ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 394-405

ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОНДУЛЯТОРОВ

С ГАРМОНИКАМИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

А. М. Калитенко, К. В. Жуковский^*

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 4 мая 2019 г.,

после переработки 12 июля 2019 г.

Принята к публикации 12 июля 2019 г.

Исследуется ондуляторное излучение в некоторых мультипериодических магнитных полях. Рассмотре-

ны ондуляторы с плоскими, спиральными и эллиптическими асимметричными магнитными полями с

высшими полевыми гармониками. Для этих ондуляторов получены точные аналитические выражения

обобщенных функций Бесселя и коэффициентов Бесселя. Аналитические результаты сравниваются с

результатами численного моделирования. Анализируется влияние дополнительной третьей гармоники

поля на излучение этих ондуляторов. Для спирального ондулятора с дополнительным асимметричным

полем третьей гармоники выявлено преобладание пятой гармоники ондуляторного излучения над тре-

тьей гармоникой. Проводится трехмерное моделирование изучения лазеров на свободных электронах

с таким ондулятором с помощью созданной нами численной программы, которая учитывает разброс

энергий электронов в пучке и бетатронные колебания. Исследуется двухчастотный ондулятор с гармони-

ческим эллиптически поляризованным магнитным полем и моделируется излучение лазера на свободных

электронах с таким ондулятором.

DOI: 10.31857/S0044451020030025

оси. В настоящее время ондуляторы и их излучение

[4-8] представляют интерес в контексте использова-

ния в ЛСЭ, где взаимодействие электронов с излу-

1. ВВЕДЕНИЕ

чением группирует электроны в сгустки, удаленные

друг от друга на расстояние длины волны излучения

Ондуляторное излучение (ОИ) испускается реля-

[9-17]. Следует отметить, что кроме спонтанного и

тивистскими электронами, которые движутся в пе-

вынужденного ОИ для генерации когерентного из-

риодической системе магнитных полей — ондулято-

лучения в рентгеновском и гамма диапазонах мож-

ре. ОИ имеет ту же природу, что и синхротронное

но использовать обратное комптоновское рассеяние

излучение [1]. Идея ондулятора впервые была вы-

электронами и обратное резонансное рассеяние не

сказана Гинзбургом [2]. Он также предложил дина-

полностью ионизованными ионами фотонов лазер-

мический ондулятор, где электронный пучок дви-

ного пучка оптического диапазона [18].

жется в переменном во времени поле электромаг-

нитной волны, распространяющейся в двухпровод-

Точное аналитическое описание излучения реля-

ной линии. Гинзбург рассмотрел излучение от по-

тивистских зарядов в магнитном поле системы он-

следовательности сгустков электронов, продольные

дуляторов возможно с привлечением обобщенных

размеры которых меньше длины волны генериру-

форм функций Бесселя и Эйри. Описания ОИ в

емого излучения, и подчеркнул, что оно будет ко-

плоском и спиральном ондуляторах включают из-

герентным. Позднее, в середине 20-го века, Мотцом

вестные специальные функции и их относительно

[3] был предложен ондулятор — усилитель лазера на

простые обобщения, в то время как точное описа-

свободных электронах (ЛСЭ), состоящий из после-

ние излучения в составных магнитных полях, состо-

довательности дипольных магнитов с чередующей-

ящих из мультипериодических и непериодических

ся полярностью, равномерно расположенных вдоль

компонент, остается сложной математической про-

блемой. Эти вопросы были рассмотрены в ряде ра-

^* E-mail: zhukovsk@physics.msu.ru

бот [19-31], однако полученные в них различные

394

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Излучение эллиптических ондуляторов...

аналитические результаты не согласуются друг с

2. ИНТЕНСИВНОСТЬ И СПЕКТР ОИ

другом. К сожалению, коэффициенты Бесселя были

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОНДУЛЯТОРА С

рассчитаны ошибочно [20, 31]. Независимо от этого,

АСИММЕТРИЧНОЙ ГАРМОНИКОЙ

МАГНИТНОГО ПОЛЯ

исследования в работах [24, 25] дали противоречи-

вые результаты.

Как известно, синусоидальное поле ондулятора

Ранее и, возможно, впервые, тема ондуляторов

является идеализацией реального поля ондулятора.

с полями сложных конфигураций была предложе-

В нем могут присутствовать и другие поля с крат-

на в работах [32-34] для получения жесткого цир-

ным периодом. Обычно эти дополнительные поля

кулярно-поляризованного гамма-излучения на выс-

слабы, но амплитуда третьей гармоники поля может

ших гармониках ОИ и его конверсии в среде в про-

достигать 10 % от амплитуды основного поля H₀.

