ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 4, стр. 596-603

ТОКОВЫЙ ЗАХВАТ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В ГИРОТРОПНЫХ ЖИДКИХ МЕТАКРИСТАЛЛАХ

А. А. Жаров^a, Н. А. Жароваb*, Жаров А. А., мл.^a,c

^a Институт физики микроструктур Российской академии наук

603950, Нижний Новгород, Россия

^b Институт прикладной физики Российской академии наук

603950, Нижний Новгород, Россия

^c Institut Jean Lamour, Universite de Lorraine, Epinal, France

Поступила в редакцию 17 октября 2019 г.,

после переработки 17 октября 2019 г.

Принята к публикации 19 ноября 2019 г.

Показано, что пропускание постоянного электрического тока через суспензию гиротропных наночастиц с

остаточной намагниченностью (гиротропный жидкий метакристалл) формирует однонаправленный вол-

новод для оптического излучения, так что захваченный свет может распространяться только в направле-

нии, противоположном направлению тока. Локализация электромагнитного излучения связана с появле-

нием неоднородной гиротропии среды в результате переориентации магнитных наночастиц в неоднород-

ном магнитном поле тока. В качестве примера рассмотрен захват излучения плоским токовым слоем и

цилиндрической токовой нитью. Получены и проанализированы дисперсионные уравнения захваченных

мод. Обсуждается аналогия с топологически защищенными краевыми фотонными состояниями.

DOI: 10.31857/S0044451020040021

ских токов, электрических и магнитных полей [10].

Последняя в этом списке категория внешних воз-

действий обладает преимуществом относительной

1. ВВЕДЕНИЕ

быстроты переключения.

Возможности управления светом значительно

Контроль над распространением света является

расширились с появлением оптических метамате-

одним из важных и актуальных направлений иссле-

риалов, представляющих собой композиты, искус-

дований в современной оптике и фотонике. Лока-

ственно наноструктурированные на субволновом

лизация и управляемое переключение направления

уровне. Макроскопические электромагнитные свой-

световых потоков на масштабах, сравнимых с дли-

ства таких композитов могут значительно отличать-

ной волны, необходимо для перспективных прило-

ся от свойств природных сред. Более того, метама-

жений в интегральных оптических цепях [1,2] и от-

териалам могут быть приданы желаемые свойст-

крывает путь для создания наномасштабных пере-

ва за счет конструкции их структурных элемен-

страиваемых быстродействующих устройств, таких

тов (метаатомов). В настоящее время широкое рас-

как наноантенны [3-5], биосенсоры [6, 7], нанолазе-

пространение приобрели плазмонные метаматериа-

ры [8, 9] и др. Очень привлекательной, с точки зре-

лы и метаповерхности, обычно представляющие со-

ния перспективных приложений, является возмож-

бой слоистые металл-диэлектрические нанострукту-

ность переключения локализованных световых по-

ры, а также двух или трехмерные решетки плаз-

токов без изменения материальных характеристик

монных наночастиц [11], полностью диэлектричес-

среды. Функциональность подобного рода устройств

кие метаматериалы [12, 13], искусственные гипербо-

может обеспечиваться за счет различных физиче-

лические среды [14, 15] и т.д.

ских механизмов, например, под действием тепла,

механических деформаций, пропускания электриче-

Сравнительно недавно был предложен [16-20] и

экспериментально апробирован [21] новый тип жид-

^* E-mail: nina.a.zharova@gmail.com

ких метаматериалов [22, 23], названный жидкими

596

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Токовый захват оптического излучения. . .

метакристаллами (ЖМК). Отличительной особен-

найдем дисперсионные уравнения захваченных соб-

ностью любых жидких метаматериалов, и в том чис-

ственных мод. В качестве примера, однонаправлен-

ле ЖМК, является их пригодность к реконфигура-

ный захват световой волны будет рассмотрен в двух

ции, возможность заполнения ими объемов практи-

геометриях — плоский токовый слой и цилиндричес-

чески любой формы и перестройки их электромаг-

кая токовая нить.

