ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 3, стр. 561-566

КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ОБЛАСТИ

ПЕРЕХОДОВ В ЛЕНГМЮРОВСКИХ МОНОСЛОЯХ

В. Г. Каменский^*

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 27 сентября 2019 г.,

после переработки 27 сентября 2019 г.

Принята к публикации 30 сентября 2019 г.

На примере конкретных экспериментальных данных рассмотрено поведение капиллярно-гравитационных

волн в областях резкого изменения поверхностного натяжения (фазовых переходах в пленках). Класси-

ческая теория поверхностных волн применена к системам с модельной зависимостью поверхностного

натяжения от концентрации поверхностно-активных веществ. Показано, что в областях резкого измене-

ния поверхностного натяжения сдвиг частоты остается малым при всех реализуемых в экспериментах

длинах волн и величинах поверхностного натяжения. В то же время в этих областях возникает замет-

ное увеличение затухания по сравнению со случаем постоянных величин поверхностного натяжения, что

может служить средством экспериментального обнаружения таких переходов.

DOI: 10.31857/S0044451020030177

С дальнейшим ростом концентрации молекулы

приобретают ориентационную упорядоченность,

1. ВВЕДЕНИЕ

сохраняя возможность перемещений в плоскости

слоя. При этом дальнего позиционного порядка

В последние десятилетия наблюдается зна-

не существует, и новая фаза является двумерным

чительный рост исследований так называемых

жидким кристаллом. При дальнейшем увеличении

ленгмюровских пленок. Этот интерес вызван как

концентрации происходит переход в кристалличес-

необычными фундаментальными свойствами этих

кое состояние (монослой становится похожим на

объектов, так и все возрастающими возможностями

тонкую пластинку толщиной в одну молекулу),

их применения в технике, биологии и медицине.

а далее к

«сминанию» монослоя или коллапсу.

Еще Ленгмюр обнаружил существование различ-

Поведение монослоя амфифильных молекул обыч-

ных фазовых состояний монослоя на поверхности

но изучается с помощью ленгмюровской ванны,

воды. С тех пор было выполнено большое ко-

основными элементами которой являются плавучий

личество исследований, посвященных изучению

барьер, изменяющий площадь водной поверхности,

различных свойств ленгмюровских пленок (см.

занятую веществом, и весы для определения по-

обзоры

[1-3]). Согласно устоявшимся взглядам,

верхностного давления. Поверхностное давление

последовательность фазовых переходов в пленке

π, т. е. сила, нормированная на единицу длины

на поверхности жидкости выглядит следующим

барьера, равно разности поверхностных натяжений

образом. При небольшой концентрации амфи-

жидкой субфазы и субфазы с поверхностной плен-

фильного соединения на поверхности жидкости

кой: π = σ₀ - σ₁, где σ₀ — поверхностное натяжение

мономолекулярный слой практически представляет

чистой субфазы, а σ₁ — субфазы с поверхностной

собой двумерный газ (молекулы практически не

пленкой.

взаимодействуют друг с другом, их хвосты над

поверхностью воды ориентированы произвольно).

В таких экспериментах кроме весов Ленгмюра

С ростом концентрации молекулы сближаются,

используются также и весы Вильгельми, непосред-

оставаясь хаотически ориентированными, и та-

ственно измеряющие поверхностное натяжение. Эти

кую фазу можно назвать двумерной жидкостью.

эксперименты относятся к методам прямого измере-

ния коэффициента поверхностного натяжения. Хо-

^* E-mail: kamenski@kapitza.ras.ru

тя коэффициент поверхностного натяжения изме-

561

ЖЭТФ, вып. 3

В. Г. Каменский

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

модействие молекул уже достаточно сильное, но

Коллапс монослоя

гидрофобные хвосты свободны и имеют произволь-

Твердый

ную конфигурацию (ориентационная упорядочен-

кристалл

ность отсутствует), а затем в жидкокристалличе-

скую фазу, где хвосты уже практически ориенти-

рованы по нормали к поверхности. Далее π-А-изо-

Жидкий

терма выходит на плато, где сосуществуют жидко-

кристалл

кристаллическая и твердая двумерные фазы. Для

арахиновой кислоты ступень тоже одна, но доволь-

Жидкость

но крутая и ее высота около 60 дн/см. Она соответ-

Газ

ствует переходу из газа в жидкость и затем пере-

ходу из жидкости в твердое тело. Похожая изотер-

Двухфазная

ма наблюдается для стеариновой кислоты в раство-

область

ре хлорида марганца σ₀ - σ₁ ∼ 40 дн/см [5]. Эти

переходы являются сильными переходами первого

Рис. 1. Типичная π-A-изотерма

рода, и поэтому флуктуациями параметра порядка

в окрестностях этих переходов можно пренебречь.

