ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 473-486

АНИЗОТРОПНОЕ РЕШЕНИЕ АДЛЕРА - ФИНЧА - СКИ

В ТЕОРИИ f(G)-ГРАВИТАЦИИ

М. Шариф^*, С. Саба^**

Department of Mathematics, University of Punjab

54590, Lahore, Pakistan

Поступила в редакцию 3 июня 2019 г.,

после переработки 10 июля 2019 г.

Принята к публикации 17 августа 2019 г.

(Перевод с английского)

ADLER-FINCH-SKEA ANISOTROPIC SOLUTION IN f(G) GRAVITY

M. Sharif, S. Saba

С использованием условий вложения, называемых условиями Кармаркара, получено анизотропное ре-

шение для сферически-симметричного самогравитирующего звездного объекта в рамках теории f(G)-

гравитации. Для этого использовались масса и радиус трех модельных компактных звезд, а именно, Her

X-1, SAX J 1808.4-3658 и 4U 1820-30, а также проводилось гладкое сшивание сферической внутренней

и шварцшильдовской внешней геометрии пространства-времени. Для этих звездных моделей исследу-

ются физическая реалистичность и устойчивость предложенного подхода. Оказалось, что построенная

анизотропная модель является физически реалистичной и устойчивой, если она удовлетворяет всем

необходимым требованиям для компактных звездных объектов.

DOI: 10.31857/S0044451020030086

дыр. Эти компактные объекты обладают крайне вы-

сокой плотностью (большие массы при небольших

1. ВВЕДЕНИЕ

радиусах), причем они не подвержены влиянию да-

Ключевыми объектами исследований в астрофи-

же высоких температур.

зике и современной космологии являются как сами

В последнее время исследование компактных

звезды, так и их различные физические свойства.

звездных объектов вызывает большой интерес у аст-

Как известно, светящиеся звезды являются гигант-

рофизиков и космологов. Существование отличной

скими источниками светового излучения в космо-

от нуля анизотропии сферически-симметричных са-

се. После взрыва обычной звезды и ее превраще-

могравитирующих объектов позволяет обнаружить

ния в сверхновую появляются структуры с высо-

важные физические характеристики, которые мож-

кой плотностью, называемые компактными звезда-

но использовать в релятивистских моделях. Анизо-

ми. При этом возникает значительное направленное

тропия давления в распределении материи возника-

наружу давление, которое компенсирует действие

ет вследствие различных фазовых переходов, суще-

направленной внутрь силы гравитации, обусловлен-

ствования некой супержидкости, вязкости или кон-

ной массой звездного объекта. Коллапс звезды на-

денсации пионов крайне плотных сферических объ-

ступает, когда эти силы (гравитационная и сила на-

ектов типа черных дыр. В работе [1] путем обобще-

правленного наружу давления) стремятся уравно-

ния уравнения гидростатического равновесия была

весить друг друга, что, в свою очередь, ведет к об-

введена анизотропия релятивистской сферы, а так-

разованию новых компактных объектов, таких как

же разнообразные физические свойства анизотроп-

белые карлики, нейтронные звезды, а также черных

ного давления. В работе [2] исследовалась устойчи-

^* E-mail: msharif.math@pu.edu.pk

вость анизотропного самогравитирующего объекта

^** E-mail: saadia.saba86@gmail.com

при радиальных возмущениях как для ньютоновско-

473

М. Шариф, С. Саба

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

го случая, так и для случая ОТО и было обнаруже-

и физические свойства анизотропной компактной

но, что устойчивость моделей компактных звездных

звезды с вложением класса 1. Те же авторы в рабо-

объектов усиливается при наличии анизотропии, а

те [10], используя различные потенциалы, предло-

также при уменьшении адиабатического показате-

жили новую звездную модель с вложением класса

ля.

1. Кроме того, используя условия Кармаркара для

В работе [3] исследовалось аналитическое ани-

статического сферически-симметричного простран-

зотропное решение для кварковой материи с ис-

ства-времени [11], они получили обобщенные анизо-

пользованием линейного уравнения состояния (УС).

тропные модели.

Полученное решение было обобщено для конкрет-

В работе [12] рассматривались анизотропные

ного профиля плотности звезды. В работе тех же

внутренние решения для звездных объектов, прост-

авторов [4] исследовалось точное анизотропное ре-

ранственно-временная геометрия которых удовлет-

шение для компактного объекта с использованием

воряет условию Кармаркара. В работе [13] было по-

анизотропного фактора определенного вида и было

лучено решение с вложением класса 1, описываю-

получено необходимое реалистичное поведение для

щее внутреннюю область астрофизических объек-

рассматриваемых физических объектов. Затем было

тов. Авторы этой работы также исследовали дру-

исследовано точное аналитическое решение для слу-

гую звездную модель, которая описывает геомет-

чая заряженных кварковых звезд, когда допуска-

рическую сингулярность с помощью вложения че-

ется однопараметрическое семейство конформных

тырехмерной геометрии искривленного пространст-

движений [5]. В работе [6] исследовалась природа

ва-времени в пятимерную псевдо-евклидову геомет-

анизотропии для компактных звездных структур с

рию [14]. В работе [15] условие Кармаркара ис-

радиальной зависимостью переменной космологи-

пользовалось для нахождения решения с вложени-

ческой постоянной в пространстве-времени Крио-

ем класса 1 для сферически-симметричного прост-

ри - Баруа.