дольно поляризованные позитроны. В работе [35]

Это влияет на структуру ОИ [39]. Такие ондулято-

была решена обратная задача по нахождению рас-

ры могут увеличивать мощность излучения высших

пределения поля ондулятора, в котором излучение в

гармоник и коэффициенты усиления, подобно тому

направлении оси ондулятора линейно поляризовано

как в гироприборах с двухчастотной группировкой

и строго монохроматично при оптимальных услови-

растет степень группировки электронов за счет кон-

ях генерации. Поле такого ондулятора в основном

структивного взаимодействия на двух разных гар-

описывается суммой первой и третьей гармоник.

мониках [45-47]. К примеру, в работе [48] предла-

В настоящей работе мы получили и исследовали

галось оптимизировать работу лазера путем захва-

явные аналитические выражения для коэффициен-

та электронных сгустков высокочастотным электро-

тов Бесселя и интенсивностей ОИ с новыми конфи-

магнитным полем. В эксперименте [39] использовал-

гурациями магнитных полей в ондуляторах с гар-

ся ондулятор KAERI с магнитным полем

моническим эллиптически поляризованным магнит-

ным полем, которые для краткости будем называть

H = H0 (sin(k_λz) - dsin(hk_λz),cos(k_λz) +

эллиптическими (см. подробнее работу [36]). В пре-

+ dcos(hk_λz),0), h = 1,2,3,...

(1)

дельных случаях эти выражения описывают спи-

ральный и плоский ондуляторы с учетом гармоник

в нашем случае с параметрами h = 3, d = 0.0825,

поля и корректируют некоторые результаты работ

k_λ = 2π/λ_u = 2.21622, λ_u = 2.3 см — период онду-

[19-31]. Спектральные интенсивности ОИ с учетом

лятора. Резонансные длины волн излучения, испус-

разброса энергии и размеров пучка электронов про-

каемого электронами под углом θ к оси ондулятора,

верены путем независимого численного моделирова-

представлены ниже (n — номер гармоники):

ния с помощью программы SPECTRA [37, 38]. Ин-

тенсивности ОИ для спирального ондулятора с ан-

λ_u

[

]

λ_n =

1 + k2eff + (γθ)²

(2)

тисимметричной гармоникой поля сопоставлены и

2nγ²

согласуются с экспериментальными данными [39].

где

В отличие от работы [40], где изучался частный

k2eff = k2x,eff + k2y,eff ,

случай спирального ондулятора с гармониками по-

[

]

ля, в настоящей работе получены аналитические вы-

⁽d)2

ражения для интенсивности и спектра ОИ в асим-

k_x,eff = k_y,eff = k√1

(3)

метричных эллиптических ондуляторах с высшими

гармониками магнитного поля. С их помощью мы

eH₀ λ_u

определяем конфигурацию поля ондулятора для ге-

mc² 2π

нерации доминирующих третьей и пятой гармоник

— фактор Лоренца для электрона. Вычисляя

ОИ. Проводится моделирование излучения ЛСЭ с

спектральную плотность в ондуляторном поле (1),

учетом гармоник поля в ондуляторе. Для этого при-

мы получаем для обобщенных функций Бесселя сле-

меняются специально разработанная нами числен-

дующие точные аналитические выражения:

ная программа трехмерного моделирования ЛСЭ и

феноменологическая модель ЛСЭ [41-44]. Послед-

∫

няя допускает произвольные магнитные поля и лег-

J_n,m(ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄, ξ₅) =

dα ×

2π

ко реализуется в программе Mathematica для быст-

-π

рой и реалистичной оценки излучаемой мощности

× exp{i [nα + ξ₁ cosα + ξ₂ cos(hα) -

и эволюции коэффициентов группировки вдоль оси

- ξ3 sinα + ξ4 sin(hα) - ξ5 sin((h + 1)α)]},

(4)

ЛСЭ.

395

А. М. Калитенко, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

где

Расчет характеристик излучения и эволюции мощ-

ности гармоник в ЛСЭ представляет собой более

2mkγθ cosϕ

ξ₁ =

ξ₂ =

ξ₁,

сложную и трудоемкую задачу. Он обычно выполня-

1 + k²[1 + (d/h)²] + γ²θ²

h²

ется в компьютерных программах, где численно ре-

ξ₃ = ξ₁ tg ϕ, ξ₄ =

ξ₁ tg ϕ,

(5)

шаются уравнения движения и поля излучения для

h²

каждой гармоники. Это требует достаточно большо-

2mdk

ξ₅ =

го времени, специальных программ и подготовлен-

h(h + 1){1 + k²[1 + (d/h)²] + γ²θ²}

ного для работы с ними персонала. Быструю оценку

ϕ — полярный угол в плоскости, перпендикулярной

можно выполнить с помощью феноменологической

оси ондулятора. Используя выражение (4), получа-

модели, откалиброванной и проверенной в экспери-

ем следующие коэффициенты Бесселя для спонтан-

ментах с ЛСЭ [41-44]. Обобщение феноменологиче-

ного излучения гармоник ОИ под углом θ к оси он-

ской модели для эллиптических ондуляторов было

дулятора:

