ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 4, стр. 579-595

РЕЗОНАНСНЫЙ ЗАХВАТ ЭЛЕКТРОНОВ ИОНАМИ

В РИДБЕРГОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ АТОМОВ

В. С. Лебедев^*, К. С. Кислов, А. А. Нариц

Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 августа 2019 г.,

после переработки 26 октября 2019 г.

Принята к публикации 29 октября 2019 г.

Исследованы резонансные механизмы электрон-ионной рекомбинации с образованием атомов в ридбер-

говских состояниях в плазме, содержащей атомарные и молекулярные ионы. Разработан аналитический

подход к описанию процесса трехчастичного захвата электрона в ридберговское состояние в результате

резонансной передачи энергии от свободного электрона электронной оболочке квазимолекулярного иона,

образующегося в ходе столкновения атомарного иона с атомом буферного газа. Предложен эффектив-

ный способ расчета констант скоростей диссоциативной рекомбинации в условиях теплового возбуждения

всех колебательно-вращательных уровней молекулярного иона. Установлены зависимости сечений и кон-

стант скоростей исследуемых процессов от главного квантового числа и выяснена их относительная роль

в широком диапазоне температур электронов, Te, и газовой компоненты, T, плазмы. Определены условия

доминирования интегральных вкладов непрерывного спектра молекулы и всего колебательно-вращатель-

ного квазиконтинуума в полную скорость резонансного захвата электрона. Конкретный анализ проведен

на примере гетероядерных систем Ne+Xe⁺ + e и Ar+Xe⁺ + e с существенно различными энергиями

диссоциации (D0 = 33 и 171 мэВ) основного электронного терма иона RgXe⁺ (Rg = Ne и Ar). Показа-

но, что величины констант скоростей захвата существенно зависят от энергии связи |εn| образующегося

атома Xe(n), температур T и Te и от соотношения величины D0 и тепловой энергии kB T .

DOI: 10.31857/S004445102004001X

В настоящей работе проведено исследование ре-

зонансных механизмов электрон-ионной рекомбина-

ции с образованием ридберговских атомов в плазме,

1. ВВЕДЕНИЕ

содержащей атомарные и молекулярные ионы:

Процессы рекомбинации атомарных и молеку-

BA⁺ (i, vJ) + e → BA(f, nl) → A(nl) + B,

(1)

лярных ионов с электронами интенсивно исследу-

ются в течение десятилетий [1-5]. Это связано с их

ролью в физике газовых разрядов и активных сред

A⁺ + e + B → BA⁺ (i) + e → BA(f, nl) →

плазменных лазеров, в спектроскопии плазмы, в фи-

→ A(nl) + B.

(2)

зике звездных и планетных атмосфер. Многие ре-

комбинационные процессы подробно изучены. Это,

Реакция (1) представляет собой резонансный захват

в частности, касается диссоциативной рекомбина-

электрона молекулярным ионом на высоковозбуж-

ции электронов с молекулярными ионами [6]. Эф-

денный уровень атома (диссоциативную рекомбина-

фективность «прямого механизма» этого процесса

цию). Здесь i и f обозначают начальный, U_i(R), и

обусловлена тем, что он происходит в результате

конечный, U_f (R), электронные термы иона BA⁺, v

неадиабатического перехода между электронными

и J — его колебательное и вращательное квантовые

термами системы и сопровождается резонансным

числа в начальном состоянии i, n и l — главное и

обменом энергии с внутренними электронами систе-

орбитальное квантовые числа ридберговского ато-

мы BA⁺ + e.

ма A(nl). В процессе (1) ядра системы BA⁺ + e со-

вершают связанно-свободный переход. Рассматри-

^* E-mail: vslebedev.mobile@gmail.com

ваемые в работе условия существенно отличаются

579

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

от обычно создаваемых при исследовании диссоциа-

рассеяния атома B на атомном остатке A⁺. В зави-

тивной рекомбинации сильносвязанных молекуляр-

симости от типа системы и симметрии электронных

ных ионов [5,6], когда заселено небольшое число их

термов ионизация может происходить в результате

колебательно-вращательных уровней vJ. Нас инте-

дипольного [13] или квадрупольного и короткодей-

ресуют условия, при которых вклад в рекомбина-

ствующего [14] взаимодействия внешнего электрона

цию вносит огромное число уровней vJ. В работе

с BA⁺. Резонансные механизмы ионизации обычно

разработан эффективный способ расчета суммарно-

являются основными при небольших и промежуточ-

го вклада всех этих уровней в полные сечения и кон-

ных значениях n. С увеличением главного квантово-

станты скорости диссоциативной рекомбинации.

го числа доминирующим становится [15] механизм

Реакция

(2)

— захват электрона атомарным

рассеяния квазисвободного электрона на возмуща-

ионом в ридберговское состояние в тройном столк-

ющем атоме.

новении с атомом (трехчастичная рекомбинация).

Аналогично происходят и неупругие переходы

При традиционном механизме столкновений [1], обу-

между ридберговскими уровнями, сопровождаемые

словленном упругим рассеянием слабосвязанного

резонансной передачей энергии внешнему электрону

электрона на атоме B в поле иона A⁺, такой процесс

от электронной подсистемы гомоядерного [16] или

приводит к захвату электрона лишь на очень вы-

гетероядерного [17] квазимолекулярного иона. Эф-

сокие уровни n. В данной работе исследован суще-

фективность резонансных переходов n → n^′ оказы-

ственно более эффективный резонансный механизм,

вается в широкой области значений n значительно

при котором свободно-связанный переход внешнего

выше, чем в случае альтернативных нерезонансных

электрона сопровождается свободно-свободным пе-

процессов квазиупругих переходов l-, nl- и J-пере-

реходом ядер квазимолекулы BA⁺ + e, образующей-

мешивания [18-20].

ся в ходе столкновения частиц B и A⁺. Так же,

Возможность сильного увеличения скорости ре-

как и в процессе (1), изучаемый механизм захвата

комбинации электронов с атомарными ионами в

(2) происходит в результате пересечения начально-

тройных столкновениях со свободными электрона-

го, U_i(R)+ε, и конечного, U_f(R)+ε_nl, электронных

ми в результате резонансных переходов n → n^′,

термов системы BA⁺ + e, где ε = ℏ²k²/2m_e — энер-

приводящих к девозбуждению рекомбинирующего

гия свободного электрона, ε_nl = -Ry/n2∗ — энергия

электрона атомами буферного газа, была продемон-

ридберговского электрона.

стрирована в работе [17]. Сделанные в недавней ста-

В отличие от диссоциативной рекомбинации (1)

тье [21] оценки указывают на возможность резко-

в литературе мало известно о канале (2) трехча-

го увеличения скорости рекомбинационного заселе-

стичного захвата электрона, происходящего посред-

ния относительно невысоких ридберговских уров-

ством формирования квазимолекулы при столкно-

ней и роста результирующего коэффициента реком-

вении атома B и иона A⁺. Были рассчитаны [7] се-

бинации благодаря вкладу резонансных свободно-

чения и константы скорости рекомбинационного за-

связанных переходов электрона.

селения ридберговских состояний H(n) в тройных

столкновениях с атомами гелия вследствие прямой

Цель данной работы состоит в исследовании

передачи энергии свободного электрона в относи-

процесса (1) в условиях теплового возбуждения

тельное движение ядер иона HeH⁺ аналогично рас-

огромного числа колебательно-вращательных уров-

смотренным в [8, 9] неупругим переходам n → n^′

ней и построении полуквантовой теории резонанс-

и ионизации. В случае резонансной тройной реком-

ной тройной рекомбинации (2). Это включает в се-

бинации имеются расчеты констант скоростей это-

бя развитие единого подхода к описанию этих про-

го процесса с образованием атомов H(n) и He(n),

цессов и вывод формул для их эффективных сече-

выполненные полуклассическим методом в работах

ний и констант скоростей. Конкретные расчеты и

[10-12] для симметричных столкновений с участи-

анализ эффективностей реакций (1) и (2) выполне-

ем водорода и гелия в условиях звездных атмосфер

ны на примерах систем Rg+Xe⁺ + e (Rg = Ne и

(T ∼ 5000 ÷ 10000 K).

Ar) при малых концентрациях ксенона, [Xe]≪[Rg].

Обратными процессами для реакций (1) и (2)

Гетероядерные ионы RgXe⁺ имеют сравнительно

являются ассоциативная и прямая ионизация рид-

невысокие энергии диссоциации D₀ основного тер-

берговских атомов A(nl) при столкновениях с нейт-

ма (DHeXe+0 = 13.1 мэВ, D0eXe+ = 33 мэВ, D0rXe+ =

ральными частицами B, обусловленная резонанс-

= 171 мэВ, DKrXe+0 = 400 мэВ [22,23]), поэтому их

ным обменом энергий внешнего и внутренних элект-

vJ-уровни оказываются сильно возбужденными да-

ронов квазимолекулы BA⁺ +e, образующейся в ходе

же при газовых температурах T ≈ 300 ÷ 1000 K.

580

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Резонансный захват электронов ионами. . .