ранства-времени. В работе [16] было получено но-

Для физически непротиворечивого анизотропно-

вое решение с вложением класса 1 для сферическо-

го решения необходимо наложить некоторые усло-

го компактного звездного распределения в присут-

вия на компоненты материи, геометрию простран-

ствии электромагнитного поля, а также было найде-

ства-времени или использовать некоторый частный

но физически реалистичное решение Адлера - Фин-

вид УС. Для того чтобы вложить 4D-многообразие

ча - Ски для компактных звезд.

(искривленное пространство-время) в плоское (евк-

Использование модифицированных теорий гра-

лидово) пространство-время более высокой размер-

витации — один из перспективных способов поис-

ности, использовались различные способы и моде-

ка неизвестных характеристик темной Вселенной,

ли [7]. Если n-мерное псевдо-риманово многообра-

обусловливающих космическое расширение. В ра-

зие U_n можно вложить в (n + m)-мерное псевдо-

боте [17] для эффективного анализа космических

евклидово пространство, где m — минимальное чис-

фазовых переходов на поздних стадиях было пред-

ло дополнительных измерений, то говорят, что U_n

ложено использовать разнообразие космических со-

имеет класс вложения m. Класс вложения внеш-

ставляющих, вводя модифицированную гравитацию

него решения Шварцшильда равен 2, а класс вло-

Гаусса - Бонне (ГБ) (или f(G)-гравитацию), связан-

жения внутреннего решения и стандартной модели

ную с ГБ-инвариантом, с некими прецессионны-

Фридмана - Робертсона - Уокера (FRW) достигает 1.

ми членами и рассматривая производные высших

В плоском пространстве-времени с более высокой

порядков. Используемый второй скаляр Лавлока

размерностью это вложение, имеющее искривлен-

(ГБ-инвариант) представляет собой четырехмерный

ную геометрию, определяет условие, с помощью ко-

топологический член, который исключает духовые

торого можно получить дополнительную связь меж-

неустойчивости. В этот инвариант

ду двумя пространственно-временными потенциала-

G = R² - 4R_αδR^αδ + R_αδμνR^αδμν

ми (временным и радиальным), которое называется

условием Кармаркара. Используя эту связь, можно

входят квадратичные слагаемые, а именно квадрат

найти решение с вложением класса 1 для статичес-

скаляра Риччи R, а также комбинация тензора Рич-

кого сферически-симметричного пространства-вре-

чи R_αδ и тензора Римана R_αδμν [18]. В работе [19]

мени. В работе [8] было получено анизотропное ре-

были рассмотрены теории f(G)- и f(R, G)-гравита-

шение с вложением класса 1 и проанализированы

ции, в которых, используя поправки высших поряд-

результаты для нескольких теоретических звездных

ков для кривизны, удалось избавиться от некоторых

моделей. В работе [9] исследовались устойчивость

сингулярностей, возникающих в конечном будущем.

474

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Анизотропное решение Адлера - Финча - Ски. . .

В работе [20] представлено краткое введение

2. АНИЗОТРОПНАЯ ЖИДКОСТЬ И

в разнообразные космологические аспекты различ-

f (G)-ГРАВИТАЦИЯ

ных модифицированных теорий гравитации, а имен-

В этом разделе мы получим анизотропное внут-

но, f(R)-, f(G)- и f(R, G)-гравитаций, которые

реннее решение для компактного звездного объекта

рассматривались как гравитационная альтернати-

для случая f(G)-гравитации, используя определя-

ва темной энергии. Кроме того, было показано, что

емые вложением условия. В этом случае действие

этим теориям соответствуют разнообразные косми-

определяется как [17]

ческие структуры, т. е. с их помощью можно эф-

∫

)

фективно описать возможный фазовый переход от

⁽R + f(G)

S = d⁴x√-g

+L_m

(1)

замедления к ускорению, а также режимы ускоре-

2κ²

ния и расширения на поздних стадиях. Позднее те

же авторы [21] рассмотрели различные представле-

где κ² = 8π (мы используем гравитационные еди-

ния упомянутых выше модифицированных теорий

ницы) — постоянная взаимодействия, а L_m — плот-

гравитации и связи между ними и пришли к выво-

ность лагранжиана материи. Соответствующие по-

ду, что некоторые их варианты могут предложить

левые уравнения имеют вид

разумное и качественное унифицированное описа-

(

)

G_αδ = κ²T(eff)αδ

=κ²

T(m)αδ + T(G)

(2)

ние инфляции в эпоху темной энергии. Возможность

αδ

Большого Хлопка и возникновения через конечное

Анизотропной материи соответствует член

время в будущем других сингулярностей учитыва-

лась путем включения в приведенные выше теории

T(m)αδ = (ρ + P_t)U_αU_δ + P_tg_αδ + (P_r - P_t)ξ_αξ_δ,

(3)

гравитации гравитационных инвариантов с высши-

ми производными.