дано в работе [40]. Попытка аналитически связать

степень уширения спектральных линий спонтанного

T_n,x =

γθ Jn,n cosϕ + i(Jn+1,n - Jn-1,n) +

излучения со степенью усиления соответствующих

гармоник ЛСЭ была предпринята в работе [49], в

(Jn+h,n - J_n-h,n),

(6)

которой была установлена приблизительная корре-

ляция между потерями в спонтанном и вынужден-

ном излучениях.

T_n,y =

γθ Jn,n sinϕ - (Jn+1,m + Jn-1,m) +

(Jn+h,m + J_n-h,m) .

(7)

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТРЕТЬЕЙ

Последние учитываются в следующем выражении

ГАРМОНИКИ ПОЛЯ НА ОИ ПЛОСКОГО

для полной интенсивности ОИ в телесный угол Ω:

ДВУХЧАСТОТНОГО ОНДУЛЯТОРА

d²I

e²N²γ²k²

В данном разделе обобщены исследования, про-

dω dΩ

c(1 + k2eff + γ²θ²)²

веденные в работах [19-31]. В отличие от аналити-

∑

⁽ν_n

)(

)

ческого формализма обобщенных функций Бесселя,

n² sinc²

|T_n,x|² + |T_n,y|²

(8)

который позволяет исследовать излучение ондуля-

n=-∞

тора с практически любой конфигурацией магнит-

где N

— число периодов в ондуляторе, ν_n

ного поля, численный расчет с готовыми програм-

= 2πnN[(ω/ω_n) - 1] — параметр расстройки, ω_n =

мами возможен лишь для нескольких относительно

= 2πc/λ_n — резонансные частоты ОИ. При θ = 0 вы-

простых конфигураций полей ондуляторов. Напри-

ражение (4) упрощается, аргументы ξ₁, . . . , ξ₄ в (5)

мер, с использованием программы SPECTRA [37,38]

исчезают и остается только аргумент ξ₅. При d = 0

можно численно рассчитать ОИ с магнитным полем

получаем спиральный ондулятор:

H = H0 (0,sin(k_λz) + dsin(hk_λz),0),

f1;x,y = 1, fn=1 = 0,

(9)

k_λ = 2π/λ_u,

h = 1,2,3.

где fn;x = |T_n,x|, fn;y = |Tn,y|. Численное модели-

рование излучения ондулятора KAERI с полем (1)

С помощью гармоник поля H можно увеличить

было проведено в работе [39]. Некоторые предвари-

или уменьшить мощность высших гармоник ОИ

тельные оценки возможного излучения ЛСЭ с та-

в зависимости от выбора d и h в выражении (9)

ким ондулятором были сделаны в работах [40, 44].

[20,23-25,31]. Резонансы ОИ с полем (9) приходятся

Одним из основных источников потерь ОИ и

на длины волн (2), где

уширения его спектральных линий является раз-

брос энергии σ_e электронного пучка и отклонение

√

электронов от оси ондулятора на угол θ. Их можно

⁽d)2

k_eff =

√

учесть, вычислив интеграл

∫

∞

(

)

d²I(ν_n+2πnNε, θ)

ε²

√

exp

dε.

Точный расчет ОИ с полем (9) приводит к следую-

dω dΩ

2π σ

2σ²

щим обобщенным функциям Бесселя:

-∞

396

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Излучение эллиптических ондуляторов...

(

)

∫

{

Параметры пучка и ондулятора таковы: энергия

J_n,m ξ_m, ξ(i)

dφ cos nφ + ξ(1)m sin φ +

электронов E_e = 151.9 МэВ, γ = 297.26, мощность

2π

электронного пучка P_E = 8.05 ГВт, плотность тока

+ ξ(2)msin(φh)+ξ(3)msin[φ(h - 1)]+ξ(4)msin[φ(h + 1)] +

J = 4.35 · 10⁸ А/м², полное сечение пучка Σ_full =

}

= 1.219 · 10-7 м², ток I₀ = 53 А, разброс энергий

+ ξ(5)msin(2φh) + ξm sin2φ

(10)

электронов σ_e

= 0.0009, ондуляторный параметр

k = 2.1 и период ондулятора λ_u = 2.8 см.

