ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 4, стр. 655-660
© 2020
ЗАДЕРЖКА КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
КОРРЕЛЯЦИЙ В МАГНИТНЫХ НАНОСТРУКТУРАХ
М. Ю. Барабаненковa*, Д. В. Калябинb,c, С. А. Никитовb,c,d**
a Институт проблем технологии микроэлектроники и особочистых материалов Российской академии наук
142432, Черноголовка, Московская обл., Россия
b Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова Российской академии наук
125009, Москва, Россия
c Московский физико-технический институт (исследовательский университет)
141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия
d Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
410012, Саратов, Россия
Поступила в редакцию 14 августа 2019 г.,
после переработки 14 августа 2019 г.
Принята к публикации 26 сентября 2019 г.
Квантовые одновременные корреляции между двумя спинами в магнитных наноструктурах рассматри-
ваются в модели линейной цепочки из конечного числа атомов с обменным взаимодействием между
спинами электронов соседних атомов согласно теории ферромагнетизма Гейзенберга. Предполагается,
что в начальном состоянии спины всех атомов цепочки, кроме первого, ориентированы вдоль одно-
го направления. Спин первого атома опрокинут. Вследствие обменного взаимодействия, это начальное
состояние порождает волну опрокидывания спинов вдоль цепочки. Найденные выражения для неста-
ционарных квантовых амплитуд волн вероятности опрокидывания спинов применяются к вычислению
квантовых корреляций между двумя спинами, пространственно удаленными друг от друга в цепочке.
Численные расчеты коррелятора спинов показали, что корреляция двух спинов цепочки наступает с
задержкой порядка времени распространения обменного взаимодействия вдоль цепочки спинов. После
задержки амплитуда корреляции спинов резко возрастает с последующим осцилляторным временным
поведением.
DOI: 10.31857/S0044451020040082
в терагерцевой области спектра [4, 5]. Технология
создания магнитных наноструктур позволяет вы-
ращивать ферро- и антиферромагнитные пленки с
1. ВВЕДЕНИЕ
толщиной порядка десятков и единиц нанометров, а
В последние годы интерес многих научных групп
электронная литография — создавать двумерные и
даже одномерные ансамбли наноэлементов на осно-
направлен на интенсивные исследования магнитных
микро- и наноструктур [1-3]. Это связано как с тем,
ве таких пленок. За счет анизотропии формы каж-
дый из элементов наноструктур может иметь вы-
что в таких структурах, особенно на наноуровне,
возникают новые, ранее не изученные эффекты, так
деленный магнитный момент. Это позволяет созда-
и с попытками применения этих эффектов для со-
вать и исследовать распределенные структуры при
здания новой компонентной базы наноэлектроники.
импульсном воздействии магнитного поля [6], либо
В частности, динамические эффекты, связанные с
даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Дру-
переносом магнитного момента в магнитных нано-
гой важный момент при описании моделей и свойств
структурах, могут приводить к генерации электро-
подобных структур заключается в том, что динами-
ка намагниченности основывается на решении урав-
магнитного излучения в микроволновой и, особенно,
нения Ландау - Лифшица [7] для макроспина, т. е.
* E-mail: barab@iptm.ru
вместо анализа индивидуальных магнитных момен-
** E-mail: nikitov@cplire.ru
655
М. Ю. Барабаненков, Д. В. Калябин, С. А. Никитов
ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020
тов используется непрерывная функция магнитно-
Для простоты учитывается только один электрон в
го момента, которая представляет собой локально
каждом атоме, участвующий в обменном взаимодей-
усредненную плотность магнитных моментов по фи-
ствии. Гамильтониан H заменяется гамильтонианом
зически бесконечно малому объему [8]. Как было
Гейзенберга обменного взаимодействия
показано недавно в нашей работе [9], для магнит-
∑∑
ных структур с размером порядка 10 нм, особен-
HW = -I
Si · Si+δi .