где ρ — плотность, P_r и P_t — радиальное и тангенци-

альное давление, соответственно, U_α — 4-скорость,

В работе

[22] исследовалось распределение

а ξ_α — пространственно-подобный 4-вектор. Темно-

анизотропной материи в компактной сфере для

му источнику (поправочный член, обусловленный

f (G)-гравитации, а полученные физические харак-

f (G)-гравитацией) соответствует член

теристики сравнивались с данными наблюдений.

[

В работе [23] анализировались точные решения

для анизотропного статического сферически-сим-

T(G)αδ =

g_αδf(G) +

(4R_δσR^σα - 2RR_αδ -

2κ

метричного пространства-времени для той же

− 2R_ασηνR^σηνδ - 4R_ασηδR^ση)f_G(G)+

теории гравитации. В работе [24] исследовались

особенности компактных звездных объектов и их

+ (4R_αδ - 2Rg_αδ)∇²f_G (G) + 2R∇_α∇_δf_G (G) -

устойчивость для f(R, T )-гравитации. В работе [25]

- 4R^σα∇_δ∇_σf_G(G) - 4R^σδ∇_α∇_σf_G(G)+

были получены точные решения для анизотропного

]

сферического случая для минимальной геометри-

+ 4g_αδR^ση∇_σ∇_ηf_G(G) - 4R_ασδη∇^σ∇^ηf_G(G) ,

(4)

ческой деформации, а также проанализированы

критерии эффективности и устойчивости для

где f_G (G) — обыкновенная производная функции об-

f (G)-гравитации. В работе [26] предложены модели

щего положения по G, а ∇_α — ковариантная про-

анизотропных компактных звезд с вложением

изводная, входящая в оператор Даламбера (∇² =

класса 1 для f(R)-гравитации.

= ∇_α∇^α).

Чтобы описать внутреннюю геометрию статичес-

В настоящей работе рассматривается анизотроп-

кой сферически-симметричной суперплотной звез-

ное внутреннее решение с вложением класса 1 для

ды, удобно взять линейный элемент в каноническом

статического сферически-симметричного самогра-

виде:

витирующего объекта с использованием условия

Кармаркара. Работа построена следующим образом.

ds² = -eη(r)dt² + eβ(r)dr² + r²(dθ² + sin² θ dφ²). (5)

В разд. 2 обсуждаются полевые уравнения в рамках

теории f(G)-гравитации для распределения анизо-

Соответствующие полевые уравнения имеют вид

тропной жидкости и вычисляется соответствующее

)

(

)

⁽β^′

решение. В разд. 3 исследуется вопрос о том, на-

8π ρ - T0(G)

e-β(r),

(6)

r²

сколько полученная модель является эффективной

)

(

)

⁽η^′

и физически реалистичной. Последний раздел по-

8π P_r + T1(G)

e-β(r),

(7)

r²

священ обсуждению полученных результатов.

475

М. Шариф, С. Саба

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

(

)

8π P_t + T2(G)

Δ=

)

8π(1 + Cr²)(1 + 16AC²Fr²)²

′

[

⁽η

η^′′

η′2

η^′β^′

β^′

(

)

e-β(r),

(8)

× 32AC²Fr²

8AC²F(1 + Cr²) - 1

(

)

+ κ(1+Cr²)

32AC²Fr²(1+8AC²Fr²)+1

выражения для T0(G)0, T1(G)1 и T2(G)2 приведены в

(

)]

Приложении. ГБ-инвариант для (5) можно выра-

× T1(G)1 -T2(G)

(18)

зить как

Физические характеристики звезды можно полу-

-2β

[

]

чить, гладко сшивая решения для внутренней и

(η′2 + 2η^′′)(1 - e^β ) - η^′β^′(3 - e^β)

(9)

r²

внешней геометрии пространства-времени. Будем

считать, что шварцшильдовская метрика для внеш-

Условие Кармакара в терминах кривизны Римана

ней геометрии имеет вид

имеет вид

(

)

(

)-1

R₀₃₀₃R₁₂₁₂ = R₀₁₀₁R₂₃₂₃ + R₀₁₁₃R₀₂₂₃,

(10)

ds² = -

dt² +

dr² +

(

)

откуда следует, что R₁₂₁₂ = 0 [27]. Действительно,

+r²

dθ² + sin² θ dφ²

(19)

этим определяется пространство-время с вложением

класса 1. Из уравнений (5) и (10) следует дифферен-

Непрерывность метрических коэффициентов,

циальное уравнение

g⁺⁰⁰ = g-00, g⁺¹¹ = g-11, g⁺⁰⁰,₁ = g-00,₁ ,

η^′β^′

над гиперповерхностью (r = R) дает

= -2(η^′′ + η′2) + η′2 + η^′β^′, e^β = 1.

