ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 428-441

ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА КРОССИНГ-РЕЗОНАНСА

ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

В. А. Игнатченко^*, Д. С. Полухин^**

Институт физики им. Л. В. Киренского,

ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 30 июня 2019 г.,

после переработки 9 августа 2019 г.

Принята к публикации 15 августа 2019 г.

Исследован кроссинг-резонанс двух волновых полей различной природы, m(x, t) и u(x, t), в неоднородной

среде с нулевым средним значением параметра связи η между полями. Рассмотрены этапы формирова-

ния тонкой структуры спектра кроссинг-резонанса. В модели независимых кристаллитов показано, что

снятие вырождения собственных частот этих полей в точке кроссинг-резонанса является пороговым по

величине параметра связи эффектом и происходит, если η > ηc, где ηc = |Γu - Γm|/2, Γu и Γm — пара-

метры релаксации соответствующих волновых полей. При η > ηc каждая случайная реализация функций

G′′

Грина

и G^′′uu волновых полей имеет стандартную для кроссинг-резонансов форму двух резонанс-

ных пиков с одинаковой полушириной (Γu + Γm)/2 и интервалом 2η между ними. При η < ηc функции

G′′

и G^′′uu различны: если Γu > Γm, то

представляет собой узкий пик резонанса при ω = ωr, а

G′′

— более широкий резонансный пик, расщепленный на вершине узким антирезонансом. Усреднение

по областям η > ηc приводит к формированию широкого резонанса с полушириной резонансной линии

порядка 〈η²〉1/2 на обеих усредненных функциях Грина, обусловленного стохастическим распределени-

ем резонансных частот. Усреднение по областям с η < ηc приводит к обострению пика резонанса на

функции G^′′mm и пика антирезонанса на функции G^′′uu на одной и той же частоте ω = ωr. В результа-

те формируется картина кроссинг-резонанса в неоднородной среде: одинаковые широкие пики на обеих

функциях с узким пиком резонанса тонкой структуры на функции G^′′mm и антирезонанса на функции

G^′′uu. Таким образом, тонкая структура спектра любого кроссинг-резонанса двух волновых полей раз-

личной природы в неоднородной среде обязана своим происхождением вкладам случайных реализаций,

соответствующих вырожденным состояниям частот собственных колебаний системы. В ферромагнетике

с пространственной неоднородностью параметра связи, возникают затухания спиновых и упругих волн,

Γm(k) ∝ kcvm и Γu(k) ∝ kcvu, пропорциональные корреляционному волновому числу kc неоднородно-

стей и скоростям соответствующих волн, которые суммируются с однородными затуханиями Γm и Γu

тех же волн. Эта ситуация рассмотрена в рамках нового самосогласованного приближения для случая,

когда вклад однородных затуханий пренебрежимо мал. Показано, что вид тонкой структуры на функциях

G^′′mm и G^′′uu в точке второго (высокочастотного) пересечения дисперсионных кривых спиновых и упругих

волн меняется на противоположный: узкие пики резонанса тонкой структуры возникают на функции G^′′uu

и антирезонанса — на функции G^′′mm, так как vm < vu в точке первого, и vm > vu в точке второго

пересечения.

DOI: 10.31857/S0044451020030049

синг-резонанса двух взаимодействующих волновых

полей различной физической природы, в однород-

ной среде исследован [1-9] как теоретически, так и

1. ВВЕДЕНИЕ

экспериментально. В области кроссинг-резонанса,

происходящего при пересечении дисперсионных

Магнитоупругий (магнитоакустический) резо-

кривых двух взаимодействующих волновых по-

нанс, представляющий собой один из видов крос-

лей, снимается вырождение собственных частот

системы, энергетические уровни раздвигаются и

^* E-mail: vignatch@iph.krasn.ru

^** E-mail: polukhin@iph.krasn.ru

появляются два резонансных пика на частотных

428

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Тонкая структура спектра кроссинг-резонанса волновых полей. . .

зависимостях мнимых частей функций Грина, рас-

чениях корреляционного волнового числа k_c (k_c =

стояние между которыми определяется параметром

= r-1c, где r_c — радиус корреляций неоднороднос-

связи ε между волновыми полями. Первоначальные

тей параметра связи ε(x)), ширины широких пи-

исследования кроссинг-резонанса в среде с неод-

ков определяются величиной среднеквадратичной

нородным параметром связи ε(x), где x = {x, y, z}

флуктуации параметра связи Δε, а ширины узких

[10-13], проведенные в рамках приближения Бурре

пиков резонанса и антирезонанса — величиной k_c.

[14] (однократное рассеяние волн на неоднороднос-

Это позволяет измерять независимо обе эти глав-

тях параметра связи), предсказали существование

ные характеристики неоднородностей. С ростом k_c

стимулированного беспорядком кроссинг-резонанса

происходит резкое обменное сужение широкого пика

в среде с нулевым средним значением параметра

и рост ширин узких пиков резонанса и антирезонан-

связи. Однако адекватное описание свойств этого

са, что приводит к постепенному исчезновению по-

явления в этом приближении было невозможно; для

следних. Была исследована также ситуация, когда и

этого необходим был учет многократного рассеяния

среднеквадратичная флуктуация Δε и среднее зна-

волн на неоднородностях параметра связи.

чение ε параметра связи отличны от нуля [17, 18].

В работах [15-18] для учета многократного рас-

Метод стандартного SCA позволил исследовать

сеяния мы использовали самосогласованное прибли-

основные особенности кроссинг-резонанса в неодно-

жение (self consistent approximation, SCA) [19-22],

родной среде. Вместе с тем проявились и недостат-

которое широко применяется для приближенного

ки этого метода. Хорошо известный дефект мето-

вычисления функций Грина. В различных областях

да — куполообразная форма резонансных кривых —

физики это приближение именуется по-разному

приводит к целому ряду дефектов при сближении

(приближение Мигдала, Крейчнана, SCA Борна),

пиков кроссинг-резонансов: появляются изгибы на

поэтому в этих и последующих работах мы ис-

склонах пиков мнимых частей функций Грина, воз-

пользовали сначала термин приближение непере-

никает ложный центральный пик, не связанный с

секающихся корреляций, а затем — стандартное

явлением тонкой структуры, и т. д. Эти дефекты в

SCA. В стандартном SCA фигурируют диаграм-

ряде случаев могли поставить под сомнение некото-

мы только с непересекающимися линиями корреля-

рые выводы наших работ, и нужен был следующий

ций/взаимодействий, так как при выводе его учи-

шаг по улучшению используемого приближения. В

тывается лишь первый член разложения вершин-

работах [23-32] развивались различные подходы к

ной функции в ряд (т. е. полагается, что вершинная

учету вершинных поправок к собственной энергии

функция равна единице).

