ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 454-460
© 2020
ФОТОННАЯ ОТДАЧА ПРИ РАССЕЯНИИ СВЕТА
НА БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОМ КОНДЕНСАТЕ
РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
Ю. А. Аветисянa*, В. А. Малышевb**, Е. Д. Трифоновc
a Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук
410028, Саратов, Россия
b Zernike Institute for Advanced Materials, University of Groningen
9747 AG, Groningen, the Netherlands
c Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена
191186, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 29 августа 2019 г.,
после переработки 29 августа 2019 г.
Принята к публикации 17 сентября 2019 г.
Теоретически проанализирован эффект фотонной отдачи при рассеянии света на бозе-эйнштейновском
конденсате разреженного атомарного газа с учетом слабого межатомного взаимодействия. Основу под-
хода составляют связанные уравнения Гросса - Питаевского для конденсата и Максвелла для поля. Рас-
считаны дисперсионные зависимости энергии и импульса отдачи, а также выявлено влияние слабой
неидеальности конденсата на фотонную отдачу. Продемонстрировано хорошее согласие теории с экспе-
риментом [7] по измерению импульса отдачи фотона в диспергирующей среде.
DOI: 10.31857/S0044451020030062
двум переходам между компонентами сверхтонкой
структуры:
1. ВВЕДЕНИЕ
|52S1/2, F = 1; mF = -1〉 →
→ |52P3/2, F = 1; mF = -1〉,
Прецизионное измерение импульса фотона в дис-
пергирующей среде представляет собой не только
фундаментальное, но и практическое значение. Ис-
|52S1/2, F = 1; mF = -1〉 →
следования подобного рода используются, в част-
→ |52P3/2, F = 2; mF = -1〉.
ности, в квантовой метрологии для уточнения зна-
чений мировых констант [1-6] и манипулирования
Лазерное излучение было линейно поляризова-
но вдоль направления вытянутости конденсата, так
отдельными атомами.
что сверхизлучательное рэлеевское рассеяние света
Группой Кеттерле было выполнено измерение
в этом направлении было подавлено [10, 11]. В ре-
импульса отдачи фотона при рассеянии света на
зультате многократных актов рассеяния, из-за полу-
бозе-эйнштейновском конденсате (БЭК) разрежен-
ченной фотонной отдачи в конденсате возбуждались
ного газа [7]. Схема эксперимента была следующей.
две серии когерентных атомных облаков. Они двига-
Вытянутый в одном направлении БЭК атомов ру-
лись с различными скоростями в противоположных
бидия (87Rb) в состоянии |52S1/2, F = 1; mF = -1〉,
направлениях (вдоль волновых векторов встречных
находившийся в магнитной ловушке Иоффе - Прит-
излучений накачки). После некоторого времени за-
чарда [8,9], облучался в перпендикулярном направ-
держки система подвергалась воздействию второй
лении двумя идентичными встречными лазерными
пары встречных лазерных импульсов. В результа-
импульсами с несущей частотой, квазирезонансной
те этого появлялись две новые серии атомных об-
* E-mail: yuaavetisyan@mail.ru
лаков, которые интерферировали с ранее произве-
** E-mail: v.malyshev@rug.nl
денными. Набег фазы волновых функций атомов в
454
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
Фотонная отдача при рассеянии света.. .
первичных облаках к этому моменту времени приво-
межатомное взаимодействие (слабую неидеальность
дил к интерференционной зависимости их суммар-
разреженного газа) в приближении среднего поля,
ной плотности от времени задержки. Это, в свою
G — константа межатомного взаимодействия. Такой
очередь, вызывало изменение плотности атомов в
подход представляет собой обобщение ранее приме-
основном (неподвижном) облаке конденсата, так как
ненного метода исследования сверхизлучательного
полное число атомов в БЭК сохраняется. Измерение
рассеяния света, основанного на решении системы
плотности атомов в основном конденсате как функ-
уравнений Максвелла - Шредингера или Максвел-
ции времени задержки позволило оценить набег фа-
ла - Блоха, [17-33].
зы движущихся атомных облаков и, таким образом,
Согласно условиям эксперимента [7], будем рас-
определить энергию отдачи, получаемую атомами.