где

Численные и аналитические результаты хорошо

ξ_m =

(

)

согласуются между собой (см. рис. 1-6), что под-

k²

d²

+ (γθ)

тверждает обоснованность нашего подхода. Неболь-

h²

шое количественное несоответствие для очень силь-

8ξ_mγθ cosϕ

dξ₁

ной третьей гармоники поля с d = -1.22 на рис. 6

ξ(1)m =

ξ(2)m =

(11)

h²

связано с тем, что программа SPECTRA, по-види-

4dξ_m

мому, учитывает относительно слабые возмущения

ξ(3)m =

ξ(4)m =

h(h-1)

h(h + 1)

основного поля ондулятора, в то время как анали-

d²ξm

тический формализм этим не ограничивается. Фор-

ξ(5)m =

h³

мулы (10)-(12) и другие формулы, представленные

Они формируют амплитуды интенсивности ОИ для

ниже, могут использоваться для анализа и оценки

гармоник с номером n = 1, 2, 3, 4, 5, . . .:

однопроходного излучения ЛСЭ с высоким коэффи-

циентом усиления, например, с помощью проверен-

ной в ЛСЭ-экспериментах феноменологической мо-

T_n,x = Jn-1,n+Jn+1,n+

(Jn+h,n+J_n-h,n) +

дели [40-44] и ее дальнейшего развития в [50].

2γθ cosϕ

2γθ sinϕ

J_n,n, T_n,y =

J_n,n.

(12)

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТРЕТЬЕЙ

ГАРМОНИКИ ПОЛЯ НА СПЕКТР ОИ

Для обычного плоского ондулятора d = 0, а T_n сво-

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВУХЧАСТОТНОГО

дится к обычным функциям Бесселя J_n(ξ₀ ≡ ξ|d=0),

ОНДУЛЯТОРА

которые дают хорошо известные коэффициенты

Качество спектральной линии ОИ зависит от

Бесселя на оси ондулятора:

электронного пучка. Для ондулятора с полем (1)

мы выбрали согласно работе [39] следующие пара-

f_n = Jn-1

(-ξ₀) + J n+1 (-ξ₀).

метры: λu = 2.3 см, N

= 30, k = 2.21622, h =

= 3, d = 0.0825, энергия электронов E_e = 6.5 МэВ,

Интенсивность спонтанного ОИ электрона в поле (9)

= 12.72, эмиттансы ε_x

= 1.5 мм·мрад, ε_y

[22, 23] описывается выражением (8) с учетом (12).

= 0.35 мм·мрад, параметры Твисса β_x = 43.66 см,

Дополнительные постоянные магнитные компо-

β_y = 28.75 см, углы расходимости θ_x = 4.5 мрад и

ненты поля были правильно учтены в работе [30].

θ_y = 1.6 мрад. Ожидаемая интенсивность ОИ с уче-

Здесь мы не рассматриваем бетатронные колебания,

том разброса энергий электронов в пучке представ-

которые возникают из-за отклонения пучка элек-

лена на рис. 7. Так как пучок имеет конечные попе-

тронов от оси поля. В работе [44] для этого пред-

речные размеры и расходимости, возникают четные

лагается ввести феноменологический угол исходя из

гармоники, которые в идеальном случае отсутству-

геометрии пучка, что дает реалистичные оценки.

ют. Вторая гармоника заметна и составляет 2-3 %

Мы сравнили интенсивности гармоник ОИ в ши-

от первой (см. рис. 7), что согласуется с работой

роком диапазоне напряженности поля третьей гар-

[39]. Пятая гармоника излучения также была заре-

моники ондулятора. Результаты получены как ана-

гистрирована и составляет ≈ 1.7-2.0 % от основно-

литически по формулам (10), (11) (см. графики сле-

го тона. Она имеет большую мощность, чем третья

ва на рис. 1-6), так и численно с помощью програм-

гармоника ОИ.

мы SPECTRA (см. графики справа на рис. 1-6). Рас-

Мы также рассмотрели случай поля (1) с d = 0.3

четы сделаны для N = 150 периодов, чтобы лучше

и провели сравнение относительных величин мощ-

различать спектры ОИ. Амплитуда третьей гармо-

ностей (см. рис. 7). Форма линий ОИ может быть

ники поля ондулятора задана отношением d напря-

продемонстрирована аналогично тому, как это сде-

женности второй компоненты поля к напряженно-

лано в работах [22-30]; мы опускаем это для крат-

сти основного поля H₀ в выражении (9), равным

кости.

d = -1.22, -0.41, -0.244, 0, 0.41, 0.73.

397

А. М. Калитенко, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

= 0.001

= 0.004

= 0.001

= 0.004

2.0

1.5

1.0

0.5

0 0

0.5

1.0

1.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0 0

0.5

1.0

1.5

2.0

I, отн. ед.

Рис. 7. Интенсивности гармоник ОИ с полем (1) на оси с учетом разброса энергий электронов: d = 0.0825 (а) и d = 0.3 (б);

γ = 12.72, оценка для энергетического разброса σe = 0.001 и σe = 0.004 соответственно

I, отн. ед.