(2)
но 1 нм, использованные ранее методы и получен-
i=1
δi
ные результаты могут быть некорректны. В [9] мы
рассматривали проблему квантовых флуктуаций в
Здесь I — интеграл обменного взаимодействия и
магнитных наноструктурах в виде конечной линей-
Si — оператор вектора спина электрона i-го атома
ной цепочки атомов с обменным взаимодействием
в единицах постоянной Планка - Дирака ℏ. Первая
между спинами электронов соседних атомов соглас-
сумма в правой части (2) берется по всем атомам
но теории ферромагнетизма Гейзенберга. Для про-
цепочки, вторая — по ближайшим соседям с индек-
стоты учитывался только один электрон в каждом
сами δ1 = 1, δN = -1 и δi = ±1 для 1 < i < N.
атоме, участвующий в обменном взаимодействии.
Решение ΨW (t) уравнения (1) с гамильтонианом (2)
Предполагалось, что в начальном состоянии спины
ищется в виде разложения
всех атомов цепочки, кроме первого, ориентирова-
∑
ны в одном направлении. Спин первого атома опро-
ΨW(t) = aℓ(t)Ψℓ.
(3)
кинут. Это начальное состояние порождало вслед-
ℓ=1
ствие обменного взаимодействия волну опрокиды-
вания спинов вдоль цепочки. Аналитические выра-
Здесь Ψℓ — стационарная волновая функция ансам-
жения для нестационарных квантовых амплитуд ве-
бля атомов, в котором все атомы цепочки, кроме
роятностей опрокидывания спинов использовались
ℓ-го, имеют спины, ориентированные вдоль поло-
в [9] для исследования электромагнитного излуче-
жительного направления оси z, а спин ℓ-го атома
ния, порожденного волной опрокидывания спинов.
опрокинут. Нестационарные амплитуды вероятно-
При этом были вычислены среднее по квантовому
стей aℓ(t) удовлетворяют системе дифференциаль-
ансамблю электромагнитное излучение и его кван-
ных уравнений
товые флуктуации.
da1(t)
В настоящей статье описанная выше физическая
iℏ
= E0a1(t) + I [a1(t) - a2(t)] ,
(4a)
dt
модель применяется к актуальной проблеме пере-
путанных состояний атомных систем и квантовых
корреляций (см., например, обзор [10] и список ли-
daℓ(t)
iℏ
= E0aℓ(t) + I [2aℓ(t) - aℓ-1(t) -
тературы в нем). Фактически, рассматривается про-
dt
блема одновременных квантовых корреляций меж-
- aℓ+1(t)] ,
1<ℓ<N,
(4b)
ду двумя спинами в магнитной наноструктуре. Осо-
бое внимание уделяется случаю квантовых корреля-
daN (t)
ций пространственно-удаленных спинов.
iℏ
= E0aN(t) + I [aN(t) - aN-1(t)] ,
(4c)
dt
= -(1/2)I(N -1) является собственной энер-
где E0
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ
гией основного состояния системы с гамильтониа-
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КВАНТОВЫХ
ном (2), когда все спины ориентированы вдоль по-
АМПЛИТУД ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ложительного направления оси z. Вывод системы
ОПРОКИДЫВАНИЯ СПИНОВ
уравнений (4) дан в работе [9].
Мы исходим из нестационарного уравнения
Шредингера
2.1. Собственные моды и частоты квантовых
∂Ψ
iℏ
=HΨ
(1)
амплитуд
∂t
для ансамбля N атомов, расположенных в виде ли-
Решение системы уравнений (4) получено в [9] в
нейной цепочки вдоль оси x прямоугольной систе-
виде монохроматических волн
мы координат x, y, z, с обменным взаимодействи-
∑
ем между спинами электронов соседних атомов, со-
aℓ(t) =
fνℓ exp(-iωνt)
(5)
гласно теории ферромагнетизма Гейзенберга [11].
ν=1
656
ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020
Задержка квантовых пространственных корреляций. ..