сматривать атом как трехуровневую бозе-частицу с
В недавней статье [12] мы провели компьютерное
основным состоянием |a〉 и двумя возбужденными
моделирование интерференционного эксперимента
состояниями |b〉 и |c〉. Электромагнитное поле, с ко-
[7], рассматривая атомы как двухуровневые систе-
торым взаимодействуют атомы, представляет собой
мы и считая БЭК идеальным газом. В настоящей
суперпозицию возбуждающего лазерного поля
работе мы предлагаем описание эффекта отдачи для
[
(
условий, в большей мере приближенных к экспери-
x)]
E0(x, t) = E+(t) exp -iω0
t-
+
0
ментальным, т. е. рассматриваем трехуровневую мо-
c
дель атома БЭК и учитываем слабую неидеальность
[
(
x)]
БЭК в приближении Гросса - Питаевского [13-16].
+E-(t) exp -iω0
t+
(2)
0
c
Наш подход также позволяет рассчитать энергию и
импульс отдачи, получаемые атомами при рассея-
с частотой ω0 и поля, создаваемого поляризованнос-
нии света, ограничиваясь только однократным воз-
тью P(x, t) атомной среды [17],
буждением БЭК и не прибегая к моделированию ин-
терференционного эксперимента [7]. Сопоставление
L
∫
2π
∂
результатов, полученных двумя способами для од-
E(x, t) = E0(x, t) -
dx′
×
ной и той же модели конденсата, позволяет оценить
c
∂t
0
точность интерференционного метода при определе-
(
)
|x - x′|
нии средних значений энергии и импульса фотонной
×P x′,t-
,
(3)
c
отдачи.
P (x, t) = n0〈Ψ(x, t)
d|Ψ(x, t)〉.
(4)
2. ФОРМАЛИЗМ
Здесь c — скорость света в вакууме, L — размер БЭК
В соответствии с геометрией эксперимента [7] мы
в направлении распространения импульсов накачки,
ограничиваемся одномерной моделью взаимодейст-
n0 — концентрация атомов в конденсате. Усреднение
вия БЭК с электромагнитным полем и будем опи-
в (4), выражаемое угловыми скобками, проводится
сывать эволюцию состояния БЭК с помощью урав-
только по электронным степеням свободы атома.
нения Гросса - Питаевского [13-16]:
Волновую функцию атома будем искать в виде
[
∑
∂Ψ(x, t)
ℏ2
∂2
iℏ
= -
+ U(x) -
dE(x, t) +
Ψ(x, t) =
{aj (x, t)φj (x)|a〉+ exp(-iω0t) ×
∂t
2M ∂x2
j=0,±2,...
]
+ G|Ψ(x, t)|2 Ψ(x, t).
(1)
× [bj+1(x, t)φj+1(x)|b〉 + cj+1(x, t)φj+1(x)|c〉]} ,
(5)
Здесь два первых слагаемых в правой части опи-
где φr(x) = L-1/2 exp(irk0x) — волновая функция,
сывают движение атома с массой M в ловушке с
описывающая поступательное движение атома с им-
потенциалом U(x), третье слагаемое представляет
пульсом, кратным импульсу фотона возбуждающе-
собой оператор взаимодействия атома с электро-
го поля, rℏk0, k0 = ω0/c, r = 0, ±1, ±2, . . .
магнитным полем: E(x, t) — напряженность элек-
В приближении медленного изменения амплитуд
трического поля;
d — оператор атомного дипольно-
поля и волновой функции атома система уравнений
го момента. Нелинейный член G|Ψ(x, t)|2 описывает
Максвелла - Гросса - Питаевского имеет вид
455
Ю. А. Аветисян, В. А. Малышев, Е. Д. Трифонов
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
∂aj(x,t)
∂aj(x,t)
Δba = (ω0 - ωba)τR и Δca = (ω0 - ωca)τR — отстрой-
+vj
= -iwjaj(x, t) + E+∗(x, t)×
∂t
∂x
ки частоты ω0 внешнего поля от частот атомных ре-
× [bj+1(x, t) + ηcj+1(x, t)] +
зонансов ωba и ωca, γ = ΓτR, где Γ — радиационная
+ E-∗(x, t)[bj-1(x, t) + ηcj-1(x, t)] - ig ×
константа возбужденных состояний атома (одинако-
∑
вая для обоих состояний), η = dca/dba — отношение
×
aj+m-l(x, t)a∗m(x, t)al(x, t),
(6)
дипольных моментов переходов a ↔ c и a ↔ b. Без-
m,l=0,±2,...
