ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 4, стр. 604-616

ПОЧТИ ПОЛНОСТЬЮ ЭМПИРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ХИМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

А. Н. Тавфикa*, М. А. Вахаб^b, Х. Яссин^b, Х. M. Н. Эль Дин^c

^a Nile University, Egyptian Center for Theoretical Physics

12588, Giza, Egypt

Institute for Theoretical Physics, Goethe University

D-60438, Frankfurt am Main, Germany

^b Physics Department, Faculty of Women for Arts, Science and Education, Ain Shams University

11577, Cairo, Egypt

^c Basic Science Department, Modern Academy for Engineering

11571, Cairo, Egypt

Поступила в редакцию 31 мая 2019 г.,

после переработки 8 ноября 2019 г.

Принята к публикации 8 ноября 2019 г.

(Перевод с английского)

ALMOST-ENTIRELY EMPIRICAL ESTIMATION

FOR CHEMICAL POTENTIAL

A. N. Tawfik, M. Abdel Wahab, H. Yassin, H. M. Nasr El Din

На основании термо-статистических моделей исследовалось распределение по поперечным импульсам

родившихся в столкновениях хорошо идентифицируемых частиц, таких как π⁺, π^-, K⁺, K^-, p и p.

Предложен новый подход для почти полностью эмпирического определения химического потенциала μ.

На основании функции распределения для большого канонического ансамбля предложено выражение в

общем виде для зависимости μ от быстроты y. После подгонки к имеющимся экспериментальным дан-

ным для p_⊥ и d²N/2πp_⊥dp_⊥dy для наиболее центральных столкновений при энергиях 7.7, 11.5, 19.6,

27, 39, 130 и 200 ГэВ получено выражение в общем виде для зависимости μ от быстроты для выходов

всех частиц при различных энергиях: μ = a + by². Полученная зависимость энергии в системе центра

масс имеет вид

√sNN = c[(μ - a)/b]d/2. Проверка показала, что результаты, полученные в рамках пред-

ложенного подхода, очень хорошо согласуются с экспериментально измеренными распределениями по

быстротам для выходов различных частиц при различных энергиях.

DOI: 10.31857/S0044451020040033

лучшего понимания динамики столкновений и даль-

нейшей эволюции системы, в которой происходят

сильные столкновения [1]. Деконфайнмент сталки-

1. ВВЕДЕНИЕ

вающихся адронов, которые быстро разлетаются,

а затем охлаждаются, при высоких температурах

Считается, что с помощью экспериментов с ре-

приводит к формированию цветной кварк-глюонной

лятивистскими тяжелыми ионами, помимо проче-

плазмы (КГП) [2]. Кроме того, «адронизацию» или

го, можно изучать различные этапы максимально

фазовый переход от КГП в состоянии деконфайн-

центральных столкновений тяжелых ионов с целью

мента к бесцветным адронам в состоянии конфайн-

^* E-mail: atawfik@nu.edu.eg

мента можно объяснить просто как рекомбинацию

604

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Почти полностью эмпирическое определение химического потенциала

кварков и глюонов, которая имеет место при неко-

нуклон-нуклонных столкновениях с энергиями в

торой критической температуре. После охлаждения

системе центра масс

√s_NN = 200 ГэВ, было описано

наступает этап, для которого характерно фиксиро-

с помощью статистической модели в работе [18], где

ванное число родившихся в столкновениях некорре-

предполагалось, что формирование горячих и плот-

лированных частиц, т. е. имеет место химическое вы-

ных областей сдвигается вдоль оси пучка в сторону

мораживание [3-9]. В подобной расширяющейся си-

возрастающих быстрот. Расширенный вариант этой

стеме следует выделить еще одно состояние вымора-

модели использовался для описания распределения

живания, известное как кинетическое выморажива-

по быстротам протонов, антипротонов, каонов,

ние, которое обусловлено конкуренцией между ло-

антикаонов, пионов, а также отношений

^Λ/Λ и

кальным рассеянием и скоростью расширения [10].

^Ξ/Ξ, полученных для энергий RHIC [22, 23]. На

Различные особенности формирования КГП и

основании всех перечисленных выше моделей была

фазового перехода были рассмотрены в работе [11].

построена обобщающая модель [16].

Одна из этих особенностей — необычное усиление

В настоящей работе предложен альтернатив-

странности, при котором глюон-глюонные взаимо-

ный — почти прямой — метод определения хими-

действия в КГП-среде приводят к рождению пар ss,

ческого потенциала μ, основанный на распределе-

что ведет к быстрому насыщению среды странными

нии по быстротам родившихся в столкновениях хо-

кварками при формировании КГП-фазы, в резуль-

рошо идентифицируемых частиц π⁺, π^-, K⁺, K^-, p,

тате чего увеличивается число рождений странных

p. Почти во всех экспериментах, которые проводят-

адронов, а потому и странных барионов и странных

ся при высоких энергиях, распределение частиц по

антибарионов [12,13]. Другой особенностью являет-

быстротам можно точно измерить. Это означает, что

ся то, что различные термодинамические величи-

используя эти распределения, мы можем практичес-

ны, такие как давление, плотность энергии и плот-

ки непосредственно получить химические потенциа-

ность энтропии системы можно оценить статисти-

лы различных частиц, рожденных в определенном

чески как функции температуры T и барионного

диапазоне быстрот, независимо от энергии столк-

химического потенциала μ_B . Еще одна характерная

новений, объема столкновений и/или типа столк-

особенность, которая непрямым образом влияет на

новений. Другими словами, мы предлагаем универ-

основные свойства КГП, определяется распределе-

сальный, почти полностью эмпирический подход,

нием по поперечным импульсам p_T [14, 15]. Точные

позволяющий найти химический потенциал. Окон-

измерения распределений по поперечным импуль-

чательное подтверждение полученных результатов,

сам p_T для различных значений быстрот [16] мож-

т. е. предложенной нами универсальной зависимо-

но использовать для изучения динамики и свойств

сти полного химического потенциала μ от быстроты

рождающихся частиц от стадии начальных столк-

для каждой родившейся частицы, можно получить,

новений до финальной стадии вымораживания. В

показав, что можно воспроизвести эксперименталь-

настоящей работе мы будем рассматривать особен-

но измеренное распределение частиц по быстротам.

