
0.2
ром порядке по φ получаем ДПП-потенциал в виде
1
0
20
40
60
80
100
VDPA = 2(φ - 1)2 -
(9)
L
2
Рис. 1. (В цвете онлайн) Зависимость поверхностного на-
Тогда вместо уравнения ГП (4) получаем уравнение
тяжения от расстояния
Эйлера - Лагранжа
-∂2ϱφ + α2(φ - 1) = 0,
(10)
В размерном виде волновую функцию основного со-
√
стояния (11) можно записать как
где α =
2. Решая уравнение (10) с граничным
(
)
условием (5), получаем параметр порядка:
ℓ
( αz)
φ(z) = 1 - sh
ch
(15)
αξ
ξ
)
(L
φ = 1 - sh
ch(αϱ),
(11)
Подставляя выражение (15) в выражение (14), по-
α
лучаем
где = ℓ/ξ.
(
)
ℓ
3ξ
ℓ
Теперь рассмотрим силу поверхностного натяже-
I0 = ℓ +
-
th
(16)
ch (αℓ/ξ) + 1
α
αξ
ния. Для канонического ансамбля хорошее опреде-
ление для приращения поверхностной энергии дано
Подставляя выражение (11) в выражение (13), с уче-
в работе [16]; а именно, приращение энергии — это
том соотношений (14) и (16), получаем
полная энергия за вычетом экстенсивного вклада в
Aℏ2 [ξ sh (αℓ/ξ) - αℓ]
объем:
σ=σ0
,
(17)
mgℓN {αℓ [ch(αℓ/ξ)+2]-3ξ sh(αℓ/ξ)}
∂E
ΔE = E - μN = E - N
(12)
где
∂N
mg2N3
σ0 =
Комбинируя уравнения (12) и (6), после деления на
ℏ2A3
A получаем поверхностное натяжение
Заметим, что поправочная длина ξ зависит от ℓ.
Для иллюстрации приведенных выше аналити-
∫
(
)
ческих вычислений были проведены численные рас-
ΔE
1
ℏ2
σ=
=
n0
dz φ
-
∇2
φ.
(13)
четы для рубидия-87 с параметрами, m = 86.909u
A
2
2m
(1u = 1.6605.10-27 кг), as = 100.4a0, a0 = 0.529Å,
−ℓ/2
размер каждой пластины A = 10-6 м2, число частиц
Следует отметить, что именно это определение бы-
N = 6 · 106 [14]. Для таких параметров на рассто-
ло предложено в работе [22]. Выражение для числа
янии порядка поправочной длины объемная плот-
частиц (3), которые удерживаются между пластина-
ность равна
ми, можно переписать в виде
n0 = N/Aℓ ≈ 2.5 · 1018 м-3,
∫
∫
условие разреженности газа
N = ψ(z)2dz = n0A φ2(z)dz ≡ n0AI0.
(14)
V
-ℓ/2
n0a3s ≈ 3.745 · 10-7 ≪ 1
389
Нгуен Ван Тху, Луонг Тхи Теу, Данг Тхань Хай
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
F /F
большого канонического ансамбля [14]. В первую
3.0
очередь эта сила является отталкивающей и суще-
ственно зависит от ℓ. Когда ℓ стремится к нулю, сила
2.5
становится бесконечной, поскольку конденсат явля-
ется несжимаемым.
2.0
1.5
3. СИЛА КАЗИМИРА
Теперь рассмотрим силу Казимира, обусловлен-
1.0
ную квантовыми флуктуациями над основным со-
стоянием, соответствущими фононным возбуждени-
0.5
ям [11, 13, 14, 23]. Лучше всего это сделать в рамках
квантовой теории поля в однопетлевом приближе-
0
10
20
30
40
50
нии, развитой для однокомпонентного разреженно-
L
го бозе-газа в работах [11,17], а для двухкомпонент-
Рис. 2. (В цвете онлайн) Зависимость силы поверхностно-
ных бозе-эйнштейновских конденсатов — в работе
го натяжения от расстояния
[9]. Дисперсионное соотношение для элементарно-
го возбуждения, называемое законом Боголюбова,
можно записать в виде
выполнено, следовательно, можно использовать
√
)
уравнение ГП. На рис. 1 приведена зависимость
ℏ2k2
(ℏ2k2
ε(k) =
+ gψ2
поверхностного натяжения от расстояния L = ℓ/ξ0
2m
2m
при ξ0
= 4000Å. На рисунке видно, что при
уменьшении расстояния ℓ поверхностное натяжение
Используя безразмерный волновой вектор κ = kξ,
возрастает, а при ℓ → 0 оно расходится.