или к функции Грина, но, несмотря на достигнутый

Стандартное SCA было обобщено на случай двух

значительный прогресс, расхождение между резуль-

взаимодействующих волновых полей разной фи-

татами различных подходов остается пока весьма

зической природы со стохастически неоднородным

значительным. В работе [33] мы вывели для случая

параметром связи между этими полями, среднее

одного волнового поля новое SCA, учитывающее как

значение которого равно нулю. В рамках разви-

первый, так и второй члены ряда вершинной функ-

того метода исследован обусловленный беспоряд-

ции.

ком кроссинг-резонанс, возникающий на пересече-

Новое SCA содержит в себе, в качестве предель-

нии дисперсионных кривых спиновых и упругих

ных случаев, все приближения более низкого уров-

волн. Учет процессов многократного рассеяния волн

ня: стандартное SCA и приближение Бурре (Бор-

на неоднородностях привел к результатам, суще-

на). В работе [34] нами проведено сравнение ново-

ственно отличным от тех, которые были получе-

го SCA с различными существующими приближе-

ны для такой ситуации ранее [10-13] в приближе-

ниями, а также с численным моделированием реше-

нии Бурре. Вместо снятия вырождения частот в

ния волнового уравнения для среды с одномерными

спектре волн и раздвоения резонансных пиков ди-

неоднородностями. Показано, что новое SCA обла-

намических восприимчивостей, в точке пересечения

дает несомненными преимуществами при исследова-

невозмущенных дисперсионных законов на каждой

нии проблем стохастической радиофизики в средах

из мнимых частей функций Грина спиновых G^′′m и

с длинноволновыми неоднородностями, так как зна-

упругих G^′′u волн должен наблюдаться широкий од-

чительно лучше, чем стандартное SCA, описывает

номодовый пик, на вершине которого возникает тон-

форму, ширину и высоту резонансных линий. Раз-

кая структура в виде узких пиков резонанса и анти-

витый математический метод нового SCA был ис-

резонанса на мнимых частях функций Грина соот-

пользован в работе [35] для анализа магнитоупру-

ветственно G^′′m и G^′′u. Показано, что при малых зна-

гого резонанса в среде с частично или полностью

429

В. А. Игнатченко, Д. С. Полухин

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

∂u

стохастизованным параметром связи. Метод приме-

α(∇² + ν_m)m - ε(x)M

= -h,

(1)

ним в широком интервале значений корреляционно-

∂z

го волнового числа неоднородностей k_c: от k_c = 0

(бесконечного радиуса корреляций) до значений k_c,

∂

μ(∇² + ν_u)u + M

(ε(x)m) = -f,

(2)

соответствующих классическому пределу.

∂z

Основной результат, обусловленный новым мето-

где α — параметр обмена, μ — силовая упругая

дом - значительное улучшение формы резонансных

константа, M — постоянная намагниченности вдоль

пиков динамической восприимчивости, что приве-

внешнего постоянного магнитного поля H (ампли-

ло к исправлению всех дефектов, полученных в ра-

туда поперечных циркулярных проекций m ≪ M),

ботах [15-18]. При этом результаты, описывающие

h — внешнее переменное магнитное поле, перпенди-

уширение и сближение пиков магнитоупругого ре-

кулярное полю H, f — внешняя объемная сила.

зонанса и слияние их в один широкий пик с ростом

Здесь введены обозначения

среднеквадратичной флуктуации Δε и уменьшени-

ем среднего значения ε параметра связи, получен-

ω-ω₀

ω²

ν_m =

ν_u =

(3)

ные ранее в рамках стандартного SCA, качествен-

αgM

v²

но сохраняются и в новом SCA. Главное, был под-

где g — гиромагнитное отношение, ω — частота,

твержден эффект возникновения тонкой структуры

ω₀ — частота однородного ферромагнитного резо-

спектра в виде узкого резонансного пика на функ-

нанса, которая зависит от магнитного поля H и раз-

ции Грина спиновых волн и узкого провала (анти-

√

магничивающих факторов образца, v_u =

μ/p —

резонанса) на функции Грина упругих волн. Этот

скорость упругой волны, p — плотность среды.

эффект должен проявляться при взаимодействии

Представим магнитоупругий параметр ε(x) в ви-

любых волновых полей различной физической при-

де

роды. Гипотеза о происхождении эффекта тонкой

структуры обсуждалась в работах [15-18]. Однако

ε(x) = ε + Δερ(x),

(4)

точный ответ на этот вопрос не был получен вви-

ду сложности математического аппарата теории и

где ε — среднее значение этого параметра, Δε — его

необходимости использовать численные методы при

среднеквадратичная флуктуация, а ρ(x) — центри-

получении конкретных результатов.

рованная (〈ρ(x)〉 = 0) и нормированная (〈ρ²(x)〉 = 1)

Целью данной работы является объяснение

случайная функция координат. Угловые скобки

природы возникновения тонкой структуры спектра

означают среднее по ансамблю реализаций этой слу-

кроссинг-резонанса. Для этого мы рассматриваем

чайной функции.

магнитоупругий резонанс в обеих точках пересе-

Стохастические свойства неоднородностей ρ(x)

чения дисперсионных кривых спиновых и упругих

характеризуются корреляционной функцией K, за-

волн (разд. 2) и кроссинг-резонанс в модели неодно-

висящей от разности координат r = x - x^′,

родной среды с бесконечным радиусом корреляций

K(r) = 〈ρ(x)ρ(x + r)〉

(5)

(разд. 3).

или связанной с ней преобразованием Фурье спект-

ральной плотностью неоднородностей

∫

2. МАГНИТОУПРУГИЙ РЕЗОНАНС В

S(k) = K(r)e-ik·rdr.

(6)

ОБЕИХ ТОЧКАХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

ДИСПЕРСИОННЫХ КРИВЫХ

Подставляя уравнение (4) в систему уравнений

2.1. Система уравнений матричных функций

(1) и (2), перепишем систему в матричном виде:

Грина

[

]

^L(x) -

^R(x)

Z(x) =

F (x),

(7)

Как и в работах [15-18], рассмотрим связанную

где

систему двух скалярных уравнений для резонанс-

⎡

⎤

εM ∂

ных циркулярных проекций намагниченности m и

∇² + ν_m

∂z

⎥

упругих смещений u, в которых неоднородным явля-

^L(x) =^⎣

⎦,

(8)

εM ∂

ется только безразмерный параметр магнитоупру-

∇² + ν

∂z

гой связи ε(x), где x = {x, y, z}:

430

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Тонкая структура спектра кроссинг-резонанса волновых полей. . .

