ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 5, стр. 777-788

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И УСИЛЕНИЯ

УЛЬТРАКОРОТКИХ ТЕРАГЕРЦЕВЫХ ИМПУЛЬСОВ В

СИЛЬНОНЕРАВНОВЕСНЫХ ПЛАЗМЕННЫХ КАНАЛАХ,

СОЗДАННЫХ В ВОЗДУХЕ УФ-ФЕМТОСЕКУНДНЫМИ

ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ ПРИ МНОГОКВАНТОВОЙ

ФОТОИОНИЗАЦИИ

А. В. Богацкаяa,b,c*, Е. А. Волкова^a, А. М. Поповb,c,d**

^a Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына,

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

^b Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^c Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)

111024, Москва, Россия

^d Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 15 ноября 2019 г.,

после переработки 6 декабря 2019 г.

Принята к публикации 7 декабря 2019 г.

Теоретически исследуется процесс распространения ультракороткого терагерцевого (ТГц) импульса в

неравновесном плазменном канале, созданном УФ-фемтосекундным лазерным импульсом в воздухе. Ана-

лиз проводится на основе совместного решения волнового уравнения второго порядка и кинетического

уравнения Больцмана в двучленном приближении для функции распределения электронов по скоростям

в плазме канала. Предполагается, что ТГц-импульс достаточно слабый и не оказывает обратного влия-

ния на энергетический спектр электронов в плазме канала. Показано, что плазменный канал в воздухе

при давлении в несколько атмосфер является средой для эффективного усиления предельно коротких

ТГц-импульсов в диапазоне частот до нескольких терагерц.

DOI: 10.31857/S0044451020050028

Среди различных методов и подходов к генера-

ции излучения терагерцевого диапазона частот в по-

следнее время все более активно рассматриваются

1. ВВЕДЕНИЕ

лазерные методы генерации [9-11]. В этом случае

В последние годы быстро возрастает интерес к

речь, как правило, идет о воздействии на газовую

эффективным источникам и приемникам излучения

мишень высокоинтенсивного фемтосекундного ла-

терагерцевого диапазона частот. Этот интерес обу-

зерного импульса титан-сапфирового лазера и его

словлен уникальными свойствами такого излучения

второй гармоники [12-15]. Одним из механизмов те-

для многих научных и прикладных задач, в частно-

рагерцевой генерации в этом случае является про-

сти, спектроскопии макромолекул, томографии био-

цесс четырехволнового смешения Ω = ω^′ +ω^′′ -2ω^′′′.

логических объектов, в том числе для медицинских

Здесь ω^′, ω^′′ — частоты, лежащие в пределах спект-

приложений, в системах безопасности и т. п. [1-8].

ральной ширины импульса с частотой ω, а ω^′′′ —

частота, лежащая в пределах спектральной шири-

^* E-mail: annabogatskaya@gmail.com

ны лазерного импульса с удвоенной частотой 2ω.

^** E-mail: alexander.m.popov@gmail.com

777

А. В. Богацкая, Е. А. Волкова, А. М. Попов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Эффективность преобразования при этом определя-

в то время как процесс четырехволнового смеше-

ется значением кубической атомной восприимчиво-

ния происходит на нейтральных (неоинизованных)

сти χ⁽³⁾(ω^′ + ω^′′ - 2ω^′′′), а ширина спектра получа-

атомах/молекулах среды. В обоих случаях, одна-

ющего ТГц-сигнала фактически определяется спек-

ко, эффективность конверсии оптического излуче-

тральной шириной линий титан-сапфирового лазера

ния в терагерцевый диапазон, как правило, невели-

и его второй гармоники. При этом сам терагерце-

ка и составляет ∼ 10-4-10-6 [20-24]. В такой ситу-

вый (ТГц) импульс генерируется только в пределах

ации задача повышения эффективности преобразо-

длительности лазерного воздействия и имеет широ-

вания оптического излучения в излучение терагер-

кий спектр порядка обратной длительности лазер-

цевого диапазона является актуальной.

ного импульса. Для импульсов длительностью око-

С другой стороны, в работе [25] был предложен

ло 100 фс эта величина составляет приблизительно

способ усиления излучения субтерагерцевого диапа-

10¹³ c-1.

зона частот в сильнонеравновесных плазменных ка-

Существует и другой механизм генерации тера-

налах, созданных в газе в результате его многофо-

герцевого излучения при двухцветном лазерном воз-

тонной ионизации УФ-фемтосекундным лазерным

действии на газовые среды. Он обусловлен асиммет-

импульсом. Необходимым условием усиления излу-

рией вылета фотоэлектронов в направлении поляри-

чения с частотой ω < υ_tr (υ_tr — транспортная час-

зации поля излучения (обе компоненты поля полага-

тота электрон-атомных столкновений в плазменном

ются поляризованными линейно вдоль одного и то-

канале) является наличие достаточно быстро расту-

го же направления) при ионизации атома в сильном

щего с увеличением энергии транспортного сечения

двухцветном поле, в результате чего к концу лазер-

рассеяния σ_tr(ε) в области формирования в спектре

ного импульса в создающемся плазменном образова-

электронов фотоэлектронного пика:

нии возникают низкочастотные плазменные колеба-

ния [11,16-18]. Частота этих колебаний определяет-

(ε/σ_tr(ε)) > 0.

(1)

dε

ся концентрацией электронов в возникшем плазмен-

ном образовании, а также его формой. Например,

Такая ситуация реализуется, например, при трех-

для сферического плазменного образования (такой

фотонной ионизации ксенона излучением эксимер-

случай примерно соответствует острой фокусиров-

ного KrF-лазера, энергия кванта 5 эВ [25]. Потен-

ке лазерного пучка) частота плазмонного резонан-

циал ионизации атома ксенона составляет 12.13 эВ,

√

са есть Ω = ωp/

3 (здесь ω_p

4πe²n_e/m —

поэтому при его ионизации в спектре фотоэлектро-

плазменная частота, n_e — концентрация электро-

нов в области энергий ≈ 2.87 эВ возникает пик,

нов). При фокусировке излучения длиннофокус-

наличие минимума Рамзауэра в транспортном се-

ной линзой форму плазменного образования мож-

чении рассеяния обеспечивает выполнение условия

но аппроксимировать вытянутым эллипсоидом вра-

(1). Такой вид функции распределения электронов

√

щения, в этом случае частота Ω

≈ ω_p/

2 [19].