размерная константа межатомного взаимодействия
g = GτRn0/ℏ, причем в дальнейшем мы ограничим-
∂bj+1(x, t)
∂bj+1(x, t)
ся учетом межатомного взаимодействия только для
+vj+1
=
∂t
∂x
атомов в основном электронном состоянии. Мы так-
(
γ)
же не учитываем запаздывание в уравнениях (6)-
=i Δba -wj+1 +i
bj+1(x, t)-
2
(9), так как время пролета фотона через систему,
− E+(x, t)aj(x, t) - E-(x, t)aj+2(x, t),
(7)
L/c, является самым малым из всех характерных
для данной модели времен. Единственным отлич-
ным от нуля начальным условием при решении си-
∂cj+1(x, t)
∂cj+1(x, t)
стемы уравнений (6)-(9) является значение ампли-
+vj+1
=
∂t
∂x
туды исходного состояния атома, a0(x, t = 0) = 1.
(
γ)
При решении системы уравнений (6)-(9) мы ис-
=i Δca -wj+1 +i
cj+1(x, t)-
2
пользовали условия, близкие к экспериментальным
− ηE+(x, t)aj(x, t) - ηE-(x, t)aj+2(x, t),
(8)
[7]: поперечный размер БЭК L = 16 мкм, концент-
= 4.15 · 1013 cм-3, час-
рация атомов конденсата n0
где j = 0, ±2, ±4, . . ., а амплитуды полей E+(x, t) и
тота излучения лазера варьировалась вблизи зна-
E-(x, t) удовлетворяют уравнениям
⎧
чения ω0 = 2.4 · 1015 c-1, радиационная констан-
∫x
⎨ ∑
та перехода a ↔ b (52S1/2, F = 1; mF = -1〉 ↔
E+(x, t) = E+0(t) + 2
[bj+1(x′, t) +
↔ |52P3/2, F = 1; mF = -1〉) Γ = 0.37 · 108 с-1,
⎩
j=0,±2,...
0
длина волны и дипольный момент этого перехода
⎫
⎬
соответственно λ = 780 нм и dba = 2.07 · 10-29 K·м,
+ ηcj+1(x′, t)] a∗j(x′, t)
dx′,
η
= dca/dba
= (3/5)1/2 [34]. Для этих условий
⎭
сверхизлучательное время оценивается как τR
≈
⎧
(9)
∫1
≈ 1.75 · 10-9 c. Тогда для значений параметров в
⎨ ∑
уравнениях (6)-(9) приближенно получаем
E-(x, t) = E-0(t) + 2
[bj-1(x′, t) +
⎩
j=0,±2,...
x
⎫
wj = 5 · 10-5j2, vj = 7.8 · 10-7j,
⎬
+ ηcj-1(x′, t)] a∗j(x′, t)
dx′.
γ = 6 · 10-2, g = 3.5 · 10-6.
⎭
Отстройка от резонанса перехода a ↔ b варьиро-
валась в интервале -1.1 ГГц ≤ Δba/2π ≤ 1.1 ГГц
В качестве единиц длины и времени в уравне-
(в безразмерных единицах -12 ≤ Δba ≤ 12). Для
ниях (6)-(9) мы используем поперечный размер
возбуждения конденсата мы использовали прямо-
L конденсата и сверхизлучательное время τR
=
угольные импульсы длительностью δt ≈ 5 мкс (в
= ℏ/(π|dba|2k0n0L) [17], где dba = 〈b
d|a〉 — матрич-
безразмерных единицах δt ≈ 3 · 103). Время задерж-
ный элемент оператора дипольного момента пере-
ки между импульсами, τ, варьировалось в интерва-
хода. Медленно меняющиеся амплитуды волн ин-
ле [δt, 50δt]. Амплитуда E0 возбуждающего импуль-
дуцированного поля, распространяющихся в поло-
са выбиралась (в зависимости от отстройки от ре-
жительном и отрицательном направлениях, E+(x, t)
зонанса) такой, чтобы за время возбуждения доля
и E-(x, t), так же как и амплитуды E±0 лазерно-
атомов в статическом облаке конденсата оставалась
го поля, представлены в шкале iℏ/dbaτR. Величи-
на уровне значения 0.9.
