ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 461-472

ЭНЕРГООБМЕН ПРИ ВЫРОЖДЕННОМ СМЕШЕНИИ ЧЕТЫРЕХ

БЫСТРЫХ TE₂-МОД ТОНКОЙ ЛЕВООРИЕНТИРОВАННОЙ

ПЛЕНКИ НА НЕЛИНЕЙНОЙ ПОДЛОЖКЕ

А. C. Буллерa*, С. В. Леонов^b, Н. Р. Литвинова^a, Р. В. Литвинов^a,b

^a Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

634034, Томск, Россия

^b Национальный исследовательский Томский политехнический университет

634050, Томск, Россия

Поступила в редакцию 19 сентября 2019 г.,

после переработки 21 октября 2019 г.

Принята к публикации 24 октября 2019 г.

Рассмотрено вырожденное по частоте смешение вперед и назад распространяющихся быстрых мод пла-

нарного оптического волновода на основе тонкой левоориентированной пленки и правоориентированной

подложки, обладающей эффектом Керра. Решение нелинейных уравнений для интенсивностей связанных

мод получено в пренебрежении вкладами элементарных процессов, не удовлетворяющих условию фазо-

вого синхронизма. Показано, что внутримодовое самовоздействие четырех мод T E-типа сопровождается

обменом энергии между ними. Эффективность энергообмена периодически меняется вдоль направления

распространения мод, приводя к инвертированию интенсивностей вперед и назад распространяющихся

световых полей на полупериоде взаимодействия.

DOI: 10.31857/S0044451020030074

новые закономерности, не свойственные обычным

правоориентированным средам [11-13]. При этом

нелинейные левоориентированные метаматериалы

1. ВВЕДЕНИЕ

значительно расширили представление об эффектах

самовоздействия, параметрического усиления и пре-

Планарные волноведущие структуры оптическо-

образования частот, нелинейных эффектах на гра-

го диапазона на основе тонких пленок являются ос-

нице раздела сред, направляемых нелинейных мо-

новой для интегральной оптики [1-4]. Наличие в их

дах планарных волноводов и др. [12, 13].

составе материалов, обладающих нелинейным оп-

тическим откликом, позволяет за счет варьирова-

Оптически линейные планарные волноводы на

ния параметров светового поля, вводимого в волно-

основе левоориентированных метаматериалов обла-

вод, изменять пространственное распределение по-

дают свойствами, которые у волноводов, на осно-

лей волноводных мод и условия их отсечки, смещать

ве правоориентированных материалов отсутствуют

длину нулевой групповой дисперсии, добиваться са-

[14-26]. В них могут распространяться не только

мофокусировки светового поля и распространения

быстрые волноводные моды, но и медленные. В этих

временных и пространственных оптических солито-

волноводах направление переноса мощности некото-

нов, реализовывать различные типы смешения вол-

рой волноводной модой в областях из левоориенти-

новодных мод и др. [5-8].

рованных метаматериалов противоположно направ-

Исследования распространения электромагнит-

лению переноса мощности для той же моды в об-

ных волн в левоориентированных метаматериалах с

ластях из правоориентированных материалов. При

одновременно отрицательными значениями диэлек-

определенных условиях суммарная мощность, пере-

трической и магнитной проницаемостей, начатые в

носимая волноводной модой через сечение волно-

работах [9,10], в дальнейшем позволили обнаружить

вода, и, как следствие, ее групповая скорость об-

ращаются в нуль [14, 24-28]. Скорость распростра-

^* E-mail: albertbuller@yandex.ru

нения максимума мощности, переносимой узкопо-

461

А. C. Буллер, С. В. Леонов, Н. Р. Литвинова, Р. В. Литвинов

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

лосным внутримодовым волновым пакетом со спек-

такого взаимодействия при смешении четырех быст-

тром, прижатым снизу к частоте нуля групповой

рых T E₂-мод (двух распространяющихся вперед и

скорости моды, может быть на несколько порядков

двух — назад) трехслойного планарного волновода

ниже групповой скорости света в объемном левоори-

с оптически линейными правоориентированной

ентированном метаматериале [24-26].

покровной средой и левоориентированной пленкой

Дисперсионные зависимости постоянных рас-

на правоориентированной подложке, обладающей

пространения направляемых мод волноводов,

эффектом Керра.

содержащих левоориентированные метаматериа-

лы, в общем случае являются немонотонными

[15, 17, 18, 20, 22-33], в отличие от аналогичных

2. МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

зависимостей для обычных волноводов на основе

Следуя работам [10, 14, 15, 17, 19-21, 23-28], мо-

правоориентированных материалов

[1-4]. Непре-

дельные соотношения, описывающие зависимости

рывная ветвь зависимости постоянной распростра-

относительной диэлектрической (ε_f ) и магнитной

нения быстрой T E-моды от частоты делится на

(μ_f ) проницаемостей метаматериала тонкой лево-

два монотонных участка точкой, в которой груп-

повая скорость моды обращается в нуль [24-26, 28].

ориентированной пленки, находящейся между полу-

ограниченными правоориентированными диэлект-

Один из этих участков соответствует одинаковым

направлениям фазовой и групповой скоростей

рическими подложкой и покровной средой (см.

рис. 1), от частоты ω, можно представить в следую-

моды, а другой — противоположным. Поэтому в

левоориентированной пленке на одной частоте,

щем виде:

близкой к частоте нуля групповой скорости моды,

ω2p

ω²

могут распространяться четыре волноводные моды

ε_f = 1 -

μ_f = 1 - F

(1)

ω²

ω² - ω²

с постоянными распространения, принадлежащими

одной непрерывной дисперсионной ветви.

где ω_p — плазменная частота, ω_m — частота маг-

Внутримодовое самовоздействие в оптических

нитного резонанса, F — фактор заполнения мета-

волноводах на основе обычных правоориентирован-

материала (0 < F < 1). Диапазон частот, в котором

ных материалов, обладающих нелинейным оптичес-

проницаемости ε_f и μ_f являются отрицательными

ким откликом керровского типа, приводит к фазо-

вой самомодуляции двух мод, распространяющих-

ся вперед и назад с одинаковой величиной фазо-

вой скорости, и фазовой кросс-модуляции между

ними [5, 6, 34]. Такое самовоздействие не приводит

к обмену энергией между модами. Возможность

< 0,

< 0, n

= 0

распространения в левоориентированной пленке че-

тырех волноводных мод одного типа с различны-

n E| ,

> 0,

ми направлениями фазовых и групповых скоро-

стей создает условия для формирования возму-

n2s

щений диэлектрической проницаемости волновода

за счет эффекта Керра, периодически меняющих-

ся вдоль направления распространения волновод-

- +

ных мод. Пространственно-параметрическое смеше-

– -

ние этих мод за счет таких возмущений может при-

вести к энергообмену между ними, аналогично энер-

K = 2₊

гообмену при вырожденном четырехволновом взаи-

K =

модействии (см., например, [5, 6, 35]).