по энергиям (ФРЭЭ) фактически означает нали-

При электронных плотностях n_e ≥ 10¹⁵-10¹⁶ см-3

чие интервала энергий, характеризующегося инвер-

соответствующие частоты попадают в терагерце-

сией в континууме, что в конечном счете и при-

вый диапазон. Длительность импульса терагерце-

водит к возможности эффекта усиления [26, 27].

вой генерации в данном случае определяется скоро-

С другой стороны, обсуждаемый эффект усиления

стью затухания плазменных колебаний, т. е. часто-

по своей природе близок к явлению отрицатель-

той электрон-атомных (или ионных) столкновений.

ной абсолютной проводимости газа, предсказанно-

При давлениях газа, близких к атмосферному, эта

му еще в [28] и наблюдавшемуся эксперименталь-

частота, как правило, лишь немного меньше резо-

но [29]. При атмосферном давлении газа (ксенона)

нансной частоты Ω. В результате ширина спектра

в области формирования фотоионизационного пика

излучения также оказывается порядка несущей час-

величина σ_tr(ε = 2.87 эВ) ≈ 1.5·10-15 см-2, что при-

тоты, а ТГц-импульс оказывается коротким, состо-

водит к возможности усиления излучения в субтера-

ящим из одного-двух или нескольких периодов ко-

герцевом диапазоне частот на временах до несколь-

лебаний.

ких десятков наносекунд [25]. При этом эффектив-

Существенное различие рассматриваемых меха-

ность процесса усиления может быть достаточно ве-

низмов генерации приводит к тому, что для воз-

лика: по оценкам [30] несколько процентов энер-

буждения плазменных колебаний в плазме требуют-

гии, запасенной в канале, может быть переведена в

ся значительно более сильные оптические поля, по-

энергию ТГц-импульса. Повышение давления газа,

скольку необходима значительная ионизация газа,

ускоряя процесс релаксации неравновесного (пич-

778

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Особенности распространения и усиления...

Сечение, см²

-16

5. 10

3. 10^-15

4. 10^-16

2. 10^-15

3. 10^-16

2. 10^-16

1. 10^-15

1. 10^-16

Энергия, эВ

Рис. 1. Транспортное сечение рассеяния электронов на мо-

Рис. 2. Сечения колебательного возбуждения двух нижних

лекулах азота

состояний молекулы азота

кового) энергетического распределения и уменьшая

лебательных состояний молекулы азота от энергии

длительность наблюдаемого эффекта инверсии, поз-

приведены на рис. 2. (Данные по необходимым се-

воляет усиливать более высокочастотное излучение

чениям электронного рассеяния на молекулах азота

терагерцевого диапазона. Как мы уже отмечали, су-

и кислорода можно найти в [35, 36].)

ществующие лазерные методы ТГц-генерации, как

Как видно, сечения характеризуются резким

правило, позволяют получать импульсы длитель-

максимумом около 2 эВ. Поэтому, чтобы избежать

ностью в один-два периода колебаний (см. также

быстрой деградации энергетического пика в спек-

[18,31,32]. Поэтому, например, для частоты излуче-

тре фотоэлектронов, его положение желательно вы-

ния Ω = 5 · 10¹² с-1 оказывается достаточным удер-

брать в области энергий 1.7-1.9 эВ. Такое начальное

живать усиливающие свойства среды на протяже-

положение фотоэлектронного пика может быть по-

нии 1-2 пс. Как результат, в [33] был предложен ком-

лучено в воздухе в результате трехфотонной иони-

бинированный источник ТГц-излучения, в котором

зации молекулы кислорода (потенциал ионизации

затравочный импульс создается при воздействии на

12.08

эВ) третьей гармоникой титан-сапфирового

газовую среду двухцветного лазерного поля, а затем

лазера [34]. Однако и в этом случае при атмосфер-

он многократно усиливается в неравновесном плаз-

ном давлении длительность режима усиления со-

менном канале в соответствии с описанным выше

ставляет не более 20 пс [34]. Фактически это озна-

механизмом. При этом теоретически может оказать-

чает, что в воздухе (азоте) возможно лишь уси-

ся, что для создания неравновесного канала может

ление предельно коротких терагерцевых импуль-

использоваться один из лазерных импульсов, созда-

сов длительностью в несколько периодов колеба-

ющих терагерцевый затравочный сигнал.

ний поля. В то же время в цитированных вы-

В работе [34] было показано, что режим усиления

ше работах [30, 34] анализ кинетического уравне-

радиочастотных импульсов может реализовываться

ния Больцмана проводился для квазимонохромати-

также в плазменных каналах, созданных УФ-фем-

ческого радиочастотного излучения. Такой подход

тосекундным лазерным импульсом, в азоте или в

неправомерен для анализа отклика плазменной сре-

воздухе. В основе эффекта также лежит возраста-

ды на электромагнитные импульсы предельно ко-

ние транспортного сечения в азоте в интервале энер-

роткой длительности вследствие сильной зависи-

гий 1.5-2.2 эВ (см. рис. 1). Однако при этом суще-

мости спектральной функции отклика электронно-

ственным оказывается наличие низколежащих коле-

го газа от частоты излучения. С другой стороны,

бательных состояний молекулы азота, которые при-

возможность использования параболического при-

водят к гораздо более быстрой релаксации энерге-

ближения для изучения распространения импуль-

тического спектра электронов в азоте (воздухе) по

сов ультракороткой длительности также вызыва-

сравнению с его релаксацией в инертных газах. За-

ет сомнения. Поэтому в данной работе реализован

висимости сечения возбуждения двух нижних ко-

самосогласованный подход, основанный на реше-

779

А. В. Богацкая, Е. А. Волкова, А. М. Попов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

нии волнового уравнения второго порядка для ТГц-

f (v, t) = f₀(ν, t) + f₁(ν, t) cos θ.