0.8

0.6

0.4

0.2

Рис. 8. Интенсивности гармоник

ОИ с полем (1) на оси для d = 0.0825 (а) и d = 0.3 (б); γ = 1570,

εnorm

= 3 · 10-6 мм·мрад, β = 0.4 м

P, Вт

|b|

10⁸

1.0

10⁶

0.8

10⁴

0.6

10²

0.4

0.2

10^-2

100

150

200

100

150

200

Рис. 9. Эволюция мощности гармоник (а) и коэффициента группировки электронов (б) в зависимости от номера пери-

ода N в ЛСЭ с полем ондулятора (1) в режиме суперлюминесценции (самоусиления спонтанного излучения) с γ = 300,

σe = 0.02 · 10-2, εnorm = 2 мкм·рад, β = 2 м, I0 = 100 А, λu = 3 см, k = 3.5, d = 0.3, h = 3: n = 1 (кривые 1), n = 3 (2),

n = 5 (3)

400

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Излучение эллиптических ондуляторов...

Рассмотрим ондулятор с полем (1) с пучком экс-

ниже, справедливы в случаях l = h. Такая комби-

перимента SACLA: γ

= 1570, эмиттанс ε_norm

нация полей удобна, так как является обобщением

= 3 мм·мрад/γ, параметр Твисса β = 0.4 м [39]

эллиптических ондуляторов с конфигурациями по-

(рис. 8).

лей sin-sin и sin-cos. При d₂ = 0 имеем конфигура-

Интенсивности гармоник обеих поляризаций из-

цию sin-sin, а при d₁ = 0, соответственно, sin-cos.

лучения одинаковы, поэтому для них показана од-

Аналитический формализм следует из общего под-

на диаграмма. Интенсивность второй гармоники до-

хода, представленного, например, в работах [20, 35].

стигает 10 % от интенсивности первой (рис. 8). Ин-

Он заключается в выделении осциллирующей части

тенсивность пятой гармоники при d = 0.3 в (1) до-

в экспоненте выражения для спектральной интен-

стигает 15 % от интенсивности первой (см. рис. 8б).

сивности, которая после некоторых манипуляций с

Присутствуют также и другие высшие гармоники.

индексами и рядами становится обобщенной функ-

При этом пятая гармоника превалирует в спонтан-

цией Бесселя.

ном излучении.

При расчете ОИ в поле (13) получаем следующие

Представляет интерес рассмотреть ЛСЭ с онду-

обобщенные функции Бесселя:

лятором, аналогичным KAERI: вблизи оси ондуля-

∫π

тора обе поляризации дают одинаковый вклад в ин-

J^mn(ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄, ξ₅, ξ₆, ξ₇, ξ₈) =

dα ×

2π

тенсивность каждой из гармоник. Для данного он-

-π

дулятора была сделана программа трехмерного мо-

× exp{i [nα + ξ₁ sin(hα) + ξ₂ cos(lα) + ξ₃ sinα +

делирования излучения ЛСЭ с параметрами k = 3.5,

+ ξ4 sin(2α) + ξ5 sin(2hα) + ξ6 sin(2lα) +

d = 0.3, h = 3. Получаем лазер, в котором пятая гар-

+ ξ7 cos((l + h)α) + ξ8 cos((l - h)α)]},

(14)

моника излучения преобладает над третьей (рис. 9).

Основной тон является доминирующим, как и в

где

случае плоского ондулятора, так как коэффициент

mk²

ξ₄ =

[

]

(15)

Бесселя для первой гармоники практически равен

)₂

k²

⁽d₁)²

⁽d₂

единице. При d = 0 получаем спиральный ондуля-

+γ²θ²

тор, в котором генерируется только первая гармо-

ника на оси.

8d₁

8d₂

ξ₁ =

γθξ₄ cosϕ, ξ₂ =

γθξ₄ cosϕ,

kh²

kl²

d²¹

d²²

ξ₃ =

γθsinϕξ₄, ξ₅ =

ξ₆ = -

ξ₄

(16)

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ОИ ДВУХЧАСТОТНОГО

h³⁴ξ⁴,

l³

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОНДУЛЯТОРА

4d₁d₂

ξ₇ =

ξ₄, ξ₈ =

ξ₄.

hl(l + h)

hl(l - h)

Рассмотрим следующую нетривиальную конфи-

Амплитуды Tn;x,y для x- и y-поляризаций ОИ имеют

гурацию магнитного поля ондулятора с кратными

вид

периодами:

d₁

(

)

T_n,x =

γθJⁿⁿ cosϕ +

Jnn+h + J^nn-h

H = H0 (sin(k_λz),d1 sin(hk_λz) +

(

)

Jnn+l - J^nn-l

(17)

+ d2 cos(lk_λ,z),0), l = h, l,h = 1,2,3,...