ности второго и третьего типа. В работе предложен

Другими словами, коль скоро наше утверждение от-

новый подход для почти полностью эмпирическо-

носительно зависимости μ от y справедливо, зави-

го определения химического потенциала μ на осно-

симость экспериментально измеренного распределе-

вании распределений по быстротам родившихся в

ния dN/dy от y в наиболее центральных столкно-

столкновениях хорошо распознаваемых частиц, та-

вениях может быть хорошо описана для различных

ких как π⁺, π^-, K⁺, K^-, p, p.

энергий столкновений.

Зависимость температуры вымораживания T_ch

от быстроты файрболла обсуждалась в работах

Работа построена следующим образом. В разд. 2

[17-20]. Еще одна концепция зависимости барион-

описаны теоретические подходы. В разд. 2.1 обсуж-

ного химического потенциала μ_B от быстроты y бы-

даются температурные подходы. В разд. 3 приве-

ла предложена в работе [21]. Оказалось, что неко-

дены результаты. Полученные зависимости хими-

торое значение температуры, по-видимому, являет-

ческого потенциала от быстроты обсуждаются в

ся достаточным для описания результатов, получен-

разд. 3.1. Применение предложенного подхода для

ных для различных интервалов быстрот. В принци-

воспроизведения различных экспериментально из-

пе, химический потенциал μ играет основную роль

меренных распределений частиц по быстротам (т. е.

в статистическом описании рождения частиц.

зависимости dN/dy от y, полученные с исполь-

Распределение протонов и антипротонов по

зованием предложенного подхода) обсуждаются в

быстротам, полученное в коллайдере RHIC при

разд. 3.3. Раздел 4 представляет собой Заключение.

605

А. Н. Тавфик, М. А. Вахаб, Х. Яссин, Х. M. Н. Эль Дин

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

2. МОДЕЛЬ

где H — гамильтониан системы, который задает-

ся суммированием кинетических энергий реляти-

Распределение по импульсам частиц, вылетаю-

вистских ферми- и бозе-компонент, соответствую-

щих из файрболла, можно выразить как [17, 22, 24]

щих эффективным степеням свободы удерживае-

мых адронов [25].

d³N

≡ f(E,p_L),

(1)

В химический потенциал μ входят компоненты,

d³p

связанные с различными квантовыми числами:

где E и p_L — энергия и продольный импульс час-

μ = Bμ_B + Sμ_S + Qμ_Q + I₃μI3 + ...,

тицы, соответственно. Элемент объема импульсного

пространства имеет вид

где B, S, Q и I₃ соответствуют барионному кван-

товому числу, странности, электрическому заряду и

d³p

= m_⊥dm_⊥dy dϕ.

(2)

изоспину, соответственно.

Температура вымораживания T_ch и химический

Тогда, в терминах поперечной массы, распределение

потенциал μ являются хорошо известными термоди-

будет иметь вид

намическими параметрами, которые можно опреде-

лить в рамках предложенных подходов [26]. В стати-

d³N

≡ f(E,p_L),

стиках Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна полное

dy m_⊥dm_⊥dϕ

число частиц N равно

(3)

d²N

≡ f(E,p_L).

∫ (

)-1

2πm_⊥dm_⊥dy

^[E-μ^]

N =

exp

±1

d³p,

(6)

(2π)³

При средних быстротах, т. е. при y = 0, распределе-

ние по поперечным импульсам, определяемое урав-

где g — множитель, определяющий вырождение, а

нением (1), имеет вид

V — объем рассматриваемой системы; «±» относят-

ся к фермионам и бозонам, соответственно. Из урав-

d²N

нения (6) можно получить распределение по им-

≡ f(E,p_L).

(4)

2πp_⊥dp_⊥dy

пульсам (уравнения (2)-(4))

В следующем разделе будет предложен подход, поз-

(

)-1

d³N

^[E-μ^]

воляющий почти полностью эмпирически получить

= ±E

exp

±1

(7)

d³p

(2π)³

химический потенциал μ, используя эксперимен-

тально измеренные распределения частиц по быст-

Из уравнений (4) и (7) получаем

ротам.