(5)

импульса, распространяющегося в плазме, функция

В этом случае уравнение для f₁(ν, t) может быть за-

отклика которой вычислялась для сильно немоно-

писано в виде

хроматического импульса в условиях быстро релак-

сирующего во времени энергетического распределе-

∂f₁(ν, t)

eE(t) ∂f₀

+ υ_tr(ν)f₁(ν,t) =

(6)

ния электронов. Проведенный анализ показал воз-

∂t

∂ν

можность эффективного усиления ультракоротких

где υ_tr — транспортная частота рассеяния. Напри-

импульсов ТГц-излучения в воздушной плазме при

мер, для воздуха υ_tr есть сумма парциальных транс-

давлении в несколько атмосфер. При этом процесс

портных частот рассеяния на молекулах азота и кис-

усиления сопровождается существенным искажени-

лорода:

ем спектрального состава сигнала, что, в частности,

(

)

ведет к затягиванию сигналов на выходе из усили-

υ_tr = υNtr + υOtr = υN

ασNtr + (1 - α)σOtr

(7)

вающей среды.

Здесь N — полная концентрация молекул в газе, α ≈

≈ 0.79 — парциальная доля молекул азота в воздухе,

2. ОТКЛИК ПЛАЗМЕННОГО

а σNtr, σOtr — транспортные сечения рассеяния элект-

ОБРАЗОВАНИЯ НА ВНЕШНЕЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

ронов на молекулах соответственно азота и кисло-

рода (эти сечения были взяты из работ [35, 36]).

При анализе отклика плазменного образования,

Что касается нулевой гармоники функции рас-

созданного интенсивным УФ-фемтосекундным ла-

пределения f₀(ν, t), то ее временная эволюция опи-

зерным импульсом, на внешнее поле ТГц-диапазона

сывается уравнением

частот будем опираться на кинетическое уравнение

∂f₀(ν, t)

eE(t) ∂

(

)

Больцмана для функции распределения электронов

ν²f₁(ν, t)

по скоростям (ФРЭС) в канале [37]:

∂t

3mν² ∂ν

+ Q_el(f₀) + Q^∗(f₀) + Q_ee(f₀).

(8)

∂f(v,t)

eE(t) ∂f

= St(f),

(2)

∂t

∂v

Здесь первое слагаемое описывает нагрев электрон-

ного газа полем волны, а второе, третье и четвертое

где E(t) — электрическое поле распространяюще-

представляют собой интегралы упругих, неупругих

гося в канале ТГц-импульса, St(f) — интеграл

и электрон-электронных столкновений соответст-

столкновений, описывающий изменение ФРЭС в

венно. Интеграл упругих соударений может быть за-

упругих и неупругих столкновениях, а сама функ-

писан в виде [37]

ция распределения нормирована согласно условию

∫

f (v, t) d³ν = 1. В случае линейной поляризации

∂

ТГц-импульса анализ уравнения (2) удобно прово-

Q_el(f₀) = -

ν² ∂ν

дить в рамках полиномиального разложения

(

))

T_g ∂f₀

∑

× ν²υeff νf0(ν, t) +

(9)

f (v, t) =

f_ℓ(ν, t)P_ℓ(cosθ),

(3)

m ∂ν

ℓ

Здесь

где P_ℓ(cos θ) — полином Лежандра, θ — угол между

υ_eff =

υNtr(ν) +

υOtr(ν)

M_N

M_O

направлением вектора скорости электрона и векто-

ром электрического поля волны (осью z). Легко по-

— эффективная частота потери энергии, M_N и M_O —

казать, что ток, вызванный в плазме электрическим

массы молекул соответственно азота и кислорода,

полем E(t), также направлен вдоль оси z и выража-

υNtr и υOtr — соответствующие парциальные транс-

ется через первую угловую гармонику полиномиаль-

портные частоты, T_g — газовая температура. Среди

ного разложения:

неупругих процессов в рассматриваемом нами слу-

∫

чае наиболее существенным является процесс воз-

4π

j(t) = -

en_e ν³f₁(ν, t)dν.

(4)

буждения колебательных состояний молекулы азо-

та (более подробно см. [34]). Что касается элект-

В случае достаточно слабой анизотропии ФРЭС (эта

рон-электронных соударений, то интеграл для них

анизотропия может быть вызвана воздействующим

рассмотрен в работе [37]. Доминирование этих со-

полем, а также задана начальной функцией распре-

ударений ведет к максвеллизации спектра электро-

деления) в разложении (3) достаточно ограничиться

нов. В работе [38] было показано, что при атмо-

лишь двумя первыми гармониками:

сферном давлении влиянием электрон-электронных

780

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Особенности распространения и усиления...

соударений на вид энергетического спектра можно

где функция отклика задана выражением

пренебречь по крайней мере вплоть до концентра-

∫

(

)

ции n_e = 10¹⁴ см-3.

4πe²n_e

∂f₀(ν, t - τ)

σ(τ, t - τ) =

ν³

Будем считать, что к моменту прохождения че-

∂ν

рез плазменный канал терагерцевого импульса в нем

× exp(-υ_tr(ν)τ) dν.

(13)

сформировалось изотропное распределение элек-

тронов по скоростям, определяемое процессом трех-

При этом нулевая гармоника f₀(ν, t - τ) определя-

фотонной ионизации молекул кислорода излучени-

ется из решения уравнения (8) и в общем случае са-

ем третьей гармоники Ti-Sa-лазера (ℏω = 4.65 эВ).