В выполненных к настоящему времени ис-

K = 2_--

следованиях

распространения

направляемых

мод в нелинейных планарных волноводах, со-

Рис. 1. Левоориентированная пленка на нелинейной под-

держащих левоориентированные метаматериалы

ложке. Волновые векторы (сплошные) вперед и назад рас-

[11-13, 27, 28], вырожденное по частоте простран-

пространяющихся мод, векторы (штриховые) парциальных

ственно-параметрическое взаимодействие мод не

интерференционных световых решеток

рассматривалось. В данной работе выполнен анализ

462

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Энергообмен при вырожденном смешении. . .

(

)-1/2

(пленка левоориентированная), зависит от соотно-

ψ(x, β) = (-1)^η

1+μ2fχ2cμ-2ck-2f

шений между величинами ω_p, ω_m, и ω_m/(1 - F )1/2

× exp[χ_c(h - x)] , x > h,

[24, 26].

[

]-1/2

-2

ψ(x, β) =

1+μ2fχ2sμ-2sk_f

В случае оптически линейной подложки частот-

[

]

ная зависимость постоянных распространения быст-

(5)

× cos(k_f x) + μ_f χ_sμ-1sk-1f sin(k_f x) ,

рых волноводных мод тонкой левоориентированной

пленки β(ω) неявно задается следующим дисперси-

0 ≤ x ≤ h,

[

]-1/2

онным соотношением:

ψ(x, β) =

1+μ2fχ2sμ-2sk-2f

× exp(χ_sx), x < 0,

-1

χ_sμ_f k_f

μ-1s + χ_cμ_f k-1fμ-1c

tg k_f h =

(2)

где η — модовый индекс, равный числу нулей этой

1-χ_sχ_cμ2fk-2fμs1μc-1

функции, а зависимость параметров μ_f , χ_s,c и k_f от

постоянной распространения β опущена.

Рассмотрим самовоздействие светового поля, об-

где

разованного T E₂-модами с волновыми векторами

±β₊ и ±β_-, в тонкой левоориентированной пленке

(см. рис. 1 и 2) на подложке с нелинейным оптиче-

[

]1/2

ским откликом керровского типа, считая, что воз-

k_f =

ε_fμ_f (ω/c)² - β²

(3)

мущения относительной диэлектрической проница-

[

]1/2

емости подложки Δε_s пропорциональны интенсив-

χ_c,s =

β² - ε_c,sμ_c,s(ω/c)²

(4)

ности светового поля (Δε_s ∝ |E_ω |²) [5, 6, 34, 36]. В

этом случае компонента y электрической напряжен-

ности суммарного электромагнитного поля мод мо-

Здесь h — толщина пленки; ε_c, ε_s и μ_c, μ_s — отно-

жет быть представлена в форме

сительные диэлектрические и магнитные проница-

√ [

емости покровной среды (c), подложки (s) соответ-

E =

I₀

Cf+(z)ψ₊(x)exp(-iβ₊z) +

ственно; c — скорость света в вакууме. На рис. 2

+ C^f-(z)ψ_-(x)exp(-iβ_-z)+Cb+(z)ψ₊(x)exp(iβ₊z) +

сплошной кривой представлен фрагмент зависимос-

]

ти β(ω) быстрой TE₂-моды, рассчитанной вблизи

+ C^b-(z)ψ_-(x)exp(iβ_-z) exp(iωt) + c.c. =

частоты ω₀, при которой групповая скорость рав-

на нулю, для параметров таких же, как и в работе

= (E_ω /2) exp(iωt) + c.c.,

(6)

[24]: h = 330 нм, ε_c = μ_c = μ_s = 1, ε_s = 2, ω_p =

где I₀ — максимальная интенсивность светового по-

= 3.46 · 10¹⁵ рад/с, ω_m = 1.63 · 10¹⁵ рад/с, F = 0.5.

ля в волноводе; Cf,b+(z) и C^f,b-(z) — безразмерные ам-

плитудные функции, описывающие медленные из-

Из рис. 2 следует, что в частотном диапазоне от

менения полей вперед (f) и назад (b) распространя-

частоты отсечки (ω_cut) до частоты нуля групповой

ющихся мод за счет их взаимодействия и нормиро-

скорости (ω₀) могут распространяться только четы-

ванные так, что |Cf+|² + |Cb+|² + |C^f-|² + |C^b-|² = 1,

ре быстрые T E₂-моды (см. рис. 1). Фазовые скоро-

ψ₊(x) = ψ(x, β₊) и ψ_-(x) = ψ(x, β_-). При этом

сти двух мод, распространяющихся вперед, с волно-

пространственное распределение электрической на-

выми векторами β₊ и β_- направлены вдоль поло-

пряженности E_ω должно подчиняться нелинейному

жительного направления оси z, а фазовые скорости

уравнению Гельмгольца:

двух мод, распространяющихся назад, с волновыми

векторами -β₊ и -β_- направлены вдоль ее отри-

)₂

∂²E_ω

⁽ω

цательного направления. При этом групповые ско-

+ ε(x)μ(x)

∂z²

∂x²

рости (положительные) мод с волновыми вектора-

(

)

ми ±β₊ противоположны групповым скоростям (от-

× 1+

n₂(x)|E_ω|2

E_ω = 0,

(7)

рицательным) мод ±β_-. Зависимость компоненты y

электрической напряженности быстрых T E-мод от

где зависимость относительных диэлектрической

координаты x может быть описана следующей без-

ε(x), магнитной μ(x) проницаемостей и нелинейного

размерной функцией с максимумом равным едини-

оптического коэффициента n₂(x) от поперечной ко-

це:

ординаты является кусочно-постоянной (см. рис. 1).

463

А. C. Буллер, С. В. Леонов, Н. Р. Литвинова, Р. В. Литвинов

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Пара мод одного типа, распространяющихся впе-

ного взаимодействия [35]. В рассматриваемом слу-

ред и назад, в обычных волноводах на основе пра-

чае, если частота взаимодействия отличается от час-

воориентированных материалов с эффектом Кер-

тоты нуля групповой скорости моды более чем на

ра приводит к формированию локального простран-

10⁹ рад/с, то Δβ-1 ≪ 1 мм, что значительно мень-

ственного возмущения диэлектрической проницае-

ше эффективной длины взаимодействия для волно-

мости, пропорционального интенсивности суммар-

водов с эффектом Керра [34, 36]. Ниже мы прене-

ного светового поля мод. При этом внутримодовое

брегаем вкладом элементарных процессов, не удов-

взаимодействие приводит только к фазовой само- и

летворяющих условию фазового синхронизма.