⎡

⎤

Δε

∂

M ρ(x)

⎢

∂z

⎥

^R(x) =

⎢

(

)

⎥,

(9)

⎣

⎦

Δε

∂

ρ(x) + ρ(x)

∂z

[

]

[

]

αm

-h

и уравнения для матричной вершинной функции

Γ,

Z(x) =

F (x) =

(10)

μu

-f

Γ(x′, x₁; x₂) ≈ δ(x^′ - x₂)δ(x^′ - x₁) Ê +

Из этой формы записи видно, что нормирован-

∫∫∫∫

ными переменными для связанной системы уравне-

+γ²

K(x₁, x₄)Γ(x^′, x₃; x₄

J X(x₃,x₅)×

ний являются величины αm и μu. Эту нормировку

мы используем и при введении неусредненной мат-

× Γ(x₅, x₆; x₂

J X(x₆,x₁)dx₃dx₄dx₅dx₆,

(16)

ричной функции Грина системы, записав для нее

уравнение в виде

где K(x₁, x₄) — корреляционная функция,

[

]

^L(x) -

^R(x)

G(x, x₀) = δ(x - x₀)^Ê

(11)

^X (x₁, x^′′) =

Ê₁(x₁)^Ĝ(x₁, x^′′)Ê1(x^′′),

[

√

]

α/μ

(17)

Здесь

J =

√

[

]

μ/α

G_mm(x, x₀)

G_mu(x, x₀)

G(x, x₀) =

(12)

G_um(x, x₀)

G_uu(x, x₀)

Δε

где

G_mm (Guu) и

G_mu (Gum) — спиновые (упру-

γ =

(18)

√αμM,

гие) функции Грина соответственно при магнитном

и упругом точечном возбуждениях, δ(x-x₀) — дель-

ĝ(x, x₀) — функция Грина однородной среды, кото-

та-функция,

Ê— единичная матрица:

рая является решением уравнения

[

]

Ê₌

(13)

^L(x)ĝ(x, x₀) = δ(x - x₀

(19)

Проводя преобразование Фурье всех матричных

Для нахождения усредненной функции Грина

величин

используем новое SCA [33], которое для кроссинг-ре-

∫

зонанса имеет вид системы трех связанных матрич-

Y (x) = (2π)^-d

Y_keik·xdk,

(20)

ных уравнений [35]: уравнения Дайсона для усред-

ненной матричной функции Грина

^Ĝ,

∫∫

∫

^Ĝ(x, x₀) = ĝ(x, x₀) +

^Ĝ(x, x^′

E₁(x^′)×

Y_k =

Y (x)e-ik·xdx,

(21)

× Σ(x^′, x^′′) Ê1(x^′′)ĝ(x^′′, x₀) dx^′dx^′′,

(14)

где d — размерность пространства, получаем сис-

уравнения для матричной собственной энергии

Σ,

тему двух связанных самосогласованных уравне-

∫∫

ний для матричных функций Грина

Ĝ и вершинной

функции

Γ, которая по своей структуре аналогична

Σ(x^′, x^′′) = γ²

K(x₂, x^′′)Γ(x^′, x₁; x₂) ×

системе уравнений нового SCA для одного волново-

×Jˆ^X(x₁,x^′′

J dx₁dx₂

(15)

го поля [33]:

Ĝ_k =

∫

(22)

ĝ-^1k - γ²(2π)^-d Ê⁽¹⁾

Sk-k1

J Xk1Γk,k-k1JˆÊ(2)

dk₁

Γ_k

∫

(23)

1,k-k1 ≈

Ê- γ²(2π)^-d Sk1-k2^Γk2,k1-k

J Xk2JˆXk-k1+k2 dk2

431

В. А. Игнатченко, Д. С. Полухин

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Здесь

где r = |x - x^′|, k_c — корреляционное волновое чис-

ло неоднородностей (r_c = k-1c — корреляционный

X_k

Ĝ_k

= Ê^(2)k

Ê⁽¹⁾,

(24)

радиус неоднородностей).

[

]

При исследовании тонкой структуры в обеих

ν_m - k²

-i(ε/μ)Mk_z

ĝ-^1k =

точках пересечения дисперсионных кривых спино-

i(ε/α)Mk_z

ν_u - k²

вых и упругих волн рассмотрим матричную функ-

[

]

(25)

цию Грина в случае полной стохастизации парамет-

g_mm(k) ig_mu(k)

ĝk =

ра связи: ε = 0 и Δε = 0, когда тонкая структура

-ig_um(k) g_uu(k)

проявляется наиболее ярко. Тогда система уравне-

[

]

[

]

ний (22)-(28) упрощается: все недиагональные эле-

Ê⁽¹⁾

Ê⁽²⁾

(26)

менты обращаются в нуль, поскольку G_mu(k)

-ik_z

ik_z

= G_um(k) ∝ ε, и исходные функции Грина ĝ_k вы-

Матричную функцию Грина

Ĝ_k представим ана-

ражаются в явном виде. Диагональные элементы

логично исходной матричной функции Грина ĝ_k в

для численного анализа удобно записать в виде ре-

виде

куррентных формул соответственно для спиновых и

[

]

G_mm(k) iG_mu(k)

упругих волн:

Ĝ_k =

(27)

-iG_um(k) G_uu(k)

[

∫

G(n)mm(k) = g-1mm(k)-γ²

k²¹S(k-k₁) ×

Компоненты исходной матричной функции Гри-

2π

на ĝ_k имеют вид

]-1

× G(n-1)uu(k₁)Γ(m)(k1, k - k1) dk1

(33)

ν_u - k

g_mm(k) =

(ν_m - k²)(ν_u - k²) - γ²⁰k²

(ε/μ)Mk_z

[

∫

g_mu(k) =

(ν_m - k²)(ν_u - k²) - γ²⁰k²

G(n)uu(k) = g-1uu(k)-γ²k²

S(k-k₁) ×

(28)

2π

(ε/α)Mk_z

]-1

g_um(k) =

(ν_m - k²)(ν_u - k²) - γ²⁰k²

× G(n-1)mm(k₁)Γ(m)(k1, k - k1) dk1

(34)

ν_m - k

g_uu(k) =

(ν_m - k²)(ν_u - k²) - γ²⁰k2

[

где

Γ(m)mm(k₁, k - k₁) ≈

1-γ²

2π

∫

γ₀ =

(29)

√αμM.

