ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 4, стр. 754-764

ДИССИПАТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН

С. Г. Чефранов^*

Институт физики атмосферы им. А. М. Обухова Российской академии наук

119017, Москва, Россия

Physics Department, Technion-Israel Institute of Technology

32000, Haifa, Israel

Поступила в редакцию 2 октября 2019 г.,

после переработки 17 ноября 2019 г.

Принята к публикации 20 ноября 2019 г.

Получено новое условие линейной неустойчивости плоского фронта сильной ударной волны в произволь-

ной среде, определяемое конечностью вязкости среды. Показано, что неустойчивость фронта ударной

волны реализуется за счет диссипативной неустойчивости течения за фронтом, аналогичной неустойчи-

вости течения в пограничном слое. Установлено, что в пределе малой вязкости одномерные продольные

возмущения растут намного быстрее двумерных (гофрировочных) возмущений. Проведено сравнение с

известными результатами экспериментального наблюдения и численного моделирования неустойчиво-

сти ударных волн. Оно указывает на лучшее соответствие нового условия абсолютной неустойчивости

ударной волны по сравнению с условием такой неустойчивости в классической теории Дьякова, не учи-

тывающей вязкость.

DOI: 10.31857/S0044451020040197

дольных одномерных возмущений в случае слабых

ударных волн. Более того, и для поперечных дву-

мерных возмущений в [14] получен вывод об устой-

1. ВВЕДЕНИЕ

чивости плоского фронта слабой ударной волны, так

же как и в [12] моделируемой на основе решения

Ударные волны возникают во многих нелиней-

уравнения Бюргерса.

ных процессах в физике плазмы, гидродинамике,

В линейной теории неустойчивости ударных

аэродинамике и астрофизике [1-7]. При этом важ-

волн [15] для ударных волн произвольной интен-

ную роль играет проблема устойчивости этих волн.

сивности дано обобщение теории Дьякова [8-10],

Однако до настоящего времени существует проб-

в котором уже учтена вязкость. При этом в [15],

лема классической линейной теории неустойчиво-

действительно, установлена дестабилизирующая

сти ударных волн в идеальных невязких средах

роль вязкости для моды, которая в теории [8-10] со-

[8-10], которая не объясняет неустойчивость плос-

ответствовала нейтрально устойчивой акустической

кого фронта ударной волны, наблюдаемую в реаль-

моде с постоянной во времени амплитудой. Однако

ных газах [11]. В классической теории Дьякова [8]

учет вязкости не привел в теории [15] к изменению

условия неустойчивости получены только для попе-

условий абсолютной неустойчивости, полученных в

речных двумерных (гофрировочных) возмущений.

[8] для двумерных возмущений и имеющих вид

При этом в [8], как и в теории Ландау [10], ударная

волна всегда устойчива относительно одномерных

h < -1,

(1.1)

продольных (вдоль направления движения плоской

h > 1 + 2M,

(1.2)

ударной волны) возмущений.

Учет в [12] вязкости и связанной с ней конечной

где M — число Маха в области сжатия за фронтом

ширины фронта ударной волны [13] не изменил, од-

ударной волны, M < 1; h = j²(dV/dp)_H — параметр

нако, вывод теории Ландау об устойчивости плоско-

Дьякова, определенный в [8] и представляющий со-

го фронта ударной волны относительно малых про-

бой отношение тангенсов углов наклона прямой Рэ-

лея и касательной к ударной адиабате Гюгонио [10].

^* E-mail: schefranov@mail.ru, csergei@technion.ac.il

При этом для случая одномерных продольных воз-

754

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Диссипативная неустойчивость ударных волн

мущений в [15] фронт плоской ударной волны яв-

обозначения величин, относящихся к области перед

ляется всегда устойчивым, как и в теории [8, 10], не

фронтом ударной волны в области x > 0 в системе

учитывающей вязкость.

координат, в которой плоский фронт ударной волны

В настоящей работе, для простоты, рассмотре-

является неподвижным и находится в точке x = 0.

ны только акустические возмущения в отличие от

Будем рассматривать только возмущения, отно-

теории [8-10,15], где наряду с акустическими возму-

сящиеся к области сжатия вдоль отрицательной по-

щениями рассмотрены и возмущения энтропии. При

луоси x < 0. Для области x > 0 среда остается невоз-

этом показана возможность неустойчивости относи-

мущенной, поскольку, как обычно, считается выпол-

тельно одномерных продольных возмущений, кото-

ненным условие для числа Маха в невозмущенной

рые в пределе малой вязкости могут расти быст-

среде M₀ > 1, где M₀ = |w₀|/c₀, w₀ = U₀ - D < 0 [9].

рее двумерных гофрировочных возмущений. Инкре-

При этом D, U₀, c₀ — скорости фронта ударной вол-

мент экспоненциального роста одномерных возму-

ны, частиц невозмущенной среды и невозмущенной

щений в данном случае пропорционален парамет-

скорости звука в неподвижной системе координат.

ру τ-1 = 2w²/ν, введенному также в работе [12],

Скорость невозмущенной среды обычно принимают

|w| — величина скачка скорости на разрыве, а ν —

равной нулю U₀ = 0. Аналогичным образом опреде-

коэффициент кинематической вязкости. В результа-

ляется и число Маха в области сжатия M = |w|/c,

те, установлен диссипативный механизм неустойчи-

w = U -D < 0 [9]. При этом U, c — скорости частиц

вости течения в области сжатия за плоским фрон-

возмущенной среды за фронтом ударной волны и

том ударной волны, аналогичный реализуемой для

местная скорость звука в возмущенной среде в непо-

течений в пограничных слоях, когда именно конеч-

движной системе координат. Как обычно, считаются

ность вязкости обеспечивает неустойчивость при до-

выполненными условия в виде M₀ > 1, M < 1 [8-10].

статочно больших числах Рейнольдса [10, 16]. При

Ограничимся, для простоты, рассмотрением слу-

этом получено новое условие абсолютной неустой-

чая двумерных возмущений, когда предполагается

чивости, которое в отличие от условий (1.1), (1.2) (и

однородность фронта ударной волны, расположен-

условия неустойчивости, указанного в [15]) для од-

ного в плоскости (z, y), в направлении оси y, когда

номерных и для двумерных возмущений имеет вид

отсутствуют возмущения поля скорости с компонен-

той вдоль этой оси. При этом уравнение для возму-

1 - 2M² < h < 1.