кросс-модуляции [5, 6, 34, 36]. Отсутствие внутримо-

Следующие уравнения связанных мод относи-

дового энергообмена при таком взаимодействии свя-

тельно медленноменяющихся на длине световой вол-

зано с тем, что кросссоставляющие возмущения ди-

ны функций Cf,b+(z) и C^f,b-(z) можно получить

электрической проницаемости оказывают обратное

из уравнения Гельмгольца (7) с помощью усло-

влияние только на моды, их же и сформировавшие.

вия ортогональности электромагнитных полей мод

В рассматриваемом случае самовоздействие че-

[1-3, 34, 36, 37]:

тырех мод тонкой левоориентированной пленки на

)

керровской подложке приводит к формированию

dCf+

γ^{(

= -i

|Cf+|² + 2|Cb+|2

Cf+ +

пространственного возмущения ее диэлектрической

[(

)

]}

проницаемости, кросссоставляющие которого, сфор-

+ 2g

|C^f-|² + |C^b-|2

Cf+ + Cb∗+C^f-C^b

(8)

мированные под действием какой-либо пары мод,

например, с волновыми векторами β₊ и -β_- (см.

рис. 1), оказывают обратное влияние не только

)

dCb+

γ {(

на моды этой исходной пары, но и на две дру-

2|Cf+|² + |Cb+|2

Cb+ +

гие моды, например, с волновыми векторами -β₊

[(

)

]}

и β_-. Пространственно-параметрическое смешение

+ 2g

|C^f-|² + |C^b-|2

Cb+ + Cf∗+C^f-C^b

(9)

этих мод, обусловленное такими составляющими

суммарного возмущения диэлектрической проница-

(

)

емости, может привести к энергообмену между ни-

γ {

g₁

|C^f-|² + 2|C^b-|2

C^f- +

ми, аналогично энергообмену при вырожденном че-

[(

)

]}

тырехволновом взаимодействии [5, 6, 35].

+ 2g

|Cf+|² + |Cb+|2

C^f- + Cf+Cb+C^b∗

(10)

3. УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННЫХ МОД И

(

)

dC^b-

γ^{

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

= -i

g₁

2|C^f-|² + |C^b-|2

C^b- +

[(

)

]}

В общем случае эффект Керра приводит к само-

+ 2g

|Cf+|² + |Cb+|2

C^b- + Cf+Cb+C^f∗

(11)

воздействию TE₂-мод тонкой левоориентированной

пленки с волновыми векторами β₊, -β₊, β_- и

где звездочка «∗» в верхнем индексе означает ком-

-β_- и формированию в подложке пространствен-

плексное сопряжение и введены следующие обозна-

ных решеток диэлектрической проницаемости с вол-

чения:

новыми векторами K₊ = 2β₊, K = β₊ - β_- и

3πn2sI₀J₊

K_- = 2β_- (см. рис. 1) с неоднородными амплиту-

γ=

(12)

2λn₊N₊

дами. Все три элементарные решетки дают вклад

во взаимодействие между модами. Однако не все

элементарные процессы удовлетворяют условию фа-

J n₊N₊

J_-

g₁ =

⁽n₊N₊ )² ,

(13)

зового синхронизма [5, 6, 34-36]. Например, тако-

J₊ n_-N_-

му условию не удовлетворяет взаимодействие мод

∫

∞

с волновыми векторами β₊ и -β₊ на решетке с

вектором K_-. Величина векторной расстройки для

N₊ = μ-1(x)ψ²⁺(x)dx,

несинхронных процессов кратна межмодовому рас-

-∞

(14)

стоянию Δβ = β_- +β₊ (см. рис. 2). Вклад таких про-

∫

∞

цессов пренебрежимо мал, если обратная величина

N_- =

μ-1(x)ψ2-(x)dx,

Δβ-1

много меньше эффективной длины нелиней-

-∞

464

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Энергообмен при вырожденном смешении. . .

∫⁰

J₊ = ψ⁴⁺(x)dx,

/с

-∞

∫0

–

/с

J = ψ²⁺(x)ψ2-(x)dx,

(15)

s s

-∞

∫0

J_- = ψ4-(x)dx,

Частота

взаимодействия

cut

-∞

1.062

1.066

1.069

1.073

где n_± = β_±c/ω — эффективные показатели пре-

отн. ед.

ломления мод, λ — длина световой волны в вакууме.

Рис. 2. Дисперсионные зависимости постоянной распро-

Точные аналитические выражения для нормировоч-

странения T E2-моды (сплошная кривая) и волновых чи-

ных интегралов (N₊, N_-) и интегралов перекрытия

сел электромагнитных волн в объемных материалах плен-

(J₊, J, J_-) здесь опущены, их нетрудно получить,

ки (штриховая линия) и невозмущенной подложки (штрих-

используя соотношение (5). Заметим, что знак ис-

пунктир)

ходного нормировочного интеграла для мод с от-

рицательной групповой скоростью противоположен

знаку нормировочного интеграла для мод с положи-

скоростью (g₁). Вследствие неравенства β+ < β-

тельной групповой скоростью. Это различие знаков

(см. рис. 2) поперечное затухание в подложке (и

учтено непосредственно в уравнениях (8)-(11).

в покровной среде) мод с отрицательной группо-

Члены в правой части каждого уравнения свя-

вой скоростью большей, чем затухание мод с по-

занных мод, содержащие в качестве сомножите-

ложительной групповой скоростью (см. (5)). Поэто-

ля функцию, производная от которой образует ле-

му интегралы перекрытия удовлетворяют условию

вую часть этого же уравнения, описывают вкла-

J_- < J < J₊, которое совместно с неравенством

ды само- и кросс-модуляции. Оставшиеся члены

n₊ < n_- приводит к соотношению 1 < g < g₁. Отме-

в правых частях каждого уравнения, например

тим, что отклонение коэффициентов g и g₁ от едини-

член Cb∗+C^f-C^b- в уравнении (8), описывают из-

цы в окрестности частоты нуля групповой скорости,

менение комплексной амплитуды моды в процес-

мало [38].