2. ИСХОДНЫЕ ФОРМУЛЫ

8π⁵ℏ∑

σ^tr

(E) = g

(2J + 1) ×

ε→nl

^tr q²k²

Полный гамильтониан квазимолекулы BA⁺ +e в



∑



,nlm



системе центра масс имеет вид

 χ⁽

(R)Vf

(R)χ(

(R)

2.

(7)

i,εl^′ m^′

E^′J

l^′m^′,m

ℏ²Δ_r

H = T_R+H_BA++H_e+V, H_e = -

(3)

2m_e

Здесь χ(i)EJ(R) и χ(f)E′_J (R) — радиальная волновая

функция относительного движения ядер в началь-

Здесь T_R = -ℏ²Δ_R/2μ — оператор кинетической

ном и конечном состояниях; J — орбитальный угло-

энергии относительного движения ядер; R = R_A -

вой момент иона BA⁺. g_tr определяется как g_tr/s,

- R_B — радиус-вектор, соединяющий ядра, μ — их

где s равен 2 для гомоядерных систем в случае, ко-

приведенная масса; H_e — гамильтониан внешнего

гда U_i или U_f является Σ-термом, или 1 в против-

электрона, H_BA+ (r_κ, R) — электронный гамильто-

ном случае. V^f,nlmi,εl′_m′ (R) — электронный матричный

ниан квазимолекулярного иона BA⁺ в приближении

элемент свободно-связанного неадиабатического пе-

Борна - Оппенгеймера. Потенциальная энергия

рехода,

∑

e²

Z_Ae²

Z_Be²

e²

(4)

(8)

|r-r_κ|

|r-R_A|

|r - R_B|

Vf,nlmi,εl′m′(R)=〈ψεl^′m^′ |〈φi|V(rκ,R)|φf^〉|ψnlm^〉,

определяется кулоновским взаимодействием внеш-

где φ_i (r_κ, R) и φ_f (r_κ, R) — электронные волновые

функции иона BA⁺, соответствующие термам U_i(R)

него электрона (r) со всеми внутренними электро-

нами (r_κ, κ = 1, . . . , N) и ядрами (R_A и R_B — их

и U_f(R). ψnlm (r) — волновая функция ридбергов-

ского атома, ψ_εl′_m′ (r) = R_εl′ (r) Y_l′_m′ (n_r), а R_εl′ (r)

радиус-векторы в системе центра масс). Последний

член включен в (4), чтобы cкомпенсировать куло-

нормирована на δ(ε - ε^′). Матричный элемент (8)

связан с шириной автоионизации квазимолекулы

новский член, который был включен в гамильтони-

ан H_e.

BA(nl):

Будем исходить из общего выраже-

∑



2π



,nlm



ния

для

дифференциального

сечения,

Γ_nl→ε (R) =

V^f

(R)

2.

(9)

i,εl^′m^′

2l + 1

dσ^dinl→ε (E^′) /dε [cм²· эрг-1], резонансного процесса

m,m^′l^′

прямой ионизации, сопровождаемого неадиаба-

Из выражения [14] для парциального сечения

тическим переходом между двумя электронными

σ^ainl→ε (E^′J) ассоциативной ионизации ридберговско-

термами U_i(R) и U_f(R) квазимолекулярного иона

го атома A(nl) в столкновении с атомом B и соотно-

BA⁺, временно образующегося при столкновении

шения детального баланса получим формулу для се-

частиц A⁺ и B (см. формулу (11) в [14]), и соот-

чения σ^drε→nl (vJ) захвата электрона на ридберговс-

ношения детального баланса для эффективного

кий уровень атома A(nl) в процессе диссоциативной

сечения, σ^trε→nl (E) [cм4·c], захвата электрона на

рекомбинации иона BA⁺, находящегося в состоя-

ридберговский уровень атома A(nl) в тройном

нии vJ:

столкновении (2):

g_BA+(f)(2l + 1)q

g_f 2π²ℏ(2l+1) (q^′)

dσ^dinl→ε (E^′)

σ^drε→nl (vJ) =

σ^ainl→ε (E^′J).

(10)

σ^trε→nl (E) =

(5)

g_BA+(i)(2J + 1)k²

g_i

k²

q²

dε

Это приводит к следующему результату:

E^′ = ℏ²(q^′)²/2μ = E + ε + |ε_nl| .

(6)

Здесь E^′ — кинетическая энергия сталкивающих-

4π³

σ^dr

ε→nl

(vJ) = g_dr

S^Jnl ×

ся частиц A⁺ и B в конечном канале реакции (2),

k²

∑



E = ℏ²q²/2μ; ε = ℏ²k²/2m_e — энергия электрона в



,nlm



 χ⁽

(R)Vf

(R)χ(

(R)



²,

(11)

i,εl^′ m^′

E^′J

непрерывном спектре; ε_nl = -Ry/n2∗ — энергия рид-

l^′m^′,m

берговского электрона, n_∗ = n - δ_l, δ_l — квантовый

дефект атомного уровня nl. Отношение g_f /g_i выра-

где g_dr = g_BA+(f)/g_BA+(i). Отметим, что всюду здесь

жается в виде g_BA+(f)/(gB(i)g_A+(i)) ≡ g_tr.

и далее мы полагаем J^′ = J. Это оправдано, по-

Подставляя формулу (11) из статьи [14] в (5),

скольку основной вклад в суммы по J в форму-

получаем выражение для эффективного сечения

лах (7) и (23) для сечений вносят большие значе-

захвата электрона в результате неадиабатического

ния J, J ≫ 1. В формулу (11) введен так называ-

процесса (2):

емый фактор выживания S^Jnl, который учитывает

581

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

влияние на процесс диссоциативной рекомбинации

3.1. Сечение захвата электрона атомарным

обратного распада автоионизационного ридбергов-

ионом в тройном столкновении с атомом

ского состояния молекулы BA (f, nl) → BA⁺ (i) + e.

Рассмотрим процесс резонансного захвата элект-

Известно, что учет этого процесса может приводить

ронов атомарными ионами в случае, когда он со-

к уменьшению результирующих сечений, если зна-

провождается свободно-свободным переходом ядер

чение n мало. При квазиклассическом рассмотрении

квазимолекулы BA⁺ + e. В приближении линейно-

[6,24] фактор выживания S^Jnl определяется выраже-

го пересечения термов квадрат модуля матричного

нием

элемента перехода по волновым функциям ядерно-

⎡

⎤

∫

го движения выражается через функцию Эйри (см.

Γ_nl→ε (R) dR

S^Jnl = exp⎣-

⎦,

(12)

формулу (90.22) в [24]):

ℏ

V (f)E′_J (R)

Rω

∑



(i)



,nlm



 χ

(R)Vf

(R)χ(

(R)

2 =

где R_ω — точка перехода (см. разд. 3), а V(f)E′_J (R) —

i,εl^′ m^′

E^′J

l^′m^′,m

относительная скорость тяжелых частиц в конечном

√

∑



канале реакции:

2μ η_EJ (R_ω)



,nlm



V^f

(R_ω)

²,

(16)

√

i,εl^′ m^′

[

]

ℏ² ΔF_fi (R_ω)

l^′m^′,m

V (f)E′_J (R) =

E^′ - U^Jf(R) .

(13)

√

[

(

)]

Величина R_st ≡ R_nl в (12) называется точкой стаби-

η_EJ (R) =

ξ_J (R)Ai²

-ξ_J (R)

E - U^Ji (R)

(17)

лизации, за пределами которой (R > R_st) обратная

описывающую движение ядер как в надбарьерной,

автоионизация становится невозможной в пренебре-

так и в подбарьерной областях. Здесь U^Ji (R) и

жении экспоненциально малым вкладом от подбарь-

U^Jf (R) — эффективные кривые потенциальной энер-

ерной области. Она определяется из уравнения

гии иона BA⁺ с учетом центробежной энергии:

U_i (R_st) = U_f (R_st) - Ry /n2∗.

(14)

ℏ² (J + 1/2)²

При низких энергиях электрона ε → 0 точки R_ω и

U^Ji(R) = U_i(R) +

2μR²

R_st практически совпадают, и влиянием автоиони-

(18)

ℏ² (J + 1/2)²

зационного распада можно пренебречь. Расчеты по-

U^Jf(R) = U_f (R) +

2μR²

казывают, что для гетероядерных ионов инертных

газов, содержащих ксенон, при интересующих нас

а ΔF_fi (R_ω) — разность наклонов этих кривых в точ-

энергиях R_ω ≈ R_st, что позволяет положить S^Jnl = 1.

