ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 552-560

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

СТОХАСТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ

ИЗ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

Э. А. Саметов, Е. А. Лисин^*, О. С. Ваулина^**

Объединенный институт высоких температур Российской академии наук

125412, Москва, Россия

Московский физико-технический институт (государственный университет)

141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 8 августа 2019 г.,

после переработки 8 августа 2019 г.

Принята к публикации 26 сентября 2019 г.

Представлены результаты аналитического и численного исследований спектральных характеристик сто-

хастического (теплового) движения для двух заряженных частиц в анизотропном электрическом поле

ловушки. Предложены аналитические соотношения для спектральной плотности смещений в такой си-

стеме с однородными и неоднородными тепловыми источниками, включая спектральные плотности для

каждой из частиц, а также для суммарных и взаимных смещений частиц. Полученные соотношения

проверены путем численного моделирования задачи.

DOI: 10.31857/S0044451020030165

на пространственное распределение температур пы-

левых частиц оказывают изменения их зарядов, вы-

званные случайной природой ионных и электронных

1. ВВЕДЕНИЕ

токов, заряжающих эти частицы [9-14]. Источника-

ми неравномерного нагрева системы пылевых час-

Стохастическое (тепловое) движение в системах

тиц также могут являться неоднородное распреде-

взаимодействующих частиц широко распространено

ление температуры окружающего газа, лазерное из-

в природе и наблюдается, например, в биологичес-

лучение, используемое для диагностики, протекание

ких и полимерных коллоидных растворах, в плаз-

химических реакций и т. д. Перераспределение сто-

ме продуктов сгорания, в атмосфере Земли и т. д.

хастической энергии в системах с такими тепловыми

[1-6]. Исследование такого движения представляет

источниками исследовалось теоретически для клас-

интерес в различных областях науки и техники. От-

теров заряженных частиц в работах [9,10].

дельный круг задач связан с условиями энергети-

Экспериментальный, теоретический и числен-

ческого баланса в системах заряженных частиц с

ный анализы теплового движения взаимодействую-

пространственно-неоднородными тепловыми источ-

щих пылевых частиц в протяженных и ограничен-

никами, которые обычно приводят к неравномер-

ных ансамблях, формирующихся в газоразрядной

ному распределению стохастической кинетической

плазме, представлен в работах [15-21]. Отметим,

энергии в исследуемой системе.

что в обычных тлеющих разрядах в центре газо-

Основной источник неравномерного распределе-

разрядных камер наблюдается некоторое превыше-

ния стохастической кинетической энергии для заря-

ние концентрации ионов плазмы над концентраци-

женных частиц плазмы связан с ее неоднородными

ей ее электронной компоненты [22]. Данное обстоя-

параметрами во внешних электрических полях [7,8].

тельство приводит к формированию эффективных

Что касается комплексной (пылевой) плазмы, то по-

ловушек для отрицательно заряженных частиц пы-

мимо неоднородных условий значительное влияние

ли [5, 6].

^* E-mail: ealisin@yandex.ru

Для анализа особенностей теплового движения

^** E-mail: olga.vaulina@bk.ru

взаимодействующих частиц можно воспользоваться

552

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Спектральные характеристики стохастического движения.. .

кальных и горизонтальных конфигураций частиц в

такой системе при разных типах межчастичных вза-

имодействий проводились в работах [28-30]. Различ-

ные эксперименты с двумя пылевыми частицами в

газоразрядной плазме описаны в работах [31-39].

E_r

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

E_z

Рассмотрим систему линеаризованных уравне-

ний движения, описывающих отклонения двух вза-

Рис. 1. Вертикальная (а) и горизонтальная (б) конфигу-

имодействующих идентичных частиц с зарядами Q

рации двух взаимодействующих частиц в электрическом

и массой M от их положения равновесия (ξ₁, ξ₂) для

поле ловушки E = E(z, r) с цилиндрической симметрией

выбранной степени свободы в поле внешних сил под

действием случайной силы Fb1(2), которая является

источником стохастической (тепловой) энергии час-

спектральной характеристикой случайных процес-

тиц:

сов, а именно, спектральной плотностью смещений

d²ξ₁

dξ₁

Fb1

частиц. В общем случае спектральная плотность

= -ν

- aξ₁ + bξ₂ +

(1a)

определяется как преобразование Фурье от корре-

dt²

ляционной функции для физической характеристи-

d²ξ₂

dξ₂

Fb2

= -ν

- aξ₂ + bξ₁ +

(1b)

ки анализируемого процесса, а для случайного про-

dt²

цесса является косинус-преобразованием Фурье для

Здесь ν — коэффициент трения пылевых частиц за

соответствующей корреляционной функции [23-25].