Для азокрасителя имеются три ярко выраженные

рен для многих чистых веществ и смесей (растворов,

ступени с разностью высот 5, 20 и 10 дн/см [2].

расплавов) в широком интервале температур и сос-

Первая соответствует переходу газ-жидкость, вто-

тавов, следует учитывать, что он весьма чувствите-

рая отражает конформационную перестройку мо-

лен к наличию примесей. Измерения не всегда дают

лекулы при увеличении поверхностного давления,

совпадающие результаты.

а третья соответствует переходу жидкость-твердое

Зная полное число амфифильных молекул и зна-

тело. Вообще, размеры плато (как функции концен-

чения площади монослоя при движении барьера,

трации) также весьма различны. Существуют мо-

можно построить π-A-изотерму, где A — площадь,

лекулы, сильно изменяющие свою конформацию с

приходящаяся на одну молекулу, или, как говорят,

изменением поверхностного давления. Так происхо-

ее посадочная площадка. Такая изотерма содержит

дит, например, с биполярными молекулами, имею-

информацию как об универсальных свойствах мо-

щими на концах две полярные головки, соединен-

нослоя, так и о специфике поведения сложной ам-

ные гидрофобной углеводородной цепочкой. В этом

фифильной молекулы при изменении поверхностно-

случае на π-А-изотерме появляется широкое пла-

го давления (ее переориентации, конформационных

то, соответствующее сильному изменению площади,

перестройках и т. д.). Типичная π-A-изотерма при-

приходящейся на одну молекулу [6]. Столь же яв-

ведена на рис. 1 [2]. Как видно, последовательность

но выраженные плато наблюдаются и на достаточно

переходов представляется на π-А-изотерме в виде

громоздких молекулах амфифильных красителей и

ряда «ступеней» различной высоты и размера. В ре-

особенно для полимерных молекул [7,8]. Существует

альных пленках наблюдаются как крутые ступени,

и ряд других методов исследования свойств моно-

соответствующие резкому переходу из одной фазы в

слоя, например, по фазовой скорости капиллярных

другую, так и более пологие, соответствующие воз-

волн и рассеянию света поверхностными капилляр-

никновению двухфазной области. Высоты ступеней

ными волнами [9], измерению комплексного модуля

также различны. Теории фазовых переходов в ленг-

сдвига [10, 11].

мюровских пленках посвящено значительное коли-

Как было сказано выше, о структурных пере-

чество работ, однако, ввиду сложности проблемы из-

стройках монослоя можно судить по особенностям

за большого количества различных взаимодействий,

π-A-изотерм, однако эти методы бывают недоста-

она еще далека от количественного решения.

точно чувствительны к структуре монослоя, поэто-

В данной работе будут рассмотрены несколь-

му они дополняются в настоящее время атомно-си-

ко достаточно хорошо изученных экспериментально

ловой и электронной микроскопией. Имеются экс-

веществ, образующих ленгмюровские пленки. Так,

перименты, в которых совмещаются ленгмюровская

для миристиновой кислоты при температуре T =

ванна и рентгеновский дифрактометр, благодаря че-

= 14^◦C ступень одна с π ∼ 15 дн/см [4] и до-

му структуру монослоев можно исследовать непо-

вольно размытая. Она связана с переходом газооб-

средственно в процессе их формирования на водной

разной фазы в изотропно-жидкую, в которой взаи-

поверхности. Развиваются методики, основанные на

562

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Капиллярно-гравитационные волны в области переходов. ..

сочетании рентгеновского эксперимента в условиях

сти, т. е. все величины будут зависеть лишь от двух

дифракции или полного внешнего отражения рент-

координат x и z, где z — перпендикулярна поверхно-

геновских лучей с регистрацией вторичного харак-

сти, а по координате y движение будет однородным.