× (k-k₁+k₂)²S(k₁-k₂)Γ(m-1)mm(k₂, k₁-k₂) ×

Амплитуды m и u выражаются через усреднен-

]-1

ные функции Грина следующим образом:

× G(n)mm(k₂)G(n)(k - k1 + k2) dk2

(35)

m(k) = -

[G_mm(k)h(k) + iG_mu(k)f(k)] ,

(30)

[

u(k) = -

[G_uu(k)f(k) - iG_um(k)h(k)] .

(31)

Γ(m)uu(k₁, k - k₁) ≈

1-γ²

2π

∫

)×

× k²²S(k₁ - k₂)Γ(m-1)uu(k₂, k₁ - k₂

2.2. Исследование элементов матричной

]-1

функции Грина

× G(n)uu(k₂)G(n)

(k - k₁ + k₂) dk₂

(36)

В дальнейшем ограничиваемся одномерными

неоднородностями параметра связи ε(x)

= ε(x).

Тогда во всех уравнениях (20)-(31) d = 1 и вектор

g_mm(k) =

g_uu(k) =

(37)

k имеет одну компоненту k_x

= k. Моделируем

ν_m - k²

ν_u - k²

корреляционные свойства случайной функции ρ(x)

где верхний индекс «n» соответствует итерацион-

экспоненциальной корреляционной функцией

ному процессу для функции Грина, а верхний ин-

2k_c

декс «m» — итерационному процессу для вершин-

K(r) = exp (-k_c|x - x^′|) , S_k =

(32)

k2c

+k²

ной функции.

432

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Тонкая структура спектра кроссинг-резонанса волновых полей. . .

Первое приближение уравнений (33)-(36) нахо-

дим, подставляя Γm0m = 1, Γuu = 1, Gm0m = gmm,

Guu = guu в подынтегральные выражения

G(1)mm(k) =

[

∫

]-1

γ²

= g-1mm(k)-

k²S(k-k1)guu(k1) dk1

(38)

2π

G(1)uu(k) =

[

∫

]-1

γ²k²

= g-1uu(k)-

S(k-k₁)g_mm(k₁) dk₁

(39)

2π

Γ(1)mm(k₁, k - k₁) ≈

k₁

k₂

k₃

k₄

k₅

[

∫

γ²

≈ 1-

(k - k₁ + k₂)²S(k₁-k₂) ×

2π

Рис. 1. Законы дисперсии. Прямая линия — закон дис-

]-1

персии упругих волн, три параболы — законы дисперсии

× g_mm(k₂)g_uu(k - k₁ + k₂)dk₂

(40)

спиновых волн при различных значениях частоты ω0 од-

нородного ферромагнитного резонанса. Точки ωn, kn соот-

ветствуют пересечению (n = 1, 2, 4, 5) или касанию (n = 3)

[

∫

γ²

дисперсионных кривых

Γ(1)uu(k₁, k - k₁) ≈

k²²S(k₁-k₂) ×

2π

]-1

× g_uu(k₂)g_mm(k - k₁ + k₂)dk₂

(41)

Здесь l = 1, 2, 3 и ω⁽¹⁾⁰ < ω⁽²⁾⁰ < ω⁽³⁾⁰ соответству-

ют штриховой синей, штрихпунктирной красной и

пунктирной черной кривым. Дисперсионные кривые

После подстановки S(k) в форме (32) интегрирова-

в точках ω_n и k_n пересекаются (n = 1, 2, 4, 5) или ка-

ние можно выполнить с помощью теории вычетов

саются (n = 3) друг друга.

или численно, добавляя мнимую величину к частоте

Диагональные компоненты усредненной функ-

iδ, чтобы избежать расходимости в интегралах. При

ции Грина (33) и (34), которые численно рассчита-

этом должны выполняться неравенства δ ≪ v_uk_c и

ны, представляем в виде суммы действительной G^′

δ ≪ v_mk_c, где v_m = 2gMαk — скорость спиновых

и мнимой G^′′ частей:

волн, чтобы релаксация волн была обусловлена рас-

сеянием на неоднородностях параметра связи, а не

G_jj(k) = G^′jj(k) + iG^′′jj(k),

на этой искусственной добавке. Полученные выра-

жения (38)-(41) подставляем в систему (33)-(36) и

где j принимает значения m или u. На рис. 2 показа-

проводим численное интегрирование. Затем продол-

ны зависимости мнимых частей функций Грина от

жаем процесс итерационных подстановок и числен-

частоты для каждого значения ω_n, k_n. Расчет прове-

ных интегрирований в системе уравнений (33)-(36)

ден при корреляционном волновом числе неоднород-

до получения сходящегося результата.

ностей k_c, много меньшем значений волновых чисел

Дисперсионные кривые спиновых и упругих волн

k_n. С увеличением n ширина пиков в каждой точке

приведены на рис. 1 при пренебрежении взаимодей-

пересечения кривых увеличивается, а их амплиту-

ствием между волновыми полями. Прямой линией

да уменьшается. В первых двух точках пересечения

показан закон дисперсии для упругих волн,

кривых n = 1, 2 скорость распространения упругих

волн больше скорости спиновых волн. На рис. 2 это

ω=v_uk,

(42)

появляется в виде тонкой структуры в форме узкого

три параболы — законы дисперсии для спиновых

провала на вершинах мнимых частей функций Гри-

волн при различных значениях частоты ω₀ однород-

на упругих волн и узкого пика на вершинах мнимых

ного ферромагнитного резонанса,

частей функций Грина спиновых волн. В последних

двух точках, n = 4, 5, наоборот, скорость спиновых

ω = ω(l)0 + αgMk².

(43)

волн больше скорости упругих волн и, соответствен-

433

ЖЭТФ, вып. 3

В. А. Игнатченко, Д. С. Полухин

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

new

танных в более грубом стандартном SCA. В этом

приближении в уравнениях (33) и (34) полагается

Γ_mm(k₁, k - k₁) = 1 и Γ_uu(k₁, k - k₁) = 1, уравнения

(35) и (36) отбрасываются, а упрощенные таким об-

разом уравнения (33) и (34) становятся полной си-

стемой уравнений самосогласования. На рис. 3 вид-

но, как хорошо известный дефект метода стандарт-

ного SCA — куполообразная форма резонансных пи-

ков — искажает более близкую к реальности карти-

ну, полученную на рис. 2 с помощью нового SCA.

