ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 539-551

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ

ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН, ОБРАЗУЮЩИХ

ОКТУПОЛЬНЫЕ ВИХРИ НА КВАДРАТНОЙ ЯЧЕЙКЕ

А. П. Абелла^*, М. Н. Сориано

National Institute of Physics, University of the Philippines Diliman

1101, Quezon City, Philippines

Поступила в редакцию 26 марта 2019 г.,

после переработки 14 июня 2019 г.

Принята к публикации 15 июля 2019 г.

Изучена динамика поверхностных волн, образующих октупольную вихревую структуру на границе раз-

дела воздух-вода. Поверхностные волны возбуждались квадратным волнопродуктором, состоящим из

четырех цилиндрических стержней, наполовину погруженных в воду. Эти волны направляли движение

поплавков по круговым траекториям, образуя два вращающихся навстречу друг другу вихря вдоль каж-

дого стержня, что создавало общую октупольную структуру. С помощью пространственно-временного

анализа выполнена трехмерная реконструкция высоты волн и описана конфигурация потоков. Полное

волновое поле разлагалось на компоненты, исходящие от краев и углов волнопродуктора. Проведено

качественное моделирование октупольных вихрей на основе аналитического решения для потенциала

скоростей через суперпозицию прямых и сдвинутых по фазе наклонных бегущих волн от волнопродук-

тора. Данная методика представляет собой феноменологическое описание течения жидкости, которое

можно использовать для моделирования волн внутри произвольного ограниченного пространства.

DOI: 10.31857/S0044451020030153

состоящее из двух прямоугольных лопастей, качаю-

щихся с задержкой по фазе на π/2. Это также было

независимо осуществлено в более ранней работе [11],

1. ВВЕДЕНИЕ

в которой вместо полностью погруженных лопастей

были использованы два цилиндрических наполови-

Существует несколько способов управления пла-

вающими объектами, например, при помощи волн

ну погруженных поршня. Вместе со стенками кон-

Фарадея внутри контейнера с вертикальной вибра-

тейнера эти волнопродукторы составляли замкну-

цией [1] или за счет осциллонов, создаваемых сильно

тое квадратное пространство. Внутри него можно

нелинейными поверхностными волнами [2]. С помо-

было возбуждать вихревые волны за счет наложе-

щью этих методик изучалось коллективное движе-

ния ортогональных стоячих волн от волнопродук-

ние частиц, обусловленное внутренними свойствами

торов и стенок, которые создавали угловой момент,

жидкости, такими как смачиваемость и плотность

необходимый для движения частиц по концентриче-

[3-5]. Также рассматривались образование вихрей

ским круговым траекториям [10]. Вихревые волны

отличаются от стоячих тем, что их гребни и впа-

и волновая фокусировка за счет рельефа волны и

условий на глубины, определяющих распростране-

дины вращаются и меняются местами вокруг узло-

ние поверхностных волн [6-8]. В работе [9] движение

вых точек, в то время как гребни и впадины стоячих

поплавков ограничивалось стоячими волнами, со-

волн только колеблются в вертикальном направле-

здаваемыми при помощи вертикального движения

нии, оставаясь на месте в течение каждого периода.

ванн малого размера, в основном для применения

В данной работе создан квадратный волнопро-

при производстве тканей. Кроме того, в работе [10]

дуктор из четырех цилиндрических стержней. Он

описано устройство управления движением плава-

подвешен на границе раздела воздух-вода и ко-

ющих частиц вдоль многих замкнутых траекторий,

леблется как единое целое. При помощи этого

устройства на поверхности создавалась октуполь-

^* E-mail: aabella@nip.upd.edu.ph

ная структура, образуемая парами противополож-

539

А. П. Абелла, М. Н. Сориано

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

но закрученных вихрей вращающихся частиц вдоль

станционного управления камерой использовалось

каждого края волнопродуктора. Оказалось, что

смартфонное приложение Capture. Оптические ис-

именно вихревые волны отвечают за перенос час-

кажения снимков корректировались предваритель-

тиц внутри квадратного волнопродуктора. В работе

ной калибровкой камеры.

[10] удалось описать вихревые волны и воспроизве-

Поверхностные волны, возбуждаемые квадрат-

сти отдельные вихри путем наложения потенциалов

ным волнопродуктором, подчиняются дисперсион-

скоростей ортогональных и сдвинутых по фазе сто-

ному соотношению для гравитационно-капилляр-

ячих волн.