нитных свойств. В отличие от традиционных жид-

ких кристаллов, ЖМК представляют собой мета-

2. ПЛОСКИЙ ТОКОВЫЙ СЛОЙ

материалы с искусственными метаатомами (метал-

Пусть постоянный ток с плотностью j_z = const

лическими или диэлектрическими) с анизотропной

течет вдоль оси z и локализован в направлении x в

электрической и(или) магнитной поляризуемостью,

интервале -a < x < a (см. рис. 1). Постоянное во

которые могут упорядочиваться и переориентиро-

времени магнитное поле тока направлено при этом

ваться во внешних электромагнитных полях, что

по оси y и определяется из уравнения

приводит к появлению анизотропии метаматериала

и изменению условий распространения в них элект-

dH_y /dx = 4πj_z /c.

ромагнитных волн. Дополнительную по сравнению

В ЖМК-среде, которая представляет собой взвесь

с жидкими кристаллами функциональность ЖМК

ферромагнитных метаатомов в жидкой матрице,

придает нетривиальный дизайн метаатомов. Изме-

магнитная индукция (в отсутствие насыщения на-

нение структуры, формы, размеров метаатомов при-

магниченности) линейно растет внутри токового

водит к существенному изменению их электродина-

слоя и имеет постоянное значение вне его,

мических характеристик, что расширяет возможно-

⎧

сти управления излучением и позволяет создавать

⎨

4πμj_zx/c,

|x| < a,

ЖМК для разных частотных диапазонов от микро-

B_y =

−4πμj_za/c, x ≤ -a,

(1)

волнового до оптического.

⎩

4πμj_za/c, x ≥ a,

В данной работе изучается возможность созда-

ния однонаправленного волновода для электромаг-

где μ — эффективная (усредненная по объему) маг-

нитного излучения оптического диапазона в гиро-

нитная проницаемость ЖМК. Выражая результат

тропной ЖМК-среде (содержащей ферромагнитные

через полный ток I₀ = 2aj_z, получим

метаатомы с остаточной намагниченностью) при

⎧

⎨

2πμI₀x/ac,

|x| < a,

пропускании через нее локализованного в попереч-

ном сечении постоянного электрического тока.

B_y =

−2πμI₀/c,

x ≤ -a,

(2)

⎩

Хорошо известно, что гиротропия ферромагне-

2πμI₀/c,

x ≥ a.

тиков в оптике возникает благодаря так называемо-

му гироэлектрическому эффекту [24], обусловлен-

В такой постановке ЖМК становится гиротропной

ному спин-орбитальным взаимодействием, которое

средой с неоднородным распределением гиротро-

дает вклад только в компоненты диэлектрического

пии, а диэлектрический тензор среды в оптическом

тензора [25], в то время как магнитная проницае-

диапазоне (предполагается временная зависимость

мость остается единичным тензором [26]. Гиротроп-

exp(-iωt)) будет иметь вид

⎛

⎞

ные метаатомы ориентируются в создаваемом током

-iu(x)

постоянном пространственно-неоднородном магнит-

⎜

⎟

ε=

⎝

⎠.

(3)

ном поле, что, в свою очередь, приводит к неод-

iu(x)

нородности тензора эффективной диэлектрической

проницаемости. Неоднородность магнитного поля

Учитывая, что величина u пропорциональна ста-

электрического тока приводит к неоднородности эф-

тическому магнитному полю (u = εQB_y, где Q —

фективного показателя преломления для световой

константа Фогта (Voigt constant), определяющая

волны, что создает условия поперечной локализа-

скорость фарадеевского вращения для конкретного

ции света только при его распространении проти-

материала [27]), можно записать зависимость u(x)

воположно направлению электрического тока. По-

⎧

как

следнее обстоятельство дает очевидный механизм

⎨

u₀x/a,

|x| < a,

переключения направления распространения захва-

u(x) =

−u₀,

x ≤ -a,

(4)

⎩

ченной электромагнитной моды путем коммутации

u₀,

x ≥ a,

направления электрического тока. Ниже мы изу-

чим условия токового захвата света в ЖМК и

где введена величина u₀ = u|x=a > 0.

597

А. А. Жаров, Н. А. Жарова, А. А. Жаров, мл.