с амплитудами fνℓ вероятностей опрокидывания
Индекс «∗» в (10) означает комплексно-сопряжен-
спинов
ную величину. Подстановка амплитуд вероятностей
[
]
опрокидывания спинов (5) в исходное разложение
fνℓ = (-1)ℓ-1
Cν exp(iℓθν) +
C-ν exp(-iℓθν) ,
(6)
(3) решения уравнения Шредингера (1) с гамильто-
нианом Гейзенберга (2) дает
N
C±ν = C±ν, ν = 1, . . .,
- 1,
2
∑
(nampla)
Eνt
1
ΨW(t) = Fν exp
,
(12)
C±N/2 =
CN/2.
iℏ
2
ν=1
Здесь
∑
Fν =
fνℓΨℓ, Eν = ℏων,
a1(0)
(12a)
Cν =
exp(-iθν) (1 - exp(-iθν)) ,
ℓ=1
N
(7)
HWFν = EνFν.
2a1(0)
CN/2 = -
N
Согласно последнему равенству, функции Fν явля-
ются собственными функциями гамильтониана Гей-
Дискретный спектр волновых чисел и собственных
зенберга с собственными энергиями Eν, что являет-
частот дается соотношениями
ся некоторой альтернативой методу, известному как
2πν
подстановка Бете (Bethe ansatz) [14, 15].
ων = ω0 + ωW cosθν, θν =
,
N
Отметим, что стационарные волновые функции
(
)
(8)
N
N
Ψℓ состояния цепочки спинов с одним опрокинутым
ν = 0,±1,±2,...,±
-1
,
,
2
2
спином удовлетворяют условию ортогональности
где ω0 = (E0 +2I)/ℏ; характерная частота ωW имеет
(Ψℓ, Ψℓ′ ) = δℓℓ′ ,
(13)
величину порядка частоты, с которой два электро-
на в молекуле обмениваются своими местами, ωW =
где (. . . , . . .) означает скалярное произведение в
= 2I/ℏ [12]. Заметим, что решение (5) системы урав-
функциональном пространстве Гильберта. Из двух
нений (4) получено без использования периодиче-
условий ортогональности (10) и (13) следует условие
ских граничных условий. Тем не менее, полученный
ортогональности для собственных функций гамиль-
дискретный спектр (8) волновых чисел такой же,
тониана Гейзенберга
как и при периодических граничных условиях. Фак-
тически это означает представление решения систе-
(Fν , F′ν ) = gν δνν′ .
(14)
мы уравнений (4) в виде разложения по использу-
Это условие ортогональности позволяет вычислить
емой в квантовой теории твердых тел [13] системе
норму нестационарной волновой функции (12) из
собственных функций exp(iℓθν ), где ℓ = 1, 2, . . . , N,
при предположении, что число атомов N цепочки —
волн опрокидывающихся спинов с физически оче-
видным результатом
четное. Фактически, коэффициенты (7) получены
при начальном условии
(ΨW (t), ΨW (t)) = (ΨW (0), ΨW (0)) = 2|a1(0)|2
(15)
a1(0) = a2(0), a3(0) = a4(0) = . . . = aN (0) = 0.
(9)
Норма (15) означает также, что
2.2. Собственные моды и собственные
∑
частоты гамильтониана Гейзенберга
|aℓ(t)|2 = 2|a1(0)|2.
(16)
ℓ=1
Амплитуды (6) удовлетворяют условию ортого-
нальности
В дальнейшем мы полагаем 2|a1(0)|2 = 1.
∑
fνℓf∗ν′ℓ = gνδνν′ ,
(10)
3. КВАНТОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ
ℓ=1
Среднее 〈L〉 некоторого оператора L с волновой
4
N
gν =
|a1(0)|2(1- cos θν ), ν = 1, . . . ,
-1,
функцией ΨW (t) вычисляется как
N
2
(11)
4
gN/2 =
|a1(0)|2.
〈L(t)〉 = (LΨW (t), ΨW (t)) .
(17)
N
657
6
ЖЭТФ, вып. 4
М. Ю. Барабаненков, Д. В. Калябин, С. А. Никитов
ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020
Согласно этой формуле мы получаем, в частности,
, отн. ед.