счет их столкновений с нейтралами окружающего

Следует отметить, что в отличие от других харак-

газа, а коэффициенты a, b зависят от физики ре-

теристик системы (параметра неидельности, коэф-

шаемой задачи и рассматриваемой степени свободы

фициентов тепло- и массопереноса и т. д.) информа-

смещений частиц. Для случая α > β реализуется

ция о спектральной плотности тепловых смещений

вертикальная конфигурация двух частиц, в обрат-

частиц позволяет анализировать спектр частот соб-

ном случае — их горизонтальная конфигурация (см.

ственных колебаний в исследуемых системах. Это,

рис. 1) [29, 30].

в свою очередь, дает возможность оценить реак-

Здесь мы остановимся на случае вертикальной

цию системы на кратковременные или периодиче-

конфигурации двух частиц, см. рис. 1а. (Все реше-

ские внешние возмущения, а также позволяет опре-

ния для горизонтальной конфигурации будут анало-

делить характер и тип потенциала взаимодействия

гичными.) Тогда для вертикальных смещений час-

между частицами среды [15-17, 26-28].

тиц ξ₁₍₂₎ = z₁₍₂₎ выполняется равенство Qβ = 2F/l,

Несмотря на большое количество работ по иссле-

а коэффициенты a = (Qβ -F^′)/M и b = -F^′/M, где

F — сила взаимодействия между двумя частицами,

дованию теплового движения заряженных частиц в

электрических полях различных ловушек, вопрос о

l — расстояние между ними, F^′ — производная силы

спектральной плотности смещений для отдельных

взаимодействия в направлении оси z. Для радиаль-

частиц в неидеальных системах остается не выяс-

ных смещений частиц ξ₁₍₂₎ = r₁₍₂₎ коэффициенты

ненным.

a = (Qα - F/l)/M и b = F/lM.

В этом случае движение центра масс системы,

В настоящей работе рассмотрена спектральная

(ξ₁ + ξ₂)/2 = ξ₊/2, и взаимные смещения частиц,

плотность смещений двух идентичных частиц в сре-

ξ₁ - ξ₂ = ξ_-, относительно их положения равнове-

де с различными тепловыми источниками в поле си-

сия описываются следующими уравнениями:

лы тяжести, скомпенсированном электрическим по-

лем E(r, z) цилиндрической ловушки с радиальной

d²(ξ₁ + ξ₂)

d(ξ₁ + ξ₂)

= -ν

E_r = αr и вертикальной E_z = E0z + βz составля-

dt²

ющими, см. рис. 1. Здесь r ≡ (x² + y²)1/2 — ради-

Fb1 + Fb2

− ω²⁺(ξ₁ + ξ₂) +

(2a)

альная координата, z — вертикальная координата

(по оси, параллельной силе тяжести), α и β — вели-

d²(ξ₁ - ξ₂)

d(ξ₁ - ξ₂)

= -ν

чины градиентов электрического поля, а значение

dt²

E0z определяется балансом сил, действующих в сис-

Fb1 - Fb2

- ω2-(ξ₁ - ξ₂) +

(2b)

теме. Численные исследования устойчивости верти-

553

Э. А. Саметов, Е. А. Лисин, О. С. Ваулина

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

= 2

–

= 3.46

= 4

= 3.46

G*_-

G*₊

G*_-

Рис. 2. Нормированные спектральные плотности G^∗ для суммарных, G+, и взаимных, G-, смещений двух частиц в

вертикальном (а) и радиальном (б) направлениях при α/β = 4. Здесь G∗+(ω) = G+(ω)(ω^tν)M/(

+ T02 ), G^∗-(ω) =

= G-(ω)(ω^tν)M/(

+T⁰²), где для смещений частиц в вертикальном направлении ω2t = Qβ/M, ω+/ν = 2 и ω-/ν ≈ 3.46,

а для их радиальных смещений ω2t = Qα/M, ω+/ν = 4 и ω-/ν ≈ 3.46

где ω²⁺ = Qβ/M, ω2- = (Qβ - 2F^′)/M для смещений

b²(T⁰¹ - T⁰²)

δT₁₍₂₎ =

(4)

в вертикальном направлении и ω²⁺ = Qα/M, ω2- =

2b² + ν²a

= (Qα - 2F/l)/M ≡ Q(α - β)/M для радиальных

Следует отметить, что T₁ +T₂ = T⁰¹ +T⁰², т. е. полная

смещений частиц.