теристического излучения (например, флуоресцен-

При условии, что длина волны λ = 2π/k значитель-

√

ции). Например, важность учета капиллярных волн

но меньше капиллярной постоянной a =

σ/gρ при

была отмечена при изучении наблюдаемых струк-

k ≫ 1 см-1 для рассматриваемых нами σ, гравита-

тур на поверхности жидкости методом рентгенов-

ционные волны можно не учитывать. Задача сводит-

ской рефлектрометрии [12]. Имеются структурные

ся к решению двух уравнений Навье - Стокса, урав-

исследования с помощью синхротронных источни-

нению непрерывности и уравнения сохранения по-

ков излучения.

верхностно-активного вещества:

)

∂v_x

1 ∂p

⁽∂²v_x

∂²v_x

+ν

(1)

∂t

ϱ ∂x

∂x²

∂z²

2. ТЕОРИЯ И МОДЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ

)

∂v_z

∂p

⁽∂²v_z

∂²v_z

В данной работе будут изучены свойства капил-

+ν

+ g,

(2)

∂t

=-ϱ ∂z

∂x²

∂z²

лярных волн в области переходов между различ-

∂v_x

∂v_z

ными фазами монослоя (т. е. области заметного из-

= 0,

(3)

менения коэффициента поверхностного натяжения

∂x

∂z

при изменении концентрации). Эти результаты мо-

∂Γ

∂(Γv_x)

= 0.

(4)

гут быть полезными не только для непосредствен-

∂t

∂x

ных измерений коэффициента поверхностного на-

На поверхности жидкости должны быть выпол-

тяжения с помощью капиллярных волн, но и в ря-

нены граничные условия

де других случаев, когда имеется пространственная

∂v_z

∂²ξ

неоднородность в распределении концентрации по

-p + 2ϱν

= σ(Γ)

(5)

поверхности. Так, например, в работе [13] при изу-

∂z

∂x²

чении дифракции рентгеновских лучей на криво-

(ξ — вертикальное смещение поверхности) и

линейной поверхности использовалась вращающа-

)

яся ванна. Можно представить, что в этом случае

⁽∂v_x

∂v_z

∂σ ∂Γ

ϱν

(6)

изменение концентрации от первоначальной, бла-

∂z

∂x

∂Γ ∂x

годаря увеличению площади поверхности мениска,

Здесь и в дальнейшем за переменную (в отличие от

существенно скажется на поведении капиллярных

π-A-изотерм) выбрана концентрация молекул плен-

волн и, следовательно, на результатах эксперимен-

ки Γ, что представляется более наглядным. Решения

тов. Кроме того, неоднородность концентрации мо-

уравнений (1)-(4), пропорциональные exp(ikx + ωt),

жет возникать и за счет центробежных сил.

хорошо известны [12]. Подставляя их в граничные

Общий подход к решению гидродинамических

условия (5), (6), получим следующие два уравнения:

уравнений для капиллярных волн описан в работе

(

)

[14] и (несколько подробнее) в работе [15]. Обобще-

A(α² + mα + 1) + ıC mα

= 0,

(7)

ние таких решений на плоский случай и учет нели-

нейных членов в вихревой составляющей скорости

(

)

волны, а также некоторые аналитические оценки по-

ıA(p + mα) - C α² + mα + p

= 0.

(8)

лучающихся формул в предельных случаях приве-

дены в работе [16]. В работе [17] для случая слабой

Здесь A и C — константы, α = ω/ω₀, p = ε/σ, ε =

√

нелинейности были рассмотрены характерные осо-

= (∂σ/∂Γ)Γ, ω₀ =

σk³/ϱ, l =

k² + ω/ν. Входя-

бенности образования капиллярно-гравитационных

щий в уравнения параметр m = 2νk²/ω, где ω —

волн при их возбуждении. Однако в работах [16,17]

характерная частота, удовлетворяет условию m ≪

не рассматривались конкретные величины коэффи-

≪ 1 при вязкости ν = 0.01 см²/с, соответствующей

циента поверхностного натяжения. Представляется,

вязкости воды, и k ≪ 10³ см-1. В дальнейшем бу-

что изучение конкретных экспериментальных слу-

дем считать, что это условие выполнено. Вводя ω =

чаев может привести к определенным обобщениям

= ıω₀ + ıβ₁ + β₂, где β1,2 ≪ ω₀, после несложных, но

для похожих систем.