(1.3)

щенной плоской поверхности ударной волны имеет

Условие неустойчивости (1.3), в отличие от (1.1) и

вид, соответствующий зависимости от координаты

(1.2), уже не противоречит данным эксперимента

z для амплитуды отклонений от равновесного поло-

[11], где неустойчивость фронта плоской ударной

жения x = 0 вдоль оси x:

волны в аргоне и в углекислом газе наблюдается при

x_sh = g(z, t).

(2.1)

величине параметра Дьякова h ≈ 0.05.

Конкретизация величины h и условия (1.3) про-

В системе координат, в которой невозмущенный

ведена для ударных волн в жидкостях и в газах

фронт ударной волны неподвижен, уравнения гид-

на основе использования известных из эксперимен-

родинамики для вязкой сжимаемой среды для ма-

та представлений для ударной адиабаты (в виде

лых возмущений поля скорости и давления за фрон-

линейной зависимости скорости ударной волны от

том ударной волны в области x < 0 в линейном при-

скорости среды за фронтом [17-19]). В этой свя-

ближении имеют вид [10]

зи рассмотрены также результаты численного мо-

∂V1z

1 ∂p₁

делирования неустойчивости фронта ударной волны

+ν₁Δ₂V1z +

∂t

∂x

ρ ∂z

[7, 20-22].

(

ν₁

) ∂ divV₁

∂²

+ν₂

Δ₂ =

∂z

∂x²

∂z²

2. ВЫВОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ

∂V1x

1 ∂p₁

+ν₁Δ₂V1x+

(2.2)

УРАВНЕНИЙ

∂t

∂x

ρ ∂x

⁽ν₁

) ∂ divV₁

∂V1z

∂V1x

1. Рассмотрим плоскую стационарную ударную

+ν₂

div V₁ =

∂x

∂z

∂x

волну произвольной интенсивности, распространя-

∂p₁

ющуюся в произвольной среде в положительном на-

+ c²ρ divV₁ = 0, ν =

ν₁ + ν₂.

∂t

∂x

правлении вдоль оси x.

Далее будем использовать те же обозначения,

В (2.2) ν₁ = η/ρ, ν₂ = ζ/ρ — коэффициенты соответ-

что и в работе [9], вводя нижний индекс «0» для

ственно сдвиговой и объемной кинематической вяз-

755

12*

С. Г. Чефранов

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

кости. В [15] уравнения (2.2) рассмотрены в случае

лишь к стабилизации системы и то при достаточно

нулевого коэффициента объемной вязкости ν₂ = 0.

большой вязкости. Поэтому основной результат на-

Как и в [8-10,15], для простоты, будем пренебрегать

стоящей работы в виде нового условия неустойчи-

влиянием ускорения силы тяжести и других внеш-

вости (1.3) соответствует обычному рассмотрению

них сил.

условия баланса на разрыве, когда влиянием малой

В (2.2) поля возмущений обозначены нижним ин-

вязкости можно пренебречь.

дексом 1, c² = (∂p/∂ρ)_s — квадрат местной скорости

В этой связи ограничимся приближенным уче-

звука в области за фронтом ударной волны, когда в

том вязкости в известном представлении баланса

изэнтропическом приближении соотношение между

импульса (см. формулу (93.2) в [10]). Получим мо-

малыми возмущениями плотности и давления имеет

дификацию этого представления для фронта, име-

вид p₁ = c²ρ₁ [8-10]. Поэтому уравнение для возму-

ющего конечную малую ширину λ. При этом в ре-

щений поля давления в (2.2) следует из уравнения

зультате приближенной замены

неразрывности для возмущений плотности.

(

)

(

)

Ограничимся исследованием системы (2.2) для

η+ζ j

η+ζ

|j|

возмущений акустического типа, не рассматривая

эволюцию возмущений энтропии. При нулевой вяз-

кости система (2.2) точно совпадает с рассмотрен-

в формуле (93.2) в [10], получаем квадратное урав-

ной в [8, 9] системой уравнений для возмущений

нение для постоянной величины потока массы j:

акустического типа. Как и в [8, 9], рассмотрим сис-

тему (2.2) совместно с граничными условиями на по-

αλρ₀

верхности разрыва, определяемой функцией (2.1) с

j² + |j|

- ρ²⁰F₀ = 0,

δ-1

учетом того, что для тангенциального и нормаль-

(p-p₀)δ

ного единичных векторов к этой поверхности имеем

F₀ =

δ=

|j| = ρ₀|w₀| = ρ|w|,

(2.5)

ρ₀(δ-1)

ρ₀

представления [9]:

)

√

ν₀

⁽4

α=

ν₀ =

η+ζ

t = (t_x,t_z) = (-g_z,-1)/

1+g2z,

λ²

ρ₀

√

(2.3)

n = (n_x,n_z) = (1,-g_z)/

1+g2z,

В (2.5) для удобства введен коэффициент однород-

где g_z = ∂g/∂z.

ного трения α, определяемый величиной суммарно-

Из граничного условия непрерывности тангенци-

го коэффициента кинематической вязкости ν₀ ≡ νδ

альной компоненты поля скорости на возмущенном

и шириной фронта λ.

фронте ударной волны следует равенство скаляр-

Таким образом, при написании граничного усло-

ных произведений с вектором t для векторов ско-

вия для нормальной компоненты поля скорости ве-

рости слева и справа от фронта (w + V1x, V1z) · t =

личина возмущения w₁ должна определяться из

= (w₀, 0) · t. В линейном приближении g_z ≪ 1 при

представления для величины w - w₀, которое сле-

этом с учетом (2.3) получаем [9]

дует из решения квадратного уравнения (2.5) для

V1z = g_z(w₀ - w).