ных волн вида

Цель данной работы состоит также в том, чтобы

(

)

изучить и до некоторой степени воспроизвести обра-

ω² = gk +

k³

th(kd),

(1)

зование этих волн и октупольных вихрей. Для этого

сначала проанализирован пакет волн, образующих

где ω = 2πf — угловая частота волны, k = 2π/λ —

такие структуры, а затем проведено их аналити-

волновое число, g — ускорение свободного падения,

ческое моделирование в виде прямой суперпозиции

σ = 70 мН/м — коэффициент поверхностного натя-

бегущих волн. Пространственно-временной анализ

жения, ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды. Генера-

потока свидетельствует о том, что вихревые волны

тор был настроен на частоту f = 7 Гц, при которой

состоят из волн от краев и сдвинутых по фазе на-

октупольная структура вихрей от квадратного вол-

клонных волн, исходящих из углов волнопродукто-

нопродуктора наблюдалась визуально. Для успеш-

ра. Разработана методика разложения падающих и

ного отображения картины высоты волн было необ-

отраженных волн на наклонные волны в случае ко-

ходимо работать в приближении малых наклона и

лебания всех четырех или только одного стержня.

амплитуды, начиная с самых слабых амплитуд воз-

Получено аналитическое решение для потенциала

мущения, таким образом, чтобы до начала смеще-

скоростей (в предположении невязкого безвихрево-

ния трассеров высоты волн не превышали значения

го течения) потока, приводящего к образованию ок-

4 мм. Примеры наложенных траекторий трассиру-

тупольных вихрей на границе раздела воздух-вода.

ющих частиц (размером около 150 мкм) показаны

Обсуждаются возможные применения данных ре-

на рис. 1с. Вдоль всех четырех стержней появля-

зультатов.

ются пары противоположно закрученных вихрей из

вложенных вращающихся частиц, образующих ок-

2. МЕТОДИКА

тупольную структуру. Далее будут определены вол-

ны, создающие эти структуры, а также проведено

2.1. Экспериментальная ячейка

их моделирование при помощи метода потенциалов.

Схема экспериментальной ячейки изображена на

рис. 1a. Эксперименты проводились в изготовлен-

2.2. Методика трехмерной реконструкции

ном из оргстекла квадратном резервуаре размером

высоты волны

290×290 мм², наполненном слоем воды высотой d =

= 53 мм. Изучались поверхностные волны, образу-

Для трехмерной реконструкции волн, создаю-

ющиеся внутри замкнутой квадратной ячейки вол-

щих вихри, применялся обобщенный шлирен-метод

нопродуктора. Изображение на рис. 1b получено от

для свободной поверхности, позволяющий вычис-

волнопродуктора размером 100 × 100 мм², кромки

лять градиент высоты поверхностных волн из век-

которого изготовлены из приклеенных друг к другу

торного поля деформационных смещений случайно-

акриловых цилиндров диаметром 10 мм. Волнопро-

точечной текстуры, расположенной снизу резерву-

дуктор подвешивался на границе раздела воздух-

ара [12], как показано на рис. 2а. Поле смещений

вода таким образом, что все цилиндрические стерж-

получается за счет линзового эффекта, создаваемо-

ни были погружены наполовину. Вертикальные ко-

го на текстуре гребнями и впадинами поверхност-

лебания возбуждались с помощью низкочастотно-

ных волн. Сначала вычислялись векторы поля ско-

го динамика, управляемого генератором сигналов

ростей, как показано на рис. 2b. Вычисления про-

Rigol. Снизу резервуар подсвечивался светодиода-

водились с помощью пакета PIVlab, а также пакета

ми. Видеосъемка волн осуществлялась сверху при

цифровой велосиметрии точечных отображений на

помощи камеры GoPro^TM Hero 5 с узким полем зре-

основе MATLAB [13]. Далее вычислялось смещение

ния объектива с разрешением 1280 × 720 пикселей

δx в направлении x путем деления соответствующей

и скоростью съемки 240 кадров в секунду. Для ди-

скорости u_x на частоту кадров камеры. Затем вы-

540

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Пространственно-временной анализ поверхностных волн. ..

Рис. 1. а) Схема экспериментальной ячейки. Колебания квадратного волнопродуктора возбуждаются при помощи дина-

мика, управляемого генератором сигналов. Сверху размещена камера для съемки волнового поля, подсвеченного снизу

резервуара. b) Фотография экспериментальной ячейки, на которой показан волнопродуктор с движущимися внутри час-

тицами. c) Вид сверху на волнопродуктор, демонстрирующий октупольную структуру траекторий вращающихся частиц

Рис. 2. (В цвете онлайн) a) Случайно-точечная текстура, расположенная снизу резервуара, для применения обобщен-

ного шлирен-метода для свободной поверхности. Показана область внутри квадратного волнопродуктора. b) Зелеными

стрелками показаны векторы скоростей, полученные с помощью пакета PIVlab, которые отмечают искажения случайно-

точечной текстуры из-за линзового эффекта от волновых гребней и впадин

541

А. П. Абелла, М. Н. Сориано

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

числялись градиенты высоты поверхности в направ-

E_η(f) = 〈|η(x, y, f)|²〉,

(3)

лении x, которые выражаются следующим образом:

вычислялся, как показано на рис. 3b, при помо-

∂h

δx

щи преобразования Фурье с использованием алго-

(2)

∂x

h^∗

ритма Велча [14], где η(x, y, t) — высота волны, а

где

скобки 〈. . .〉 обозначают усреднение по семи времен-

ным окнам длиной 10T каждое (T = 1/f — пери-

h^∗

αh_p

од возбуждающей волны) и по всему пространству.