кинетическая энергия системы, не изменяется.

Для вычисления спектральной плотности сме-

Для уравнений (2a), (2b) можно записать

щений частиц обычно используют преобразование

Фурье для среднеквадратичного отклонения час-

d²Δ²⁺

dΔ²⁺

2(T₁ + T₂)

тиц от их начального положения:

〈Δ²¹⁽²⁾(t)〉

= -ν

-ω²⁺Δ²⁺ +

(5a)

dt²

= 〈(ξ₁₍₂₎(t) - ξ₁₍₂₎(0))²〉, где угловые скобки описы-

d²Δ2-

dΔ2-

2(T₁ + T₂)

вают усреднение по всем отрезкам времени равным

= -ν

-ω2-Δ2- +

(5b)

dt²

t [23,24]. Тогда уравнения (1a), (1b) могут быть пре-

образованы к виду

где 〈Δ2+(-)(t)〉 = 〈(ξ+(-)(t) - ξ+(-)(0))²〉.

Таким образом, спектральная плотность для

d²Δ²¹

dΔ²¹

2T₁

= -ν

- aΔ²¹ + bΔ²² +

(3a)

суммарных, G₊, и взаимных, G_-, смещений двух

dt²

частиц аналогична спектральной плотности класси-

d²Δ²²

dΔ²²

2T₂

= -ν

- aΔ²² + bΔ²¹ +

(3b)

ческого затухающего осциллятора и может быть за-

dt²

писана как [23, 24]

где T₁₍₂₎

= M〈V²¹⁽²⁾〉 — удвоенная кинетическая

энергия стохастического движения частиц, V₁₍₂₎ =

2ν(T⁰¹ + T⁰²)/M

G+(-)(ω) =

(6)

= dξ₁₍₂₎/dt — скорости частиц на одну степень сво-

ω⁴ + (ν² - 2ω2+(-))ω² + ω⁴

+(-)

боды.

Связь между величиной T₁₍₂₎ и температурой

где для вертикальных смещений частиц ω²⁺

тепловых источников T⁰¹⁽²⁾ в точке среды, возникаю-

= Qβ/M, ω2- = (Qβ - 2F^′)/M; для их радиальных

щих за счет действия случайной силы Fb1(2), задает-

смещений ω²⁺ = Qα/M, ω2- = (Qα - 2F/l)/M ≡

ся соотношением T₁₍₂₎ = T⁰¹⁽²⁾ - δT₁₍₂₎, где величина

≡ Q(α - β)/M; а T⁰¹ + T⁰² = T₁ + T₂.

δT₁₍₂₎ подчиняется условию энергетического балан-

Нормированные спектральные плотности G^∗ для

са в системе (1a), (1b). При условии T⁰¹ = T⁰² проис-

суммарных, G₊, и взаимных, G_-, смещений двух

ходит перераспределение стохастической кинетичес-

частиц в вертикальном и радиальном направлени-

кой энергии между частицами [9, 10], см. Приложе-

ях при α/β = 4 для различных отношений ω+(-)/ν

ние А:

представлены на рис. 2. Следует отметить, что при

554

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Спектральные характеристики стохастического движения.. .

0.8

= 3.46

= 2

–

1.6

= 4

= 3.46

0.6

1.2

0.4

0.8

0.2

0.4

Рис. 3. Нормированные спектральные плотности G^∗ для смещений отдельных частиц системы, G1 и G2, в верти-

кальном (а) и радиальном (б) направлениях при α/β = 4: 1 — G∗1(ω) = G1(ω)(ω^tν)M/(

+ T02 ), T01 /T⁰² = 10; 2 —

G∗2(ω) = G2(ω)(ω^tν)M/(

+ T02 ), T01 /T⁰² = 10; 3 — G∗1(ω) ≡ G∗2(ω) = G^∗(ω), T01 /T⁰² = 1. Здесь для смещений частиц в