ма зависит от напряженности электрического поля

В этом случае энергия, соответствующая пику фото-

волны. Это означает, что связь (12) между плотнос-

электронов, 〈ε〉 = 1.87 эВ. Будем аппроксимировать

тью тока и полем оказывается нелинейной, и фак-

фотоэлектронный пик гауссоидой шириной Δε =

тически в спектре импульса по мере его распростра-

= 0.1 эВ, центрированной вблизи 〈ε〉:

нения будут появляться частоты, отсутствующие в

начальном импульсе. В случае достаточно слабых

3/2

f₀(ν) =

√

усиливаемых импульсов, однако, влиянием электри-

4π Δε

2π(mν²/2)

ческого поля волны на временную эволюцию f₀(ν, t)

(

)₂ )

можно пренебречь, считая, что релаксация спектра

mν²/2 - 〈ε〉

× exp

(10)

определяется только процессами упругих и неупру-

(Δε)²

гих, а также электрон-электронных столкновений. В

Такая ФРЭС эквивалентна использованному в рабо-

данной работе мы ограничимся именно таким слу-

те [34] начальному энергетическому распределению

чаем. По оценкам [34] такая ситуация реализуется

электронов.

по крайней мере вплоть до интенсивности ТГц-по-

Вопрос об угловом распределении фотоэлектро-

ля порядка 10³ Вт/см². При более высоких значе-

нов на самом деле требует более внимательного рас-

ниях интенсивности ТГц-излучения дополнительное

смотрения. При многофотонной ионизации молекул

диффузионное размывание фотоэлектронного пика

азота или кислорода с произвольной ориентацией

в энергетическом пространстве будет снижать эф-

молекулярных осей это распределение, безусловно,

фективность усиления в канале.

не является строго изотропным и требует специаль-

Как видно, выражения (12) и (13) демонстриру-

ного изучения. Однако оно достаточно быстро изо-

ют эффект запаздывания — ток в плазме определя-

тропизуется на времени порядка обратной транс-

ется электрическим полем, в том числе и в преды-

портной частоты, которое в рассматриваемых ни-

дущие моменты времени, при этом «глубина запаз-

же условиях не превышает 100 фс и может ока-

дывания» определяется обратной транспортной час-

заться сопоставимым с длительностью ионизующего

тотой, которая различна для различных скоростей

УФ-импульса.

электронов. Кроме того, функция отклика опреде-

Общее решение уравнения (6) для заданной ну-

ляется функцией распределения электронов по ско-

левой гармоники f₀(ν, t), произвольной функции

ростям также в запаздывающий момент времени.

E(t) и начального условия f₁(ν, t → -∞) = 0 (т. е.

Очевидно, эффект запаздывания особенно важен

начальное распределение по скоростям является

при анализе распространения импульсов предельно

изотропным) записывается в виде

короткой длительности и в газах, в которых проис-

ходит быстрая временная эволюция ФРЭС.

f₁(ν, t → -∞) =

exp(-υ_tr(ν)t) ×

Интегрируя выражение (13) по частям и с уче-

том условия нормировки, получим

∫t

∂f₀(ν, t^′)

× exp(υ_tr(ν)t^′)E(t^′)

dt^′.

(11)

∫

∂ν

4πe²n

−∞

σ(τ, t - τ) =

ν²f₀(ν, t - τ)×

(

)

Подставляя (11) в (4) для тока, индуцированно-

ντ dυ_tr(ν)

× 1-

exp(-υ_tr(ν)τ) dν.

(14)

го в плазме терагерцевым импульсом, получаем

dν

(см. [39])

Из физического смысла эффекта запаздывания от-

∫^t

клика ясно, что функция отклика определена лишь

j(t) = σ(τ, t - τ)E(t - τ) dτ,

(12)

для положительного значения аргумента t - τ > 0,

для отрицательного значения второго аргумента

781

А. В. Богацкая, Е. А. Волкова, А. М. Попов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

t -τ < 0 следует считать, что функция отклика

обращается в нуль.

Записанное в таком виде выражение демонстри-

рует возможность эффекта усиления электромаг-

нитного излучения в плазме. Действительно, при

растущем с увеличением скорости транспортном се-

чении рассеяния выражение в скобках в правой час-

ти (14) может давать отрицательный вклад в интег-

рал, и, если именно этот интервал скоростей бу-

дет вносить определяющий вклад в интеграл (14),

то функция отклика может стать отрицательной и

возникнет эффект отрицательного поглощения, т. е.

усиления электромагнитной волны в плазме. При

этом существенно, что эффект усиления зависит

Зона усиления

также от наличия запаздывания, поскольку возни-

Волноводная зона

кающий в плазме ток является нелокальной функ-

цией поля. Подробный анализ функции отклика для

Рис. 3. Схематическое изображение ТГц-импульса (1), рас-

пространяющегося в волноводном канале, созданном УФ-

азотной плазмы и пичковой функции распределения

лазерным импульсом (2). Штриховыми кривыми обозна-

по скоростям вида (10) содержится в работе [39].

чены волноводная зона и зона усиления ТГц-сигнала

3. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ

где плотность тока в плазме связана с электричес-

ким полем соотношением

Остановимся коротко на численной модели, ко-

∫

торая нами использовалась для анализа процесса

j(x, t) = σ(τ, t - x/c - τ)E(x, t - τ) dτ,

(16)

распространения в плазме ТГц-импульса в условиях

быстрого изменения ФРЭС. Будем считать, что по

а функция отклика задается выражением (14), но

газу со скоростью света распространяется ионизую-

зависит от запаздывающего аргумента t - x/c,

щий фемтосекундный импульс, создающий за собой

что соответствует образованию фотоионизационной

пространственную область, в которой возможно уси-

плазмы фемтосекундным УФ-импульсом, распрост-

ление терагерцевого сигнала. Размер этой области

раняющимся в положительном направлении оси x со

определяется скоростью релаксации ФРЭС. В этой

скоростью света. Фактически, запаздывающий аргу-

зоне усиления и должен распространяться импульс

мент означает, что ФРЭС, определяющая функцию

ТГц-излучения (см. рис. 3). Отметим также, что

отклика (14), оказывается разной в различных про-

одновременно с режимом усиления радиочастотно-

странственных точках канала, поскольку длитель-

го излучения в канале может возникать волновод-

ность процесса ее релаксации в заданной простран-

ный режим [38], поскольку показатель преломления

ственной точке есть t - x/c. При этом в области

неравновесной плазмы оказывается больше едини-

t - x/c - τ < 0 функция отклика равна нулю.