′

Стационарные волновые данные получались через

n^′

α=1-

h_p = h₀ +

h_g +

h_a,

n^′

n_g

n_a

30 с после начала возбуждения. Наблюдалось, что в

волновом поле преобладает возбуждающая частота

где n = 1, n^′ = 1.33, n_g = 1.49 и n_a — показатели

f = 7 Гц. Описание пространственного распределе-

преломления соответственно воздуха, воды, акрило-

ния преобладающих волн получалось из частотного

вого дна и вещества между акриловым дном и то-

спектра в каждой точке с последующим интегриро-

чечной текстурой (обычно воздуха), H = 580 мм —

ванием в окрестности f [15]. Амплитуда возбуждаю-

расстояние от текстуры до камеры, d = 53 мм — вы-

щей волны в каждой точке выражается следующим

сота воды, h_g = 12.7 мм — толщина акрилового дна

образом:

и h_a — толщина слоя вещества с показателем пре-

⎛

⎞1/2

ломления n_a, которая принимается равной нулю, по-

f∫+δf

скольку текстура расположена непосредственно под

⎜

⎟

ã(x, y) =

⎝ Eη(x, y, f) df⎠

(4)

резервуаром.

f-δf

Точечная текстура состоит из 50000 случайно

распределенных точек диаметром 1 мм каждая, от-

где δf = 0.5 Гц. Расчет для ã(x, y) показан на встав-

печатанных на принтере формата А3. Эти пара-

ке к рис. 3b, на которой четко видно положение всех

метры обеспечивают выполнение необходимого для

восьми узловых точек (минимумов амплитуды) вол-

успешного применения шлирен-метода условия па-

нового поля. Помимо этого имеется круговая линия

раксиального приближения на максимальный па-

углов радиусом приблизительно λ/4 от центра вол-

раксиальный угол

нопродуктора. Также было прослежено перемеще-

√

ние гребня, который в момент времени t = t₀ нахо-

β_max ≃ F/

2H ≪ 1,

дился в левом верхнем углу и за период T переме-

где F

— поле зрения камеры. В данном случае

щался приблизительно к середине кромки волнопро-

β_max = 0.12. Важно отметить, что поскольку в шли-

дуктора (рис. 3c). Позиции внутри квадратной ячей-

рен-методе при вычислении векторов смещений слу-

ки, пройденные гребнями и впадинами, обозначены

чайно-точечной текстуры необходимо использовать

на рис. 3d соответственно красными и синими точ-

цифровую взаимнокорреляционную функцию, про-

ками (присутствуют наложения). Следует учесть,

странственное разрешение будет соответствовать

что эти точки волновых пиков создают распреде-

размеру заданного при расчетах окна. Поле зрения в

ление для ячеек октупольных вихрей и окружают

эксперименте внутри квадратного волнопродуктора

пустые белые области без точек. Штриховой лини-

составляет 326×326 пк (84×84 мм²). После вычисле-

ей на рис. 3d обозначена траектория угловой волны,

ния векторов смещения пространственное разреше-

прослеженная на рис. 3с. Оранжевыми стрелками

ние уменьшается до 39×39 пк (2.15 мм/пк), поэтому

показано общее движение волн внутри волнопродук-

точная сетка 256 × 256 пк (0.33 мм/пк) получается

тора, распространяющихся от углов к середине кро-

путем линейной интерполяции.

мок. Эти результаты позволяют утверждать, что об-

разование октупольных вихрей обусловлено именно

вихревыми (а не просто стоячими) волнами. Белые

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

области на рис. 3d заключены внутри траекторий

вращающихся волновых гребней и впадин, образу-

3.1. Пространственно-временной анализ

ющих вихри. Эти вихревые волны создают угловой

высот волн

момент, необходимый для направленного движения

На рис. 3а приведена трехмерная реконструк-

частиц, образующих ячейки октупольной структу-

ция поверхностных волн внутри квадратного волно-

ры.

продуктора, полученная с помощью шлирен-метода.

Для дальнейшего подтверждения этих наблю-

Усредненный частотный спектр высот волн,

дений было проведено моделирование составляю-

542

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Пространственно-временной анализ поверхностных волн. ..

