ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 4, стр. 703-706

КЛАССИЧЕСКАЯ АДВЕКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ

В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

П. С. Кондратенкоa,b*, А. Л. Матвеев^a

^a Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

115191, Москва, Россия

^b Московский физико-технический институт

141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 21 ноября 2019 г.,

после переработки 21 ноября 2019 г.

Принята к публикации 22 ноября 2019 г.

Предложен метод решения задачи о переносе примеси в неоднородной среде, обусловленном классически-

ми процессами диффузии и адвекции. Отдельно проанализирован случай, когда адвекция отсутствует.

Здесь акцентировано внимание на расстояниях от источника примеси, значительно больших размера

основной области ее локализации, и был применен асимптотический подход, разработанный одним из

авторов (П. С. К.). Задача сведена к решению дифференциального уравнения первого порядка, кото-

рое определяет возникающую при таком подходе линейную траекторию концентрационного сигнала от

источника до точки наблюдения. Результат для концентрации выражен через одномерные интегралы

вдоль линии концентрационного сигнала. Решение задачи о переносе в присутствии адвекции получено

путем перехода в систему координат, сопутствующую адвекции. Ключевыми элементами, вошедшими

в полученное выражение для концентрации, являются эффективное время и смещение примеси — оба

вызваны адвекцией.

DOI: 10.31857/S0044451020040136

экспоненты с показателем, существенно большим

единицы. Возникает ситуация, аналогичная прибли-

1. ВВЕДЕНИЕ

жению геометрической оптики в электродинамике

[2] и квазиклассическому приближению в квантовой

Аналитическое решение задачи о классической

механике [3].

адвекции-диффузии примеси для однородных сред

Целью настоящей работы является получение

хорошо известно. Однако реальные среды, как пра-

аналитических результатов для задачи о переносе

вило, являются неоднородными, и для них решение

примеси в неоднородной среде, где механизмами пе-

задачи требует выполнения трудоемких численных

реноса являются классические процессы адвекции

расчетов уравнения в частных производных второ-

и диффузии. В разд. 2 в рамках асимптотическо-

го порядка. Применительно к неклассическим про-

го подхода [1] получены результаты в случае, ко-

цессам переноса в неоднородных средах в работе

гда действует диффузия, а адвекция отсутствует.

[1] был предложен аналитический подход, позволив-

В разд. 3 исследованы процессы переноса в неодно-

ший свести задачу к обыкновенному дифференци-

родной среде, которые наряду с диффузией обуслов-

альному уравнению первого порядка. Он основан на

лены также адвекцией. В заключительном разделе

асимптотическом описании, когда расстояние от ис-

кратко подведены итоги.

точника до точки наблюдения велико в сравнении с

размерами основной области локализации примеси

2. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФУЗИЯ

в заданный момент времени. На таких масштабах

формирование концентрации обусловлено коротко-

Концентрация примеси удовлетворяет известно-

волновой частью механизма переноса и зависимость

му уравнению

концентрации от расстояния имеет вид убывающей

∂c(r, t)

= div (D∇c(r, t)) ,

(1)

^* E-mail: kondrat@ibrae.ac.ru

∂t

703

П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

где коэффициент диффузии является функцией ко-

вдоль линии от источника до точки наблюдения.

ординат, D = D(r). Считаем, что в начальный мо-

При этом линия определяется из условия миниму-

мент времени вся примесь сосредоточена в начале

ма интеграла (7)

координат,

∫r

c(r, 0) = Nδ(r),

(2)

δ_lψ(r) ≡ δ_l dl n(r) = 0.

(8)

где N — полное число частиц.

В представлении Лапласа,

Величина dl в выражениях (7) и (8) является диф-

∫∞

ференциальным элементом указанной линии, а еди-

c_p(r) = dt c(r, t)e^-pt,

ничный вектор ν(r) из (6) направлен по касатель-

ной к ней. Эта линия является аналогом траекто-

рии луча в геометрической оптике, а в нашей за-

уравнение (1) с учетом (2) принимает вид

даче (о переносе примеси) ее можно назвать траек-

торией концентрационного сигнала. Условие (8) яв-

pc_p(r) - div{D(r)∇c_p(r)} = Nδ(r).

(3)

ляется аналогом принципа Ферма в геометрической

Нас будет интересовать концентрация на асимпто-

оптике [2] или принципа Мопертюи в классической

тически далеких расстояниях от источника приме-

механике [4].