можно переписать этот закон в виде
Сила поверхностного натяжения определяется
√
ε(κ) = gn0
κ2(κ2 + φ2).
(20)
как
∂σ
Плотность свободной энергии имеет вид
Fσ = -
(18)
∂ℓ
∫
√
gn0
d3κ
Подставив выражение (17) в выражение (18), полу-
Ω=
κ2(κ2 + φ2).
(21)
2ξ3
(2π)3
чим
Наш бозе-газ удерживается между двумя пла-
Fσ
=
стинами, это означает, что имеется пространствен-
F0
ное ограничение вдоль оси z, вследствие чего вол-
F1
=
,
(19)
новой вектор является квантованным и его можно
4g2ℓm2N2 [-3αξ sh(αℓ/ξ)+2ℓ ch(αℓ/ξ)+4ℓ]2
разделить на две компоненты, а именно, k⊥ — пер-
где
пендикулярную оси z, и kj — параллельную оси z:
{
( αℓ)[
( αℓ)
k2 → k2⊥ + k2j
F1 = Aℏ2
2αξ sh
3Aℏ2 ch
+
ξ
ξ
]
В безразмерном виде получим
( αℓ)}
+ 9Aℏ2 - 4gℓmN
- 4Aℓℏ2 ch
ξ
κ2 → κ2⊥ + κ2j.
(22)
и
4
2m2g3N
После квантования (22) безразмерного волнового
F0 =
ℏ4A4
вектора дисперсионное соотношение для сжатой
Очевидно, что эта сила обращается в нуль на доста-
геометрии можно записать в виде [14]
точно больших расстояниях, а при ℓ → 0 она расхо-
√
дится.
ε(κ⊥, κj ) = gn0 (κ2⊥ + κ2j)(κ2⊥ + κ2j + φ2).
(23)
Зависимость силы поверхностного натяжения от
расстояния L приведена на рис. 2 для тех же зна-
Поскольку мы рассматриваем только нулевые
чений параметров, что и на рис. 1. Имеется два ос-
температуры, т.е. учитываем только квантовые
новных различия по сравнению с результатами для
флуктуации, энергия Казимира принимает вид
390
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
Сила Казимира и сила поверхностного натяжения. . .
∫
∑
gn0
d2κ⊥
Энергия Казимира определяется как конечная
Ω=
×
2ξ2
(2π)2
часть выражения (28), таким образом, используя
j=-∞
√
формулу Эйлера - Маклорена [24]
× (κ2⊥ + κ2j)(κ2⊥ + κ2j + φ2).
(24)
∫
∞
∑
Используя периодическое граничное условие, полу-
1
θnF(n) - F(n)dn = -
F′(0)+
чаем
12
n=0
πj
0
kj =
,
ℓ
1
1
+
F′′′(0) -
F(5)(0) + . . .,
(29)
или в безразмерном виде
720
30240
πj
j
а затем переходя к пределу при Λ → ∞, получим
κj =
≡
,
(25)
L
L
gn0
π2φ
где
L = L/2π.
Ω=-
(30)
ξ2
1440L3
Другой способ вычисления уравнения (24) да-
ет [9]
Заметим, что в рамках квантовой теории поля в од-
нопетлевом приближении параметр порядка являет-
∫
gn0
∑
d2κ⊥
ся постоянной величиной [9, 11, 14].