, mm

3.5

y, mm

lg ~

f = 7 Hz

1.5

3.0

-0.5

1.0

2.5

-1.0

2.0

0.5

-1.5

1.5

-20

–2.0

-2.5

1.0

-40

–0.5

-40

–20

x, mm

0.5

-1.0

y, mm

–20

-20

x, mm

-1.5

100

120

-40

f, Hz

y, mm

+ 3T/4

T/2

-20

T/4

-40

t₀

-40

-20

x, mm

Рис. 3. (В цвете онлайн) a) Перепады волн, измеренные с помощью обобщенного шлирен-метода для свободной по-

верхности. Красными кружками обозначены положения узловых точек. b) Усредненный частотный спектр, полученный

из данных по высоте волн. На волновом поле наблюдается преобладание вынуждающей частоты f = 7 Гц. На вставке

показан расчет амплитуды lg ã в диапазоне f ± δf = 7 ± 0.5 Гц, для которого четко видны восемь узловых точек. Также

имеется круговая узловая линия на радиусе приблизительно λ/4 от центра. c) Перемещение гребня в течение периода

из верхнего левого угла к середине края. d) Точки на пути движения волновых гребней (красные) и впадин (синие) на

поверхности внутри волнопродуктора. Штриховой линией показана ранее прослеженная траектория угловой волны. Оран-

жевыми стрелками показано общее движение вихревых волн внутри волнопродуктора, распространяющихся от углов по

направлению к круговой узловой линии, а затем к середине кромок

щих волн при помощи метода волнового разложе-

ется путем объединения отдельных развернутых по

ния, описанного в работе [16]. Рассмотрим, напри-

оси x профилей, снятых в разные моменты време-

мер, данные поля составляющих волн (сочетание

ни. Сшитое изображение η(x, t) имеет размерность

волновых компонент любого направления) для про-

длины по оси x и времени по оси y. Применяя к сши-

извольного момента времени t₀, показанные выше

тому изображению алгоритм двумерного простран-

на рис. 3а. Сшитое по времени изображение созда-

ственного преобразования Фурье, получаем образ в

543

А. П. Абелла, М. Н. Сориано

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

t, s

, mm

, rad/s

10⁴

1.4

1.0

1.2

1.0

0.5

1.0

0.8

0.6

-0.5

-20

0.4

-40

0.2

-1.0

–60

-40

-20

–600

–300

300

600

x, mm

k_x, rad/m

t, s

, rad/s

, mm

10⁴

1.4

0.6

1.2

0.4

1.0

0.2

0.8

0.6

–0.2

-20

0.4

-0.4

-40

0.2

-0.6

-60

–600

–300

300

600

–40

-20

x, mm

k_x, rad/m

y, mm

, mm

y, mm

1.5

1.0

0.5

-0.5

-20

-1.0

–1.0

-40

–1.5

-40

-1.5

–40

–20

-40

–20

x, mm

Рис. 4. (В цвете онлайн) a) Сшитое по времени изображение, полученное путем накопления однорядных профилей вы-

соты волн вдоль оси x в разные моменты времени. b) Спектральная плотность, полученная в результате двумерного

пространственного фурье-преобразования изображения на рис. 3a. Видны максимумы спектральной плотности на ча-

стотах ω = ±43.5 рад/с вблизи ожидаемого значения ω = 2πf = 43.98 рад/с, которые соответствуют волнам с правой

и левой поляризациями. Исключая вклад второй и четвертой четвертей полученного изображения и проводя обратное

преобразование Фурье оставшихся четвертей в пространстве kx - ω, получаем реальное изображение волны с правой

поляризацией (c) и соответствующий фурье-образ (d). e,f) Волны с правой (e) с левой (f) поляризациями для профиля

высоты волн, приведенного на рис. 3a. Стрелками обозначены предполагаемые направления взаимодействующих волн,

поскольку угловые наклонные волны также имеют компоненты с правой и левой поляризациями

544

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Пространственно-временной анализ поверхностных волн. ..

пространстве k_x - ω (рис. 4b). Коэффициенты пре-

представлением того, как наклонные угловые волны

образования определяются следующим образом:

в сочетании с волнами, идущими непосредственно от

краев, образуют волны с правой и левой поляриза-

∑

циями, формирующие октупольную структуру.

η(k_x, ω) =

η(x, t) ×

Для определения соотношения фаз между крае-

x=-N/2+1 t=-M/2+1

выми и наклонными волнами был проведен отдель-

× exp[-i(k_xx - ωt)] .

(5)

ный эксперимент, в котором колебалась только ле-

На рис. 4b видны максимумы спектральной плотно-

вая кромка квадратного волнопродуктора (рис. 6).

сти при ω = ±43.5 рад/с, что близко к ожидаемому

Отображение высоты волн осуществлялось при по-

значению ω = 2πf = 43.98 рад/с. Наличие пары пи-

мощи съемки в диффузном освещении [10]. Для

ков обусловлено сочетанием волн с правой и левой

достижения необходимого уровня рассеяния света

поляризациями. Заметим, что шаг вдоль направле-

в воду добавлялось некоторое количество молока

ния k_x составляет 73.2 рад/м, а сшивка по времени

(3 %). Затем детектируемые значения интенсивно-

профилей по оси y дает такие же конечные значе-

сти света калибровались по отношению к высоте

ния для k_y. Расчетное значение волнового вектора

жидкости. В эксперименте использовалась камера

для частоты f = 7 Гц составляет k = 165.2 рад/м, а

Panasonic HDC-HS900 с разрешением 1920×1080 пк,

из величин k_x = 73.2 и k_y = 146.4 рад/м получается

установленная в режиме 60 кадров в секунду.