(2.4)

скорости |w₀|:

Второе граничное условие для нормальной ком-

δ-1

w-w₀ =

|w₀|, w²⁰ = F (α),

поненты поля скорости определяется в виде разнос-

ти скалярного произведения вектора n из (2.3) со

F (α = 0) = F₀,

скоростями слева x < 0 и справа x > 0 от фронта в

(2.6)

αλ

виде (w + V1x, V1z ) · n - (w₀, 0) · n = w - w₀ + w₁.

F (α) = F₀ -

(√q - αλ) ,

2(δ - 1)²

При этом величины w₀, w в (2.4) и в гранич-

ном условии для нормальной компоненты поля ско-

q = α²λ² + 4F₀(δ - 1)².

рости определяются из уравнений баланса массы и

импульса на разрыве, когда дополнительно можно

В этом представлении надо сделать замену p → p +

учесть и влияние вязкости в уравнении баланса им-

+p₁, ρ → ρ+ρ₁ и разложить в ряд Тейлора в пределе

пульса [10]. Как будет показано далее, дестабилизи-

p₁ ≪ p, ρ₁ ≪ ρ, отбрасывая квадратичные по возму-

рующее влияние вязкости возникает только при уче-

щению члены. В результате, граничное условие для

те соответствующих членов в (2.2), а учет вязкости

нормальной компоненты поля скорости приводит к

в уравнении баланса импульса на разрыве приводит

уравнению, которое при величине α > 0 имеет вид

756

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Диссипативная неустойчивость ударных волн

(δ - 1)F₀

V1x =

√

и отрицательной, Iml < 0. Амплитуда возмущений

2δ

(

)

фронта ударной волны в (2.10) определяется вели-

p₁

λα

ρ₁

чиной смещения участков фронта вдоль оси x и эти

A ,

p-p₀

√q

ρ₀δ(δ - 1)

смещения различны в зависимости от координаты

(2.7)

z, что характеризуется действительным волновым

- 1 - λαB,

F₀

числом k.

(

)

2δ - 1

√q - λα

2. Из условия разрешимости системы (2.2) для

решений в виде (2.10) получаем дисперсионное урав-

√q

(δ - 1)²F₀

нение

√

При нулевом трении α = 0 уравнение (2.7) точно

ω = -iα₁ + wl ± c²(k² + l²) - α²¹,

совпадает с уравнением, приведенным в работе [9].

(2.11)

В (2.4) также необходимо учитывать решение урав-

α₁ =

(k² + l²), ν =

ν₁ + ν₂.

нения (2.5) в виде (2.6). Как и в теории [8, 9], при

этом будем в (2.7) использовать связь между возму-

Дисперсионное уравнение (2.11) при нулевой вязко-

щениями плотности и давления на ударной адиабате

сти точно совпадает с уравнением, приведенным в

Гюгонио в виде

[8,9] (в [9] это дисперсионное уравнение (18)). Соот-

)

ветственно, (2.11) является обобщением этого дис-

⁽ dp

⁽ dp ⁾

p₁ =

ρ₁ = -ρ²

ρ₁.

(2.8)

персионного уравнения при конечной величине вяз-

dρ_H

dV_H

кости. В (2.11) необходимо выбрать случай, соот-

Для нахождения уравнения, определяющего вид

ветствующий знаку минус, что соответствует отсут-

функции (2.1), используем равенство, определяю-

ствию незатухающих колебаний в пределе большой

щее возмущение скорости ударной волны в виде

вязкости, когда в подкоренном выражении в (2.11)

D₁ = ∂g/∂t, а также соотношение, полученное для

α²¹ ≫ c²(k² + l²).

величины w²⁰ = (U₀ - D)² в (2.6). При этом надо в

Отметим, что (2.11) при нулевой объемной вяз-

левой части выражения (2.6) для квадрата скорости

кости ν₂ = 0 точно совпадает и с дисперсионным

w²⁰ заменить D → D + D₁, а в правой части сделать

уравнением, приведенным в [15] (см. (32) в [15]) для

замену p → p+p₁, ρ → ρ+ρ₁ и провести разложение

возмущений акустического типа.

в ряд Тейлора. Необходимо оставить только члены

3. В [15] система уравнений (2.2) рассматривает-

не выше первого порядка малости по возмущениям.

ся совместно с уравнением для возмущения энтро-

При этом получается уравнение

пии s₁, которое с учетом представления (2.10) имеет

вид (ω - wl)s₁ = 0. При этом для случая не равно-

∂g

F₀

го нулю возмущения энтропии s₁ = 0 следует, что

√

∂t

должно выполняться равенство l = l_e = ω/w. При

(

)

p₁

λα

ρ₁

этом из (2.2) для возмущений энтропийного типа в

(1+λαB)

(2.9)

p-p₀

√q

ρ₀δ(δ-1)

[15] получается система уравнений

)

⁽4l2e

l_e

При нулевом трении уравнение (2.9) совпадает с

- iν₁

+k²

V_ex-

iν₁kl_eV_ez+

p1e = 0,

уравнением, приведенным в работе [9].

(

)

Будем, как и в [8, 9], искать решение системы

(2.12)

- iν₁

l2e+

k²

V_ez-

iν₁kl_eV_ex+

kp1e = 0,

уравнений (2.2) при граничных условиях (2.4)-(2.9)

в виде

kV_ez + l_eV_ex = 0.

xsh = g(z, t) = g exp (i(kz - ωt)) ,

Умножая первое уравнение в (2.12) на l_e и второе на

(V1x, V1z, p₁) = (V1x, V1z , p₁) ×

(2.10)

k и складывая результаты, получаем уравнение

(

)

× exp(i(kz + lx - ωt)).

p1e

(k² + l2e)

-i

ν₁(kV_ez + l_eV_ex)

= 0.

При этом еще дополнительно требуется выполнение

нулевого граничного условия на бесконечности вда-

Из него, с учетом третьего уравнения в (2.12), в [15]

ли от фронта x → -∞ для возмущений скорости

получено, что (k² + l2e)p1e = 0. Отсюда в [15] дела-

и давления в (2.10). Это накладывает ограничение

ется вывод, что равно нулю возмущение давления

на величину продольного волнового числа l, мни-

энтропийного типа p1e = 0. При этом в [15] неявно

мая часть которого должна быть отличной от нуля

предполагается, что k² + l2e = 0.