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

B_y

-a

^jz

Рис. 1. (В цвете онлайн) Геометрия задачи: постоянный внешний ток jz локализован по оси x в интервале -a < x < a и

создает магнитное поле, индукция которого By (x) на этом отрезке растет линейно с координатой и не зависит от x вне

этого интервала

Распространение в такой среде высокочастотно-

от токового слоя, что достигается при κ² > 0 (k² >

го поля TM-поляризации H = y₀H exp(-iωt + ikz)

> k²⁰ε) и (ii) прозрачность среды для поля внутри

описывается скалярным уравнением для (единст-

токового слоя, т. е. κ2 > 0. Оба этих неравенства

венной) y-компоненты магнитного поля

можно переписать как

′

ku₀

H^′′ -

H - κ²H = 0,

(5)

> k² - k²⁰ε > 0.

aε

где κ² = k² - k²⁰ε, k₀ = ω/c, штрих означает произ-

Отсюда можно сделать вывод, что локализованное

водную по x, и считается, что |u| ≪ ε. Компоненты

решение реализуется лишь для (достаточно боль-

E_x, E_z высокочастотного электрического поля вы-

ших) отрицательных значений k. Таким образом,

ражаются через H как

локализованная мода распространяется только в од-

ном направлении, а именно навстречу току (здесь,

E_x =

H-

H^′,

противоположно оси z). Токовый слой играет роль

k₀ε

k₀ε²

-iku

диэлектрического волновода, и структура локализо-

E_z =

H+

H^′.

ванной низшей (симметричной) моды внутри слоя

k₀ε²

k₀ε

имеет вид

В области вне токового слоя u = u₀ = const и

H_in = A_in cos(κx),

H^′′out - κ²H_out = 0.

(6)

а поле снаружи выглядит как

В области внутри токового слоя u^′ = u₀/a = const,

H_out = A_out exp[-κ(|x| - a)].

что приводит к уравнению

H^′′in + κ²H_in = 0

(7)

Условие непрерывности на границе x = ±a полей

H и E_z (т.е. H и H^′) приводит к дисперсионному

с постоянным κ² = -κ² - u₀k/(aε). Добавка к эф-

уравнению

фективному показателю преломления порядка u₀k

внутри токового слоя зависит от знаков производ-

tg(κa) = κ/κ.

(8)

ной du/dx и волнового числа k, другими словами,

от направления распространения волны относитель-

Существуют также несимметричные моды, корни

но направления электрического тока. Для того что-

которых удовлетворяют другому дисперсионному

бы в такой среде существовала локализованная соб-

уравнению:

ственная мода, необходимо выполнение двух усло-

tg(κa) = -κ/κ.

(9)

вий: (i) экспоненциальное убывание полей снаружи

598

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Токовый захват оптического излучения. . .

Заметим, что разбиение на симметричные и несим-

3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНАЯ

метричные моды становится условным в среде с по-

ТОКОВАЯ НИТЬ

глощением, но дисперсионные уравнения для этих

Рассмотрим цилиндрически симметричный слу-

мод остаются справедливыми.

чай: будем считать, что ток в бесконечной по z то-

Анализ этих уравнений показывает, что даже

ковой нити направлен по оси z и имеет постоян-

для очень малых значений параметра u₀ симметрич-

ную плотность j_z ; токовая нить имеет цилиндриче-

ная локализованная мода существует, но локализа-

скую форму и ограничена некоторым радиусом a

ция оказывается слабой: в пределе u₀ ≪

√ε можно

(см. рис. 2). Очевидно, что в такой постановке во-

приближенно записать

круг тока создается постоянное во времени азиму-

√

тальное магнитное поле H_φ, которое линейно растет

ka = -

(κa)² + ε(k₀a)² ≈ -k₀a√ε,

по радиусу ρ внутри токовой нити и убывает как 1/ρ

√

(

κa =

-(κa)² - u₀ka/ε ≈

u₀k₀a/√ε)1/2 ,

снаружи.

(

Соответственно, для магнитной индукции мож-

κa ≈ (κa)² ≈ u₀

k₀a/√ε) ,

но записать

{

откуда получается предельный масштаб локализа-

2μI₀ρ/(ca²), ρ < a,

ции

B_φ =

(12)

2μI₀/(cρ),

ρ ≥ a.

k₀L_out ≈ k₀/κ ≈

√ε/u₀.

(10)

Здесь опять введен полный ток I₀ = πa²j_z , про-

текающий через поперечное сечение токовой нити.