вертикальном направлении ω2t = Qβ/M, ω+/ν = 2 и ω-/ν ≈

3.46, а для их радиальных смещений ω2t = Qα/M, ω+/ν = 4

и ω-/ν ≈ 3.46

(ω+(-)/ν)² ≫ 1 максимум функций G+(-)(ω) хоро-

G₁₍₂₎(ω) =

шо соответствует значениям ω+(-)/ν. С уменьшени-

2ν{T⁰¹⁽²⁾((ω² - a)² + ν²ω²) + T⁰²⁽¹⁾b²}/M

ем отношения ω+(-)/ν максимум функций G+(-)(ω)

(9)

{ω⁴+(ν²-2ω²¹)ω²+ω⁴¹}{ω⁴+(ν²-2ω²²)ω²+ω⁴²}

смещается в сторону более низких частот [23, 24].

Перейдем к спектральной плотности для смеще-

Особо отметим, что при выводе формулы (9) исполь-

ний отдельных частиц системы. Отметим, что кор-

зовалось уравнение энергетического баланса (4).

ни характеристического уравнения для задачи (1a),

Для случая T⁰¹ = T⁰² ≡ T величина δT₁₍₂₎ = 0, см.

(1b) можно записать в виде

(4), и, соответственно, G₁(ω) ≡ G₂(ω) = G(ω). Тогда

уравнение (9) для спектральной плотности смеще-

)1/2

ний частиц можно представить в виде суперпози-

⁽ν

λ1,2 = -

-ω²

= 0,

(7a)

ции спектральных плотностей для двух осциллято-

ров как

)1/2

⁽ν

λ3,4 = -

-ω²

= 0,

(7b)

∑

νT/M

G(ω) =

(10)

{ω⁴ + (ν² - 2ω2i)ω² + ω4i}

i=1

где ω²¹ = a + b ≡ ω²⁺, ω²² = a - b ≡ ω2-.

Нормированные спектральные плотности G^∗ для

При этом любое решение F (t) для задачи (1a),

смещений отдельных частиц системы, G₁ и G₂,

(1b) можно представить в виде суперпозиции

в вертикальном и радиальном направлениях при

α/β = 4 для различных отношений ω+(-)/ν и T⁰¹/T⁰²

∑

представлены и на рис. 3.

F (t) = C₀ + C_i exp(λ_it),

(8)

i=1

В заключение данного раздела отметим, что для

диагностики параметров ограниченных и протяжен-

где коэффициенты C₀ и C_i определяются гранич-

ных систем в лабораторных экспериментах зача-

ными условиями. Коэффициенты C₀ и C_i представ-

стую используется анализ поведения среднего квад-

лены в Приложении В. Фурье-преобразование для

рата отклонений частиц от их начального положе-

этого случая дает для спектральной плотности сме-

ния 〈x(t)²〉 [15-17]. Однако при наличии двух или

щений G₁ (для частицы 1) и G₂ (для частицы 2)

более гармоник (характерных частот) в исследуемой

555

Э. А. Саметов, Е. А. Лисин, О. С. Ваулина

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

–0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

V₁, см/с

V₂, см/с

Рис. 4. Функции распределения скоростей для смещений отдельных частиц системы f1(V1) (а) и f2(V2) (б) в вертикальном

и радиальном направлениях при α/β = 4. Символами обозначены результаты численного моделирования, сплошными

линиями — функции Максвелла с температурами: T⁰¹ = 2.08 эВ (1); Tr1 ≈ 1.87 эВ (2); Tv1 ≈ 1.46 эВ (3); Tv2 ≈ 0.83 эВ

(4); Tr2 ≈ 0.416 эВ (5); T⁰² = 0.208 эВ (6)

системе простой анализ функций 〈x(t)²〉 может ока-

ном направлении ω2t = Qβ/M, а для их радиальных

заться затруднительным [23]. Тем не менее, иссле-

смещений ω2t = Qα/M.)

дование спектральных характеристик анализируе-

Моделирование выполнялось для частиц с куло-

мой системы позволяет легко решить данную зада-

новским взаимодействием, находящихся в электро-

чу. Так, на основе измерения и анализа спектраль-

статической ловушке с параметрами α/β = 4. При

ных плотностей G₊ и G_- (6), G₁ и G₂ (9) может

этом наблюдалась вертикальная конфигурация час-

базироваться простая и удобная техника для вос-

тиц, см. рис. 1а.

становления характерных частот в реальных экспе-

Во всех рассмотренных случаях моделируемые

риментах.