(

)-1

d²N

^[E-μ^]

= ±E

exp

±1

(8)

2πp_⊥dp_⊥dy

(2π)³

2.1. Подход

Для описания количества частиц, рождающихся

Тогда энергию можно выразить как функцию быст-

на заключительном этапе столкновений, когда прак-

роты [24],

тически достигнуто химическое вымораживание,

E = m⊥ ch(y),

при котором число родившихся частиц фиксирова-

а поперечную массу частицы m_⊥ можно получить в

но, используются различные термо-статистические

зависимости от поперечного импульса этой частицы

подходы. Обзор недавних исследований по этой те-

p_⊥ и ее массы:

ме заинтересованный читатель может найти в рабо-

те [11]. Теперь выражения, приведенные в преды-

m_⊥ = (m² + p2⊥)1/2,

дущем разделе, можно сформулировать в рамках

термо-статистической модели, такой как модель ад-

откуда получаем

ронного резонансного газа (МАРГ) [11]. Будем по-

лагать для простоты, что в рамках МАРГ имеется

d²N

только одна компонента, а именно,

= ±m⊥ ch(y)

2πp_⊥dp_⊥dy

(2π)³

[

(

)-1

⁽μN-H^)]

^[m⊥ ch(y) - μ^]

Z(T, μ, V ) = Tr exp

(5)

× exp

±1

(9)

606

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Почти полностью эмпирическое определение химического потенциала

Из уравнения (9) можно получить выражение для

барионное квантовое число и странность. Посколь-

зависимости полного химического потенциала μ рас-

ку, как было показано в работах [27,28], зависимости

сматриваемой частицы от ее измеряемой быстро-

от энергии, полученные на основании термических

ты y:

моделей, противоречат результатам, полученным в

⎡

⎤

экспериментах с наиболее центральными столкно-

m_⊥ ch(y)

вениями, ни одну из этих моделей мы не можем ис-

⎢^±(2π)3

⎥

⎢

⎥

μ = m⊥ ch(y) - T ln

∓1

(10)

пользовать при рассмотрении зависимости от быст-

⎣

⎦

d²N

роты. Другое отличие заключается в том, что зави-

2πp_⊥dp_⊥dy

симость от энергии, рассматриваемая в рамках тер-

Другими словами, предлагается выразить μ через

мической модели [27, 28], подразумевает использо-

y, а также через m_⊥ и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy)[ГэВ-2].

вание только барионного химического потенциала.

Последняя из двух величин — это величина, кото-

Зависимость введенного в настоящей работе хими-

рую можно точно измерить в наиболее централь-

ческого потенциала в общем виде от быстроты ана-

ных столкновениях, см. табл. 1-6. Зависимость μ от

лизируется только для родившихся в столкновениях

энергии скрыта в y и, по-видимому, также в p_⊥ и

хорошо идентифицируемых частиц. Третье отличие

d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy). Это однозначно следует из урав-

связано с термодинамической природой обеих вели-

нения (12).

чин. В то время как μ является интенсивной величи-

Кроме того, интегрируя уравнение (9) по p_⊥,

ной, энергия является экстенсивной термодинамиче-

можно получить распределение частиц по быстро-

ской величиной.

там dN/dy как функцию быстроты y:

3.1. Зависимость химического потенциала от

=±

быстроты

(2π)³

∫

√

m² + p2⊥ ch(y)

Зависимость химического потенциала μ от быст-

p_⊥ dp_⊥.

(11)

^[m⊥ ch(y) - μ^]

роты y можно получить, используя функцию рас-

exp

±1

пределения для большого канонического ансамб-

ля [11]. Как отмечалось выше, предложенное вы-

Это еще одно выражение, по которому можно су-

ражение

(10) получается путем интегрирования

дить о применимости предложенного подхода, при-

уравнения (8). Для различных заряженных час-

чем здесь μ, определяемый уравнением (10), играет

тиц при различных значениях энергии величины,

основную роль. Так же очевидно, что кроме μ, как

полученные из этого выражения, используются во

p_⊥, так и m_⊥ являются характеристиками рассмат-

всех последующих уравнениях вплоть до уравне-

риваемой частицы. Поэтому мы полагаем, что фи-

ния (10). Как было показано в предыдущем раз-

зическую сущность зависимости dN/dy от y можно

деле, уравнение (10) можно получить, используя

получить из уравнения (11), которое соответствует

экспериментальные значения для p_⊥ [ГэВ] и для

точным экспериментальным измерениям. Если наш

d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2]. Мы предполагаем, что

подход для нахождения μ является правильным,

температура вымораживания равна T = 0.165 ГэВ

то уравнение (11) можно использовать для воспро-

для различных энергий столкновений, как видно на

изведения экспериментальных результатов. Зависи-

рис. 1. В связи с этим следует подчеркнуть, что,

мость dN/dy от энергии также определяется зави-

насколько известно авторам, не имеется доступных

симостью от y.

экспериментальных результатов для распределения

по быстротам при 64 ГэВ, с которыми можно было

бы провести сравнение.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

С другой стороны, из уравнения (10) можно по-

Напомним, что зависимости барионного химиче-

лучить прямое соотношение между μ и y, что яв-

ского потенциала от энергии пучка изучались в ра-

ляется основной целью настоящей работы. Для это-

ботах [27,28]. В настоящей работе предложен подход

го мы сначала проведем подгонку данного выраже-

для почти полностью эмпирического определения

ния к имеющимся экспериментальным данным для

зависимости химического потенциала в общем виде

наиболее центральных столкновений с p_⊥ [ГэВ] и

от быстроты для родившихся в столкновениях хоро-

d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2] для π⁺, π^- p, K⁺, K^-,

шо идентифицируемых частиц. Говоря об общем ви-

p при

√s_NN = 7.7, 11.5, 19.6, 27, 39, 130 и 200 ГэВ

де, мы имеем в виду все квантовые числа, особенно

[29], см. рис. 1. На рис. 1 приведены зависимости

607

А. Н. Тавфик, М. А. Вахаб, Х. Яссин, Х. M. Н. Эль Дин

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Таблица 1. Экспериментальные значения p_⊥ [ГэВ] и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2] для различных энергий, исполь-

зуемые в уравнении (10) для получения зависимостей, показанных на рис. 1. В самой правой колонке приведены