0
∑
, отн. ед.
, отн. ед.
〈Smz(t)〉 =
aℓ(t)a∗ℓ′ (t)(SmzΨℓ, Ψℓ′ ).
(18)
-0.2
30
1200
ℓ,ℓ′=1
а
б
20
900
–0.4
10
600
Использование соотношений
0
300
1
1
-0.6
-10
0
SmzΨm = -
Ψm, SmzΨℓ|ℓ=m =
Ψℓ
(19)
-20
-300
2
2
-0.8
-30
–600
дает
0
0.1
0.2
0
0.5
1.0
1.5
1
t, пс
t, пс
–1.0
〈Smz (t)〉 =
- |am(t)|2.
(20)
0
10
20
30
35
2
t, пс
Аналогично получается, что
Рис. 1. Расчет временной зависимости коррелятора (25)
1
1
1
〈Smz (t)Snz(t)〉m=n =
-
|am(t)|2-
|an(t)|2.
(21)
соседних m = 5 и n = 6 спинов цепочки из N = 1000
4
2
2
спинов атомов Fe. На вставках а и б показаны два пика-
Одновременную корреляционную функцию двух
антипика на временах до 1.3 пс
спинов зададим коррелятором вида
В частности,
Fm=n (Smz(t)Snz(t)) = 〈Smz(t)Snz(t)〉-
- 〈Smz(t)〉〈Snz (t)〉.
(22)
|aℓ(t)|2|N≫1 ≈
[
]
Этот коррелятор вычисляется на основе равенств
≈ |a1(0)|2
J2ℓ-1(ωW t) + J2ℓ-2(ωW t)
(27)
(20), (21) как
Здесь Jℓ(x) обозначает функцию Бесселя. Подста-
новка асимптотики в (25) дает
Fm=n (Smz(t)Snz(t)) = -|am(t)|2|an(t)|2,
(23)
F (Smz (t)Snz(t))N≫1 ≈
а при m = n дает флуктуацию спинов
1
J2n-1(ωW t) + J2n-2(ωW t)
[
]
(28)
Fm (Smz(t)) = 〈Smz(t)Smz(t)〉-〈Smz(t)〉〈Smz(t)〉 =
≈-2 1-
J2m-1(ωW t) + J2m-2(ωW t)
/2
(
)
= |am(t)|2
1 - |am(t)|2
(24)
Учитывая, что значение индекса m мало, получаем,
что знаменатель правой части (28) имеет асимпто-
Из выражений (23), (24) конструируется нормиро-
тику
ванный коррелятор
[
]
2
J2m-1(ωW t) + J2m-2(ωW t)ω
≈
,
(29)
Fm=n (Smz(t)Snz(t))
W t≫1
πωW t
F (Smz(t)Snz (t)) =
=
Fm (Smz(t))
которая получается из асимптотики функции Бес-
2
|an(t)|
=-
(25)
селя при большом аргументе и фиксированном ин-
1 - |am(t)|2
дексе. Подставляя (29) в (28), получаем
F (Smz (t)Snz(t)) N≫1
≈
4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КВАНТОВЫЕ
ωWt≫1
КОРРЕЛЯЦИИ В ДЛИННОЙ ЦЕПОЧКЕ
1
[
]
≈-
J2n-1(ωW t) + J2n-2(ωW t)
(30)
2
Рассмотрим нормированный коррелятор (25) в
случае достаточно длинной цепочки спинов N ≫ 1.
Пусть спин с номером m находится близко к началу
5. ЗАДЕРЖКА НАСТУПЛЕНИЯ
цепочки, а спин с номером n расположен близко к
КОРРЕЛЯЦИИ
ее концу. В случае большого числа спинов в цепочке
На рис.
1,
2
представлены результаты чис-
амплитуды (5) имеют асимптотику
ленных расчетов зависимости величины нормиро-
[
]
ванного коррелятора
(25) от времени для слу-
1
π(ℓ - 1)
aℓ(t)N≫1 ≈ (-1)ℓ-1 exp -i
×
чая цепочки атомов железа, состоящей из N
=
a1(0)
2
= 1000 атомов. При величине обменного интегра-
× exp(-iω0t)[Jℓ-1(ωW t) - iJℓ-2(ωW t)] .