k = 163.7 рад/м. На рис. 4b волнам с правой поля-

Волновое поле на поверхности внутри замкнутой

ризацией соответствуют пики спектральной плотно-

ячейки в момент времени t изображено на рис. 7а,

сти в первой и третьей четвертях (ω/k_x > 0), а вол-

на котором видны обычные бегущие волны с дли-

нам с левой поляризацией — во второй и четвертой

ной волны λ, направленные вправо от левой колеб-

(ω/k_x < 0). Попарно заменяя четверти нулевыми

лющейся кромки. Однако в следующий момент вре-

вставками и проводя над получившимся изображе-

мени t + T/4 (соответствующий задержке по фазе

нием в пространстве k_x -ω обратное преобразование

φ = π/2) наблюдалось появление наклонных волн,

Фурье, получаем другое изображение в простран-

похожих на обнаруженные ранее. Период колебаний

стве x - t, в котором отфильтрованы волны с пра-

равен T = 0.143 с, следовательно, T/4 = 0.036 с, что

вой или левой поляризацией. На рис. 4c показано

соответствует 2.142 кадра. Для получения изобра-

изображение в пространстве x - t только для волн с

жения в момент времени t+T/4 к выбранному изоб-

правой поляризацией, а на рис. 4d приведено соот-

ражению в момент времени t было добавлено 2 кад-

ветствующее изображение в пространстве k_x -ω. На

ра, что дает ошибку 0.142 кадра или 0.0024 с, соот-

рис. 4e представлено поле волн с правой поляриза-

ветствующую 0.017T. Для визуализации снова при-

цией, полученное после повторения данной процеду-

менялся метод сшивки по времени волнового раз-

ры для всех профилей по оси x, т. е. горизонтальных

ложения, что позволяет увидеть на рис. 7c наклон-

линий поля составляющих волн на рис. 3a. Стрел-

ные волны из нижнего левого угла. Двусторонними

ками показаны предполагаемые направления волн,

стрелками показано направление под углом 45^◦ к

сочетание которых образует данное поле волн с пра-

горизонтальной оси и длина волны λ. Если волны,

вой поляризацией, а именно, волн, идущих от краев

возбуждаемые левым краем, численно развернуть

и из двух углов. На рис. 4f показано поле волн с

на 90^◦, 180^◦ и 270^◦, а затем наложить их друг на

левой поляризацией.

друга вместе с исходной волной, то получившаяся

Волны, имеющие как горизонтальные, так и вер-

диаграмма lg ã (рис. 7d) будет качественно соответ-

тикальные составляющие (наклонные волны) полу-

ствовать картине вихревых волн, представленной на

чаются таким же способом, но волны с правой и ле-

рис. 3b. Таким образом экспериментально показано,

вой поляризациями учитываются раздельно, а вмес-

что вихревые волны, образующие октупольные вих-

то профилей по оси x берутся профили по оси y.

ри, являются комбинацией волн от краев и наклон-

На рис. 5а и 5c четко видны волны соответственно

ных волн, идущих из углов с задержкой фазы π/2.

из левых верхнего и нижнего углов. Двусторонние

стрелки указывают направление под углом 45^◦ к го-

3.2. Аналитическое моделирование волн и

ризонтали, а их длина равна λ/2. Аналогично, на

вихрей

рис. 5b и 5d показаны волны, выходящие соответ-

ственно из правых верхнего и нижнего углов. Под-

черкнем, что это относится только к волновому по-

Поняв механизм образования вихревых волн,

лю, изображенному на рис. 3а, и служит наглядным

формирующих октупольные вихри, попытаемся

545

ЖЭТФ, вып. 3

А. П. Абелла, М. Н. Сориано

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

y, mm

, mm

y, mm

, mm

1.5

1.0

0.5

-0.5

-20

–20

-1.0

-40

–1.5

-40

–1.5

-40

-20

-40

–20

x, mm

y, mm

, mm

y, mm

, mm

1.5

1.0

0.5

-0.5

–20

-20

-1.0

–40

-1.5

-40

–1.5

–40

–20

–40

–20

x, mm

Рис. 5. (В цвете онлайн) Визуализация волн, исходящих от углов квадратного волнопродуктора. Волны от левого верх-

него (a) и левого нижнего (c) углов получены соединением профилей вдоль оси y волн с правой поляризацией, а волны

от правого верхнего (b) и правого нижнего (d) углов — с левой поляризацией. Двусторонние стрелки направлены под

углом 45^◦ к горизонтальной оси и обозначают длину волны λ

смоделировать это явление на основе расширенно-

безвихревой жидкости u^P выражается в виде

го аналитического подхода, описанного в работе

градиента потенциала скорости Φ(x, y, z, t):

[10]. Используется аналогия между смещением,

u^P = ∇Φ.