результаты статистической подгонки зависимости химического потенциала μ от быстроты y и подгоночных пара-

метров a и b для m_π+ = 0.140 ГэВ и g_π+ = 1

d²N

√s_NN , ГэВ

p_⊥, ГэВ

, ГэВ-2

μ = a + by², ГэВ

2πp_⊥dp_⊥dy

7.7

0.6796

12.023

(0.062 ± 0.014) + (0.109 ± 0.003)y²

11.5

0.6573

15.811

(0.06 ± 0.014) + (0.106 ± 0.003)y²

19.6

0.68

21.796

(0.062 ± 0.019) + (0.109 ± 0.003)y²

0.663

24.669

(0.061 ± 0.014) + (0.107 ± 0.003)y²

0.685

25.724

(0.062 ± 0.014) + (0.110 ± 0.003)y²

Таблица 2. То же, что и в табл. 1, но для m_π- =

0.140 ГэВ и g_π- = 1

d²N

√s_NN , ГэВ

p_⊥, ГэВ

, ГэВ-2

μ = a + by², ГэВ

2πp_⊥dp_⊥dy

7.7

0.67

11.402

(0.061 ± 0.014) + (0.108 ± 0.003)y²

11.5

0.673

16.668

(0.061 ± 0.014) + (0.108 ± 0.003)y²

19.6

0.663

21.236

(0.061 ± 0.014) + (0.107 ± 0.003)y²

0.678

23.792

(0.062 ± 0.014) + (0.109 ± 0.003)y²

0.686

25.292

(0.063 ± 0.014) + (0.110 ± 0.003)y²

Таблица 3. То же, что и в табл. 1, но для m_K+ =

0.490 ГэВ и g_K+ = 1

d²N

√s_NN , ГэВ

p_⊥, ГэВ

, ГэВ-2

μ = a + by², ГэВ

2πp_⊥dp_⊥dy

7.7

0.658

5.014

(0.073 ± 0.017) + (0.129 ± 0.004)y²

11.5

0.653

5.464

(0.073 ± 0.017) + (0.128 ± 0.004)y²

19.6

0.658

6.552

(0.073 ± 0.017) + (0.129 ± 0.004)y²

0.662

7.536

(0.074 ± 0.017) + (0.130 ± 0.004)y²

0.663

6.888

(0.074 ± 0.017) + (0.130 ± 0.004)y²

200

0.586

11.911

(0.074 ± 0.016) + (0.131 ± 0.004)y²

Таблица 4. То же, что и в табл. 1, но для m_K- =

0.490 ГэВ и g_K- = 1

d²N

√s_NN , ГэВ

p_⊥, ГэВ

, ГэВ-2

μ = a + by², ГэВ

2πp_⊥dp_⊥dy

7.7

0.658

5.014

(0.073 ± 0.017) + (0.129 ± 0.0039)y²

11.5

0.653

5.464

(0.073 ± 0.016) + (0.128 ± 0.0034)y²

19.6

0.658

6.552

(0.073 ± 0.017) + (0.129 ± 0.004)y²

0.662

7.536

(0.073 ± 0.017) + (0.129 ± 0.0039)y²

0.663

6.888

(0.073 ± 0.017) + (0.130 ± 0.004)y²

200

0.586

11.911

(0.074 ± 0.015) + (0.131 ± 0.0035)y²

608

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Почти полностью эмпирическое определение химического потенциала

Таблица 5. То же, что и в табл. 1, но для mp =

0.938 ГэВ и gp = 2

d²N

√s_NN , ГэВ

p_⊥, ГэВ

, ГэВ-2

μ = a + by², ГэВ

2πp_⊥dp_⊥dy

7.7

0.668

11.926

(0.295 ± 0.024) + (0.174 ± 0.005)y²

11.5

0.622

10.778

(0.295 ± 0.024) + (0.170 ± 0.005)y²

19.6

0.687

6.983

(0.282 ± 0.024) + (0.176 ± 0.005)y²

0.634

7.679

(0.282 ± 0.024) + (0.171 ± 0.005)y²

0.626

5.835

(0.274 ± 0.024) + (0.170 ± 0.005)y²

130

0.625

5.39

(0.272 ± 0.024) + (0.170 ± 0.005)y²

200

0.667

2.038

(0.247 ± 0.024) + (0.174 ± 0.005)y²

Таблица 6. То же, что и в табл. 5, но для mp =

0.938 ГэВ и gp = 2

d²N

√s_NN, ГэВ

p_⊥, ГэВ

, ГэВ-2

μ = a + by², ГэВ

2πp_⊥dp_⊥dy

7.7

0.63

0.098

(0.162 ± 0.024) + (0.171 ± 0.0055)y²

11.5

0.641

0.362

(0.198 ± 0.024) + (0.172 ± 0.0056)y²

19.6

0.687

0.944

(0.227 ± 0.024) + (0.176 ± 0.0057)y²

0.621

1.362

(0.234 ± 0.024) + (0.170 ± 0.0056)y²

0.662

1.803

(0.243 ± 0.024) + (0.174 ± 0.0057)y²

130

0.625

3.840

(0.263 ± 0.024) + (0.171 ± 0.005)y²

200

0.625

0.193

(0.180 ± 0.024) + (0.171 ± 0.005)y²

, ГэВ

2.5

7.7 GeV

11.5 GeV

2.0

19.6 GeV

2.0

19.6 GeV

2.0

K⁺

19.6 GeV

27 GeV

39 GeV

130 GeV

200 GeV

1.5

200 GeV

1.5

200 GeV

1.5

1.0

0.5

–4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

2.5

7.7 GeV

11.5 GeV

2.0

11.5 GeV

2.0

11.5 GeV

2.0

19.6 GeV

K^-

19.6 GeV

27 GeV

39 GeV

1.5

200 GeV

1.5

1.0

0.5

–4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

–4

-3

-2

-1

Рис. 1. Зависимости химического потенциала μ от быстроты y для π⁺, π-, K+, K-, p, p. Символы соответствуют резуль-