си, когда r ≫ R(t), где R(t) — размер основной об-

Подобно геометрической оптике [2], из соотноше-

ласти ее локализации в момент времени t. Тогда ре-

ния (8) вытекает обыкновенное дифференциальное

шение уравнения (3) удобно представить в форме [1]

уравнение для траектории:

c_p(r) = A_p(r)exp[-Γ_p(r)], Γ_p(r) ≫ 1.

(4)

dν

(∇n - ν(ν · ∇n)) .

(9)

Подставляя решение (4) в уравнение (1), в главном

порядке по малому параметру Γ-1p приходим к урав-

Из условия (8) и уравнения (9) видно, что в одно-

нению в частных производных первого порядка:

родной среде, когда n(r) = 1, траектория концент-

рационного сигнала является отрезком прямой ли-

p - D(r)(∇Γ_p(r))² = 0.

(5)

нии, соединяющей точку наблюдения с источником.

Отсюда следует, что

В том случае, когда между источником и точкой

√

наблюдения имеется поверхность, где коэффициент

∇Γ_p(r) =

n(r)ν(r), D₀ = D(0),

преломления терпит скачок, траектория концентра-

D₀

√

ционного сигнала в точке пересечения указанной по-

(6)

D₀

верхности испытывает излом по закону Снеллиуса:

n(r) =

|ν(r)|² = 1.

D(r)

sinθ₁

sinθ₂

√

(10)

Отметим, что фактическим параметром разло-

√D₁ =

D₂

жения, в результате которого мы пришли к уравне-

Здесь D₁, D₂ — коэффициенты диффузии по разные

нию (5), является комбинация (L|∇Γ_p|)-1, где L —

ее стороны границы, θ₁, θ₂ — углы между линией

характерный масштаб длины, на котором заметно

концентрационного сигнала и нормалью к поверх-

меняется коэффициент диффузии.

ности границы по соответствующим ее сторонам.

Уравнение (5) по своей форме аналогично урав-

Перейдем к вычислению предэкспоненты A_p(r) в

нению эйконала в геометрической оптике [2] (или

выражении (4). Для этого подставим (4) в (3), ото-

уравнению Гамильтона - Якоби в классической ме-

брав слагаемые, которые по сравнению с уравнением

ханике [4]). Соответственно, роль эйконала в задаче

(5) имеют следующий порядок малости по фактору

о диффузии в неоднородной среде играет функция

(L|∇Γ_p|)-1. В результате приходим к уравнению

Γ_p(r), а величина n(r) в выражениях (6) являет-

ся аналогом коэффициента преломления. Решение

2D(r)∇Γ_p∇A_p(r) + A_p(r)∇Γ_p∇D(r)+

уравнения (5) для функции Γ_p(r) сводится к линей-

ному интегралу

+ D(r)A_p(r)ΔΓ_p = 0.

(11)

√

∫r

После подстановки (6) в (11) имеем обыкновенное

Γ_p(r) =

ψ(r), ψ(r) =

dl n(r)

(7)

дифференциальное уравнение первого порядка:

D₀

704

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Классическая адвекция-диффузия в неоднородных средах

перейти в сопутствующую относительно адвекции

[ln(A2p(r)D(r)n(r)] + div ν(r) = 0.

(12)

систему координат r → r^′ = r - r_u(t), где вектор

r_u(t) удовлетворяет уравнению

Здесь d/dl — производная вдоль линии концентра-

ционного сигнала. Решением уравнения (12) являет-

r_u(t) = u(r_u(t)), r_u(0) = 0.

(18)

ся

⎡

⎤

√

∫

)

Тогда, предполагая, что скорость u удовлетворя-

n(r)

⁽ div ν

A_p(r) =

exp^⎣- dl

⎦.

(13)

ет уравнению несжимаемости div(u(r)) = 0, и счи-

l(r)

тая выполненным неравенство |r^′| ≪ |r_u(t)|, из урав-

нения (18) приходим к уравнению для концентрации

В этом выражении l(r) — длина линии концентраци-

c(r^′, t):

онного сигнала от источника до точки наблюдения,

∂

B — константа интегрирования. На малых расстоя-

c(r^′, t) - D(r_u(t))Δ_r′ c(r^′, t) = 0.