вызываемым вихревыми волнами, и обычным сдви-

гом Стокса от плоских волн. Для моделирования

В случае, рассмотренном в работе [10], получались

высоты поверхностных волн, η(x, y, t), и распреде-

сложные ячеистые структуры, образуемые за счет

ления скоростей применяются уравнения Эйлера

наложения стоячих волн от двух горизонтальных и

для несжимаемого потока с соответствующими

вертикальных лопастей (а также двух противопо-

граничными условиями

[10, 17, 18]. По примеру

ложных стенок), одна из которых имела сдвиг по

метода, изложенного в работе [10], в расчетах пре-

фазе π/2. В данной работе рассматриваются четы-

небрегалось влиянием поверхностного натяжения.

ре синфазные бегущие волны, исходящие непосред-

Такое приближение возможно, поскольку частота

ственно от краев волнопродуктора, и четыре на-

гравитационных волн не превышает величины

клонные волны, описанные в предыдущем разделе.

≃ 13 Гц. Распределение скоростей идеальной Наклонные волны сдвинуты по фазе на π/2 по отно-

546

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Пространственно-временной анализ поверхностных волн. ..

Рис. 6. Модифицированная ячейка с одной подвижной кромкой

шению к краевым волнам и распространяются под

Lkg ch[k(z + d)]

u^P =

углами ±45^◦ от углов к центру ячейки. Представим

ω ch(kd)

√

потенциал скоростей боковых волн в следующем ви-

× {-[cos(ωt)sin(kx)+

2 sin(ωt)cos(kl_y)sin(kl_x)]x -

де:

√

- [cos(ωt) sin(ky) +

2 sin(ωt)cos(kl_x)sin(kl_y)]ŷ +

Lg ch[k(z + d)]

+ th[k(z + d)][cos(ωt)[cos(kx) + cos(ky)] +

Φ_E =

cos(kx ± ωt),

(6)

2ω ch(kd)

+ 2sin(ωt)cos(kl_x)cos(kl_y)]z}.

(9)

где величина L пропорциональна амплитуде вол-

В общем случае потенциального потока скорость

ны, а для описания волн, движущихся вверх-вниз,

u = ∇Φ связана с давлением p через уравнение Эй-

x заменяется на y. Потенциал скоростей наклонных

лера:

волн имеет вид

∂Φ

u² +

= -gz,

(10)

∂t

Lg ch[k(z + d)]

Φ_O =

где u = |u|, а член gz учитывает поле тяжести. Ось z

2ω ch(kd)

направлена вертикально вверх, а плоскость xy сов-

падает с равновесной поверхностью жидкости. Ко-

× cos[k(xcosθ - y sinθ) ± ωt ∓ φ],

(7)

ордината z точки на поверхности жидкости, обозна-

ченная η, является функцией x, y и t. В равнове-

где φ = π/2 и θ = ±45^◦ для каждого набора при

сии η = 0, а η(x, y, t) задает вертикальное смещение

смене направления волны (правых и левых волн).

поверхности жидкости во время колебаний. При по-

Суперпозиция восьми волн дает следующее выраже-

стоянном давлении p₀ над поверхностью жидкости

ние для полного потенциала скоростей внутри вол-

уравнение приобретает вид

нопродуктора:

∂Φ

u² +

= -gη.

(11)

∂t

Φ(x, y, z, t) = A ch[k(z + d)]{cos(ωt)[cos(kx) +

Постоянный по давлению член можно устранить пу-

тем внесения его в не зависящий от координат по-

+ cos(ky)] + 2 sin(ωt)cos(kl_x)cos(kl_y)},

(8)

тенциал p₀t/ρ. Тогда условие на поверхности можно

записать в виде

√

где A = Lg/ω ch(kd), l_x =

2x/2 и l_y =

2y/2. Тогда

]

^[∂Φ

поле скоростей u^P = ∇Φ определяется выражением

u²

= -gη.

(12)

∂t

z=η

547

11*

А. П. Абелла, М. Н. Сориано

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

y, mm

, mm

y, mm

, mm

1.5

1.0

0.5

–20

-0.5

–40

-40

-1.0

-40

-20

-40

–20

x, mm

, mm

y, mm

lg ~

1.5

1.0

-0.5

0.5

-1.0

-0.5

-1.5

-20

-1.0

-40

-2.0

-40

–1.5

–40

–20

–40

–20

x, mm

Рис. 7. (В цвете онлайн) a) Бегущая волна длины λ, выходящая с левого края в произвольный момент времени t.

b) Появление наклонной волны в момент времени t + T /4, соответствующий сдвигу по фазе φ = π/2. Штриховые линии

обозначают направление под углом ±45^◦ к горизонтальной оси. c) Набегающие наклонные волны от нижнего левого

угла (в согласии с предыдущими результатами). d) При численном повороте исходной волны от левого края на углы 90^◦,

180^◦ и 270^◦ и наложении их друг на друга получается диаграмма lg ã, напоминающая вихревые волны, изображенные на

рис. 3b

Для вычисления мгновенного распределения

ны до порядка O(kη), и в конечном итоге выделя-

волн по высоте, η(x, y, t), можно преобразовать

ем η.