(11)

1-e^β

= A(1 + CR²)²,

(20)

Интегрирование дает

(

)-1

e^β = 1 + Fη′2e^η,

(12)

= 1 + 16AC²FR²,

(21)

где F = 0 — постоянная интегрирования.

= 4ACR(1 + CR²).

(22)

Как можно видеть, система уравнений (6)-(8) со

R²

связью (11) содержит пять неизвестных (η, β, ρ, P_r

Используя уравнения (20)-(22), можно выразить по-

и P_t). Чтобы система была самосогласованной, ис-

стоянные A и F через C:

пользуем анзац Адлера для временного метрическо-

го коэффициента [28]:

(23)

2CR³(1 + CR²)

e^η = A(1 + Cr²)²,

(13)

R(1 + CR²)

F =

(24)

4C(R - 2m)

где A и C — произвольные постоянные. Подставляя

где C, m и R — произвольные постоянные.

это в выражение (11), получаем

e^β = 1 + 16AC²Fr²,

(14)

3. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

что аналогично решению Финча - Ски [29]. Исполь-

КОМПАКТНЫХ ЗВЕЗД

зуя радиальный и временной метрические потенци-

В данном разделе мы рассмотрим некоторые ин-

алы из уравнений (13) и (14), систему (6)-(8) можно

тересные результаты, полученные для решений с

привести к виду

вложением класса 1, которые доказывают их фи-

16AC²F(16AC²Fr² + 3)

зическую реалистичность. Для этого рассмотрим

ρ=

+T0(G)0,

(15)

такие важные физические параметры, как эволю-

8π(1 + 16AC²Fr²)²

ция физических переменных (плотность энергии и

-4C(4AC²Fr² + 4ACF - 1)

P_r =

-T1(G)1,

(16)

давление), условие максимальности, энергетические

8π(Cr² + 1)(16AC²Fr² + 1)

границы, параметр компактности, а также устойчи-

4C(4AC²Fr² - 4ACF + 1)

вость предложенной модели. Чтобы графически ис-

P_t =

-T2(G)2,

(17)

8π(Cr² + 1)(16AC²Fr² + 1)²

следовать поведение всех этих параметров, предпо-

ложим, что функция f(G) в общем случае имеет вид

при этом параметр Δ, определяющий анизотропию

давления, принимает вид

f (G) = αGⁿ,

476

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Анизотропное решение Адлера - Финча - Ски. . .

Таблица. Физические приближенные значения мас-

тельна, т. е. направлена внутрь, а если наоборот — то

сы, радиуса и параметра компактности модельных

наружу. В нашем случае, как видно на рисунке, для

компактных звезд Her X-1, SAX J 1808.4-3658 и 4U

трех рассматриваемых странных звезд анизотропия

1820-30

направлена наружу.

Условия максимальности в центре компактного

Модельная звезда Масса, M_⊙ Радиус, км μ

объекта (r = 0) можно записать в виде

Her X-1

0.88

7.7

0.168

dρ

dP_t

= 0,

SAX J1808.4-3658

1.435

7.07

0.299

d²ρ

d²P_r

d²P_t

4U1820-30

2.25

10.0

0.332

< 0,

< 0.

dr²

Тогда градиенты эффективной плотности и давле-

ния будут иметь вид

где α — произвольная постоянная, а n > 0 при n = 1

[23]. В настоящей работе мы рассматриваем распре-

dρ

-64A²C⁴F²r(16AC²Fr² + 5)

dT0(G)0

(25)

деление анизотропной жидкости в астрофизичес-

π(1 + 16AC²Fr²)³

ких объектах для определенного значения парамет-

ра модели n = 2. Анизотропные сферические ре-

dP_r

Cr²

шения анализируются для трех странных звездных

π(1 + Cr²)²(1 + 16AC²Fr²)²

объектов. Их радиусы и массы приведены в таблице.

Для графического анализа зафиксируем свободный

[

]

параметр C = 0.02 для определенной области изме-

× 16ACF(4ACF(1 + Cr²)²-(1 + Cr²)) - 1 -

нения параметра α:

1(G)

dT₁

-1 < α < 0.