ке пересечения R_ω :



dUf (R)

dU_i (R)

ΔF_fi (R_ω ) =



(19)

3. РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНЫХ СЕЧЕНИЙ



R=Rω

РЕЗОНАНСНОГО ЗАХВАТА ЭЛЕКТРОНОВ

Согласно (16) ядерный матричный элемент перехо-

Для заданной частоты перехода ω = (ε + |ε_nl|)/ℏ

да выражается через электронный матричный эле-

акт резонансного захвата электрона происходит в

мент Vf,nlmi,εl′m′(Rω)взаимодействиявточкеRω^пере-

окрестности точки пересечения R_ω потенциальных

сечения кривых потенциальной энергии и функцию

кривых U_i,ε (R) = U_i (R)+ε и U_f,nl (R) = U_f (R)+ε_nl,

Эйри Ai(x). Величина ξ_J в (17) имеет вид

ℏ²k



)1/3

2/3

U_i (R_ω) +

= U_f (R_ω) -

(15)



2m_e

n²

⁽2μ



ΔF_fi (R_ω)



∗

ξ_J (R_ω) =



(20)

ℏ²

F^Jf (R_ω)F^Ji (R_ω)

В точке R_ω энергия ℏω = ε + |ε_nl|, отдаваемая па-

дающим электроном при захвате на уровень nl, ста-

новится равной энергии расщепления ΔU_fi (R_ω) =

где F^Ji (R_ω) и FJ′f (Rω) — наклоны кривых эффек-

тивной потенциальной энергии в начальном и конеч-

= U_f (R_ω)-Ui (R_ω) электронных термов. Для само-

ном электронном состояниях:

согласованного описания неадиабатических перехо-



дов в классически разрешенных и запрещенных об-



F^Ji (R_ω) = -

ластях межъядерного расстояния R будем исполь-



Rω

зовать квантовую версию теории неадиабатических



(21)



dU^Jf

переходов для случая линейного пересечения кри-



F^Jf (R_ω) = -



вых потенциальной энергии.



Rω

582

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Резонансный захват электронов ионами. . .

Заменим в формуле (7) суммирование по кванто-

в эффективном потенциале U^Ji(R)

= U_i(R) +

вому числу J на интегрирование по J. Тогда, под-

+ ℏ²(J + 1/2)²/(2μR²).

ставляя формулу (16) в (7), учитывая (9) и вводя

Подставим далее выражения (9) и (11) в (25)

фактор выживания (12), получаем выражение для

и учтем, что квадрат модуля ядерного матрично-

эффективного сечения [cм⁴·с] резонансного захвата

го элемента связанно-свободного перехода отлича-

электрона в ридберговское состояние nl при трой-

ется от выражения (16) для свободно-свободного пе-

ном столкновении (2):

рехода лишь нормировочными константами (C_vJ =

√

= 2/√TvJ и CEJ =

2/πℏ) волновых функций

4π⁴Γ_nl→ε(R_ω)

^√2μ

σ^trε→nl (E) = g_tr(2l + 1)

χ(i)vJ (R) и χ(i)EJ (R) и заменой энергии относительно-

q²k²ΔF_fi (R_ω)

го движения ядер в непрерывном спектре E > 0 на

∫∞

(

)

энергию их колебательно-вращательного движения

× d

J²

η_EJ (R_ω)S^Jnl.

(22)

в дискретном спектре E_vJ < 0. Затем введем безраз-

мерные переменные ν, ϵ и безразмерную функцию

Λ_ν (R_ω):

3.2. Усреднение сечения диссоциативной

ℏ²J²

E - Ui (R_ω)

рекомбинации по распределению Больцмана

ν =

ϵ=

2μR2ωk_B T

k_BT

При больцмановском распределении по уровням

Λ_ν (R_ω) = k_BTξ_J (R_ω) =

vJ сечение σ^drε→nl (T) [cм²] диссоциативной рекомби-

(26)



2/3



нации при температуре газа T имеет вид

k_BT

^√2μ

 ΔFfi (Rω)



(

)

ℏ2/3

F^νf (R_ω)F^νi (R_ω)

D₀

σ^drε→nl (T) = (sZ_vr)-1 exp

k_BT

Тогда после ряда преобразований окончательное вы-

(

)

∑

E_vJ

ражение для усредненного по больцмановскому рас-

(2J + 1) σ^drε→nl (vJ) exp

(23)

k_BT

пределению сечения захвата электрона молекуляр-

ным ионом BA⁺ на ридберговский уровень атома

(

)

A(nl) приобретает следующий вид:

∑

E_vJ

Z_vr

=s-1

(2J + 1)exp

(24)

k_BT

8π³ (2l + 1) g_drR2ω

Γ_nl→ε (R_ω)

ε→nl

(T ) =

k²Z_vr

ΔF_fi (R_ω)

где E_vJ = E_vJ + D₀. В рассматриваемых условиях

(

)

суммирование в (23) по v и J можно заменить ин-

⁽ μk_BT)3/2

D₀+U_i(R_ω)

exp

Θ^drT (R_ω),

(27)

тегрированием по dv и dJ. Это оправдано при усло-

2πℏ²

k_BT

вии k_BT ≳ ℏω_e (ℏω_e — нижний колебательный квант

иона BA⁺(i)) и соответствует приближению квази-

где g_dr = g_dr/s, а безразмерная функция Θ^drT (R_ω)

континуума для колебательно-вращательных состо-

представляется в виде двойного интеграла:

яний (E_vJ < 0). Воспользуемся соотношением Бо-

ра - Зоммерфельда, dv = T_vJ dE_vJ /(2πℏ), согласно

∫

√

которому можно заменить интегрирование по v на

Θ^drT(R_ω) = 2

dϵ exp(-ϵ) ×

интегрирование по энергии в квазиконтинууме:

min

∫

exp(-D₀/k_BT )

√

σ^drε→nl (T) =

× dν

Λ_ν(R_ω)Ai² [-Λ_ν(R_ω)(ϵ - ν)].

(28)

2πℏsZ_vr

∫0

(

)

E_vJ

dE_vJ exp

Пределы интегрирования по dϵ в

(28) рав-

k_BT

E^dr

ны ϵ^drmin(R_ω)

-U_f (R_ω)/k_BT и ϵ^drmax(R_ω)

min

= -U_i (R_ω)/k_BT, где U_f (R) > U_i(R) (см. рис. 1), а

∫

ν_max(ϵ) определяется, согласно (26), максимально

× T_vJσdrε→nl (vJ)2J dJ.

(25)

(E) для каждого фик-

возможным значением J_max

сированного значения энергии в квазиконтинууме

(

)

Здесь E^drmin

= max

-D₀, -ε - Ry/n²

, а T_vJ

E < 0. Величина J_max(E) находится из условия

∮

dR/V_vJ (R)

— период колебательно-враща-

|U^Ji (R^Je )| ≥ |E| (RJe — равновесное межъядерное

тельного движения ядер с энергией E_vJ

< 0

расстояние в потенциальной яме U^Ji , см.

(18)).

583

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

n,l >3,|K|

(n + 4)s[3/2]

Xe [5p

(

)] + Rg(

)

nf|K|

1/2

0.2

0.4

U_f

U_i

5 2

–

Xe [5p ( P

)] + Rg(

) +

( )

3/2

(n + 2)d[K]

0.6

(n + 3)p[K]

A₁|3/2,3/2

Rg + Xe⁺

X|3/2,1/2

0.8

| nl^|

5 2

Xe[5p ( P

), nl] + Rg( S )

3/2

n - 1, l > 3, |K|

1.0

5 2

Xe[5p ( P

), nl[K]

]

3/2

Рис. 1. a) Схематическое изображение кривых потенциальной энергии Ui(R), Uf (R) и U^′(R) нижних электронных термов

X |ji = 3/2, Ωi = 1/2〉, A1 |jf = 3/2, Ωf = 3/2〉 и A2 |j^′ = 1/2, Ω^′ = 1/2〉 иона RgXe⁺ (штриховые линии) и квазимолеку-

лы RgXe⁺ + e: Ui(R) + ε и Uf (R) - Ry /n^∗ (сплошные линии). б) Структура ридберговских состояний nl[K]J атома Xe,

сходящихся к ионизационному пределу 5p⁵(²P3/2) и расположенных между двумя водородоподобными сериями n и n - 1

Это условие означает, что глубина потенциальной

Λ_ν(R_ω). Тогда в случае максвелловского распреде-

ямы основного электронного терма молекулярного

ления

иона с учетом центробежного члена должна при

(

)1/2

(

)

(

)

0 ≤ J < J_max превышать величину |E|.

f_T (E)dE =

exp

√π k_BT

k_BT

для константы скорости рекомбинации (29) при за-

4. КОНСТАНТЫ СКОРОСТИ

данных значениях газовой температуры T и энергии

РЕЗОНАНСНОГО ЗАХВАТА ЭЛЕКТРОНОВ

электрона ε получим формулу

4.1. Константа скорости резонансной

2π² 4πR2ωΓ_nl→ε (R_ω)

тройной рекомбинации

K^tr

(T ) = (2l+1)g_tr

ε→nl

k²

ΔF_fi (R_ω)

Исходное выражение для константы скорости

(

)

U_i (R_ω)

K^trε→nl (T) = 〈V_Eσ^trε→nl (E)〉_T [cм⁵] тройной рекомби-

× exp

Θ^trT (R_ω).