цы, т. е. плазма оказывается оптически более плот-

При выборе начальных условий (t = 0) для урав-

ной средой по сравнению с неионизованным газом

нения (15) мы предполагаем, что фемтосекундный

[40]. При этом размер волноводной зоны оказывает-

импульс находится в точке с координатой x = 0, уже

ся более протяженным, чем размер зоны усиления.

сформированный затравочный ТГц-импульс нахо-

С другой стороны, для поперечного размера пуч-

дится в неоинизованном газе (вакууме) в области

ка ТГц-излучения в несколько миллиметров ди-

отрицательных значений координаты. Этот импульс

фракционная длина для ТГц-излучения с частотой

удобно задать через векторный потенциал

10¹³

с-1 составляет примерно 30 см. Эти обстоя-

тельства на уровне качественного анализа позволя-



ют ограничиться рассмотрением задачи на основе

A(ξ ∈ (-ℓ, 0))

t=0

одномерного волнового уравнения второго порядка:

(

) (

))

ξ-ℓ

∂²E(x, t)

1 ∂²E(x, t)

4π ∂j(x, t)

=A₀

sin⁵

sin

2π

(17)

(15)

∂x²

c²

∂t²

c²

∂t

ℓ

782

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Особенности распространения и усиления...

Здесь ξ = x - ct, ℓ = 0.038 см — протяженность им-

и его производной по времени будет определяться

пульса в пространстве. Вне указанного интервала

однократным и двукратным дифференцированием

(-ℓ, 0) векторный потенциал полагался равным ну-

выражения (17) по времени. В частности, для на-

лю. Тогда начальное значение электрического поля

чального распределения поля получим

⎛

(

) (

)

⎞

x-ℓ

sin⁵

cos

2π

⎜

ℓ

⎟

E(x ∈ (-ℓ, 0), t = 0) = E₀

⎜

(

) (

)

⎟

(18)

⎝

⎠

x-ℓ

sin⁴

cos π

sin

2π

ℓ

Здесь E₀ = 2πA₀/ℓ.

тенсивностей усиливаемого ТГц-импульса эта эво-

Импульс, заданный в форме (17), (18) — одно-

люция определяется, прежде всего, возбуждением

цикловый импульс, причем обеспечивается равенст-

фотоэлектронами колебательной степени свободы

∫

во нулю интеграла

E(x) dx = 0. Выполнение этого

молекул азота и подробно рассмотрена в [34]. При

условия означает отсутствие статической компонен-

этом расчеты показывают, что при атмосферном

ты поля у лазерного импульса. Сам импульс имеет

давлении обратным влиянием усиливаемого поля на

длительность τ = ℓ/c ≈ 1.26 · 10-12 с и находит-

энергетический спектр электронов в плазме кана-

ся в области отрицательных значений координаты

ла можно пренебречь вплоть до значений интенсив-

(см. рис. 4а), а точка x = 0 соответствует переднему

ности 10³ Вт/см² на временах до 20 пс. Что каса-

фронту импульса.

ется межэлектронных столкновений, то в воздуш-

Спектральный состав ТГц-импульса, заданного

ной (азотной) плазме при атмосферном давлении их

с помощью (18),

влияние несущественно по крайней мере при n_e ≤

∫



≤ 10¹⁴ см-3 [38].



²



(x, t = 0) exp(ikx) dx

(19)

Ik=ω/c ∼

 E



Для нас наиболее существенным является то об-

приведен на рис. 4б. Как видно, рассматриваемый

стоятельство, что при начальном положении фото-

нами импульс действительно характеризуется ши-

электронного пика около 1.8 эВ при его эволюции

роким спектром излучения по частотам, фактичес-

во времени примерно сохраняется начальная форма

ки от нуля до 20 ТГц, причем максимум спектраль-

энергетического распределения [34], в то время как

ной интенсивности примерно соответствует частоте

пик как целое смещается в область меньших энергий

10¹³ с-1. В такой ситуации низкочастотная часть

в результате потери энергии на колебательное воз-

этого спектра может усиливаться, а высокочастот-

буждение молекул азота. Энергетическое положение

ная, наоборот, поглощаться (см. [38]). Как резуль-

пика фотоэлектронов 〈ε(x)〉 в зависимости от удале-

тат, импульс будет существенно искажаться и затя-

ния от создающего плазму канала фемтосекундно-

гиваться.

го лазерного импульса, распространяющего в газе со

Методика численного решения волнового урав-

скоростью света, приближенно можно описать урав-

нения второго порядка (15) обсуждается в рабо-

нением

те [41]. Шаг интегрирования уравнения по време-

d〈ε〉

ни был равен Δt = 4.8834 · 10-16 с. Шаг простран-

= -cυ^∗ν(〈ε〉)I_ν,

(20)

ственной дискретизации Δx = cΔt ≈ 1.465 · 10-5 см.

где υ^∗ν — частота возбуждения колебательного со-

Размер пространственной области счета составлял

стояния молекулы азота, I_ν = 0.29 эВ — величина

0.12-0.24 см в зависимости от условий задачи. Урав-

колебательного кванта молекулы азота. Что каса-

нение интегрировалось в таких условиях, что грани-

ется упругих соударений с молекулами азота или

цы области счета являлись удаленными.

кислорода, то доля потери энергии электроном с

энергией ε в одном упругом столкновении составля-

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

ет ∼ (2m/M)ε (M — масса молекулы азота или кис-

лорода), это делает потери энергии в упругих столк-

Начнем анализ с обсуждения эволюции функции

новениях пренебрежимо малыми по сравнению с по-

распределения электронов в воздушной плазме, соз-

терями энергии при колебательных возбуждениях.