(26)

3.1. Критерий максимальности

dP_t

C²r

π(1 + Cr²)²(1 + 16AC²Fr²)

Поскольку астрофизические объекты представ-

[

ляют собой сферические структуры с высокой плот-

× 128A²C²F²(C²r⁴ - Cr² - 1) + 48AC²Fr² +

ностью, физические переменные для них должны

принимать максимальные значения, при этом внут-

]

ри сферического объекта они положительны, а по

dT2(G)2

+ 24ACF + 1 -

(27)

направлению к его поверхности — монотонно убы-

вают. На рис. 1 показаны зависимости физических

Более того, вторые производные ρ, P_r и P_t примут

параметров ρ, P_r, P_t и Δ от радиуса r и параметра

следующий вид:

α для модельных звезд Her X-1, SAX J 1808.4-3658

и 4U 1820-30. Эффективная плотность энергии мак-

d²ρ

64F²C⁴A²(768A²C⁴F²r⁴+352AC²Fr²-5)

симальна внутри компактного звездного объекта и

dr²

π(16AC²Fr² + 1)⁴

монотонно убывает в направлении к его поверхнос-

ти. На рисунке видно, что ρ не изменяется при лю-

d²T0(G)0

(28)

бых значениях α. Аналогично, радиальное и танген-

dr²

циальное давление принимают максимальные зна-

чения в центре и монотонно убывают, когда r стре-

d²P_r

C²

мится к границе звездного объекта. Радиальное дав-

dr²

π(Cr² + 1)³(16AC²Fr² + 1)³

ление обращается в нуль на поверхности звезды, в

[

то время как плотность и тангенциальное давление

× 3072A³C⁴F³r²(C³r⁶+1)+9216A³C⁵F³r⁴(Cr²+1)-

там положительны. С другой стороны, оба давления

убывают при возрастании α. Параметр анизотропии

- 64A²C⁴F²r⁴(Cr² + 1) - 64A²C²F²(15Cr² + 1)-

давления Δ = P_t - P_r, в основном, определяет по-

ведение анизотропного распределения материи. На-

]

d²T1(G)1

правление анизотропии зависит от того, какое дав-

- 16ACF(9C²r⁴ - 1) - 3Cr² + 1 -

(29)

ление больше. Если P_t < P_r, то анизотропия отрица-

dr²

477

М. Шариф, С. Саба

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

-0.5

-1.0

P_r

0.08

0.06

0.04

0.02

-0.5

-1.0

P_t

0.06

0.0020

0.04

0.0015

0.02

0.0010

0.0005

-0.5

-1.0

–1.0

Рис. 1. (В цвете онлайн) Зависимости ρ, Pr , Pt и Δ от радиуса r и параметра α для модельных звезд Her X-1 (оранжевый),

SAX J 1808.4-3658 (красный) и 4U 1820-30 (синий)

d²P_t

C²

d²ρ

d²P_r

d²P_t

< 0,

dr²

π(Cr² + 1)³(16AC²Fr² + 1)⁴

dr²

[

(см. рис. 3).

× 10240A³C⁴F³r²(C³r⁶ - 1)-

- 12288A³C⁵F³r⁴(Cr² + 2) + 128A²C⁴F²r⁴ ×

3.2. Энергетические условия

× (41Cr² + 39) + 128A²C²F²(15Cr² + 1) +

Рассмотренные выше связи имеют важное зна-

]

чение для анализа эффективности моделей ком-

+ 24ACF(8Cr²(Cr² + 1) - 1) + 3Cr² - 1 .

пактных звездных объектов, а также характера их

особенностей. Для реалистичной звезды необходимо

Зависимости градиентов эффективной плотно-

выполнение энергетических условий, а именно, ну-

сти, а также радиального и тангенциального давле-

левого (NEC), доминантного (DEC), слабого (WEC)

ния для трех компактных звезд приведены на рис. 2.

и сильного (SEC) энергетических условий. Для ани-

На рисунках видно, что для всех трех звезд гра-

зотропной материи эти условия имеют следующий

диенты плотности и давления монотонно убывают

вид:

и равны нулю в центре компактного сферического

объекта. Более того, оказалось, что для всех трех

• NEC: ρ + P_r ≥ 0, ρ + P_t ≥ 0,

звезд вторые производные этих величин указывают

• DEC: ρ - P_r ≥ 0, ρ - P_t ≥ 0,

на наличие максимума в центре, т. е. при r = 0, по-

скольку

• WEC: ρ ≥ 0, ρ + P_r ≥ 0, ρ + P_t ≥ 0,

478

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Анизотропное решение Адлера - Финча - Ски. . .

–0.5

-0.5

-1.0

-0.005

-0.010

0.5

1.0

1.5

2.0

-0.5

-1.0

dP_t

-0.005

-0.010

Рис. 2. (В цвете онлайн) Зависимости dρ/dr, dPr /dr и dPt/dr от радиуса r и параметра α для модельных звезд Her X-1

(оранжевый), SAX J 1808.4-3658 (красный) и 4U 1820-30 (синий)

• SEC: ρ+P_r ≥ 0, ρ+P_t ≥ 0, ρ+P_r+2P_t ≥ 0.

где

∫

m(r) =

4πρr²dr

Если эти условия не выполняются, то материя

является экзотической, а в противном случае —

— масса звезды. Заметим, что при исследовании

обыкновенной. На рис. 4 приведены зависимости

нейтронных звезд в рамках теории f(G)-гравитации

энергетических условий для трех компактных мо-

отношение масса-радиус является самосогласован-

дельных звезд Her X-1, SAX J 1808.4-3658 и 4U

ным [29]. Подставляя уравнение (15) в выражение

1820-30. На рисунке видно, что все энергетические

(30), получим

условия выполняются, что четко подтверждает на-

личие обыкновенной материи внутри звезд.

m(r)

16AC²Fr²

μ(r) =

2 1 + 16AC²Fr²

∫

3.3. Параметр компактности

4πr²T0(G)0dr.