(30)

k_BT

нации (2) при заданных значениях энергии свобод-

ных электронов ε и температуры газа T имеет вид

Здесь Θ^trT (R_ω) — безразмерная функция:

∫∞

∞

∫

K^trε→nl (T) = dE f_T (E) V_Eσ^trε→nl (E),

(29)

√

Θ^trT (R_ω) = 2

dϵ exp (-ϵ) ×

min

где f_T (E) — функция распределения кинетической

∫

∞

√

энергии E = μV²/2 относительного движения час-

× dν

Λ_ν (R_ω) Ai² [-Λ_ν (R_ω) (ϵ - ν)],

(31)

тиц A⁺ и B. Подставим выражение (22) в (29) и ис-

пользуем соотношение (17). Так же, как и в разд. 3.2,

введем безразмерные переменные ν, ϵ и функцию ϵ^trmin = ϵ^drmax = -U_i (R_ω) /k_BT .

584

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Резонансный захват электронов ионами. . .

∫∞

∫ϵ

Константа скорости, β^trnl

= 〈v_ε〈V_E σ^trε→nl (E)〉〉

dν

Θ^trT (R_ω) =

dϵ exp (-ϵ)

[cм⁶·с-1], резонансного трехчастичного захвата

√π

(ϵ - ν)1/2

электрона (2) вычисляется путем усреднения ве-

ϵ^tr

min

{

личины v_εK^trε→nl (T ) по распределению скоростей

R_ω<R₀,

свободных электронов при температуре T_e:

(36)

Γ (3/2, |U_i (R_ω )| /k_BT ) /Γ (3/2) , R_ω≥R₀.

∫∞

∫

β^trnl (T_e, T) = dε fTe (ε)v_εK^trε→nl (T).

(32)

где Γ (3/2, z) = t1/2 exp(-t) dt.

4.2. Константа скорости диссоциативной

Подставим выражение (30) в (32) и заменим инте-

рекомбинации в двухтемпературной плазме

грирование по энергии свободных электронов ε на

интегрирование по энергии перехода, ℏω, а затем

Константу скорости диссоциативной рекомбина-

с помощью соотношения d (ℏω) = d [ΔU_fi (R_ω)] =

ции, α^drnl (T_e, T ) [cм³·с-1], в плазме с температурами

= ΔF_fi (R_ω) dR_ω на интегрирование по межъядер-

T и T_e ее газовой и электронной компонент мож-

ному расстоянию dR. В результате в случае максвел-

но получить усреднением величины v_εσ^drε→nl (T ) (см.

ловского распределения fTe (ε) энергии электронов

(27)) по функции распределения свободных элект-

приходим к следующему выражению для констан-

ронов по скорости, fTe (ε):

ты скорости резонансного трехчастичного захвата

∞

∫

электрона на заданный ридберговский nl-уровень

атома:

α^drnl (T_e, T) = v_εσ^drε→nl (T)fTe (ε) dε.

(37)

(

)3/2

2πℏ

Подставим выражение (27) в (37) и заменим (так

β^tr

(T_e, T ) = (2l + 1) g_tr

m_ek_BT_e

же, как и при выводе финальной формулы (33)

∫

(

)

для константы скорости резонансной трехчастич-

⁽ |ε_nl|

Γ_nl→ε (R)

ΔU_fi (R)

× exp

exp

ной рекомбинации) интегрирование по энергии сво-

k_BT_e

ℏ

k_BT_e

бодных электронов ε на интегрирование по энергии

⁰(

)

перехода, ℏω, а затем на интегрирование по межъ-

U_i (R)

× exp

Θ^trT (R)4πR²dR,

(33)

ядерному расстоянию dR. Тогда после ряда преоб-

k_BT

разований и перехода к безразмерным переменным

(26) получим для интегрального вклада всех колеба-

где R_nl задается условием ΔU_fi (R_nl) = |ε_nl|, т. е.

тельно-вращательных уровней молекулярного иона

совпадает с точкой стабилизации (14).

в суммарную константу скорости диссоциативного

Простые квазиклассические выражения для кон-

захвата электронов на заданный ридберговский уро-

стант скоростей K^trε→nl (T ) и β^trnl (T_e, T ) можно полу-

вень атома A(nl) следующее выражение:

чить, используя асимптотическое выражение

(

)3/2

(

)

2πℏ²

e-D0/kBT

α^drnl (T_e, T) = (2l+1) g_dr

Ai²(-x)

−---→

sin²

x3/2+

(34)

m_ek_BT_e

Z_vr (T)

x→+∞ πx1/2

)3/2

∫

⁽ μk

Γ_nl→ε (R)

для квадрата функции Эйри и усредняя получен-

× B^T

exp

2πℏ²

k_BT_e

ℏ

ный результат по периоду осцилляций. При этом

(

) (

)

интегрирование по квадрату орбитального момента

ΔU_fi (R)

U_i (R)

× exp

exp

J² движения ядер лишь в классически разрешенной

k_BT_e

k_BT

области выполняется в пределах 0 ≤ J² ≤ J2max, где

× Θ^drT(R_ω)4πR2 dR,

(38)

√

J_max =

2μR2ω(E - U_i(R_ω))/ℏ².

(35)

где R₀ и R_nl находятся из уравнений U_i(R₀) = 0 (см.

рис. 1) и ΔU_fi (R_nl) = |ε_nl|. Для процесса (1) безраз-

Соответственно, в квазиклассическом приближении

мерный коэффициент Θ^drT определяется выражени-

при учете движения ядер лишь в классически раз-

ем (28).

решенной области верхний предел в интеграле по dν

В квазиклассическом приближении выражение

в (31) следует изменить с ∞ на ϵ:

для коэффициента Θ^drT (R_ω) и, соответственно, для

585

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

константы скорости α^drnl (T_e, T ) диссоциативного за-

W^drnl (T_e, T) = α^drnl (T_e, T)N_BN_A+ g_trZ_vr ×

хвата электронов на заданный ридберговский уро-

(

D₀

⁾⁽ 2πℏ² )3/2

вень атома A(nl) существенно упрощается. В соот-

× exp

≡

k_BT

μk_BT

ветствии с (26) нижний и верхний пределы интег-

≡ β^drnl (T_e,T)N_BN_A+.

(43)

рирования в (28) по ϵ становятся равными ϵ^drmin =

= -U_f (R)/k_BT и ϵ^drmax = -U_i(R)/k_BT, а интегри-

Здесь введена константа скорости β^drnl (T_e, T )

рование по ν должно проводиться в пределах 0 ≤

[cм⁶·с-1] диссоциативной рекомбинации, нормиро-

≤ ν ≤ ϵ, что отвечает движению ядер лишь в клас-

ванная на произведение концентраций атомарных

сически разрешенной области. Тогда с учетом (34)

ионов и нейтральных атомов. Для расчета стати-

имеем

стической суммы (24) используем применимую при

k_BT ≳ ℏω_e квазиклассическую формулу [25]:

Θ^drT (R_ω) =

⎧

(

)

⎨

R_ω < R₀,

⁽ μk_BT)3/2

D₀

Z_vr (T) = 4πs-1

exp

(3/2, |U_i (R_ω)| /k_BT )

(39)

2πℏ²

k_BT

⎩ γ

R_ω ≥ R₀,

Γ (3/2)

∫

∞

[

(

)]

|U_i(R)|

∫

√π^Γ

k_BT

где γ (3/2, z) = t1/2 exp(-t) dt.

(

)

U_i(R)

× exp

R² dR,

(44)

k_BT

4.3. Суммарный вклад непрерывного и

дискретного спектров квазимолекулы

где R₀ находится из уравнения U_i(R₀) = 0 (см.

рис. 1).

При проведении практических расчетов зача-

Формулы (40) и (43) позволяют ввести полную

стую интерес представляют абсолютные скорости

константу скорости, βresnl = Wresnl/ (NBNA+), резо-

захвата электронов в ридберговские состояния

нансного захвата электронов, которая включает в

W_nl [с-1]. Эти скорости, естественно, зависят от

себя вклады тройной и диссоциативной рекомбина-

концентраций частиц в исходных каналах реакций.

ции:

Для исследуемых нами процессов (1) и (2) скорости

β^resnl = β^trnl + β^drnl.

(45)

реакций W_nl выражаются следующим образом:

Данное выражение особенно удобно, в частности,

W^trnl = β^trnlN_BN_A+, W^drnl = α^drnlN_BA+,

для выяснения суммарной роли резонансных про-

∑

(40)

N_BA+ = N(vJ)

цессов (1) и (2) по сравнению с нерезонансными про-

BA⁺

цессами тройной рекомбинации в столкновениях с

электронами и нейтральными частицами плазмы.

а числа соответствующих актов рекомбинации в

В квазиклассическом приближении при учете

единице объема в единицу времени получаются до-

движения ядер лишь в классически разрешенной об-

множением величин (40) на концентрацию свобод-

ласти для β^resnl легко получить упрощенное выраже-

ных электронов в плазме: W^trnl = W^trnlN_e и W^drnl =

ние. Учитывая, что при этом Θ^trT (R) + Θ^drT (R) = 1,

= W^drnlN_e. Полную скорость резонансного захвата

и используя формулы (33) и (38), получим

электронов на атомный уровень nl можно опреде-

лить как

(

)3/2

2πℏ²

βresnl

(T_e, T) = (2l + 1) g_tr

W^resnl = β^trnlN_BN_A+ + α^drnlN_BA+.