(13)

В пределе d₁ = 0, d₂ = 0 и d₁ = 0, d₂ = 0 фор-

(

)

T_n,y =

γθJⁿⁿ sinϕ +

Jnn+1 + Jnn-1

(18)

мула (13) описывает поле эллиптического ондуля-

тора. Выражения для коэффициентов Бесселя для

где J^mn ≡ J^mn(ξ1,2,3,4,5,6,7,8(m)) (см. (14)). Для длин

ондуляторов с гармоническим эллиптически поля-

волн резонансов ОИ (8) используется эффективный

ризованным магнитным полем наилучшим образом

ондуляторный параметр

[

]

)₂

представлены в работе [35]. При d₁ = h = 1 получа-

k²

⁽d₁)²

⁽d₂

ем плоский ондулятор, а при d₁ = 0, а d₂ = l = 1 —

k2eff =

(19)

спиральный ондулятор.

По оси x в конфигурации магнитного поля (13)

где k

= H₀λ_ue/2πm_ec², а полная интенсивность

присутствует обычное синусоидальное поле, как в

определяется формулой (8) с учетом (9). В большин-

плоском ондуляторе; по оси y имеем комбинацию

стве установок γθ ∼ 10-2, (γθ)² ≪ 1. Для d₁ = 0,

полей кратных частот с синусом и косинусом. Сле-

d₂ = 1 и l = 1 получаем спиральный ондулятор с

дует сразу уточнить, что формулы, представленные

коэффициентами Бесселя T1;x,y = 1 и Tn=1 = 0.

401

ЖЭТФ, вып. 3

А. М. Калитенко, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

I, отн. ед.

0.5

0.30

0.25

0.4

0.20

0.3

0.15

0.2

0.10

0.1

0.05

Рис. 10. Интенсивности гармоник ОИ с полем (13) на оси с учетом эмиттанса и разброса энергии при k = 2.21622, h =

d1 = 1, d2 = 0.3, l = 1, σe = 0.9 · 10-3, N = 150 для y-поляризации (а) и x-поляризации (б)

P, Вт

104e

10⁸

6.5

6.0

n = 1

5.5

10⁴

5.0

10²

4.5

z, м

Рис. 11. Оценка мощности x-поляризованного излучения для n = 1, 3, 5 (а) и эволюция энергетического разброса элект-

ронов (б) вдоль оси ЛСЭ с эллиптическим ондулятором (13), h = 3, d1 = 1, d2 = 0.25, l = 1, k = 2.216, λu = 2.3 см,

параметры электронного пучка из эксперимента SACLA: γ = 1570, I = 300 A, σe = 4.5 · 10-4, β = 5 м, εx,y = 3 мм·мрад

Рассмотрим ондулятор с полем

бенностями. Выберем k = 2.21622, λ_u = 0.023 м,

как в работе [39], и рассмотрим пучок с γ = 11.8,

H = H0 (sin(k_λz),sin(3k_λz) + 0.3cos(k_λz),0),

ε_norm = 0.925/γ мм·мрад, β = 0.37 м. Тогда полу-

т. е. в выражении (13) h = 3, l = 1, d₁ = 1, d₂ = 0.3.

чаем следующие значения коэффициентов Бесселя

ОИ при этом обладает довольно интересными осо-

f_n,x, f_n,y:

⎧

⎫

⎨ 0.347327, 0.00460441, 0.295931, 0.00249113, 0.224602, 0.00214126,

⎬

fx;n=1,...,11 =

(20)

⎭

⎩ 0.145829, 0.00234819, 0.0935949, 0.00233896, 0.0636811

⎧

⎫

⎨ 0.79742, 0.0018173, 0.394852, 0.00215424, 0.191188, 0.00239025,

⎬

fy;n=1,...,11 =

(21)

⎭

⎩ 0.0986364, 0.00215422, 0.0602848, 0.00173364, 0.0429623

402

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Излучение эллиптических ондуляторов...

(жирным шрифтом выделены гармоники, дающие

Обратим внимание на правую диаграмму на

преобладающий вклад в излучение). Заметим, что

рис. 10. Третья и пятая гармоники ОИ с x-поляри-

в (20) коэффициент Бесселя для основного тона в

зацией более чем в три раза сильнее основного тона

x-поляризации, fx;1 ≈ 0.35, близок по величине к

соответственной поляризации; в y-поляризации тре-

коэффициенту Бесселя третьей гармоники, fx;3 ≈

тья гармоника также сильнее основного тона.