Однако качественно характер зависимости тонкой

структуры от отношения скоростей взаимодейству-

Рис. 2. Мнимые части функций Грина спиновых G^′′newmm (ω)

ющих волн появляется вне зависимости от того, бы-

(штриховые кривые) и упругих G^′′newuu(ω) (сплошные кри-

ло ли использовано стандартное или новое SCA.

вые) волн, рассчитанные в новом SCA, в окрестностях час-

Обсудим возможность и условия наблюдения

тот пересечения (ω1, ω2, ω4, ω5) и касания (ω3) дисперси-

рассчитанных в этом разделе эффектов. Рассчитан-

онных кривых. Расчет проведен при kc/k3 = 0.01

ная высокочастотная восприимчивость χ_g(ω, k), как

следует из общего выражения (30), определяется

sta

функцией Грина:

m(ω, k_r)

G(ω, k_r)

χ_g(ω, k_r) =

(44)

Расчет проведен в неограниченном пространстве

при фиксированном значении волнового числа k =

= k_r, где k_r соответствует магнитоупругому ре-

зонансу. Зависимость χ_g

от частоты представля-

ет собой непрерывную кривую, монотонно убываю-

щую во всей области частот, за исключением узкой

окрестности частоты ω_r магнитоупругого резонан-

са; только эта окрестность представляет интерес для

Рис.

3. Мнимые части функций Грина спиновых

нас.

G^′′stamm(ω, k) (штриховые кривые) и упругих G^′′stauu(ω, k)

Прямой метод наблюдения эффектов магнито-

(сплошные кривые) волн, рассчитанные в стандартном

упругого резонанса — это экспериментальное ис-

SCA, в окрестностях частот пересечения (ω1, ω2, ω4, ω5) и

следование формы высокочастотной восприимчиво-

касания (ω3) дисперсионных кривых. Расчет проведен при

kc/k3 = 0.01

сти спин-волнового резонанса на тонких магнитных

пленках. Однако вид экспериментально наблюдае-

мой высокочастотной восприимчивости χ_m(ω, k) су-

но, тонкая структура имеет вид, противоположный

щественно отличается от рассчитанной восприим-

структуре в точках n = 1, 2. Здесь узкий провал

чивости χ_g(ω, k) в неограниченном пространстве.

наблюдается на вершинах мнимых частей функций

Ограниченность пленки приводит к дискретности

Грина спиновых волн, а пик — на вершинах мнимых

спектра спиновых волн ω_p(k_p) и, соответственно, к

частей функций Грина упругих волн. В точке каса-

дискретным пикам восприимчивости χ_m(ω_p, k_p) при

ния дисперсионных кривых, n = 3, скорости упру-

ω = ω_p в отсутствие затухания. Уширение линий

гих и спиновых волн одинаковы, и тонкая структу-

спин-волнового резонанса благодаря затуханию или

ра спектра отсутствует. Амплитуда тонкой структу-

стохастическому распределению частот, обусловлен-

ры на вершинах мнимых частей функций Грина за-

ному неоднородностями, приводит к тому, что наб-

висит от отношения скоростей взаимодействующих

людаемая зависимость χ_m от частоты представляет

волн: чем больше это отношение, тем ярче проявля-

собой непрерывную кривую с максимумами при ω =

ются узкие резонанс и антирезонанс.

= ω_p. Для проявления эффектов магнитоупругого

На рис. 3 для каждого значения ω_n, k_n пока-

резонанса необходимо выполнение условия совпаде-

зан вид тех же зависимостей мнимых частей функ-

ния волнового числа k_p одного из этих резонансов с

ций Грина от частоты, что и на рис. 2, но рассчи-

волновым числом k_r:

434

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Тонкая структура спектра кроссинг-резонанса волновых полей. . .

∫

k_r = k_p = πp/d,

(45)

Ǧ_mm(ω, k) =

G_mm(ω, k; ρ)f(ρ)dρ,

(49)

∫

где d — толщина пленки, p = 1, 2, 3, . . . Это ра-

Ǧ_uu(ω, k) =

G_uu(ω, k; ρ)f(ρ)dρ.

(50)

венство может быть достигнуто подбором толщины

пленки. Следует также учесть, что при эксперимен-

Здесь мы дополним эту модель включением фено-

тальном измерении χ_m(ω_p, z) происходит самоусред-

менологических затуханий Γ_m и Γ_u соответственно

нение отклика по толщине пленки:

спиновых и упругих волн. Мы рассматриваем час-

тоты в окрестности частоты ω_r магнитоупругого ре-

∫

зонанса при значении волнового числа k = k_r. По-

〈m_p〉 =

m(ω_p, z) dz.

(46)

этому мы ограничимся только одной ветвью диспер-

−d/2

сионной кривой упругих волн и запишем диагональ-

ные функции Грина связанных спиновых и упругих

Таким образом, из-за различия моделей рас-

волн в следующем представлении:

чета и условий наблюдения (неограниченное про-

ω - ω_u - iΓ_u

странство и тонкая пленка) можно ожидать толь-

G_mm(ω) =

(51)

(ω-ω_m-iΓ_m)(ω-ω_u-iΓ_u)-η²

ко качественное соответствие между рассчитанной

χ_g(ω, k_r) и наблюдаемой χ_m(ω, k_r) высокочастот-

ω - ω_m - iΓ_m

G_uu(ω) =

(52)

ными восприимчивостями. Однако все особенно-

(ω-ω_m-iΓ_m)(ω-ω_u-iΓ_u)-η²

сти тонкой структуры магнитоупругого резонанса,

где

рассчитанные для χ_g(ω, k_r), будут проявляться на

χ_m(ω, k_r), если уширение линий спин-волнового ре-

ω_m = ω₀ + ω_Mαk²,

(53)

зонанса благодаря затуханию много меньше ушире-

ω_u = v_uk,

(54)

ния, обусловленного стохастическим распределени-

^√ω_Mω_u

ем частот.

η ≈ ΔεM

ρ.