татам, полученным с помощью уравнения (10). Использованы экспериментальные результаты коллаборации STAR [29],

p_⊥ [ГэВ] и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2] при

√sNN = 7.7, 11.5, 19.6, 27, 39, 130, 200 ГэВ, кривые представляют результаты

статистической подгонки, см. уравнения (12)-(17) и табл. 1-6

609

ЖЭТФ, вып. 4

А. Н. Тавфик, М. А. Вахаб, Х. Яссин, Х. M. Н. Эль Дин

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

химического потенциала μ от быстроты y. Символы

Очевидно, что для каждой частицы и соответст-

соответствуют результатам, полученным с помощью

вующей ей античастицы используется одно выраже-

уравнения (10). Использованы экспериментальные

ние. Также очевидно, что это универсальное выра-

результаты коллаборации STAR [29], p⊥ [ГэВ] и

жение не зависит от энергии столкновений. Это мы

d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2] для π⁺, π^-, K⁺, K^-, p, p

уже отмечали ранее. Однако, как говорилось вы-

при

√s_NN = 7.7, 11.5, 19.6, 27, 39, 130, 200 ГэВ, кри-

ше в предыдущих разделах, зависимость от энер-

вые представляют результаты статистической под-

гии скрыта в y среди других величин. При перехо-

гонки, см. уравнения (12)-(17) и табл. 1-6.

де к другому значению энергии процедура повторя-

Необходимо подчеркнуть, что в работе [29] явно

ется. Соответственно, результирующие зависимости

не учитывались экспериментальные результаты для

химического потенциала μ от быстроты y для каж-

быстрот. Действительно, там используются только

дой частицы можно записать следующим образом.

результаты для распределений по поперечному им-

• Для π

пульсу, p_⊥[ГэВ] и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2]. Именно

они входят в наши вычисления, которые мы прово-

μ = (0.06 ± 0.001) + (0.109 ± 0.01)y².

(12)

дим на основании уравнения (10). Другими слова-

ми, говоря об экспериментальных результатах для

• Для π^-

различных родившихся частиц, мы имеем в виду

вычисления, основанные на экспериментально изме-

μ = (0.06 ± 0.001) + (0.109 ± 0.01)y².

(13)

ренных поперечных импульсах этих частиц, родив-

шихся в наиболее центральных столкновениях. От-

• Для K⁺

метим еще раз, что сначала, чтобы получить точ-

ки, изображенные на рис. 1, мы используем урав-

μ = (0.07 ± 0.001) + (0.13 ± 0.001)y².

(14)

нение (10). А затем, чтобы получить зависимости

μ от y для различных частиц при различных энер-

гиях, подгоняем полученные результаты, используя

• Для K^-

выражения (12)-(17), см. табл. 1-6.

μ = (0.07 ± 0.001) + (0.13 ± 0.001)y².

(15)

Для статистической подгонки используются зна-

чения p_⊥ [ГэВ] и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2] при раз-

• Для p

личных энергиях, см. табл. 1-6. Полученные в ре-

зультате этого зависимости химического потенци-

μ = (0.28 ± 0.001) + (0.17 ± 0.001)y².

(16)

ала μ от быстроты y для отдельных частиц при-

ведены на рис. 1. Подчеркнем еще раз, что, ис-

пользуя экспериментальные результаты для наи-

• Для p

более центральных столкновений для p_⊥ [ГэВ] и

μ = (0.28 ± 0.001) + (0.17 ± 0.001)y².

(17)

d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2], можно найти зависи-

мость μ(y) с помощью уравнения (10).

Процедура установления зависимости между хи-

Очевидно, что в соответствии с этими результата-

мическим потенциалом μ и быстротой y следующая.

ми мы должны считать, что каждая частица долж-

на иметь определенное значение химического по-

• Подставляем экспериментальные значения

тенциала μ при определенном значении быстроты

p_⊥ [ГэВ] и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy)[ГэВ-2] для наи-

y [17, 22]. С учетом этого важно отметить, что каж-

более центральных столкновений [29, 30], см.

дое из этих выражений, по-видимому, не зависит от

табл. 1-6, в уравнение (10).

энергии столкновений и одинаково для частиц и со-

ответствующих им античастиц.

• Затем строим зависимости μ от y, как показа-

Основываясь на этом результате, продолжим на-

но на рис. 1.

ши рассуждения. Мы предлагаем более универсаль-

ное выражение, объединяющее предыдущие, т. е.

• И наконец, получаем выражения для каждой

определяющее универсальную зависимость химиче-

родившейся частицы, см. табл. 1-6.

ского потенциала μ от быстроты y для всех частиц

Эта процедура представляет собой процесс подгон-

при любых энергиях:

ки, используемый для получения зависимостей μ(y)

μ=a+by²,

(18)

в общем виде.