≈ 0.30, и пятая гармоника также имеет близкое зна-

Для генерации высших гармоник ОИ целесооб-

чение коэффициента Бесселя, fx;5 ≈ 0.22. Безраз-

разно использовать поле (13) с h = 3, l = 1, d₁ = 1,

мерные интенсивности гармоник ОИ представлены

d₂ = 0.25. Соответствующие коэффициенты Бесселя

на рис. 10.

для x-поляризации таковы:

{

}

0.291609, 0.00426642, 0.279681, 0.00217237, 0.217977, 0.00196355,

fx;n=1,...,11 =

(22)

0.145185, 0.00224461, 0.0969743, 0.00229411, 0.0688733

В y-поляризации излучения преобладает основ-

метрии реальных пучков. Наши результаты хорошо

ной тон; предполагается, что эту поляризацию мож-

согласуются с экспериментом. Интенсивность вто-

но отфильтровать. Эволюция мощности x-поляри-

рой гармоники ОИ из-за конечного размера пучка

зации излучения и разброса энергии электронов

составляет 2-3 % от интенсивности первой гармо-

по длине ондуляторов ЛСЭ, полученная с помо-

ники. Мы показали, что слабая третья гармоника

щью феноменологической модели [40], показана на

ондуляторного поля, около 10 % от основного пе-

рис. 11. Мощность третьей гармоники ЛСЭ с дли-

риодического поля H₀, d = 0.1, h = 3, порожда-

ной волны λ₃ = 6 нм растет быстрее, чем мощность

ет пятую гармонику в спектре ОИ. При этом мощ-

основного тона с λ₁ = 18 нм. Их выход на насыще-

ность ее излучения составляет менее 2 % от мощно-

ние происходит примерно на одной длине ондулято-

сти основного тона, что согласуется с эксперимен-

ра. Генерация третьей гармоники идет в линейном

том. Более сильная третья гармоника поля ондуля-

режиме вплоть до насыщения, и ее мощность насы-

тора, d = 0.3, обеспечивает мощность пятой гармо-

щения даже немного превышает мощность основно-

ники ОИ на уровне 10-25 % от мощности основно-

го тона. Разброс энергии, вызванный основным то-

го тона. Вторая гармоника излучения ЛСЭ вызвана

ном этой поляризации, является малым. Рассмот-

конечным размером и фокусировкой пучка электро-

ренный пример демонстрирует, что эллиптические

нов.

бигармонические ондуляторы могут быть использо-

Мы изучили ОИ эллиптического асимметрично-

ваны в ЛСЭ для генерации поляризованных гармо-

го бигармонического ондулятора с магнитным по-

ник с большой мощностью излучения без примене-

лем (13). Получены точные аналитические выраже-

ния сдвига фаз для подавления основного тона.

ния для коэффициентов Бесселя и интенсивности

гармоник ОИ в терминах обобщенных функций Бес-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

селя. Определены параметры h = 3, l = 1, d₁ = 1,

В настоящей работе мы рассмотрели ондуля-

d₂ = 0.3 для эллиптического бигармонического он-

торное излучение в мультипериодических ондуля-

дулятора, которые дают малые значения коэффици-

торах и получили, используя формализм обобщен-

ентов Бесселя для основного тона в x-поляризации

ных функций Бесселя, строгие аналитические выра-

и одновременно с этим большие значения коэффи-

жения для коэффициентов Бесселя и интенсивно-

циентов Бесселя для третьей и пятой гармоник ОИ.

стей ОИ с учетом размера пучка и разброса энер-

В спектре спонтанного ОИ этого ондулятора в x-по-

гии электронов. Мы сравнили аналитические ре-

ляризации пятая гармоника самая сильная, за ней

зультаты для некоторых ондуляторов с численны-

следует третья, а первая гармоника оказывается

ми результатами, полученными нами в программе

слабой. В y-поляризации третья гармоника самая

SPECTRA, и получили хорошее согласие между ни-

сильная, следующая по мощности первая гармони-

ми.

ка. Моделирование однопроходного ЛСЭ с таким он-

Для ОИ спирального ондулятора с антисиммет-

дулятором показало, что мощность третьей гармо-

ричной высшей гармоникой поля (1) получены точ-

ники излучения с x-поляризацией достигла мощно-

ные аналитические выражения для коэффициентов

сти основного тона в конце ЛСЭ без использования

Бесселя и интенсивности излучения с учетом гео-

сдвига фаз и подавления роста основной гармоники.

403

А. М. Калитенко, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Таким образом, проведенные нами исследова-

14.

P. Schmüser, M. Dohlus, J. Rossbach, and C. Beh-

ния ОИ эллиптических бигармонических ондуля-

rens, Free-Electron Lasers in the Ultraviolet and

торов демонстрируют определенные преимущества

X-Ray Regime, Springer Tracts Mod. Phys. Springer

Internat. Publ., Switherland (2014).

последних в генерации гармоник по сравнению с

обычными ондуляторами и позволяют вести их

15.