Ω=
×
2ξ2 L2
(2π)2
Как было отмечено выше, в каноническом ансам-
n=1
√
бле объемная плотность n0 зависит от расстояния,
×
(L2κ2⊥ + j2)(M2 + j2),
(26)
поэтому поправочная длина также зависит от ℓ. С
где
учетом уравнения (14), энергию Казимира (30) мож-
√
но переписать в виде
M =
L κ2⊥ +φ2.
(27)
π2φℏ2
Чтобы исключить из уравнения (26) расходящую-
Ω=-
(31)
1440αmξI0ℓ2
ся часть, введем обрезание по импульсам Λ для κ⊥,
тогда (26) можно записать в виде
Сила Казимира определяется аналогично (18), то-
гда, с учетом (31), получаем
Λ
∫
gn0
Ω=
κ⊥dκ⊥ ×
4πξ2 L2
0
√
∑
×
(L2κ2⊥ + j2)(M2 + j2).
(28)
n=0
FC
M
=
[
(32)
F
0
( αℓ)
( αℓ)]2 ,
1440αm3g3N4ℓ3
2ℓ ch
+ 4ℓ - 3αξ sh
ξ
ξ
где
сунке видно, что сила всегда является притягиваю-
щей, а при ℓ = 0 она расходится. При возрастании
(
)
ℓ
расстояния сила резко убывает.
M = π2A3φℏ4 ch
×
αξ
В завершение данного раздела сравним силу по-
[
(
ℓ
)(
)
( 3ℓ )
верхностного натяжения с силой Казимира. Сразу
× sh
9Aℏ2+4gmNℓ
+9Aℏ2 sh
-
αξ
αξ
видно, что эти силы протвоположны — сила поверх-
(
)
ностного натяжения является отталкивающей, а си-
ℓ
( 3ℓ )]
- 29αmgNξ ch
- 7αmgN ch
ла Казимира — притягивающей. Определим полную
αξ
αξ
силу Ftotal как сумму силы поверхностного натяже-
На рис. 3 показана зависимость силы Казимира от
ния и силы Казимира:
расстояния для рубидия-87 при тех же значениях
параметров, которые были приведены выше. На ри-
Ftotal = Fσ + FC.
(33)
391
Нгуен Ван Тху, Луонг Тхи Теу, Данг Тхань Хай
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
F /FC0
E/0
0
100
80
-2
60
-4
40
-6
20
-8
M
0
-10
-20
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
L
L
Рис. 3. (В цвете онлайн) Зависимость силы Казимира от
Рис. 5. (В цвете онлайн) Зависимость полной энергии от
расстояния
расстояния
F /Ftotal0
5A3ℏ6
Fσ ≈
,
(34)
2m3g3N3ℓ3
300
а из уравнения (32) получаем
250
11π2A5φℏ8
200
F(CE)C ≈ -
ξ.
(35)
192α4m4g4N5ℓ7
150
Заметим, что ξ
∝ ℓ1/2, поэтому из уравнения
100
(35) следует, что сила Казимира пропорциональна
ℓ-13/2, а из уравнения (34) следует, что сила по-
50
верхностного натяжения пропорциональна ℓ-3. Та-
M
ким образом, полная сила является притягивающей
0
в области малых ℓ.
-50
0
2
4
6
8
10
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
L
Рис. 4. (В цвете онлайн) Зависимость полной силы от рас-
В настоящей работе рассматривались силы, воз-
стояния
никающие в разреженном бозе-газе, заключенном
между параллельными пластинами, в случае кано-
нического ансамбля. Были получены следующие ре-
На рис. 4 показана зависимость полной силы от рас-
зультаты.
стояния для рубидия-87 при тех же значениях па-
1. С использованием ДПП было найдено основ-
раметров, которые были приведены выше. На ри-
ное состояние разреженного бозе-газа, заключенно-
сунке видно, что на больших расстояниях полная
го между параллельными пластинами, а затем была
сила является отталкивающей (красная кривая), а
вычислена сила поверхностного натяжения. Оказа-
на малых — притягивающей (синяя кривая). Для
лось, что эта сила является отталкивающей, а когда
рубидия-87 полная сила изменяет свое направление
расстояние между пластинами стремится к нулю,
в точке M при L = 1.0327. Эта точка точно совпада-
она расходится, потому что система не соединена с
ет с точкой, в которой полная энергия E = σ+Ω до-
резервуаром. В области малых ℓ сила поверхностно-
стигает максимального значения (см. рис. 5). Чтобы
го натяжения пропорциональна ℓ-3.