610

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Почти полностью эмпирическое определение химического потенциала

где a и b — параметры, измеряемые в МэВ, слегка

s_NN, ГэВ

отличающиеся от приведенных в табл. 1-6 и входя-

1000

щих в уравнение (10). Этот результат является ос-

новным результатом настоящей работы. В разд. 3.3

мы рассмотрим, почему это выражение справедли-

K⁺

во при любых энергиях и хорошо воспроизводит

100

K^-

все экспериментальные результаты распределений

по быстротам, а именно, зависимости dN/dy от y. Из

уравнения (18) следует, что при обращении быстро-

[27]

ты в нуль химический потенциал может принимать

конечное значение, μ = a.

3.2. Зависимость результирующего

химического потенциала от энергии

100

200

300

400

500

600

700

, МэВ

Связь энергии пучка с быстротой можно пара-

метризовать следующим образом:

Рис. 2. Зависимости (в полулогарифмическом масштабе)

√sNN от μ для π⁺, π^-, K⁺, K^-, p, p в сравнении с

√s_NN = c y^d,

(19)

результатом, полученным с помощью термической моде-

ли [27,31]

где c и d — параметры, зависящие от типа частиц.

Приведем значения параметров c и d для различных

типов частиц.

где показатель d/2, который зависит от типа частиц,

можно аппроксимировать как -1.165.

• Для π⁺

На рис. 2 приведены зависимости для π⁺, π^-,

c = 22.1489±0.9584ГэВ, d = -1.4167±0.1232.

K⁺, K^-, p, p, см. уравнение (18), в сравнении с ре-

зультатом, полученным с помощью термической мо-

• Для π^-

дели [27]. На рисунке видно, что зависимости для

пиона и каона практически одинаковые, тогда как

c = 22.0629±0.9154ГэВ, d = -1.4141±0.1175.

для протона и антипротона зависимости от энергии

несколько более быстрые. Однако различиями в ре-

• Для K⁺

зультатах, полученных с помощью разных вычис-

лений, можно пренебречь. Во-первых, в настоящей

c = 18.075± 1.08 ГэВ, d = -1.2561± 0.1179.

работе рассматривается химический потенциал в об-

щем виде, в то время как выражение, основанное

• Для K^-

на термической модели [11, 27, 31], получено только

для барионов. Во-вторых, в настоящей работе рас-

c = 18.0749± 1.081 ГэВ, d = -1.256± 0.118.

сматриваются отдельные частицы и их быстроты, а

также поперечные компоненты массы и импульса,

• Для p

в то время как работы [27, 31] основаны на термо-

динамике ансамбля в объеме — идеального газа с

c = 7.1244 ± 0.001 ГэВ, d = -0.3707± 0.0001.

различными компонентами, а в работе [11] рассмат-

ривается резонансный адронный газ. Сравнивая оба

• Для p

выражения, мы видим, что в результате получают-

ся практически одинаковые зависимости от энергии,

c = 9.2277 ± 0.001 ГэВ, d = -0.9719± 0.0001.

во всяком случае качественно. Небольшое различие

можно отнести на счет источника и природы хими-

Подставляя уравнение (18) в уравнение (19), по-

ческого потенциала.

лучаем

Подводя итог, еще раз подчеркнем, что мы рас-

сматриваем химический потенциал в общем виде.

⁽μ [МэВ] - a)d/2

Для родившихся частиц, которые мы учитываем,

√s_NN [ГэВ] = c

(20)

рассматриваются как барионный, так и странный

611

А. Н. Тавфик, М. А. Вахаб, Х. Яссин, Х. M. Н. Эль Дин

ЖЭТФ, том 157, вып. 4,

2020

dN/dy

2 GeV

2.83 GeV

4 GeV

-2.0

-1.0

1.0

2.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

120

200

5.4 GeV

7.6 GeV

17.3 GeV

100

150

100

-4

-3

-2

-1

-3

-2

-1

-3

-2

-1

200

300

17.3 GeV

200 GeV

140

60GeV

250

120

150

200

100

150

100

-3

-2

-1

-4

-2

-3

-2

-1

200 GeV

Рис. 3. Зависимости распределения по быстротам dN/dy

от быстроты y для π⁺ (для π^- получается почти такой

же результат), полученные в наиболее центральных столк-

новениях в энергетическом диапазоне 2-200 ГэВ [32-36].

Экспериментальные результаты показаны точками, резуль-

таты вычислений на основании уравнения (11) — кривыми

-4

-2

химические потенциалы. Следствием этого может

3.3. Проверка

быть небольшое различие в результатах для каонов

Один из вариантов проверки был рассмотрен в

и протонов, см. рис. 2 и уравнение (20).

предыдущем разделе. Поэтому мы начнем с уравне-

ния (18), в которое подставим химический потенци-

Подгоночные параметры, полученные из урав-

ал μ, определяемый из уравнения (19). Параметры,

нения (20), практически не различаются для час-

входящие в уравнение (19), приведены в табл. 1-6.

тиц и античастиц. Это можно объяснить небольшой

Очевидно, что для разных частиц они разные. Дру-

разницей измеряемых величин, а именно, m_⊥ [ГэВ],

гими словами, зависимость μ от y просто задается

p_⊥ [ГэВ] и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) [ГэВ-2], см. [29]. С

параметрами a и b, которые в свою очередь зависят

другой стороны, этот результат хорошо согласует-

от типа рассматриваемой частицы. Наконец, резуль-

ся с результатом, полученным с помощью термо-

таты, полученные с помощью уравнения (20), при-

статистической модели, где абсолютный химиче-

ведены на рис. 2. Они хорошо согласуются с резуль-

ский потенциал тождествен для частиц и античас-

татами вычислений, полученными в рамках терми-

тиц.

ческой модели [27].