се ее смешения с другими модами за счет состав-

ляющих возмущения диэлектрической проницаемо-

4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

сти подложки, в формировании которых исход-

ЭВОЛЮЦИИ МОД

ная мода непосредственного вклада не дает. От-

Система нелинейных уравнений (8)-(11) может

метим, что эффективность этих последних элемен-

быть использована для анализа перераспределе-

тарных пространственно-параметрических процес-

ния фаз между взаимодействующими T E₂-модами

сов пропорциональна коэффициенту g, величина

и энергообмена между ними. На основе этих урав-

которого определяется перекрытием полей мод с

нений можно показать, что нормированные интен-

противоположным направлением групповых скоро-

сивности взаимодействующих мод (If,b+ = |Cf,b+|² и

стей (см. (13)-(15)). В случае взаимодействия толь-

I^f,b

= |C^f,b-|²) удовлетворяют следующим элемен-

ко двух мод, распространяющихся вперед и на-

тарным законам сохранения:

зад, как, например, в обычных правоориентирован-

ных волноводах

[5, 6, 34], такое пространственно-

If+(z) + Ib+(z) = I₊, I^f-(z) + I^b-(z) = I_-,

(16)

параметрическое смешение отсутствует.

Уравнения связанных мод (8)-(11) представле-

ны в форме, в которой эффективность взаимодей-

If+(z) + I^b-(z) - Ib+(z) - I^f-(z) = S.

(17)

ствия пропорциональна постоянной связи γ и ко-

эффициентам 1, g, g₁. Эти коэффициенты описыва-

Формулы (16) соответствуют сохранению энергии

ют относительные вклады само- и крос-смодуляции

мод, распространяющихся вперед (инвариант I₊) и

мод с положительной групповой скоростью (коэф-

назад (инвариант I_-). Условие I₊ + I_- = 1 соответ-

фициент равен 1), кросс-модуляции мод с проти-

ствует фундаментальному закону сохранения энер-

воположными групповыми скоростями (g) и само-

гии светового поля в непоглощающей среде. Инва-

и кросс-модуляции мод с отрицательной групповой

риант (17) означает сохранение суммарной мощно-

465

ЖЭТФ, вып. 3

А. C. Буллер, С. В. Леонов, Н. Р. Литвинова, Р. В. Литвинов

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

сти, переносимой модами волновода. Действитель-

скоростей и пропорциональна одному из произведе-

но, нормированная мощность, переносимая вдоль

ний комплексных амплитуд Cf∗+C^b- или Cb+C^f∗-. Если

положительного направления оси z (см. рис. 1), рав-

фазовое рассогласование Φ(z) этих возмущений из-

на сумме If+ +I^b-, а мощность, переносимая вдоль от-

меняется по длине взаимодействия (Φ(z) = const),

рицательного направления, равна сумме Ib+ +I^f-. То-

то такое влияние приводит к изменению за счет

гда общая нормированная мощность, переносимая

взаимодействия не только фаз взаимодействующих

вдоль волновода, определяется формулой (17).

мод, но и их интенсивностей.

Интенсивности четырех мод можно выразить

Уравнения (21) и (22) с учетом соотношения

через три независимых инварианта, определяемых

(23) описывают нелинейную колебательную систему

формулами (16), (17), и одну функцию

второго порядка, образованную величинами G(z) и

Φ(z) [39,40]. Первый интеграл W , являющийся ана-

G(z) = If+(z) + I^f-(z) - Ib+(z) - I^b-(z)

(18)

логом закона сохранения энергии нелинейного ма-

ятника, для такой системы может быть получен в

следующим образом:

следующем виде:

I_±

G(z)

I^f±(z) = ±S

(19)

W = M(G(z))cosΦ(z)-

1+g₁

1-g₁

I_±

G(z)

G²(z) -

SG(z).

(24)

I^b±(z) = ∓

(20)

64g

32g

Инвариант W позволяет представить решение этих

Функция G(z) может быть интерпретирована

уравнений относительно функции G(z) в виде квад-

как разность нормированных мощностей S₊

ратуры:

= If+(z) - Ib+(z) и S_- = I^b-(z) - I^f-(z), переносимых

∫

модами соответственно с положительной и отрица-

∕√

тельной групповой скоростью. Ее модуль не может

γz=±

H(q) dq,

(25)

быть больше единицы.

Уравнения связанных мод (8)-(11) могут быть

где

редуцированы к следующим двум уравнениям отно-

[

сительно функции G(z) и фазы Φ(z) произведения

H(q) = 64g²M²(q) - 8gM(G0)cosΦ0 +

комплексных амплитуд Cf∗+Cb∗+C^f-C^b- = M exp(iΦ):

]

1+g₁

1-g₁

(q² - G²⁰) +

(q - G₀)

(26)

= -8gγM(G)sinΦ,

(21)

{[

]

и введены обозначения G₀ = G(0) и Φ₀ = Φ(0).

1+g₁

1-g₁

Φ=

G+

Соотношения (16)-(26) описывают изменение ин-

)

тенсивностей взаимодействующих мод по координа-

^[G

⁽1

S²

- 2g

G -

те z. Решения относительно фаз φf,b+,- комплексных

4(1 + δ)²

амплитуд

]

}

1-δ

cosΦ

(22)

Cf,b+,- = (If,b+,-)1/2 exp(iφf,b+,-),

8(1 + δ)

M (G)

которые могут быть получены из уравнений связан-

где δ = I₊/I_- и модуль произведения M(G) выра-

ных мод (8)-(11) с учетом найденных инвариантов

жается через функцию G(z) следующим образом:

{[

]

I±, S и W (см. (16), (17) и (24)) и функции G(z),

(G + S)²

здесь опущены.

M (G) =

(1 + δ)²

Очевидно, что формула (25) дает вещественную

[

]}1/2

зависимость G(z) при положительных значениях по-

(G - S)

(23)

линома четвертой степени H(q), который имеет че-

(1 + δ)²

тыре вещественных корня q_j (j = 1, . . . , 4) для фи-

Величина M exp(iΦ) описывает самосогласован-

зически реализуемых параметров δ, S, G₀, Φ₀. Если

ное влияние друг на друга возмущений диэлектри-

эти корни упорядочить в порядке возрастания q₁ ≤

ческой проницаемости подложки, сформированных

≤ q₂ ≤ q₃ ≤ q₄, то величины q₂ и q₃ всегда будут

под действием интенсивностей двух составляющих

удовлетворять неравенствам -1 ≤ q₂ и q₃ ≤ 1. Тог-

светового поля, каждая из которых образована мо-

да величина q, при которой H(q) ≥ 0 и |G(z)| ≤ 1,

дами с противоположным направлением групповых

лежит в интервале q₂ ≤ q ≤ q₃.