довольно громоздких вычислений, получим

В дальнейшем будут рассматриваться двумер-

ные волны малой амплитуды на поверхности жидко-

β₁ = ω₀Π₁,

(9)

563

12*

В. Г. Каменский

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

2.2

2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

–0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

Рис. 3. Зависимости коэффициента Π2 от δ. Сплошная ли-

Рис. 2. Модельный вид σ для переходов арахиновой кис-

ния — арахиновая кислота, пунктир — миристиновая кис-

лоты (1), миристиновой кислоты (2), азокрасителя (3,4)

лота, штриховая и штрихпунктир — азокраситель

где

На рис. 2 представлен модельный вид σ для пере-

ходов из газовой фазы (σ = 74) в жидкую (σ ∼ 14)

1.5

p²m-0.5 + 2pm0.5 - 2pm - p + m

арахиновой кислоты, для перехода из газовой фазы

Π₁ = -

4(p²m-1 - pm-0.5 + 2pm0.5 + 0.5)

(σ = 74) в жидкую фазу (σ ∼ 66) миристиновой кис-

лоты, из жидкой (σ ∼ 69) в жидкокристаллическую

β₂ = (-2νk²)Π₂,

(10)

(σ ∼ 49) и из жидкокристаллической в твердую фа-

зу (σ ∼ 39) для азокрасителя.

где

При предложенном определении σ имеем

p²m-0.5-2p²m0.5-2pm0.5+3pm+2m

Π₂ =

23/2νk1/2ρ1/2

√

(11)

4m(p²m-1 - pm-0.5 + 2pm0.5 + 0.5)

σ₁ + σ₀

(σ₀ - σ₁)0.5

− th (Bδ)

Здесь сохранены члены следующего порядка малос-

σ₀ - σ₁

ти для большей точности расчета в случае не слиш-

B(1 + δ)

p=-

[

(12)

ком малых m.

σ₁ + σ₀

В принципе, знание величины σ и ее производной

ch² δ

- th (Bδ)

σ₀ - σ₁

в зависимости от концентрации в каждой точке поз-

Подставляя в (11) ν = 0.01 см²/с, k = 36 см-1, упо-

воляют описать все характерные особенности фор-

мянутые выше σ, получим, что во всех случаях ве-

мул (9), (10). Однако отсутствие точных данных и

личина m изменяется в пределах (1-3) · 10-2, т. е.

трудоемкость такой работы вынуждают обратиться

условие ее малости выполняется.

к модельным расчетам. Представим σ в виде

Подставляя (11) и (12) в (9), мы получим, что

σ₀ + σ₁

σ₀ - σ₁

поправка β₁, соответствующая сдвигу частоты ω₀,

σ=

th(Bδ),

во всей области изменения σ мала, а ее величина со-

ставляет порядка (3-4) · 10-2ω₀. Это означает, что

Γ-Γ₀

δ=

эксперименты по определению σ посредством из-

Γ₀

мерения фазовой скорости капиллярных волн кор-

Точка Γ₀ соответствует середине ступеньки (при

ректны во всех случаях, а величина σ полностью

этом δ = 0), нулевой концентрации соответствует

определяется выражением σ = ϱc²/k, где c — фазо-

δ = -1. Подгоночный параметр B позволяет менять

вая скорость.

крутизну ступени и строить зависимости σ от кон-

На рис. 3 представлены зависимости затухания

центрации, похожие на получаемые в эксперименте.

для тех же случаев. Видно, что для всех случаев

564

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Капиллярно-гравитационные волны в области переходов. ..

затухание в области переходов не слишком отлича-

ется от классического затухания в областях посто-

янного σ (на графиках равного единице), а по вели-

чине практически одинаково для всех случаев. Этот

факт связан с тем, что ввиду малости параметра m

= 6.3 см

главную роль играют первые члены числителей и

знаменателя выражений (9) и (10). Остальные же

члены начинают играть роль при малых значени-

ях величины p и определяют ширину и форму кри-

вых вдали от их центра. Несимметричность кривых

связана с изменением σ и тем больше, чем больше

разность их значений при переходе. Ширина пиков

1.5 см

зависит от «крутизны» ступеньки и уменьшается с

ее увеличением.