757

С. Г. Чефранов

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

(

)

Это предположение, однако, при конечной вязко-

a₁ = -2h(δ-1)+2ε (1+h(2δ-1))+O

ε²

(2.17)

сти в (2.12) приводит к противоречию. Действитель-

a₂ = a₁ - 2h.

но, если в (2.12) при ненулевой вязкости положить

Отметим, что предел ε ≪ 1 и оценка в (2.17) соот-

равным нулю возмущение поля давления энтропий-

ветствуют случаю малых чисел Рейнольдса, опреде-

ного типа p1e = 0, то оставшиеся члены в первых

ляемых шириной фронта

√ε ≈ Re_λ = |w₀|λ/ν ≪ 1.

двух уравнениях системы (2.12) будут давать нену-

левое решение для возмущения поля скорости эн-

тропийного типа только при условии, когда имеет

3. УСЛОВИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

место дополнительное, не учтенное в [15], дисперси-

УДАРНОЙ ВОЛНЫ

онное уравнение k² + l2e = 0.

В общем случае, при конечной вязкости в (2.11) и

Это указывает на то, что при учете вязкости

(2.15) можно использовать представление волновых

некорректно рассматривать возмущения энтропий-

чисел в виде:

ного типа в адиабатическом приближении даже в

линейной постановке задачи.

cosθ, l =

sinθ.

4. Дополнительное к (2.11) дисперсионное урав-

нение может быть получено из граничных условий

Если при этом принять, что

(2.4)-(2.9) при учете представления решения в виде

√

sinθ = -iρ, cosθ =

1+ρ²,

(2.10). При этом из (2.4) и (2.9) можно исключить

неизвестную функцию g. В результате, из (2.10),

ρ > 0, Imρ = 0,

(2.7), (2.8) получаем систему уравнений

то для продольного волнового числа получаем

a₂

kρ

V1x =

√

p₁,

l = -i√

(3.1)

2ρ₀

1+ρ²

a₁k

V1z =

p₁,

Из (2.11) для частоты при этом имеем

2ωρ₀

(2.13)

λα

hF₀

a₁ = 1 -

(1 + λαβ),

ω = Ω(F - M sinθ) =

√

(iMρ + F ),

√q

1+ρ²

(

)

√

(3.2)

νk

ν²k²

a₂ = a₁ - 2h, h = j²

F = -i

√

dp_H

1+ρ²

4c²(1 + ρ²)

Для замыкания системы (2.13) используем допол-

Неустойчивость ударной волны может иметь мес-

нительное уравнение, определяющее связь давления

то, когда в (3.1) и (3.2) одновременно выполняются

p₁ и поля скорости V1x, V1z, следующее из (2.2) и

условия Im l < 0, Im ω > 0. Неравенство Im l < 0

(2.10) и имеющее вид

имеет место для любых положительных действи-

тельных величин ρ, а Imω > 0 выполняется лишь

c²ρ(lV1x + kV1z)

p₁ =

(2.14)

при достаточно больших числах Рейнольдса:

ω-wl

2|w|

Из условия разрешимости системы (2.13), (2.14)

Re_k =

> Re_th,

kν

получаем дополнительное к (2.11) дисперсионное

kν

уравнение, которое имеет вид

Re_th =

√

< 1,

1+ρ²

(

)

(

√

)

a₂(h)

a₁(h) k²c²δ

(3.3)

ω + clM

(2.15)

4c²(1 + ρ²)

2M²

Re_th =

√

1+ρ²

ν²k²

В (2.13) и (2.15) h — параметр Дьякова. Для

kν

функций a₁(h), a₂(h) в пределе λα ≪

√F₀ имеем

√

> 1.

1+ρ²

λα

Величина ρ, входящая в (3.1)-(3.3), должна опреде-

a₁ = 1 + h -

(1 + h(2δ - 1)) +

2√F0 (δ - 1)

ляться из действительного и положительного реше-

)

⁽α²λ

ния уравнения, следующего из (2.15), (3.1), (3.2) и

a₂ = a₁ - 2h.

(2.16)

F₀

имеющего вид

a₂ + 2M²

a₁δ - 2F²(ρ)

В противоположном пределе ε = F₀(δ-1)/λ²α² ≪ 1:

ρ² + iρF(ρ)

= 0.

(3.4)

M (a₂ + a₁δ)

a₂ + a₁δ

758

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Диссипативная неустойчивость ударных волн

(

)

λαM²(0)(2δ + 1)

M2th

При нулевой вязкости F (ρ) = -1 в (3.4) и это урав-

1-2M²(0)+

√F₀ (δ - 1)

M²(0)

нение не имеет решения с Im ρ = 0. При конечной

вязкости решение уравнения (3.4) с Im ρ = 0 может

λαδ

⁽λ²α²)

<h<1-

(4.3)

существовать лишь при следующем из (3.3) условии:

√F₀ (δ - 1)+O

F₀

√

ρ(2 - ρ)

M (0) = M(α = 0), M_th =

> Re2S >

2δ + 1

1+ρ²

(3.5)

В пределе нулевого однородного трения, α → 0, из

Re_S =

ρ > 1.

kν

(4.3) следует условие абсолютной неустойчивос-

ти (1.3).

При условии (3.5) величина F в (3.2) и (3.4) уже

Случаю b) в этом же пределе соответствует усло-

имеет нулевую действительную часть и при этом

вие неустойчивости

уравнение (3.4) может иметь положительное дейст-

(

)

вительное решение с нулевой мнимой частью.

λαδ

h > (1 + 2M(0))

√

Отметим, что при конечной вязкости уравнение

F₀ (δ - 1)

(3.4) уже не является квадратным уравнением отно-

⁽λ²α²)

сительно неизвестной величины ρ, как в [8,9]. Поэто-

(4.4)

F₀

му в общем случае затруднительно получение ана-

литических выражений для условий неустойчивости

Отметим, что при нулевом однородном трении α = 0

и в следующих параграфах в этой связи рассмот-

условие неустойчивости (4.4) совпадает с условием

рены два частных случая, относящиеся к пределам

неустойчивости (1.1).