ны wj = ℏj2k20τR/2M и vj = ℏjk0τR/ML выража-
ют соответственно кинетическую энергию (в едини-
3. ИМПУЛЬС ФОТОННОЙ ОТДАЧИ
цах частоты) и скорость атома. Далее мы ограни-
чимся анализом атомов БЭК, находящихся в основ-
Прежде чем перейти к моделированию интерфе-
ном электронном состоянии с индексами «j», прини-
ренционного эксперимента [7], основанного на дву-
мающими четные значения 0, ±2, ±4, . . . Величины
кратном возбуждении конденсата, обратимся к слу-
456
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
Фотонная отдача при рассеянии света.. .
Wj
Wj
а
= -0.5
= 0.5
ba
б
ba
W-2
W2
W2
W-2
–0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
k/k0
k/k0
Рис. 1. Распределения плотности вероятности отклонения волнового вектора атома от его вакуумного значения ±2k0
в облаках a-2 и a2 (соответственно пунктирные и сплошные кривые) непосредственно после первого возбуждающего
импульса длительностью δt для двух значений отстройки от резонанса: а — Δba = -0.5; б — Δba = 0.5. Различие
относительного положения кривых при изменении знака отстройки обусловлено учетом второго уровня в возбужденном
состоянии
чаю однократного возбуждения. Для этого рассмот-
Поскольку |kj| ≪ k0, среднее значение кинетической
рим преобразование Фурье (по координате) ампли-
энергии отдачи (в единицах частоты) можно пред-
туд aj (x, t) основного электронного состояния ато-
ставить как
ма:
ℏ(k0j + kj )2
ℏk20j2
ℏk0jkj
∫1
εj =
≈
+
(14)
2M
2M
M
Fj(k, t) = e-ikxaj(x, t)dx.
(10)
0
На рис. 1 приведены примеры функций распре-
деления плотности вероятности отклонения волно-
Следует специально отметить, что переменная Фу-
вого вектора k от его вакуумного значения ±2k0
рье k в (10) представляет собой отклонение вол-
в облаках a±2 непосредственно после возбуждения
нового вектора атома от его вакуумного значения
(при t = δt). При выбранных нами начальных усло-
jk0 (в дальнейшем мы отождествляем волновой век-
виях эти распределения зеркально симметричны.
тор и импульс). Тогда нормированное распределе-
Результаты для среднего значения k2 и его стан-
ние плотности вероятности отклонения имеет вид
2
дартного отклонения D1/22 как функции отстройки
|Fj (k, t)|
Wj (k, t) =
(11)
∞
∫
от резонанса Δba для атома в облаке a2 представле-
ны на рис. 2. Отметим, что сравнительно большое
|Fj(k′, t)|2dk′
зна-
и практически не зависящее от отстройки Δba
-∞
чение стандартного отклонения обусловлено огра-
Вычислив Wj (k, t), можно найти среднее значение
ниченностью размера ловушки и вызванной этим
отклонения kj и его дисперсию Dj:
пространственной неоднородностью атомной плот-
∫∞
ности конденсата. В силу соотношения (14) дис-
kj =
kWj(k, t)dk,
(12)
персионная зависимость отклонения среднего зна-
-∞
чения кинетической энергии отдачи εj от значе-
∫∞
ния ℏk20j2/2M практически определяется дисперси-
Dj = (k - kj)2Wj(k, t)dk.