системы являлись устойчивыми. Функции распреде-

ления частиц по скоростям соответствовали распре-

делению Максвелла. Разность δT₁₍₂₎ = T⁰¹⁽²⁾ - T₁₍₂₎

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО

между фиксируемыми температурами, T₁₍₂₎, и тем-

МОДЕЛИРОВАНИЯ

пературами заданных тепловых источников, T⁰¹⁽²⁾,

находилась в согласии с условием энергетического

Численное исследование стохастического движе-

баланса (4) как для вертикальных, так и для ради-

ния в системе из двух заряженных частиц с неодно-

альных смещений частиц, см. рис. 4. А при t → ∞

родными тепловыми источниками выполнялось ме-

значения среднеквадратичного смещения каждой из

тодом молекулярной динамики Ланжевена. Техника

частиц от их начального положения соответствова-

моделирования подробно описана в работе [4]. Шаг

ли 〈Δ²¹⁽²⁾(t)〉= 2〈ξ²¹⁽²⁾〉, см. Приложения А и В.

интегрирования составлял от Δt= (40 max[ω_t; ν])-1

Вычисления спектральной плотности прово-

до Δt= (100 max[ω_t; ν])-1 в зависимости от началь-

дились на основе численных расчетов смещений

ных условий задачи. Время расчетов t_c после уста-

x(t), y(t) и z(t) при помощи процедуры «N-D fast

новления равновесия в моделируемых системах ва-

Fourier transform» в пакете прикладных программ

рьировалось от ∼ 10³/ min[ω_t; ν] до ∼ 10⁴/ min[ω_t; ν].

MATLAB.

Температура тепловых источников (T⁰¹, T⁰²) задава-

лась при помощи случайной силы Fb1(2) [5]. Отно-

Нормированные спектральные плотности G^∗ для

шение T⁰¹/T⁰² изменялось от 1 до 10. Значение па-

суммарных, G₊, и взаимных, G_-, смещений двух

раметра ξ = ω_t/ν варьировалось от ∼ 1 до ∼ 10.

частиц в вертикальном и радиальном направлениях,

(Напомним, что для смещений частиц в вертикаль-

полученные путем численного моделирования зада-

556

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Спектральные характеристики стохастического движения.. .

= 2

= 3.46

= 4

= 3.46

G*₊

G*_-

G*₊

G*_-

Рис. 5. Нормированные спектральные плотности G∗ для суммарных, G+, и взаимных, G-, смещений двух час-

тиц в вертикальном (а) и радиальном (б) направлениях при α/β

= 4. Здесь G∗+(ω) = G+(ω)(ω^tν)M/(

+ T⁰²),

G^∗-(ω) = G-(ω)(ω^tν)M/(

+ T⁰²), где для смещений частиц в вертикальном направлении ω2t = Qβ/M, ω+/ν = 2

и ω-/ν ≈ 3.46, а для их радиальных смещений ω^t = Qα/M, ω+/ν = 4 и ω-/ν ≈ 3.46. Серыми линиями обозначены

результаты численного моделирования, черными — аналитические соотношения

0.8

= 2

= 3.46

= 4

1.6

0.6

= 3.46

1.2

0.4

0.8

0.2

0.4

Рис. 6. Нормированные спектральные плотности G^∗ для смещений отдельных частиц системы, G1 и G2, в верти-

кальном (а) и радиальном (б) направлениях при α/β = 4: 1 — G∗1(ω) = G1(ω)(ω^tν)M/(

+ T02 ), T01 /T⁰² = 10; 2 —

G∗2(ω) = G2(ω)(ω^tν)M/(

+ T02 ), T01 /T⁰² = 10; 3 — G∗1(ω) ≡ G∗2(ω) = G^∗(ω), T01 /T⁰² = 1. Здесь для смещений частиц в

вертикальном направлении ω2t = Qβ/M, ω+/ν = 2 и ω-/ν ≈ 3.46, а для их радиальных смещений ω^t = Qα/M, ω+/ν = 4

и ω-/ν ≈ 3.46. Серыми линиями обозначены результаты численного моделирования, черными — аналитические соотно-

шения

чи, при α/β = 4 для различных отношений ω+(-)/ν

рис. 6.

представлены на рис. 5. Нормированные спектраль-

ные плотности G^∗ для смещений отдельных частиц

Численные исследования показали хорошее

системы, G₁ и G₂, в вертикальном и радиальном на-

соответствие между результатами моделирования

правлениях, полученные при α/β = 4 и T⁰¹/T⁰² = 10,

и предлагаемыми аналитическими соотношениями

для различных отношений ω+(-)/ν представлены на

(6), (9).