длинных k → 0 и коротких k² ≫ |l²| волн попе-

В противоположном пределе относительно боль-

речных возмущений. При этом первый случай со-

шого однородного трения для случая a) неустойчи-

ответствует случаю одномерных продольных возму-

вость невозможна, а в случае b) с учетом (2.17) по-

щений.

лучаем условие неустойчивости в виде

2M(0)

√ε + O(ε).

(4.5)

4. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ К ОДНОМЕРНЫМ

ПРОДОЛЬНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

Итак, все полученные условия неустойчивости

плоского фронта ударной волны (4.3)-(4.5) соответ-

Рассмотрим возможность неустойчивости отно-

ствуют одному и тому же представлению для инкре-

сительно одномерных продольных возмущений, ко-

мента экспоненциального возрастания одномерных

гда в (2.11) и (2.15) имеет место предел нулевого

продольных возмущений, который определен поло-

поперечного волнового числа k → 0. При этом из

жительной мнимой частью частоты в (4.2). Величи-

(2.11) и (2.15) для продольного волнового числа и

на инкремента, как нетрудно видеть из (4.2), про-

для частоты получаем решения в виде

порциональна величине τ-1 = 2w²/ν, имеющей раз-

(

)

2cM

a²²

мерность обратного времени.

l = -i

(4.1)

a₂ν

4M²

5. ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

(

)

a₂

ω = -lcM

Рассмотрим дисперсионные уравнения (2.11) и

2M²

(

)(

)

(2.15) для случая двумерных (гофрировочных) воз-

a₂

(4.2)

мущений в противоположном коротковолновом пре-

a₂ν

4M²

2M²

деле k² ≫ |l²|. При этом из (2.11) получаем для про-

Для неустойчивости ударной волны должны выпол-

дольного волнового числа выражение через частоту

няться неравенства Im l < 0, Im ω > 0, которые име-

в виде

ют место, если в (4.1) и (4.2) выполнен либо случай

(

√

)

ω+K

ik²ν

a) 0 < a₂ < 2M², либо случай b) a₂ = -|a₂| < 0,

l=-

K =

1 - Re²

|w|

|a₂| > 2M.

(5.1)

В пределе малой величины однородного трения

Re_S =

случаю a) с учетом (2.16) соответствует следующее

kν

условие для параметра Дьякова, при котором имеет

При Re_S < 1 величина K имеет нулевую действи-

место неустойчивость:

тельную часть.

759

С. Г. Чефранов

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

С учетом (5.1) из (2.15) можно получить квад-

определена либо из теоретических оценок, либо из

ратное уравнение для частоты, решение которого

данных эксперимента.

имеет вид

6.1. Ударная адиабата для реальных газов и

K(2M² - a₂)

жидкостей

ω=

2a₂

Для нахождения явного вида параметра Дьяко-

[

√

]

ва h используем известное, получаемое из данных

4k²w²a₁a₂δ

× 1±

(5.2)

эксперимента, линейное соотношение между скорос-

K²(2M² - a₂)²

тью ударной волны и скоростью вещества в области

сжатия за фронтом ударной волны [17-19]:

Из (5.1) и (5.2) следует, что условия неустойчи-

вости ударной волны относительно двумерных воз-

D = A + BU.

(6.1)

мущений при Im ω > 0, Im k < 0 выполнены, когда

имеет место неравенство 0 < a₂ < 2M². Это точно

В (6.1) предполагается, что величины A, B могут

совпадает со случаем a), рассмотренным выше для

рассматриваться как постоянные в некотором диа-

одномерных возмущений. Поэтому и для двумерных

пазоне изменения величины сжатия δ

= 1/y =

гофрировочных возмущений неустойчивость имеет

= V₀/V . Например, для воды согласно [18] в диа-

место только при выполнении условия (4.3) или (1.3)

пазоне изменения скорости вещества за фронтом

в пределе α → 0. Для случая b), рассмотренного для

7.1

км/с > U > 1.5 км/с в линейном соотноше-

одномерных возмущений, согласно (5.2) уже отсут-

нии (6.1) A = 2.393 км/с, B = 1.333, а в диапазоне

ствует возможность неустойчивости.

0.3875 км/с > U > 0.068 км/с согласно [19] в (6.1)

До сих пор рассмотрение относилось только к

A = 1.45 км/с, B = 1.99.

случаям, когда равны нулю действительные части

Для газов также могут быть получены величи-

частоты в (5.2) и продольного волнового числа в

ны постоянных коэффициентов в (6.1) при исполь-

(5.1). Однако из (5.1) и (5.2) следует, что, например,

зовании соответствующих экспериментальных дан-

при числах Рейнольдса Re_S > 1 возможна реализа-

ных об ударных волнах. Например, из данных на-

ция колебательной неустойчивости, когда действи-

блюдений ударных волн в воздухе [23] следует, что

тельная часть частоты в (5.2) может быть конечной

в интервале скоростей 3.982 км/с > U > 1.705 км/с

величиной.

в (6.1) должны быть величины A = 0.215 км/с, B =

= 1.0597. Из наблюдений ударных волн в аргоне [24]

Из (5.2) следует, что величина инкремента экспо-

для интервала скоростей 7.81 км/с > U > 3.03 км/с

ненциального роста гофрировочных двумерных воз-

величины A = 0.819 км/с, B = 1.009, а для ударных

мущений равна τ-1c = k²ν/2 и в пределе малой вяз-

волн в азоте [25] A = 0.386 км/с, B = 1.04046 при

кости при выполнении неравенства τ-1c ≪ τ-1 =

8.99 км/с > U > 3.8 км/с.

= 2w²/ν она намного меньше величины инкремента

На основе (6.1) и при учете соотношений Рэнки-

роста одномерных возмущений. Поэтому неустойчи-

на - Гюгонио, записанных в виде

вость относительно предельно малых одномерных

продольных возмущений может быть доминирую-

=1+

=y=

=1-

щей на линейной стадии эволюции возмущений. При

p₀

p₀V₀

V₀

этом допустимо предположить, что лишь на нели-

получаем следующие представления для ударной

нейной стадии развития одномерных возмущений

адиабаты

уже могут проявляться и двумерные гофрировоч-

ные возмущения, наблюдаемые в эксперименте [11].