(41)

m_ek_BT_e

∫

Когда молекулярные ионы BA⁺ находятся в равно-

Γ_nl→ε (R)

× exp

весии с частицами B и A⁺ в непрерывном спектре,

k_BT_e

ℏ

закон действующих масс для равновесной концен-

(

) (

)

ΔU_fi (R)

U_i (R)

трации N_BA+ связанных ионов в начальном состоя-

× exp

exp

4πR² dR.

(46)

нии

k_BT_e

k_BT

(

)

В данной работе мы в основном имеем дело с

N_BA+

Z_vrg_BA+

⁽ 2πℏ² )3/2

D₀

exp

(42)

константами скоростей реакций, нормированными

N_BN_A+

g_Bg_A+ μk_BT

k_BT

на произведение концентраций N_B и N_A+. При теп-

позволяет переписать выражение для W^drnl в виде

ловом равновесии тяжелых частиц соотношение (42)

586

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Резонансный захват электронов ионами. . .

позволяет вместо этого использовать концентрации

учитывать сложную структуру ридберговских

молекулярных ионов N_BA+, так что основным фак-

уровней атома ксенона и особенности электронных

тором, определяющим выбор нормировки, являет-

термов гетероядерных ионов инертных газов RgXe⁺

ся отношение энергии диссоциации к величине k_BT .

(Rg = Ne(2s²2p⁶¹S₀), Ar(3s²3p⁶¹S₀)). Электронная

В экспериментах функции распределения молеку-

конфигурация иона Xe⁺, 5s²5p⁵, вызывает сильное

лярных ионов по колебательно-вращательным уров-

спин-орбитальное расщепление, Δ3/2,1/2 = 1.3 эВ,

ням и распределения относительных скоростей час-

электронных термов, сходящихся к состояниям

тиц могут существенно отличаться от равновесных.

²Pj=3/2

и²P_j′=1/2 (см. рис. 1a). В исследуемом

Поэтому выбор нормировки зачастую определяется

диапазоне электронных и газовых температур

конкретными физическими условиями.

высоколежащий терм A₂ |j^′ = 1/2, Ω^′ = 1/2〉, кор-

В случае электрон-ионной рекомбинации, сопро-

релирующий с состоянием²P_j′=1/2, и все более

вождающейся образованием ридберговских атомов,

высокие термы можно исключить из рассмотрения.

интерес представляют суммарные по всем значени-

Свободно-связанные переходы внешнего электрона

ям lm уровня n сечения и константы скоростей,

системы RgXe⁺ + e в процессах рекомбинации

(1) и (2) обусловлены, таким образом, переходом

∑

X |j_i = 3/2, Ω_i = 1/2〉

→ A1 |j_f = 3/2,Ω_f = 3/2〉

σ_ε→n = σ_ε→nl, β^resn =

β^resnl.

(47)

между основным U_i(R) и первым возбужден-

l=0

ным U_f (R) электронными термами иона RgXe⁺.

В формулах (22), (27) и (33), (38) сечения σ^resε→nl

Ридберговские состояния Xe[5p⁵(²P_j )nl[K]_J ] ха-

и константы скорости β^resnl резонансного захвата

рактеризуются набором квантовых чисел n, l, K

электрона на уровни nl выражаются через шири-

и J, где K — квантовое число углового момента

ны Γ_nl→ε автоионизации ридберговских квазимоле-

K = j + l, а J = K ± 1/2 и j = 3/2,1/2 — пол-

кул BA(f, nl). При расчете (47) удобно заменить

ные моменты ридберговского атома и атомного

(2l + 1)Γ_nl→ε в выражениях (22) и (27) на эффек-

отстатка соответственно. Как видно из рис. 1б,

тивный параметр связи

подуровни nl[K]_J при l = 0, 1, 2 имеют большие

квантовые дефекты δ_J , в то время как подуровни

∑

nl[K]_J с l

≥ 3 имеют почти водородоподобную

Γ_ε→n =

(2l + 1) Γ_nl→ε (R_ω) =

структуру [26]. Структуру ридберговских уровней

l=0

Xe можно приближенно учесть, введя эффективное

∑



,nlm



= 2π

V^f

(R_ω)

²,

(48)

главное квантовое число n_∗ = n - δ^effnl . Здесь δ^effnl —

i,εl^′ m^′

ml,m^′l^′

эффективный квантовый дефект, полученный

усреднением по набору квантовых дефектов δnl[K]J

описывающий полный вклад отдельных nl-уровней

Это оправдано, так как |δ^effnl - δnl[K]

| ≪ δeffnl для

в захват электронов во все nlm-состояния с задан-

l = 0, 1, 2.

ным n. Отметим, что для неводородоподобных со-

стояний атомов со значительными квантовыми де-

Расчеты величин Γ_nl→ε и

Γ_ε→n для рассматрива-

фектами δ_l значения R_ω для каждого члена сум-

емых систем RgXe⁺ + e были проведены с использо-

ванием модели вакансий [14,17]. Она сводит взаимо-

мы по l отличаются друг от друга из-за зависимо-

сти δ_l от орбитального момента. Поэтому суммар-

действие внешнего электрона со всеми внутренни-

ми электронами молекулярного иона к взаимодей-

ные сечения и константы скорости захвата электро-

на (47) при заданном значении n должны, вообще

ствию, V = -e2/|re - rv|, ридберговского элект-

говоря, быть определены путем суммирования от-

рона (r_e) с положительно заряженной одноэлект-

дельно рассчитанных вкладов от различных значе-

ронной вакансией (r_v) в электронной оболочке иона

ний l.

Xe⁺(5s²5p⁵²P3/2), описываемой радиальной волно-

вой функцией R5p(r_v). Взаимодействием ридбергов-

ского электрона с электронами замкнутой электрон-

5. ШИРИНЫ АВТОИОНИЗАЦИОННОГО

ной оболочки атома Rg(¹S₀) можно в первом при-

РАСПАДА РИДБЕРГОВСКИХ СОСТОЯНИЙ

ближении пренебречь. Поэтому входящие в выра-

жение для эффективного параметра связи,

При расчетах автоионизационных ширин распа-

да, Γ_nl→ε, и эффективного параметра взаимодейст-

вия,

Γ_ε→n, внешнего и внутренних электронов в

4π^∑

γ_ll′

Γ_ε→n =

(49)

квазимолекулярной системе RgXe⁺ + e следует

n³

ll^′

∗

587

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

, 10^-41 см⁴ . с

, 10^-43 см⁴ . с

1.4

Ne + Xe

T= 300 K

900 K

T_e = 2000 K

2.0

1.2

600 K

1.0

1.5

Ar + Xe

T= 300 K

0.8

600 K

T_e = 2000 K

1.0

0.6

0.4

900 K

0.5

0.2

Рис. 2. Сечения σ^trε→n (E) [cм⁴·с] резонансного трехчастичного захвата (2) на все lm-подуровни ридберговского уровня

n (22) для систем Ar+Xe⁺ + e (а) и Ne+Xe⁺ + e (б) при энергиях ε = kBTe/2 (Te = 2000 K) и E = kBT/2 (T = 300,

600 и 900 K)

величины γ_ll′ и, соответственно,

Γ_ε→n от R не зави-

На рис. 2 приведены зависимости сечений резо-

сят. Способ расчета величин γ_ll′ изложен в работах

нансного захвата σ^trε→n от главного квантового чис-

[14,17] за исключением того, что волновые функции

ла для систем Ar + Xe⁺ + e и Ne + Xe⁺ + e. Расчеты

ридберговских состояний со значительным кванто-

проведены для энергий электронов и тяжелых час-

вым дефектом вычислялись методом [27].

тиц, соответствующих максимумам распределения

Максвелла (ε = k_BT_e/2 и E = k_BT/2) при элект-

ронной температуре T_e = 2000 K и газовых темпе-

6. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

ратурах T = 300, 600 и 900 K. В сечениях имеет-

ся ярко выраженный максимум, определяющий об-

6.1. Сечения резонансного захвата электрона

ласть значений n с преимущественным рекомбина-

Ниже приведены результаты расчета сечений

ционным заселением. Максимумы достигаются при

изучаемых рекомбинационных процессов в плазме

n_max ≈ 10 для Ar + Xe⁺ + e и n_max ≈ 20 ÷ 35 для

смесей инертных газов Rg/Xe при электронных и

Ne + Xe⁺ + e. Значения n_max столь сильно разли-

газовых температурах, типичных для газоразряд-

чаются из-за большой разницы в энергиях диссоци-

ных экспериментов. Здесь мы ограничиваемся рас-

ации гетероядерных ионов. На рис. 2 видно резкое

смотрением резонансных процессов в гетероядер-

убывание сечений захвата для системы Ne+Xe⁺+e с

ных системах. Хорошо известно, что в плазмах сме-

уменьшением n при n < n_max, что обусловлено сме-

сей Rg/Xe могут содержаться ионы Xe⁺², диссоциа-

щением точки R_ω резонансного перехода в класси-

тивная рекомбинация которых является эффектив-

чески запрещенную область. В системе Ar + Xe⁺ + e

ным процессом. Вместе с тем, значительное число

положение максимума почти не зависит от энергии

экспериментальных работ выполняется при услови-

столкновения, в то время как для Ne + Xe⁺ + e на-

ях, когда концентрация ксенона в смеси весьма ма-

блюдается сдвиг n_max в сторону меньших n при уве-

ла, [Xe]≪[Rg]. В этом случае ионов Xe⁺² в плазме

личении E = μV²/2. Это различие вызвано тем, что

может оказаться существенно меньше, чем ионов

в системах с более высокими значениями D₀ точка

RgXe⁺ [17, 28, 29].