612

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Почти полностью эмпирическое определение химического потенциала

dN/dy

62.4 GeV,

130 GeV ,

K⁺

K^-

K⁺

-4

-2

-4

-2

-4

-2

0.12

200 GeV ,

0.1

130 GeV ,

K⁺

K^-

0.08

0.06

0.04

0.02

-4

-2

-6

-4

-2

-4

-2

Рис. 4. Зависимости распределения по быстротам dN/dy от быстроты y для K⁺ и K^- при

√sNN = 62.4, 130 и 200 ГэВ

[32, 33, 37, 38]. Экспериментальные результаты показаны точками, результаты вычислений — кривыми

В данном разделе мы обсудим еще один вари-

[32, 33, 37, 38]. Как и ранее, видно хорошее согласие

ант проверки. Сравним экспериментальные зависи-

результатов наших вычислений с эксперименталь-

мости dN/dy от y с результатами наших вычислений

ными.

на основании уравнения (11). Как и в разд. 2.1, для

На рис. 5 представлены зависимости распре-

этих вычислений химический потенциал μ, опреде-

деления по быстротам dN/dy от быстроты y для

ляемый из уравнения (10), играет важную роль. По-

протона (для антипротона получается почти такой

мимо μ, рассматриваемую частицу характеризуют

же результат) при различных значениях энергии

соответствующие поперечные компоненты импуль-

[32, 39, 40]. Мы снова видим, что результаты, полу-

са и массы p_⊥ и m_⊥. Сравнение результатов наших

ченные с помощью уравнения (11), прекрасно согла-

вычислений с экспериментальными зависимостями

суются с результатами изменений для барионных

dN/dy от y, измеренными очень точно, может под-

частиц при различных значениях энергии.

твердить или опровергнуть справедливость предло-

Как видно на рис. 3-5, имеется прекрасное со-

женного подхода. Если наш подход для вычисления

гласие между экспериментальными результатами и

μ (уравнение (11)) верен, то результаты вычислений,

результатами наших вычислений на основании урав-

в которых не проводится статистической подгонки,

нения (11) для всех частиц при различных значе-

должны хорошо согласовываться с эксперименталь-

ниях энергии. Помимо экспериментальных резуль-

ными результатами.

татов, важны значения химического потенциала μ,

На рис. 3 представлены зависимости распреде-

полученные из уравнения (10). Таким образом, мож-

ления по быстротам dN/dy от быстроты y для π⁺

но сделать вывод, что на основании нашего подхода

(для π^- получается почти такой же результат), по-

(уравнения (10) и (11)) можно почти полностью эм-

лученные в наиболее центральных столкновениях в

пирически получить значение химического потенци-

энергетическом диапазоне 2-200 ГэВ (показаны точ-

ала.

ками [32-36]). Вычисления, основанные на уравне-

Следует отметить, что экспериментальные зави-

нии (11), показаны кривыми. Видно, что при любых

симости (точки) на последнем рис. 5 демонстрируют

значениях энергии результаты хорошо согласуются.

два максимума, в то время как расчетные кривые —

На рис. 4 представлены зависимости распреде-

только один, и это является единственным несо-

ления по быстротам dN/dy от быстроты y для K⁺

ответствием. Аналогичная картина наблюдается на

и K^- в диапазоне энергий от 62.4 до 200 ГэВ

последнем рис. 3. Подчеркнем, что в соответствии

613

А. Н. Тавфик, М. А. Вахаб, Х. Яссин, Х. M. Н. Эль Дин

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

dN/dy

100

2 GeV

2.83 GeV

3.46 GeV

-2.0-1.5-1.0-0.5

0.5 1.0 1.5 2.0

–2.0-1.5-1.0-0.5

0.5 1.0 1.5

2.0

-2.0-1.5-1.0-0.5

0.5 1.0 1.5 2.0

4.65 GeV

4 GeV

4.58 GeV

-2.0-1.5-1.0-0.5

0.5 1.0 1.5 2.0

–2.0-1.5-1.0-0.5

0.5 1.0 1.5 2.0

-2.0-1.5-1.0-0.5

0.5 1.0 1.5 2.0

dN/dy

5.4 GeV

200 GeV

–2.0-1.5-1.0-0.5

0.5 1.0 1.5 2.0

-10

-5

Рис. 5. То же, что на рис. 3, но для протона (для антипротона получается почти такой же результат)

с целью настоящей работы кривые получены толь-

ях наиболее центральными столкновениями. Цент-

ко на основании уравнения (11), в частности, мы не

ральность при разных измерениях и в разных экс-

проводили никаких статистических подгонок. Кро-

периментах может быть различной, это могут быть

ме того, отметим, что результаты, приведенные на

столкновения с центральностью 0-5 % или 0-10 %.

рисунках, на которых наблюдается несоответствие,

Мы рассматривали наиболее центральные.

получены для самых высоких доступных энергий.

Основываясь на экспериментальных результатах

Пока мы не можем этого объяснить, но изучению

по измерению p_⊥ и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy) для родив-

этого факта следует посвятить отдельное исследо-

шихся в столкновениях хорошо распознаваемых час-

вание.