ρ₀A²(1 - y)

x=1+

p₀(1 - B + By)²

и других параметров, например, для числа Маха в

6. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ И

области сжатия

ЧИСЛЕННЫМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ

M =

Используем полученное условие неустойчивости

(B - δ(B - 1))c

(1.3) (следующее из условия (4.3), учитывающего

и для параметра Дьякова

малую вязкость в условиях баланса импульса на

разрыве) при рассмотрении конкретных примеров,

B - δ(B - 1)

h=-

когда величина параметра Дьякова h может быть

(B + 1)δ - B

760

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Диссипативная неустойчивость ударных волн

При этом для всех допустимых величин сжатия,

В эксперименте [11], действительно, получено,

что для аргона неустойчивость плоской ударной

1<δ<δ_max =

волны наблюдается только при скоростях ударной

B-1

волны из ограниченного, достаточно узкого интер-

величина параметра Дьякова может принимать

вала 11.5 км/с > D > 10 км/с, а для углекислого

только отрицательные значения h < 0. В этом име-

газа тоже лишь в диапазоне скоростей 6 км/с > D >

ется сходство со случаем политропного газа (с пока-

> 5 км/с.

зателем политропы γ > 1), для которого [10]

Кроме того, в [11] для ударной волны в углекис-

лом газе неустойчивость наблюдается и при малых

γ+1

h=-

δ_max =

отрицательных значениях параметра Дьякова вбли-

M²⁰

γ-1

зи значения h ≈ -0.02, когда скорость ударной вол-

Из условия неустойчивости (1.3) с учетом ука-

ны равна D ≈ 3.5 км/с. Это качественно соответ-

занных выше представлений для M и h получаем

ствует случаю, когда в условиях (6.4) и (6.5) интер-

условие неустойчивости в виде

вал скоростей вырождается в одну точку.

c²

(B + 1)δ - B

(6.2)

A²

δ(B - δ(B - 1))²

6.2. Неустойчивость ударных волн в

жидкостях

В (6.2) еще требуется определить зависимость ско-

рости звука в области сжатия от величины сжатия δ.

Условие неустойчивости ударной волны в жид-

Для этого в случае ударной волны в газе можно ис-

кости, имеющей ударную адиабату, следующую из

пользовать соотношение c² = pγ/ρ = xc²⁰/δ, которое

(6.1), как и для газов, определяется неравенством

с учетом указанного выше вида функции x = x(y)

(6.2). В отличие от ударных волн в газах вместо

приводит к представлению

представления (6.3) для квадрата скорости звука

[

]

в области сжатия можно использовать выражение

c²⁰

δ(δ - 1)A²γ

c² =

(6.3)

[26, 27]

c²⁰(B - δ(B - 1))2

² =

=c²⁰δn-1,

Из (6.2) с учетом (6.3) получаем, что для газов плос-

dρ

(6.6)

кий фронт ударной волны неустойчив в линейном

ρ₀c²

p-p₀ =

(δⁿ - 1).

приближении только при ограничении сверху и сни-

зу на параметр сжатия:

Согласно [27] до давлений 25 кбар в (6.6) мож-

но использовать показатель степени n = 7.15. В [17]

1<δ_- <δ=

<δ₊,

A + D(B - 1)

для ударных волн в воде приведены данные о скоро-

√

сти звука в области сжатия, из которых следует, что

δ_± = a ±

a² - b,

при увеличении давления имеет место тенденция к

B(B - 1) + A²(B + 1 + γ)/2c²⁰

(6.4)

снижению этого показателя. Например, n = 6.14 при

(B - 1)² + A²γ/c²

давлении p = 70 кбар и n = 5.26 при давлении p =

B² + A²/c²⁰

= 250 кбар.

(B - 1)² + A²γ/c²

Если в (6.1) A = c₀ = 1.483 км/с, B = 2.118, то из

условия неустойчивости (6.2) следует, что плоский

Из (6.4) следует, что неустойчивость фронта удар-

фронт ударной волны в воде становится неустойчи-

ной волны может реализоваться в газе только при

вым при ограничении снизу на параметр сжатия.

наличии ограничений сверху и снизу на величину

Это ограничение вместе с необходимым, отмечен-

скорости ударной волны:

ным выше, ограничением сверху δ < δ_max определя-

D_min = D_- < D < D_max = D₊,

ет область реализации неустойчивости ударной вол-

Aδ_±

(6.5)

ны в воде в виде

D_± =

B - δ_±(B - 1)

δ_min = 1.5617 < δ < δ_max = B/(B-1) = 1.894. (6.7)

Таким образом, при наличии соотношения (6.1) для

реализации неустойчивости плоского фронта удар-

При этом для получения нижней границы ве-

ной волны в реальном газе должно выполняться

личины сжатия в (6.7) учтено, что это пороговое

условие (6.5).

значение сжатия соответствует экспериментальным

761

С. Г. Чефранов

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

данным [17]. Согласно этим данным при указан-

Поскольку при численном моделировании неиз-

ном в (6.7) пороговом сжатии p = 70 кбар, D =

бежно вводится численная вязкость, не удивитель-

= 4.414 км/с, U = 1.588 км/с, а скорость звука рав-

но, что имеет место соответствие полученного в на-

на c = 4.666 км/с, что соответствует n = 6.14 в (6.6).

стоящей работе условия неустойчивости (1.3) ре-

В результате получаем, что неустойчивость плоской

зультатам численного моделирования неустойчиво-

ударной волны в воде может иметь место в интерва-

сти плоского фронта ударной волны в [20].

ле величин сжатия (6.7), который, согласно данным

Условие неустойчивости ударных волн (1.3) так-

эксперимента [17], соответствует диапазону скорос-

же согласуется с результатами численного моде-

тей ударной волны

лирования в [7] ударных волн, образующихся при

взрывах сверхновых звезд, когда для параметра

D_min = 4.414 км/с < D < D_max =

Дьякова имеется оценка -10-3 ≤ h ≤ 10-3 (автор

= 6.679 км/с.