перехода при малых n обычно лежит вблизи поло-

588

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Резонансный захват электронов ионами. . .

, 10^-15 см²

, 10^-17 см²

T_e = 500 K

1000 K

1500 K

0.5

Ar Xe

Ne Xe

0.05

0.1

Рис. 3. Усредненные по распределению Больцмана (T = 500 K) сечения диссоциативного захвата, σ^drε→n(T ) [см²] (27)

на все lm-подуровни ридберговского уровня n для молекулярных ионов ArXe⁺ (a) и NeXe⁺ (б). Расчеты проведены при

значениях энергии электронов, ε = kBTe/2, указанных на рисунке

жения равновесия, R_e, нижнего терма, и допусти-

захвата электронов в ридберговские состояния. Рас-

мыми становятся переходы даже при низких энерги-

четы проведены для систем Ar+Xe⁺+e и Ne+Xe⁺+e

ях E. Когда энергия диссоциации D₀ мала, захваты

при температурах электронов T_e = (1 ÷ 3) · 10³ K и

на низкие n происходят при R_ω ≲ R_e в отталки-

газа T = 400 K и 800 K. Такой выбор систем и тем-

вательной части терма, так что низкие энергии E

ператур позволяет исследовать поведение β^resn как

классически недопустимы.

в случае слабосвязанных ионов, D₀ ≲ k_BT, (NeXe⁺,

Эффективные сечения диссоциативного захвата

D₀ = 33 мэВ), так и в случае ионов с D₀ ≫ k_BT

электронов ионами ArXe⁺ и NeXe⁺, усредненные

(ArXe⁺, D₀ = 176 мэВ). Величины констант скоро-

по больцмановскому распределению (27) при T =

стей для этих систем сильно различаются: значения

= 500 K, приведены на рис. 3. Энергия электронов

β^resn в максимуме для Ar + Xe⁺ + e оказываются на

взята равной ε = k_BT_e/2 при T_e = 500 ÷ 1500 K.

2-3 порядка выше, чем значения β^resn в максимуме

Сечения уменьшаются с ростом T_e. Подобно резо-

для Ne+Xe⁺ +e. Значительная разница обусловлена

нансному трехчастичному захвату, в зависимостях

тем, что в системах с умеренными энергиями диссо-

сечений σ^drε→n(T ) от n имеется максимум, смещаю-

циации (таких как Ar+Xe⁺) возрастает вероятность

щийся в сторону низких n при увеличении D₀. Его

образования связанных молекулярных ионов, участ-

положение определяется условием R_ω ≈ R_e. В слу-

вующих в диссоциативном захвате. Таким образом,

чае ArXe⁺ максимум расположен вблизи n_max ≈ 12,

обычно в условиях квазиравновесия эффективность

и n_max почти не зависит от T_e. Для NeXe⁺ макси-

резонансной рекомбинации оказывается выше в си-

мум лежит при n > 20 и быстро смещается в сторону

стемах с большими D₀.

высоких n с ростом T_e.

Качественно различным для систем с промежу-

точными и малыми энергиями диссоциации (Ar +

+ Xe⁺ +e и Ne+Xe⁺ +e) оказывается и характер за-

6.2. Зависимости константы скорости

висимостей констант скоростей захвата β^resn(T_e, T ).

резонансного захвата электрона от n, T и T_e

Для системы Ar + Xe⁺ + e наблюдается острый мак-

На рис. 4 показаны зависимости от n суммарных

симум в зависимости от n при n_max ≈ 11 (рис. 4).

констант скоростей, β^resn = β^trn + β^drn, резонансного

Для подобных систем с умеренными или большими

589

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

res

-28

.с

-1

res

-30

.с

-1

, 10

см

, 10

см

+ + e

Ne + Xe

Ar + Xe

1.0

T= 400 K

T= 800 K

T= 400 K

0.5

T= 800 K

0.1

0.05

Рис. 4. Константы скорости, β^resn = β^trn +β^drn , резонансного захвата электронов на все lm-подуровни уровня n для систем

Ar+Xe⁺ + e (а) и Ne+Xe⁺ + e (б) при газовых температурах T = 400 K (сплошные кривые) и 800 K (пунктирные кривые)

и температурах электронов Te = 1000 (1), 2000 (2), 3000 (3) K

значениями энергии диссоциации положение n_max

находится в согласии с результатами, приведенными

определяется из условия Rnmax ≈ R_e и поэтому по-

на рис. 2б и 3б, и связано с тем, что в системах с ма-

чти не зависит от газовых и электронных темпера-

лыми энергиями диссоциации доминирует резонанс-

тур. Такое поведение находится в соответствии с ре-

ный механизм трехчастичного захвата (β^trn ≫ β^drn),

зультатами, приведенными на рис. 2a, 3a. При этом

а неадиабатические переходы происходят в основ-

значение β^resn(T_e, T ) уменьшается на порядок вели-

ном в отталкивательной части электронного терма

чины с ростом T от 400 до 800 К, что связано с

(см. рис. 1). Увеличение температуры T повышает

экспоненциальным уменьшением вероятности фор-

вероятность переходов при малых R, ведущих к за-

мирования связанных молекулярных ионов ArXe⁺,

селению низких уровней.

играющих ключевую роль в реализации канала (1)

резонансной диссоциативной рекомбинации.

Рисунки 4а и 4б демонстрируют одинаковый ха-

Иной характер зависимости констант скоростей

рактер зависимости β^resn(T_e, T) от электронной тем-

β^resn(T_e, T) от n и T наблюдается для систем с ма-

пературы. В каждой из рассматриваемых систем

лыми энергиями диссоциации D₀ (HeXe⁺ и NeXe⁺).

вероятность электронного захвата уменьшается с

Как видно на рис. 4б, в этом случае заселение

ростом T_e: увеличение T_e в

раза приводит к

нижних уровней с малым n пренебрежимо мало;

четырехкратному уменьшению константы скорости

преобладает захват на высоковозбужденные уровни

β^resn(T_e, T). Данное поведение определяется ростом

(n_max ≈ 20 для Ne + Xe⁺ + e). При этом с ростом T

средней энергии свободных электронов при увели-

максимальное значение константы скорости изменя-

чении T_e, что смещает точку перехода R_ω в области

ется мало, а «рабочая» область захвата смещается в

с малой вероятностью нахождения молекулярных

сторону меньших n (n_max ≈ 15 при T = 800 К). Это

ионов.

590

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Резонансный захват электронов ионами. . .

res

n n

1.0

0.50

T= 700 K

T= 900 K

0.8

0.20

500 K

700 K

0.10

0.6

500 K

0.05

300 K

0.5

Рис. 5. Относительный вклад, β^trn /β^resn, трехчастичного захвата электрона (2) в полную константу скорости, β^resn =

= β^trn +βdrn , резонансного захвата на все подуровни уровня n, включающую также вклад диссоциативного захвата (1) со

всех колебательно-вращательных уровней молекулярного иона. Расчеты проведены для Ar+Xe⁺ + e (а) и Ne+Xe⁺ + e

(б) при Te = 2000 K и различных газовых температурах T

6.3. Сравнительный анализ эффективностей

Отметим, что при составлении кинетических мо-

резонансных процессов захвата электронов

делей рекомбинации в плазмах смесей инертных га-

зов, как правило, обсуждается канал диссоциатив-

На рис. 5 приведено сравнение интегральных

ной рекомбинации ионов RgXe⁺, в то время как аль-

вкладов диссоциативной (1) и трехчастичной (2)

тернативный канал (2) предполагается неэффектив-

рекомбинации в двухтемпературной плазме смесей

ным (см., например, [28,30-32]). Как показано выше,

инертных газов Rg/Xe ([Xe] ≪ [Rg], Rg = Ar, Ne)

вклад тройной рекомбинации в полную константу

в полную константу скорости, β^resn, захвата элект-

скорости резонансного захвата может быть сопоста-

рона молекулярными, RgXe⁺, и атомарными, Xe⁺,

вимым или даже многократно превосходить вклад

ионами с образованием атомов Xe(n). Видно, что

от канала (1). Соответственно, пренебрежение про-

относительный вклад трехчастичного захвата воз-

цессом (2) может приводить к существенным ошиб-

растает при уменьшении энергии диссоциации иона

кам при проведении кинетических расчетов.