Для ε = 2, u₀ = 10-2 и вакуумной длины вол-

Магнитное поле B_φ приводит к появлению в тензо-

ны излучения λ₀ = 0.5 мкм оценка масштаба попе-

ре проницаемости

речной локализации захваченной моды дает L_out ≈

⎛

⎞

≈λ₀

√ε/(2πu₀) ∼ 10 мкм.

-iu(ρ)

⎜

⎟

Простой вид решения в этом предельном случае

ε=

⎝

⎠

(13)

позволяет оценить также продольный масштаб за-

iu(ρ)

тухания моды, L_dmp, обусловленный наличием дис-

сипации в ЖМК-среде: 1/L_dmp ≈ Im(ε)k₀/ (2√ε ).

недиагональных компонент u ∼ B_φ. Формально вы-

Очевидно, что диссипация в среде разрушает моду

ражение для тензора диэлектрической проницаемо-

при условии L_out/L_dmp > 1, что дает дополнитель-

сти в цилиндрической задаче (13) совпадает с выра-

ное ограничение на параметры системы: Im(ε) < u₀.

жением (3), однако если для плоской задачи компо-

Следует отметить, что в общем случае (напри-

ненты тензора ε это проекции на декартову систему

мер, в замагниченной плазме, которая также ха-

координат (ε₁₁ = ε_xx, ε₁₂ = ε_xy,ε₁₃ = ε_xz, . . . ), то в

рактеризуется диэлектрическим тензором (3)), па-

цилиндрическом случае это проекции на оси ρ, φ, z,

раметр u₀ не обязательно мал и даже может выпол-

т. е. ε₁₁ = ε_ρρ, ε₁₂ = ε_ρφ, ε₁₃ = ε_ρz , . . .

няться обратное неравенство, u₀ ≫ ε. При отказе от

Если в такой неоднородно намагниченной среде

условия малости u₀ уравнение для магнитного поля

существует локализованная собственная мода высо-

модифицируется следующим образом:

кочастотных колебаний ∼ exp(-iωt + ikz), то она

может быть описана в рамках скалярной задачи с

(

)

ε′1

ε′2

помощью уравнения для (единственной) азимуталь-

H^′′ +

H^′ - κ² + k

H = 0,

(11)

ε₁

ной компоненты высокочастотного магнитного поля

H (H = φ₀H exp(-iωt + ikz)):

где κ² = k² - k²⁰/ε₁, ε₁ = ε/(ε² - u²), ε₂ = u/(ε² - u²)

{

и штрих, как и прежде, обозначает производную по

H^′

H/ρ², ρ < a,

H^′′ +

-Hκ² =

(14)

координате x. Предполагая, как и раньше, кусочно-

αH/ρ², ρ ≥ a.

линейную зависимость u(x) и ε = const, мы получим

для поля внутри токового слоя уравнение с перемен-

Здесь штрих обозначает производную по ρ, κ² = k²-

ными коэффициентами, которое может быть реше-

- εk²⁰, α = 1 + 2ku₀a/ε, u₀ = u(a), была учтена ма-

но численно. Заметим, что наличие в уравнении (11)

лость недиагональных компонент тензора проница-

слагаемого с H^′ не приводит к нарушению симмет-

емости, |u| ≪ ε, и использовалась конкретная зави-

рии по координате x, в результате чего собственные

симость u(ρ): u = ρu₀/a при ρ < a и u = au₀/ρ при

моды обладают определенной симметрией.

ρ ≥ a.

599

А. А. Жаров, Н. А. Жарова, А. А. Жаров, мл.

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

j_z

Рис. 2. (В цвете онлайн) Геометрия задачи: постоянный внешний ток jz локализован по радиусу ρ в интервале ρ < a

и создает магнитное поле, индукция которого B_φ(ρ) на этом отрезке растет линейно с координатой и спадает как 1/ρ

снаружи

Через магнитное поле H определяются также

F , F_inout

100

компоненты ρ и z электрического поля моды:

(

)₃

iu 1

−ik₀E_ρ = -

∂_zH +

∂_ρ(ρH),

ε² ρ

(

)₂

(

)₁

(

)

−ik₀E_z =

∂_zH +

∂_ρ(ρH).