в этом убедиться, разложим эти силы в ряд в обла-
2. Сила Казимира рассматривалась в рамках
сти малых расстояний. Тогда главный член уравне-
квантовой теории поля в однопетлевом приближе-
ния (19) будет иметь вид
нии. Эта сила является притягивающей, а когда
392
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
Сила Казимира и сила поверхностного натяжения. . .
расстояние стремится к нулю, она пропорциональна
6.
Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Int. J. Mod.
ℓ-13/2. Это существенно отличается от результата,
Phys. A 29, 1450078 (2014).
полученного для большого канонического ансамбля.
7.
J. Q. Quach, Phys. Rev. Lett. 114, 081104 (2015).
Кроме того, была подробно рассмотрена полная
сила. Она является либо притягивающей, либо от-
8.
J. Q. Quach, Phys. Rev. Lett. 118, 139901 (2017).
талкивающей, в зависимости от расстояния между
9.
Nguyen Van Thu and Luong Thi Theu, J. Stat. Phys
пластинами. На основании уравнений (34) и (35)
168, 1 (2017).
можно приближенно найти точку M, в которой про-
исходит поворот полной силы:
10.
N. V. Thu, T. H. Phat, and P. T. Song, J. Low Temp.
Phys. 186, 127 (2017).
)1/7
5
1
( 121π4ℏ6A
ℓ0 ≈
(36)
11.
J. Schiefele and C. Henkel, J. Phys. A 42, 045401
4
450m3g3N3
(2009).
В области малых ℓ, ℓ
< ℓ0, сила Казимира
12.
D. Dantchev, M. Krech, and S. Dietrich, Phys. Rev.
преобладает, поэтому полная сила является при-
E 67, 066120 (2003).
тягивающей. Для области больших ℓ ситуация
противоположная.
13.
S. Biswas, Eur. Phys. J. D 42, 109 (2007).
14.
S. Biswas et al., J. Phys. B 43, 085305 (2010).
Благодарности. Авторы благодарят Tran Huu
Phat и Shyamal Biswas за полезные обсуждения.
15.
C. J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Conden-
Финансирование. Работа выполнена при
sation in Dilute Gases, Cambridge University Press
(2008).
финансовой поддержке Vietnam National Foun-
dation for Science and Technology Development
16.
P. Ao and S. T. Chui, Phys. Rev. A 58, 4836 (1998).
(NAFOSTED), грант № 103.01-2018.02.
17.
J. O. Andersen, Rev. Mod. Phys. 76, 599 (2004).
18.
L. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein Conden-
sation, Oxford University Press (2003).
ЛИТЕРАТУРА
19.
I. E. Mazets, Phys. Rev. 65, 033618 (2002).
1. H. B. G. Casimir, Proc. K. Ned. Akad. Wet. 51, 793
20.
D. A. Takahashi, M. Kobayashi, and M. Nitta, Phys.
(1948).
Rev. B 91, 184501 (2015).
2. M. Bordag, U. Mohideen, and V. M. Mostepanenko,
21.
J. O. Indekeu, C.-Y. Lin, N. V. Thu, B. Van Scha-
Phys. Rep. 353, 1 (2001).
eybroeck, and T. H. Phat, Phys. Rev. A 91, 033615
(2015).
3. B. S. Kay, Phys. Rev. D 20, 3052 (1979).
22.
A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of
4. C. Genet, A. Lambrecht, and S. Reynaud, Phys. Rev.
Many-Particle Systems, McGraw Hill, Boston (1971).
A 62, 012110 (2000).
23.
S. Biswas, J. Phys. A 40, 9969 (2007).
5. J. F. Babb, Adv. in Atom. Molec. and Opt. Phys. 59,
24.
D. C. Roberts and Y. Pomeau, arXiv:cond-mat/
1 (2010).
0503757.
393