(26)
ла I(Fe)
= -1.21 · 10-14 эрг [8] для атомов Fe
658
ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020
Задержка квантовых пространственных корреляций. ..
, отн. ед.
, отн. ед.
, отн. ед.
2
0
0
а
tdelay
, отн. ед.
–0.05
б
-0.002
в
0
tdelay
-0.10
tdelay
–0.004
-2
-0.15
-0.006
t, пс
–4
–0.20
-0.008
0.2
0.5
1.0
1.3
0
20
40
60
20
25
30
35
t, пс
t, пс
t, пс
Рис. 2. Расчет временной зависимости коррелятора (25) спинов m = 5 и n = 20 (а), n = 600 (б) цепочки из N = 1000
спинов атомов Fe. На панели (в) приведен расчет асимптотической формулы (30) для 5 и 605 спинов. Время задержки
наступления корреляции tdelay показано стрелкой
tdelay, псdelay
характерная частота составляет величину |ωW | =
50
= 2.3 · 1013 рад/с, а соответствующая ей линей-
ная частота лежит в терагерцевом диапазоне, νW =
= 3.66 ТГц. При расчетах частот (8) использова-
лась формула E0/ℏ = ω0 = |I|(N - 1)/2ℏ, так как
40
собственная энергия основного состояния системы
с гамильтонианом Гейзенберга, в котором все спи-
ны ориентированы вдоль одного направления, равна
30
E0 ≈ -(1/2)I(N - 1).
В расчетах фиксировался спин в начале цепоч-
ки, в частности, спин с номером m = 5, другой спин
20
с номером n менял свое положение. В частности,
временная зависимость, приведенная на рис. 1, со-
ответствует соседнему спину с номером n = 6. На
10
вставках рис. 1a,б показаны два пика-антипика раз-
ной амплитуды для разных n, которые появляются
на временной зависимости коррелятора независимо
от удаления спина 5 < n ≤ N от m = 5. Время
0
200
400
600
800
1000
Расстояние между спинами, отн. ед.
формирования этих пиков-антипиков практически
неизменно и приблизительно на три порядка боль-
Рис. 3. Зависимость задержки наступления корреляции от
ше времени распространения света в свободном про-
расстояния между спинами в цепочке: ◦ — расчет по точ-
странстве на длину цепочки. Это время составля-
ной формуле (25), сплошная кривая — расчет по формуле
ет 0.834 фс для цепочки из N = 1000 атомов Fe
tdelay = N/ωW , пунктир — расчет по асимптотике (30)
с межатомным расстоянием aFe = 0.25 нм. К при-
меру, более подвижный пик-антипик, изображенный
на вставке рис. 1б, соответствует задержке наступ-
ления корреляции от 0.721 до 0.732 пс для спинов с
спинами цепочки. По мере удаления спина n к кон-
номером n от 15 до 900 при фиксированном m = 5.
цу цепочки всплеск корреляции наблюдается на все
больших временах (сравните положения всплеска на
По мере удаления спина n от m, от второго пика-
рис. 2a и 2б). Сравнение кривых на рис. 2б и рис. 2в
антипика отщепляется всплеск корреляции. Отщеп-
демонстрирует хорошее согласие расчета по точной
ление уже сформированного всплеска показано на
(25) и приближенной (30) формулам.
рис. 2a в случае расчета корреляции между 5 и 20
659
6*
М. Ю. Барабаненков, Д. В. Калябин, С. А. Никитов
ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020
Если исходить из временного положения любо-
Финансирование. Работа С. А. Н. выполне-
го из двух пиков-антипиков, то время наступления
на при поддержке Российского научного фонда
корреляции практически не зависит от расстояния
(грант № 19-19-00607), работа Д. В. К. — при под-
между двумя спинами. Однако, если следить за вре-
держке Российского фонда фундаментальных ис-
менным положением указанного выше всплеска кор-
следований (гранты №№ 18-57-76001, 18-07-00509),
реляции, то можно дать простое физическое объ-
работа М. Ю. Б.