за счет увеличения вероятности нахождения систе-

мы RgXe⁺(i) в непрерывном спектре. По той же

Представленные выше результаты сравнитель-

причине относительная эффективность механизма

ного анализа резонансных механизмов рекомбина-

трехчастичного захвата тем выше, чем выше газо-

ции получены для равновесных распределений ско-

вая температура T. Для системы ArXe⁺ + e вклад

ростей. Отклонение от распределения Максвелла

механизма (2) не превышает 50 % даже при доста-

может существенно менять отношения интеграль-

точно высокой температуре T = 900 K. Напротив,

ных вкладов дискретного и непрерывного спектров

для системы NeXe⁺ + e с малым значением энер-

молекулярного иона в полную скорость рекомбина-

гии диссоциации резонансный процесс трехчастич-

ции. Так, эффективным способом измерения коэф-

ного захвата электрона атомарным ионом Xe⁺ яв-

фициента диссоциативной рекомбинации является

ляется доминирующим уже при комнатной темпе-

метод совмещенных пучков [6], в котором за счет

ратуре T = 300 K.

разности потенциалов между анодом и катодом на-

591

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

res

страивается энергия отстройки ε_d между электро-

n n

нами и ионами. В таких установках функция рас-

0.5

пределения скоростей электронов имеет вид [6]

Ar + Xe

e T_e

= 2000 K

T= 300 K

(

)√

0.1

m_e

m_ev2⊥

m_e

f (v_e, v_d) =

exp

0.05

2πk_BT_⊥

2k_BT_⊥

2πk_BT_||

[

]

m_e(v_|| - v_d)²

× exp -

(50)

0.01

k_BT_||

0.005

Здесь v_d — скорость отстройки (ε_d = m_ev2d/2), v_⊥ —

скорость поперечного движения, T_⊥ — эффективная

0.5

T = 600 K

температура поперечного движения, обычно равная

электронной температуре T_e. Температура T_|| ≪ T_e

описывает движение электрона вдоль оси установки

0.1

со скоростью v_|| относительно иона; T_|| ∼ 1 мэВ.

Ключевое влияние отстройки на динамику резо-

нансного захвата электрона связано со смещением

Рис. 6. Относительный вклад, β^trn /β^resn, механизма трехча-

области резонансных переходов в сторону меньших

стичного захвата электронов (2) в полную константу ско-

R. При больших ε_d переходы происходят в основ-

рости, β^resn = β^trn + β^drn , резонансного захвата на все lm-

ном вблизи точки R^dω(nl), определяемой из условия

подуровни уровня n, также включающую вклад диссоци-

ΔU_fi(R^dn) = Ry/n² + ε_d. Величина ε_d обычно меня-

ативной рекомбинации (1), β^drn. Расчеты проведены для

ется в пределах от 0 до 0.3 эВ, так что при ε_d ∼ D₀

установки с совмещенными пучками с ε_d = 0.15 эВ (кри-

характерная область переходов, происходивших ра-

вые 1) и для равновесного случая (кривые 2) для системы

нее вблизи точки равновесия R_e, может значительно

Ar+Xe⁺ + e при Te = 2000 K и T = 300 K (а), 600 K (б)

сместиться в сторону R ≲ R_e. Это приводит к рос-

ту относительной эффективности механизма трех-

частичного захвата электрона на низкие уровни n.

ативной рекомбинации, рассчитанные с использо-

Данный эффект продемонстрирован на рис. 6

ванием разработанной здесь теории, со значения-

для системы Ar + Xe⁺ + e при T_e = 2000 K и T =

ми α^dr(T_e, T ), полученными с помощью полуэмпи-

= 300 K и 600 K. Введение энергии отстройки ε_d =

рических формул, предложенных в [33,34] в резуль-

тате анализа экспериментальных данных для инте-

= 0.15 эВ увеличивает относительную эффектив-

ность процесса трехчастичного захвата на низкие n

гральных констант скоростей. На рис. 7a приведены

температурные зависимости полных констант ско-

до 2 раз при T = 600 K и до 5 раз при T = 300 K.

При этом эффективность трехчастичного захвата

ростей рекомбинации, α^dr(T_e, T ), при столкновени-

ях электронов с ионами NeXe⁺ (T = 300 K) и ArXe⁺

на уровни с n > 16, наоборот, уменьшается, выхо-

дя на плато, так как переходы, ранее происходившие

(T = 500 и 900 К). Cплошные кривые показывают

вблизи R^dω(n) > R_e, теперь происходят вблизи точки

суммарную по n ≥ 10 и l ≤ n-1 константу скорости

∑

R^dω(n) ≈ R_e, определяемой для больших n условием

α^dr(T_e, T) =_nl α^drnl(T_e, T) процесса (1), рассчитан-

ΔU_fi[R^dω(n)] ≈ ε_d. Отметим, что влияние неравно-

ную по формулам (27) и (37) данной работы для за-

весного распределения ослабевает с ростом T из-за

хвата электрона на отдельные nl-уровни. Пунктир-

того, что характерная область неадиабатических пе-

ная кривая для NeXe⁺ получена с помощью полу-

эмпирической формулы α^dr(T_e) ∼ α₀T-0.5e [33, 34] и

реходов «размазывается» по R.

экспериментальных данных [35, 36]. Видно, что ре-

зультаты разумно согласуются друг с другом при

6.4. Сравнение результатов с

T_e = 300 ÷ 2000 K. Отметим, что зависимость T-0.5e

полуэмпирическими моделями

также следует из результатов нашей работы, если

Экспериментальные данные по константам ско-

ограничить переходы областью точки стабилизации

ростей процессов (1) и (2) диссоциативного и трех-

R_ω = R_st ≡ R_n, определяемой условием (14).

частичного захвата электронов на заданные ридбер-

Пунктирные кривые на рис. 7б,в для ArXe⁺

говские уровни атомов Xe(n) в плазме смесей инерт-

задаются формулой модифицированной модели,

ных газов отсутствуют. Ниже мы сравниваем про-

α^dr(T, T_e) = α0T-0.5e[1 - exp(-ℏωe/kBT)], предло-

суммированные по n константы скорости диссоци-

женной в работах [33,34] на основе эксперименталь-

592

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Резонансный захват электронов ионами. . .

^dr, 10^-7 см3 . с^-1

4.0

3.5

2.75

3.0

2.50

2.25

2.5

2.00

2.0

1.75

0.5

1.5

Ne + Xe

Ar + Xe

1.50

Ar + Xe

T = 300 K

T = 500 K

T = 900 K

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

T_e, 1000 K

Рис. 7. Константы скорости диссоциативной рекомбинации ионов NeXe⁺ (а) и ArXe⁺ (б,в) с электронами. Сплошные

∑

кривые — суммарная константа скорости, α^dr(Te, T) =_nl αⁿ

(Te, T), где αⁿ

(Te, T) получена по формулам (27) и

(37). Пунктирные кривые — по полуэмпирической формуле, α^dr (T, Te) = α0

[1 - exp(-ℏωe/kB T )] [33, 34], где α0

определено по экспериментальным данным [35, 36]. T = 300 K (а), 500 K (б), 900 K (в)

ных данных [36]. Здесь ℏω_e — колебательный квант

жащей атомарные и молекулярные ионы. Анализ

основного терма U_i. Зависимость от T получена

диссоциативной рекомбинации (1) проведен в усло-

усреднением по больцмановскому распределению

виях существенного теплового возбуждения всех ко-

колебательных уровней в предположении, что вклад

лебательно-вращательных уровней молекулярного

основного колебательного состояния в α^dr(T, T_e)

иона, что для слабосвязанных ионов RgXe⁺ реали-

является преобладающим. Как видно на рис 7б,в,

зуется уже при температурах T ≈ 300 ÷ 1000 K. По-

такая модель дает разумную оценку при низких

казано, что при этом необходимо учитывать влияние

значениях T , однако, подобно NeXe⁺, она приводит

процесса (2) резонансной электрон-ионной рекомби-

к ошибкам при более высоких значениях T_e и T.

нации в тройных столкновениях с атомами буфер-

Заметим, что отклонение от зависимости T-0.5±0.2e

ного газа.

константы скорости α^dr(T, T_e) в сторону степенной

Для единого описания процессов (1) и (2) разра-

зависимости

при больших значениях T_e

ботан оригинальный подход, основанный на кван-

было также предсказано в работе [37] для системы

товом варианте теории неадиабатических перехо-

Ar⁺² + e. Следует учесть, что оценка коэффициента

дов и учитывающий вид и симметрию термов иона

диссоциативной рекомбинации путем прямого сум-

BA⁺, особенности взаимодействия внешнего и внут-

мирования констант скоростей, соответствующих

ренних электронов в системе и сложную структуру

всем конечным значениям n, подходит лишь для

неводородоподобных ридберговских состояний. При

качественного сравнения результатов, что связано

расчете суммарных сечений и констант скоростей

с пренебрежением влиянием ряда сопутствующих

диссоциативной рекомбинации применено прибли-

рекомбинационных и релаксационных процессов.