С увеличением k (уменьшением длины волны)

0.175 см

величина затухания уменьшается, что связано с уве-

личением параметра m ∝ k0.5. Кроме того, наблюда-

ется отклонение от пропорциональной зависимости

величины затухания от k0.5, что означает, что в вы-

-0.2

-0.1

0.1

0.2

ражении для Π₂ начинают играть роль и остальные

члены.

Рис. 4. Коэффициенты Π2 для миристиновой (пунктир) и

Рассмотрим случай более длинных волн. При

арахиновой (сплошная линия) кислот для различных длин

этом в выражении для ω₀ уже необходимо учиты-

волн

вать гравитационный вклад, в результате чего оно

Вернемся еще раз к обсуждению применимости

принимает вид

√

выражений (9), (10). Как уже отмечалось ранее, они

σk

были получены при условии m = 2νk²/ω ≪ 1, поэто-

ω₀ =

+ gk.

(13)

му главную роль играли первые члены числителей и

знаменателя выражений (9) и (10). Так, параметр m

Поскольку рассматриваемые k будут значитель-

для всех изученных образцов был пропорционален

но меньше, чем в рассмотренных ранее случаях, а в

10-2, а максимальные значения параметра p состав-

подкоренном выражении для ω₀ появляется допол-

ляли около 0.8 для миристиновой кислоты и величи-

нительный член gk, параметр m уменьшается, в вы-

ны порядка нескольких единиц и более для осталь-

ражениях для Π₁ и Π₂ возрастает роль первых чле-

ных случаев. Однако можно представить ситуацию,

нов в числителях и знаменателе. В результате сдвиг

когда имеется ступень с меньшим наклоном и ма-

частоты, заданной выражением (13), становится бо-

лой разностью σ, что заметно уменьшит параметр p.

лее малым по сравнению с чисто капиллярным слу-

На увеличение параметра m, как было сказано ра-

чаем.

нее, будет влиять переход к более коротким волнам

На рис. 4 показано затухание в области перехода

и большая вязкость субфазы. Для сравнения снова

для миристиновой и арахиновой кислот в зависимо-

введем ω = ıω₀ + ıβ₁ + β₂, однако в уравнениях (7),

сти от длины волны для чисто капиллярного слу-

(8) оставим квадратичные поправки по β₁ и β₂. В

чая (λ = 0.175 см) и капиллярно-гравитационных

этом случае мы получаем следующие уравнения:

волн (λ = 1.5 см и λ = 6.3 см). На рисунке видно,

что величина Π₂ (т. е. отношение затухания в обла-

(η²¹ - η²²)(4m + t) + 2η₁η₂(t - 5) - 2η₁ ×

сти перехода к затуханию в области постоянного σ),

× (1-t-pm0.5+m1.5)+2η₂(t-pm0.5)-2m = 0,

(14)

заметно возрастает с увеличением длины волны, а

форма линии становится более гладкой, что связано

(η²¹ - η²²)(5 - t) + 2η₁η₂(4m + t) - 2η₁(t - pm0.5) +

с уменьшением вклада от капиллярной части в вы-

+ 2η₂(1 - t - pm0.5 + m1.5) + p = 0,

(15)

ражении (13). Что касается самой величины затуха-

ния, получающейся умножением Π₂ на m, то оно,

где η₁ = β₁/ω₀, η₂ = β₂/ω₀, а t = pm-0.5. Следую-

естественно, уменьшается и уже для λ = 6.3 см)

щими степенями η можно пренебречь ввиду малости

практически становится равным естественному за-

их величин и коэффициентах при них порядка еди-

туханию.

ницы.

565

В. Г. Каменский

ЖЭТФ, том 157, вып. 3, 2020

Выяснилось, что при двукратном изменении

В данной работе рассмотрен случай пространст-

«крутизны» ступеней величина сдвига частоты и ве-

венно-однородного распределения концентрации Γ

личина затухания, определяемые в обоих случаях,

и, следовательно, σ при различных значениях Γ.

практически не изменяются. При возрастании вели-

Представляет большой интерес рассмотрение зада-

чины γk0.5 в два-три раза, величины сдвига и за-

чи о распространении капиллярных волн в случае

тухания, определяемые решениями уравнений (14),

пространственно-неоднородного распределения кон-

(15), превышают значения, определяемые формула-

центрации Γ при наличии в этой области фазово-

ми (9), (10) на 15-20 процентов.