(13)
онной кривой для среднего отклонения импульса от-
−∞
дачи. Если величину ±2k0 + k±2 интерпретировать
457
Ю. А. Аветисян, В. А. Малышев, Е. Д. Трифонов
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
1/2
Sj
k2,D
2
1.00
0.2
0.1
D /2 /k201
0.75
k /k20
S0
0
k /k20
-0.1
0.50
-0.2
-12
-8
-4
0
4
8
12
ba
0.25
Рис. 2. Среднее значение отклонения k2 импульса отдачи
от его вакуумного значения 2k0 и его стандартное откло-
S2
нение D1/22 в единицах k0 как функции отстройки Δba от
резонанса. Точки — результаты расчетов
0
6
12
18
24
30
как импульс отдачи, полученный атомом при рассе-
/ t
янии поля в диспергирующей среде, то можно по-
ложить ±2k0 + k±2 = ±2k0n, где n — показатель
Рис.
3. Результаты моделирования интерференционно-
преломления.
го эксперимента: населенности S0 и S±2 атомных обла-
ков в зависимости от времени задержки τ . Сплошные
(штриховые) кривые получены для отстройки Δba = 0.5
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ
(Δba = -0.5)
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА
На рис. 3 мы проводим такое сравнение для облаков
Рассмотрим схему двукратного возбуждения
a0 и a±2. Как видно, величины S0 и S±2 как функ-
БЭК, соответствующую эксперименту
[7]. Нас
ции времени задержки τ демонстрируют осцилля-
интересует прежде всего доля числа атомов S0(t) в
ции, обнаруженные в эксперименте [7]. Отметим,
неподвижном облаке a0 в момент времени t = τ +
что в осцилляциях населенностей S0 и S±2 прояв-
+ δt, т. е. непосредственно после действия второго
ляется строгая корреляция по частоте, фазе и амп-
импульса (напомним, что δt
— длительность
литуде. Это отражает тот факт, что полное число
возбуждающего импульса, τ
— время задержки
атомов БЭК сохраняется.
второго импульса, т. е. разность моментов времени
Оценим влияние межатомного взаимодействия
включений второго и первого импульсов). Эта
на величину энергии отдачи. Если в уравнении Грос-
величина определяется как
са - Питаевского (1) учесть лишь межатомное взаи-
∫1
модействие, то получим
S0(τ) =
|a0(x, τ + δt)|2dx.
(15)
∂aj(x,t)
0
=
∂t
Представляется интересным сравнить величину
∑
= -ig
aj+m-l(x, t)a∗m(x, t)al(x, t).
(17)
S0(t) c долей числа атомов в движущихся обла-
m,l=0,±2,...
ках aj=0:
∫1
Так как истощение неподвижного облака конденса-
Sj(τ) =
|aj (x, τ + δt)|2dx, j = ±2, ±4, . . .
(16)
та мы считаем слабым, т. е. a0 ≈ 1, то для него на-
0
ходим
458
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
Фотонная отдача при рассеянии света.. .
∂a0(x, t)
, 10-4
–1
≈ -iga0(x, t)a∗0(x, t)a0(x, t) ≈
2
R
∂t
≈ -iga0(x, t),
(18)
2.1
1
4w + 2g1
в то время как при j = 0
2
1
4w + g1
∂aj(x,t)
3
2
≈ -ig {aj(x, t)a∗0(x, t)a0(x, t) +
∂t
2.0
3
4w1
+ a0(x, t)a∗0(x, t)aj(x, t)} =
= -2igaj(x, t)a∗0(x, t)a0(x, t) ≈ -2igaj(x, t).
(19)
1.9
Отсюда следует, что принятая модель межатомного
взаимодействия приближенно приводит для состо-
яния a0 к сдвигу уровня энергии на величину g, а
для состояния aj=0 — к сдвигу уровня энергии на
1.8
-12
-6
0
6
12
величину 2g.
ba
Таким образом, в интерференционном экспери-
менте после действия первого импульса появляют-
Рис. 4. Дисперсионные кривые энергии отдачи ε2 (в еди-
ся облака a(1)j=0, в которых уровни энергии атомов
ницах 10-4τ-1R) для атомов в облаке a2. Горизонтальные
сдвинуты на величину 2g. Поэтому волновые функ-
асимптоты соответствуют значениям энергии 4w1, 4w1 + g
ции, после задержки длительности τ приобретают
и 4w1 + 2g, в то время как вертикальные — частотам пе-
фазовый множитель exp[-i(εj + 2g)τ]. Ко времени
реходов a ↔ b и a ↔ c. Точки — результаты расчетов.