557

Э. А. Саметов, Е. А. Лисин, О. С. Ваулина

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

T₁₍₂₎

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

-a〈(ξ₁₍₂₎)²〉 + b〈ξ₁ξ₂〉 +

= 0,

(A.2)

Выполнено аналитическое и численное исследо-

вание динамики двух заряженных частиц в анизо-

тропном электрическом поле ловушки. Получены

− ν〈V₁₍₂₎ξ₂₍₁₎〉 - a〈ξ₁ξ₂〉 + b〈(ξ₂₍₁₎)²〉+

спектральные характеристики их стохастического

+ 〈V₁V₂〉 = 0, (A.3)

движения. Моделирование выполнялось для систем

частиц с кулоновским взаимодействием в широком

диапазоне их параметров (T⁰¹/T⁰² и ω_t/ν).

-2ν〈V₁V₂〉 - a〈ξ₁V₂〉 - a〈ξ₂V₁〉 = 0.

(A.4)

Предложены аналитические соотношения для

спектральной плотности смещений в такой системе

Здесь δT₁₍₂₎ = T⁰¹⁽²⁾-T₁₍₂₎, а T₁₍₂₎ = M〈V²¹⁽²⁾〉 — удво-

с однородными и неоднородными тепловыми источ-

енная кинетическая энергия стохастического движе-

никами, включая спектральные плотности для каж-

ния частиц.

дой из частиц, а также для суммарных и взаимных

Решение системы уравнений (A.1)-(A.4) дает

смещений частиц.

уравнение энергетического баланса в системе (1a),

Результаты настоящей работы применимы для

(1b), который возникает при T⁰¹ = T⁰² и приводит

систем при любом типе попарных взаимодействий, а

к перераспределению стохастической кинетической

также могут быть легко адаптированы для случая

энергии между частицами [9, 10]:

непопарных (невзаимных) потенциалов. Получен-

ные результаты могут быть полезны для разработ-

b²(T⁰¹ - T⁰²)

δT₁₍₂₎ =

(A.5)

ки новых методов диагностики физических свойств

2b² + ν²a

пылевой плазмы.

а также соотношения для корреляторов скоростей и

смещений частиц:

Финансирование. Работа частично поддержа-

на Российским фондом фундаментальных исследо-

〈V₁V₂〉 = 0,

(A.6)

ваний (грант №18-38-20175), а также Программой

Президиума РАН.

(2a² - b²)T₁₍₂₎ + b²T₂₍₁₎

〈ξ

1(2)

〉=

(A.7)

2a(a² - b²)M

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Для поиска корреляторов скоростей и смещений

ab(T₁ + T₂)

частиц в системе, заданной уравнениями (1), (2), от-

〈ξ₁ξ₂〉 =

(A.8)

2a(a² - b²)M

метим, что корреляторы случайной силы Fb1(2) под-

чиняются уравнениям

b(T₁ - T₂)

〈Fb1〉 = 〈Fb2〉 ≡ 0,

〈Fb1Fb2〉 = 0,

〈ξ₂V₁〉 ≡ -〈ξ₁V₂〉 = -

(A.9)

2νaM

〈Fb1V₂〉 = 〈Fb2V₁〉 ≡ 0,

〈Fb1ξ₂〉 = 〈Fb2ξ₁〉 ≡ 0,

ПРИЛОЖЕНИЕ B

〈Fb1ξ₁〉 = 〈Fb2ξ₂〉 ≡ 0,

〈Fb1V₂〉 = 〈Fb2V₁〉 ≡ 0,

где V₁₍₂₎ = dξ₁₍₂₎/dt — скорости частиц на одну сте-

Любое решение F (t) для задачи (1), (2) можно

пень свободы. (Здесь и далее в Приложении А уг-

представить в виде суперпозиции

ловые скобки 〈〉 обозначают усреднение по времени

∑

при t → ∞.) Учитывая, что при движении частиц

F (t) = C₀ + C_i exp(λ_it).