— в рамках государственно-
яснение времени задержки в наступлении корреля-
го задания №075-00475-19-00. Также работа под-
ции. В расчетах время задержки tdelay определя-
держана грантом Правительства РФ (соглашение
лось от нулевого времени до момента начала устой-
074-02-2018-286) для лаборатории
«Терагерцовая
чивого изменения амплитуды всплеска корреляции,
спинтроника» МФТИ.
не меньшей 0.1 %. Результаты расчетов времени за-
держки в наступлении корреляции приведены на
рис. 3. Время распространения обменного взаимо-
ЛИТЕРАТУРА
действия вдоль цепочки спинов можно оценить как
1.
С. А. Никитов, Д. В. Калябин, И. В. Лисенков и
отношение длины цепочки aFeN к скорости распро-
др., УФН 185, 1099 (2015).
странения обменного взаимодействия aFeωW . Тогда
для времени задержки распространения обменно-
2.
D. Grundler, Nat. Nanotech. 11, 407 (2016).
го взаимодействия получим tdelay = aFeN/aFeωW =
= N/ωW . Рисунок 3 показывает хорошее совпаде-
3.
A. V. Chumak, V. I. Vasyuchka, A. A. Serga et al.,
ние времени задержки, вычисленного из расчетов по
Nat. Phys. 11, 453 (2015).
точной формуле (25), по приведенной выше оценке
4.
Е. А. Вилков, Ю. В. Гуляев, П. Е. Зильберман и
tdelay = N/ωW и по асимптотике (30).
др., Радиотехника и Электроника, 60, 963 (2015).
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
5.
T. Jungwirth, X. Marti, P. Wadley, and J. Wunder-
lich, Nat. Nanotech. 11, 231 (2016).
Таким образом, в данной работе исследована
проблема квантовых корреляций, существующих
6.
А. М. Шутый, Д. И. Семенцов, ЖЭТФ 156, 299
(2019).
между двумя спинами (магнитными моментами) в
конечноразмерной цепочке магнитных нанострук-
7.
L. Landau, Phys. Z. Sovietunion 8, 153 (1935).
тур. Рассмотренная модель учитывала только об-
менное взаимодействие между спинами электронов
8.
A. Aharoni, Introduction to the Theory of Ferromag-
соседних атомов при использовании теории фер-
netism, University Press, Oxford (2000).
ромагнетизма Гейзенберга. Вычислены квантовые
9.
Ю. Н. Барабаненков, С. А. Никитов, М. Ю. Бара-
корреляции между двумя спинами дистанционно
баненков, УФН 189, 85 (2019).
удаленными друг от друга вдоль цепочки атомов.
Найдены условия, при которых корреляция между
10.
И. В. Баргатин, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков,
двумя состояниями спинов наступает с задержкой.
УФН 171, 625 (2001).
Определены времена задержки и соответствующие
11.
W. Heisenberg, Z. Phys. 49, 619 (1928).
частоты возможного излучения при таких корре-
ляциях. Полученные результаты справедливы для
12.
H. Bethe, in: Quantenmechanik der Ein- und
обобщенных магнитных наноструктур и могут быть
Zwei-Electronenprobleme, Handbuch der Physik,
использованы при описании свойств динамики на-
Zweite Auflage, XXIV, Erster Teil (1933).
магниченности в структурах, содержащих ферро- и
антиферромагнитные материалы.
13.
C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley,
Посвящается памяти Юрия Николаевича Бара-
New York (1953).
баненкова, выдающегося российского ученого, одно-
14.
H. A. Bethe, Z. Phys. 71, 205 (1931).
го из основоположников современной микроскопи-
ческой теории многократного рассеяния волновых
15.
M. Gaudin, La Fonction d’onde de Bethe, Masson,
полей в случайно-неоднородных средах.
Paris - New York (1983).
660