Нумерация кривых объяснена в тексте
действия на конденсат второго импульса основное
облако a0 уже за время задержки приобрело фа-
зовый множитель exp(-igτ). Чтобы при вторичном
решение данной системы в приближении медленно-
возбуждении получить облака a(2)j с такой же фа-
го изменения амплитуд. Расчеты, выполненные для
зовой зависимостью, приводящей к положительной
случаев однократного и двукратного возбуждений
(конструктивной) интерференции, необходимо, что-
БЭК (второй — интерференционный метод опреде-
бы время задержки было бы кратно периоду осцил-
ления фотонной отдачи [7]) позволили определить
ляций основного облака, 2π/g. Поэтому частота ин-
терференции будет равна wj + g в отличие от соб-
влияние слабой неидеальности БЭК на фотонную
отдачу в диспергирующей среде и получить согла-
ственной частоты облаков εj + 2g, определяющей
энергию отдачи.
сованные дисперсионные зависимости средних зна-
чений кинетической и полной энергий отдачи в ак-
На рис. 4 мы приводим для сравнения дисперси-
тах рассеяния. Теория также корректно описывает
онные кривые энергии фотонной отдачи, получен-
частоты осцилляций числа атомов в неподвижном
ные после однократного возбуждения (1, 3) и с помо-
облаке конденсата, которые были обнаружены в экс-
щью моделирования интерференционного экспери-
перименте [7].
мента (2). Кривые 1 получены в результате вычис-
ления частоты осцилляций вещественной (или мни-
Помимо средних значений импульса и энергии
мой) части комплексной амплитуды a2(x = L/2, t)
отдачи мы провели также вычисление дисперсий
в центре ловушки, кривые 2 — результат моделиро-
Dj этих величин. Найденные значения стандарт-
вания интерференционного эксперимента, кривые 3
ного отклонения D1/2j определяют погрешность,
описывают дисперсию кинетической энергии отда-
с которой средние значения можно считать ха-
чи ε2.
рактеристиками отдельного атома. В то же время
выполненное моделирование интерференционного
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
метода подтверждает принципиальную возмож-
В рамках микроскопического подхода развита
ность определения средних значений импульсов
теория, позволяющая выполнять анализ энергии и
и энергии отдачи интерференционным методом с
импульса отдачи фотона в диспергирующей среде,
достаточно высокой степенью точности.
в частности, в БЭК разреженного атомарного га-
за с учетом слабого межатомного взаимодействия.
Финансирование. Один из авторов (Е. Д. Т.)
Основу теории составляет связанная система урав-
благодарит Российский фонд фундаменталь-
нений Максвелла - Гросса - Питаевского. Проведено
ных исследований за поддержку работы (проект
459
Ю. А. Аветисян, В. А. Малышев, Е. Д. Трифонов
ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020
№15-02-08369-A). Разработка усовершенствованно-
16.
L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose Einstein Con-
го алгоритма математического моделирования
densation, Clarendon Press, Oxford (2003).
для анализа элементарных актов рассеяния
17.
M. G. Benedict, A. M. Ermolaev, V. A. Malyshev,
выполнена Ю. А. Аветисяном в рамках госу-
I. V. Sokolov, and E. D. Trifonov, Super-Radian-
дарственного задания Министерства науки и
ce: Multiatomic Coherent Emission, IOP Publishing,
высшего образования Российской Федерации (тема
Bristol (1996).
№ АААА-А18-118042790042-4) и гранта Российского
18.
M. G. Moore and P. Meystre, Phys. Rev. Lett. 83,
фонда фундаментальных исследований (проект
5202 (1999).
№19-07-00378).
19.
O. E. Mustecaplioglu and L. You, Phys. Rev. A 62,
063615 (2000).
ЛИТЕРАТУРА
20.
N. Piovella, M. Gatelli, and R. Bonifacio, Opt.
Comm. 194, 167 (2001).
1.
D. S. Weiss, B. C. Young, and S. Chu, Phys. Rev.
Lett. 70, 2706 (1993).
21.