(B.1)

по замкнутым траекториям 〈ξ₁V₁〉 = 〈ξ₂V₂〉 ≡ 0 и

i=1

〈V₁₍₂₎Fb1(2)〉 = νT⁰¹⁽²⁾, где T⁰¹⁽²⁾ — температура тепло-

вых источников, уравнения для корреляторов ско-

При этом для функции 〈Δ²¹⁽²⁾(t)〉 величина C₀ ≡

ростей и смещений частиц можно представить в ви-

≡ A₁ = 2〈ξ²¹⁽²⁾〉 (см. Приложение А, формула (A.7)

де [9, 10]

и [23]). Для поиска коэффициентов C_i (i = 1, 2, 3,

4) используются начальные условия задачи: F(0) =

νδT

1(2)

+ b〈V₁₍₂₎ξ₂₍₁₎〉 = 0,

(A.1)

= 0, dF(0)/dt = 0, d²F(0)/dt² ≡ A₂ = 2T₁₍₂₎/M,

558

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Спектральные характеристики стохастического движения.. .

d³F(0)/dt³ ≡ A₃ = 2νT⁰¹⁽²⁾/M [4]. Тогда для коэф-

ЛИТЕРАТУРА

фициентов C_i можно записать следующую систему

Photon Correlation and Light Beating Spectroscopy,

уравнений:

ed. by H. Z. Cummins and E. R. Pike, Plenum, New

York (1974).

∑

C_i = -A₁,

(B.2)

Я. И. Френкель, Кинетическая теория жидкос-

i=1

тей, Наука, Ленинград (1975).

∑

λ_iC_i = 0,

(B.3)

R. Balescu, Equilibrium and Nonequilibrium Statisti-

i=1

cal Mechanics, Wiley Interscience, Chichester (1975).

∑

λ2iC_i = A₂,

(B.4)

А. А. Овчинников, С. Ф. Тимашев, А. А. Белый,

i=1

Кинетика диффузионно-контролируемых хими-

ческих процессов, Химия, Москва (1986).

∑

λ3iC_i = -A₃.

(B.5)

О. С. Ваулина, О. Ф. Петров, В. Е. Фортов,

i=1

А. Г. Храпак, С. А. Храпак, Пылевая плазма экс-

перимент и теория, Физматлит, Москва (2009).

Отсюда имеем

Complex and Dusty Plasmas, ed. by V. E. Fortov and

A₃ + A₂(λ₂ + λ₃ + λ₄) - A₁λ₂λ₃λ₄

G. E. Morfill, CRC Press (2010).

C₁ = -

(B.6)

(λ₁ - λ₂)(λ₁ - λ₃)(λ₁ - λ₄)

А. В. Тимофеев, Б. Н. Швилкин, УФН 118, 273

A₃ + A₂(λ₁ + λ₃ + λ₄) - A₁λ₁λ₃λ₄

C₂ =

(B.7)

(1976) [A. V. Timofeev and B. N. Shvilkin, Sov. Phys.

(λ₁ - λ₂)(λ₂ - λ₃)(λ₂ - λ₄)

Usp. 19, 149 (1976)].

A₃ + A₂(λ₁ + λ₂ + λ₄) - A₁λ₁λ₂λ₄

C₃ = -

(B.8)

Yu. P. Raizer, M. N. Shneider, and N. A. Yatsenko,

(λ₁ - λ₃)(λ₂ - λ₃)(λ₃ - λ₄)

Radio-Frequency Capacitive Discharges, CRC Press

A₃ + A₂(λ₁ + λ₂ + λ₃) - A₁λ₁λ₂λ₃

C₄ =

(B.9)

(1995).

(λ₁ - λ₄)(λ₂ - λ₄)(λ₃ - λ₄)

O. S. Vaulina, Phys. Plasmas 24, 023705 (2017).

С учетом корней характеристического уравнения

10.

О. С. Ваулина, ЖЭТФ 151, 982 (2017).

систему (B.6)-(B.9) можно записать как

11.

O. S. Vaulina, Europhys. Lett. 115, 10007 (2016).

A₃ - A₂ν + λ₂(A₂ - A₁ω²²)

C₁ = -

(B.10)

12.

O. S. Vaulina, S. A. Khrapak, O. F. Petrov, and

2(λ₁ - λ₂)b

A. P. Nefedov, Phys. Rev. E 60, 5959 (1999).

A₃ - A₂ν + λ₁(A₂ - A₁ω²²)

C₂ =

(B.11)

2(λ₁ - λ₂)b

13.

R. A. Quinn and J. Goree, Phys. Rev. E 61, 3033

(2000).