466

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Энергообмен при вырожденном смешении. . .

∫

∕√

0.1

Λ=

H(q) dq.

(27)

-1.8

-0.9

0.9

1.8

Расчет зависимости G(z) по формуле (25) в пре-

-0.1

делах периода Λ требует согласования знака перед

интегралом и пути интегрирования. Существуют

два противоположных пути интегрирования. Пер-

-0.3

вый из них соответствует интегрированию, при ко-

тором величина G непрерывно меняется в соответст-

вии с переходами G₀ → q₃ → q₂ → G₀, второй со-

ответствует противоположному направлению, G₀ →

-0.5

→ q₂ → q₃ → G₀. Если sinΦ₀ < 0 (sinΦ₀ > 0), то

должен быть выбран первый (второй) путь интегри-

рования (см. (19)). Если sin Φ₀ = 0, то производная

Рис. 3. Зависимости H(q) для отстроек по частоте от нуля

dG(z)/dz равна нулю в точке z = 0 (см. (21)), а сама

групповой скорости моды Δω ≈ 2.075 · 10¹¹ рад/c (кривые

функция G(z) в этой точке достигает либо миниму-

1-4) и Δω ≈ 10⁹ рад/c (5) при различных условиях взаи-

ма, и тогда интегрирование необходимо выполнять

модействия: 1 — S = 0, δ = 2, Φ0 = 0, G0 = 0.5; 2 — S = 0,

вдоль первого пути, либо максимума, и тогда вы-

δ = 2, Φ0 = π/2, G0 = 0.5; 3 — S = 0.5, δ = 1, Φ0 = 0,

бирается второй путь интегрирования. Знак в пра-

G0 = 0.2; 4, 5 — S = 0.5, δ = 1, Φ0 = π/4, G0 = 0.2

вой части формулы (25) выбирается так, чтобы при

изменении верхнего предела интеграла абсолютное

Рисунок 3 дает представление о трансформации

значение координаты z нарастало в каждом из пе-

характера зависимости H(q) при изменении пара-

реходов пути интегрирования.

метров взаимодействия. Кривые 1-4 на этом рисун-

ке рассчитаны для взаимодействия, которому отве-

5. ЭНЕРГООБМЕН МЕЖДУ МОДАМИ

чают отстройка по частоте от нуля групповой ско-

рости моды Δω = ω₀ - ω ≈ 2.075 · 10¹¹ рад/c. В этом

Из формул (18)-(20) следует, что описание об-

случае коэффициенты g = 0.78, g₁ = 0.62 заметно

мена энергией между модами, следствием которо-

отличаются от единицы. Кривая 5 рассчитана для

го является изменение интенсивностей мод по ко-

взаимодействия со значительно меньшей отстрой-

ординате z, может быть выполнено с использова-

кой Δω ≈ 10⁹ рад/c, при которой коэффициенты

нием единственной периодической функции G(z),

g = 0.98, g₁ = 0.96 близки к единице.

равной разности мощностей S₊ и S_- (см. экспли-

Зависимость H(q) может быть как симметрич-

кацию к формуле (18)), переносимых модами с по-

ной, так и асимметричной. Симметричные зависи-

ложительной и отрицательной групповыми скоро-

мости H(q) отвечают случаю нулевой переносимой

стями. При этом рост (спад) величины G с увели-

мощности (S = 0). При этом, если sin Φ₀ = 0, то q₂ =

чением координаты z свидетельствует об усилении

= -|G₀| и q₃ = |G₀| (см. кривую 1). Если sinΦ₀ = 0,

(ослаблении) интенсивностей мод, распространяю-

то |q2,3| > |G₀| (см. кривую 2).

щихся вперед, и ослаблении (усилении) интенсив-

При S = 0 зависимость полинома четвертой сте-

ностей мод, распространяющихся назад. Чем боль-

пени H(G) общего вида является асимметричной

ше амплитуда у функции G(z), тем эффективнее

(см. кривые 3-5). При этом, если sin Φ₀ = 0, то один

энергообмен. Если G(z) = const, то энергообмен

из корней q2,3 равен G₀ (см. кривую 3).

между модами отсутствует, взаимодействие приво-

Следует отметить, что на частоте взаимодейст-

дит только к фазовой само- и кросс-модуляции мод.

вия вблизи нуля групповой скорости моды, когда

Из уравнения (21) следует, что эффективность энер-

g ≈ g₁ ≈ 1, при δ = 1 зависимость H(q) практи-

гообмена пропорциональна коэффициенту g, кото-

чески симметрична независимо от значения S (см.

рый уменьшается при удалении частоты взаимодей-

кривую 5).

ствия от частоты нуля групповой скорости из-за

В общем случае, с увеличением абсолютного зна-

увеличения разницы постоянных распространения

чения координаты z от нуля до бесконечности функ-

мод и, как следствие, уменьшения перекрытия по-

ция G(z), задаваемая формулой (25), изменяется с

лей мод в подложке (см. (13)-(15)). Для парамет-

периодом равным

ров, использованных при расчете дисперсионных за-

467

А. C. Буллер, С. В. Леонов, Н. Р. Литвинова, Р. В. Литвинов

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

G, отн. ед.

висимостей на рис. 2, коэффициент g на частоте

отсечки (ω₀ - ωcut ≈ 1.8 · 1013 рад/c) падает до

1.0

величины примерно 0.05, что соответствует прене-

брежимо низкой эффективности энергообмена. Зна-

чительная эффективность энергообмена достигает-

ся только при небольших частотных отстройках от

нуля групповой скорости. Ниже результаты числен-

0.5

ных расчетов, демонстрирующих основные особен-

ности обмена энергией между взаимодействующими

модами, представлены для небольшой отстройки по

частоте Δω ≈ 1.008·10⁹ рад/c от частоты нуля груп-

повой скорости моды (g = 0.98 и g₁ = 0.96).

0.5

1.0

1.5

z, cм

Форма, период Λ и амплитуда функции G(z)

сильно зависят от четырех параметров δ = I₊/I_-,

S, Φ₀, G₀. Отметим, что величина δ (0 ≤ δ ≤ ∞)

совместно с равенством I₊ + I_- = 1 задает величи-

-0.5

ны инвариантов I₊ = δ/(1 + δ) и I_- = 1/(1 + δ).