(31)

Компактность внутренней области звезды в тер-

минах радиуса определяется как

Параметр красного смещения получается подста-

новкой этого значения в соотношение

∫

m(r)

μ(r) =

4πρr²dr,

(30)

Z_s = (1 - 2μ(r))1/2 - 1.

(32)

479

М. Шариф, С. Саба

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

-0.5

-1.0

-0.002

-0.004

d P2r

-0.004

dr²

-0.006

dr²

-0.006

-0.008

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

-1.0

d P2t

dr²

-0.002

-0.5

-0.004

-0.006

-1.0

Рис. 3. (В цвете онлайн) Зависимости d²ρ/dr², d²Pr /dr² и d²Pt/dr² от радиуса r и параметра α для модельных звезд

Her X-1 (оранжевый), SAX J 1808.4-3658 (красный) и 4U 1820-30 (синий)

На рис. 5 видно, что как масса, так и компактность

условие причинности, адиабатический показатель, а

звезд являются возрастающими регулярными функ-

также равновесие сил.

циями радиуса r. Более того, наша астрофизическая

система (анизотропное решение) удовлетворяет тре-

буемому пределу компактности Бучдала

3.4.1. Равновесие с точки зрения уравнения ТОВ

m/r ≤ 4/9

Равновесие компактной звезды достигается, ес-

ли различные силы, действующие на звезду, удовле-

для всех трех звездных объектов. Параметр красно-

творяют обобщенному уравнению Толмана - Оппен-

го смещения также удовлетворяет требуемому усло-

геймера - Волкова (ТОВ). Для распределения ани-

вию Z_s ≤ 5.211 для случая анизотропной жидкости

зотропной жидкости уравнение ТОВ принимает вид

(см. рис. 5).

dP_r

M_g(r)(ρ + P_r)

e^η

(P_t - P_r) = 0,

(33)

3.4. Устойчивость звездных объектов и

равновесие сил

где

В данном разделе мы рассмотрим устойчивость

rη^′

M_g(r) =

e^β

нашей модели для трех модельных звезд, используя

480

М. Шариф, С. Саба

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

= m/r

0.3

1.5

0.2

1.0

0.1

1.0

0.5

1.0

0.5

–0.5

0.5

-1.0

–1.0

Рис. 5. (В цвете онлайн) Зависимости компактности μ и параметра красного смещения Zs от радиуса r и параметра α

для трех модельных звезд Her X-1 (оранжевый), SAX J 1808.4-3658 (красный) и 4U 1820-30 (синий)

— гравитационная масса внутренней области звез-

(б) и 4U 1820-30 (в). На рисунке видно, что гравита-

ды. С учетом гравитационной массы, уравнение

ционная сила преобладает над двумя другими (гид-

можно записать в виде

ростатической и анизотропной) и компенсирует их

действие. Более того, эти силы стремятся к нулю

dP_r

η^′

(ρ + P_r ) -

(P_t - P_r) = 0.

(34)

(окончательное равновесие), когда радиус r > 15.

Таким образом, для этих модельных звезд система

Каждый член этого выражения соответствует силе,

находится в состоянии равновесия.

а именно, гравитационной силе F_g, силе гидростати-

3.4.2. Условие причинности

ческого равновесия F_he и силе анизотропии F_Δ, так

что

В соответствии с условием причинности квадрат

Fg + Fhe + FΔ = 0.

скорости звука (для радиальной и тангенциальной

составляющих) должен быть меньше скорости све-

В модифицированной теории гравитации Гаус-

та. В релятивистских величинах это условие выгля-

са - Бонне эти силы принимают вид

дит как

0 < ν2sr < 1,

0 < ν2st < 1.

dP_r

Fhe =

π(1 + Cr²)²(1 + 16AC²Fr²)²

Соответствующее математическое выражение имеет

[

]

вид

dT1(G)1

× 16ACF(4ACF(1+Cr²)²-(1+Cr²))-1 -

dP_r

dP_t

ν2sr =

ν2st =

dρ

Согласно концепции расщепления и опрокидыва-

′

ния, предложенной в работах [31] и [32], для рас-

C²r(24AC²Fr² + 8ACF + 1)

Fg =

(ρ + P_r) =

пределения анизотропной жидкости должно выпол-

(Cr² + 1)²(16AC²Fr² + 1)²

няться условие

+T0(G)0 -T1(G)1,

0 < |ν2st - ν2sr| < 1.

На рис. 7 видно, что анизотропная система удовлет-

FΔ = -

(P_t - P_r) =

воряет требуемому условию для трех рассматривае-

мых модельных звезд.

64C³AFr(8AC²Fr² + 8ACF - 1)

-T1(G)1+T2(G)2.