(6.8)

признателен Д. А. Баджину за предоставление со-

ответствующих оценок). Действительно, в [7] D ≈

Такие скорости ударной волны наблюдались в рабо-

≈ 100 км/с, 4 < δ < 6000, c ≈ 0.83 км/с и условие

те [17] в диапазоне давлений 70 кбар ≤ p ≤ 210 кбар.

(1.3) оказывается выполненным, например, для зна-

чения h ≈ -10-3 при величинах числа Маха и сжа-

тия, удовлетворяющих условиям M ≥ 0.71, δ ≤ 170.

6.3. Сравнение с результатами численного

моделирования

В заключение отметим, что с учетом (4.1) и

(4.2) можно оценить характерное время экспоненци-

В [20] приведены результаты численного иссле-

ального возрастания акустических возмущений для

дования устойчивости ударных волн (см. гл. 12 в ра-

ударных волн в воде τ ≈ (2w²/ν)-1 ≈ 10-12 с, пред-

боте [20], а также [21,22]). Согласно этим расчетам

полагая, что ν ≈ O(10-6 м²/с), |w| ≈ O(10³ м/с) [2].

показано, что на сугубо нелинейной стадии разви-

При этом характерный масштаб изменения возму-

тие возмущений происходит в ситуации, которая в

щений в пространстве l-1 = L_x ≈ 10-9 м.

классической теории [8-10] соответствует нейтраль-

ной устойчивости при выполнении условия

Для астрофизических масштабов, соответствую-

щих численному моделированию в [7] для средне-

1 - M²(1 + δ)

го коэффициента кинематической вязкости (в пе-

h_min =

< h < h_max = 1 + 2M. (6.9)

1 + (δ - 1)M²

реходном слое) ν

≈ 4.5 · 10⁸ км²/с и величины

скачка скорости w = 0.6 км/с, получаем оценку

Кроме того, в [20] отмечается, что при выполнении

τ ≈ 6.25 · 108 с ≈ 19.9 лет. Однако, если учесть

условия (1.1) также имеет место неустойчивость, со-

величину численной (схемной) вязкости ν_num

≈

пряженная с образованием структуры из двух удар-

≈ 5 · 10¹¹ км²/с, то эта оценка уже будет намного

ных волн, следующих друг за другом. При этом

большей: τ ≈ 6.945 · 10¹¹ с ≈ 22100 лет.

для параметра Дьякова вне условий (6.9) или (1.1)

При этом характерное время существования

ударная волна была вполне устойчивой [20], когда

ударной волны (около 2 · 10⁵ лет) в рамках числен-

-1 < h < h_min.

ной модели [7] на порядок превышает последнюю

Из сопоставления условия (6.9) и полученного в

оценку, что указывает на допустимость реализации

настоящей работе условия неустойчивости (1.3) сле-

рассматриваемого в настоящей работе диссипатив-

дует, что интервал изменения параметра Дьякова,

ного механизма неустойчивости ударных волн.

определенный в (1.3), полностью попадает внутрь

интервала изменения этого параметра в условии

Из этих оценок следует, что рассматриваемые

(6.9). Действительно, верхний предел в (1.3) стро-

акустические возмущения быстро убывают при уда-

го меньше величины 1 < h_max для любых положи-

лении от плоскости фронта ударной волны. Они ста-

тельных M > 0, а величина h_min < 1 - 2M² для

новятся исчезающе малыми уже на расстояниях со-

любых 0 < M < 1. Отметим, что условие (1.3) со-

измеримых с шириной фронта ударной волны (в [7]

ответствует реализации абсолютной неустойчивости

ширина переходной области λ ≈ 3.6 · 10¹¹ км). Дис-

плоского фронта ударной волны, полученной в рам-

сипативная неустойчивость, реализуемая, в первую

ках линейной теории устойчивости. Оно при этом со-

очередь, в течении за фронтом ударной волны по

гласуется с указанными выше результатами числен-

типу неустойчивости в пограничном слое, приводит

ного моделирования нелинейной эволюции конечно-

и к неустойчивости самого фронта, наблюдаемой в

амплитудных возмущений.

эксперименте.

762

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Диссипативная неустойчивость ударных волн

7. ВЫВОДЫ

Из оценки величины инкремента экспоненци-

ального роста возмущений следует, что неустойчи-

вость плоского фронта ударной волны более ре-

Получены новые условия неустойчивости плос-

ализуема для случая жидкостей по сравнению с

кого фронта ударной волны произвольной интен-

газами, имеющими на порядок большие величины

сивности в произвольных средах при учете вязкости

коэффициентов кинематической вязкости. Получе-

среды. Это достигнуто при рассмотрении лишь од-

ны ограничения (6.7) на величину сжатия в воде,

них возмущений акустического типа, т. е. без учета

из которых в соответствии с данными эксперимента

возмущений энтропии. Получено условие неустой-

[17] можно ожидать возникновения неустойчивости

чивости относительно одномерных и двумерных воз-

плоского фронта ударной волны в воде в интервале

мущений, которое имеет одинаковый вид для этих

скоростей ударной волны (6.8). Вместе с тем, из по-

двух типов возмущений в пределе малой вязкости.

лученных в настоящей работе результатов следует

При этом инкремент неустойчивости относительно

необходимость в дальнейшем развитии теоретиче-

одномерных продольных возмущений в этом пре-

ских и экспериментальных исследований проблемы

деле существенно превышает инкремент экспонен-

устойчивости ударных волн, которая пока не мо-

циального роста во времени для обычно рассмат-

жет считаться вполне решенной. Отметим, что эти

риваемых гофрировочных двумерных возмущений.

результаты получены на основе обобщения класси-

Это означает, что на линейной стадии неустойчиво-

ческого подхода [8-10] к исследованию устойчивости

сти должны доминировать именно одномерные про-

ударных волн благодаря учету вязкости. При этом

дольные возмущения, которые только на нелиней-

не учитываются дополнительные возможности, ко-

ной стадии могут приводить к проявлению наблюда-

торые дает, например, подход, предложенный в [33]

емой в работе [11] гофрировочной неустойчивости.