ε²

ε ρ

-2

10^-1

10⁰

Очевидно, что локализованные распределения

поля могут реализоваться лишь при κ² > 0, и на

1.0

первый взгляд кажется, что решения в этом слу-

0.5

чае должны выражаться через модифицированные

функции Бесселя второго рода (функции Макдо-

нальда) от аргумента κρ. Однако условие отсут-

-0.5

ствия особенности в точке ρ = 0 задает функцию

–1.0

H (ρ < a) в виде H ∼ I₁(κρ) (I₁ — модифициро-

10^-3

10^-2

10^-1

10⁰

ванная функция Бесселя первого рода порядка 1),

и эту (растущую) зависимость оказывается невоз-

Рис. 3. (В цвете онлайн) a) Штриховая (синяя) кривая

можным непрерывно (с сохранением как поля, так

отвечает функции Fout = Hout/Hout, где Hout — найден-

и его производной по радиусу) «сшить» с (убываю-

ное численно спадающее при больших κρ решение урав-

щей) функцией Макдональда при ρ ≥ a. Единствен-

нения Бесселя (14) с коэффициентом α = -5. Сплош-

ный вариант непрерывной сшивки полей связан с

ная (красная) кривая это функция Fin = I¹/I1, где I1 и

возможностью смены знака коэффициента α: ана-

I′1 обозначают модифицированную функцию Бесселя пер-

лиз показывает, что при отрицательных значениях

вого рода порядка 1 и ее производную по аргументу κρ.

этого коэффициента, когда решение представляется

В точках пересечения (κρ)i этих двух кривых можно до-

стигнуть непрерывности тангенциальных компонент элек-

модифицированной функцией Бесселя мнимого по-

трического и магнитного полей. б) Иллюстрация сшивки:

рядка, на границе токовой нити ρ = a действительно

для каждого из найденных корней (κρ)i магнитное поле в

может иметь место непрерывность тангенциальных

точке (κρ)i непрерывно переходит с ветви Hin (сплошные

компонент электрического и магнитного полей.

красные кривые) на ветвь Hout (штриховая синяя кривая),

Для иллюстрации сказанного выше о возможнос-

причем в этой точке происходит касание этих функций,

ти существования локализованного решения были

т. е. при переходе от Hin к Hout сохраняется производная

проведены следующие вычислительные процедуры.

по κρ и тем самым непрерывной оказывается тангенциаль-

Прежде всего, в интервале 10 > κρ > 10-3 было чис-

ная компонента электрического поля, Ez,in = Ez,out

ленно найдено убывающее при больших κρ решение

600

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Токовый захват оптического излучения. . .

H_out для фиксированного отрицательного коэффи-

ми электронами запрещен, но границы среды явля-

циента α = 1 + 2ku₀a/ε (на рис. 3 приведены резуль-

ются проводящими. Аналогия между собственными

таты, полученные при α = -5). Далее была вычис-

решениями, рассматриваемыми в работе, и поверх-

лена и построена на графике функция F_out(κρ) =

ностными состояниями в двумерных ТИ не такая

= H^′out/H_out (штрих обозначает производную по ар-

прозрачная, но, как будет показано ниже, она затра-

гументу κρ). На том же графике изображена функ-

гивает более тонкие эффекты: оказывается, что од-

ция F_in = H^′in/H_in, где H_in = I₁(κρ). Очевидно, что

нонаправленность локализованной моды может ока-

непрерывность как магнитного, так и тангенциаль-

заться иммунной к неоднородностям токового слоя,

ного электрического полей может достигаться при

так что результирующие отражение и рассеяние бу-

условии F_out = F_in, и на рис. 3 видно, что это воз-

дут пренебрежимо слабыми.

можно в дискретных точках (κρ)_i (отмечены круж-

Для анализа этой проблемы рассмотрим в ка-

ками). С помощью интерполяции функций F_out, F_in

честве иллюстрации плоскую задачу, но не будем

можно с хорошей точностью найти значения (κρ)_i

ограничиваться условием u ≪ 1 и выберем пара-

и подбором амплитуды H_in достигнуть в этих точ-

метры среды и токового слоя достаточно произволь-

ках равенства магнитных полей H_in, H_out, после че-

но. В этом случае основное уравнение будет иметь

го условие H^′in = H^′out и соответственно равенство

вид (11).