(Cr² + 1)(16AC²Fr² + 1)²

3.4.3. Условие, связанное с адиабатическим

показателем

На рис. 6 приведены зависимости трех сил, под-

держивающих компактные звезды в равновесии,

Адиабатический показатель Γ играет важную

для модельных звезд Her X-1 (a), SAX J 1808.4-3658

роль при изучении звездных объектов (как реля-

482

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Анизотропное решение Адлера - Финча - Ски. . .

–0.5

-0.5

-1.0

Force

0.005

-0.005

Force

0.010

0.005

-0.005

-0.2

-0.4

Рис. 6. (В цвете онлайн) Зависимости сил равновесия от радиуса r и параметра α для модельных звезд Her X-1 (a), SAX

J 1808.4-3658 (б) и 4U 1820-30 (в); красный — гравитационная сила Fg, синий — анизотропная сила FΔ, оранжевый —

сила гидростатического равновесия F_he

тивистских, так и нерелятивистских). Для распре-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

деления анизотропной жидкости радиальная и тан-

генциальная составляющие Γ вычисляются как от-

В настоящей работе рассматривается вложение

ношение двух удельных теплоемкостей [32]:

класса

для компактных звездных объектов в

рамках теории гравитации f(G) = αGn (мы по-

лагаем n

= 2) с анизотропной жидкостью для

)

трех модельных звезд. Используя условие Кармар-

ρ+P_r

⁽ dP_r

ρ+P_t

⁽ dP_t )

Γ_r =

Γ_t =

кара, мы получаем важную связь между двумя

P_r

dρ

P_t

dρ

потенциалами для рассматриваемой геометричес-

кой конфигурации. Искривленное четырехмерное

пространство-время вкладывается в псевдо-евкли-

Для устойчивой конфигурации величина этого по-

дово пространство-время высшей размерности. Ис-

казателя должна быть больше 4/3. Зависимости

пользование временного метрического коэффици-

адиабатических показателей приведены на рис. 8.

ента Адлера приводит к решению Адлера - Фин-

На рисунке видно, что анизотропное распределение

ча - Ски. Наложение связей на произвольный па-

для трех рассматриваемых модельных звезд являет-

раметр модели проводилось путем гладкого сшива-

ся динамически устойчивым (для всей области зна-

ния сферической внутренней и шварцшильдовской

чений α).

внешней геометрии пространства-времени.

483

М. Шариф, С. Саба

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

-0.5

-1.0

1.0

0.8

0.6

^r 0.4

0.2

-0.5

-1.0

Рис. 7. Зависимости |ν2st - ν2sr| от радиуса r и парамет-

ра α для модельных звезд Her X-1 (оранжевый), SAX J

1808.4-3658 (красный) и 4U 1820-30 (синий)

Физическая реалистичность рассматриваемой

модели исследовалась с помощью физических

параметров (плотность энергии и давление), кото-

рые достигают максимальных значений в центре

компактной звезды и монотонно убывают в на-

-0.5

правлении к ее поверхности. Таким образом, наша

модель допускает крайне высокие плотности в

центре очень компактных объектов, например

для звезды Her X-1, плотность в центре которой

-1.0

оценивается приблизительно как 33.4 · 10¹⁵ г · см-3.

Полученное решение оказалось физически реалис-

Рис. 8. Зависимости Γr и Γt от радиуса r и параметра α

тичным, если полученная модель удовлетворяет

для модельных звезд Her X-1 (оранжевый), SAX J 1808.4-

3658 (красный) и 4U 1820-30 (синий)

энергетическим условиям. Кроме того, выяснилось,

что параметр компактности и параметр красного

смещения также удовлетворяют требуемым услови-

ям, что подтверждает устойчивость предложенной

модели для всех трех рассматриваемых звездных

Компактная звездная структура является пол-

объектов.

ностью устойчивой, если отношение радиального

Было исследовано поведение трех основных

показателя к тангенциальному больше необходи-

сил — гравитационной силы F_g, силы гидростати-

мого предельного значения 4/3. Таким образом,

ческого равновесия F_he и силы анизотропии F_Δ,

рассматриваемое компактное анизотропное решение

входящих в уравнение ТОВ. Оказалось, что анизо-

с вложением класса 1 является физически реали-

тропная система находится в состоянии равновесия,

стичным, самосогласованным, а также устойчивым.

когда гравитационная сила уравновешивается дву-

Соответствующее анизотропное решение Адле-

мя другими силами. Мы рассмотрели устойчивость

ра - Финча - Ски с зарядами для связанных полевых

модели, используя условие причинности. Устой-

уравнений Эйнштейна - Максвелла исследовалось в

чивость достигается при выполнении неравенства

работе [16] с использованием условия Кармаркара.

Оказалось, что полученное решение удовлетворяет

всем критериям и является физически реалистич-

0 < |ν2st - ν2sr| < 1.

ным для компактных звездных объектов, посколь-

ку определяет физически реалистичную, устойчи-

Кроме того, мы рассмотрели динамическую устой-

вую компактную сферу.