(55)

2μ

Рассмотрим уравнения (51) и (52) при k = k_r, когда

ω_m = ω_u = ω_r:

3. МОДЕЛЬ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ТОНКОЙ

СТРУКТУРЫ В СПЕКТРЕ

ζ - iΓ_u

КРОССИНГ-РЕЗОНАНСА

G_mm(κ) =

(56)

(ζ - iΓ_m)(ζ - iΓ_u) - η²

ζ - iΓ_m

Для демонстрации происхождения тонкой струк-

G_uu(κ) =

(57)

(ζ - iΓ_m)(ζ - iΓ_u) - η²

туры спектра кроссинг-резонанса в среде с неодно-

родным параметром связи мы используем простую

где ζ = ω - ω_r. Из равенства нулю знаменателя этих

модель с бесконечным радиусом корреляции (k_c = 0,

уравнений получаем действительные и мнимые час-

модель независимых кристаллитов), которая описы-

ти частоты собственных колебаний как функции па-

вается уравнениями (63) из работы [35]. В этом слу-

раметра связи η:

чае случайные функции ρ(x) превращаются в слу-

{

чайные величины ρ, стохастические свойства кото-

ω_r,

η<η_c,

ω^′± =

√

(58)

рых описываются некоторой функцией распределе-

ω_r ±

η² - η2c, η > η_c,

ния f(ρ), которая в общем случае может иметь про-

{

√

Γ±

η² - η2c, η < η_c,

извольную форму. Элементы матричной функции

ω^′′± =

(59)

Γ,

η>η_c,

Грина, зависящие от величин ρ, для случая полной

стохастизации параметра связи (ε = 0 и Δε = 0)

где

принимают вид

η_c =

|Γ_u - Γ_m|,

(60)

ν_u - k

G_mm(ω, k; ρ) =

(47)

(ν_m - k²)(ν_u - k²) - (γρk)²

Γ=

(Γ_u + Γ_m).

(61)

ν_m - k

G_uu(ω, k; ρ) =

(48)

(ν_m - k²)(ν_u - k²) - (γρk)²

Зависимости ω^′ и ω^′′ от параметра связи η показа-

ны на рис. 4. Видно, что снятие вырождения собст-

Усредненные функции Грина определяются выра-

венных частот является пороговым по величине па-

жениями

раметра связи η эффектом. Действительные части

435

В. А. Игнатченко, Д. С. Полухин

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Рис. 4. Действительная (а) и мнимая (б) части частоты (черные сплошные кривые) и положения максимумов мнимых

частей функций Грина

G′′

(красная штриховая кривая) и

G′′

(синяя штрихпунктирная кривая) в зависимости от

параметра связи η. Критическое значение η = ηc разделяет вырожденную и невырожденную части спектра

частоты остаются вырожденными (ω′+ = ω^′- = ω_r)

при изменении параметра связи от нуля до крити-

2 m

ческого (порогового) значения η = η_c, определяемо-

го уравнением (60). Затем вырождение снимается,

щель Δω = ω′+ - ω^′- в спектре возникает и растет

с ростом η, достигая максимальной величины при

η=η_m,

√

Δω = 2

η2m - η2c ,

(62)

– m

- c

где η_m соответствует максимальному значению па-

Рис. 5. Модель функции распределения f(η)

раметра связи в данном материале. Мнимые части

ω^′′± частот, в отличие от действительных частей, вы-

рождены в интервале изменения η от η_c до η_m. Зату-

(модули η_c одинаковы по определению, см. уравне-

хание собственных частот ω^′′± в этом интервале оди-

ние (60)).

наково и определяется полусуммой затуханий Γ_m и

Простейшая симметричная прямоугольная

Γ_u. При η < η_c вырождение мнимых частей частот

функция распределения случайных реализаций па-

снимается: ω′′+ растет, а ω^′′- уменьшается при умень-

раметра связи, f(η), при отличной от нуля разности

шении η, достигая предельных значений ω′′+ = Γ_u

затуханий в системе двух взаимодействующих

и ω^′′- = Γ_m при η = 0. Для отрицательных значе-

волновых полей показана на рис. 5. Области в ин-

ний параметра связи каждый из графиков на рис. 4

тервалах 0 < |η| < |η_c| характеризуются тем, что в

обладает зеркальной симметрией, если модули мак-

них собственные частоты ω^′± вырождены, несмотря

симальных величин η_m одинаковы для η > 0 и η < 0

на присутствие взаимодействия η. Вырождение сни-

436

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Тонкая структура спектра кроссинг-резонанса волновых полей. . .

мается только в заштрихованных на этом рисунке

числитель функции

G′′

(ζ) имеет неглубокий ши-

областях, когда η превосходит пороговое значение

рокий минимум, который подавляется резким мак-

η_c. Подчеркнем, что появление незаштрихованных

симумом знаменателя. Из равенства нулю производ-

G′′

допороговых областей связано не с затуханием, а

ной функции

(ζ) следует, что при этом должен

с разностью затуханий: при Γ_u = Γ_m вырождение

наблюдаться один максимум при ω = ω_r. Числитель

снимается при любом |η| = 0.

функции

G′′

(ζ) при этом имеет узкий резкий мини-

Мнимые части случайных реализаций функций

мум при ω = ω_r, который проявляется на фоне более

Грина

G_mm и

G_uu имеют вид

широкого максимума знаменателя. В результате два

максимума на этой функции должны наблюдаться

Γ_u η² + ζ²Γ_m

G′′

при Γ_u > 2Γ_m на частотах

(ζ; η) =

(63)

(ζ² - η²)² + 4Γ²ζ²

√

Γ_m η² + ζ²Γ_u

G′′

2Γ_m

(ζ; η) =

(64)

ω_± = ω_r ± Γ

(69)

(ζ² - η²)² + 4Γ²ζ²

Γ_u

где

Красная жирная кривая на рис. 6б, соответствую-

η² = η² + Γ_uΓ_m.

(65)

щая этой ситуации, похожа на соседние тонкие кри-

вые, относящиеся к области снятия вырождения.

G′′

Функции

(ζ) и

(ζ) при различных дискрет-

Однако, как видно из формулы (69), расщепление

ных значениях η показаны на рис. 6. Серия кривых

ее максимума на два пика не означает появления

при различных значениях η > 1.5η_c соответствует

щели в спектре. Интервалы между этими максиму-

областям снятия вырождения, заштрихованным на

мами уменьшаются при дальнейшем уменьшении η

рис. 5. Здесь на каждой кривой наблюдаются обыч-

(рис. 6б, красная пунктирная кривая). Зависимость

ные два максимума при значениях ζ1,2 ≈ ±η. Функ-

от η интервала между пиками приведена на рис. 4a

ции

G′′

(ζ) и

G′′

(ζ) принимают в этих максимумах

(красная штриховая кривая). На рис. 4a показано

примерно равные значения:

также положение максимумов функции

G′′

(ζ) в



зависимости от η (синяя штрихпунктирная кривая).