E_z,in = E_z,out выполняется в этих точках автомати-

Чтобы найти структуру локализованной моды,

чески.

необходимо численно решить это дифференциаль-

Условие α

эквивалентно неравенству

ное уравнение с переменными коэффициентами и

|k|au₀/ε > 1, что при u₀/ε ≪ 1 требует |k|a ≫ 1.

соответствующими граничными условиями. На гра-

В свою очередь, поскольку κa ≲ 1 (см. рис. 3),

нице x = ±a следует задать отношение H^′/H рав-

√

то это неравенство может выполняться лишь если

ным ∓

k² - k²⁰(ε² - u²⁰)/ε и подобрать значение

√

|k|a ≈

√εk₀a ≫ 1, т. е. для токовой нити большого

продольного волнового числа |k| >

k²⁰(ε² - u²⁰)/ε

диаметра и слабого замедления моды, |k| ≈

√εk₀.

таким образом, чтобы в центре слоя при x = 0 по-

В отличие от плоской, в цилиндрической задаче

лучить H^′ = 0 для четной (H = 0 для нечетной)

есть ограничение снизу на размер токового слоя,

моды.

поддерживающего распространение собственной

Рисунок 4 иллюстрирует результаты выполне-

моды, но в обоих случаях решение оказывается

ния такой процедуры для параметров ε = 2, k₀ = 1,

слабо локализованным. Однако, если отказаться от

a = 0.1 и значений параметра гиротропии u₀ = 0.1

ограничения |u| ≪ 1 (как отмечалось выше, такое

и u₀

= 0.8. Маркер на этом рисунке отмечает

условие может быть реализовано в замагниченной

собственное значение продольного волнового числа

плазме), то для фиксированного набора параметров

k(∗), отвечающее локализации четной моды.

ε, a, u0 существует ряд дискретных значений ki,

Поскольку вне слоя магнитное поле и соответ-

отвечающих продольным волновым числам до-

ственно параметр гиротропии не меняется, u = ±u₀,

статочно сильно замедленных и поэтому хорошо

среда является однородной и электромагнитное по-

локализованных собственных мод.

ле в этой области представимо в виде суммы про-

странственных гармоник

∑

A(k) exp(ik_x(k)x + ikz),

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

где k2x + k² = k²⁰(ε² - u²⁰)/ε, и эта последняя фор-

Наложение постоянного во времени магнитного

мула дает дисперсионную зависимость k^outx(k) (см.

поля нарушает симметрию по отношению к обраще-

рис. 4, где показана зависимость от k мнимой час-

нию времени, и ЖМК становится невзаимной сре-

ти поперечного волнового числа для излучения вне

дой. Более того, локализованная в токовом слое соб-

слоя, Im(k^outx(k))). Внутри слоя среда неоднородна,

ственная мода является однонаправленной, т. е. экс-

но в приближении плавной неоднородности можно

тремально невзаимной. Такое поведение напомина-

найти дисперсию k^inx(k), где k^inx локально зависит

ет динамику поверхностных состояний в топологи-

от координаты -a < x < a и удовлетворяет усло-

ческих изоляторах (ТИ) [28]. Известно, что кванто-

вию ε₁(k^inx)² - iε′1k^inx + ε₁k² - k²⁰ + ε′2k = 0. На рис. 4

вые поверхностные состояния [28] имеют классичес-

приведена также полученная из этой формулы за-

кий аналог [29]: электронный газ в сильном магнит-

висимость от k действительной части поперечного

ном поле (примером может служить замагниченная

волнового числа, Re(k^inx), вычисленная на границе

плазма), в котором перенос заряда замагниченны-

слоя при x = ±a.

601

А. А. Жаров, Н. А. Жарова, А. А. Жаров, мл.