при рассмотрении устойчивости ударной волны в

В настоящей работе установлен новый меха-

неинерциальной системе координат.

низм диссипативной неустойчивости фронта плос-

кой ударной волны. Физический смысл этого ме-

Благодарности. Выражаю признательность

ханизма состоит в реализации неустойчивости те-

В. Т. Гуровичу и Я. Е. Красику за поддержку и

чения за фронтом при достаточно больших числах

внимание на всех этапах подготовки статьи, а также

Рейнольдса подобно неустойчивости в пограничном

В. Е. Фортову, А. С. Пирожкову, А. М. Белобородо-

слое.

ву, Д. Бардину, М. А. Гарасеву и Е. П. Курбатову за

Приведенный пример неустойчивости расширя-

интерес к результатам работы и их обсуждение на

ет круг физических задач, где аналогичное явление

конференции FNP2019.

диссипативной неустойчивости исследовалось ранее

Финансирование. Работа выполнена при

и приводило к новому пониманию базовых меха-

поддержке Российского научного фонда (грант

низмов соответствующих явлений [16, 28, 29]. Рас-

№14-00806Р) и Израильского научного фонда (Israel

смотрено применение выводов теории, когда область

Science Foundation) (грант № 492/18).

неустойчивости (6.2), следующая из условия (1.3),

для ударной волны в реальных газах и в жидко-

ЛИТЕРАТУРА

стях получена на основе явного вида ударной адиа-

баты в форме (6.1). Важно, что представление для

1. Ya. B. Zel’dovich and Yu. P. Raizer, Physics of

ударной адиабаты (6.1) получается непосредствен-

Shock Waves and High Temperature Hydrodynamic

но из экспериментальных данных без привлечения

Phenomena, Academic Press, New York and London

каких-либо модельных представлений об уравнении

(1966).

состояния среды. В [30] показано, что использова-

2. A. Rososhek, S. Efimov, V. Gurovich, A. Virozub,

ние в уравнении Навье - Стокса для вязкой сжима-

S. V. Tewari, and Ya. E. Krasik, Phys. Plasmas 26,

емой среды представлений для давления на осно-

042302 (2019).

ве предположения о локальном термодинамическом

равновесии может приводить к некорректным выво-

3. A. Pirozhkov et al., Phys. Rev. Lett. 121, 074802

дам. При этом полученные в [30] выводы могут быть

(2018).

использованы и в связи с рассмотренной в [31, 32]

4. D. V. Bisikalo, A. G. Zhilkin, and E.P. Kurbatov,

аналогией между неустойчивостью ударной волны

arXiv:1810.04454v1 [astro-ph.HE].

и численной неустойчивостью при решении уравне-

ний Эйлера.

5. H. Ahmed et al., Phys. Rev. Lett. 110, 205001 (2013).

763

С. Г. Чефранов

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

М. А. Гарасев, А. И. Корытин, Ю. А. Мальков,

20.

В. Е. Фортов, Мощные ударные волны на Земле и

А. А. Мурзанев, А. А. Нечаев, А. Н. Степанов,

в космосе, Физматлит, Москва (2019), Гл. 12.

Письма в ЖЭТФ 105, 148 (2017).

21.

А. В. Конюхов, А. П. Лихачев, А. М. Опарин,

D. Badjin et al., MNRAS 459, 2188 (2016).

С. И. Анисимов, В. Е. Фортов, ЖЭТФ 125, 927

(2004).

С. П. Дьяков, ЖЭТФ 27, 288 (1954).

22.

А. В. Конюхов, А. П. Лихачев, В. Е. Фортов,

G. W. Swan and G. R. Fowles, Phys. Fluids 18, 28

С. И. Анисимов и др., Письма в ЖЭТФ 90, 21

(1975).

(2009).

10.

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Theoretical Physics.

23.

W. E. Deal, J. Appl. Phys. 28, 782 (1957).

Hydrodynamics, Pergamon Press, Oxford (1987).

24.

R. H. Christian and F. L. Yarger, J. Chem. Phys. 23,

11.

R. W. Griffits, R. J. Sandeman, and H. G. Hornung,

2042 (1955).

J. Phys. D: Appl. Phys. 8, 1681 (1975).

25.

R. H. Christian and F. L. Yarger, J. Chem. Phys. 23,

12.

Е. А. Кузнецов, М. Д. Спектор, Г. Е. Фалькович,

2045 (1955).

Письма в ЖЭТФ 30, 328 (1979).

26.

J. M. Richardson, A. B. Arons, and R. R. Halverson,

J. Chem. Phys. 15, 785 (1947).

13.

И. Е. Тамм, Труды ФИАН СССР 29, 239 (1965);

Собр. науч. трудов, т. 1, Наука, Москва (1975).

27.

S. Ridah, J. Appl. Phys. 64, 152 (1988).

14.

М. Д. Спектор, Письма в ЖЭТФ 35, 181 (1982).

28.

С. Г. Чефранов, Письма в ЖЭТФ 73, 311 (2001).

15.

A. G. Bashkirov, Phys. Fluids A3(5), 960 (1991).

29.

S. G. Chefranov, Phys. Rev. Lett. 93, 254801 (2004).

16.

С. Г. Чефранов, А. Г. Чефранов, ЖЭТФ 149, 1068

30.

S. G. Chefranov and A. S. Chefranov, Phys. Scr. 94,

(2016).

054001 (2019).

17.

M. H. Rice and J. M. Walsh, J. Chem. Phys. 26, 824

31.

J.-Ch. Robinet, J. Gressier, G. Casalis, and J.-M. Mo-

(1957).

schetta, J. Fluid Mech. 417, 237 (2000).

18.

A. C. Mitchell and W. J. Nellis, J. Chem. Phys. 76,

32.

J. Von Neumann and R. D. Richtmyer, J. Appl. Phys.

6273 (1982).

21, 232 (1950).

19.

K. Nagayama, Y. Mori, K. Shimada, and M. Naka-

33.

A. A. Lubchich and M. I. Pudovkin, Phys. Fluids 16,

hara, J. Appl. Phys. 91, 476 (2002).

4489 (2004).

764