Рис. 4. Функции G(z), рассчитанные для δ = 5: сплошная

Параметры δ, S (-1 ≤ S ≤ 1) и Φ₀ независимы. При

кривая — S = 0.3, G0 ≈ 0.633; штриховая — S = 0.67,

этом минимум (G0min = max(-S - 2I₊; S - 2I_-))

G0 ≈ 0.999; штрихпунктирная — S = 0.1, G0 ≈ 0.433

и максимум (G0max = min(-S + 2I₊; S + 2I_-)) на-

чальной величины G₀ = G(0) определяются числен-

мощности S и начальных значений G₀, показана на

ными значениями δ и S. Для каждой пары пара-

рис. 4. В расчетах использовались следующие пара-

метров δ и S существует такое начальное значение

метры: n2s = 10-19 м²/В², I₀ = 10¹⁵ В²/м², λ =

G0c, при котором G(z) = G0c (энергообмен отсут-

= 2π/ω ≈ 1.076 мкм. Для принятых параметров

ствует), а фазовое рассогласование Φ(z) ≡ Φ₀ = πn,

величина постоянной связи приблизительно равна

где n = 0, 1, 2, . . . (см. (21)). Алгебраическое уравне-

γ ≈ 20.5 см-1. Отметим, что величины G₀, исполь-

ние относительно величины G0c нетрудно получить

зованные в расчетах, приблизительно равны макси-

из уравнения (22) с учетом соотношения (23). Ес-

мально возможным для каждого из трех значений

ли δ = 1 и S = 0, то это уравнение имеет три корня

S. Из этого рисунка следует, что с ростом перено-

G0c = 0, ±1. Величина G0c = 0 отвечает одинаковым

симой мощности растет и среднее за период зна-

нормированным интенсивностям всех четырех мод,

чение этой функции, равное G0c, а размах колеба-

If,b+,- = 1/4. Величина G0c = 1(-1) отвечает случаю

ний уменьшается. При этом гармонические колеба-

ния изменяются на колебания релаксационного ти-

If+ = I^b- = 1/2 (If+ = I^b- = 0)

па [40].

На рис. 5 представлены зависимости нормиро-

ванных интенсивностей мод от координаты z, со-

I^f- = Ib+ = 0 (I^f- = Ib+ = 1/2).

ответствующие функции G(z), показанной сплош-

Для любого другого набора параметров δ = 1

ной кривой на рис. 4. Участки усиления (ослабле-

или S = 0 существует только одно отличное от ну-

ния) интенсивностей I^b± и ослабления (усиления)

ля значение G0с, в общем случае зависящее от знака

интенсивностей I^f± соответствуют участкам спада

cos(πn). Значение G0с = 0, отвечающее параметрам

(роста) функции G(z). Поэтому ослабление состав-

δ = 1, S = 0 или δ = 1, S = ±1, не зависит от

ляющей I_f = If+ + I^f- = (1 + G)/2 интенсивности

этого знака. Для δ = 1, S = 0 и S = ±1 величи-

общего светового поля, образованной модами с по-

на G0c стремится к нулю (G0c → 0) при стремлении

ложительной фазовой скоростью, сопровождается

к единице коэффициента g₁ (g₁ → 1), определенно-

усилением составляющей I_b = Ib+ + I^b- = (1 - G)/2 и

го формулой (13). Если G₀ > G0c (G₀ < G0c), то

наоборот. Эффективность перекачки энергии из од-

при условии Φ₀ = πn функция G(z) достигает мак-

ной составляющей I_f в составляющую I_b с ростом

симума (минимума) в начальной точке z = 0. При

координаты z удобно оценивать величиной коэффи-

условии G₀ = G0c величина G0c равна среднему за

циента

период значению функции G(z).

(1 + G₀)(1 - G(z))

Функция G(z) рассчитанная для параметров δ =

K(z) =

(28)

= 5, Φ₀ = 0 и различных величин переносимой

(1 - G₀)(1 + G(z))

468

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Энергообмен при вырожденном смешении. . .

0.8

0.5

0.4

0.6

0.3

0.2

0.4

0.1

0.5

1.0

1.5

2.0

0.2

z, мм

Рис. 7. Зависимости интенсивностей мод If+ = I^f- (кривая

1) и Ib+ = I^b-

(кривая 2) от координаты z, соответствующие

0.5

1.0

1.5

кривой 3 на рис. 6

z, cм

Рис. 5. Зависимости нормированных интенсивностей мод

от координаты z, соответствующие сплошной кривой на

G(z) равна модулю ее начального значения (|G₀|).

рис. 4: 1 — If+, 2 — Ib+, 3 — I^f-, 4 — I^b-

При увеличении G₀ ее период и форма заметно из-

меняются.

При малой амплитуде |G₀| ≪ 1 (см. кривую 1

G, отн. ед.

на рис. 6) справедливы следующие приближенные

1.0

формулы:

G(z) ≈ G₀ cos (2πz/Λ_min) ,

(29)

0.5

√

4π

Λ_min =

√

(30)

g(4g + g₁

+ 1)

0.5

1.0

1.5

Для большой амплитуды |G₀| ≈ 1 (см. кривую 3

-0.5

на рис. 6), приближенное соотношение для функции

G(z) в пределах полупериода jΛ/2 ≤ z < (j + 1)Λ/2

-1.0

(j = 0, 1, 2, . . .) может быть получено в виде

Рис. 6. Зависимости G(z), рассчитанные для S = 0, δ = 1,

{

)1/2

Φ0 = 0 и различных G0: 1 — G0 = 0.2, 2 — 0.8, 3 — 0.999

⁽g²

(g₁ + 1)²

G(z) ≈ (-1)^j G₀ th γ

[

]}

который достигает максимума при z = Λ/2. Для

× (2j + 1)

-z

(31)

случаев взаимодействия, соответствующих кривым

на рис. 4, максимальный энергообмен достигается

В этом случае формула для периода функции

для взаимодействия, соответствующего штриховой

может быть упрощена до следующего приближен-

кривой (K(Λ/2) ≈ 590).

ного вида:

Условия взаимодействия, отвечающие кривым

на рис. 4, не являются оптимальными для энерго-

)-1/2

обмена. При нулевой начальной фазе Φ₀ = 0 значи-

⁽g²

(g₁ + 1)²

Λ≈

тельно большее усиление слабой составляющей I_b и

[

]

ослабление сильной I_f достигается для параметров

⁽ 4g - g₁ - 1⁾

× ln

+1 .