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

k(2)

k(1)

k(2)

k(1)

k(*)

-2

–5

-4

-3

-2

-1

k(1)

k(2)

Рис. 5. (В цвете онлайн) Иллюстрация дисперсионных

k(*)

свойств локализованного решения (см. подпись к рис. 4):

данные приведены для параметров ε = 2, k0 = 1, a = 0.1,

-2

u0 = 1.1. В этом случае k⁽¹⁾ > k⁽²⁾ и локализованная мода

оказывается полностью иммунной по отношению к рассе-

янию на неоднородностях токового слоя. Дополнительная

–5

-4

-3

-2

-1

(голубая) штрихпунктирная кривая демонстрирует зависи-

мость от k поперечного волнового числа пространственных

Рис. 4. (В цвете онлайн) Иллюстрация дисперсионных

гармоник в центре слоя, Re(k^inx(x = 0))

свойств локализованного решения: данные приведены для

параметров ε = 2, k0 = 1, a = 0.1 при u0 = 0.1 (a)

и u0 = 0.8 (б). Сплошная (синяя) кривая: зависимость

лизованной собственной моды, что снова роднит ее

от k действительной части поперечного волнового числа

с поверхностными состояниями в ТИ.

волн, распространяющихся внутри токового слоя, Re(k^inx)

Более того, оказывается, что может быть реа-

(значение k^inx берется на границе слоя при x = ±a);

лизована ситуация, когда все волновые компоненты

штриховая (черная) кривая: мнимая часть поперечного

внутри слоя, лежащие на дисперсионной кривой, яв-

волнового числа для волн в однородной среде вне слоя,

ляются нераспространяющимися в однородной сре-

Im(k^outx). Красным маркером отмечено значение k(∗), для

де вне слоя. В этом случае k⁽¹⁾ > k⁽²⁾ (см. рис. 5), и

которого выполняется условие локализации моды. Значе-

локализованная мода полностью иммунна к рассея-

ния продольного волнового числа k⁽¹⁾ и k⁽²⁾ отмечают со-

нию на неоднородностях токового слоя.

ответственно левую границу зоны прозрачности однород-

ной среды вне слоя и правую границу зоны прозрачности

для волн внутри слоя

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе показано, что пространственно-огра-

Рассеяние локализованной моды на естествен-

ниченный в поперечном направлении постоянный

ных неоднородностях токового канала должно при-

электрический ток, пропускаемый через суспензию

водить к тому, что кроме k(∗) внутри канала появ-

ферромагнитных наночастиц с остаточной намаг-

ляются волновые компоненты с другими волновыми

ниченностью (гиротропный жидкий метакристалл)

числами k, k^inx(k), которые отвечают дисперсионной

поддерживает локализованную электромагнитную

зависимости (синяя кривая на рис. 4). Если же среда

моду оптического диапазона, переносящую конеч-

вне слоя будет прозрачной для этих пространствен-

ный поток энергии. Поперечная структура моды

ных гармоник, то они будут высвечиваться из токо-

определяется поперечной структурой электриче-

вого слоя наружу, в однородную среду, в результате

ского тока, а величина замедления — величиной

чего локализованная мода будет затухать радиаци-

гиротропии ЖМК, возникающей в результате

онным образом. Очевидно, что этот эффект будет

переориентации гиротропных наночастиц в маг-

иметь место лишь в области k⁽²⁾ > k > k⁽¹⁾ (см.

нитном поле постоянного тока. Рассмотрены два

рис. 4): действительно, при k > k⁽²⁾ нет распростра-

примера захвата оптического излучения: плоский

няющихся волн внутри слоя, а для k < k⁽¹⁾ энергия

токовый слой и цилиндрическая токовая нить.

из слоя не высвечивается. Для случая, приведенного

Общей особенностью захваченных мод является

на рис. 4б, условию k⁽²⁾ > k > k⁽¹⁾ отвечает малый

возможность их распространения только в на-

объем фазового пространства и соответственно ма-

правлении, противоположном току, в то время,

лая плотность фотонных состояний. Это обеспечи-

как при распространении вдоль тока локализация

вает относительную устойчивость (robustness) лока-

электромагнитных волн отсутствует. Такой невза-

602

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Токовый захват оптического излучения. . .

имный характер захвата оптического излучения

12.

S. V. Li, D. G. Baranov, A. E. Krasnok, and

напоминает топологически защищенные крае-

P. A. Belov, Appl. Phys. Lett. 107, 171101 (2015).

вые фотонные состояния. В гиротропных ЖМК

13.

A. I. Kuznetsov, A. E. Miroshnichenko, M. L. Bron-

величина недиагональных компонент тензора ди-

gersma, Y. S. Kivshar, and B. Luk’yanchuk, Science

электрической проницаемости мала, что означает

354, aag2472 (2016).