чивость, используя адиабатический показатель.

484

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Анизотропное решение Адлера - Финча - Ски. . .

Интересно отметить, что рассматриваемая в на-

24576αC⁵F

κT1(G)1 =

стоящей работе модель анизотропной компактной

(Cr² + 1)⁶(16AC²Fr² + 1)⁸

[

звезды согласуется с моделью, полученной в рам-

× 65536A⁵F⁴C⁷r⁶(4C⁴r⁸ + 15C³r⁶ +

ках общей теории относительности [16]. Кроме то-

го, было обнаружено, что полученное решение име-

+ 21C²r⁴ + 13Cr² + 3) + 1024A⁴F³C³r² ×

ет несингулярные свойства, например, для звез-

× (155C⁵r¹⁰+696C⁴r⁸+1254C³r⁶+1136C²r⁴ +

ды Her X-1, плотность в центре которой и ради-

альное давление оцениваются приблизительно как

+ 519Cr² + 96) - 16384A³F³C⁵r⁴(10C²r⁴ +

33.4·10¹⁵ г·см-3 и 36.4·10³⁶ дин/см², соответствен-

+ 15Cr²+6)-128A³F²C²(65C⁵r¹⁰+256C⁴r⁸ +

но. Эти значения много больше величин, получен-

+ 388C³r⁶+274C²r⁴+83Cr²+6)-256A²F²C³r² ×

ных в работе [16] в результате аппроксимации. В на-

× (56C²r⁴ + 65Cr² + 21) + 4A²FC ×

шем случае значения релятивистского адиабатичес-

кого показателя в центре странной звезды Her X-1

× (65C⁴r⁸ + 204C³r⁶ + 238C²r⁴ + 128Cr² + 25) -

]

равны Γ_r = 8.02 и Γ_t = 9.3, причем в направлении

- 16AFC(19C²r⁴ + 4Cr² - 3) - 3Cr² - A + 1 ,

от центра к поверхности они монотонно убывают.

Такие большие значения в центре звезды, отлича-

ющиеся от результатов работы [16], связаны с точ-

24576αAC⁵F

ным учетом членов, соответствующих вкладам тем-

κT2(G)2 =

ных источников посредством f(G)-гравитации. Бо-

(Cr² + 1)⁴(16AC²Fr² + 1)⁷

[

лее того, в случае динамической устойчивости си-

× 32765A⁴F⁴C⁶r⁴(C³r⁶+1)+98304A⁴F⁴C⁷r⁶ ×

лы имеют более узкий интервал сходимости, чем

в общей теории относительности. Поэтому следует

× (Cr² + 1) + 2048A³F³C⁴r²(5C³r⁶ + 16C²r⁴ +

отметить, что равновесие в рамках предложенной

+ 17Cr² + 6) - 64A²F²C²(161C³r⁶ + 230C²r⁴ +

модели достигается намного быстрее, что обуслов-

]

лено некими поправочными членами, которые учи-

+ 65Cr²-20)-4ACF(39C²r⁴+2Cr²-5)+3Cr²+7 .

тываются посредством f(G)-гравитации. Кроме то-

го, оказалось, что полученное анизотропное реше-

ние Адлера - Финча - Ски соответствует более плот-

ЛИТЕРАТУРА

ной звездной структуре, чем в общей теории отно-

сительности.

R. L. Bowers and E. P. T. Liang, Astrophys. J. 188,

657 (1974).

K. Dev and M. Gleiser, Gen. Relativ. Gravit. 34, 1793

(2002); ibid. 35, 1435 (2003).

M. K. Mak and T. Harko, Chin. J. Astron. Astrophys.

ПРИЛОЖЕНИЕ

2, 248 (2002).

M. K. Mak and T. Harko, Proc. R. Soc. Lond. 459,

Поправки ГБ для метрических потенциалов Ад-

393 (2003).

лера - Финча - Ски и полученная функция общего

M. K. Mak and T. Harko, Int. J. Mod. Phys. D 13,

положения имеют вид

149 (2004).

S. K. M. Hossein et al., Int. J. Mod. Phys. D 21,

49152αAFC

1250088 (2012).

κT0(G)0 =

(Cr² + 1)⁴(16AC²Fr² + 1)⁷

H. Stephani et al., Exact Solution to Einstein’s Field,

[

Cambridge University Press (2003).

× 4096A³F³C³r²(10C³r⁶+25C²r⁴+21Cr²+6)-

P. Bhar et al., Eur. Phys. J. A 52, 312 (2016).

S. K. Maurya et al., Eur. Phys. J. C 76, 266 (2016).

− 32A²CF²(51C³r⁶ + 56C²r⁴ + 39Cr² + 18)-

]

10.

S. K. Maurya et al., Eur. Phys. J. A 52, 191 (2016).

− 2AF(113C²r⁴ + 82Cr² + 18) - 3r² ,

11.

S. K. Maurya, Eur. Phys. J. C 76, 693 (2016).

485