данной третьей гармоникой титан-сапфирового ла-

Решения уравнения (20) для различных концентра-

зера. Как уже отмечалось, в случае небольших ин-

783

А. В. Богацкая, Е. А. Волкова, А. М. Попов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

ций молекул N приведены на рис. 5. Полученные

С другой стороны, понижение давления газа ве-

данные показывают, что размер зоны усиления (он

дет к понижению критической частоты ω^∗, разде-

соответствует положению фотоионизационного пи-

ляющей области усиления и поглощения ТГц-сиг-

ка в области 〈ε〉 ≥ 1.5 эВ) во всех случаях не меньше

нала. Такой режим распространения импульса для

0.1 см, что существенно больше длительности рас-

N = 3 · 10¹⁹ cм-3 и n_e = 3 · 10¹³ cм-3 представ-

сматриваемого нами импульса. Что касается меж-

лен на рис. 8. В этом случае ω^∗ ≈ 2.5 · 10¹³ с-1 и

электронных соударений, то они приводят к диффу-

происходит поглощение большей части начального

зионному уширению пика фотоэлектронов. Однако

импульса, кроме его низкочастотной составляющей.

оценки и расчеты, проведенные в работах [34,38], по-

Однако на больших длинах распространения излу-

казывают, что в условиях наших расчетов при n_e ≤

чения в канале начинает проявляться усиление низ-

≤ 10¹⁴ см-3 влиянием этих соударений на вид энер-

кочастотной части ТГц-импульса, причем максимум

гетического распределения электронов можно пре-

его спектральной интенсивности оказывается в об-

небречь.

ласти ∼ 10¹² с-1. Такому значению частоты соот-

ветствует длина волны ≈ 0.2 см, что в несколько

Обсудим теперь результаты решения волнового

раз превышает длительность начального импульса.

уравнения (15) с функцией отклика в виде (16) и

Поэтому в процессе распространения и поглощения

начальным условием (17). На рис. 6 приведена эво-

в канале начального ТГц-импульса и усиления низ-

люция импульса ТГц-излучения и его спектрально-

кочастотной его части у ТГц-импульса формируется

го состава для концентрации газа N = 10²⁰ cм-3 и

«хвост», все более отстающий от УФ-лазерного им-

концентрации электронов n_e = 3 · 10¹³ см-3. Расчет-

пульса (см. рис. 8). В результате образуется новый

ные данные (см. рис. 6а) представлены в координа-

низкочастотный одноцикловый импульс указанной

тах, «привязанных» к формирующему плазму фем-

выше длительности (см. рис. 8).

тосекундному лазерному импульсу, находящемуся в

Что касается зависимости эффекта усиления от

пространственной точке с координатой x = 0 и дви-

концентрации электронов в плазменном канале, то

жущемуся со скоростью света. Расчеты показывают,

в отсутствие электрон-электронных соударений ве-

что, действительно, высокочастотная часть спектра

личина усиления (поглощения) ТГц-сигнала оказы-

импульса поглощается, в то время как низкочастот-

вается пропорциональной электронной плотности.

ная — усиливается. При этом граничная частота,

Более подробно теперь проанализируем измене-

разделяющая зоны поглощения и усиления сигнала,

ние энергии импульса во времени по мере его рас-

оказывается примерно равной 7 · 10¹² с-1, что близ-

пространения в плазме канала. Соответствующие

ко к центральной ширине ТГц-импульса и примерно

данные приведены на рис. 9. Как видно, в случае

соответствует частоте ω^∗ ≈ υ_tr/2 [38], где значение

высокого давления газа (N = 3 · 10²⁰ см-3), когда

транспортной частоты взято для энергии электро-

в зоне усиления находится практически вся полоса

на 1.87 эВ. Сужение спектра усиливаемого импуль-

частот ТГц-импульса, его энергия растет примерно

са и изменение его центральной частоты примерно

экспоненциально в процессе распространения по ка-

до значения 3 · 10¹² с-1 приводят к существенному

налу. При этом коэффициенты усиления излучения

возрастанию его длительности.

составляют 0.0302 см-1 и 0.117 см-1 для электрон-

Другая ситуация реализуется для случая N =

ных концентраций в каналах n_e = 3 · 10¹³ см-3 и

= 3 · 10²⁰ cм-3 и n_e = 3 · 10¹³ см-3 (см. рис. 7).

n_e = 10¹⁴ см-3 соответственно. С понижением дав-

Повышение давления газа ведет к увеличению зна-

ления газа ситуация становится более сложной. Все

чения критической частоты, разделяющей области

большая часть спектрального состава импульса ока-

поглощения и усиления ТГц-сигнала. В результа-

зывается в зоне поглощения, в результате чего его

те фактически весь спектральный состав импульса

высокочастотная часть поглощается (на небольших

попадает в полосу усиления. При этом увеличение

длинах распространения это приводит к уменьше-

транспортной частоты ведет к уменьшению «глуби-

нию энергии импульса). В то же время низкочас-

ны памяти» системы (см. выражение (14) для от-

тотная часть импульса усиливается, что приводит к

клика системы). В такой ситуации элементарный

возрастанию полной энергии импульса при превы-

анализ вида функции отклика (14) показывает, что

шении некоторой критической длины распростране-

рост концентрации молекул (атомов) среды ведет к

ния. Например, для концентраций N = 10²⁰ см-3 и

уменьшению по абсолютному значению величины σ

n_e = 3 · 10¹³ см-3 эта критическая длина состав-

и, как следствие, к уменьшению коэффициента уси-

ляет приблизительно 10 см. В такой ситуации, как

ления.

уже отмечалось, спектральный состав импульса су-

784

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Особенности распространения и усиления...

E, отн. ед.

I, отн. ед.

0.4

3. 10^-7

2. 10^-7

-0.4

1. 10^-7

-0.8

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

1. 10¹³

2. 10¹³

, c^-1

x, см

Рис. 4. Начальный импульс ТГц-излучения (а) и его спектральный состав (б)

, эВ

ется некоторая задержка ТГц-сигнала относитель-

но формирующего канал фемтосекундного УФ-им-

1.8

пульса. Результаты расчета усиления импульса в ка-

нале длиной L = 30 см (отношение интенсивности

излучения на длине L к начальному значению ин-

1.7

тенсивности) с плотностью газа N = 3 · 10²⁰ см-3

и концентрацией электронов n_e = 3 · 10¹³ см-3 для

1.6

различных задержек между УФ-лазерным и тера-

герцевым импульсами представлены на рис. 10. Как

видно, вследствие быстрой релаксации энергетиче-

1.5

ского спектра фотоэлектронов в результате коле-

бательного возбуждения молекул азота в условиях

1.4

наших расчетов усиление импульса возможно лишь

-0.12

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

для задержек, не превышающих 1 пс.