(32)

S = 0 и δ = 1. Кривые 1, 2, 3 на рис. 6 показывают

4g(1 - |G₀|)

зависимости G(z), рассчитанные для этих парамет-

ров и различных начальных значений G₀ = 0.2, 0.8,

Для параметров взаимодействия, отвечающих

0.999 соответственно. В этом случае постоянная со-

рис. 6, интенсивности мод, распространяющихся

ставляющая у периодической зависимости G(z) от-

вперед, равны (If+ = I^f-), так же как интенсивнос-

сутствует (G0c = 0), амплитуда колебаний функции

ти мод, распространяющихся назад (Ib+

= I^b-).

469

А. C. Буллер, С. В. Леонов, Н. Р. Литвинова, Р. В. Литвинов

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

, см^-1

величины, равной (2/(1 + δ)) + S. Характерно, что

максимальное значение Γ у трех представленных за-

висимостей, рассчитанных для нулевого начально-

го фазового рассогласования (Φ₀ = 0), достигает-

ся при полупериоде взаимодействия меньшем, чем

максимальный полупериод, соответствующий мак-

симальной величине G₀. Для случаев взаимодей-

ствия, соответствующих кривым 1 и 2, это различие

не так существенно, как в случае взаимодействия

при S = 0 и δ = 1 (см. кривую 3). В последнем

случае Λ → ∞ и Γ → 0 при G₀ → 1, а максималь-

достигается при периоде

ное значение Γ ≈ 17.5 см-1

Λ ≈ 4.5 мм, соответствующем начальному значению

G₀ ≈ 0.963, которому, в свою очередь, отвечает на-

чальное отношение интенсивности сильной состав-

/2, мм

ляющей светового поля к слабой (I₊

/Ib+ = I^f-/I^b-),

приблизительно равное 53.

Рис. 8. Зависимости логарифмического коэффициента

Отметим, что в общем случае начальное фазо-

усиления Γ от полупериода взаимодействия: 1 — S = 0.5,

вое рассогласование Φ₀, кратноe π, может оказаться

δ = 1 и Φ0 = 0; 2 — S = 0, δ = 2 и Φ0 = 0; 3 — S = 0,

не оптимальным для усиления (ослабления) слабой

δ = 1 и Φ0 = 0; 4 — S = 0, δ = 1 и Φ0 = π/2

(сильной) составляющей светового поля. Так, при

фазовом рассогласовании кратном π/2 (Φ₀ = πn/2)

коэффициент усиления K (см. (28)) при прочих рав-

На рис. 7 представлены зависимости этих интен-

ных условиях может оказаться выше, чем при Φ₀ =

сивностей от координаты z для случая взаимодей-

= πn (см. (21)). Однако при Φ₀ = πn/2 (см. кривую

ствия, соответствующего кривой 3 на рис. 6. Такое

4 на рис. 8) период энергообмена Λ оказывается так-

взаимодействие при z = Λ/2 ≈ 17.2 мм инвертиру-

же выше, чем при Φ₀ = πn, что снижает логариф-

ет начальное отношение интенсивностей сильных и

мический коэффициент Γ.

слабых мод, приблизительно равное 2000, в обрат-

ное. При этом максимальный коэффициент K, рав-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ный в этом случае K = (1+G₀)²/(1-G₀)² (см. (28)),

и характеризующий эффективность обмена энерги-

Таким образом, в планарном оптическом волно-

ей между модами, равен приблизительно 4·10⁶. Это

воде на основе оптически линейных правоориенти-

на три порядка больше, чем при взаимодействии, от-

рованной покровной среды и тонкой левоориенти-

вечающем штриховой кривой на рис. 4 с таким же

рованной пленки на правоориентированной подлож-

начальным значением G₀ = 0.999.

ке, обладающей нелинейным оптическим откликом

Увеличение эффективности энергообмена при

за счет эффекта Керра, вблизи частоты нуля груп-

|G₀| → 1 сопровождается ростом периода взаимо-

повой скорости в двух противоположных направ-

действия (Λ → ∞, см. (32)), что снижает значи-

лениях могут распространяться четыре направля-

мость эффекта усиления (ослабления) слабой (силь-

емые T E₂-моды одной частоты. Одинаковые по на-

ной) составляющей светового поля. Комплексная

правлению фазовые скорости двух мод, распростра-

оценка эффективности взаимодействия, учитываю-

няющихся вперед, или двух мод, распространяю-

щая негативное влияние роста периода взаимодей-

щихся назад, различны. Одна из двух мод, распро-

ствия при увеличении эффективности перераспре-

страняющихся вперед или назад, имеет положитель-

деления энергии между модами пленки, может быть

ную групповую скорость, совпадающую по направ-

выполнена на основе логарифмического коэффици-

лению с фазовой, что типично для плоских электро-

ента Γ = (2/Λ) ln K(Λ/2), аналогичного коэффи-

магнитных волн в обычных объемных правоориен-

циенту двухволнового усиления при попутном [41]

тированных средах, а другая — имеет отрицатель-

и встречном [42] взаимодействии в объемных сре-

ную групповую скорость, противоположную фазо-

дах. На рис. 8 показаны зависимости коэффициен-

вой, что характерно для электромагнитных волн

та Γ от полупериода взаимодействия, полученные

в левоориентированных метаматериалах. Самовоз-

при варьировании начального значения G₀ от 0 до

действие четырех мод тонкой левоориентированной

470

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Энергообмен при вырожденном смешении. . .

пленки на керровской подложке приводит к форми-

максимального значения на конечном полупериоде

рованию пространственного возмущения ее диэлек-

взаимодействия.

трической проницаемости, кросссоставляющие ко-

торого, сформированные под действием какой-либо

пары мод, оказывают обратное влияние не только на

ЛИТЕРАТУРА

моды этой исходной пары, но и на две другие моды,

М. Барноски, П. Тьен, Дж. Гоелл и др., Введение

что и приводит к внутримодовому энергообмену.

в интегральную оптику, Мир, Москва (1977).

Аналитическое решение уравнений связанных

мод получено относительно их интенсивностей с ис-

Т. Тамир, Интегральная оптика, Мир, Москва

пользованием четырех найденных независимых ин-

(1978).

вариантов. Элементарными инвариантами взаимо-

Р. Хансперджер, Интегральная оптика, Мир,

действия являются мощность S, переносимая мода-

Москва (1985).

ми, а также интенсивности I₊ и I_- двух составля-

ющих общего светового поля, образованных парой

L. A. Coldren, S. W. Corzine, and M. L. Masanovic,

мод с положительными групповыми скоростями и

Diode Lasers and Photonic Integrated Circuits, Wiley,

парой мод с отрицательными групповыми скоростя-

Hoboken (2012).

ми соответственно. Изменения интенсивностей мод

G. I. Stegeman, E. M. Wright, N. Finlayson, R. Zano-

по длине взаимодействия могут быть представлены

ni, and C. T. Seaton, J. Light. Technol. 6, 953 (1988).