G′′



(ζ)

≈ G^′′mm(ζ)

≈

(66)

Видно, что функции, описывающие зависимости по-

ζ²=η²

2Γ

G′′

ложения максимумов функций

(ζ) и

(ζ) от

При уменьшении η мы приближаемся к критичес-

η, существенно отличаются от функций, описываю-

кой величине η_c, и начинает проявляться различие

щих зависимости собственных частот от η.

G′′

функций

(ζ) и

(ζ). Один пик имеется при

Случайные реализации на рис. 6 можно рассмат-

η < 1.5ηc на функции

G′′

(ζ) и два пика — на

ривать как функции Грина однородных образцов

G′′

функции

(ζ) (синие штриховые кривые). Осо-

с соответствующими значениями параметра η. При

бенно сильные различия между этими функциями

G′′

этом каждая из функций

, образца с

проявляются в области, соответствующей вырожде-

η > η_c имеет одинаковую форму, стандартную для

нию частот колебаний η ≤ η_c. При η = η_c выражения

кроссинг-резонансов (одна из тонких черных кри-

(63) и (64) упрощаются:

вых на каждом из рис. 6а и 6б), а форма функций

G′′

и G^′′uu для образца с η < η_c различна и соответ-

ζ²Γ_m + Γ_uΓ

G′′

(ζ) =

(67)

ствует резонансу и антирезонансу (красные кривые

(ζ² + Γ²)²

соответственно на рис. 6а и 6б) тонкой структуры

ζ²Γ_u + Γ_mΓ

G′′

(ζ) =

(68)

спектра.

(ζ² + Γ²)²

Обе ситуации, соответствующие невырожденно-

Этим выражениям соответствуют красные сплош-

му и вырожденному спектрам собственных частот,

ные жирные кривые на рис. 6. Математические кон-

можно наблюдать и в одном соответствующим об-

струкции обоих формул (67) и (68) одинаковы. Зна-

разом ориентированном монокристалле. Во многих

менатель соответствует одному резонансному мак-

веществах величина и знак параметра η различны

симуму в точке ζ = 0, а числитель — резонансному

вдоль разных кристаллографических осей [36, 37].

минимуму в этой же точке. Характеристики резо-

Например, в монокристалле железа параметр η > 0

нансного максимума одинаковы для обеих функций,

вдоль осей типа [100] и η < 0 вдоль осей [111] и имеет

G′′

(ζ) и

G′′

(ζ), тогда как характеристики резо-

промежуточные значения вдоль других направле-

нансных минимумов резко различны при различных

ний. В ситуации с ориентированным монокристал-

Γ_u и Γ_m. Если, как в нашем случае, Γ_u > Γ_m, то

лом, как и в ситуации с веществами с разными η,

437

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Тонкая структура спектра кроссинг-резонанса волновых полей. . .

спектры, соответствующие вырождению и снятию

ными параметрами релаксации соответствующих

вырождения, можно наблюдать только раздельно.

волн Γ_m и Γ_u является пороговым эффектом. Оно

Проведем теперь усреднение выражений (63) и

происходит, если величина η превосходит критиче-

(64) для мнимых частей функций Грина по η с функ-

ское значение η_c = |Γ_u - Γ_m|/2. Формы функций

G′′

цией распределения (см. рис. 5) методом численно-

Грина

полей m(x, t) и u(x, t) резко

го интегрирования (рис. 7). Видно, что на графи-

различны в средах с вырождением частот (η < η_c)

ках усредненных функций Грина G^′′mm(ζ) и G^′′uu(ζ)

и в средах со снятым вырождением (η > η_c). В

в рассмотренной модели четко проявляется основ-

средах со снятым вырождением (η > η_c) каждая из

G′′

ная особенность явления тонкой структуры магни-

функций Грина,

, имеет стандартную

тоупругого резонанса: возникновение узкого резо-

для кроссинг-резонансов в однородном образце

нанса на функции G^′′mm(ζ) и узкого антирезонан-

форму двух резонансных пиков с одинаковой по-

са на функции G^′′uu(ζ) при ω = ωr на фоне ши-

лушириной (Γ_u + Γ_m)/2 и интервалом 2η между

роких максимумов, обусловленных стохастическим

ними. В средах с вырождением частот (η < ηc)

распределением собственных частот.

функции Грина

G′′

и G^′′uu имеют разную форму:

если Γ_m < Γ_u, функция

G′′

(ζ) представляет собой

Таким образом, мы показали, что эффекты тон-

G′′

кой структуры магнитоупругого спектра, возникаю-

узкий пик резонанса на частоте ω = ω_r, а

—

щие в неоднородных ферромагнетиках, обязаны сво-

более широкий резонансный пик, расщепленный на

им происхождением вкладам случайных реализа-

вершине узким антирезонансом на той же частоте

ций, соответствующих вырожденным состояниям

ω=ω_r.

магнитоупругой системы. Такие состояния всегда

Таким образом, основные свойства тонкой струк-

присутствуют в функции распределения параметра

туры кроссинг-резонанса в неоднородной среде —

G′′

взаимодействия, если критическая величина пара-

узкий резонанс на функции

и узкий антире-

метра взаимодействия η_c, определяемая уравнением

зонанс на той же частоте ω = ω_r на функции

G′′

—

(60), отлична от нуля.

это стандартный вид кроссинг-резонанса в однород-

ном образце, в котором η < η_c. Каждая из картин

спектра магнитоупругого резонанса, соответствую-

щая либо η < η_c, либо η > η_c в однородном образце

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

может наблюдаться только отдельно: либо на раз-

Работа посвящена выяснению происхождения

личных образцах, либо на одном монокристалле, об-

тонкой структуры спектра кроссинг-резонанса двух

ладающем широкими диапазонами изменения вели-

волновых полей различной природы в неоднород-

чины и знака параметра η, при различных ориента-

ной среде, которая была предсказана и исследова-

циях этого кристалла.