x-ct, см

Рис. 5. Распределение средней энергии фотоэлектронного

пика вдоль плазменного канала, созданного при иониза-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ции воздуха третьей гармоникой титан-сапфирового лазе-

ра для различных концентраций N = 3 · 10¹⁹ (1), 10²⁰

Таким образом, в данной работе на основе сов-

(2), 3 · 10²⁰ (3) см-3. Фемтосекундный лазерный импульс,

формирующий плазменный канал находится в точке с ко-

местного анализа волнового уравнения второго по-

ординатой x = 0

рядка и кинетического уравнения Больцмана для

функции распределения электронов по скоростям

рассмотрена модель распространения ультракорот-

щественно «краснеет», а плазма канала может быть

кого ТГц-импульса в сильнонеравновесном плазмен-

рассмотрена как среда, преобразующая проходящее

ном канале, созданном в воздухе излучением тре-

через нее излучение в более низкочастотное. При

тьей гармоники титан-сапфирового лазера. Эффект

этом сам распространяющийся импульс затягивает-

усиления ТГц-импульса достигается из-за формиро-

ся, а изменение его энергии по мере распростране-

вания фотоионизационного пика в спектре электро-

ния не может быть описано экспоненциальным за-

нов, расположенного в области растущего с увели-

коном.

чением энергии транспортного сечения рассеяния.

До сих пор мы рассматривали ситуацию, когда

Построенная модель учитывает изменение во време-

начало переднего фронта ТГц-импульса совпадает

ни функции отклика на внешнее ТГц-поле, обуслов-

с положением фемтосекундного лазерного импуль-

ленное релаксацией функции распределения элек-

са. Остановимся теперь на ситуации, когда име-

тронов по скоростям, которая определяется, преж-

785

ЖЭТФ, вып. 5

А. В. Богацкая, Е. А. Волкова, А. М. Попов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

E, отн. ед.

I, отн. ед.

1.0

1.6 . 10^-6

0.5

8.0 . 10^-7

-0.5

-1.0

-0.12

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

5.0

. 1012

1.0

. 1013

1.5

. 1013

2.0

. 1013

x-ct, см

, c^-1

Рис. 6. Эволюция ТГц-импульса (а) и его спектрального состава (б). Концентрация электронов в плазменном канале

ne = 3 · 10¹³ см-3, концентрация нейтральных частиц N = 10²⁰ см-3. Стрелка показывает направление распространения

ТГц-импульса. Кривые соответствуют различным моментам времени: 0 (1), 0.25 (2), 0.5 (3), 0.75 (4), 1 (5) нс

E, отн. ед.

I, отн. ед.

8. 10^-7

6. 10^-7

4. 10^-7

-1

2.10^-7

-0.04

-0.02

5.0

. 1012

1.0

. 1013

1.5

. 1013

2.0

. 1013

x-ct, см

, c^-1

Рис. 7. Эволюция ТГц-импульса (а) и его спектрального состава (б). Концентрация электронов в плазменном канале ne =

= 3 ·10¹³ см-3, концентрация нейтральных частиц N = 3 ·10²⁰ см-3. Стрелка показывает направление распространения

ТГц-импульса. Кривые соответствуют различным моментам времени: 0 (1), 0.25 (2), 0.5 (3), 0.75 (4), 1 (5) нс

де всего, колебательным возбуждением молекул азо-

ных длинах распространения. При этом спектр на-

та. При изучении распространения ультракоротко-

чального ТГц-импульса может в процессе распро-

го лазерного импульса, характеризующегося широ-

странения существенно смещаться в сторону длин-

ким спектром, оказывается принципиально важным

ных волн, что приводит к значительному искаже-

учесть результат анализа отклика плазмы на силь-

нию формы импульса и увеличению его длительнос-

но немонохроматическое воздействие. Как резуль-

ти.

тат, в процессе распространения такого импульса

Показано, что при давлениях газа в несколь-

по каналу его энергия может изменяться по неэкс-

ко атмосфер можно достичь усиления энергии

поненциальному закону, причем поглощение энер-

ТГц-сигнала на порядок и более на длине 30 см.

гии импульса в канале на начальных этапах может

В данной работе мы полагали, что ТГц-импульс

сменяться эффектом усиления на более протяжен-

является достаточно слабым и не оказывает обрат-

786

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Особенности распространения и усиления...

E, отн. ед.

I, отн. ед.

0.4

3. 10^-7

2. 10^-7

-0.4

1. 10^-7

-0.8

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

5.0. 10¹²

1.0. 10¹³

1.5. 10¹³

2.0. 10¹³

x-ct, см

, c^-1

Рис. 8. Эволюция ТГц-импульса (а) и его спектрального состава (б). Концентрация электронов в плазменном канале

ne = 3 · 10¹³ см-3, концентрация нейтральных частиц N = 3 · 10¹⁹ см-3. Стрелка показывает направление распростра-

нения ТГц-импульса. Кривые соответствуют различным моментам времени: 0 (1), 0.1 (2), 0.2 (3), 0.3 (4), 0.4 (5) нс

Энергия, отн. ед.

Усиление

10^-2

10^-3

5.0. 10^-13

1.0 . 10^-12

1.5 . 10^-12

Длина, см

Время задержки, с

Рис. 9. Зависимость энергии ТГц-импульса, распростра-

Рис. 10. Зависимость величины усиления ТГц-импульса

няющегося в неравновесном плазменном канале от длины

в плазменном канале на длине 30 см от задержки между

распространения. Параметры плазмы канала: N = 10²⁰ (1,

лазерным и ТГц-импульсом. Расчеты представлены для

4), 3·10²⁰ (2, 5), 3·10¹⁹ (3) см-3; концентрация электронов

N = 3 · 10²⁰ см-3 и ne = 3 · 10¹³ см-3

ne = 3 · 10¹³ (1-3), 10¹⁴ (4, 5) см-3

ного влияния на энергетический спектр электронов

ТГц-импульса на кинетические процессы в плазме.