A₃ - A₂ν + λ₄(A₂ - A₁ω²¹)

C₃ =

(B.12)

2(λ₃ - λ₄)b

14.

O. Vaulina, S. Khrapak, A. A. Samarian, and

A₃ - A₂ν + λ₃(A₂ - A₁ω²¹)

O. F. Petrov, Phys. Scripta T 84, 292 (2000).

C₄ = -

(B.13)

2(λ₃ - λ₄)b

15.

О. С. Ваулина, К. Г. Адамович, ЖЭТФ 133, 1091

(2008).

В случае равенства температур частиц T⁰¹ = T⁰² ≡ T

и T₁₍₂₎ = T⁰¹⁽²⁾. Следовательно,

16.

О. С. Ваулина, К. Г. Адамович, О. Ф. Петров,

В. Е. Фортов, ЖЭТФ 134, 367 (2008).

2νTλ₂(1 - a/ω²¹)

17.

E. A. Lisin, R. A. Timirkhanov, O. S. Vaulina,

C₁ = -

(B.14)

M (λ₁ - λ₂)b

O. F. Petrov, and V. E. Fortov, New J. Phys. 15,

2νTλ₁(1 - a/ω²¹)

053004 (2013).

C₂ =

(B.15)

M (λ₁ - λ₂)b

18.

O. S. Vaulina and E. A. Lisin, Phys. Plasmas 16,

2νTλ₄(1 - a/ω²²)

113702 (2009).

C₃ =

(B.16)

M (λ₃ - λ₄)b

19.

В. Е. Фортов, О. Ф. Петров, О. С. Ваулина,

2νTλ₃(1 - a/ω²²)

C₄ = -

(B.17)

К. Г. Косс, Письма в ЖЭТФ 97, 366 (2013).

M (λ₃ - λ₄)b

559

Э. А. Саметов, Е. А. Лисин, О. С. Ваулина

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

20. G. A. Hebner, M. E. Riley, and K. E. Greenberg,

30. О. С. Ваулина, К. Г. Адамович, И. Е. Дранжевс-

Phys. Rev. E 66, 046407 (2002).

кий, Физика плазмы 31, 612 (2005).

21. O. S. Vaulina and I. E. Drangevski, Phys. Scripta 73,

31. A. Melzer, V. A. Schweigert, and A. Piel, Phys. Rev.

577 (2006).

Lett. 83, 3194 (1999).

32. V. Steinberg, R. Sütterlin, A. V. Ivlev, and G. Morfill,

22. Ю. П. Райзер, Физика газового разряда, Наука,

Москва (1987).

Phys. Rev. Lett. 86, 4540 (2001).

33. G. A. Hebner, M. E. Riley, and B. M. Marder, Phys.

23. О. С. Ваулина, Э. А. Саметов, ЖЭТФ 154, 407

Rev. E 68, 016403 (2003).

(2018).

34. A. A. Samarian, S. V. Vladimirov, and B. W. James,

24. Ю. Л. Климонтович, Статистическая физика,

Phys. Plasmas 12, 022103 (2005).

Наука, Москва (1982).

35. M. Kroll, J. Schablinski, D. Block, and A. Piel, Phys.

25. А. А. Воронов, Теория автоматического управле-

Plasmas 17, 013702 (2010).

ния, ч. 2, Высш. школа, Москва (1986).

36. A. K. Mukhopadhyay and J. Goree, Phys. Rev. E 90,

26. Е. А. Лисин, О. С. Ваулина, ЖЭТФ 142, 1077

013102 (2014).

(2012).

37. H. Jung, F. Greiner, O. H. Asnaz, J. Carstensen, and

27. Е. А. Лисин, О. С. Ваулина, О. Ф. Петров, ЖЭТФ

A. Piel, Phys. Plasmas 22, 053702 (2015).

151, 791 (2017).

38. M. Chen, M. Dropmann, B. Zhang, L. S. Matthews,

28. I. I. Lisina, E. A. Lisin, O. S. Vaulina, and O. F. Pet-

and T. W. Hyde, Phys. Rev. E 94, 033201 (2016).

rov, Phys. Rev. E 95 , 013202 (2017).

39. Z. Ding, K. Qiao, J. Kong, L. S. Matthews, and

29. I. I. Lisina and O. S. Vaulina, Europhys. Lett. 103,

T. W. Hyde, Plasma Phys. Control. Fusion 61,

55002 (2013).

055004 (2019).

560