на нами ранее аналитическими и численными ме-

В неоднородном веществе (например, в поли-

тодами [15-18, 33-35]. Для этого мы рассмотрели

кристалле с различной ориентацией кристаллитов)

магнитоупругий резонанс в обеих точках пересе-

функция распределения содержит области как с η <

чения дисперсионных кривых спиновых и упругих

< η_c, так и с η > η_c. Усреднение по областям η > η_c

волн (разд. 2) и кроссинг-резонанс в модели неодно-

приводит к формированию широкого резонанса с

родной среды с бесконечным радиусом корреляций

полушириной резонансной линии порядка 〈η²〉1/2,

(разд. 3). Мы изучили взаимодействующие волно-

обусловленной стохастическим распределением ре-

вые поля в среде со стохастически неоднородным па-

зонансных частот. Усреднение по областям с η < η_c

раметром связи между ними, среднее значение кото-

приводит к обострению пика резонанса на функции

рого равно нулю, а связь между волновыми полями

G^′′mm и пика антирезонанса на функции G^′′uu на од-

обеспечивается только пространственными флукту-

ной и той же частоте ω = ω_r. В результате форми-

ациями этого параметра. Проведенное исследование

руется картина кроссинг-резонанса в неоднородной

позволило проследить формирование тонкой струк-

среде: одинаковые широкие пики на обеих функци-

туры спектра, начиная с кроссинг-резонанса в одно-

ях, G^′′mm и G^′′uu, с узким пиком резонанса тонкой

родной среде.

структуры на функции G^′′mm и антирезонанса на

Снятие вырождения собственных частот двух

функции G^′′uu.

волновых полей различной природы, m(x, t) и

Таким образом, показано, что тонкая структура

u(x, t), в точке пересечения их дисперсионных кри-

спектра любого кроссинг-резонанса двух волновых

вых, ω = ω_r, k = k_r, при включении взаимодействия

полей различной природы в неоднородной среде обя-

η между этими полями в однородной среде с различ-

зана своим происхождениям вкладам случайных ре-

439

В. А. Игнатченко, Д. С. Полухин

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

ализаций, соответствующих вырожденным состоя-

О. Ю. Беляева, Л. К. Зарембо, С. Н. Карпачев,

ниям частот собственных колебаний системы.

УФН 162, 107 (1992).

В ферромагнетике с пространственной неодно-

V. G. Bar’yakhtar, A. G. Danilevich, and V. A. L’vov,

родностью параметра связи возникают затухания

Phys. Rev. B 84, 134304 (2011).

спиновых и упругих волн, Γ_m(k) ∝ k_cv_m и Γ_u(k) ∝

∝ k_cv_u, пропорциональные корреляционному волно-

10.

V. A. Ignatchenko and L. I. Deich, Phys. Rev. B 50,

вому числу k_c неоднородностей и скорости соответ-

16364 (1994).

ствующих волн, которые суммируются с однородны-

11.

Л. И. Дейч, В. А. Игнатченко, ЖЭТФ 107, 842

ми затуханиями Γ_m и Γ_u тех же волн. Эта ситуация

(1995).

рассмотрена в работе в рамках нового SCA для слу-

чая, когда вклад однородных затуханий пренебре-

12.

L. I. Deich and A. A. Lisyansky, Phys. Lett. A 220,

жимо мал. Показано, что вид тонкой структуры на

125 (1996).

функциях G^′′mm и G^′′uu в точке второго (высокочас-

13.

V. A. Ignatchenko, M. V. Erementchouk, A. A. Mara-

тотного) пересечения дисперсионных кривых спи-

dudin, and L. I. Deich, Phys. Rev. B 59, 9185 (1999).

новых и упругих волн меняется на противополож-

14.

R. C. Bourret, Nuovo Cim. 26, 1 (1962).

ный: узкий пик резонанса тонкой структуры возни-

кает на функции G^′′uu и антирезонанса на функции

15.

V. A. Ignatchenko and D. S. Polukhin, Sol. St. Phen.

G^′′mm, так как v_m < v_u в точке первого пересечения

190, 51 (2012).

и v_m > v_u в точке второго. Если вклад однородных

16.

В. А. Игнатченко, Д. С. Полухин, ЖЭТФ 143, 238

затуханий Γ_m и Γ_u велик, то вид тонкой структу-

(2013).

ры спектра как в точке первого, так и второго пе-

ресечения дисперсионных кривых определяется со-

17.

В. А. Игнатченко, Д. С. Полухин, ЖЭТФ 144, 972

отношением величин этих затуханий. В этой работе

(2013).

исследован случай полной стохастизации парамет-

18.

V. A. Ignatchenko and D. S. Polukhin, Sol. St. Phen.

ра связи: ε = 0 и Δε = 0, когда тонкая структура

215, 105 (2014).

проявляется наиболее ярко. Как показано в работах

[17,35], тонкая структура проявляется и при отлич-

19.

А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 34, 1438 (1958).

ном от нуля среднем значении параметра связи. Тон-

20.

R. H. Kraichnan, J. Math. Phys. 2, 124 (1961).

кая структура спектра магнитоупругого резонанса,

насколько нам известно, пока еще не наблюдалась

21.

H. Bruus and K. Flensberg, Introduction to Many-Bo-

экспериментально.

dy Quantum Theory in Condensed Matter Physics,

Ørsted Laboratory, Niels Bohr Institute, Copenha-

gen, Denmark (2002).

ЛИТЕРАТУРА

22.

М. В. Садовский, Диаграмматика. Лекции по из-

1. А. И. Ахиезер, Тезисы докладов и выступле-

бранным задачам теории конденсированного сос-

ний на совещании по физике магнитных явле-

тояния. Издание второе, Институт электрофизи-

ний, (Москва, май 23-31, 1956), Металлургиздат,

ки УрО РАН, Екатеринбург (2005).

Свердловск (1956).

23.

J. Cai, X. L. Lei, and L. M. Xie, Phys. Rev. B 39,

2. Е. А. Туров, Ю. П. Ирхин, ФММ 3, 15 (1956).

11618 (1989).

3. А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминс-

24.

V. N. Kostur and B. Mitrovic, Phys. Rev. B 50, 12774

кий, ЖЭТФ 35, 228 (1958).

(1994).

4. C. Kittel, Phys. Rev. 110, 835 (1958).

25.

C. Grimaldi, L. Pietronero, and S. Strässler, Phys.

Rev. Lett. 75, 1158 (1995).

5. А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, М. И. Каганов,

УФН 71, 533 (1960).

26.

Y. Takada and T. Higuchi, Phys. Rev. B 52, 12720

(1995).

6. А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминс-

кий, Спиновые волны, Наука, Москва (1967).

27.

O. V. Danylenko, O. V. Dolgov, and V. V. Losyakov,

Phys. Lett. A 230, 79 (1997).

7. В. В. Леманов, в сб. Физика магнитных диэлект-

риков, под ред. Г. А. Смоленского, Наука, Ленин-

28.

G. A. Ummarino and R. S. Gonnelli, Phys. Rev. B 56,

град (1975), с. 85.

R14279 (1997).

440