го перехода, что несомненно приведет к интересным

Естественно, при решении уравнений (14), (15)

особенностям их распространения.

появляются два новых корня. Как показывают вы-

числения, они соответствуют новым модам, сдвину-

ЛИТЕРАТУРА

тым по частоте в большую сторону, однако величина

Л. М. Блинов, УФН 155, 443 (1988).

их затухания более чем на порядок превышает за-

тухание рассмотренных ранее мод. Таким образом,

С. И. Валянский, Е. К. Наими, Наноматериалы:

следует заключить, что полученные нами результа-

Ленгмюровские пленки, Изд. Дом МИСиС, Моск-

ты (по крайней мере качественно) применимы и к

ва (2014).

более широкой области по параметру 2νk²/ω.

D. Langevin, Ann. Rev. Fluid Mech. 46, 47 (2014).

N. K. Adam and G. Jessop, Proc. Roy. Soc., ser. V

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

112, 364 (1926).

Проведенное рассмотрение показывает, что в об-

И. Е. Савон, Дипломная работа, Физический фа-

ластях резкого изменения поверхностного натяже-

культет МГУ (2010).

ния (фазовых переходах в пленках) сдвиг частоты

V. Vogel and D. Möbius, Thin Sol. Films 132, 205

капиллярно-гравитационных волн остается малым

(1985).

при всех реализуемых в экспериментах длинах волн

J. Heeseman, J. Amer. Chem. Soc. 102, 2167 (1980).

и величинах σ. Поэтому с хорошей точностью для

определения частоты можно пользоваться выраже-

T. Kawaguchi, H. Nakahara, and K. Fukuda, Thin

нием (13). В то же время в этих областях возни-

Sol. Films 133, 29 (1985).

кает заметное увеличение затухания по сравнению

R. C. Brown, Proc. Roy. Soc. 48, 312 (1936).

со случаем постоянных величин поверхностного на-

10.

B. M. Abraham, K. Miyano, S. Q. Xu, and J. B. Ket-

тяжения. Этот факт может служить средством об-

terson, Phys. Rev. Lett. 49, 1643 (1982).

наружения переходов при исследовании ленгмюров-

ских пленок методами капиллярных волн. Мы не

11.

B. M. Abraham, K. Miyano, S. Q. Xu, and J. B. Ket-

ставили себе целью детальное рассмотрение приро-

terson, Phys. Rev. Lett. 51, 1975 (1982).

ды переходов, считая, что все изменения σ связа-

12.

А. М. Тихонов, В. Е. Асадчиков, Ю. О. Волков,

ны лишь с модой капиллярно-гравитационных волн.

Б. С. Рощин, Ю. А. Ермаков, ЖЭТФ 152, 1233

В действительности, как показано в работе [18], в

(2017) [Sov. Phys. JETP 125, 1051 (2017)].

ленгмюровских пленках могут существовать и дру-

13.

L. I. Goray, V. E. Asadchikov, B. S. Roshchin,

гие моды, обусловленные анизотропией расположе-

Yu. O. Volkov, and A. M. Tikhonov, Resource-Ef-

ния гидрофобных хвостов молекул, симметрией об-

ficient Technologies 1, 47 (2018).

разующихся структур, температурными флуктуа-

циями и т. д. Однако в тех случаях, когда флук-

14.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика,

т. VI, Наука, Москва (1986).

туации существенны, они приводят к длинноволно-

вым поправкам к поглощению поверхностных волн.

15.

В. Г. Левич, Физико-химическая гидродинамика,

Если из-за возникающего при переходе параметра

Физматгиз, Москва (1959).

порядка возникают новые степени свободы и, как

16.

V. M. Parfenyev and S. S. Vergeles, Phys. Rev. Fluids

следствие, новые поверхностные моды, то они то-

3, 064702-1 (2018).

же, скорее всего, будут длинноволновыми. Посколь-

17.

E. Tobisch, ЖЭТФ 146, 405 (2014) [Sov. Phys.

ку дисперсионные соотношения для таких мод за-

JETP 119, 359 (2014)].

метно отличаются от случая капиллярно-гравита-

ционных волн, мы считаем, что в экспериментах их

18.

Е. И. Кац, В. В. Лебедев, ЖЭТФ 94, вып. 5, 134

можно отличить от нашего случая.

(1988) [Sov. Phys. JETP 67, 940 (1988)].

566