E. Д. Трифонов, ЖЭТФ 120, 1117 (2001); Теор.
Мат. Физ. 139, 449 (2004); Опт. и спектр. 98, 545
2.
B. Taylor, Metrologia 31, 181 (1994).
(2005); E. D. Trifonov, Laser Phys. 12, 211 (2002);
Laser Phys. Lett. 2, 153 (2005).
3.
A. Wicht, J. M. Hensley, E. Sarajlic, and S. Chu,
Phys. Scr. T 102, 82 (2002).
22.
H. Pu, W. Zhang, and P. Meystre, Phys. Rev. Lett.
91, 150407 (2003).
4.
S. Gupta, K. Dieckmann, Z. Hadzibabic, and
D. E. Pritchard, Phys. Rev. Lett. 89, 140401 (2002).
23.
C. Benedek and M. G. Benedict, J. Opt. B 6, 3 (2004).
5.
R. Battesti, P. Clade, S. Guellati-Khélifa, C. Schwob,
24.
Yu. A. Avetisyan and E. D. Trifonov, Laser Phys.
B. Grémaud, F. Nez, L. Julien, and F. Biraben, Phys.
Lett. 1, 373 (2004); 2, 512 (2005); 4, 247 (2007);
Rev. Lett. 92, 253001 (2004).
Laser Phys. 19, 545 (2009); Phys. Rev. A 88, 025601
(2013); Ю. А. Аветисян, Е. Д. Трифонов, ЖЭТФ
6.
Y. Le Coq, J. A. Retter, S. Richard, A. Aspect, and
130, 771 (2006); Опт. и спектр. 100, 307 (2006);
P. Bouyer, Appl. Phys. B 84, 627 (2006).
ЖЭТФ 133, 495 (2008); Опт. и спектр. 105, 613
(2008); УФН 185, 307 (2015).
7.
G. K. Campbell, A. E. Leanhardt, J. Mun, M. Boyd,
E. W. Streed, W. Ketterle, and D. E. Pritchard, Phys.
25.
E. Д. Tрифонов, Н. И. Шамров, ЖЭТФ 126, 54
Rev. Lett. 94, 170403 (2005).
(2004).
8.
Y. V. Gott, M. S. Ioffe, and V. G. Telkovsky, in
26.
G. R. M. Robb, N. Piovella, and R. Bonifacio, J. Opt.
Nuclear Fusion, Suppl., Pt. 3, Internat. Atomic Ener-
B 7, 93 (2005).
gy Agency, Vienna (1962), p. 1045.
27.
N. I. Shamrov, Laser Phys. 16, 1734 (2006); 17, 1424
(2007).
9.
D. E. Pritchard, Phys. Rev. Lett. 94, 1336 (1983).
28.
O. Zobay and G. M. Nikolopoulos, Phys. Rev. A 73,
10.
S. Inouye, A. P. Chikkatur, D. M. Stamper-Kurn,
013620 (2006); Laser Phys. 17, 180 (2007).
J. Stenger, D. E. Pritchard, and W. Ketterle, Science
285, 571 (1999).
29.
N. Bar-Gill, E. E. Rowen, and N. Davidson, Phys.
Rev. A 76, 043603 (2007).
11.
D. Schneble, J. Torii, M. Boyd, E. W. Streed,
D. E. Pritchard, and W. Ketterle, Science 300, 475
30.
N. Piovella, L. Volpe, M. M. Cola, and R. Bonifacio,
(2003).
Laser Phys. 17, 174 (2007).
31.
X. Xu, X. Zhou, and X. Chen, J. Phys. B 41, 165302
12.
Yu. A. Avetisyan, V. A. Malyshev, and E. D. Trifo-
(2008).
nov, J. Phys. B 50, 085002 (2017).
32.
L. Deng, M. G. Payne, and E. W. Hagley, Phys. Rev.
13.
E. P. Gross, Nuovo Cim. 20, 454 (1961); J. Math.
Lett. 104, 050402 (2010).
Phys. 4, 195 (1963).
33.
C. J. Zhu, L. Deng, E. W. Hagley, and G. X. Huang,
14.
Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 40, 646 (1961).
Laser Phys. 24, 065402 (2014).
15.
F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Strin-
34.
gari, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999).
us/alkalidata.
460