C. Pellegrini, Phys. Scr. 2016, 014004 (2016).

дальнейшее изучение на основе полученных нами

16.

G. Margaritondo and P. R. Ribic, J. Synchrotron

точных аналитических выражений.

Rad. 18, 101 (2011).

Благодарности. Авторы благодарят А. В. Бо-

17.

G. Margaritondo, Rivista Nuovo Cim. 40, 411 (2017).

рисова и В. Ч. Жуковского за полезные обсуждения.

18.

W. Placzek, A. Abramov, S. E. Alden et al., in XXV

Один из авторов (А. М. К.) выражает благодарность

Cracow Epiphany Conference on Advances in Heavy

Фонду развития теоретической физики и математи-

Ion Physics, 8-11 January 2019, Cracow, Poland,

ки «Базис» за оказанную поддержку.

https://arxiv.org/abs/1903.09032.

19.

K. Zhukovsky, J. Opt. 20, 095003 (2018).

ЛИТЕРАТУРА

20.

G. Dattoli, V. V. Mikhailin, P. L. Ottaviani, and

K. Zhukovsky, J. Appl. Phys. 100, 084507 (2006).

Л. А. Арцимович, И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 16,

379 (1946).

21.

G. Dattoli, A. Doria, L. Giannessi, and P. L. Otta-

viani, Nuclear Instrum. Meth. Phys. Res. A 507, 388

В. Л. Гинзбург, Изв. АНСССР, сер. физ. 11, 1651

(2003).

(1947).

22.

К. В. Жуковский, Вестник МГУ, серия 3: физика,

H. Motz, W. Thon, and R. N. J. Whitehurst, Appl.

астрономия, вып. 4, 18 (2015).

Phys. 24, 826 (1953).

23.

K. Zhukovsky, Laser Part. Beams 34, 447 (2016).

Д. Ф. Алферов, Ю. А. Башмаков, Е. Г. Бессонов,

24.

J. Hussain and G. Mishra, Nucl. Instr. Meth. Phys.

ЖТФ 43, 2126 (1973).

Res. A 656, 101 (2011).

Д. Ф. Алферов, Ю. А. Башмаков, П. А. Черенков,

25.

G. Mishra, M. Gehlot, and J.-K. Hussain, Nucl. Instr.

УФН 157, 389 (1989).

Meth. Phys. Res. A 603, 495 (2009).

В. Г. Багров, Г. С. Бисноватый-Коган, В. А. Бор-

26.

K. Zhukovsky, Nucl. Instr. Meth. B 369, 9 (2016).

довицын, Теория излучения релятивистских час-

тиц, Физматлит, Москва (2002).

27.

K. Zhukovsky, J. Appl. Phys. 122, 233103 (2017).

28.

К. В. Жуковский, Изв. вузов, физика 60, вып. 9

В. Г. Багров, И. М. Тернов, Б. В. Холомай, Излуче-

(2017).

ние релятивистских электронов в продольном пе-

риодическом электрическом поле кристалла, ТФ

29.

K. Zhukovsky, Opt. Comm. 353, 35 (2015).

СО АН СССР, Томск (1987).

30.

K. Zhukovsky, J. Electromagn. Wave 29, 132 (2015).

Н. А. Винокуров, Е. Б. Левичев, УФН 185, 917

31.

Q. Jia, Phys. Rev. ST-AB 14, 060702 (2011).

(2015).

32.

Е. Г. Бессонов, Препринт ФИАН № 18 (1982).

B. W. J. McNeil and N. R. Thompson, Nature Photo-

nics 4, 814 (2010).

33.

В. И. Алексеев, Е. Г. Бессонов, в сб. Труды VI Все-

союзн. совещ. по использованию синхротронного

10.

C. Pellegrini, A. Marinelli, and S. Reiche, Rev. Mod.

излучения СИ-84, ИЯФ СО АН СССР, Новоси-

Phys. 88, 015006 (2016).

бирск (1984), с. 92.

11.

Z. Huang and K. J. Kim, Phys. Rev. ST-AB 10,

34.

E. G. Bessonov, Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. A 282,

034801 (2007).

405 (1989).

12.

E. L. Saldin, E. A. Schneidmiller, and M. V. Yurkov,

35.

V. I. Alexeev and E. G. Bessonov, Nucl. Instr. Meth.

The Physics of Free Electron Lasers, Springer-Verlag,

Phys. Res. A 308, 140 (1991).

Berlin, Heidelberg (2000).

36.

А. А. Коломенский, И. В. Синильщикова,

13.

R. Bonifacio, C. Pellegrini, and L. Narducci, Opt.

Е. Г. Бессонов и др., Труды ФИАН 214, 193

Comm. 50, 373 (1984).

(1993), ISSN 0203-5820.

404