в плазме канала. Также мы были ограничены

Оба этих эффекта становятся особенно важными

на больших длинах распространения.

одномерным приближением при анализе волнового

уравнения. Выход за рамки этих ограничений

Благодарности. Работа выполнена при под-

позволит как строго рассмотреть реализацию упо-

мянутого в тексте статьи волноводного режима,

держке Российского научного фонда (проект

№18-72-00125). Численные расчеты проводились на

так и проанализировать возникающие нелинейные

эффекты, обусловленные влиянием усиливаемого

суперкомпьютерном комплексе МГУ «Ломоносов».

787

А. В. Богацкая, Е. А. Волкова, А. М. Попов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

ЛИТЕРАТУРА

22.

M. C. Hoffmann and J. A. Fulop, J. Phys. D: Appl.

Phys. 44, 083001 (2011).

M. Tonouchi, Nature Photon. 1, 97 (2007).

23.

D. Kuk, Y. J. Yoo, E. W. Rosenthal, N. Jhajj,

N. Nagai, M. Sumitomo, M. Imaizumi, and R. Fuka-

N. M. Milchberg, and K. Y. Kim, Appl. Phys. Lett.

sawa, Semicond. Sci. Technol. 21, 201 (2006).

108, 121106 (2016).

J. Liu, J. Dai, S. L. Chin, and X.-C. Zhang, Nature

24.

J. Hah, W. Jiang, Z.-H. He, J. A. Nees, B. Hou,

Photon. 4, 627 (2010).

A. J. R. Thomas, and K. Krushelnick, Opt. Express

B. M. Fischer, M. Walther, and P. U. Jepsen, Phys.

25, 17271 (2017).

Med. Biol. 47, 38071 (2002).

25.

А. В. Богацкая, А. М. Попов, Письма в ЖЭТФ 97,

W. H. Fan, A. Burnett, P. C. Upadhya, J. Cunnin-

453 (2013) [JETP Lett. 97, 388 (2013)].

gham, E. H. Linfield, and A. G. Davies, Appl. Spect-

rosc. 61, 638 (2007).

26.

G. Bekefi, Y. L. Hirshfield, and S. C. Brown, Phys.

Fluids 4, 173 (1961).

N. Laman, S. Harsha, and D. Grischkowsky, Appl.

Spectrosc. 62, 319 (2008).

27.

Ф. В. Бункин, А. Е. Казаков, М. В. Федоров, УФН

107, 559 (1972).

Y.-Ch. Shen. Int. J. Pharm. 417, 48 (2011).

28.

A. V. Rokhlenko, Sov. Phys. JETP 48, 663 (1978).

M. D. Mittleman, Opt. Express 26, 9417 (2018).

29.

J. M. Warman, U. Sowada, and M. P. De Haas, Phys.

D. J. Cook and R. M. Hochstrasser, Opt. Lett. 25,

Rev. A 31, 1974 (1985).

1210 (2000).

30.

A. V. Bogatskaya, E. A. Volkova, and A. M. Popov,

10.

M. Kress, T. Löffler, S. Eden, M. Thomson, and

Quant. Electron. 44, 1091 (2014).

H. G. Roskos, Opt. Lett. 29, 11202 (2004).

31.

V. A. Kostin, I. D. Laryushin, A. A. Silaev, and

11.

K. Y. Kim, J. H. Glownia, A. J. Taylor, and G. Rod-

N. V. Vvedenskii, Phys. Rev. Lett. 117, 035003

riguez, Opt. Express 15, 4577 (2007).

(2016).

12.

V. Yu. Fedorov et al., Plasma Phys. Control. Fusion.

59, 014025 (2017).

32.

V. A. Andreeva, O. G. Kosareva, N. A. Panov et al.,

Phys. Rev. Lett. 116, 063902 (2016).

13.

D. Dietze, J. Darmo, S. Roither, A. Pugzlys,

J. N. Heyman, and K. Unterrainer, J. Opt. Soc. Amer.

33.

A. V. Bogatskaya and A. M. Popov, Laser Phys. 28,

B 26, 2016 (2009).

115301 (2018).

14.

F. Théberge, M. Châteauneuf, G. Roy, P. Mathieu,

34.

A. V. Bogatskaya, E. A. Volkova, and A. M. Popov,

and J. Dubois, Phys. Rev. A 81, 033821 (2010).

J. Phys. D 47, 185202 (2014).

15.

M. Esaulkov, O. Kosareva, V. Makarov, N. Panov,

35.

A. V. Phelps, JILA Information Center Rep. №26,

and A. Shkurinov, Front. Optoelectron. 8, 73 (2014).

Univ. of Colorado (1985).

16.

A. A. Silaev and N. V. Vvedenskii, Phys. Rev. Lett.

36.

A. V. Phelps and L. C. Pitchford, Phys. Rev. A 31,

102, 115005 (2009).

2932 (1985).

17.

I. Babushkin, S. Skupin, and J. Herrmann, Opt.

37.

В. Л. Гинзбург, А. В. Гуревич, УФН 70, 201 (1960).

Express 18, 9658 (2010).

38.

A. V. Bogatskaya, E. A. Volkova, and A. M. Popov,

18.

M. Clerici et al., Phys. Rev. Lett. 110, 253901 (2013).

Laser Phys. Lett. 12, 035301 (2015).

19.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

39.

A. V. Bogatskaya and A. M. Popov, Laser Phys. Lett.

сплошных сред, Наука, Москва (1982), гл. 2, § 8.

16, 066008 (2019).

20.

К. Zhong et al., Sci. China Technol. Sci. 60, 1801

(2017).

40.

A. V. Bogatskaya, A. M. Popov, and I. V. Smetanin,

J. Rus. Laser Res. 35, 437 (2015).

21.

T. I. Oh, Y. S. You, N. Jhajj, E. W. Rosenthal,

H. M. Milchberg, and K. Y. Kim, Appl. Phys. Lett.

41.

A. V. Bogatskaya, E. A. Volkova, and A. M. Popov,

102, 201113 (2013).

Laser Phys. 29, 086002 (2019).

788