жение квазинепрерывного спектра для vJ-уровней

иона BA⁺. Схожий способ интегрирования по энер-

гии E и угловому моменту J использован при вы-

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

числении констант скоростей реакции (2). В работе

В работе исследованы взаимно дополняющие

впервые получены полуаналитические выражения

процессы (1) и (2) образования атомов в ридберговс-

для сечений и констант скорости процессов (1) и (2),

ких состояниях в двухтемпературной плазме, содер-

применимые в случае слабосвязанных квазимолеку-

593

ЖЭТФ, вып. 4

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

лярных систем и корректно описывающие движение

процессов в барьерных разрядах [5], эксимерных

ядер в классически разрешенной и запрещенной об-

лампах и источниках ВУФ-излучения [38, 39], ак-

ластях.

тивных средах мощных газовых лазеров [40, 41] и

Результирующие выражения разд. 4.3 описыва-

микроплазменных ячейках [42].

ют интегральные вклады состояний дискретного,

W^drnl, и непрерывного, W^trnl, спектров молекулярного

Финансирование. Работа выполнена при фи-

иона в полную скорость, W^resnl, резонансного захвата

нансовой поддержке Российского научного фонда

электронов в ридберговские состояния nl в плазме с

(грант № 19-79-30086).

температурами T_e и T электронной и атомной (ион-

ной) компонент. Теория может быть использована

для гомоядерных и гетероядерных систем, A⁺² + e и

ЛИТЕРАТУРА

BA⁺ + e, и вместе с выражениями для эффектив-

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая ки-

ного параметра взаимодействия она позволяет уста-

нетика, Физматлит, Москва (2002).

новить зависимости величин W^drnl и W^trnl от основ-

ных параметров задачи: температур T_e и T ; главно-

Л. М. Биберман, В. С. Воробьев, И. Т. Якубов, Ки-

го квантового чиcла n; начального, U_i(R), и конеч-

нетика неравновесной низкотемпературной плаз-

ного, U_f (R), электронных термов иона BA⁺; соот-

мы, Наука, Москва (1982).

ношения тепловой энергии k_BT и энергии диссоци-

А. В. Елецкий, Б. М. Смирнов, УФН 136, 25

ации, D₀, иона BA⁺.

(1982).

Конкретные расчеты проведены для гетероядер-

ных систем Rg+Xe⁺ + e с малой (NeXe⁺) и умерен-

M. R. Flannery, Springer Handbooks of Atom. Mol.

ной (ArXe⁺) энергиями диссоциации, D₀, основного

Opt. Phys., ed. by G. W. F. Drake, Springer, New

терма, представляющих интерес для кинетики ре-

York (2006), Part D, Ch. 54, p. 799.

комбинации в плазме смесей инертных газов Rg/Xe

В. А. Иванов, А. С. Петровская, Ю. Э. Скобло,

с малым содержанием ксенона ([Xe] ≪ [Rg]). Ана-

ЖЭТФ 155, 901 (2019).

лиз тройной (2) и диссоциативной (1) рекомбина-

ции впервые показал, что доля резонансного трех-

M. Larsson and A. E. Orel, Dissociative Recombina-

частичного захвата электронов атомарными ионами

tion of Molecular Ions, Cambridge Univ. Press, Cam-

в полной константе скорости может быть близка к

bridge (2008).

100 % в случае слабосвязанных систем. При этом ка-

V. S. Lebedev and V. S. Marchenko, J. Sov. Laser

нал (2) заселяет ридберговские состояния с доста-

Res. 7, 489 (1986).

точно высокими значениями n ≳ 10. Зависимости

соответствующих констант скоростей от n оказы-

В. С. Лебедев, В. С. Марченко, ЖЭТФ 84, 1623

ваются чувствительными к температуре газа T и

(1983).

структуре термов.

Для молекулярных ионов с относительно глубо-

В. С. Лебедев, В. С. Марченко, Хим. физика 3, 210

(1984).

кими потенциальными ямами, D₀ ≫ k_BT , напро-

тив, преобладает канал диссоциативной рекомбина-

10.

A. A. Mihajlov, M. S. Dimitrijević, and Z. Djurić,

ции с участием большого числа колебательно-вра-

Phys. Scripta 53, 159 (1996).

щательных уровней, если выполнено условие k_B T ≫

≫ ℏω_e. Этот вывод относится к ситуациям, ког-

11.

A. A. Mihajlov, Lj. M. Ignjatović, M. M. Vasilijević

да справедливы больцмановское распределение по

et al., Astron. Astrophys. 324, 1206 (1997).

уровням vJ и закон действующих масс (42) для час-

12.

A. A. Mihajlov, Lj .M. Ignjatović, M. S. Dimitrijević

тиц, находящихся в свободном и связанном состоя-

et al., Astrophys. J. Suppl. Ser. 147, 369 (2003).

ниях. В работе продемонстрировано, что отклоне-

ния от больцмановского и максвелловского распре-

13.

R. K. Janev and A. A. Mihajlov, Phys. Rev. A 21,

делений могут приводить к иной относительной ро-

819 (1980).

ли каналов диссоциативной и тройной рекомбина-

14.

V. S. Lebedev, J. Phys. B: Atom. Mol. Opt. Phys.

ции и, в частности, могут увеличить долю процесса

24, 1993 (1991).

(2) в захвате электронов на ридберговские уровни.

Полученные результаты представляют интерес

15.

V. S. Lebedev, J. Phys. B: Atom. Mol. Opt. Phys.

для моделирования кинетики рекомбинационных

24, 1977 (1991).

594

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Резонансный захват электронов ионами. . .

16.

A. A. Mihajlov, Lj. M. Ignjatović, and M. S. Dimit-

29.

O. B. Postel and M. A. Cappelli, Appl. Phys. Lett.

rijević, Astron. Astrophys. 437, 1023 (2005).

76, 544 (2000).

17.

В. А. Иванов, В. С. Лебедев, В. С. Марченко,

30.

С. В. Автаева, Э. Б. Кулумбаев, Физика плазмы

ЖЭТФ 94, 86 (1988).

35, 366 (2009).

18.

Ридберговские состояния атомов и молекул, под

31.

A. R. Hoskinson, J. Gregor´io, J. Hopwood et al., J.

ред. Р. Стеббингса, Ф. Даннинга, Мир, Москва

Appl. Phys. 119, 233301 (2016).

(1985).

32.

P. Tian and M. J. Kushner, Plasma Sources Sci.

19.

V. S. Lebedev and I. I. Fabrikant, Phys. Rev. A 54,

Technol. 24, 034017 (2015).

2888 (1996).

33.

J. N. Bardsley and M. A. Biondi, Adv. Atom. Mol.

20.

V. S. Lebedev and I. I. Fabrikant, J. Phys. B: Atom.

Phys. 6, 1 (1970).

Mol. Opt. Phys. 30, 2649 (1997).

34.

J. N. Bardsley, Phys. Rev. A 2, 1359 (1970).

21.

В. С. Лебедев, К. С. Кислов, А. А. Нариц, Письма

35.

L. Levin, S. Moody, E. Klosterman et al., IEEE J.

в ЖЭТФ 108, 618 (2018).

Quant. Electron. 17, 2282 (1981).

22.

L. A. Viehland, B. R. Gray, and T. G. Wright, Mol.

36.

M. Ohwa, T. J. Moratz, and M. J. Kushner, J. Appl.

Phys. 107, 2127 (2009).

Phys. 66, 5131 (1989).

23.

L. A. Viehland, B. R. Gray, and T. G. Wright, Mol.

37.

J. Royal and A. E. Orel, Phys. Rev. A 73 0427061

Phys. 108, 547 (2010).

(2006).

24.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-

38.

S.-J. Park, C. M. Herring, A. E. Mironov et al., APL

ка, Физматлит, Москва (2005).

Photonics 2, 041302 (2017).

25.

V. S. Lebedev, Collision Processes of Highly Excited

39.

B. Schütte, F. Campi, M. Arbeiter et al., Phys. Rev.

Atoms with Neutral Particles, Cambridge Sci. Publ.,

Lett. 112, 253401 (2014).

Cambridge (2004).

40.

J. P. Apruzese, J. L. Giuliani, M. F. Wolford et al.,

26.

V. L. Sukhorukov, I. D. Petrov, M. Schäfer et al., J.

J. Appl. Phys. 104, 013101 (2008).

Phys. B: Atom. Mol. Opt. Phys. 45, 092001 (2012).

41.

A. P. Mineev, A. P. Drozdov, S. M. Nefedov et al.,

27.

M. J. Seaton, Comput. Phys. Commun. 146, 225

Quant. Electron. 42, 575 (2012).

(2002).

42.

C. Qu, P. Tian, A. Semnani, and M. J. Kushner, Plas-

28.

A. Belasri and Z. Harrache, Plasma Chem. Plasma

ma Sources Sci. Technol. 26, 105006 (2017).

Process. 31, 787 (2011).

595