тиц — пионов, каонов, протонов, а также их ан-

тичастиц, можно найти зависимости соответствую-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

щих химических потенциалов от быстроты. В свою

Несмотря на имеющиеся ограничения, связан-

очередь, это дает возможность предложить уни-

ные с наличием и доступностью эксперименталь-

версальное выражение, связывающее эти величины

ных данных по определению p_⊥ и d²N/(2πp_⊥dp_⊥dy),

друг с другом, независимо от типа родившейся час-

мы смогли использовать результаты измерений при

тицы, ее энергии и размера столкновительной систе-

различных значениях энергии. Это дало возмож-

мы, μ = a + by², где a и b — параметры. Результа-

ность подтвердить справедливость предложенного

ты вычислений зависимости энергии центра масс по

нами подхода для описания подобных эксперимен-

формуле

√s_NN = c[(μ - a)/b]d/2, где c и d — пара-

тов, а также показать, что зависимость химического

метры, также прекрасно согласуются с результата-

потенциала μ от быстроты y важна и является уни-

ми, полученными с помощью термо-статистической

версальной. Мы ограничились в наших вычислени-

модели.

614

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Почти полностью эмпирическое определение химического потенциала

В настоящей работе мы не обсуждаем сохране-

A. Tawfik, Phys. Rev. C 88, 035203 (2013).

ние. Причина этого заключается в том, что из-за

A. Tawfik, Nucl. Phys. A 922, 225 (2014).

строгих ограничений в рамках нашего подхода мы

рассматриваем только отдельные частицы. С дру-

A. Tawfik, Adv. High Energy Phys. 2013, 574871

гой стороны, экспериментальные измерения очевид-

(2013).

ным образом ограничены чувствительностью детек-

A. Tawfik, Nucl. Phys. A 764, 387 (2006).

торов, а также диапазонами быстрот и поперечных

импульсов и т. д. Предположение об общем равно-

A. Tawfik, Europhys. Lett. 75, 420 (2006).

весии, по-видимому, не противоречит предложенно-

A. Tawfik, J. Phys. G 31, S1105 (2005).

му подходу, который ограничивается рассмотрением

только химических потенциалов отдельных частиц.

10.

J. P. Bondorf, S. Garpman, and J. Zimanyi, Nucl.

Убедительное согласие между результатами на-

Phys. A 296, 320 (1978).

ших вычислений химических потенциалов для сред-

11.

A. N. Tawfik, Int. J. Mod. Phys. A 29, 1430021

них быстрот и соответствующими результатами, по-

(2014).

лученными в рамках статистических моделей, см.

рис. 2, является хорошей мотивацией для того, что-

12.

J. Letessier, J. Rafelski, and A. Tounsi, Phys. Rev.

бы попытаться получить соответствующие темпера-

C 50, 406 (1994).

туры, в частности, температуру химического вымо-

13.

J. Adam et al., (ALICE Collaboration), Nature Phys.

раживания. Эта задача требует отдельного иссле-

13, 535 (2017).

дования. Следует подчеркнуть, что в наших вычис-

лениях температура (температура вымораживания)

14.

J. Cleymans and K. Redlich, Phys. Rev. Lett. 81,

предполагается постоянной, что также ограничива-

5284 (1998).

ет наш подход.

15.

V. Magas and H. Satz, Eur. Phys. J. C 32, 115 (2003).

Основным результатом настоящей работы явля-

ются выражения (10) и (11). Очевидно, что они по-

16.

S. Uddin, J. S. Ahmad, W. Bashir, and R. A. Bhat,

лучены для отдельных частиц, в частности, для тех,

J. Phys. G 39, 015012 (2012).

которые можно точно детектировать. Таким обра-

17.

F. Becattini, J. Cleymans, and J. Strumpfer, PoS

зом, предложенный подход позволяет получить ло-

CPOD07, 012 (2007).

кальный химический потенциал. Поскольку мы счи-

таем, что имеет место глобальное равновесие, полу-

18.

F. Becattini and J. Cleymans, J. Phys. G 34, S959

ченные результаты, очевидно, хорошо согласуются

(2007).

с энергетической зависимостью химического потен-

19.

J. Cleymans, J. Phys. G 35, 044017 (2008).

циала μ, полученной в рамках термо-статистической

модели идеального газа для адронного резонансно-

20.

J. Cleymans, J. Strumpfer, and L. Turko, Phys. Rev.

го газа [27, 28]. Более того, прекрасное согласие с

C 78, 017901 (2008).

экспериментальными зависимостями dN/dy от y для

21.

S. Uddin, J. S. Ahmad, M. A. Bashir, and R. A. Bhat,

всех частиц при различных энергиях подтверждает

Acta Physica Polon. B 41, 2433 (2010).

справедливость уравнения (11), в котором главную

роль играет химический потенциал μ, полученный

22.

S. Uddin, M. Ali, J. Shabir, and M. F. Mir, arXiv:

из уравнения (10).

0911.0246.

23.

S. Uddin, M. Ali, J. Shabir, and M. Farooq Mir,

arXiv:0901.1376.

ЛИТЕРАТУРА

24.

J. Letessier and J. Rafelski, Hadrons and

1. B. B. Back et al. (PHOBOS Collaboration), Phys.

Quark-Gluon Plasma, Cambridge University

Rev. C 65, 061901 (2002).

Press (2004).

2. S. Ahmad, A. Ahmad, A. Chandra, M. Zafar, and

25.

A. Tawfik, Phys. Rev. D 71, 054502 (2005).

M. Irfan, Adv. High Energy Phys. 2013, 836071

(2013).

26.

A. Tawfik, E. Gamal, and A. G. Shalaby, Int. J. Mod.

Phys. A 30, 1550131 (2015).

3. A. Tawfik, M. Y. El-Bakry, D. M. Habashy, M. T. Mo-

hamed, and E. Abbas, Int. J. Mod. Phys. E 25,

27.

A. N. Tawfik and E. Abbas, Phys. Part. Nucl. Lett.

1650018 (2016).

12, 521 (2015).

615