динамическое граничное условие

(12) для сво-

Полученное распределение волн по высоте пока-

бодной поверхности к виду, включающему x- и

зано на рис. 8а. Результат моделирования рельефа

y-компоненты u^P из уравнения (9):

поверхности хорошо соответствует эксперименталь-

[

]

ным реконструкциям высот волн, приведенным на

∂u

+ u · ∇u

= -g∇η.

(13)

рис. 3а. Изображение, образованное точками волно-

∂t

z=η

вых максимумов на рис. 8b, также совпадает с кар-

По примеру работы [10] разлагаем в ряд содержа-

тиной, показанной на рис. 3d, которая также разде-

щие kη гиперболические функции, удерживая чле-

ляется на восемь ячеек октупольных вихрей.

548

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Пространственно-временной анализ поверхностных волн. ..

y, mm

, mm

1.5

1.0

0.5

-0.5

–20

–1.0

y, mm

-20

-40

-20

x, mm

-1.5

-40

-20

x, mm

y, mm

2 mm

-20

-40

-20

x, mm

Рис. 8. (В цвете онлайн) а) Результат моделирования распределения высоты поверхностных волн η(x, y, t). b) Пути

перемещения волновых гребней (красные точки) и впадин (синие точки) на поверхности внутри волнопродуктора, хоро-

шо согласующиеся с экспериментальными данными. c) Траектории частиц, рассчитанные путем интегрирования суммы

u^T = u^P + u^D по времени 35T, хорошо воспроизводящие октупольную структуру вихрей. d) Увеличенный выделенный

фрагмент панели c, на котором четко видно вращение частиц

На основе результатов работы [10] также рассчи-

одинаковы по порядку величины, в связи с чем труд-

тан дополнительный вклад скорости u^D медленно-

но количественно определить, какой из них преобла-

го смещения, которое усиливает быстрые вращения.

дает. Дополнительный член смещения u^D по поряд-

Чисто кинематический вклад, включающий в себя

ку величины равен

стоксов сдвиг скорости, учитывается в члене u^P , в

то время как член u^D представляет собой отклик

⎛

⎞

потока на усредненную по времени нелинейную ад-

∫t

векцию, выраженную через u^P [19]. В работе [19]

u^D ∼ ⎝ u^P dt^′⎠ · ∇u^P ,

(14)

подробно объясняется, что амплитуды этих вкладов

549

А. П. Абелла, М. Н. Сориано

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

где

показано в работе [10], когда задается фазовая за-

∫

держка между лопастями φ = 0. В данном случае

(

)

(

)

можно только приближенно определить полное поле

скоростей, суммируя вклады от u^P и u^D с единич-

ным весом и размерной амплитудой согласно выра-

— усреднение по одному периоду T . Тогда выраже-

жению (15).

ние для компонент u^D приобретает вид

Примеры траекторий движения внутри замкну-

того квадратного волнопродуктора, полученные ин-

k³L²g

u^Da ∼ -

тегрированием суммы u^T = u^P + u^D для 291 про-

2ω³ ch²(kd)

√

извольного начального положения за полное вре-

× {2U sin(ka) -

2V [cos(kx) + cos(ky)] -

мя 35T , показаны на рис. 8c. На рис. 8d, пред-

− ch²[k(z+d)][3U sin(ka)- sin(kb) sin(kl_x) sin(kl_y) -

ставляющем увеличенный выделенный фрагмент

√

рис. 8c, четко видны вложенные вращающиеся час-

-2

2V (cos(ka) + cos(kb))]},

(15)

тицы внутри октупольных вихрей. Заметим, что

где U = cos(kl_x) cos(kl_y), V = cos(klb)sin(kla), lx =

этот результат лишь качественно моделирует на-

√

2x/2, l_y =

2y/2, {a = x, b = y} для x-компо-

блюдаемое явление, поскольку получен в приближе-

ненты и {a = y, b = x} для y-компоненты.

нии невязкого потенциального потока даже на гра-

В работах [6, 10] независимо описано одно и то

ницах волнопродуктора. Несмотря на это показано,

же явление образования ячеистых вихрей с исполь-

что вихревую структуру можно воспроизвести пу-

зованием ортогональных волн с задержкой по фазе

тем простого наложения краевых и наклонных бе-

на квадратной поверхности, однако несколько раз-

гущих волн.

ными теоретическими способами. В работе [10] до-

полнительный вклад смещения учитывался путем

вычисления члена u^D и подстройки его амплиту-

4. ВЫВОДЫ

ды в размерном виде, т. е. путем исключения триго-

нометрических функций, как в выделенных членах

В настоящей работе при помощи методов ре-

уравнения (15). В работе [6] показано, что даже если

конструкции распределения волн по высоте и

вихревая структура обусловлена вязкостью, как на

пространственно-временного анализа показано, что

поверхности глубокого слоя воды, дополнительный

вихревые волны внутри квадратного волнопродук-

вклад смещения можно выразить в рамках стоксова

тора образуют октупольную вихревую структуру.