(19)

∂t

ниях от источника, r ≪ L, когда среду можно счи-

Его решение имеет вид

тать однородной и D(r) = D₀, n = 1, с помощью

[

]

(r - r_u(t))²

уравнения (3) с учетом соотношения (4) находим

c(r, t) = N(4πD₀t)-3/2 exp -

(20)

4D₀t(t)

A_p(r) =

r ≪ L.

(14)

4πD₀r

где эффективное время t ≡ t(t) определено выраже-

нием

∫

Сравнивая соотношения (13) и (14), получаем

выражение B = N(4πD₀)-1, подстановка которого

t≡ t(t)= dt^′ D(ru(t′))

(21)

D₀

в (13) дает

⎡

⎤

√

)

∫

и D₀ = D(r)|_r=0.

n(r)

⁽ div ν

A_p(r) =

exp^⎣- dl

⎦.

(15)

Решение (21) справедливо при выполнении усло-

4πD₀l(r)

вий Dt ≪ r2u, L², где L — характерный масштаб

неоднородности в пространственном распределении

Подставляя (15) и (7) в (4) и выполняя обратное

скорости адвекции и коэффициента диффузии.

преобразование Лапласа, приходим к следующему

выражению для концентрации в координатно-вре-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

менном представлении:

Получены новые аналитические результаты в за-

√

ψ(r)

c(r, t) =

n(r)

даче о классической адвекции-диффузии примеси в

(4πD₀t)3/2

l(r)

неоднородных средах. При чистой диффузии, когда

⎧

⎫

∫

)

⎨

⎬

адвекция отсутствует, путем применения асимпто-

ψ²(r)

⁽ div ν(r)

× exp

- dl

(16)

тического подхода [1] на расстояниях, значительно

⎩

4D₀t

⎭

превосходящих размер основной области локализа-

ции примеси, задача сведена к уравнению в част-

ных производных первого порядка. Это позволило

3. КЛАССИЧЕСКАЯ

на основе действующего в таких случаях канони-

АДВЕКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ

ческого формализма (формализм Гамильтона - Яко-

После добавления в уравнение (1) слагаемого, от-

би в классической механике) концентрацию приме-

ветственного за адвекцию, уравнение переноса при-

си, испытывающей диффузию в неоднородной сре-

обретает вид

де, представить в квадратурах — через интегралы

вдоль линии, условно названной траекторией кон-

∂c

+ div(uc - D∇c) = 0,

(17)

центрационного сигнала. Эта последняя определя-

∂t

ется из вариационного принципа, который является

где скорость адвекции, как и коэффициент диффу-

аналогом принципа Ферма в геометрической оптике

зии, являются функциями координат: u = u(r), D =

или принципа Мопертюи в классической механике.

= D(r). На относительно малых временах, когда

Поиск решения общей классической задачи о

t ≪ 4D/u2, адвективным слагаемым в уравнении

переносе примеси, когда наряду с диффузией дей-

(17) можно пренебречь, и тогда задача сводится к

ствует и адвекция, происходил на основе перехода

уже рассмотренной в предыдущем разделе. На боль-

в сопутствующую систему координат, в которой ад-

ших временах, t ≫ 4D/u², в уравнении (17) удобно

векция в уравнении переноса формально исчезает,

705

ЖЭТФ, вып. 4

П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

но зато коэффициент диффузии помимо координат

Финансирование. Работа выполнена при фи-

(за счет неоднородности среды) приобретает зави-

нансовой поддержке Российского научного фонда

симость также и от времени. Решение уравнения

(грант № 18-19-00533).

удается найти при выполнении некоторых ограни-

чительных условий. В качестве основополагающих

элементов найденное выражение для концентрации

ЛИТЕРАТУРА

содержит эффективное время и смещение примеси

1. П. С. Кондратенко, Письма в ЖЭТФ 106, 581

за счет адвекции. Подобно задаче о чистой диффу-

(2017).

зии, ключевая роль здесь принадлежит характери-

стической линии, которая теперь является адвекци-

2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

онной траекторией. Она определяется из системы

сплошных сред, Физматлит, Москва (2005).

трех обыкновенных уравнений первого порядка.

3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-

ка: нерелятивистская теория, Физматлит, Моск-

ва (2004).

Благодарности. Авторы выражают глубокую

благодарность Л. В. Матвееву за полезное обсужде-

4. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, Физмат-

ние.

лит, Москва (2001).

706