слабую поперечную локализацию захваченной

моды. Однако в плазменной среде в микроволновом

14.

A. Poddubny, I. Iorsh, P. Belov, and Y. Kivshar, Nat.

Photon. 7, 958 (2013).

диапазоне частот недиагональные компоненты

тензора диэлектрической проницаемости могут

15.

O. Takayama and A. V. Lavrinenko, J. Opt. Soc.

быть сравнимыми или даже превышать (например,

Amer. B 36, F38 (2019).

в области верхнего гибридного резонанса) диаго-

нальные, что может приводить к существенно более

16.

A. A. Zharov, A. A. Zharov, Jr., and N. A. Zharova,

J. Opt. Soc. Amer. B 31, 559 (2014).

сильному замедлению собственной моды.

17.

A. A. Zharov, A. A. Zharov, Jr., and N. A. Zharova,

Финансирование. Работа выполнена при под-

Phys. Rev. E 90, 023207 (2014).

держке Российского фонда фундаментальных ис-

18.

N. A. Zharova, A. A. Zharov, and A. A. Zharov, Jr.,

следований (грант № 17-02-00281).

J. Opt. Soc. Amer. B 33, 594 (2016).

19.

A. A. Zharov, Jr., N. A. Zharova, and A. A. Zharov,

ЛИТЕРАТУРА

J. Opt. Soc. Amer. B 34, 546 (2017).

V. M. Menon, L. I. Deych, and A. A. Lisyansky, Nat.

20.

A. A. Zharov, A. A. Zharov, Jr., and N. A. Zharova,

Photon. 4, 345 (2010).

Phys. Rev. A 98, 013802 (2018).

D. A. B. Miller, Nat. Photon. 4, 3 (2010).

21.

M. Liu, K. Fan, W. Padilla, X. Zhang, and I. V. Shad-

rivov, Adv. Mater. 28, 1553 (2016).

A. Alu and N. Engheta, Nat. Photon. 2, 307 (2008).

22.

Y. A. Urzhumov, G. Shvets, J. A. Fan, F. Capasso,

L. Novotny, Nature 455, 887 (2008).

D. Brandl, and P. Nordlander, Opt. Express 15,

14129 (2007).

S. Kruk, B. Hopkins, I. I. Kravchenko, A. Mirosh-

nichenko, D. N. Neshev, and Y. S. Kivshar, APL

23.

M. Fruhnert, S. Muhlig, F. Lederer, and C. Rock-

Photon. 1, 030801 (2016).

stuhl, Phys. Rev. B 89, 075408 (2014).

J. N. Anker, W. P. Hall, O. Lyandres, N. C. Shah,

24.

H. J. Zeiger and G. W. Pratt, Magnetic Interaction

J. Zhao, and R. P. van Duyne, Nat. Mater. 7, 442

in Solids, Oxford University Press, Oxford (1973).

(2008).

Y. F. C. Chau, J.-Y. Syu, C.-T. Chao, H.-P. Chiang,

25.

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Me-

and C. M. Lim, J. Phys. D: Appl. Phys. 50, 045105

chanics: Non-Relativistic Theory, 3rd ed., Pergamon

(2017).

Press, New York (1977).

D. J. Bergman and M. I. Stockman, Phys. Rev. Lett.

26.

J. Zak, E. R. Moog, C. Liu, and S. D. Bader, Phys.

90, 027402 (2003).

Rev. B 43, 6423 (1991).

X. Meng, A. V. Kidishev, K. Fujita, K. Tanaka, and

27.

E. Du Tremolet de Lacheisserie, D. Gignoux, and

V. M. Shalaev, Nano Lett. 13, 4106 (2013).

M. Schlenker, Magnetism: Fundamentals, Springer

10.

S. Bang, J. Kim, G. Yoon, T. Tanaka, and J. Rho,

Science & Business Media, New York (2005).

Micromachines 9, 560 (2018).

28.

C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95,

11.

D. Khlopin, F. Laux, W. P. Wardley, J. Martin,

146802 (2005).

G. A. Wurtz, J. Plain, N. Bonod, A. V. Zayats,

W. Dickson, and D. Gerard, J. Opt. Soc. Amer. B 34,

29.

D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard, Phys.

691 (2017).

Rev. Lett. 48, 1559 (1982).

603