сдвига, однако выражение (14) следует умножить на

Эти вихри состоят из бегущих боковых волн, исхо-

√

безразмерный коэффициент

2 (который в дейст-

дящих непосредственно от краев волнопродуктора,

вительности может меняться в зависимости от на-

и сдвинутых по фазе наклонных волн, идущих

личия на поверхности нерастворимой пленки или за

из его углов. Также показано, что явление воз-

счет дополнительных эффектов вязкости типа до-

буждения октупольных вихрей можно с некоторой

менных границ). Авторы работы [10] также отмеча-

точностью описать в рамках аналитической модели,

ют, что их механизм возникновения вихрей принци-

основанной на суперпозиции потенциалов скоро-

пиально отличается от рассмотренного в работе [6]

стей бегущих волн. Эксперименты показали, что

образования вихрей за счет объемной вязкости, од-

вихревые волны могут образовываться при возник-

нако это утверждение остается неясным.

новении сдвинутых по фазе на π/2 волн, которые не

Для численной оценки дополнительного вклада

обязательно являются полностью ортогональными,

в смещение действительно трудно проверить, для

как в случае сдвинутых по фазе стоячих волн,

всех ли экспериментальных ячеек и конфигураций

рассмотренном в работах [10, 11]. Также можно

возбуждения волн имеется данный коэффициент. В

предположить, что аналогичное моделирование

настоящей работе при помощи метода складывания

можно применить к любой паре противоположно

потенциалов краевых и сдвинутых по фазе наклон-

направленных вихрей, возникающих на каждом

ных волн показано, что данный член смещения име-

краю ячейки произвольной формы, например, в

ет конечную величину, однако существуют опреде-

небольших многоугольных резервуарах, рассмот-

ленные конфигурации, в которых дополнительный

ренных в работе [9]. В частности, помимо бегущих

вклад исчезает [19]. Простейший случай нулевого

волн непосредственно от краев необходимо учиты-

смещения возникает при наложении синфазных ор-

вать сдвинутые по фазе наклонные волны, идущие

тогональных краевых волн, что в действительности

из каждого угла. В совокупности они вращают

550

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Пространственно-временной анализ поверхностных волн. ..

и перемещают поплавки на поверхности, образуя

9. P. Chen, Z. Luo, S. Guven et al., Adv. Mater. 26,

вихревые структуры.

5936 (2014).

10. N. Francois, H. Xia, H. Punzmann et al., Nature

Благодарности. Авторы благодарят В. Парфе-

Comm. 8, 14325 (2017).

ньева за полезные советы и предложения, а также

П. Фонтана за помощь в аналитических расчетах.

11. С. В. Филатов, С. А. Алиев, А. А. Левченко,

Д. А. Храмов, Письма в ЖЭТФ 104, 714 (2016).

12. F. Moisy, M. Rabaud, and K. Salsac, Exp. in Fluids

ЛИТЕРАТУРА

46, 1021 (2009).

1. N. Francois, H. Xia, H. Punzmann et al., Phys. Rev.

13. W. Thielicke and E. J. Stamhuis, J. Open Res. Soft-

X 4, 021021 (2014).

ware 2(1):e30 (2014).

2. H. Punzmann, N. Francois, H. Xia et al., Nature

14. Q. Aubourg and N. Mordant, Phys. Rev. Fluids 1,

Phys. 10, 658 (2014).

023701 (2016).

3. S. Lukaschuk, P. Denissenko, and G. Falkovich, Eur.

15. F. Haudin, A. Cazaubiel, L. Deike et al., Phys. Rev.

Phys. J. Special Topics 145, 125 (2007).

E 93, 043110 (2016).

4. C. Sanli, D. Lohse, and D. van der Meer, Phys. Rev.

16. C. Kuo, H. Hwung, and C. Chien, Wave Motion 46,

E 89, 053011 (2014).

189 (2009).

5. P. Agrawal, P. S. Gandhi, and A. Neild, J. Appl.

17. R. Dean and R. Dalrymple, Water Wave Mechanics

Phys. 114, 114904 (2013).

for Engineers and Scientists, Vol. 2, World Sci. Publ.

Comp., Singapore (1991).

6. S. Filatov, V. Parfenyev, S. Vergeles et al., Phys. Rev.

Lett. 116, 054501 (2016).

18. L. Landau and E. Lifshitz, Course of Theoretical

Physics: Fluid Mechanics, Pergamon Press, London

7. G. R. Chavarria, P. Le Gal, and M. Le Bars, Phys.

(1959).

Rev. Fluids 3, 094803 (2018).

8. Z. Wang, P. Zhang, X. Nie, and Y. Zhang, Sci. Rep.

19. J. Bouvard, W. Herreman, and F. Moisy, Phys. Rev.

5, 16846 (2015).

Fluids 2, 084801 (2017).

551