в виде линейных комбинаций инвариантов I₊, I_-,

S и одной функции G(z), равной разности мощно-

G. I. Stegeman and C. T. Seaton, J. Appl. Phys. 58,

стей, переносимых модами с положительной и отри-

R57 (1985).

цательной групповыми скоростями. Четвертый ин-

A. Boardman and P. Egan, IEEE J. Quantum

вариант W есть энергия динамической системы на

Electron. 22, 319 (1986).

плоскости, образованной величиной G(z) и фазо-

вым рассогласованием Φ(z) возмущений диэлектри-

M. Fontaine, J. Appl. Phys. 69, 2826 (1991).

ческой проницаемости подложки, сформированных

Л. И. Мандельштам, ЖЭТФ 15, 475 (1945).

под действием интенсивностей двух составляющих

светового поля, каждая из которых образована мо-

10.

В. Г. Веселаго, УФН 92, 517 (1967).

дами с противоположным направлением групповых

11.

B. A. Munk, Metamaterials, Wiley, Hoboken (2009).

скоростей.

Эффективность энергообмена периодически ме-

12.

R. C. McPhedran, I. V. Shadrivov, B. T. Kuhlmey,

няется вдоль направления взаимодействия и зави-

and Y. S. Kivshar, NPG Asia Mater. 3, 100 (2011).

сит от инвариантов I₊, I_-, S, начального фазово-

13.

M. Lapine, I. V. Shadrivov, and Y. S. Kivshar, Rev.

го рассогласования Φ₀ = Φ(0) и начальной разно-

Mod. Phys. 86, 1093 (2014).

сти мощностей G₀ = G(0). Следствием периодично-

сти энергообмена является инвертирование началь-

14.

I. V. Shadrivov, A. A. Sukhorukov, and Y. S. Kivshar,

ных интенсивностей мод, распространяющихся впе-

Phys. Rev. E 67, 057602 (2003).

ред (назад), с положительной и отрицательной груп-

15.

A. C. Peacock and N. G. R. Broderick, Opt. Express

повыми скоростями в интенсивности мод, распро-

11, 2502 (2003).

страняющихся назад (вперед), на полупериоде взаи-

модействия. Такое инвертирование при выполнении

16.

Y. He, Z. Cao, and Q. Shen, Opt. Commun. 245, 125

условий I₊ = I_-, S = 0, Φ₀ = nπ и |G₀| → 1 соответ-

(2005).

ствует значительному усилению (ослаблению) сла-

17.

A. V. Novitsky and L. M. Barkovsky, J. Opt. A: Pure

бых (сильных) составляющих светового поля. Одна-

Appl. Opt. 7, S51 (2005).

ко при выполнении этих же условий период взаимо-

действия увеличивается до бесконечности, что сни-

18.

А. В. Новицкий, Л. М. Барковский, Оптич. ж. 73,

жает значимость большой эффективности энергооб-

8 (2006).

мена. Комплексная оценка эффективности энерго-

19.

H. Cory and T. Blum, Microwave Opt. Technol. Lett.

обмена между вперед и назад распространяющими-

44, 31 (2005).

ся полями на основе коэффициента двухволнового

усиления показывает на то, что при любых значе-

20.

Z. H. Wang, Z. Y. Xiao, and S. P. Li, Opt. Commun.

ниях I₊, I_-, S и G₀ этот коэффициент достигает

281, 607 (2008).

471

А. C. Буллер, С. В. Леонов, Н. Р. Литвинова, Р. В. Литвинов

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

21.

L. F. Shen and Z. H. Wang, J. Opt. Soc. Amer. A 26,

33.

J. A. Ferrari and E. Frins, Opt. Express 19, 13358

754 (2009).

(2011).

22.

Z. H. Wang, Z. Y. Xiao, and W. Y. Luo, J. Opt. A:

34.

Г. Агравал, Нелинейная волоконная оптика, Мир,

Pure Appl. Opt. 11, 015101 (2009).

Москва (1996).

23.

S. Atakaramians, A. Argyros, S. C. Fleming, and

35.

С. Г. Одулов, М. С. Соскин, А. И. Хижняк, Ла-

B. T. Kuhlmey, J. Opt. Soc. Amer. B 30, 851 (2013).

зеры на динамических решетках, Наука, Москва

(1990).

24.

Д. А. Конкин, Р. В. Литвинов, Е. С. Парфeнова,

Р. А. А. Рахим, О. В. Стукач, КЭ 46, 1040 (2016).

36.

B. Crosignani, A. Cutolo, and P. D. Porto, J. Opt.

25.

D. A. Konkin, R. V. Litvinov, and A. A. Shibelgut,

Soc. Amer. 72, 1136 (1982).

Progr. Electromagn. Res. Symp. 2015, 1825 (2015).

37.

Х.-Г. Унгер, Планарные и волоконные оптические

26.

Д. А. Конкин, А. А. Шибельгут, Р. В. Литвинов,

волноводы, Мир, Москва (1980).

Изв. Самарского научн. центра РАН 17, 83 (2015).

27.

S. A. Taya, H. M. Kullab, and I. M. Qadoura, J. Opt.

38.

N. Litvinova, A. Buller, and R. Litvinov, MicDAT

2019, 55 (2019).

Soc. Amer. B 30, 2008 (2013).

28.

A. Boardman and P. Egan, J. Opt. A 11, 114032

39.

Л. И. Мандельштам, Полное собрание трудов, АН

(2009).

СССР, Москва (1955).

29.

S. Hou, S. Zhang,Y. Liu, D. Wang, and J. Lei, Optik

40.

М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков, Введение в

125, 6127 (2014).

теорию колебаний и волн, НИЦ «РХД», Ижевск

30.

K. Y. Kim, J.-H. Lee, Y. K. Cho, and H.-S. Tae, Opt.

(2000).

Express 13, 3653 (2005).

41.

В. Л. Винецкий, Н. В. Кухтарев, С. Г. Одулов,

31.

L. F. Shen and Z. H. Wang, J. Opt. Soc. Amer. B 24,

М. С. Соскин, УФН 129, 113 (1979).

1847 (2007).

32.

I. V. Shadrivov, R. W. Ziolkowski, A. A. Zharov, and

42.

Е. Ю. Агеев, Р. В. Литвинов, Н. Д. Хатьков,

Y. S. Kivshar, Opt. Express 13, 481 (2005).

Л. В. Загребин, С. С. Шестов, КЭ 39, 435 (2009).

472